Universidad Simón Bolívar Departamento de Matemáticas ... · Utilizando el método de arandelas:...
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Universidad Simón BolívarDepartamento de Matemáticas
Puras y AplicadasEnero - Marzo, 2008
MA-1112 �Practica: semana 5 �Ejercicios sugeridos para la semana 5. Cubre el siguiente material: Cálculo de volumenes de
sólidos de revolución.
Para hallar el volumen de un sólido de revolución utilizaremos los métodos vistos en teoria: Méto-do de discos, arandelas o cascarones (tubos). Para más información vea las ultimas 9 paginas.
1. En los siguientes problemas dibuje la region R acotada por las grá�cas de las ecuacionesdadas y muestre la rebanada representativa. Después encuentre el volumen del sólido gen-erado al hacer girar R en torno al eje x.
a) y = x2
π, x = 4, y = 0.
Solución:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
1
2
3
4
5
6
Utilizando el método de discos: V = π∫ 4
0(x2
π)2dx = 1024
5π.
b) y = 1x, x = 2, x = 4, y = 0.
Solución:
DPTO. DE MATEMATICASMA-1112
2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Utilizando el método de discos: V = π∫ 4
2( 1
x)2dx = π
4.
c) y =√
9− x2, y = 0 entre x = −2 y x = 3.Solución:
−2 −1 0 1 2 30
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Utilizando el método de discos: V = π∫ 3
−2(√
9− x2)2dx = 116π3
.
2. En los siguientes problemas dibuje la region R acotada por las grá�cas de las ecuacionesdadas y muestre la rebanada representativa. Después encuentre el volumen del sólido gen-erado al hacer girar R en torno al eje y.
a) y =√
x, x = 0, y = 3.Solución:
DPTO. DE MATEMATICASMA-1112
3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Utilizando el método de cascarones: V = 2π∫ 9
0(3 − √x)xdx = 243π
5. Otra posibilidad,
con el método de discos V = π∫ 3
0(y2)2dy.
b) x = 2√
y, x = 0, y = 4.Solución:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Utilizando el método de cascarones: V = 2π∫ 4
0(4 − (x2
4))xdx = 32π. Otra posibilidad,
con el método de discos V = π∫ 4
0(2√
y)2dy.
c) x = y3/2, y = 9, x = 0.Solución:
DPTO. DE MATEMATICASMA-1112
4
0 5 10 15 20 25 300
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Utilizando el método de cascarones: V = 2π∫ 27
0x(9− x2/3)dx = 6561π
4. Otra posibilidad,
con el método de discos V = π∫ 9
0(y3/2)2dy.
d) y = 4x, y = 4x2.Solución:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Utilizando el método de cascarones: V = 2π∫ 1
0x(4x − 4x2)dx = 2π
3. Otra posibilidad,
con el método de arandelas V = π∫ 4
0((√
y
2)2 − (y
4)2)dy.
3. Encuentre el volumen del sólido generado al hacer girar la región en el primer cuadranteacotada por la curva y2 = x3, la recta x = 4 y el eje x, en torno a:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
DPTO. DE MATEMATICASMA-1112
5
a) La recta x = 4.Solución:Utilizando el método de cascarones: V = 2π
∫ 4
0(4− x)
√x3dx = 1024π
35.
b) La recta y = 8.Solución:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−5
0
5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
XY
Z
En el gra�co, podemos observar que el solido de revolucion cuyo volumen deseamoscalcular es la �gura de color rojo. Utilizando el método de arandelas: V = π
∫ 4
0
(82 − (8−
√x3)2
)dx =
704π5
.
4. Sea R la región acotada por y = x2 y y = x. Encuentre el volumen del sólido que resultacuando R se hace girar alrededor de:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
a) El eje x.Solución:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−1
0
1−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
YX
Z
DPTO. DE MATEMATICASMA-1112
6
Utilizando el método de arandelas: V = π∫ 1
0(x2 − x4)dx = 2π
15.
b) El eje y.Solución:Utilizando el método de cascarones: V = 2π
∫ 1
0(x− x2)xdx = π
6.
c) La recta y = x.Solución:Al girar la region acotada por y = x2 y y = x alrededor de la recta y = x, podemosobservar que al intersectar el solido con cualquier seccion transversal perpendicularnos dara una region cuya area no es ni cuadrada, ni triangular o redonda. Pero, síconcideramos una sección transversal diagonal de manera que la region interseccionresultante sea una circunferencia, tendriamos el area de una �gura geometrica cono-cida; solamente faltara expresar su radio r en función de la variable x.
Observando la �gura anterior, podemos deducir que r = hipotenusa ×cos(π/4) dondehipotenusa = x− x2. Entonces, r =
√2
2(x− x2). Por lo tanto, A(x) = πr2 = π
2(x− x2)2 y
V =∫ 1
0A(x)dx. Es decir, V =
∫ 1
0π2(x− x2)2dx = π
60.
5. La base de un sólido es la región acotada por y = 1 − x2 y y = 1 − x4. Las seccionestransversales del sólido, que son perpendiculares al eje x, son cuadrados. Encuentre el vol-umen del sólido.Solución:
DPTO. DE MATEMATICASMA-1112
7
−1 −0.5 0 0.5 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1 y=1−x2
y=1−x4
V = 2∫ 1
0A(x)dx, con A(x) = l2(x) (observe que la región de la base del solido es simetrica
con respecto al eje y). El lado del cuadrado en función de la variable x esta dado porl(x) = (1− x4)− (1− x2) = x2 − x4. Asi, V = 2
∫ 1
0(x2 − x4)2dx = 16
315.
TUBOS
y
x
∆∆∆∆x
Vn = 2 ππππ R · H · ∆∆∆∆x
R
H ∆∆∆∆y
x
y
R
H
Vn = 2 ππππ R · H · ∆∆∆∆y
DISCOS
∆∆∆∆x
R
V = ππππ R2 · ∆∆∆∆x
∆∆∆∆y
R
V = ππππ R2 · ∆∆∆∆y
x
y
ARANDELAS
∆∆∆∆y
R
V = ππππ ( R2 – r2 ) · ∆∆∆∆y
x
y
r
∆∆∆∆x
R
V = ππππ ( R2 – r2 ) · ∆∆∆∆x
r
x
y
Sólido de revolución generado por un recinto plano al girar alrededor del eje OY
H
R
y
x
y = f ( x )
Recinto generador
R
H
x
y
Sólido de revolución generado
Proyección sobre el eje OX:
Por tubos : (((( ))))[[[[ ]]]]∫∫∫∫
====
====−−−−⋅⋅⋅⋅ππππ====
Rx
0x
dxxfHx2V
x
x0
H
x0
H – f ( x 0 )
V0 = 2 ππππ x0 [ H – f ( x 0 )] ∆∆∆∆x
∆∆∆∆x
x
y
x0
y0 = f ( x 0 )
H ∆∆∆∆x ∆∆∆∆x
y
Proyección sobre el eje OY:
Por discos : (((( ))))∫∫∫∫
====
====
−−−−
ππππ====Hy
0y
21dyyfV
H
R
x
y = f ( x )
y0 ∆∆∆∆y
x0 = f -1 ( y0 ) R
H
x
y
∆∆∆∆y
∆∆∆∆y
x0
V0 = ππππ [ f –1( y0 ) ] 2· ∆∆∆∆y
Sólido de revolución generado por un recinto plano al girar alrededor del eje OX
H
R
y
x
y = f ( x )
H
R
y
x
Recinto generador
Sólido de revolución generado
Proyección sobre el eje OX:
V0 = ππππ· [ H2 – f2(x0) ] · ∆∆∆∆x
Por arandelas : (((( ))))[[[[ ]]]]∫∫∫∫
====
====
−−−−⋅⋅⋅⋅ππππ====Rx
0x
22dxxfHV
x
y
x0
y0 = f ( x 0 )
H ∆∆∆∆x
R
H
x x0 x0
y0 = f ( x 0 )
∆∆∆∆x H
R
y
x x0
∆∆∆∆x
Proyección sobre el eje OY:
Por tubos : (((( ))))∫∫∫∫
====
====
−−−−⋅⋅⋅⋅ππππ====
Hy
0y
1dyyfy2V
H
R
y
x
y = f ( x )
∆∆∆∆y y0
x0 = f -1 ( y0 )
H
R
y
x
y0
x0
V0 = 2 ππππ y0 · f-1 ( y0 ) · ∆∆∆∆y
∆∆∆∆y