GUÍA No. 1 2016-1

Asignatura: Cálculo Diferencial Dependencia: Facultad de Ciencias

Empresariales y Económicas

INTERVALOS

Subconjunto de los números reales y se clasifican en finitos e infinitos.

Finitos

Abierto Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, excluyendo a y

b, simbólicamente (𝑎 , 𝑏) = {𝑥 𝜖 𝑅 / 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} Gráficamente

Cerrado Subconjunto de todos los números x comprendidos entre a y b, incluyendo a y b,

simbólicamente [𝑎 , 𝑏] = {𝑥 𝜖 𝑅/ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} Gráficamente

Semi-abierto o semi-cerrado

(a , b] = {x 𝜖 𝑅/ a < x ≤ b}

[a , b) = {x 𝜖 𝑅/ a ≤ x < b}

∞ -∞

a b

∞ -∞

a b

∞ -∞

a b

∞ -∞

a b

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA

ÁREA DE MATEMÁTICAS

Intervalos Infinitos:

(a,∞) = {x 𝜖 𝑅/ x > a}

[a,∞) = {x 𝜖 𝑅/ x ≥ a}

(-∞, a) = {x 𝜖 𝑅/ x < a}

(-∞, a] = {x 𝜖 𝑅/ x ≤ a}

Ejercicios 1

1. Escriba la desigualdad correspondiente a cada intervalo y dibuje su gráfica

(1,3) (0,3] [-1,∞) (-∞,2)

[-0.5, 4.5) (−2

3, 5] [−

3

4,7

2)

(2

5, ∞)

Desigualdades

Proposiciones tales como 𝑎 < 𝑏, 𝑎 > 𝑏, 𝑎 ≥ 𝑏 𝑜 𝑎 ≤ 𝑏, se llaman desigualdades. En particular, 𝑎 > 𝑏 y 𝑎 < 𝑏 son desigualdades estrictas. La solución de una desigualdad en una variable es el conjunto de todos los valores de la variable para los cuales la desigualdad es una proposición verdadera. Propiedades.

Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera.

El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplican (o dividen) por el mismo número positivo y se invierte cuando se multiplican (o dividen) por el mismo número negativo.

Desigualdades lineales Ejemplo 1.

∞ -∞

a

∞ -∞

a

∞ -∞

a

∞ -∞

a

8

8

2335

3352

)1(352

13

52

x

x

xx

xx

xx

xx

Solución: (- 8, + ∞) Ejemplo 2.

Solución: ],(34

35

Ejemplo 3.

4

1

23

32

41

41

21

41

21

x

x

xx

xx

Solución: (-∞, 4]

( - 8

]

4

]

(

3

4

3

5-x

43x-53x

3x7-32--33x

7333x--32

caso egundoPrimercaso

7332

x

x

S

x

Desigualdades Cuadráticas Ejemplo 4.

cero a Igualando 01)-3)(x-(x

01)-(x3)-(x

Factorando

0342

xx

Luego, x = 3 y x = 1 Estos valores dividen a la recta real en tres intervalos: (−∞, 1]; [1,3]; [3, ∞) Tomando puntos de prueba dentro de cada intervalo y remplazando en la desigualdad, obtenemos que para x=0 y para x = 4 la desigualdad no se cumple, mientras que para x = 2, si, luego el intervalo solución es: Solución: [1, 3] EJERCICIOS: resolver las siguientes desigualdades

1. −7 < 2𝑥 + 1 < 19

2. −5 ≤ 𝑥 − 3 ≤ −3

3. −1 <3−7𝑥

4< 6

4. 1

2≤ 2𝑥 −

1

2≤

3

4

5. 𝑥2 + 2𝑥 − 15 > 0

6. 3𝑥2 + 2𝑥 − 5 ≤ 0

7. 8𝑥2 − 22𝑥 + 15 ≥ 0

8. 𝑥2 + 9𝑥 + 20 < 0

9. 2𝑥+3

𝑥+2> 0

10. 𝑥+5

(𝑥−4)(𝑥−3)≤ 0

RELACIÓN Y FUNCIÓN

Se define como relación o correspondencia R entre los conjuntos A y B, a un

subconjunto del producto cartesiano A x B, compuesto por pares de elementos que

]

1

[

3

cumplen cierta regla definida. Este puede estar formado por un solo par ordenado,

varios, todos o ninguno de los que forman parte de A x B, por lo tanto:

Ejemplo:

Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} , B = {1, 3, 5, 6} y la relación R definida como “mayor que” que vincula elementos de A con los de B (en ese orden)

El conjunto de pares ordenados que forman parte de R está compuesto por un elemento del primer conjunto y un elemento del segundo conjunto en ese orden y además satisfacen la condición que define esa relación. Se dice que:

Elementos de una relación

Volvamos al ejemplo anterior:

El conjunto A es el conjunto Inicial o conjunto de Partida. Los elementos de A que

forman parte de la relación son el primer componente de las parejas; en el diagrama

de flechas es el de donde parten las flechas.

El conjunto B es el conjunto Final o conjunto de Llegada. Los elementos de B que

forman parte de la relación son el segundo componente de las parejas; en el

diagrama de flechas es al que llegan las flechas.

El Dominio es el conjunto de los primeros elementos de cada par ordenado. De

cada elemento del dominio sale por lo menos una flecha. O sea que el Dominio es

un subconjunto del conjunto de Partida, ya que algunos elementos del conjunto

inicial pueden no formar parte de la relación.

Simbólicamente: Dada R (AxB), DR = { x / x ∈ A ˄ (x,y) ∈ R}

Imagen es el conjunto de los segundos elementos de cada par ordenado. En una

relación, a cada elemento del conjunto Imagen llega por lo menos una flecha. El

Forma implícita:

R = {(x, y) AxB / x y}

Forma explícita:

R = {(2,1); (3,1); (4,1); (4,3); (5,1); (5,3)}

x R y o ( x, y ) R

conjunto Imagen es un subconjunto del conjunto de Llegada, ya que algunos

elementos del conjunto final pueden no formar parte de la relación. Al conjunto

Imagen, también se le llama Domino de Imágenes.

Simbólicamente: Dada R (AxB), IR = { y / y ∈ B ˄ (x,y) ∈ R}

En nuestro ejemplo:

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función (f) es una regla que produce una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos tal que a cada elemento del primer conjunto le corresponda un elemento y sólo un elemento del segundo.

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

Recordemos que toda función es una relación pero toda relación no es función. Todas las relaciones que son funciones están definidas para un determinado intervalo de números en el conjunto de los Reales en un plano cartesiano. Si nombramos la función como y=f(x), decimos que “x” es la variable independiente de dicha función cuyos valores están definidos por el DOMINIO, además, “y” es la variable dependiente (pues depende de los valores que tome “x”) cuyos valores están definidos por el RANGO de la función. Como se definió anteriormente una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto X de números reales x a un conjunto Y de números reales y, donde el número y es único para cada valor especifico de x

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN. Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” (variable independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el eje horizontal (abscisas), leyendo como escribimos de izquierda a derecha. El dominio de una función está formado por aquellos valores de “X” (números reales) para los que se puede calcular la imagen de f(x). RANGO DE UNA FUNCIÓN. Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que

Conjunto de Partida = {1, 2, 3, 4, 5} Conjunto de Llegada = {1, 3, 5, 6} Dominio R = {2, 3, 4, 5} Imagen R = {1, 3}

le demos a "X". Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de abajo a arriba. El Rango de una función es el conjunto formado por las imágenes f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha función. La manera más efectiva para determinar el Rango consiste en graficar la función y ver los valores que toma “Y” de abajo hacia arriba.

Gráficamente:

El dominio está dado por los elementos de salida: Dominio = {1,2,3,4,5} y el rango está dado por los elementos de llegada que son imágenes de cada elemente del dominio: Rango = {2,4,5}. Se identifica también en este documento que existe el CODOMINO y son todos los elementos del conjunto Y (los que son y no son

imágenes) en la función de la gráfica Codominio = {1,2,3,4,5}.

Para determinar el dominio de una función tenga en cuenta lo siguiente:

1. Si )(xf es polinómica entonces el dominio es el conjunto de todos los

números reales, es decir RxDomfxxxDomf )(),(/)(

2. Si )(xf es de la forma )(

)()(

xq

xpxf entonces el dominio se expresaría así:

)(xDomf iaR , donde los ia son aquellos valores tales que 0)( iaq

3. Si )(xf es de la forma n xpxf )()( y n es par, entonces el dominio se

expresaría así: Dom Rxxpxxf 0)(/)( ( esto nos muestra el hecho

que si el índice de la raíz es par la cantidad subradical no puede ser negativa) 4. Si )(xf es de la forma ))(ln()( xpxf el dominio se expresaría así:

Dom Rxxpxxf 0)(/)(

Ejemplos:

Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones:

1. Sea la función constante 𝑓(𝑥) = 5. Dom = R, Rango = {5} 2. 𝑓(𝑥) = 2x + 1. Dom = Rango = R

3. 𝑓(𝑥) =3x

4− 1 Dom = Rango = R.

4. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

X

Y

f

Como es una función cuadrática es decir de segundo grado el dominio será todo el conjunto de los números reales. Dom f(x) = R

El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) a partir de -4 lo que quiere decir que el Rango = [– 4, + ∞).

5. ℎ(𝑥) =−2

x−12 . Igualando el denominador a cero: 𝑥 − 12 = 0 se encuentra que

x = 12 con lo que el Dominio = R − {12}. Para hallar el rango se despega la

variable x quedando así 𝑥 =−2+12y

y entonces el Rango = R − {0}

6. 𝑓(𝑥) = √x − 4 es una función con raíz cuadrada por lo que el dominio está

restringido es decir 𝑥 − 4 ≥ 0 con lo que x ≥ 4 entonces:

El Dominio Rxxxxf 4/)( o lo que es lo mismo ,4x . Y para el

rango tenemos que despejar a x así: 42 yx por tanto el rango son todos los

números reales.

7. 2

4)(

x

xxf En esta función tenemos dos casos, el de la raíz de índice par y la

variable x en el denominador, por tanto se debe cumplir que 202 xx ,

es decir el Dominio 2/)( xRxxf

EJERCICIOS.

Hallar el dominio de cada función

1. 𝑓(𝑥) = 10 11. 𝑓(𝑥) =−4

2𝑥−3

x

y

2. 𝑓(𝑥) = 4 − 3𝑥 12. 𝑓(𝑥) =4

𝑥2+9𝑥+20

3. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 7𝑥 + 10 13. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 100

4. 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 − 2𝑥 − 3 14. 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 2

5. 𝑓(𝑥) = 1

𝑥−10 15. 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 36

6. 𝑓(𝑥) = 𝑥+2

𝑥−3 16. 𝑓(𝑥) = {

3x − 2, si x < 1

𝑥2 − 1 , si x ≥ 1

7. 𝑓(𝑥) = 𝑥2−1

𝑥−1 17. 𝑓(𝑥) = {

3x − 2, si x < 1

𝑥2 , si x ≥ 1

8. 𝑓(𝑥) = {3x − 2, si x < 1

𝑥2 , si x ≥ 1 18. 𝑓(𝑥) = {

−x, si x < 0 x , si x ≥ 0

9. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 − 2 19. 𝑓(𝑥) =2𝑥2+7𝑥+3

𝑥+3

10. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 3𝑥 − 1 20. 𝑓(𝑥) = √𝑥−1

2𝑥+3

FUNCIÓN LINEAL. Una función lineal se define por ( )f x mx b . Donde m y b

son constantes y 0m . Su gráfica es una recta cuya pendiente es m y su

intercepción y u ordenada al origen es b . El dominio de cualquier función lineal es

( , ) , y el rango es igual a su dominio siempre y cuando 0m

FUNCIÓN CONSTANTE. Una función constante es una función lineal de la forma

( )f x b , donde b es un número real. El rango para este tipo de función es b .

b

0, 0m b

b

0, 0m b

b

b

b

0, 0m b 0, 0m b

En la definición de función lineal se utilizó el término pendiente, el cual corresponde

a la medida de la inclinación de la línea recta que representa a la función. Una forma

de medir dicha inclinación es comparar su cambio vertical (la elevación) con el

cambio horizontal (el avance) cuando se avanza a lo largo de la recta de un punto

fijo hacia otro, es decir, dados dos puntos distintos 1 1,x y y 2 2,x y la razón de

cambio en y al cambio en x , se expresa

2 1

2 1

y ym

x x

Ejemplo 1. Trace la gráfica de la recta que tiene pendiente de 2 / 3 y pasa por el

punto 1,4

En primer lugar, hay que localizar el punto 1,4 en una gráfica, como se muestra

en la figura

, después con la definición de pendiente,

2 1

2 1

2

3

y ym

x x

0b 0b

b

b

Hay que moverse dos unidades hacia arriba en la dirección y , y después tres

unidades a la derecha en la dirección x , para ubicar otro punto de la gráfica

(denotado con P) la recta que pasa por 1,4 y P, es la gráfica que se pide.

Ejemplo 2. Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos 2, 1 y 5,3

.

Si 1 12, 1 ,x y y 2 25,3 ,x y , entonces

2 1

2 1

3 ( 1) 4

5 2 7

y ym

x x

Si los puntos se ubican en forma contraria la pendiente sigue siendo la misma.

Ejemplo 3. Calcule la pendiente, si fuera posible, de cada una de las rectas

siguientes.

a) 3x

Tras una simple inspección, se tiene que 3,5 y 3, 4 son dos puntos que

satisfacen la ecuación 3x . Utilizando estos puntos para encontrar la

pendiente tenemos

2 1

2 1

4 5 9

3 ( 3) 0

y ym

x x

Pendiente indefinida

¿Corresponde esta ecuación a una función? Explique.

b) 5y

De igual manera tómese los puntos 3,5 y 1,5 , y utilícese la definición de

pendiente

2 1

2 1

5 5 00

3 ( 1) 4

y ym

x x

¿Corresponde esta ecuación a una función? Explique.

Si se conocen dos puntos de una recta, es posible obtener la ecuación de la recta.

En primer lugar, se encuentra la pendiente con la fórmula de ésta, luego se utiliza

su valor en la forma 1 1( )y m x x y que recibe el nombre de forma punto-pendiente

con uno de los puntos dados. Si lo que se conoce es la pendiente y la intercepción

con el eje y tiene las coordenadas (0, )b . Entonces, se obtiene que la fórmula es

y mx b , que se conoce como forma pendiente-intercepto.

Ejemplo 4. Obtenga la fórmula de la función lineal representada en la recta que

pasa por los puntos ( 4,3) y (5, 7) .

En primer lugar se obtiene la pendiente, por medio de la definición

2 1

2 1

7 3 10

5 ( 4) 9

y ym

x x

Como 1 1( , )x y puede usarse cualquiera de ( 4,3) y (5, 7) , en la forma punto-

pendiente de la ecuación de la recta. Si se emplea ( 4,3) tenemos

1 1( )

10( 4) 3

9

10 403

9 9

10 13

9 9

y m x x y

y x

y x

y x

Luego la función lineal es 10 13

( )9 9

f x x

Ejemplo 5. Dibuje la gráfica de la función lineal ( ) 2 3f x x . Diga el dominio y el

rango.

Por tratarse de una función lineal no constante, tanto el dominio como el rango es

( , ) , por otro lado para trazar la gráfica de la función ubique la intercepción con

y , (0,3). Desde este punto, use la pendiente 2

21

para ir dos unidades hacia

abajo y una a la derecha. Este segundo punto se emplea para obtener la gráfica de

la figura

Ejemplo 6. Dibuje la gráfica de la función lineal 1

( ) 22

f x x .

Nótese que el punto de intercepto es (0,2) , desde este punto, use la pendiente para

introducir una unidad hacia abajo y dos unidades a la derecha, este segundo punto

(2,3) se emplea para obtener la gráfica uniéndolo con el primero como muestra la

figura

EJERCICIOS:

1. Dibuje la gráfica de cada función lineal. Escribe el dominio y el rango.

a) ( ) 2 5f x x

b) 1

( ) 22

h x x

c) ( ) 3k x x

d) 1

( ) 14

g x x

e) ( ) 4f x

2. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones define una función lineal? Explique.

a) 5

4

xy

b) 2y x

1( ) 2

2f x x

c) 1

yx

d) y x

3. Determine una ecuación que satisfaga las condiciones que se exponen. ¿son

funciones?

a) Pasa por (9,5) ; pendiente 0.

b) Pasa por (9,10) ; pendiente indefinida.

4. Hallar (si es posible) la función que pasas por los dos puntos.

a) (3,4) y (5,8)

b) * ( 2,5) y ( 8,1)

c) 2 2

,5 5

y 4 2

,3 3

d) 3 8

,4 3

y 2 2

,5 3

5. Halle la función de la recta que satisface las condiciones que se exponen.

a) 5 1

;8 3

m b

b) 5; 15m b

c) 2; 12m b

6. Explique por qué la forma punto-pendiente de una ecuación no puede usarse

para encontrar la ecuación de una recta vertical.

7. Tarifas De Taxis.

a) Suponga que un taxista cobra $1.50 por milla. Complete la tabla con la

respuesta correcta para el precio ( )f x que cobra por un viaje de x millas.

x ( )f x

0

1

2

3

b) La función lineal que da una regla para la cantidad que cobra es

( ) _____f x .

c) Trace la gráfica de esta función para el dominio 0,1,2,3

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Una función 𝑓 es una función cuadrática si y solo si 𝑓(𝑥) puede escribirse de la

forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son constantes y 𝑎 ≠ 0.

Por ejemplo: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1; 𝑓(𝑥) =1

3𝑥2 + 𝑥 ; 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 5 ; 𝑓(𝑥) = 3𝑥2

A las funciones cuadráticas también se les llama funciones de segundo grado

porque en la expresión 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 el mayor exponente de la variable es 2.

La representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola.

En la parábola se pueden distinguir varios elementos: abertura, vértice, eje de

simetría, intercepto con el eje y e intercepto con el eje x.

La parábola que representa una función cuadrática puede abrir hacia arriba o hacia

abajo, teniendo en cuenta lo siguiente:

Si 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con 𝑎 > 0 entonces la parábola abre hacia arriba y su punto

mínimo es el vértice.

Si 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con 𝑎 < 0 entonces la parábola abre hacia abajo y su punto

máximo es el vértice.

El vértice V es un punto de coordenadas (ℎ, 𝑘) en el cual ℎ = −𝑏

2𝑎 𝑦 𝑘 =

4𝑎𝑐−𝑏2

4𝑎 𝑜 𝑘 = 𝑓 (−

𝑏

2𝑎)

La recta paralela al eje y que pasa por el vértice se llama eje de simetría.

La parábola tiene un intercepto con el eje y en el punto (0, 𝑐), este valor se halla al

remplazar 𝑥 por 0 en la función 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Mientras que los interceptos con

el eje 𝑥, se hallan al remplazar 𝑦 por 0 en 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

El dominio una función cuadrática es el conjunto 𝑅(números reales), el rango es el

intervalo [𝑘, ∞) si la parábola abre hacia arriba, y es (−∞, 𝑘] si la parábola abre

hacia abajo.

EJERCICIOS

Grafique cada función. Obtenga el vértice y las intersecciones, y determine el

rango.

1. 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5 2. 𝑓(𝑥) = −4𝑥2 3. ℎ(𝑥) = −2𝑥2 − 6𝑥

4.𝑦 = 𝑥2 − 1 5. 𝑗(𝑡) = 𝑡2 + 2𝑡 + 1 6. 𝑦 = 2𝑡2 + 3𝑡 − 2

7. 𝑓(𝑠) = −9 + 8𝑠 − 2𝑠2 8. 𝑦 = 1 − 𝑥 − 𝑥2 9. 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 + 14

10. ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 11

En los ejercicios del 11 al 14 no haga la grafica

11. Para la parábola 𝑦 = −4𝑥2 + 8𝑥 + 7, encuentre el vértice. ¿El vértice

corresponde al punto más alto o más bajo de la grafica?

12. Repita el ejercicio anterior si 𝑦 = 8𝑥2 + 4𝑥 + 1

13. Para la parábola 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 8, encuentre la intersección con el eje 𝑦, las

intersecciones con el eje 𝑥 y el vértice.

14. Repita el ejercicio anterior si 𝑦 = 3 + 𝑥 − 2𝑥2

EN LOS EJERCICIOS DEL 15 AL 18 ESTABLEZCA SI 𝑓(𝑥) TIENE UN VALOR

MAXIMO O MINIMO Y ENCUENTRE ESE VALOR.

15. 𝑓(𝑥) = 100𝑥2 − 20𝑥 + 25 16. 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 − 16𝑥 + 3

17. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 50 − 0.1𝑥2 18. 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 3) − 12

FUNCIÓN RACIONAL

Una función 𝑓 es una función racional si 𝑓(𝑥) =𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) donde 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) son

polinomios y 𝑄(𝑥) ≠ 0.

El dominio de 𝑓 está formado por todos los números reales excepto los ceros del

polinomio que está en el denominador.

Por ejemplo, las funciones: 𝑓(𝑥) =1

𝑥−2 ; 𝑔(𝑥) =

3

𝑥2−4 𝑦 ℎ(𝑥) =

𝑥3−8

𝑥2+9 son funciones

racionales y sus dominios son respectivamente: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 − {2}; 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = 𝑅 −

{−2,2} 𝑦 𝐷𝑜𝑚 ℎ = 𝑅.

El rango de una función racional puede determinarse al trazar su gráfica.

GRAFICA DE UNA FUNCIÓN RACIONAL

Para trazar la gráfica de una función racional es importante tener en cuenta los

valores para los cuales la función no está definida.

Asíntota vertical

La recta 𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical de la gráfica de una función racional 𝑓, si

𝑓(𝑥) tiende a ∞ o si 𝑓(𝑥) 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 − ∞ cunado 𝑥 tiende a 𝑎 por la izquierda o por la

derecha.

La recta 𝑥 = 1 es una asíntota vertical de 𝑓(𝑥) =1

𝑥−1 porque lim

𝑥→1−𝑓(𝑥) = +∞

Asíntota horizontal

La recta 𝑦 = 𝑐 es una asíntota horizontal de la gráfica de una función racional 𝑓, si

𝑓(𝑥) 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑐 cuando 𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 ∞ o cuando 𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 − ∞.

La función 𝑓(𝑥) =2𝑥

𝑥+1 tiene una asíntota horizontal en 𝑦 = 2, porque el lim

𝑥→∞𝑓(𝑥) = 2

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Una función exponencial es una función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 donde 𝑎 es una constante positiva. Recordemos que:

1. vecesn

n aaaaa

.....

2. 10 a 3. aa 1

4. n

n

aa

1

5. nmnm aaa

6. n

mnm

a

aa

7. mnnm aa 8. nnn

baab

Existen dos tipos de funciones exponenciales las cuales se ilustran a continuación:

xay si 10 a , si 1a

FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

Se llama función exponencial natural a aquella función exponencial cuya base es

el número e , es decir xey ; donde e es un número irracional cuyo valor

aproximado es ...71828.2e

EJEMPLOS Resolver la siguiente ecuación exponencial haciendo uso de las propiedades:

8

12

21 x

Solución

022

0401331222

12 22231

3

1 22

xx

xxxxx

De donde: 22 xx

2.

Solución:

3242

032042

0)32)(42(

012221222

22

22

22

22224

xx

xx

xx

xxxx

La segunda ecuación es imposible por lo tanto la solución es:

1222242 222 xxxx

EJERCICIOS: Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales: 1) 2x = 8

2) 10x = 100

3) 4 x - 3 = 8

4) 5 2 - x = 125

5) 2x = 64

6) 27 x + 1 = 9

7) 3𝑥. 52𝑥 = 75

8) 𝑒𝑥2− 5𝑒−𝑥

2+ 4𝑒−3𝑥

2= 0

9) 31

42

2

x

x

e

e

10) 2

1

42

2

x

x

e

e

Para resolver los ejercicios del 8 al 10 recuerde la equivalencia entre la función

exponencial natural y el logaritmo natural.

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La función logarítmica de base 𝑎 es la inversa de la función exponencial de base 𝑎. Los valores de la función 𝐿𝑜𝑔𝑎 se denotan como 𝐿𝑜𝑔𝑎(𝑥) y puesto que 𝐿𝑜𝑔𝑎 y

la función exponencial con base 𝑎 son inversas se puede afirmar que:

𝑓(𝑥) = 𝐿𝑜𝑔𝑎(𝑥) 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎𝑦

El dominio de la función es el conjunto de números reales positivos y su recorrido es el conjunto de los números reales.

La función 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑜𝑔𝑎(𝑥), tiene las siguientes características: a. Si 𝑎 > 1 entonces 𝐿𝑜𝑔𝑎(𝑥) aumenta a medida que 𝑥 aumenta.

b. Si 0 < 𝑎 < 1, 𝐿𝑜𝑔𝑎(𝑥) disminuye a medida que 𝑥 aumenta.

c. Si 𝑎 > 1 entonces 𝐿𝑜𝑔𝑎(𝑥) es positivo si 𝑥 > 1.

d. Si 𝑎 > 1, entonces 𝐿𝑜𝑔𝑎(𝑥) es negativo si 0 < 𝑥 < 1

e. La función no está definida para 𝑥 ≤ 0

f. La función logarítmica corta al eje 𝑥 siempre en 𝑥 = 1

g. 𝐿𝑜𝑔𝑎(𝑥) = 1 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎

h. Si 𝑎 > 1 entonces 𝐿𝑜𝑔𝑎(𝑥) tiende a menos infinito (−∞) a medida que 𝑥 tiende a cero por la derecha.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS a. 𝐿𝑜𝑔𝑎1 = 0

b. 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑎 = 1

c. 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑎𝑥 = 𝑥

d. 𝐿𝑜𝑔𝑎(𝑥𝑦) = 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑥 + 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑦

e. 𝐿𝑜𝑔𝑎 (𝑥

𝑦) = 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑥 − 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑦

f. 𝑛𝐿𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑥𝑛

g. 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑦 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑦

Ejemplo: Utilizar las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión 2𝐿𝑜𝑔(𝑥) + 3𝐿𝑜𝑔(2𝑦) − 2𝐿𝑜𝑔(𝑥 − 𝑦) Solución:

2𝐿𝑜𝑔(𝑥) + 3𝐿𝑜𝑔(2𝑦) − 2𝐿𝑜𝑔(𝑥 − 𝑦) = 𝐿𝑜𝑔𝑥2 + 𝐿𝑜𝑔(2𝑦)3 − 𝐿𝑜𝑔(𝑥 − 𝑦)2

2𝐿𝑜𝑔(𝑥) + 3𝐿𝑜𝑔(2𝑦) − 2𝐿𝑜𝑔(𝑥 − 𝑦) = 𝐿𝑜𝑔[𝑥2(2𝑦)3] − 𝐿𝑜𝑔(𝑥 − 𝑦)2

2𝐿𝑜𝑔(𝑥) + 3𝐿𝑜𝑔(2𝑦) − 2𝐿𝑜𝑔(𝑥 − 𝑦) = 𝐿𝑜𝑔 [𝑥2(2𝑦)3

𝐿𝑜𝑔(𝑥 − 𝑦)2]

Ejemplo: Graficar la función 𝑦 = 𝐿𝑜𝑔2𝑥

Dominio = (0, +∞) Recorrido = ℝ Asíntota: 𝑥 = 0

Corte 𝑂𝑋: (1,0) Creciente

EJERCICIOS:

1. Dadas las funciones determine: Dominio, Rango, Asíntota, Corte con el eje 𝑋 y determine si es creciente o decreciente.

a. 2𝐿𝑜𝑔(𝑥 + 1) b. 𝑦 = 𝐿𝑜𝑔(5𝑥)

2. Expresa como un solo logaritmo aplicando las propiedades.

a. 𝑚𝐿𝑜𝑔𝑥 − 𝑛𝐿𝑜𝑔(𝑥 + 𝑦) + 3𝐿𝑜𝑔𝑥𝑛

x 0,15 0,5 0,5 1 2 4 8

y -3 -2 -1 0 1 2 3

b. 2

3𝐿𝑜𝑔(𝑚 + 𝑛)3 − 3𝐿𝑜𝑔(𝑛 +𝑚) + 2𝐿𝑜𝑔𝑦

3. Resolver las siguientes ecuaciones:

a. 𝐿𝑜𝑔2𝑥 + 𝐿𝑜𝑔2(𝑥 + 2) = 3 b. 2𝐿𝑜𝑔3𝑥 = 3𝐿𝑜𝑔35

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.

La función valor absoluto es una función específica que permite calcular la distancia de cualquier número real a cero y se representa como 𝑦 = 𝑓(𝑥) = |𝑥|. La función valor absoluto se define de la siguiente forma:

𝑦 = 𝑓(𝑥) = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

El dominio de la función valor absoluto es el conjunto de los números reales, mientras el rango son los reales mayores o iguales a cero. GRAFICA DE LA FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO En la gráfica se observa que el valor absoluto de un número real nunca es negativo,

es decir, |𝑥| ≥ 0, ∀𝑥𝜖𝑅.

OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

Las funciones no son números. Pero al igual que ellos pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse como veremos a continuación.

SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES.

La suma y diferencia de funciones se determina de la siguiente manera:

(𝑓 ± 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)

Los dominios respectivos de 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) son respectivamente 𝐷𝑓 𝑦 𝐷𝑔 de manera

que el dominio de la función suma o de la función diferencia son: 𝐷(𝑓 ± 𝑔) = 𝐷𝑓 ∩𝐷𝑔

Ejemplo 1. Sean 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 7 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1. 𝐷𝑓 = 𝑅 𝑦 𝐷𝑔 = 𝑅, entonces:

(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 + 𝑥 − 7) + (𝑥2 − 1) = 2𝑥2 + 𝑥 − 8 (Ver figura 1)

(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 + 𝑥 − 7) − (𝑥2 − 1) = 𝑥 − 6

Figura 1. (𝑓 + 𝑔)(𝑥)

PRODUCTO DE FUNCIONES.

El producto de dos funciones se establece de la siguiente manera:

(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)

Los dominios respectivos de 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) son 𝐷𝑓 𝑦 𝐷𝑔 de manera que el dominio

de la función producto es: 𝐷(𝑓 ∙ 𝑔) = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔

Ejemplo 2. Sean 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 7 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1. 𝐷𝑓 = 𝑅 𝑦 𝐷𝑔 = 𝑅, entonces:

(𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = (𝑥2 + 𝑥 − 7) ∙ (𝑥2 − 1) = 𝑥4 + 𝑥3 − 8𝑥2 − 𝑥 + 7 (Ver figura 2)

Figura 2. (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥)

y = x^2-1

y = x^2 + x - 7

y = 2 x^2 + x - 8

y = x^2-1

y = x^2 + x - 7

y = x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 7

COCIENTE DE FUNCIONES.

El cociente de dos funciones se define de la siguiente manera:

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑔(𝑥) ≠ 0

Los dominios respectivos de 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) son respectivamente 𝐷𝑓 𝑦 𝐷𝑔 de manera

que el dominio de la función cociente es: 𝐷 (𝑓

𝑔) ⊂ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔

Ejemplo 2. Sean 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 7 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1. 𝐷𝑓 = 𝑅 𝑦 𝐷𝑔 = 𝑅, entonces:

(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑥2 + 𝑥 − 7

𝑥2 − 1

El dominio 𝐷 (𝑓

𝑔) = {𝑥𝜖𝑅/𝑥 ≠ ±1} ∁ 𝑅 (Ver figura 3)

Figura 3. (𝑓

𝑔) (𝑥)

EJERCICIOS.

1. Dada las siguientes funciones, encuentra: intercepto de la gráfica de f con los ejes coordenados, el dominio, rango de f y Dibuje la gráfica de f. a. 𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 1| b. 𝑓(𝑥) = |(𝑥 − 2)2 − 4|.

2. Sean las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 7𝑥 − 2 , 𝑔(𝑥) = 4𝑥2 − 𝑥 + 1, ℎ(𝑥) = 𝑥3 +

𝑥2 − 2, definida en los R, determina: a. 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) b. 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) c. 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) d. 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) e. 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥) f. ℎ(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)

y = x^2+x-7

y = x^2 - 1

y = x^2 + x - 7/ x^2 - 1

3. Sean las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 3 , 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 3 , ℎ(𝑥) =𝑥2 − 1 , 𝑗(𝑥) = 𝑥 + 4 definida en los R, determina:

a. (𝑓

𝑔) (𝑥); (

𝑗

ℎ) (𝑥),

b. 𝐷 (𝑓

𝑔) ; 𝐷 (

𝑗

ℎ)

FUNCIONES POR PARTES O A TROZOS

Algunas funciones por su estructura difiere su criterio para ciertos valores de la

variable independiente (variable x), esto hace que en muchos casos se necesite

hacer un estudio particular de las mismas. Por estas variaciones en su criterio se

definen como funciones por partes o a trozos.

La función valor absoluto es un caso especial de una función por partes

Ejemplos

𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1 , 𝑠𝑖 𝑥 < −32𝑥 + 4 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ −3

Para esta función si la variable independiente toma valores inferiores a -3 el criterio

es 𝑥 + 1 , pero si son valores mayores o iguales que -3 el criterio es2𝑥 + 4.

Siguiendo estos criterios obtenemos la siguiente grafica:

Note que 𝑓(−4) = −4 + 1 = −3 𝑦 𝑓(−2) = 2(−2) + 4 = 0

𝑓(𝑥) = {𝑥 − 1 , 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 0

x

y

De igual manera que el ejemplo anterior, para valores menores o iguales acero el

criterio es 𝑥 − 1 y para valores estrictamente mayores que cero el criterio es 𝑥2

Siguiendo estos criterios obtenemos la siguiente gráfica:

Otro elemento importante a tratar aquí es que las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

Ejemplo 1: Representemos la función resultante 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3|.

Paso 1.𝑆𝑖 𝑥 − 3 = 0 → 𝑥 = 3

Paso 2.

Paso 3. 𝑦 = 𝑓(𝑥) = {𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3

−(𝑥 − 3) 𝑠𝑖 𝑥 < 3

Gráfica.

x

y

D = R

Ejemplo 2: Representemos la función resultante 𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 2𝑥 − 3|.

Paso 1. 𝑆𝑖 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 → 𝑥 = 3 ó 𝑥 = −1 Paso 2.

Paso 3. 𝑦 = 𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 2𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1

−(𝑥2 − 2𝑥 − 3) 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 3

𝑥2 − 2𝑥 − 3 𝑠𝑖 𝑥 > 3

Gráfica.

D = R

Ejercicio

El costo de enviar por correo una carta de primera clase con peso 𝑤 en una determinada empresa es 𝐶(𝑤). La regla que utiliza esta empresa es la siguiente: el costo es de 1.5 centavos de dólar hasta por un onza, mas un dólar por cada onza sucesiva hasta 11 onzas (peso máximo admitido por correo). Explícitamente tenemos la función por partes:

𝐶(𝑤) =

{

1.5 0 < 𝑤 ≤ 12.5 1 < 𝑤 ≤ 23.5 2 < 𝑤 ≤ 3

.

.11.5 1 < 𝑤 ≤ 11

Siguiendo estos criterios la gráfica seria la siguiente:

Esta clase especial de las funciones por partes se le denomina función escalón o

escalonada.

Ejemplo: Sea la función f definida por

𝑓(𝑥) = {x − 1, si x < 35 , si x = 32x + 1, si x > 3

Determine el dominio y el rango y dibuje su gráfica.

Solución.

El dominio de f es (−∞,+ ∞). La figura muestra la gráfica de la función; consta de

una porción de la recta y = x +1 para la cual x < 3. El punto (3,5) y la parte de la recta y= 2x+1 para la cual x > 3. Los valores de la función son números menores que 2, el numero 5 o números mayores que 7. Por tanto el rango de la función es el

número 5 y aquellos números en (−∞, 2) ∪ (7,+∞).

x

y

Observación.

1. En algunos ejemplos las funciones están expresadas con el dominio restringido, Sea la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 5x + 2 ; 1 ≤ x ≤ 10. Entonces el dominio de f consta de todos los números reales entre 1 y 10 incluidos estos.

FUNCIÓN COMPUESTA

Sean 𝑓 𝑦 𝑔 dos funciones. La función dada por (𝑓 ° 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) se llama

compuesta de 𝑓 𝑐𝑜𝑛 𝑔.El dominio de 𝑓 ° 𝑔 es el conjunto de todas las 𝑥 del

dominio de 𝑔 tales que 𝑔(𝑥) este en el dominio de 𝑓.

Ejemplo. Dadas las funciones 𝑓 𝑦 𝑔 , encontrar 𝑓 ° 𝑔 y 𝑔 ° 𝑓

a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥2

b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 𝑦 𝑔(𝑥) = 2

𝑥

Solución

a) (𝑓 ° 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥2) = 2𝑥2 − 3

(𝑔 ° 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(2𝑥 − 3) = (2𝑥 − 3)2 = 4𝑥2 − 12𝑥 + 9

b) (𝑓 ° 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 (2

𝑥) = √

2

𝑥+ 1 = √

2+ 𝑥

𝑥

(𝑔 ° 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(√𝑥 + 1) = 2

√𝑥+1

Observe en este último (inciso 1) que no todas las 𝑥 del dominio de 𝑔 (por ejemplo

𝑥 = −2 ) son tales que 𝑔(𝑥) este en el dominio de 𝑓.

Ejercicios.

En los ejercicios del 1 al 3 evaluar la función como se indica. Determine su

dominio y grafique.

1.𝑓(𝑥) = {2𝑥 + 1, 𝑥 < 02𝑥 + 2, 𝑥 ≥ 0

𝑎)𝑓(−1) 𝑏)𝑓(0) 𝑐)𝑓(2) 𝑑)𝑓(𝑡2 + 1)

2. 𝑓(𝑥) = {𝑥2 + 2, 𝑥 ≤ 1

2𝑥2 + 2, 𝑥 > 1

𝑎)𝑓(−2) 𝑏)𝑓(0) 𝑐)𝑓(1) 𝑑)𝑓(𝑠2 + 2)

3. 𝑓(𝑥) = {|𝑥| + 1, 𝑥 < 1−𝑥 + 1, 𝑥 ≥ 1

𝑎)𝑓(−3) 𝑏)𝑓(1) 𝑐)𝑓(3) 𝑑)𝑓(𝑏2 + 1)

En los ejercicios del 4 al 5 encontrar 𝑓 ° 𝑔 y 𝑔 ° 𝑓

4. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 5 𝑦 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 4

5. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 𝑦 𝑔(𝑥) = 1

√𝑥+2

INTERSECCIÓN ENTRE DOS FUNCIONES Dadas dos funciones f y g, la intersección entre ellas es el punto o puntos (x,y) tales que f(x) = g(x).

Ejemplos:

1. Hallar la intersección entre las funciones 12)(34)( xxgxxf

Solución: Igualamos las dos funciones así: 1234 xx luego resolvemos

la ecuación 1221324 xxxx ahora remplazamos este valor en cualquiera de las dos funciones para hallar la pareja ordenada

1343)1(4)1( f , por tanto el punto de intersección es (1 , 1).

2. Hallar la intersección entre las funciones 124)(32)( 2 xxgxxxf

Solución: Igualamos las dos funciones así: 124322 xxx luego

0350152031242 22 xxxxxxx de donde

35 xx cuyas parejas respectivamente son:

012)3(4)3(3212)5(4)5( gg por tanto los puntos de

intersección son: (5 , 32) 𝑦 ( −3 , 0)

APLICACIONES

FUNCIÓN COSTO TOTAL.

Sea 𝑦 = 𝐶(𝑥) la función de costo total, la cual está dada por la suma de los costos variables con los costos fijos, es decir 𝐶(𝑥) = 𝐶𝑣 + 𝐶𝑓, donde 𝐶𝑣 representa los

costos variables y 𝐶𝑓 representa los costos fijos.

FUNCIÓN INGRESO TOTAL

Sea 𝑦 = 𝑅(𝑥) la función de ingreso total, la cual está dada por el producto entre el precio y el número de unidades que se vendan de un producto, es decir 𝑅(𝑥) =𝑝𝑥 𝑜 𝑅(𝑥) = 𝑝𝑞, donde 𝑝 representa el precio y 𝑥 𝑜 𝑞 representan el número de unidades.

FUNCIÓN UTILIDAD

Sea 𝑦 = 𝑈(𝑥) la función de utilidad, la cual está dada por la diferencia entre los ingresos y los costos, es decir 𝑈(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥).

A continuación te presentamos algunos ejercicios resueltos para que te puedas guiar y resolver de manera acertada los ejercicios propuestos sobre esta temática en particular.

Ejercicio No.1 Peripheral Visions Inc., produce cintas de audio con calidad de

estudio de concierto en vivo. La compañía publica un anuncio en un boletín

comercial. El costo del anuncio es de $100. Producir cada cinta cuesta $20, y la

compañía cobra $24 por cada una.

a) Exprese el costoC como función de x , el número de cintas producidas.

El costo fijo es de $100, y por cada cinta que se produce el costo variable es

de $20. Por tanto, el costo se expresa como función de x , el número de cintas

que se produce es: ( ) 20 100C x x (C en dólares).

b) Exprese el ingreso R como función de x , el número de cintas vendidas.

Puesto que cada cinta se vende en $24, el ingreso está dado por ( ) 24R x x

c) ¿Para qué valor de x el ingreso es igual al costo?

La compañía estará en equilibrio (sin utilidad ni pérdida) mientras el ingreso

iguale al costo, es decir ( ) ( )R x C x . Por tanto

( ) ( )

24 20 100

4 100

25

R x C x

x x

x

x

Lo que significa que si se producen y venden 25 cintas, la compañía estará

en equilibrio.

d) Trace la gráfica del costo y del ingreso en el mismo sistema de coordenadas

e interprete la gráfica.

Para trazar la gráfica de cada uno se procede asi:

En el caso de ( ) 20 100C x x , ubique la intercepción con y , (0,100); se

remplaza 25 (que es el valor de equilibrio) en la función y vemos que ésta

pasa por el punto (25,600), se traza una recta uniendo los puntos. Para el

caso de ( ) 24R x x , se ubica la intercepción con y en (0,0), se traza la recta

pasando por el punto (25,600) pues este es el punto de equilibrio.

En la figura se observa que si se producen y se venden 25 cintas, tanto el costo

como el ingreso son de $600. Si se producen y se venden menos de 25 cintas, la

compañía pierde dinero. En el caso de más de 25 cintas, se presenta una utilidad.

Ejercicio No 2. Una compañía ha determinado que el costo de producir 𝑥 unidades de su producto por semana está dado por:

𝐶(𝑥) = 5000 + 6𝑥 + 0.002𝑥2

Evalúe el costo de producir:

1. 1000 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎

2. 2500 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎 3. 𝑁𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑

Solución:

1. El costo de producir 1000 unidades por semana està dado por:

𝐶(1000) = 5000 + 6(1000) + 0.002(1000)2

𝐶(1000) = 5000 + 6000 + 0.002(1000000)

𝐶(1000) = 5000 + 6000 + 2000

𝐶(1000) = 13000

Luego el costo de producir 1000 unidades por semana es de 13000

2. El costo de producir 2500 unidades por semana està dado por:

𝐶(2500) = 5000 + 6(2500) + 0.002(2500)2

𝐶(1000) = 5000 + 15000 + 0.002(6250000)

𝐶(1000) = 5000 + 15000 + 12500

𝐶(1000) = 32500

Luego el costo de producir 2500 unidades por semana es de 32500

3. El costo de producir ninguna unidad por semana está dado por:

𝐶(0) = 5000 + 6(0) + 0.002(0)2

𝐶(1000) = 5000 + 0 + 0

𝐶(1000) = 5000

Luego el costo de producir ninguna unidad por semana es de 5000

Ejercicio No 2. La demanda mensual 𝑥, de cierto artículo al precio 𝑝 dólares por unidad está dada por la relación

𝑥 = 1350 − 45𝑝

El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es

de $5 por unidad y los costos fijos son de $2000 al mes. ¿Qué precio por unidad 𝑝 deberá fijarse al consumidor con objeto de obtener una utilidad máxima mensual?

Solución:

El costo total 𝐶 (en dólares) de producir 𝑥 unidades al mes es

𝐶 = 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 + 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 𝐹𝑖𝑗𝑜𝑠 = 5𝑥 + 2000 (1)

La demanda 𝑥 está dada por

𝑥 = 1350 − 45𝑝 (2)

Sustituyendo (2) en (1), se tiene que:

𝐶 = 5(1350 − 45𝑝) + 2000 = 8750 − 225𝑝 (3)

El ingreso 𝑅 (en dólares) obtenido por vender 𝑥 unidades a 𝑝 dólares por unidad es

𝑅 = 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 × 𝑁ù𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠

𝑅 = 𝑝𝑥 = 𝑝(1350 − 45𝑝) = 1350𝑝 − 45𝑝2 (4)

La utilidad 𝑈 (en dólares) està dada entonces por la diferencia entre el ingreso y el costo

𝑈 = 𝑅 − 𝐶 (5)

Sustituyendo (3) 𝑦 (4) en (5), se tiene que:

𝑈 = 1350𝑝 − 45𝑝2 − (8750 − 225𝑝)

𝑈 = 1350𝑝 − 45𝑝2 − 8750 + 225𝑝

𝑈 = −45𝑝2 + 1575𝑝 − 8750

La utilidad 𝑈 es una función cuadrática de 𝑝, es decir, tiene la forma

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

Puesto que 𝑎 = −45 < 0, la gráfica es una parábola que abre hacia abajo y la utilidad máxima se alcanza en el vértice. En este caso tenemos que:

𝑎 = −45, 𝑏 = 1575 𝑦 𝑐 = −8750

El vértice de la parábola está dado por

𝑝 = −𝑏

2𝑎= −

1575

2(−45)=1575

90= 17.5

En consecuencia un precio de 𝑝 = $17.5 por unidad debe fijarse al consumidor con el propósito de obtener una utilidad máxima. La utilidad máxima se puede calcular por la siguiente expresión:

𝑈 =4𝑎𝑐 − 𝑏2

4𝑎=4(−45)(−8750) − 15752

4(−45)=1575000 − 2480625

−180

𝑈 =−905625

−180= 5031.25

Por consiguiente la utilidad máxima será de $5031.25 al mes.

EJERCICIOS.

1. Una empresa que fabrica correas para perros, estima que el costo C (en

dólares) de producir x cintas, está dada por la función 𝐶(𝑥) = 20𝑥 + 100 a) Calcule el costo de producir 50 unidades b) Si el costo fue de U$ 2700 ¿Cuántas correas se fabricaron?

2. Un fabricante determina que el ingreso R por la fabricación y venta de x

artículos está dado por

𝑅(𝑥) = 350𝑥 − 0,25𝑥2 a) Calcule el ingreso si se producen y venden 100 artículos. b) Si el ingreso obtenido es U$12000 determine el número de artículos

vendidos.

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