Universidad de Puerto RicoRecinto de Río Piedras

Departamento de Química

Laboratorio Química General (QUÍM3001)Liz Díaz, PhD, Coordinadora 2007-2008

Introducción

Las matemáticas se utilizan extensamente en química, así

como en el resto de las ciencias. Los cálculos matemáticos son

sumamente necesarios para entender conceptos importantes en

este campo. Sin algunas habilidades básicas de las matemáticas,

estos cálculos, y por lo tanto la química en sí misma, serán

extremadamente difíciles. Sin embargo, con un conocimiento

básico de algo de las matemáticas que serán utilizadas en el

curso de química general, estarás bien preparado ocuparse de

los conceptos y de las teorías de la química. Este módulo

pretende proveer un repaso de los conceptos y destrezas

matemáticas más utilizadas en el curso de química general.

A. OPERACIONES Y FUNCIONES MATEMÁTICAS :A continuación se presentan la operaciones y funciones matemáticas que se estarán usando en el curso de Química General

Tabla #1 : Operaciones Matemáticas y sus propiedades

Operación Propiedades Notación1. La suma o adición :

es una operación aritmética definida sobre conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos) y también sobre estructuras asociadas a ellos.

a) Propiedad conmutativa : si se altera el orden de los sumandos no cambia el resultado:

A + B = B + A

b) Propiedad asociativa :

A + (B + C) = (A+B) + C

c) Elemento neutro : 0. Para cualquier número A,

A + 0 = 0 + A = A

d) Elemento opuesto . Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. Este número −a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los números naturales.

Estas propiedades pueden no cumplirse en casos de sumas infinitas.

Si todos los términos se escriben individualmente, se utiliza el símbolo "+" (leído más). Ej La suma de 1, 2 ,6 se escribe

1 + 2 + 6 = 9

También se puede emplear el símbolo "+" cuando se indican los números omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los números omitidos. Por ejemplo:

1 + 2 + 3 + ... + 48 + 49 + 50 es la suma de los cincuenta primeros números naturales.

En sumas largas o infinitas se emplea un nuevo símbolo, llamado sumatorio y se representa con la letra griega Sigma mayúscula (Σ). Por ejemplo:

es la suma de los cien primeros números naturales.

2. La resta o sustracción-

La diferencia entre un número natural a y otro número natural b es igual a un número r, que sumado a b da como resultado el número a.

La resta de números naturales cumple con las siguientes leyes y propiedades: elemento neutro, ley uniforme y cancelativa, Leyes de monotonía

En cambio, no cumple las siguientes leyes: Ley de cierre, Ley conmutativa y asociativa

Signo de Menos (-) : Este signo es un poco más corto que la raya y más largo que el guión. Tiene el mismo ancho que otros signos matemáticos (%, +, ÷, =)

3. Multiplicación

La multiplicación de dos números enteros n y m se define como:

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión "sumar m a sí mismo n veces". Puede facilitar la comprensión el expandir la expresión anterior:

m×n = m + m +...+ m

tal que hay n sumandos. Los términos de la multiplicación se llaman multiplicando (el numero que se suma) y multiplicador (el número de veces que se suma).

a). propiedad conmutativa el orden en que se multiplican dos números es irrelevante, se cumple en general para dos números cualesquiera a y b:

a·b = b·a

b). propiedad asociativa, para tres números cualesquiera a, b, c, se cumple: (a·b)c = a (b·c)

c). propiedad distributiva con la suma, porque:

a (b + c) = ab + ac

Asimismo:(x + t)(y + z) = x(y + z) + t(y +z) = xy + xz + ty + tz

d). elemento identidad cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo: 1·a = a

e). La suma de cero veces a es cero, así que: a·0 = 0

f). Para cualquier entero positivo a: (-1) a = -a

se usa el aspa × , el punto centrado o el asterisco *, cuando se escriben los números individuales o se escribe una serie y se indican los números omitidos mediante puntos suspensivos y es sencillo reconocer los números omitidos. El producto de todos los números naturales desde el 1 hasta el 50 se puede escribir:

1 · 2 · 3· … 49 · 50

En multiplicaciones largas o infinitas se usa el símbolo productorio. Esto se define así:

Donde i indica una variable que recorre los números enteros desde un valor mínimo (m, indicado en el subíndice) y un valor máximo (n, indicado en el superíndice). de esa manera

4 . División -

operación que consiste en averiguar cuántas veces el divisor está contenido en el dividendo. (Divisor: el número por el cual se divide Dividendo: el número a ser dividido. Residuo: la parte restante después de la división y que es menor que el divisor).

a). Ha de ser completa, la suma de las partes sea igual al todo.

b). Las partes deben ser irreductibles entre sí. Cada parte ha de excluir a las demás.

c). El fundamento o criterio de la división no debe cambiarse en el proceso de la misma.

d). La división no es conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.

Se usa la los siguientes símbolos / ÷

5. Exponenciación/ Potenciación-

es una multiplicación de varios factores iguales. Si a es un número real y n es un natural, se define:

a n (“a elevado a la n”)

a). Potencia de potencias. (am)n = am.n

b). División de potencias de igual base. am/an = am-n

c). Propiedad distributiva- La exponenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

En general:

d). Potencia de exponente 0

a0 = 1 si se cumple que

a0 = 1 (se deriva de la propiedad anterior am/am = 1 = am-m = a0)e). Multiplicación de potencias de igual base- En la multiplicación de dos o más términos de igual base a, es igual a la potencia de base a con exponente igual a la suma de los mismos exponentes.

am.an = am+n

f) Propiedad conmutativa - no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y exponente son el mismo número / la misma cifra o equivalentes. En

general:

En particular: ab = ba , si y sólo si a = b.

g). a-n = 1/an

h) Potencia de exponente fraccionario - Es una potencia que tiene su exponente en forma de fracción, y en la que se cumple que

En la nomenclatura de la exponenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, este último se escribe en forma de superíndice.

baseexponente

El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por si misma, por ejemplo:

24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

6. Logaritmos:

A las operaciones, ya conocidas, de Adición, Sustracción, Multiplicación, División, y Exponenciación, añadimos una nueva que llamamos Logaritmación. Los logaritmos fueron introducidos en las matemáticas con el propósito de facilitar, simplificar o incluso, hacer posible complicados cálculos numéricos. Utilizando logaritmos podemos convertir: productos en sumas, cocientes en restas, potencias en productos y raíces en cocientes. Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

Que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " . La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.

Características útiles:

Si a > 1 Los números menores que 1 tienen logaritmo negativoLos números mayores que 1 tienen logaritmo positivo

Si 0 < a < 1 Los números menores que 1 tienen logaritmo positivoLos números mayores que 1 tienen logaritmo negativo

Propiedades de los logaritmos:

a). Dos números distintos tienen logaritmos distintos. Si

b). El logaritmo de la base es 1: , pues

c). El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base

, pues

d). El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

e). El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador

log loga aP Q P Q≠ ⇒ ≠

log 1a a = 1a a=

log 1 0a = 0 1a =

( )log . log loga a aP Q P Q= +

log log loga a aP P QQ

= −

f). El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia

g). El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice

h). Cambio de base: El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base

7. Antilogaritmo

Es el número que corresponde a un logaritmo dado. Consiste en el problema inverso al cálculo del logaritmo de un número.

es decir, consiste en elevar la base al número resultado.

Tabla #2: Tipos de logaritmos antilogaritmo más utilizados:

Logaritmo Antilogaritmo1. Logaritmo (base 10) –logaritmos decimales que tienen por base el

número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.1. Antilogaritmo (base 10)

anti-log x = 10x

2. Logaritmo natural (base e) al logaritmo obtenido tomando como base el valor del número trascendental "e" (aproximadamente igual a 2.718 281 828...). La función logaritmo natural es la inversa de la

función exponencial: .

loge x = ln x = Lx

2. Anti-logaritmo natural:

(anti ln x = ex)

( )log .logna aP n P=

log 1log .logn aa a

PP Pn n

= =

logloglog

ba

b

PPa

=

B. ORDEN DE OPERACIONESEn química, como en las otras ciencias, encontraremos muchos problemas en los cuales la solución implica una serie de cálculos. Al hacer más de una operación matemática necesitamos seguir un sistema de las reglas que establecen un orden de prioridad respecto al orden en que se deben realizar los cálculos. El orden que se debe usar es el siguiente:

1). Realizarla operaciones que se encuentran entre los símbolos de agrupación: llaves { }, corchetes [ ], o paréntesis ( ), de adentro hacia fuera. Si hay símbolos que agrupan operaciones dentro de otros, primero se realiza la operación que se encuentra más adentro.

2). Resolver las operaciones que envuelven exponenciación, radicación o logaritmos.

3). Llevar a cabo las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha

4). Realizar las sumas y las restas de izquierda a derecha

Ejemplos:

1) 3 x (6 – 3) + 8

Solución: 3 x (6 – 3) + 8 Se resuelve el paréntesis 3 · 3 + 8 Se restó 6 – 3 = 3

9 + 8 Se multiplicó 3 · 3 = 17 Se sumó 9 + 8

2) 6 [ 2 · (-1)] + 16 / 4

Solución: 6 [ 2 · (-1)] + 16 / 4 Primero, se resuelve el [ ] 6 [ -2] + 16 / 4 Se multiplicó 2 · -1 -12 + 16 / 4 Se multiplicó 6 · -2 -12 + 4 Se dividió 16 / 4 = -8 Se sumó –12 + 4

3) 3 [ 6 – (12 / 4 ) + 8 ] Solución: 3 [ 6 – (12 / 4 ) + 8 ] Primero se efectúa la división dentro del paréntesis

3 [ 6 – 3 + 8 ] Se resta 6-3 3 [ 3 + 8 ] Se suma 3 + 8 3 [ 11] = 33 Se multiplica 3 x 11

4) Ejemplo con exponente: 9 { 2 – [ 6 + (4)5-3 + 8 ] }

Solución: 9 { 2 – [ 6 + (4)5-3 + 8 ] } Se resta los exponentes 5 -3 9 { 2 – [ 6 + (4)2 + 8 ] } Se eleva 42

9 { 2 – [ 6 + 16 + 8 ] } Luego se suma 6 + 16 9 { 2 – [ 22 + 8 ] } Se suma 22 + 8 9 { 2 – 30 } Se resta 2-30 9 {-28} = -252 Se multiplica 9 x -28

5). 3 ( log 100 + 10 ) + 10

Solución: 3 ( log 100 + 10 ) + 10 Se saca el log 100

3 (2 + 10) + 10 Se suma 2 + 10

3 (12) + 10 Se multiplica 3 x 12

36 + 10 = 46 Se suma 36 + 10

Ejercicios: Resuelve según el orden de operaciones:

a) 8 · 2 (9 + 6) / 3 b) 3 + (7 + 3)3 – 6 / 2 c) 12 [ 1 – ( 5 – 11) / 3] d) 2 { 16 – 2 ( 9 – 4) / 5 + 1}

e) 6 { 42 – ( -3 + 1) / 2} f) 4 { 10 – [ 6 + ( 6 + -4)2 / 2 + 8] }

C. REDONDEO

En la mayoría de los cálculos se requiere redondear la respuesta para obtener el número de cifras o sitios decimales adecuados. Las reglas para redondear son las siguientes:

1). Si el primer digito que se elimina es mayor o igual que 5 , el dígito que representa la primera cifra incierta aumenta su valor por uno. Ejemplo: 6.379 , si se quiere redondear a tres cifras, redondea a 6.38, si se quiere redondear a dos cifras queda 6.4.

2). Si el primer digito que se elimina es menor que 5 , el dígito que representa la primera cifra incierta permanece igual. Ejemplo: 0.3421 , si se quiere redondear a tres cifras, redondea a 0.342, si se quiere redondear a dos cifras queda 0.34.

Siempre debe redondear después de llevar a cabo la operación matemática y no antes.

Ejercicios : Redondeo los siguientes números al lugar indicado (el digito que está en negrillas y subrayado :

a) 2.3451 b) 3.823 c) 0.6213d) 1264

D. CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Se denominan cifras significativas en una medida a todos aquellos dígitos de un número que se conocen con seguridad más el primer digito incierto. El número de cifras significativas de un número se determina usando las siguientes reglas:

1). Si una medida no está expresada con su incertidumbre, se considera como dígito significativo todo número distinto de cero (Ej. 2.3467 tiene cinco cifras significativas).

2). Todo cero que se encuentra entre números distintos de cero es significativo. (Ej 0.203 tiene tres cifras significativas).

3). Ceros que se encuentran a la derecha de un dígito significativo que a su vez está a la derecha del punto decimal son significativos (Ej. 7.80, 0.120, 3.00, todos tienen tres cifras significativas)

4). Ceros que se encuentran a la derecha de un dígito significativo que a su vez está a la izquierda del punto decimal son significativos (Ej 330. tiene tres cifras significativas).

5). Ceros que se encuentran a la izquierda del primer dígito significativo no son significativos. Estos ceros se utilizan para localizar el punto decimal (Ej 0.00026 tiene dos cifras significativas).

6). El valor de una constante tiene un número indefinido de cifras significativas. (Ej. Aunque π acostumbramos a usarlo como 3.14, esta constante tiene un número indefinido de cifras significativas, 3.141592654…)

7). Cuando un número está expresado mediante el uso de notación científica, la porción exponencial ( × 10 n) no se considera para asignar el número de cifras significativas. ( Ej. 7.90 × 10-6, tiene tres cifras significativas)

Cuando un número/ medida está expresado con su incertidumbre, dicha incertidumbre es la que determina el número de cifras significativas. Considere los siguientes ejemplos

(3460 ± 1), tiene cuatro cifras significativas por que su incertidumbre recae en la unidad.

(3460 ± 10 ), tiene tres cifras significativas por que su incertidumbre recae en la decena.

Para evitar confusión este número se puede expresar mediante el uso de notación científica como: 3.46 x 103, si se quisiera expresar el número acompañado por su incertidumbre se podría expresar como: (3.46 ± 0.01 ) x 103

Ejercicios: Determina el número de cifras significativas en los números

a) 0.103

b) 12670.

c) 0.0003040

d) 3.30 × 10-3

e) (12460 ± 10 )

f) (36760 ± 100 )

g) 20.34

h) 200.00

Reglas para determinar el número de cifras significativas en operaciones matemáticas

1. Suma y Resta- Cuando se suman o se restan dos o más cantidades, el resultado tendrá el mismo número de sitios decimales que el valor sumado o restado con mayor incertidumbre absoluta. Por ejemplo:

9.24792.24772.02.247 →=+

El resultado se expresa a un solo sitio decimal porque el valor con mayor incertidumbre absoluta, 247.2 tiene un solo sitio decimal.

2. Multiplicación y División- Cuando se efectúa una multiplicación y/o división, el resultado se expresa con el mismo número de cifras significativas que el valor usado en la operación matemática con el menor número de cifras significativas (mayor incertidumbre relativa ). Por ejemplo:

( ) ( ) ( )00.300

346720.134.2 × = 32.45112 = 32.5

en este ejemplo 2.34 y 1.20 tienen tres cifras significativas mientras que 3467 y 300.00 tienen cuatro y cinco cifras significativas respectivamente; por tanto el resultado se debe expresar a tres cifras significativas.

Ejercicios: Efectúa las siguientes operaciones matemáticas y expresa el resultado al número correcto de cifras significativas:

a) 2.30 + 190.3 + 21.234 – 0.347

b) 46.7789 – 3.763 + 0.123 – 0.32c) ( ) ( ) ( )

1.2167.340.1294.0 ×

d) ( ) ( )

×−

789.0467.0

671.034.2

D. NOTACIÓN CIENTÍFICA

1. Definición:

Un número escrito en notación científica consiste de una parte decimal, un número que usualmente se encuentra entre 1 y 10, y una parte exponencial, 10 elevado a un exponente n

2.31 x 10-10

Parte Decimal

Parte Exponencial

Exponente2.31 x 10-10

Parte Decimal

Parte Exponencial

Exponente

Un exponente positivo significa que 1 es multiplicado por 10 n veces:

100 = 1

101 = 1 x 10

102 = 1 x 10 x 10

10 3 = 1 x 10 x 10 x 10

Un exponente negativo (-n) significa que 1 es dividido por 10 n veces:

001.0101010

110

01.01010

110

1.010110

3

2

1

=××

=

=×

=

==

−

−

−

2. Para expresar un número en notación científica:

a). Mueva el punto decimal para obtener un número entre 1 y 10

b). Escriba el resultado del paso 1 multiplicado por 10 elevado al número de veces que usted movió el punto decimal ( x 10n ) :

El exponente es positivo si el punto decimal se mueve a la izquierda El exponente es negativo si el punto decimal se mueve a la derecha

Ejemplo:

676.762 0.00000583Mueva el punto decimal a la

izquierda.Mueva el punto decimal a la

derecha.

n >1 n <16.76762 x 102 5.83 x 10-6

Ejercicios:

Expresa los siguientes números en notación científica o en notación convencional según se indique:

a) 1230000 expresado en notación científica es: ____________b) 0.0000004789 expresado en notación científica a dos cifras significativas es:___________c) 4.23 x 10-3 expresado en notación convencional es:__________d) 8.67 x 104 expresado en notación convencional es:_________

3. Multiplicación y División:

Para multiplicar números que están expresados en notación científica, multiplica la parte decimal y suma los exponentes:

(A x 10m) (B x 10n) = (A x B) x 10 m+n

Ejemplo:

(3.0 x 107) x (2.0 x 103) = (3.0 x 2.0) x 10 7+3 = 6.0 x 1010

Para dividir números que están expresados en notación científica, divide la parte decimal y resta los exponentes:

Ejemplo:

( )( )

66126

12

103.3102.26.6

102.2106.6 ×=×

=

×× −

4. Suma y Resta

Para sumar o restar número expresados en notación científica primero los números se deben rescribir de modo que todos tengan el mismo exponente, luego se suman o se restan las partes decimales de los números, mientras que los exponentes permanecen iguales:

A x 10m

± B x 10 m (A ± B) x 10m

Ejemplo de Resta, Considere la siguiente operación

3.3 x 105

- 1.1 x 10 4

a). primero se expresan ambos números con el mismo exponente, en este caso rescribimos el número más pequeño:

1.1 x 104 = 0.11 x 105

b). Luego realizamos la resta:

3.3 x 105

- 0.11 x 10 5 3.19 x 105

Ejemplo de Suma, Considere la siguiente operación:

4.22 x 107

+6.4 x 10 6

a). primero se expresan ambos números con el mismo exponente, en este caso rescribimos el número más pequeño:

6.4 x 106 = 0.64 x 107

b). Luego realizamos la suma:

4.22 x 107

+ 0.64 x 10 7 4.86 x 107

5. Exponenciación y Radicación:

Para elevar un número expresado en notación científica a una potencia dada, se eleva la parte decimal del número a la potencia y el exponente se multiplica por la potencia. Ejemplo:

( 3.0 x 104)2 = (3.0) 2 x 104x2

= 9.0 x 108

Para sacar la n raíz de un número expresado en notación científica, se saca la raiz n de la parte decimal del número y el exponente se divide por la raíz:

(8.0 x 1012)1/3 = (8.0)1/3 x 1012/3

= 2.0 x 106

E. RAZÓNES Y PROPORCIÓNES :

Saber trabajar con razones y proporciones es de gran utilidad en el curso de química general, especialmente al trabajar con diferentes unidades para una misma medida. Estos términos se pueden definir como sigue:

Razón: es el tamaño relativo de dos cantidades expresadas como el cociente de una entre la otra; el cociente de a y b se puede escribir como: a:b o a/b. La razón también se conoce como una fracción y podría expresarse en su forma decimal. Por ejemplo la razón de 3 a 6 se puede escribir como: 3:6, 3/6 ó 0.50 su forma decimal que se obtiene al dividir el numerador (3) por el denominador (6). Una razón se utiliza para hacer comparaciones de cantidades.

Proporción: Una igualdad entre dos razones. Las proporciones se suelen escribir en forma de ecuación.

Por ejemplo 42

21 =

Se dice que dos razones son iguales o sea son una proporción. Hay varios métodos matemáticos que se utilizan para determinar si dos razones son iguales. A continuación se describen uno de ellos.

Método: Multiplicando el Numerador y el Denominador por un mismo número

Cuando se tienen dos razones y se quiere saber si estas son iguales se puede multiplicar el numerador y el denominador de una de las razones por un mismo número ( un número que sea un factor del numerador y denominador de la razón a la que se quiere igualar) , si se obtiene la segunda razón entonces las razones son iguales.

Ejemplo: Demuestra que 328

164 =

Se selecciona una de las razones y se multiplica por un número

328

22

164 =×

Visto de otra forma, sabemos que las razones son fracciones, por lo que se puede simplificar cada una de las razones a su forma mas simple factorizando y si se llega a una misma fracción, entonces las razones son iguales.

Ejemplo : Determine si 32

96 = son dos razones iguales

Se factorizan cada una de las razones

32

3121

32

32

3332

96

=⋅⋅=

=⋅⋅=

Como se llegó a una misma fracción se concluye que son razones iguales

F. POR CIENTOS (%)

Los por cientos tienen un sin número de usos en la química. Por ejemplo los por cientos se utilizan para hablar de la composición elemental de un compuesto y como una de las formas en las que se puede expresar la concentración de una solución. Para determinar el por ciento de cierta cantidad de un componente dentro de una cantidad total se utiliza la siguiente fórmula:

Por ciento (%) = 100×⋅⋅⋅⋅totalcantidadcomponenteundecantidad

El por ciento (%), es una comparación de un número dado con 100, representa la parte que ocupa un componente dado de cada cien partes totales. Por ejemplo, si se dice que el 60% de los estudiantes del

curso de química general pasan el curso, esto quiere decir que 60 estudiantes de cada 100 estudiantes matriculados pasan el curso Cuando se habla de un por ciento, se hablan de la partes por cada cien. El porcentaje es un término que esta relacionado a los conceptos de razones, fracciones y decimales; esta relación se ilustra en la tabla # 4.

Tabla # 4: Relación entre los conceptos: por cientos, razones, fracciones y decimales

Porcentaje Razón Fracción Decimal

60% 60:100

ó

60/100

10060 0.60

Ejemplo:

1. Pedro compró una pizza de ocho pedazos, pero solo se pudo comer 2. ¿Qué por ciento de la pizza se comió Pedro?

Solución: 2 es la cantidad de pedazos que se comió, 8 son el total de pedazos, entonces

% = ( 2/8) * 100 = 25%

Si el por ciento que representa un componente del total de las partes se conoce, utilizando este se puede calcular la cantidad que hay del componente en el total de las partes.

Ejemplo:

2. En una de las secciones de laboratorio hay 24 estudiantes y el 12.5% son varones ¿cuántos varones hay en el salón?

Varones en el salón = (12.5%)/100 = 0.125

= (0.125)(24) = 3 varones

G. ECUACIONES

Una ecuación es un enunciado matemático que afirma la igualdad de dos expresiones matemáticas. Una ecuación contiene los siguientes componentes:

Una ecuación puede estar compuesta por:

números solamente (eg. 2 + 4 = 3 +3 ó 3 x 3 = 27/3 ) una combinación de números y una o más letras con números ( eg. x2 + 4 xy + 16) solamente con letras, donde las variables se escribe en itálico y las constantes en letra regular. ( eg.

y – cx = d ).

Reglas de oro al trabajar con ecuaciones:

Para que una ecuación mantenga su veracidad, todo cambio que se efectúa se debe realizar en ambos lados de la ecuación incluyendo las operaciones matemáticas como suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, radicación entre otras.

Una solución de una ecuación es un número que reemplaza la variable(s) y hace que ambos lados de la ecuación tengan un mismo valor. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si ambas tienen la misma solución. Hay distintos tipos de ecuaciones pero en este módulo solo presentaremos las ecuaciones lineales y las ecuaciones cuadráticas.

Ecuaciones lineales

Una ecuación lineal es una ecuación con una sola incógnita y se puede escribir de la forma ax +b = c, donde a, b, c son números reales y x es la variable de la que se desconoce su valor numérico. (eg. 4x + 6 = 2, 2x + 3 = x – 4). Para resolver una ecuación lineal hay que despejar la ecuación dejando la variable sola en uno de los dos lados de la ecuación. Esto se logra realizando la /las operaciones matemáticas necesarias a ambos lados de la ecuación para no alterar la igualdad. Una cantidad se puede eliminar de un lado de una ecuación efectuando la operación inversa a la operación con la que se muestra esta cantidad. En la tabla # 5 se muestra las operaciones matemáticas más utilizadas y sus respectivos inversos.

2x + 6 = x - 4

Lado izquierdo Lado derecho

Símbolo de igualdad

2x + 6 = x - 4

Lado izquierdo Lado derecho

Símbolo de igualdad

Tabla # 5 : Operaciones Matemáticas más usadas en química y sus respectivos inversos

Operación Símbolo Operación inversaSuma + Resta (-)Multiplicación (*, × , · ) División ÷Exponenciación xn Radicación n xExponenciación (elevar al

cuadrado)

x2 Raíz cuadrada 2 x

Logaritmo base 10 log10 x Anti-logaritmo (10x)Logaritmo natural ln x Anti-logaritmo natural ex

Para resolver una ecuación lineal se pueden seguir los siguientes pasos:

1. Simplifique el lado izquierdo de la ecuación removiendo paréntesis, sumando y restando términos similares.

2. Simplifique el lado derecho de la ecuación removiendo paréntesis, sumando y restando términos similares.

3. Elimine las fracciones multiplicando a ambos lados de la ecuación por el LCD (denominador común más pequeño)

4. Usando las propiedades de la suma para agrupar los términos con variables a un lado de la ecuación y los números del otro lado.

5. Multiplique ambos lados de la ecuación por el recíproco del coeficiente de la variable ( dicho de otra forma divida ambos lados por el coeficiente de la variable)

6. Verifique si se obtuvo la solución correcta, sustituyendo el resultado en la ecuación original , si ambos lados llegan al mismo valor su respuesta es correcta

Recuerde que para que la ecuación prevalezca cierta toda operación debe efectuarse a cada lado de la ecuación.

Ejemplo # 1 : Encuentre la solución de la siguiente ecuación 4x – 3 - 2x = 4 - x + 5

4x – 3 - 2x = 4 - x + 5

2x – 3 = -x + 9 Combine términos similares

2x – 3 + x = -x + 9 + x Se añade x a ambos lados

3x – 3 = 9 Se combinan términos similares

3x – 3 + 3 = 9 +3 Se suma 3 a ambos lados y se combinan términos

similares

3x = 12

312

33 =x

Se divide ambos lados por el coeficiente numérico

x = 4 Esta es la solución encontrada

Verificación:

Se sustituye 4 en la ecuación original

4x – 3 - 2x = 4 - x + 5

4(4) – 3 – 2(4) = 4 - 4 + 5

16 – 3 - 8 = 4 - 4+ 5, 5 = 5

por tanto la solución es correcta

Ejemplo # 2:

Resuelva para la ecuación 1010log =

x

1010log =

x se aplica la operación inversa de log que es 10x, entonces 10logN = N

10

x10log

= 1010

( )

9

10

10

10

10log

101010

1010

10101010

10

−=

=

=⋅

=

=

x

x

xx

x

x

x

Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática es una ecuación en la cual el exponente la potencia mayor de la variable es 2 (ej. x2). Generalmente las ecuaciones cuadráticas se presentan de la forma polinómica:

f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b, y c son números reales. Algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas son:

18x2 + 6x + 9 a = 18, b = 6, c = 9

9x2 - 6x a = 9, b = -6, c = 0

-12x 2 + 20 a = -12, b = 0, c =20

Al resolver una ecuación cuadrática se encuentran dos soluciones. Hay tres formas de hallar las raíces (el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadráticas: factorización simple, completando el cuadrado y por la fórmula cuadrática. Para los cálculos que realizaras en el curso de química general el método más recomendado es la utilización de la formula cuadrática. Para utilizar el método de la fórmula cuadrática se siguen los siguientes pasos:

• la ecuación cuadrática se debe re-arreglar la ecuación de modo que todos los términos queden del mismo lado de la ecuación. La ecuación debe adquirir el siguiente arreglo:

ax2 + bx + c

• Se deben identificar el valor de los coeficientes a, b, c .• Se sustituyen los valores de los coeficientes, a, b y c en la fórmula cuadrática

En la formula cuadrática la expresión:

b ac2 4−

conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.

Valor de:

b ac2 4− Tipo de soluciónpositivo dos soluciones realescero una solución realnegativo dos soluciones imaginarias

En química se utiliza solo la solución positiva de la fórmula cuadrática porque soluciones con signo negativo o con números imaginarios no tienen sentido físico y no se consideran soluciones aceptables.

Ejemplo# 1: Resuelva la siguiente ecuación cuadrática -5x2 + 13x + 6

Se identifican las letras, verificando que la ecuación esté ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Se tiene que: a = - 5 ; b = 13 ; c = 6. Usamos la fórmula cuadrática:

= =

Se resuelve y se obtiene que:

Hay dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra el signo -. Llámense X1 y X2 a las dos soluciones, que serán:

Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella, producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuación se le denomina verficación.

Probando con x = 3. Resulta: -5.(3)2 + 13.(3) + 6 = -45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro.

Probando x = -2/5, se tiene x2 + 2x – 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8

Ejercicios de Práctica:

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática

1) x2 - x - 20 = 0

2) x2 - 8 = 0

3) x2 - 4x + 5 = 0

4) 9x2 + 6x = 1