1

UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA

INGENIERIAS - CENTRO DE CIENCIA BASICA

UNIDAD INTRODUCTORIA CURSO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Tema: Conjunto de Números Reales (20 Horas de trabajo Autónomo e Independiente por parte del

estudiante)

Estimado estudiante, reciba un cordial saludo de parte del equipo de docentes del curso de Geometría

Analítica. En este material, encontrará información de estudio para las primeras 5 clases de la unidad

Introductoria del curso. Se recomienda complementar lo aprendido en clase con el estudio teórico del módulo

“Nociones de Precálculo” disponible en la página web https://ganalitica.wordpress.com/material-

complementario/ a fin de practicar en el desarrollo de los ejercicios propuestos a continuación:

Ejercicios Conjunto de Números Reales: Propiedades de los números reales, operaciones en el conjunto de los números reales, Valor Absoluto. Este material ha sido tomado con fines pedagógicos de “Precálculo, Matemáticas para el Cálculo” Autor: James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Walson, Cengage Learning, Quinta Edición, páginas 10 - 11

2

3

Operaciones con números Racionales: Realizar las siguientes operaciones (Recuperado con fines educativos de:

www0.unsl.edu.ar/~jolguin/documentos/niv2002/practico1-2002.doc, Julio 15 de 2018)

a

b

c

)

)

) :

3

4

1

2

2

3

11

2

3

4

2

3

1

4

4

3

1

2

3

5

1

2

1

4

1

5

2

55

3

5

1

10

4

d

e

f

g

h

)

:

: :

)

:

:

) :

)

) :

3

2

1

52

1

3

3

4

1

5

1

10

2

9

1

4

1

3

2

5

2

5

1

6

3

2

5

42 1

1

2

5

7

1

41

1

8

1

5

1

39

1

162

1

16

1

36 4 1

17

64

3 2

2

2

21 2

3

5

1

4

2

7

1

47

6

7

1

9144

2

12

2

i)

Nota: el símbolo “ : ” significa división o cociente

5

Exponentes y Radicales (Recuperado con fines educativos de:

www0.unsl.edu.ar/~jolguin/documentos/niv2002/practico1-2002.doc, Julio 15 de 2018)

Resolver aplicando las propiedades de la potenciación y la radicación:

a b c m y

c a b c p q r

e a b c y x

)

)

) . ,

9 27

32 64

121 0 064

6 2 9 33

10 155 6 18 24

2 1 4 3 12

b)

d)

f)

6

3

Introducir factores dentro del radical:

a a b ab m n m

c y bb

y

x y

b m

b m

y

e a b c a n m

)

)

)

2 9

3

2

8

9

2 30

3 2 3 3

4

25

3

2 2

3

3 3 23

b)1

3

d)a

f) 0,1m

2

4

Extraer del radical todos los factores posibles:

a a m c y

y b c

bb

) 16

8

3 63 10 9

7 5 6

7

4

b) b =

c) -32m = d) a =

e)27a

= f) 108a =

34

155 3

5-33

6

Resolver las siguientes operaciones:

a) m b) m

2 d) 7

3634 24m m

c

33

28 3 1

:

)

Productos notables (Recuperado con fines educativos de:

https://ivanparra.wikispaces.com/file/view/NIVELACION+OCTAVO.doc, Julio 15 de 2018)

Factorización en el conjunto de los números reales (Recuperado con fines educativos de: http://ciencias.udea.edu.co/semilleros/Semilleros%202009/Taller%204/Word/Taller%204%20grado%209.doc, Julio 15 de 2018) Factorizar las siguientes expresiones:

1. 466584

4

1510

8

5yxyxyx =

2. 114 22 xaxax

3. 2x yzxzxyzxy 2222 2

4. mn xx 22 10049

5. 167 yyy

6. 24112 xx

7. 10196 2 xx

8. 10337 612 aa

9. 222 1574 cbabca

10. 113

a

11. 1892 aa

12. 432

18

2323 axax

13. 222222444 222 cbcxbxcbx

14. yxyx

311297

33

15. 22223 2323 aaxxxaaxx

7

16. nnn ttt 87 23

17. L dgLhdg 11 2

18. 455 12 xx

19. nnn xxx 87 23

20. 123 xxx

21. 9

2x

22. 22

3aba

23.

4

2

10

ba

ba

24.

12

11

1

12

27

81.

3

9

nn

nn

nn

n

=

25. 46543525 1644 yxxyxzxz

26. 18275 2 xx

27.

1

22

213

bac

bac

28. yxxyx 481682070 2

29. yxyxyxyx 2435 96244812

30. 918912124 22 hhgghg

Simplificación de Expresiones racionales, Expresiones algebraicas: suma, resta, multiplicación, entre polinomios (Recuperado con fines educativos de:

https://matematicasiesoja.files.wordpress.com/2013/10/fracciones-algebraicas2.doc, Julio 15 de 2018) 1. Simplificar:

a)1+x

1-x2

b))1-(x

1-x2

2

c)4-2x

4-x2

d)4-x

4+4x+x2

2

e)16+8x+x

16-x2

2

f)4+4x+x

2)+(x x2

g)9-x

8+6x-x2

2

h)81-x

9-x4

2

i)6-x+x

3x+x2

2

j)x-x

3-2x+x23

2

k)6-x+x

3x+x4+x2

23

l)5-4x+x

3-2x+x2

2

2. Realizar las operaciones y simplificar (recordar que el símbolo “ : ” significa división o cociente)

a)

2

1 +

x

1 : x -

x

4 b)

x

4-x .

)2+(x

2+x 2

2 c) x .

1+x

1 - x :

1+x

1 +

x

2

d)

2+x

1 :

x

2 .

2

x2

e) x2 . 2-x

1+x -

x

2+x +

x

3 2

2

8

3. Realizar las operaciones indicadas y simplificar:

a)

x

y -

y

x .

y+x

y-x -

y-x

y+x b)

y+x

2xy .

xy

y+x +

y

1 -

x

1

c)

x

1 - x .

1+x

x -

1-x

1+x d)

3+4x-x

1-x -

3-x

1 +

1-x

12

e)2-x+x

1+x -

1-x

3 +

2+x

12

f)2+3x-x

1-x -

1+x

3 -

2-x-x

x22

4. Simplificar las siguientes expresiones:

a)

2-x

8+8x-x2 :

2/8 + 3/4

4-2x

x+x3

x-x3

x-9

x+6x+9

2

32

32

2

2

·

b)4x-x

2x-x +

4-x

2-x

4+5x-x

5+6x+x2

3

22

2

·

c)

0x+x-x

x :

x2-x+x

2x+2x

1x

x-x

1x

1xx

23

2

2

2

5202

5

5250

014

44·

2

23

2

d)

10+7x-x4-x

1+x :

2-x+x

2+2x

1-x

10-8x-x2

1+2x+x

1-x

232

2

2

2

·

e)

2x

12+12x+x3_

6-3x+x3

2x-x2

4+4x+x

2-x+x :

2+3x-x

3-2x+x .

9-x

6-11x+x6-x

2

2

2

2

2

2

2

2

23

f)

1 - 3-x

3+x3

3+x -

x

3+x

_

3x

x-33+x

3-x + 1

g)x+x

6+5x-x :

9x+x6+x

9 - x_

x+x

6x-x+x2

2

23

2

2

23

h)

y-xy

y-x

y

x + 1

2

22

i)

)1-(a

1+2a-a_

a

1+a :

1-a

1+a -

1+a

1-a

1-a

1+a -

1+a

1-a

2

222

2

2

2

j)

b-a

b+a - 1

b-a

b+a + 1

5. Simplificar:

a)81-a

9+a :

9-a

9+6a+a4

2

2

2

b)8-4x

b-a :

6-3x

b2+4ab-a2 22

c) = )x8-(32 : 8+4x

x-16 24

d) = )x8+(32 : 8+4x

x-16 24

e) =

yx

yx

x

:

yx

yx

22

1

3

6

36

f) =

b+a

2-x :

b-a

4-x22

2

g) = y

y-3 -

3y

1-y -

1-y

2y h) =

1-y

y -

2+3y-y

y -

2-y

y2

9

6. Operar y simplificar cuando sea posible:

a) = x-9

x -

3-x-

1 -

x-3

x+32

2

b) = 1+y

y +

1-y

1+2y +

y-y

122

c) =

xx

xx

x

x

x

x

xxx

xx

42

26·

3

2

5

4·

842

103

2

2

2

23

2

d) = x9+x6-x

x3-x234

34

e) = 4-8x-x+x2

2+5x+x223

2

f) = 6-2x

1-x +

3+4x-x

5+x -

3x-x

6+2x22

7. Operar y simplificar:

a) = 1-x

1 -

1+x

x -

1+2x+x

1-x2

b) = 1-x

1-x +

1-x

1 +

x-x

x22

c) = 1-x

1 -

1+x

1 +

1-x

x+x2

2

d) = 1-x

x -

1+x

x +

1-x

x2

e) = 1+x

x +

1-x

1 -

1-x

1+x -

1+x

12

2

f) = 1+x

2x +

x

1)-3(x -

x+x

1-x2

h) = 1-x

3x +

1-x

2 -

x-x

2+x22

8. Operar y simplificar si es posible:

a) =

1-x

x -

1+x

x1+x

x +

1-x

x

b) =

1-x

1 +

1-x

x1+x

1-x -

1-x

1+2x-x

2

22

c) =

)1+(x

1+2x-x +

1-x

1+2x+x

1-x

1+x-x -

)1-(x

2+3x+x_

)1+(x

x2-2x

2

2

2

2

2

2

2

2

2

d) =

6-x+x

1 -

2+3x-x

11+x

1+2x+x +

1+x

1-x

22

22

e) = 3x

1+2x-x -

2x

1+3x +

1-x

3-2x+x22

f) =

1x

xx +

1-x

x

1x

x-x

1-x

1+2xx

2

22

121

1

)(2

2

9. Operar y simplificar:

a) = 1)+2)(x+(x

2+x

2+3x+x2

b) = 6+5x+x

3-x -

3+x

3-3x +

2+x

1-x2

2

c) = 6+5x+x

3-x -

3+x

3-x +

2+x

1-x2

d) = 2+x

2-2x +

3+x

3-3x -

2+x

1-x e) =

1+x

2+x +

3+x

1-x -

1+x

2-x f) =

1-x

2x +

1-x

2 -

1+x

32

10

Solución de ecuaciones lineales, solución de ecuaciones cuadráticas, solución de sistemas de ecuaciones lineales (Recuperado con fines educativos de ficus.pntic.mec.es/~jgam0105/sorpresa/Cuad_sm/SM4%20algebra2.doc, Julio 15 de 2018) Ecuaciones lineales:

1. Resuelve las ecuaciones: a) 3x - 6 = 4 c) -x + 3 + 6 = 5 - 3x b) -1 + 2x = 9 - 3x d) 2x = 20 - 3x Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 62

3

x d)

5

142

3

6

xx b) 2

3

64

x e)

23

4

5

6

12 xxx

c) 4(2x - 1) + 15 = 6 - 2(x - 5) 2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 114

217

xx b)

8

324

3

5

6

103

xx

x c) 0

2

3

5

23

xx

d)

6

432

155

23 xxx

e)

2

1

3

1

9

15

4

2

xxx

3. Problemas acerca de ecuaciones lineales:

Repartir 12 000 pesetas entre 3 personas de modo que la segunda reciba 2 000 pesetas más que la primera, y que la tercera reciba el triple de lo que reciben las otras dos juntas.

Una niña gasta los 5/7 del dinero que tiene ahorrado en material escolar y los 3/4 del resto en celebrar su cumpleaños, quedándole 1 000 pesetas. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado? ¿Cuánto gasta en material escolar? ¿Y en celebrar su cumpleaños?

Halla dos números consecutivos tales que la suma de la tercera parte del mayor y la quinta parte del menor sea igual a la mitad del menor más uno.

El perímetro de un rectángulo es de 60 m. Sabiendo que la base mide 2/3 de la longitud de su altura, calcula la longitud de cada lado y el área del rectángulo.

Calcula la edad de una persona sabiendo que si al triple de la edad le quito 2 y divido este resultado por 5 me da la mitad de la edad más 2.

Se reparte un lote de discos entre tres alumnos. El primero recibe la tercera parte más 4, el segundo un sexto del resto y el tercero recibe 5 discos. ¿Cuántos discos se han repartido? ¿Cuántos recibe cada uno?

Ecuaciones de segundo grado 4. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3x

2 - 27 = 0 d) x(x + 5) - 8x = 0

b) 3x

2 + 10 = 1 e) 3(x

2 - 1) + 5 = x

2 + 2

c) 4x

2 - 25 = 0 f) 4x

2 + 9x = x

2 -3x

11

5. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: a) x

2 - 4x + 3 = 0 d) 3x

2 - 5x + 2 = 0

b) 3x

2 + 3x - 6 = 0 e) 6x

2 + 2x + 1 = 0

c) x2 - 6x + 9 = 0 f)

3

1

2

1

xxx

6. Resuelve las ecuaciones: a) x

4 - 40x

2 + 144 = 0

b) 4x

4 + 3x

2 - 1 = 0

c) x

4 - 18x

2 + 32 = 0

7. Resuelve las ecuaciones:

a) 212 xx b) 3922 xxx

c) 236 xx d) 224 xx

8. Problemas acerca de ecuaciones cuadráticas:

Luis tiene 6 amigos más que Javier y la suma de los cuadrados del número de amigos de cada uno es 468. ¿Cuántos amigos tiene Luis? ¿Y Javier?

Halla un número tal que si a la novena parte de su cuadrado se le resta cuatro se obtiene dicho número.

Se reparten 300 pesetas entre varios niños. Si hubiera dos niños menos, cada uno tocaría a 40 pesetas más. ¿Cuántos niños son?

La décima parte del producto de números consecutivos coincide con el doble del menor menos 7. ¿Cuáles son tales números?

El perímetro de un rectángulo es 54 cm, y su área 180 cm2. Calcula sus dimensiones.

Dos pintores pintan una habitación en 2 horas. ¿En cuánto tiempo la pintaría cada uno por separado sabiendo que uno de ellos tarda 3 horas menos que el otro?

9. Sistemas de ecuaciones lineales: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación:

x - 4y = 13 5x + 7y = -16

3x - 4y = -5 2x + y = 13/2

x + y = 11 3x – 5y = 1

12

10. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución:

a)

1625

73

yx

yx b)

853

134

yx

yx c)

164

172

yx

yx

d)

12172

3315

)(

)(

yx

yx e)

3

17

3

13

2

3

232

yx

yx

11. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción:

a)

134

52

yx

yx b)

1127

1252

yx

yx c)

034

1432

)( yx

yx

d)

1723

5252

yx

yx

)(

)( e)

434

35

yx

yx

12. Problemas acerca de sistemas de ecuaciones lineales:

En un triángulo isósceles de 14 cm de perímetro, el lado desigual es tres veces menor que el otro lado. ¿Cuánto mide cada lado?

Un maestro compra 30 objetos, entre lápices y bolígrafos, con un coste de 1240 pesetas. Si los lápices cuestan 25 pesetas y los bolígrafos 60 pesetas, ¿cuántos bolígrafos compró? ¿Cuántos lápices?

Un ramo de flores compuesto de 5 rosas y 8 margaritas cuesta 4 100 pesetas. Si está formado por 2 rosas y 6 margaritas su precio es 2 200 pesetas. ¿Cuál es el precio de una rosa? ¿Y de una margarita?

En una tienda de anticuario hay 12 candelabros de dos y tres brazos. Si para utilizarlos se necesitan 31 velas, ¿cuántos candelabros hay de cada tipo?

Un padre quiere repartir el dinero que lleva en el bolsillo entre sus hijos. Si a cada hijo le da 700 pesetas, le sobran 200 pesetas; pero si da a cada uno 800 pesetas, le faltan 200 pesetas. ¿Cuánto dinero lleva en el bolsillo? ¿Cuántos hijos tiene?

En el recreo, los alumnos de dos aulas se pasan de una a otra. Si pasan 4 de la primera a la segunda, hay en ésta un alumno más que en la primera. Pero si pasan 4 de la segunda a la primera serán doble en la primera que en la segunda. ¿Cuántos alumnos tiene cada clase?

Hoy, la edad de un hijo es un año menos que 1/3 de la edad de su madre. Si dentro de cinco años la edad de la madre será 10 años mayor que el doble de la de su hijo, ¿qué edad tienen?