UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE … · las mismas que les permitirán comprender los...

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Ingeniera Cecilia Salazar Pinto

Ao 2015

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS

FUNDAMENTOS BSICOS DE LA MATEMTICA

APLICADOS A LA ECONOMA

ii

DEDICATORIA

A mis hijos, Ana y Pablo, a los estudiantes quienes necesitan comprender los

fundamentos matemticos para relacionarlos con otras ciencias.

Cecilia Salazar

iii

PRLOGO

Los procesos complejos de la mente, por siglos estudiados, estn gobernados por

mecanismos que de alguna manera se logran formalizar en la lgica, la cual nos permite

comprender muchas herramientas intelectuales, como los razonamientos deductivos

e inductivos, es decir nos permite manejar un buen pensamiento, lo cual da base al

pensamiento racional, lo fundamenta y permite evaluarlo.

Por todo ello, iniciar los cursos de matemtica, con un estudio concienzudo de Lgica,

permite a las jvenes generaciones adquirir poderosas herramientas del razonamiento,

las mismas que les permitirn comprender los conceptos de conjuntos y funciones,

que son el espritu mismo del anlisis matemtico, de algoritmos para la

programacin en ordenadores, de la ciencia y sobre todo de s mismos, para el

progreso propio y de la colectividad.

iv

PREFACIO

La experiencia que he tenido como docente me ha permitido cubrir diferentes ramas de

la Matemtica tales como: clculo, estadstica e investigacin operativa, que los he

desarrollado a travs de los aos.

Los conocimientos obtenidos fueron los autores para elaborar este libro, que se ajuste a

los programas de estudio, mi objetivo es cubrir con didctica los contenidos, tratando de

llegar a una enseanza personalizada.

Este libro es para las personas que inician sus estudios de Matemtica, les servir para

auto-formarse mediante la actualizacin de los cambios tecnolgicos.

Estructura

El libro consta de 7 captulos que son tratados en secuencia, cada captulo tiene el fin de

facilitar el anlisis de los temas, en cada tema consta: definiciones, teoremas, grficos,

ejemplos modelo en los que se desarrollan todos los pasos para facilitar su comprensin,

las definiciones de frmulas que estn en un recuadro para facilitar la consulta, los

ejercicios propuestos estn acompaados de la respuesta al final del captulo, con el fin

de que el estudiante pueda verificar los resultados obtenidos y alcance el dominio de

cada tema, adems existen algunas aplicaciones de la economa.

A continuacin detallo el contenido de cada unidad:

Unidad I. Ecuaciones e inecuaciones. Usadas para la modelacin de problemas de la

vida real, que son el espritu mismo del anlisis matemtico, adems de la

comprensin de algoritmos que necesariamente estn involucrados en las diferentes

operaciones y modelos matemticos. Incluyen el lenguaje y teoremas de la matemtica,

as como operaciones algebraicas.

Unidad II. Funciones. La funcin como estudio inicial para el clculo, siendo lo

fundamental, que las matemticas constituyen una herramienta bsica, fundamental de

trabajo para todo buen profesional, pues a travs de la lectura correcta y la

interpretacin adecuada de las respuestas obtenidas en los diferentes procesos, permitir

v

tomar las mejores decisiones, ya que stas se encuentran respaldadas por todo un

proceso sistmico y sistemtico, para bien de toda la Empresa. Permite a los estudiantes

adquirir poderosas herramientas de razonamiento, las mismas que les permitirn

comprender con mayor claridad los conceptos, criterios y anlisis.

Unidad III. La funcin lineal y sistemas de ecuaciones lineales En la prctica

tenemos muchos ejemplos en los que el valor de una cantidad depende de otra definida

por f(x)= ax2 + bx + c, tena un valor extremo en el punto x=

2 . Si a > 0 el valor

extremo es un mnimo, si a < 0, el valor extremo es un mximo, as en todas las ciencias

usamos el valor mximo y el mnimo en diferentes circunstancias, como, peso, altura

precios, costos, utilidades, etc. Adems, cuando una situacin debe resolverse

matemticamente por un conjuntos de dos, tres o ms ecuaciones.

Unidad IV. Funcin exponencial y logartmica. Se estudia la funcin exponencial

cuyas aplicaciones en el rea econmico y administrativo son variados porque esta

funcin no sigue la tendencia, lineal, cuadrtico polinomiales, sino ms bien usada para

demostrar variables crecientes o decrecientes.

La funcin Logartmica, tiene que ver con las demostraciones graficas en aplicaciones

que se requiere determinar el logaritmo de un nmero con una base diferente de 10 o el

logaritmo natural (e), cuando b > 1 es creciente y cuando 0 < b < 1 es decreciente

Unidad V. Matrices y determinantes. La importancia de uso de matrices como

arreglos de cantidades en filas y columnas, el uso de las matrices ha transcendido en el

hbito netamente matemtico como una potencial aplicacin de matrices, se puede

determinar el requerimiento de insulina como un proceso lineal.

Respecto a programacin lineal determinamos la cuantificacin de problemas

complicados de la vida cotidiana, con este enfoque usamos la llamaba investigacin de

operaciones que detalla cuando un problema se puede describir usando ecuaciones y

desigualdades que son todas lineales y representamos en forma geomtrica la solucin

de una desigualdad lineal con dos variables.

Unidad VI. Calculo de una variable. En la vida cotidiana existen problemas de

cualquier actividad humana, ya que tienen los mismos elementos en un problema

vi

matemtico, por tanto primero se debe comprender el problema, buscar el tipo de

solucin, emplear los modelos matemticos y un pensamiento lgico que lleva a un

ptimo resultado.

Existen muchas situaciones que pueden resolverse mediante el uso de lmites, de la recta

tangente a una curva, del clculo de derivadas, en muchos ejemplos de la medicina, y de

la economa.

Igualmente el desarrollo de un problema matemtico convierte al estudiante en una

persona dotada de cualidades como: la paciencia, inteligencia, dominio, creatividad,

formacin de valores que son aspectos esenciales para obtener xito personal.

vii

INDICE DEL CONTENIDO

DEDICATORIA ............................................................................................................... ii

PRLOGO ....................................................................................................................... iii

PREFACIO ...................................................................................................................... iv

Capitulo 1 .......................................................................................................................... 1

1.1 Igualdades y ecuaciones ..................................................................................... 1

1.2 Ecuaciones lineales de una variable ................................................................... 4

1.3 Ecuaciones cuadrticas con una variable ............................................................ 6

1.4 Aplicacin de las ecuaciones a la economa ........................................................ 9

1.5 Desigualdades lineales y cuadrticas con una variable ..... Error! Marcador no

definido.

1.6 Aplicaciones economicas de las desigualdades ................................................. 18

1.7 Resumen. ........................................................................................................... 24

1.8 Ejercicios propuestos. ........................................................................................ 25

1.9 Respuestas a los ejercicios propuestos. ............................................................. 27

Capitulo 2 ........................................................................................................................ 27

2.1 Relaciones y funciones ............................................................................................ 28

2.1.1 Representacin del sistema de coordenadas cartesianas ........................................ 28

2.1.2 Relaciones .............................................................................................................. 29

2.1.3 Representacin grfica de la relacin .................................................................... 30

2.1.4 Constantes y variables ........................................................................................... 30

2.2 Funcin. .................................................................................................................... 31

2.2.1 Dominio y rango .................................................................................................... 32

2.3 Tipos de funciones .................................................................................................... 39

2.3.1 Funcin lineal ........................................................................................................ 39

2.3.2 Funcin cuadrtica ................................................................................................. 40

viii

2.3.3 Funciones polinomiales. ........................................................................................ 44

2.3.4 Funcin racional .................................................................................................... 45

2.3.5 Funcin inversa ...................................................................................................... 45

2.3.6 Funcin implcita ................................................................................................... 49

2.3.7 Funcin logartmica ............................................................................................... 49

2.3.8 Funcin exponencial .............................................................................................. 50

2.4 Combinacin de funciones ........................................................................................ 51

2.4.1 Funcin compuesta ................................................................................................ 52

2.5 Resumen .................................................................................................................... 59

2.6 Ejercicios popuestos ................................................................................................ 60

2.7 Respuestas a los ejercicios propuestos ...................................................................... 62

Capitulo 3 ........................................................................................................................ 63

3.1 Estudio de la funcin lineal ............................................................................... 63

3.2 Sistemas de ecuaciones lineales simultneas con dos y tres incgnitas. ........... 69

3.3 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones. ..................................................... 81

3.4 Resumen ........................................................................................................... 91

3.5 Ejercicios propuestos ......................................................................................... 91

3.6 Respuestas a los ejercicios propuestos .............................................................. 96

Captulo 4 ........................................................................................................................ 98

4.1 Funciones exponenciales .......................................................................................... 98

4.2 Grfica de funciones exponenciales ....................................................................... 100

4.3 Funciones exponenciales con base "e" ................................................................... 102

4.4 Aplicaciones ........................................................................................................... 105

4.5 Resumen. ................................................................................................................. 112

4.6 Ejercicios propuestos. ............................................................................................. 113

4.7 Respuesta a ejercicios propuestos ........................................................................... 114

ix

4.7.1 En los numerales del 1 al 5, identifique los elementos constitutivos de la funcin

respectiva e indique si la grfica es creciente o decreciente: ........................................ 114

4.7.2 Ejercicios: ............................................................................................................ 114

Captulo 5 ...................................................................................................................... 115

5.1 Funcin logartmica ................................................................................................ 115

5.2 Grfica de la funcin logartmica ........................................................................... 117

5.3 Propiedades de los logaritmos ................................................................................ 120

5.4 Aplicaciones ............................................................................................................ 121

5.5 Resumen .................................................................................................................. 125

5.6 Ejercicios propuestos ............................................................................................. 125

5.7 Respuestas ejercicios propuestos ........................................................................... 127

Capitulo 6 ...................................................................................................................... 128

6.1 Matrices y determinantes ........................................................................................ 129

6.1.2 Igualdad de matrices ............................................................................................ 130

6.1.3 Tipos de matrices ................................................................................................. 131

6.1.3.1 Matriz vector columna ...................................................................................... 131

6.1.3.2 Matriz rengln ................................................................................................... 131

6.1.3.3 Matriz rectangular ............................................................................................. 131

6.1.3.4 Matriz cuadrada ................................................................................................ 132

6.1.3.5 Matriz nula ........................................................................................................ 132

6.1.3.6 Matriz diagonal ................................................................................................. 132

6.1.3.7 Matriz identidad ................................................................................................ 133

6.1.3.8 Matriz transpuesta ............................................................................................. 133

6.1.3.9 Matriz simtrica ................................................................................................ 133

6.2 Operaciones con matriz .......................................................................................... 134

6.2.1 Suma y resta de matrices ..................................................................................... 134

6.2.2 Propiedades de suma y resta ................................................................................ 135

x

6.2.3 Multiplicacin de una matriz por un escalar ........................................................ 135

6.2.4 Propiedades de la multiplicacin ......................................................................... 136

6.2.5 Multiplicacin de matrices ................................................................................... 137

6.3 Resolucin de sistemas de ecuaciones por reduccin ............................................. 140

6.3.1 Matriz reducida: se denomina matriz reducida a una matriz que cumple con los

siguientes requisitos: ..................................................................................................... 143

6.4 Inversa de las matrices- matriz insumo-producto ................................................... 145

6.4.1 Requisitos para obtener la inversa de una matriz ................................................ 146

6.4.2 Procedimiento para la eliminacin gaussiana ...................................................... 147

6.4.3 Matriz insumo producto como aplicacin a la economa ................................. 151

6.5 Determinantes ......................................................................................................... 155

6.5.1 Determinante de una matriz (1x1) ...................................................................... 155

6.5.2 Determinante de una matriz (2x2) ................................................................... 156

6.5.3 Determinante de la matriz (3x3) ........................................................................ 156

6.6 Regla de cramer ...................................................................................................... 157

6.7 Resumen .................................................................................................................. 162

6.7.1 Ejemplos sobre determinantes. ........................................................................... 165

6.8. Ejercicios propuestos ............................................................................................. 168

6.9 Respuestas a los ejercicios propuestos .................................................................... 174

Capitulo 7 ...................................................................................................................... 178

7.1 Lmites de una funcin ........................................................................................... 179

7.1.1. Definicin infinita de lmite de una funcin ....................................................... 181

7.2 Propiedades de los lmites ....................................................................................... 181

7.3 Indeterminacin ...................................................................................................... 183

7.3.1 Indeterminacin en lmites trigonomtricos ...................................................... 184

7.3.2 Lmites laterales ................................................................................................... 185

7.3.3 Lmites infinitos ................................................................................................... 187

xi

7.3.4 Teorema del snduche ......................................................................................... 189

7.3.5 Indeterminacin .................................................................................................. 190

7.3.6 Indeterminacin .................................................................................................. 190

7.4 Continuidad de funciones ....................................................................................... 192

7.4.1 Continuidad en un punto ...................................................................................... 192

7.4.2 Propiedades .......................................................................................................... 192

7.4.3 Teorema del valor medio ..................................................................................... 192

7.4.4 Teorema de bolzano ............................................................................................. 193

7.5 La derivada ............................................................................................................. 193

7.5.1 Rectas tangentes ................................................................................................... 193

7.5.2 Notacin para la derivada .................................................................................... 195

7. 6 Tcnicas de derivacin ........................................................................................... 196

7.7 Regla de la cadena .................................................................................................. 197

7.7.1 Derivacin implcita ............................................................................................ 197

7.8 Derivada de orden superior ..................................................................................... 199

7.9 La Integral ............................................................................................................... 210

7.10 Resumen ................................................................................................................ 215

7.11 Ejercicios propuestos ............................................................................................ 233

7.12 Respuesta a los ejercicios propuestos ................................................................... 238

Netgrafia. ...................................................................................................................... 239

Bibliografa. .................................................................................................................. 240

xii

INTRODUCCIN

El mayor problema que enfrenta un ser humano es el de entenderse a s mismo.

En todos los campos del saber humano, la comprensin de conceptos y la

abstraccin de propiedades de los entes y fenmenos sujetos de estudio, son la

actividad intelectual primordial que permiten el desarrollo de la ciencia y a partir de

sta, el desarrollo de la tecnologa.

La presente obra privilegia la imprescindible e impostergable tarea de ensear a pensar,

pues ya no es hora de la simple trasmisin de conocimientos a los estudiantes, porque

viven en una poca donde la creatividad es la rectora de todas las actividades; entonces,

una de las tareas fundamentales, es tener la capacidad de resolucin de problemas y es

precisamente esta funcin donde se fundamenta la enseanza de la matemtica.

El presente libro comienza con un estudio elemental de funciones, lo que faculta a las

jvenes generaciones adquirir poderosas herramientas de razonamiento, las mismas que

les permitirn comprender con mayor claridad los conceptos, criterios y anlisis que

siguen en los diferentes captulos que contiene este documento, tales como: funciones,

teora de ecuaciones e inecuaciones, logaritmos, y calculo, que son el espritu mismo

del anlisis matemticos, comprensin de algoritmos que necesariamente estn

involucrados en las diferentes operaciones matemticas, adems se puede sealar como

objetivos, los que se observa en el siguiente grfico.

GRFICO 1: Objetivos para ensear matemtica.

PENSAMIENTO Lgico-Crtico Lateral

VALORES Responsabilidad honestidad, persistencia, organizacin

SABER Y PODER resolver problemas, base para otras ciencias

Enseanza Perfecta

xiii

Fuente y Elaboracin: Ing. Cecilia Salazar

1

CAPITULO 1

Ecuaciones e inecuaciones

1.1 Igualdades y ecuaciones

1.2 Ecuaciones lineales con una variable

1.3 Ecuaciones cuadrticas con una variable

1.4 Aplicacin de las ecuaciones

1.5 Desigualdades lineales y cuadrticas con una variable

1.6 Aplicaciones de las desigualdades

1.7 Resumen

1.8 Ejercicios propuestos

1.9 Respuesta a ejercicios propuestos

Objetivos del captulo.

Comprender las propiedades de las igualdades.

Resolver problemas del mbito administrativo y econmico, asociando modelos

matemticos que involucran ecuaciones o desigualdades que pueden representar

a tales problemas.

Interpretar correctamente las respuestas obtenidas en los problemas.

1.1 Igualdades y ecuaciones

Igualdad es una expresin que representa la equivalencia entre dos cantidades. La

cantidad que se halla a la izquierda de la equivalencia se le denomina primer miembro y

la que est a la derecha segundo miembro. En las igualdades se definen axiomas que nos

permiten trabajar con nmeros reales, las principales son:

Junto con estos axiomas utilizaremos las propiedades vistas en las operaciones con

nmeros reales, sobre todo, la propiedad cancelativa de la suma y multiplicacin, que

sern muy utilizadas en la resolucin de ecuaciones. Adicionalmente debemos

,matemtico enunciado cualquier

en a"" por sustituirpuede se x"" a x si :nsustitucide Axioma

g e g f yf e si :dadtransitivide Axioma

m nn m si :simetrade Axioma

b b :reflexinde Axioma

2

considerar que, con los dos miembros de una igualdad puedo realizar la misma

operacin con una misma cantidad y sin embargo la igualdad se mantiene. Excepto

multiplicacin y divisin por cero.

Ecuacin: Es una igualdad que contiene cantidades desconocidas llamadas

comnmente incgnitas, a las que se debe encontrar un valor que haga verdadera la

igualdad, se usan generalmente como incgnitas las ltimas letras del alfabeto, t, v,

w, x, y, z.

Ejemplos.

1.

2.

3.

Todos los valores de las incgnitas, para las cuales se verifica la igualdad, se los conoce

como soluciones o races de la ecuacin, as:

Para la primera ecuacin: x = 1 es la solucin porque al sustituir se obtiene la igualdad:

En ; tenemos 2 races o soluciones,

Vemos que al sustituir en ambos miembros la solucin y tenemos la

igualdad.

En ; una posible solucin es:

x+ 2y=6

2+2(2)=6

2 1 x

0 6 5x x2

6 2y x

2 2

2 1 1

2 1 x

0 6 5x x2 2- y x 3- x

0 0

0 6 15 - 9

0 6 (-3) 5 (-3)

0 6 x 5 x

2

2

0 0

0 6 10 - 4

0 6 (-2) 5 )(-

0 6 x 5 x

2

2

-2y x 3 x

6 2y x 2 y y 2 x

3

Miembro 2do Miembroer 1

4 -x 3 2x

Si recordamos que la ecuacin es una igualdad, entonces el primer miembro de una

ecuacin, es la expresin que est a la izquierda del signo igual y el segundo miembro,

la expresin a la derecha del igual,

Ejemplo.

1.1.1 Grado de la ecuacin y nmero de soluciones

El grado de la una ecuacin est dado por el mayor exponente de la variable, y el

nmero de soluciones mximas es igual al grado de la misma.

Ejemplo.

Grado Ejemplo # Soluciones

mximas

En la resolucin de ecuaciones es fundamental tener en consideracin, en que el

conjunto numrico est/n definida o definidas la solucin o soluciones de la misma,

sobre todo en las aplicaciones reales es de suma importancia tal situacin. Ej. Si la

ecuacin: 2x 3 = 6, est definida sobre los nmeros naturales, es claro observar que la

ecuacin no tiene solucin.

El desarrollo operativo de una ecuacin se fundamenta en ir realizando operaciones de

tal forma que se obtengan paso a paso ecuaciones equivalentes ms simplificadas hasta

obtener finalmente la ltima ecuacin donde la variable (incgnita) se encuentra

(lineales) Grado1er

Grado Segundo

GradoTercer

Grado Quito

3x- 6 -2x

0 10 7x - x2

2- 1 2x - x3

3 2x - x 5

1

2

3

5

Observacin:

Debemos recordar que races son nmeros que anulan a un polinomio, es decir su

resultado es igual a cero.

4

miembro) cada a3x (sumamos3x 10 3x - 3x2-x

10 3x - 2 - x

miembro) cada a 2 (sumamos 2 10 2 2 -4x

10 2-4x

miembro) cada a 4por (Dividimos 4

12

4

4

x

ecuacin la de raz osolucin 3 x

despejada. Recordemos que ecuaciones equivalentes son aquellas en las que la solucin

de una de ellas es tambin solucin para la otra.

Ejemplo.

Las ecuaciones: 3x 2 = 7 y 3x = 9, son equivalentes, toda vez que x = 3, es solucin

para ambas.

1.2 Ecuaciones lineales de una variable

Ecuacin lineal de una variable: La ecuacin lineal , tiene una solucin

; la determinacin de las races de la ecuacin, se basa en la aplicacin de

algunas propiedades de las igualdades.

Resolucin de la forma general de la ecuacin de primer grado con una variable.

Ejemplo.

0 bax

a

bx

)(

,:

)()(

V

bb

ba

ba

igualdad.

de condicin la cumplirse debe n), sustitucide (axioma

original ecuacin la en reemplazar ala

bxsiNVERIFICACI

miembroprimerenfactoresdecinsimplificaa

bx

cinmultiplicaladeacancelativpropiedadba

axa

1

trminos de reduccinbax

sumaladeacancelativpropiedadbbbax

dadaecuacinbax

00

0

0

1

0

0

5

2 = x

5 - 7 = x

7 = 5 +x

7 = 2 + x - 7 + 6 -2x +3x + 2 +3x -

7 = 2 + x - ] 7 - 6 +2x -3x - [ - 2 +3x -

1.2.1 Ejemplos de ecuaciones lineales.

1.

Primero destruyamos los signos de agrupacin

2.

3 3x - x -1

4 4x

1 3 3x x

14

4x

7 ) 2 -(x - ] 7 - ) 6 -(2x -3x - [ - 2 -3x

Observacin:

En ecuaciones fraccionarias es recomendable eliminar los

denominadores obteniendo el mnimo comn mltiplo (mcm) de ellos.

Este mcm se divide para cada denominador y se multiplica por su respectivo

numerador, eliminndose as todos los denominadores.

Observaciones:

En una ecuacin lineal el exponente de la o las incgnitas es uno.

Resolver ecuaciones es usar los axiomas de las igualdades, hasta despejar la

incgnita, luego comprobar la ecuacin sustituyendo la solucin encontrada en la

ecuacin inicial.

Normalmente se acostumbra a concentrar en el segundo miembro de la ecuacin

los trminos numricos y en el primer miembro los trminos que contienen la

variable.

6

1xy2xo1X

X3

2X

X

;

3.

Mcm. De 2, 3 y 4 = 12

1.3 Ecuaciones cuadrticas con una variable

Ecuaciones cuadrticas: Estas ecuaciones se presentan en la forma estndar:

donde a, b, c son constantes que pertenecen a los nmeros

reales.

Las siguientes ecuaciones son ecuaciones cuadrticas

3x2 - 5x + 6 = O

4x 3 = 5x2 + 6x 3

De las tres ecuaciones anteriores, solo la primera est en la forma estndar, en las otras

dos, se tienen que ejecutar las operaciones necesarias a fin de obtener tal presentacin,

ya que con cualquier mtodo que se utilice para resolverlas, ser necesario que se

escriban en esta forma.

La solucin a estas ecuaciones, si existe, siempre estar conformada por dos races.

1.3.1 Identificacin de las constantes o parmetros de la ecuacin cuadrtica

Ecuacin

Cuadrtica Parmetros

a b C

42 + 8 2 = 0 4 8 - 2

2 38 = 0 1 0 -38

2 + 6 = 0 -1 6 0

2

5 27 = 0 1 0 -135

4

42

3

2

2

xx

4) (2x 3 , 3 4

12

8 2 . 4 , 4 3

12

6x x . 6 , 6 2

12

3

1-

12

4- x

4- 12x

12- 8 6x 6x

12 -6x - 8 6x

4) 2x ( 3 - 8 6x

, 0 c bx ax 2 0a

7

o

Factorandooxx

oxx

oxx

ox

,7

13 - cs

linealecuacin de Resolucin 13/7 - x o 13 7x

cerofactor del Propiedad o 13 7x o, x

miembroprimer el )137(

1372

3/2 , 4 - cs

4 - x o 4 x

lineales ecuaciones de Resolucin 3/2 x o 3 -2x

cerofactor del Propiedad o 4 x o; 3 -2x

miembroprimer el Factorando )4)(32(

1252x 1

2

2

Los mtodos ms utilizados para resolver estas ecuaciones son por el mtodo de

factorizacin y por la frmula cuadrtica. El mtodo por factorizacin requiere que la

ecuacin est en forma estndar y la expresin algebraica de la ecuacin sea fcilmente

factorable. Aplicamos la propiedad del factor cero (sean m y n dos nmeros reales,

si mn = o, entonces m = o, n = o, ambos)

Ejemplos.

Resolver las siguientes ecuaciones por factorizacin.

En el mtodo de la frmula cuadrtica, usaremos la expresin que resulta al resolver la

ecuacin ax2 + bx + c = o, mediante la completacin de cuadrados, que arroja el

siguiente resultado:

X =

Trabajo de investigacin: Consultar en cualquier libro de Algebra Bsica, sobre la

resolucin de la ecuacin ax2 + bx + c = o; a por completacin de cuadrados.

La cantidad subradical: b2 - 4ac, se denomina discriminante y puede tomar tres posibles

valores; los mismo que determinan la naturaleza de las races, esto lo podemos observar

en el siguiente cuadro:

DISCRIMINANTE RAICES

b2 - 4ac > o 2 races reales diferentes

b2 - 4ac = o 2 races reales iguales

b2 - 4ac < o 2 races complejas diferentes*

)( cuadrticaFrmulaa2

ac4bb 2

,o

8

6332 2 xx

(*) En este estudio no se analizara, este tipo de races.

Ejercicios.

1.

La misma ecuacin factorizada tenemos:

Vemos que en las dos formas se obtiene el conjunto solucin igual a

2.

En En este caso el discriminante es

14

5

1

0145

18944

2

2

c

b

a

xx

xxx

2

56255

12

141455

2

4

2

2

x

x

a

acbbx

22

4

2

95

72

14

2

95

2

1

x

x

270207027

01452

xyxxxxx

zx

2,7

12207 2 xx

012207 2 xx

64

336400

127420422

acb

Observacin:

En este tipo de ecuaciones es necesario realizar siempre la comprobacin de las

soluciones, ya que al multiplicar la variable por s misma, se pueden obtener soluciones

extraas a la ecuacin original.

9

Como el discriminante es mayor que cero existe dos races, veamos:

Reemplazamos en la formula general.

3.

1.4 Aplicacin de las ecuaciones a la economa

La aplicacin que se da a las ecuaciones, est dirigida de manera especial a resolver

problemas y a tener un manejo adecuado de frmulas matemticas.

En la vida cotidiana y en el mbito econmico, se presentan problemas que pueden ser

resueltos mediante el planteamiento de ecuaciones, para que dicho planteamiento sea el

adecuado es necesario seguir los siguientes pasos:

1. Leer comprensivamente los problemas.

2. Determinar las cantidades conocidas y las incgnitas que se plantean y las relaciones

que tienen entre ellas.

3. Expresar la informacin que tenemos, en una ecuacin matemtica.

4. Encontrar la Solucin a la ecuacin y verificar si la respuesta es coherente con el

problema.

5. Ejemplos.

1. Un almacn de ropa de caballero por su aniversario rebaja su precio en un 20%. Si

el precio de una corbata es de U.S. $15 Cunto vala el artculo antes del

aniversario?

7

6

14

12

14

820

214

28

14

820

14

810

72

12742020

2

1

2

x

x

x

x

52

4

2

64

x

x

x

x 2 xMCD

6

122

610454

105464

x

x

xxx

xxx

10

Solucin.

x

El precio desconocido antes del aniversario

del almacn

0.20x Descuento

15 Precio actual

Precio inicial descuento = precio actual

Entonces sabemos que el precio de la corbata antes del aniversario del almacn era de

US$ 18,75

2. Una panadera produce diariamente 1.250 panes: tipo integral y de maz. Los panes

integrales se vendes a US$ 13 ctvs. cada uno, y los de maz a US$ 10 ctvs., si los

ingresos en el da fueron de US$ 12524 ctvs. Cuntos panes de cada tipo se

vendieron?

Solucin.

x Cantidad de pan integral vendido

(1.250-x) Cantidad de pan de maz vendido

Ingreso es igual a la cantidad vendida por el precio de venta de cada unidad.

13x Ingreso por la venta de pan integral

10(1.250- x) Ingreso por la venta de pan de maz

13 + 10(1250 ) = 12524

13x+12500-10x = 12524

3x = 24

x = 8

Cantidad de pan integral vendido: 8

Cantidad de pan de maz vendido: 1250 8 = 1242

3. El costo de producir un traje militar es de US$ 378. El costo depende de materia

prima y de la mano de obra. Si el costo de la materia prima es el doble del costo de

la mano de obra. Cul es el costo de cada una?

1520.0 xx

1580.0 x

75,18x

11

Ejemplo.

Segunda propiedad productiva

Si se divide o se multiplica la misma cantidad positiva a los dos miembros de la

desigualdad el signo de la desigualad no se altera.

a > b

Introducimos la c, siendo c>0

Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una misma

cantidad negativa, el signo de la desigualdad cambia.

Ejemplo.

8 > 6

c = - 2

8(- 2) < 6 (-2)

- 16 < - 12

Tercera propiedad transitiva

y

Entonces

y

Cuarta propiedad

Si los dos lados de una desigualdad son positivos, sus recprocos cambian la

desigualdad en el otro sentido.

cbda

dcba

58

1426

2146

cb

ca

10 31038

3/14/134

/1/1

baba

c

b

c

a

c b c a

b a

34 ;2/62/8

1212 ;2628

2

68

c

12

Quinta propiedad

Si se cambia el orden de los smbolos la desigualdad cambia su signo.

As: si

Sexta propiedad

Si los dos miembros de una igualdad se igualan a una misma potencia, el signo de la

desigualdad no cambia, si ambos son positivos.

Ejemplo.

Pero: no se cumple

Sptima propiedad

Si son positivos los dos miembros y se elevan a una misma potencia el signo de la

desigualdad no cambia.

y

Ejemplo.

Pero si elevamos a una potencia negativa la desigualdad cambia:

Octava propiedad

La expresin involucra dos desigualdades

y y

Esta propiedad aplicamos en la suma, resta, producto, divisin.

a)

b)

9779

abba

36 64 6 8 2 2 2 2 b a

25 9

5 3

5 3 2 2

n n b a b a n n b a

5 7 25 49 25 49

4

1

5

1

64

1

125

1 125 64 125

3 3 3 1

b x a

x a b x a a x b x b x

2 3 2 6 3 6

1 4

26 3 2 6

5 8

36 81 3 6 3 9 x x

2 3 3

6

3

9

13

Observacin:

Las inecuaciones llamados tambin desigualdades, en los que hay varias cantidades

desconocidas o incgnitas, pueden presentarse los siguientes casos:

a) > mayor que b) mayor o igual que

c) < menor que d) menor o igual que

e) < < significa x es mayor que a y menor que b

f) significa x es mayor o igual que a y menor o igual que b.

Para resolver las inecuaciones debemos aplicar las propiedades de las desigualdades y

obtener los valores de la variable que satisfagan las desigualdades.

Ejemplos.

1.

Ya que , entonces

El conjunto solucin son todos los valores de x menores que 4 cuya representacin es el

intervalo abierto ], 3[, 3 no est incluido en la solucin, se ha considerado la

propiedad de adicin de las desigualdades.

2.

ya que

8 1 4 x

4 8 4 4 4

8 4 4

x

x

12 4 x 0 4

3

4

12

4

4

x

x

8 3 2 x

6 3

2 8 3

x

x

3

9

x

0 2

2 x

14

La solucin son los valores de , el intervalo va desde el -2 incluido, hasta el

infinito

3.

Si

Observaciones:

Hemos visto que cualquier trmino de una inecuacin se puede pasar de un miembro

a otro con el signo contrario y el sentido de la inecuacin no cambia.

Cuando un nmero negativo multiplica o divide o ambos miembros de la inecuacin

su sentido cambio.

1.6 Aplicaciones econmicas de las desigualdades

Veremos a continuacin ejemplos aplicados a la economa con inecuaciones.

Ejemplo.

Un productor de fosforeras vende cada una en US$ 40 y gasta US$ 25 en costos

variables y US$ 3100 en costos fijos semanalmente. Si desea obtener una utilidad de por

lo menos U.S. $ 2450 semanalmente, qu cantidad de fosforeras debe producir y

vender a la semana?

Sea x la cantidad de fosforeras que debe producir y vender a la semana, entonces:

2x

,2

4 7 3 x x

5 , 5

2

11

11 2

7 4 3

x

x

x

x x

6 x

10 11

10 7 18

4 6 7 6 3

15

Ingresos = 40 (x), Costos = CF + CV Utilidad = Ingresos - Costos

= 3100 + 25(x)

Se observa que el productor debe vender por lo menos 370 fosforeras para obtener el

mnimo de la utilidad requerida.

a) Un productor puede vender x unidades de un producto al precio de p dlares por

unidad, donde: p = 140 - x Cuntas unidades debe vender para obtener ingresos

mnimo de US$ 6800?

Como conclusin tenemos que, para obtener los ingresos de 4.800 debe venderse entre

80 y 60 unidades.

Ejemplo.

Un fabricante para poder embalar sus productos, mantiene un contrato con una empresa

que le provee las cajas de cartn que necesita a un costo de $ 0.75 por unidad. Est

viendo la posibilidad de fabricar el mismo sus envases de cartn, eso le significa

incrementar los costos fijos en $ 1000 mensuales a ms del costo unitario de cada caja

que asciende a $ 0.50. A partir de cuntas cajas mensuales le ser ms conveniente

implementar esta posibilidad?

Planteamiento: para que se implemente la fabricacin propia, es necesario que los

costos de fabricacin propios sean menores a los costos de adquisicin

del producto.

Sea q la cantidad de cajas de cartn a fabricar o comprar, entonces:

370

15

550 . 5

550 . 5 15

450 . 2 100 . 3 25 40

x

x

x

x x

4800 140

4800 140

2

x x

x x

0 60 80 0 800 140 x

(-1) por mos multiplica 0 4800 140

2

2

x x

x

x x

16

Costos fabricacin < Costos de adquisicin.

0.50 + 1000 < 0.75

1000 < 0.25

4000 < > 4000 Cajas

Conclusin: Si el fabricante necesita ms de cuatro mil cajas mensuales, se justifica

la fabricacin en la misma empresa de las cajas.

Quinta propiedad


As: si

Sexta propiedad



Ejemplo.

Pero: no se cumple

Sptima propiedad


desigualdad no cambia.

y

Ejemplo.


Octava propiedad

La expresin involucra dos desigualdades

y y


c)

9779

abba

3664 68 2222 ba

259

53

53

22

nn baba nn ba

5725492549

4

1

5

1

64

1

125

112564125

33

3

1

bxa

xabxa axbx bx

232636

17

6

d)

Observacin:





e) < < significa x es mayor que a y menor que b

f) significa x es mayor o igual que a y menor o igual que b.



Ejemplos.

4.

Ya que , entonces




5.

14

2326

58

36813639 xx

233

6

3

9

814 x

48444

844

x

x

124 x 04

3

4

12

4

4

x

x

832 x

18

ya que

La solucin son los valores de , el intervalo va desde el -2 incluido, hasta el

infinito

6.

Si

Observaciones:




su sentido cambio.



Ejemplo.



63

283

x

x

3

9

x 02

2x

2x

,2

473 xx

5,5

2

11

112

743

x

x

x

xx

6x

1011

10718

46763

19


vender a la semana?



= 3100 + 25(x)



b) Un productor puede vender x unidades de un producto al precio de p dlares por


mnimo de US$ 6800?


80 y 60 unidades.

Ejemplo.







370

15

550.5

550.515

450.2100.32540

x

x

x

xx

06080

0800140 x

(-1)por mosmultiplica 04800140

2

2

xx

x

xx

4800 140

4800 140

2

x x

x x

20



del producto.



0.50 + 1000 < 0.75

1000 < 0.25

4000 < > 4000 Cajas

Conclusin: Si el fabricante necesita ms de cuatro mil cajas mensuales, se justifica

la fabricacin en la misma empresa de las cajas.

Quinta propiedad


As: si A > B B < A

10 > 8 8 < 10

Sexta propiedad



Ejemplo.

D2

> E2 7

2 > 4

2 49 > 16

Pero: 2 > - 4 no se cumple

22 < (- 4)

2

4 < 16

Sptima propiedad


desigualdad no cambia. A > B An > B

n y

>

Ejemplo.

81 > 36 81 > 36 9 > 6


81 > 16 811/3

1

813 <

1

163

1

9 <

1

4

Octava propiedad

La expresin a < x < b involucra dos desigualdades

a < x < b a < x y x < b x >a y x < b

21


e) 8 > 5 8 +3 > 5+3

13 > 8

8 3 > 5 3

5 > 2

f) 9 x 3 > 6 x 3 81 > 36

9

3 >

6

3 3 > 2

Observacin:





e) a < x < b significa x es mayor que a y menor que b

f) a x b significa x es mayor o igual que a y menor o igual que b.



Ejemplos.

7. 6 (x 1 ) < 24

6x -6 < 9

6x -6 +6 < 24+6

6x < 30 ya que 6 > 0, entonces

6

6 <

30

6

x < 5




<

>

0 1 2 3 4 5

- +

22

8. 2 3x 11

-3x 11 -2

-3x 9

x 9

3 ya que -2 < 0

x -3

La solucin son los valores de x - 3, el intervalo va desde el -3 incluido, hasta el

infinito [-3; )

<

>

-3 -2 -1 0

- +

9. 3x 8 > x +4

3x x > 8 + 4

2x > 12

x > 6

Si x = 6

3(6) 8 > 3 +4

18 8 > 7

10 > 7

<

>

2 3 4 5 6

Observaciones:




su sentido cambio.



23

Ejemplo.




vender a la semana?



= 3100 + 25(x)

= 40x 25x 3100 2450

15x 5550

x 5550

15

x 370



c) Un productor puede vender x unidades de un producto al precio de p dlares por


mnimo de US$ 6800?

x( 140 x ) 48000

140x x2

= 48000

-x 2

+140x -4800 0 multiplicamos por ( -1 )

x2 -140x -4800 0

(x 80 ) ( x 60 ) 0


80 y 60 unidades.

Ejemplo.







24



del producto.



0.50 + 1000 < 0.75

1000 < 0.25

4000 < > 4000 Cajas

Conclusin: Si el fabricante necesita ms de cuatro mil cajas mensuales, se justifica la

fabricacin en la misma empresa de las cajas.

1.7 Resumen.

Las igualdades estn compuestas por dos miembros el de la izquierda del sino

igual se lo denomina primer miembro, mientras que el que se halla a la derecha

se le llama segundo miembro.

Las igualdades cumplen tres propiedades fundamentales: reflexiva (a = a),

simtrica (si: a = b, entonces b = a), transitiva (si: a = c y b = c, entonces

a = b).

Si con los dos miembros de una igualdad se efecta la misma operacin con la

misma cantidad (excepto multiplicacin o divisin por cero), el signo de la

igualdad se mantiene.

Las ecuaciones cuadrticas 2 + + = 0, se resuelven, bsicamente

utilizando dos mtodos: por factorizacin y utilizando la frmula cuadrtica

=24

2.

Si a los dos miembros de una ecuacin se multiplica por una expresin que

contiene la variable, es posible que aparezcan soluciones extraas, por lo tanto

se debe siempre verificar las soluciones encontradas.

25

La solucin, si existe, a una inecuacin lineal o cuadrtica siempre ser un

intervalo, que bien puede ser abierto, semiabierto o cerrado.

Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica o divide por una

cantidad negativa, el signo de la desigualdad se invierte.

1.8 Ejercicios propuestos.

Resolver las siguientes ecuaciones:

1. 4x 3 (x + 4) = 2 ( 3 x )

2. (x+4)2 ( 3x + 4)2 (2 3x) = 10 (x + 1) (x 2)

3. 3

1+

2

2= 0

4. (2x 1 )2 + ( 3 x )2 = 5

5. 10x2 +7x =12

6. 12x3 29x2 +15x =0

7.

+1+

2

+2= 3

8. 6x4 7x2 +2 =0

9. 5x 3 + 1 =1

10. 1 + + 2 = 2

Resolver las siguientes inecuaciones:

11. 2 + 3( 1) 3 + 1

12. ( 4) + 3( 5) < 2 + 10

13. 3 4 < 2 4 + 5

14. 3 1

5

2 + 3

4

15. 2 5 + 6 0

26

Ejercicios para economa

Resuelva los siguientes problemas:

1. El costo de un producto al menudeo es de $ 4.20. Si se desea obtener una ganancia

del 25% sobre el precio de venta, a qu precio debe venderse el producto?

2. La directora administrativa y financiera de una empresa desea conocer cuntas

unidades deber producir y vender anualmente si debe obtener utilidades de cien mil

dlares $100000). Cuenta con la siguiente informacin: precio de venta de cada unidad

veinte dlares ($20), costos fijos seiscientos mil dlares $600000) y costo variable por

unidad quince dlares ($15).

3. Una compaa de confites, produce una barra de chocolate de forma de prisma

rectangular cuyas dimensiones son 10 cm de largo, 4 cm de ancho y 2 cm de espesor.

Por motivos de incrementos en los costos de materia prima, la empresa debe reducir el

volumen del producto, ya que no quiere aumentar el precio de venta a fin de mantenerse

en el mercado. Esta reduccin la establecer en un 20% del volumen actual. Cules

deben ser las nuevas dimensiones del dulce, si se mantiene el mismo espesor y la

reduccin en el largo debe ser igual a la reduccin en el ancho?

4. Una fbrica de pantalones produce una determinada cantidad con un costo promedio

de mano de obra de $1.25 por cada unidad y un costo promedio por pantaln en

materiales de $3.25. Se conoce adems que los costos fijos mensuales de la planta son

de $3000. A partir de cuntos pantalones la empresa tendr utilidades, si cada uno se

vende en promedio en $15?

4. Una empresa financiera invierte $60000 de sus fondos excedentes a dos tasas de

inters anual del 5.5% y 7%. Desea un rendimiento mnimo de $4000, cunto debe

invertir por lo menos a la tasa del 7%?

27

1.9 Respuestas a los ejercicios propuestos.

Resolver las siguientes ecuaciones

1. 6 2. 26

27 3.

8

5 4.

521

2 5. (-3/2 , 4/5)

6. (0 , , 5/3) 7. 6 8 (1/22/3) 9. (0 , 7/25) 10. 17/16

Resolver las siguientes inecuaciones

11. [ , +[

12. ], 15/2[

13. [5

2, 4[

14. ], 19 2 ]

15. [2 , 3]

Resolver los siguientes problemas

1. $ 5.60 2. 140000 u 3. ~0.6 4. > 261 u 5. >46666.67

CAPITULO 2

Funciones lineales

Objetivos del captulo.

Conceptualizar lo que es: funcin, dominio y rango.

Determinar dominio y rango de una funcin.

Determinar valores de una funcin

Estudiar los principales tipos de funciones: constantes, polinomiales, racionales

y aplicaciones que se tienen de ellas.

Graficar las funciones en coordenadas rectangulares.

2.1 Relaciones y funciones

2.2 Funcin

2.3 Tipos de funcin

2.4 Combinacin de funciones

2.5 Resumen

2.6 Ejercicios propuestos

2.7 Respuesta a los ejercicios propuestos

28

2.1 Relaciones y funciones

Relacin y funcin: Es la relacin de dependencia entre dos variables en un par

ordenado, donde x es la variable independiente, y es la variable dependiente.

Un par ordenado puede representarse grficamente en un sistema de ejes coordinados

que constituyen dos lneas perpendiculares entre si llamada abscisa y ordenada la

primera horizontal y la segunda vertical as: yx, es el par ordenado.

Si tenemos los conjuntos U = (a, e, i) V= (3, 6, 9, 12)

Tenemos que U x V=

(a,3),(a,6),(a,9),(a,12),(e,3),(e,6),(e,9),(e,12),(i,3),(i,6),(i,9),(i,12)

A esta operacin se le da el nombre de producto cartesiano.

2.1.1 Representacin del Sistema de Coordenadas Cartesianas

Como se dijo las lneas que se cortan, representan un sistema de ejes coordenados. A

cada elemento del conjunto R x R le corresponde de un punto en el plano cartesiano y

viceversa R x R = R2 espacio bidimensional.

R y

x o x eje de abscisas

y o y eje de la

ordenada

2 1 x R

3 4

x < 0 y 0 x < 0 y 0

x < 0 y 0 x < 0 y 0

29

En el producto de los conjuntos AxB representamos:

A= o, u B= 2, 4, 6

A B 2 4 6

o

(o ,

2)

( o,

4) (o, 6)

u

( u,

2)

( u,

4) (u, 6)

Ejercicios.

1. Determine A x A si A = 3, 6, 9

A x A= (3,3), (3,6), (3,9), (6,3), (6,6), (6,9), (9,3), (9,6), (9,9)

A= 3, 5, 7 ,9 B= 1, 2, 4, 6, 8

Realice la tabla del producto A x B

A B 1 2 4 6 8

3 (3,1) (3,2) (3,4) (3,6) (3,8)

5 (5,1) (5,2) (5,4) (5,6) (5,8)

7 (7,1) (7,2) (7,4) (7,6) (7,8)

9 (9,1) (9,2) (9,4) (9,6) (9,8)

2.1.2 Relaciones

El producto cartesiano define una relacin si los conjuntos C x S formado por los pares

ordenados (x, y), el primer elemento (y) pertenece al conjunto S.

r = (x, y)/x c, y S

Es importante el orden de los elementos, y la relacin es un subconjunto de un

producto cartesiano. En general C x S S x C. Los elementos que en el par ordenado

pertenece

a(x) o al primer elemento se llama dominio y el segundo elemento a(y) se denominan

rango.

Ejemplo.

J= (3,6), (4,5), (2,1)

D=3, 4, 2 Dominio

R= 6, 5, 1 Rango

30

2.1.3 Representacin grfica de la relacin

Podemos representar a los pares ordenados en los ejes cartesianos, en los cuatro

cuadrantes, para el eje de las abscisas (x) los valores positivos se colocan a la derecha

del origen y a la izquierda del origen se ubican los valores negativos, en forma similar

para el eje de las ordenadas (y) los valores positivos se colocan hacia arriba de origen y

hacia abajo del origen se ubicaran los valores negativos.

A Grfica de la relacin

r = (3,2);(4,5),(6,7)

(y) ordenadas

10

8

6

4

2

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-4

-6

-8

-10

10

9

8

7

6

5

4

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2

x

y

Del grfico anterior se deduce que es un subconjunto de los pares ordenados de que

cumple una relacin dada. En este caso x . Existe formas o cnicas en el plano como se ve a

continuacin.

r AxB

31

2.1.4 Constantes y variables

Constantes.- Son valores Fijos y Determinados.

Variable.- Son valores que pueden cambiar.

Ejemplo.

Si un automvil desarrolla una velocidad de 9 m por segundo el espacio que recorrer

depender del tiempo, en este caso de la velocidad es constante y el espacio y tiempo

son variables.

Si resumimos:

Velocidad Constante

Espacio Variable dependiente y se representa por y

Tiempo Variable independiente y se representa por x

Entonces concluimos que una constante puede ser un nmero as. -3, 2, 5, , etc., que

una vez definido queda fijo y lo representamos con las primeras letras del alfabeto a, b,

c, d, eAl contrario una variable puede tomar cualquier valor y se lo representa por

las ltimas letras del alfabeto y los ms usados y .

2.2 Funcin.

La funcin indica dependencia es decir la relacin que fija a las variables por medio de

la ley de dependencia.

Funcin: Es la relacin de dos variables, como varia y (variable dependiente) y

cuanto varia x (variable independiente) es decir donde a cada elemento de entrada o

dominio, le corresponde un elemento de salida o rango.

Ejemplos.

El costo variable de producir cualquier artculo depende del nmero de unidades.

La devolucin monetaria depende del ndice de costo de vida.

Las tarifas de impuestos que fija el gobierno depende de los gastos municipales.

La utilidad de una empresa depende de la produccin y el precio.

El rea de cuadrado depende del valor de cada lado.

El ingreso por ventas depende del precio y el nmero de unidades demandadas.

,,,,,,,, wvutsrqp x y

yx,

32

Funcin

2 3 4

7 6

Se ajust a la definicin de funcin, porque a cada elemento del dominio, le corresponde un elemento de rango.

Ejemplo: 8,7,6,5,4,3

Si se ajusta a la definicin de funcin hay un elemento del rango que es imagen, de dos elementos del dominio.

Ejemplo: 6,4,7,3,7,2

No se ajusta a la definicin de funcin, porque a un elemento del dominio, le corresponde ms de un elemento en el rango.

Dominio Rango

Dominio

x y

x y

x y

Notacin de Funciones El valor de la variable y o variable de salida

depende del valor de la variable x, o variable de entrada.

Variable de Entrada Variable de Salida

Dominio X Y Rango

2.2.1 Domingo y rango

Dominio y rango: Dominio de una funcin son las variables x o, el conjunto de

valores de entrada. Rango de una funcin son los valores de salida o de y, y se llama

tambin imagen, recorrido.

Diagramas de funciones

Figura 1

.

xfy

5

3

7

6

4

8

0

0

0

0

0

Observacin:

Concluimos que cuando a cada valor de x le corresponde unos o ms valores de

estamos frente a una funcin

y

33

Ejercicios para economa

Ejemplo.

1. Un negocio paga a sus empleados en el departamento de ventas, de acuerdo al

nmero de unidades vendidas en el mes, y tiene la poltica de que no pagar ms de

$8.000.

= sueldo en sucres

= unidades vendidas en el mes

La ecuacin que tiene para determinar el sueldo es:

a) Se quiere calcular el sueldo de un vendedor que ha venido 450 unidades, tenemos:

=

=

Si

Como se puede verse, basta sustituir el valor de en la ecuacin donde aparezca

la variable independiente , de este modo daremos valores de venta mensual para

obtener el suelo.

b) Si el empleado ha vendido 340 unidades, se estima que el sueldo ser:

c) De igual forma la venta de 125 unidades

Entonces: Multiplicamos el sueldo por las unidades vendidas y sumar $ 135

y

x

13512 xxf

y 13545012

x 5535

5535450 yx

450x

x

340fc

4215$

13534012

125fc

13512512

1635$

34

Como se indic el dominio de la funcin es el conjunto formado por los valores de

entrada, para las cuales el rango resuelta un nmero real, merecen atencin las

funciones que constituyen cociente ya que ; y en las races con ndice por la parte

subradical debe ser mayor o igual a cero. Ej.

Ejemplo.

Puede ser sustituido por cualquier valor, menos por el cero, que ser excluido

del dominio, por lo tanto .

Ejemplo.

En la funcin

.

Ejemplo.

.

En el contexto de las aplicaciones, se debe restringir que x adopte valores negativos,

porque en el caso del ejemplo 1, no existen sueldos negativos, dependiendo del caso.

La poltica del negocio de que no pagar al vendedor sueldos ms de $8000 al mes,

entonces est restringido a:

Ejercicios Resueltos.

1. En las funciones 1-3 determina: a)

a)

b)

c)

0

c

ixxx 22,202;2

x

xf3

x

xD 0; x

1

12

x

xf

x

xD 1; x

7 xxf

x

xD 7; x

80000 y

kjfff ,3,0

152 xxxf

1515000 2 f

9153915333 2 f

152 kjkjkjf

152

152

22

22

kkjkjj

kjkjkj

Observacin:

Se debe recordar que un cociente cero es el denominador o una raz negativa nos resulta un rango indefinido.

35

Entonces el dominio es: Dominio y el rango es el resultado de las operaciones

algebraicas.

2.

a)

b)

c) Dominio

3.

a)

b)

c) Dominio

Obtenga el dominio de cada funcin

4. .

5.

6.

7.

Para obtener el dominio factoramos el trinomio y as obtenemos los

valores que haran el denominador.

8.

9.

10.

11.

x

3xxf

00 f

273 f

32233 33 kjkkjjkjf x

2xxf

00 f

33 f

kjkjf x

x

xf6

x

xD 0; x

9 xxf x

xD 9; x

x

xf1

x

xD 0; x

158

32

xx

xxf

xxD 35; xx

35 xx

75 2 ttf t

tD

73

15

x

xxf

xxD

3

7; x

45 xxf x

xD5

4; x

xx

xf

2

5 x

xD 10; xx

36

12.

Porque factorando

13.

14.

Factorando

15.

16. En la Panificadora Moderna la mquina amasadora de $45.000 se deprecia en un 3%

de su valor original cada ao, determine una funcin que expresa el valor de la

mquina V despus de t aos.

Solucin.

La depreciacin al final de 1 ao s entonces el valor de V de la mquina es

17. Sean q las unidades de cobijas vendidas, la utilidad u esta dada por la ecuacin

a) Es u la una funcin de ?

b) Cul es la variable dependiente y cul es la independendiente?

363

92

2

tt

ttf

ttD 414.041.2; tt

3

6

3

c

b

a

723636

33462

d

d

414.06

726

41.26

726

6

726

2

1

x

x

1

39

2

yy

yy

D

78

22

ss

ssh

17 ss s

sD 17; ss

4

34

x

xxf

xxD 4; x

f

4500003.0

4500003.045000 ttfV

ttf 135045000

qu 35,1

q

37

Solucin.

1.35 entonces es una funcin de

La variable dependiente es y la independiente es

18. La Facultad de Economa de la Universidad Central examinar al grupo de

estudiantes inscritos para el ingreso del nuevo ao, se encontr que un nmero de

estudiantes de quienes haban aprobado el examen al final del curso preuniversitario

est dado por dnde.

Estudiantes.

Evalu a) b) y c) d) al final del curso cuantos estudiantes

habrn aprobado al 0,799 del grupo.

Solucin.

a)

b)

c)

d)

19. Un almacn de trajes est en oferta de liquidacin y tiene las siguientes rebajas:

Precio por unidad cantidad

p q

1 300

2 290

7 230

20 200

q u q

u q

tf

3

200

2001

ttf

t

,0f 100f 200f

0110 f

27

19

27

81

3

21

300

2001100

33

f

8

7

8

11

2

11

400

2001200

33

f

3

200

2001799.0

t

3

3

201.0200

200

201.0200

200

t

t

78.401

448.0180

448.020200

t

t

t

38

34

034

012

0

012

2

2

xx

xx

xx

x

xxx

a) Si enliste los nmeros en el dominio de t determine (290) y

b) Si enliste los nmeros en el dominio de g determine , y

c) Solucin.

a) Dominio:

b) Dominio

20.

i) ii)

21.

i)

ii)

qfp 200f

pgq 2g 7g

200,230,290,300

20200,2290 ff

20,7,2,1

2307,2902 gg

xxx

xxf

12

923

2

092 x 01223 xxx

33

3

92

xx

x

x

4,33 xxxDom

3

x

xxg

3

x

xxg 0x 30: xxDom

03 x 3: xDom

3x

0 3

-4 -3 0 3 x

39

16

3

1

c

b

a

73649

161432

d

d

3

3

030

03

2

2

2

x

x

xx

xx

-4 0 4 3

22.

i) ii)

23.

i) ii)

2.3 Tipos de funciones

Las funciones pueden clasificarse de acuerdo a su estructura y analizaremos los ms

usados.

2.3.1 Funcin lineal

La Funcin lineal: Est representada analticamente por una ecuacin de primer grado

y su grfica es la recta, donde son constantes.

163

2542

xx

xxf

0254 x 01632 xx

77.52

733

77.22

733

2

1

x

x

4

25: xDom

xx

xxf

3

163

2

0122 x 033 xx

44

4

162

xx

x

x

44: xxDom

bmxy bm,

3.13

-5.77 0 2.77

13.3

4

25

x

x

40

Ejemplo.

Para grfica esta funcin se toma al azar valores de entrada o dominio x de la cual, nos

resulta y, o rango, usamos 2 puntos para trazar la recta.

X Y

0

1

-1

2

-2

6

9

3

12

0

Podemos ver que el producto cruza al eje x y el punto cruza a y trazamos la

recta.

2.3.2 Funcin cuadrtica

Funcin cuadrtica: Una funcin es cuadrtica cuando tiene la forma

donde son constantes , su grfica es una parbola con eje vertical.

Ejemplo.

Resolviendo la ecuacin con la frmula cuadrtica

63 x

0,2 6,0

cbxaxy 2

c b, a, 0a

0583 2 xxxf

5,8,3 cba

6

60648

2

42

a

acbbx

y

41

X Y

-1 1.66

1 0

0

16 5

La grfica de la funcin se obtiene dibujamos todos los puntos donde x

corresponde al dominio de y .

Vrtice ; punto mnimo.

66,13

5

6

10

6

28

16

28

2

1

x

x

yx,

f y xf

xfyx

85563316501821

432101234

5

8

3

c

b

a

4

6064

5348

4

2

2

d

d

d

acbd

0583 2 xx

Races"" 66.1

1

2

1

x

x

50

165831

5181312

f

f

f

33.0

3

1

34

4

4

33.13

4

32

8

2

a

dy

xa

bx

v

vv

33.0,33.1

Observacin:

La parbola abre hacia arriba con el vrtice

La funcin cuadrtica tiene el valor extremo donde: si el valor extremo es

mnimo, y si el valor extremo es un mximo.

0a 33.0,33.1

a

bx

2 0a

0a

42

si x=0

y=5

si y=0

x= -1

x2= 1.66

Ejercicio para economa

Ejemplo.

Un sastre puede confeccionar pantalones a un costo de $20 cada uno. Si vende los

pantalones a x dlares cada uno, se estima que vender unidades mensuales; x

son unidades.

a) Determine la utilidad mensual cuando el precio de venta es de $115 por pantaln.

b) Determine el precio de venta de cada pantaln que le produzca al sastre la mayor

utilidad mensual.

Solucin

a)

Costo

x-200

)()( xCxRxP

xxxP 200

xxc 20020

xxxP

xxxxP

xCxRxP

xx

20020)(

20020200)(

)()(

200

80758595

11520020115115

P

16 15 14 13 12 11 10 9

-4 -3 -2 -1.66 1 2 3 4 5 6

x

Raz

Raz

Vrtice

43

b)

Ejercicios.

Halle las races de las siguientes funciones:

1.

2.

3.

4.

Obtener el valor mximo o mnimo de la funcin

5.

xxxP 20020

110

2

220

12

220

2

40002202

a

bx

xxxP

0432 xxxf

1,4

014

xx

xx

0132 xxxf

2

53

2

493

x

0233 2 xxxf

2

3

3

c

b

a

33

249

23432

d

d

d

6

333

6

333

6

333

1

1

1

x

x

x

0242 xxxf

22

22

2

84

2

8164

2

1

x

x

x

x

9105 2 xxxf

44

El valor mximo o mnimo es el vrtice de la parbola.

6.

7. la suma de 2 nmeros es 20 y el producto sea el mximo. Determine los nmeros.

Producto

2.3.3 Funciones Polinomiales.

Funciones Polinomiales: Estas funciones tienen la forma

donde el exponente es un entero no negativo.

Ejemplo.

Funcin polinomial de 5to grado

Funcin cbica

Funcin cuadrtica

Funcin lineal

9

10

5

c

b

a

80180100

954102

d

d

4,1min420

80

54

80

110

10

v

v

y

x

273 xxxf

372 xx

3

7

1

c

b

a

61

1249

31472

d

d

d

25.15 ,5.3max25.15

4

61

14

61

5,32

1

12

7

v

v

y

x

xy

yx

20

20

xxyx 20

10y 10son nmeros Los 1010

100

10010102010

1012

20

20

1

20

2

2

y

xyf

a

b

a

xx

aaxaxaxxfy nn .....1 0a

5xxfy

aaxaxaxxfy 23

aaxaxxfy 2

aaxxfy

45

7

0

1

c

b

a

2.3.4 Funcin racional

Funcin racional: Es cuando una funcin polinomial se divide entre otra;

Ejercicio para economa

Ejemplo.

En el hospital del da de la Universidad Central un grupo de terapistas y estudiantes han

determinado la frmula de rehabilitacin para una incapacidad particular. La funcin

matemtica que describe el costo C de un programa de este tipo en funcin del

porcentaje de la funcionalidad x.

Cul es el costo de la terapia para obtener una recuperacin del 40%.

2.3.5 Funcin inversa

Funcin inversa: Es la funcin que es el conjunto de los pares ordenados .

Ejercicios.

1.

a) Indique el rango

b) Determine

c) Determine el dominio

0xh

xhug

xfy

x

xxfc

150

3

40150

40340

f

dlares de miles 09,1110

120

1f yx,

xfyyfxSsi

1

0,72 xxxf

1f

74

28

287140

yr

d

46

4

0

1

c

b

a

Solucin.

a)

b)

c) Dominio es

2.

a) Cul es el rango

b) Determine

c) Cul es el dominio

Solucin

a)

b)

c) El dominio de es

3.

a) Rango=?

b) , dominio? Dom

Solucin

a) Rango

b)

c) Dominio

4.

a) Determine el rango

b) =?

c) Dominio =?

,7

0,72 xxxf

7,7

7,7

7

7

1

2

2

xxxf

yyx

yx

xy

,7

0,4 2 xxxf

1f

44

16

164140

yr

d

4,

xxfyfyxyxxy 4;4;4;4 1122

1f 4,

4,162 xxxf

,0y

1f x

,0

1616 2222 yxxy

0,16

0,16

21

2

xxxf

yyx

x xx ,0162

42 xxf 2x

1f

47

Solucin

a) Rango es

b)

c) Dominio f es

Dominio de

5.

a) Determine el rango

b) =?

c) Determine el dominio

Solucin

a) Rango es

b)

c) Dominio de es

6.

a) Obtenga

0,

422 xy

4

4

4

21

12

22

xxf

yfyx

yx

2

x 042 x x;

3

1

3

1,13

3 xxxf

1f

8,0

313 yx

13

1

13

1

13

31

13

3

xxf

yfyx

yx

1f ,0

73 xxf

xf 1

48

a) Grfico

7.

a) Obtenga

b) Trace los grficos de f y en el mismo sistema

Solucin.

a) 1 a 1

b)

xxf2

18

xf 1

1f

xxf2

18

xy2

18

xxf

yx

yx

216

216

82

1

1

-10

10

10 -10

7

7

-10

10

8 -10

16

49

2.3.6 La funcin implcita

Funcin implcita: Es una ecuacin que relaciona a x y y pero no est resuelta para y.

Ejemplo.

Implcita

Explicita

Ejemplo.

El gerente de una empresa comercial reconoce que la relacin entre dos variables, casi

siempre es una relacin inversa. As el precio que se cobra por ciertos artculos cuando

es mayor tenemos una menor demanda, en la relacin.

F. Implcita

El precio es funcin explcita de la cantidad q.

La cantidad es funcin explcita del precio p

Ejemplo.

Esta funcin no puede expresarse explcitamente.

2.3.7 Funcin logartmica

Ejemplo.

062 yx

6

2xy

0800105 qp

5

10800 qqfp

10

5800 pphq

042 33 yxyx

1f

1;0;log1 axxaxfx

Funcin logartmica: Busca la potencia

xf basea x exponente

Observacin:

Una funcin implcita produce dos funciones explcitas:

No siempre es posible o prctico convertir una funcin implcita en explcita.

0, yxf ygxxfy

50

1 1

y

x

y

x

0 0

Grfico

Propiedades de Logaritmos

1.

2.

3.

2.3.8 Funcin exponencial

Funcin exponencial: La funcin f definida por: donde es

cualquier nmero real si , entonces no es funcin exponencial.

Grficos

1

log

a

xaxf 10

log

a

xaxf

lobnbmmnb loglog

bnmn

mb logloglog

bmrbmr loglog

xbxf xbb ,1,0

1b xxf 1

10

a

axf x 1, aaxf x 38log82 23

1 1

y

x

y

x 0

Observaciones:

51

Reglas de exponentes

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.

Propiedades de la Funcin Exponencial

1. El dominio de una funcin exponencial es el conjunto de todos los nmeros reales.

El rango es el conjunto de todos los nmeros positivos.

2. La grfica tiene intercepcin con el eje , no existe intercepcin con

el eje x.

3. Si , la grfica asciende de izquierda a derecha. Si , la grfica desciende

de izquierda a derecha.

4. Si , la grfica se aproxima al eje x conforme x toma valores negativos cada vez

ms grandes en valor absoluto. Si , la grfica se aproxima al eje x conforme

x toma valores positivos cada vez ms grandes.

2.4 Combinacin de funciones

Son las funciones y , estas funciones pueden combinarse algebraicamente para

formar otras nuevas, usando operaciones algebraicas: suma, diferencia, producto y

cociente de funciones.

Suma

Diferencia

Producto

Cociente

Ejemplo.

Si y encuentre:

, , y

Solucin.

a)

nmnm aaa n

nn

b

a

b

a

nm

n

m

aa

a aa 1

mnnm aa 10 a

nabn

n

aa

1

xbxf

xbxf 1,0y

1b 10 b

1b

10 b

f g

xgxfxgf

xgxfxgf

xgxfxgf

0, gxg

fx

g

f

34 xxf 2xxg

xgf xgf xgf xg

f

xgf 3434 22 xxxxxgxf

52

b)

c)

d)

Ejemplo.

Si determine

, , y e indique los dominios de las funciones.

Solucin.

a)

b)

c)

d) y

2.4.1 La funcin compuesta

Funcin compuesta: Una funcin compuesta existe, cuando una funcin depende de

otra f o g de dos funciones f y g se define por:

condicin

El dominio de f o g es el conjunto de toda x en el dominio de g tal que este en el

dominio de f



xg

f 2

34

x

x

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE … · las mismas que les permitirán comprender los...

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