UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de Fundamentos del Análisis Económico I

Teoría de juegos:Juegos dinámicos

(información perfecta)

Rafael Salas marzo de 2013

Juegos dinámicos

1. Juegos secuenciales. Está claro el orden en que mueven los jugadores

Información perfectaInformación imperfectaInformación incompleta

2. Juegos estáticos que se juegan un número repetido de veces: juegos repetidos

Juegos dinámicos con informacón perfecta

Ejemplo 4-1 (secuencial): Dos empresas rivales consideran la posibilidad de entrar o no en el mercado.Si entran las dos empresas tienen unas pérdidas de 10.Si sólo entra una y la otra, no; tienen beneficios de 50 y0, respectivamente. Para hacerlo dinámico, la empresa 2observa lo que hace la 1 antes de tomar la decisión.

Es un juego dinámico con información perfecta.Antes habíamos resuelto este mismo juego como unjuego estático. ¿Existirá algún cambio decomportamiento al hacerlo secuencial?¿Quién saleganando?

Versión estática

En forma estratégica.

.

EMP 2

EMP 10

F E

F

E

0 50

0

50

0

-10

-10

Versión dinámica

En forma extendida.

.

1

22

(-10,-10)

EF

F FE E

(50, 0)(0, 50)(0, 0)

Versión dinámica

En forma estratégica.

.

EMP 2

EMP 10

FF EE

F

E

0 50

0

50

0

-10

-10

FE EF

0

500

0

-10

-10

0

50

Conceptos de equilibrio

• Tenemos que definir los conceptos de equilibrio apropiados y estudiar sus implicaciones

• En todo caso, las soluciones de equilibrio tienen que ser algún equilibrio de Nash del juego (refinamientos del EN)

Teorema previo

• Teorema de Zermelo (1913) o de Kuhn (1953)

Todo juego finito en forma extensiva, con información perfecta,

tiene al menos un equilibrio de Nash en estrategias puras

• La demostración se obtiene por inducción hacia atrás (backward induction)

Inducción hacia atrás

Solución: nos situamos en los nodos anteriores a los terminales y optimizamos. Luego, plegamos y proseguimos...

.

1

22

(-10,-10)

EF

F FE E

(50, 0)(0, 50)(0, 0)

2

1

2

EF

(0, 50) (50, 0)

Inducción hacia atrás (IHA)

Solución:

La solución por inducción hacia atrás es (E,EF) o si se quiere la jugada [E,F] con pagos (50,0). Demostrado: siempre existe.

.

1

22

(-10,-10)

EF

F FE E

(50, 0)(0, 50)(0, 0)

Juego de las monedas con información perfecta

No siempre gana el jugador 1:

La solución de este juego trivial, en el que gana 2 es doble (CA,CRCA) y (CR,CRCA) si se quiere las jugadas [CA,CR] ó [CR,CA] con pagos (-1,1). .

1

22

(1,-1)

CRCA

CA CACR CR

(-1, 1)(1, -1) (-1, 1)

Práctica

(1) Solucionad por inducción hacia atrás los ejercicios 6 y 7 (distintas versiones) que se plantearon al principio del curso.

NOTA: Cuando aparece la incertidumbre, se aplica la optimización en cada nodo de acuerdo con la utilidad esperada.

(2) Juegos de supermercados de Selten: Un monopolio (emp 1) existente gana 5. Otra empresa (emp 2), que está pensando entrar, gana 1 si decide no entrar y si decide entrar, el monopolio puede: inundar el mercado, en cuyo caso las dos empresas obtendrían un beneficio de 0 ó repartirse el mercado, en cuyo caso las dos empresas obtendrían un beneficio de 2. Resolved por inducción hacia atrás.

.

Ejemplo 6

1

2

(1, -1)

di

I

D

(-1, 1)

(1, -1)

I DM

2

(1, -1)

(1, -1) (1, -1)(-1, 1)2

1D

i d

I

Propiedades de la IHA

• La solución por inducción hacia atrás es un EN del juego, pero no todo EN es la solución por inducción hacia atrás (es un refinamiento del EN). Véase el ejemplo 4-1.

• La solución por inducción hacia atrás incorpora el concepto de racionalidad secuencial.

• Excluye las amanazas no creíbles, pues eventualmente nunca serían realizadas por agentes racionales.

Refinamiento del EN

En el ejemplo 4-1 existen 3 EN: (E,FF),(F,EE) y (E,EF)

Sólo (E,EF) es el que se consigue por inducción hacia atrás .

EMP 2

EMP 10

FF EE

F

E

0 50

0

50

0

-10

-10

FE EF

0

500

0

-10

-10

0

50

Ejemplos

• Disuasión a la entrada

• Modelo de Stackelberg

• Modelo de negociación salarios con empresarios o sindicatos monopolistas

• Disuasión a la entrada: Teoría del precio límite de Bain (1956)

Disuasión a la entrada

Juego de los supermercados:

2

1

(2, 2)

EF

L A

(0, 0)

(5, 1)

Por inducción hacia atrás sale (A,E) con pagos (2,2)

Disuasión a la entrada (2)

No obstante existen 2 EN en forma estratégica:

.

EMP 2

EMP 15

F E

L

A

1 0

0

5

1

2

2

Por inducción hacia atrás sale (A,E) con pagos (2,2)Nos da a pensar en las propiedades de la inducción hacia atrás

Racionalidad secuencial

• La solución por inducción hacia atrás incorpora el concepto de racionalidad secuencial:

Todas las soluciones de equilibrio deben ser mejores respuestas encada nodo de decisión. Garantizado por la inducción hacia atrás

Implica una cierta consistencia dinámica, pues se excluyenlas estrategias o acciones que no son óptimas en cadanodo de decisión, que son difíciles de justificar en términosde los jugadores no tengan incentivos a desviarse de esaacción en equilibrio

Racionalidad secuencial (2)

• Implicaciones de la racionalidad secuencial:

Los EN que salen de la inducción hacia atrás la cumplen ylos que no, no la cumplen. Es lo que justifica el adoptar esterefinamiento de los EN en los juegos secuenciales

• Otra:

Este principio excluye la posibilidad de que los jugadores empleen

estrategias o amenazas no creíbles

Amenazas no creíbles

En el juego de los supermercados había 2 EN:

.

EMP 2

EMP 15

F E

L

A

1 0

0

5

1

2

2

Por inducción hacia atrás sale (A,E) con pagos (2,2)Podemos entender el otro EN (L,F) como una amenaza no creíble por parte de la empresa 1...

Amenazas no creíbles (2)

En rojo representamos en EN que sale por IHA:

2

1

(2, 2)

EF

L A

(0, 0)

(5, 1)

En azul representamos el otro EN (L,F) con pagos (5,1) L es una amenaza no creíble. Llegado el juego al nodo segundo, la empresa 1 nunca llegaría a ejercer la amenaza, que va en su perjuicio

Otros ejemplos

• Modelo de Stackelberg

• Votación con veto

• El juego de las ruedas

• El juego del ultimátum

• Juegos de negociación

Práctica

(3) Modelo de Stackelberg:

Dos empresas que producen producto homogéneo, compiten en cantidades. La demanda agregada es P=a-X, donde X=X1+X2 y los costes Ci=c Xi, donde a y c>0. La empresa 1 es la empresa líder o dominante y fija primero las cantidades y la empresa 2, que es la seguidora, las fija una vez que observa lo que hace la líder.

NOTA: Es parecido al modelo de Cournot, pero con esta estructura secuencial

.

Práctica

(4) Votación con veto:

Primero, el jugador 1 veta a uno de los candidatos {A,B,C,D}. Después, el jugador 2 veta a otro de los restantes. Por último el jugador 3 veta a otro de los restantes y el que queda sale elegido. Las preferencias de los tres jugadores es:

U1(D)>U1(C)>U1(B)>U1(A)

U2(C)>U2(D)>U2(A)>U2(B)

U3(C)>U3(A)>U3(B)>U3(D)

Resuelve por inducción hacia atrás

.

Práctica

(5) Juego de las ruedas:

Primero, el jugador 1 elige una de las tres ruedas y la hace girar. Después, y antes de que pare, el jugador 2 elige una de las restantes. Gana el que saque el número más alto.

¿Quién tiene ventaja en este juego?

.

9 4

2

8 6

1

7 5

3

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(información perfecta)

Rafael Salas Marzo de 2013