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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” ÁREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE GERENCIA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PROFESOR: Dr. JUAN LUGO MARÍN

Tema No. 4 Análisis de Sensibilidad

Introducción

En los temas anteriores se han formulado y luego resuelto distintos modelos

de programación lineal. Puede observarse que si este fuera un problema

real, el tomador de decisiones tendría una buena solución para él y estaría

libre para dedicar su atención a otros asuntos. En muchos, si no en la

mayoría de los casos, esto simplemente no es verdad. Frecuentemente

ocurre que la solución de un modelo no es más que el punto de partida y

que en si mismo es la parte menos interesante del problema real. Recuerde

que si el modelo es una abstracción del problema en vivo. Normalmente, el

tomador de decisiones necesita hacerse preguntas adicionales antes de

confiar lo suficiente en los resultados como para aplicarlos al problema real.

Por ejemplo, puede haber consideraciones más bien significativas que

debido a su complejidad no se hayan incorporado al modelo. En el grado

que el modelo sea una simplificación de la realidad habrá siempre factores

que no se consideran. Es por ello que una vez resuelto el modelo

simplificado, el tomador de decisiones desearía saber como “encaja” la

solución óptima con otras consideraciones que pudieron no ser incluidas.

Por otro lado, pudiese haber incertidumbre o inexactitudes en algunos de

los datos que fueron usados en el modelo. En la solución de un problema

del mundo real lo anterior es la norma en lugar de la excepción. Muchas

veces el gerente desea saber: ¿Qué tan sensible es la solución a los datos

inexactos?, ¿ Qué sucede con la solución óptima si cambiamos la estimación

de un recurso en un 10 o en un 15%?, ¿Variará el valor objetivo o

permanecerá más o menos invariable?. Es obvio que la respuesta a

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preguntas como las anteriores ayudarán a determinar la credibilidad de las

recomendaciones del modelo.

Aunque algunas de las consideraciones precedentes pueden ser

desarrolladas solo informalmente, para fortuna tenemos a nuestra

disposición un instrumento riguroso y preciso. Estos instrumentos están en

el dominio del análisis paramétrico, análisis de sensitividad, análisis de

sensibilidad o análisis de post optimidad. Todos estos términos significan

esencialmente lo mismo y reviste tal significación que todo este tema se

desarrollará a la comprensión de la información sobre la sensibilidad

contenida en la solución calculada de un problema de programación lineal.

Enfoque General del Análisis de Sensibilidad

El trabajo del equipo de investigación de operaciones recién se inicia cuando

se ha aplicado con éxito el método simplex para identificar una solución

óptima. El cual es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la

solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir

mejorando más dicha solución.

Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el

método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al

anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (o

de las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el

número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la

solución. El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la

función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay

una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

Una suposición de programación lineal es que todos los parámetros del

modelo (aij, bi y cj) son constantes conocidas. En realidad, los valores de

los parámetros que se usan en este modelo son sólo estimaciones basadas

en una predicción de las condiciones futuras. Los datos obtenidos para

desarrollar estas estimaciones con frecuencia son bastante imperfectos o no

existen, es por esta razón que los parámetros de la formulación original

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pueden representar poco más que algunas pequeñas reglas proporcionadas

por el personal de línea el que tal vez se sintió presionado para dar su

opinión. Los datos pueden incluso representar estimaciones optimistas o

pesimistas que protegen los intereses de los estimadores.

Por todo esto, un gerente razonable y el personal de investigación de

operaciones mantendrán cierto escepticismo respecto a los valores

originales entregados por el computador y, en los muchos casos, los

considerarán solamente como un punto de inicio para el análisis posterior

del problema. Una solución "óptima" es óptima nada más en lo que se

refiere al modelo específico que se está usando para representar el

problema real, y tal solución no se convierte en una guía confiable para la

acción hasta que se verifica que su comportamiento es bueno para otras

representaciones razonables del problema. Aún más, algunas veces los

parámetros del modelo (en particular bi) se establecen como resultado de

decisiones por políticas gerenciales, y estas decisiones deben revisarse

después de detectar sus consecuencias.

Estas son las razones por las cuales es importante llevar a cabo un análisis

de sensibilidad, para investigar el efecto que tendría sobre la solución

óptima proporcionada por el método simplex el hecho de que los

parámetros tomaran otros valores posibles. En general, habrá algunos

parámetros a los que se les pueda asignar cualquier valor razonable sin que

afecten la optimalizad de la solución. Sin embargo, también existirán

parámetros con valores probables que nos lleven a una nueva solución

óptima. Esta situación es particularmente preocupante, si la solución

original adquiere valores sustancialmente inferiores en la función objetivo, o

tal vez no factibles.

Por lo tanto, el objetivo fundamental del análisis de sensibilidad es

identificar los parámetros sensibles, (por ejemplo, los parámetros cuyos

valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima). Para ciertos

parámetros que no están clasificados como sensibles, también puede

resultar de gran utilidad determinar el intervalo de valores del parámetro

para el que la solución óptima no cambia. (Este intervalo de valores se

conoce como intervalo permisible para permanecer óptimo). En algunos

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casos, cambiar el valor de un parámetro puede afectar la factibilidad de la

solución óptima. Para tales parámetros, es útil determinar el intervalo de

valores para el que la solución óptima (con los valores ajustados de las

variables básicas) seguirá siendo factible. (Este intervalo recibe el nombre

de intervalo permisible para permanecer factible).

La información de este tipo es invaluable en dos sentidos. Primero,

identifica los parámetros más importantes, con lo que se puede poner un

cuidado especial al hacer sus estimaciones y al seleccionar una solución que

tenga un buen desempeño para la mayoría de los valores posibles.

Segundo, identifica los parámetros que será necesario controlar de cerca

cuando el estudio se lleve a la práctica. Si se descubre que el valor real de

un parámetro se encuentra fuera de su intervalo de valores permisibles,

ésta es una señal de que es necesario cambiar la solución.

En esencia, la idea fundamental revela de inmediato la forma en que los

cambios al modelo original alterarían los números de la tabla simplex final

(si se supone que se duplica la misma secuencia de operaciones algebraicas

que realizó el método simplex la primera vez). Por lo tanto, después de

hacer unos cuantos cálculos para actualizar esta tabla simplex, se puede

verificar con facilidad si la solución óptima original ahora es no óptima (o no

factible). Si es así, esta solución se usará como solución básica inicial para

comenzar de nuevo el método simplex (o el simplex dual) para encontrar

una nueva solución óptima, si se desea. Si los cambios realizados en el

modelo no son cambios mayores, sólo se requerirán unas cuantas

iteraciones para obtener la nueva solución óptima a partir de esta solución

básica inicial "avanzada".

El tratamiento general en el análisis de sensibilidad consiste es suponer que

un modelo de programación lineal ha sido resuelto para después investigar

el efecto de hacer cambios en el modelo. Es decir se investiga los efectos

que tendría sobre la solución óptima y el valor objetivo óptimo, el hecho de

que los parámetros de la función objetivo y restricciones tomaran otros

valores posibles.

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El Análisis de Sensibilidad consiste en determinar que tan sensible es la

solución óptima, con respecto a los cambios en los datos del problema, es

decir, los coeficientes en la Función Objetivo y en las Restricciones. Para

ello se basa en la suposición de que todos los datos del problema, con

excepción de una parte, se conservan fijos y se pide información sobre el

efecto del cambio en esta parte de los datos a los que se permite variar. La

información solicitada incluye: el efecto sobre el valor óptimo, el efecto

sobre la solución óptima y el efecto sobre la región factible. En general

habrá algunos parámetros a los que se les pueda asignar cualquier valor

razonable sin que afecte la optimidad de esta solución. Sin embargo,

también habrá parámetros con valores probables que lleven a una nueva

solución óptima. Analiza la forma en que cambiara (si lo hace) la solución

derivada del problema cuando el valor asignado al parámetro cambia por

otros valores posibles.

El Análisis de Sensibilidad también es denominado Análisis de Post-

optimización. Esto por dos razones. La primera es quelas interpretaciones

se refieren siempre a la solución optima en curso. La segunda, que la

mayoría de los cálculos se realizan después de que se ha obtenido la tabla

optima.

La base para aplicar este enfoque es identificar los posibles escenarios del

modelo analiazado, los cuales se clasifican en los siguientes:

��Pesimista: Es el peor panorama del problema, es decir, es el resultado

en caso del fracaso total del modelo.

��Probable: Éste sería el resultado más probable que supondríamos en el

análisis del modelo, debe ser objetivo y basado en la mayor información

posible.

��Optimista: Siempre existe la posibilidad de lograr más de lo que

proyectamos, el escenario optimista normalmente es el que se presenta

para motivar a los inversionistas a correr el riesgo.

Entre algunos de los aspectos más distintivos del análisis de sensibilidad se

tienen los siguientes:

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�Identifica los parámetros sensibles del modelo, es decir, los

parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la

solución óptima.

�Se justifican debido a que: los datos que sustentan el problema

pueden ser inexactos y por variación natural de la situación, más

cuando consideramos que el modelo es una abstracción simplificada

de la situación real que se está estudiando.

�Se efectúa para no tener que resolver nuevamente el problema

ante pequeños cambios controlados.

�Identifica los parámetros que serán necesarios controlar muy de

cerca cuando el estudio se ponga en marcha. Identifica los

parámetros más importantes, con lo que se puede poner un cuidado

especial para hacer estimaciones cercanas y selecciona una solución

que tenga un buen desempeño para la mayoría de los valores

posibles.

�Indica cuales son los coeficientes que afectan más

significativamente la solución óptima del problema.

Objetivo principal del análisis de sensibilidad

Establecer un intervalo de valores en el cual el parámetro que se analiza

puede estar contenido, de tal manera que la solución sigue siendo óptima

siempre que el parámetro pertenezca a dicho intervalo.

Los parámetros cuyos cambios son objetos del análisis de sensibilidad

incluyen:

1. Los coeficientes de la función objetivo

2. Los valores del lado derecho de las restricciones.

La información de este tipo es invaluable en dos sentidos. Primero,

identifica los parámetros más importantes, con lo que se debería poner un

cuidado especial al hacer sus estimaciones y al seleccionar una solución que

tenga un buen desempeño para la mayoría de los valores posibles.

Segundo, identifica los parámetros que será necesario controlar de cerca

cuando el estudio se lleve a la práctica. Si se descubre que el valor real de

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un parámetro se encuentra fuera de su intervalo de valores permisibles,

ésta es una señal de que es necesario cambiar la solución.

En esencia, la idea fundamental revela de inmediato la forma en que los

cambios al modelo original alterarían los números de la tabla simplex final

(si se supone que se duplica la misma secuencia de operaciones algebraicas

que realizó el método simplex la primera vez). Por lo tanto, después de

hacer unos cuantos cálculos para actualizar esta tabla simplex, se puede

verificar con facilidad si la solución óptima original ahora es no óptima (o

no factible). Si es así, esta solución se usará como solución básica inicial

para comenzar de nuevo el método simplex (o el simplex dual) para

encontrar una nueva solución óptima, si se desea. Si los cambios realizados

en el modelo no son cambios mayores, sólo se requerirán unas cuantas

iteraciones para obtener la nueva solución óptima a partir de esta solución

básica inicial "avanzada".

Interpretación Gráfica del Análisis de Sensibilidad

Para la interpretación gráfica del análisis de sensibilidad vamos a estudiar

inicialmente los cambios que se suscitan en los coeficientes objetivos y

posteriormente los cambios generados en los valores del lado derecho de

las restricciones.

Cambios en los Coeficientes Objetivos.

Supóngase que los datos de las restricciones permanecen invariables y que

solo se cambian los coeficientes de la función objetivo. Entonces el único

efecto en el modelo, desde el punto de vista geométrico, es que cambia la

pendiente de la recta de la ecuación objetivo; algunos cambios en los

coeficientes de la función objetivo no alteran la solución óptima, aun cuando

la recta tenga una pendiente diferente. El cambio en el Cj de una variable

se interpretaría, por ejemplo, como en incremento en el precio de un

producto para un objetivo de maximización, o como la disminución en el

costo de una materia prima para un objetivo de minimización.

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Finalmente, se estudiará por separado si la modificación en el Cj es para

una variable no básica o para una básica, ya que las consecuencias en cada

caso son muy diferentes. En síntesis los coeficientes de la función objetivo

pueden modificar la pendiente del contorno de esta. Esto puede afectar o no

a la solución optima y al valor optimo de la función objetivo.

Cambios en los valores del lado derecho de las restricciones.

Desde el punto de vista geométrico, puede verse que un cambio en el

segundo miembro de una restricción ocasiona un deslizamiento paralelo en

la recta de restricción modificada. Puede experimentarse asignando

diferentes valores a este segundo miembro y a los segundos miembros de

los otros lados para apreciar la diversidad de regiones factibles de

diferentes aspectos que pueden surgir de tan simples perturbaciones.

Resulta claro que el cambio del valor de un segundo miembro puede tener

un profundo efecto sobre la solución, este produce un desplazamiento

paralelo de la restricción modificada. Esto puede afectar tanto a la solución

óptima como al Valor Optimo del objetivo. El efecto dependerá de cual

restricción y en cuanto se ha alterado el valor del segundo miembro.

En síntesis:

��Aun el cambio más pequeño en el valor del lado derecho de una

restricción pudiera ocasionar que la solución óptima cambie.

��Mientras el valor caiga dentro de algún intervalo alrededor de su valor

original, el valor óptimo de la función objetivo cambia en forma lineal en

proporción con el cambio en el valor del lado derecho, de acuerdo con el

Precio Dual.

��El menor cambio en el lado derecho de una restricción, tiene como

resultado un cambio en la región factible.

Limitando (estrechando) y relajando una restricción de desigualdad

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Relajación de una restricción

Se refiere a un cambio en el segundo miembro de una restricción que la

hace más fácil de satisfacer. Esto se hace mediante la disminución del

segundo miembro de una restricción ≥ o aumentando el segundo miembro

de una restricción ≤.

Al relajar a una restricción de desigualdad o bien se expande el conjunto

restringido o posiblemente quede inalterado.

Estrechar (Limitar) una restricción

Se refiere a los cambios de segundo miembro de una restricción de

desigualdad que la hace más difícil de satisfacer. Limitar una desigualdad

significa hacerla más difícil de satisfacer. Para una restricción ≥ esto

significa aumentar el segundo miembro de la desigualdad. Para una

restricción ≤ significa disminuirlo.

Al limitar una restricción de desigualdad, o bien se contrae el conjunto

restringido o posiblemente quede inalterado.

Restricciones Activas e Inactivas

Las restricciones activas son aquellas para las cuales los valores óptimos de las

variables superfluas o de holgura son nulos, es decir son recursos escasos, se están

empleando completamente. Las restricciones activas contienen la solución óptima

del modelo.

Las restricciones inactivas son aquellas para las que los valores óptimos de las

variables superfluas o de holgura son positivos, por ello son recursos sobrantes.

En cualquier modelo de programación lineal, para un conjunto fijo de datos, las

restricciones inactivas pueden ser alteradas sin afectar la solución óptima. La

solución óptima depende por completo de las restricciones activas.

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Restricciones Redundantes

Una restricción es redundante cuando al ser retirada no cambia la región factible.

Cuando no se puedan expulsar forzadamente todas las variables artificiales de la

solución, las restricciones asociadas a las variables artificiales que no se pudieron

forzar a salir de la solución óptima, son restricciones redundantes analíticamente. La

redundancia analítica implica que esa restricción se puede expresar como una

combinación lineal de las otras restricciones involucradas en la solución óptima y

por ello no es necesario que aparezca.

Es muy posible que una restricción redundante para un conjunto dado de datos no

lo sea cuando se cambian algunos de los datos.

Adición y supresión de restricciones

La adición de restricciones hace que la región factible quede inalterada o se acorte.

Esta o bien empeora el Valor Optimo o lo deja inalterado.

Al suprimir restricciones la región factible queda inalterada o aumenta. Esta o bien

mejora el Valor Optimo o lo deja inalterado.

Resolución de Modelos de Programación Lineal con la Computadora

(algunos software de interés)

El paquete LINDO es un software muy utilizado para problemas de PL. Se puede

bajar una versión para Windows gratuita en la página Home de LINDO en

http://www.lindo.com. En este sitio se explica cómo ejecutar e interpretar los

resultados del paquete LINDO.

SOLVER es un paquete agregado a Excel que sirve para optimizar los modelos

matemáticos sujetos a restricciones como PL. SOLVER emplea algoritmos

matemáticos para encontrar las soluciones óptimas (método simplex). Lo único que

tenemos que hacer es presentar el modelo en la hoja de cálculo de manera

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adecuada. De hecho SOLVER puede hacer mucho más, él puede resolver también

modelos no lineales.

SOLVER Consiste en dos programas: el primero es un programa de Visual Basic para

Excel el cual traduce el modelo escrito en la hoja de cálculo en una representación

interna al segundo programa que reside en la memoria fuera de Excel, éste realiza la

optimización y luego devuelve al primero la solución encontrada para actualizar la

hoja de cálculo. SOLVER se encuentra en el menú Herramientas de Excel, si este no

se encuentra allí, vaya a complementos y márquelo para traerlo al menú de

Herramientas, si tampoco se encuentra allí debe volver a instalar Excel.

Es importante mencionar que SOLVER también tiene su propia terminología, por

ejemplo: para la función objetivo se tiene celda objetivo, para las variables de

decisión se tiene cambiando las celdas, para el modelo de PL se tiene asumir modelo

lineal y para las restricciones se tiene también restricciones.

Análisis de la salida del computador para un problema de

Programación Lineal

Cuando se resuelve un programa lineal, la salida de la computadora contiene la

siguiente información:

1. Se dan los valores óptimos de las variables de decisión, las variables de

holgura y superfluas así como de la función objetivo. Del valor optimo de las

variables de holgura y superfluas se puede deducir rápidamente el valor de

las funciones de restricción (la cantidad de recursos usados, los niveles de

requerimientos satisfechos, etc.) y una solución optima. Las restricciones

con cero holguras o superflua son llamadas activas; obligatorias o efectivas.

Las que tengan valores de holgura o superfluas positivas se llamaran

inactivas.

2. El precio dual dice la tasa de mejora del Valor Optimo de la función objetivo,

cuando el segundo miembro de una restricción aumenta. “Mejora” significa

aumento en un modelo de maximización y disminución en un modelo de

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minimización de Rangos del Segundo Miembro dan un rango admisible en

los cambios del vector de disponibilidad de recursos sobre los cuales el

precio dual es válido. El precio dual es mencionado con frecuencia como

variable dual, precios sobra, precio imagen o precio ingresado.

3. Rangos del Coeficiente Objetivo, proporciona los cambios admisibles que se

pueden hacer a los coeficientes de la función objetivo sin que cambie la

solución óptima (los valores óptimos de las variables). Bajo condiciones

normales (se dice no degeneradas), si un coeficiente de la función objetivo

se modifica en una cantidad igual al cambio admisible, habrá una solución

óptima alternativa con nuevos valores para los variables. Si el coeficiente

cambia una cantidad que exceda el cambio admisible, habrá una nueva

solución óptima (suponiendo no degeneración).

4. “Salida de costos reducidos” se aplica a las variables de decisión cuyo valor

óptimo es cero. Proporciona la misma información que los Rangos de los

Coeficientes Objetivos para estas variables.

En conclusión, se debe anotar que el formato usado en la solución de problemas de

programación lineal difiere en detalles menores de un paquete de “software” a

otro. Sin embargo, la solida comprensión de un sistema prepara a uno para trabajar

con cualquier sistema con mínimo esfuerzo.

Análisis de la Solución óptima: Valor Objetivo óptimo, valor óptimo

de las variables, costos reducidos, precios duales (sombras).

��COSTO REDUCIDO: Es lo que se debe mejorar, el coeficiente de la función

objetivo de la variable no básica antes de que esta se convierta en una

variable básica en alguna solución optima del P.L también se puede decir,

que es la tasa neta de decremento del valor objetivo optimo que se obtiene

al incrementar la variable no básica asociada.

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En una solución óptima no degenerada (el número de variables de la forma

estándar para restricciones de igualdad con valores óptimos positivos es

igual al número de restricciones), el costo reducido de cualquier variable de

decisión particular se define como la cantidad en que debe cambiar el

coeficiente de esa variable en la función objetivo para tener un valor optimo

positivo para esa variable. De esta manera, si una variable es ya positiva en el

punto optimo, su costo reducido será cero. Si el valor óptimo de una variable

es cero, entonces, la definición de costos reducidos, puede verse que este es

el “aumento admisible” o la “disminución admisible”.

Considere ahora una solución degenerada (el número de variables de la

forma estándar para restricciones de igualdad con valores óptimos positivos

es menor al número de restricciones) con una variable de decisión cuyo valor

optimo sea cero. El coeficiente de esa variable en la función objetivo debe

ser cambiado por lo menos en (y posiblemente mas) el costo reducido, con

el objeto de que haya una solución opima en la que la variable aparezca a

nivel positivo.

Cuando se resuelve un problema por computadora la salida contiene la

siguiente información: Se dan los valores óptimos de las variables de

decisión, las variables de holgura y superfluas (variables que se usan para

convertir una restricción de desigualdad en una de igualdad) así como de la

función objetivo. Del valor optimo de las variables de holgura y superfluas se

puede deducir rápidamente el valor de las funciones de restricción (la

cantidad de recursos usados, los niveles de requerimientos satisfechos, etc.)

y una solución optima. Las restricciones con cero holguras o superfluas son

llamadas activas; obligatorias o efectivas. Las que tengan valores de holgura

o superfluas positivos se llamaran inactivas.

��PRECIO SOMBRA O PRECIO DUAL: Es la cantidad en la que se mejora el valor

optimo de Z si el lado derecho de la restricción se incrementa una unidad

(suponiendo que la base sigue siendo optima).

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El precio dual dice la tasa de mejora del VO (valor óptimo de la función

objetivo) cuando el segundo miembro de una restricción aumenta. “Mejora”

significa aumento en un problema de maximización y disminución en un

problema de minimización de RANGOS DEL SEGUNDO MIEMBRO dan un

rango admisible en los cambios del vector de disponibilidad de recursos

sobre los cuales el precio dual es válido. El precio dual es mencionado

comúnmente como variable dual, precio imagen o precio ingresado.

Los rangos de la función objetivo proporcionan los cambios admisibles que

se pueden hacer en los coeficientes de la función objetivo sin que cambie la

solución óptima (los valores óptimos de las variables). Bajo condiciones

normales (se dice no degenerada9, si un coeficiente de a función objetivo se

modifica en una cantidad igual al cambio admisible, habrá una solución

optima alternativa con nuevos valores para las variables. Si el coeficiente

cambia una cantidad que exceda el cambio admisible, habrá una nueva

solución óptima (suponiendo la no degeneración).

La salida de costos reducidos se aplica a variables de decisión cuyo valor

óptimo es cero. Proporciona la misma información que los rangos de los

coeficientes objetivos para estas variables.

ANÁLISIS DE CASO

Protac Inc. Produce dos líneas de equipo pesado. Una de estas líneas de productos

(llamada equipo de remoción de escombros) se destina esencialmente a las

aplicaciones de construcción. La otra línea (llamada equipos forestales) está

destinada a la industria maderera. El miembro más grande de la línea de equipos

para remover escombros (el E-9) y el mimbro mayor de la línea de equipos

forestales (el F-9) se producen en el mismo departamento y con el mismo equipo.

Haciendo uso de las predicciones económicas para el próximo mes, el gerente de

mercadotecnia de Protac juzga que durante ese periodo será posible vender todos

los E-9 y F-9 que la empresa pueda producir. La administración debe ahora

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recomendar una cedula de producción para el próximo mes. Es decir ¿Cuántos E-9s y

F-9s deben producirse?

CONSIDERACIONES PRINCIPALES

1. Protac tendrá una utilidad de $5000 por cada E-9 que se venda y $4000 por

cada F-9.

2. Cada producto pasa por operaciones mecánicas tanto en el departamento A

como en el departamento B.

3. Para la producción del próximo mes, estos dos departamentos tienen

disponibles 150 y 160 horas, respectivamente. Cada E-9 consume 10 horas de

operación mecánica en el departamento A y 20 horas en el departamento B,

mientras que cada F-9 consume 15 horas en el departamento A y 10 horas en

el departamento B.

Departamento Para los E-9 Para los F-9 Total

Disponible

A 10 15 150

B 20 10 160

4. Con el objeto de cumplir un compromiso con el sindicato, el total de horas de

trabajo que se dedicaran a la comprobación del acabado de los productos

terminados del próximo mes no puede ser menor en 10% a una meta

establecida de 150 horas. Esta comprobación se realiza en un tercer

departamento que no tiene relación de las actividades del departamento A y

B. Cada E-9 requiere 30 horas de comprobación y cada F-9 10. Puesto que el

10% de 150 es 15, el total de horas de trabajo destinadas a la comprobación no

puede ser de menos de 135.

1 E-9 1 F-9 Requerimientos

en total de horas

Horas para 30 10 135

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comprobación

5. Con el objeto de mantener su posición actual en el mercado la alta gerencia

ha decretado que para la política de operaciones es necesario construir al

menos un F-9 por cada 3 E-9s.

6. Un consumidor principal ha ordenado un total de por lo menos cinco

aparatos (en cualquier combinación de E-9s y F-9s) para el próximo mes, así

que por lo menos debe producirse esa cantidad.

Max 5000E + 4000F

S.a:

E + F ≥ 5 (Requerimiento mínimo de Producción)

E – 3F ≤ 0 (Balance de Posición en el mercado)

10E + 15F ≤ 150 (Capacidad del Departamento A)

20E + 10F ≤ 160 (Acuerdo Contractual del Departamento B)

30E + 10F ≥ 135 (Acuerdo Contractual de Trabajo)

E, F ≥ 0 (Condiciones de no negatividad)

10E + 15F =150

Fig. 1. Conjunto factible completo.

CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA

Supóngase que los datos de las restricciones permanecen invariables y que solo

cambian los coeficientes de la función objetivo. Entonces el único efecto en el

modelo desde el punto de vista geométrico es que cambia la pendiente de la recta

de utilidades a tal grado que se obtiene un nuevo vértice como solución. Algunos

cambios en los coeficientes de la

aun cuando la recta de utilidades tenga una pendiente diferente.

Por ejemplo, vamos a reemplazar la antigua

nueva Función Objetivo 4000E + 5000F, esta asigna un a redituabilidad mas baja a

los E-9 y más alta a los F-9.

Ahora hay tres Funciones Objetivo diferentes:

IENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO

que los datos de las restricciones permanecen invariables y que solo



que se obtiene un nuevo vértice como solución. Algunos

cambios en los coeficientes de la Función Objetivo no alteran la solución óptima,

aun cuando la recta de utilidades tenga una pendiente diferente.

Por ejemplo, vamos a reemplazar la antigua Función Objetivo 5000E + 4000F con la

Objetivo 4000E + 5000F, esta asigna un a redituabilidad mas baja a

Ahora hay tres Funciones Objetivo diferentes:

5000E + 4000F

4000E + 5000F

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que los datos de las restricciones permanecen invariables y que solo



que se obtiene un nuevo vértice como solución. Algunos

Objetivo no alteran la solución óptima,

jetivo 5000E + 4000F con la

Objetivo 4000E + 5000F, esta asigna un a redituabilidad mas baja a

Fig. 2. Modelo de Protac, Inc. Con los contornos de tres funciones de utilidades diferentes y las

correspondientes soluciones.

Se muestra que las pendientes negativas asociadas con los contornos de cada una

de las tres funciones llegan a ser progresivamente menos inclinados (los contornos

van siendo más horizontales) cuando la redituabilidad de los F

respecto a los E-9s [es decir, cuando la razón (coeficiente de F/ coeficiente de E)

aumenta].

Sin embargo, aunque los objetivos 5000E + 4000F y 4000E + 5000F tienen

contornos diferentes pendientes, estas no son lo bastantes diferentes para darnos

un nuevo vértice como solución. Para cada uno de esos dos nuevos objetivos la

solución optima es la misma, en concreto E*= 4,5 y F*= 7,0.

Por otra parte, es importante observar que en este caso la utilidad

En el caso anterior se tenía:

5000E + 10000F

Modelo de Protac, Inc. Con los contornos de tres funciones de utilidades diferentes y las



horizontales) cuando la redituabilidad de los F-9 aumenta con

9s [es decir, cuando la razón (coeficiente de F/ coeficiente de E)



ución. Para cada uno de esos dos nuevos objetivos la

solución optima es la misma, en concreto E*= 4,5 y F*= 7,0.

Por otra parte, es importante observar que en este caso la utilidad óptima

Función Objetivo = 5000E + 10000F

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Modelo de Protac, Inc. Con los contornos de tres funciones de utilidades diferentes y las



9 aumenta con

9s [es decir, cuando la razón (coeficiente de F/ coeficiente de E)



ución. Para cada uno de esos dos nuevos objetivos la

óptima difiere.

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Utilidad optima = 5000E* + 4000F*

= 5000(4,5) + 4000 (7) = 50,500

Mientras que en el último caso

Utilidad optima = 4000E* + 5000F*

= 4000(4,5) + 5000 (7) = 51,200

CAMBIOS EN EL SEGUNDO MIEMBRO

Pasemos por alto la Función Objetivo y concentrémonos en el segundo miembro de

las funciones de restricción. Nuevamente el análisis grafico explicara con claridad

los efectos de los cambios en los parámetros. Como ejemplo específico vamos a

suponer que la quinta restricción del modelo de Protac Inc.:

30E + 10F ≥ 135 (Contrato de Trabajo) (a)

Transforma en:

30E + 10F ≥ 210 (b)

Puesto que 135 es un numero más pequeño que 210 la expresión (a) es más fácil de

satisfacer que (b). Por ejemplo, el par (E=3; F=5) satisface a (a) porque

30E + 10F = 30(3) + 10(5)= 90 + 50 = 140

Puesto que 140 ≥ 135 queda satisfecha (a). Pero 140 es menor que 210 y por lo tanto

el par (E=3; F=5) no satisface la condición (b), las condiciones más escasas de

valores E y F satisfacen la igualdad (b). Debido a esto, es razonable esperar que el

cambio de (a) a (b) podría, en cierto sentido “recortar” la región factible.

Desde el punto de vista geométrico, puede verse que un cambio en el segundo

miembro de una restricción ocasiona un deslizamiento paralelo en la recta de

restricción. Entonces en este caso, el razonamiento anterior sugiere que al cambiar

el segundo miembro de 135 a 210, la quinta recta de restricción se desliza

que se elimine una parte de la región factible.

Fig. 3 Análisis Gráfico del modelo original.

Esta figura muestra el conjunto original de restricciones rotuladas de (1) a (5).

el segundo miembro de 135 a 210, la quinta recta de restricción se deslizara de modo

que se elimine una parte de la región factible.

Análisis Gráfico del modelo original.

el conjunto original de restricciones rotuladas de (1) a (5).

20

ra de modo

el conjunto original de restricciones rotuladas de (1) a (5).

21

Fig. 4 Análisis Gráfico del modelo con un nuevo segundo miembro para la quinta restricción.

Esta figura muestra el nuevo conjunto de restricciones en el que la quinta restricción

(a) ha sido reemplazada por (b). Aunque desde el punto de vista geométrico el

conjunto de restricciones del análisis grafico del modelo con un nuevo segundo

miembro luce bastante deferente del modelo original, lo único que se ha hecho es

deslizar la restricción rotulada como (5) alejándola del origen hacia su nueva

posición. Puede experimentarse asignando diferentes valores a este segundo

miembro y a los segundos miembros de los otros lados para apreciar la diversidad

de regiones factibles de diferente aspecto que pueden surgir de tan simples

perturbaciones.

Analizando ahora el grafico del modelo con un nuevo segundo miembro para la

quinta restricción. Se muestra la solución optima para la Función Objetivo 5000E +

4000F. Comparando esto con el análisis grafico del problema original puede verse

que la solución del nuevo problema es enteramente diferente de la anterior.

Tenemos:

Problema Anterior:

Restricciones Activas: (3) y (4)

Restricciones Inactivas: (1), (2) y (5)

Solución (Resolviendo las restricciones activas):

E*= 4,5; F*= 7

Utilidad Optima= VO= 50,500

Nuevo Problema:

Restricciones Activas: (4) y (5)

Restricciones Inactivas: (1), (2) y (3)

22

Solución:

Restricciones (4): 20E + 10F = 160

Restricciones (5): 30E + 10F = 210

-10E = -50

E = 5

Sustituyendo: 20(5) + 10F = 160

F = 6

Por lo tanto, E*= 5; F*=6

Utilidad Optima= VO= 5000E* + 4000F*

= 5000(5) + 4000(6)= 49000

LIMITANDO Y DISMINUYENDO UNA RESTRICCIÓN DE DESIGUALDAD

En el punto anterior hemos comparado las dos restricciones:

30E + 10F ≥ 135 (a)

30E + 10F ≥ 210 (b)

Hacemos notar que todas las restricciones son de forma ≥, y dado que el segundo

miembro de la desigualdad (b) es mayor que el de (a), la primera es más difícil de

satisfacer.

Este proceso de aumentar el segundo miembro de una restricción ≥ se llama limitar

la restricción. La restricción (b) está más limitada que la (a) en forma análoga, si el

segundo miembro de una restricción ≤ disminuye, la restricción se vuelve más difícil

de satisfacer y por lo tanto resulta más limitada.

23

Supóngase que en vez de aumentar el segundo miembro de (a) lo disminuimos de

modo que:

30E + 10F ≥ 100 (c)

Puede verse que, como el segundo miembro de la desigualdad es un número más

pequeño y como (c) es una restricción ≥, hay más combinaciones de valores de E y F

que la satisfacen, la restricción resulta más fácil de satisfacer. Este proceso de

disminuir el segundo miembro de una restricción ≥ se llama disminuir la restricción.

La restricción (c) esta más disminuida que la (a). De igual manera, si se aumenta el

segundo miembro de una restricción ≤ se vuelva más fácil de satisfacer y por lo

tanto esta mas disminuida.

En general, estos resultados son verdaderos para desigualdades de restricción y no

dependen de la dimensión del modelo (el numero de variables de decisión) o si la

restricción es de la forma ≤ o ≥. Los efectos de limitar (disminuir) varias restricciones

a la vez también contrae (expande) o, posiblemente, dejen inalterada la región

factible. Sin embargo, si unas restricciones se estrechan mientras que otras se

aflojan simultáneamente, es poco lo que se puede decir sobre el resultado.

RESTRICCIONES REDUNDANTES

Una restricción como la número 1 de la grafica 2 se llama redundante. Aunque hay 5

restricciones graficadas en esta figura, solo se requieren cuatro para definir la

región factible. Esto se debe a que, como claramente lo indica el dibujo, cualquier

combinación de E y F que satisfaga las restricciones rotuladas como (2), (3), (4) y

(5), automáticamente satisfará la restricción marcada con (1).

Puesto que una restricción redundante puede ser descartada por definición, sin

cambio en la región factible, su eliminación no afectara a la solución óptima del

problema.

Es importante destacar:

1. Las restricciones redundantes generalmente no son muy fáciles de

reconocer. Aun el caso simple de problemas con dos variables de decisión, si

se está mirando solo la forma algebraica del modelo

restricciones redundantes no se destacan de inmediato. Por ejemplo, no es

evidente a partir de la formulación

redundante en el modelo en estudio. La representación grafica, por

supuesto, lo hace claro en este problema bidimensional.

2. Una restricción que es redundante hoy podría no serlo mañana. Por ejemplo,

supongamos que el administrador de Protac, Inc. decide explorar los efectos

de una nueva política de decisión que produzca 7 unidades de E y F en lugar

de 5. Entonces el segundo mie

vez de 5.

Fig. 5. Limitación a la quinta restricción.

3. En esta figura se muestra con línea punteada la grafica de la primera

restricción modificada. En otras palabras, al estrechar el requerimiento de 5 a

7 nos obliga a recortar algunas de las decisiones originalmente admisibles.

Las restricciones redundantes generalmente no son muy fáciles de


mirando solo la forma algebraica del modelo matemático


evidente a partir de la formulación matemática que la restricción E + F


supuesto, lo hace claro en este problema bidimensional.

Una restricción que es redundante hoy podría no serlo mañana. Por ejemplo,


nueva política de decisión que produzca 7 unidades de E y F en lugar

de 5. Entonces el segundo miembro de la primera restricción cambiara a 7 en

Limitación a la quinta restricción.

En esta figura se muestra con línea punteada la grafica de la primera


nos obliga a recortar algunas de las decisiones originalmente admisibles.

24

Las restricciones redundantes generalmente no son muy fáciles de


matemático, las


que la restricción E + F ≥ 5 sea


Una restricción que es redundante hoy podría no serlo mañana. Por ejemplo,


nueva política de decisión que produzca 7 unidades de E y F en lugar

cambiara a 7 en

En esta figura se muestra con línea punteada la grafica de la primera


nos obliga a recortar algunas de las decisiones originalmente admisibles.

Por esta razón es frecuente que una restricción redundante permanezca en

un modelo.

ADICIÓN Y SUPRESIÓN DE RESTRICCIONES

Aplicando el análisis en el modelo de Protac, Inc. suprimir

(1) (la restricción redundante) puede no tener efecto en el modelo. Suprimir la

restricción (2) permite que se agrande la región factible. Suprimir la restricción (5)

permite un mayor crecimiento. Entonces, en general, al suprimi

región factible queda inalterada o aumenta.

Ya se ha observado el efecto de

efecto durante el desarrollo de la grafica del conjunto restringido del modelo de la

Protac, Inc. Recuérdese que la superposición de restricciones sucesivas tiene el

efecto de “recortar” el conjunto restringido.

Puesto que la adición de restricciones puede ocasionar que se “acorte” la región

factible, agregar una nueva restricción a un modelo puede causar que se recorte

una pieza del conjunto restringido que contenga la solución optima previa. Si esto

ocurre el resultado será un Valor Optimo reducido en el nuevo problema.


ESTRICCIONES

Aplicando el análisis en el modelo de Protac, Inc. suprimir la restricción marcada con



permite un mayor crecimiento. Entonces, en general, al suprimir restricciones la

región factible queda inalterada o aumenta.

Ya se ha observado el efecto de agregar restricciones al modelo. Se mostro este



efecto de “recortar” el conjunto restringido.

de restricciones puede ocasionar que se “acorte” la región



tado será un Valor Optimo reducido en el nuevo problema.

25


la restricción marcada con



r restricciones la

restricciones al modelo. Se mostro este



de restricciones puede ocasionar que se “acorte” la región



tado será un Valor Optimo reducido en el nuevo problema.

26

Fig. 6. Adición de una sexta restricción.

En la figura se ha agregado una sexta restricción de desigualdad al modelo de

Protac, Inc.

La región sombreada enmarca la parte del conjunto restringido que se elimino

mediante la adición de la restricción marcada con (6). La dirección “cuesta arriba”

del diagrama es hacia el noroeste y la nueva línea de utilidades máximas no está tan

“cuesta arriba” como la anterior. Por lo tanto, la imposición de una nueva

restricción ha conducido a una reducción en la utilidad óptima.

Entre mayor sea el numero de restricciones, mayor será la probabilidad de que el

valor del objetivo optimo sea menos deseable.

La adición y supresión de restricciones dan resultados análogos a los de limitar o

disminuir a las restricciones de desigualdad, sobre los efectos de la región factible y

el valor optimo del objetivo.

ANÁLISIS DEL PROBLEMA DE LA PROTAC INC. POR COMPUTADORA

En esta sección usaremos la computadora para analizar el problema de la Protac Inc.

La comprensión de lo que se esta leyendo sobre los resultados obtenidos por la

computadora depende de la correlación que se haga, siempre que sea posible, de

los conceptos que se presenten con las nociones geométricas ya desarrolladas.

Para una fácil referencia vamos a reproducir aquí el modelo junto con el análisis

grafico expuesto:

Max 5000E + 4000F

S.a:

E + F ≥ 5 (Requerimiento mínimo de Producción) (1)

E – 3F ≤ 0 (Balance de Posición en el mercado) (2)

10E + 15F ≤ 150 (Capacidad del Departamento A) (3)

20E + 10F ≤ 160 (Acuerdo Contractual del Departamento B) (4)

30E + 10F ≥ 135 (Acuerdo Contractual de Trabajo) (5)

E, F ≥ 0 (Condiciones de no negatividad)

Como ya hemos observado, el análisis grafico produce solución optima E*=4,5;

F*=7.

Fig. 7. Nueva visita a Protac, Inc.

Para el modelo tenemos:

VO= utilidad máxima= 5000E* + 4000F*

0 (Balance de Posición en el mercado) (2)

≤ 150 (Capacidad del Departamento A) (3)

≤ 160 (Acuerdo Contractual del Departamento B) (4)

≥ 135 (Acuerdo Contractual de Trabajo) (5)

≥ 0 (Condiciones de no negatividad)

ya hemos observado, el análisis grafico produce solución optima E*=4,5;

VO= utilidad máxima= 5000E* + 4000F*

=5000(4,5) + 4000(7)=50,500

27

ya hemos observado, el análisis grafico produce solución optima E*=4,5;

28

Reconocemos que las dos restricciones en horas de trabajo disponibles en los

departamentos A y B son activas en el punto óptimo. Las tres restricciones

restantes son inactivas.

�� FORMULACIÓN DEL PROBLEMA POR COMPUTADORA

Como ya hemos mencionada, la computadora procesa la forma estándar para la

restricción de igualdad. Sin embargo, como ya hemos visto, el proceso de convertir

un problema a la forma estándar por la restricción de igualdad es bastante

mecánico. Por esta razón, la mayoría de los códigos de computación PL aceptan

como entrada el modelo original, que puede tener algunas restricciones de

desigualdad y entonces la computadora automáticamente cambia el modelo a una

forma estándar para la restricción de igualdad antes resolver el problema. Por ello,

podemos introducir directamente el modelo original. No obstante, hay dos

formalidades importantes que se deben observar cuando se establezca un

problema para la computadora. Primero, que el algoritmo simplex que resuelve

problemas de programación lineal requiere que todas las variables sean no

negativas. Por lo tanto, esto debe efectuarse en el modelo que se ingrese

directamente a la computadora. Sin embargo, dado que la computadora siempre

supone que esto es verdad, no necesita escribirse esto de forma explícita.

El segundo punto es que todas las variables de las restricciones deben aparecer en

el primer miembro, en tanto que todos los términos constantes aparecerán a la

derecha. Por supuesto el modelo será el mismo ya sea que las variables estén o no

en el primer miembro y las constantes en el segundo, y en una simple descripción de

la formulación del modelo esta formalidad no necesita ser observada.

Ahora hagamos las siguientes observaciones:

1. La formulación del modelo que fue ingresado aparece arriba del resultado.

Se sigue de inmediato que el VO es 50,500

2. Los valores óptimos de las variables de decisión se muestran en la columna

“VALOR”. Ahí vemos que E*=4.5, F*=7,0. En esta columna se encontraran los

valores óptimos de todas las variables que aparezcan explícitamente en el

29

modelo que se hayan ingresado (no ingresamos variables de holgura y

superfluas, por lo que no aparecerán en esta columna).

3. La computadora marca reglones en lugar de restricciones. Considera que la

función objetivo será el reglón 1, la primera restricción el reglón 2, etc.

Fig. 8. Resultados para la Protac Inc obtenidos por computadora.

MAX 5000E + 4000F

SUJETO A

2) E + F > = 5

3) E – 3F < = 0

4) 10E + 15F < = 150

5) 20E + 10F < = 160

6) 30E + 10F > = 135

VALOR DE LA FUNCION OBJETIVO

50500.00

VARIABLE VALOR COSTO REDUCIDO

E 4.50 0.00

F 7.00

REGLON VALOR COSTO REDUCIDO

2 6.50 0.00

3 16.50 0.00

4 000 150.00

5 0.00 175.00

6 70.00 0.00

ANALISIS DE SENSIBILIDAD

VO= 50,500

S1*

Utilidad adicional

obtenida si está

disponible una hora de

trabajo adicional en el

departamento B

La solución optima es

E*=4.5, F*=7.0

30

RANGOS DE COEFICIENTES OBJETIVO

VARIABLE COEF. ACTUAL INCREMENTO ADMISIBLE

DISMINUCION ADMISIBLE

E 5000 3000.00 2333.33 F 4000 3500.00 1500.00

RANGOS DE LOS SEGUNDOS MIEMBROS

VARIABLE SEGUNDO MIEMBRO

ACTUAL

AUMENTO ADMISIBLE


2 5 6.50 INFINITO

3 0 INFINITO 16.50

4 150 90.00 47.14

5 160 73.33 40.00

6 135 70.00 INFINITO

4. La columna de “HOLGURA O SUPERFLUA” de los resultados da los valores

de las variables de holgura o superfluas. En el análisis geométrico hemos

visto que las restricciones de los departamentos A y B son activas. Todas las

demás son inactivas. Se puede ver, en los resultados que se muestran, como

ceros los valores de holgura de los reglones 4 y 5 y como valores de holguras

o superfluos positivos en los tres reglones restantes.

5. La solución es no degenerada. En la figura 7 solo dos líneas se interceptan en

el vértice óptimo. Esta es la interpretación geométrica. En los resultados de

salida, la no degeneración se revela en el hecho de que hay cinco variables

positivas (E*, F* y las holguras de los reglones 2,3 y 6) que igualan el numero

de restricciones que hay arriba del impreso de salida.

�� SENSIBILIDAD EN EL VECTOR DE DISPONIBILIDAD DE RECURSOS

Consideremos primero una situación en la que conservamos fijos todos los números

con excepción de las horas de trabajo disponibles en el departamento B.

Puesto que esta restricción sobre horas de trabajo disponibles es de la forma ≤,

podemos decir, que un aumento en el monto del segundo miembro “disminuye” la

Aumento y

disminución admisibles

en la redituabilidad de

F sin que cambie E* o

F*

Refleja el rango valido

para un precio dual de

175

restricción, lo que significa hacerla más fácil de satisfacer. Por lo tanto, esto no

puede disminuir el valor óptimo pero podría mejorarlo.

Sea el símbolo b el valor del segundo miembro de la restricción del departamento B.

entonces en la figura 7 será b

Fig. 9. Tres nuevos valores para b.

Superpongamos en la figura 9 las restricción del departamento B para los valores

b=161, b=233 1/3 y b= 250. Sabemos que estos tres nuevos valores de

corresponden, geométricamente, a desplazamientos paralelos de la recta de

restricción (alejándose del origen). También, puesto que un incremento de

significa que estamos disminuyendo la restricción, la interpretación geométrica es

que el conjunto restringido, si es que cambia, sufrirá una expansión. Los nuevos

conjuntos restringidos, junto con las soluciones

disponibilidades de trabajo de 161, 233 1/3 y 250 se muestran en las figuras 10, 11 y 12

respectivamente.

ción, lo que significa hacerla más fácil de satisfacer. Por lo tanto, esto no

puede disminuir el valor óptimo pero podría mejorarlo.

el valor del segundo miembro de la restricción del departamento B.

b=160.


= 250. Sabemos que estos tres nuevos valores de


restricción (alejándose del origen). También, puesto que un incremento de


ngido, si es que cambia, sufrirá una expansión. Los nuevos

conjuntos restringidos, junto con las soluciones óptimas correspondientes a las


31

ción, lo que significa hacerla más fácil de satisfacer. Por lo tanto, esto no

el valor del segundo miembro de la restricción del departamento B.


= 250. Sabemos que estos tres nuevos valores de b


restricción (alejándose del origen). También, puesto que un incremento de b


ngido, si es que cambia, sufrirá una expansión. Los nuevos

correspondientes a las


Estas figuras muestran algunos hechos interesantes:

1. Cuando b= 161, las restricciones de los departamentos A y B siguen siendo

activas. Esto significa que la nueva solución estará dada por las

ecuaciones

Resolviendo el sistema, obtenemos E*= 4.575 y F*= 6.95. el nuevo beneficio máximo

viene a ser

Fig. 10. b =161

Fig. 12. b = 250

figuras muestran algunos hechos interesantes:

= 161, las restricciones de los departamentos A y B siguen siendo

activas. Esto significa que la nueva solución estará dada por las

10E + 15F = 150

20E + 10F = 161


VO= 5000E* + 4000F*

Fig. 11.

32

= 161, las restricciones de los departamentos A y B siguen siendo

activas. Esto significa que la nueva solución estará dada por las dos


. b =233 1/3

33

= 5000(4.575) + 4000(6.95) = 50,675

Obsérvese que

1. ∆VO= incremento de la utilidad =

= (utilidad cuando b= 161)-(Utilidad cuando b= 160)

= 50,675 – 50,500 = 175

Y también aparece 175 en los resultados de salida de la computadora, que se

muestran en la figura 8, como precio dual correspondiente al reglón 5, de la

restricción del departamento B.

2. La figura 11 muestra que cuando b= 233 1/3, las tres restricciones de los

departamentos A y B y el balance del mercado son activas. El resultado de

salida de la computadora para este problema se muestra en la figura 13. Esta

indica cero como variable de holgura en las tres restricciones activas. Solo

hay cuatro variables positivas. Dado que en este problema hay cinco

restricciones y como la solución optima tiene solo cuatro variables positivas,

esta es degenerada, de acuerdo con la definición dada en la sección

precedente. La solución actual es E*=10, F*= 3 1/3, también,

VO= 5000E* + 4000F*

= 5000(10) + 4000(3 1/3) = 63.333 1/3

Cuando b= 233 1/3, el segundo miembro de la restricción de trabajo del

departamento B aumenta 73 1/3 unidades mas allá del valor original 160. Esto resulta

consistente con la interpretación anterior del precio dual, que fue de 175 y vemos

que el VO aumenta en

∆VO= 63.333 1/3 – 50,500= 12,833 1/3 = (175) (73 1/3)

34

Fig. 13. Resultados de la computadora para b= 233.33.

MAX 5000E + 4000F

SUJETO A

2) E + F > = 5

3) E – 3F < = 0

4) 10E + 15F < = 150

5) 20E + 10F < =

6) 30E + 10F > = 135



E 10.00 0.00

F 3.33 0.00


2 8.33 0.00

3 0.00 0.00

4 000 150.00

5 0.00 175.00

6 198.33 0


RANGOS DE LOS COEFICIENTES OBJETIVOS

VARIABLE COEF. ACTUAL AUMENTO ADMISIBLE


233.33 Nuevo valor de b

63333.33

La utilidad de 63,333.33 es

175(233.33-160)=

12,833.33 mayor que la

utilidad anterior de b=160

La solución optima es

E*=4.5, F*=7.0

Solo cuatro variables

positivas, por lo que la

solución optima es

degenerada.

35

E 5000 3000.00 2333.33

F 4000 3500.00 1500.00

RANGOS DEL VECTOR DE DISPONIBILIDAD DE RECURSOS

VARIABLE VECTOR DE DISPONIBILIDAD DE RECURSOS ACTUAL

AUMENTO ADMISIBLE


2 5 8.33 INFINITO

3 0 INFINITO 0.00

4 150 200.00 0.00

5 233 0.00 133.33

6 135 198.33 INFINITO

3. Cuando b aumenta más allá del valor 233 1/3, las figuras 11 y 12 muestran que

la restricción de trabajo del departamento B se convierte en redundante. Los

valores de E* y F*, así como el VO, se mantienen como en las figuras 11 y 13.

Fig. 14. Resultados de la computadora para b= 250.

MAX 5000E + 4000F

SUJETO A

2) E + F > = 5

3) E – 3F < = 0

4) 10E + 15F < = 150

5) 20E + 10F < =

6) 30E + 10F > = 135


El aumento admisible

es ahora cero.

250 Esta restricción es

ahora redundante.

63333.33

Cuando la restricción del

departamento B es

redundante, la utilidad no

cambia.

36


E 10.00 0.00

F 3.33 0.00


2 8.33 0.00

3 0.00 0.00

4 000 150.00

5 16.66 175.00

6 198.33 0


RANGO DE LOS C OEFICIENTES OBJETIVOS

VARIABLE COEF. ACTUAL AUMENTO ADMISIBLE


E 5000 INFINITO 2333.33 F 4000 3500.00 19000.00

RANGO DEL VECTOR DISPONIBILIDAD DE RECURSOS

VARIABLE VECTOR DE DISPONIBILIDAD DE RECURSOS ACTUAL

AUMENTO ADMISIBLE


2 5 8.33 INFINITO

3 0 3.75 25.50

4 150 10.71 89.25

5 250 INFINITO 16.66

6 135 INFINITO 198.33

La restricción es ahora

inactiva y el precio dual es

cero.

El aumento admisible ha

llegado a ser infinito.

37

Por ejemplo, la salida de la computadora correspondiente a b=250 aparece en la

figura 14. Se observa que la solución es ahora no degenerada y que las restricciones

activas (con holgura 0) son ahora las del departamento A y del balance del mercado.

Se observa también que el precio dual del departamento B en su restricción ha

descendido de 175 a 0. Este cambio en el precio dual muestra que la interpretación

de su significado dado anteriormente debe restringirse a un rango específico de

valores del segundo miembro. El rango apropiado aparece, en la salida de la

computadora, en la sección “Rangos del vector disponibilidad de recursos” y

“Disminución Admisible”. Las figuras 8, 13 y 14 nos dicen que:

a. Cuando b=160 (fig.8) el precio dual de 175 es válido para un aumento

admisible (en b) de 73 1/3 horas y una disminución admisible de 40. Puesto

que 160-40= 120, y 160+73 1/3= 233 1/3, se ve que para los valores de b

comprendidos entre 120 y 233 1/3 horas, la mejoría en el VO por cada unidad

que se aumente en el vector de disponibilidad de recursos, con los demás

datos fijos, es de 175.

b. Cuando b=233 1/3 (fig.13) el precio dual se conserva en 175, pero el aumento

permisible es 0, lo que significa que el valor 175 no se aplica a los valores del

segundo miembro que sobrepasen a 233 1/3. En realidad, el análisis

geométrico demuestra que la restricción llega a ser inactiva y redundante

cuando b> 233 1/3. Pequeños cambios en una restricción inactiva no pueden

afectar al VO, y por lo tanto el precio dual de una restricción inactiva será

siempre cero.

c. Cuando b=250 (fig.14) vemos que ahora que la restricción relevante es

inactiva, el precio dual es realmente cero y el incremento admisible es

infinito. Es decir, para cualquier incremento ulterior en b la restricción

permanecerá inactiva y el precio dual se mantendrá en el valor 0. En la figura

14 la disminución admisible de 16.66 llevara al vector de disponibilidad de

recursos de regreso a 233 1/3. Para valores de b menores que 233 1/3 vemos

que la figura 13 que el precio dual es 175, no cero.

En síntesis:

38

1. El precio dual de una restricción dada puede interpretarse como el índice

de mejoría del VO cuando el segundo miembro de esta restricción

aumenta (o sea, la mejoría por unidad de aumento del vector de

disponibilidad de recursos), mientras los otros datos permanecen fijo.

“Índice de mejoría” significa “Índice de crecimiento” para un modelo de

maximización “Índice de disminución” para un modelo minimización. Si el

segundo miembro disminuye, el precio dual es el índice de lo que el VO

empeora. La interpretación del precio dual es válida solo dentro de un

rango para el segundo miembro dado. Este rango queda especificado

mediante el “Aumento Permisible” o la “Disminución Permisible” de las

columnas de los “Rangos del primer miembro” de la sección de

resultados impresos de la computadora. Este es el rango para el cual el

precio dual es constante. Fuera de este rango permisible el precio dual

puede cambiar a un valor distinto.

2. De acuerdo con la interpretación anterior, el precio dual de una

restricción inactiva será siempre cero.

3. Se observa que la información de sensibilidad del vector de disponibilidad

de recursos que proporciona la computadora no nos dice como cambia la

solución optima E*, F*. solamente explica la forma en que el VO cambia

cuando el vector de disponibilidad de recursos.

4. Cuando tenemos una solución degenerada, alguno de los precios tendrá

o bien un aumento admisible de cero o bien una disminución admisible

de cero. En este caso obtenemos en el resultado de salida solo una

cantidad limitada de información. Concretamente, solo tendremos lo

relativo al efecto de los cambios hacia el vector de disponibilidad de

recursos, sobre el VO.

�� SENSIBILIDAD DEL COEFICIENTE DE LA FUNCIÓN Y ALTERNATIVAS ÓPTIMAS

Consideremos los incrementos en el coeficiente de F en la función objetivo, es decir,

el aumento de la redituabilidad por unidad, en tanto que el coeficiente de E se

mantiene fijo. Recordemos que los contornos de la función objetivo tenderán a ser

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mas horizontales (tienen una pendiente negativa) cuando este coeficiente aumenta.

Refiriéndonos a la figura 7 vemos que la solución optima permanecerá en el vértice

E*= 4.5, F*= 7.0 hasta que el coeficiente de F aumenta lo suficiente como para que

los contornos de la función objetivo sean paralelos a la restricción (3). Cuando esto

ocurra, habrá soluciones alternativas optimas, el vértice actual (E*=4,5, F*=7,0) y el

vértice determinado por la intersección de las restricciones (3) y (5). Si el coeficiente

de F continua creciendo, la solución actual (E*= 4.5, F*=7.0) ya no será optima y el

punto determinado por la intersección de las restricciones (3) y (5) será el único

optimo.

El aumento permisible para el coeficiente de F es así determinado por el aumento

en los coeficientes que hace que los contornos de la función objetivo sean paralelos

a la restricción (3).

Los contornos de la función objetivo serán paralelos a la restricción (3) cuando

ambas rectas tengan la misma pendiente, lo que significa que los coeficientes

deberán satisfacer la siguiente igualdad:

coe�iciente de E en (3)

�� (3)=

coe�iciente de E en el objetivo

coe�iciente de F en el objetivo

Lo cual implica que

10

15=

5000

coe�iciente de F en el objetivo

De lo cual se obtiene

Coeficiente de F en el objetivo = (5000) (15/10)= 7500

En la función objetivo, el coeficiente actual de F es 4000. Esta llega a ser paralela a

(3), es decir, ocurre la alternativa óptima si este valor aumenta a 7500. Entonces, la

solución óptima actual permanece vigente en tanto el incremento de F sea ≤ 3500.

Esto es lo que se llama aumento permisible del coeficiente de F. es el valor que se

muestra en la figura 8 bajo el rubro “Aumento permisible” para F.

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Recordemos ahora que cuando el coeficiente de F aumenta (conservándose fijo el

coeficiente E) obtendremos finalmente una nueva solución en la que el valor optimo

de F habrá aumentado. Esto concuerda con la intuición, ya que un aumento en la

redituabilidad de F no motivara que produzcamos F a un nivel más bajo.

La situación para un modelo de minimización de costos es precisamente lo inverso.

Puesto que se quiere minimizar el costo total, no se esperara que cuando se

aumenten los costos de una actividad mientras se mantienen constantes los demás

datos, se puede llegar a un nivel de mayor optimización de esa actividad.

Los Rangos de los coeficientes objetivo en el resultado computacional, es en la

interpretación de esta porción de la salida impresa, que se debe distinguir entre los

casos de solución degenerada contra la no degenerada.

Hay otro hecho de interés que se aplica a soluciones no degeneradas. Cuando se ve,

para alguna variable de la sección “Rangos de los coeficientes objetivos” de los

resultados de salida, un cero como dato en cualquiera de las columnas “Aumento

permisible” o “disminución permisible”, se sabe que hay por lo menos una solución

optima alterna para el problema que se esta manejando. Además, siempre que

exista una alternativa óptima aparecerá dicha señal. Esto se ilustra en la figura 15,

con una hipotética programación lineal de maximización con dos variables de

decisión y tres restricciones de desigualdad. El contorno de la función objetivo es

paralelo a la segunda restricción (marcada como (2) y mediante el empleo de la

tecnica de solución grafica puede verse que los vértices marcados con I y II son

alternativas optimas para este problema. Debido al algoritmo que emplea la

computadora para resolver el problema, encontrara solo uno de esos vértices como

solución optima y el resultado de salida se aplicara exclusivamente a este vértice.

Supongamos que el vértice I es la solución encontrada por la computadora. La

grafica de la figura 15 muestra que cualquier aumento en el coeficiente de x,

cambiara el contorno de la función objetivo a una inclinación como la de la línea

punteada y el vértice II se convertirá en la única solución óptima. El resultado en

salida de la computadora para la solución del vértice I tendría, como señal de este

fenómeno, un valor cero enseguida de x, bajo la columna “Aumento permisible”.

Fig. 15. Alternativas Óptimas.

En síntesis:

Para una solución no degenerada:

1. Las columnas de “Aumento Permisible” y “Disminución Admisible” bajo el

encabezado “Rangos de los coeficientes objetivo” dicen cuanto se puede

aumentar el coeficiente de una variable dada (o disminuirlo) sin alterar la

solución optima, mientras los demás da

supuesto, como la redituabilidad en este rango varia, los valores del VO

estarán por

VO= 5000E* + (redituabilidad de F) · F*

Como ilustración de esto, imagine que se asigna el valor 6000 al coeficiente F, que

esta dentro del rango admisible que se ve en la figura 8. Entonces la solución

permanecerá en el punto (E*=4.5, F*=7) y

Para una solución no degenerada:

Las columnas de “Aumento Permisible” y “Disminución Admisible” bajo el



solución optima, mientras los demás datos se conservan constantes. Por


VO= 5000E* + (redituabilidad de F) · F*


el rango admisible que se ve en la figura 8. Entonces la solución

permanecerá en el punto (E*=4.5, F*=7) y

VO= 5000E* + 6000F*

= 5000(4.5) + 6000(7)= 64,500

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Las columnas de “Aumento Permisible” y “Disminución Admisible” bajo el



tos se conservan constantes. Por



el rango admisible que se ve en la figura 8. Entonces la solución

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2. Cuando un coeficiente se modifica en menos de la cantidad admisible, la

solución óptima del momento permanece como única solución optima del

modelo.

3. Cuando un coeficiente en particular es aumentado en la cantidad admisible,

habrá una solución óptima alterna con un valor óptimo mayor (en un modelo

de maximización) para la variable afectada. (Para un modelo de

minimización, el aumento en un coeficiente de la cantidad permisible

producirá un óptimo alterno con un valor óptimo más bajo para la variable

afectada).

4. Cuando un coeficiente variable es disminuido en la cantidad admisible, habrá

otra solución óptima alterna en el que la variable afectada tendrá un valor

óptimo más bajo (más alto) en un modelo de maximización (minimización).

Para una solución degenerada:

1. Las señales antes descritas para la alternativa óptima deben pasarse por alto.

2. Mientras que el coeficiente de una función objetivo varié dentro del rango

indicado la solución óptima no cambiara. Esto también es válido en el caso

no degenerado. En el último ejemplo, sin embargo, se obtenía una

alternativa óptima cuando el coeficiente era cambiado al límite del rango, y

cuando se continuaba el cambio en esta dirección se obtenía una solución

óptima única. En el caso degenerado esto ya no puede garantizarse. Todo lo

que podemos decir es que el coeficiente de cualquier función objetivo

deberá ser cambiado por lo menos en las cantidades admisibles indicadas, y

posiblemente en más, para producir una nueva solución optima.

�� COSTO REDUCIDO

Para dar una interpretación de esto se debe observar primero si la solución es

degenerada o no.

1. En una solución optimo no degenerada, el costo reducido de cualquier

variable de decisión particular se define como la cantidad en que se debe

cambiar el coeficiente de esa variable en la función objetivo para tener un

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valor optimo positivo para esa variable. De esta manera, si una variable es ya

positiva en el punto optimo, su costo reducido será cero. Si el valor optimo

de una variable es cero, entonces, de la definición de costo reducido, puede

verse que este es el “Aumento admisible” o la “Disminución admisible” que

corresponda a la variable dada (uno de estos valores será infinito; el otro

será el costo reducido). Por ejemplo, supóngase que cambiamos los datos E

y F del modelo de Protac de modo que el valor optimo sea E*= 0. Entonces,

el costo reducido de E será la cantidad en que su redituabilidad (el

coeficiente de E en la función objetivo) debería ser aumentada para tener

una solución optima con E*> 0. Este es precisamente el dato que se

encontraría, correspondiendo a E en la columna “Aumento admisible”. En

este caso, para cualquier disminución de coeficiente de E (haciendo a E

menos redituable) el valor E* permanecerá en cero. Por lo tanto, la

“Disminución permisible” correspondiente será infinita.

2. Otra interpretación equivalente del costo reducido, para una solución no

degenerada, de una variable de decisión cuyo valor óptimo es actualmente

cero, lo definiría como la razón (por unidad de aumento) a la cual disminuye

el valor objetivo cuando esa variable es “forzada a entrar” en una solución

optima (es decir, obligada a asumir valores positivos en esta). En el ejemplo

anterior, siendo E*=0, el VO disminuirá si nos obligásemos a encontrar una

solución optima con la restricción adicional E=1. Esta tasa de decrecimiento

en cuanto E* es forzado inicialmente a ser positivo seria dada por el costo

reducido de E.

3. Considere ahora una solución degenerada con una variable de decisión cuyo

valor óptimo sea cero. El coeficiente de esa variable en la función objetivo

debe ser cambiado por lo menos en (y posiblemente mas) el costo reducido,

con el objeto de que haya una solución optima en la que la variable aparezca

a nivel positivo.

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Bibliografía

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