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Universidad de El Salvador MATEMATICA I

Facultad de Ciencias Naturales y Matemática GUIA N° 1

Escuela de Matemática Ciclo I / 2018

UNIDAD I. LOS NUMEROS

EJERCICIOS 1.1 Efectuar las siguientes operaciones, con números reales.

a) 2

5− (

1

2−

4

3) b) (

5

8+

1

6) – (

1

2−

2

3) c)

2

3+ (2 +

4

5) − (

1

3−

3

4)

d) 1

2+ [

5

2− (

1

3−

4

5)] e)

2

5∙

1

2+

4

3−

1

6 f)

2

5 ÷

1

2−

4

3÷

1

6

g) 5

8−

1

6∙

1

2+

2

3 h) 1 –

3

4 +

2

9−

1

3+

2

3 i)

1

35÷ (

3

7−

2

5) –

4

13[

1

3− (

1

4− 1)]

j) (2−

1

3+

2

5)÷

31

52

3+

3

2∙∙

4

9 ÷ (−

1

2) k)

√2

5− (

1

2−

√3

3) l)

2

√5∙

1

√3+

√15

3−

√3

6 m) 1 –

3

6𝜋 ÷

𝜋4

9 –

1

3 +

2

𝜋2

EJERCICIOS 1.2 Escribe en forma de fracción los siguientes números.

a) 0.7777… b) – 3.777… c) 6.53222… d) –4.12121… e) 3.7878… f) 5.321616… g) – 0.7979… h) 1.23535… i) 5.6333… EJERCICIOS 1.3 Si “x ˂ 0” y “ y > 0”, determine el signo del número real

Resultante. a) xy b) x2 y c) 𝑥

𝑦 + x d) y – x

e) 𝑦

𝑥 f) xy2 g)

𝑥−𝑦

𝑥𝑦 h) y(y – x)

EJERCICIOS 1.4 Sustituya el símbolo □ con ˂, > +o = para que el resultado sea

verdadero. a) –7 □ – 4 b) 𝜋

2 □ 1.57 c) – 3 □ – 5

d) 𝜋

4 □ 0.8 e)

2

3 □ 0.66 f)

22

7 □ π g) √2 □ 1.4 h)

1

7 □ 0.143

EJERCICIOS 1.5 Exprese el enunciado como una desigualdad. a) X es negativo b) Y es no negativo c) Q es menor o igual a π d) D esta entre dos y cuatro e) El negativo de z no es mayor a tres

f) T no es menor a cinco g) El cociente de p y q es a lo sumo siete h) El reciproco de w es al menos 9 i) El valor absoluto de X es al menos siete.

EJERCICIOS 1.6 Exprese la desigualdad como intervalo y trace su gráfica. a) x ˂ –2 b) x ≤ 5 c) z ≥ 4 d) t > –3 e) –2 ˂ x ≤ 4

f) 4 ≥ x > –2 g) –3 ˂ y ˂ –1 h) – √2 > q ≥ –2π i) –3 ≤ 5

EJERCICIOS 1.7 Exprese el intervalo como desigualdad en la variable “x”. a) (–5, 8] b) [0, 4) c) [–4, –1] d) (3, 7) e) [4, ∞) f) (–∞, –3)

EJERCICIOS 1.8 Exprese el intervalo como desigualdad con valor absoluto.

a) [1, 5] b) [3

2,

5

2] c) (5, 14) d) (3 − √2, 3 + √2)

EJERCICIOS 1.9 Reescriba el número sin usar el símbolo de valor absoluto y

simplifique el resultado. a) |−3 − 2|; |5| – |−2|; |7|+ |−4|

b) |−11 + 1|; |6| + |−3|; |8| + |−9| c) –5|3 − 6|; |6|

(−2); |−7| + |4|

d) |4 − 𝜋|; |𝜋 − 4|; |√2 − 1.5| e) |√3 − 1.7|; |1.7 − √3|; |1

5−

1

3|

EJERCICIOS 1.10 Los dos números dados son coordenadas de los puntos A y B, respectivamente, en una recta coordenada, exprese el enunciado como desigual-

dad usando el símbolo de valor absoluto.

a) X, 7; d(A, B) es menor a Cinco b) X, –√2 ; d(A, B) es mayor a uno

c) X, –3; d(A, B) es menos ocho d) X, – 4; d(A, B) es a lo más dos e) 4, X; d(A, B) no es mayor a tres f) –2, X; d(A, B) es menor a Dos.

EJERCICIOS 1.11 Reescriba la expresión sin usar símbolo de valor absoluto y simplifique el resultado. a) |3 + 𝑥| si x ˂ –3 b) |5 − 𝑥| si x >5 c) |2 − 𝑥| si x ˂ 2

d) |7 + 𝑥| si x ≥ –7 e) |𝑎 − 𝑏| si a ˂ b f) |𝑥2 + 4| g) |1 − 𝑥2| EJERCICIOS 1.12 Sustituya el símbolo □ con = o con ≠ para que el resultado sea

verdadero para todos los reales a, b, c y d siempre que las

expresiones estén definidas. a) 𝑎𝑏+𝑎𝑐

𝑎 □ b+ac b)

𝑎𝑏+𝑎𝑐

𝑎 □ b+c

c) 𝑏+𝑐

𝑎 □

𝑏

𝑎 +

𝑐

𝑎 d)

𝑎+𝑐

𝑏+𝑑 □

𝑎

𝑏 +

𝑐

𝑑 e) (a+ b) ÷ c □ a ÷ (b+c)

PROBLEMA 1.1 El punto en una recta de coordenadas correspondiente a √2 puede ser determinado si se construye un triángulo rectángulo con lados de

longitud 1. Determinar los puntos que corresponden a √3 y √5 respectivamente.

PROBLEMAS 1.2 1-. Si el cuadrado del antecesor de x se le resta 3x, ¿Cuánto se obtiene cuando

x = –3?. 2-. Sea la suma 3.2a6 + 4.571 + b.778 = 15.555 entonces a + b =

3-. Al número –2h se le resta el doble de (h + 1) y al resultado se le agrega el cuadrado de h. ¿Cuánto se obtiene si h = 3?. 4-. Sabiendo que n es un número natural, ¿cuál es el promedio entre los dos nú-

meros impares consecutivos que anteceden a 2n + 3?. 5-. De lunes a viernes, una máquina produce “a” artículos por día; el sábado Produce “b” artículos y el domingo “c” artículos. ¿Cuántos artículos produce

en dos semanas?. 6-. Se reparten 3x cajas de leche. En cada caja hay “3y” cajas de un kilogramo. El

número de cajas de un kilogramo que se repartirán son: 7-. En un club, la mitad son mujeres, de ellas la cuarta parte son rubias y de esta últimas la mitad tiene los ojos verdes; si las rubias de ojos verdes son cuatro,

¿Cuántos integrantes tiene el club?.

8-. ¿Qué número dividido por 5

𝑝 da cono resultado

𝑝

5?.

9-. Si el triple de la tercera parte de un número se le resta 18, resulta 0. ¿Cuál es el número? 10-.Cuatro niños compran D dulces cada uno. Si llegan 3 niños más, sin dulces,

y el total se reparte entre todos en partes iguales, cada niño recibe: 11-. De una fortuna se gastan la mitad y la tercera parte, quedando un remanen- te de $ A. ¿De cuántos pesos era la fortuna?.

12-. Si a es la mitad de b, entonces 2a + b es:

13-. Un niño desea completar una colección de 900 estampillas; le regalan 160

más y él regala la cuarta parte de las que tenía reunidas hasta ese momento. Finalmente compra 300 estampillas. ¿Cuántas le hacen falta para completar

la colección? 14-. Si se resta “x” al triple de 3 y se divide por el triple de “x” se obtiene 3, ¿cuánto vale “x”?.

15-. El agua que hay en un estanque en estos momentos ocupa la mitad de su capacidad. Si a este estanque le agregasen 120 litros de agua, entonces ésta

ocuparía 5

8 de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad del estanque?

16-. Un comerciante vende la mitad de una pieza de género y luego la mitad del

resto, sobrándole 4 m. ¿Cuántos metros media las tres cuartas parte

(3

4 partes) de la pieza de género antes de comenzar a venderla?.

17-. Una sala de cine rotativo con capacidad para400 espectadores está completo.

Si terminada la función se retiran 3

10 de los espectadores y entran a la sala

3

20

de la capacidad, entonces ¿Cuántas personas faltan para que la sala esté nuevamente completa?

18-. Los 3

25 de un número es 2400. Los

3

5 de este mismo número es:

19-. Si T es el inverso multiplicativo de “S” y S = 9

6 , entonces (T + S)[S – T] =

20-. ¿Cuántas veces está contenida la quinta parte de 13

26 en un entero?

21-. ¿Qué fracción es igual a la tercera parte de un tercio de p, si se sabe que p = 0.3?

22-. Si a 15 le resto X obtengo n. Si la mitad de n es 42, entonces ¿Cuál es el valor de X?

23-. Un tambor tiene ocupada con aceite las 2

3 partes de su capacidad. Si se sabe

que con 30 litros más, este tambor se llena, entonces su capacidad es de:

24-. Si m = 3

4 y n =

1

2, entonces el inverso aditivo de m – n es:

25-. Si K = 2n, entonces 2𝑘

3 +

𝑘

4 =

26-. La diferencia entre los 7

10 y la mitad de un número es 12, ¿Cuál es el núme-

ro?.

27-. Los 3

20 de un número es 675. ¿Cuál es la quinta parte de este número?

28-. ¿Por cuento hay que multiplicar 3

8 para obtener la cuarta parte de

3

2?

29-. En el banco tenia $p, retire la mitad y luego deposité el doble de lo que tenia

al comienzo. ¿Cuánto tengo ahora en el banco?

30-. A una persona le aumentan su sueldo en 7

20 de lo que ganaba. Si quedo gana-

ndo $ 2160 al mes su sueldo fue aumentado en :




UNIDAD I. POTENCIACION Y RADICACION.

EJERCICIOS 2.1-. Simplificar. 1-. (8x4 y – 3)(1

2𝑥−5𝑦2) 2-. (

4𝑎2𝑏

𝑎3𝑏2) (

5𝑎2𝑏

2𝑏4)

3-. (1

3𝑥4𝑦−3)

−2

4-. (– 2xy2)5 (𝑥2

8𝑦3) 5-. (3y3)4 (4y2) – 3 6-. (– 2r4 s– 3 )– 2

7-. (3𝑥5𝑦4

𝑥0𝑦−3)

2

8-. (8𝑥−2

3

) 𝑥1

6 9-. (𝑥6𝑦3)

−13

(𝑥4𝑦2)−12

10-. (𝑐−4

16𝑑8)

3

4

EJERCICIOS 2.2-. Reescribir la expresión utilizando exponentes racionales.

1-. √(𝑎 + 𝑏)23 2-. √𝑎 + √𝑏 3-. √𝑥2 + 𝑦2 4-. √𝑟3 − 𝑠33

EJERCICIOS 2.3-. Reescribir la expresión empleando radicales.

1-. 4 + x3/2 2-. (4 + 𝑥)3

2 3-. 8 – 𝑦1

3 4-. (8 − 𝑦)1

3 5-. 8𝑦1

3 6-. (8𝑦)1

3 EJERCICIOS 2.4-. Simplifique la expresión y racionalice el denominador cuando

sea necesario.1-. √9𝑥−4𝑦6 2-. √8𝑎6𝑏−33 3-. √

1

3𝑥3𝑦1 4-. √2𝑥4𝑦4

9𝑥

3

5-. √5𝑥8𝑦3

27𝑥2

4 6-.

√5𝑥7𝑦25

√8𝑦35 7-. √(2𝑢3𝑣4)66 8-. √

8𝑥3

𝑦4

5√

4𝑥4

𝑦2

5

EJERCICIOS 2.5-. Exprese como polinomio.

1-. (7x3 + 2x2 – 11x) + ( – 3x3 – 2x2 + 5x –3) 2-. (r2 – 8r – 2).( – r2 + 3r –1)

3-. (6x3 – 2x2 + x – 2) – (8x2 – x – 2) 4-. 8𝑥2𝑦3−10𝑥3𝑦

2𝑥2𝑦 5-. (√𝑥 + √𝑦)(√𝑥 − √𝑦)

6-. (√𝑥 + √𝑦)2

(√𝑥 − √𝑦)2 7-. (𝑥

1

3 + 𝑦1

3) (𝑥2

3 − 𝑥1

3𝑦1

3 + 𝑦2

3)

8-. ( 3x –4y)3 9-. (2x + y – 3z)2 10-. (2x2 + x +1)2 EJERCICIOS 2.6-. Factorice el polinomio. 1-. 15x3 – 25x4 y2 + 10x4 y6

2-. 3x2 – 4x + 2 3-. 6x2 + 7x – 20 4-. 21x2 +41x + 10 5-. 4x2 – 20x + 256 6-. 16x2 – 56x + 49 7-. 45x2 + 38xy + 8y2

8-. 64x2 – 36y2 9-. 64x3 + 27 10-. 216x9 + 125y3

11-. 2ax – 6bx + ay – 3by 12-. 2ay2 – axy + 6xy – 3x2 13-. 3y3 + 3y2 – 27y – 27 14-. a3 – a2b + ab2 – b6

15-. 6x8 +17x4 + 12 16-. X8 – 16 17-. y2 +4y + 4 – 9y2 18-. y2 + 9 – 6y – 4x2 19-. X6 + 7x3 – 8 20-. 8x6 + 19x2 – 27 21-. Encontrar las áreas I y II para establecer la fórmula de la diferencia de

cuadrados, considerando x > y.

EJERCICIOS 2.7-. Simplifique la expresión.

1-. 2𝑥2+9𝑥 −5

3𝑥2+17𝑥+10 2-.

𝑥2−9

𝑥3+27 3-.

−𝑥2+𝑥+ 12

3𝑥3+3𝑥2 4-.

9𝑥2−4

3𝑥2−5𝑥+2 .

9𝑥4−6𝑥3+4𝑥2

27𝑥4+8𝑥

5-. 5𝑥2+12𝑥+4

𝑥4−16 +

25𝑥2+20𝑥+4

𝑥2−2𝑥 6-.

𝑥2−8

𝑥2−4 +

𝑥

𝑥3+8 7-.

2

3𝑥+1 –

9

(3𝑥+1)2

8-. 5

𝑥 –

2𝑥−1

𝑥2 + 𝑥+5

𝑥2 9-. 5𝑡

2𝑡+3 –

6

2𝑡2+3𝑡+

2

𝑡 10-.

2𝑎𝑐+𝑏𝑐−6𝑎𝑑 −3𝑏𝑑

6𝑎𝑐+2𝑎𝑑+3𝑏𝑐+𝑏𝑑

11-. 2𝑥+ 1

𝑥2+4𝑥+4 –

6𝑥

𝑥2−4 +

3

𝑥−2 12-.

2𝑥+ 6

𝑥2+6𝑥+9 +

5𝑥

𝑥2−9 +

7

𝑥−3 13-.

𝑥

𝑦−

𝑦

𝑥1

𝑦−

1

𝑥

14-.

𝑥

𝑦+

𝑦

𝑥

𝑥2

𝑦2−𝑦2

𝑥2

15-. 5

𝑥+1+

2𝑥

𝑥+3𝑥

𝑥+1+

7

𝑥+3

16-. 𝑦−2−𝑥−2

𝑦−2+𝑥−2

EJERCICIOS 2.8-. a) Racionalice el denominador.

1-. √𝑥+5

√𝑥−5 2-.

16𝑥2−𝑦2

2√𝑥−√𝑦 3-.

1

√𝑥3

− √𝑦3

b) Racionalice el numerador

1-. √𝑥+√𝑦

𝑥2−𝑦2. 2-. √2(𝑥+ℎ)+1− √2𝑥+1

ℎ 3-.

√1−𝑥−ℎ− √1−𝑥

ℎ 4-.

√𝑥− √𝑥+ℎ

ℎ√𝑥√𝑥+ℎ

EJERCICIOS 2.9-. Exprese como un cociente.

1-. x –3 + x2 2-. x – 4 – x 3-. x – ½ – x3/2 4-. x – 2/3 + x7/3

EJERCICIOS 2.10-. Simplifique la expresión.

1-. (6𝑥 − 5)3 (2)(x2 + 4)(2x) + (𝑥2 + 4)2 (3)(6x – 5)(6)

2-. (3𝑥 + 1)6 (1

2)(2𝑥 − 5)

1

2 (2) + (2x – 5)1/2 (6)(3x + 1)5 (3)

3-. (−1

3) (𝑥2 + 9)4 (𝑥 + 6)−

4

3 + (𝑥 + 6)−1

3 (4) (𝑥2 + 9)3 (2x)

PROBLEMAS 2.1-.

1-. ¿A cuánto es igual p – q si p = q + 1 y q – 1= 1? 2-. En cierto libro, el grosos de las paginas es 0.004 cm, el de cada tapa es 0.05

cm y el libro completo es 2.5cm. ¿Cuántas paginas tiene el libro? 3-. Angélica nació en 1961, Beatriz en 1983 y Carolina en 1943. ¿En cuánto ex cedía en 1986 la edad de Carolina a la diferencia de las edades de Angélica y

Beatriz?

4-. Se debe repartir una herencia entre 5 hermanos, dos tíos y un sobrino. Si a

cada hermano le corresponde una séptima parte, a cada tío la mitad de lo que le tocó a cada hermano. ¿Qué parte de la herencia le tocó al sobrino?

5-. El promedio de siete números es 43. Si tres de los números son 40, 51 y 46. ¿Cuál es el promedio de los otros cuatro números? 6-. Si k(b + q) = 5 con k = 1 y b = 2, entonces (k + b)q =

7-. La edad de una persona es (12a + 8) años. Hace cuántos años tenía la cuarta parte de su edad actual?

8-. Una docena de pasteles cuesta $ 6s y media docena de queques cuesta $ 12n. ¿Cuál es la expresión que representa el valor en pesos de media docena de pasteles y dos docenas de queques?

9-. Un padre regala calcomanías a sus tres hijos. Si el mayor recibió la mitad y el segundo las tres cuartas partes del resto, entonces ¿Cuánto recibieron el me- nor y el mayor en conjunto?

10-. Una persona compro 3500 gramos de té en paquetes rojos de un octavo, azules de un cuarto y verdes de medio kilo. Sí compro la misma cantidad de

paquetes de cada color, entonces ¿Cuántos gramos pesaron todos los paquetes rojos? 11-. El triple de m es igual a la tercera pete de n. Si m + n = 40 , entonces n = ?

12-. x + z = y; 2y = 3x; x + y + z = 18, entonces z = 13-. ¿Cuánto dinero tenia si gasté $12, de lo que me quedaba presté la tercera

parte y ahora me quedan $42? 14-. Si a – 3 =3, el valor de a – 32 es: 15-. La tercera parte de a es igual a la mitad de b. Si a + b = 15, ¿Cuánto vale b?

16-. La diferencia de dos números es 48 y su razón es 9 : 5. ¿Cuál es el número mayor? 17-. La diferencia de dos números es 48 y su razón es 5 : 9. ¿Cuál es el número

mayor? 18-. Con un jarro de jugo se alcanza a llenar 36 vasos. ¿Cuántos de estos vasos

Se podrán servir si solo son llenados hasta 3

4 de su capacidad?

19-. En pintar los 2

3 de una pared se ocupa

1

5 del tarro de pintura, ¿Cuánta pintu-

ra del tarro se ocupara en pintar toda la pared?. 20-. La razón entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2 : 3. Si para

llenarlo se necesitan 15 litros, ¿Cuál es la capacidad del estanque? 21-. Para hacer un alambrado se necesitan 388 postes, colocados a 1.50 m de

distancia uno del otro. ¿Cuántos postes de ocuparan si se ponen a 2 metros uno del otro? 22-. En un corredor hay 12 hileras de baldosas de 0.20 cm de lado ¿Cuántas

corridas de baldosas de 0.15 cm por lado podrían colocarse? 23-. Por cada $7 que recibe $ 5. Si juan recibe 470 más que pedro ¿Cuánto recibe juan?

24-. Se sabe que p y q son números enteros positivos y que 𝑞

𝑟 =

1

𝑝. Si q=2 y r=10q,

entonces 3p = ?

25-. Con $p se compran 4 cuadernos. ¿Cuántos cuadernos del mismo valor se pueden comprar con $2pq? 26-. Pedro tenia $ 80000. Si gasto el 20% y dio a su hermano el 15% del resto,

¿Cuánto le queda? 27-. Si la diferencia entre el 72% y el 57% de número es 45. ¿Cuál es el número?

28-. Un niño repartió 40 dulces entre sus amigos. A juan le dio 2

5 del total, a

Mario el 25% del resto y a Claudia el 50% del nuevo resto- ¿Con cuántos

dulces se quedó el niño?




UNIDAD I: ECUACIONES Y DESIGUALDADES

EJERCICIOS 3.1-. Resolver las ecuaciones siguientes. a) 3𝑥+ 1

6𝑥+2 =

2𝑥+5

4𝑥−13

b) 5𝑥+ 2

10𝑥−3 =

−8𝑥

2𝑥+3 c)

−5

3𝑥−9 +

4

𝑥−3 =

5

6 d)

9

2𝑥+6 –

7

5𝑥+15 =

2

3 e)

7

𝑥2−4 –

4

𝑥+2 =

5

𝑥−2

f) 4

2𝑢−3 +

10

𝑢2−9 =

1

2𝑢+3 g)

1

2𝑥−1 =

4

8𝑥−4 h) 2 –

5

3𝑥−7 = 2 i)

4

5𝑥+2 –

5𝑥

𝑥2−9 = 0

EJERCICIOS 3.2-. Resolver las siguientes ecuaciones por factorización

a) 6x2 + x = 12 b) 4x2 + x –14 = 0 c) 15x2 –12 = – 8x d) x(3x + 10) = 77 e) 48x2 + 12x –90 = 0 f) 4x2 – 72x +324 = 0

g) 2𝑥

𝑥+3 +

5

𝑥 – 4 =

18

𝑥2+3𝑥 h)

5𝑥

𝑥−2 +

3

𝑥 + 2 =

−6

𝑥2−2𝑥 i)

3𝑥

𝑥−2 +

1

𝑥+2 =

−4

𝑥2−4

EJERCICIOS 3.3-. Use complementación de cuadrados para resolver las siguientes ecuaciones.

a) x2 + 6x = –7 b) x2 – 8x –14 = 0 c) 4x2 + 20x +13 = 0

EJERCICIOS 3.4-. Factorice las siguientes ecuaciones, usando la fórmula de la

Cuadrática. a) x2 + x – 30 = 0 b) 12x2 – 16x –3 = 0 c) 15x2 + 34x –16 = 0

EJERCICIOS 3.5-. En las siguientes formulas despejar la variable indicada.

a) F = 𝑔𝑚𝑀

𝑑2 ¿d? b) A = 2r(r + h) ¿r? c) s = 1

2𝑔𝑡2 + vo t ¿t?

PROBLEMAS 3.1 a) Una pelota es lanzada directamente hacia arriba con una velocidad inicial de

64 pies/s. el número de pies s., sobre el suelo, después de t segundos está da- dado por la ecuación s = –16t2 + 64t.

i) ¿Cuándo estará la pelota a 48 pies sobre el suelo?

ii) ¿Cuándo regresara al suelo? b) Se quiere construir una lata cilíndrica circulas recta de altura 20 cm y de capacidad 3000 cm3. Encuentre el radio que deberá tener la lata.

c) En un terreno rectangular de 26 por 30 pies se construye una banda de ancho uniforme que lo rodea. Si el área de la banda es de 240 Pies2. ¿Cuál su ancho?

d) Un jardín cuadrado se va a cerrar con una cerca. Si la cerca cuesta $ 1 por pie y el costo de preparar la tierra para cultivarla es de $ 0.50 por pie2 determinar el tamaño del jardín que puede prepararse a un costo de $120.

e) Un agricultor piensa poner cerca a un predio rectangular, usando la pared de su granero en uno de los lados y cerca para los otros tres lados. Si el lado paralelo al granero va a tener el doble de largo que un lado adyacente y el área va

a ser de 128 pies2, ¿Cuántos pies de cerca deberá comprar?.

EJERCICIOS 3.6-. Resolver las siguientes desigualdades y expresar la solución

como intervalo cuando sea posible

a) 2x + 5 < 3x – 7 b) x – 8 > 5x +3 c) 9 + 𝑥

3 4 –

𝑥

2 d)

𝑥

4 + 7

𝑥

3 – 2

e) – 3 < 2x – 5 < 7 f) 4 3x + 5 > –1 g) 3 2𝑥−3

5 < 7 h) 5

6−5𝑥

3 > 2

EJERCICIOS 3.7-. Resolver las siguientes desigualdades

a) (2x + 3)(4x + 5) (8x + 1)(x – 7) b) (𝑥 − 4)2 > x(x + 12)

c) 4

3𝑥+2 0 d) |2𝑥 + 5| < 4 e) |3𝑥 − 7| 5 f) −

1

3|6 − 5𝑥| + 2 1

g) |3𝑥 − 9| >0 h) |6𝑥 − 5| –2 i) |2−3𝑥

5| ≥ 2 j)

3

|5−2𝑥| < 2 k)

1

|2𝑥+3| 5

l) –2 < |𝑥| < 4 m) 1 < |𝑥| < 5 n) 1 < |𝑥 − 2| < 4 o) 2 < |2𝑥 − 1| < 3

EJERCICIOS 3.8-. Resolver cada desigualdad, y exprese la solución como un Intervalo siempre que sea posible.

a) (3x + 1)(5 – 10x) > 0 b) (x + 2)(x – 1)(4 – x) 0 c) (x + 3)(x – 5)(–2 – x) < 0

d) x2 – x – 6 < 0 e) x2 + 4x + 3 0 f) 16x2 9x g) x4 + 5x2 36

h) x3 + 2x2 – 4x – 8 0 i) 𝑥2(𝑥+2)

(𝑥+2)(𝑥+1) 0 j)

(𝑥2+1)(𝑥−3)

(𝑥2−9) 0 k)

(𝑥+3)2(2−𝑥)

(𝑥+4)(𝑥2−4) 0

l) −3𝑥

𝑥2−9 > 0 m)

𝑥−2

3𝑥+5 4 n)

4

3𝑥−2

2

𝑥+1 o)

3

5𝑥+1

1

𝑥−3

PROBLEMAS 3.2 Exprese el enunciado en términos de una desigualdad que contenga un valor absoluto. a) El peso w de un atleta no debe de alejarse de 148 libras más de dos libras

b) El radio r de un cojinete no deberá ser diferente de 1 cm en más de 0.1cm.

c) La diferencia de dos temperaturas T1 y T2 en una mezcla química debe estas entre 5°C y 10°C

d) El tiempo de llegada del tren b debe ser al menos 5 minutos diferentes de la 4:00p.m. que es el tiempo de llegada del tren A. e) Las lecturas de temperatura en las escales Farenheit y Celsius están relaciona-

das por la formula C = 5(𝐹−32)

9 . ¿Qué valores de F corresponden a los valores de

C tales que 30 C 40?

f) Si dos resistores se conectan en paralelo en un circuito eléctrico, la resistencia

neta está dada por 1

𝑅 =

1

𝑅1 +

1

𝑅2. Si R1 = 10 ohms, que valores de R2 resultaran

en una resistencia neta menor que 5 ohms? PROBLEMAS 3. 3

a) Cuando una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria recta su veloci- Velocidad v en cm/s en el tiempo “t”, esta dada por la ecuación. ¿ Para que

subíntervalos del intervalo dado [a,b] su velocidad será al menos k cm/s. i) v = t3 – 3t2 – 4 t + 20; [0, 5]; k = 8 ii) v = t4 – 4t2 + 10; [1, 6]; k= 10

b) Si un objeto se proyecta verticalmente hacia arriba el nivel del suelo con una velocidad de 320 pies/s, entonces su distancia “s” sobre el suelo después del

“t” segundos está dada por s = –16t2 + 320t, ¿para qué valores de “t” estará el objeto a más de 1536 pies sobre el suelo?

c) La distancia d de frenado, en pies, para un automóvil que corre a v millas/hora

está dada por d = v + 𝑣2

20. Determine las velocidades que resulten en distancias

de frenado de menos de 75 pies? d) Para una población particular de Salmón, la relación entre el número S de pe-

ces hembra y el número R de descendientes que sobreviven está dada por

R = 4500𝑆

𝑆+500. ¿Bajo qué condiciones R > S?

e) La densidad D de población, en habitantes/mi2 en una gran ciudad esta rela-

cionada con la distancia “x” desde el centro de la ciudad por 5000𝑥

𝑥2+36. ¿En qué

partes de la ciudad es que la densidad de población rebasa las 400 personas/ mi2?

f) El peso de un astronauta disminuye con la altura hasta alcanzar el estado de ingravidez. El peso de una astronauta de 125 libras a una altura de “x” km

sobre sobre el nivel del mar viene dado por w = 125 (6400

6400+𝑥)

2

. ¿A que altitud el

peso de la astronauta es menor a 5 libras?




UNIDAD II. RELACIONES DE VARIABLE REAL

EJERCICIOS 4.1-.

a) Graficar los puntos cuyas coordenadas son: M(5, –2), N(–5, –2), P(5, 2), T(–5, 2), Q(3, 0),

R(0, 3)

b) Graficar los puntos cuyas coordenadas son: E( –2,1), F(3, 1|), G(–2, – 5), H(0, 4) y K(1–2, 3) en

el plano cartesiano. Trace los segmentos de recta EF, FG, GH, KH y KE.

c) Graficar los puntos A(0, 0), B(1, 1), C(3, 3), D(–1, –1) y E( –2, –2). Describa el

conjunto de todos los puntos de la forma (a, a), donde “a” es un número real. d) Graficar los puntos: E( 0, 0), F(1, –1|), G(3, –3), H(–1, 1) y J(–3, 3). Describa el conjunto de

todos los puntos de la forma (a, – a), donde “a” es un número real.

EJERCICIOS 4.2-. Encuentre las coordenadas de los puntos.

EJERCICIOS 4.3-. Describa el comportamiento del conjunto de todos los puntos P(x, y) de un

plano de coordenadas que satisfacen las reglas siguientes:

a) x = – 2 b) y = 3 c) x 0 d) xy > 0 e) y < 0 f) x= 0

g) y = – 2 h) x = – 4 i) 𝑥

𝑦 < 0 j) j) xy = 0 k) y < 1 l) y = 0

EJERCICIOS 4.4-. a) Encuentre la distancia d(A, B) entre A y B.

b) Encuentre el punto medio entre los segmentos de recta AB. a) A( 4, – 3), B( 6, 21) b) A( –2, –5), B(4, 6) c) A( – 5, 0), B(–2, –2)

d) A( 6, 2), B( 6, –2) e) A(7, – 3), B(3. – 3) f) A( – 4, – 3), B(– 6, – 1 )

EJERCICIOS 4.5-. Resolver: a) Dado E(–3, 8), encuentre las coordenadas del punto F tal que N(5, –10) es el punto medio del

segmento EF

b) Dados E(5, –8) y F(6, –2), encuentre el punto es el segmento EF que está a 3

4 de la distancia

de E a F.

c) Encuentre todos los puntos sobre el eje Y que están a una distancia 6 de P(5, 3)

d) Encuentre todos los puntos sobre el eje Y que están a una distancia 5 de P(–2, 4)

e) Encuentre el punto con coordenadas de la forma (2a, a) que esta en el tercer cuadrante y se sitúa

5 de P(1, 3)

f) Encuentre todos los puntos con coordenadas de la forma (a, a) que esta a una distancia 3 de

P(–2, 1)

g) ¿Para que valores de “a” la distancia entre E(a, 3) y F(5, 2a) es mayor que √26?

h) Dados A(–2, 0) y B(2, 0), encuentre una fórmula que no contenga radicales y que exprese el

hecho de que la suma de las distancias de E(x, y) a A y B, respectivamente, sea 5.

i) Aplicación. Periódicos publicados. La tabla siguiente indica el número de periódicos publicados

en Estados Unidos durante varios años:

a) Grafique los datos en la pantalla

[1895, 2005,10] por [0, 3000, 1000]

b) Use la fórmula del punto medio para estimar el número de periódicos de 1930. Compare

su respuesta con el verdadero valor de 1942.

EJERCICIOS 4.6-. Calcule el valor de cada variable de modo que los pares ordenados sean iguales

y además determine el valor numérico de las componentes. a) A = (5x, 3y – 17) y B = (35, 13)

b) E = (5x – 4, 7y – 9) y F = (21, 3y + 31) c) P = (8x – (3x + 7) , 29 – (5z – 6)) y Q = (18, 115)

PROBLEMAS 4.1

4.1.1 Una cucharadita contiene 5 mililitros. La actividad consiste en vaciar cucharaditas de 5 ml a

una tasa.

1) Suponga que duplicas la cantidad de cucharaditas de un ingrediente de una receta. ¿Se duplicara

la cantidad de mililitros?. Si triplicas la cantidad de cucharaditas, ¿Se triplicara la cantidad de

mililitros?

2) Si m representa la cantidad de mililitros, escribe una regla que indique cuántos mililitros hay en

“t” cucharaditas.

3) Puedes usar la tabla de valores para verificar si escribiste la regla correcta. Sin usar la regla que

escribiste, copia la siguiente tabla y complétala para que veas la cantidad de mililitros contenidos en

“t” cucharaditas. Usa la tabla para verificar si tu regla t y m esta correcta.

Convierte cucharaditas a mililitros.

4) Gráfica los datos de tabla utilizando el plano cartesiano (Mililitros eje Y y Cucharadita eje X)

5) ¿Tiene sentido unir los puntos de la grafica con una recta?. Explica por qué. Si tiene sentido une los puntos. 6) ¿Tiene sentido extender la recta de la gráfica más allá de los puntos?. Explica por qué. Si tiene

sentido, extiende la recta.

Periódicos 2226 2042 1878 1763 1745 1480

Año 1900 1920 1940 1960 1980 2000

Cucharaditas (t) 0 1 2 3 4 5 10

Mililitros (m)

4.1.2 Mario trabaja en un mercado y su tasa salarial es de $ 10 por hora.

1) Si en una semana determinada Mario

trabajara el doble de horas que en otra, ¿Ganaría el doble?, si trabaja el triple de horas ¿Ganaría el

triple?

2) Complementa la tabla siguiente que muestra el salario que Mario recibe según diferentes núme-

ros de horas trabajadas.

Tasa de pago de Mario

3) Escribe una regla en palabras que relacione el salario en dólares de Mario con el número de horas

que trabaja. Empieza la regla del siguiente modo ”La cantidad de dólares ganados es igual a . .

. . ”. Luego formula la regla, pero representa el salario con p y horas por h.

4) ¿Qué parte de la regla representa la tasa del salario de Mario?

5) Mario regularmente trabaja 35 horas por semana. ¿Cuánto gana en una semana normal de traba-

trabajo?

6) Una semana Mario gano $300. ¿Cuántas horas trabajo a la semana?

4.1.3 Alex, trabaja en un restaurant de comida para llevar. La tasa de pago es $ 7 por hora.

1) Si en una semana determinada Alex trabajara el doble en horas, ¿Ganara el doble?, si trabaja el

triple de horas. ¿Ganara el triple?

2) Complemente la tabla siguiente que muestra el salario que Alex recibe según diferente número

de horas trabajadas.

Tasa de pago de Alex

3) Escriba una regla en palabras y en símbolos que relacionen el salario en dólares de Alex.

4) ¿Qué parte de la regla representa la tasa del salario de Alex?

5) Una semana Alex trabajo 30 horas, ¿Cuánto gano en la semana?

6) Compara las reglas de los símbolos que representan los salarios de Mario y Alex. ¿En que se

parecen?. ¿En qué se diferencian?

4.1.4 Teófilo vive en el campo y trabaja para una asociación de automovilistas. Cada fin de semana

de por medio le toca estar de “guardia”. Esto quiere decir que deba estar disponible todo ese

fin de semana, en caso de que un auto se descomponga. Teófilo recibe una cantidad fija de

$40 por trabajar ese fin de semana, incluso si no se presentan ningún problema. Pero si ocurre

alguna llamada, gana $ 10 dólares adicionales por hora trabajada.

1) Completa la tabla que muestra el salario que Teófilo recibirá según diferentes números de horas

trabajadas durante un fin de semana.

Salario de Teófilo-

2) Si en una semana determinada Teófilo trabaja el doble de horas que en otra, ¿Ganaría el doble?,

Explica.

3) Escribe una regla en palabras y en símbolos del salario que recibe Teófilo durante el fin de sema-

na.

4) ¿Qué parte de la regla muestra la cantidad que gana Teófilo solo por estar de guardia? ¿Qué parte

muestra la tasa por hora de su salario?

5) Usa los datos de la tabla para hacer una gráfica que muestre el salario de Teófilo según el número

de horas trabajadas.

Horas trabajadas (h) 0 1 2 3 4 5 10 15

Salario(dolares),(p)


Salarios (Dólares) (p)


Salario (p) dólares 40 50




UNIDAD II: RELACIONES

EJERCICIOS 5.1-. Tace la gráfica de la ecuación y marque las intersecciones con los ejes X y Y. a) y = 2x – 3 b) y = 3x + 2 c) y = –x + 1

d) y = – 2x – 3 e) y = 4x2 f) y = 𝑥2

3 g) y = 2x2 – 1 h) y = – x2 + 2

i) y = 𝑥2

4x j) x =

1

4y2 k) x = – 2y2 l) x = – y2 + 3 m) x = 2y2 – 4

n) y = – 𝑥3

2 ñ) y =

𝑥3

2 o) y = x3 – 8 p) y = – x3 + 1 q) y = √𝑥

r) y = – √𝑥 s) y = √𝑥 − 4 t) y = √𝑥 − 4

EJERCICIOS 5.2-. En los ejercicios de la sección 5.1 use prueba de simetría para determinar cuáles graficas son simétricas con respecto a: a) El eje X b) El eje

Y c) El origen

EJERCICIOS 5.3-. Trazar la gráfica de la circunferencia o semicircunferencia. a) x2 + y2 = 11 b) x2 + y2 = 7 c) (x + 3)2 + (y – 2)2 = 9 d) (x – 4)2 + (y + 2)2 = 4 e) (x + 3)2 + y2 = 16 f) x2 + (y – 2)2 = 25

g) 4x2 + 4y2 = 1 h) 9x2 + 9y2 = 1 i) y = √16 − 𝑥2

j) y = √4 − 𝑥2 k) x = √9 − 𝑦2 l) x = √25 − 𝑦2

EJERCICIOS 5.4-. Encuentre la ecuación de la circunferencia que satisfaga las condiciones siguientes.

a) C–2, –3), Radio 5 e) C(–4, 6), pasando por el punto P(1, 2) b) C(–4, 1), Radio 3 f) Centro el origen, pasando por el punto P(4, –7

c) C(1

4 , 0), Radio √5 g) C(–3, 6), tangente al eje Y

d) C(3

4 . –

2

3 ), Radio 3√2 h) C(4, –1), tangente al eje X

i) Tangente a ambos ejes, centro en el segundo cuadrante, radio 4 j) Tangente a ambos ejes, centro en el cuarto cuadrante, Radio 3

k) puntos extremos de un diámetro A(4, –3) y B(–2, 7) l) Puntos extremos de un diámetro A(–5, 2) y B(3, 6)

EJERCICIOS 5.5-. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia de la ecuación siguiente.

a) x2 + y2 – 4x + 6y – 36 = 0 b) x2 + y2 + 8x – 10y + 37 = 0 c) x2 + y2 + 4y – 117 = 0 d) x2 + y2 – 10x + 18 = 0 e) 2x2 + 2y2 – 12x + 4y – 15 = 0 f) 9x2 + 9y2 + 12x – 6y + 4 = 0

g) x2 + y2 + 4x – 2y +5 = 0 h) x2 + y2 – 6x + 4y + 13 = i) x2 + y2 – 2x – 8y – 19 = 0 j) x2 + y2 + 4x + 6y + 4 = 0

EJERCICIOS 5.6-. Encuentre las ecuaciones para la mitad izquierda, mitad derecha, mitad inferior y mitad superior de las siguientes circunferencia.

a) x2 + y2 – 36 = 0 b) (x + 3)2 + y2 – 64 = 0

c) (x – 2)2 + (y +1)2 = 49 d) (x – 3)2 + (y – 5)2 = 4 EJERCICIOS 5.7-. Encuentre la ecuación de la circunferencia o semicircunferen-

cia.

EJERCICIOS 5.8-. Determine si el punto P está dentro o fuera de la circunferen-

cia con Centro C(h, k) y Radio “r”. a) P(2, 3), C(4, 6), r = 4 b) P(4, 2), C(1, –2), r = 5 c) P(– 3, 5), C(2, 1), r = 6

d) P(3, 8), C(–2, –4), r = 13 e) P( –2, 5), C(3, 7), r = 6 f) P(1, –2), C(6,–7), r = 7

EJERCICIOS 5.9-. Para las circunferencias dadas, encuentre i) Los puntos de intersecciones con el eje X. i) Los puntos de intersecciones con el eje Y.

Resolver las siguientes ecuaciones a) x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0 b) x2 + y2 – 10x + 4y +13 = 0

PROBLEMAS 5.1 a) Encuentre una ecuación de la circunferencia que es concéntrica (tienen el mismo centro) con x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0 y pasa por el punto P(2, 6).

b) Alcance de transmisores de radio. La señal de una estación de radio, tiene un alcance circular de 50 millas. Una segunda estación de radio, situada a 100 millas al este y 80 millas al norte de la primera estación, tiene un alcance de

80 millas. ¿Hay lugares donde las señales se puedan recibir de ambas estaciones estaciones de radio. Explique su respuesta?

c) Una circunferencia C1 de radio 5 tiene su centro en el origen. Dentro de esta circunferencia hay una circunferencia C2 de radio 2 en el primer cuadrante que es tangente a C1 . La coordenada “y” del centro de C2 es 2. Encuentre la coorde-

nada “x” del centro de C2 . d) Una circunferencia C1 de radio 5 tiene su centro en el origen. Fuera de esta

circunferencia está una circunferencia C2 de radio 2 en el primer cuadrante, que es tangente a C1 . La coordenada “y” del centro de C2 es 3. Encuentre la coordenada “x” de centro C .

EJERCICIOS 5.10-. Para cada una de las ecuaciones siguientes se pide encontrar el vértice, el foco y la directriz de cada una de las parábolas. Traza su grafico

mostrando el foco y la directriz. Resolver las siguientes ecuaciones a) 8y = x2 b) 20x = y2 c) 2y2 = –3x d) x2 = – 3y

e) 8(y – 1) = – (x+ 2)2 f) 1

2(y+ 1) = (x – 3)2 g) (y – 2)2 =

1

4(x – 3)

h) (y + 1)2 = – 12(x+2) i) y = x2 – 4x + 2 j) y2 + 14y +4x + 45 = 0 k) y2 – 4y – 2x – 4 = 0 l) 20y +x2 = 10

EJERCICIOS 5.11-. Encuentre la ecuación estándar para cada una de las parábolas que se muestran en la figura.

EJERCICIOS 5.12-. Encuentre la ecuación de la parábola que satisfaga las

condiciones siguientes: a) Foco F(2, 0); Directriz x = –2 b) Foco F(0, –4); Directriz y = 4

c) Foco F(6, 4); Directriz x = –2 d) Foco F(–3, –2); Directriz y = 1 e) Vértice V(–1, –5); Directriz x = – 2 f) Vértice V(–1, –5); Directriz x = – 2 g) Vértice V(–1, 0); Foco F(– 4, 0) h) Vértice V(1, – 2); Foco F(1, 0)

i) Vértice en el origen, Simétrica con el Y y que pasa por el punto p(2, – 3) j) Vértice en el origen, Simétrica con el Y y que pasa por el punto P(6, 3)

k) Vértice V(–3, 5), eje paralelo al eje X y que pasa por el punto P(5,9) l) Vértice V(3, – 2), eje paralelo al eje X e intersección en Uno con el eje Y

EJERCICIOS 5.13-. Encuentre la ecuación para el conjunto de puntos en el plano XY que sean equidistante del punto “y” la recta “L1” a) P(0, 5), L1 : y = –3

b) P(7, 0), L1 : x = 1 c) P(–6, 3), L1 : x = –2 d) P(5, – 2), L1 : y = 4

EJERCICIOS 5.14-. Encuentre la ecuación para la mitad indicada de la parábola.

a) Mitad inferior de (y + 1)2 = x + 3 b) Mitad superior de (y – 2)2 = x – 4 c) Mitad derecha de (x + 1)2 = y – 4 d) Mitad izquierda de (x + 3)2 = y + 2

EJERCICIOS 5.15-. Encuentre la ecuación para la parábola que tiene un eje Vertical y pasa por los puntos dados. a) P(2, 5 ), Q(– 2, – 3 ) y R (1, 6) b) P(3, –1), Q(1, – 7 ) y R (– 2, 14 )

EJERCICIOS 5.16-. Encuentre la ecuación para la parábola que tiene un eje

horizontal y pasa por los puntos dados. a) P(–1, 1), Q(11, – 2) y R (5, –1) b) P(2, 1), Q(6, 2) y R (12, –1)

PROBLEMAS 5. 2

a) Un espejo para un telescopio reflector tiene la forma de un paraboloide (finito) de 8 pulgadas de diámetro y 1 pulgada de

profundidad. ¿A que distancia del centro del espejo se colectará la luz entrante?

b) El disco de una antena satelital tiene forma de un paraboloide que mide 10

pies de diámetro en el extremo abierto y tiene 3 pies de profundidad. ¿A qué distancia del centro del disco debe colocarse el receptor para recibir la máxima intensidad de ondas de sonido?.

c) El reflector de un proyector eléctrico tiene la forma de un paraboloide con la fuente de luz en el foco. Si el reflector mide 3 pies de diámetro en la abertura y

1 pie de profundidad, ¿Dónde está el foco? d) El espejo de una linterna tiene la forma de una paraboloide de 4 pulgadas de

diámetro y 3

4 de pulgada de profundidad,

como se ilustra en la figura. ¿Dónde debe colocarse el foco para que los rayos de

luz sean paralelos al eje del paraboloide?

e) Un disco receptor de sonido, que se emplea en eventos deportivos al aire libre

está construido en forma de paraboloide con su foco a 5 pulgadas de su vértice. Determine el ancho del disco si la profundidad ha de ser de 2 pies.

f) Considere el ejercicio anterior e) si el receptor está a 9 pulgadas del vértice. g) Reflector parabólico. i) La longitud focal del p paraboloide

(finito) de la figura es: La distancia p entre su vértice y foco. Exprese p en

términos de r y h. ii) Un reflector se va a construir con

una longitud focal de 10 pies y una profundidad de 5 pies. Encuentre el radio del reflector.

h) La parábola y = 4p(x + h) tiene su foco en el origen y su eje a lo largo del eje x.

Al asignar diferentes valores a p, obtenemos una familia de parábolas. confo focales, como se ilustra en la figura. Estas se presentan en el estudio de la electricidad y magnetismo. Demuestre que hay exactamente dos parábolas en

la familia que pasan por un punto dado P(x1, y1) si y1 ≠ 0. g) Un radiotelescopio tiene la forma de un paraboloide de revolución de con longitud focal p y diámetro de base 2a. De cálculo, el área superficial S disponible

para recolectar ondas de radio es 8𝜋𝑝2

3[(1 +

𝑎2

4𝑝2)

1

2− 1]

Uno de los radiotelescopios más grandes, situado en Jodrell Bank, Chehire,

Inglaterra tiene diámetro de 250 pies y longitud focal de 75 pies. Calcule S a los mil pies cuadrados más cercanos.




UNIDAD II. RELACIONES

Relaciones cuadráticas (las secciones cónicas) y su representación en el plano.

Ejercicios 6.1: Encuentre los Focos y los Vértices de la elipse. Trace su grafica mostrando los focos.

1. 𝑥2

9 +

𝑦2

4 = 1 2. .

𝑥2

25 +

𝑦2

16 = 1 9.

(𝑥−3)2

16+

(𝑦+4)2

9 = 1 10.

(𝑥+2)2

25 +

(𝑦−3)2

4 = 1

3. 𝑥2

15 +

𝑦2

16 = 1 4. .

𝑥2

45 +

𝑦2

49 = 1 11. 4x

2 + 9y

2 – 32x – 36y + 64 = 0

5. 4x2 + y

2 = 16 6. y

2 + 9x

2 = 1 12. x

2 + 2y

2 + 2x – 20y + 43 = 0 14. 4x

2 + y

2 = 2y

7. 4x2 + 25y

2 = 1 8. 10y

2 + x

2 = 5 13. 25x

2 + 4y

2 – 250x – 16y + 541 = 0

Ejercicios 6.2 Encuentre la ecuación de la elipse que se muestra en la figura.

a) b)

c) d)

Ejercicios 6.3 Encuentre la ecuación para la elipse que tiene centro en el origen y satisface las

condiciones dadas

1. Vértice V(±8, 0); focos F(±5, 0) 2. Vértice V(0, ±7); focos F(0, ±2)

3. Vértice V(0, ±5); Eje menor de Longitud 3 4. Focos F(±3, 0); Eje menor de longitud 2

5. Vértice V(0, ±6); que pasa por P(3, 2) 6. Que pasa por (2, 3) y (6, 1)

7. Excentricidad 3

4 , Vértices (0, ±4) 8. Excentricidad

1

3, Vértices en “X”, pasa por (1, 3)

9. Intersección con los Ejes: “X”, ±2 y “Y”, ± 1

3 10. Intersección con los Ejes: “X”, ±

1

2 y “Y”, ±4

11. Eje horizontal de longitud 8, Eje menor de longitud 5.

12. Eje mayor vertical de longitud 7, Eje menor de longitud 6.

Ejercicios 6.4. Encuentre la ecuación para el conjunto de puntos del plano XY que satisfacen que la

suma de las distancias a F y a F´es k.

1. F(3,0), F´(–3, 0); k = 10 2. F(12,0), F´(–12, 0); k = 26

3. F(0, 15), F´(0, –15); k = 34 4. F(0, 8), F´(0, –8); k = 20

Ejercicios 6.5 Determine si la grafica de la ecuación es la mitad superior, inferior, izquierda o

derecha de la gráfica.

1. y = 11√1 −𝑥2

49 2. y= – 6√1 −

𝑥2

25 3. x= –

1

3 √9 − 𝑦2

4. x= 4

5 √25 − 𝑦2 5. x= 1 + 2 √1 −

(𝑦+2)2

9 6. x = – 2 – 5 √1 −

(𝑦−1)2

16

7. y = 2 – 7 √1 −(𝑥+1)2

9 8. y = – 1 + √1 −

(𝑥−3)2

16

Problemas 6.1

1. Dimensiones de arco. El arco de un puente es semielíptico, con eje mayor horizontal. La base del

arco es de 30 pies de diámetro y la parte más alta del arco está 10 pies arriba del pavimento

horizontal, como se ve en la figura. Encuentre la altura del arco a 6 pies del centro de la base.

2. órbita de la Tierra. Suponga que la longitud del eje mayor de la órbita de la Tierra es 186000000

de millas más la excentricidad es 0.017. Calcule, a las 1000 millas más cercanas, las distancias

Máxima y Mínima entre la Tierra y el Solo.

3. Órbita de Mercurio. EL planeta Mercurio se desplaza en una órbita elíptica que tiene

excentricidad 0.206 y eje mayor en una órbita elíptica y eje mayor de longitud 0.774 UA. Encuentre

las distancias máxima y Mínima entre y el Sol

4. La forma básica de un reflector elíptico es de semielipsoide de altura h y diámetro k, como se

muestra en la figura. Las ondas emitidas del foco F se reflejan de la superficie y entran al foco F´.

a) Exprese la distancia d(V, F) y d(V, F´) en términos de h y k.

b) Un reflector elíptico de 17 centímetros de altura se ha de construir para que las ondas

emitidas desde F se reflejen a un punto F´, que está a 32 cm de V. Encuentre el diámetro

del reflector y la ubicación de F.

5. OPERACIÓN DE LITOTRIPTOR. Se ha de construir un litotriptor de 15 cm de altura y 18 cm

de diámetro (vea la figura). Ondas de choque de alta energía bajo el agua se emiten del foco F que

es más cercano al vértice V.

a) Encuentre la distancia de V a F.

b) ¿A que distancia de V (en la dirección vertical) debe estar ubicada una piedra de riñón?

6. GALERIA SUSURRANTE. el límite superior de una galería susurrante tiene forma de

semielipsoide que se ve en la figura 14, con el punto más alto del límite superior 15 pies arriba del

piso elíptico y los vértices del piso a 50 pies entre si. si dos personas están de pie en los focos F´y F,

¿a qué distancia de los vértices están sus pies?

7. DISEÑO OVAL. Un artista planea crear un diseño elíptico con eje mayor de 60” y eje menor de

24”, centrado en una puerta que mide 80” por 36 usando el método descrito por la figura 1. En una

recta vertical que divide en dos a la puerta, ¿aproximadamente qué distancia de cada extremo de la

puerta deben insertarse las tachuelas? ¿De qué largo debe ser la cuerda?

Ejercicios 6.6: Encuentre los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola.

Trace su grafica mostrando las asíntotas y los focos.

1. 𝑥2

9 –

𝑦2

4 = 1 2.

𝑦2

49 –-

𝑥2

16 = 1 3.

𝑦2

9 –-

𝑥2

4 = 1 4.

𝑥2

49 –-

𝑦2

16 = 1

5. x2 –

𝑦2

24 = 1 6. y

2 –-

𝑥2

15 = 1

7. y2 -– 4x

2 = 16 8. x

2 -– 2y

2 = 8 9. 16x

2 – 36y

2 = 1 10. y

2 –- 16x

2 = 1

11. (𝑦+2)2

9 –-

(𝑥+2)2

4 = 1 12.

(𝑥−3)2

25 –-

(𝑦−1)2

4 = 1

13. 144x2 – 25y

2 + 864x – 100y – 2404 = 0 14. y

2 – 4x

2 – 12y – 16x + 16 = 0

15. 4y2 – x

2 + 40y – 4x + 60 = 0 16. 25x

2 – 9y

2 + 100x – 54y – 10 = 0

Ejercicios 6.7. Encuentre la ecuación para la hipérbola mostrada en la figura.

a) b)

c) d)

Ejercicio 6.8. Encuentre la ecuación de la hipérbola que tiene en el origen y satisface las

condiciones dadas.

1. Focos F(0, ± 4) ; Vértices V(0, ±1) 2. Focos F(±8,0) ; Vértices V(±5,0)

3. Focos F(±5, 0) ; Vértices V(±3, 0) 4. Focos F(0, ±3) ; Vértices V(0, ±2)

5. Focos F(0, ±5); Eje conjugado de L= 4 6. Vértices V(±4, 0); que pasa por (8, 2)

7. Vértice V(±3, 0) ; Asíntotas y = ±2x 8. Focos F(0, ± 10) ; asíntotas y = ± 𝑥

3

9. Intersección con eje X = ± 5; Asíntotas y±2x 10. Intersección con y±2; Asíntotas y±𝑥

4

11. Eje vertical transversal de longitud 10, eje conjugado de longitud 14

12. Eje horizontal transversal de longitud 6, eje conjugado de longitud 2.

Ejercicios 6.9. Identifique la gráfica de la ecuación como una parábola (con eje vertical u

horizontal), una circunferencia, una elipse o una hipérbola.

1. 1

3(x + 2) = y

2 2. y

2 =

14

3 – x

2 3. x

2 +6x – y

2 = 7 4. x

2 + 4x – 4y

2 – 24y = – 36

5. – x2 = – y

2 – 25 6. x = 2x

2 – y + 4 7. 4x

2 – 16x + 94y

2 + 36y = – 16

8. x + 4 = y2 + y 9. x

2 + 3x = 3y – 6 10. 9x

2 – y

2 = 10 – 2y

Ejercicios 6.10. Encuentre la ecuación de la hipérbola con Focos F y F´ que pasen por P. Trace la

gráfica.

a) b)

Ejercicios 6.11. Describa la parte de una hipérbola dada por la ecuación.

1. x = 5

4 √𝑦2 + 16 2. x = –

5

4 √𝑦2 + 16 3. y =

3

7 √𝑥2 + 49

4. y = – 3

7 √𝑥2 + 49 5. y = –

9

4 √𝑥2 − 16 6. y =

9

4 √𝑥2 − 16

7. x = – 2

3 √𝑦2 − 36 8. x =

2

3 √𝑦2 − 36

Problemas 6.2.

1. Las gráficas de las ecuaciones: 𝑥2

𝑎2 – 𝑦2

𝑏2 = 1 ^ 𝑥2

𝑎2 – 𝑦2

𝑏2 = – 1

Se denominan Hipérbolas Conjugadas. Trace las gráficas de ambas ecuaciones en el mismo plano

de coordenadas con a = 5, b = 3 y describa la relación entre las dos gráficas.

2. Encuentre una ecuación de la hipérbola con focos (h ± c, k) y vértice (h ± a, k), donde:

0 < a < c y c2 = a

2 + b

2

3. Torre de enfriamiento. Torre de enfriamiento Una torre de enfriamiento, como la que se ve en la figura, es

una estructura hiperbólica. Suponga que el diámetro de su base es de 100 metros y su diámetro más pequeño

de 48 metros se encuentra a 84 metros de la base. Si la torre mide 120 metros de altura, calcule su diámetro

en la parte más alta.

4. Maniobra de un avión. Un avión está volando a lo largo de la trayectoria hiperbólica que se ilustra en la

figura. Si una ecuación de la trayectoria es 2y2 - x

2 = 8, determine la cercanía a la que llega el avión de un

pueblo situado en (3, 0).

(Sugerencia: Denote con S el cuadrado de la distancia desde un punto (x, y) sobre la trayectoria a (3, 0) y

encuentre el valor mínimo de S).

5. Localizar un barco Un barco está siguiendo un curso que está a 100 millas de una costa recta y paralelo a

ésta. El barco transmite una señal de auxilio que es recibida por dos estaciones de guardacostas A y B,

situadas a 200 millas una de la otra, como se ve en la figura. Al medir la diferencia en tiempos de recepción

de señal, se determina que el barco está

160 millas más cerca de B que de A. ¿Dónde está el barco?

6. Diseño de un telescopio. El diseño de un telescopio Cassegrain (que data de 1672) hace uso de las

propiedades reflectoras de la parábola y la hipérbola. En la figura se muestra un espejo parabólico

(seccionado), con foco en F1 y eje a lo largo de la recta l y un espejo hiperbólico, con un foco también en F1

y eje transversal a lo largo de l. ¿En dónde, finalmente, se colectan las ondas de luz entrantes paralelas al eje

común?




FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

UNIDAD III-. FUNCIONES REALES.

7.1. Localice los puntos A y B, y calcule la pendiente de la recta que pasa por A y B.

a) A(–4 , 6), B(–1, 18) b) A(6 ,–2 ), B(–3, 5)

c) A(–1 ,–3 ), B(–1, 2) d) A(–3 ,–4), B(2, 4)

7.2. Utilice pendientes para demostrar que los puntos son vértices del polígono especificado.

a) A(–3 , 1), B(5, 3), C(3, 0), D(–5, –2); Paralelogramo

b) A(6, 15), B(11, 12), C(–1 ,–8), D(–6, –5); Rectángulo

c) A(1, 4), B(6, –4), C(–15, –6); Triangulo Rectángulo

7.3. Trace las gráficas de la recta en el mismo plano de coordenadas.

a) y = x + 1, y = x – 1, y = – x + 1 b) y = –2x – 1, y = –2 x + 3 ^ y = 1

2x +3

7.4. Hallar la ecuación de la recta, determinado los coeficientes de la forma general, que es

Perpendicular a la recta 3x – 4y + 11 = 0 y pasa por el punto (–1, –3).

7.5. Hallar el valor de k para que la recta kx + (k–1)y –18 = 0 sea perpendicular a la

recta 4x+y+7=0.

7.6. Determinar el valor de k para que la recta 4x + 5y + k = 0 forme con los ejes coordenados un

triángulo rectángulo de área igual a 2 unidades cuadradas.

7.7. Hallar el valor de k para que la recta kx + (k – 1)y – 18 = 0 sea paralela a la

recta 4x + 3y + 7 = 0.

7.8. Demostrar que las rectas 2x – y – 1 = 0, x – 8y + 37 =0, 2x – y – 16 = 0 y x – 8y + 7 = 0 forman

un paralelogramo, y hallar las ecuaciones de sus diagonales.

7.9. Demostrar que las rectas 5x – y – 6 = 0, x + 5y – 22 = 0, 5x – y – 32 = 0 y x + 5y +4 = 0,

forman un cuadrado.

7.10. Encuentre la ecuación de la recta que satisface las condiciones dadas.

a) Pasa por A(2, – 6), pendiente 1/2.

b) Abscisa en el origen – 4 y coordenada en el origen 8.

c) Pendiente 6, intercepción en Y igual a – 2.

d) Pasa por A(–5, 1), es perpendicular al eje y.

e) Pasa por (–3/2, 1/2) y es paralela a la recta x + 3y = 1

7.11. Use la forma de Pendiente Intercepto. Para calcular la pendiente y trace la gráfica.

a) 3x – 4y + 8 = 0 b) 2y – 5x = 1 c) 8x = 1 – 4y d) x = 3y + 7

7.12. Encuentre un número real k tal que el punto P(–1, 2) se encuentre en la recta kx + 2y – 7 = 0.

7.13. Determine todos los valores de r tales que la pendiente de la recta que pasa por los

puntos (r, 4) y (1, 3 – 2r) es menos que CINCO.

7.14. Encuentre la forma general de la recta que pasa por el punto A que satisface la condición

dada:

a) A(5, –3); pendiente – 3 d) A(–3, 5); paralelo a la recta x + 3y = 1

b) A(4, 0)pendiente –3 e) A(7, –3); perpendicular a: 2x – 5y = 8

c) A(–1, 6); cruce en el X en 5. f) A(4, 5); perpendicular a la recta 3x + 2y = 7

7.15. Encuentre la forma ordenada en el origen de la recta que satisface las condiciones dadas.

a) Intersección con el eje X en cuatro e intersección con el eje Yen menos tres.

b) Que pase por los puntos A(5, 2) y B(–1, 4)

7.16. Encuentre la ecuación de la recta mostrada en las siguientes figuras

a) b) c)

7.17. Encuentre la ecuación de la circunferencia que tiene centro C(3, –2)

y es tangente a la recta y=5.

7.18. Halle la ecuación de la recta que es tangente a la circunferencia x2 + y

2 = 25

en el punto P(3, 4).

7.19. Edad del feto. El crecimiento de un feto de más de doce semanas de edad se puede aproximar

con la formula L = 1.53t – 6.7, donde L es la longitud (en centímetros) y t es la edad (en

semanas). La longitud prenatal de puede determinar por ultrasonido. Aproxime la edad de un

feto cuya longitud es de 28 cm.

7.20. Peso de una ballena jorobada. El peso esperado E (en toneladas) de una ballena jorobada se

puede aproximar por su longitud L (en pies) con la formula W = 1.7L – 42.8 para 30 ≤ L ≤ 50.

a) Estime el peso de una ballena jorobada de 40 pies.

b) Si el error al estimar la longitud pudiera ser de hasta 2 pies, ¿cuál es el error

correspondiente para el peso estimado?

7.21. Peso en la infancia. Un bebe pesa 10 libras al nacer y tres años más tarde, el peso del niño es

de 30 libras. Suponga que el peso W (en libras) en la infancia está linealmente relacionado con

la edad t (en años).

a) Exprese W en términos de t.

b) ¿Cuál es W en el sexto cumpleaños del niño?

c) ¿A qué edad el niño pesará 70 libras?

d) Trace en un plan tW, una gráfica que muestre la relación entre W t para 0 ≤ t ≤ 12

7.22. Los productos farmacéuticos deben especificar las dosis recomendadas para adultos y para

niños. Dos de las fórmulas que se han sugerido para obtener las dosis para niños a partir de las

de adultos

son las siguientes:

i) Regla de Cowling y = 𝑡+1

24𝑎 ii) Regla de Friend y =

2

25𝑡𝑎

donde “a” denota la dosis para adultos (en miligramos, mg.) y “t” indica la edad del niño (en años)

a) Tomando a = 100, grafique las dos ecuaciones lineales en el mismo sistema de

coordenados para 0 ≤ t ≤ 12.

b) ¿Para qué edad las dos fórmulas especifican la misma dosis?

7.23. La resistencia eléctrica R (en ohm, w) de un alambre de metal puro tiene una relación lineal

con la temperatura T (en °C) dada por las formulas.

R = Ro (1 + aT )

Para alguna constante a y R0 >0

a) ¿Qué significado tiene Ro?

b) En el cero absoluto (T = – 273°C), R = 0. Calcule “a”

c) A 0°C, la resistencia del alambre de plata es de 1.25w. ¿A qué temperatura se

duplica la resistencia?




UNIDAD III. FUNCIONES POLINOMIALES -- CUADRATICAS

Ejercicio 8.1-. Encuentre la ecuación estándar de cualquier parábola que tenga vértice V(h, k).

a) V(– 3, 2 ) b) V(4, –1) c) V(2, 0) d) V(1

2,

2

3)

Ejercicio 8.2-. Exprese f(x) en la forma z(x – h)2 + k a) f(x) = – x2 – 4x – 8

b) f(x) = – 4x2 + 16x – 13 c) f(x) = 5x2 + 4x + 17 d) f(x) = –3

4x2 + 9x – 34

Ejercicio 8.3-. Considere las siguientes funciones: a) f(x) = x2 – 4x b) f(x) = 6x2 + 7x – 24 c) f(x) = – 4x2 – 4x + 8 d) f(x) = – 5x2 – 6x – 6 e) f(x) = 2x2 – 4x – 11 f) f(x) = – 3x2 – 4x – 43 Use la formula cuadrática

para hallar los ceros de f y encuentre el valor máximo o mínimo de f(x). Trace la gráfica de f.

Ejercicio 8.4-. Encuentre la ecuación estándar de la parábola que se muestra en las figuras de 8.6) Ejercicio 8.5-. Encuentre la ecuación estándar de la parábola que tiene un eje vertical y satisface las condiciones dadas. a) Vértice (0, –2), que pasa por (3, 25) b) Vértice (0, 5), que pasa por (2, 3) c) Vértice (3, 5), intersección en o con el eje x. d) Intersecciones con eje x en –3 y 5, el punto más alto tiene coordenadas y en 4. Ejercicio 8.6-. Rapidez de crecimiento infantil. La rapidez de crecimiento “y” (en libras por mes) de un infante esta relacionada con el peso “x” (en libras) por la formula y = cx(21 – x), donde c es una constante positiva y 0< x 21- ¿A qué peso se presenta la máxima rapidez de crecimiento?

Ejercicio 8.7-. Rendimiento de gasolina. El número de millas M que cierto automóvil puede recorrer con un galón de gasolina, a una velocidad de v kil / h, está dado por:

M = v2 + v. 0 < v < 70, entonces: a) Encuentre la velocidad más económica para un viaje. b) Encuentre el máximo valor de M.

Ejercicio 8.8-. Altura de un proyectil. Un objeto se proyecta verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio, con una velocidad inicial de 144 ft / s. su distancia s(t) en pies sobre el suelo después de t segundos está dada por la ecuación. S(t) = – 16t2 + 144t + 100. Entonces: a) Encuentre su máxima distancia sobre el suelo. b) Encuentre la altura del edificio. c) Encuentre dos números reales positivos cuya suma sea 40 y cuyo producto sea un máximo. d) Encuentre dos números reales positivos cuya diferencia sea 40 y cuyo producto sea un mínimo. Ejercicio 8.9-. Trace la gráfica de f para el valor indicado de “c” ó ”a” a) f(x)=2x3 +c; c=3, c= –3

b) f(x) = ax3 +2; a = 2, a = – 1

33 d) f(x) = ax3 – 3; a = 1 – 2 , a = –

1

4

Ejercicio 8.10-. Relacione cada grafica con una ecuación

a) f(x) = x(x – 2)2 b) f(x) = – x2 (x – 2) c) f(x) = (x + 1)(x – 1)(x – 2 ) d) f(x) = (x + 1)(x – 1)2 (x – 2) Ejercicio 8.11-. Encuentre todos los valores de x tales que f(x) > 0, y toda x tal que f(x) < 0, y trace la gráfica de f. a) f(x) = x3 – 2 b) f(x) = x5 +1 c) f(x) = x4 – 4x2

d) f(x) = – x3 + 3x2 + 10x e) f(x) = – 1

6(x + 2)(x – 3)(x – 4) f) f(x) = x4 – 6x2 + 8

g) f(x) = x2(x + 2)(x – 1)2 (x – 2) . Ejercicio 8.12-. a) Trace la gráfica de f(x) = (x – a)(x – b)(x – c), donde a < 0 < b < c.

b) ¿Cuál es la intersección con el eje Y? c) ¿Cuál es la solución de f(x) < 0?

d) ¿Cuál es la solución a f(x) 0?

Ejercicio 8.13-. Si f(x) 3x2 – kx2 + x – 5k, encuentre el número k tal que la gráfica de f contiene el punto P(–1, 4). Ejercicio 8.14-. Si un cero de f(x) = x3 – 3x2 – kx + 12 es – 2, encuentre los otros dos ceros. Ejercicio 8.15-. Un polinomio de Legendre. El polinomio P(x) = (5x3 – 3x) de tercer grados de Legendre se presenta en la solución de problemas de transferencia de calor en física e ingeniería. Encuentre todos los valores de x tales que p(x) > 0 y para toda x tal que p(x) < 0, y trace la gráfica de P. Ejercicio 8.16-. Un polinomio de Chebyshev. El polinomio f(x) = 8x4 – 8x2 + 1 de cuarto grado de Chebyshev se presenta en estudios de estadística. Encuentre todos los valores de x tales que f(x) > 0. Ejercicio 8.17-. Construcción de una caja. De una pieza rectangular de cartón que tiene dimensiones de 20 x 30 pulgadas, se va a fabricar una caja abierta al cortar cuadrados idénticos de área x de cada esquina y volteando hacia arriba los lados. a) Demuestre que el volumen de la caja está dado por la función V = x(20 – 20x)(30 – 2x). b) Encuentre todos los valores positivos de x tales que V(x) > 0 y trace la gráfica de V para x > 0 Ejercicio 8.18-. Construcción de una reja de madera. El bastidor para la reja De embarque se va a construir con 24 pies de madera de 2 x 2. a) Si la reja debe tener extremos cuadrados de x pies de lado, exprese el volumen exterior V de la reja como función de x (no considere el grosos de la madera. b) Tace la gráfica de V para x > 0.

Ejercicio 8.19-. Flexión se trampolines. Un clavadista está en el extremo de un trampolín antes de lanzarse al agua. La flexión d del trampolín en una posición s pies del extremo estacionario está dado

por d = cs2 (3L – s) para 0 s L, donde L es la longitud de la tabla y c es una constante positiva que depende del peso del clavadista y de la propiedades físicas de la tabla. Suponga que la tabla mide 10 pies de largo. a) Si la flexión en el extremo de la tabla es 1 pies, encuentre “c”

b) Demuestre que flexión es 1

2 pie entre s = 6.5; s = 6.6




UNIDAD III. TIPOS DE FUNCIONES

EJERCICIOS 9.1 Trace, en el mismo plano de coordenadas, las gráficas de f para los valores de c, (haga uso de simetría. Desplazamientos, elongación, compresión

o reflexión). a) f(x) = |𝑥| + c; c = {– 3, 1, 3} b) f(x) = |𝑥 − 𝑐|; c = {– 3, 1, 3}

c) f(x) = |𝑥2 − 𝑐| + c; c = {3, 2, 1} d) f(x) = 2x + c; c = {– 3, 0, 2 }

e) f(x) = √9 − 𝑥2 + c; c = {– 3, 0, 2} f) f(x) = 1

2√𝑥 − 𝑐 + c; c = {– 2, 0, 3}

g) f(x) = – 1

2 (x – c)2 ;c = {– 2, 0, 3} h) f(x) = √𝑐𝑥 – 1; c = {– 1,

1

9, 4}

i) f(x) = √16−(𝑐𝑥)2 + c; c = { 1, 1

2, 4}

EJERCICIOS 9.2 Graficar las siguientes funciones. Encontrar Dominio y Rango

de casa función. a) f(x) = √1 − 𝑥 b) f(x) = – √3𝑥 − 1 c) f(x) = √4𝑥 − 3 + 2

d) f(x) = √𝑥3

– 2 e) f(x) = 3 – 1

𝑥 f) f(x) = 2 +

1

𝑥+4 g) f(x) =

2

𝑥+3 – 1

h)f(x) = 3 – 1

𝑥+5

EJERCICIOS 9.3 Grafique las siguientes funciones e indique Dominio y Rango

a) f(x) = 𝑥−2

𝑥+1 b) f(x) =

3𝑥−1

𝑥+2 c) f(x) =

2𝑥+4

𝑥−2 d) f(x) =

−2𝑥+3

3𝑥+6

e) f(x)= –2|𝑥 − 3|+4 f) f(x) = |3𝑥 + 2| – 1 g) √|𝑥| + 1 h) f(x) = |𝑥2 − 2𝑥 − 3| + c

i) f(x) = |3 − 2𝑥| + |2𝑥 + 1| + |𝑥 + 4| j) f(x) = |𝑥+1

𝑥−1| k) f(x) = |

2𝑥+1

𝑥−3|

EJERCICIOS 9.4 La gráfica de una función f con Dominio [0, 4] se muestra en la figura . Trace la gráfica de la ecuación dada en cada literal.

a) y = f(x+ 3) b) y = f(x – 3) c) y = f(x) + 3

d) y = 1

3f(x) e) y = – f(x + 2) – 3

f) y = f(x – 2) + 3 g) y = |𝑓(𝑥)| h) y = f(|𝑥|)

EJERCICIOS 9.5 Trace la gráfica de f e indique Dominio y Rango.

a) f(x) = {3 𝑆𝑖 𝑥 − 1

−2 𝑆𝑖 𝑥 > −1 b) f(x) = {

−1 𝑆𝑖 𝑥 −2 𝑆𝑖 𝑥

c) f(x) = {3 𝑆𝑖 𝑥 < −2

−𝑥 + 1 𝑆𝑖 |𝑥| ≤ 2−3 𝑆𝑖 𝑥 > 2

d) f(x) = {−2𝑥 𝑆𝑖 𝑥 < −1𝑥2 𝑆𝑖 |𝑥| < 1

−2 𝑆𝑖 𝑥 ≥ 1 e) f(x) = {

𝑥 + 2 𝑆𝑖 𝑥 < −1𝑥3 𝑆𝑖 |𝑥| < 1

−𝑥 + 3 𝑆𝑖 𝑥 ≥ 1 f) f(x) = {

𝑥 − 3 𝑆𝑖𝑥 ≤ −2−𝑥2 𝑆𝑖 − 2 < 𝑥 < 1−𝑥 + 4 𝑆𝑖 𝑥 ≥ 1

EJERCICIOS 9.6 Trace la gráfica de la ecuación. a) y = |9 − 𝑥2|

b) y = |𝑥3 − 1| c) y = |√𝑥 − 1| d) y = ||𝑥| − 1| e) y = – |2𝑥 + 3|

f) y = – |2𝑥 − 5| – 5 g) y = 5|2𝑥 − 1| + 1 h) y = 3|𝑥 + 1| − 5

EJERCICIOS 9.7 Sea y = f(x) una función con Dominio Df = [–2, 6] y Rango R = [– 4, 8]. Encuentre el Dominio y el Rango Rf para cada función. Suponga que f(2) = 8 y f(6) = – 4.

a) y = – 2f(x) b) y = 1

2f(x) c) y = f(x – 3) + 1 d) y = – f(x)

e) y = f(– 2x) f) y = f(|𝑥|) g) y = |𝑓(𝑥)| EJERCICIOS 9.8 Encontrar el Dominio y Rango de las siguientes funciones.

a) f(x) = √3𝑥 − 5 b) f(x) = 2𝑥+1

𝑥−3 c) f(x) =

𝑥−5

𝑥−8 d) f(x) =

𝑥

𝑥2+𝑥−2

e) f(x) = 𝑥+1

(𝑥−1)(𝑥+4) f) f(x) =

𝑥3−1

𝑥2−1 g) ) f(x) = 4√1 +

(𝑥+1)2

4+ 2 h) f(x) =

1

𝑥

1+1

1+1𝑥

EJERCICIOS 9.9 El símbolo [x] denota valores de la Función Entero Mayor. Trace la gráfica de f.

a) f(x) = [𝑥 − 3] b) f(x) = [𝑥] – 3 c) f(x) = 2[𝑥] d) f(x) = [2𝑥] e) f(x) = [𝑥 + 2] f) f(x) = – [−𝑥]

EJERCICIOS 9.10 Determine el Dominio de f(x) = 1

[𝑥].

g(x) = {5 − 𝑥 𝑆𝑖 − 2 < 𝑥 < 3

𝑥 + [2

1−𝑥] 𝑆𝑖3 ≤ 𝑥 ≤ 5




UNIDAD III. TIPOS DE FUNCIONES – OPERACIONES CON FUNCIONES Y LA

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

EJERCICIOS 10.1 Dadas las siguientes funciones realice las operaciones

Indicadas: f + g, f – g, f.g, f/g; para cada literal. a) f(x) = 2x + 5, g(x) = 3 – x

b) f(x) = 𝑥

2 – 1; g(x) = x + 1 c) f(x) =

1

𝑥; g(x) = x d) f(x) = x

g(x) = 1

𝑥 e) f(x) = |𝑥| g(x) = x2 f) f(x) = √𝑥 − 1 g(x) = x – 1 g)

f(x) = 2x +1 g(x) = – |𝑥| h) f(x) = 𝑥3

2 g(x) = 4x2 i) f(x) = √𝑥

3

g(x) = 𝑥

𝑥+1 j) f(x) = x√𝑥 g(x) = √𝑥

3 k) f(x) =

1

𝑥+1 g(x) =

𝑥

𝑥+1 l)

f(x) = √1 + 𝑥 g(x) = √1 − 𝑥

EJERCICIOS 10.2 Dadas las funciones siguientes calcule los dominios y los

rangos de f – g, f + g, f.g, 𝑓

𝑔 a) f(x) = x g(x) = √𝑥 − 1 b) f(x) =

2 √𝑥 g(x) = √𝑥 + 1 c) f(x) = x – 1 g(x) = x2 – 4 d) f(x) =

2x 2 g(x) = x e) f(x) = 3 g(x) = x2 +1 f) f(x) = 1 g(x) = 1 + √𝑥

EJERCICIOS 10.3 Sean las funciones definidas por f(x) = √−𝑥 g(x) = 3x2 . Calcule

lo indicado.

a) (f + g)(–2) b) (f – g)(– 4) c) (f.g)(– 4) d) (𝑓

𝑔)

e) Dom (f + g) f) Dom(f.g) g) Don(𝑓

𝑔) h) Dom(

𝑔

𝑓)

EJERCICIOS 10.4 Sean f y g funciones definidas por f(x) = |𝑥| y g(x) = x2/3 +1,

entonces calcule: a) (f – g)(8) b) (f + g)( – 1) c) (𝑓

𝑔)

(1

8) d) (𝑓. 𝑔)

(−27

8)

EJERCICIOS 10.5 Para las funciones siguientes: Encuentre la composición fog y gof en cada caso escriba el Dominio de la función (Df) y evalué en el punto

indicado y en los últimos cinco ejercicios solo realice la composición.

a) f(x) = – x g(x) = 3x + 10; encuentre f(g(2)) y g(f(2))

b) f(x) = – 1 g(x) = 1

c) f(x) = ax + b g(x) = cx + d; a, b, c, d R con a, c 0

d) f(x) = x + 1 g(x) = 2x2 + 5; encuentre f(g( – 1)) y g(f( – 1))

e) f(x) = 2x + 1 g(x) = √𝑥 f) f(x) = √𝑥 − 1 g(x) = (x – 1)2

g) f(x) = √1 + 𝑥 g(x) = x2 h) f(x) = x3 g(x) = x2

i) f(x) = 3 – x g(x) = 2x2 – x +2 j) f(x) = 1

𝑥 g(x) =

1

𝑥−4

k) f(x) = 2

3𝑥 g(x) =

1

𝑥+1 l) f(x) =

1

√𝑥3 g(x) = √𝑥 m) f(x) =

1

√𝑥 g(x)=x2 –4x

EJERCICIOS 10.6 Complete la siguiente tabla:

g(x) F(x) (fog)(x)

a) x – 7 √𝑥

b) x + 2 3x

c) √𝑥 − 5 √𝑥2 – 5

d) 𝑥

𝑥 − 1

𝑥

𝑥 − 1

e) 1+ 1

𝑥 x

f) 1

𝑥

x

EJERCICIOS 10.6 En las siguientes tablas se enumeran diversos valores de dos

funciones f y g, encuentre en cada caso los valores solicitados.

x 5 6 7 8

G(x) 7 8 6 5

La a) (fog)(6) b) (gof)(6) c) (fof)(6) d) (gog)(6)




UNIDAD III. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS, BIYECTIVAS

Y LA FUNCION INVERSA.EJERCICIOS

11.1-. Complete la siguiente tabla.

x 5 6 7 8

f(x) 8 7 6 5

EJERCICIOS 11.2-. ¿Cuál de las siguientes graficas corresponden a funciones

inyectivas?

a) b) c) d)

EJERCICIOS 11.3-. Determine si las siguientes graficas corresponden a funciones inyectivas: a) b) c)

EJERCICIOS 11.4-. Determine si las funciones siguientes son uno a uno

(inyectivas). a) w = {(2, 4), (3, –7), (5, 3), (– 6, 0)} e) f(x) = 2x + 5, x ε R f) f(x) = 3x – 8, x ε R

b) w = {(–4, 2), (2, 3), (4, 1), (0, 4)} g) f(x) = x2 –1, x ε R h) f(x) =– x2 +3, x εR c) w = {(– 4, 2), (5, 3), (0, 2), (4, 8)} i) f(x)=x2–2x+5, xεR j) f(x) = x2 –2x+6, x≥1 d) w = {(0, 5), (1, 4), (–3, 5), (4, 2)} k) f(x) = x2 – 9, x ≤ 0 l) f(x) = x2 – 9 , x ≥ 0.

EJERCICIOS 11.5-. Dada la función f: R ---R, definida por f(x) = {𝑥 − 3; 𝑆𝑖 𝑥 < 𝑘2𝑥 + 7, 𝑆𝑖𝑥 ≥ 𝑘

Encontrar “k”, de manera que f sea biyectiva

EJERCICIOS 11.6-. Encuentre la función inversa f de las siguientes funciones. Suponga que las funciones tan definidas en R.

a) f(x) = 7x j) f(x) = 5 + 6x s) f(x) = 𝑥+12

9 aa) g(x)=–5√2𝑥 − 9+17

b) f(x) = 3x k) f(x) = 2 – 8x t) f(x) = 𝑥+10

4 ab) f(x) = √4 − 𝑥2

c) f(x) = – 10x l) f(x) = 12 – 10x u) f(x) = 8 – 5x3 ac) g(x) = √1 + 𝑥2

d) f(x) = 𝑥

3 m) f(x) = – x+25 v) h(x) = 10x3 – 6 ad) g(x)=5√4 + 𝑥2–12

e) f(x) = 3𝑥

8 n) f(x) = 2 + 9x w) h(x) = √3𝑥 − 5 ae) g(x)=–9√7 − 𝑥2 + 1

f) f(x) = – 𝑥

13 o) f(x) = –17 – 6x x) h(x) = √−9𝑥 + 15 af) f(x) = √𝑥

3

g) f(x) = 4x – 6 p) f(x) = 𝑥−8

3 y) h(x) = √𝑥 + 1 ag) j(x) = √𝑥 + 8

3

h) f(x) = 3x + 10 q) f(x) = 2𝑥+1

5 z) g(x)=6√15 − 𝑥 –3 ah) h(x) = √1 − 𝑥23

i) f(x) = 9x – 11 r) f(x) = 𝑥−8

−2 aa) g(x) =–5√2𝑥 − 9+17 ai) f(x) = (x – 1)3

aj) h(x) = (6x + 13)2 ak) f(x) = (– 4x – 11)2

EJERCICIOS 11.7-. Determine el dominio y el Rango de f(x) y encuentre su

inversa: a) W = {(4, 0)(8, 9)(2, 7)(−1, 6 ), (−2, 4)} ´

b) W = {(–2,–3), (–4, 0), (5, 3), (6, 2), (2, 1

2)}

EJERCICIOS 11.8-. Para cada función, determine si es una a uno y si lo es, calcule su inversa. a) f(x) = x – 2 b) f(x) = 4x c) f(x) = 3x2

d) f(x) = x2 + 3 e) g(x) = 1

𝑥 f) f(x) = x2 + 10 g) f(x) = x3 – 6

h) f(x) = x + 5 i) f(x) = 2x – 7 j) r(x) = |𝑥| k) m(x) = – x2 + x + 8

l) h(x) = 5

𝑥 m) g(x) = x3 + 9 n) f(x) = √𝑥, x ≥ 0

EJERCICIOS 11.9-. Determine si la función es biyectiva, Si lo es, calcule su

inversa; si no lo es , restrinja el (Rango) de modo que la función sea biyectiva y

calcule su inversa. a) f(x) = 2 – 3x3 b) f(x) = 5x2 +2 c) f(x) = √4 − 𝑥2

d) f(x) = – x3 + 2 e) f(x) = √𝑥3

+ 1 f) f(x) = (x3 + 1 )5 g) f(x) = √𝑥 + 43

h) f(x) = –√𝑥 − 5 i) f(x) = √3 − 𝑥 j) f(x) = 4𝑥+5

3𝑥−8 k) f(x) =

4𝑥

𝑥−2 l) f(x) =

5

𝑥+3

EJERCICIOS 11.10-. Para las funciones f uno a uno, determine su inversa y

grafique f y f –1 en el mismo sistema de ejes coordenados.

a) f(x) = 2x + 8 b) f(x) = – 3x + 6 c) f(x) = √𝑥 , x ≥ 0

d) f(x) = – √𝑥 , x ≥ 0 e) f(x) = √𝑥 − 1 , ≥ 0 f) f(x) = √4 + 𝑥 ; x ≥ 0

g) f(x) = √𝑥3

h) f(x) = √𝑥 + 33

i) f(x) = 1

𝑥 , x > 0 j) f(x) =

1

𝑥

EJERCICIOS 11.11-. Para cada par de funciones inversas, demuestre que

(f o f–1 ) = x y que (f –1 o f) = x:

a) f(x) = x – 8, f – 1 (x) = x + 8 b) f(x) = 1

2x + 3 , f – 1 (x) = 2x – 6

c) f(x) = √𝑥 − 23

, f – 1 (x) = 3x3 + 2 d) f(x) = 𝑥

3 , f – 1 (x) =

3

𝑥

e) f(x) = 7x + 3, f – 1 (x) = 𝑥−3

7 f) f(x) = –

𝑥

3 +2, f – 1 (x) = – 3x + 6

g) f(x) = √𝑥 + 93

, f – 1 (x) = x3 – 9 h) f(x) = √𝑥 + 5, f – 1 (x) = x2 – 5, x ≥ 0

EJERCICIOS 11.12-. Sea h(x) = 4 – x, la tabla y la gráfica de abajo para evaluar las expresiones siguientes: a) (g–1 o f–1 )(2) b) (g–1 o h )(3)

c) (h–1 o f o g–1 )(3) d) (g o f–1 )(–1) e) (f–1 o g–1 )(3) f) (h–1 o g–1 o f)(6)

x 2 3 4 5 6

f(x) –1 0 1 2 3




UNIDAD III. FUNCIONES: EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

EJERCICIOS 12.1 Graficar las funciones exponenciales: f(x) = Exp3 (x)

g(x) = (1

3)

𝑥

h(x) = Expe (x) i(x) = ex +1 j(x) = Exp5 (x) + 1 k(x) = 2x – 2

EJERCICIOS 12.2 Determine el dominio, rango e intersecciones con los ejes. Luego trace la gráfica de la función dada: a) f(x)= Log(x + 10)

b) g(x)= Ln(x – 1) c) h(x)= Log3 (1

𝑥) + 1 d) i(x) = 3Log5 (2 – x) – 2

EJERCICIOS 12.3 Para cada una de las siguientes expresiones, calcule el valor de la letra para que la igualdad sea verdadera.

a) Log2 N = 4 b) Logc 32 = 5 c) Log3 (1

9) = b

EJERCICIOS 12.4 En cada una de las siguientes expresiones, calcule el valor de la letra que la igualdad sea verdadera. a) Logx 1 = 0

b) Logx (𝑥2 + 𝑥) = 2 c) Log2 (− 𝑥 + 1) = 3 d) Log4 2 = x + 1

e) Logx+1 (4) = 2 f) Logx (2𝑥2 − 𝑥) = 2 g) Log2 (1

4) = x h) Log8N = –

1

2

i) Log-8 x = 1

3 j) Log-17 (𝑥2 − 9) = 1 k) Log2 (𝑥2 + 2𝑥) = x

EJERCICIOS 12.5 Considere las funciones definidas por:

f(x) = Ln(x) g(x) = 3𝑥 + 1 h(x) = Log2 (x+2) m(x) = 3𝑥 + 1 p(x) = Ln(– x + 3) q(x) = Log10 (1 – 3x)

Para cada una de ellas: a) Determine su máximo dominio real.

b) Realice su trazo.

EJERCICIOS 12.6 Resolver para x las ecuaciones siguientes. a) 3 = 𝑒𝑥

b) 7 = 𝑒−6𝑥) c) 11 = 2𝑥

3 d) √5 =

𝑟𝑥

√5 3(27𝑥) e) 𝑒𝑥 = 81 f) 3−𝑥 = 27

g) 92𝑥 = 3(27𝑥) h) 3𝑥+1 = 729 i) 4(16𝑥) = 64𝑥−1 j) 54𝑥2−4𝑥−3 = 1

k) 8𝑥−1. 2𝑥. 1

4𝑥−2 = 1

16 l) √125𝑥 .

1

25𝑥−1 = √5𝑥

EJERCICIOS 12.7 Verifique la identidades siguientes.

a) Log [𝑥3.102𝑥

10𝑥2 ] = 3Logx +2x – x2 b) Log3 √2√33

= Log3 √23

– Log3 √𝑥6

EJERCICIOS 12.8 Resuelva para “x”, para cada una de la ecuaciones siguientes.

a)32𝑥+2 − 5.3𝑥+1 – 6 = 0 b) 9𝑥−2 + 3𝑥−1 – 2 = 0 c) 27𝑥+3 = (√3)

𝑥

9𝑥−2

d) 31−2𝑥 = 2𝑥+5 e) 107−2𝑥 = 35−3𝑥 f) 52+𝑥 = 4𝑥−1

g) – Log(x – 1) = 2 h) – Log2 (x – 2) = 1 i) Log√𝑥 = √𝐿𝑛𝑥

j) 2𝐿𝑜𝑔(1+𝑥)

𝐿𝑜𝑔(𝑥+2) = 0 k) –1 + Logx) =

−1−𝐿𝑜𝑔𝑥

𝐿𝑜𝑔𝑥+1

PROBLEMAS 12.1 Problemas de aplicación.

a) El número de bacterias de cierto cultivo aumento de 600 a 1800 entre las

7:00 am y las 9:00am. Suponiendo que el crecimiento es exponencial, el número f(t) de bacterias “t” horas después de las 7:00am está dado por

f(t) = (600)3𝑡

2 . se pide entonces: i) Estimar el número de bacterias del cultivo a las 8:00 am y a las 11:00am ii) Trace la gráfica de f para 0 ≤ t ≤ 4.

b) Un medicamento es eliminado del cuerpo por la orina. Suponga que para una dosis de 10 miligramos, la cantidad A(t) restante del cuerpo “t” horas después está dado por A(t) = (10)(0.8)t y que para que el medicamento sea

eficaz, al menos 2 miligramos deben estar en el cuerpo. Entonces i) Determine cuando quedan 2 miligramos en el cuerpo. ii) ¿Cuál es la vida

media del medicamento? c) c) Suponga que 20000 dólares se depositan en una cuenta de mercadeo de

dinero que paga interés a razón de 6% por año capitalizando

continuamente. Determine el saldo de la cuanta después de 5 años. (Sugerencia: utilice la fórmula de interés capitalizado continuamente A(t) =

C𝑒𝑖𝑡)




UNIDAD III. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS:

EJERCICIOS 13.1 Si el ángulo dado esta en posición estándar, encuentre dos ángulos coterminales positivos y dos ángulos coterminales negativos:

a) 120°, 135° y – 30° b) 240°, 315° y – 150 c) 5𝜋

6 ,

2𝜋

3 y

−5𝜋

4

EJERCICIOS 13.2 Encuentre la medida exacta del ángulo en radianes a) 150°, 1 – 60° y 225° b) 120°, – 135° y 210° c) 450°, 72° y 100°

EJERCICIOS 13.3 Encuentre la medida exacta del ángulo en grados

a) 𝜋

3 ,

11𝜋

6 y

3𝜋

4 b)

11𝜋

4 ,

5𝜋

2 y

𝜋

16 c)

5𝜋

6 ,

2𝜋

3 y

−5𝜋

4

PROBLEMAS 13.1 a) La distancia entre dos puntos A y B en la Tierra se mide a lo largo de una cir-

largo de una circunferencia cuyo Centro es C, en el centro del al Tierra y radio igual a la distancia de C a la superficie (de la figura). Si el diámetro de la Tierra es aproximadamente 8000 millas, calcule la distancia entre A y B si el <ACB es

la medida indicada a) b)

b) Consulte el ejercicio anterior. Si el ángulo <ACB mide 1°, entonces la distancia entre A y B es una milla náutica. Calcule el número de millas terrestres en una milla náutica.

c) Una ventana rectangular mide 54 x 24 pulgadas. Hay una hoja limpiadora de

17 pulgadas unida por un brazo de 5 pulgadas al centro de la base de la ventana, como se ve en la figura 1.b. Si el brazo gira 120°, calcule el porcentaje del área de la ventana que es limpiado por la hoja.

d) El pico del Monte Fuji de Japón mide aproximadamente 124 Pies de altura. Un

estudiante de trigonometría, situada a varias millas del monte, observa que el ángulo entre el nivel del suelo y el pico es de 30°.

e) Stonehenge en los llanos de Salisburg Inglaterra, fue construido usando bloques de piedra maciza de más de 99000 libras cada uno. Levantar un solo

bloques requerido requería de 550 personas que lo subían por una rampa inclinada a un ángulo de 9°. Calcule la distancia que un bloque era movido

para levantarlo a una altura de 30pies. EJERCICIOS 13.4 Un punto P(x, y) se muestra en la circunferencia unitaria U

correspondiente a una número real “t”. encuentre los valores de las funciones trigonométrica en t.

EJERCICIOS 13.5 Usar la gráfica de una función trigonométrica básica para trazar la gráfica de la ecuación sin localizar puntos.

(funciones asociadas) a) f(x) = Sen(x) + 2 b) g(x) = Cos(x) – 2 c) h(x) = 1 + Tg(x) d) r(x) = Cot(x) – 1

EJERCICIOS 13.6 El 17 de marzo de 1981, en Tucson, Arizona, la temperatura

En grados Farenheit pudo calcularse con la ecuación T(t) = – 12Cos(𝜋𝑡

12) + 60

donde el porcentaje de humedad relativa podría expresarse con . . . . .

H(t) = 20Cos(𝜋𝑡

12) + 60 donde tt es en hotaras y t = 0 corresponde a las 6:00 a. m-

a) Construya una tabla que contenga la temperatura máxima y la humedad relati va cada tres horas, empezando a media noche.

b) Determine las horas cuando el máximo y el mínimo ocurrieron para T y H c) Analice la relación entre la temperatura y la humedad relativa en este día

EJERCICIOS 13.7 Encuentre la Amplitud, el periodo y el Desplazamiento de Fase y trace la gráfica de la ecuación a) y = 4Sen(x) b) y = Sen(4x)

c) y = – 3Cos(2x) d) y = Sen(x – 𝜋

2) e) y = Cos(x –

𝜋

4) f) y = 3Cos(x +

𝜋

6)

g) y = Sen(2x – ) + 1 h) y = – Sen(3x + ) – 1 i) y = 3Cos(3x – )

j) y = Sen( 𝑥

2 –

𝜋

3) k) y = Tg(x –

𝜋

4) l) y = Ctg(x –

𝜋

2) m) y =

1

3 Tg(2x –

𝜋

4) n)

y = 2Ctg(2x + 𝜋

2) ñ) y = Sec(x –

𝜋

2) o) y = Csc(x –

𝜋

2)

EJERCICIOS 13.8-. Para cada una de las gráficas que se muestran encuentre la

amplitud, Período y Desplazamiento de fase. Escriba la ecuación que describe la gráfica.

EJERCICIOS 13.9-. Graficar las siguientes funciones: a) y = |𝑆𝑒𝑛𝑥| b) y = |𝐶𝑜𝑠𝑥| c) y = xSenx d) y = 𝑒𝑥𝐶𝑜𝑠𝑥

EJERCICIOS 13.10-. Verifique las siguientes identidades.

a) (1 + Cos(2θ))( 1– Cos(2θ)) = Sen2 (2θ) c) 𝑆𝑒𝑛

𝜃

2

𝐶𝑠𝑐𝜃

2

+ 𝐶𝑜𝑠

𝜃

2

𝑠𝑒𝑐𝜃

2

= 1

b) Cos2 (2θ) – Sen(2θ) = 2cos2 (2θ) – 1 EJERCICIOS 13.11-. Hallar la solución de las siguientes ecuaciones trigonomét

a) Sen(x) = – √2

2 b) Cost = – 1 c) Tgx = √3

d) Csc(x)Sen(x) = 1 e) Cos(x) + 1 = 2Sen2 (x) f) 2Cos2 (t)+ Sen(t) = 1

g) (2Sen(u) – 1)(Cos(u) – √2 ) = 0 h) 4Sen(u)Cos(u)+6Se(u)+2Cos(u)+3=0

EJERCICIOS 13.12-. Encuentre el valor exacto

a) Sen – 1 (1

2) b) Cos – 1 (−

1

2) c) Tg – 1 (−

1

√3) d) Ctg – 1 (−

6

√12)

e) Sec – 1 (2

√3) f) Sen – 1 (1) g) Ctg – 1 (−√3)

EJERCICIOS 13.13 Graficar y determinar Dominio (Df) y Rango (Rf).

a) y = Cos – 1 (−𝑥

2) b) y = Sen – 1(x + 1)

c) y = Tg – 1 (x) + 2 d) y = Sen(Sen – 1 (x))

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