UNIVERSIDAD ESTATAL DEL VALLE DE ECATEPEC
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UNIVERSIDAD ESTATAL DEL
VALLE DE ECATEPEC
POR: TORRES MIRANDA CORINA THALIA
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ECUACIONES CUADRATICAS 1.- ¿Qué es una ecuación? 2.- ¿Qué es una ecuación cuadrática? 3.-
soluciones de una ecuación cuadrática 4.- tipos de soluciones 5.- Ejemplos
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¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN? Es una expresión algebraica que consta
de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.
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EJEMPLO DE UNA ECUACIÓN La ecuación: 3X - 8 = 10 sólo se cumple
para X = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que X = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, X = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo)
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¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA?
Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado.
Un ejemplo sería: 2X2 - 3X = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la X, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones.
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SOLUCIONES DE UNA ECUACION CUADRÁTICA
El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado:
ax2 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula resolvente:
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La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo + y otra con el signo - antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a,b y c y sustituir sus valores en la fórmula resolvente.
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Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual.
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Estas dificultades hacen que el estudiante inexperto se equivoque constantemente en la solución. Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los cuales se pueden hallar las raíces de forma mas fácil y rápida. Tienen que ver con las técnicas de factorización.
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TIPOS DE SOLUCIONES: REALES E IMAGINARIAS
Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas raíces, a saber:
Dos raíces reales distintas Una raíz real (o dos raíces iguales) Dos raíces imaginarias distintas
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El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como:
D = b2 - 4.a.c Si el discriminante es positivo, entonces
la raíz cuadrada es un número real y se generan dos raíces reales distintas
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Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número.
Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces imaginarias o complejas
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EJEMPLOS Factorización Simple: Completando el Cuadrado: Fórmula Cuadrática:
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FACTORIZACIÒN SIMPLE
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
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x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8
(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2] ( x + ) (x - ) = 0
(x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2
4 · -2 = -8
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x + 4 = 0 x – 2 = 0 x = 0 – 4 x = 0 + 2 x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.
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COMPLETANDO EL CUADRO
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y siempre la constante de a tiene que ser igual a 1. Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que despejar de la siguiente forma:
4x2 + 12x – 8 = 0 4 4 4 4
x2 + 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
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x2 + 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.] x2 + 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2 + 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos] x2 + 2x + 1 = 8 + 1
x2 + 2x + 1 = 9 ( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
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( x + 1) (x + 1) = 9 (x + 1)2 = 9 (x + 1) = ±
x + 1 = ± 3 x = -1 ± 3 [Separar las dos
soluciones.] x = -1 + 3 x = -1 – 3
x = 2 x = -4
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x + 1 = ± 3 x = -1 ± 3 [Separar las dos
soluciones.] x = -1 + 3 x = -1 – 3
x = 2 x = -4
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FÒRMULA CUADRATICA Este método es muy simple: hay que
sustituir los valores de a, b y c de la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
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X2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8
x = -2 ± 6 2 X = -2 + 6 x = -2 - 6 2 2 x = 4 x = -8 2 2 x = 2 x = - 4
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FIN