UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia ...
description
Transcript of UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia ...
![Page 1: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/1.jpg)
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIROINSTITUTO POLITÉCNICO
Graduação em Engenharia Mecânica
Disciplina: Mecânica dos Materiais 1 – 5º Período
Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.
![Page 2: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/2.jpg)
Tema de aula 6: Flexão
SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:
• 6.1 Diagramas de Força Cortante (Cisalhamento) e Momento Fletor• 6.2 Método Gráfico para Construir os Diagramas de Força Cortante (Cisalhamento) e Momento Fletor• 6.3 Deformação por Flexão de um Membro Reto• 6.4 Fórmula da Flexão • 6.5 Flexão Assimétrica (Curiosidade).• 6.6 Vigas Compostas• 6.7 Vigas Curvas (Curiosidade)• 6.8 Concentrações de Tensão
“Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.”THOMAS FULLER, M.D.
Objetivos:
• Determinar os esforços causados por flexão, estabelecendo diagramas de força cortante (V) e momento fletor (M) para uma viga ou eixo.
• Determinar o maior cisalhamento e momento fletor no elemento.• Discutir concentrações de tensão por flexão.
![Page 3: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/3.jpg)
6.1-Diagrama de força cortante (cisalhamento) e momento fletor.Vigas são elementos estreitos que suportam cargas perpendiculares ao seu eixo longitudinal.Ex;
Sob carga desenvolvem força cortante interna e momento fletor, funções da posição no eixo; V(x)eM(x) Estas funções são representadas por diagramas usando o método das seções em um intervalo x arbitrário entre descontinuidade de cargas, forças concentradas ou conjugados. Ex: Convenção de sinais no segmento secionado: (Ao secionar usar a convenção positiva)
EXEMPLO: Determinar a força cortante e o momento para toda a viga em função de x e desenhar os diagramas de força cortante e momento.Sol: Façamos o DCL:
Colocando a origemX1 a esquerda e secionando:Logo para ;
Mantendo origem X1, um segmt secionadoda direita p/ esq. estará em (10-x),Logo para
![Page 4: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/4.jpg)
Obtivemos V(x) e M(x) nos intervalos,
construímos os diagramas:
![Page 5: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/5.jpg)
Fazer: Desenhar os diagramas de força cortante e momento da viga.
![Page 6: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/6.jpg)
6.2-Método Gráfico para Construir os Diagramas de Força Cortante (Cisalhamento) e Momento FletorObter V(x) e M(x) pode ser difícil. Então usamos um método gráfico, baseado em elementos infinitesimais secionados (pela convenção de sinais +) em 3 regiões com cargas w, F ou M; Onde há carga distribuída (w):
Onde há carga concentrada (F):
(V diminui ao passar por F direcionada p/ baixo e vice versa)
Onde há momento fletor concentrado (M0):
(M aumenta ao passar por M0 horário e vice versa)
![Page 7: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/7.jpg)
Obtendo e marcando as cargas nas extremidades da viga podemos traçar os diagramas (usar conv. de sinais):
![Page 8: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/8.jpg)
Sol: Devemos construir o DCL para obter as reações de apoio, que serãoos extremos dos diagramas:
Façamos o diagrama de V:1-Iniciar marcando as forças cortantes nos extremos VA = +4,40kip e VD = 0;2-Como dV/dx=-w(x); V tem declive zero de AàB, 3-V cai -8 kip chegando -3,60kip ao passar de B.4-Depois tem declive crescente negativo, e a força cortante antes de C é obtida subtraindo a área sob o diagrama de carga (-6kip) chegando á -9.6kip.5-Depois aumenta em 17,6 kip ao passar pelo apoio C indo para 8 kip.6-De C para D, o declive do diagrama de força cortante será constate negativo levando V á zero em D.
Façamos o diagrama de M:1-Os momentos das extremidades A e D são nulos (não há engastes)2-Lembrando que dM/dx=V(x); M tem declive cte 4.4 de A à B, e em B sefizermos um corte, pelo B teremos MB=17.6kip.pés.3-O declive passa para -3.6 e cai até -9.6 entre B e C, e em C se fizermos um corte, pelo C teremos MC=-16kip.pés. (* pt onde M=0 no próximo slide)4-O declive passa para 8 e cai até 0 entre C e D.
Exemplo: Desenhar os diagramas de força cortante (ou cisalhante) e momento fletor para a viga em balanço mostrada;
(convenção: V+ quando gira horário a seção feita).
![Page 9: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/9.jpg)
(*)obteremos o ponto x pés a direita de B, onde M=0;
Substituindo M=0 na equação acima teremos
![Page 10: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/10.jpg)
Fazer: Desenhar os diagramas de força cortante e momento para a viga.
![Page 11: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/11.jpg)
6.3 Deformação por Flexão de um Membro RetoQuando uma viga prismática homogênea, é submetida à flexão em torno de um eixo z perpendicular ao eixo de simetria da sua seção transversal,a parte inferior estica-se e a parte superior comprime-se, logo existe uma superfície neutra entre elas que não sofre variação de comprimento.
Consideraremos que;1-As seções transversais permanecem planas.2-Deformações nas seções são desprezíveis.
Então, observandoo elemento emdestaque na figura;
Percebemos, que a deformação normal (ε) é função linear ao longo de y: Logo por semelhança;
Ps:.As ctes c e εmax são tomados positivos, logo colocamos o sinal (-) pois nesta
configuração Y>0 causa ε<0 .
A seção gira ao redor do eixo neutro
![Page 12: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/12.jpg)
6.4 Fórmula da Flexão A variação linear da deformação vista anteriormente, é causada por uma variação linear na tensão normal.
Vamos obter a posição do eixo neutro ‘z’ (origem y=0) , que deve manterforça resultante nula na área total da seção; Para isso consideramos um elemento dA sujeito à força dF=σdA e integramos em toda área:
(momento de 1º ordem da área deve ser nulo).Substituindo em (coordenada do centróide), temos , exigindo centróide e eixo neutro coincidindo em y=0.
O elemento tb estará sujeito a um momento dM=ydF, (positivo pela regra da mão direita)o momento resultante interno na seção (M) é dado pela integração;
(a integral é o momento 2º ordem da seção em torno do eixo neutro (I) ).Finalmente escrevemos a fórmula da flexão: ou considerando a variação linear da tensão acima:
Ps:.c e σmax tb são cts tomados positivos, logo colocamos o sinal (-) pois nesta configuração Y>0 causará σ<0.
Ps:. Aqui não mantemos o sinal (-) poisfazemos aplicação de M>0(regra da mão direita polegar em z>0)
Ps:O sinal de σmax deve ser avaliado.
![Page 13: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/13.jpg)
Exemplo: A viga mostrada tem área da seção transversal com perfil em forma de U. Determinar a tensão de flexão máxima que ocorre na seção a-a da viga.Sol: Inicialmente obtemos o centróide,(onde passa o eixo neutro), separando a área da seção em 3 partes e somando os momentos de 1º ordem dos numeradores;
Agora obtemos mom. interno M, pelo método das seções; (Atenção; N atua no centróide, mas 1KN atua no pt de aplicação);
A tensão normal de flexão será dada por;
Antes precisamos do momento de inércia da área em torno do eixo neutro (I):Teorema do Eixo Paralelo; Conhecido o momento de inércia (Ix’) de uma área em torno do eixo de seu centroide x’, podemos determinar (Ix) dessa área em torno de um eixo x paralelo à x’ à distância dy;Aplicamos o teorema nas 3 áreas retangulares (I=1/12(bh3))e somamos;
Finalmente acima podemos obter normal mx de flexão;
Ps: M é contrário ao indicado.
Ps: Avaliando temos tensão de compressão na região inferior extrema da seção.
Consideramos origem y em cima!
![Page 14: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/14.jpg)
Exemplo: Um elemento tem a seção transversal triangular mostrada. Supondo que seja aplicado o momento M = 800 lb .pés a essa seção, determinar as tensões máximas de tração e de compressão no elemento. Desenhar também a vista tridimensional da distribuição de tensão que atua sobre a seção transversal.Sol: Inicialmente obtemos o centróide, (onde passa o eixoneutro) que para o triângulo estará em =1/3(h)
Temos tabelado I=1/36(bh3);
A tensão normal de flexão máxima ocorre na extremidade superior, onde
E na extremidade inferior;
Então desenhamos a distribuição de tensão:
![Page 15: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/15.jpg)
Fazer: A peça de máquina de alumínio está sujeita a um momento M = 75 N.m. Determinar a tensão de flexão criada nos pontos B e C da seção transversal. Desenhar os resultados em um elemento de volume localizado em cada um desses pontos.
![Page 16: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/16.jpg)
6.5 Flexão Assimétrica (Curiosidade).Quando flexão ocorre em torno de um eixo arbitrário, que não os eixos de inércia principais ao longo do eixo de simetria da seção;
Obtemos as componentes do momento, a tensão será dada pela superposição das tensões das componentes;
Pela regra damão direita;
Notando que o eixo neutro (N)tem Inclinação α, e o M teminclinação θ;
![Page 17: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/17.jpg)
6.6 Vigas CompostasEm vigas compostas por dois materiais diferentes como a ilustrada, para aplicar a fórmula da flexão devemos transformar as dimensões da seção de forma que a viga pareça feita de um único material.
Aplicando o momento M, sabemos que a área da seção inclina mas permaneceplana, logo as deformações normais são lineares;Porém, se trabalhamos na região elástica teremos , mas como na região de junção as deformações são iguais para (1) e (2), o material mais rígido (1) terá maior tensão;
O método da seção transformada usa um fator de transformação (n); ou
que aumenta a base do mais rígido, b2=nb
Agora podemos obter o eixo neutro e aplicar a fórmula da flexão; . Teremos uma nova distribuição linear da tensão em torno do EN: Atenção: Para obter a tensão real em um pt da área que foi transformada, basta multiplicar pelo fator n (ou n’).
ou reduz do menos rígido b1=n’b
![Page 18: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/18.jpg)
Exemplo: Uma viga de abeto branco é reforçada com tiras de aço A-36 nas partes superior e inferior. Determinar a tensão máxima desenvolvida na madeira e no aço se a viga for submetida a um momento fletor M=8 kip.pés. Desenhar a distribuição de tensão que atua na seção.Sol:Inicialmente obtemos o fator de multiplicação n entre madeira e aço;(tabela)
Obtemos a espessura correpondente da madeira caso esta fosse aço;
Para obter a tensão de flexão;
(I) é obtido pelo Teo. do Eixo Paralelo (ou mais fácil, com área simétricaao redor do EN podemos usar a fórmula conhecida (I) do retângulo Inteiro subtraindo o retângulo vazio);
Finalmente obtemos a tensão normal máxima por flexão na viga transformada para aço;
Na junção (y=2) este valor seria;
Para obter a tensão real na madeira no mesmo pt da junção (y=2),basta multiplicar pelo fator n.
ema centróide, (onde passa o eixo neutro), separando a área da seção em 3 partes e somando os momentos de 1º ordem dos numeradores;
Para obter o momento de inércia da área em torno do eixo neutro;
Teorema do Eixo Paralelo; Sabendo o momento de inércia (Ix’) de uma área em torno do eixo do seu centroide x’, podemos determinar Ix dessa área em torno de um eixo x paralelo à x’ à distância dy;Aplicamos o teorema nas 3 áreas retangulares (I=1/12(bh3))e somamos;
Finalmente obtemos as tensões normais de flexão ;
e os elementos (ambos compressão);
![Page 19: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/19.jpg)
6.7 Vigas Curvas (Curiosidade)Em viga maciça curva, de raio menor que 5 vezes a largura, a def. normal não varia linearmente com a largura;Como consequência o eixo neutro não passa pelo centróide.
A localização R do eixo neutro é dada por; Existem valores tabelados para algumas geometrias;
Observando um elemento no segmento superior; Vemos que este está sujeito à uma tensão circunferencial σ equilibrada por componente tensão radial σr (σr é desprezível.)
A tensão normal circunferencial é então expressada por uma das duas fórmulas hiperbólicas abaixo;
ou
ompostas por dois materiais diferentes como a ilustrada, para aplicar a fórmula da flexão devemos transformar as dimensões da seção de forma que a viga pareça feita de um único material.
Aplicando o momento M, sabemos que a área da seção inclina mas permaneceplana, logo as def. normais são lineares;Porém, se trabalhamos na região elástica teremos , mas como na região de junção as deformações são iguais para (1) e (2), o material mais rígido (1) terá maior na tensão;
O método da seção transformada usa um fator de transformação (n); ou
que aumenta a base do mais rígido, b2=nb
Agora podemos obter o eixo neutro e aplicar a fórmula da flexão; . Teremos uma nova distribuição linear da tensão em torno do EN: Atenção: Para obter a tensão real em um pt da área que foi transformada, basta multiplicar pelo fator n (ou n’).
(Tensão e def. normalserão hiperbólicos)
![Page 20: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/20.jpg)
6.8 Concentrações de TensãoPara vigas sob carregamento elástico, que sofrem mudanças bruscas na seção transversal,(ex;)
a deformação e tensão normal na seção menor ñ serão lineares. Ex:Obtemos a tensão máx. multiplicando a tensão por flexão na seção menor pelo fator de concentração K.
• K é obtido experimentalmente em função da geometria.• Relevante em frágeis ou cargas ciclícas, (pois rompem logo ao fim da região elástica), em dúcteis com cargas estáticas não consideramos.
![Page 21: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/21.jpg)
Exemplo: A tensão normal de flexão admissível para a barra é 175 MPa. Determinar o momento máximo M que pode ser aplicado.Sol: Calculamos as dimensões para obter K na tabela:
A tensão máxima deve ser a admissível, dada por:
Então teremos:
![Page 22: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/22.jpg)
Fazer: Determinar o comprimento L da parte central da barra de modo que a tensão de flexão máxima nas seções A, B e C seja a mesma. A barra tem espessura de 10 mm.
![Page 23: UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062323/56816619550346895dd96b05/html5/thumbnails/23.jpg)
MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!
– Bibliografia:
– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.