Universidad de Sevilla - Lecci on 22: Extremos …...Extremos absolutos Candidatos:Los extremos...

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Lecci´ on 22: Extremos relativos y absolutos para funciones de una variable Introducci´on al C´ alculo Infinitesimal I.T.I. Gesti´ on

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Leccion 22: Extremos relativos y absolutos para

funciones de una variable

Introduccion al Calculo Infinitesimal

I.T.I. Gestion

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Esquema:

- Crecimiento

- Puntos crıticos y extremos relativos

- Extremos absolutos

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Crecimiento

f : R→ R funcion, a ∈ RI ⊂ R entorno centrado en a

• f creciente en a si para x1, x2 ∈ I , x1 < x2,

se tiene que f (x1) ≤ f (x2)

• f decreciente en a si para x1, x2 ∈ I , x1 < x2,

se tiene que f (x1) ≥ f (x2)

-2 -1 1 2

1

2

3

4

5

6

7

-2 -1 1 2

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

1.25

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Crecimiento

f : R→ R funcion, a ∈ R, f derivable en a

• Si f ′(a) > 0, entonces f es creciente en a

• Si f ′(a) < 0, entonces f es decreciente en a

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Crecimiento

f : R→ R funcion, a ∈ R, f derivable en a

• Si f ′(a) > 0, entonces f es creciente en a

• Si f ′(a) < 0, entonces f es decreciente en a

-4 -2 2 4

-3

-2

-1

1

2

3

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Extremos relativos

f : R→ R funcion, a ∈ R

• f tiene un mınimo relativo en a si f (a) ≤ f (x),

para todo x ∈ (a− ε, a + ε)

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Extremos relativos

f : R→ R funcion, a ∈ R

• f tiene un mınimo relativo en a si f (a) ≤ f (x),

para todo x ∈ (a− ε, a + ε)

• f tiene un maximo relativo en a si f (a) ≥ f (x),

para todo x ∈ (a− ε, a + ε)

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Extremos relativos

f : R→ R funcion, a ∈ R

• f tiene un mınimo relativo en a si f (a) ≤ f (x),

para todo x ∈ (a− ε, a + ε)

• f tiene un maximo relativo en a si f (a) ≥ f (x),

para todo x ∈ (a− ε, a + ε)

-4 -2 2 4

-3

-2

-1

1

2

3

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Extremos relativos

f : R→ R funcion, a ∈ R

• f tiene un mınimo relativo en a si f (a) ≤ f (x),

para todo x ∈ (a− ε, a + ε)

• f tiene un maximo relativo en a si f (a) ≥ f (x),

para todo x ∈ (a− ε, a + ε)

-10 -5 5 10

-6

-4

-2

2

4

6

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Extremos relativos

f : R→ R funcion, a ∈ R

• f tiene un mınimo relativo en a si f (a) ≤ f (x),

para todo x ∈ (a− ε, a + ε)

• f tiene un maximo relativo en a si f (a) ≥ f (x),

para todo x ∈ (a− ε, a + ε)

-10 -5 5 10

-6

-4

-2

2

4

6

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Extremos relativos

f : R→ R funcion, a ∈ R

• f tiene un mınimo relativo en a si f (a) ≤ f (x),

para todo x ∈ (a− ε, a + ε)

• f tiene un maximo relativo en a si f (a) ≥ f (x),

para todo x ∈ (a− ε, a + ε)

-6 -4 -2 2 4 6

10

20

30

40

50

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Calculo de extremos relativos:

f : R→ R funcion

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Calculo de extremos relativos:

f : R→ R funcion

1. Hallar los puntos crıticos

(puntos donde f no es derivable, o puntos donde f ′(x) = 0)

-10 -5 5 10

-6

-4

-2

2

4

6

-4 -3 -2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

6

Recta tangente horizontal

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Calculo de extremos relativos:

f : R→ R funcion

1. Hallar los puntos crıticos

(puntos donde f no es derivable, o puntos donde f ′(x) = 0)

2. Sea a un punto crıtico de f

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Calculo de extremos relativos:

f : R→ R funcion

1. Hallar los puntos crıticos

(puntos donde f no es derivable, o puntos donde f ′(x) = 0)

2. Sea a un punto crıtico de f

- Si f no es derivable en a ⇒ Estudio del crecimiento

(a izquierda y derecha de a, y valores tomados por f)

-10 -5 5 10

-6

-4

-2

2

4

6

-1 1 2 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

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Calculo de extremos relativos:

f : R→ R funcion

1. Hallar los puntos crıticos

(puntos donde f no es derivable, o puntos donde f ′(x) = 0)

2. Sea a un punto crıtico de f

- Si f es derivable en a ⇒f ′′(a) > 0 ⇒ a mınimo relativo

f ′′(a) < 0 ⇒ a maximo relativo

f ′′(a) = 0 ⇒ Sin informacion

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Caso f ′(a) = 0, f ′′(a) = 0:

Buscar la primera derivada no nula de f en a:

fn)(a) 6= 0

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Caso f ′(a) = 0, f ′′(a) = 0:

Buscar la primera derivada no nula de f en a:

fn)(a) 6= 0

- Si dicha derivada es par ⇒ Criterio anterior

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Caso f ′(a) = 0, f ′′(a) = 0:

Buscar la primera derivada no nula de f en a:

fn)(a) 6= 0

- Si dicha derivada es par ⇒ Criterio anterior

- Si dicha derivada es impar ⇒ a es un punto de inflexion

-6 -4 -2 2 4 6

4

6

8

10

12

Punto de inflexion de la funcion

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Ejemplos: (archivo extremos.mws)

1. f (x) = x2 + 1

2. f (x) = x3

3. f (x) = ex

4. f (x) = 12x3 + 54x2 − 144x− 2

5. f (x) = Ln(x4 + x2 + 1)

6. f (x) = e−3x2−2x+2

7. f (x) = xe4x

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Extremos absolutos

f : R→ R funcion, a ∈ R

• f tiene un mınimo absoluto en a si f (a) ≤ f (x),

para todo x ∈ R

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Extremos absolutos

f : R→ R funcion, a ∈ R

• f tiene un mınimo absoluto en a si f (a) ≤ f (x),

para todo x ∈ R

• f tiene un maximo absoluto en a si f (a) ≥ f (x),

para todo x ∈ R

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Extremos absolutos

f : R→ R funcion, a ∈ R

• f tiene un mınimo absoluto en a si f (a) ≤ f (x),

para todo x ∈ R

• f tiene un maximo absoluto en a si f (a) ≥ f (x),

para todo x ∈ R

-4 -2 2 4

-3

-2

-1

1

2

3

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Extremos absolutos

f : R→ R funcion, a ∈ R

• f tiene un mınimo absoluto en a si f (a) ≤ f (x),

para todo x ∈ R

• f tiene un maximo absoluto en a si f (a) ≥ f (x),

para todo x ∈ R

-4 -2 2 4

5

10

15

20

25

Parabola: solo un mınimo absoluto

-4 -2 2 4 6 8

200

400

600

800

1000

Exponencial: sin extremos absolutos

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Extremos absolutos

• Candidatos: Los extremos relativos

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Extremos absolutos

• Candidatos: Los extremos relativos

• Calculo: Evaluamos la funcion en los extremos relativos,

y hallamos los lımites:

- en +∞, en −∞ (o en los puntos del borde del dominio de f)

- en los puntos donde f no este definida

Los valores maximo y mınimo obtenidos→ los extremos absolutos

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Ejercicios:

- Hallar los extremos relativos y absolutos de

f (x) = x3 + a x2 + 1, en funcion del parametro a ∈ R.

- Sea f : [−4, 4]→ R, f (x) = x ea x, con a ∈ R.

Calcular sus extremos relativos y absolutos.