UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE M´ EXICO´ …

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICOCOLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

Plantel Sur

M A T E M A T I C A S - II

Plan Actualizado 2016

Cuaderno de Trabajo

Profesora: NORA JUDITH RODRIGUEZ MARTINEZ

Nombre del alumno:

Grupo:

Enero 2017

illtilltils-201 1 20

TEMARIO

UNIDAD 1 - Ecuaciones Cuadraticas.

UNIDAD 2 - Funciones Cuadraticas y Aplicaciones

UNIDAD 3 - Elementos Basicos de Geometrıa Plana

UNIDAD 4 - Congruencia, Semejanza y Teorema de Pitagoras.

Fechas de Examenes

Unidad 1-

Unidad 2-

Unidad 3-

Unidad 4-

Este texto fue elaborado, tomando como base los textos publicados por el Colegio de Ciencias yHumanidades y de otras instituciones, con el fin de apoyar a los alumnos del curso de MatematicasII, dicho material esta sujeto a las observaciones y correcciones de especialistas en el area.

1

Capıtulo 1

Repaso

1.1. Ecuaciones de primer grado

Ejemplo 1:

5x� 2 = 8

5x = 8 + 2

5x = 10

x = 105

x = 2Ejemplo 2:

12x+ 4

3x = 3

(12x+ 43x = 3)6

3x+ 8x = 18

11x = 18

x = 1811

Ejemplo 3:27(2x+ 1)� 3

5(x� 2) = 1

2

Ejercicio 1.1: Resuelve la siguiente ecuacion de primer grado.

a) x+29 �

x�83 = 3

3

Capıtulo 2

UNIDAD 1 - ECUACIONES

CUADRATICAS

2.1. Factorizacion

Se llaman factores de una expresion algebraica, a las expresiones algebraicas que multiplicadasentre si dan como producto la primera expresion.

Descomponer en factores o factorizar una expresion algebraica es convertirla en el pro-ducto de sus factores.

Ejemplos:

a(a+ b) = a2 + ab

(x+ 2)(x+ 3) = x2 + 5x+ 6

No todo polinomio se puede descomponer en dos o mas factores distintos de 1, pues del mismomodo que, en Aritmetica, hay numeros primos que solo son divisibles entre ellos mismos y entreel 1, y que, por tanto, no son el producto de otras expresiones algebraicas.

Ejemplo:

a+ b = 1(a+ b)

No puede descomponerse en dos factores diferentes de 1 porque solo es divisible por a+b y por 1.

2.1.1. Factorizacion por Factor Comun

De los coeficientes se obtiene el maximo comun divisor, de las variables se eligen las que seancomunes con el menor exponente. De esta manera se obtiene el monomio factor comun, y dentrode un parentesis se obtiene el otro factor con la suma algebraica de los cocientes de cada terminoentre el factor comun.

4

Ejemplo 1:

15y3 + 20y2 � 5y = 5y(3y2 + 4y � 1)"factor comun

Ejemplo 2:

100a2b3c� 150ab2c2 + 50abc =

Ejemplo 3:

34ax2 + 51ay2 � 68ay3 = 17a(2x2 + 3y2 � 4y3)"factor comun

34 51 68 217 51 34 217 51 17 317 17 17 17 factor comun1 1 1

Ejercicio 2.1: Factoriza por factor comun.

a) 55m2n3x+ 110m2n3x2 � 220m2y3 =

b) 12m2n+ 20m3n2 � 36m4n3 + 48m5n4 =

c) 14x2y2 � 28x3 + 56x4 =

5

d) a2b2c2 � a2c2x2 + a2c2y2 =

2.1.2. Factorizacion por Factor Comun por Agrupacion de Terminos

La agrupacion debe ser del mismo numero de terminos que tengan un factor comun, y quesiempre los factores que esten dentro del parentesis sean iguales. Si esto no es posible, la expresionno se puede descomponer por este metodo.

Ejemplo 1:

Resolvemos por separadoa2 + ab+ ax+ bx= a2 + ab | +ax+ bx

|= a(a+ b) | x(a+ b)

|= (a+ b)(a+ x)

Ejemplo 2:

4a3 � 1� a2 + 4a = 4a3 + 4a | �a2 � 1|

= 4a(a2 + 1) | �1(a2 + 1)|

= (a2 + 1)(4a� 1)Ejemplo 3:

am� bm+ an� bn =

Ejercicio 2.2: Factoriza por Agrupacion de terminos.

a) ax� 2bx� 2ay + 4by =

6

b) 6m� 9n+ 21nx� 14mx =

c) a2x2 � 3bx2 + a2y2 � 3by2 =

d) 3abx2 � 2y2 � 2x2 + 3aby2 =

2.2. Factorizacion de los trinomios de la forma ax2 + bx+ c

Ejemplo 1:

Resolver por factorizacion de la forma ax2 + bx+ c

operacion a realizar 36 2 -# 18 2 . 4

6x2+5x �6 9 3 - 9� 4 = 5

" " 3 3 . 91

Se multiplican el coeficiente del termino cuadratico y el termino independiente, en este caso6(�6) = �36, y se buscan dos numeros que multiplicados entre si den ese producto y sumadosalgebraicamente den como resultado el coeficiente del termino lineal, en este caso son 9 y -4.

6x2+5x� 6 = 6x2

+9x | -4x� 6|

= 3x(2x+ 3) | �2(2x+ 3)|

= (2x+ 3)(3x� 2)

7

Ejemplo 2:


10a2 +11a +3 5 5 5 6 + 5 = 11" " 1

Se multiplican el primero y el ultimo numeros (10)(3) = 30, que se descompone en factores paramultiplicarlos entre si y encontrar dos numeros que al realizar la operacion en este caso (suma) decomo resultado el termino de x en este caso (11).

10a2+11a+ 3 = 10a2+6a | +5a+ 3|

= 2a(5a+ 3) | +1(5a+ 3)|

= (5a+ 3)(2a+ 1)

Ejemplo 3:


2x2+3x �2 1 4� 1 = 3

" "

Se multiplican el primero y el ultimo numeros (2)(2) = 4, que se descompone en factores paramultiplicarlos entre si y encontrar dos numeros que al realizar la operacion en este caso (resta) decomo resultado el termino de x en este caso (3).

2x2+3x� 2 = 2x2

+4x | -1x� 2|

= 2x(x+ 2) | �1(x+ 2)|

= (x+ 2)((2x� 1)

Ejemplo 4:

3 + 11a+ 10a2 =

8

Ejercicio 2.3: Factoriza los siguientes trinomios de la forma ax2 + bx+ c

a) 20y2 + y � 1 =

b) m� 6 + 15m2 =

c) 4n2 + n� 33 =

d) a2 � 2a� 35 =

e) m2 � 2m� 168 =

9

f) 12� 8n+ n2 =

2.2.1. Factorizacion de diferencia de cuadrados

El producto de la suma de dos valores multiplicados por su diferencia (binomios conjugados),es una diferencia de cuadrados, que se obtiene como el cuadrado del termino comun, menos elcuadrado del termino simetrico.

a2 � b2 = (a� b)(a+ b)

Al factorizar una diferencia de cuadrados, se obtiene el par de binomios conjugados cuyo ter-mino comun es la raız cuadrada del minuendo mas y menos la raız cuadrada del sustraendo.

Ejemplo 1:

4a2 � 9 =

La raız cuadrada de 4a2 es 2a y la raız cuadrada de 9 es 3, multiplicando la suma de estasraıces (2a+ 3) por la diferencia (2a� 3) tenemos:

4a2 � 9 = (2a+ 3)(2a� 3)

Ejemplo 2:

x2 � y2 =

Ejemplo 3:

25x4 � 81y6 =

Ejercicio 2.4: Factoriza por diferencia de cuadrados

a) x2 � 4y2 =

10

b) 25� 36x4 =

c) 100� x2y6 =

d) 16x2 � 25y4 =

e) 1� y2 =

f) a2 � 4 =

g) a2 � 25 =

h) 49x2y6z10 � a12 =

i) 256a12 � 289b4m10 =

j)16m2n4 � 25 =

k)21x6 � 18y5

11

2.3. Ecuaciones de 2o grado

Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a su grado, a partir del mayor grado absoluto que tengacualquiera de sus terminos.

Por ejemplo las ecuaciones de segundo grado o cuadraticas con una incognita x son de la forma:

ax2 + bx+ c = 0 donde a 6= 0

Definicion: Una ecuacion de segundo grado con una variable es toda ecuacion en la cual, unavez simplificada, el mayor exponente de la incognita es 2.

Las ecuaciones completas de segundo grado son ecuaciones de la forma ax2+ bx+ c = 0 quetiene el termino cuadratico ax2, el termino lineal bx y el termino independiente c.

Por ejemplo: 2x2 + 7x� 15 = 0

Las ecuaciones incompletas de segundo grado son ecuaciones de la forma ax2 = 0 que carecede termino lineal bx e independiente c, de la forma ax2 + c = 0 que carece de termino lineal bx ode la forma ax2 + bx = 0 que carece del termino independiente c.

Por ejemplo: x2 � 16 = 0 y 3x2 + 5x = 0

Las raıces de una ecuacion de segundo grado son los valores de la incognita que satisfacenla ecuacion. Toda ecuacion de segundo grado tiene dos raıces donde ambos valores satisfacen laecuacion.

2.4. Ecuaciones de 2o grado incompletas de la forma ax2 +c = 0

Para obtener la solucion de una ecuacion cuadratica de la forma ax2 + c = 0 se despeja laincognita.

ax2 = �c

x2 = � ca

Se extrae la raız cuadrada a ambos lados de la igualdad.

px2 =

p� c

a

x = ±p� c

a

Si � ca es positivo, se indican las dos raıces: x1 =

p� c

a y x2 = �p� c

a

12

Si � ca es negativo, la ecuacion no tiene solucion en el conjunto de los numeros reales.

Ejemplo 1: Determinar la solucion o las raıces de la ecuacion:

x2 � 2 = 0

Despejando a x tenemos

x2 = 2

x = ±p2

Las raıces de la ecuacion son:

x1 =p2 y x2 = �

p2

Comprobacion:


3x2 + 3 = 0

Ejercicio 2.5:Determinar la solucion o las raıces de las ecuaciones y realiza la comprobacion.

a) 3x2 � 12 = 0

13

b) 5x2 � 15 = 0

c) x2 � 8 = 0

d) x2 + 3 = 0

e) 2x2 � 7 = 0

f) x2 � 25 = 0

14

2.5. Ecuaciones de 2o grado incompletas de la forma ax2 +c = d

Se despeja x2 de la ecuacion ax2 + c = d

ax2 = d� c

Recuerda que d� c es reducible a solo un valor, quedando la ecuacion como en el caso anterior.x2 = d�c

a

Se extrae la raız cuadrada a ambos lados de la igualdad.

px2 =

qd�ca

Las soluciones de la ecuacion son:

x1 =q

d�ca y x2 = �

qd�ca

Si d�ca es positivo, se indican las dos raıces x1 =

qd�ca y x2 = �

qd�ca

Si d�ca es negativo, la ecuacion no tiene solucion en el conjunto de los numeros reales.


4x2 � 3 = 2

Se despeja x2

4x2 � 3 = 2

4x2 = 2 + 3

4x2 = 5

4x2

4 = 54

Se extrae raız cuadrada a ambos lados de la igualdad:

px2 =

q54

x = ±q

54

x = ±p5p4

x = ±p52

15


x1 =p52 y x2 = �

p52

Comprobacion:


3x2 + 8 = 2


a)5x2 � 3 = �2

b)3x2 � 56 = 19

16

c)7x2 � 5 = �2

d)z2 + 9 = 73

e)m2 � 49 = 72

f)7x2 + 14 = 9

17

g)4x2 � 3 = 2

h)6y2 � 63 = 33

2.6. Ecuaciones cuadraticas de la forma:ax2 + bx = 0

Las ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0 tiene solucion en el conjunto de numeros reales y unade las soluciones siempre sera cero.

Una manera de obtener la solucion de una ecuacion cuadratica de la forma ax2 + bx = 0, sedescribe a continuacion:

Se obtiene como factor comun a la variable, se iguala con cero a ambos factores y se resuelvenlas ecuaciones lineales obtenidas.

x(ax+ b) = 0

Se igualan con cero ambos factores:

x = 0 y ax+ b = 0

Se resuelve la ecuacion de primer grado:

ax+ b = 0

ax = �b

x = �ba

18

Las soluciones de la ecuacion son:

x1 = 0 y x2 =�ba

Ejemplo 1: Determinar la solucion o las raıces de la ecuacion

3x2 + 7x = 0

Se factoriza la ecuacion:

x(3x+ 7) = 0

Ambos factores se igualan a cero:

x = 0 y 3x+ 7 = 0

Se resuelve la ecuacion de primer grado

3x+ 7 = 0

3x = �7

x = �73


x1 = 0 y x2 =�73

Comprobacion:

Ejemplo 2:Determinar la solucion o las raıces de la ecuacion

12x

2 + 35x = 0

19

Comprobacion:


45x

2 � 14x = 0

Comprobacion:


a)7x2 + 2x = 0

20

b)5x2 � 2x = 0

c)2x2 � 5x = 0

d)8x2 � 32x = 0

e)25x2 + 3

4x = 0

21

f)14x2 � 2

3x = 0

g)59x2 � 3

7x = 0

h)�613 x

2 + 25x = 0

i)3613x2 + 5

13x = 0

22

j) x2 � 2x = 0

k) x2 � 3x = 0

2.7. Ecuaciones cuadraticas de la forma a(x +m)2 = n

Una manera de obtener la solucion de una ecuacion cuadratica de la forma a(x +m)2 = n, sedescribe a continuacion:

1. Se dividen ambos miembros entre el valor de a.

2. Se extrae la raız cuadrada a ambos miembros de la ecuacion.

3. Se adiciona el simetrico del termino independiente m en ambos miembros de la ecuacion.

4. Se obtienen las raıces.


4(x� 3)2 = 16

Se divide entre 4 ambos miembros de la igualdad

(x�3)2

4 = 164

(x� 3)2 = 4

23

Se extrae la raız cuadrada en ambos miembros de la ecuacion

p(x� 3)2 = ±

p4

x� 3 = ±2

x = ±2 + 3


x1 = 2 + 3 y x2 = �2 + 3

x1 = 5 y x2 = 1

Comprobacion:


2(x+ 7)2 = 15

Comprobacion:

24


a)3(x� 5)2 = 12

b)2(x+ 34)

2 = 12

c)5(x� 2)2 = 45

d)7(x+ 5)2 = 12

25

e)16(x� 2)2 = 9

f)3(x+ 9)2 = 12

g)1311(x+ 5)2 = 1311

2.8. Ecuaciones cuadraticas de la forma (ax + b)(cx + d) = 0

Para obtener la solucion de una ecuacion cuadratica de la forma (ax+ b)(cx+ d) = 0:

1. Se igualan a cero ambos factores.

2. Se resuelven las ecuaciones de primer grado resultantes, obteniendo las soluciones

26

Ejemplo 1:

(5x� 1)(3x� 8) = 0

Se igualan a cero ambos factores.

(5x� 1) = 0 y (3x� 8) = 0

Se resuelven ambas ecuaciones de primer grado

5x� 1 = 0 y 3x� 8 = 0

5x = 1 y 3x = 8

Las soluciones de las ecuaciones son:

x1 =15 y x2 =

83

Comprobacion:

Ejemplo 2:

(3x� 2)(5x� 7) = 0

Comprobacion:

27

Ejemplo 3:

2(x+ 2)(6x+ 2) = 0

Se dividen entre 2 ambos terminos de la igualdad.

22(x+ 2)(6x+ 2) = 0

2

(x+ 2)(6x+ 2) = 0

Se igualan a cero ambos factores

x+ 2 = 0 y 6x+ 2 = 0

x = �2 y 6x = �2

x1 = �2 y x2 =�26

Comprobacion:

Ejercicio 2.9: Obten las raıces de las ecuaciones cuadraticas siguientes y realiza la comproba-cion.

a)(x� 5)(x+ 8) = 0

b)3(5x� 8)(x+ 2) = 0

28

c)(3x+ 2)(12x� 3) = 0

d)(2x� 7)(12x� 3) = 0

e)(213x� 5)(5x� 2) = 0

29

f)(314x�

34)(5

23x+ 2

5) = 0

g)1315(x�28)(x+ 9) = 0

2.9. Solucion de la ecuacion cuadratica de la forma ax2 +bx + c = 0 por el metodo de completar cuadrados

Este metodo consiste en transformar un binomio de la forma x2 + bx en un trinomio cuadradoperfecto (producto de un binomio al cuadrado):

Trinomio Cuadrado Perfecto

a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2

a2 � 2ab+ b2 = (a� b)2

30

Para obtener las raıces de la ecuacion cuadratica ax2 + bx+ c = 0, por el metodo de completarcuadrados se procede de la siguiente forma:

1. Si el valor de a es diferente de 1, se divide cada termino de la ecuacion entre el valor de esecoeficiente.

ax2

a + bxa + c

a = 0

x2 + bxa + c

a = 0

2. Se adiciona el simetrico del termino independiente a ambos miembros de la igualdad.

x2 + bxa + c

a �ca = 0� c

a

x2 + bxa = � c

a

3. Se obtiene la mitad del coeficiente del termino lineal

ba2 = b

2a

El resultado se eleva al cuadrado

�b2a

�2= b2

4a2

4. Se adiciona este numero a ambos lados de la igualdad

x2 + bxa + b2

4a2 = � ca +

b2

4a2

El trinomio cuadrado perfecto obtenido se escribe como un binomio al cuadrado (la raız cuadraddel termino cuadratico, el signo del termino lineal y la raız cuadrada del termino independiente) yse efectua la operacion indicada en el segundo miembro de la igualdad.

⇣x+ b

2a

⌘2

= � ca +

b2

4a2

Se obtiene la raız cuadrada de ambos lados de la igualdad

r⇣x+ b

2a

⌘2

=q� c

a +b2

4a2

Se obtienen las soluciones sumando y restando los valores.

x+ b2a = ±

q� c

a +b2

4a2

x = ±q� c

a +b2

4a2 �b2a


31

x1 =q� c

a +b2

4a2 �b2a y x2 = �

q� c

a +b2

4a2 �b2a

Ejemplo 1:

x2 = 16x� 63

x2 � 16x = �63

Para obtener el termino faltante del trinomio, que es el doble producto del primero por el se-gundo terminos del binomio, se utiliza el termino lineal :

2x() = #x

En este caso

2x() = 16x

Al despejar

() = 16x2x

El termino faltante es

() = 8

Completamos el trinomio con el termino faltante al cuadrado

x2 � 16x = �63

x2 � 16x+ (8)2 = �63 + (8)2

Factorizando el trinomio tenemos

(x� 8)2 = �63 + 64

(x� 8)2 = 1

Sacando raız cuadrada en ambos terminos

p(x� 8)2 =

p1

x� 8 = ±1

Despejando x

32

x = ±1 + 8

Las soluciones son:

x1 = 1 + 8 y x2 = �1 + 8

x1 = 9 y x2 = 7Comprobacion:

Ejemplo 2:

2x2 + 3x� 2 = 0

Comprobacion:

33

Ejercicio 2.10:Resuelve las siguientes ecuaciones por el metodo de completar cuadrados Tri-nomio Cuadrado Perfecto y realiza la comprobacion.

a)x2 + 16x+ 48 = 0

b)x2 + 10x+ 9 = 0

c)2x2 � 34x+ 144 = 0

34

d)x2 + 6x = �9

e)y2 + 74y +

4964 = 0

f)3z2 + 7z = 6

35

g)w2 + 3w + 94 = 0

h)x2 + 9 = 6x

i)x2 � x = �14

36

2.10. Resolucion de Ecuaciones de 2o grado de la forma

ax2 + bx + c = 0 por el metodo de factorizacion.

Factorizar una expresion algebraica equivale a representarla como el producto de dos o masfactores. Se llaman factores a las expresiones algebraicas que al multiplicarlas se obtiene la expre-sion original.

En particular, una ecuacion cuadratica se puede factorizar como el producto de dos factoreslineales.

Ejemplo 1:

Si se tiene una ecuacion de la forma x(x+3) = 5x+3, se realiza la multiplicacion para obtenerla ecuacion cuadratica que se va a factorizar.

x(x+ 3) = 5x+ 3

x2 + 3x = 5x+ 3

x2 + 3x� 5x� 3 = 0

x2 � 2x� 3 = 0

Se multiplican el primero y el ultimo numeros (1)(3) = 3, que se descompone en factores paramultiplicarlos entre si y encontrar dos numeros que al realizar la operacion en este caso (resta) decomo resultado el termino de x en este caso (2).

operacion a realizar 3 3 -# 1 .

x2-2x �3 3� 1 = 2

" "x2-2x� 3 = x2

-3x | +x� 3|

= x(x� 3) | +1(x� 3)|

= (x� 3)(x+ 1)Igualando cada termino a cero.

x� 3 = 0 y x+ 1 = 0

x1 = 3 y x2 = �1

Comprobacion:

37

Ejemplo 2:

9x+ 1 = 3(x2 � 5)� (x� 3)(x+ 2)

Comprobacion:

Ejemplo 3: (5x� 4)2 � (3x+ 5)(2x� 1) = 20x(x� 2) + 27

Comprobacion:

38

Ejercicio 2.11: Factoriza y resuelve las siguientes ecuaciones de la forma ax2 + bx+ c = 0

a) 3x2 � 5x� 2 = 0

b) 12x2 � x� 6 = 0

c) x2 + 7x+ 10 = 0

39

d)x2 + 11x = �24

e)x2 = �15x� 56

f)3(3x� 2) = (x+ 4)(4� x)

40

g)3x(x� 2)� (x� 6) = 23(x� 3)

h)5x2 + 13x� 6 = 0

i)�8y2 � 3y + 5 = 0

41

j)z2 + 2z � 24 = 0

k)x2 + x� 6 = 0

l)z2 + 16z + 15 = 0

42

m)x2 + x = 132

n)y2 + 8y + 15 = 0

n)6w2 � 13w = 15

43

o)6x2 + 5x� 6 =

p)2x2 + 3x� 2 = 0

2.11. El numero i

Los numeros imaginarios se obtienen de las raıces de ındice par de numeros negativos.

Por ejemplo:

p�1,p�3, 4

p�8

p�1 es llamada unidad imaginaria.

La unidad imaginaria se representa por la letra i. Por tanto

i =p�1

Al calcular las raıces de la ecuacion

x2 + 1 = 0

Al despejar el termino cuadratico tenemos

x2 = �1

44

Se obtiene la raız cuadrada de ambos miembros de la ecuacion:

px2 =

p�1

x = ±p�1

La raız cuadrada de -1 no esta definida en los numeros reales. Sin embargo, si se sustituye el-1 por i2 se obtiene la solucion de los numeros imaginarios, es decir:

x2 = �1

x2 = i2

px2 =

pi2

x = ±i

Si comparamos que

x = ±i y x = ±p�1

De lo anterior obtenemos que

i =p�1

Ejemplo 1:

3x2 + 27 = 0

3x2 = �27

x2 = �273

x2 = �9

Obteniendo la raız cuadrada en ambos lados de la ecuacion tenemos

px2 =

p�9

Se puede descomponer al -9 como el producto de (9)(-1)

x = ±p

(9)(�1)

Al obtener las raıces por separado

x = ±p9p�1

45

Se sustituyep�1 = i

x = ±3i

x1 = 3i y x2 = �3i

2.12. Solucion de Ecuaciones de 2ogrado utilizando la Formu-

la General

Para determinar las raıces de la ecuacion ax2 + bx+ c = 0 se aplica el metodo de completar eltrinomio cuadrado perfecto, como sigue:

Se divide cada termino entre a para reducir la ecuacion a la forma:

x2 + bax+ c

a = 0

Se adiciona el simetrico del termino independiente a ambos miembros de la ecuacion:

x2 + bax+ c

a �ca = 0� c

a

x2 + bax = � c

a

Se obtiene la mitad del coeficiente del termino lineal

ba2 = b

2a

El resultado se eleva al cuadrado

�b2a

�2= b2

4a2

Se adiciona este numero a ambos miembros de la igualdad

x2 + bxa + b2

4a2 = � ca +

b2

4a2

Al factorizar el trinomio cuadrado perfecto tenemos

⇣x+ b

2a

⌘2

= b2

4a2 �ca

Simplificando el segundo miembro de la ecuacion

⇣x+ b

2a

⌘2

= b2�4ac4a2

En los dos miembros se extrae la raız cuadrada

46

r⇣x+ b

2a

⌘2

=q

b2�4ac4a2

x+ b2a = ±

qb2�4ac4a2

Al despejar x se obtiene

x = � b2a ±

pb2�4ac2a

x = �b±pb2�4ac2a

Por lo tanto, las soluciones de la ecuacion son:

x1 =�b+

pb2�4ac2a y x2 =

�b�pb2�4ac2a

Las cuales se reducen a la expresion x = �b±pb2�4ac2a que se conoce como la formula general

para resolver ecuaciones de segundo grado con una variable y donde, b2 � 4ac se conoce comodiscriminante.

La naturaleza de las raıces depende del valor del discriminante

Caso I. b2 � 4ac > 0 las raıces son diferentes y sus valores son numeros reales.

Caso II. b2 � 4ac = 0 los valores de las raıces son dos valores iguales (raız de multiplicidaddoble) x1 = x2, es decir, la solucion es unica

Caso III. b2 � 4ac < 0 las raıces son dos numeros complejos no reales. Las raıces complejas dela ecuacion cuadratica completa son siempre conjugadas, es decir; si una solucion es a+ bi la otraes a� bi (No tiene solucion real)

Ejemplo 1: Determina la naturaleza de las raıces de la ecuacion, por medio del discriminantepara indicar cuantas soluciones y de que tipo tiene la ecuacion, resuelvela por formula general

x2 � 9x� 112 = 0

a=1 b=-9 c=-112

Discriminante b2 � 4ac = (�9)2 � 4(1)(�112)=81� 4(�112)=81+448529 > 0 Las raıces son diferentes y son dos numeros reales.

Para resolver la ecuacion sustituimos los valores en la formula general


x =�(�9)±

p(�9)2�4(1)(�112)

2(1)

47

x =9±p

81�4(�112)

2

x = 9±p81+4482

x = 9±p529

2

x1 =9+232

x1 =9±232 % x = 32

2x1 = 16

& x2 =9�232

x2 =�142

x2 = �7Comprobacion:

Ejemplo 2:

6x2 + x� 12 = 0

Comprobacion:

48

Ejemplo 3:

7(x� 3)� 5(x2 � 1) = x2 � 5(x+ 2)

Comprobacion:

Ejercicio 2.12: Utilizando el valor del discriminante, especifica si tiene solucion la ecuacionen los numeros reales , si es ası, indica de que tipo es y resuelve la ecuacion por formula general.

a)5x2 + 5x� 10 = 0

49

b)2x2 + 7x+ 3 = 0

c)x2 + 10x+ 9 = 0

50

d)4x2 � 5x� 6 = 0

e)6x2 � 5x� 4 = 0

51

f) x2 � 12x+ 36 = 0

g)3x(x� 2)� (x� 6) = 23(x� 3)

52

h) 6x2 + 5x� 6 = 0

i)3x(x� 2)� (x� 6) = 23(x� 3)

53

j)10x2 + 11x+ 3 = 0

k)x2 � x� 20 = 0

54

l) 2x2 � 7x+ 6 = 0

m) x2 � 6x+ 8 = 0

55

n)3x2 + 2x� 5 =

n)x2 � x� 2 = 0

56

o)3x2 + 4x+ 5 = 0

p)34x2 + 6x� 2

3 = 0

57

2.13. Problemas que generan para su solucion ecuaciones

de 2ogrado

Ejemplo 1: Si al doble del cuadrado de un numero se le quitan 5 el resultado es 21. Determinarel numero.

Ejercicio 2.13:

1. Si al triple del cuadrado de un numero le sumas dos veces el numero obtienes como resultadocero. ¿Cual es el numero?

2. Cinco veces el cuadrado de un numero, menos 125 es igual a cero. ¿Cual es el numero?

58

3. Cuatro veces el cuadrado de un numero menos 144 es igual a cero. Obten el numero

4. Si al doble del cuadrado de un numero se le restan 8 unidades, el resultado es cero.¿Cual esel numero?

5. El doble del cuadrado de un numero menos 162 es igual a cero.¿Cual es el numero?

59

6. El cuadrado de un numero menos el numero es igual a 20.¿Cual es dicho numero?

7. Veinticuatro mas un noveno del cuadrado de un numero es igual a diez tercios del nume-ro.¿Cual es el numero?

8. La suma de dos numeros es 42 y la suma de sus cuadrados es 1332. ¿Cuales son dichosnumeros?

60

9. La suma de dos numeros es 21 y la suma de sus cuadrados es 221. Determina dichos numeros.

10. Se desea cercar un terreno en forma cuadrada que tiene una superficie de 400m2 ¿Cuantosmetros de tela e alambre se necesitan?

11. Si el cuadrado de un numero se multiplica por 3, se le restan 16, el resultado es 32. Obten elnumero.

61

12. Un huerto tiene 168 arboles frutales. Si el numero de filas es igual al numero de arbolesreducido en 2. ¿Cuantos arboles hay en cada fila?

13. El area de un jardın rectangular mide 60m2 y el lado mayor mide 7m mas que el menor.¿Cuanto mide cada lado?

14. Una casa residencial tiene un jardın en forma rectangular y su ancho mide 2m menos que sulargo y su area es de 35m2. ¿Cuales son las dimensiones del jardın?

62

Capıtulo 3

Unidad 2 - Funciones Cuadraticas y

Aplicaciones

Definicion: Una funcion cuadratica tiene la forma f(x) = ax2 + bx + c con a diferente de cero(a 6= 0).

Ejemplo 1:

f(x) = �2x+ 3 es una funcion de primer grado (no es funcion cuadratica)

Ejemplo 2:

f(x) = (�x+ 8)x al desarrollar la funcion tenemos

f(x) = �x2 + 8x si es funcion cuadratica

Ejemplo 3:

f(x) = (25x2 � 2x)x

Ejercicio 3.1: Determina a partir de la regla de correspondencia, el grado de cada una de lassiguientes funciones y senala cuales son cuadraticas.

a) f(x) = (�x+ 5)x

b) f(x) = �3 + 4x

c) f(x) = (25x2 � 3x)x

d) f(x) = �9x+ 15

e) f(x) = �x+ 3

63

f ) f(x) = (�2x+ 7)x

g) f(x) = �4 + 3x

h) f(x) = (25x2 � 2x)x

i) f(x) = �x+ 1

j ) f(x) = �6x+ 9

k) f(x) = x3 + 7x� 2

l) f(x) = x2 + 1

m) f(x) = x4 + 2x3 � 5

n) f(x) = (x+ 1)(x� 3)

n) f(x) = (5x+ 3)x

o) f(x) = (x2 + 3x� 2)x

p) f(x) = (5x+ 3)(2x2)

3.1. Graficacion de funciones de la forma f (x) = a(x�h)2+k

Comportamiento del Parametro k

Grafica en el mismo plano:

f(x) = x2

f(x) = x2 + 3f(x) = x2 � 5

x f(x) = x2 x f(x) = x2 + 3-2 (�2)2 = 4 -2 (�2)2 + 3 = 4 + 3 = 7-1 (�1)2 = 1 -1 (�1)2 + 3 = 1 + 3 = 40 (0)2 = 0 0 (0)2 + 3 = 0 + 3 =1 (1)2 = 1 1 (1)2 + 3 =2 (2)2 = 4 2

.

64

x f(x) = x2 � 5

.

Si k es positiva (k > 0), la funcion se desplaza k unidades hacia

Si k es negativa (k < 0), la funcion se desplaza k unidades

Comportamiento del Parametro h


f(x) = x2

f(x) = (x� 3)2

f(x) = (x+ 5)2

x f(x) = x2 x f(x) = (x� 3)2

-3 (�3)2 = 9 6 (6� 3)2 = (3)2 = 9-2 5

.

x f(x) = (x+ 5)2

-8 (�8 + 5)2 = (�3)2 = 9

65

Si h es positiva (h > 0), la funcion se desplaza h unidades hacia

Si h es negativa (h < 0), la funcion se desplaza h unidades

Comportamiento del Parametro a


f(x) = x2

f(x) = 3x2

f(x) = 13x

2

x f(x) = 3x2 x f(x) = 13x

2

-3 3(�3)2 = 3(9) = 27 -4 13(�4)

2 = 13(16) =

163

-2 -3

.

x f(x) = x2

-3

66


f(x) = �x2

f(x) = �3x2

f(x) = �13x

2

x f(x) = �3x2 x f(x) = �13x

2

-3 �3(�3)2 = �3(9) = �27 -4 �13(�4)

2 = �13(16) = �

163

-2 -3

.

x f(x) = �x2

-3

.

Si el parametro a es positivo (a > 0), la funcion cuadratica abre hacia

Si el parametro a es negativo (a < 0), la funcion cuadratica abre hacia

Si el parametro a es mayor que 1 (a > 1), la funcion cuadratica se

Si el parametro a es mayor que 0 y menor que 1 (0 < a < 1), la funcion se

67

Concavidad: Se llama concavidad a la forma en la que se encorva o dobla una curva, se diceque la grafica es concava, tambien se llama concava hacia arriba.

x f(x) = x2 + 3

.

Cuando la curva abre hacia abajo se dice que la curva es convexa o concava hacia abajo.

x f(x) = �x2 + 3

3.2. Graficacion de funciones Cuadraticas- Metodo de ta-

bulacion

Al trazar la curva por los puntos colocados en el plano cartesiano, se obtiene la grafica corres-pondiente, la cual se denomina parabola. Como se observa, esta grafica tiene como caracterısticasespeciales: dos ramas, un vertice, un eje de simetrıa, una concavidad y un valor maximo o mınimo.

68

Un eje de simetrıa es la lınea imaginaria que al dividir una forma cualquiera, lo hace en dospartes o mas, cuyos puntos simetricos son equidistantes entre si.

La parabola y su eje de simetrıa se cortan en un punto al que se le llama vertice de la parabola.Que tiene coordenadas V (h, k)

El eje de simetrıa tiene la ecuacion x = h

El eje de simetrıa divide en el vertice a la parabola en dos ramas, una creciente y otra decre-ciente.

Una funcion es creciente cuando para un xo < x1 se obtiene que f(x0) < f(x1).

Una funcion es decreciente cuando para un xo < x1 se obtiene que f(x0) > f(x1).

69

Ejemplo 1: Al graficar la funcion f(x) = x2 + 5

x f(x) = x2 + 5

En la grafica la rama izquierda de la parabola es decreciente, pues al aumentar los valores delas abscisas, como consecuencia, disminuyen los valores de las ordenadas; esto se observa hasta quela rama de la parabola llega al punto mınimo (0, 5).

Despues del punto mınimo hacia la derecha, la rama de la parabola comienza a crecer, es decir,al aumentar los valores de las abscisas (x), los valores de las ordenadas aumentan.

Observacion: Al graficar en el mismo plano la funcion lineal y la cuadratica por ejemplo:

x f(x) = x2 + 1 x g(x) = x+ 1-4 -4

A la variable x se le asignan valores de uno en uno, desde -4. Al comparar la funcion linealf(x) = x + 1 con la funcion f(x) = x2 + 1 se observa que la variable x cambia de uno en uno,la funcion lineal tambien cambia de uno en uno, pero la funcion cuadratica cambia de forma di-ferente, ya que el crecimiento cuadratico lineal es mucho mayor que el crecimiento lineal.

Es importante senalar que la funcion cuadratica, de manera similar a la funcion lineal, expresauna relacion entre dos variables, una independiente generalmente la x, y la otra dependiente gene-ralmente la y que representamos con f(x). Esto indica que la variable dependiente, es decir f(x),dependera siempre del valor de la variable x que se considere.

70

3.2.1. Raıces de la ecuacion cuadratica asociada a la funcion cuadratica

La interseccion de la grafica de una funcion cuadratica con el eje de las x determina las raıcesde la ecuacion cuadratica asociada a la funcion; si la interseccion se da en dos puntos las dos raıcesson numeros reales, si la interseccion se da en un solo punto la raız es doble y es un numero real,y si no existe interseccion las dos raıces son numeros complejos no reales.

Es posible determinar cuantas soluciones tiene la ecuacion cuadratica al sustituir los coeficien-tes de la funcion cuadratica en el discriminante de la formula general:


b2 � 4ac > 0 Tiene dos soluciones diferentes

b2 � 4ac = 0 Tiene solucion unica

b2 � 4ac < 0 La solucion es compleja no real (No tiene solucion real)

Al resolver a ecuacion y encontrar las raıces se tabulan los valores alrededor de las raıces paradeterminar la grafica, y a partir de esta obtener el maximo o mınimo de la funcion .

Ejemplo 1: Al empezar un partido de baloncesto el arbitro lanza la pelota verticalmente.Despues de 11 segundos uno de los jugadores la toma y la empieza a botar. La siguiente tablamuestra la altura de la pelota en metros y el tiempo en segundos, hasta que el jugador toma lapelota.

tiempo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11altura 1.8 2.35 2.81 3.18 3.44 3.6 3.69 3.66 3.55 3.34 2.99 2.59

Construye la grafica con estos valores y determina en el que la pelota alcanza su maxima altura.

Graficamente el punto mas alto esta en el punto ( , ), por lo que la pelota alcanza su

71

maxima altura a los segundos y la altura maxima que alcanza es metros.

El vertice de la parabola esta en:

El eje de simetrıa es: x=

La parabola abre hacia abajo por lo tanto es concava haca abajo o convexa,

La parabola tiene un maximo en:

Ejemplo 2: Sea f(x) = x2 + 4x� 5a) Determina las coordenadas del maximo o mınimo de la funcion.b) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.c) Determina las raıces de la funcion.d) Traza la grafica.e) Escribe las coordenadas del vertice de la parabola .f) Indica que tipo de concavidad tieneg) Hacia donde abre la parabola.

Para determinar los valores en los que se va a tabular es necesario determinar las raıces de lafuncion cuadratica en este caso f(x) = x2 + 4x� 5

Para obtenerlas igualamos la funcion a cero

x2 + 4x� 5 = 0

Para sustituirla en la formula general


Utilizamos los valores de los coeficientes de la funcion cuadratica:

a=1 b=4 c=-5

Calculamos el discriminante para determinar cuantas raıces y de que tipo son

Discriminante b2 � 4ac = (4)2 � 4(1)(�5)=16� 4(�5)=16+2036 > 0 Tiene 2 soluciones diferentes

Para encontrar las dos raıces sustituimos y resolvemos la formula general.

x =�(4)±

p(4)2�4(1)(�5)

2(1)

x =�4±p

16�4(�5)

2

72

x = �4±p16+202

x = �4±p36

2

x1 =�4+6

2x1 =

�4±62 % x = 2

2x1 = 1

& x2 =�4�6

2x2 =

�102

x2 = �5Las raıces de la funcion cuadratica f(x) = x2 + 4x� 5 son x1 = 1 y x2 = �5

Para obtener la grafica de la funcion tabulamos los valores que hay entre las raıces con unomas de cada lado, es decir, las raıces son 1 y -5, entonces tabulamos de 2 a -6,

x f(x) = x2 + 4x� 52 (2)2 + 4(2)� 5 = 4 + 8� 5 = 71 (1)2 + 4(1)� 5 = 1 + 4� 5 = 0 raız0 (0)2 + 4(0)� 5 = 0 + 0� 5 = �5-1 (�1)2 + 4(�1)� 5 = 1� 4� 5 = �8-2 (�2)2 + 4(�2)� 5 = �9 vertice-3 (�3)2 + 4(�3)� 5 = �8-4

Graficamente se observa que la funcion tiene un mınimo en (-2,-9)

Que corresponde al vertice de la parabola V (�2,�9)

La parabola es concava hacia arriba y la parabola abre hacia arriba.

73

Ejemplo 3: Sea f(x) = �x2 + 2x� 1a) Determina las coordenadas del maximo o mınimo de la funcion.b) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.c) Determina las raıces de la funcion.d) Traza la grafica.e) Escribe las coordenadas del vertice de la parabola .f) Indica que tipo de concavidad tieneg) Hacia donde abre la parabola.

74

Ejercicio 3.2 Resuelve lo que se te indica en las siguientes funciones

1. f(x) = x2 + 4x� 3a) Determina las coordenadas del maximo o mınimo de la funcion.b) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.c) Determina las raıces de la funcion.d) Traza la grafica.e) Escribe las coordenadas del vertice de la parabola .f) Indica que tipo de concavidad tieneg) Hacia donde abre la parabola.

75

2. f(x) = �x2 + 4x+ 2a) Determina las coordenadas del maximo o mınimo de la funcion.b) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.c) Determina las raıces de la funcion.d) Traza la grafica.e) Escribe las coordenadas del vertice de la parabola .f) Indica que tipo de concavidad tieneg) Hacia donde abre la parabola.

76

3. f(x) = x2 � 8x+ 10a) Determina las coordenadas del maximo o mınimo de la funcion.b) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.c) Determina las raıces de la funcion.d) Traza la grafica.e) Escribe las coordenadas del vertice de la parabola .f) Indica que tipo de concavidad tieneg) Hacia donde abre la parabola.

77

4. f(x) = x2 � 4x+ 1a) Determina las coordenadas del maximo o mınimo de la funcion.b) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.c) Determina las raıces de la funcion.d) Traza la grafica.e) Escribe las coordenadas del vertice de la parabola .f) Indica que tipo de concavidad tieneg) Hacia donde abre la parabola.

78

3.3. Vertice de una Parabola

El maximo o mınimo de una funcion cuadratica corresponde graficamente al vertice de laparabola que representa esa funcion y generalmente se representa por V (h, k), y se puede obtenerde las dos siguientes formas:

3.3.1. Metodo de completar un trinomio cuadrado perfecto

La funcion cuadratica es de la forma f(x) = ax2 + bx+ c

Ejemplo 1: f(x) = 3x2 � 18x+ 26

1. Si el coeficiente dl termino cuadratico es diferente de 1, se divide cada termino entre elcoeficiente de a.

f(x) = 3x2 � 18x+ 26

f(x)3 = 3x2

3 �18x3 + 26

3

2. Se agrupa los terminos cuadratico y lineal.

f(x)3 = x2 � 6x+ 26

3

3. Se obtiene el cuadrado de la mitad del coeficiente del termino lineal de la expresion.

2x() = ]

En este caso

2x() = 6x

() = 6x2x

() = 3

3. A la expresion de la derecha se le suma y se le resta al mismo tiempo el cuadrado de la mitaddel coeficiente del termino lineal de la expresion.

f(x)3 = x2 � 6x+ (3)2 � (3)2 + 26

3

4. Los primeros tres terminos corresponden a un trinomio cuadrado perfecto que se factorizacomo un binomio al cuadrado.

f(x)3 = (x� 3)2 � 9 + 26

3

79

f(x)3 = (x� 3)2 � 9 + 26

3

f(x)3 = (x� 3)2 � 1

3

5. Despejamos f(x) para convertir la funcion de la forma f(x) = a(x� h)2 + k

f(x)3 = (x� 3)2 � 1

3

f(x) = 3[(x� 3)2 � 13 ]

f(x) = 3(x� 3)2 � 3(13)

f(x) = 3(x� 3)2 � 1 es de la forma f(x) = a(x� h)2 + k

a = 3, h = 3, k = �1

6. El vertice tendra las coordenadas V (h, k).

El vertice es V (3,�1)

La ecuacion del eje de simetrıa:Para obtener las raıces de la funcion original. f(x) = 3x2 � 18x+ 26

Igualamos a cero a funcion.

3x2 � 18x+ 26 = 0




a=3 b=-18 c=26

Las raıces son x1 = 3.5, x2 = 2.4

80

Para obtener la grafica podemos calcular los puntos simetricos. que se obtienen con la formula

x = h± 1

Como el vertice de la parabola es V (3,�1), h=3

Para trazar la grafica es posible hacerlo a partir de los puntos simetricos que se obtienen de laformula:

x = h± 1

x = 3± 1

x = 3 + 1 y x = 3� 1

x = 4 y x = 2

Sustituimos estos puntos en la funcion original para tener las ordenadas de los puntos simetricos.

x = 4

f(x) = 3x2 � 18x+ 26

f(4) = 3(4)2 � 18(4) + 26

f(4) = 3(16)� 72 + 26

f(4) = 48� 72 + 26

f(4) = 2

El punto simetrico es (4,2)

x = 2

f(x) = 3x2 � 18x+ 26

f(2) = 3(2)2 � 18(2) + 26

f(2) = 3(4)� 36 + 26

f(2) = 12� 36 + 26

f(2) = 2

El punto simetrico es (2,2)

81

La grafica que le corresponde es:

Ejemplo 2: f(x) = �x2 � 4x

f(x)�1 = �x2

�1 �4x�1

f(x)�1 = x2 + 4x

Se obtiene el cuadrado de la mitad del coeficiente del termino lineal de la expresion.

2x() = ]

En este caso

2x() = 4x

() = 4x2x

() = 2

A la expresion de la derecha se le suma y se le resta al mismo tiempo el cuadrado de la mitaddel coeficiente del termino lineal de la expresion.

f(x)�1 = x2 + 4x+ (2)2 � (2)2

Como los primeros tres terminos corresponden a un trinomio cuadrado perfecto, se factorizancomo un binomio al cuadrado.

f(x)�1 = (x+ 2)2 � 4

Despejamos f(x) para convertir la funcion de la forma f(x) = a(x� h)2 + k

f(x) = �1[(x+ 2)2 � 4]

82

f(x) = �1(x+ 2)2 + 4 es de la forma f(x) = a(x� h)2 + k

a = �1, h = �2, k = 4

El vertice tiene las coordenadas V (h, k) que son V (�2, 4)

La ecuacion del eje de simetrıa es:

Obtenemos las raıces de la funcion original. f(x) = �x2 � 4x


�x2 � 4x = 0




a=-1 b=-4 c=0

Las raıces son x1 = 0, x2 = �4

83


x = h± 1

Como el vertice de la parabola es V (�2, 4), h=-2

Para trazar la grafica utilizamos los puntos simetricos que se obtienen de la formula:

x = h± 1

x = �2± 1

x = �2 + 1 y x = �2� 1

x = �1 y x = �3

Sustituimos estos puntos en la funcion original para tener las coordenadas de los puntos simetri-cos.

x = �1

f(x) = �x2 � 4x

El punto simetrico es (-1,3)

x = �3

f(x) = �x2 � 4x

El punto simetrico es (-3,3)


84

Ejercicio 3.3Resuelve las siguientes funciones, y completa lo que se te solicita

1. f(x) = x2 + 4x� 5a) Expresa la funcion en la forma f(x) = a(x� h)2 + kb) Determina las coordenadas del vertice de la parabola.c) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.d) Determina las raıces de la funcion.e) Traza la grafica.f) Indica si tiene un mınimo o maximo y cual es su valor.g) Indica que tipo de concavidad tieneh) Hacia donde abre la parabola.

85

2. f(x) = x2 � 6x+ 13a) Expresa la funcion en la forma f(x) = a(x� h)2 + kb) Determina las coordenadas del vertice de la parabola.c) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.d) Determina las raıces de la funcion.e) Traza la grafica.f) Indica si tiene un mınimo o maximo y cual es su valor.g) Indica que tipo de concavidad tieneh) Hacia donde abre la parabola.

86

3. f(x) = 2x2 + 8x� 5a) Expresa la funcion en la forma f(x) = a(x� h)2 + kb) Determina las coordenadas del vertice de la parabola.c) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.d) Determina las raıces de la funcion.e) Traza la grafica.f) Indica si tiene un mınimo o maximo y cual es su valor.g) Indica que tipo de concavidad tieneh) Hacia donde abre la parabola.

87

4. f(x) = 2x2 � 12x+ 13a) Expresa la funcion en la forma f(x) = a(x� h)2 + kb) Determina las coordenadas del vertice de la parabola.c) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.d) Determina las raıces de la funcion.e) Traza la grafica.f) Indica si tiene un mınimo o maximo y cual es su valor.g) Indica que tipo de concavidad tieneh) Hacia donde abre la parabola.

88

3.4. Vertice por formula

Otro metodo para obtener el vertice de la parabola es el siguiente:

Ya que se puede expresar a la funcion cuadratica de la forma f(x) = a(x� h)2 + k en donde hy k son las coordenadas del vertice V (h, k) de la parabola.

La funcion cuadratica de la forma f(x) = a(x� h)2 + k se desarrolla:

f(x) = a(x2 � 2hx+ h2) + k

f(x) = ax2 � 2ahx+ ah2 + k

f(x) = ax2 + (�2ah)x+ (ah2 + k)

Al compararla con la funcion f(x) = ax2 + bx+ c para obtener el valor de h tenemos:

�2ah = b

h = b�2a

El valor de k se obtienen de:

ah2 + k = c

k = c� ah2

k = c� a(� b2a)

2

k = c� a( b2

4a2 )

k = c� b2

4a

Que es equivalente a sustituir el valor de h en la funcion original, es decir f(� b2a).

Por lo tanto el vertice V (h, k) de la parabola que corresponde a la funcion cuadratica f(x) =ax2 + bx+ c se obtiene mediante V (� b

2a , c�b2

4a) o V (� b2a , f(�

b2a)).

Ejemplo 1 En la funcion f(x) = x2 � 4x+ 1.a) Determina las coordenadas del vertice de la parabola.b) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.c) Determina las raıces de la funcion.d) Traza la grafica.

Para determinar el vertice sustituimos en la formula V (� b2a , c�

b2

4a).

89

Dada la funcion f(x) = x2 � 4x+ 1

a=1 b=-4 c=1

Para despejar h tenemos

h = � b2a

h = � �42(1)

h = �4�2

h = 2

En el caso de k tenemos

k = c� b2

4a .

k = 1� (�4)2

4(1) .

k = 1� 164

k = 1� 4

k = �3

El vertice tiene las coordenadas V (h, k) que son V (2,�3)

La ecuacion del eje de simetrıa es:

Obtenemos las raıces de la funcion original. f(x) = �x2 � 4x


x2 � 4x+ 1 = 0




a=1 b=-4 c=1

90

.

Las raıces son x1 = 3.7, x2 = 0.3


x = h± 1

Como el vertice de la parabola es V (2,�3), h=2

Para trazar la grafica utilizamos los puntos simetricos que se obtienen de la formula:

x = h± 1

x = 2± 1

x = 2 + 1 y x = 2� 1

x = 3 y x = 1

Sustituimos estos puntos en la funcion original para tener las coordenadas de los puntos simetri-cos.

x = 3

f(x) = x2 � 4x+ 1

El punto simetrico es (3,-2)

91

x = 1

f(x) = x2 � 4x+ 1

El punto simetrico es (1,-2)


92

Ejercicio 3.4Resuelve las siguientes funciones y completa lo que se te solicita.

1. f(x) = x2 + 3x+ 2a) Determina las coordenadas del vertice de la parabola.b) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.c) Determina las raıces de la funcion.d) Traza la grafica.e) Indica si tiene un mınimo o maximo y cual es su valor.f) Indica que tipo de concavidad tieneg) Hacia donde abre la parabola.

93

2. f(x) = �x2 � 6x+ 4a) Determina las coordenadas del vertice de la parabola.b) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.c) Determina las raıces de la funcion.d) Traza la grafica.e) Indica si tiene un mınimo o maximo y cual es su valor.f) Indica que tipo de concavidad tieneg) Hacia donde abre la parabola.

94

3. f(x) = 3x2 � 6x� 7a) Determina las coordenadas del vertice de la parabola.b) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.c) Determina las raıces de la funcion.d) Traza la grafica.e) Indica si tiene un mınimo o maximo y cual es su valor.f) Indica que tipo de concavidad tieneg) Hacia donde abre la parabola.

95

4. f(x) = x2 � 8x+ 2a) Determina las coordenadas del vertice de la parabola.b) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.c) Determina las raıces de la funcion.d) Traza la grafica.e) Indica si tiene un mınimo o maximo y cual es su valor.f) Indica que tipo de concavidad tieneg) Hacia donde abre la parabola.

96

5. f(x) = x2 + 4x� 5a) Determina las coordenadas del vertice de la parabola.b) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.c) Determina las raıces de la funcion.d) Traza la grafica.e) Indica si tiene un mınimo o maximo y cual es su valor.f) Indica que tipo de concavidad tieneg) Hacia donde abre la parabola.

97

6. f(x) = x2 + 3x� 10a) Determina las coordenadas del vertice de la parabola.b) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.c) Determina las raıces de la funcion.d) Traza la grafica.e) Indica si tiene un mınimo o maximo y cual es su valor.f) Indica que tipo de concavidad tieneg) Hacia donde abre la parabola.

98

7. f(x) = x2 � x� 30a) Determina las coordenadas del vertice de la parabola.b) Determina la ecuacion del eje de simetrıa.c) Determina las raıces de la funcion.d) Traza la grafica.e) Indica si tiene un mınimo o maximo y cual es su valor.f) Indica que tipo de concavidad tieneg) Hacia donde abre la parabola.

99

3.5. Problemas de aplicacion

Ejemplo 1: Se arroja una piedra verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo, la alturade la piedra en metros esta determinada por la funcion S(t) = �16t2 + 32t donde t esta dada ensegundos.

a) Determina en cuantos segundos, la piedra alcanza su maxima altura.

b) Grafica la trayectoria de la piedra

Ejercicio 3.5Resuelve los siguientes problemas.

1. Al patear un balon de futbol americano, la altura en metros sobre el suelo depende del tiempo(en segundos). Un jugador patea el balon, y la altura del balon esta dada por la funcion h(t) =�8t2 + 16t

a) Elabora una grafica para determinar ¿Cuanto tarda el balon en llegar al suelo?

b) ¿Cual es la maxima altura que alcanza el balon?

100

2. La potencia en mega watts producida por una planta de luz esta dada por P (h) = h2 � 32h+ 210en donde h es la hora del dıa.a) ¿ A que hora se tiene una minima potencia?b) ¿Cual es la minima potencia producida?c) ¿A que hora la potencia es de 187 mega watts?d) Traza la grafica que representa la potencia

3. La funcion de costo por hacer zapatos de futbol es C(x) = x2 � 10x+ 40 donde x es el numero depares de zapatos y C el costo en pesos .a) ¿Cual es el costo mınimo y cuantos pares se deben hacer para obtener el costo mınimo?b)¿Cuesta mas hacer ocho pares o dos?c)¿Cuantos pares se pueden hacer con $60,000?d) Traza la grafica que representa el costo

101

Capıtulo 4

Unidad 3 - Elementos Basicos de

Geometrıa Plana

Los elementos basicos de geometrıa son: la lınea el plano y el punto algunas de sus interpreta-ciones son:

Punto: Es el elemento geometrico que carece de dimensiones unicamente tiene posicion.

Lınea Recta: Es el elemento geometrico que tiene una dimension.

Plano: Es el elemento geometrico que tiene dos dimensiones.

4.1. Representacion de puntos, rectas y planos

Se emplean letras mayusculas al lado de cada punto para asignarles un nombre; punto A, puntoB, etc.

Una recta se considera como un conjunto infinito de puntos alineados en una misma direccionen ambos sentidos. Si se consideran dos puntos A y B de una recta y se le asigna el nombre derecta AB que se representa AB.

En ocasiones se nombra una recta con una letra minuscula. En este caso la recta AB tambienpodrıa llamarse l.

Para nombrar un plano, se emplea un sola letra, por ejemplo plano N

4.2. Relacion entre puntos, rectas y planos.

Los puntos colineales son aquellos que estan sobre la misma lınea recta.

102

Los puntos coplanares son aquellos que estan sobre un mismo plano.

El punto de interseccion de dos rectas, es el punto en donde ambas se cortan.

Las rectas paralelas son aquellas que nunca se cortan.

Dos rectas son perpendiculares si al intersecarse forman angulos rectos.

Las rectas coplanares son las que estan situadas sobre un mismo plano.

Las rectas son concurrentes si tres o mas retas coplanares se cortan en el mismo punto.

Un segmento de recta AB, es un subconjunto de recta, formado por todos los puntos desdeA hasta B, incluidos A y B.

Un rayo o semirecta AB, es un subconjunto de una recta que contiene un punto A comoorigen y se prolonga indefinidamente pasando por el punto B.

Ejemplo 1: En la siguiente figura:

a) Identifica distintos grupos de tres puntos colineales

103

b) Identifica distintos grupos de tres puntos no colineales.

Angulo: Es la abertura comprendida entre 2 lıneas rectas que se unen entre si en un puntollamado vertice. Los angulos se denominan generalmente por medio del sımbolo de angulo \, an-tepuesto a:

a)Una letra mayuscula, o en ocasiones a una letra griega, por ejemplo:

\A, \B, \↵, \�, \✓, etc.

b) Las letras de tres de sus puntos: las letras de los extremos representan a un punto de cadarayo y la letra de en medio es la que representa al vertice (en sentido positivo), por ejemplo \ABCrepresenta el angulo:

Se dice que dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. De la misma forma,dos angulos son congruentes si tiene la misma medida.

Para representar que dos puntos o angulos dados son congruentes, se utiliza el sımbolo decongruencia ⇠=. Por ejemplo:

Si los segmentos PQ y MN son congruentes se representan por: PQ ⇠= MN .

Si los angulos A y B son congruentes, se escribe como \A ⇠= \B.

El punto medio de un segmento AB es un punto C, entre A y B, de tal manera que AC ⇠= CB.

La mediatriz de un segmento de recta, es la recta perpendicular que pasa por el punto mediodel mismo.

La bisectriz de un angulo ABC es un rayo BD n el interior de \ABC, de manera que\ABD ⇠= \DBC.

104

4.3. Relacion entre angulos

Se llaman angulos adyacentes a los angulos en el mismo plano que tienen un vertice y unlado comun, pero no puntos interiores comunes.

Los angulos \ABC y \CBD, son adyacentes porque tienen en comun al segmento BC perono tienen puntos en comun.

En cambio los angulos \ABD y \CBD, no son adyacentes, porque a pesar de que tienen porlado comun a BD tienen puntos en comun.

Euclides senala en el teorema 1.14 del libro de los Elementos:

“Si respecto de una recta cualquiera y de un punto de ella, dos rectas no colocadas en el mismolado de ella hacen angulos adyacentes iguales a dos rectos, ambas rectas estaran sobre la mismarecta”. Ocurre lo mismo si son tres rectas. Dicho en otras palabras, la suma de estos angulos esigual a 180o

En la figura los angulos \EFD, \DFC, \CFB y \BFA suman 180o.

En el teorema 1.15 del libro de los Elementos de Euclides se senala: “Si dos rectas se cortan,hacen angulos opuestos por el vertice iguales.”En la figura se observa que son opuestos por el vertice las parejas de angulos: \ABC con \EBDy los angulos \CBD y \ABE.

105

4.4. Clasificacion de angulos

El angulo de 0o se llama angulo nulo.

El angulo de 90o se llama angulo recto.

El angulo de 180o se llama angulo llano.

El angulo de 360o se llama angulo perıgono.

Los angulos que miden mas de 0o y menos de 90o se llamanangulos agudos.

Los angulos que miden mas de 90o y menos de 180o se llamanangulos obtusos.

106

Los angulos que miden mas de 180o y menos de 360o se llamanangulos entrantes o concavos.

Los angulos que miden mas de 180o y menos de 360o se llamanangulos entrantes o concavos.

Los angulos que suman 90o se llaman complementarios.

Los angulos que suman 180o se llaman suplementarios.

Los angulos que suman 360o se llaman conjugados.

Ejercicio 4.1

1. En la siguiente figura, ¿Cuales parejas de angulos adyacentes son complementarios?

107

2. En la siguiente figura, ¿Cuales parejas de angulos adyacentes son suplementarios?

3. A partir de la figura siguiente determina:

a) Un par de angulos opuestos por el vertice.b) El suplemento de \EFD.c) Un segmento que sea perpendicular a FC si \CFD = 90o.d) Un par de angulos adyacentes que no sean suplementarios.

4. A partir de la figura siguiente menciona:

a) Un par de angulos opuestos por el vertice.b) ¿Son suplementarios \AFB y \BFD? Explica tu respuesta.c) Menciona el angulo complementario a \GBA.d) Menciona dos angulos que sean congruentes.e) Menciona dos angulos que sean suplementarios y no sean congruentes.f) ¿Los angulos \FBA y \CBF son congruentes, adyacentes, opuestos por el vertice, com-plementarios o suplementarios?

5. A partir de la figura siguiente menciona:

108

a) Menciona dos angulos que sean adyacentes pero no complementarios o suplementarios.

b) Dado que \B y el \BAE son suplementarios, ¿el \B es agudo, recto u obtuso?

Construccion 1: Mediatriz de un segmento dado.1. �AB y �BA = C y D

2. Unir C y D

Construccion 2: Levantar una recta perpendicular a otra por uno1. �A =1 de sus extremos.

2. �1 =2

3. �2=3

4. �2 y �3= C

5. Unir A y C

Construccion 3: Trazar una recta paralela a otra1. Localizar el punto 1(cualquiera)sobre AB

2. �1= 2 y 3

3. �2= 4

4. �3= 5

5. Unir 4 y 5

109

Construccion 4: Obtener una paralela a una recta con una1. �A= 1 distancia dada.2. �1= 23. �2= 34. �2 y �3= C5. �B= 46. �4= 57. �5= 68. �5 y �6= D9. Unir A y C10.Unir B y D11.Copiar d en lasperpendiculares = E y F12.Unir E y F

Construccion 5: Obtener una bisectriz de un angulo dado1. �V= 1 y 2

2. �1 y �2= 3

3. Unir V con 3

Construccion 6: Trazar una perpendicular desde un punto dado1. �CQ y �BQ= Q’ fuera de una recta.

2. Unir Q con Q’

110

Construccion 7: Copiar un angulo dado.1. �V= 1 y 2

2. �A= 3

3. Copiar �12 en 3= C

4. Unir A con C

Construccion 8: Trazar un triangulo obtusangulo1. �V= 1 y 2 dados sus lados y el angulo.

2. �B= 3

3. Trasladar la medida �12 apartir de 3= 44. Unir B y 4

5. Copiar �BC en B4= C

6. Unir A y C

Construccion 9: Trazar un triangulo equilatero1. �AB y �BA= C

2. Unir A y C

3. Unir B y C

111

Construccion 10: Trazar un triangulo rectangulo dadas1. Levantar una perpendicular las medidas de sus lados.sobre el punto B.

2. Copiar la medida deBC = C

3. Unir A y C

Construccion 11: Trazar un hexagono conocido uno de sus lados.1. �12 y �2= O2. �O trazar la circunferencia3. �2= 34. �3= 45. �4= 56. �5= 67. Unir los puntos de 1-6

Construccion 12: Trazar un pentagono conociendo uno de sus lados.1. Trazar la mediatriz de 12= a2. Levantar una perpendicularsobre 2.3. �21= b4. Prolongar la recta 12 en 25. �ab= c6. �1c= 47. �12 y �4=58. �21 y �4=39. Unir los puntos de 1-5

112

Ejercicio 4.2

1. Construye un segmento de recta, traza su mediatriz y localiza el punto medio del segmento.

2. Realiza la construccion de un angulo obtuso y traza su bisectriz.

4.5. Operaciones con angulos

4.5.1. Angulos Complementarios

Para calcular el complemento de un angulo basta con restarlo de 90o :

Ejemplo 1: Calcula el complemento de 20o =

Para calcular el complemento de 20o se lo restamos a 90o

90o

- 20o

70o

En este caso el complemento de 20o es 70o

113

Ejemplo 2: Calcula el complemento de 24o130 =

En este caso el angulo esta en grados (o) y minutos (0) representamos a 90o, tambien de laforma grados (o) y minutos (0) para poder realizar la resta, ya que un grado equivale a 60 minutos,entonces:

90o = 89o600

Para calcular el complemento de 24o130 se lo restamos a 90o que es equivalente a 89o600

89o600

- 24o130

65o470

En este caso el complemento de 24o130 es 65o470

Ejemplo 3: Calcula el complemento de 39o5803700 =

En este caso el angulo esta en grados (o), minutos 0 y segundos, representamos a 90o, tambiende la forma grados (o) y minutos 0 y segundos para poder realizar la resta, ya que un grado equivalea 60 minutos y un minuto equivale a 60 segundos entonces:

90o = 89o5906000

Para calcular el complemento de 39o5803700 se lo restamos a 90o que es equivalente a 89o5906000

En este caso el complemento de 39o5803700 es:

Ejercicio 4.3: Calcula el complemento de los siguientes angulos:

a)24o su complemento es:

b)37o su complemento es:

c)13o280 su complemento es:

114

d)44o390 su complemento es:

e)55o2401500 = su complemento es:

f)69o4701800 = su complemento es:

4.5.2. Angulos Suplementarios

Para calcular el suplemento de un angulo basta con restarlo a 180o :

Ejemplo 1: Calcula el suplemento de 24o =

Para calcular el suplemento de 24o se lo restamos a 180o

180o

- 24o

156o

En este caso el suplemento de 24o es 156o

Ejemplo 2: Calcula el suplemento de 127o380 =

En este caso el angulo esta en grados (o) y minutos (0) representamos a 180o, tambien de laforma grados (o) y minutos (0) para poder realizar la resta, ya que un grado equivale a 60 minutos,entonces:

180o = 179o600

Para calcular el suplemento de 24o130 se lo restamos a 180o que es equivalente a 179o600

179o600

- 127o380

52o220

En este caso el suplemento de 127o380 es 52o220

115

Ejemplo 3: Calcula el suplemento de 89o2005000 =

En este caso el angulo esta en grados (o), minutos (0) y segundos, representamos a 90o, tambiende la forma grados (o) y minutos (0) y segundos para poder realizar la resta, ya que un gradoequivale a 60 minutos y un minuto equivale a 60 segundos entonces:

180o = 179o5906000

Para calcular el suplemento de 89o2005000 se lo restamos a 180o que es equivalente a 179o5906000

En este caso el suplemento de 89o2005000 es:

Ejercicio 4.4: Calcula el suplemento de los siguientes angulos:

a)55o su suplemento es:

b)28o470 su suplemento es:

c)55o90 su suplemento es:

d)42o4001800 su suplemento es:

116

e)89o2005000 su suplemento es:

4.5.3. Angulos Conjugados

Para calcular el conjugado de un angulo basta con restarlo de 360o :

Ejemplo 1: Calcula el conjugado de 37o =

Para calcular el conjugado de 37o se lo restamos a 360o

360o

- 37o

323o

En este caso el conjugado de 37o es 323o

Ejemplo 2: Calcula el conjugado de 264o30 =

En este caso el angulo esta en grados (o) y minutos 0 representamos a 360o, tambien de la formagrados (o) y minutos 0 para poder realizar la resta, ya que un grado equivale a 60 minutos, entonces:

360o = 359o600

Para calcular el conjugado de 264o30 se lo restamos a 360o que es equivalente a 359o600

359o600

- 264o30

95o570

En este caso el conjugado de 264o30 es 95o570

Ejemplo 3: Calcula el conjugado de 139o5003700 =

En este caso el angulo esta en grados (o), minutos 0 y segundos, representamos a 360o, tambiende la forma grados (o) y minutos 0 y segundos para poder realizar la resta, ya que un grado equivalea 60 minutos y un minuto equivale a 60 segundos entonces:

360o = 359o5906000

Para calcular el conjugado de 139o5003700 se lo restamos a 360o que es equivalente a 359o5906000

En este caso el conjugado de 139o5003700 es:

117

Ejercicio 4.5: Calcula el conjugado de los siguientes angulos:

a)55o su conjugado es:

b)24o130 su conjugado es:

c)156o300 su conjugado es:

d)24o130 su conjugado es:

e)155o90 su conjugado es:

f)139o5803700 su conjugado es:

g)55o2401500 su conjugado es:

4.6. Problemas

Ejemplo 1: Si se sabe que ]A y el ]B son complementarios. Determina los valores de x y elde los angulos A y B si ]A = 5x� 4 y ]B = 4x+ 9

118

Ejercicio 4.6Resuelve los siguientes problemas

1. Si se sabe que \A es complemento de \B, y ademas \A = 10x + 4o y \B = 3x + 5o.Determina el valor de x y el de los angulos A y B.

2. Si se sabe que \A es complemento de \B, y ademas \A = 3x�6o y \B = 4x+8o. Determinael valor de x y el de los angulos A y B.

119

3. Si se sabe que \A es suplemento de \B, y ademas \A = 6x�9o y \B = 2x+3o. Determinael valor de x y el de los angulos A y B.

4. Si se sabe que \A es complemento de \B, y ademas \A = 3x + 5o y \B = 2x � 10o.Determina el valor de x y el de los angulos A y B.

120

5. Si se sabe que \A es complemento de \B, y ademas \A = 3x + 10o y \B = 2x � 9o.Determina el valor de x y el de los angulos A y B.

6. Si se sabe que \A es suplemento de \B, y ademas \A = 4x�5o y \B = 7x�2o. Determinael valor de x y el de los angulos A y B.

121

7. Calcula la medida de ]Q si se sabe que mide 10o mas que su complemento.

8. Calcula la medida de ]R si se sabe que mide 35o menos que su suplemento.

122

9. Calcula la medida de ]S si se sabe que mide 25o mas que su suplemento.

10. Calcula la medida de ]W si se sabe que mide 40o mas que su suplemento.

123

Ejemplo 1: Determina las medidas de los angulos complementarios cuya diferencia sea 10.

Ejercicio 4.7 Resuelve los siguientes problemas

1. Determina las medidas de los angulos complementarios cuya diferencia sea 15.

124

2. Determina las medidas de los angulos suplementarios cuya diferencia sea 40.

3. Determina las medidas de los angulos conjugados cuya diferencia sea 46.

125

4. Determina las medidas de los angulos complementarios tales que uno sea 36o menor que eltriple del otro.

5. Determina las medidas de los angulos complementarios tales que uno sea 24o mayor que eldoble del otro.

126

6. Determina las medidas de los angulos suplementarios tales que uno sea 72o mayor que eldoble del otro.

7. Determina las medidas de los angulos conjugados tales que uno sea 12o menor que la mitaddel otro.

127

8. Determina las medidas de los angulos conjugados tales que uno sea 100o mayor que el cuadru-ple del otro.

4.7. Construccion de la recta paralela a otra por un

punto dado. Postulado de las rectas paralelas.

En geometrıa los postulados son afirmaciones que se aceptan como verdaderas y se utilizancomo apoyo para demostrar teoremas. El axioma V de Euclides dice: “En un plano ↵ por unpunto A fuera de una recta a se puede trazar siempre una y solo una recta paralela”.

Postulado de las rectas paralelas. Dados una recta l y un punto P que no esta en larecta l, existe solo una recta a traves de P que sea paralela a l.

Durante mucho tiempo se intento demostrar sin exito, que el postulado de las paralelas era unteorema. Sin embargo, en el siglo XIX, Karl Friedrich Gauss(1777-1855), Janos Bolyai (1802-1860) y Nicolai Ivanovitch Lobachevsky (1793-1856), al trabajar de manera independienteen este asunto, encontraron un conjunto de teoremas que dieron origen a las geometrıas noeuclidianas.

128

4.8. Congruencia de angulos entre rectas paralelas cor-

tadas por una secante

Una recta o un segmento que corta a dos o mas rectas paralelas o segmentos paralelos, seconoce con el nombre de recta o segmento transversal o secante.

Si AB k CD el segmento EF es transversal o secante a AB y CD. Como se muestra acontinuacion.

En la siguiente figura se muestran ocho angulos que se clasifican de la siguiente manera:

Angulos opuestos por el vertice:

\1 y \3 \2 y \4

\5 y \7 \6 y \8

Todos los pares de angulos opuestos por el vertice son congruentes.

Angulos correspondientes:

\1 y \5 \2 y \6

\3 y \7 \4 y \8

Todos los pares de angulos correspondientes son congruentes. (Observa que al suponer lasrectas paralelas, los angulos coinciden).

129

Angulos alternos internos:

\3 y \5 \2 y \8

Todos los pares de angulos alternos internos son congruentes.

Angulos alternos externos:

\1 y \7 \4 y \6

Todos los pares de angulos alternos externos son congruentes.

Angulos Colaterales Externos

\1 y \6 \4 y \7

Los angulos colaterales externos son suplementarios.

\1+\6=180o

\4+\7=180o

130

Angulos Colaterales Internos

\2 y \5 \3 y \8

Los angulos colaterales internos son suplementarios.

\2+\5=180o

\3+\8=180o

Ejercicio 4.8

a) Si L1 es paralela a L2 determina los valores faltantes.

a)a = b = c = d = e =

f = g =

b)a = b = c = d = e =

f = g =

131

c)a = b = c = d = e =

f = g =

d)x = x� 2y = y = a = b =

c = d = e =

e)x = 3x = 2x+ 15o = a = b =

c = d = e = y + 8o =

f)x = 3x� 20o = 2x = a = b =

c = d = e = y + 10o =

132

g)x = y = 8x+ y = a = b =

c = d = e = 2x+ 2y =

h)x = y = 12y = a = b =

c = d = e = 3y�26 =

i)x = 3x+ 40o = 5x = a = b =

c = d = e = f =

j)x = 10x = 5x+ 30o = a = b =

c = d = e = f =

133

k)x = 2x+ 10o = x+ 20o = a = b =

c = d = e = f =

l)x = 2x� 10o = x� 20o = a = b =

c = d = e = f =

m)x = 2x� 10o = x+ 30o = a = b =

c = d = e = f =

n)x = 2x = 3x+ 20o = a = b =

c = d = e = f =

134

n)x = 2x = a = b = c =

d = e = f =

o)x = 3x = x� 20o = a = b =

c = d = e = f =

p)x = y = x+ 20o = a = b =

c = d = 2x+ y = x+ 2y =

q)x = y = 2x = a = b =

c = d = 3y + x = 3y =

135

r)x = x+ 2y = 4y = a = b =

c = d = e = y =

s)x = 3x+ 40o = 7x = a = b =

c = d = e = f =

t)x = x+ y = x� 2y = a = b =

c = d = e = y =

u)a = b = c = d = e =

f = g = h = i = j =

k = l =

136

v)a = b = c = d = e =

f = g = h = i = j =

k = l = m = n = n =

w)a = b = c = d = e =

f = g = h = i = j =

k = l = m = n = n =

p = q = r =

b) Si CE es paralela a FD, encuentra las medidas de:

\a = \b = \c = \x = \y =

c) Si en el carrito de mandado AB es paralela a CD, encuentra las medidas de:

\w = \x = \y = \z =

137

d) Si el \ABC es de 145o y las rectas L1 y L2 son paralelas, determinar las medidas de:

\GBC = \EDF = \DFE =

4.9. Clasificacion de triangulos

Para representar un triangulo se utiliza el sımbolo 4 seguido de tres letras mayusculas quecorresponden a cada uno de los vertices de dicho triangulo. Si 4ABC designa al triangulo.

Los triangulos se clasifican de dos formas: de acuerdo a la relacion de la longitud de sus ladoso a la medida de sus angulos interiores.

De acuerdo a sus lados, los triangulos se clasifican en:

Equilatero: cuando sus tres lados son congruentes.

Isosceles: cuando al menos dos de sus lados son congruentes.

Escaleno: cuando sus tres lados tienen distinta longitud.

De acuerdo a sus angulos, los triangulos se clasifican en:

Rectangulo: si uno de sus angulos es recto.

Oblicuangulo: cuando ninguno de sus angulos interiores es recto, y se clasifican en:

Acutangulo: cuando sus tres angulos interiores son agudos.

Equiangulo: cuando sus tres angulos interiores son congruentes.

Obtusangulo: si uno de sus angulos interiores es obtuso.

138

Ejercicio 4.9:

1. En los incisos siguientes se dan las medidas de los angulos interiores de un triangulo. Mencio-na en cada caso si se trata de un triangulo acutangulo, equiangulo, obtusangulo o rectangulo.

a) 40o, 115o y 25o. El triangulo es:......................

b) 42o, 90o y 48o. El triangulo es:.......................

c) 60o, 60o y 60o. El triangulo es:.......................

d) 80o, 45o y 55o. El triangulo es:.......................

2. En cada oracion completa los espacios con algunas veces, siempre o nunca.

a) Los triangulos isosceles son equilateros.

b) Los triangulos rectangulos son obtusangulos.

c) Los triangulos equilateros son rectangulos.

d) Los triangulos escalenos son isosceles.

e) Los triangulos rectangulos son acutangulos.

f ) Los triangulos acutangulos son equilateros.

g) Los triangulos equiangulos son acutangulos.

h) Los triangulos rectangulos son isosceles.

i) Los triangulos obtusangulos son escalenos.

j ) Los triangulos equilateros son isosceles.

k) Los triangulos isosceles son acutangulos.

l) Los triangulos acutangulos son isosceles.

m) Los triangulos acutangulos son obtusangulos.

139

n) Los triangulos rectangulos son equilateros.

n) Los triangulos obtusangulos son equilateros.

4.10. Rectas y puntos notables en el triangulo

Las mediatrices de un triangulo son las rectas que cortan a cada lado en su punto medio yson perpendiculares a dichos lados. Si en un triangulo se trazan las mediatrices de cada lado, estasse intersecan en un punto llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita(los tres vertices del triangulo pertenecen a la circunferencia).

Construccion 13: Trazar las mediatrices de un triangulo yla circunferencia circunscrita.

Las bisectrices de un triangulo son las rectas que dividen a cada uno de los angulos interioresen dos angulos congruentes. Si en un triangulo se trazan las bisectrices de cada angulo, se observaque se intersecan en un punto llamado incentro, que es el centro de la circunferencia de maximoradio inscrita en el triangulo. La circunferencia inscrita es una circunferencia tangente a los treslados del triangulo.

Construccion 14: Trazar las bisectrices de un triangulo yla circunferencia inscrita.

140

Las alturas de un triangulo son aquellos segmentos que se trazan de cada vertice a un punto Pen el lado opuesto o su prolongacion y son perpendiculares a dicho lado. Si se dibuja un triangulocon sus tres alturas, se observa que las rectas que contienen a las alturas se intersectan en un solopunto llamado ortocentro.

Construccion 15: Trazar las alturas de un triangulo y localizael ortocentro.

Las medianas de un triangulo son los segmentos que se trazan de cada vertice al punto mediodel lado opuesto. Si se dibuja un triangulo con sus tres medianas, se observa que las medianas seintersectan en un solo punto llamado baricentro.

Construccion 16: Trazar las medianas de un triangulo y localizael baricentro.

141

Ejercicio 4.10

1. En el siguiente triangulo traza su incentro y la circunferencia que genera.

2. En el siguiente triangulo traza su circuncentro y la circunferencia que genera.

3. En el siguiente triangulo traza sus alturas y localiza el ortocentro.

142

4. En el siguiente triangulo traza sus medianas y localiza el baricentro.

5. En un triangulo la recta que va desde un vertice al punto medio del lado opuesto se llama:

6. En un triangulo la recta perpendicular que va desde un vertice a un punto del lado opuestose llama:

7. En un triangulo la recta perpendicular que pasa por el punto medio del lado opuesto alvertice se llama:

El Huevo.

1. Trazar un segmento AB.

2. Localiza el punto medio AB y llamalo O.

3. Traza una perpendicular a AB que pase por O y marca los puntos C y D sobre la perpen-dicular tales que OC = OD = AO.

4. Con centro en O, traza el semicırculo ADB.

5. Traza BC y prolonga C.

6. Traza AC y prolonga por C.

7. Con centro en B, traza un arco desde A hasta la prolongacion de BC. El punto de interseccionse llama E.

8. Con centro en A, traza un arco desde B hasta la prolongacion de AC. El punto de interseccionse llama F .

9. Con centro en C, traza el arco EF de tal manera que se cierre la curva.

10. Marca la curva ADBFE y llamala huevo.

143

11. En CD localiza el punto G tal que GD=CE.

12. En AB localiza los puntos H e I tales que GH = GI = GD.

13. Prolonga el segmento CD por C hasta que corte el arco EF . El punto de interseccion sellama J .

14. Traza con tinta los segmentos AB, DJ , BE, AF , GH, GI. Borra los otros trazos.

Construccion 17: El Huevo

144

Construccion 19: El Huevo- PatoUtiliza las piezas del huevo para construir

la siguiente figura.

145

Construccion 20: El Huevo- PatoUtiliza las piezas del huevo para construir


146

Construccion 21: El Huevo- PelicanoUtiliza las piezas del huevo para construir


147

4.11. Postulado de la desigualdad del triangulo

En todo triangulo la suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longituddel tercero. Esto se conoce como postulado de la desigualdad del triangulo. Por otro lado,Euclides presenta este enunciado de la forma siguiente: “En todo triangulo dos lados cualesquiera,tomados de vez en vez, son mayores que el restante”.

Ejemplo 1: Si las longitudes de dos lados de un triangulo son 2 y 5, entonces la longitud deltercer lado es:

mayor que:

menor que:

Ejercicio 4.11

En los incisos siguientes determina si las cantidades que se proporcionan pueden ser longitudesde los lados de un triangulo. Coloca “Si o No” en los espacios senalados.

a) 4, 5 y 7 ..........es triangulo

b) 4, 5 y 17 es triangulo

c) j, k y j+k es triangulo

d) 6, 13 y 7 es triangulo

e) a, 3a y 3a es triangulo

148

f) 9, 13 y 17 es triangulo

g) 3, 4 y 5 es triangulo

h) 7, 7 y 13 es triangulo

i) 4b, 2b y 7b es triangulo

4.12. Relacion entre el angulo externo y el angulo interno.

Si A, B y C son tres puntos no colineales, a la union de los segmentos AB, BC y AC se le llamatriangulo y se indica por 4ABC. Los tres segmentos AB, BC y AC, se llaman lados. Los pun-tos A, B y C se llaman vertices. Los angulos (interiores) del4ABC son \BAC, \ABC y \ACB.

El \ABD es un angulo exterior del 4ABC. Los triangulos tienen seis angulos exteriores, yy forman tres pares de angulos opuestos por el vertice; ademas, los dos angulos exteriores en unvertice cualquiera son siempre congruentes. Los angulos \CAB y \BCA del 4ABC se llamanlos angulos interiores no adyacentes de los angulos exteriores con vertice en B; de forma similar\CAB y \CBA son los angulos interiores no adyacentes de los angulos exteriores con vertice enC, y lo mismo para el tercer caso.

149

4.13. Suma de angulos interiores de un triangulo. Justifi-

cacion

Teorema: La suma de medidas de los angulos internos de un triangulo es igual a 180o.

Hipotesis: \BAC, \ABC y \ACB son angulos interiores de un triangulo.

Tesis: \BAC+\ABC+\ACB=180o

Demostracion:Proposiciones Razones

150

Ejercicio 4.12

1. Determina la medida del angulo x.

2. Considera la figura y determina el valor de x y los valores de los angulos, si tienen lassiguientes medidas.

a) ]A = 5x, ]B = 3x y ]C = 6x

b) ]A = 15x, ]B = 7x y ]C = 9x

c) ]A = 4x, ]B = 9x y ]C = 2x

3. En la siguiente figura encuentra la medida del angulo ↵.


151



7. Si en un triangulo rectangulo uno de los agudos mide 22o. ¿Cuanto mide el otro anguloagudo?

8. En un triangulo escaleno uno de los angulos es el doble del otro y el tercero es la mitad dela suma de los otros dos. ¿Cuanto mide cada angulo?

9. En un triangulo rectangulo uno de los angulos agudos es el doble del otro. ¿Cuanto midecada uno?

152

10. En un triangulo isosceles, el angulo diferente mide 62o. ¿Cuanto miden los angulos iguales?

11. En un triangulo isosceles, los angulos iguales miden 75o cada uno. ¿Cuanto mide el tercerangulo?

12. En un triangulo isosceles los angulos iguales miden la cuarta parte del angulo diferente menos6o. ¿Cuanto mide cada angulo?

13. En la siguiente figura, ¿Cuanto miden los angulos?

]PTR= ]ORT= ]OTR= ]OTP= ]POT

14. En la siguiente figura, ¿Cuanto miden los angulos?]PTR ]ORT ]OTR ]OTP ]POT

153

4.14. Angulos exteriores de un triangulo

Teorema: En todo triangulo la suma de medidas de sus tres angulos exteriores es igual a 360o.


154

Ejercicio 4.13

1. Determina los valores de los angulos externos de un triangulo, como el que se muestra en lafigura:

a) ]X = 15w, ]Y = 17w y ]Z = 18w

b) ]X = 7w, ]Y = 10w y ]Z = 6w

c) ]X = 3w, ]Y = 4w y ]Z = 5w

2. En la siguiente figura encuentra la medida del angulo ↵


155



6. En la siguiente figura encuentra la medida del angulo x

7. En la siguiente figura encuentra la medida del angulo x

8. En la siguiente figura encuentra la medida de cada angulo

156

4.15. Relacion entre un angulo exterior de un triangulo y

los dos interiores no adyacentes

Teorema: En todo triangulo, la medida de un angulo exterior es igual a la suma de las me-didas de los dos angulos interiores no adyacentes a el, y por lo tanto, mayor que cada uno de los dos.


157

Ejercicio 4.14

1. Determina la medida del angulo x.

2. Determina la medida del angulo ↵.





158


8. Determina la medida de cada angulo.

9. Determina la medida de cada angulo.

Ejercicio 4.15

1. En cada uno de los siguientes triangulos determina la medida de los angulos solicitados

a)\A = B = \C =

b)\A = B = \C =

159

c)\A = B = \C =

d)\A = B = \C =

e)\A = B = \C =

f)\A = B = \C =

g)3x� 20o = x� 42o = x+ 10o = x =

160

h)3x = 2x = 4x = x =

i)2x� 5o = x+ 20o = x =

j)x =

k)x = y =

l)w = x = y = z =

161

m)x = y =

n)x = 2x = 3x =

n)x = y =

o)x = y =

q)x = y =

162

r)x = 25x = 3x = y =

2. El apoyo de una mesa de picnic forma un angulo isosceles. Si el \ABC es de 80o, encuentrael \x y \y, si la cubierta de la mesa es paralela con el piso.

3. Calcula los valores de \x y \y, si el triangulo AB ⇠= AC.

4. Calcula los valores de \x y \y, si en el triangulo AB ⇠= AC, BD es bisectriz del \B y CDes bisectriz del \C.

4.16. Polıgonos

Los polıgonos reciben un nombre particular de acuerdo con el numero de lados que tengan.

Por ejemplo el triangulo tiene tres lados:

El cuadrilatero tiene cuatro lados:

El pentagono tiene cinco lados:

El hexagono tiene seis lados:

163

Un polıgono de n lados se puede denominar n� agono.

Un polıgono regular es aquel cuyos lados son congruentes entre si y todos sus angulos tam-bien son congruentes entre si.

Por ejemplo un triangulo equilatero:

Un cuadrado:

Un pentagono regular:

Polıgono Convexo: Son aquellos que todos sus angulos interiores son menores a 180o.

La suma de los angulos interiores de un polıgono convexo de n lados es:

Si = 180o(n� 2)

Desde un triangulo convexo se forman n� 2 triangulos con las diagonales que parten de el.

D = n� 3

Cada uno de los angulos interiores \i de un polıgono regular es igual a la suma de los angulosinteriores entre el numero de lados.

\i=Sin =

180o(n�2)n

Teorema: La suma de los angulos exteriores de un polıgono convexo es 360o.

Cada uno de los angulos exteriores \e de un polıgono regular de n lados se calcula de la forma:

\e =360o

n

El angulo central de un polıgono regular de n lados es igual al angulo exterior.

\o=360o

n

El angulo \a es igual a la mitad del angulo interior.

\a=\i2

164

Ejercicio 4.16 Completa la siguiente tabla

Polıgono Numero Diagonales Suma Angulo Angulo Angulo \ade D angulos Interior Exterior Central

lados interiores \i \e \on Si

165

Determina los angulos interiores y exteriores de los polıgonos siguientes:

a= x= a= 2x

b= x+ 5o b= 3x� 10o

c= x+ 10o c= 2x� 20o

d= x+ 15o d= 3x� 10o

e= x+ 20o e= 4x� 5o

f= 6x� 15o

Al trazar lıneas que unan los vertices de un hexagono, se forman seis triangulos equilateros.

Un flexagono es un objeto de multiples caras creado al plegar y doblar en determinados puntosy en determinadas direcciones una pieza recortada de papel o de algun material flexible y delga-do. Los flexagonos al ser manipulados apropiadamente permiten ocultar y mostrar diversas carasal mismo tiempo. Existen variantes de los flexagonos tales como los hexaflexagonos y los flexatubos.

166

4.17. Perımetro de un polıgono regular

Los polıgonos son figuras o superficies planas limitadas por segmentos de recta, los cuales sellaman lados del polıgono; de la misma manera, un polıgono es una porcion de plano limitada poral menos tres recta que se cortan entre si dos a dos.

De acuerdo con la magnitud de sus lados y de sus angulos, los polıgonos se dividen en regularese irregulares. Un polıgono regular es el que tiene todos sus lados y sus angulos iguales.

Los triangulos son los polıgonos de tres lados, el triangulo equilatero es el unico polıgono regularde tres lados, los cuadrilateros son los polıgonos de cuatro lados y se clasifican en paralelogramos(cuadrado, rectangulo, rombo y romboide), el cuadrado es el unico polıgono regular de cuatrolados, trapecios (rectangulo, isosceles y escaleno) y trapezoides.

Los polıgonos que tienen mas de cuatro lados son: pentagonos (5 lados), hexagono (6 lados),heptagono (7 lados), octagono (8 lados), eneagono (9 lados), decagono (10 lados), undecagono (11lados), dodecagono (12 lados). Los polıgonos que tienen mas de doce lados se le nombra simple-mente como polıgonos de 13, 14, 15, ... n lados, con excepcion del polıgono de 20 lados al quedenomina icosagono.

El perımetro de un polıgono es la suma de las longitudes de sus lados. Si el polıgono es de ladosiguales, entonces el perımetros es igual al numero de lados por la longitud de uno de ellos.

Ejercicios 4.17:

1. Calcula el perımetro de un cuadrado si uno de sus lados tiene 5 metros de longitud.

2. Calcula el perımetro de un cuadrado si uno de sus lados tiene 8 metros de longitud.

167

3. Determina el perımetro de un triangulo equilatero cuyo lado mide 8 metros

4. Determina el perımetro de un triangulo isosceles cuyos lados mide a=5, b=5 y c=7 metros

5. Determina el perımetro de un triangulo escaleno cuyos lados mide a=6, b=7 y c=9 metros

6. Determina el perımetro de un terreno que tiene forma de pentagono regular si cada uno desus lados mide 13 metros de largo.

168

7. Determina el perımetro de un decagono regular si cada uno de sus lados mide 25 metros.

8. Si el perımetro de un triangulo equilatero es de 99 metros.¿Cuanto mide cada lado?

9. Determina el perımetro de un rectangulo cuyo ancho mide 12 metros y cuyo largo mide 34metros.

10. El senor Lopez tiene un terreno rectangular de 150 metros de largo y 95 metros de anchoy desea cercarlo con tres lıneas de alambre de puas. ¿Cuantos rollos de alambre requierecomprar, si cada rollo tiene 60 metros de alambre?

169

11. Determina el perımetro de un cuadrado cuyo lado mide 28 centımetros.

12. Determina el perımetro de un rombo cuyo lado mide a=15 metros.

13. Determina el perımetro de un polıgono regular de 5 lados cuyo lado mide 6 metros.

14. Determina el perımetro de un hexagono regular cuyo lado mide 10 metros.

170

15. Determina el perımetro de un octagono regular cuyo lado mide 39 centımetros.

4.18. Calculo de areas

El area de una figura es la medida de su superficie y medir una superficie es determinar cuantasveces contiene a otra superficie conocida que se utiliza como unidad cuadratica.

Si la unidad de medida es un cuadrado de lado u.

La unidad de area es u2.

Para obtener el area de un cuadrado tenemos:

Area del cuadrado= lado por lado= lado al cuadrado:

A = l · l = l2

Para obtener el area de un rectangulo realizamos el producto de su base por su altura.

A = b · h

El paralelogramo se descompone en dos partes para formar con estas un rectangulo de igual area.

Por lo que se deduce que el area del paralelogramo es tambien lo que mide la base por loque mide la altura.

A = b · h

171

Cuando se multiplican las diagonales de un rombo, equivale a multiplicar la base por la alturadel rectangulo que lo contiene.

El area del rombo es la mitad del area del rectangulo que lo contiene, por lo tanto el areadel rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales.

A = D·d2

Un triangulo se descompone para formar un paralelogramo de igual area.

Por lo que se deduce que el area del triangulo es lo que mide su base por la mitad de su altura.

A = b·h2

Para calcular el area si no conocemos la altura utilizamos la formula de Heron.

A =pS(S � a)(S � b)(S � c)

Donde S es el semiperimetro

S = a+b+c2

El trapecio escaleno se descompone en cuatro triangulos y al sumar sus areas se obtiene el areadel trapecio. Para calcular el area del trapecio utilizamos la formula:

A = (a+c2 )h

172

Ejercicio 4.18

1. Determina el area de un triangulo equilatero cuyo lado mide 14cm.

2. Determina el area de un triangulo equilatero cuyo lado mide 10cm.

3. Determina el area de un triangulo equilatero cuyo lado mide 8 metros.

4. Determina el area de un triangulo con base b= 8 metros y altura h=10 metros.

173

5. Determina el area de un triangulo isosceles cuyos lados miden a=12 b=12 y c=14 centimetros.

6. Determina el area de un triangulo isosceles cuyos lados miden a=15 b=15 y c=6 metros.

7. Determina el area y el perımetro de un triangulo escaleno cuyos lados mide a=15, b=18 yc=25 metros

8. Determina el area de un cuadrado cuyo lado mide 15 metros.

174

9. Determina el area de un cuadrado cuyo perımetro es de 30 unidades.

10. Si el area de un cuadrado es de 81.a)Calcula la medida de su lado.

b)Calcula su perımetro.

11. Determina el area de un rectangulo cuyo ancho mide 8 metros y de largo mide 12 metros.

12. Determina el area y el perımetro de un rectangulo cuyo ancho mide 15 centımetros y cuyolargo mide 30 centımetros.

175

13. Calcula el area de una banqueta de 1.20 metros de ancho y que rodea una plaza rectangularde 90 metros de largo y 65 metros de ancho.

14. Determina las longitudes de la base y la altura de un rectangulo cuyo area mide 70 u2 y superımetro mide 34 u.

15. En la etiqueta de una lata de pintura se indica que el contenido alcanza para cubrir 7.5m2. Serequiere pintar las paredes y el techo de una recamara que mide 4 metros de largo, 5 metrosde ancho y 2.5m de alto. Ademas hay dos ventanas rectangulares que miden 1.2 metros delargo por 2 metros de ancho cada una. ¿Cuantas latas de pintura se deben comprar para nogastar de mas?

176

16. La pagina de la gaceta CCH mide 21.2 centımetros de ancho por 27.5 centımetros de largo.El margen superior es de 0.9 centımetros, el inferior es de 1.3 centımetros y el izquierdo esde 1.3 centımetros. ¿Cual es el area de la porcion impresa de la pagina?

4.19. Area de un polıgono regular

En cualquier polıgono regular, se conoce como apotema al segmento de recta que va desde elcentro de la circunferencia circunscrita hasta el punto medio de uno de sus lados.

Debido a que un polıgono regular esta compuesto de tantos triangulos isosceles congruentes co-mo lados tiene, el area de uno de estos triangulos es la mitad de la longitud del lado multiplicadopor su altura, que en este caso corresponde al apotema:

Por ejemplo el hexagono esta formado por 6 triangulos isosceles.

Area del polıgono = 6 veces el area del triangulo isosceles

Area del polıgono = 6 veces (base)(altura)2

177

Area del polıgono = 6 veces (longutud de lado)(apotema)2

En general para determinar el area de un polıgono regular de n lados se utiliza la expresion:

Area del polıgono = (perimetro)(apotema)2

A = P ·a2

Ejercicio 4.19

1. El perımetro y el area de un pentagono de lado 12 unidades y apotema 8 unidades es:

2. El perımetro y el area de un pentagono de lado 10 unidades y apotema 6 unidades es:

3. Un salon de baile tiene forma de hexagono regular con perımetro de 48 metros y apotema dep48 metros. ¿Cuantos metros cuadrados mide el salon?

178

4. Determina el area de un octagono regular que tiene 3 metros de lado y 5.801 metros deapotema.

5. El area de una moneda octagonal es de 6 cm2 y su apotema mide 1.5 centımetros ¿Cuantomide un lado del polıgono?

6. Si se tienen un heptagono regular con lado b=10cm y apotema a=15cm, ¿cual es su perımetroy su area?

7. Si se tienen un heptagono regular con lado b=30cm y apotema a=45cm, ¿cual es su perımetroy su area?

179

4.20. Circunferencia y Circulo

Circunferencia: Es el conjunto de los puntos que equidistan de un punto fijollamado centro.

Radio: Es el segmento de recta cuyos extremos son el centro y cualquier punto dela circunferencia.

Circulo Cerrado: Es el conjunto de los puntos cuya distancia a un punto fijollamado centro,es menor o igual al radio.

Circulo Abierto: Es el conjunto de los puntos cuya distancia a un punto fijollamado centro,es menor que el radio.

Arco: Es toda porcion de circunferencia.

Cuerda:Es el segmento de recta cuyos extremos son dos puntos cualesquiera dela circunferencia.

Diametro: Es la cuerda mayor de la circunferencia, es la cuerda que pasa porel centro es igual a dos radios.

180

Secante: Es la recta que corta en dos puntos de la circunferencia.

Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un solo punto. Esperpendicular al radio en dicho punto.

Angulo Central:Se llama angulo central a aquel que tiene vertice en el centrode el circulo y sus lados son dos radios de la circunferencia.

Angulo Inscrito: Se llama angulo inscrito a aquel que tiene el vertice en unpunto de la circunferencia y sus lados son cuerda de la circunferencia.

Angulo Externo: Formado por dos secantes, dos tangentes, o una secante y unatangente, que se cortan en un punto fuera de la circunferencia.

Ejercicio 4.20:

1. En la siguiente figura indica el nombre de cada una de las rectas y segmentos senalados.

181

2. En la siguiente figura indica el nombre de cada una de las rectas y segmentos senalados.

3. Dibuja una circunferencia y traza una secante y una tangente

4.21. Perımetro de una circunferencia

Si el perımetro de una circunferencia se divide entre la longitud de su diametro, se obtieneun valor aproximado a la constante denominada pi(⇡). Esta relacion tiene validez universal, noimporta el tamano del circulo.

PD = ⇡

P = D⇡

P = 2r⇡

Ejercicio 4.21

1. La glorieta del angel de la independencia mide 18 metros de radio. Para protegerla en even-tos especiales las autoridades la circundaron con una malla de alambre. ¿Cuantos metros demalla de alambre ocuparon para circundarla?

182

2. A un espejo circular que mide 1.25 metros de diametro, se le puso un marco. ¿Cual es lamedida del marco?

3. Las helices de un avion miden 2.93 metros de diametro. ¿Cuanto mide la circunferencia quedescribe?

4. ¿Cuantos metros recorre la rueda de una bicicleta en una vuelta, si el diametro mide 28centımetros?

5. Eduardo gira una cuerda de 1.5 metros de largo. ¿Que distancia recorre una pelota sujeta ensu extremo en dos vueltas completas?

183

4.22. Area del circulo

El circulo se considera como un polıgono regular con infinidad de lados, en el que el apotematoma el valor del radio, ya que cuando los lados son infinitamente pequenos el radio y el apotemacasi coinciden.

Por lo cual el area del circulo corresponde a:

A = P · r2

Pero el perımetro del circulo es P = 2⇡r

Por lo que al sustituir en la formula tenemos

A = 2⇡r r2

A = ⇡r2

Ejercicio 4.22

1. Determina el area de un circulo cuyo diametro mide 89cm

2. Un tapete circular tiene un radio de 1.7 metros. ¿Cual es su area?

184

3. Determina el area que tiene una galleta que tiene un diametro de 8 centımetros

4. En un cuadrado de terciopelo de 40 centımetros de lado, se traza el circulo mas grande po-sible y se recorta. ¿Cuanto terciopelo no se utilizo para el circulo?.

5. En cada una de las siguientes figuras, donde el cuadrado mide 12 centımetros de lado y eldiametro de los cırculos pequenos es de 6cm. Determina el area de la region sombreada.

a)

b)

185

c)

d)

e)

f)

186

Capıtulo 5

Unidad 4 - Congruencia, Semejanza y

Teorema de Pitagoras

El proceso de comparar dos figuras geometricas se realiza a partir de observar la relacion queexiste entre el tamano y la forma de ellas. Al realizarlo se obtienen tres resultados posibles: uno deellos es determinar que no tienen la misma forma y que su tamano es distinto, cuando esto ocurrese dice que las figuras geometricas son diferentes.

Otro resultado, es determinar que tienen la misma forma pero que su tamano es desigual, eneste caso se dice que las figuras son semejantes; el ultimo resultado posible, es obtener que tienela misma forma y el mismo tamano, en este caso se menciona que las figuras son congruentes. Lacongruencia es un caso particular de la semejanza.

En matematicas este criterio de comparacion se realiza a partir de considerar la relacion queexiste entre los elementos de una figura con respecto a los de la otra. Es decir, como los elementosde una figura geometrica son los angulos y los lados que la conforman, entonces el proceso de com-paracion consiste en considerar la relacion que hay del angulo de una figura con el correspondienteangulo de la otra, de manera similar se considera la relacion lado a lado de manera correspondiente.

Es indudable que se puede emplear cualquier par de figuras para realizar la comparacion, comopor ejemplo dos polıgonos con la misma cantidad de lados; sin embargo, lo mas comun es utilizardos triangulos por ser las figuras mas simples.

5.1. Triangulos Congruentes

Definicion: Los triangulos congruentes son aquellos que tienen el mismo tamano y la mismaforma de tal manera que al superponerlos coinciden de manera exacta.

Para iniciar el proceso de comparacion de dos triangulos se partira de considerar que se tienenlas dos figuras siguientes.

187

Si los triangulos 4ABC ⇠= 4DEF donde el sımbolo ⇠= significa congruencia, lo cual implicaque hay una correspondencia entre sus vertices de manera que cada par de lados y angulos seancongruentes.

Vertices Angulos Lados

A$ D \A$ \D AB $ DE

B $ E \B $ \E BC $ EF

C $ F \C $ \F AC $ DF

Postulado LAL: Si dos lados y el angulo comprendido entre ellos de un triangulo son respec-tivamente congruentes con los lados y el angulo comprendido entre ellos de otro triangulo, entonceslos dos triangulos son congruentes.

Postulado ALA: Si dos angulos y el lado comun de ellos de un triangulo son respectivamentecongruentes con los dos angulos y el lado comun de ellos, de otro triangulo, los dos triangulos soncongruentes.

Postulado LLL: Si los tres lados e un triangulo son respectivamente congruentes con los treslados de otro triangulo entonces los dos triangulos son congruentes.

Ejercicio 5.1

1. En cada inciso dadas las condiciones indica si los triangulos son o no congruentes, si lo son,senala el criterio de congruencia.

a) Si AC ⇠= RT , y BC ⇠= TS, AB ⇠= RS.

Los triangulos son congruentes. Postulado:

188

b) Si AB ⇠= RS, y BC ⇠= TS, \B ⇠= \S.


c) Si \A ⇠= \R, \B ⇠= \S, AB ⇠= RS.


d) Si \C ⇠= \T , \B ⇠= \S, BC ⇠= TS


e) Si \A ⇠= \R, \C ⇠= \T , \B ⇠= \S


2. Determina por cual de los tres postulados (LAL, ALA, LLL) son congruentes los pares detriangulos que se muestran, considera que las congruencias estan indicadas por las marcasaunque no lo parezcan a simple vista. Revisa si la informacion es suficiente.

a) Postulado:

b) Postulado:

189

c) Postulado:

d) Postulado:

e) Postulado:

f) Postulado:

g) Postulado:

3. Hallar el valor de x, y o z, en cada par de triangulos congruentes.

a)x=

y=

190

b)x=

y=

c)x=

z=

d)x=

z=

e)x=

y=

191

f)x=

y=

g)x=

y=

h)x=

y=

i)x=

y=

192

j)x=

z=

k)x=

z=

4. En cada inciso indica que parejas de triangulos son o no congruentes; si lo son, senala quecriterio de congruencia justifica tu respuesta.

a)Postulado: 4 ⇠= 4

b)Postulado: 4 ⇠= 4

c)Postulado: 4 ⇠= 4

193

d)Postulado: 4 ⇠= 4

e)Postulado: 4 ⇠= 4

f)Postulado: 4 ⇠= 4

5. En las figuras siguientes demuestra que 4I ⇠= 4II con las hipotesis que se dan.

a)Si BE ⇠= EC y AE ⇠= ED

b)Si AB ⇠= CD y BC ⇠= AD

194

c)El cuadrilatero ABCD es un rectangulo.

d)El cuadrilatero ABCD es un paralelogramo

e)El cuadrilatero ABCD es un rombo

f)Si BF?DE, BF?AC y \1 ⇠= \2

g)Si \1 ⇠= \2 y C es el punto medio de BD

195

h) Si \↵ ⇠= \�, AB ⇠= DF , CF ⇠= BE

i) Si \↵ ⇠= \�, AB ⇠= ED, EF ⇠= BC

j) Si AE ⇠= EB, AD ? AB y CD ? AB

k) Si ABCDE es un pentagono regular

5.2. Triangulos Semejantes

En matematicas el concepto de semejanza esta ligado al concepto de proporcionalidad. Se diceque dos objetos son semejantes si “guardan” una proporcion entre ellos.

Definicion: Los triangulos semejantes son aquellos que tienen la misma forma, pero no nece-sariamente el mismo tamano, es decir, dos triangulos son semejantes si tienen sus angulos respec-tivamente congruentes y sus lados homologos son proporcionales.

Los lados y angulos homologos son aquellos que coinciden en la misma posicion.

Si los triangulos 4ABC y 4DEF son semejantes se expresa como 4ABC ⇠ 4DEF donde

196

el sımbolo ⇠ denota semejanza.

Dos triangulos son semejantes, si y solo si, se cumple lo siguiente:

Angulos CongruentesLados Proporcionales

\A ⇠= \D

\B ⇠= \E

\C ⇠= \F

Ademas existe la misma proporcion entre los lados correspondientes respectivos u homologos.

DEAB

=EFBC

=DFAC

= k

Donde k es una constante de proporcionalidad.

Postulado LAL: Si dos lados de un triangulo son proporcionales a dos lados de otro triangu-lo y los angulos comprendidos entre estos dos lados son congruentes, entonces los triangulos sonsemejantes.

Postulado LLL: Si los tres lados de un triangulo son proporcionales respectivamente a lostres lados de otro triangulo, entonces los triangulos son semejantes.

Postulado AAA: Si los tres angulos de un triangulo son congruentes respectivamente a lostres angulos del otro triangulo, entonces los triangulos son semejantes.

197

Teorema fundamental de la proporcionalidad o de Thales y su recıproco: Suponga-mos que una recta corta a dos lados de un triangulo en dos puntos distintos.

a) Si la recta es paralela al tercer lado, entonces corta a los dos lados en segmentos proporcio-nales.

b) Si la recta corta a los dos lados en segmentos proporcionales entonces es paralela al tercerlado.

Ejercicio 5.2:

1. En cada inciso marca los criterios de semejanza de los pares de triangulos que se muestran

a)Postulado:

b) Postulado:

c) Postulado:

d) Postulado:

e) Postulado:

198

2. Indica cuales de los siguientes triangulos son semejantes, indica el postulado de semejanza

a)Postulado: 4 ⇠ 4

b)Postulado: 4 ⇠ 4

c)Postulado: 4 ⇠ 4

d)Postulado: 4 ⇠ 4

3. En cada inciso demuestra la semejanza de los triangulos, en cada uno senala el postulado desemejanza a utilizar y encuentra la constante de proporcionalidad.

a) Constante de proporcionalidad:

Postulado:

199

b) Constante de proporcionalidad:

Postulado:

c) Constante de proporcionalidad:

Postulado:

d) Constante de proporcionalidad:

Postulado:

e) Constante de proporcionalidad:

Postulado:

f) Constante de proporcionalidad:

Postulado:

200

g) Constante de proporcionalidad:

Postulado:

h) Constante de proporcionalidad:

Postulado:

4. En las figuras siguientes demuestra que 4I ⇠ 4II.

a)

b)

5. Considerando la figura y la informacion que se te proporcione, obten los valores que se te piden

a) CE=15, EB=10, CD=7. ¿Cuales son las medidas de CA y DA?

201

b) CE=40, DE=40, AB=55. ¿Cuales son las medidas de EB y CB?

c) DE=x, AB= 30, CE=12 y EB=8. ¿Cual es la medida de x?

d) AD=4, DC= 26, CE=x y EB=3. ¿Cual es la medida de x?, determina CB

e) Los siguientes triangulos son semejantes, determina las longitudes DF y EF:

f ) Los siguientes triangulos son semejantes, determina las longitudes DF y EF:

202

g) Los triangulos ABC y CDE son semejantes, de acuerdo con los datos calcula la distan-cia AB de la laguna.

6. En cada inciso hay dos triangulos semejantes; calcula del valor de x y las medidas de cadauno de sus lados.

a)AB = BC = AC = DB =

AD = AE = DE = EC =

b)AB = BC = AC = DB =

AD = AE = DE = EC =

c)AB = BC = AC = DB =

AD = AE = DE = EC =

203

d)AB = BC = AC =

DE = EF = DF =

e)AB = BC = AC = DC =

AD = BE = DE = EC =

f)AB = BC = AC = DB =

AD = AE = DE = EC =

g)AB = BC = AC =

DE = EF = DF =

h)AB = BC = AC = DB =

AD = AE = DE = EC =

204

i)AB = BC = AC =

DE = EF = DF =

j)4ABC es isoscelesAB = BC = AC = DB =AD = AE = DE = EC =

k)AB = BC = AC = DC =

AD = BE = DE = EC =

l)AB = BC = AC =

DE = EF = DF =

m)AB = BC = AC = DB =

AD = AE = DE = EC =

205

n)AB = BC = AC = DC =

AD = BE = DE = EC =

n)AB = BC = AC = DC =

AD = BE = DE = EC =

o)AM = MC = AC = AN =NB = AB = BL = LC =

BC = NM = ML =

p)AB = BC = AC = DB =

AD = AE = DE = EC =

q)AB = BC = AC = DC =

AD = BE = DE = EC =

206

r)AB = BC = AC = DB =

AD = AE = DE = EC =

7. Para determinar el ancho del rio, un hombre tomo las medidas indicadas sobre la figura dondeel segmento AB es perpendicular a BC y AD es perpendicular a AB. ¿Cual es el ancho del rio?

8. Para determinar el ancho de la base de un cerro se realizan una serie de mediciones como semuestra en la figura. ¿Cuanto mide el ancho de la base?

9. Determinar la altura del arbol mostrado en la siguiente figura

5.3. Razon entre perımetros y areas de triangulos seme-

jantes

Para dos triangulos semejantes y existe una constante de proporcionalidad k entre los lados.

207

Relacion entre los perımetros

Perimetro del 4ABCPerimetro del 4DEF = k

Perimetro del 4DEFPerimetro del 4ABC = 1

k

Relacion entre las areas

Area del 4DEFArea del 4ABC = k2

Ejercicio 5.3

1. Si se tiene un triangulo rectangulo con lados AB=3cm, BC=4cm y AC=5cm. Y otro triangulorectangulo con los lados DE=6cm, EF=8cm y DF=10cm. ¿Cual es la razon entre sus perıme-tros?

2. Los lados de un triangulo tienen longitudes 5cm, 11cm y 8cm. Un triangulo semejante tieneun perımetro de 60cm.¿Cuales son las longitudes de sus lados?

208

3. Los lados de un triangulo tienen longitudes 7m, 9m y 14m. ¿Cual es el perımetro de untriangulo semejante cuyo lado mayor mide 21m?

4. Si se tiene un triangulo rectangulo cuya base mide 10cm y su altura mide 15cm. Ademas sesabe que otro triangulo rectangulo tiene una base de 40cm y una altura de 60cm. ¿Cual esla razon de las areas?

5. Un lado de un triangulo tiene 5 veces el largo del lado correspondiente de uno semejante. Elarea del triangulo menor es de 6m2. ¿Cuanto mide el area del triangulo mayor?

209

6. Las areas de dos triangulos semejantes son 169cm2 y 100cm2, respectivamente. Si un ladodel triangulo de mayor area mide 26cm ¿Cual es la medida del lado homologo del triangulode menor area?

7. Las areas de dos triangulos semejantes son 144cm2 y 121cm2, respectivamente. Si un lado deltriangulo de menor area mide 22cm ¿Cual es la medida del lado homologo del otro triangulo?

8. Las areas de dos triangulos semejantes son 121cm2 y 64cm2, respectivamente. Determina laaltura del triangulo de mayor area cuando la altura correspondiente del triangulo de areamenor es de 16cm.

210

9. ¿Que longitud debe tener un lado de un triangulo equilatero para que su area sea cuatroveces el area de un triangulo equilatero cuyo lado tiene longitud de 8cm?

10. Si un triangulo tiene lados a= 8cm, b= 6cm y c= 10cm. Otro triangulo, que tiene lados a’,b’ y c’, es semejante al primero con razon de semejanza k=3. ¿Cuanto mediran los lados delotro triangulo?

211

5.4. Teorema de la altura de un triangulo rectangulo. Jus-

tificacion.

Teorema:La altura construida sobre la hipotenusa de un triangulo rectangulo divide a este endos triangulos semejantes entre si.


5.5. Teorema de Pitagoras y su recıproco

En un triangulo rectangulo el lado opuesto al angulo recto se llama hipotenusa, los lados queforman el angulo recto se llaman catetos.

Teorema:

i) En todo triangulo rectangulo el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma delos cuadrados de las longitudes de los catetos.

212

ii) Si en un triangulo el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de loscuadrados de las longitudes de los otros dos lados, entonces el triangulo es rectangulo.


Ejercicio 5.4:

1. Enuncia el teorema de Pitagoras con los datos de las siguientes figuras.

a) b)

c) d)

213

2. En los incisos siguientes determina si las cantidades que se proporcionan pueden ser longitu-des de los lados de un triangulo rectangulo. Coloca “Si o No” en los espacios senalados.

a) 23, 24 y 10 es triangulo rectangulo

b) 4, 7.5 y 8.5 es triangulo rectangulo

c) 60, 61 y 13 es triangulo rectangulo

d) 10, 24 y 26 es triangulo rectangulo

e) 7, 25 yp674 es triangulo rectangulo

f) 20, 21 y 29 es triangulo rectangulo

g) 5, 13 yp195 es triangulo rectangulo

214

h) 8, 15 y 17 es triangulo rectangulo

i) 8, 12 y 13 es triangulo rectangulo

j) 2, 2 y 3 es triangulo rectangulo

k) 15, 17 y 22 es triangulo rectangulo

l) 8, 6 y 10 es triangulo rectangulo

m) 7, 8 y 12 es triangulo rectangulo

n) 5, 6 y 7 es triangulo rectangulo

n) 24, 7 y 25 es triangulo rectangulo

215

3. Calcula la medida faltante de cada uno de los siguientes triangulos.a)x =

b)x =

c)x =

d)x =

e)a =

216

f)x =

g)x =

h)x =

i)x =

j)x =

217

k)x =

4. Si en un triangulo rectangulo la hipotenusa y un cateto miden 20cm y 12cm respectivamente.¿Cuanto mide el otro cateto?

5. Si en un triangulo rectangulo la hipotenusa y un cateto miden 10cm y 6cm respectivamente.¿Cuanto mide el otro cateto?

6. Encuentra la medida de la altura de un triangulo isosceles si sus lados iguales miden 10cm ysu base mide 16cm.

218

7. Considerando la siguiente figura y la informacion que se te proporcione, obten los valoresque se te piden

a) c= 29 y a= 20, ¿Cual es el valor de b?

b) a= 6 y b= 10, ¿Cual es el valor de c?

c) c=20 y a=12, ¿Cual es el valor de b?

d) Si c=30, a=2x+4 y b=3x-2, determina el valor de a y b.

e) Si a=3 y b=4, determina el valor de c.

219

f ) Si a=11 y b=14, determina el valor de c.

g) Si a=5 y b=7, determina el valor de c.

h) Si a=p5 y b=3, determina el valor de c.

i) Si a=6 y b=10, determina el valor de c.

j ) Si b=p3 y c=3

p3, determina el valor de a.

220

k) Si b=43 y c=65, determina el valor de a.

l) Si a=p5 y c=

p17, determina el valor de b.

m) Si a=x b=x y c=10, determina el valor de a y b.

n) Si a=x b=2x y c=p125, determina el valor de a y b.

n) Si a=x b=x+ 1 y c=x+ 2, determina el valor de a, b y c.

221

o) Si a=2x� 2 b=x y c=5, determina el valor de a, b y c.

p) Si a=3x+ 8 b=4x� 6 y c=p325, determina el valor de a, b y c.

8. Un cuadrado mide 10.7cm de lado. ¿Cuanto mide su diagonal?

9. Un cuadrado mide 5 metros de lado. ¿Cuanto mide su diagonal?

10. ¿Cuanto mide el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 8 metros?

222

11. Un rectangulo mide 28 metros de largo y 21 metros de ancho. ¿Cuanto mide su diagonal?

12. En la figura determina el valor de x y las medidas de los lados faltantes, si el triangulo esisosceles.

13. Una torre se encuentra sujeta por 4 cables, si la torre mide 30 metros de alto y la distancia dela base de dicha torre a donde esta sujeto cada cable mide 10 metros. Encuentra la longitudtotal de los cables.

14. Una escalera de 6 metros se coloca contra una pared con la base a 2 metros de la pared. ¿Aque altura del suelo esta la parte mas alta de la escalera?

15. A que altura llega una escalera de 10 metros de largo en un muro vertical si su pie esta a 3metros del muro.

223

16. Una puerta mide 2 metros de altura por 90cm de base. ¿Cuales son las dimensiones de ladiagonal de la puerta?

17. Dados los siguientes valores calcular el valor de AB si DC = 20.

18. Para sostener la torre de la antena de una estacion de radio de 72 metros de altura se deseaponer tirantes de 120 metros, para darle mayor estabilidad; si se proyecta tender los tirantesdesde la parte mas alta de la torre. ¿A que distancia del pie de esta deben construirse la basede concreto para fijar cada uno de los tirantes?

19. Los dos diametros de la circunferencia son perpendiculares. Si FD = 6, EB = 12, EF = 30¿Cuanto mide el radio?

224

20. Se tiene una piramide de base cuadrada. Las caras son triangulos equilateros y sus ladosmiden 2 metros. ¿Cual es la altura de la piramide?

21. Un terreno rectangular de 200 metros de largo por 150 metros de ancho tiene en medio unacolina que no permite una medicion directa ¿Cual es la diagonal de este terreno?

En el trapecio isosceles ABCD determina las longitudes solicitadas.

22. Si b = 32, b0 = 20 y h = 8. Encuentra el valor de a

23. Si b = 24, b0 = 14 y a = 13. Encuentra el valor de h

24. Si a = 15, b0 = 10 y h = 12. Encuentra el valor de b

225

Indice general

1. Repaso 2

1.1. Ecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. UNIDAD 1 - ECUACIONES CUADRATICAS 4

2.1. Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.1. Factorizacion por Factor Comun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2. Factorizacion por Factor Comun por Agrupacion de Terminos . . . . . . . . 6

2.2. Factorizacion de los trinomios de la forma ax2 + bx+ c . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2.1. Factorizacion de diferencia de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Ecuaciones de 2o grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4. Ecuaciones de 2o grado incompletas de la forma ax2 + c = 0 . . . . . . . . . . . . . 122.5. Ecuaciones de 2o grado incompletas de la forma ax2 + c = d . . . . . . . . . . . . . 152.6. Ecuaciones cuadraticas de la forma:ax2 + bx = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.7. Ecuaciones cuadraticas de la forma a(x+m)2 = n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.8. Ecuaciones cuadraticas de la forma (ax+ b)(cx+ d) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 262.9. Solucion de la ecuacion cuadratica de la forma ax2 + bx + c = 0 por el metodo de

completar cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.10. Resolucion de Ecuaciones de 2o grado de la forma ax2 + bx + c = 0 por el metodo

de factorizacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.11. El numero i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.12. Solucion de Ecuaciones de 2o grado utilizando la Formula General . . . . . . . . . . 462.13. Problemas que generan para su solucion ecuaciones de 2o grado . . . . . . . . . . . 58

3. Unidad 2 - Funciones Cuadraticas y Aplicaciones 63

3.1. Graficacion de funciones de la forma f(x) = a(x� h)2 + k . . . . . . . . . . . . . . 643.2. Graficacion de funciones Cuadraticas- Metodo de tabulacion . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.1. Raıces de la ecuacion cuadratica asociada a la funcion cuadratica . . . . . . 713.3. Vertice de una Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3.1. Metodo de completar un trinomio cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . 793.4. Vertice por formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.5. Problemas de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4. Unidad 3 - Elementos Basicos de Geometrıa Plana 102

4.1. Representacion de puntos, rectas y planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.2. Relacion entre puntos, rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3. Relacion entre angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.4. Clasificacion de angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

226

4.5. Operaciones con angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.5.1. Angulos Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.5.2. Angulos Suplementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.5.3. Angulos Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.7. Construccion de la recta paralela a otra por un punto dado. Postulado de las rectas

paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.8. Congruencia de angulos entre rectas paralelas cortadas por una secante . . . . . . . 1294.9. Clasificacion de triangulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.10. Rectas y puntos notables en el triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.11. Postulado de la desigualdad del triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.12. Relacion entre el angulo externo y el angulo interno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.13. Suma de angulos interiores de un triangulo. Justificacion . . . . . . . . . . . . . . . 1504.14. Angulos exteriores de un triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1544.15. Relacion entre un angulo exterior de un triangulo y los dos interiores no adyacentes 1574.16. Polıgonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.17. Perımetro de un polıgono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.18. Calculo de areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.19. Area de un polıgono regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.20. Circunferencia y Circulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.21. Perımetro de una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824.22. Area del circulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5. Unidad 4 - Congruencia, Semejanza y Teorema de Pitagoras 187

5.1. Triangulos Congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1875.2. Triangulos Semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.3. Razon entre perımetros y areas de triangulos semejantes . . . . . . . . . . . . . . . 2075.4. Teorema de la altura de un triangulo rectangulo. Justificacion. . . . . . . . . . . . . 2125.5. Teorema de Pitagoras y su recıproco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Bibliografıa 228

227

Bibliografıa

[1] Acevedo, I. Baca, A. Matematicas Tercer Curso,Editorial Herreo S.A. Mexico 1969.

[2] Acuna, A. Maya, D. Sanchez, E. Zubieta, G. Problemas y Ejercicios de Matematicas Algebra,

Geometrıa y Calculo, Centro de Investigacion y Estudios Avanzados del IPN, Departamentode Matematica Educativa, Mexico 2001

[3] Avila, A. Bayona, R. Domınguez, M. Hernandez, F. Jimenez, C. Seminario de Matematicas Ia IV, Grupo de trabajo Maga IGuıa para el examen extraordinario de Matematicas , Algebra

y Geometrıa I Maga I ,Colegio de Ciencias y Humanidades, Plantel Oriente, Academia deMatematicas, Enero 2001.

[4] Alvarez, P. Briseno, L. Palmas, O. Verdugo, J. Descubre y Aprende, Matematicas 2. PearsonEducacion. Mexico 2000.

[5] Alvarez, P. Martınez, P. Palmas, O. Struk, F. Descubre y Aprende, Matematicas 3. PearsonEducacion. Mexico 2000.

[6] Baldor, A. Algebra. Publicaciones Cultural. Decima Reimpresion. Mexico 1993.

[7] Barrios, J. Chavez, X. Flores, J. Reyes, R. Romero, M.Guıa de estudio para Matematicas

II(Algebra y Geometrıa) Universidad Nacional Autonoma de Mexico, Colegio de Ciencias yHumanidades, Plantel Sur, Octubre 2005.

[8] Carrillo, A. Lopez, M. Jimenez, J. Zaragoza, J. Guıa de estudio para Matematicas II Programa

modificado. Colegio de Ciencias y Humanidades, Plantel Naucalpan, Area de Matematicas,Turno Matutino, Marzo 2005.

[9] Colegio de Ciencias y Humanidades Secretaria Academica.Guıa de Estudio para presentar el

examen de conocimientos y habilidades disciplinarias para la contratacion temporal de profe-

sores de asignatura interinos de Matematicas I a IV , 24a Promocion, Enero 2006.

[10] Coordinacion: Garcıa, T. Cornejo, A. Elaboracion: Salcedo, S. Reyes, A. Ruz, F. Perez, A.Chavez, G. Valencia, M. Reyes T. Revision: Rosen, P. Bautista, V. Hernandez, H. Guıa para

el profesor de Matematicas II. Colegio de Ciencias y Humanidades. Secretaria de ProgramasInstitucionales. Enero 2009

[11] Courant, R. Robbins, H. ¿Que son las matematicas? Conceptos y metodos fundamentales.Fondo de Cultura Economica. Mexico 2002.

[12] Medina, B. Cafaggi, P. Guillen, J. Otero, M. Peralta, D. Chavez, X. Geometrıa del Trian-

gulo y Figuras Basicas. Universidad Nacional Autonoma de Mexico, Colegio de Ciencias yHumanidades, Plantel Sur. 2007.

228

[13] Otero, M. Cafaggi, P. Medina, B. Romero, M. Chavez, X. Flores, D. Peralta, D. Unidad4 Matematicas III. Graficacion de Funciones Universidad Nacional Autonoma de Mexico,Colegio de Ciencias y Humanidades, Plantel Sur.2000 i

[14] Oteyza, E. Lam E. Hernandez, C. Carrillo A. Algebra. Tercera Edicion Pearson Educacion.Mexico 2007.

[15] Robledo, F. Cruz, F. Cantu,P. Ejercicios y Problemas Matematicas Tres. Editorial Trillas,Mexico 1974.

[16] Romo, P. Pous, R. Sosa, A. Matematicas I. Fascıculo IV. Lenguaje Algebraico: Operativi-

dad Productos Notables y Factorizacion. Colegio de Bachilleres, Coordinacion del Sistema deEnsenanza Abierta.

[17] Romero, M. Solıs, R. Guıa de estudio Matematicas III ”Geometrıa Euclidiana” Colegio deCiencias y Humanidades, Plantel Sur.

[18] Swokowski, E. Cole, J. Algebra y trigonometrıa con geometrıa analıtica 12a. edicion. CengageLearning. Mexico 2009.

229

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