Universelle Halbgruppe, Kategorien, freies Produkt

Herrn WILLI RINOW zum 60. Geburt'stag am 28. Februar 1967

Von JURGEN SCHMIDT in Bonn

(Eingegangen am 31. 1. 1967)

In dieser Note erweist sich die bekannte Konstruktion einer freien Gruppe, des freien Produkts von Gruppen als Spezialfall einer entsprechen- den universellen Konstruktioii fur eine genau abgegrenzte Klasse von halb- gruppenartigen partiellen Algebren, zu denen auch die Kategorien gehoren. Als Anwendung erhalt man auch eine vollstandige innere Beschreibung des Koprodukts in der Kategorie der Halbgruppen wie des Koprodukts in der Kategorie der Monoide (Halbgruppen mit Eins).

1. Wir betrachten partielle Algebren (B, a ) vorn T y p u s 2 : B eine Menge, die Multiplikation . : D -+ B (D C B x B ) eine zweistellige partielle Ope- ration in B ; im Falle (x, y ) € D sagen wir auch, 2 und y seien in B multi- plizierbar oder verkettet oder es existiere in B das Produkt x . y . Es ist wohl- bekannt, da8 es zu jeder partiellen Algebra B vom Typus 2 eine universelle Halbgruppe A gibt I), genauer : einen universellen Homomorphismus p : B -+ A in eine Halbgruppe; ,,universell" bedeutet hier, da8 es zu jedem Homomorphismus x: B+ C in eine beliebige Halbgruppe C genau einen Homomorphismus y : A + C mit x = y ' o y gibt. (Eine Abbildung x: B -+ C in eine beliebige Algebra C vom Typus B'ist Homomorphismus, sofern die Existenz von x . y in B allemal die von p (x) p ( y ) in C sowie die Gleichung y(x y ) = ~ ( x ) . y ( y ) nach sich zieht.) Die universelle Halbgruppe A mit- samt dem universellen Homomorphismus y: B -+ A ist bis auf eiiideutig bestimmteii Isomorphismus eiiideutig bestimmt : ist v': B + A' ein weiterer universeller Homomorphismus von B in eine Halbgruppe, so existiert genau ein Isomorphismus w : A --f A' mit y' = w 0 y.

Im folgenden interessieren wir uns fur die Frage, wann der universelle Homomorphismus p injektiv ist. Nach einem mengentheoretischen Aus- tauschprinzip, das in solchen Fallen bereits von VAN DER WAERDEN (zur

1) Spezialfall allgemeiner Existenzsatze fur die Losungen universeller Probleme; vgl. z. B. BOURBAKI [I], CST 22, S. 44; J. SCHMIDT [4], Theorem 2. 23:

346 Schmidt, Universelle Halbgruppe, Kategoricn, freies Produkt

Vermeiduiig von , ,Identifizierungen") verweiidet worden ist, kaiiii man es dann stet's so einrichten, da13 p: B --f A eine wirkliche Inklusjonsabbildung, d. 11. die Tragermenge .B eine Teilmenge der Tragermenge A wird. Mail wird dann weiter fragen, wann die Iiijektion p stark, d. 11. ein Isomorphismus auf die durch Eiiischrankung der Multiplikat>ion von A entsteheiide Re- Zativakgebm q ( B ) C A ist, odcr - falls p7 selbst schon die Inklusion ist - wann die gegebene particlle Algebra B selbst Relativalgebra ist ihrer univcrsellen Halbgruppe A ( x . y = x bedcutet danri fur alle Elemelite 1:> y, z E B, in B dasselbe wie in1 A) .

Dafiir, dal3 B Relativalgebra irgendeiiier Halbgruppe C und damit dam aucli der universellen Halbgruppe A ist, sind offenbar die beiden folgenden relativ schwachen Assoziativgesetze fur partielle Algebren not- wendig? iiamlich das rechte Gesetz ( sr) wenn x, y, z E B urid x . y, ( x . y) . z und y . x in B existieren, so esi-

stiert aixch x . (y + z ) , und es gilt (x . y) - z = x . (y . x )

als auch sein liiikes Gegenstiick (3J. Indes wegen der Unlosbarkcit des Wortproblems fur Halbgruppeii sind, auf Gruiid eines Resultlats voii EVANS 2), diese beiden Assoziativgesetze fur die starke Einbettba'rkeit . dafur, daS B Relativalgebra einer Halbgruppe? keincswegs hinreichend.

Aber fragen wir nun, wariri B riicht nur Rela,tivalgebra, sondern Anfarig einer Halbgruppe C und damit der universellen Halbgruppe A sei. Wir neiiiien dabei B einen rechten Anfang von C: weiin B in bczug auf die Rechtsteilerrelation von C abgeschlosseri ist : x . y E B implizicre y E B, fur alle x, y E C; entsprecheiid dcfiniert man einen l inken A n f a n g ; ein Anfung ist dam eine Relativalgebra, die zugleich rechter mid linker Anfarig ist. Offenbar erfullt cin recliter Anfang notwendig die folgende Verschiirfung von (sr): (A,.) wenn T , 9, z E B uiid x . y uiid (x . y) * x in B existJieren, so existieren

auch y - z urid x (y - x ) , uiid es gilt (x . 9) . x = z . (y . z ) .

Analog erfullt eiri linker Anfang das entsprechende linke As~oziat~ivgeset z (A,); bei einem Anfang wird also notwendig die Existenz von x . y uiid (x . y) . x mit der von y . z und x . (y . x) gleichwertig sein und die Gleichung zur Folge haben3). Eine partielle Algebra B aber, in der ( J r ) und (A!) gelten, ist tatsiichlich Anfang (insbesonderc Relativalgebra) einer Halb-

~~~~~ .

2) EVANS [3]. 8) Es werdo auf die Existenz sehr korikreter Beispiele von partiellen Algebren vorn

Typus2 hingewiesen, die etwa (Al), aber nicht (A,.) erfiillen; ein solches findet sich z. B. in cler Algebra der Operationeii iiber ciiier abstrskten Menge X . Dieses Beispiel - auf das wir hier iiicht naher eingehen wollen - erfiillt dabei das weiter uriten angegebrne Katego- riengesetz ( X ) , womit wir such ein sozusagen uriorthodoxes Anwendungsbcspiel fur 1111-

seren Hauptsatz 2 hiitten.

Schmidt, Universelle Halbgruppe, Kattgorien, freics Produkt 347

gruppe C und damit auch ihrer universellen Halbgruppe A : nian nehmz als C die - der ALEXANDROFF-Kompaktifizierung entsprechende - ,,normale" Ein-Punkt-Vervollstandigung C = B LJ {m} (m B B) h ) , deren Multi- plikation allemal 00 liefert, werin sie in B nicht ausfiihrbar ist. In der Tat, dieses C ist per definitionem eine vollstandige (Multiplikation unbeschrankt ausfuhrbar) Algebra vom Typus 2 und B Relativalgebra, ja Anfang voii C. C ist auch Halbgruppe: Sei x, y, x E C. 1st danii (x . y) z = x . (y . z ) = 00,

so ist nichts mehr zu zeigen. Sei also etwa (x . y) . z E B ; da B Anfang ist, hat man auch x, y, z , x . y E B, uiid nach (A,) ist dann auch

und es gilt (x . y) . z = x + (y . 2).

y - 2 , x . ( y - z ) E B ,

Wir haben damit

Satz 1. Genau dann zst die particlle Algebru B, vom T y p u s 2, Anfang einer Halbgruppe C, wenn B die Assoxiativgesetxe (A,) und (A,) erfullt. I n s - besondere ist dann die nornzale Ein-PunEt- Vervollstandigung von B eine solche Halbgruppe C, eine weitere die universelle Halbgruppe von B.

Hervorzuheben ist, da13 (A,) und (A,) zwei der drei Assoziativgesetze sind, die in Kategorien gelten, und dalJ im folgenden gerade das dritte Kategoriengesetz eine wesentliche Rolle spielt, namlich (X) weiin x, y, z E B und x y uiid y . x in B existieren, so existieren auch

(x . y) . z und z . (y . x ) und sind gleich. 2 . Im folgenden frageri wir riicht mehr, ob B Anfang seiner universellen

Halbgruppe sei, sondern ob und wann in letzterer folgende eindeutige Mormalformdarstellung der Elemelite gilt :

(c4'") jedes a E A laot sich auf genau eine Weise in der Form a = n b , n

v = 1

mit n 2 1, b, E B, b, . b y f l B B darstellen.

Man h i i n zuriachst ( ? N ) als eine Beziehung ansehen, die zwischen einer be- liebigen Halbgruppe A und einer beliebigen Relativalgebra B C A bestehen oder nicht bestehen kann. Wenn sie besteht, ist B zumindest Erzeugende von A, B = A ; ja B = A besagt gerade, da13 sich jedes a E A auf min- desteris eirie Weise in obiger gekurzter (unkurzbarer) Foim darstelleii IaSt : das Wesentliche an (A) ist die Eindeutigkeit.

B = A ist natiirlich dafur notwendig, daS B Relativalgebra seiner universellen Halbgruppe und A eben letztere sei ; hinreichend ist es gewiB iiicht . Aiidererseits scheint (Jv) genugend verdachtig, A zur universellen Halbgruppe zu maclien, wie tatsachlich - Satz 2 - gleich bewiesen werden wird. Allen Wunschtraumen entgegen braucht ( X ) aber selbst dann nicht

4) Vgl. BURMEISTER-SCHMIDT [ 2 ] 2.

34 8 Schmidt, Universelle Halbgruppe, Kategorien, freies Produkt

einzutreten, wenn B nicht nur Relativalgebra, sondern sogar Anfang seincr universellen Halbgruppe A ist, also (A , ) und (A,) erfiillt. Dafiir das simple Gegenbeispiel: A sei die additive Halbgruppe N - (0) der positiven ganzen Zahleii, B der Anfang {I, a}; die Gleichung 3 = 1 + 2 = 2 + 1 zeigt, daS (N) nicht gilt. Oder: B = (1, 2, 3); 4 = 1 + 3 = 3 + 1 = 2 + 2 .

Die Erklarung dieses unerfreulichen Phiinomens : (A) zieht fur B srlbst die folgende Abschwachung des Kategoriengesetzes ( X ) nach sich : (X) wenn x, y, x E B und x - y und y . z in B existieren wid

(x . y, y . z ) =t (x, 2 ) , so existieren ( x . y) . x urld x . (y . x ) und sind gleich.

Ware namlich, unter der Pramisse voii (xl), U = ( x * y ) * z = ~ * ( y * x ) € A - B ,

so hatte (Jv) die Gleichungen x . y = x und z = y . x zur Folge, die der Vor- aussetzung (x . y, y . x ) =!= (x, x ) widersprechcn. Tatsacblich ist in obigem Beispiel (xl) nicht erf i i l l t : man setze x = z = 1 und y = 1 bzw. 2 ! Damit kommen wir zu

Satz 2. Damit die partielle Algebra B, vom Typus 2, Relativalgebra einer Halbgruppe A mi t der eindeutigen Normal$ormdarstellung (A') sei, ist fur R selbst die Bedingung (3%') notwendig und hinreichend. Alsdann ist A die uni- verselle Halbgruppe von B.

Bemerken wir gleich noch, daB wir in Satz 2 (X) gawiB nicht durch das volle Kategoriengesetz (X) ersetzen konnen. Gegenbeispiel : A sei jetzt die Halbgruppe N al ler naturlichen Zahlen (einschl. O ) , B der Anfang (0, 1). Dann gelten (A,), (Al) und (A'), also auch (X'), aber nicht ( X ) ; denn mit x = z = 1, y = 0 wird ( X ) verletzt, nicht aber (xl), hat man doch

(1 + 0 , o + 1) = (1, 1).

Der Beweis von Satz 2 ist in einer Richtung sehr einfach. Die Not- wendigkeit von (X') ist gezeigt, und mit Hilfe des Existenzsatzes €iir die universelle Halbgruppe ist auch obiger Zusatz schiiell bewieseri. Sei riam- lich A, die universelle Halbgruppe zu B. Da B nach Voraussetzung Relativ- algebra der Halbgruppe A sein soll, kanii A, wieder so konstruiert werdeii, daB B Relativalgebra von A, (uiid der universelle Homomorphismus die Inklusion) wird. Es gibt nun einen Homomorphismus w : A,, --f A , der B elementweise festlaSt. Da B sowohl A, also auch A erzeugt, ist w schoii eiiimal surjektiv. Da sich aber jedes a, A,, wie bemerkt, auf mindestei is , jedes a E A voraussetzungsgemaki auf hii c h s t e n s eine Weise in gekiirzter Form darstellen laBt, da schlie6lich 0) gekiirzte Uarstellung in A, in ge- kurzte Darstellung in A iiberfuhrt, ist o aucli iiijektiv und damit ein Iso- morphismus : auch A ist universelle Halbgruppe zu B.

Schmidt, Universelle Halbgruppe, Kategorien, freies Prodiikt 349

Die Umkehrung ist komplizierter zu beweisen. Sie ist aber in einem extremen Spezialfall wohlbekannt (und sehr leicht zu beweisen) : (X’) ist insbesondere erfiillt, wenn die Algebra B diskret ist, d. h. wenn kein Ele- mentepaar (x, y ) E B x B in B multiplizierbar ist, wenn die Multiplikation leer, B praktisch eine abstrakte Menge ist : die abstrakte Menge B erzeugt nun eine freie Halbgruppe ( F , 0)) und in ihr gilt (Jy) und besagt. daB sich jedes f €3’ auf genau eine Weise in der Form f = b l o b20 . . . o b,, mit n 2 1, b, E B darstellen 1aBt. Von dieser von der abstrakten Menge B erzeugten freien Halbgruppe ( F , o ) gehen wir auch zum Beweis des all- gemeinen Falles aus, wo (B , .) (man unterscheide sorgfaltig die beiden Multiplikationszeichen 0 und * !) eine beliebige (X’) erfullende partielle Algebra vom Typus 2 ist. I n F betrachten wir die Linksmultiplikationen mit Elementen b E B : (1) ‘ b ( f ) = b o f ( f E P ) sowie die reduzierten Linksmultiplikationen

(2) &(bi 0 . . . 0 b,) = (b * bi * . . . * h,) 0 b,+i 0 . . . 0 b,,

wo das Produkt b - b, . . . . b, als iteriertes Produkt in der Normal- klammerung von links in der partiellen Algebra B zu verstehen ist und dieses Produkt in B nicht mehr mit b,,, multiplizierbar sein sol1 (m kann die Werte 0, 1, . . ., n annehmen). Bemerken wir gleich, daB

Man definiert nun einen Homomorphismus Red: ( F , ( Z b ) b E B ) + (P, ( A b ) b E B ) durch (4) Red (b ) = b (b E B ) ; die Homomorphiebedingung besagt, daB

( 5 ) Red (b 0 f ) = & (Red ( f ) ) (DaB genau ein solcher die Inklusion B + F fortsetzender Homomorphismus Red existiert, ist eine Folge der Tatsache, daB die Algebra ( F , (f!b)bc&,) vom T y p u s - jedem b E B entspricht eine einstellige Operation - absolut

f r e i von B erzeugt wird5); man definiert Red, wenn man will, leicht rekursiv iiber die Lkinge n des Produkts f = bl 0 . . . 0 b,!) Sei nun A der Werte- vorrat von Red. Wir zeigen, dafi A genau aus den reduzierten Elementen a = bl 0 . . . o b, besteht, fur die per definitionem keines der Produkte b, . b,,, (v =- 1, . . . , n - 1) in B existiert, daB ferner a genau d a m reduziert ist, wenn Red ( a ) = a. Man zeigt dazu, daS Red (f) stets reduziert ist; dies geschieht durch Induktion uber f in der Algebra (F, ( lb)bEB) (oder, wenn man will, durch vollstandige Induktion uber die Lange von f) . Der

(3) & ( C o f ) = & . c ( f ) (falls b, C, b * C E B, f E 3).

(b € B, f € 3’).

~ ~~

5) Vgl. BURMEISTER-SCHMIDT [2] 1, SCIIMIDT [4] 2.

350 Schmidt, Universelle Halbgruppe, Kategorien, freies Produkt

Induktionsanfang f = b E B ist wegen (4) trivial. SchluB voii f auf b o f : Nach Induktioiisannahme ist Red ( f ) = bl 0 . . . 0 b,? reduziert ; darin ist aber auch

reduziert. Ebenso beweist man durch Induktion nachf E F : wenn f reduziert ist, so ist Red (f) = f. Der Induktionsanfang f = b E B ist wieder trivial wegeii (4). SchluB von f auf b 0 f : Sei b 0 f = bo 0 bl 0 . . . a b,, reduziert, so ist b = bo, f = b l o . . . 0 b,, ist reduziert, und bo * bi existiert nicht; nach Induktioiisaiinahme ist Red ( f ) = f , womit Red ( b o f ) = Ab (Red(f) = &( f ) = b o f , womit obige Aussagen iiber A = Red ( F ) vollstandig be- wiesen sind.

Insbesondere ist Red idempotent. Wir zeigen nun, daIj daruber hinaus

(6)

Red ( b 0 f ) = i , (bl 3 . . . 0 b,) = ( 0 . bl . . . . 1 b,) 0 b,+l 0 . . . 0 b,

Red (Red (f) O Red ( 9 ) ) = Red ( f o 9 ) (f, g E F ) , und zwar wieder durch Induktion nach f . Der Induktionsanfang f = b E B ist eine unmittelbare Folge von (4), ( 5 ) und der Idempotenz voii Red. Der SchluB von f auf b o f folgt unmittelbar aus (5) uiid der Gleichung

(sie gilt iibrigens auch ohne den rechteii Faktor g und besagt dann, daB Red ein Endomorphismus ist der Algebra (F , (A,),,,), gleichfalls vom

Nehmen wir ( 7 ) uiid damit (6) schon einmal als bewiesen an! Man de-

(7 ) Red ($( f ) 9 ) = Ib(Red(fo 9 ) ) (f, E F )

Typ'xs ( ' ) b E B ! ) .

finiert dann in A eine neue (reduzierte) Multiplikation durch ( 8 ) a I . u 2 := Red(a,oa,) ( a I , a 2 E A ) .

(6) besagt d a m , daB Red ein Homomorphismus ist der freien Halbgruppe ( F , 0 ) auf die Algebra vom Typus 2 (A , .), welch letztere damit auch Halb- gruppc ist ; auch laBt sich die Definitionsgleichung (8) von n = 2 auf n 2 1 Faktoreii a, , . . . , ct, ausdehnen. Mit ( 2 ) sieht man aul3erdem sofort, daB unsere gegebeiie partielle Algebra (B , .) eine Relativalgebra ist der Halb- gruppe (A, .), nicht nur. daB - (4) - B Teilmenge ist voii A, sonderii es be- deuteii auch, fur Elemente bo, bl , b2 € B, b, + b2 = bo in B uiid A dasselbe (daS bl und b2 in B multiplizierbar seien, kanii man jetzt einfach durch 6, . b2 E B ausdrucken!). Der Beweis von (Jv) ist nun unmittelbar:

u = 610 . . . o b , E A ist ja reduziert, uud man hat mit

eine gekurzte Produktdarstellung von a in der Halbgruppe A. Und ist u = hi . . . . b,, irgendeine solche gekiirzte Produktdarstellung in A , so ist ja auch bl 0 . . . 0 b,, F reduziert und damit Element von A, weshalb

a = Red (a ) = Red ( b , 0 . . . o b,) = b l . . . . . 6,

CL = b1 * . . . . b,, = Red ( b , 0 . . . 0 b,) = bl 0 . . . o b,,,

Schmidt, Universelle Halbgruppe, Kategorien, freies Produkt 351

b, , . . . , b,L sind also als die Faktoren der eindeutigen Darstellung von a in der freien Halbgruppe F eindeutig bestimmt.

Die noch zu beweisende Gleichung ( 7 ) ist eine unmittelbare Folge von (5), falls &(f) = b 0 f , d. h. falls b in B nicht mit dem ersten Faktor b, in der Darstellung f = bi 0 . . . 0 h, multiplizierbar ist. Fur beliebiges f E .F beweisen wir (7) induktiv mit Hilfe der Formel

(9)

Diese benotigen wir schon zum Induktionsanfaiig von ( 7 ) : Sei f = c E B, dabei b . c E B, dann ist mit (2), ( 5 ) und (9)

X,(A,(a)) = &.,(a) (falls b, c, b . c E B, a E A ) .

Red (&(c) 0 g) = Red ( ( b c) 0 g) = ;i,.,(Red ( 9 ) )

= (&(Red ( 9 ) ) ) = (Red (c 9 ) ) .

Ahnlich der SchluB von f auf c Q f , c E B, wo wir wieder b . c E B voraus- setzen und damit (3) anwenden durfen ; mit (3), der Induktionsannahme, (9) und ( 5 ) bekommen wir

R e d ( A b ( c o f ) o 9 ) Red(ilb.c(,f)o g ) = i l b . c ( R e d ( f o 9 ) )

= Ab (1, (Red (fo 9) ) ) = ilb (Red(c 0 f 0 9 ) ) .

Bleibt der Beweis von (9). (9) ist wieder trivial (auch ohne die Reduziertheit v o n a ) , f a l l s i l e ( a ) = c o a , d . h . c . b l B B , w o n = b l ~ . . . ~ b , , ; m i t ( 3 ) h a t man

&(Ae(a)) = & ( c O a) = &.,(a)*

Ebenso trivial ist (9), falls c bl E B, dabei b . c = b und c . bl = b,; wegen der Reduziertheit von a hat man dann ja &(a) = a und damit

Ab = (a) = Ab.e(a).

Fur beliebiges a E A beweisen wir nun (9) durch Induktion nach a E F : hier, und erst hier, benotigen wir das vorausgesetzte partielle Assoziativ- gesetz (X), das wir bislang uberhaupt nicht benutzt haben ! Zum Induk- tionsanfang a = d E B diirfen wir gleich c . cl E B sowie ( b . c, c . 6 ) + ( b , d ) voraussetzen: nach (X') ist ( b . c) . d = b . (c d ) E B, und wir erhalten

1.b (%(d ) ) = A,(c * d ) = b . (c ' d ) = ( b c) ' d = e ( d ) .

Ahnlich der SchluB von f E F auf d 0 J E A mit d E B, wo wir wieder c . d E B, wieder ( b . c, c . d ) =I= (b , d ) uiid damit ( b e c) . d = b . (c . d ) E B voraussetzen diirfen : mit zweimaliger Anwendung von (3) uiid der Induk- tionsaniiahme (mit d 0 f E A ist ja auch f E A !) bekommen wir

' b ( ' c ( d o f ) ) = ' b ( ' e . d ( f ) ) ' b (c ~ ! ) ( f ) = ~ ( b e ) d ( f ) = I b c ( & ( f ) )

= i * b . (d f ) .

352 Schmidt, Universelle Halbgruppe, Kategorien, freics Produkt

Damit ist Satz 2 vollstandig bewieseii 6).

Korollar. Sei A Halbgruppe, B eine Relativdgebra, die (3”‘) erfullt. D a n n ist A genau dunn die universelle Hulbgruppe von B, wenn in A die eindmctige Normalformdarstellung (N) gilt.

Denn nach Satz 2 ist R jedenfalls Relativalgebra ciner Halbgruppe A’. in der (Af) gilt, und diese ist universelle Halbgruppe von B. 1st also nuch die gegebene Halbgruppe A universelle Halbgruppe voii B, so ist A uber B zu A’ isomorph und erfullt damit gleichfalls (A’).

Dieses Korollar ist voii folgendeni Typus : Eine gewisse universelle Struktur - hier die universelle Halbgruppe - wird intern, durcb eine innere Eigenschaft gekennxeichnet (axiomatisiert), im Gegensatz zu der iiber eine ganze Klasse von Vergleichsstrukturen - hier allen Halbgruppen C, alleii Homomorphismen von B in C - reflektierenden externen eben der uni- versellen Definition 7) . Zum Beweis solcher interneii Kennzeichnungen wird man, aller allgemeineii Existenzsatze fur universelle Strukturena) ungeachtet, auf die Konstruktion eines besonderen Modells, dem eben jene interne Eigerischaft - mehr oder weniger unmittelbar - anzusehen ist, i. a. nicht verzichten konnen. Man kann sich dies, mit einem Argument von K. H. DIENER, in unserem Fall wie folgt plausibel machen: Von der Universaleigenschaft auf die interne Eigenschaft (iV) schliel3e man in der Kontraposition; unter der Annahme also, die gegebene Halbgruppe A 3 B erfulle ( N ) n i c h t , hat man eine Halbgruppe C = A’ und einen Homo- morphismus x: B+ A’ anzugeben (zu konstruieren), der gewil3 n i c h t ein- deutig auf A fortsetzbar ist - und eben das ist im Beweis von Satz 2 ge- schehen.

3. Neben den zwei bereits erwahnten Spezialfallen, namlich dal3 B Kategorie oder B diskret (abstrakte Menge) ist, gibt es nun noch weitere Anwendungen von Satz 2 .

Satz 3 (Axiomatisierung des Koprodukts von Halbgruppen). Xeien die A, ( t T ) beliebige Halbgruppen, seien die i t : A, + A Homomorphismen in

6, Bei der ublichcn Konstruktion der freien Gruppe wird gewohnlich - unter VerLicht auf unseren Reduzierungsoperator Red - A c F gleich als Menge dcr reduzierten Elemente eingefuhrt und das reduzierte Produkt - analog (8) - zweier reduzierter Elemente a l , a2 inhaltlich beschrieben; das Assoziativgesetz (a , a2) . a3 = al . ( a 2 . a3) wird dann durch Induktion nach (uber die Lange von) a? bewiesen. Der Leser versuche mit diesem bei Gruppen noch einigermaaen funktionierenden Verfahrcn unscren Satz 2 , allein mit dem relativ schwachen Assoziativgesetz (x’)? zu beweisen ! Hervorgehoben sei, daW wir bei uriserem Verfahren mit (6) nur noch eine Gleichung in 2 Variablen zu beweisen hatten, gegenuber den 3 Variablen des Assoziativgesetzes.

7, Ein schones Beispiel fur die interne Kennzeichnung einer universellen Struktur : die der absolut freien Slgebren durch die verallgemeinerten Peano- Axiome ; vgl. hierzu BIJRNEISTER-SCHXIDT [ 2 ] 1; J. SCHMIDT [4] 2.

8) Wie in der FuBn. 1 genannten.

Schmidt, Universelle Halbgruppe, Kategorien, freies Produkt 353

eine Halbgruppe A. Diese bilden das Koprodukt (freie Produkt, freie Ver- einigung) der A, in der Kategorie der Halbgruppen genau dann, wenn folgende internen Bedingungen erfullt sind :

(39,) die it sind injektiv, (392) ihre Wertevorrate it (A,) sind paarweise disjunkt, (394 mit der Relativalgebra B := U it (A, ) gilt in A die eindeutige Normal-

Uberdies ist B dann Anfang von A. Auch dieser Satz ist ein Beispiel fur den oben geschilderten Typus;

offenbar lassen sich die drei internen Bedingungen von Satz 3 zu eirier ein- zigen, der folgenden eindeutigen Normalformdarstellung fur das freie Produkt zusammenziehen :

(39) jedes a E A liiilJt sich auf genau eine Weise in der Form a = n itV (a,,)

mit n 2 1, t , E T, a* E A,”, t ,

formda,rstellung (A“).

1)

v = l

tyfl darstellen.

Zum Beweis von Satz 3 sei (32), seien die drei Bedingungen von Satz 3 erfullt. Alsdann bilden die it: A, + B die partielle direkte Xumrne, d. h. das Koprodukt der A, in der Kategorie aller partiellen Algebren vom Typus 2 9) ; auljerdem ist A die universelle Halbgruppe von B, womit die i,: A, -+ A das Koprodukt in der Kategorie der Halbgruppen bildenlo). Zum Beweis der Umkehrung sei j , : A, -+ B‘ ein beliebiges Modell der partiellen direkten Summe der B,; diej, sind dann injektiv, ihre Wertevorrate in B sind paar- weise disjunkt und iiberdecken B’. B’ hat uberdies die finale Struktur be- ziiglich der j,, die Multiplikation mit kleinstmoglichem Definitionsbereich D C B‘ x B’, bei der alle j , gerade eben noch Homomorphismen sindll). Mit dieser Struktur erfiillt B’ riicht nur (xl), ja sogar das volle Kategorien- gesetz ( X ) , sondern auch die anderen beiden Kategorieiigesetze (A,) und (A,). Schon nach Satz 1 ist B daher nicht nur Relativalgebra, sonderii sogar Anfang seiner universellen Halbgruppe A’ : in der ersten Beweishiilfte. dem bereits bewiesenen SchluIJ von der internen Eigenschaft ( N ) auf die Universaleigeiischaft, bilden die j , : A, --f A’ wieder ein Modell des freieii Produkts der A , , ein Modell nun freilich, dem nach Konstruktion die Eigeiischaften (39) abzulesen sind. Wenn nun auch die gegebenen Homo- morphismen i t : A, + A ein freies Produkt bilden, so gibt es (genau) eineii Isomorphismus O J : A --t A‘ derart, dalj j , = w 0 i, fur alle t E T, und dieser Isomorphismus ubertriigt die Eigenschaften von A’ und den .it , insbesondere (337, auf A und die i,.

g, Vgl. J. SCHMIDT [4] 2; [5] 1. 10) Vgl. J. SCHMIDT [4], Beweis von Theorein 3. 11) BOURBAKI [I] f 2, 6 ; J. SCHMIDT [5], 1.

354 Schmidt, Universelle Halbgruppe, Kategorien, frcics Produkt

Wahlen wir als A, inshesondere die von der Eiisermeiige {t} erzeugte freie Halbgruppe, A , : = {tk 1 k E N - {O}}, wobei - uiid das besagt (N) in tliesem Spezialfall! - tk = t2 iiur im Falle k = 1 eintritt. Hervorgehoben sei nochmals, da13 es ohiie ,,Identifizieruiig" prazise so eiiigerichtet werden kann, da13 wirklich t = tl E A,; ja es 1113t sich so sogar so einrichten, daB die A, selbst schoii von voriiherein paarweise disjunkt sind: man wende oben erwahiites Austauschprinzip auf die naturliche In jektion

T -+ T x ( N - (0))

an. (Die partielle direkte Summe liil3t sich in diesem Fall in der gewohn- lichen Vereinigung B : = U A,. mit den Iiiklusionen A, --f B, realisieren!) Mit dieser Wahl der A, erhalt man nun einen weiteren Zugang zu der von der Menge T erzeugten freien Halbgruppe; letztere laat sich ja, nach bc- kanntem Muster, als freies Produkt der A, irsterpretieren und damit, nach Satz 3, durch folgende eindeutige Normalformdar stellung - Spezialfall von (33') - kennzeichnen:

(9X) jedes Element a E A ist auf genau eine Wcise in der Form a = ~ t: v - 1

mit "il 2 1, t , E T, kv E N - (O}, t,, # t v + l darstcllbar.

Demgcgenuber lieferte unmittelbare Arirveiidurig des Korollars zu Satz 2 auf diskrete Algebra T die interne Kennzeichnung :

n

(3E) jedes Element a E A ist auf genait eiiie Weise ill der Form u = nfy v = l

mit n 2 1, t, E T darstellbar.

4. Die bisherigen Resultate lassen sich mit geriiiger Muhe auf Halb- gruppeii mit Eins ubertragen, welch letzterc man zweekmii13ig als Algebren (A , .. e) vorn T y p u s ( 2 , 0), mit dcr Eins e als zusiitzlicher fuiidameiitaler Operation vom T y p u s 0 (Konstanter) auffaat uiid in dieser Auffassuiig als Monoid bezeichnet. Allgemein versteht man linter eiiier purtiellen Algebra Tiom T y p u ~ ( 2 , 0) eine partielle Algebra vom Typus 2 , in der zusiitzlich entweder pin - beliebiges - Element, als nullstellige fundameiitale Operation ausgezeichnet oder aber die nullstellige fundunzentale Operation leer, in Wahrheit also kein Element ausgezeichnet ist ; im ersten Fall sagen wir auch, die Konstante existiere in B oder sei in B azcsfiihrbm. Mit dcr leereii null- stelligen Operation lli13t sich insbesoiidere jede partielle Algebra vom Typus 2 als partielle Algebra von Typus ( 2 , 0) auffassen. so z. B. jede Halb- gruppe 12) ; so wird auch eine diskrete Algebra vom Typus 2 . sprich abstrakte ~ ~~

I?) O h m oder rnit Eins: im lttztercn Fall hatte man nur sorgfaltig das Monoid ( A , . , e ) nnrl die - davon effektiv verschiedeno - particllc Algebra ( A , . , lccre Op.) auseinander- zuhalten !

Schmidt, Universclle Halbgruppe, Kategorien, freies Produkt 355

Menge, zur diskreten Algebra vom Typus (2, 0). Es durfte klar sein, wie die zu einer beliebigen Teilmenge B cirier partiellen Algebra A vom Typus ( 2 , 0) gehorige Relativalgebra aussieht : beide Falle, da13 die nullstellige fundamentale Operation nichtleer - ein Element voii B - oder daL3 sie leer ist, konnen auftreten. Klar auch, da13 eiii Homomorphismus part,ieller Algebren vom Typus ( 2 , 0) per definitionem die Existeiiz der Konstaiiten in der Urbildalgebra auf die Bildalgebra ubertriigt und die Koiistante der Urbildalgebra auf die der Bildalgebra abbildet.

In Morioiden A wird nun die eindeutige Normalformdarstcllung ( N ) durch folgende eindeut'ige Normalformdarstellurig fur Moiioide zu ersetzeii seiri :

(NJ jedes a 91

A ist auf genau eirie Weise in der Form n = n b , m i t , Y - = 1

n 2 0, b, E 6: - {e}, b, . ZI,,+~ B B darstellbar.

Dabei versteht man uiiter dem leeren Produkt (n = 0) wie ublich die Monoid-Eins e E A. Man bemcrkt, da13 genau dann, weiin A das von B C A erzeugte Untermonoid ist, jedes a E A sich auf mindes tens eine Weise in der gekurzten Form von (Ha) darst,ellen 18Bt. Dabei ist, Eindeutigkeit dieser Darstellung uberhaupt moglich zu machen, unerlaOlich, b + e zu fordern, zumindest fur die Lange n = 1 : ansonstcn hatte man, e E B vor- ausgesetzt, fur e neben der leeren Produktdarstellung (n = 0) noch eirie weitrre gekurzte Darstellurig mit ?a = 1, bl = e ; fur Laiigen n 2 2 hingegen folgt b,, + e an sich schoii aus der Nichtkurzbarkeit (b%, . t ~ , , ~ B) . Aus dem Gesagten geht ubrigens hervor, daL3 im Falle e E B die beiden Normal- formbedingungen (&) und (NJ - Beziehungen zwischen dem Monoid A und der Relativalgebra B - vollig dasselbe besagen-; im Falle e E A - B hingegen besagen (Jv) und ( N a ) nur fur Elemede CL + e dasselbe : (Jv) ver- langt, da13 auch e gekurzt, mit einer Lange n 2 2, darstellbar, (Ne) indes, daf3 dies gerade n ich t so sein sull.

Auch (SJ) zieht fur die Relativalgebra unser altes Assoziativgesetz ( X ) nach sich. Als Relativalgebra eines Monoids A mu13 ferner die partielle Algebra B folgende die nullstellige Operation betreffeiide Bedingung er- fiiIlen :

(6') wenn die Konstante in B existiert, e E B, so existiereii zu jedem b E B

In dem Augenblick nanilich, da die Monoid-Eins e (die Konstante von A ) zu B gehort, wird sie die Konst'ante der Relativalgebra B und spielt dort schori die in ( i$') prazisierte Rolle einer Eins der prrtiellen Algebra B ; anderri- falls wird die nullstellige Operation der Relativalgebra B leer.

in B die Produkte e * b und b . e und sind gleich b.

Wir haben damit bereits zur Halfte den zu Satz 2 analogen

356 Schmidt, Universelle Halbgruppe, Kategorien, freies Produkt

Satz 4. Damit die partielle Algebra B, vom T y p u s ( 2 , O), Relativulgebra vines Monoids init der eindeutigen Normalformdarstellung (Ae) sei, sind die Bedingungen (X ' ) und (i5) notwendig und hinreichend. A ist dann das uni- verselle Monoid von B.

DaB A durch (ae) zum universelleii Monoid w i d von B, zeigt man viel- leicht am besten auf die gleiche Weise wie im Beweis von Satz 2 . Die zweite Satzhalfte fiihren wir auf Satz 2 zuruck; eine neue Konstruktion, ahnlich kompliziert wie im Beweis von Satz 2 , ist nicht erforderlich. B erfiille also (37) und ( 8 ) . Falls nun die nullstellige Operation von B leer sein sollte, adjungieren wir eiri neues Element e, das wir zur Konstanten von

Be := B u { e }

erheben; die partielle Multiplikatiori von B wird auf B, durch e . c = c + e = c (fur alle c E Be) ausgedehnt : damit erfullt die partielle Algebra Be, auch vom Typus (2, O), die Bedingung (g), auch iibertriigt sich (X ' ) von der Relativalgebra B auf Be. Wenri hingegen in 61 die - wieder mit e bezeich- nete - Konstante existiert, setze man Be := B. Jedenfalls gibt es nach Satz 2 eine Halbgruppe (A , .), die (Be, .) als Relativalgebra enthalt und iiber dieser (N) oder, was iiach obiger Bemerkung dasselbe bedeutet, (Ne) erfullt ; man bemerkt dazu nur noch, daI3 e, das Einselement von B,, auch das Einselement wird der von Be erzeugteri Uriterhalbgruppe A. Daiiii erfullt A aber auch iiber B die Bedingung (at): fur Elemente b,,

ist ja, nach Konstruktion, 6 , . b,+l B Re stets mit b,, - by+! B B iiquivaleiit.

Korollar. S e i A Monoid, B eine Relutivulgebru, die (X') erfullt. Bann ist A genau dann das universelle Monoid von B, wenn in A die eindeutige Normal- formdarstellung (J,) gilt.

Beweis wie der des Korollars ZIX Satz 2 ; einzige Bemerkung (Erinnerung) : B erfiillt automatisch ( 8 ) .

5 . Wir kommeii zu 3 entsprechendeii Ariwtiidixngen. Analog Satz 3 hat man

Satz 5. (Axiomatisierung des Koprodukts von Nonoiden). Aeien d i e A, ( t E T ) beliebige Monoide, seien. die i, : A,+ A Homomorphismen in pin Monoid A. Diese bilden das Koprodukt (freie Produkt) der A, in der Kategorie der Monoide genau clann, uwnn jolgende Bedingungen erfullt sind : (3SJe1) die it szizd iniektiv; (3Pe2) i8(A8) n t,(A,) = ( e ) ( e das Einselcinent von A ) , fzir alle s, t E !Z',

s + t ; (3SJe3) uber der Relativalgebra B := U i,(A,) y i l t in A die eindeutige

Normavormdarstellung (JV,).

by+l E Be - {el = Be - {el

Schmidt, Universelle Halbgruppe, Kategorien, freies Produkt 35 7

Beweis mutatis mutandis wie der von Satz 3 ; wir bemerken dazu nur noch: (3’9ei) und (33’e2) besagen gerade, daB diz it : A,-+ B = u it&) die partielle direkte Summe, das Koprodukt in der Kategorie der partiellen Algebren vom Typus (2, 0), der Monoide A, bilden13).

Wie im Beweis von Satz 2 erfullt die partielle direktc Summe von Xonoiden unser Assoziativgesetz (X), iiberdies (Z), womit eben Satz 4 anwendbar wnd. DaB aber - im Unterschied zur partiellen direkten Summe von Halbgruppen - die partielle direkte Summe von Monoiden j . a. nicht mehr das volle Kategoriengesetz (X) ezfullt, zeigt das Beispiel B : = T u ( e } wobei e B T und e . t = t . e = e, t 2 = e fur alle t E T . Diese partielle Al- gebra (B, -, e ) erfiillt (X) und ( g ) : sie ist ja die partielle direkte Summe der zu 2, isomorphen Untermonoide A, := (e, t} . Sei nun x + z , x, z E T, y = e ; man hat dann x . y, y e z B, dabei aber (x . y, y z ) = (x, x ) , und tatsachlieh ist (x . y) . z = x (y . z ) B B. Nebenbei erfiiUt B auch weder (Ar) noch (Al), ist also nicht Anfang seines universellen Monoids; somit 12Bt sich der Zusatz von Satz 3 nicht auf Satz 5 iibertragen. I n der Tat: man wahle x = y i z , x. z E T ; es ist d a m x y E B, (x. y) . z = z E B, aber y z 6 B. Es 1aBt sich aber sofort zeigen, daB die partielle direkte Summe von Monoiden immer noch folgeride Abschwachung von (A?) erfiillt :

(A:) weiiii x, y, z E B und x ’ y, (Y - y) * z E B und (x. y) z + z , so ist y - z , x . ( y . x ) E B u n d ( x . y ) . z = x - ( y . z ) ;

desgleichen gilt natiirlich die analoge Abschwachung (A;) von (A1).

zigen zusammenziehen : Wieder lasseii sich nun die drei Bedingungen voiz Satz 6 zu einer ein-

M

(39,) jedes a E A lafit sich auf geriau eine Weise in der Form n = n it, (a,) Y = 1

mit n 2 0, t, E T, a, E At, - {e,,}, t , + t,+i darstellen

( e , das Einselemeiit des Moiioids At). Diese eindeutige Nowna~ormdarstellung fur das freie Monoidprodulct ist bekannt im Spezialfall, daB alle At Gruppeii sirid; in der Tat ist dann auch das freie Monoidprodukt A eine Gruppe. (DaI3 in der Kategorie der Monoide die Subkategorie der Gruppen ab- geschlossen ist gegenuber dem Monoidkoprodukt, druckt sich auch in der einfachen Tat sache aus, daB jedes Monoid ein groBtes Untermoiioid enthalt, das Gruppe ist: die Einheitengruppe.) Remerkt sei noch, daB man fiir Gruppen A, die Kennzeichnung (3Pc) des freien Produkts formal noch etwas abschwachen kann, indem man, wie es gelegeutlich geschieht, die eiiideutige Darstellbarkeit nur fur alle a + e fordert ; fur beliebige Monoide

13) Vgl. J. SCHMIDT [5 ] , 2 sowie Theorem 7 in 5.

358 Schmidt, Univcrsclle Halbgruppr, Kategorien, frcies Produkt

durfte diese Abschwachung jedoch niclit beweisbar sein, vie1 weniger durfte sie sich auf (NJ in Satz 4 ausdchnen lassen.

Anwendung von Satz 5 auf deli Spezialfall A, = von {t> erzeugtes freies Monoid (A , E N ) bzw. A, = von ( t } erzeugte freie Gruppe (A, z Z) liefert die ubliche Pv’ormalformdarstellung des voii der Neiige T erzengteii freien Nonoids A = F M ( T ) .

( T3fe) jedes a E A laBt sich anf genau cine Weise in der Form a = fi f;’ t = I

mit n 2 0, r, E T , k, E 2V - (01, t,, =+ t y C l darstellen,

bzw. mit k, E 2 - ( 0 ) die eindeutige Normnlformdarstellurig (33) der vori der Menge T erzeugten freim Gruppe A = F G ( T ) . Eine aridere Normal- formdarstellung fur FG ( T ) erhalt man durcli direkte Anwendung von Satz 4 auf die diskrete Algebra vom Typus ( 2 , 0) T :

( 3 X : ) jedes a € A 1aBt sich auf genau eine Weise ill der Form a = ntu mit , I

Y - 1

n 2 0, t, c T darstellen.

Pur die freie Gruppe erhalt maii die in etwa arialoge Normalformdarstellung wie folgt : Mit Hilfe eiiier Bijektion 6 von T auf eirie zu T disjurikte Menge 6 ( T ) urid eiries Elements e 6 T u d(T) bilde maii die nilerige

B := T w 6 ( T ) w { e }

und mache diese durch t . 6 ( t ) = 6 ( t ) . t = e (t E T ) , e . b = 6 . e = b ( b c B )

zur (K’) und (i5) erfullenden Algebra vom Typus ( 2 , 0 ) ; ihr uiiivprselles Monoid A ist die von T erzeugte freie Gruppe. und (NJ liefert die bekannte gleichfalls fur die freie Gruppe chnrakteristische eindeutige Normalform- darstelluiig :

(3%) jedes a E A la8t sich auf genau eiiie Weise in der Form cc = ntr’ sobald t, = t , + l . darstellen.

11

Y = I

niit 2 0 , t , E T, L, -- 5 1, E , = F ,

Literatur

[I] X. BOURBAKI, Thkorie des ensembles. Chap. 4: Structures. Paris 1957. [2] P. BURMEISTER und J. SCHMIDT, On the complction of partial algebras. Coll. Math.

(im Druck). [3] T. EVANS, The word problem for abstract algebras. J. London Math. SOC. 46, 64-71

( 1 952). [4] .J. SCHXIDT, A general cxistence theorem on partial algebras and its special cases.

Coll. Math. 14, 73-87 (1966). [5] -, Direct sums of partial algebras and final algebraic structures. Csnad. J. Math. (im

Druck).