UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE...
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
SECRETARÍA GENERAL
COORDINACIÓN DE PROGRAMAS DE ATENCIÓN DIFERENCIADA PARA ALUMNOS
C O P A D I
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
COORDINADORES Y COAUTORES
ING. FRANCISCO BARRERA GARCÍA ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ ING. GERARDO AVILÉS ROSAS
ESTUDIANTES COAUTORES
MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO VALERIA XÓCHITL GONZÁLEZ LEYVA RODRIGO A. SÁNCHEZ TELÉSFORO ERICK R. VALDIVIA ORTEGA ARTURO GUTIÉRREZ LANDA VERNON HERRERA ESPINOSA VIRGINIA CECILIA DÍAZ GARCÍA DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ CARLOS VILLANUEVA ZÚÑIGA
RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE OSCAR ALBERTO VERA GARCÍA EDUARDO NAVARRETE TOLENTO LEÓN FELIPE PALAFOX NOVACK IRENE RUBALCABA MONTSERRAT ANTONIO JARQUÍN LAGUNA BOGDAD ROBERTO ESPINOSA VARGAS ALEJANDRO FELIX REYES ZEUS ZAMORA GUEVARA
P R Ó L O G O (Marzo de 2007)
La Coordinación de Programas de Atención Diferenciada para Alumnos (COPADI) de la Facultad de Ingeniería de la UNAM, con algunos de los estudiantes del Programa de Alto Rendimiento Académico (PARA), y dentro de su Programa de Solidaridad Académica (PROSOLAC), se dio a la tarea de realizar sus PROBLEMARIOS COPADI. Cada uno considera una serie de ejercicios resueltos de algunas de las asignaturas con mayor grado de dificultad para los estudiantes en la División de Ciencias Básicas. Estos ejercicios son planteados y resueltos por nosotros y por estudiantes del PARA. Los objetivos de estos PROBLEMARIOS COPADI son, entre otros los siguientes:
Apoyar el desempeño académico de los estudiantes con ejercicios resueltos que les pueden ayudar a comprender y aprender los conceptos de que consta el programa de la asignatura, en este caso, ÁLGEBRA, y poder así acreditarla y seguir adelante en sus estudios de ingeniería.
Reafirmar los conocimientos de los estudiantes autores en asignaturas que ya
acreditaron. Producir material didáctico para la Facultad, como un compromiso compartido por nosotros y estudiantes del PARA.
Es importante comentar que este Problemario consta de 195 ejercicios de los temas de ÁLGEBRA y, además de que se ha revisado el material, se ha pretendido dejar los ejercicios y sus enunciados tal como los hicieron y plantearon los estudiantes, ya que básicamente, salvo los ejercicios propuestos por nosotros, se trata de una publicación realizada por estudiantes y dirigida a estudiantes. Y esto es lo que le da carácter a la publicación. Hay ejercicios de Exponentes y radicales (25), Productos notables y factorizaciones (35), Logaritmos (28), Formalización de los números reales (22), Números complejos (25), Polinomios (33) y Sistemas de ecuaciones lineales (27). Es nuestro mejor deseo que este trabajo sea de utilidad para los estudiantes que cursan ÁLGEBRA y que también sea motivo de genuino orgullo para los estudiantes que participaron en su realización, así como lo es para nosotros.
Ing. Francisco Barrera García Ing. Pablo García y Colomé Ing. Gerardo Avilés Rosas
Í N D I C E Tema Página Exponentes y radicales 1 Productos notables y factorizaciones 10 Logaritmos 23 Formalización de los números reales 33 Números complejos 49 Polinomios 66 Sistemas de ecuaciones lineales 92
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
1
EXPONENTES Y RADICALES
1.- Simplificar la operación: 2 2
1 1
3 53 5
, mediante las leyes de los exponentes.
Resolución.
2 2 2 2
1 1
1 1 1 1 163 5 16 15 83 5 9 25 225
1 1 1 1 23 5 225 2 153 5 3 5 15
ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA
2.- Efectuar:
85 3
32
2 6 3
18 12
.
Resolución.
8 3 8 8 85 3 5 5 3 3 5 3 3 2 3 8
3 2 3 2 4 6 3 4 12 32 2 2 2 2 2 3
2 6 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 32 3 2 3 2 318 12 2 3 2 3 2 3 2 3
2 5 6
4 1 2
2 3 32 3 2
Por lo tanto:
85 3 6
3 22
2 6 3 3218 12
ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA
3.- Racionalizar el denominador de: 53
51
.
Resolución. Se multiplican numerador y denominador por 53 , ya que esto da la diferencia de cuadrados y elimina el radical del denominador.
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
2
2
2
1 5 3 5 1 5 3 51 5 3 4 5 5 8 4 59 5 43 5 3 5 3 5 3 5
Por lo tanto: 1 5
2 53 5
ALUMNO: EDUARDO NAVARRETE TOLENTO
4.- Racionalizar el denominador de: 3 2 2 3
4 2 3 3
Resolución.
3 2 2 3 3 2 2 3 4 2 3 3 12(2) 9 6 8 6 6(3) 6 616(2) 9(3) 54 2 3 3 4 2 3 3 4 2 3 3
ALUMNO: ÓSCAR ALBERTO VERA GARCÍA
5.- Efectuar: 1/ 3 1/ 20.125 0.25
.
Resolución.
3
333 31/ 3 1/ 2
2
2
125 5 50.125 5 101000 10 100.125 0.25 1
5 10 50.25 25 510100 10
Por lo tanto:
1/ 3 1/ 20.125 0.25 1
ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA
6.- Realizar las operaciones:
)a b
ab a ; 41
) 2 18 6 42
b
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
3
Resolución. Para el inciso a) se tiene:
1 1 1 1)
a b a b a ba ab ab ab ab
b a b a b a ab ab.
Para el inciso b) se tiene:
4 241 2) 2 18 6 4 2 9(2) 6 2 6 2 3 2 2 4 2
2 4b .
ALUMNO: ÓSCAR ALBERTO VERA GARCÍA
7.- Simplificar, mediante las leyes de los exponentes, la expresión:
2 33
3
2r ss r
Resolución.
2 22 3 2 333 3 3 6 3 6 3
3 33 2 2 2 9 9 2 33 3
2 22 4 14 4
r rr s s s r s r ss
s r s s s r r s rr r
Por lo tanto;
2 33
3 3
2 4r s ss r r
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
8.- Simplificar y escribir sin exponentes negativos:
2 2x yx y
.
Resolución.
2 2
2 2 2 2 2 22 2 2 2
2 2 2 2
1 1 y xx y y x x yx y x y
x y x y x y x y x y x y x y
2 2 2 2
x y x y x y
x y x y x y
ALUMNO: EDUARDO NAVARRETE TOLENTO
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
4
9.- Simplificar cada radical y agrupar los términos semejantes: 3 3 3) 54 81 16a ; 62 34) 3 9 27b a a a
Resolución. Para el inciso a) se tiene:
3 3 3 33 3 3 3 3 3 3) 54 81 16 27 2 27 3 8 2 3 2 3 3 2 2 2 3 3a Para el inciso b) se tiene:
6 32 3 2 34) 3 9 27 3 9 27 3 3 3 3b a a a a a a a a a a
ALUMNO: ÓSCAR ALBERTO VERA GARCÍA
10.- Efectuar: 3 2 24 1a a
a .
Resolución.
3 22 / 3 1/ 2
3 2 2 2 / 3 1/ 2 2 / 4 1/ 342 / 424
11
aa aaa a a a
a aa
Por lo tanto:
3 2 24 31 1
a aa a
ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA
11.- Simplificar la expresión: 3 43 2 4x x x . Resolución.
6 4 3 6 6 4 4 2(3) 3 6 103 4 12 12 12 12 123 2 4 (3 ) (2 ) (4 ) (3) (2) (2) (3 2 )x x x x x x x x x x x
ALUMNO: ÓSCAR ALBERTO VERA GARCÍA
12.- Simplificar: 2 3 53 6a b a b . Resolución. Utilizando la primera ley de los radicales:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
5
2 3 5 2 3 5 2 6 43 6 3 2 3 3 2a b a b a b a b a b a
2 23 2 3 23 2 3 2a b a a b a
Finalmente: abababa 2363 23532
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
13.- Combinar los radicales: 3 53 8 278 aa . Resolución. Factorizando las potencias cúbicas más grandes:
3 38 5 6 2 3 23 38 27 8 27a a a a a a
3 36 2 3 23 38 27a a a a 3 32 2 22 3a a a a
Finalmente: 3 3 38 5 28 27 2 3a a a a a
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
14.- Efectuar: 3 28ab a b . Resolución.
1/ 3 2 / 61/ 2 3 / 63 6 6 62 2 2 3 3 3 4 2 3 3 3 4 28 8 8 8 8ab a b ab a b ab a b a b a b a b a b
3 6 63 7 5 9 5 3 56 2 2 2 2a b a ab a ab
Por lo tanto:
3 62 58 2 8ab a b a ab
ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA 15.- Realizar las operaciones indicadas y simplificar cada una de las expresiones dadas .
23 0 2 3)a x y x y 1/ 2 1/ 4 1/ 2
5 / 2 3 / 4 5 / 4
81)
9x y
bx y
Resolución. Para el inciso a) se tiene:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
6
6 6
23 0 2 3 34
) 1y y
a x y x y xx x
Para el inciso b) se tiene: 1/ 2 1/ 4 1/ 2 1
5 / 2 3 / 4 5 / 4 5 / 2 3 / 4 1/ 4 5 / 4 1/ 2 3 / 2 7 / 4 3 / 2 7 / 4
81 9 1 1 1 1 1 1)
9 9 9 9x y
bx y x x y y x y xy
ALUMNO: ÓSCAR ALBERTO VERA GARCÍA
16.- Simplificar a radicales de menor orden: a) 8 2 22a ab b y b) 3 612 8x y .
Resolución. Para el inciso a) se tiene:
a) 8 2 2 2 2 / 8 1/ 4 482 ( ) ( ) ( )a ab b a b a b a b a b
Para el inciso b) se tiene:
b) 3 6 2 3 2 3 /12 212 4128 (2 ) (2 ) 2x y xy xy xy
ALUMNO: EDUARDO NAVARRETE TOLENTO
17.- Resolver la ecuación: 5 5
32
x x .
Resolución.
Multiplicando la ecuación por 2: 1
5 5 6 5 65
x x xx
Multiplicando por x5 : 215 5 5 6 5 5 6 5 1 0
5x x x x x x
x
Resolviendo la ecuación cuadrática: 6 36 4
5 5 3 102
x x
5 0 log 5 log 3 10 log5 log 3 10x x x
log 3 101.13
log5x x
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
7
18.- Resolver la ecuación: 2 6 0x xe e . Resolución.
Utilizando las leyes de los exponentes: 26 0x xe e
Factorizando la expresión cuadrática en xe : 023 xx ee
3 0 3x xe e ; 2 0 2x xe e
La ecuación 2xe no tiene solución, ya que 0xe para toda x, y la ecuación 3xe nos lleva a 3lnx , por lo que la única solución es: ln3 1.098x
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
19.- A un estudiante se le pide evaluar la expresión 22 2x y x y para 2x y 4y . Él
escribe:
22 2 2 2 2 2 2 4x y x y x y x y x
Determinar si la respuesta es correcta. Resolución. Si evaluamos para 2x , 4y obtenemos:
2 22 2 2 2 4 2 8 2 8 36 2 8 6 16x y x y
El estudiante cometió el error de escribir 22 2x y x y que es cierto solo si 2x y .
Si 2x y ; entonces 22 2x y y x , y en todos los casos 2
2 2x y x y
ALUMNO: EDUARDO NAVARRETE TOLENTO
20.- Racionalizar la siguiente expresión algebraica:
3 5 2
x
x
Resolución.
2 2 23 3 3
3 3 2 33 3
5 2 5 2 5 2
5 25 2 5 2 5 2 5 2
x x x x xx xxx x x x
LOS COORDINADORES
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
8
21.- Racionalizar la siguiente expresión algebraica:
2
2 2
x
x
Resolución.
2 2 22 2 2 24 22 2 2 2 2 2
x xx x xxx x x
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2 2
x x x x x x
x x x
2 2x
LOS COORDINADORES 22.- Reducir la siguiente expresión algebraica en la cual 0x y :
3 1
4 8
2 1
3 24
x y x y
x y x y
Resolución.
3 1
3 1 2 14 8 4 8 3 24
2 1
3 24
x y x yx y x y x y x y
x y x y
Como 3 1 2 1 18 3 16 1 0
04 8 3 24 24 24
Entonces
3 1
4 8 0
2 1
3 24
1x y x y
x yx y x y
LOS COORDINADORES
23.- Simplificar la siguiente expresión algebraica:
2 2 3 3
3
54 36 27 8
2 3m
m
xy x y y x
x y
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
9
Resolución.
2 2 3 3 3 2 2 3
3 3
54 36 27 8 8 36 54 27
2 3 2 3m m
m m
xy x y y x x x y xy y
x y x y
3 3
3 3
2 3 2 3 1 12 32 3 2 3 2 3 2 3
m m mm m m
x y x y
x yx y x y x y x y
LOS COORDINADORES
24.- Realizar las operaciones y simplificar:
23 5 3
32 243 273 2 4
3 2 2x x y
x y xy x y
Resolución.
23 5 3
32 243 27 96 486 2163 2 4
3 2 2x x y
x y xy x y xy xy xy
66 6 6 6 64 9 6
xyxyxy xy xy xy xy xy xy
LOS COORDINADORES
25.- Racionalizar el denominador de la siguiente expresión:
10 5
2 5 10
x y
x y
Resolución.
2 210 5 10 5 2 5 10 2 50 100 2 25 50
4 5 102 5 10 2 5 10 2 5 10
x y x y x y x xy xy y
x yx y x y x y
10 2 10 10 5 2 10 2 5 2 2 2 220 10 20 10 4 2
x xy xy y x y x yx y x y x y
2 2 2
2 2 2
x y
x y
LOS COORDINADORES
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
10
PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIONES 1.- Efectuar el siguiente producto y posteriormente factorizar:
23 4 5 2 3
2 4
5 72 3
xyx y z x y z
xyz z
Resolución. Primero se resuelve el producto utilizando la ley de los exponentes y después se obtiene el factor común. Así,
3 43 4 5 3 4 5 3 4 5
2 2 6
5 3 72 2 2
y z xzx y z x y z x y z
xyz x y
2 3 3 7 6 4 10 9 3 3 4 3 3 7 610 6 14 2 5 3 7x y z xy z x y z xy z x y z x y z
LOS COORDINADORES
2.- Efectuar el siguiente producto y factorizar el resultado:
32 3 2 43 4a b c a bc
Resolución. Mediante la expresión del binomio al cubo se tiene que:
32 3 2 4 6 9 3 2 5 6 2 1 9 6 3 12
6 9 3 12 8 4 3 4 8 6 12 9
312 8 4 3 4 8 6 12 9
6 9
2 4 8 48 96 64
8 6 12 8
86 12 8
a b c a bc a b c a b c a b c a b c
a b c a a b c a b c b c
ca a b c a b c b c
a b
LOS COORDINADORES
3.- Factorizar la siguiente expresión algebraica:
23 17 20x x Resolución. En primer lugar se cambian signos sin alterar la expresión y después se realiza la factorización.
2 23 17 20 3 17 20x x x x
Se trabaja con la expresión del paréntesis y al final se considerará el signo menos. Se multiplican los tres términos por el coeficiente del primer término y se llega a:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
11
29 17 3 60x x
Se construyen dos binomios cuyos primeros términos son la raíz cuadrada del primer término del trinomio, y se obtienen dos números que multiplicados den 60 y que sumados algebraicamente den 17 y se tiene que son 12 5y . Luego se tiene el producto de binomios:
3 12 3 5x x
Como se multiplicó en un principio por 3 , ahora se divide entre tres y bastará con hacerlo con uno de los factores anteriores. Así, y tomando en cuenta el signo menos se tiene finalmente que los factores de la expresión dada son:
4 3 5 4 3 5 4 3 5x x x x x x
LOS COORDINADORES
4.- Factorizar la siguiente expresión algebraica:
12 83431728
729x y
Resolución. Como se observa, se trata de una diferencia de cubos, por lo que su factorización queda como sigue:
12 8 4 2 8 4 4 2343 7 49 281728 12 144
729 9 81 3x y x y x y x y
LOS COORDINADORES
5.- Factorizar la siguiente expresión algebraica:
3 15 12125 216a b c Resolución. Se tiene una suma de cubos cuya factorización es:
3 15 12 5 4 2 10 8 5 4125 216 5 6 25 30 36a b c ab c a b c ab c
LOS COORDINADORES
6.- Obtener el trinomio que al multiplicarse por el binomio dado, dé como resultado una diferencia de los cubos de los términos del binomio:
3 1 2x
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
12
Resolución. Se considera que el binomio dado es el primer factor del resultado de factorizar una diferencia de cubos y entonces se procede como sigue:
23 331 2 1 2 1 4 1 8x x x x
Por lo que el trinomio pedido es 2 33 1 2 1 4x x
LOS COORDINADORES
7.- Obtener el trinomio que al multiplicarse por el binomio dado, dé como resultado una suma de los cubos de los términos del binomio:
35 125x Resolución. Se considera que el binomio dado es el primer factor del resultado de factorizar una suma de cubos y entonces se procede como sigue:
23 3 35 125 25 5 125 125 125 125x x x x
Por lo que el trinomio pedido es 23 325 5 125 125x x
LOS COORDINADORES
8.- Efectuar el siguiente producto:
23 331 3 1 3 1 9x x x
Resolución. Éste es un producto notable, cuyo resultado es la diferencia de los cubos. Luego,
23 331 3 1 3 1 9 1 27 28x x x x x
LOS COORDINADORES 9.- Efectuar el siguiente producto:
3 12 3 7x x
Resolución. Se trata de un producto notable en el que el primer término es el cuadrado del término común de los dos binomios, el segundo término es el producto de la suma algebraica de los segundos términos de
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
13
los binomios por el término común, y el tercer término es el producto de los segundos términos de los binomios. Por lo que:
23 12 3 7 9 15 84x x x x
LOS COORDINADORES
10.- Factorizar: 4 2 2ac bc ad bd . Resolución. Agrupando los dos primeros términos, y los dos últimos:
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2ac bc ad bd ac bc ad bd c a b d a b a b c d
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
11.- Factorizar el polinomio: 127 3 x . Resolución. Utilizando la fórmula para la diferencia de cubos
3 23 3 2 227 1 3 1 3 1 3 3 1 1 3 1 9 3 1x x x x x x x x
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
12.- Efectuar:
2 2x y x y
Resolución.
22 22 2 2 4x y x y x y x y
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 13.- Racionalizar el siguiente cociente y simplificar:
3
2
4 66
x
x
Resolución.
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
14
Para racionalizar esta expresión hay que quitar la raíz del denominador para lo cual se multiplican numerador y denominador por el trinomio que al multiplicarse por el binomio del denominador, conduce a una diferencia de cubos. Así,
23 3
3 3 23 3
16 4 66 662 2
4 66 4 66 16 4 66 66
x xx x
x x x x
23 32 16 4 66 66
64 66
x x x
x
2 23 33 32 16 4 66 66 2 16 4 66 66
64 66 2
x x x x x x
x x
23 316 4 66 66x x
LOS COORDINADORES
14.- Simplificar: 2 22 2
4 4m nm n
.
Resolución.
2 22 2 22 24 4 4 2 2
m n m n m n m nm nm n m n m n
Por lo que la expresión simplificada es: 2 22 2
4 4 2
m nm nm n
ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA
15.- Simplificar: 1/ 2 1/ 22 2 2
2
1 1
1
x x x
x
.
Resolución.
Factorizando 1/ 221 x
del numerador:
1/ 21/ 2 1/ 2 1/ 22 2 22 2 2 2
3 / 22 2 2 2
1 11 1 1 11 1 1 1
x x xx x x x
x x x x
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
15
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
16.- Simplificar la expresión: 2
4a b ab
a b
.
Resolución. Desarrollando el binomio, se tiene que:
2 2 2 2 24 2 4 2a b ab a ab b ab a ab ba b a b a b
22 22 a ba ab b
a ba b a b
Por lo tanto la expresión simplificada es:
2
4a b aba b
a b
ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA
17.- Simplificar la siguiente expresión algebraica:
9 2 6 49 9 2
6 49 6 49 9 2
x x x
x x x
Resolución. Tanto en el numerador como en el denominador se encuentran productos de binomios conjugados que dan como resultado la diferencia de cuadrados. Entonces se tiene que:
9 2 6 49 9 2 9 4 6 49 13 6 49
6 49 6 49 9 2 36 49 9 2 13 9 2
x x x x x x x
x x x x x x x
6 49
9 2
x
x
LOS COORDINADORES
18.- Simplificar la expresión: bd ac bc ad
ac bd ad bc
.
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
16
Resolución.
a c d b c d a c d b c d c d a bbd ac bc ad a bac bd ad bc a c d b c d a c d b c d c d a b a b
Por lo tanto la expresión simplificada es: bd ac bc ad a b
ac bd ad bc a b
ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA
19.- Simplificar: 2
2
8 152 15
d dd d
.
Resolución.
2 2 22 2
2 22 2 2
4 1 4 18 15 8 16 12 15 2 1 16 1 16 1 4
d dd d d dd d d d d d
4 1 4 1 5 3 31 4 1 4 5 3 3
d d d d dd d d d d
Por lo que: 2
2
8 15 32 15 3
d d dd d d
ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA
20.- Simplificar la expresión: 3 3
2 2
2q p qp qp q p q
.
Resolución.
2 2 2 23 3 2
2 2
2 2 2p q p pq q p pq qq p q q p qp q qp qp q p q p q p q p q p q p q
2 2 2 2 22 p q p qp pq q qp q p qp q
p q p q p q
Por lo que la expresión simplificada es: 3 3
2 2
2q p qp qp q
p q p q
ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
17
21.- Racionalizar el siguiente cociente y simplificar:
1
3 2
x
x
Resolución. Para racionalizar esta expresión hay que quitar la raíz del denominador para lo cual se multiplican numerador y denominador por el binomio conjugado del binomio del denominador y se tiene que:
1 3 2 1 3 21 1 3 23 2
3 4 13 2 3 2 3 2
x x x xx x xx
x xx x x
LOS COORDINADORES
22.- Desarrollar el siguiente binomio al cubo:
31 2 2 13 32 4x y x y
Resolución. Se trata de un binomio al cubo. Luego,
31 2 2 1 3 6 2 4 2 1 1 2 4 2 6 33 3 3 3 3 32 4 2 3 4 4 3 2 16 4x y x y x y x y x y x y x y x y
3 6 3 3 6 33 32 3 16 3 32 4x y y x x y
LOS COORDINADORES 23.- Efectuar el siguiente producto y factorizar:
3 2 4 2 4 1 3 2 4 2 4 110 5 10 5x y z x y z x y z x y z
Resolución. Son dos binomios conjugados y su producto es igual a la diferencia de los cuadrados de términos de los binomios. Así,
3 2 4 2 4 1 3 2 4 2 4 1 6 4 8 4 8 210 5 10 5 10 5x y z x y z x y z x y z x y z x y z
6 8 2 4 10 105 2x y z y z x
LOS COORDINADORES
24.- Efectuar el siguiente producto:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
18
2 4 4 2 4 86 5 36 30 25x y x x y y
Resolución. El resultado de este producto es igual a la suma de los cubos de los términos del binomio. Luego,
2 4 4 2 4 8 6 126 5 36 30 25 216 125x y x x y y x y
LOS COORDINADORES
25.- Efectuar el siguiente producto:
2 3 33 2 2 2 4 2 2x x x
Resolución. El resultado de este producto es igual a la diferencia de los cubos de los términos del binomio. Luego,
2 3 33 2 2 2 4 2 2 2 8 10x x x x x
LOS COORDINADORES
26.- Desarrollar el siguiente binomio al cuadrado:
222 3 21x
Resolución. Este es el producto notable conocido como “binomio al cuadrado”, cuyo resultado es el siguiente trinomio cuadrado perfecto:
22 2 2 2 22 3 21 12 4 3 63 21 9 4 3 63x x x x x
LOS COORDINADORES
27.- Factorizar el siguiente polinomio:
4 210 3 18x x Resolución. Este es el tipo de factorización de una expresión algebraica de la forma 2ax bx c por lo que una de las formas de proceder para factorizar es la que sigue: Se multiplican los coeficientes por el de la 4x , y para el segundo término sólo se expresa el producto. Así se tiene:
4 2100 3 10 180x x
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
19
Ahora se buscan dos factores que multiplicados den como resultado el tercer término obtenido y al sumarse algebraicamente su resultado sea el segundo coeficiente original, es decir, "3" , y se conforman dos binomios con la raíz del primer término y como segundo sumando los factores obtenidos. Entonces, se llega a:
2 210 15 10 12x x
Pero, como se había multiplicado por "10" , habrá que dividir entre este número y para llegar a número enteros en la factorización, se dividen entre "5" el primer factor y entre "2" el segundo. Finalmente se tiene que:
4 2 2 210 3 18 2 3 5 6x x x x
LOS COORDINADORES
28.- Factorizar la expresión algebraica:
12 9 18125 64x y z Resolución. Ésta es una diferencia de cubos, que se factoriza como el producto de los siguientes factores:
12 9 18 4 3 6 8 6 4 3 6 12125 64 5 4 25 20 16x y z x y z x y x y z z
LOS COORDINADORES
29.- Factorizar la expresión algebraica:
5 62
12
401080
a ba
c
Resolución. Primero se obtiene un factor común como sigue:
5 6 3 62 2
12 2
40 81080 5 216
a b a ba a
c c
Ahora el término entre paréntesis es una suma de cubos que se factoriza como: 3 6 2 2 4 2
12 4 8 4
8 2 4 12216 6 36
a b ab a b abc c c c
Por lo tanto, 5 6 2 2 4 2
2 212 4 8 4
40 2 4 121080 5 6 36
a b ab a b aba a
c c c c
LOS COORDINADORES
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
20
30.- Factorizar la siguiente expresión algebraica.
2 2 2 212 8 15 10x z y z x w y w Resolución. Se obtiene factor común entre el primero y el tercer término, así como entre el segundo y el cuarto.
2 2 2 2 2 212 8 15 10 3 4 5 2 4 5x z y z x w y w x z w y z w
Y mediante otro factor común se llega a:
2 2 2 2 2 212 8 15 10 4 5 3 2x z y z x w y w z w x y
LOS COORDINADORES
31.- Factorizar:
16 32 1x y Resolución. Se tiene una diferencia de cuadrados, por lo que:
16 32 8 16 8 161 1 1x y x y x y
Como se observa, hay otra diferencia de cuadrados. Así,
8 16 4 8 2 4 2 41 1 1 1x y x y x y x y
Y nuevamente se presenta una diferencia de cuadrados. Luego,
2 4 2 21 1 1x y xy xy
Por lo tanto,
16 32 8 16 4 8 2 4 2 21 1 1 1 1 1x y x y x y x y xy xy
LOS COORDINADORES
32.- Factorizar el binomio siguiente como una diferencia de cubos:
2 5x y Resolución.
3 2 23 33 32 5 2 5 4 10 25x y x y x xy y
LOS COORDINADORES
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
21
33.- Factorizar 3 38 2x x y y
Resolución.
3 3 3 3 2 28 2 8 2 2 4 2 2x x y y x y x y x y x xy y x y
2 22 4 2 1x y x xy y
LOS COORDINADORES
34.- Factorizar y simplificar la siguiente expresión algebraica:
4 2 2
2 4
36 5 24
2 15 216
x y x y y y
y y x x
Resolución. Primero se obtiene un factor común:
4 2 2 2 2 2
2 4 3 2
36 5 24 36 5 24
2 15 216 216 2 15
x y x y y y x y x y y
y y x x x x y y
Factorizando la diferencia de cuadrados, trinomio de la forma 2x bx c , diferencia de cubos y trinomio de la forma 2ax bx c , se llega a:
2 36 6 6x x x
2 5 24 8 3y y y y
3 2216 6 6 36x x x x
2
2
2 15
4 2 30 ; 2 6 2 5 ; 3 2 5
y y
y y y y y y
Finalmente.
4 2 2 2
2 4 2 2
36 5 24 6 6 8 3 6 8
2 15 216 6 6 36 3 2 5 6 36 2 5
x y x y y y x y x x y y xy x y
y y x x x x x x y y x x y
LOS COORDINADORES
35.- Efectuar las operaciones señaladas y reducir a su expresión mínima:
3 2 2
2 4 3 2
4 5 2 42 1 8 12 48 64
y y y y y yy y y y y y y
Resolución.
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
22
3 2 2 3 2 4
2 4 3 2 2 2 3 2
4 5 2 4 4 5 8 42 1 8 12 48 64 2 1 2 12 48 64
y y y y y y y y y y y yy y y y y y y y y y y y y y
23 2 4
2 32 2 3 2
2 2 45 14 5 8 4 42 1 2 12 48 64 2 11 4
y y y yy y yy y y y y y yy y y y y y y y yy y
2 2
2 2
5 2 4
1 4
y y y y
y y
LOS COORDINADORES
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
23
LOGARITMOS 1.- Obtener la forma logarítmica de cada ecuación:
3) 4 64a ; 3
3 27)
2 8b
Resolución.
34) 4 64 log 64 3a
3
32
3 27 27) log 3
2 8 8b
ALUMNO: ÓSCAR ALBERTO VERA GARCÍA
2.- Escribir la expresión 5
65log
32 como la suma algebraica de logaritmos simples
Resolución.
5 5 5
65log log 65 log 32
32
ALUMNO: ÓSCAR ALBERTO VERA GARCÍA
3.- Determinar el valor de 4log 15 .
Resolución.
4
log15log 15
log4
De donde:
4
log15 1.176log 15 1.95
log4 0.602
ALUMNO: ÓSCAR ALBERTO VERA GARCÍA
4.- Obtener el valor de x si log 20 1 log 2 2x x
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
24
Resolución.
220 1 20 1log 20 1 log 2 2 log 2 10
2 2x x
x xx x
20120 1 100 200 80 201
80x x x x
ALUMNO: ÓSCAR ALBERTO VERA GARCÍA
5.- Dados 10log 2 0.3010 y 10log 3 0.4771 , determinar el valor de las siguientes cantidades:
10) log 9a 410) log 48b
Resolución. 2
10 10 10) log 9 log 3 2log 3 2(0.4771) 0.9542a
1/ 4 4410 10 10 10 10
10 10 10 10
1 1) log 48 log 48 log 16 3 log 2 log 3
4 41 1 1
= log 2 log 3 log 2 log 3 0.3010 0.4771 0.42034 4 4
b
ALUMNO: ÓSCAR ALBERTO VERA GARCÍA
6.- Simplificar la expresión: 3 3 3
1log 6 3log 2 log 7
2
Resolución.
1/ 2 3 1/ 2 33 3 3 3 3 3 3 3
1/ 2
3 33
1log 6 3log 2 log 7 log 6 log 2 log 7 log 6 log 2 7
2
6 6 log log
2 7 56
ALUMNO: ÓSCAR ALBERTO VERA GARCÍA 7.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) y
9 2log
4 3 ; b) 2log(3x 2x 4) 0
Resolución:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
25
a)
3 22 3 2 3
y
9 2 9 4 4 8log y y y
4 3 4 9 9 27
b) 2 0 2 2log(3x 2x 4) 0 10 3x 2x 4 3x 2x 5 0 Al resolver esta ecuación cuadrática, se tiene:
1 2
5x 1; x =
3
ALUMNO: EDUARDO NAVARRETE TOLENTO
8.- Simplificar la expresión: a a
13log b log c
2
Resolución De la expresión dada se tiene:
3
3 1 2 3 1 2a a a a a a
1 b3log b log c log b log c log (b c ) log
2 c
ALUMNO: EDUARDO NAVARRETE TOLENTO 9.- Resolver la siguiente ecuación para I: e e 0log I log I t
Resolución:
t -t0 0e e 0 e 0 e e 0
I Ilog I log I t log I log I t log t =e I=I e
I I
ALUMNO: EDUARDO NAVARRETE TOLENTO
10.- Resolver la siguiente ecuación para y : 2logx 3logy 4logz 2 Resolución
4 3 2 3 2 3
4 3 2 3 2 3 4 3 2 3 2 3
4 2 23logy 4logz 2 2logx logy logz logx logy logz log10 logx
3 3 3logy logz 10 x y z 10 x
ALUMNO: EDUARDO NAVARRETE TOLENTO
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
26
11.- Simplificar la expresión: 2
log 8 log 53 b b
Resolución: 2 3 1 232 2 1 1
log 8 log 5 log 8 ( 1)log 5 log 8 log 5 log ( 8) log log 4 log3 3 5 5
1 4log 4 log
5 5
b b b b b b b b b b
b b
ALUMNO: EDUARDO NAVARRETE TOLENTO
12.- Resolver la ecuación: log 2 log 1 1x x
Resolución. Por propiedades de los logaritmos
log 2 1 1x x
Aplicando el exponente base 10 a cada lado: 1012 xx
De donde: 2 22 10 12 0x x x x
Factorizando: 1 24 3 0 4; 3x x x x
Verificando estas soluciones en la ecuación original, se determina que 4x no es solución, ya que el logaritmo de número negativos no está definido.
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
13.- Resolver la ecuación logarítmica: 4 3log 2 16x .
Resolución. De la ecuación dada, se tiene:
3log 2 12x
Dividiendo entre 3: log 2 4x
Aplicando el exponente base 10 a cada lado: 42 10 5000x x
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
27
14.- Expresar 213ln ln 4ln 1
2s t t como un solo logaritmo.
Resolución. Utilizando la ley donde el logaritmo de una potencia de un número es el exponente multiplicado por el logaritmo del número:
422
13 1lnlnln tts
Utilizando la ley donde el logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números:
43 1/ 2 2ln ln 1s t t
El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de los números:
42
32
1ln1ln4ln
21
ln3t
tstts
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
15.- Expresar 2
3
logz
yxa en términos de logaritmos de x , y y z .
Resolución. Escribiendo y como 1/ 2y y usando las leyes de los logaritmos:
1 13 3 1/ 23 2 3 22 2
2 2
1log log log log log log log 3log log 2log
2a a a a a a a a a a
x y x yx y z x y z x y z
z z
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 16.- Despejar x en la ecuación 3log logx x .
Resolución.
1/ 33 1log log log log log log
3x x x x x x
2 2 21log log log 9log log 9log 0
9x x x x x x
log log 9 0 log 0 o´ log 9x x x x
Por lo tanto:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
28
0 910 1 o´ 10x x La ecuación tiene dos soluciones: uno y mil millones
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 17.- Resolver la ecuación: 3 14 3x x . Resolución.
3 1log4 log 3 3 log4 1 log 3 3 log4 log 3 log 3x x x x x x
3 log 4 log 3 log3 3log4 log 3 log 3x x x
Por lo tanto: log3
3log4 log3x
ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA 18.- Resolver la ecuación: 34 2 48x x . Resolución.
2322 2 2 48 2 8 2 48x x xx
Sea: 2xu 2 8 48 0 12 4 0u u u u
12 2 12xu No hay solución 24 2 4 2 2 2x xu x Que corresponde a la solución buscada.
ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA
19.- Resolver la ecuación: log( 2) log log 8x x . Resolución.
2log 2 log8 2 8 2 8 0 4 2 0x x x x x x x x
2x ; Se rechaza esta solución porque no existe logaritmos de números negativos. 4x ; Es la solución buscada.
ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
29
20.- Resolver la ecuación: 1
log 22 3x
Resolución. Despejando la variable x :
2 1 9710 2 3 100 48.5
2 3 2x x
x
ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA
21.- Resolver la ecuación: 2log 15 3x x
Resolución. Despejando la variable x:
3 2 210 15 15 1000 0 40 25 0x x x x x x
Por lo tanto: 40x y 25x son soluciones.
ALUMNO: ANTONIO JARQUÍN LAGUNA
22.- Obtener una expresión equivalente a la dada, utilizando las propiedades de los logaritmos:
23 4
33 4
5 2log
5 2 3
x y x
y y
Resolución. Se aplican propiedades de los logaritmos y se tiene:
12 2 23 4 3 4 3 43
33 4 3 4 3 4
5 2 5 2 5 21log log log
35 2 3 5 2 3 5 2 3
x y x x y x x y x
y y y y y y
1log5 3log 4log 2log 2 3log 5 4log 2 3
3x y x y y
LOS COORDINADORES
23.- Determinar el valor de " "x en la siguiente ecuación:
4 1 33 6x x Resolución.
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
30
Se obtienen logaritmos en ambos miembros y se aplican propiedades de los mismos. Así, 4 1 33 6 ; 4 log 3 1 3 log 6x x x x
log 3 4log 3 log 6 3 log 6 log 3 3log 6 log 6 4log 3x x x
3
6 2log log
log 6 4log 3 81 27log 3 3log 6 log 648log 3 6
x x x
1.130330.402
2.81158x x
LOS COORDINADORES
24.- Dada la siguiente ecuación, expresar la variable " "x en términos de la variable " "y , por medio de logaritmos naturales.
2
x xe ey
Resolución.
22
x xx xe e
y y e e
Si se multiplican ambos miembros por xe se tiene que: 2 22 1 2 1 0x x x xye e e ye
Se aplica la fórmula para las ecuaciones de segundo grado en términos de xe : 2
22 4 41
2x xy y
e e y y
Pero xe siempre es positivo, luego la raíz no puede ser negativa. Finalmente,
2 2 21 ln ln 1 ln 1xe y y x e y y x y y
LOS COORDINADORES
25.- La corriente " "i de cierto circuito eléctrico está dada por:
1R tLE
i eR
Utilizar logaritmos naturales para expresar " "t en términos de los demás elementos que intervienen en la expresión: Resolución.
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
31
11
R t R t R tL L L
R tL
E E E E E E E i Ri e i e i e
R R R R R R Re
1ln ln ln
R tL
R tL
E i R E R t E R t Ee e
E E i R L E i R L E i Re
lnL E
tR E i R
LOS COORDINADORES
26.- Obtener la base " "b de 2
log 95b .
Resolución. Como se sabe, el logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para
obtener el número. Luego, en este caso, 25
es el exponente al que hay que elevar la base " "b
para obtener 75 . Por lo que es factible escribir: 5
2 2 525 5 29 9 243b b b
LOS COORDINADORES
27.- Resolver la siguiente ecuación exponencial:
2 3 117 25x x Resolución.
2 3 1 2 3 117 25 ; log17 log25 2 3 log17 1 log25x x x x x x
2 log17 3log17 log25 log25 2log17 log25 3log17 log25x x x 3
2
17log3log17 log25 log196.5225
172log17 log25 log11.56log
25
x x x
2.29342.1575
1.0630x x
LOS COORDINADORES
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
32
28.- Resolver la siguiente ecuación logarítmica: log 1 log 2.4742x x
Resolución.
1
log 2.47421log 1 log 2.4742 log 2.4742 10 10
xxx
x xx
2.4742 2.4742 2.47422.4742
1 110 1 10 1 10 1
1 10x
x x x xx
1 11 298 297
x x
LOS COORDINADORES
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
33
FORMALIZACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 1.- Escribir en cada una de las siguientes afirmaciones una f o v para falso o verdadero, respectivamente, según sea el caso. a) 81 corresponde a un número irracional. ( ) b) es un número irracional. ( ) c) La suma de dos números irracionales da un racional. ( ) d) RQQ ' . ( ) Resolución. a) f ya que 981 no corresponde a un numero irracional. b) v ya que no puede expresarse como el cociente de dos números enteros.
c) f 33323 que no es un número racional. d) v ya que RQQ ' y todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
ALUMNA: VALERIA GONZÁLEZ LEYVA 2.- Sean los conjuntos de números naturales N , enteros Z , racionales Q , irracionales 'Q y reales R , determinar el resultado de:
'' QQQQZQRQRNZQR Resolución. Realizando las operaciones por partes, se obtiene en el primer corchete:
NNRNZQR en el segundo corchete
RQQQRQR ' para el tercer corchete:
RRRQQQQZ '' Finalmente sustituyendo tenemos:
NRRNQQQQZQRQRNZQR ''
ALUMNA: VALERIA GONZÁLEZ LEYVA 3.- Demostrar por medio de inducción matemática que:
6
121321 2222 )n)(n(n
n...
1..., Nn
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
34
Resolución. Verificamos que 1 se cumple para 1n
11
6321
16
11211112
cumple para 1n . Suponemos 1 es válida para kn
2...6
121...321 2222
kkk
k hipótesis.
Si esto es verdadero, entonces la expresión 1 debe cumplirse cuando 1 kn
3...6
32211...321 22222
kkk
kk tesis.
Si sustituimos 2 en 3 tenemos:
63221
16
121 2
kkkk
kkk
Factorizando 1k en el miembro izquierdo:
63221
616121
kkkkkkk
Desarrollando operaciones en el primer miembro:
63221
66721 2
kkkkkk
Factorizando en el primer miembro:
63221
63221
kkkkkk
con lo cual queda demostrada la expresión 1 .
ALUMNA: VALERIA GONZÁLEZ LEYVA 4.- Demostrar por medio de inducción matemática que:
11
... 12
rr
aarararan
n , 1...; IRaNn
Resolución. Verificamos que 1 se satisface para 1n
aarr
aa
11
cumple para 1n . Suponemos 1 válida para kn .
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
35
2...11
... 12
rr
aarararaK
K hipótesis.
Si esto es verdadero, entonces la expresión 1 debe cumplirse cuando 1 kn
3...1
1...
112
rr
aararararaK
kK tesis.
Al sustituir 2 en 3 :
11
11 1
rr
aarr
ra
Kk
K
Si factorizamos a , y sumamos en el miembro izquierdo, tenemos
11
111 1
rr
ar
)r(rra
KkK
Desarrollando y simplificando el numerador del primer miembro:
11
11 11
rr
ar
ra
Kk
Con lo cual queda demostrada la expresión 1 .
ALUMNA: VALERIA GONZÁLEZ LEYVA 5.- Demostrar que: Nnnnp n ,33: . Resolución.
Para 1n se tiene: 33 Para kn se tiene: kk 33 … Hipótesis de inducción. Para 1 kn se tiene ...313 1 kk Tesis de inducción. Se tiene que demostrar que:
1313 kk
333313 kkk , esto por hipótesis de inducción.
Por otro lado; 1...333333 kkkk Nk
Como 2...333333333232 1 kkkkkkkkNk De las desigualdades 1 y 2
13333333333 kkkkkkkk Por transitividad se tiene que:
11 313333 kk kk Por lo que np es válida Nn .
ALUMNO: RODRIGO ATAHUALPA SÁNCHEZ TELÉSFORO
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
36
6.- Determinar por inducción matemática la validez de la siguiente proposición.
nn 2 es un número par , Νn Resolución.
Para 1n : 1) 211 22 , 2 es par, por lo tanto se cumple. 2) Para kn
kk 2 par I... Hipótesis. Para 1 kn : 11 2 kk Debe ser par II... Demostración de II :
11211 22 kkkkk
kkkkk 2211 22
1211 22 kkkkk por hipótesis es par Por lo tanto queda demostrado que nn 2 es un número par, Νn .
ALUMNO: LEÓN FELIPE PALAFOX NOVACK
7.- Demostrar por inducción matemática que:
.;)1(41
...321 223333 Nnnnn
Resolución. Para demostrar por inducción matemática que la proposición se cumple, primero se verifica para el menor valor que puede tomar n , esto es: Para 1n :
1144
1241
111141
1 2223 Se cumple
Posteriormente, se toma como hipótesis que la proposición se cumple para kn .
223333 141
...321 kkk
124
...321 22
3333 kkk
k
42
...321234
3333 kkkk
1... Hipótesis.
Se acepta que la proposición se cumple para 1 kn .
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
37
223333 11141
1...321 kkk
223333 2141
1...321 kkk
4
44121...321
223333
kkkkk
4
4121361...321
2343333
kkkkk 2...
Para demostrar la proposición nos basaremos en la hipótesis sumando el término siguiente a 1 , tenemos
3234
33333 14
21...321
k
kkkkk
1334
21...321 23
23433333
kkk
kkkkk
4
41212421...321
2323433333
kkkkkkkk
4
4121361...321
23433333
kkkkkk 3...
Si comparamos las expresiones 2 y 3 , notamos que son iguales, por lo que la proposición se cumple para toda Nn .
ALUMNO: ERICK REYNALDO VALDIVIA ORTEGA 8.- Demostrar, por inducción matemática, que: 321 nnnn es divisible entre seis,
Nn . Resolución. Se comprueba para 1n .
244321 El cual es divisible entre seis. Se supone válido para kn :
321 kkkk Es divisible entre seis (Hipótesis de inducción). Con base en la hipótesis de inducción, debe demostrarse que es válido para 1 kn
4321 kkkk Es divisible entre seis (Afirmación por demostrar). De la afirmación, por distributividad:
3214321 kkkkkkk
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
38
El primer sumando es divisible entre seis por hipótesis, el segundo se demostrará que lo es, a su vez, por inducción matemática, de la siguiente forma: Para 1k : 964324 sí se cumple, ya que 16696
Ahora se supone que se cumple para mk : 3214 mmm
Es divisible entre seis (Nueva hipótesis de inducción). Si se acepta esta hipótesis, con base en ella debe demostrarse que para 1 mk también se cumple: 4324 mmm (Nueva afirmación por demostrar)
De la afirmación: 32123214313244324 mmmmmmmmmmm
El primer término es divisible entre seis por la nueva hipótesis de inducción y el segundo también por tener como factor a 12 que es divisible entre seis. Y queda finalizada la demostración.
ALUMNO: ARTURO GUTIÉRREZ LANDA 9.- Demostrar por inducción matemática que :
Nnnsen n
;cos1
212 1
Resolución. Para 1n :
cos2
cos12
0
sensen coscos
22cos sensen
como 02
cos
y 12
sen entonces: coscos por lo tanto se cumple.
Ahora , se supondrá válida la expresión para :kn
...cos12
12 1
kksen Hipótesis
Si la hipótesis de inducción es cierta, la expresión original debe cumplirse para 1 kn
...cos12
12 kksen
Tesis
Si se multiplica por 1 ambos miembros de la hipótesis, la expresión resultante seguirá siendo válida y su miembro derecho será igual al de la tesis. Por ello, sólo se tendrá que demostrar que sus miembros izquierdos también lo son:
cos112
12 1
kksen
por las leyes de los exponentes:
cos12
12 kksen
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
39
tomando en cuenta que:
sensen cos12
12 kksen
desarrollando:
cos122
2 kksen
finalmente:
cos12
12 kksen
que resulta igual a la tesis, por lo que queda demostrada la validez de la proposición.
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 10.- Resolver la siguiente ecuación.
6|42| x Resolución. Caso 1 ;
1x4x46x42 1 Caso 2
2x8x46x42 2 Las solución, entonces son 2 puntos en la recta numérica, uno en 1x y el otro en 2x .
ALUMNO: LEÓN FELIPE PALAFOX NOVACK 11.- Resolver la siguiente desigualdad:
53
10
x
Resolución. La desigualdad es igual a: 1510 x , por lo que se analizan dos posibles casos:
51510 xx 251510 xx
Gráficamente: Por lo que el conjunto solución es: / 25,5 ;x x x R
25 50
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
40
ALUMNO: RODRIGO ATAHUALPA SÁNCHEZ TELÉSFORO
12.- Determine el conjunto solución de:
4323
533 xx
Resolución. Desarrollando la desigualdad:
92
31329
45323
33 xxxx
Por propiedades del valor absoluto:
92
392
x9
29
9
253
9
23
9
2 xx
Finalmente la solución es:
Rxxx ;
929
,925
/ .
ALUMNO: RODRIGO ATAHUALPA SÁNCHEZ TELÉSFORO
13.- Determinar los valores de Rx con los cuales se satisface la desigualdad:
xx 33
Resolución.
33 xx ó xx 33 Primer caso:
23
3233 xxxx
,
23
1CS
Y para el segundo caso:
43
3433 xxxx
,CS
4
32
entonces:
,CSCS CSCS ff 4
321
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
41
ALUMNO: VERNON HERRERA ESPINOSA 14.- Resolver la siguiente desigualdad:
1512
xx
Resolución. Haciendo uso de una de las propiedades del valor absoluto, la desigualdad se puede plantear de la siguiente forma:
12
15 x
x ó 1512
xx
Resolviendo la primera de estas desigualdades y sumando uno en ambos lados, se tiene que:
0111052
xxxxx
0x Resolviendo la segunda desigualdad, se tiene:
410252
1512
xxxx
xx
94
94 xx
Finalmente, la solución a la desigualdad planteada, vendrá dada por la unión de los conjuntos solución de las dos desigualdades resueltas, esto es:
94
;/0;/ xRxxxRxx
Lo cual nos conduce al conjunto solución: C.S Rxxx ;0,/
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT
15.- Obtener el conjunto de valores de Rx , para el cual se satisface la siguiente desigualdad.
42
63333
4 2
x
xxx
Resolución. Para obtener el intervalo de valores que satisfacen la desigualdad, se utiliza una propiedad del valor absoluto que nos permite multiplicar ambos términos del primer miembro de la desigualdad.
4
1122
413
2324
136332 22
x
xxx
xx
xxx
xxx
442 xx ; 1x
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
42
La condición 1x se debe a que al factorizar, tanto el término del numerador como el término del denominador serían igual a cero en caso de que x tomara el valor de uno, lo que nos llevaría a una indeterminación. La expresión anterior nos conduce a dos desigualdades, ya que se trata de un valor absoluto. Las desigualdades son:
424 xx 442 xx
Caso 1 :
xxxx 38
38424
38
,. 1SC
Caso 2 : 0442 xxx
,0. 2SC Dado que la desigualdad puede cumplir cualquiera de las dos desigualdades, entonces la solución es la unión de los dos conjuntos donde se descarta como elemento al uno.
1,038
,.
fSI
ALUMNO: ERICK REYNALDO VALDIVIA ORTEGA
16.- Para cada una de las siguientes desigualdades, determinar los valores de Rx que la satisfacen.
a) 1226 xx ; b) 72
34
xx
Resolución. a) 1226 xx
21472612 xxxx 21051226 xxxx
RxxxCS ;2,2/: Gráficamente:
b) 72
34
xx
42
424
7324
xxxx
para 0x ;
2 20
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
43
21
4242
xxx
; por lo tanto; ,0x .
para 0x ;
21
4242
xxx
; por lo tanto;
21
,x
El conjunto solución para esta desigualdad es:
RxxxCS ;,0
21
,/:
ALUMNO: VERNON HERRERA ESPINOSA
17.- Resolver 52
x
x.
Resolución. Caso 1 0x ; Desigualdad
21
425252
xxxxx
x
El intervalo de solución para este caso es:
,
21
x
Caso 2 0x ; Desigualdad
21
425252
xxxxx
x
21
0
21
0
021
021
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
44
El intervalo de solución para este caso es: 0,x El intervalo final sería la unión de ambos intervalos.
Rxxx ;,
21
0,/
ALUMNO: LEÓN FELIPE PALAFOX NOVACK
18.- Resolver la siguiente desigualdad:
231
xx
Resolución. De acuerdo con las propiedades de las desigualdades se tiene que:
035
035
03
62102
31
231
xx
xx
xxx
xx
xx
El numerador y el denominador del primer lado de la última desigualdad tienen como raíces a 5 y 3 respectivamente. Nótese también que 5 es solución de esta desigualdad. En la recta numérica, con los dos valores anteriores se determinan los siguientes intervalos:
,33,5,5, y
Como 35
xx
es un cociente de dos polinomios, su valor siempre es positivo o siempre es negativo
en todo un intervalo. Se pueden utilizar valores de prueba para ver los signos y se construye la siguiente tabla:
Intervalo Valor de prueba Signo de 5x Signo de 3x Signo de 35
xx
5, 6 Negativo Negativo Positivo 3,5 4 Positivo Negativo Negativo ,3 0 Positivo Positivo Positivo
A partir de la tabla se observa que la solución para que el cociente sea positivo es ,35, y, por el signo “mayor o igual que” de la desigualdad, la solución de ésta está dada finalmente por:
,35,x
ALUMNO: ARTURO GUTIÉRREZ LANDA 19.- Determine el conjunto solución que satisface la siguiente desigualdad:
422
102516
xxx
Resolución. Desarrollando:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
45
2
20112516
222202
2516
xx
xx
xx
xx
02
10212516
20121
2516
x
xxx
xx
xx
0
21
2126
022626
02
1021516
xx
xx
xx
xxx
Donde existen dos casos: 101 xx
202 xx cuya intersección es el conjunto vacío. o bien:
101 xx 202 xx cuya intersección es el conjunto Rxxx ;2,1/ , que es el conjunto
solución.
ALUMNO: RODRIGO ATAHUALPA SÁNCHEZ TELÉSFORO 20.- Obtener el conjunto de valores que satisfacen la siguiente desigualdad:
54
3
xx
Resolución. De la desigualdad obtenemos dos casos:
2...54
31...5
43
x
xó
xx
Resolviendo la desigualdad 1 : Caso 1 : Si 404 xx ;
202205345354
3xxxxx
xx
10x
Entonces la solución al caso 1 está dada por la intersección de 4x y 10x . Por lo que la solución es :
Caso 2 : Si 404 xx
202205345354
3xxxxx
xx
10x
Entonces la solución al caso 2 está dada por la intersección de 4x y 10x esto es Rxxx ;4,10/ .
10 4 0
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
46
La solución para la desigualdad 1 es la unión del conjunto vacío con Rxxx ;4,10/ que es igual al conjunto:
Rxxx ;4,10/ Resolviendo la desigualdad 2 : Caso 3 : Si 404 xx ;
208205345354
3xxxxx
xx
25
x
Por lo que la solución es la intersección de 4x y 25
x que en este caso es el conjunto:
Rxxx ;
25
,4/ .
Caso 4 : Si 404 xx ;
208205345354
3xxxxx
xx
25
x
Por lo que la solución es la intersección de 4x y 25
x que en este caso es el conjunto vacío.
Por lo tanto, la solución a la desigualdad 2 es:
Rxxx ;
25
,4/ .
La solución general es la unión de los conjuntos solución de la desigualdad 1 y ella desigualdad 2 , es decir:
Rxxx ;
25
,44,10/
LOS COORDINADORES
21.- Obtener el conjunto de valores de x , Rx , que satisface la siguiente desigualdad:
xx 123
Resolución. De las propiedades del valor absoluto tenemos:
2...1231...123 xxóxx
Resolviendo la desigualdad 1 , tenemos:
xxxxxxx 23123231123
25
4 0
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
47
444123 xxxxx
32
23231 xxxx
La solución para la desigualdad 1 está dada por la intersección de los dos conjuntos 32
x y
4x .
Por lo tanto, la solución es
Rxxx ;
32
/ .
Para la desigualdad 2 , tenemos:
xxxxxxx 23123231123
32
32
32123 xxxxx
44231 xxxx
La solución para la desigualdad 2 está dada por la intersección de los dos conjuntos 32
x y
4x , por lo tanto la solución es Rxxx ;4/ . La solución general es la unión de los conjuntos solución de ambas desigualdades.
Rxxóxx ;4
32
/
LOS COORDINADORES
22.- Resolver la siguiente desigualdad:
211 xx .
Resolución. Se resolverá la desigualdad por partes, primero supóngase que 1x , entonces,
112211 xxxx ,
por lo tanto: Rxxx 112 ,
32 40
32 40
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
48
se concluye que la desigualdad no tiene solución para valores 1x . Ahora supóngase que x1 , entonces,
12121 xxx ,
por lo tanto; Rxxx 112 ,
se concluye que la desigualdad no tiene solución para valores x1 . Por último supóngase que: 11 x ; en estas condiciones: Sumando 1 del lado izquierdo de la desigualdad;
1110 xxx ,
por otro lado Ahora sumando 1 del lado derecho de la desigualdad;
1101 xxx ,
entonces 2111111 xxxxxx
Por lo tanto la desigualdad no tiene solución.
LOS COORDINADORES
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
49
NÚMEROS COMPLEJOS
1.- Expresar el número complejo i
iii
z22
211
en forma binómica.
Resolución. Multiplicando las fracciones, por separado, por el conjugado de su denominador:
i
ii
iiiiii
ii
22
121
1111
11
2
2
i
iii
iiiii
iii
i43
41
431
862
442244
2222222
222
2
2
Realizando la resta:
iiii
iii
47
41
43
41
222
11
Por lo tanto: iz47
41 .
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
2.- Sean los números complejos:
16423 54321 zyizi,zi,z i, z
Realizar las siguientes operaciones:
a) 2
53
2421
zz
zzz
; b) 52
2345zz
zz
Resolución. a) Sustituyendo:
2
2
253
2421
12
364
i
i-ii
zz
zzz
como ii y i 43211 22
ii
iii
4371
43364
Para realizar la división se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador entonces:
ii
iiiiii
ii
ii
125
25251612129284213
4343
4371
2
2
Por lo tanto:
i
zz
zzz
12
53
2421
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
50
b) 52
2345
zz
zz
Sustituyendo valores: 13
26455 2
52
234
i
iizz
zz=
ii
ii
2
1208013
12080
ya que 42i 2 . Para realizar la división se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador entonces:
ii
iiiiii
ii
ii
32565
160280224
1202408016022
212080
2
2
por lo tanto:
izz
zz3256
5
52
234
ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE
3.- Efectuar 12
zz
si se tiene que yixz .
Resolución. Como yixyixz 111 su conjugado es yix 1 . Multiplicando el numerador y denominador por este número tenemos:
yix
yixyixyix
zz
yixyix
zz
12
11
12
11
12
1212
23
1
21212222
22
22
2
xyxy
xyxxyx
yx
iyxyxyxx
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ
4.- Obtener dos números complejos 21 zyz cuya suma sea el número real y su diferencia el número imaginario puro .
Resolución. Puesto que la suma 21 zz es real, las partes imaginarias de 1z y 2z deben ser iguales en valor absoluto, pero de signos opuestos. Puesto que la diferencia de 21 zz es un imaginario puro, las partes reales de 1z y 2z deben ser iguales. Por tanto yixzyixz 21 , , para ciertos números reales x y y . De esta manera,
xzz 221 , iiyzz 221 . De donde:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
51
21
,21
yx
Por lo tanto los dos números son:
iz 21
21
1 y iz 21
21
2
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ
5.- Determinar el conjunto de números Cz que cumplen con la igualdad:
1233 iziz
Resolución. La representación binómica de z es iyxz ; Ryx , , por lo que:
12)3()3(1233 iyxiyxiyixiyix
Obteniendo los modulos: 22222222 )3(12)3(12)3()3( yxyxyxyx
Elevando al cuadrado ambos miembros y simplificando: 222222 )3()3(24144)3( yxyxyx
yyxyyyxyy 12144)3(2496)3(2414496 222222
yyx 12)3(2 22 Elevando nuevamente al cuadrado se llega a:
222222 2414496424144)3(4 yyyyxyyyx
13627
108342414436244422
22222 yx
yxyyyyx
Por lo que, los números complejos que cumplen con la igualdad tienen su representación, en el plano complejo, en la elipse con centro en el origen, eje focal, coincidente con el eje imaginario, eje mayor de 12 unidades y eje menor de 36 unidades.
ALUMNO: ARTURO GUTIÉRREZ LANDA 6.- Obtener el resultado de 21 zz donde 21 zyz son los números complejos que se muestran en la figura:
30º
60º 4
31z
2z
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
52
Resolución. De la figura para el número complejo 1z se tiene:
601θ como 323
660
31
senrsenrb
60321 cisz Para el número complejo 2z se tiene:
210602702 de la figura 2
4cos
r
338
3
8
23
430cos
42
r
2103
382 cisz
entonces:
iºcisººcisθθcisrrzz 1627016210603
3832212121
ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE
7.- Realizar la siguiente operación 2
13 z
zz , donde: 7575cos41 isenz y
4545cos22 isenz . Expresar el resultado en forma binómica. Resolución. Se realiza la operación sustituyendo los valores dados:
º302
º452º754
4545cos27575cos4
3 cisciscis
isenisen
z
iisenz 3º30º30cos23
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
8.- Calcular 4 z , donde: iz 388 . Resolución. El primer paso es transformar el número complejo a su forma polar:
º12016120º120cos16388 cisiseni Ahora obtendremos las raíces utilizando la siguiente fórmula:
1...,,2,1,0º360
nkconnk
cisrz nn
Así tenemos:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
53
4º360º120
164 kcisz
icisz
k
3º302
:0
1
icisz
k
31º1202
:1
2
icisz
k
3º2102
:2
3
icisz
k
31º3002
:3
4
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
9.- Determinar un numero complejo z , tal que multiplicado con º3152cis sea igual a uno.
Resolución. Sea yixz ; además se tiene que icis 1º3152 La ecuación por resolver es:
11011 2 iyxyxiyixiyxiyixi Por igualdad de complejos se tiene el sistema de ecuaciones:
2...01...1 yxyyx Resolviendo el sistema:
21
12
0
1
yy
yx
yx
Sustituyendo este valor en la ecuación 1 ;
21
x
Por lo que el valor de z es:
iz21
21
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ
10.- Demostrar que 2
cosiθiθ ee
θ
.
Resolución.
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
54
θcise iθ En forma binómica:
θa cos senb
i senθe iθ cos y senii senθθcise iθ- coscos
θθseniθθseniθee iθiθ cos2coscos
Sustituyendo; 2
cos2cos
θθ θθ coscos
Por lo tanto: 2
cosiθiθ ee
θ
ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE 11.- Obtener un par de valores de r y que satisfacen:
3212 zzzθcisr
donde:
izezciszπi
2725,2,3158 32
5
21 Resolución. Transformando los números complejos a su forma binómica:
isenizcisz 22315315cos83158 11
i z 221
9025
22 2
5
2
y θ r;e zi
090cos2cos θra 2902 senθsen rb i z 202 Sustituyendo:
2 22 2 2 25 27 2 2 25 25 50 50 50 50z i i i i i i i i 2 50 100 50 0 100z i i
En forma polar: 2701002 cisz
Tomando en cuenta que: º2701002222 ciscisrrcisθz
10;1002 rr 135;2702 θ θ Un par de valores de r y que satisfacen la expresión son:
13510 θ y r
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
12.- Resolver la ecuación:
1802253
4
1
4
cis
z
eiπi
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
55
Resolución.
1802253 4
4
1
cisei
z
πi
Se tiene que:
iseni ciseπi
14545cos24522 4
1802
44
1802
1534
1
cis
i
cis
ii-z
Como 21802 cis
ii
z 222444
1
Transformando a forma polar:
º54064º31522º315224
4
1
ciszciszcis z Por lo tanto:
18064cisz
ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE 13.- Determinar los valores de z , w C que satisfacen las ecuaciones;
32w2z- 8 4 332 iwezi
Resolución.
6042 cisz
1,0;236060
4
kk
cisz
302;0 1 ciszkSi 2102;1 2 ciszkSi
9083 cisw
2,1,0;336090
83
kk
cisw
302;0 1 ciswkSi 1502;1 2 ciswkSi 2702;2 3 ciswkSi
2102210cos22 seniz
21
223
22 iz
iz 32 De las seis posibilidades, solamente 2z y 3w satisfacen a la tercer ecuación dada.
Comprobando:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
56
3223232º2702º21022322 32 iicisciswz
3232322232 ii Por lo tanto:
º21022 cisz y º27023 cisw .
ALUMNO: ERICK REYNALDO VALDIVIA ORTEGA
14.- Obtener los valores de Ryx , que satisfacen la ecuación
256 2
015
41 3 1
2 3 60º2 2 2
i
i
e
i i x yi e cisi
Resolución.
º3003º02º3301
16º90
21 22
72
6
10
ciscisyixcisii
ecis
i
º3006º300º30016
º9021 2 cisyixcis
icis
cis
º3006º1801º300º2701º30016
º9021 2 ciscisyixcis
ciscis
cis
º1206º300º3016º9021 2 cisyixcisciscis
º1206º300º1208 2 cisyixciscis
º1206º1208º300 2 ciscisyixcis
iiyixcis 333344º300 2
iyixcis 31º300 2
º1802º300º12022 cis
ciscis
yix º1802º18022 cisyixcisyix
icisz
iciszyix
2º2702
2º902
2
1
Con 1z :
2
02
1
1
y
xiyix
Con 2z :
2
02
2
2
y
xiyix
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
57
ALUMNA: V. CECILIA DÍAZ GARCÍA
15.- Determinar el número complejo z tal que:
zeizi
2334
31
4
2
4
Resolución. Agrupando términos y realizando las operaciones;
24
22 9
34
31
334
31
24ii
eieizz
Como iyxziyxz , entonces,
iiyxiiiyxiyx 31262934
31
24
por igualdad de complejos:
21
63
,63612231262 yxyyxiiyx
Por lo tanto el número complejo es; iz21
6
LOS COORDINADORES
16.- Obtener el o los valores de Cz que satisfacen la ecuación
243
214
zz
zzz
donde:
,º45181 cisz ,312 iz yezi
23 4
iz 224
Además, representar dichos valores en forma de Euler. Resolución.
º02313321 cisiizz
º908º45822
4 ciscisz
º18032º904º9083
2
4 ciscisciszz
º18016º02
º180324 cisciscis
z
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
58
º3152
º2252
º1352
º452
º452º18016
3
2
1
0
4
cisw
cisw
cisw
cisw
ciscisz
entonces: i
ew 40 2
i
ew 4
3
1 2
i
ew 4
5
2 2
i
ew 4
7
3 2
ALUMNA: V. CECILIA DÍAZ GARCÍA
17.- Determinar el o los valores de Cz que satisface la ecuación:
2
2 45823
zcise
zii
Resolución.
45823 22 ciseziz i
458)23( 23 cisezi i
icise
zi
234582
3
ii
zi
iiz
iicis
z2323
232201
232201 333
33 º011 ciszz
;33600
13
k
cisz .2,1,0k
0k ; ii eecisz 201 0
1k ; ii
eecisz
3
2
180
120
2 120
2k ; ii
eecisz
3
4
180
240
3 240
ALUMNO: ARTURO GUTIÉRREZ LANDA
18.- Obtener los valores de Cz , que satisfacen la siguiente ecuación:
1
º602
3222
5
3
26
116
cisz
ieieei ii
i
Resolución. Para resolver la ecuación, el numerador se expresa en su forma binómica, es decir:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
59
2422222222
i
166cos6 senie i
iseniei
21
23
611
611
cos6
11
1cos senie i La ecuación se convierte en:
1
º602
32321
º602
31122
3212
5
3
5
3
cisz
ii
cisz
ii
º6023
1
º602
3 5
3
5
3 cisi
z
cisz
i
Como iciseieii
3º3302221
23 6
11
6
11
, entonces
º270º1350º2705º270º270º602º3302 535
3
cisciscisciszcisciscis
z
Las raíces del número z están dadas por:
.2,1,0;3
º360º270
k
kcisz
Por lo tanto los valores de Cz que satisfacen la ecuación son: Para 0k :
1
270º90º
3z cis cis i
Para 1k :
2
270º 360º 3 1210º
3 2 2z cis cis i
Para 2k :
3
270º 720º 3 1330º
3 2 2z cis cis i
LOS COORDINADORES
19.- Obtener un valor del ángulo que satisface la siguiente ecuación:
ie i
53
201
tan
Resolución.
ie i
53
201
tan iseni53
201
costan
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
60
iseni
sen53
201
coscos
Por igualdad de números complejos se obtiene lo siguiente:
2...53
1...201
coscos
sen
sen
Sabemos que 3...1cos 22 sen
Por facilidad primero se obtendrá el valor de cos empleando las expresiones 2 y 3 y después se verificará si los valores obtenidos cumplen con la ecuación 1 .
53
sen
1cos 22 sen 153
cos2
2
2516
259
153
1cos2
2
54
2516
cos
Primero se probará con el valor positivo
53
s ,54
cos en
201
coscos
sen
201
54
5453
201
54
43
201
201
Tenemos que el cos es positivo y el sen es negativo, por lo tanto se encuentra en el cuarto cuadrante y un valor es:
53
54
cos
senang
ang θ
13.323θ
Se deja al estudiante verificar que con el valor 54
cos θ la ecuación
201
coscos
sen
no se satisface.
ALUMNO: ZEUS ZAMORA GUEVARA
20.- Obtener el valor del ángulo y del ángulo que satisfacen la siguiente ecuación:
iee ii 854 Tal que 900 y 1800 .
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
61
Resolución. Transformando los números complejos a su forma polar:
iseniseni 85cos54cos4 Por igualdad de números complejos se obtiene:
0cos5cos4 1...cos45
cos
854 sensen 2...245
sensen
También se sabe que la solución de este sistema debe cumplir con: 1cos1cos 2222 senysen
Elevando al cuadrado las expresiones 2 y 3 , y sumándolas tenemos:
22 cos1625
cos
451625 22 sensensen
451625
cos1625
cos 2222 sensensen
45cos1625
1 22 sensen 451625
1 sen
8073
1673
51625
35 sensensen
85.65
8073
angsen
Este resultado es correcto ya que cumple con 900 Como 1800 el sen será siempre positivo, pero el cos puede ser positivo o negativo. Se utilizara el valor de obtenido para calcular . De la ecuación 1 :
75.120
85.65cos45
cos85.65cos45
cos
ang
Este resultado es correcto ya que cumple con 1800 Verificando que con los valores de y se cumple la ecuación 2 :
859.0859.0
285.6545
75.120
sensen
Se cumple: 85.6575.120 y
ALUMNO: ZEUS ZAMORA GUEVARA
21.- Obtener el o los valores de Cz que satisfacen a la ecuación:
2
3
22
3
3411 ziiiezi
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
62
Resolución.
Despejando 2
3
z
iiziezi
1134 2
3
22
3
iiiezi
113422
3
ie
iiz
i34
11
2
2
3
Como:
iicisei
0º9012
442
34112
3
ii
iiii
z
º22532
2º45º270
32
2
º4532
º27022
3
cisciscis
cisz
3
23
2
º22532
2º225
32
2
ciscisz
3
1
3
13
12
º9081
º90324
º225232
2
cisciscisz
2,1,0 ;
3º360º90
81 3
1
k
kcisz
º3021
3º90
81
03
1
0 cisciszk
º15021
3º360º90
81
13
1
1 cisciszk
º27021
3º720º90
81
23
1
2 cisciszk
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
22.- Resolver la siguiente ecuación:
022312 ixix Resolución.
Sabiendo que: a
acbbx
242
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
63
2
2312
8896131
2
22143131 2iiiiiiii
x
Obteniendo las raíces de i2
2420 22 r 270
2
1
27022 cisi
1,0
2360º270
z 2
1
2
1
kdondek
cisr
icis
ºcisxk
113522
36002702'0 1
iciscisx
131522
36012702'1k 2
Resolviendo la ecuación con las raíces de i2 , obtenemos:
iiii
x 224
2131
1
i
iiix
1
222
2131
2
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
23.- Resolver la siguiente ecuación:
1043
656 3
ii
bacise πi
Resolución. Como podemos apreciar esta es una ecuación de primer grado con una incógnita en el dominio complejo. Al revisar de primera vista esta ecuación, podríamos caer en el error de querer cancelar el módulo del número complejo, con el denominador de nuestra ecuación; esto simplemente es incorrecto, ya que el módulo de un número complejo es un número real. Para empezar a resolver esta ecuación, es recomendable, primero despejar la incógnita y después simplificar:
ii
bacise πi
4365
106 3
bacisii
e πi
4365
106 3
Simplificando:
bcisa
ie πi
22
3
43
65106
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
64
bcisai
πcis
5
651036
bcisaiπcis
56
55
1036
bcisai 12106 bcisai 1216
Por lo tanto:
204001216 22 a
Nnnkkb
;,...,1,0;º360º13.143º87.36
1612
arctan
La solución es: bcisakºcis º36013.14320 ; Nnnk ;,...,1,0 .
ALUMNO: ALEJANDRO FÉLIX REYES
24.- Obtener los valores de Cyx , que satisfacen el siguiente sistema:
iyx
yx
564
1
Resolución. El sistema a resolver es:
2...564
1...1
iyx
yx
Se trata de un sistema de ecuaciones simultáneas, para resolverlo se empleará el método de sustitución, de la ecuación 1 se tiene;
3...11 yxyx Sustituyendo la ecuación 3 en la ecuación 2 :
iyiyiyiyy 555561556515641
Por lo tanto el valor de y es, ii
y
15
55.
De la ecuación 3 ; ixixyx 2111
Los valores pedidos son: ix 2 y iy 1
LOS COORDINADORES
25.- Determinar los valores de Czyx ,, , que satisfacen el sistema de ecuaciones lineales:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
65
iziyixi
izyixi
iziyix
23983103
134362
1021551
Resolución. Se tiene que resolver un sistema de ecuaciones simultáneas con valores complejos, el sistema se resuelve por el método de sustitución.
3...23983103
2...134362
1...1021551
iziyixi
izyixi
iziyix
de la ecuación 1 ; 4...55110211021551 ziyiixiziyix
Sustituyendo la ecuación 4 en la ecuación 2 ; izyiziyiii 1343625511021
izyiizyizyii 814257134362552110
5...2
814573414572
iyiziyiz
Sustituyendo la ecuación 4 en la ecuación 3 ; iziyiziyiii 239831055110213
iziyiziyii 2398310155148973
6...232
13232823282232132
iyii
ziziyi
Igualando las ecuaciones 5 y 6
281457
2321323282 iyi
iyii
iiyiyii 2328145713232822 yiiyii 17110130621226464164
iiyiyi 30621264164264171101 iyi 2424814597
30434
30434304341459714597
1459724248
1459724248 i
ii
ii
ii
y i1
De la ecuación 5 ;
iiiiiii
z 312
622
8142122
814157
De la ecuación 4 ; iiiiiiiiix 5154610213151511021
Por lo tanto: ix
iy 1 iz 31
LOS COORDINADORES
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
66
POLINOMIOS 1. - Dadas las siguientes expresiones, indicar si son o no polinomios; en caso negativo decir por qué; en caso afirmativo determinar su grado. a) 9523573 234567 xxxxxxxxp
b) cos84.425.8cos14.3coscos 223 senf
c) 234 679 yyyys
d) xxxxr 3462 787 e) xxxxx 83953 342 Resolución. a) Sí es polinomio de grado 7 b) Sí es polinomio con variable independiente cos , ya que 22 cos1sen y sustituyéndola tenemos que:
cos84.4cos25.825.8cos14.3coscos 223 f finalmente:
25.8cos84.4cos39.11coscos 23 f de grado 3. c) Sí es polinomio de grado 4
d) No es polinomio dado que: 2
1346 787 xxxxr , lo cual no cumple con la definición
de polinomio. e) Sí es polinomio, aunque sus términos están desordenados:
58339 234 xxxxx de grado 4.
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 2.- Determinar los valores de A , B , C para que los polinomios xp y xq sean iguales:
8144 2 xxxp
141123 222 xxCxBxxAxq Resolución. Igualando ambos polinomios:
8144 2 xx 141123 222 xxCxBxxA Para que dos polinomios sean iguales, sus coeficientes correspondientes deben ser iguales, desarrollando:
8144 2 xx CCxCxBBxAAxAx 423 222 agrupando términos semejantes:
1...43 CBA 2...1442 CA 3...8 CBA
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
67
Para resolver el sistema, tomando en cuenta que en la ecuación 2 no interviene B , se eliminará B de las ecuaciones 1 y 3 ; así que, restando 3 a 1 :
43 CBA 8 CBA
4...422 CA donde 5...422 CA , sustituyendo en 2 :
14442 CC 3186 CC sustituyendo este valor en 5 :
14322 AA Sustituyendo los valores de A y C en 3 :
831 B 4B Finalmente:
341 CBA
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 3.- Sea p un polinomio de grado tres, del cual se sabe que:
51 p ; 31 p ; 182 p Además se sabe que su gráfica corta a el eje de las ordenadas en el punto de coordenadas 4,0P . Calcular 2p .
Resolución.
Si dcxbxaxxp 23 ; como: 40 p 4000 23 dcba 4d
entonces: 423 cxbxaxxp
como; 51 p 54111 23 cba 1...1 cba
De manera análoga, 31 p 34111 23 cba 2...1 cba
182 p 184222 23 cba 3...14248 cba Si se divide entre dos la tercera ecuación, el sistema queda como:
1 cba ; 1 cba ; 724 cba Resolviendo por la regla de Cramer, se tiene que:
6
124
111
111
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
68
26
126
127
111
111
a ; 06
06
174
111
111
b ;
16
66
724
111
111
c
Por lo que el polinomio está dado por: 32 4p x x x
De donde 2p se obtiene como 42222 3 p ; 102 p
ALUMNO: ARTURO GUTIÉRREZ LANDA 4.- Determinar el residuo de dividir:
a) 132 23 xxxxf entre 2x .
b) 3543 23 xxxxg entre 1x .
c) 834 23 xxxxh entre 1x .
d) 17653 23 xxxxp entre 2x . Resolución. a) Empleando división sintética tenemos: 2 3 1 1 2 4 2 6 2 1 3 5
25
322)( 2
xxx
xxf
.
El residuo es 5r b) 3 4 5 3 1 3 7 2 3 7 2 1 El residuo es 1r c) 1 4 3 8 1 1 5 8 1 5 8 0 El residuo es 0r , por lo tanto 1x es factor de xh . d) 3 5 6 17 2 6 2 8 3 1 4 25
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
69
El residuo es 25r , por lo tanto 2x no es un factor de xp .
ALUMNO: CARLOS VILLANUEVA ZÚÑIGA 5.- Obtener los valores de a y b de tal manera que bxxaxxxp 1413 234 sea divisible entre ax y 1x . Resolución. 1 a 13 14 b
1 1 1a 12 a 26a 1 1 a 12a 26 a 26 ba 1 1 a 12a 26 a a a a a12 1 1 12 2613 a Dado que el residuo de la división debe ser cero, tenemos:
1...02613 a 2...026 ba De la ecuación 1 :
2a Sustituyendo 2a en la ecuación 2 :
240262 bb
ALUMNA: VALERIA GONZÁLEZ LEYVA 6.- Comprobar que 333 3 baabxxh es divisible entre bax . Resolución. 1 0 ab3 33 ba ba ba 2ba 33 babaab
1 ba 23 baab 333 3 babaabba Igualando a cero el residuo el residuo y desarrollando el producto, tenemos:
033 32233 baabbaba factorizando los primeros cuatro términos: 033 baba
00 Por lo tanto queda demostrado que 333 3 baabxxh es divisible entre bax
ALUMNA: VALERIA GONZÁLEZ LEYVA
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
70
7.- Comprobar que 115 xxh es divisible entre 13 x . Resolución. 136912 xxxx
13 x 115 x
1215 xx
912
12 1
xx
x
69
9 1
xx
x
36
6 1
xx
x
1
13
3
x
x
0 Como el residuo es cero el polinomio 115 xxh es divisible entre 13 x .
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHAVEZ 8.- Determinar el residuo que se obtiene al dividir 66 ayyh entre ay . Resolución. 54233245 ayayayaayy
ay 66 ay
56 ayy
425
65
yaay
aay
3342
642
yaya
aya
2433
633
yaya
aya
yaya
aya524
624
65
65
aya
aya
62a Por lo tanto el residuo es: 62a .
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHAVEZ
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
71
9.- Determinar si para el polinomio
ixixixixixxf 8482421 2345 ix 1 es una de sus raíces. De serlo, expresar xf como xqixxf donde xq es un polinomio de grado 1n .
Resolución. Realizando la división sintética 1 i1 i2 i24 i48 i8 i i i i2 i4 i8 1 1 2 4 8 0 Como el residuo es cero, entonces ix 1 es una de las raíces de xf , por lo que podemos expresar a xf de la siguiente forma:
842 234 xxxxixxf
ALUMNO: LEÓN FELIPE PALAFOX NOVACK 10.- En una división de polinomios, el dividendo es 25423 2345
1 xxxxxxp
el cociente es 2223 23 xxxxq y el residuo es xxr 7 . Determinar el divisor xp2 .
Resolución. Se tiene que:
xpxr
xqxp
xp
22
1
multiplicando por xp2 xrxqxpxp 21 xqxpxrxp 21
xq
xrxpp
1
2
Realizando operaciones; 22423 2345
1 xxxxxxrxp dividiendo:
2223
2242323
23451
2
xxx
xxxxxxq
xrxpxp
12 x 2223 23 xxx 22423 2345 xxxxx
2345 2223 xxxx 2223 23 xxx 2223 23 xxx 0
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
72
122 xxp
ALUMNA: VIRGINIA CECILIA DÍAZ GARCÍA
11.- Obtener las raíces del polinomio: 124 tttf Resolución. Se definirá una variable de ayuda: 2tx Con lo que el polinomio queda de la siguiente manera: 12 xxxp Utilizando la fórmula general de segundo grado:
23
21
231
231
2
11411 2 iix
330330cos23
21
3030cos23
21
21 senii
xsenii
x
Como: xt y que:
1...,,2,1,0360360
cos
nkn
kisen
nk
rz nn
3030cos senit 0k
1515cos1 senit
195195cos
1
2 senit
k
330330cos senit
115115cos
0
3 senit
k
345345cos
1
4 senit
k
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
12.- Determinar si los números 2 , 2 , 1 son raíces del polinomio:
2935862 234567 xxxxxx xxp Resolución. Como sabemos, para que un número sea raíz de un polinomio xp se debe cumplir 0p .
a) Sustituyendo 2 en el polinomio tenemos:
229232528262222234567
p
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
73
22962103222416282 p
202132 p
02 p ; por lo tanto, 2 no es una raíz del polinomio b) Sustituyendo 2 en el polinomio tenemos:
229232528262222 234567 p 21812401281921281282 p
2522 p 02 p ; por lo tanto, 2 no es una raíz del polinomio
c) Sustituyendo 1 en el polinomio tenemos 219131518161211 234567 p
293586211 p 01 p
01 p ; por lo tanto, 1 es una raíz del polinomio
ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE 13.- Sea el polinomio en x con coeficientes en C .
BAxixxixxxp 2367 77 Obtener A , B C ; considerar que i es raíz de xp y que ip 12121 . Resolución. Sabemos que:
ip 12121
iBAiip 121211717111 2367 iBAiip 12127711
iBAi 121266 iiBA 612612 iBA 66 1...66 AiB
Además como i es raíz del polinomio: 077 2367 BAiiiiiiiip
077 3377 BAiiiiiip 2...0 BAi Sustituyendo 1 en 2 :
iiAiAiAAiAi 66166066
6116
166
ii
ii
A
Sustituyendo en 1 : iBiB 6666
iByiA 606
ALUMNO: ERICK REYNALDO VALDIVIA ORTEGA
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
74
14.- Determinar los valores de los coeficientes a , b y c de tal forma que además sean raíces del polinomio cbxaxx 23 Resolución. Sustituimos a en el polinomio, ya que sabemos que un número dado es raíz de un polinomio
xp si 0p
023 cabaaaap 033 cabaa 1...0 cab Sustituimos b en el polinomio;
023 cbbbabbp 2...0223 cbabb Sustituimos c en el polinomio;
023 ccbcaccp 3...023 cbcacc Despejando c de 1 :
4...cab sustituyendo en 2
0223 abbabb 02 ababbb 02 ababb Despejando a
ababb 2 babb 12
abbb
1
2 b
bba
1
1
5...ba Sustituyendo c en 3
023 ababbabaab 022333 ababbaba Factorizando ab
01222 bbabaab 6...01222 bbaba Sustituyendo 5 en 6 :
01222 aaaaa 0134 aaa Dado que esta ecuación es de cuarto grado, entonces se tienen cuatro valores para a que son:
1a1 1a2
60cisa3
300cisa4 Si tomamos uno de ellos, por ejemplo 1a , tenemos: como ba , tenemos que 1b como abc , tenemos que 1c Entonces, una posibilidad es:
123 xxxxp
ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE 15.- Sea el polinomio 13 nxxp , donde Nn . Determinar la naturaleza de sus raíces utilizando la regla de los signos de Descartes:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
75
Resolución. Para 1n
13 xxp
13 xxp Por lo que xp , tendrá: 0 raíces reales positivas. 1 raíz real negativa. 2 raíces complejas. Total: 3 raíces. Para 2n :
16 xxp
16 xxp Por lo que xp , tendrá: 0 raíces reales positivas. 0 raíces reales negativas. 6 raíces complejas. Total: 6 raíces. Así se observa que para xp , si n es par: No tendrá raíces reales Todas sus raíces serán complejas. Para xp , si n es impar: No tendrá raíces reales positivas. Tendrá una raíz real negativa, y Tendrá 13 n raíces complejas.
ALUMNO: RODRIGO ATAHUALPA SÁNCHEZ TELÉSFORO 16.- Obtener las raíces del polinomio: 6875 2345 xxxxxxf Resolución. Aplicando la regla de signos de Descartes xxxxxxf 6875 2345 ; 4 variaciones, por lo que se tienen 4 posibles raíces
positivas. 6875 2345 xxxxxxf ; 1 variación, por lo tanto habrá 1 raíz negativa.
Tipo de raíz Opción 1 Opción 2 Opción 3 Reales positivas 4 2 0 Reales negativas 1 1 1 Complejas 0 2 4 Total 5 5 5 Obteniendo las posibles raíces, tenemos:
1236 :Raíces 0 ,,,aFactor de
aFactor de
qp
n
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
76
Realizando la división sintética con las posibles raíces: 1 5 7 1 8 6 1 1 6 13 14 6 1 6 13 14 6 0 Por lo que; 11 x 1 6 13 14 6 1 1 5 8 6
1 5 8 6 0 Por lo que; 12 x . 1 5 8 6
3 3 6 6 1 2 2 0 Por lo que; 33 x .
El polinomio reducido es: 222 xxxq Por la fórmula general, tenemos: Resolviendo la ecuación por la fórmula general,
i
ix
1
222
242
12
21422 2
Por lo tanto las raíces son: 11 x , 12 x , 33 x , ix 14 y ix 15
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
17.- Obtener las raíces del polinomio: 123 zzzzp . Resolución. Análisis de raíces. 123 zzzzp
Tipo de raíz Opción 1 Opción 2 Reales positivas 0 0 Reales negativas 3 1 Complejas 0 2 Total 3 3 Así mismo: 11110 qaypa n .
Por lo que 11 qp
qp
, de la tabla anterior.
Realizando la división sintética: 1 1 1 1 1 1 0 1
1 0 1 0 Por lo que: 11
Así: 11 2 zzzp Finalmente:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
77
izzz 101 22 Resultando las raíces de la opción 2:
i 21 ,1 y i3
ALUMNO: RODRIGO ATAHUALPA SÁNCHEZ TELÉSFORO
18.- Dado el polinomio:
2345678
21
61
31
32
61
61
axxxxxxxxp
Determinar el valor de a si se sabe que 3 es raíz de )(xp . Resolución. Multiplicando por seis:
2345678 63246 axxxxxxxxp
factorizando 2x ; axxxxxxxxp 63246 234562
donde obtenemos: 02,1
Raíz nula con multiplicidad 2, entonces; axxxxxxxq 6324 23456
Realizando división sintética: 1 1 4 2 1 3 a6 3 3 33 33 33 323 6
1 31 31 31 32 32 66 a
Como 3 es raíz, entonces: 1066 aa
ALUMNO: VERNON HERRERA ESPINOSA
19.- Obtener el valor de a tal que 1x sea un factor del polinomio: 12321532 2345 xxaxxxxxp y obtener todas sus raíces.
Resolución. Utilizando la división sintética: 2 3 a 15 32 12
1 2 5 5a 20a 12a 2 5 5a
20a 12a a
Por lo que; 0a Entonces el polinomio xp es igual a: xxxxxxp 12321532 2356 El polinomio tiene una raíz nula 01 x , con lo que el polinomio reducido es:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
78
12321532 245 xxxxxq Contando los cambios de signo que tiene el polinomio se puede suponer que tiene 2 ó 0 raíces reales positivas. Ahora cambiando x por x tenemos:
12321532 245 xxxxxq
12321532 245 xxxxxq Contando los cambios de signo que tiene el polinomio xq se sabe que tiene una raíz real negativa. Así, tenemos las siguientes posibilidades: Tipo de raíz Opción 1 Opción 2 Reales positivas 2 0 Reales negativas 1 1Complejas 2 4Nulas 1 1Total 6 6
Las posibles raíces racionales son: 23
,21
,12,6,4,3,2,1
Probando las posibles raíces tenemos que: 2 3 0 15 32 12 1 2 5 5 20 12
2 5 5 20 12 0 Por lo que: 12 x . 2 5 5 20 12 21 1 3 4 12
2 6 8 24 0
Por lo que: 2
13 x .
2 6 8 24 3 6 0 24 2 0 8 24 Por lo que: 34 x . y nos queda:
ixxxx 24404082 222 entonces las raíces son:
ixixxxxx 2,2,3,21
,1,0 654321
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
79
20.- Obtenga las raíces del polinomio:
453046)( 234 xxxxxp Resolución. Como 450 y 1n , las posibles raíces son:
45,15,9,5,3,1 Cambios de signo: 453046 234 xxxxxp
453046 234 xxxxxp se tienen tres cambios de signo, entonces, Tipo de raíz Opción 1 Opción 2 Reales positivas 1 1 Reales negativas 3 1 Complejas 0 2 Total 4 4 Realizando división sintética: 1 6 4 30 45 3 3 9 15 45 1 3 5 15 0 Por lo que: 31 1 3 5 15 3 3 0 15 1 0 5 0 Por lo que: 32
55050 22 xxxx Resumen de raíces:
32,1 Multiplicidad 2 .
5
5
4
3
ALUMNO: VERNON HERRERA ESPINOSA
21.- Obtener las raíces del polinomio: 21
31
67
31 23 xxxxp .
Resolución. Análisis del polinomio.
32726 23 xxxxqxpxq
3272 23 xxxxq Análisis de raíces. Tipo de ráiz Opción 1 Opción 2
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
80
Reales positivas 1 1 Reales negativas 2 0 Complejas 0 2 Total 3 3 Así mismo: 2,12,3,130 qapa n
Por lo que 23
,21
,3,1 qp
Realizando la división 2 7 2 3 3 6 3 3 2 1 1 0 Por lo que: 31 2 1 1 1 2 1
2 1 0 Por lo que: 12
Así 1213 xxxxq Finalmente
21
012 xx
Resultando las raíces de la opción 1.
21
1
3
3
2
1
Nota: Las raíces de xq son las mismas de xp , simplemente existe un escalamiento entre los polinomios; en sus gráficas se observa un desplazamiento vertical de sus máximo y mínimos.
ALUMNO: RODRIGO ATAHUALPA SÁNCHEZ TELÉSFORO
22.- Obtener las raíces del polinomio:
65722524381 234 tttttf Resolución. Dado que todos los coeficientes son divisibles entre 3 , se puede hacer el siguiente cambio de variable:
Si 3
3x
ttx de donde sustituyendo tenemos:
63
573
2253
2433
81234
xxxxxf
63
579
22527
24381
81234
xxxxxf
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
81
619259 234 xxxxxf Obteniendo las posibles raíces, tenemos:
12360 ,,,aFactor de
aFactor de
qp
Raíces: n
Realizando la división sintética con las posibles raíces: 1 9 25 19 6
3 3 18 21 6 1 6 7 2 0 Por lo que: 31 x 1 6 7 2
2 2 8 2 1 4 1 0 Por lo que: 22 x Aplicando la fórmula general de segundo grado a la ecuación:
0142 xx
522
2042
11444 2
x
entonces: 52,52 43 xx .
Sustituyendo en 3x
t , obtenemos que las raíces son:
352
,3
52,
32
,1 4321
tttt .
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
23.- Obtener el polinomio de coeficientes reales de menor grado cuya gráfica contiene los puntos )3,0(),0,32(),0,1( CBA y que tiene como una de sus raíces a i21 . Resolución. Dado que el polinomio tiene coeficientes reales, otra raíz es i21 . Por otra parte, de los datos del problema se tienen otras dos raíces, que son:
1 y 32
Podría pensarse que otra raíz es 32 ; sin embargo, esto no se puede garantizar, pues no se tiene información en el sentido de que los coeficientes del polinomio sean racionales, luego el polinomio es:
)21)(21)(32)(1()( 4 ixixxxaxp
310)3145()367()323( 2344 xxxxaxp
Pero del punto “C” se tiene que 3)0( p , entonces:
3103 4a 310
34 a
Finalmente, se tiene que:
310)3145()367()323(310
3)( 234 xxxxxp
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
82
3521
32
359
310
2153
310
9
310
3 234
xxxxxp
ALUMNO: ARTURO GUTIÉRREZ LANDA
24.- Considerando que i2 y 1 son raíces del polinomio )(xp , determinar las raíces restantes:
ixixxxxp 2)23(3)( 234 Resolución. Como 11 y i22 , podemos emplear división sintética para reducir el grado del polinomio. 1 1 3 i23 i2 1 1 0 3 i2
1 0 3 i2 0 1 0 3 i2
i2 i2 4 i2 1 i2 1 0
El polinomio reducido que nos queda es 122 ixxxq , empleando la ecuación general para resolver ecuaciones de segundo grado tenemos:
2
22
44212
114224,34,3
2
4,3
iiii
i4,3 Resumen de raíces:
iα
iα
α
4,3
2
1
2
1
ALUMNO: VERNON HERRERA ESPINOSA
25.- Expresar mediante factores lineales al polinomio 2345 20228 xxxxxf , si se sabe que i 3 es una de sus raíces y además que 02 f . Resolución. El problema nos da dos raíces i 31 y 22 . Además vemos que el polinomio tiene dos raíces nulas, y como tiene coeficientes reales, podemos afirmar que el conjugado de
i 31 , también es raíz, esto es, i 35 .
El polinomio expresado en factores lineales es el siguiente: 233 xixixxxxf
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
83
ALUMNO: LEÓN FELIPE PALAFOX NOVACK
27.- Obtener las raíces del polinomio: 6766 235 xxxxxp . Resolución. Análisis del polinomio.
6766 235 xxxxxp Análisis de raíces. Tipo de raíz Opción 1 Opción 2 Opción 3 Reales positivas 4 2 0 Reales negativas 1 1 1 Complejas 0 2 4 Total 5 5 5 Se tiene que: 11,6,3,2,160 qapa n
Por lo que 6,3,2,1 qp
Realizando la división sintética: 1 0 6 6 7 6 3 3 9 9 9 6 1 3 3 3 2 0
Por lo que: 31 .
Por lo que: 12 . 1 2 1 2
2 2 0 2 1 0 1 0
Por lo que: 23 .
Así 1213 2 xxxxxp Finalmente
ixxx 101 22 Resultando las raíces de la opción 2.
ii 54321 ,,2,1,3
ALUMNO: RODRIGO ATAHUALPA SÁNCHEZ TELÉSFORO
27.- Obtener todas las raíces de la ecuación: xxxxxxxh 245025133 23456 . Resolución. Notamos que el polinomio tiene una raíz nula.
1 3 3 3 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 0
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
84
Si se considera el polinomio reducido, tenemos: 245025133 2345
1 xxxxxxq
Contando los cambios de signo que tiene el polinomio xq1 se determina que xh tiene 2 ó 0 raíces reales positivas. Ahora cambiando x por x tenemos:
245025133 23451 xxxxxxq
245025133 23451 xxxxxxq
Contando los cambios de signo que tiene el polinomio xq1 se determina que xh tiene 3 ó 1 raíces reales negativas. Así tenemos los siguientes casos: Tipo de raíz Opción 1 Opción 2 Opción 3 Opción 4
Reales positivas 2 0 2 0 Reales negativas 3 3 1 1 Nulas 1 1 1 1 Complejas 0 2 2 4 Total 6 6 6 6
Las posibles raíces reales son: 24,12,8,6,3,2,1 Probando las posibles raíces tenemos que: 1 3 13 25 50 24 3 3 0 39 42 24 1 0 13 14 8 0
Por lo que: 32 x . 1 0 13 14 8
2 2 4 18 8 1 2 9 4 0
Por lo que: 23 x .
1 2 9 4 4 4 8 4
1 2 1 0 y nos queda:
1222 xxxq
Aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado, tenemos:
21
2222
282
2
11422 2
xxx
Las raíces son: 21,21,4,2,3,0 654321 xxxxxx
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
28.- Sean 52 x una raíz de la ecuación 619259 234 xxxxxp . Determinar las demás raíces. Resolución.
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
85
Teorema Si el número ba es una raíz de la ecuación racional y entera 0xf con coeficientes
racionales, el número ba también es una raíz de 0xf .
Como 521 x es raíz, por el teorema anterior , 522 x también es raíz de xp . El polinomio de segundo grado que es factor de xp es:
145252 2 xxxx .
Dividiendo
142 xxxp
, se tiene que:
652 xx 142 xx 619259 234 xxxx
234 4 xxx 619265 23 xxx xxx 5205 23 6246 2 xx 6246 2 xx 0 Por lo que el polinomio reducido es:
230652 xxxqxxxq Por lo cual las raíces restantes son: 2,3 43 xx
Las raíces son: 2,3,52,52 4321 xxxx
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
29.- Si xgxhxf , obtener todas las raíces de xf si se sabe que: El polinomio xh es de segundo grado y pasa por los puntos 2,0,0,1 y 2,1 ;
El polinomio ixixixixixxg 142114521353 2345 , y tiene
como raíces a i y 7 . Resolución. Para el polinomio xh tenemos que pasa por los puntos 2,0,0,1 y 2,1 . Como pasa por el punto 0,1 en 1x tenemos una raíz del polinomio, el polinomio de 2º grado puede escribirse como sigue:
bxxxh 1 Evaluando en los puntos restantes:
220100 bbh 24222221111 bbbbh
12 xxxh Las raíces son: 1;2 21
Para ixixixixixxg 142114521353 2345 , usando división sintética para reducir el grado del polinomio, con las raíces dadas:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
86
Con i3 ;
1 i 3 i35 i521 i2114 i14 i i i3 i5 i21 i14
1 3 5 21 14 0
Como 74 es también raíz del polinomio 142153 234 xxxxxq y este
contiene coeficientes racionales, entonces 7 también será raíz del polinomio, realizando la división sintética tenemos: 1 3 5 21 14
7 7 737 7221 14 1 73 732 72 0
1 73 732 72 7 7 73 72 1 3 2 0
Por lo que: 75
Del polinomio restante vemos que las posibles raíces racionales son:
11
,120
na
a
qp
.
Posibles raíces: 2,1 . Por división sintética. 1 3 2 2 2 2
1 1 0 Por lo que: 26 .
Por división sintética 1 1 1 1 1 0
Por lo que: 17 . Por lo tanto las raíces de xf son:
1,7,7,,1,2 754326,1 i
ALUMNO: ERICK REYNALDO VALDIVIA ORTEGA
30.- Obtener las raíces del polinomio 135916 234 xxxxxg , si se sabe que
i231 es una de sus raíces. Resolución. Como los coeficientes del polinomio xg son reales, entonces i232 , es otra de sus raíces. Empleando división sintética:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
87
1 1 16 59 13 i23 i23 i102 i262 13
1 i22 i1014 i23 0 1 i22 i1014 i23
i23 i23 i1015 i23 1 5 1 0 Quedando el polinomio reducido 152 xxxq de donde:
2
21512
1142550152
xxxx
Las raíces son:
2215
,2
215,23,23 4321
xxixix
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
31.- Obtener la expresión algebraica del polinomio xp de grado 5 con coeficientes reales, si se tiene que una raíz igual a i2 y cuya gráfica es:
Resolución. Si i2 es raíz, entonces i2 también lo será; de la gráfica también se desprenden las siguientes raíces: 3x , 1x , 2x . Así:
213421322 2 xxxxxpxxxixixxp
21243211243 22323 xxxxxxpxxxxxxp
242022 2345 xxxxxxp Como el término independiente resulta 24 , entonces es necesario multiplicar por 2 para llegar al término independiente que debe ser 48
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
88
2420222 2345 xxxxxxr
48404242 2345 xxxxxxr
ALUMNO: RODRIGO ATAHUALPA SÁNCHEZ TELÉSFORO 32.- Sea el polinomio:
ixixixixixixixxp 1212208191181612281 234567 Obtener todas las raíces del polinomio xp , si se sabe que i 11 es una de sus raíces. Resolución. Como 1, 21 i es raíz del polinomio xp , se emplea división sintética para obtener el polinomio reducido, es decir; 1 i1 i28 i612 i181 i191 i208 i1212 i1 i1 i22 i66 i1818 i1919 i2020 i1212
1 2 6 18 19 20 12 0 El polinomio reducido es:
1220191862 23456 xxxxxxxq Del polinomio reducido xq se tiene que:
12,6,4,3,2,1120 pa 11 qan .
Entonces las posibles raíces racionales son:
12,6,4,3,2,1 qp
.
Realizando la división sintética: 1 2 6 18 19 20 12
1 1 2 4 22 31 51 1 2 4 22 31 51 63 Por lo que, 1 no es raíz de xq . 1 2 6 18 19 20 12 1 1 1 7 11 8 12
1 1 7 11 8 12 0
Por lo que, 12 es raíz de xq . Continuando con la división sintética: 1 1 7 11 8 12 2 2 2 10 2 12
1 1 5 1 6 0
Por lo que, 23 es raíz de xq .
Continuando con la división sintética: 1 1 5 1 6
3 3 6 3 6 1 2 1 2 0
Por lo que, 34 es raíz de xq . Como el tercer renglón de la división sintética contiene solo términos positivos ya no hay ningún número 3 que sea raíz.
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
89
1 1 5 1 6 3 3 12 21 66 1 4 7 22 60 Como el tercer renglón de la división sintética contiene términos con signos alternados ya no hay ningún número 3 que sea raíz. 1 2 1 2 2 2 0 2 1 0 1 0
Por lo que, 25 es raíz de xq .
El polinomio reducido resultante es 121 xxq , que tiene por raíces:
iixx 7622 ,101
Por lo que las raíces del polinomio son: i 11 , 12 , 23 , 34 , 25 , i6 y i7
LOS COORDINADORES
33.- Sea el polinomio:
800148063224234022596144 23456789 xxxxxxxxxxp .
Obtener todas las raíces del polinomio xp , si se sabe que i2,2 21 son dos de sus raíces. Resolución. Se tienen 7 cambios de signo de xp , se determina que tiene 7 , 5 , 3 ó 1 raíces reales positivas. Para 800148063224234022596144 23456789 xxxxxxxxxxp , se determinan 2 cambios de signo, por lo que tendrá 2 o 0 raíces reales negativas. Raíz Opción 1 Opción 2 Opción 3 Opción 4 Opción 5 Opción 6 Opción 7 Opción 8
R 7 7 5 5 3 3 1 1 R 2 0 2 0 2 0 2 0
C 0 2 2 4 4 6 6 8 Total 9 9 9 9 9 9 9 9
Como xp tiene coeficientes racionales y 21 es una raíz, entonces 23
también es raíz de xp , es decir, el polinomio 222 2 xxx es factor de xp , como también i22 es raíz del polinomio xp entonces i24 , también es raíz, por
lo que: 422 2 xixix es factor de xp , entonces
8242 2422 xxxx es factor de xp ; por lo que:
82
80014806322423402259614482 24
23456789
24
xx
xxxxxxxxxxxxp
xq
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
90
100185104164 2345 xxxxx 82 24 xx 800148063224234022596144 23456789 xxxxxxxxx
579 82 xxx
800148063224234021796164 2345678 xxxxxxxx 468 3284 xxx
800148063224230821710416 234567 xxxxxxx 357 1283216 xxx
8001480632370308185104 23456 xxxxxx 246 832208104 xxx
8001480200370100185 2345 xxxxx xxx 1480370185 35
800200100 24 xx
800200100 24 xx
0 Quedando el polinomio reducido:
100185104164 2345 xxxxxxq Del polinomio reducido xq se tiene que:
,100,50,25,20,10,5,4,2,11000 pa 11 qan .
Entonces las posibles raíces racionales son:
100,50,25,20,10,5,4,2,1 qp
Realizando la división sintética: 1 4 16 104 185 100 1 1 3 19 85 100
1 3 19 85 100 0 Por lo que 15 , es una raíz del polinomio xp .
Tomando el polinomio reducido y aplicando división sintética. 1 3 19 85 100 2 2 2 42 86 1 1 21 43 14
Por lo que 2 no es raíz del polinomio. 1 3 19 85 100 4 4 4 60 100 1 1 15 25 0
Por lo que 46 , es una raíz del polinomio. Tomando el polinomio reducido y aplicando
división sintética. Al evaluar las posibles raíces racionales positivas mayores a 4 , se observa que los valores del polinomio se van incrementando, por lo que se evalúan valores negativos. 1 1 15 25 5 5 20 25 1 4 5 0
Por lo que 57 , es una raíz del polinomio.
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
91
El polinomio resultante es 5421 xxxq , por lo tanto al aplicar la fórmula general se
tiene que:
i
2
244
12
51444 2
9,8
i 28
i 29
Por lo que las raíces son: 21 , i22 , 23 , i24 , 15 , 46 , 57 , i 28 y
i 29 .
LOS COORDINADORES
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
92
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1.- Un ingeniero mecánico tiene cierto número de piezas de una herramienta, mientras que su hermano consigue 6 veces más herramientas que él. Expresar cuántas herramientas tienen entre los 2 . Resolución.
Herramientas del ingeniero mecánico: x Herramientas de su hermano : x6 Herramientas Totales: xxx 76
ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE
2.- Una afamada empresa de computación vende diferentes modelos de computadoras: A , B y C . Dos compañías le hacen un pedido cuyos montos totales fueron 000,80$ y 000,60$ . Plantear las ecuaciones necesarias para obtener el precio de las computadoras, si se sabe que a la primer compañía se le vendieron 7 unidades de A , 8 de B y ninguno de C . Mientras que a la otra compañía se le vendieron 5 de B y 3 de C . Resolución. Sabiendo los totales de computadoras:
7 8 80,000
5 3 60,000
A B
B C
ALUMNO: LEÓN FELIPE PALAFOX NOVACK
3.- Si Juan tiene 3 veces la edad de su hermano Pedro, y Pedro la mitad de años que su hermano Enrique, si las edades de los 3 juntos suman 40 años , establecer la ecuación correspondiente de las edades. Resolución.
Edad de Pedro : x Edad de Juan : x3 Edad de Enrique: x2
Entonces: 4064023 xxxx
ALUMNO: LEÓN FELIPE PALAFOX NOVACK
4.- Un estudiante de Ingeniería tiene que terminar una serie de " "y ejercicios de cálculo, y decide hacer equipo con unos amigos. Se decide que él tendrá que hacer la mitad de los
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
93
ejercicios, y un amigo suyo tendrá que hacer otro número desconocido de ejercicios, y un segundo amigo hará la mitad de los que hace el primero más una tercera parte de los que hace el segundo. Plantear la ecuación que representa el número total de ejercicios. Resolución.
Total de Ejercicios: y
Ejercicios del muchacho 1 : 2y
Ejercicios del muchacho 2 : x
Ejercicios del muchacho 3: 34xy
Ejercicios totales: 342xy
xy
y
ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE
5.- Una lancha de motor operada a toda su capacidad hizo un viaje de 4 millas (contra una corriente constante) en 15 minutos. El viaje de regreso (con la misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 12 minutos. Calcular la velocidad de la corriente y la velocidad equivalente de la lancha en aguas tranquilas e identificar si el sistema de ecuaciones es compatible determinado (una sola solución) o compatible indeterminado (varias soluciones). Resolución. Sea:
x velocidad de la lancha hmi / y velocidad de la corriente hmi /
Como la velocidad de la corriente es constate, entonces vtd , donde d es la distancia recorrida, v la velocidad y t el tiempo. Como la corriente retarda a la lancha cuando viaja contra ésta y la impulsa cuando regresa, se tiene que:
Velocidad contra la corriente = yx hmi / Velocidad a favor de la corriente = yx hmi /
El tiempo (en horas) que la lancha navegó en cada dirección es;
Tiempo contra la corriente h41
6015
Tiempo a favor de la corriente 51
6012
h
En cada viaje se recorrió una distancia de mi4 . Sustituyendo en vtd obtenemos de sistema
51
4
41
4
yx
yx
yx
yx
20
16
Sumando las ecuaciones se tiene 18362 xx . Por consiguiente, 2182020 xy .
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
94
Por lo tanto, la velocidad de la lancha en aguas tranquilas es de hmi /18 y la velocidad de la corriente es de hmi /2 . El sistema es compatible determinado.
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 6.- Demostrar el Teorema fundamental de la equivalencia: “Si en un sistema de ecuaciones se cambia una ecuación por otra que es combinación lineal de ella y de las restantes, siempre que el coeficiente de la ecuación sustituida sea distinto de cero, se obtiene otro sistema que es equivalente al primero”. Resolución. Hay que demostrar que los sistemas:
1
2
( ) 0
( ) 0
...
( ) 0m
E x
E xI
E x
y
1 1 2 2 1
2
( ) ( ) ... ( ) 0; 0
( ) 0
...
( ) 0
m m
m
E x E x E x
E xII
E x
son equivalentes. Supongamos que es solución del sistema I :
Entonces se cumple que
0)(
...
0)(
0)(
2
1
mE
E
E
multiplicando respectivamente por m ...,,, 21 y sumando los términos se obtiene: 0)(...)()( 2211 mmEEE
luego es solución del sistema II . Supongamos ahora que es solución del sistema II , es decir:
0)(
...
0)(
0)(...)()(
2
2211
m
mm
E
E
EEE
y como 01 , se tiene que;
00....0.)(...)()(11
2
12
1
21
mm
m EEE
y, por tanto, verifica todas las igualdades del sistema I . Por lo tanto, los sistemas son equivalentes.
ALUMNO: ARTURO GUTIÉRREZ LANDA
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
95
7.- Resolver el sistema y clasificarlo según su número de soluciones. 3...7624
2...2423
1...332
zyx
zyx
zyx
Resolución. Multiplicando por 2 la ecuación 1 y sumando con la ecuación 2 , para eliminar la variable y :
2423
6624
zyx
zyx
4...427 zx Sumando las ecuaciones 2 y 3 para eliminar la variable y :
2423
7624
zyx
zyx
5...527 zx . Las ecuaciones 4 y 5 forman el sistema:
427 zx 527 zx
Como zx 27 no puede ser igual a 4 y a 5 al mismo tiempo, este sistema es incompatible; por lo tanto, no tiene solución.
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 8.- Resolver el siguiente sistema e indicar si es compatible determinado o compatible indeterminado.
3...1233
2...922
1...1242
zyx
zyx
zyx
.
Resolución. Sumando las ecuaciones 2 y 3 para eliminar la variable z ;
1233
922
zyx
zyx
4...104 yx Multiplicando por 2 la ecuación 3 y sumando con 1 para eliminar la variable z ;
2466
1242
zyx
zyx
5...1458 yx Las ecuaciones 4 y 5 forman un sistema de dos ecuaciones don dos variables:
104 yx 1458 yx
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
96
Multiplicando por 5 la ecuación 4 y sumando con 5 para eliminar la variable y : 50520 yx
1458 yx
33612 xx Como 3x , de la ecuación 5 ;
210514524145)3(8 yyyy Sustituyendo los valores de x y y en la ecuación 1 ;
1444481242)3(2 zzzz La solución del sistema es 1,2,3,, zyx . Es un sistema compatible determinado.
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 9.- Determinar si el sistema tiene una solución diferente de cero.
043
0252
032
zyx
zyx
zyx
Resolución. Reduciendo a forma escalonada obtenemos:
057
08
032
zy
zy
zyx
061
08
032
z
zy
zyx
De este sistema se observa que:
00080 yyz 000302 xx
ALUMNA: VIRGINIA CECILIA DÍAZ GARCÍA
10.- Determinar si el sistema tiene una solución diferente de cero.
033
074
0252
02
zyx
zyx
zyx
zyx
Resolución. Reduciendo a la forma escalonada:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
97
04
082
04
02
zy
zy
zy
zyx
04
02
zy
zyx
En la forma escalonada hay solamente dos ecuaciones con tres incógnitas, se concluye que el sistema tiene al menos una solución diferente de cero.
ALUMNA: VIRGINIA CECILIA DÍAZ GARCÍA 11.- Hallar el valor de k para que el siguiente sistema tenga sólo la solución trivial:
045
0264
05
kzyx
zyx
y x
Resolución. Utilizando el método de Gauss:
221
33145
045
0264
0051RRRRRR
k
3322
23
0210
02140
0051RR
RR
k
02420
06420
0051
k
06200
06420
0051332
k-
RRR
Se trata de un sistema homogéneo que siempre tienen solución. Para que tenga sólo la solución trivial, el sistema ha de ser compatible determinado, solución única, por tanto el número de ecuaciones debe de ser igual al número de incógnitas:
3062 kk
Los valores de k para que el sistema solo tenga solución trivial son: 3 kRk
ALUMNO: ARTURO GUTIÉRREZ LANDA
12.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el método de Gauss.
17122
13563
4484
zyx
zyx
zyx
Resolución. Escribiendo el sistema el forma matricial:
11 2 3 1 24
4 8 4 4 1 2 1 1 1 2 1 1
3 6 5 13 3 6 5 13 0 0 8 16
2 1 12 17 2 1 12 17 2 1 12 17
R R R R- -
- - -
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
98
123 2 1 3 2 3 5
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1
0 0 8 16 0 5 10 15 0 1 2 3
0 5 10 15 0 0 8 16 0 0 8 16
RR R R R R
2
3
1
100
210
1213
8
1R
Ahora se tiene una matriz equivalente en forma escalonada, cuyo sistema es:
2
32
12
z
zy
zyx
Para resolver el sistema se aplica sustitución para atrás. 31212
1322
xx
yy
La solución del sistema es: 2,1,3
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
13.- Resolver el siguiente sistema lineal de ecuaciones.
432
042
143
32
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
Resolución. Por el método de Gauss:
4132
6320
10510
3211
4132
0142
10510
3211
4132
0142
1143
3211
331221 23 RRRRRR
0000
14700
10510
3211
10510
6320
10510
3211
332441 22 RRRRRR
Es decir; 3...147x-
2...105 x
1...32
3
32
321
x
xxx
De la ecuación 3 :
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
99
27
1433
xx
De la ecuación 2 : 010)2(5 22 xx
De la ecuación 1 : 13)2(20 11 xx
La solución del sistema es: 2,0,1
ALUMNO: ERICK REYNALDO VALDIVIA ORTEGA 14.- Obtener la solución del siguiente sistema de ecuaciones.
043
03
062
zyx
yx
zyx
Resolución. Utilizando transformaciones elementales:
12
431
031
162RR
2212
431
162
031RRR
431
900
031
400
900
031331 RRR
Por lo que:
0
3
z
yx
Haciendo ky , la solución es: kx 3
ky 0z
Con Rk
ALUMNA: VIRGINIA CECILIA DÍAZ GARCÍA 15.- Se desea alimentar a una persona con una dieta diaria formada por una combinación de tres alimentos dietéticos comerciales: MiniCal, Silueta y Bajo Peso. Para este experimento es importante que la persona consuma exactamente mg500 de potasio, g75 de proteína y 1150 unidades de vitamina D cada día. En la siguiente tabla se ven las cantidades de esos nutrientes en una onza de cada producto.
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
100
MiniCal Silueta BajoPeso Potasio (mg) 50 75 10 Proteína (g) 5 10 3
Vitamina D (unidades) 90 100 50 Determinar cuántas onzas de cada alimento debe ingerir la persona cada día para cumplir con exactitud lo indicado. Resolución. Sean x, y y z las cantidades de onzas de MiniCal, Silueta y Bajo Peso, respectivamente, que debe ingerir la persona cada día.
11505010090
753105
500107550
zyx
zyx
zyx
Dividiendo la primera ecuación entre 5 y la tercera entre 10 :
1155109
753105
10021510
zyx
zyx
zyx
Resolviendo el sistema por eliminación de Gauss:
115
150
15
5109
18150
351
115
75
15
5109
3105
351
115
75
100
5109
3105
215102152131 RRRRRR
123 9 1 3 3
1 5 3 15 1 5 3 15
0 15 18 150 0 5 6 50
0 35 32 250 0 35 32 250
RR R R
100
50
15
1000
650
3513273 RRR
10
50
15
100
650
3513
10
1R
Ahora sustituyendo para atrás: 2501065 yy
51510325 xx A la persona se le debe administrar 5 onzas de MiniCal, 2 de Silueta y 10 de Bajo Peso cada día.
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 16.- En un día tres máquinas producen 7400 artículos, las máquinas 1 y 2 producen 4700 , mientras que las máquinas 2 y 3 producen 5200 artículos. Determinar cuántos artículos producen cada máquina. Resolución. Planteando el problema con un sistema de ecuaciones
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
101
5200
4700
7400
zy
yx
zyx
Escribiendo el sistema en forma matricial:
5200
2500
2200
110
010
001
5200
4700
2200
110
011
001
5200
4700
7400
110
011
111212131 RRRRRR
2700
2500
2200
100
010
001323 RRR
Por lo tanto; la máquina 1 produce 2200 máquina 2 produce 2500 máquina 3 produce 2700
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 17.- Obtener el valor de m para que el siguiente sistema tenga sólo la solución trivial
0573
03
025
zyx
zyx
zymx
Resolución. Escribiendo el sistema en forma matricial y resolviendo por el método de Gauss Jordan:
5
3
2
7
1
5
3
1
m
5
2
3
7
5
.1
3
12 1 mRR
5
23
3
7
5
1
3
0
1212 mmRmRR
23
14
3
5
4
1
0
0
13133
mm
RRR
23
14
3
5
4
1
0
0
1R3R2
mm
23
14
26
5
4
0
0
0
41214
mm
RRR
7826
14
26
0
4
0
0
0
432)5(343
m
RRmRR
7826
14
0
0
4
0
0
0
124131)3(
m
mRRRm
7826
0
0
0
15652
0
0
0
1242372)3913(
m
m
mRRRm
Para que el sistema tenga solo la solución trivial:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
102
07826 m Por lo tanto:
3m
ALUMNA: VALERIA XÓCHITL GONZÁLEZ LEYVA 18.- Analizar el siguiente sistema para los distintos valores que puede tomar m :
1
)1(
1
mzyx
mzmymx
zmyx
Resolución.
331
221
1111
111
111RRR
RRmR
m
mm
m
~
m m
m m
m
010
1110
1112
33223
321
2 1110
010
111RRRmRR
RR
m m
m m
m
221100
010
111
mm
m m
m
Si 1m ; 1 0 1m y m , por lo tanto el sistema es incompatible.
Si 1m ; El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, por lo tanto el sistema es compatible determinado.
ALUMNO: ARTURO GUTIÉRREZ LANDA 19.- Determinar los valores de Rk para que el sistema:
12
33
22
kz y x
z x
z ky x
sea: a) compatible determinado. b) incompatible. c) compatible indeterminado.
Resolución. Escribiendo el sistema en forma matricial.
4320
212
3301
121
212
3301
121
3301
21233121
12
k
k
k
k
k
kRRRRR
RR
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
103
8820
450
3301
4320
450
33013322212
kk
k
k
k RRRRRR
kk
kk
kRRR
k
k
4810300
450
3301
2
2332
a) Compatible determinado Si se considera el último renglón de la matriz, el sistema es compatible determinado para cualquier valor de Rk tal que 01032 kk y 0k , es decir;
02,50)2)(5( kykkkk b) Incompatible.
El sistema es incompatible cuando 01032 kk y 048
k
k, es decir cuando;
1 2( 5)( 2) 0 5, 2 2 k k k k y k es decir cuando 5k
c) Compatible indeterminado.
El sistema es compatible indeterminado cuando 01032 kk y 048
k
k ,es decir
cuando; 2048 kk
ALUMNO: ERICK REYNALDO VALDIVIA ORTEGA
20.- Determinar si el siguiente sistema homogéneo tiene solución distinta a la trivial, en caso afirmativo, obtener la solución general.
083
0423
03334
02
wzyx
wzyx
wzyx
wyx
Resolución. En forma matricial se tiene:
47100
1012
3334
4231
8113
1012
3334
4231
8113
4231
3334
1012
4411331
3 RRRRRRR
47100
9450
1311150
4231
47100
9450
3334
4231
221331 42 RRRRRR
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
104
14100
9450
1311150
4231
4432 RRR
14100
1311150
9450
4231
2332
RRRR
14100
14100
9450
4231
3323 RRR
0000
14100
9450
4231
443 RRR
el sistema resultante es por tanto; 3014wz
209w4z5y
10423
wzyx
De la ecuación 3 : wz 14
De la ecuación 2 :
wyww
ywwy547
5956
9)14(45
De ecuación 1 :
wwwxwwwx 4285
1414)14(2
547
3
wxwwx521
245
141
Si tw , la solución general es:
tx521
ty547
tz 14 tw
ALUMNO: ERICK REYNALDO VALDIVIA ORTEGA
21.- Obtener la solución del siguiente sistema homogéneo.
0327
01613114
02334
07543
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Resolución. Escribiendo el sistema en forma matricial y resolviendo por el método de Gauss Jordan:
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
105
3127
1613114
2332
7543
3
16
20
7
1
13
19
5
2
11
17
4
7
4
0
3
21223 RRR
3
20
20
7
1
19
19
5
2
17
17
4
7
0
0
3
31433 RRR
40
20
20
7
38
19
19
5
34
17
17
4
0
0
0
3
4RRR 1743
40
20
20
39
38
19
19
9
34
17
17
0
0
0
0
51
124117 RRR
40
0
20
39
38
0
19
9
34
0
17
0
0
0
0
51
323 RRR
0
0
20
39
0
0
19
9
0
0
17
0
0
0
0
51
4224 RRR
17
20190201917
51
399039951
432432
431431
xxxxxx
xxxxxx
Haciendo:
tx
sx
4
3
La solución general es:
51399
1
tsx
172019
2
tsx
tx
sx
4
3
Con Rts , .
ALUMNA: VALERIA XÓCHITL GONZÁLEZ LEYVA 22.- Obtener la solución del siguiente sistema homogéneo.
0244
044
0
042
4321
41
41
321
xxxx
xx
xx
xxx
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
106
Resolución. Escribiendo el sistema en forma matricial y resolviendo por el método de Gauss Jordan:
2
4
1
0
1
0
0
1
4
0
0
4
4
4
1
2
2
4
0
1
1
0
1
0
4
0
4
0
4
4
2
1
21 RR
2
4
2
1
1
0
1
0
4
0
4
0
4
4
0
1
22212 RRR
2
0
2
1
1
0
1
0
4
0
4
0
4
0
0
1
3314 RRR
6
0
2
1
1
0
1
0
4
0
4
0
0
0
0
1
4414 RRR
4
0
2
1
0
0
1
0
0
0
4
0
0
0
0
1
442 RRR
1
0
2
2
0
0
1
0
0
0
4
0
0
0
0
2
444
1RR
0
1
2
1
0
0
1
0
0
0
4
0
0
0
0
1
4 3 RR
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
4
0
0
0
0
1
2232 RRR
Entonces;
041
04
0
4
3232
4141
x
xxxx
xxxx
Haciendo tx 3 , la solución del sistema es:
01 x
tx41
2
tx 3
04 x
ALUMNA: VALERIA XÓCHITL GONZÁLEZ LEYVA 23.- Tres hermanos heredan una determinada cantidad de propiedades. Si a lo que heredó David se le quita la herencia de Rodrigo, se tiene el doble de lo que recibió Emma. Por otro lado, el doble de la herencia de David equivale a la de Rodrigo más el triple de la de Emma, más una propiedad. Además, la herencia de Emma es igual al doble de la de David menos el doble de la de Rodrigo, menos tres propiedades. ¿Cuántas propiedades heredó cada uno? Resolución. Considérense las siguientes variables, para denotar las propiedades que heredó cada uno:
x herencia de Rodrigo
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
107
y herencia de David z herencia de Emma
De acuerdo a lo establecido en el problema, el modelo matemático está dado a través del siguiente sistema de ecuaciones:
2 2 0
2 3 1 2 3 1
2 2 3 2 2 3
y x z x y z
y x z x y z
z y x x y z
Mediante el Método de Gauss, se tiene que:
01 1 2 0 0 01 1 2 1 1 2 1 1 1
31 2 1 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1
32 2 1 0 0 3 3 0 0 0 01 1 1 1
de donde: 1 0
1 2
1 1
x z x
y z y
z z
Por lo que David heredó dos propiedades, Emma una y Rodrigo no heredó ninguna.
LOS COORDINADORES 24.- Una familia tiene $ 100,000 en tres inversiones. Una cuenta maestra con el 10% de interés anual, una cuenta de ahorros con el 8% y una constructora. La constructora perdió el 2% hace dos años y el año pasado ganó el 15% , y la familia ganó en esos dos años, por las tres inversiones, $ 7,600 y 9,300 , respectivamente. ¿Cuánto tiene, actualmente, en cada inversión? Resolución. Con la tabla siguiente se plantea el problema,
Tipo de Inversión Cantidad Invertida Tasa de interés
o pérdida Ganancia o pérdida
Cuenta Maestra Cuenta de Ahorros
Constructora
x y z
10% 8%
2% 15%
0.1x 0.08 y
0.02 0.15z z
Total $ 100,000 $ 7,600 $9,300
De la tabla se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
100,000 1
10 8 2 760,000 2
10 8 15 930,000 3
x y z
x y z
x y z
Para resolver este sistema se hace lo siguiente: Se resta miembro a miembro la ecuación 3
de la 2 , de donde se obtiene el valor de " "z , el que se sustituye en 1 y 2 , y
después se resuelve el sistema resultante. Así,
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
108
10 8 2 760,000
10 8 15 930,00010,000
17 170,000
x y z
x y zz
z
8 8 720,00090,000 30,00010 8 780,000
;10 8 780,000 60,0002 60,000
x yx y xx y
x y yx
Por lo tanto, la familia tiene actualmente $ 30,000 en la Cuenta Maestra, $ 60,000 en la Cuenta de Ahorros y $ 10,000 en la Constructora.
LOS COORDINADORES 25.- Una cierta aleación contiene 8 g de cobre, 9 g de plomo y 7 g de zinc. Otra contiene 11 g de cobre, 7 g de plomo y 6 g de zinc. Y una tercera contiene 4 g de cobre, 10 g de plomo y 10 g de zinc. ¿Cuántos gramos de cada aleación se deberán combinar para producir una nueva aleación que contenga 32 g de cobre, 28 g de plomo y 24 g de zinc? Resolución. Se construye la siguiente tabla para facilitar la comprensión del problema planteado:
Aleación Cobre (g) Plomo (g) Zinc (g) Combinación Primera 8 9 7 x Segunda 11 7 6 y Tercera 4 10 10 z Mezcla 32 28 24
De aquí se obtiene el sistema de ecuaciones lineales: 8 11 4
3224 24 24 8 11 4 7689 7 10
28 9 7 10 67224 24 24
7 6 10 5767 6 1024
24 24 24
x y zx y z
x y z x y z
x y zx y z
Si se resuelve el sistema por Cramer, se tiene que: 8 11 4
7 10 9 10 9 79 7 10 8 11 4 120
6 10 7 10 7 67 6 10
768 11 4
672 7 10 2880 ; 24
576 6 10
xx x x
8 768 4
9 672 10 5760 ; 48
7 576 10
yy y y
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
109
8 11 768
9 7 672 1440 ; 12
7 6 576
zz z z
Por lo tanto, para producir la nueva aleación, se deberán combinar 24 g de la primera aleación, 48 g de la segunda y 12 g de la tercera.
LOS COORDINADORES 26.- Dos ciclistas parten al mismo tiempo y del mismo lugar, alrededor de una pista circular de 400 m de longitud. Cuando lo hacen en sentidos contrarios, se cruzan a los 8 s y cuando lo hacen en el mismo sentido, se cruzan a los 40 s . ¿Cuáles son sus velocidades? Resolución. En las siguientes figuras se consideran las dos situaciones.
De donde el sistema de ecuaciones que resuelve el problema es:
508 8 400 3010
40 40 400 202 60
x yx y xx yx y yx
Por lo tanto, las velocidades de los ciclistas son 30 20m m
ys s
.
LOS COORDINADORES
27.- Dos máquinas emplearon dos días en realizar un trabajo. En el primer día hicieron la cuarta parte del trabajo, funcionando 6 h la primera y 10 h la segunda. Y en el segundo día completaron la labor, a través de 24 h de la primera y 20 h de la segunda. ¿En cuánto tiempo realizaría el trabajo cada una trabajando sola? Resolución. Considérese la siguiente tabla con los datos del problema planteado:
x x y y
400
8
d m
t s
400
40
d s
t s
8
8 400
v x y
t s
x y
40
40 400
v x y
t s
x y
PROBLEMARIO COPADI DE ÁLGEBRA
110
Máquina / Día Razón de trabajo Tiempo trabajado Trabajo realizado
1 / 1A O 1x
6 6x
2 / 1A O 1y
10 10y
1 / 2A O 1x
24 24x
2 / 2A O 1y
20 20y
De la tabla se tiene que: 2
12 204
6 10 1 1 1 36 10 24 204 4 4;1124 20 3 3 1224 2044 4
u v
u u v u vx y x
uv u vyx y
1 1 1 1 1 1 1; 10 6 10 10
48 4 48 4 8 8 80u v v v v
48 y 80x y Por lo que la primera máquina se tardaría 48 h y la segunda 80 h en realizar por sí solas el trabajo.
LOS COORDINADORES