Universidad de Sevilla - Lecci on 22: Extremos …...Extremos absolutos Candidatos:Los extremos...
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Leccion 22: Extremos relativos y absolutos para
funciones de una variable
Introduccion al Calculo Infinitesimal
I.T.I. Gestion
Esquema:
- Crecimiento
- Puntos crıticos y extremos relativos
- Extremos absolutos
Crecimiento
f : R→ R funcion, a ∈ RI ⊂ R entorno centrado en a
• f creciente en a si para x1, x2 ∈ I , x1 < x2,
se tiene que f (x1) ≤ f (x2)
• f decreciente en a si para x1, x2 ∈ I , x1 < x2,
se tiene que f (x1) ≥ f (x2)
-2 -1 1 2
1
2
3
4
5
6
7
-2 -1 1 2
-0.25
0.25
0.5
0.75
1
1.25
Crecimiento
f : R→ R funcion, a ∈ R, f derivable en a
• Si f ′(a) > 0, entonces f es creciente en a
• Si f ′(a) < 0, entonces f es decreciente en a
Crecimiento
f : R→ R funcion, a ∈ R, f derivable en a
• Si f ′(a) > 0, entonces f es creciente en a
• Si f ′(a) < 0, entonces f es decreciente en a
-4 -2 2 4
-3
-2
-1
1
2
3
Extremos relativos
f : R→ R funcion, a ∈ R
• f tiene un mınimo relativo en a si f (a) ≤ f (x),
para todo x ∈ (a− ε, a + ε)
Extremos relativos
f : R→ R funcion, a ∈ R
• f tiene un mınimo relativo en a si f (a) ≤ f (x),
para todo x ∈ (a− ε, a + ε)
• f tiene un maximo relativo en a si f (a) ≥ f (x),
para todo x ∈ (a− ε, a + ε)
Extremos relativos
f : R→ R funcion, a ∈ R
• f tiene un mınimo relativo en a si f (a) ≤ f (x),
para todo x ∈ (a− ε, a + ε)
• f tiene un maximo relativo en a si f (a) ≥ f (x),
para todo x ∈ (a− ε, a + ε)
-4 -2 2 4
-3
-2
-1
1
2
3
Extremos relativos
f : R→ R funcion, a ∈ R
• f tiene un mınimo relativo en a si f (a) ≤ f (x),
para todo x ∈ (a− ε, a + ε)
• f tiene un maximo relativo en a si f (a) ≥ f (x),
para todo x ∈ (a− ε, a + ε)
-10 -5 5 10
-6
-4
-2
2
4
6
Extremos relativos
f : R→ R funcion, a ∈ R
• f tiene un mınimo relativo en a si f (a) ≤ f (x),
para todo x ∈ (a− ε, a + ε)
• f tiene un maximo relativo en a si f (a) ≥ f (x),
para todo x ∈ (a− ε, a + ε)
-10 -5 5 10
-6
-4
-2
2
4
6
Extremos relativos
f : R→ R funcion, a ∈ R
• f tiene un mınimo relativo en a si f (a) ≤ f (x),
para todo x ∈ (a− ε, a + ε)
• f tiene un maximo relativo en a si f (a) ≥ f (x),
para todo x ∈ (a− ε, a + ε)
-6 -4 -2 2 4 6
10
20
30
40
50
Calculo de extremos relativos:
f : R→ R funcion
Calculo de extremos relativos:
f : R→ R funcion
1. Hallar los puntos crıticos
(puntos donde f no es derivable, o puntos donde f ′(x) = 0)
-10 -5 5 10
-6
-4
-2
2
4
6
-4 -3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
6
Recta tangente horizontal
Calculo de extremos relativos:
f : R→ R funcion
1. Hallar los puntos crıticos
(puntos donde f no es derivable, o puntos donde f ′(x) = 0)
2. Sea a un punto crıtico de f
Calculo de extremos relativos:
f : R→ R funcion
1. Hallar los puntos crıticos
(puntos donde f no es derivable, o puntos donde f ′(x) = 0)
2. Sea a un punto crıtico de f
- Si f no es derivable en a ⇒ Estudio del crecimiento
(a izquierda y derecha de a, y valores tomados por f)
-10 -5 5 10
-6
-4
-2
2
4
6
-1 1 2 3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Calculo de extremos relativos:
f : R→ R funcion
1. Hallar los puntos crıticos
(puntos donde f no es derivable, o puntos donde f ′(x) = 0)
2. Sea a un punto crıtico de f
- Si f es derivable en a ⇒f ′′(a) > 0 ⇒ a mınimo relativo
f ′′(a) < 0 ⇒ a maximo relativo
f ′′(a) = 0 ⇒ Sin informacion
Caso f ′(a) = 0, f ′′(a) = 0:
Buscar la primera derivada no nula de f en a:
fn)(a) 6= 0
Caso f ′(a) = 0, f ′′(a) = 0:
Buscar la primera derivada no nula de f en a:
fn)(a) 6= 0
- Si dicha derivada es par ⇒ Criterio anterior
Caso f ′(a) = 0, f ′′(a) = 0:
Buscar la primera derivada no nula de f en a:
fn)(a) 6= 0
- Si dicha derivada es par ⇒ Criterio anterior
- Si dicha derivada es impar ⇒ a es un punto de inflexion
-6 -4 -2 2 4 6
4
6
8
10
12
Punto de inflexion de la funcion
Ejemplos: (archivo extremos.mws)
1. f (x) = x2 + 1
2. f (x) = x3
3. f (x) = ex
4. f (x) = 12x3 + 54x2 − 144x− 2
5. f (x) = Ln(x4 + x2 + 1)
6. f (x) = e−3x2−2x+2
7. f (x) = xe4x
Extremos absolutos
f : R→ R funcion, a ∈ R
• f tiene un mınimo absoluto en a si f (a) ≤ f (x),
para todo x ∈ R
Extremos absolutos
f : R→ R funcion, a ∈ R
• f tiene un mınimo absoluto en a si f (a) ≤ f (x),
para todo x ∈ R
• f tiene un maximo absoluto en a si f (a) ≥ f (x),
para todo x ∈ R
Extremos absolutos
f : R→ R funcion, a ∈ R
• f tiene un mınimo absoluto en a si f (a) ≤ f (x),
para todo x ∈ R
• f tiene un maximo absoluto en a si f (a) ≥ f (x),
para todo x ∈ R
-4 -2 2 4
-3
-2
-1
1
2
3
Extremos absolutos
f : R→ R funcion, a ∈ R
• f tiene un mınimo absoluto en a si f (a) ≤ f (x),
para todo x ∈ R
• f tiene un maximo absoluto en a si f (a) ≥ f (x),
para todo x ∈ R
-4 -2 2 4
5
10
15
20
25
Parabola: solo un mınimo absoluto
-4 -2 2 4 6 8
200
400
600
800
1000
Exponencial: sin extremos absolutos
Extremos absolutos
• Candidatos: Los extremos relativos
Extremos absolutos
• Candidatos: Los extremos relativos
• Calculo: Evaluamos la funcion en los extremos relativos,
y hallamos los lımites:
- en +∞, en −∞ (o en los puntos del borde del dominio de f)
- en los puntos donde f no este definida
Los valores maximo y mınimo obtenidos→ los extremos absolutos
Ejercicios:
- Hallar los extremos relativos y absolutos de
f (x) = x3 + a x2 + 1, en funcion del parametro a ∈ R.
- Sea f : [−4, 4]→ R, f (x) = x ea x, con a ∈ R.
Calcular sus extremos relativos y absolutos.