Universidad Distrital Francisco Jos e de Caldas...

Universidad Distrital Francisco Jose deCaldas

Proyecto Curricular de Licenciatura enFısica

SIMULACION Y ANALISIS DE UN

PENDULO INVERTIDO ACOPLADO

A UN RESORTE (PIAR)

Trabajo de monografıa para la obtencion del grado de Licenciado en Fısica

Fredy Alexander Orjuela Lopez.Proyecto Curricular de Licenciatura en Fısica, Universidad Distrital Francisco Jose

de Caldase-mail: [email protected]

Dirigido porEdwin Munevar Espitia

Proyecto Curricular de Licenciatura en Fısica, Universidad Distrital Francisco Josede Caldas

Diciembre, 2016

“Dedico este trabajo a mi madre, por ser este el reflejo de lo que me has ensenado”

Contenido

1. INTRODUCCION 1

1.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. MARCO TEORICO 5

2.1. Introduccion a la mecanica Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Formulacion Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Pendulo invertido acoplado a un resorte . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4. Deduccion de la ecuacion de movimiento del PIAR . . . . . . . . . . 9

2.5. Movimiento del colların . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. METODOS CUALITATIVOS 12

3.1. Introduccion a las ecuaciones diferenciales de segundo orden (e.d.s.o) 12

3.2. Clasificacion de la e.d.s.o del PIAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3. Problema de valor inicial PVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4. Sistemas conservativos y no conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . 14

i

CONTENIDO ii

3.5. Diagrama de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.6. Estabilidad estatica en sistemas mecanicos . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. ANALISIS FISICO DEL PIAR 22

4.1. Caso 1: θ0 = 0 , ω0 = 0,1rad/s y kL = Mg . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2. Caso 2: θ0 = 0 , ω0 = 0,1rad/s y kL > Mg . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3. Caso 3: θ0 = 0 , ω0 = 0,1rad/s y kL < Mg . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.4. Caso 4: θ0 = 0 , ω0 = 0,4rad/s y kL > Mg . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.5. Caso 5: θ0 = 0 , ω0 = 0,4rad/s y kL < Mg . . . . . . . . . . . . . . . 30

5. CONCLUSIONES 32

A. EASY JAVA SIMULATIONS 34

A.1. EJS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Lista de figuras

2.1. Pendulo invertido acoplado a un resorte (PIAR),para un tiempo inicial

t=0 (Naranja) y un instante de tiempo t=T (Morado). . . . . . . . . 8

4.1. Pendulo invertido acoplado a un resorte vista en EJS . . . . . . . . . 22

4.2. PIAR CASO 1, sujeto al pvi θ0 = 0, ω0 = 0,1 rad/s y parametros

k = 2, L = 2, M = 2 y g = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


k = 2, L = 3, M = 4 y g = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26


k = 1, L = 4, M = 5 y g = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.5. PIAR CASO 4, sujeto al pvi θ0 = 0, ω0 = 0. rad/s y parametros

k = 0, 1, L = 4, M = 2 y g = 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30


k = 0, 1, L = 3, M = 5 y g = 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

A.1. Se fijan las variables θ, ω y t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

A.2. Se fijan los parametros k, L,Myg y otros que se utilizan en la monografica 35

A.3. Se fijan los valores para el problema de valor inicial . . . . . . . . . . 36

iii

LISTA DE FIGURAS iv

A.4. Se escribe la ecuacion de movimiento de forma desacoplada . . . . . . 36

A.5. Se escriben las relaciones fijas de energıa cinetica y potencial . . . . . 37

A.6. Se escriben las relaciones de transformacion entre coordenadas carte-

sianas y polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

A.7. Se definen los parametros λ y β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

A.8. Se construyen los objetos para la simulacion . . . . . . . . . . . . . . 38

A.9. Se ejecuta EJS para el PIAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Capıtulo 1INTRODUCCION

1.1. Resumen

En esta monografıa se realiza un estudio cualitativo de un pendulo invertido aco-

plado a un resorte (PIAR)a partir de su analisis fısico y de una simulacion desarrollada

en Easy Java; se pretende que este trabajo sirva como recurso educativo a los estu-

diantes de licenciatura en fısica que cursen asignaturas como ecuaciones diferenciales,

vibraciones y ondas o introduccion a la fısica computacional.

1.2. Introduccion

Un sistema dinamico es la representacion o abstraccion de un fenomeno natural

que evoluciona en el tiempo, como es el caso del pendulo que oscila, las reacciones

quımicas, los modelos poblacionales o climaticos, entre otros. Los sistemas dinamicos

permiten “predecir con mayor o menor acierto los acontecimientos futuros”(Campos

e Isaza, 2002). De acuerdo a las variables dependientes o independientes presentes

en el problema el sistema puede ser estudiado desde la fısica, la quımica, la biologıa,

la economıa y muchas otras areas del conocimiento; las oscilaciones de una molecula

triatomica, el circuito de Chua y, en general, los osciladores dependientes del tiempo

1

CAPITULO 1. INTRODUCCION 2

representan ejemplos de sistemas dinamicos en fısica.

Los sistemas fısicos dinamicos se pueden clasificar en lineales y no lineales segun la

ecuacion de movimiento que los describa. Por ejemplo, el oscilador armonico (uno de

los modelos mas utilizados en fısica) se clasifica como sistema dinamico lineal ya que

la ecuacion de movimiento que lo describe, x = −ω2x, contiene unicamente terminos

lineales de la variable dependiente x. Por el contrario, un sistema como el oscilador

de Duffing donde la ecuacion de movimiento esta dada por ΣNn=1Knx

n se clasifica

como dinamico no lineal debido a que los terminos de la variable dependiente x no

son necesariamente lineales n ≥ 1. Diversos ejemplos de sistemas fısicos lineales y no

lineales se pueden encontrar en (Perko, 1993).

Existen sistemas dinamicos lineales que bajo la variacion de ciertos parametros

pueden realizar una transicion al regimen no lineal. Un caso especıfico donde se evi-

dencia esta transicion es el pendulo simple: para amplitudes angulares menores a un

valor de referencia (definido segun el nivel de precision requerido en el experimento)

el pendulo se comporta linealmente pero si las amplitudes angulares son considera-

blemente mayores que dicho valor su comportamiento es de caracter no lineal (Lima

y Arun, 2006). La clasificacion de sistemas fısicos como lineales y no lineales esta ge-

neralmente sujeta a una definicion puramente matematica pero es muy poco el anali-

sis de libros especializados (Perko,1993),(Hubbard y West, 1995) sobre la transicion

lineal-no lineal de sistemas dinamicos desde un punto de vista fısico. El problema

principal que se plantea en este trabajo es precisamente el de llevar a cabo un analisis

fısico de dicha transicion para un sistema fısico especifico.

Entre los diversos sistemas fısicos posibles para estudiar, el pendulo invertido re-

presenta un sistema de gran interes por su amplio campo de aplicacion. En robotica

se utiliza para simular el movimiento de las piernas del ser humano. En geofısica,

los instrumentos que permiten medir las vibraciones de la tierra son conocidos como

sismometros; algunos disenos de sismometros estan basados en el sistema compues-

to por un pendulo invertido acoplado a un resorte (PIAR). Dado el cambio de su

1.2. INTRODUCCION 3

movimiento respecto al tiempo y la posibilidad que presenta de hacer la transicion

lineal-no lineal (analogo al pendulo simple), el PIAR es el sistema seleccionado en este

trabajo para ser estudiado desde las teorıas cualitativas desarrolladas en los sistemas

dinamicos, siempre enfocado desde un punto de vista fısico.

Ası la situacion problema, por tanto, a validar es: ¿Como ensenar la transicion

lineal y no lineal del pendulo invertido acoplado a un resorte desde el punto de vista

fısico?

Este problema se sugiere con la intencion de hacer que “el estudiante entienda

que la actitud cientıfica consiste en ir mas alla de las apariencias, en no quedarse en

lo evidente” (Camargo,1997).

Por tanto el objetivo de esta monografıa es hacer un estudio cualitativo de la

transicion lineal y no lineal del pendulo invertido acoplado a un resorte mediante

una simulacion en Easy Java realizando el analisis desde un punto de vista fısico. Se

realiza una breve descripcion de los capıtulos:

1. El primer capıtulo describe el objetivo general de la monografıa.

2. En el segundo capıtulo se establece el marco teorico utilizado para obtener la

ecuacion diferencial de movimiento que describe al PIAR.

3. En el tercer capıtulo se clasifica el sistema fısico como lineal o no lineal de

acuerdo a los criterios que se describe en el estudio de las ecuaciones diferen-

ciales, ademas se consideran aspectos cualitativos para el estudio de sistemas

dinamicos.

4. En el cuarto capıtulo se realiza el analisis fısico del sistema utilizando teorıas

cualitativas propias de los sistemas dinamicos, como : graficas de energıa cinetica-

potencial, posicion vs tiempo y representacion de los diagramas de fase. Se

determina la transicion lineal y no lineal del PIAR a partir de la simulacion

desarrollada en Easy Java ası como criterios de estabilidad del sistema.

CAPITULO 1. INTRODUCCION 4

5. El ultimo capıtulo concluye con la descripcion del sistema fısico estudiado a

partir de la simulacion computarizada y el marco teorico desarrollado.

Capıtulo 2MARCO TEORICO

Se realiza una breve descripcion de la mecanica lagrangiana cuya formulacion permite

deducir la ecuacion que rige el movimiento del sistema: pendulo invertido acoplado a

un resorte (PIAR).

2.1. Introduccion a la mecanica Lagrangiana

En mecanica el estado de un sistema fısico consiste en determinar la posicion, veloci-

dad y aceleracion en un instante de tiempo t a partir de una ecuacion de movimiento,

para ello se recurre a diferentes formulaciones.

[1] La mecanica newtoniana tiene un caracter vectorial, describe el movimiento

de un sistema fısico a partir de una ecuacion que se obtiene mediante cantidades

fısicas vectoriales como lo son la posicion, el momentum y la fuerza.

[2] La formulacion lagrangiana se fundamenta en el calculo variacional y consiste

en plantear una funcion L llamada lagrangiano que depende de las coordenadas

generalizadas, velocidades generalizadas y posiblemente del tiempo. Para un

sistema de N partıculas libres se requieren 3N coordenadas independientes o

5

CAPITULO 2. MARCO TEORICO 6

vectores que describen el sistema,si se consideran r restricciones geometricas

o cinematicas que limiten el movimiento del sistema entonces el numero de

coordenadas independientes se reduce a S = 3N − r donde S es el numero de

grados de libertad (Larranaga,2012)

Se define el funcional J [q(t)] como una funcion que a la vez depende de otras funcio-

nes,adoptando la siguiente forma:

J [q(t)] =

∫ tf

to

L(t, q1(t), ..., qn(t), q1(t), ..., qn(t))dt (2.1)

donde qn(t) y qn(t) son las coordenadas y velocidades generalizadas respectivamente.

El problema consiste en maximizar o minimizar el funcional a partir de extremales

sujetos a condiciones dadas (Chiang, 1992). En fısica la solucion a la ec.(2.1) esta

dada por:

d

dt

(∂L∂qn

)− ∂L∂qn

= 0 (2.2)

se conoce como ecuacion de Euler-Lagrange. Esta ecuacion representa N-ecuaciones

diferenciales de segundo orden las cuales se determinan por coordenadas generalizadas

; que la ec. (2.2) esta igualada a 0 es consecuencia de no incluir fuerzas generalizadas

Qk que no provienen de potenciales por tanto: (Qk 6= −∇Uk) = 0, este hecho implica

que las fuerzas son de tipo conservativo.

La funcion lagrangiana L en coordenadas y velocidades generalizadas se define como

la diferencia entre la energıa cinetica T y potencial U , la cual se expresa como:

L =N∑i=1

1

2mivi

2 −N∑i=1

Ui (2.3)

El problema consiste:

2.2. FORMULACION HAMILTONIANA 7

1. En escribir la funcion lagrangiana L del sistema fısico a partir de sus coordena-

das y velocidades generalizadas.

2. Hallar las N-ecuaciones diferenciales de segundo orden a partir de la ecuacion

de Euler-Lagrange ec.(2.2), las cuales describen el movimiento del sistema.

2.2. Formulacion Hamiltoniana

Esta formulacion permite obtener 2N ecuaciones diferenciales de primer orden asocia-

das a la posicion y al momentum lineal de cada N-partıcula que conforma el sistema

respectivamente. Se define una funcion hamiltoniana H en funcion del lagrangiano

como :

H =n∑

α=1

pnqn − L (2.4)

la cantidad pn se conoce como el momentum generalizado; H se expresa en funcion

de las coordenadas y momentos generalizados ademas del tiempo es decir:

H(p1, ..., pn, q1, ..., qn, t) (2.5)

Las ecuaciones de movimiento pueden escribirse en funcion del hamiltoniano:

pn = −∂H∂qα

(2.6)

qn = −∂H∂pα

(2.7)

las anteriores expresiones se conocen como ecuaciones canonicas de Hamilton o ecua-

ciones de Hamilton. En un sistema mecanico conservativo la funcion hamiltoniana

puede expresarse como la suma de la energıa cinetica y potencial del sistema es decir

H = T + V (Campos e Isaza, 2002).


Figura 2.1: Pendulo invertido acoplado a un resorte (PIAR),para un tiempo inicial t=0 (Naranja)y un instante de tiempo t=T (Morado).

2.3. Pendulo invertido acoplado a un resorte

El sistema fısico a describir es un pendulo invertido acoplado a un resorte (PIAR) ,el

cual consiste de una varilla rıgida ligera de masa “M”localizado en el extremo aco-

plado al resorte, el cual se mantiene perpendicular al vector peso de “M”. El segundo

extremo gira en torno a un punto fijo.

El resorte mantiene esta relacion debido a un colların cuyo movimiento es igual a

la componente vertical de la velocidad del pendulo, es decir en la direccion “y” del

plano cartesiano indicado en la FIGURA 2.1 .

2.4. DEDUCCION DE LA ECUACION DE MOVIMIENTO DEL PIAR 9

2.4. Deduccion de la ecuacion de movimiento del

PIAR

La ec. (2.3) se modifica cuando se considera un movimiento traslacional y rotacio-

nal(Larranaga,2012),ası:

L =N∑i=1

1

2mivi

2 +N∑i=1

1

2Iiωi

2 −N∑i=1

Ui (2.8)

Donde Ii es el momento de inercia generado alrededor de varios puntos de pivote o

giro, para el caso del PIAR solo se tiene un pivote y ya que la varilla es de masa

despreciable se ignora el termino a la derecha de la ec.(2.7) asociado con el momento

de inercia.

Se utilizaran las coordenadas polares R y θ para describir las coordenadas generali-

zadas de la masa “M”. Al ser R = L una cantidad constante se considera a θ como

unica coordenada generalizada, ya que las ligaduras geometricas del sistema son:

[1] Restriccion a la coordenada cartesiana z ya que z − c = 0 donde c es una

constante.

[2] Considerar que R− L = 0

por tanto el PIAR posee un grado de libertad de acuerdo a la ecuacion 3N − r.

El angulo θ se mide desde el eje y positivo y sera negativo −θ si se cuenta en sentido

contrario del movimiento de las manecillas del reloj. Ası, las coordenadas polares y

cartesianas se relacionan mediante:

x = Lsen(−θ) = −Lsenθ

y = Lcos(−θ) = Lcosθ


de las anteriores relaciones se deduce la energıa cinetica T del sistema:

T =1

2ML2

(dθ

dt

)2

(2.9)

y energıa potencial , la cual tiene dos contribuciones :

1. Ug = MgLcos(θ) de origen gravitacional

2. Ue = (k/2)(Lsenθ)2 debida al resorte de constante k y donde Lsenθ es la

elongacion del resorte a partir de su posicion de equilibrio.

Se observa facilmente que estas funciones son pares a partir del criterio F (θ) =

−F (θ), por tanto la funcion lagrangiana ec.(2.3) queda definida como:

L =1

2ML2

(dθ

dt

)2

−(

1

2kL2sen2θ +MgLcosθ

)(2.10)

donde w = dθdt

es la velocidad angular del sistema.

Las fuerzas del sistema son conservativas ya que pueden ser representadas me-

diante funciones potenciales escalares. Dichas fuerzas son:

1. El peso del objeto de masa M.

2. La fuerza ejercida por el resorte, la cual solo posee una componente horizontal.

Utilizando la ecuacion de Euler-Lagrange para la ec.(2.9) se obtiene:

θ + λsen(−θ)cos(−θ)− βsen(−θ) = 0

θ − λsen(θ)cos(θ) + βsen(θ) = 0 (2.11)

2.5. MOVIMIENTO DEL COLLARIN 11

con λ = kM

y β = gL

, esta ecuacion de segundo orden no lineal (Capitulo 3) describe

el movimiento del PIAR deducida a partir de la formulacion lagrangiana.

2.5. Movimiento del colların

La posicion del colların esta dada por la relacion y = Lcosθ , ası la velocidad y

aceleracion se definen respectivamente como :

y = −Lsen(θ)θ

y = −Lcos(θ)(θ)2 − Lsen(θ)θ

por lo que se describe el movimiento del colların en funcion del angulo y ademas

se obtienen las ecuaciones de movimiento que describen la configuracion del pendulo

invertido acoplado a un resorte (PIAR).

Capıtulo 3METODOS CUALITATIVOS

Se clasifica la ecuacion diferencial que rige el movimiento del pendulo invertido aco-

plado a un resorte PIAR desde un punto de vista fısico-matematico siguiendo los

respectivos criterios.

3.1. Introduccion a las ecuaciones diferenciales de

segundo orden (e.d.s.o)

La formulacion lagrangiana permite deducir una ecuacion diferencial de segundo or-

den la cual describe el movimiento del PIAR;ahora el problema consiste en solucionar

dicha ecuacion a partir de la teorıa de los sistemas dinamicos utilizando metodos

cualitativos.

Se considera la ecuacion diferencial general de segundo orden:

d2θ

dt2= F (θ, dθ/dt, t) (3.1)

θ = F (θ, θ, t) (3.2)

donde F (θ, θ, t) es una funcion que depende de la variable θ,θ y t. En general esta

12

3.2. CLASIFICACION DE LA E.D.S.O DEL PIAR 13

funcion no es necesariamente lineal en la variable θ, esto significa que la funcion

F (θ, θ, t) se puede expresar como una serie respecto a θ; si se tiene una expansion en

series hasta primer orden la funcion se llamara lineal y asi la e.d.s.o sera lineal.

Si F = F (θ, θ) no depende explicitamente de la variable independiente t la e.d.s.o

se llama autonoma. Si la funcion depende explicitamente de t la ecuacion se conoce

como no-autonoma.

3.2. Clasificacion de la e.d.s.o del PIAR

Un caso particular de la ec.(3.2) se da cuando la e.d.s.o es autonoma, ella se expresa

como:

θ = F (θ) (3.3)

esta ecuacion diferencial es propia de los sistemas mecanicos. A partir de la formu-

lacion lagrangiana se obtienen las N-ecuaciones diferenciales de segundo orden que

obedecen una estructura identica a la ec. (3.3).

De la ec.(3.3), si F (θ) = a0 + a1θ donde an son coeficientes , entonces la e.d es lineal.

Ahora si F (θ) = a0 + a1θ+ a2θ2 + ... implica que las funciones se expanden como una

serie de potencias, ejemplo de estas funciones son las trascendentes, trigonometricas

y otras que se expandan por encima del orden lineal, luego la ec.(3.3) en general es

no-lineal. El sistema fısico PIAR esta caracterizado por la ecuacion de movimiento:

θ − λsen(θ)cos(θ) + βsen(θ) = 0 (3.4)

con λ = kM

y β = gL

. Esta ecuacion es no-lineal y autonoma de acuerdo a lo discuti-

do anteriormente (Perko,1992). Si se consideran pequenos desplazamiento angulares

donde senθ ≈ θ y cos θ ≈ 1, se obtiene la siguiente e.d.s.o lineal:

CAPITULO 3. METODOS CUALITATIVOS 14

θ + λθ − β = 0 (3.5)

El problema consiste en solucionar la ec.(3.4). Para ello se utilizan criterios relacio-

nados con condiciones iniciales,caracter conservativos de los sistemas, diagramas de

fase y estabilidad.

3.3. Problema de valor inicial PVI

Solucionar la ec.(3.4) bajo un PVI consiste en buscar el numero de condiciones que

satisfagan la e.d ; para el PIAR se necesitan dos condiciones debido a que la e.d es

de segundo orden. En mecanica el estado de un sistema se determina mediante su

posicion y velocidad por lo que las condiciones iniciales para un tiempo inicial t0 en

la posicion es θ(t0) = θ0 y en la velocidad ω(t0) = ω0, es decir:

θ − λsen(θ)cos(θ) + βsen(θ) = 0

θ(t0) = θ0, ω(t0) = ω0 (3.6)

Una posible condicion inicial al problema es que la posicion sea θ(t0) = π/2 rad y la

velocidad ω(t0) = 0,1 rad/s, por tanto se fijan las condiciones iniciales del problema y

se varıan parametros fısicos como la constante del resorte, aceleracion de la gravedad

y masa de la barra. Este PVI es fundamental en la simulacion y posterior analisis

numerico del PIAR.

3.4. Sistemas conservativos y no conservativos

Los sistemas fısicos se pueden caracterizar a partir del teorema de conservacion de la

energıa, implica que la energıa mecanica del sistema para diferentes estados respecto

3.4. SISTEMAS CONSERVATIVOS Y NO CONSERVATIVOS 15

al tiempo t permanece constante. A partir del calculo vectorial se tienen algunos cri-

terios de suficiencia para mostrar la conservacion de la energıa.

1) El trabajo WAB hecho por una fuerza externa para mover una partıcula desde un

punto A a un punto B se define mediante la expresion:

WAB =

∫ B

A

~F · d~r (3.7)

Si el campo de fuerzas es tal que la integral alrededor de un camino cerrado se hace

cero WAB =∮ BA~F · d~r = 0 se dice que la fuerza descrita es conservativa, es decir, que

el trabajo depende solo de los puntos A y B mas no de la trayectoria, utilizando el

teorema de Stokes se tiene:

∮ B

A

~F · d~r =

∫∫D

(~∇× ~F )~ndS (3.8)

donde ~n es un vector perpendicular a la superficie S , y D es el dominio de integracion

de dicha superficie, por tanto :

~∇× ~F = 0 (3.9)

2) La anterior ecuacion es una condicion suficiente para definir fuerzas conservativas.

Si ~∇× ~F = 0 implica que ~∇× (~∇Φ) = 0 y al definir Φ = −U se tiene una condicion

necesaria :

F = −~∇U (3.10)

se concluye que las fuerzas conservativas provienen del gradiente de funciones escala-

res U .(Pita, 1998)


Las anteriores condiciones implican que la energıa se conserva en todo instante de

tiempo t, donde E = T + U(θ). Visto como una razon de cambio, la derivada de la

energıa respecto al tiempo es cero dE/dt = 0, el anterior hecho se enuncia como:

La energıa total de un punto moviendose conforme a θ = F (θ) para θ ε R se conserva,

donde E[θ(t), θ(t)] es independiente de t.

Demostracion (Arnold ,1988):

dE

dt=

d

dt(T + U)

d

dt(T + U) = θθ +

dU

dθθ

= θ(θ − F (θ))

θ = F (θ) (3.11)

En un sistema con un grado de libertad (con F (θ) = −dU/dθ) se satisface la ecuacion

θ = F (θ) donde la energıa mecanica es constante en todo instante de tiempo t, ası la

energıa se conserva.

En la seccion 2.4 se definio la energıa cinetica y potencial del sistema como:

T =1

2ML2

(dθ

dt

)2

Ug = MgLcosθ

Uk = (k/2)(Lsenθ)2

Si las fuerzas que se obtienen son conservativas se debe obtener la misma e.d.s.o

de acuerdo al teorema descrito anteriormente, para ello se calculan los gradientes de

los respectivos potenciales de acuerdo a la ec. (3.10):

3.5. DIAGRAMA DE FASE 17

Fg = −~∇[MgLcos(θ)] = MgLsenθ

Fk = −~∇[(k/2)(Lsenθ)2] = −kL2senθcosθ

Ası la fuerza total obtenida es:

Fg + Fk = MgLsenθ − kL2senθcosθ

Y remplazando en la ec.(3.11) obtenemos la expresion θ−λsenθcosθ+βsenθ = 0

donde se cuenta con los criterios de imparidad o paridad de una funcion, por tan-

to se obtiene la ecuacion de movimiento la cual se hallo mediante la formulacion

lagrangiana.

3.5. Diagrama de fase

Se considera la ecuacion diferencial (3.3), esta ecuacion puede ser reducida a dos

ecuaciones diferenciales de primer orden realizando el siguiente ajuste: θ = ω. Se

genera entonces un sistema equivalente dado por:

θ =dθ

dt= ω (3.12)

ω =dω

dt= F (θ) (3.13)

Para el sistema de ecuaciones mencionado es posible eliminar el parametro tiempo

entre las dos ecuaciones ya que son autonomas y escribirse como:

dω

dθ=F (θ)

ω(3.14)


La ec. (3.14) es de gran importancia ya que genera una curva geometrica sin

ninguna referencia a lo que ocurra en el tiempo, esta curva geometrica es conocida

como diagrama de fase y eventualmente se describe en terminos de ω como funcion

de θ , esto representa el estado del sistema y se conoce como espacio de fase. Por

otro lado las ec.(3.12) y (3.13) describen el comportamiento de esta curva y su di-

reccion mediante un punto representativo R = R[θ(t), ω(t)] que especifica el estado

temporal instantaneo del sistema fısico,por ejemplo, las graficas de posicion vs tiempo

(Minorsky, 1968).

Se expresa la ec.(3.4) mediante las ec.(3.12) y (3.13):

θ = ω

ω = βsenθ − λsenθcosθ

Finalmente eliminado el parametro t de las anteriores ecuaciones a partir de la

ec.(3.14) se obtiene:

dω

dθ=βsenθ − λsenθcosθ

ω(3.15)

La anterior ecuacion diferencial de primer orden no lineal describe el diagrama de

fase del PIAR, este metodo proporciona informacion cualitativa del sistema fısico.

3.6. Estabilidad estatica en sistemas mecanicos

En general considerese una fuerza de la forma F (θ, ω, t)que actua sobre una

partıcula y la cual se puede descomponer como:

F (θ, ω, t) = −~∇U(θ, t) + Fo(θ, ω, t)

3.6. ESTABILIDAD ESTATICA EN SISTEMAS MECANICOS 19

El primer termino de la derecha representa fuerzas provenientes de una funcion po-

tencial , para este caso el potencial sera independiente del tiempo de tal manera que

se simplifica a −~∇U(θ), el termino Fo(θ, ω, t) representa fuerzas que no se pueden

escribir como el gradiente de una funcion potencial.

Considere el caso particular F (θ, ω, t) = −~∇U(θ), ahora el problema consiste en

calcular las posiciones que correspondan a un extremo (mınimo, maximo o punto de

inflexion) ası como a estados de equilibrio estables o inestables del sistema (Caice-

do,2002)

La estabilidad del sistema depende solamente de U(θ), para ello se utilizan los si-

guientes criterios del calculo diferencial (Caicedo,2002):

Calcular los puntos crıticos θc de U(θ) para los cuales:

U ′θc =

∂U(θ)

∂θ

∣∣∣∣θ=θc

= 0 (3.16)

1. U(θc) es un mınimo relativo y θc es estable si U ′′(θc) > 0

2. U(θc) es un maximo relativo y θc es inestable si U ′′(θc) < 0

3. Si U ′′(θc) = 0 se requiere de otra tecnica, esta consiste en utilizar el criterio de

la tercera derivada:

a) Se halla U ′(θ), U ′′(θ) y U ′′′(θ)

b) Se iguala U ′′(θ) = 0 y se hallan los valores de U(θc)

c) Se sustituyen los valores de U(θc) en U ′′′(θ) donde obtenemos los siguientes

casos:

1) Si U ′′′(θc) se tiene un punto de inflexion en P [θc, U(θc)]

2) Si U ′′′(θc) = 0 se sustituyen los θc en la n-esima derivada hasta que

esta sea distinta de cero, entonces :

a ′ Si la derivada es impar, se tiene un punto de inflexion.


b ′ Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexion y se

debe analizar la concavidad o convexidad de la funcion de acuerdo

a criterios establecidos en el calculo diferencial (Caicedo,2002).

Se considera la funcion potencial U(θ) del pendulo invertido a un resorte::

U(θ) =

(1

2kL2sen2θ +MgLcosθ

)Y se determinan los puntos crıticos ası como su estabilidad, para ello se calculan las

siguientes cantidades:

U ′(θ) =∂U(θ)

∂θ= −MgLsenθ + kL2senθcosθ (3.17)

U ′′(θ) =∂2U(θ)

∂θ2= −MgLcosθ + kL2cos(2θ) (3.18)

Ası los puntos crıticos de U(θ)c segun la ec. (3.17) son:

senθ = 0 donde θc1 = nπ con nεZ

cosθ =Mg

kLconduce θc2 = arccos

(Mg

kL

)donde θεR si Mg ≤ kL

Ahora se determina la estabilidad o inestabilidad de los puntos crıticos, primero se

considera θc1 en este caso n = 0, ası:

U ′′(θc1) = MgL

(kL

Mg− 1

)(3.19)

donde el punto es estable si kL > Mg y es inestable si kL < Mg. Para el caso θc2 se

obtiene:

3.6. ESTABILIDAD ESTATICA EN SISTEMAS MECANICOS 21

U ′′(θc2) = MgL

(Mg

kL− kL

Mg

)(3.20)

donde θc2 es estable si Mg > kL e inestable si Mg < kL, notese que si Mg = kL

entonces U ′′(θc2) = 0 por tanto se necesita una expresion que determine la tercera

derivada como:

U ′′′(θ) =∂3U(θ)

∂θ3= MgLsenθ − kL2sen(2θ) (3.21)

en esta ecuacion se remplazaran las raıces de la ec. (3.18), estas raıces estan dadas

por:

θc3 = 0

θc4 =2π

3

Tomando θc4 = 2π3

y remplazando en la ec. (3.18) se tiene un punto de inflexion

segun el criterio 3Ca. Para el caso en que θc3 = 0 se tiene que utilizar la ec. (3.18)

U ′′(θc3) = 0 , por lo que se debe derivar U(θ) n-veces tal que al reemplazar θc3 en las

respectivas n-esimas derivadas esta sea distinta de cero. Tal condicion se cumple al

realizar la cuarta derivada :

U ′′′′(θ) =∂4U(θ)

∂θ4= MgLcosθ − 4kL2cos(2θ) (3.22)

que U ′′′′(θc3) 6= 0, donde se utiliza el criterio establecido, por lo tanto este punto

no es de inflexion, ni un maximo o un mınimo, se conoce como punto indiferente

(Marion, 2000).

Se definen por tanto los criterios cualitativos con los que se describe al PIAR,

dados por, diagramas de fase, criterios de estabilidad y problema de valor inicial.

Capıtulo 4ANALISIS FISICO DEL PIAR

Se realiza el analisis del pendulo invertido acoplado a un resorte PIAR a partir de los

criterios vistos en los anteriores capıtulos, en este caso se usa EJS ( Easy Java Simu-

lations) (Esquembre,2016) como programa determinado, a continuacion se muestra

la ventana de la simulacion que se realizo para este trabajo:

Figura 4.1: Pendulo invertido acoplado a un resorte vista en EJS

22

4.1. CASO 1: θ0 = 0 , ω0 = 0,1RAD/S Y KL = MG 23

Se considera la longitud del pendulo L, la constante del resorte k, la aceleracion de

la gravedad g y la masa del pendulo M como los parametros fısicos que se varıan en

la simulacion, ademas de los criterios vistos en la estabilidad de sistemas mecanicos

donde se consideraron tres casos kL = Mg,kL > Mg y kL < Mg; adicionalmente se

tiene un problema de valor inicial (pvi) con θ0 = 0 , ω0 = 0,1 rad/s y ω0 = 0,4 rad/s,

por tanto se analizan cinco posibles casos a partir de las graficas de energıa potencial

vs posicion, energıa cinetica vs velocidad,velocidad vs posicion (diagrama de fase) y

finalmente posicion vs tiempo las cuales se generan con EJS.

4.1. Caso 1: θ0 = 0 , ω0 = 0,1rad/s y kL = Mg

En este caso el PIAR se sujeta al pvi θ0 = 0 , ω0 = 0,1 rad/s y se definen valores para

los parametros k = 2, L = 2, M = 2 y g = 2 tal que kL = Mg. A partir de la figura

4.2 se obtiene la siguiente informacion:

[1.]Energıa Potencial .

Se aplican los criterios vistos en la subseccion (3.6), cuando kL = Mg se tienen

dos valores crıticos en la segunda derivada dados por θc3 = 0 y θc4 = ±2π donde

este ultimo es un punto de inflexion sobre la region de dominio 0 ≤ θ ≤ 2π para

el sistema fısico mecanico, y para θ(c3)=0. De la grafica de energıa potencial se

observa una region valle aproximada por −0,1 ≤ θ ≤ 0,1 (rad) donde el punto

cero pertenece al intervalo y se concluye que no es un punto maximo, mınimo o

de inflexion; es un punto indiferente. En esta zona se encuentra la mayor energıa

potencial gravitacional del sistema ya que el desplazamiento horizontal en esta

region es pequena y por tanto la contribucion elastica es menor en comparacion

con la gravitacional.

[2.]Energıa Cinetica .

En este caso el maximo valor se alcanza cuando la posicion esta dada por θ = 0

y es mınima en sus extremos donde vale cero, esto se deriva de la grafica del

CAPITULO 4. ANALISIS FISICO DEL PIAR 24

diagrama de fase.

[3.]Diagrama de fase.

Para la region −0,1 ≤ θ ≤ 0,1 la energıa total no varia significativamente y por

tanto el sistema no permanece en equilibrio, sin embargo al ser desplazado el

PIAR una pequena cantidad este no divergira mucho de la posicion inicial de

equilibrio. Este diagrama muestra la conservacion de la energıa total, debido a

su trayectoria cerrada ya que se pueden tener fuerzas disipativas que generen

un foco o atractor (Minorsky, 1968).

[4.]Posicion.

Esta grafica muestra el comportamiento periodico del sistema, ademas de ser

armonico ya que se mantiene la misma amplitud a medida que evoluciona el

PIAR.

1.1.1.1.

Figura 4.2: PIAR CASO 1, sujeto al pvi θ0 = 0, ω0 = 0,1 rad/s y parametros k = 2, L = 2, M = 2y g = 2

4.2. CASO 2: θ0 = 0 , ω0 = 0,1RAD/S Y KL > MG 25

4.2. Caso 2: θ0 = 0 , ω0 = 0,1rad/s y kL > Mg

En este caso el PIAR se sujeta al pvi θ0 = 0, ω0 = 0,1 rad/s y se definen valores para

los parametros k = 2, L = 3, M = 4 y g = 1 tal que kL > Mg. A partir de la figura



En este caso se tiene un sistema con dos puntos crıticos determinados por θc1 = 0

y por θc2 = arccos(Mg/kL), se define el primer punto como estable y el segundo

como inestable segun lo visto en la seccion de estabilidad para sistemas mecani-

cos. Para el ultimo punto crıtico se obtienen dos puntos inestables como se

muestra en la figura 4.3 (esto debido a la paridad de la funcion U(θ) = U(θ)

por lo que este sistema se alejara mas del punto de equilibrio θ = 0 y aproxi-

madamente en los puntos ±0,26π se encuentra la maxima energıa potencial del

sistema debido a la contribucion gravitacional y elastica, sin embargo el primer

punto describe un sistema que tiende a oscilar alrededor del punto de equilibrio

θ = 0 de ahı que la superposicion de estos dos estados generen la grafica poten-

cial mostrada, para θ = 0 energıa potencial solamente debe su contribucion a

la componente gravitacional.


En este caso el maximo valor se alcanza cuando la posicion esta dada por los

segundos puntos crıticos y es mınima en sus extremos a tal punto de valer cero,

esto se deriva de la grafica del diagrama de fase.


El sistema es conservativo al tener una trayectoria cerrada, se observa que la

energıa cinetica es mınima en los extremos de posicion angular. Para la posicion

inicial θ = 0 se tiene una velocidad angular inicial ω = 0,1 rad/s el cual corres-

ponde al problema de valor inicial y se ve reflejado en esta grafica, ademas se

alcanza la mayor velocidad en los puntos en los cuales se alcanza θc2.


[4.]Posicion.

Se tiene un movimiento armonico y periodico,se observa de la grafica que para

θ ≥ 0 se tiene una funcion convexa y para θ ≤ 0 se comporta la funcion

concavamente, por tanto se tienen varios puntos para una funcion θ(t) donde

existe una inflexion por pasar de un tipo de concavidad a otra.

1.1.1.1.


4.3. Caso 3: θ0 = 0 , ω0 = 0,1rad/s y kL < Mg

En este caso el PIAR se sujeta al pvi θ0 = 0 , ω0 = 0,1 rad/s y se definen valores para

los parametros k = 1, L = 4,M = 5 y g = 10 tal que kL < Mg. A partir de la figura



En este caso se tiene un punto crıtico para θ = 0 y por tanto es estable, esto

significa que el sistema se mueve dentro de un pozo de potencial,es decir,acotado

4.3. CASO 3: θ0 = 0 , ω0 = 0,1RAD/S Y KL < MG 27

con retorno a izquierda y derecha del punto de equilibrio, donde el aporte gra-

vitacional es mayor para θ = 0 en tanto que la elastica es maxima en los puntos

donde genera el retorno del sistema y mınima para la potencial.


Se obtiene un valor maximo y mınimo tal como se muestra en la figura 4.4 por

tanto en los valores extremos de retorno esta velocidad angular se hace cero

y cuando pasa por el punto de equilibrio se tiene una velocidad maxima que

corresponde al problema de valor inicial.


Se tiene un sistema cuyo comportamiento se asemeja al del pendulo simple lineal

(Campos e Isaza, 2002), donde una elipse define el comportamiento energetico

del sistema en tanto se alcanza el maximo valor de la velocidad cuando la

posicion es cero,y el mınimo cuando se tiene la posicion maxima.

[4.]Posicion.

Esta grafica muestra el comportamiento periodico del sistema, caracterıstico

de un movimiento armonico simple con una amplitud constante ası como un

perıodo especıfico.


1.1.1.1.


4.4. Caso 4: θ0 = 0 , ω0 = 0,4rad/s y kL > Mg

En este caso el PIAR se sujeta al pvi θ0 = 0 , ω0 = 0,4 rad/s y se definen valores

para los parametros k = 0,1, L = 4, M = 2 y g = 0,1 tal que kL > Mg. A partir de

la figura 4.5 se obtiene la siguiente informacion:


En este caso se tiene un sistema como el caso 2 con dos puntos crıticos θc1 = 0 y

por θc2 = arccos(Mg/kL), donde el primero responde a estabilidad y el segundo

a inestabilidad. Se tienen varios puntos de inestabilidad que corresponden a un

ciclo que se repite cada 2π , en estos puntos el sistema se alejara aun mas del

punto de equilibrio θ = 0, en terminos de las contribuciones gravitacionales y

elasticas se determina como el caso 1.


4.4. CASO 4: θ0 = 0 , ω0 = 0,4RAD/S Y KL > MG 29

En este caso se tiene una grafica que muestra un regimen en donde la velocidad

nunca se hace cero, esto se soporta en el hecho de que el sistema tiene un

movimiento de rotacion debido a que el problema de valor inicial cambio en su

velocidad angular inicial.


En este caso el sistema tiene energıa suficiente para abandonar el pozo de po-

tencial y tener un comportamiento no lineal, esto implica que la trayectoria no

es cerrada y por tanto no esta acotado como sucede en los anteriores sistemas.

Esta region abierta representa el movimiento de rotacion del PIAR, el sistema

se conserva ya que aun cuando no es cerrado se considerara abierto en el infi-

nito, esto se logra al considerar un pvi con ω = 0,4 rad/s y superponer los dos

estados del PIAR para aproximar la region a una cerrada. Este caso refleja la

complejidad del sistema no lineal el cual puede ser analizado por estas tecnicas

cualitativas cuya transicion se hace al pasar de una trayectoria cerrada a una

abierta para este caso, la separatriz es quien determina la transicion oscilatoria

a una rotacional y por tanto no lineal, para garantizar la existencia de dicha

transicion se fija un pvi tal que permitiera este cambio de estado a partir de la

simulacion desarrollada en EJS, sin embargo hallar analıticamente la separatriz

se vuelve complejo ya que se debe resolver la ecuacion de movimiento del PIAR

para hallar θ(t), por ello se recurre a la simulacion computarizada.

[4.]Posicion.

El angulo aumenta de manera indefinida al dar n-vueltas el PIAR sobre el eje

fijo, sin embargo el ciclo se repite cada 2π sea que el movimiento de rotacion se

haga en la direccion de las manecillas del reloj o en sentido contrario el cual se

especifica en esta grafica.


1.1.1.1.

Figura 4.5: PIAR CASO 4, sujeto al pvi θ0 = 0, ω0 = 0. rad/s y parametros k = 0, 1, L = 4,M = 2 y g = 0, 1

4.5. Caso 5: θ0 = 0 , ω0 = 0,4rad/s y kL < Mg

En este caso el PIAR se sujeta al pvi θ0 = 0 , ω0 = 0,4 rad/s y se definen valores

para los parametros k = 0,1,L = 3 ,M = 5 y g = 0,1 tal que kL < Mg. A partir de

la figura 4.6 se obtiene la siguiente informacion:


Se obtiene un sistema similar al caso 3 con n- puntos crıticos caracterizados por

θc1 = 0 los cuales responderıan a estabilidad, esto se observa en el diagrama de

fase. La energıa potencial gravitacional es maxima cuando θ = 0, mientras que

la energıa potencial elastica es maxima cuando θ = π/2


En este caso se tiene una grafica que muestra un regimen en donde la velocidad

nunca se hace cero y corresponde al mismo analisis del caso 4.

4.5. CASO 5: θ0 = 0 , ω0 = 0,4RAD/S Y KL < MG 31


El sistema tiene energıa suficiente para obtener un movimiento rotatorio y poder

abandonar el pozo de potencial. Este caso es similar a la rotacion del pendulo

matematico no-lineal y corresponde a una aproximacion del mismo (Campos e

Isaza, 2002) vista desde el PIAR, en tanto su descripcion es la misma realizada

que en el anterior caso.

[4.]Posicion.

El movimiento de rotacion se hace a favor o en contra de las manecillas del reloj

y se sigue el analisis del caso 4.

1.1.1.1.

Figura 4.6: PIAR CASO 5, sujeto al pvi θ0 = 0, ω0 = 0,4 rad/s y parametros k = 0, 1, L = 3,M = 5 y g = 0, 1

Capıtulo 5CONCLUSIONES

A partir del analisis realizado del PIAR se obtienen las siguientes conclusiones:

[1.] La formulacion lagrangiana permite obtener la ecuacion diferencial de se-

gundo orden a partir de las energıas cinetica y potencial del sistema , la cual

describe el movimiento del pendulo invertido acoplado a un resorte y consi-

derando un problema de valor inicial el cual es fundamental en el problema

numerico asociado a cada caso analizado para el sistema fısico mecanico.

[2.] La funcion de la energıa potencial brinda una descripcion cualitativa del

PIAR a partir de su grafica y permite describir la estabilidad e inestabilidad

del sistema considerando los criterios vistos en el capıtulo tres. Se describe la

energıa cinetica del sistema para poder realizar la comparacion de estas energıas

a medida que el sistema evoluciona temporalmente y en diferentes casos.

[3.] Los diagramas de fase permiten considerar un movimiento oscilatorio cuando

la trayectoria es cerrada y por tanto definir al sistema como lineal, cuando el

movimiento del PIAR es rotativo se obtiene una region abierta y el sistema deja

de ser lineal. Esta transicion se fija a traves de una curva frontera conocida como

separatriz (Campos e Isaza, 2002) la cual determina el movimiento oscilatorio y

rotativo del PIAR y se determina analıticamente, en esta situacion la simulacion

32

33

realizada en EJS proporciona una excelente herramienta para modelar los dos

movimientos a a partir de la exploracion de un pvi.

[4.] La posicion del pendulo describe un sistema con movimiento armonico sim-

ple cuando el sistema se modela de manera lineal, la transicion al movimiento

rotativo genera un aumento indefinido del angulo en funcion del tiempo, θ se

define negativo o positivo cuando el giro se da a favor de las manecillas del reloj

o en contra respectivamente.

[5.] EJS permite obtener informacion cualitativa del sistema a partir de las grafi-

cas de energıas, diagrama de fase y posicion, las cuales permiten caracterizar

el sistema a traves de diferentes problemas de valor inicial, definiendo un mo-

delo sobre el sistema fısico y estructurando el problema como se muestra en el

apendice de manera amable por su lenguaje y permitiendo obtener una vista al

problema generando una buena simulacion sobre los sistemas fısicos a describir,

en especial los mecanicos no lineales ya que a partir de la simulacion se pueden

conocer muchas caracterısticas de sistemas no lineales que antes no podıan ser

descritas como ejemplo de ello se tiene el PIAR.

Apendice AEASY JAVA SIMULATIONS

A.1. EJS

En esta seccion se muestran una secuencia de imagenes que corresponden a los

pasos que se siguieron hasta obtener la simulacion del PIAR, sin embargo cabe aclarar

que esta monografia no busca el manejo de Easy Java Simulations ya que como se

cita: “Esta herramienta puede ser utilizada por personas sin conocimientos previos

de programacion en este lenguaje”(Esquembre, 2016) , en esta misma referencia se

encuentran los pasos para construir, modelar y ejecutar EJS ademas de contar con

los trabajos citados en la bibliografia (Esquembre, 2016). Sin embargo se sigue una

estructura que consiste en:

1. Definir las variables a estudiar y los parametros a utilizar.

2. Asignar valores al problema de valor inicial.

3. Describir la ecuacion diferencial de segundo orden de forma desacoplada en el

modelo evolucion de EJS.

4. Escribir relaciones correspondientes a ligaduras, energıas u otras relaciones fijas.

5. Generar los objetos en la vista de EJS y asignarles caracterısticas fısicas.

6. Ejecutar EJS y considerar diferentes casos para el sistema fısico.

34

A.1. EJS 35

Figura A.1: Se fijan las variables θ, ω y t

Figura A.2: Se fijan los parametros k, L,Myg y otros que se utilizan en la monografica

APENDICE A. EASY JAVA SIMULATIONS 36

Figura A.3: Se fijan los valores para el problema de valor inicial

Figura A.4: Se escribe la ecuacion de movimiento de forma desacoplada

A.1. EJS 37

Figura A.5: Se escriben las relaciones fijas de energıa cinetica y potencial

Figura A.6: Se escriben las relaciones de transformacion entre coordenadas cartesianas y polares

APENDICE A. EASY JAVA SIMULATIONS 38

Figura A.7: Se definen los parametros λ y β

Figura A.8: Se construyen los objetos para la simulacion

A.1. EJS 39

Figura A.9: Se ejecuta EJS para el PIAR

Bibliografıa

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pendulo compuesto. Momento, 16:15, 1998.

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acceso 6-12-2016 2016.

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