1

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

VICERRECTORADO DE INVESTIGACION

INSTITUTO DE INVESTIGACION DE LA FACULTAD DE INGENIERIA

MECANICA – ENERGIA

TEXTO: EL ELEMENTO FINITO EN RESISTENCIA DE MATERIALES

AUTOR:

ING. JUAN ADOLFO BRAVO FELIX

01-11-2009 AL 30-10-2011

RESOLUCION RECTORAL N ° 1273-09-R

BELLAVISTA - CALLAO

2

INDICE GENERAL

I.- INDICE 2

II.- RESUMEN 5

III.-INTRODUCCION 6

IV.- PARTE TEÓRICA Ó MARCO TEÓRICO 8

CAPITULO 1.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES 9

INTRODUCCIÓN. 9

RESEÑA HISTÓRICA. 9

ESFUERZOS Y EQUILIBRIO 10

ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS 11

ESTADO DE DEFORMACION DEL SÓLIDO CONTÍNUO. 13

ESTADO BIAXIAL DE DEFORMACION 14

RELACION DE ESFUERZO DEFORMACION UNITARIA 14

ESFUERZOS PLANO 15

ENERGÍA POTENCIAL Y EQUILIBRIO 16

CAPITULO II.

PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES 17

INTRODUCCIÓN. 17

METODO MATRICIAL DE ANALISIS ESTRUCTURAL 23

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN RESORTE ELASTICO 24

3

CAPITULO III:

ARMADURAS 26

ARMADURAS PLANAS. 27

FORMULACIÓN EN ELEMENTO FINITO 28

ARMADURAS ESPACIALES 42

CAPITULO IV:

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES 45

INTRODUCCIÓN 45

CONS TRUCCIÓN DEL MODELO DEL ELEMENTO FINITO. 46

TRIANGULO DE DEFORMACIÓN UNITARIA CONSTANTE. 49

CAPÍTULO V:

SÓLIDOS DE SIMETRÍA AXIAL CON CARGA AXIAL SIMETRICA 58

INTRODUCCIÓN. 58

FORMULACIÓN DE SIMETRÍA AXIAL 59

MODELADO POR ELEMENTO FINITO: ELEMENTO TRIANGULAR 61

CAPÍTULO VI:

VIGAS Y MARCOS 67

INTRODUCCIÓN 67

VIGAS 67

FORMULACIÓN DE VIGAS MEDIANTE ELEMENTO FINITO. 69

MARCOS PLANOS 73

4

FORMULACIÓN POR ELEMENTO FINITO DE MARCOS 74

V.- MATERIALES Y METODOS 77

VI.- RESULTADOS 78

VII.- DISCUSION 79

VIII.- REFERENCIALES 80

IX.- APENDICE 81

A.1 MATRIZ DE REACCIONES DE LA ARMADURA PLANA 81

ANEXOS. 82

A.1 MODELOS DE ELEMENTO FINITO DE UNA PLACA CON

AGUJERO CENTRAL 82

A.2 FUNCIONES DE FORMA DE LA VIGA ELEMENTAL 82

A.3 FUERZAS DEBIDO AL DESPLAZAMIENTO NODAL DE LA VIGA 83

A.4 CARGA NODAL EQUIVALENTE PARA LA VIGA ELEMENTAL 84

5

RESUMEN

El presente texto: el Elemento Finito en Resistencia de Materiales se ha desarrollado

teniendo como referencia el contenido de Resistencia de Materiales, el mismo que trata

de los siguientes puntos:

- Conceptos fundamentales: Análisis de fuerzas, esfuerzos y deformación unitaria, a

través de la ley generalizada de Hooke así como la relación ente la deformación

unitaria y los desplazamientos lineales y angulares.

- Problemas unidimensionales. Trata sobre elementos sometidos a carga axial las que

son discretizados para su evaluación por elementos finitos relaciona la matriz de

deformación unitaria con desplazamientos en coordenadas local ó global desarrollando

la matriz de rigidez ke del elemento así como el vector de fuerza de cuerpo fe como la

fuerza de tracción Te del elemento.

- Armaduras: se determina la matriz de rigidez del elemento ke para armaduras planas y

espaciales, luego la matriz de rigidez estructural K de ensamble desarrolla el conjunto.

- Problemas bidimensionales: mediante el triángulo de deformación unitaria constante

determina la matriz de rigidez del elemento, el vector de fuerza del cuerpo y de tracción

del elemento, con la matriz de ensamble calcula los esfuerzos generados.

- Sólidos de simetría axial sometidos a carga simétrica: trata de cuerpos generados por

rotación de una superficie en el plano rz alrededor del eje z como el cilindro de pared

gruesa sometido a presión interna, cuyos esfuerzos se determinan con la matriz de

rigidez del elemento.

- Vigas y marcos: se analiza el elemento viga y marco mediante la matriz de rigidez del

elemento de 4x4 y de 6x6 respectivamente.

6

INTRODUCCION

Este trabajo de investigación tiene por objetivo ofrecer al estudiante el TEXTO: EL

ELEMENTO FINITO EN RESISTENCIA DE MATERIALES, donde el elemento

finito es una técnica de cálculo que basado en el método de rigidez utiliza el álgebra

matricial, herramienta poderosa para aplicación computacional. Como el área de

aplicación del elemento finito es amplio, en este caso se desarrolla el concepto del

elemento finito que mediante la discretización convierte en matrices los problemas

complejos de desarrollo integral y que son tratados sobre los contenidos de la

asignatura de Resistencia de Materiales de la FIME ó denominados en libros de reciente

publicación como Mecánica de Materiales, pero tratados de manera tradicional.

El tema de estudio está organizado en seis capítulos.

En el capítulo 1 se tratan conceptos fundamentales de Resistencia de Materiales domo

fuerza, esfuerzos, deformación unitaria, desplazamientos longitudinales, laterales y

rotaciones las que son presentadas en forma de matrices.

En el capítulo 2 se ven problemas unidimensionales es decir casos de elementos

sometidos a cargas axiales únicamente y se determina la matriz de rigidez del elemento

de dos nodos donde cada nodo tiene un grado de libertad (gdl) en conjunto 2 grados de

libertad generando una matriz de rigidez de 2x2.

En el capítulo 3 se analizan armaduras o sea elementos planos con cargas en el mismo

plano. En este caso el elemento en cada nodo tiene 2gdl y yn conjunto 4 gdl generando

una matriz de rigidez de 4x4..

En el capítulo 4 se resuelven problemas bidimensionales o sea cuerpos planos de

espesor constante sometidos a cargas en el mismo plano. En este caso el elemento es un

triángulo de 3 nodos donde cada nodo tiene 2 gdl y en conjunto 6 gdl generándose una

7

matriz elemental de 3x6. la matriz del elemento es el producto de la matriz deformación

unitaria por la matriz de propiedades del material y por el volumen del elemento.

El capítulo 5 Sólidos de simetría axial sometidos a carga axial simétrica trata de cuerpos

generados por la rotación de áreas en el plano rz. Como sería el cilindro de pared gruesa

sometido a presión interna. La matriz de deformación unitaria – desplazamiento del

cuerpo es de 4x6

En el capítulo 6 se analizan vigas y marcos. La viga elemental tiene 2 nodos con 2gdl

cada nodo generando una matriz de rigidez de 4x4 y matriz de vector de carga de 1x4 lo

que nos permite el planteamiento de la matriz global cuyas dimensiones depende de l

cuerpo considerado. El marco elemental consta de 2 nodos con 3gdl cada uno generando

una matriz de rigidez de 6x6 y matriz de fuerza elemental de 1x6.las que mediante la

conectividad y condiciones de frontera permiten el cálculo de desplazamientos y cargas

de reacción de la estructura.

.

Todos los temas considerados son importantes para el ingeniero mecánico porque le

permite la evaluación de los resultados obtenidos mediante el software de elementos

finitos tales como ANSYS, NASTRAN SAP 2000 y otros que se encuentran en el

mercado nacional y que la FIME no cuenta.

La fabricación, instalación o desmontaje de toda maquinaria conlleva la solución de

numerosos problemas de aplicación en base a las teorías de resistencia de materiales,

dinámica de máquinas y teoría de elasticidad a fin de darle resistencia, elasticidad,

estabilidad, poco peso y especialmente seguridad que son características de las

máquinas actuales por lo que la optimización mediante elementos finitos es ventajoso

por rapidez de la obtención de los resultados.

8

PARTE TEÓRICA Ó MARCO TEÓRICO

9

CAPITULO 1

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

INTRODUCCIÓN.

El método del Elemento Finito es una herramienta poderosa para la solución de

problemas de Ingeniería en general y particularmente para el análisis de esfuerzo y

deformación de automóviles, aviones, barcos, edificios y estructuras de puentes en

el campo de análisis estructural así como de mecánica de fluidos, transferencia de

calor y otros campos de ingeniería. En este trabajo solamente se desarrollará los

temas de competencia de Resistencia de materiales

RESEÑA HISTÓRICA.

El método del elemento finito tiene su origen en el campo del análisis estructural de la

industria aeronáutica, donde los investigadores batallaban para diseñar la membrana

delgada del fuselaje y de las alas de un avión a reacción.

Hrenikoff en 1941 presenta una solución de problemas de elasticidad usando el

“método de trabajo del marco”.

Courant en 1943 desarrolla la técnica del elemento finito usando la interpolación

polinomial por partes sobre regiones triangulares para modelar la torsión de vigas.

Argyris en 1955 publica sobre teoremas de energía y métodos matriciales

Turner, Clough, Martin y Topp desarrollan matrices de rigidez para armaduras, vigas y

otros elementos, publicando en 1956 en la revista Aeronáutical Science dando con esto

el inicio del análisis de sistemas estructurales grandes y complejos.

10

En 1960, Ray Clough acuña el término "método del elemento finito" en un documento

que se publicó en las actas de la Segunda Conferencia sobre Cálculos en Electrónica,

auspiciada por la Sociedad Americana de Ingenieros Civiles. A partir de esa fecha el

método tuvo un auge a la par con el desarrollo de la computación.

En 1967 aparece el primer libro sobre elementos finitos, publicado por Zienkiewicz

y Cheng.

. Las bases matemáticas se fijaron en la década de 1970.

ESFUERZOS Y EQUILIBRIO

Si consideramos un cuerpo de volumen V y superficie S sometido a un conjunto de

cargas, este sufrirá deformaciones. La posición de un punto P del cuerpo

determinamos mediante un sistema de coordenadas cartesianas (x,y z). La

deformación de un punto representamos por las componentes de su desplazamiento

(u,v,w)

Sobre un elemento de volumen dV actúan las siguientes fuerzas.

Las fuerzas de contacto superficial o de compresión originada por la presión

representamos por la fuerza de tensión superficial T de componentes

ZYX TTTT ,, (1.1)

Las cargas puntuales que actúan en un punto i representamos por

ZYXi PPPP ,, (1.2)

Las fuerzas por unidad de volumen como el peso propio representamos por W:

ZYX wwww ,, (1.3)

11

ESTADO GENERAL DE ESFUERZOS

En un sólido (elástico o no) solicitado por un sistema arbitrario de fuerzas, en una

sección cualquiera, al pasar de un punto a otro, el estado de esfuerzos varía de

manera suficientemente lenta y si escogemos en la vecindad de un punto cualquiera

A (fig. 1.1) una zona suficientemente

Figura 1.1 Cuerpo tridimensional

pequeña donde se pueda considerar que el estado de esfuerzos es homogéneo[1].

Esto es posible si partimos de la hipótesis de continuidad del material, que permite

el paso a volúmenes muy pequeños [2]. como se ve en la figura 1.2.

Fig. 1.2 Equilibrio de un volumen elemental

12

Entonces el esfuerzo en un punto se define por las componentes que actúan en varias

direcciones en el espacio, se puede representar por los esfuerzos que actúan en un

diferencial de volumen que rodea al punto considerado. Este estado de esfuerzos, se

determina por seis magnitudes de esfuerzos denominado tensor de esfuerzos:

(1. 4)

Para determinar el esfuerzo sobre un plano de dirección cualquiera,

transformamos el volumen octaédrico en tetraedro (Fig. 1.3) y analizamos el

esfuerzo t en el plano que forman los puntos ABC y cuya normal es el vector

unitario n de cosenos directores nx, ny, y nz. [1].

Figura 1.3 Volumen elemental en la superficie

13

Aplicamos las ecuaciones de equilibrio estático: la suma de las fuerzas originadas

por los esfuerzos actuantes en las caras del tetraedro según los ejes x, y, z debe

ser igual a cero. Simplificando las áreas y despejando las componentes del

esfuerzo en el plano inclinado según los ejes coordenados obtenemos:

.... zxzyxyxxx nnnt

.... zyzyyxyxy nnnt (1.5)

.... zzyzyxxzz nnnt

Expresados en forma matricial será:

z

y

x

zzyzx

yzyyx

xzxyx

z

y

x

n

n

n

t

t

t

(1.6)

ESTADO DE DEFORMACION DEL SÓLIDO CONTÍNUO.

Cuando un elemento elástico está sometido a cargas externas, sufre deformaciones

que se manifiesta a través de los cambios de volumen y forma originadas por las

fuerzas internas distribuidas sobre todo el cuerpo. Si consideramos dos puntos A y

B del cuerpo elástico de longitud dL sin carga y luego aplicamos carga, los puntos

sufren incremento de longitud dL´. La deformación unitaria longitudinal se define

como el alargamiento o acortamiento del cuerpo sobre la longitud inicial o.

dL

dLLd ...... (1.7)

14

Descomponiendo esta deformación unitaria según los ejes de coordenadas

cartesianas y considerando la deformación angular debidos al cambio de forma y

por analogía con el tensor de esfuerzos, el tensor de deformaciones será de la forma

zzyzx

yzyyx

xzxyx

...... (1.8)

ESTADO BIAXIAL DE DEFORMACION

Si en el estado tensorial de deformaciones εx = xz = yz = 0 entonces estamos en

el estado de esfuerzos plano. La matriz de esfuerzos (1.4) queda de la siguiente

forma:

000

0

0

yyx

xyx

...... (1.9)

RELACION DE ESFUERZO DEFORMACION UNITARIA

Los esfuerzos se relacionan con las deformaciones mediante el principio de

superposición, la razón de Poisson εlat = -νεtransv y la ley generalizada de Hooke

ε=σ/E en dirección del eje x, y ,z tal como a continuación se indica:

ZYx

x EE

zxy

y EE

yxz

z EE

(1.10)

Gxy

xy

15

Gxz

xz

Gyz

yz

Esta es la ley de Hooke generalizada. La relación entre E, ν y G se expresa

mediante la fórmula.

12

EG

(1.11)

Podemos representar los esfuerzos en función de deformaciones en su forma matricial:

D(1.12)

Donde D es de la forma:

5.000000

05.00000

005.0000

0001

0001

0001

211

ED

(1.13)

ESFUERZOS PLANO

Debido a que no existen esfuerzos según el eje z, σz = 0, las deformaciones de un

elemento cargado biaxialmente según los ejes x e y serán:

x x yE

1

y y xE

1(1.14)

xyz E

xy = G.xy

16

ENERGÍA POTENCIAL Y EQUILIBRIO

En Resistencia de Materiales la determinación del desplazamiento u del cuerpo conduce

a la aplicación de las ecuaciones de equilibrio. Los esfuerzos están relacionados con las

deformaciones unitarias mediante la ley de Hooke y las deformaciones unitarias con los

desplazamientos del punto y esto nos genera a la resolución de ecuaciones diferenciales

parciales de segundo orden, cuya solución es exacta. Cuando los problemas son

complejos debido a su geometría, condición de frontera y cargas en general, cuya

solución es difícil. Es esos casos se recurre a soluciones aproximadas empleando

métodos de energía potencial.

La energía Potencial total V de un cuerpo elástico se define como la suma de la energía

de deformación unitaria total U y potencial de trabajo WP., es decir:

V = U + WP (1.15)

La energía de deformación elástica unitaria para un cuerpo elástico lineal es:

dVU ..2

1 (1.16)

El potencial de trabajo WP está dado por:

i

ii PudSTudVfuWP ..... (1.17)

El potencial total de un cuerpo elástico general como el de la figura 1.1 es:

i

ii PudSTudVTudVV .......2

1 (1.18)

Para sistemas conservativos el potencial de trabajo es independiente de la trayectoria

17

CAPITULO 2

PROBLEMAS UNIDIMENSIONALES

INTRODUCCIÓN.

Los problemas unidimensionales tratan de cuerpos solicitados a cargas en un solo

eje, es decir a cargas axiales en dirección del eje del cuerpo. Las cargas que actúan

son los puntuales de tensión y compresión, en el caso de cuerpos en posición

vertical los de peso propio y cargas distribuidas por unidad de longitud en

dirección del eje del elemento.

En este tipo de problemas el esfuerzo, la deformación unitaria, el desplazamiento y

las cargas indicadas dependen de una sola variable x. por lo que los vectores σ, ε, u,

P, T, f, son funciones de x.

σ = σ(x), ε= ε(x), u = u(x), T=T(x), f = f(x). (2.1)

El esfuerzo lo relacionamos con el desplazamiento mediante la ley de Hooke, es

decir:

σ = E.εdx

du (2.2)

el diferencial de volumen expresamos en la forma.

dV = A.dx (2.3)

Para modelar un cuerpo unidimensional, se discretiza la región por tramos y

expresamos el campo de desplazamientos en términos de valores en puntos

discretos. Primero se presentan elementos lineales. Aplicando los conceptos de

rigidez y carga y las relaciones de energía potencial y con las condiciones de

frontera se determinan los parámetros de interés.

18

Figura 2.1 Barra unidimensional cargada

CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DEL ELEMENTO FINITO.

Para la construcción del elemento Finito [1] se siguen los siguientes pasos.

1. - División del elemento: primero modelamos una barra de sección transversal

variable (fig. 2.1) como un número de discreto de elementos de sección transversal

constante, en este caso mediante 4 elementos y cada elemento se conecta a 2 nodos.

El modelo resultante consiste de 4 elementos y 5 nodos como se muestra en la

figura 2.2.Cada elemento se reconoce mediante un número encerrado dentro del

círculo y los nodos mediante números consecutivos. Con el aumento del número de

elementos se obtienen mejor aproximación. Conviene definir un nodo en cada

punto de aplicación de la carga.

Figura 2.2 Formulación por elemento finito de una barra

19

2.- Esquema de numeración:

En un problema unidimensional cada nudo se debe desplazar un una sola dirección

± x, Cada nudo tiene un solo grado de libertad (gdl). El modelo del elemento finito

tiene 5 gdl. Los desplazamientos a lo largo de cada gdl denotamos mediante Q1,

Q2, Q3, Q4, Q5. El vector columna Q = [Q1, Q2, Q3, Q4, Q5] y se denomina vector

de desplazamiento global. El vector de carga global se denota por F = [F1, F2, F3,

F4, F5]. El desplazamiento Q y la carga F tienen valor positivo si actúan en la

dirección del eje + x, en caso contrario es negativo. Cada elemento tiene 2 nudos y

la conectividad de los elementos se representa en la figura 2.4. En la tabla de

conectividad los encabezados 1 y 2 son los números locales de los nodos de un

elemento y los números nodales sobre el cuerpo se llaman números globales. La

conectividad establece la correspondencia local-global.

Figura 2.3 Vectores Q y F Figura 2.4 Conectividad de los elementos

20

LAS COORDENADAS Y LAS FUNCIONES DE FORMA

Consideremos un elemento finito típico de la figura 2.5.

Figura 2.5 Elemento típico en coordenadas x y ξ

Cada elemento debe ser referido con respecto a un punto fijo. El elemento 1 tiene

los nodos 1 y 2 y sus coordenadas serán x1 y x2. El sistema de coordenadas natural

o intrínseco ( ξ ) para un punto x cualquiera entre los nodos 1 y 2 determinamos

mediante :

12

112

xxxx

(2.4)

Donde ξ = -1 en el nodo 1 y ξ = 1 en el nodo 2, luego la longitud del elemento 1

se cubre cuando ξ cambia de +1 a 1. Con este sistema de coordenadas definimos las

funciones de forma ( N ) utilizado para interpolar el campo de desplazamiento en

forma lineal como:

2

11

N (2.5)

2

12

N (2.6)

21

Figura 2.6 Funciones de forma: a) N1, b) N1, c) interpolación lineal u

El campo de desplazamiento lineal dentro del elemento en función de los

desplazamientos nodales q1 y q2 será:

2211 qNqNu (2.7)

Y en forma matricial:

qNu (2.8)

Donde:

21 NNN 21 qqq (2.9)

Este último es el vector de desplazamiento del elemento.

La transformación de x a ξ en términos de N1 y N2 será:

2211 xNxNx (2.10)

Se observa que la coordenada x y el desplazamiento u es interpolado dentro del

elemento usando las mismas funciones de forma N1, N2. a esto se denomina

formulación isoparamétrica. Las funciones de forma deben satisfacer: a) sus

primeras derivadas deben ser finitas dentro de un elemento, b) los desplazamientos

deben ser continuos a través de la frontera del elemento.

22

ENFOQUE DE LA ENERGÍA POTENCIAL

La expresión general de la energía potencial total de un cuerpo elástico es:

i

ii PudxTuAdxfuAdxV .......2

1 (2.11)

Donde Pi y ui representan la fuerza en el punto i y el desplazamiento del punto i

respectivamente.

Como el método del elemento finito discretiza un continuo entonces la expresión

anterior se escribe como:

e e i

iie ee e

PQTdxuAdxfuAdxV ......2

1 (2.12)

Esta ecuación se puede escribir en la forma:

e e i

iie ee

e PQTdxuAdxfuUV .... (2.12’)

Donde:

qdBBEl

AqqAdxBEBqAdxU Te

ee

T

e

TTTe

1

1

.22

1..

2

1..

2

1 (2.13)

qkqql

EAqq

l

EAqU eT

e

eeT

e

eeTe 2

1

11

11

2

111

1

1

2

12

(2.13’)

Donde la matriz de rigidez del elemento es:

11

11

e

eee

l

AEk (2.14)

Los términos de fuerza de un cuerpo elemental podemos expresar como:

eTe

eT

e

e

e

eT

e

e

e

T fqflA

qdxNfA

dxNfA

qdxqNqNfAfAdxu

1

1

22

1

2211 (2.15)

23

Donde el vector fe de fuerza del cuerpo del elemento es:

1

1

2

flAf eee (2-16)

El término e

TTdxu de la fuerza de tracción del elemento es:

eT

e

eT

e e

T TqdxNT

dxNT

qTdxqNqNTdxu

2

1

2211 (2.17)

Luego, el vector de fuerza de tracción del elemento es:

1

1

2ee Tl

T (2.18)

La energía potencial total se puede escribir en la forma:

FQQKQV TT ...2

1 (2.19)

Donde Q es el vector de desplazamiento global, K la matriz de rigidez global y F el

vector de carga global.

METODO MATRICIAL DE ANALISIS ESTRUCTURAL

Generalmente las estructuras elásticas están sujetas a las fuerzas ubicadas en los nodos

designadas por Fx,1, Ff,1, Fz,1, Fx,2, Ff,2, Fz,2 , Fx,3, Ff,3, Fz,3, . . . , Fx,n, Ff,n, Fz,n donde el 1er

subíndice indica la coordenada y el 2do subíndice el nodo; estos generan

desplazamientos u1, v1, w1, u2, v2, w3, . . . , un, vn, wn de los nodos 1, 2 ,3, …,n

respectivamente, los cuales se pueden escribir en forma de matriz de columna. En la

figura 2.7 se representa un elemento plano [2].

24

Figura 2.7.Sistema de coordenadas local y global para un miembro plano de 2 fuerzas

zn

yn

xn

z

Y

x

F

F

F

F

F

F

F

.

.

.1

1

1

n

n

n

w

v

u

w

v

u

.

.

.1

1

1

(2.20)

La relación de las fuerzas con los desplazamientos podemos escribir en la forma.

kF (2.21)

Donde k es una matriz simétrica de la forma:

nnnn

n

n

kkk

kkk

kkk

K

...

............

...

...

21

22221

11211

(2.22)

El elemento ijk se denomina coeficiente de influencia de rigidez.

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN RESORTE ELASTICO

Consideremos un resorte de rigidez k en dirección del eje x sometida a las fuerzas

Fx1 y FX2 en los nodos 1 y 2 que tienen desplazamientos u1 y u2 respectivamente, tal

como se indica en la figura 2.8 [2]. .

25

Figura 2.8. Determinación de matriz de rigidez de un resorte

Si el nodo 2 es fijo, entonces u1 = u1 y u2 = 0. Luego la fuerza en el resorte será:

11 kuFX (2.23)

y por equilibrio

112 kuFF XX (2.24)

Si el nodo 1 es fijo, entonces u1 = 0 y u2 = u2. luego la fuerza en el resorte será:

122 XX FkuF (2.25)

Por superposición de las 2 condiciones cuando ambos nodos tiene los

correspondientes desplazamientos u1 y u2 respectivamente, las fuerzas en los nudos

serán:

211 kukuFx (2.26)

212 kukuFx (2.27)

Escribiendo en forma matricial obtendremos:

2

1

2

1

u

u

kk

kk

F

F

x

x (2.27)

Observamos que la la matriz de rigidez del resorte es una matriz simétrica del orden

2x2.

kk

kkK (2.28)

26

CAPITULO III

ARMADURAS

Las armaduras son estructuras de ingeniería formados por miembros rectos unidos

sus extremos por pernos, remaches o soldadura. Los materiales pueden ser

aluminio, acero y madera. Las armaduras se clasifican en planas y espaciales,. Las

primeras pueden ser simples, compuestas y complejas. En la figura 3.1 se muestran

armaduras: simple compuesta, compleja y espacial [4].

Figura 3.1 Armaduras simple, compuesta, compleja y espacial

27

ARMADURAS PLANAS.

Son aquellas donde todos sus miembros se encuentran en el mismo plano. Se usan

en la construcción de Puentes, hangares y grandes almacenes y centros comerciales.

E n la figura 3.2 se muestra una armadura plana con sus componentes [3]. .

Figura 3.2 Armadura simple sujeto a carga

Las armaduras pueden ser estáticamente determinadas y indeterminadas. En la

figura 3.3 se observa los dos tipos de armaduras.

28

Figura 3.3 Armaduras: isostática y hiperestática

La diferencia entre los 2 tipos de armaduras es respectivamente:

3 reacciones 4 reacciones

3 ecuaciones de equilibrio estático 3 ecuaciones de equilibrio estático

0xF 0M

0yF 0yF

0M 0M

La armadura hiperestática mostrada es redundante de primer grado.

FORMULACIÓN EN ELEMENTO FINITO

Consideremos el desplazamiento de un solo elemento originado por la fuerza F

como el indicado en la figura 3.4.

29

Figura 3.4 Miembro de 2 fuerzas sujeto a la carga P

El esfuerzo promedio en una sección del elemento será:

A

F (3.1)

La deformación unitaria del miembro se expresa como.

L

L (3.2)

Relacionando ambos por la LEY DE Hooke tendremos:

.E (3.3)

Combinando las tres ecuaciones y simplificando obtendremos:

LL

EAF

.(3.4)

Se observa que esta ecuación es similar a la ecuación del resorte, F=k.x.

De esta forma el miembro cargado centralmente y de sección transversal

constante puede ser modelado como un resorte con rigidez equivalente:

L

EAkeq

. (3.5)

30

En la figura 3.5 se muestra una armadura balcón compuesta por 6 barras y 5

nudos. De aquí aislamos un miembro arbitrariamente orientado.

Figura 3.5 Armadura balcón indicando barras ( …) y nudos

En general dos sistemas de referencia son requeridos para describir problemas de

armaduras: el sistema de coordenadas globales y sistema de coordenadas locales [3]. .

Figura 3.6 Relación entre las coordenadas local y global de una barra

31

El desplazamiento global (Uix, Uiy en el nudo i y Ujx, Ujy en el nudo j) está relacionado

al desplazamiento local (uix, uiy en el nudo i y ujx, ujy en el nudo j) mediante las

relaciones:

cos

cos

cos

cos

jyjxjy

jyjxjx

iyixiy

iyixix

usenuU

senuuU

usenuU

senuuU

(3.6)

Esta ecuación se puede escribir en forma matricial como.

uTU . (3.7)

Donde:

jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

u

u

u

u

u

y

sen

sen

sen

sen

T

U

U

U

U

U

cos00

cos00

00cos

00cos

,

U y u representan los desplazamientos de los nudos i y j con respecto a las

coordenadas de referencia global XY y local xy de la armadura, T es la matriz de

transformación para pasar de la deformación local a global.

En forma similar las fueras locales y globales pueden ser relacionada por la ecuación:

32

cos

cos

cos

cos

jyjxjy

jyjxjx

iyixiy

iyixix

fsenfF

senffF

fsenfF

senffF

(3.8)

Y en forma de matriz,

fTF . (3.9)

Donde:

jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

f

f

f

f

f

y

sen

sen

sen

sen

T

F

F

F

F

F

cos00

cos00

00cos

00cos

,

Representan componentes de la fuerza local en los nudos i y j.

Debemos tener en cuenta que los desplazamientos y las fuerzas en dirección del eje y es

cero debido a que consideramos la barra como miembro de 2 fuerzas en dirección del

eje x, como se observa en la figura 3.7

33

Figura 3.7 Fuerzas internas sobre un elemento barra arbitrario

Las fuerzas locales relacionadas con los desplazamientos locales mediante la matriz de

rigidez es:

jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

u

u

u

u

kk

kk

f

f

f

f

0000

00

0000

00

, (3.10)

Donde k = keq = A.E/L, escribiendo en forma de matriz

uTf . (3.11)

Sustituyendo f y u en términos de F y U obtendremos:

UTKFT 11 (3.12)

Donde 1T es la inversa de la matriz T y tiene la forma:

34

cos00

cos00

00cos

00cos

1

sen

sen

sen

sen

T (3.13)

Multiplicando ambos miembros por T y simplificando obtendremos:

UTKTF 1 (3.14)

Reemplazando los valores T , K , 1T y U en la ecuación anterior y multiplicando,

obtendremos

jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

U

U

U

U

sensensensen

sensen

sensensensen

sensen

k

F

F

F

F

22

22

22

22

cos.cos.

cos.coscos.cos

cos.cos.

coscoscos.cos

(3.15)

Esta ecuación expresa la relación entre las fuerzas aplicadas la matriz )(EK y la

deflexión de un nudo de un arbitrario elemento. La matriz de rigidez )(EK para un

miembro de la armadura es:

22

22

22

22

)(

cos.cos.

cos.coscos.cos

cos.cos.

coscoscos.cos

sensensensen

sensen

sensensensen

sensen

kK e (3.16)

En el siguiente paso se consideran el ensamble de matrices de elementos barra

aplicando las condiciones de borde y carga calculando desplazamientos y otras

informaciones como el esfuerzo, el que se resolverá mediante un ejemplo de aplicación.

35

Ejemplo

Consideremos una armadura tipo balcón indicado en la figura 3.5 con las dimensiones

indicadas. Determinar el desplazamiento de los nudos debido a las cargas indicadas. El

material es de madera con E =1,90X106 lb/pulg2. con sección transversal de 8 pulg2

se resolverá el problema manualmente para su mejor comprensión.

Las fases de procesamiento son:

1. discretización del problema en nudos y elementos.

Cada barra es un elemento y cada junta conector de unión es nudo. En este

problema modelaremos con 5 elementos.

Elemento Nodo i nodo j θ

( 1 ) 1 2 0

( 2 ) 2 3 135

( 3 ) 3 4 0

( 4 ) 2 4 90

( 5 ) 2 5 45

( 6 ) 4 5 0

2. asumiendo una solución aproximada al comportamiento de un elemento.

Los elementos (1), (3), (4) y (6) tienen la misma longitud, luego:

lg/1022,4

36

1090,18. 66 pulbxxx

L

EAkeq

Los elementos (2) y (5) tienen la misma longitud, luego:

lg/1098,2

9.50

1090,18. 56 pulbxxx

L

EAkeq

36

3. desarrollo de las ecuaciones por elementos

Para los elementos (1), (3) y (6) el sistema de coordenadas global está alineada,

donde θ =0˚, usando la ecuación (…) encontramos que la matriz de rigidez es:

22

22

22

22

)(

cos.cos.

cos.coscos.cos

cos.cos.

coscoscos.cos

sensensensen

sensen

sensensensen

sensen

kK e

)0()0cos().0()0()0cos().0(

)0cos().0()0(cos)0cos().0()0(cos

)0()0cos().0()0()0cos().0(

)0cos()0()0(cos)0cos().0()0(cos

1022,4

22

22

22

22

5)1(

sensensensen

sensen

sensensensen

sensen

XK

Y

X

Y

X

U

U

U

U

xK

2

2

1

1

5)1(

0000

0101

0000

0101

1022,4

La posición de LA MATRIZ DE RIGIDEZ del elemento (1) en la matriz global

es:

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

K

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

5)1(

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

000000022.4022.4

0000000000

000000022.4022.4

10

37

Para el elemento (3) es :

Y

X

Y

X

U

U

U

U

xK

3

3

3

3

5)3(

0000

0101

0000

0101

1022,4

su posición en la matriz global es :

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

G

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

K

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

5)3(

0000000000

0000000000

0000000000

00022.4022.40000

0000000000

00022.4022.40000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

10

La matriz de rigidez para el elemento (6) es:

Y

X

Y

X

U

U

U

U

xK

5

5

4

4

5)6(

0000

0101

0000

0101

1022,4

y la posición en la matriz global es:

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

G

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

K

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

5)6(

0000000000

022.4022.4000000

0000000000

022.4022.4000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

10

38

Para el elemento (4), la orientación del sistema de coordenada local con respecto

al global es θ = 90˚, luego reemplazando en la matriz queda:

Y

X

Y

X

U

U

U

U

xK

4

4

2

2

5)4(

1010

0000

1010

0000

1022,4

Su posición global es :

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

G

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

K

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

5)4(

0000000000

0000000000

0022.400022.4000

0000000000

0000000000

0000000000

0022.400022.4000

0000000000

0000000000

0000000000

10

Para el elemento (2) cuya coordenada local esta a θ = 135˚ respecto a la

coordenada global, su matriz de rigidez será:

Y

X

Y

X

U

U

U

U

xK

3

3

2

2

5)2(

1111

1111

1111

1111

1049.1

su posición en la matriz de rigidez global será:

39

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

G

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

K

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

5)4(

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

000049.149.149.149.100

000049.149.149.149.100

000049.149.149.149.100

000049.149.149.149.100

0000000000

0000000000

10

Para el elemento (5) cuya coordenada local se orienta respecto a la coordenada

global un θ = 45˚ su matriz de rigidez local es:

Y

X

Y

X

U

U

U

U

xK

5

5

2

2

5)5(

1111

1111

1111

1111

1049.1

su posición en la matriz global es:

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

G

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

K

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

5)5(

49.149.1000049.149.100

49.149.1000049.149.100

0000000000

0000000000

0000000000

0000000000

49.149.1000049.149.100

49.149.1000049.149.100

0000000000

0000000000

10

4. Ensamble de elementos

la matriz de rigidez global se obtiene al ensamblar todos los matrices

individuales:

GGGGGGG KKKKKKK 654321

40

Sumando y simplificando obtendremos:

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

G

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

K

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

5)5(

49.149.1000049.149.100

49.171.5022.40049.149.100

0022.400022.4000

022.4044.8022.40000

000049.149.149.149.100

00022.449.171.549.149.100

49.149.122.4049.149.12.7000

49.149.10049.149.102.7022.4

0000000000

000000022.4022.4

10

5. Aplicando las condiciones de borde y cargas:

Como los nudos 1 y 3 son fijos entonces: U1X = 0, U1Y =0, U3X = 0, U3Y = 0,

las cargas externas en los nudos 4 y 5 son: F4Y= -500 lb, F5Y = -500 lb,

reemplazando en la matriz de rigidez global, tenemos:

500

0

500

0

0

0

0

0

0

0

49.149.1000049.149.100

49.171.5022.40049.149.100

0022.400022.4000

022.4044.8022.40000

000049.149.149.149.100

00022.449.171.549.149.100

49.149.122.4049.149.12.7000

49.149.10049.149.102.7022.4

0000000000

000000022.4022.4

10

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

5

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

Debido a que U1X = 0, U1Y =0, U3X = 0, U3Y = 0, podemos eliminar el 1°, 2do

5to, y 6ta filas y columnas de nuestros cálculos de manera que quede la matriz 6x6,

sistema de ecuaciones algebraicas queda:

41

500

0

500

0

0

0

549.149.10049.149.1

49.171.5022.449.149.1

0022.4022.40

022.4044.800

49.149.122.402.70

49.149.10002.7

10

5

4

4

2

2

5

YU

U

U

U

U

U

X

Y

X

Y

X

:

Fase de solución

6.- Solución del sistema de ecuaciones simultáneas. la solución es el indicado:

0195.0

00240.0

0114.0

00118.0

0

0

01026.0

00355.0

0

0

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

7. Determinación de las reacciones:

las fuerzas de reacción se obtiene de la relación:

FUKR G

de tal modo que:

500

0

500

0

0

0

0

0

0

0

0195.0

00240.0

0114.0

00118.0

0

0

01026.0

00355.0

0

0

49.149.1000049.149.100

49.171.5022.40049.149.100

0022.400022.4000

022.4044.8022.40000

000049.149.149.149.100

00022.449.171.549.149.100

49.149.122.4049.149.12.7000

49.149.10049.149.102.7022.4

0000000000

000000022.4022.4

105

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

42

Los resultados de la operación son:

0

0

0

0

100

1500

0

0

0

1500

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

En la figura 3.8 se observa el sistema de coordenadas global para cada

nudo de la armadura [5].

Figura 3.8 Armadura plana en sistema de coordenadas global

ARMADURAS ESPACIALES

La armadura en 3 dimensiones se denomina armadura espacial. Una armadura espacial

simple tiene 6 barras todos unidos en sus extremos formando un tetraedro tal como se

indica en la figura 3.9. Agregando 3 barras y 1 nudo podemos formar armaduras

complejas. Las barras son miembros de 2 fuerzas [3]. .

43

Figura 3.9 Armadura espacial simple y compleja

.La formulación por elementos finitos de la armadura espacial es una extensión del

análisis de armadura plana. El desplazamiento global de un elemento está representado

por UiX, UiY , UjX UiZ, UJy y UJz debido a que cada nudo puede desplazarse en 3

direcciones. Sin embargo los ángulos θX, θy y θz definen la orientación de cada barra

con respecto al sistema de coordenadas global, tal como se indica en la figura 3.10.

Figura 3.10 Los ángulos formado por el miembro con los ejes X, Y y Z

44

Los cosenos directores se pueden escribir en términos de diferencia entre las

coordenadas de nodos j e i de un miembro y la longitud del miembro de acuerdo a las

relaciones:

L

XX ijX

cos (3.17)

L

YY ijY

cos (3.18)

L

ZZ ijZ

cos (3.19)

Donde:

222ijijij ZZYYXXL (3.20)

La matriz de rigidez )(EK para un miembro de la armadura en 3 D es:

zyxyxyxyx

yxyyxyxyx

yxyxxyxyx

yxzxzyxzx

yxyxzyyyx

zxyxxzxyxx

e kK

22

22

22

22

22

22

)(

coscoscoscoscoscoscoscoscoscos

coscoscoscoscoscoscoscoscoscos

coscoscoscoscoscoscoscoscoscos

coscoscoscoscoscoscoscoscoscos

coscoscoscoscoscoscoscoscoscos

coscoscoscoscoscoscoscoscoscos

(3.21)

el procedimiento para el ensamble de matrices individuales para armaduras espaciales

es idéntico que para las armaduras planas.

45

CAPITULO IV

PROBLEMAS BIDIMENSIONALES

INTRODUCCIÓN

Los problemas bidimensionales formulados mediante elemento finito son similares al

unidimensional. Los desplazamientos, las fuerzas puntuales y las distribuidas son

funciones de la posición indicada por (x,y). El vector desplazamiento u está dado por:

Tvuu , (4.1)

Donde u, v son funciones de x e y , componentes de u .

Los esfuerzos y deformaciones unitarias están expresadas por.

TZYX (4.2)

TZYX (4.3)

En la figura 4.1 se muestra un cuerpo bidimensional [1] con la fuerza del cuerpo por

unidad de volumen y el vector tensión y el volumen elemental expresamos como.

Tyx fff , Tyx TTT , dAtdV . (4.4)

Donde t es el espesor a lo largo del eje z. la fuerza del cuerpo f tiene unidades de fuerza

por unidad de volumen y T fuerza por unidad de área.

46

Figura 4.1 Cuerpo bidimensional

Las relaciones deformación unitaria desplazamiento podemos expresar como.

T

dx

dv

dy

du

dy

dv

dx

du

(4.5)

Los esfuerzos y las deformaciones unitarias están relacionadas por la ley generalizada

de Hooke que expresada en forma vectorial es:

D (4.5)

La región se discretiza para expresar los desplazamientos en términos de valores en

puntos discretos mediante elementos triangulares. Luego aplicamos los conceptos de

rigidez y carga mediante enfoques de energía y Galerkin.

CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DEL ELEMENTO FINITO.

La región bidimensional se divide en triángulos de lados rectos. El cuerpo de la figura

3.2 ha sido discretizado mediante triangulación típica. Los puntos donde están los

vértices de los triángulos se llaman nodos y cada triángulo formado por 3 lados y 3

nudos se llama elemento. En el anexo A-1 se representa una placa con agujero mediante

mallas elementales con aproximación gruesa y fina [6].

47

Figura 4.2 Discretización del cuerpo mediante elemento finito

Los elementos llenan toda la región excepto una pequeña región en la frontera. Esta

región no cubierta está en fronteras curvas y puede reducirse escogiendo elementos mas

pequeños o elementos con fronteras curvas. Con elemento finito resolvemos en forma

aproximada un problema continuo. Para una triangulación, los números de los nodos

están en los vértices y los números de los elementos están encerrados en un círculo.

En problemas bidimensionales a cada nodo se permite que se desplace en 2 direcciones:

x e y, luego cada nodo tiene 2 grados de libertad (gdl).

El vector desplazamiento global lo denotamos como:

TNQQQQ ...,, 21 (4.7)

Donde N es el número de grados de libertad. La información sobre la triangulación se

presenta en forma de coordenadas nodales y conectividades. Las coordenadas nodales se

almacenan en un arreglo bidimensional que representan el número total de nodos y las 2

48

coordenadas por nodo. La conectividad puede verse aislando un elemento típico, tal

como se muestra en la figura 4.3 [1]

Figura 4.3 Elemento triangular

La mayoría de los códigos estándar del elemento finito usan la convención de circular

alrededor del elemento en sentido antihorario para evitar un área negativa. La tabla 4.1

indica la correspondencia entre los números de nodos local y global y los

correspondientes grados de libertad. Las componentes de desplazamiento de un nodo

local de un nodo local j en la fig 4.3 están representadas por q2j-1 y q2j en las direcciones

x e y respectivamente, El vector de desplazamiento del elemento denotamos como:

Tqqqqq 621 ,...,,, (4.8)

49

Tabla 4.1 elemento de conectividad

Número del elemento e

Tres nodos

1 2 3

1 1 2 4

2 4 2 7

…

11 6 7 10

…

20 13 16 15

Las coordenadas nodales designadas por (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) tienen la

correspondencia global establecida en la tabla 4.1

TRIANGULO DE DEFORMACIÓN UNITARIA CONSTANTE.

Los desplazamientos en puntos dentro del elemento deben ser representados en

desplazamientos nodales del elemento. El método el elemento finito usa el concepto de

funciones de forma para crear sistemáticamente esas interpolaciones.

Para el triángulo de deformación unitaria las funciones de forma son lineales sobre el

elemento. Las 3 funciones de forma N1 , N2 , N3 correspondientes a los nodos 1, 2, y 3

respectivamente. En la fig 4.4 se muestra la función de forma N1 es 1 en el nodo 1 y se

reduce a 0 en los nodos 2 y 3. los valores de la función de forma N1 definen entonces

una superficie plana sombreada, N2 , N3 son representadas por superficies similares con

valores 1 en los nodos 2 y 3 respectivamente y de 0 en los bordes opuestos. Cualquier

combinación de esas funciones representa también una superficie plana, en particular

50

N1 + N2 + N3, representan un plano de altura 1 en los nodos 1, 2 y 3 y entonces es

paralelo al triángulo 123. en consecuencia para toda N1 , N2 , N3 ,

N1 + N2 + N3 = 1 (4.9)

Figura 4.4 Funciones de forma.

Por lo que N1, N2, N3 no son linealmente independientes, siendo solo dos de ellas. Las

funciones independientes podemos representar por El par , , como sigue.

13

2

1

N

N

N

(4.10)

Donde , , son coordenadas naturales. Las coordenadas x,y son mapeadas en las

coordenadas , y las funciones de forma se definen como funciones de ..y

51

Las funciones de forma pueden representarse físicamente por áreas coordenadas. Un

punto (x,y) en un triángulo divide a éste en 3 áreas A1, A2 y A3 como se ve en la figura

4.5. Las funciones N1 , N2 y N3 se representan por:

Figura 4.5 Áreas coordenadas.

A

AN

A

AN

A

AN

33

22

11

(4.11)

Donde A es el área del elemento

En todo punto dentro del triángulo se cumple: 1321 NNN .

Representación isoparamétrica.

Los desplazamientos dentro Del elemento se escriben ahora usando las funciones de

forma y los valores nodales del campo de desplazamiento desconocido.

634221

533211

qNqNqNv

qNqNqNu

(4.11)

O empleando las relaciones (4.10).

52

66462

55351

qqqqqv

qqqqqu

(4.11’)

Las relaciones (4.11) pueden expresarse en forma matricial definiendo una matriz N de

función de forma.

321

321

000

000

NNN

NNNN (4.12)

Y

qNu . (4.14)

Para el elemento triangular, las coordenadas x,y también pueden representarse en

términos de coordenadas nodales usando las mismas funciones de forma. Esta se llama

representación isoparamétrica.

332211

332211

yNyNyNy

xNxNxNx

(4.14)

Ó

33231

33231

yyyyyy

xxxxxx

(4.14’)

Utilizando la notación xij = xj – xi e yij = yj – yi escribimos como:

32313

32313

yyyy

xxxx

(4.14’’)

Energía potencial

La energía Potencial del sistema está dada por :

iITTTT PudtTudAtfudAtD ...........

2

1 (4.15)

53

El último término de la ecuación anterior, i indica el punto de aplicación de la carga

puntual Pi y Tyxi PPP , . La sumatoria sobre i da la energía potencial debida a todas

las cargas puntuales.

Usando la triangulación mostrada, la energía potencial total puede escribirse en la

forma:

iITTTT PudtTudAtfudAtD ...........

2

1 (4.16)

i

L i

Ti

T

e e

T

ee PuTtdludAtfuU ... (4.16’)

Donde dAtDU Te ...

2

1 es la energía de deformación unitaria del elemento.

RIGIDEZ DEL ELEMENTO

Expresando la energía de deformación unitaria en la forma:

dAtqBDBqdAtDU TTTe ....

2

1...

2

1 (4.17)

Considerando que el espesor del elemento t como constante sobre el elemento, así como

todos los términos de las matrices D y B son constantes, tenemos.

qkqqBDBAtqqdAtBDBqU eTTee

T

e

eTT

e 2

1...

2

1..

2

1

(4.17’)

Donde ke es la matriz de rigidez del elemento, dado por:

BDBAtk Tee

e . (4.18)

La conectividad del elemento se se utiliza para sumar los valores de la rigidez del

elemento en ke en localizaciones globales correspondientes de la matriz de rigidez

global K, luego:

QKQqkqU T

e

eT .2

1

2

1 (4.19)

54

La matriz de rigidez K es simétrica y en banda o dispersa. La rigidez global K está en

una forma donde todos los grados de libertad Q están libres y necesita ser modificada

para tomar en cuenta las condiciones de frontera.

TERMINOS DE FUERZA

El término de fuerza de cuerpo se expresa como:

dAvfuftdAtfu yxeT .. (4.20)

Utilizando las relaciones de interpolación, obtenemos:

e

xe

e

xe

e

xe

e

xe

e

xe

e

xeT

dANftqdANftq

dANftqdANftq

dANftqdANftqdAtfu

3635

2423

1211

.................

.................

..

(4.20’)

La e

dAN1 representa el volumen de un tetraedro con área Ae en su base y altura en el

vértice igual a 1, como se ve en la figura 4.6.

Luego.

e

e

AdAN3

11 (4.21)

De manera similar e

ee

AdANdAN3

132 .

55

Figura 4.6 Integral de una función de forma

Luego la ec (4.20) queda como:

eTT fqdAtfu ... (4.22)

Donde fe es el vector de fuerza del elemento de la forma:

Tyxyxyxeee ffffff

Atf ,,,,,

3 (4.23)

Estas fuerzas nodales del elemento contribuyen al vector de carga global F. Mediante la

tabla 4.1 de conectividad se debe usar nuevamente para agregar fe de dimensión (6x1)

al vector global de fuerza F de dimensión (Nx1). Este procedimiento de ensamble visto

anteriormente se expresa simbólicamente como:

e

efF . (4.24)

La fuerza de tracción es una fuerza distribuida que actúa sobre la superficie del cuerpo.

Esta fuerza actúa sobre los bordes que conectan los nodos de frontera. Una fuerza de

tracción que actúa sobre el borde de un elemento contribuye al vector global de carga F.

Considerando un borde l1-2 donde actúa una tracción Tx, Ty en unidad de fuerza por

unidad de superficie de área mostrado en la figura 4.7, tenemos:

56

dlvTuTdltTuL l

yxT

21

.. (4.25)

Mediante relaciones de interpolación que contienen las funciones de forma:

Figura 4.6 Carga de tracción

2211

2211

4221

3211

yyy

xxx

TNTNT

TNTNT

qNqNv

qNqNu

(4.26)

Considerando que.

212

1 3

1

21

ldlNl

, 2122 3

1

21

ldlNl

, 2123 3

1

21

ldlNl

,

212

21221 yyxxl (4.27)

Se obtiene:

e

l

T TqqqqdltTu 4321 ,,,..21

(4.28)

57

Donde Se te expresa como:

TYYxXXYYXxee TTTTTTTTTTlt

T 2121212121 2,,2,2,,2

6 (4.29)

Si p1 y p2 son presiones que actúan normalmente en la línea dirigida hacia la derecha

cuando nos movemos de 1 a 2, como se muestra en la figura 4.6. Luego:

11 cpTx , 22 cpTx , 11 spTy , 12 spTy

21

21

l

xxs y

21

12

l

yyc

Las contribuciones de la carga de tracción deben agregarse al vector global de fuerza F.

58

CAPÍTULO V

SÓLIDOS DE SIMETRÍA AXIAL CON CARGA AXIAL SIMÉTRICA.

INTRODUCCIÓN.

Los sólidos tridimensionales de simetría axial (o sólidos de revolución) sometidas a

carga axial se reducen a problemas bidimensionales. por su simetría respecto al eje z,

todos los esfuerzos y deformaciones son independientes del ángulo de rotación θ y se

convierte en problema bidimensional en rz definido sobre el área revolvente. Las

fuerzas gravitatorias se consideran si actúan en dirección del eje z. La figura 5.1 muestra

las carga sobre el plano rz. [1]

Figura 5.1 Problema de simetría axial

59

FORMULACIÓN DE SIMETRÍA AXIAL

Si consideramos un volumen elemental como el de la figura 5.2.

Figura 5.2 Volumen elemental

La energía potencial se escribe en la forma:

iITTT

A

T PuddrTudAdrfurdAd .......2

1 2

0

2

0

2

0

(5.1)

Donde rdldθ es el área de la superficie elemental, y la carga puntual Pi representa una

carga lineal distribuida alrededor de un círculo, como se ve en la figura 5.1

Como todas las variables son independientes de θ la ec. Anterior se puede escribir

como.

ii

Ti

A A L

TTT PuTrdlufrdAurdA2

12 (5.2)

Donde.

Tzr

Tzr

T

TTT

fff

wuu

,

,

,

(5.3)

60

Figura 5.3 Deformación de un volumen elemental

La relación de la deformación unitaria ε y los desplazamientos u escribimos a partir de

la figura 5.3 como:

T

Trzzr r

u

r

w

z

u

z

w

r

u

,,,,,, (5.4)

El vector esfuerzo se define como:

,,, rzzr (5.5)

La relación de esfuerzo deformación unitaria se da en la forma indicada:

.D (5.6)

Donde la matriz D de (4x4) puede escribirse como:

1011

012

2100

101

1

10

11

211

1

E

D (5.7)

61

MODELADO POR ELEMENTO FINITO: ELEMENTO TRIANGULAR

La región bidimensional definida por el área de revolución dividida en elementos

triangulares se indica en la figura 5.4.[1]

Figura 5.4 Triangulación del área de revolución

El área representada en el plano rz, es un sólido de revolución en forma de anillo

que se obtiene al girar el triángulo alrededor del eje z. Un elemento típico se muestra

en la figura 5.5.

Figura 5.5 Elemento triangular de simetría axial

62

Utilizando las 3 funciones de forma N1, N2 y N3, definimos:

qNu . (5.8)

Donde:

321

321

000

000

NNN

NNNN (5.9)

Tqqqqqqq 654321 ,,,,, (5.10)

Sean 1N , 2N y 13N , luego la ecuación 5.8 queda:

642

531

1

1

qqqw

qqqu

(5.11)

Mediante la representación isoparamétrica tenemos:

321

321

1

1

zzzw

rrru

(5.12)

La regla de la cadena de la diferenciación da:

z

ur

u

Ju

u

y

z

wr

w

Jw

w

(5.13)

Donde el jacobiano J está dado por:

2323

1313

z

zrJ (5.14)

En donde: rij = ri –rj y zij = zi – zj.. E l determinante de J es:

13232313 ..det zrzrJ (5.15)

El eAJ 2det . Las relaciones inversas de las ecuaciones (5.13) son:

63

u

u

J

z

ur

u1 y

w

w

J

z

wr

w1 (5.16)

Donde:

1323

13231

det

1rr

zz

Jj (5.17)

Reemplazando en le la ecuación de deformación unitaria – desplazamiento queda:

r

qNqNqNJ

qqzqqzqqrqqrJ

qqrqqrJ

qqzqqz

533211

6413622353135123

64136223

53135123

det

det

det

Se puede escribir como.

qB. (5.18)

Donde la matriz B de deformación unitaria-desplazamiento de elemento de

dimensión (4x6) es:

000

detdetdetdetdetdet

det0

det0

det0

0det

0det

0det

321

122131132332

211332

123123

r

N

r

N

r

NJ

z

J

r

J

z

J

r

J

z

J

rJ

r

J

r

J

rJ

z

J

z

J

z

B (5.19)

La energía de deformación unitaria Ue del elemento es:

qDBrdABqUe

TTe

22

1(5.20)

La cantidad entre paréntesis se denomina matriz de rigidez del elemento:

64

e

Te

T

e

Te BDBArdABDBrdADBrBk 22.2 (5.21)

Donde r es el radio del centroide y B es la matriz B de deformación unitaria-

desplazamiento del elemento evaluado en el centroide.

Debido a que eAr2 es el volumen del elemento anular de la figura 5.5 donde

JAe det2

1

Términos de la fuerza del cuerpo considerado en la fórmula de energía es:

eT

e

zr

e e

zrT

fqrdAfqNqNqNfqNqNqN

rdAwfufdAfru

6342215332112...

2.2

(5.22)

Donde el vector fe de fuerza de cuerpo del elemento et{a dado por:

Tzrzrzre

e ffffffAr

f ,,,,,3

2 (5.23)

Donde las barras sobre los términos f indican que ellos se evalúan sobre el centroide.

Tracción superficial.

Para una carga uniformemente distribuida con componentes Tr , Tz, mostradas en la

figura 5.6 sobre el borde que conecta los nodos 1 y 2, obtenemos:

Figura 5.6 Tracción superficial

65

e

eTT TqrdlTu ..2 (5.24)

Donde:

Tqqqqq 4321 ,,, (5.25)

Tzrzre bTbTaTaTlT ,,,2 21 (5.26)

6

2 21 rra

,

62 21 rr

b

, (5.27)

212

21221 zzrrl (5.28)

PROBLEMA.

Se muestra un cuerpo de simetría axial con una carga linealmente distribuida sobre

la superficie cónica. Determine las cargas puntuales equivalentes en los nodos 2, 4 y

6.

Solución:

Consideremos los 2 bordes 6-4 y 4-2 por separado y luego juntamos.

Para el borde 6-4.

. p = 0.35 MPa, r1 = 60 mm, z1 = 40 mm, r2= 40 mm, y z2 = 55 mm.

212

21221 zzrrl = 25 mm

66

6.021

21

l

zzc , 8.0

21

21

l

rrs

21.0 pcTr , 28.0 psTz

N

bTbTaTaTlTT

Tzrzr

e

..25.102669.7699.117265.879.....

,,,2 21

Estas cargas se suman a F11, F12, F7 y F8 respectivamente.

Para el borde 4-2:

. p = 0.25 MPa, r1 = 40 mm, z1 = 55 mm, r2= 20 mm, y z2 = 70 mm.

212

21221 zzrrl = 25 mm

6.021

21

l

zzc , 8.0

21

21

l

rrs

15.0 pcTr , 2.0 psTz

N

bTbTaTaTlTT

Tzrzr

e

..88.41816.3146.5237.392.....

,,,2 21

Estas cargas se suman a F7, F8, F3 y F4 , respectivamente. Entonces:

NFFFFFF ..9.11727.8795.16964.11629.4182.31412118743

67

CAPÍTULO VI

VIGAS Y MARCOS

INTRODUCCIÓN

Las vigas son miembros esbeltos utilizados para soportar cargas transversales. Las

estructuras complejas con miembros rígidamente conectados se denominan

marcos. Primero se analizaran las vigas y luego los marcos.

VIGAS

Las vigas juegan un papel muy importante en muchas aplicaciones de ingeniería

tales como la estructura de: edificios, puentes, automóviles y aviones. Una viga se

define como un miembro estructural cuya sección transversal es pequeña en

comparación de su longitud. La viga comúnmente está sujeta a cargas transversales

a su eje y estas originan la flexión de la misma. En la figura 6.1 mostramos una

viga sujeta a una carga uniformemente distribuida [3].

Figura 6.1 Viga con carga uniformemente distribuida

68

La deflexión del eje neutro de una viga a una distancia x es representado por la

variable v.

Para pequeñas deflexiones, la relación entre el esfuerzo normal σ en una sección,

el momento flector M, y el momento de inercia I está dada por la fórmula de

flexión que se indica a continuación.

.I

My

(6.1)

Donde y es la posición del punto en la sección transversal de la viga y representa la

distancia lateral desde el eje neutro al punto. La deflexión del eje neutral v está

referida al momento interno M(x), la carga cortante V(x), y la carga distribuida

w(x), de acuerdo a las ecuaciones.

)(2

2

xMdx

vdEI

(6.2)

)()(

3

3

xVdx

xdM

dx

vdEI

(6.3)

)()(

4

4

xwdx

xdV

dx

vdEI

(6.4)

Los momentos positivos y negativos [3].y las correspondientes curvaturas están

representadas en la figura 6.2. Para mayor referencia de las deflexiones de vigas se dan

en el anexo A-3 [5] se dan desplazamientos y giros en un nudo del elemento y en A-4.

[6] matriz de cargas y momentos en los nudos para las cargas: uniformemente

distribuida, distribución lineal y puntual respectivamente.

69

Figura 6.2 Deflexión de la viga con curvatura positiva y negativa

FORMULACIÓN DE VIGAS MEDIANTE ELEMENTO FINITO.

Una viga elemental consiste de 2 nodos. Cada nodo tiene 2 grados de libertad, un

desplazamiento vertical y un giro como se muestra en la figura 6.3.

Figura 6.3 Grados de libertad en los nodos3

Existen 4 valores nodales asociados con cada viga elemental. Podemos emplear un

polinomio de tercer orden con 4 coeficientes desconocidos para representar el campo de

desplazamientos. Es conveniente que la primera derivada de la función forma sea

continua. La función forma está referida al de la función de forma de Hermite.

Planteamos un polinomio de tercer orden.

34

2321 xcxcxccv

(6.5)

Las condiciones de borde del elemento están dadas por los siguientes valores nodales:

Para el nodo i:

70

- el desplazamiento vertical para x = 0 v = c1 = Ui1

- la pendiente para x = 0

22 iUcdx

dv

Para el nodo j:

- el desplazamiento vertical para x = L v = c1+c2L+c3L2+c4L

3= Uj1

- la pendiente para x = L

23

42

332 2 jULcLcLccdx

dv

Ahora tenemos 4 ecuaciones con 4 parámetros desconocidos. Determinando para c1, c2,

c3 y c4 , sustituyendo en la ec. (6.5) y reagrupando los términos Ui1, Ui2, Uj1, Uj2 resulta

la ecuación.

22112211 jjjjiiii USUSUSUSv (6.6)

Donde las funciones de forma (ver anexo A-2 [7]) están dados por:

3

3

2

2

1

231

L

x

L

xS i

(6.7)

2

32

2

2

L

x

L

xxS i

(6.8)

3

3

2

2

1

23

L

x

L

xS j

(6.9)

2

32

2 L

x

L

xS j

(6.10)

71

La energía de deformación para una viga elemental arbitrario está dado por.

dxdx

vdEIdV

dx

vdy

EdV

EedV

L

V VV

e

2

02

22

2

22

2222

(6.11)

Sustituyendo el v en términos de función de forma y valores nodales, obtendremos:

2

1

2

1

21212

2

2

2

j

j

i

i

jjii

U

U

U

U

SSSSdx

d

dx

vd

(6.12)

Reemplazando las derivadas segundas en términos de función de forma.

21

2

1 dx

SdD i

i ,

22

2

2 dx

SdD i

i ,

2

12

1 dx

SdD j

j 2

22

2 dx

SdD j

j

La ecuación (6.12) toma la forma de matriz:

UDdx

vd

2

2

(6.13)

UDDUdx

vd TT

2

2

2

(6.14)

Luego la energía potencial tendrá la forma:

L

TTe dxUDDUEI

02 (6.15)

La energía de potencial total para un cuerpo es la diferencia entre la energía total y el

trabajo realizado por las fuerzas externas:

FUe

(6.16)

Derivando con respecto a los grados de libertad de los nodos, obtenemos:

72

4,3,2,1.....0 kparaFUUUU k

e

kk (6-17)

Desarrollando la derivada de la energía de deformación

2

1

2

1

22

22

30

4626

612612

2646

612612

j

j

i

i

LT

k

e

U

U

U

U

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIUdxDDEI

U (6.18)

La matriz de rigidez para una viga elemental con 2 grados de libertad en cada nodo, el

desplazamiento vertical y la rotación es.

22

22

3

4626

612612

2646

612612

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIK e

(6.19)

Matriz de carga

Existen 2 caminos que nos permiten formular las matrices de carga nodal: (1)

minimizando el trabajo desarrollado por las cargas como se establece arriba y (2)

mediante el cálculo de las fuerzas de reacción de la viga. Considerando una viga con

carga uniformemente distribuida y las fuerzas de reacción en los extremos se observa en

la figura.6.4 [3]

Figura 6.4 Reacciones en los apoyos

73

Utilizando el primero calcularemos

)()(

4

4

xwdx

xdV

dx

vdEI

13

3

cwxdx

vdEI

Para x =0 obtenemos c1 =R1

212

2

2cxR

wx

dx

vdEI

Para x = 0, M(x) = -M1, de donde c2 = -M1

4

21

31

4

2624c

xMxRwxEIv

Para x = 0 v = 0 obtenemos c4 = 0

Aplicando las condiciones de desplazamiento y pendiente para x = L obtenemos:

02624

21

31

4

LMLRwL

LEIv

026 1

21

3

LMLRwL

dx

dvEI

lX

Tenemos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, resolviendo obtenemos:

21

wlR

, 12

2

1

wLM

MARCOS PLANOS

Los marcos planos son estructuras planas con miembros conectados rígidamente. Son

similares a las vigas, considerando ahora las cargas axiales y las deformaciones axiales,

es decir cada nodo tiene 3 grados de libertad 2 de desplazamiento y 1 de rotación.

74

FORMULACIÓN POR ELEMENTO FINITO DE MARCOS

Los marcos son miembros estructurales conectadas rígidamente a otros mediante

soldadura o pernos. En la figura 6.5 se observa un marco elemental de 2 nodos, cada

nodo tiene 3 grados de libertad: un desplazamiento longitudinal, un desplazamiento

lateral y una rotación [3].

Figura 6.5 Marco elemental

En el nodo i, el desplazamiento longitudinal ui1, el desplazamiento lateral ui2 y la

rotación ui3, en el nodo j son uj1, uj2, y uj3 respectivamente. En general 2 coordenadas de

referencia son necesarias para describir el elemento marco. Un sistema de coordenadas

global y un sistema local de referencia. La relación entre las coordenadas global (X, Y)

y la coordenada local (x,y) se da en la figura 6.5. La matriz de rigidez para un marco

elemental es una matriz de 6x6. Los grados de libertad de la coordenada local esta

relacionado con la coordenada global mediante la matriz de transformación, de acuerdo

a la relación.

UTu (6.20)

75

Donde la matriz de transformación es:

100000

0cos000

0cos000

000100

0000cos

0000cos

0

sen

sen

sen

sen

T(6.21)

La matriz de rigidez atribuida a flexión del marco elemental, para desplazamiento

lateral y flexión es:

3

2

1

3

2

1

22

22

3

460260

61206120

000000

260460

61206120

000000

j

j

j

i

i

i

exy

u

u

u

u

u

u

LLLL

LL

LLLL

LL

L

EIK

(6.22)

La matriz de rigidez del miembro debido a la carga axial es.

3

2

1

3

2

1

000000

000000

0000

000000

000000

0000

j

j

j

i

i

i

eaxial

u

u

u

u

u

u

L

AE

L

AE

L

AE

L

AE

K

(6.23)

Sumando las 2 matrices, la matriz de rigidez resultante para un marco elemental con

respecto al sistema de coordenadas local es:

76

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

AE

L

AEL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

AE

L

AE

K exy

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

(6.24)

Para expresar la matriz de rigidez [k](e) en el sistema de coordenadas global X,Y

denotamos.

TKTK exy

Te (6.25)

En la figura 6.6 se observa las coordenadas globales de un marco [2]

Figura 6.6 Marco plano en coordenadas global

En la figura 6.7 se muestra la simulación de un puente por elementos finitos [8].

Figura 6.7 Estructura puente reprensado por elemento finito bidimensional.

77

MATERIALES Y METODOS

La técnica utilizada es la recopilación de datos de diferentes textos cuando se tiene

planteado el problema de estudio de acuerdo al contenido de los capítulos. Es decir que

se tienen los objetivos y cuando se evalúa su relevancia y factibilidad, el paso siguiente

es la sustentación teórica, que comprende dos etapas a seguir.

La revisión de la literatura que consiste en detectar, obtener y consultar la bibliografía y

otros materiales de interés para los propósitos del estudio, así como extraer y recopilar

la información relevante y necesaria que corresponda a los temas a estudiar, analizando

a cada una de las actividades que se realizan como parte de la revisión de la literatura

técnica.

Desarrollo de la parte teórica. Para el desarrollo de esta parte, se revisa la literatura,

analiza y discierne sobre si la teoría existente y el análisis anterior es una respuesta a la

interrogación o está respondiendo en forma parcial y la existencia de una teoría

completamente desarrollada con abundante evidencia empírica. La teoría debe ser

lógicamente consistente, es decir la evidencia empírica se refiere a los datos de la

realidad que apoya o dan testimonio de una o varias afirmaciones.

Teniendo en cuenta estas consideraciones se ha desarrollado este libro.

78

RESULTADOS

Los resultados obtenidos en este trabajo de investigación se consideran satisfactorios

porque se cumple con el objetivo deseado de desarrollar las técnicas modernas del

Elemento Finito referentes a los temas del Syllabus de Resistencia de Materiales I y II

en un libro que en nuestro medio es escaso y se publican generalmente en inglés por lo

que se recurrió en muchos casos a su traducción, por lo que será de mucha utilidad para

el proceso de enseñanza aprendizaje en el tiempo mas breve.

El País se encuentra en proceso desarrollo debido a la gran minería y debe priorizar la

industrialización inmediata para salir del subdesarrollo y la dependencia tecnológica.

Para esto se necesita personal técnico bien capacitado e incentivado y el área metal

mecánica juega un papel muy importante para la instalación de fábricas, centros

comerciales, por la que el dominio de Elemento Finito es vital durante el diseño tanto

para el ingeniero Mecánico y otras especialidades. Ese objetivo se trata de cumplir con

este libro.

79

DISCUSION

Dada la escasa información existente en las bibliotecas de las universidades públicas del

país sobre el Elemento Finito y la carencia de programas de estudio sobre el tema y la

importancia del mismo en los países desarrollados en la era digital que vivimos, me ha

obligado a realizar este trabajo de investigación, con el propósito de reunir las

informaciones más relevantes y significativas en un libro con temas de la especialidad

de Resistencia de Materiales.

Así mismo, el proceso de globalización que se vive con presencia de empresas de

transnacionales han comprado activos nacionales, el mercado de trabajo obliga a que los

profesionales del medio adquieran diversos conocimientos donde el elemento finito

juega una importancia fundamental en la aceleración de los cálculos y la simulación de

casos reales, optimizando los programas de trabajo de las empresas, siendo un plus

gravitante para los profesionales que dominan este campo.

La falta de software aplicativo es una desventaja para la difusión de esta técnica en las

universidades públicas aunque con la promoción de algunas firmas como ANSYS ha

introducido en el mercado educativo nacional, el dominio del mismo será realidad

dentro de un periodo corto.

Los contenidos de este libro son importantes para el área de diseño del sector metal

mecánico y la industria en general cuyas instalaciones y equipos son de origen

mecánico.

80

REFERENCIALES

1) TIRUPATHI R. CHANDRUPATLA ASHOK D. BELEGUNDU. Introducción al

estudio del Elemento Finito en Ingeniería. México: Pearson Education, 2da edición,

1999.

2) MEGSON, T.G.H. Aircraft structures for engineering students. London: Edward

Arnold, first published,1980

3) MOAVENI, SAEED. Finite Element Analysis Theory and Application with

ANSYS, New Jersey: Prentice Hall, 2nd edition, 2003.

4) HIBBELER R.C. Análisis Estructural. México: Prentice Hall, 3ra edición, 1997

5) MC CORMAN, NELSON. Structural Analysis a Classical and Matrix Approach,

New York: Wiley, 2nd edition, 1996..

6) BORESI A.P. SCHMIDT R.J., SIDEBOTTOM O.M. Advanced Mechanics of

Materials, New York: John Wiley & Sons, Inc, fifth edition, 1993

7) LAIBLE, JEFFREY P. ANÁLISIS. Estructural. Bogotá: Mc Graw Hill, 1ra edición,

1995.

8) SMITH,J.W. Vibration of Structures Application in civil engineering design.

London: Chapman and Hall, 1st edition, 1988.

81

APENDICE

A.1 MATRIZ DE REACCIONES DE LA ARMADURA PLANA

500

0

500

0

0

0

0

0

0

0

0195.0

00240.0

0114.0

00118.0

0

0

01026.0

00355.0

0

0

49.149.1000049.149.100

49.171.5022.40049.149.100

0022.400022.4000

022.4044.8022.40000

000049.149.149.149.100

00022.449.171.549.149.100

49.149.122.4049.149.12.7000

49.149.10049.149.102.7022.4

0000000000

000000022.4022.4

105

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

82

ANEXOS.

A.1 MODELOS DE ELEMENTO FINITO DE UNA PLACA CON AGUJERO

CENTRAL

A.2 FUNCIONES DE FORMA DE LA VIGA ELEMENTAL

83

A.3 FUERZAS DEBIDO AL DESPLAZAMIENTO DEL NODO DE LA VIGA

84

A.4 CARGA NODAL EQUIVALENTE PARA LA VIGA ELEMENTAL