Unite1

I

PALME YAYINCILIK Ankara 2013

MATEMATİK11. Sınıf

Mehmet ŞAHİNwww.mehmetsahinkitaplari.org

Nurdan YALÇINKAYAMücahid ERGÜN

Oğuzhan KIRIKOĞLUTuba SARAR

REDAKSİYON

M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu'nun 14.07.2005 gün ve 200 sayılı kararı ile kabul edilen 11. sınıfMatematik dersi öğretim programına uygun hazırlanmıştı r.

SORU KİTABI

II

GENEL DAĞITIMYAZIT Yayın-Dağıtım

Sağlık Sokak 17/30 Sıhhiye-ANKARATel 0312-433 63 85-433 56 65 Faks 0312-433 73 17

PALME YAYINLARI: 575

11. Sınıf Matematik Soru Kitabı / Mehmet ŞAHİNYayın Editörü : Cemil AYANYayına Hazırlama : PALME Dizgi-Grafik Tasarım Birimi Palme Yayıncılık © 2013Yayıncı Sertifika No : 14142ISBN : 978-605-355-089-1

Baskı : Başak MatbaacılıkBasımevi Sertifika No : 12689

Bu kitap 5846 sayılı yasanın hükümlerine göre kısmen ya da tamamen basılamaz, dolaylı dahi olsa kullanı-lamaz, teksir, fotokopi ya da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Her hakkı saklıdır, PALME YAYINCILIĞA aittir. Bu kitapta kullanılan sistem yayın evinin izni olmadan kullanılamaz.

III

�Denebilir ki, hiçbir s¸eye muhtaç deg˘iliz. Yalniz bir tek s¸eye ihtiyacimiz var: Çalis¸kanolmak!�

�Tu¨rkiyenin çocuklari, Batinin teknolojisinin haraç gu¨zari olarak deg˘il, kendi icat ettik-leri tekniklerle deg˘erlerimizi yeryu¨zu¨ne çikarmali du¨nyaya duyurmalidir�

�Ku¨çu¨k hanimlar, ku¨çu¨k beyler! Sizler hepiniz geleceg˘in bir gu¨lu¨, yildizi, ikbal nurusunuz.Yurdu asil nura gark edecek sizsiniz. Kendinizin ne kadar mu¨him ve kiymetli oldug˘unuzudu¨s¸u¨nerek ona go¨re çalis¸iniz. Sizlerden çok s¸ey bekliyoruz.�

Mustafa Kemal Atatu¨rk

IV

Ağustos 2012Ankara

EDİTÖR

Son yıllarda ilk ve ortaöğretimde uygulanmaya başlanan öğretim programlarının

ana felsefesi, yaşam temelli yaklaşımı esas almasıdır. Bu yaklaşımla, soyut gibi algıla-

nan birçok kavram gerçek yaşamla ilişkilendirilmiş, somut hale getirilmiştir. Bu yakla-

şım okullarımızdaki öğretim sürecine tam olarak yerleştirildiği ve uygulandığı zaman

öğrencilerimizin derslere olan ilgi ve motivasyonları ciddi bir biçimde artacaktır. Tüm bu

gelişmelerin sonucu olarak bilişim toplumunun gerektirdiği becerilere sahip, objektif ve

analitik düşünebilen, yaratıcı bir kafa gücüne sahip kuşaklar yetişecektir. Böyle yetişen

genç insanlar, ezberden uzak kalacak, sağlıklı iletişim kurabilme yetileri gelişecek; ken-

dini iyi tanıyan, çevresiyle barışık bireyler olacaktır.

Palme yayıncılığın hazırladığı bu kitap serisinin içeriği yukarıda belirtilen bakış açısı

çerçevesinde oluşturulmuştur. Ayrıca bu kitaplar değişen yeni sınav sistemine

(YGS–LYS) uygun bir niteliğe sahiptir. Üniversite sınavlarında sorulacak soruların kap-

samı ve ağırlık düzeyine uygun bir konu akışı sağlanmıştır.

Bu kitapların hazırlanmasında büyük bir özveriyle bana destek veren Palme Ya-

yıncılık'ın genel müdürü sayın İlhan Budak'a teşekkür ederim.

Palme Yayıncılık'tan çıkan bu kitap serisinin tüm öğrencilere yararlı olması ve on-

ların gelişimine bir katkı sağlaması dileğiyle.....

Cemil AYAN

V

Sevgili Öğrenciler,

2010 yılında ilk kez uygulanan yeni sınav sistemine göre, LYS deki 50 Mate-

matik sorusunun yaklaşık 15'i 11. Sınıf Matematik dersi konularından sorulmuştur.

Bu, Matematik sorularının %30'unun 11. sınıftan sorulduğu anlamına gelmektedir.

Bu kitap,

Orta öğretim başarınızı yükseltmek,

Üniversiteye giriş sınavında yüksek başarı elde etmenizi sağlamak,

amacıyla 4 yıllık Lise müfredatına uygun olarak hazırlanmıştır.

Kitapta her ünite; konu özeti, konu testleri, tekrar testleri, yazılıya hazırlık

soruları ve üniversiteye giriş sınavında çıkmış sorulardan oluşmaktadır.

Her ünite içerisinde konu testlerinin bulunduğu sayfalarda bulunan Bilgi kutu-

sunda o sayfada bulunan soruların çözümüne yardımcı olabilecek bilgiler bulun-

maktadır. Bu bölümde bulunan bilgiler o sayfadaki soruların çözümü için yeterli

olacak şekilde hazırlanmıştır.

Sağlık ve başarı dileklerimle.....

Mehmet ŞAHİN

moc.liamtoh@86mnihasNisan 2013

23 14 324 235 0araknA

ÖNSÖZ

VI

KARMAŞIK SAYILAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

Sayfa No

y

x0

Mb

a

rP

LOGARİTMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

y

x

y = x

y = ax

a

1

0 1 a

y = logax

KARMAŞIK SAYILARÜNİTE 1

LOGARİTMAÜNİTE 2

İÇİNDEKİLER

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON, BİNOM OLASILIK . . . . . . . . . . . . . . .110

İSTATİSTİK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

Standart sapma

Medyan

Mod

Aç›kl›k

Aritmetik ortalama

Merkeziyay›l›m ölçüsü

Merkezie€im ölçüsü

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM,OLASILIK VE İSTATİSTİKÜNİTE 3P(n,n) = n!

VII

TOPLAM–ÇARPIM SEMBOLÜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

akk=r

n∑

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ak

k=r

n∏

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

DİZİLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212

ARİTMETİK DİZİ – GEOMETRİK DİZİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

xn

n!n=0

•

∑ = ex

akk=1

n∑ =

n2a1 + an( )

n.rn−1

n=1

•

∑ =1

1− r( )2

MATRİS VE DETERMİNANT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

...

...

...

......

...

...

TOPLAM – ÇARPIM SEMBOLÜÜNİTE 4

GERÇEK SAYI DİZİLERİ – ARİTMETİK DİZİGEOMETRİK DİZİÜNİTE 5

MATRİS VE DETERMİNANTÜNİTE 6

Sayfa No

YAZILIYA HAZIRLIK SORULARI CEVAP ANAHTARI . . . . . . . . . . . . . . . . .296

YAZILIYA HAZIRLIK SORULARICEVAPANAHTARI

z = z .cisθ

zn = z n .cisnθ

y

x0

Mb

a

rP

y

x0

z1z2

αα

r2 r1

1KARMAŞIK SAYILAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Karmaşık Sayılar Kümesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

İki Karmaşık Sayının Eşitliği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Bir Karmaşık Sayının Eşleniği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Karmaşık Düzlem ve Bir Karmaşık Sayının Karmaşık Düzlemde Gösterimi . . . . . . . . . . . . . 10

Karmaşık Sayının Mutlak Değeri (Modülü) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Karmaşık Sayılar Kümesinde İşlemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

i Karmaşık Sayısının Kuvvetleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Karmaşık Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Karmaşık Sayının Kutupsal Gösterimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

De Moivre Formülü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Karmaşık Sayının Orijin Etrafında Döndürülmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Karmaşık Sayının Kökleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Konu Testleri (1 – 16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Tekrar Testleri (1 – 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Yazılıya Hazırlık Soruları (1 – 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAVINDA ÇIKMIŞ SORULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Sayfa No

KARMAŞIK SAYILAR

Karmaşık Sayılar Kümesi

a, b ∈ R ve i2 = –1 olmak üzere z = a + bi ile tanımlı z sayısına karmaşık(kompleks) sayı denir.

Karmaşık sayılar kümesi;

dir.

z = a + bi karmaşık sayısında a ya z karmaşık sayısının gerçek (reel) kısmıdenir ve Re(z) ile gösterilir.

z = a + bi karmaşık sayısında b ye z karmaşık sayısının sanal (imajiner)kısmı denir ve İm(z) ile gösterilir.

z = a + bi sayısında b = 0 ise z = a ∈R olup her gerçel (reel) sayı sanal kısmısıfır olan bir karmaşık sayıdır. Bu nedenle

R ⊂ C

dir.

İki Karmaşık Sayının Eşitliği

z1 ve z2 iki karmaşık sayı olsun.

z1.z2 = 0 + z1 = 0 veya z2 = 0

dır.

Bir Karmaşık Sayının Eşleniği

a – bi karmaşık sayısına a + bi karmaşık sayısının eşleniği denir. z = a + bi

ise z nin eşleniği dir.

Özellikler

➢ z reel +

➢ z sanal + z 0 bi z z+= + =-^ hz z=-

z a 0i z z+= + =^ hz z=

z a – bi=

z a bi

z c dive z z a c ve b d dir.

1

21 2 +

= +

= += = =4

: ,C a bi a b R ve i 12!= + =-" ,

KARMAŞIK SAYILAR

9

KONU ÖZETI

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

➢ z + = 2.Re (z)

➢

➢

➢ z1, z2 ∈ C olsun.

➢ z = 0 ⇔

Karmaşık Düzlem ve Bir Karmaşık Sayının Karmaşık Düzlemde Gösterimi

x eksenini gerçel eksen, y eksenini sanal eksen alarak oluşturulan bu düz-leme karmaşık düzlem denir.

Analitik düzlemde; A(a, b) noktasına karmaşık düzlemde z = a + bi sayısıkarşılık gelir.

B(3, 1) noktasına karmaşık düzlemde z1 = 3 + i noktası,

C(–4, –2) noktasına karmaşık düzlemde z2 = –4 – 2i noktası,

D(–3, 4) noktasına karmaşık düzlemde z3 = –3 + 4i noktası

karşılık gelir

A, B, C, D noktalarına, sırasıyla z, z1, z2, z3 karmaşık sayılarının karmaşık düz-lemdeki görüntüleri denir. Karmaşık düzlemdeki her nokta bir karmaşık sayının görün-tüsüdür.

Karmaşık Sayının Mutlak Değeri (Modülü)

Analitik düzlemde P(a, b) noktasının O(0, 0) başlangıç noktasına olan uzaklığı

dir. sayısına, z = a + bi karmaşık sayınının mutlak değeri (modülü) denir

ve ile gösterilir. Buna göre,

dir.

Özellikler

Her z = a + bi karmaşık sayısı için,

➢

➢

➢ z = 0 � z 0=

Re z z , Im z z# #^ ^h h

z z z z= = - = -

z a b2 2= +

z

a b2 2+

OP a b2 2= +

z 0=

z z z z1 2 1 2" "=

z z=^ h

z z 2.i.‹m z- = ^ h

z

10

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

4i

3i

2i

i

–4 –3 –2 –1–i

–2i

bi

1 2 3 4 a

Sanal eksen

Gerçek eksen

z3 = –3 + 4i

D

Bz1 = 3 + i

Az = a + bi

z2 = –4 – 2iC

0

Sanal eksen

Gerçeleksen

Pz = a + bi

a2 + b

2

b

a0

Karmaşık Sayılar Kümesinde İşlemler

1. Toplama İşlemi

2. Çıkarma İşlemi

(üçgen eşitsizliği)

3. Çarpma İşlemi

➢ ➢ ➢ ➢

i Karmaşık Sayısının Kuvvetleri

➢ z = a + bi karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersi

dir.

4. Bölme İşlemi

z1, z2 ∈ C ve z2 ≠ 0 olmak üzere;

dir.

➢ ➢ (z ≠ 0)

➢ (z2 ≠ 0) ➢zz

zz

2

1

2

1=c m z

1z1

=b l

zz

z

z

2

1

2

1= z

1z1

=

zz

zz

zz

z

z .z

2

1

2

1

2

2

2

1 22$= =

z1 z

a ba

a bb i1

2 2 2 2 $= =+

++

--c m

i 1

i i

i i 1

i i i

4n

4n 1

4n 2 2

4n 3 3

=

=

= =-

= =-

+

+

+

i 1

i i

i 1

i i

i 1

olup her n N için,

0

1

2

3

4

!

=

=

=-

=-

=

_

`

a

bbbb

bbbb

z zn n=^ ^h hz .z z .z1 2 1 2=z.z z

2= _ iz .z z . z1 2 1 2=

z a bi

z c diz .z a i . di ac adi bci bd

z .z ac bd ad bc i

b c1

21 2

1 2

&

= +

= += + + = + + -

= - + +

^ ^

^

h h

h

4

z z z z z z1 2 1 2 1 2# #- + +

z a bi

z c diz z a c b d i

1

21 2&

= +

= += + -- -^ ^h h4

z a bi

z c diz z a c b d i

1

21 2&

= +

= ++ = + + +^ ^h h4

11

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

Karmaşık Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Karmaşık düzlemdeki görüntüleri M ve N olan

z1 = a + bi ve

z2 = c + di

karmaşık sayıları veriliyor. M ve N arasındaki uzaklık

dir. z1 = a + bi ve z2 = c + di karmaşık sayıları arasındaki uzaklık

dir. z1 = a + bi ve z2 = c + di karmaşık sayıları arasındaki uzaklığın M(a, b) ve N(c, d)noktaları arasındaki uzaklığa eşit olduğuna dikkat ediniz.

➢ kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsü, mer-

kezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çemberdir.

➢ kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsü, mer-

kezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çemberin iç bölgesidir.

➢ kümesinin karmaşık düzlemdeki görüntüsü mer-

kezi M(a, b) ve yarıçapı r olan çemberin dış bölgesidir.

Karmaşık Sayının Kutupsal Gösterimi

z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü P noktası olsun.

dir.

OP nin gerçel eksenin pozitif yönüyle yaptığı açı θ olsun. O noktası kutup (orijin)

olup ile θ, P noktasını belirtir. ile gösterilir. |z| ve θ ya P nok-

tasının kutupsal koordinatları denir. Burada θ sayısına z = a + bi karmaşık sayısı-nın argümenti denir ve arg(z) ile gösterilir. arg(z) = θ veya arg(a + bi) = θ şeklindegösterilir.

0 ≤ θ < 2π ise θ ya karmaşık sayının esas argümenti denir. Şekildeki taralı üç-genden;

olup a ve b nin bu değerleri z = a + bi de yerine yazılarak karmaşık sayıların kutup-sal gösterimi elde edilir.

z z . cos i.sinθ θ= +^ h

tan ab

cosza a z

sinzb b z

.cos

.sin

&

&

θ

θ

θ

θ

θ

=

= =

= =

OP z= P z , θ_ i

OP z a b2 2= = +

z : z – a bi r, z C+ 2 !^ h$ .

z : z – a bi r, z C+ 1 !^ h$ .

z : z – a bi r, z C+ = !^ h$ .

MN z z a c b d1 22 2

= - = - + -^ ^h h

MN z z1 2= -

12

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

Sanal eksen

Gerçekeksen

Mbi

a0

di

c

N

Sanal eksen

Gerçek eksen

Pz = a + bib

a0

θ

|z|

dır. olup olarak kullanılır.

➢ z reel ⇔ z = 0 veya argz = kπ, k ∈ Z

➢ z sanal (z = bi) ⇔ z = 0 veya , k ∈ Z

z2 ≠ 0 olmak üzere;

➢

➢

➢

➢ arg(z1.z2) = argz1 + argz2 (mod 2π)

➢

➢ Her n ∈ N, her z ∈ C için

➢ λ ∈ R ve λ ≠ 0 ve z ∈ C için (z ≠ 0)

➢ Her z ∈ C, z ≠ 0 için

➢ Her n ∈ N, her z ∈ C, z ≠ 0 için

➢ z0 ∈ C karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü A olsun.

arg(z – z0) = θ

koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüleri şekildeki AP yarı doğ-rusudur.

➢ z1 ve z2 karmaşık sayıları verilsin.

arg(z1) = θ1 ve arg(z2) = θ2

olsun.

z

argz nargz mod 2

zn

n

n

/ π-

=-

-

-

^ h

arg z1 argz mod 2/ π- ^ h

z . z

arg z argz mod 2 0 ise

arg z argz mod 2 0 ise

2

1

/

/

λ λ

λ π λ

λ π π λ

=

+

^ ^

^ ^ ^

h h

h h h

Z

[

\

]]

]]

z

argz n.argz mod 2

zn

n

n

/ π

=

^ h*

arg zz

argz argz mod 22

11 2/ π-c ^m h

z zz z

argz argz 2k , k Z1 21 2

1 2

+

!π=

=

=- +*

z zz z


1 2

+

!π π=-

=

= + +*

z zz z


1 2

+

!π=

=

= +*

argz 2 kπ π= +

z z .cisθ=cos i. sin

c i s. . .

θ θ+

13

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

y

x

b

0

P

A

θ

a

olacağından,

➢ De Moivre Formülü

n ∈ R için ise

dır.

Bir karmaşık sayının kuvveti, (karekökü, küpkökü, …, n. kökü) bulunurken De Mo-ivre formülünden yararlanılır.

Karmaşık Sayının Orijin Etrafında Döndürülmesi

z = |z|.cisθ noktası, O noktası etrafında pozitif yönde α kadar döndürülerek z1karmaşık sayısı elde ediliyorsa

argz1 = θ + α

olduğundan

z karmaşık sayısı orijin etrafında negatif yönde α kadar döndürülürse elde edilen

karmaşık sayı dır.

Karmaşık Sayının Kökleri

z = a + bi karmaşık sayısının köklerini bulmak için genel bir kural:

Önce karmaşık sayı şeklinde kutupsal biçimde yazılır.

z karmaşık sayısının n. kuvvetten kökleri w ise

dir. z nin değeri yerine yazılırsa

dir.

w z z .cis 2k

w z .cis n2k

w z .cis n2k k 0,1, 2, , n 1

k1 n 1 n

k1 n

kn g

θ π

θ π

θ π

= = +

=+

=+

= -

^_

b

b

hi

l

l

w z zn 1 n= =

z z .cis1 θ α= -^ h

z z .cis 2kθ π= +^ h

z z.cis

z z .cis .cis

z z .cis

1

1

1

.

α

θ α

θ α

=

=

= +

_

^

i

h

z z cos i.sin z . cosn isinnn n n nθ θ θ θ= + = +^ ^h h

z z . cos isinθ θ= +^ h

z .z z

zz

z

zcis

. z .cis1 2 1

2

1

2

11 2

2 1 2

$ θ θ

θ θ=

= -

+^

^

h

h

z z

z z

. cos i.sin z .cis

. cos i.sin z .cis

1 1

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

θ θ θ

θ θ θ

=

=

+ =

+ =

^

^

h

h

14

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

y

x0

θ

z1

z2

α

15

➢ Mutlak değeri (modülü) |z| = r, argümenti θ olan bir karmaşık sayının n tane

kökü vardır. Bunların modülü ve bir tanesinin argümenti dir. Diğer kök-

lerin agümentleri nin tam katları eklenerek bulunur. Bu köklerin

görüntüleri, ağırlık merkezi orijinde olan n kenarlı düzgün çokgenin köşeleridir.

➢ z karmaşık sayısının karekökleri w0 ve w1 ise w0 + w1 = 0 dır.

➢ z = a + bi karmaşık sayısının karekökleri bulunurken: x, y ∈ R olmak üzere;

w = x + yi

denirse

eşitliğinden

denklem sisteminin reel kökleri bulunarak z nin w0 ve w1 karekökleri eldeedilir.

x y a

2xy b

2 2- =

=

z

a bi x y 2xyi

w a bi x yi

2 2&

&

+ = - +

= + = +

n ye n360°θ

nθrn

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

y

x0 1–1

–1

1

y

x0 1–1

–1

1

y

x0 1–1

–1

1180°

180°

z2 = 1 in kökleri z3 = 1 in kökleri z4 = 1 in kökleri

120°

120°

120°

90°90°

90° 90°

y

x0 1–1

–1

1

y

x0 1–1

–1

1

z5 = 1 in kökleri z6 = 1 in kökleri

72°

72°

72°

72°

72°

60°

60°

60°

60°

60°

60°

KonuBilgi

16

TEST

Konu Karmaşık Sayılar

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEST 1

Bilgi

✴ z = a + bi karmaşık sayısının

reel kısmı : a

sanal kısmı : b

✴

karmaşık sayılarının toplamı:

farkı:

✴ z 1 = 4 – 3i

z 1 = 5 + 4i

ise

z 1 – z 2 = (4 – 3i) – (5 + 4i)

= 4 – 3i – 5 – 4i

= (4 – 5) – (3i + 4i)

= –1 – 7i

✴ z 1 = 5 + 7i

z2 = 3 + 4i

ise

z 1 + z 2 = (5 + 7i) + (3 + 4i)

= (5 + 3) + (7i + 4i)

= 8 + 11i

z z a c (b d) i– ( – ) –1 2 = +

z a bi

z c di1

2

= +

= +

z z (a c) (b ) id1 2+ = + + +

1) E 2) E 3) D 4) D 5) C 6) B 7) A 8) D

1. Reel kısmı 4 ve sanal kısmı –7 olan kar-maşık sayı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 4 + 7i B) –4 – 7i C) –7 + 4i

D) –7 – 4i E) 4 – 7i

2. z = –2 + 4i

karmaşık sayısının reel kısmı x, sanalkısmı y olduğuna göre, xy kaçtır?

A) –16 B) –4 C) 2 D) 4 E) 16

3. i2 = –1 olmak üzere;

z1 = 1 – 2i, z2 = 4i ve z3 = 3

olduğuna göre, İm(z1) + Re(z2) + Re(z3)toplamının sonucu kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

4.

olduğuna göre, İm(z) kaçtır?

A) –2 B) C) D) 2 E) 3

5. z1 = 4 + 2i ve

z2 = –8 + 5i

olduğuna göre, z1 + z2 toplamı kaçtır?

A) 12 + 7i B) –6 + 8i C) –4 + 7i

D) –4 + 3i E) –4 + 2i

6. z1 = 3 – 4i ve

z2 = 5 + 2i

olduğuna göre, z1 – z2 farkı kaçtır?

A) 2 – 6i B) –2 – 6i C) –2 + 6i

D) 2 + 6i E) 2 – 4i

7. z1 = 1 + 2i ve

z2 = 2 – 3i

olduğuna göre, 3z1 + 2z2 işleminin so-nucu kaçtır?

A) 7 B) –4i C) 4 – 6i

D) 8 – 4i E) 7 – 5i

8. z1 = 2 – 3i, z2 = 4i, z3 = –3 + i

olduğuna göre, 2z1 – z2 + 3z3 işlemininsonucu kaçtır?

A) –2 + i B) 6 + 3i C) –8 – 4i

D) –5 – 7i E) 4 + 3i23

- 23

z 24i 3

=-

17

9.

Şekilde z1, z2, z3 ve z4 karmaşık sayıları-nın karmaşık düzlemde görüntüleri verilmiş-tir.

Buna göre, z1 – z2 + z3– z4 işleminin so-nucu kaçtır?

A) 6 – 3i B) 4 – 2i C) 5 + 3i

D) 8 – 4i E) 6 – 7i

10.

işleminin sonucu kaçtır?

A) 9i B) 8i C) 7i D) 6i E) 5i

11.


A) 4i B) 6i C) 8i D) 9i E) 10i


olduğuna göre, İm(z) – Re(z) farkı kaç-tır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 6

13. i2 = – 1 olmak üzere,


A) –9 B) –3 C) 3 D) 9 E) 27

14.


A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 4

15. olmak üzere,


A) 2i – 4 B) 2i – 10 C) 4i – 5

D) 6i – 8 D) 7i – 4

16.


A) –6 B) C)

D) 6 E) 12

17. olmak üzere,

olduğuna göre, Re(z3) kaçtır?

A) –3 B) –4 D) –5 D) –6 E) –7

18. i2 = –1 olmak üzere,


A) –1 B) C) 0 D) E) 1

i –1=

51

51

-

51

512 2

- + -c bm l

z 1 i

z z z

z 1 27,

32

3 1 2

13

2= +

= -

= - + -

+^ h

2 32 3-

2 . 32 2

- -^ ^h h

49 8 25 643- + - - - -

i –1=

912. 16- -

3 . 27- -

z 4 4=- + -

9 25 4- + - + -

36 1 4- - - + -

1

4

–1–34

–4

z2

z4

z3

z1

y

x

TEST

Bilgi

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1Bilgi

TEST 1

✴

sayısında

Re(z) = a

İm(z) = b

z1 = a + bi

z2 = c + di ise

dir.

✴

işleminin sonucunu bulalım.

= 7i – 3i + 4i

= 8i dir.

✴ z = (1 + 2i)2 + 3i

ise İm(z) yi bulalım.

z = (1 + 2i)2 + 3i

= 1 + 4i + 4i2 + 3i

= 1 + 7i – 4

z = –3 + 7i

İm(z) = 7 dir.

– – – –49 9 16+

– i i16 16 42= =

– i i9 9 32= =

– i i49 49 72= =

– – – –49 9 16+

9

9.i

3i

9. 1

2

-

=

=

= -^ h

z z (a c) b d i

z z a – c b – di–

( )1 2

1 2

+ = + + +

= +

z a bi= +

x x2 =

i 12 =-

9) E 10) C 11) E 12) E 13) A 14) B 15) B 16) D 17) D 18) C

KonuBilgi

18

TEST


KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1


i6 + i8


A) –i B) –1 C) 0 D) 1 E) i


i3 + i8 + i10


A) –2i B) –i C) –1 D) i E) 2i


z = i7 – i9 + i10


A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

4.

olduğuna göre, Re(z) kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3

5. i2009 + i2010 + i2011


A) –i B) –1 C) 0 D) 1 E) i


i–2 + i–3 + i–5


A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

7. i–15 + i–17 + i–16


A) –i B) –1 C) 1 D) i E) 2i

8. olmak üzere, aşağıdakilerdenhangisi yanlıştır?

A) i1102 = –1 B) i400 = 1 C)

D) i18! = 1 E) i16 – i14 = 0

i 112 15=^ h

i —1=zi ii i24 11

87 20=

+

+

TEST

Bilgi

i0 = 1

i1 = i

i2 = –1

i3 = –i

i4 = 1

n ∈ N olmak üzere;


i3 + 15 + i7 işleminin sonucunubulalım.

i3 = –i, 15 = i4.i = i

i7 = i4.i3 = –i olup

i3 + i5 + i7 = –i + i – i

= –i dir.

i–10 + i–12 + i–14

işleminin sonucunu bulalım.

i–10 =

i–12 =

i–14 =

i–10 + i–12 + i–14 = –1 + 1 + (–1)

= –1 dir.

. (– )–

i i i1 1

1 11 1

14 12 2= = =

( )i i1 1

11 1

12 4 3= = =

––

.i i i1 1

11 1

10 8 2= = =

ii1nn=-

i 1

i i

i 1

i i

4n

4n 1

4n 2

4n 3

=

=

=-

=-

+

+

+

1) C 2) B 3) A 4) C 5) B 6) B 7) C 8) E

2

19

9. ve n pozitif tam sayı olmaküzere,

i4n+15


A) –i B) –1 C) 1 D) i E) 2i

10. ve n tam sayı olmak üzere,

i4n+7 + i12n+19


A) –2i B) –i C) 0 D) i E) 2i

11. n ∈ N olmak üzere,


A) –3 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2


i + i2 + i3 + i4 + … + i47

toplamının sonucu kaçtır?

A) –2i B) –i C) –1 D) 1 E) i


i18 + i19 + i20 + … + i48


A) –2i B) –i C) i D) 2 E) 2i

14. i0 – i1 + i2 – i3 + … + i34 – i35


A) –i B) –1 C) 0 D) 1 E) i

15. i.i2 .i3.i4. … . i14


A) –i B) –1 C) 1 D) i E) 2i

16.


A) –78i B) –76i C) –64i

D) –60i E) –50i

17.


A) 12 – 12i B) 12 + 12i

C) 12 – 13i D) 16 – 16i

E) 16 + 16i

18.


A) 81i B) 90i C) 110i

D) 120i E) 125i

i —1=

i —1=

1 4 9 16 225g- + - + - + - + + -

2i ii i

9 12n 7 8n

8n 7 12n 1

+

-- -

+ +

i1

i2

i3

i4

i25

2 3 4 25g+ + + + +

i1

i2

i3

i4

i12

g+ + + + +

TEST

Bilgi

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1Bilgi

TEST 2

k, n ∈ N olmak üzere;


x ∈ R olmak üzere;

i.i2.i3 ... i20 işleminin sonucunubulalım.

1 + 2 + 3 + ... + n =

eşitliğini kullanacağız.

i1+2+3+ ... n =

= i210

= i208.i2

= 1.(–1)

= –1

(208, 4’e tam bölünür.)

– i i9 9 32= =

– .i i4 4 22= =

– i i1 2= =

i.2

2 210

( )n n2

1+

. ….x x x x xn2 3n n

21

=+` j

…( 1)

nn n

1 2 3 2+ + + + =+

i i4n k k=+

9) A 10) A 11) B 12) C 13) B 14) C 15) D 16) A 17) C 18) D

KonuBilgi

20

TEST


KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEST

Bilgi

z1 = a + bi

z2 = c + di

sayıları verilsin.

z1 = z2 ⇒ a = c ve b = d

dir.

mx + nyi = px + kyi

eşitliğinde

m = p, n = k

dir.

Karmaşık sayılar kümesi üze-

rinde ✴ işlemi,

z 1 ✴ z 2 = z 1 + z 2 + |z 1z 2|

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, (1 – 2i) ✴ (2 + i)

işleminin sonucu nedir?

z 1 ✴ z 2 = z 1 + z 2 + |z 1z 2| ise

(1–2i)✴(2 + i)=1–2i+2+i+|(1–2i)(2+i)|

= 3–i+|2+i–4i–2i2|

= 3 – i + |2 – 3i + 2i2|

= 3 – i + |4 – 3i|

= 3–i+

= 3 – i + 5

= 8 – i elde edilir.

+ a + bi = 1 – i olduğuna

göre, a + b nin değeri kaçtır?

+ a + bi = 1 – i

a+bi=1–i–

a + bi = 1 – i –

a + bi =

a + bi = i eşitliğinden

a = ve b = bulunur.

a + b = = 0 olur.

– – –i

i i11 1

21

( – )i1+

=

i21

21+

– – i21 1

211 + +c cm m

–21

21

–21

21+ c m

–21

21

&

&

&

&

i11+

i11+

( ) (– )4 32 2+

1) C 2) E 3) C 4) C 5) D 6) E 7) B 8) E

1. z1 = 4 + 3i, z2 = x – yi veriliyor.

z1 = z2 olduğuna göre, x + y toplamı kaç-tır?

A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3

2. z1 = 3x + 2 + 6i + yi,

z2 = 2x – 1 – 2i – 3yi

veriliyor.

z1 = z2 olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?

A) –6 B) –4 C) 2 D) 4 E) 6

3. z1 = 2i + 4a + bi + 3

z2 = 7 + 2ai + 2a – 3i

veriliyor.

z1 = z2 olduğuna göre, a – b farkı kaçtır?

A) –3 B) –1 C) 3 D) 4 E) 6

4. x ve y tam sayılar olmak üzere,

2x – y – 4 + (x – y – 2)i = 0

olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?

A) –4 B) –2 C) 0 D) 2 D) 4

5. x ve y reel sayılardır.

2(x – 4i) + 4x + yi = 5y + 2i(x – yi) olduğunagöre, y kaçtır?

A) –3 B) –4 C) –5 D) –6 E) –7

6. a ve b reel sayılardır.

2a – 3ai(2 + i) = 3i(a – bi) – 18i + 4

olduğuna göre, b kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

7. z1 = 3 – a + bi ve z2 = 2b + (a – b)i

karmaşık sayıları veriliyor.

z1 – 2z2 = 3i – 12 olduğuna göre, b kaç-tır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

8. a ve b reel sayılar olmak üzere,

z = a + bi ve

5 – 2b + iz = 8i + 5 – z


A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

3

21

9. x ve y reel sayılar olmak üzere,

z = x + yi ve

4i – z = 5 + i(2 – 3i)

olduğuna göre, Re(z) + İm(z) toplamıkaçtır?

A) –8 B) –6 C) –4 D) 2 E) 4

10. x ve y gerçel sayılar olmak üzere,

z = 5 – 4i karmaşık sayısının toplama iş-lemine göre tersi (x – 3) + (y + 2)i oldu-ğuna göre, x + y toplamı kaçtır?

A) –4 B) –2 C) 0 D) 2 E) 4

11. P(x) = x3 + 2x2 – x + 3

polinomunda P(i) aşağıdakilerden han-gisidir?

A) 1 – i B) 1 + i C) 1 – 2i

D) 1 + 2i E) 2 – i


P(x) = x5 – 3x4 + 4x3 – 2x2 – 8x + 7

polinomu veriliyor.

P(i) aşağıdakilerden hangisidir?

A) 8 – 10i B) 6 – 11i C) 6 + 9i

D) 9 – 8i E) 13 – 2i


P(x) = x12 – 3x8 + 4x4 – 8

polinomunun x4 – 2i ile bölümündenkalan nedir?

A) –4i B) –2i C) –2 D) 4 E) 2i

14. f(x, y) = 4x3y – 3x2y3

olduğuna göre, f(–i, 2i) değeri kaçtır?

A) –8 + 12i B) 8 – 12i C) –8 – 16i

D) 16 – 8i E) –8 – 24i

15. olmak üzere,

P(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1

polinomunun x – i – 1 ile bölümündenkalan kaçtır?

A) –i B) –1 C) 0 D) 1 E) i

16. olmak üzere,

olduğuna göre, f(i) kaçtır?

A) –i B) –1 C) 1 D) i E) 2i

17. olmak üzere,

olduğuna göre, f(i3) değeri aşağıdakiler-den hangisidir?

A) –i B) 1 C) 1 – i

D) 1 + i E) 2

18. i2 = –1 ve x gerçek sayı olmak üzere,

olduğuna göre, x kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

i —1=

i —1=

i —1=

x .i – 3ix 3xi i263 2 + =

f x x xx 44= +^

^h

h

f x x x8=^

^h

h

TEST

Bilgi

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1Bilgi

TEST 3

z = a + b olmak üzere;

Re(z) + İm(z) = a + b

dir.

z = a + bi karmaşık sayısınıntoplama işlemine göre tersi

– z = –a – bi

dir.

P(x) = x2 + 5x + 6

polinomunda

dir.

P(x) polinomunun

xn – a

ile bölümünden kalanı bulmakiçin polinom xn e göre düzen-lenir ve xn yerine a yazılarakkalan bulunur.

f(x, y) = x2 + 3x + y

iki değişkenli polinomunda

bulunur.

f i, –i i 3i (–i)

–1 3i .i

–1 3i – 1.

–1 4i

( )

(– )

(– )i

1

2 3

3 3

= + +

= + +

= +

= +

P i i 5i 6

–1 5i 6

P i 5 5i

2= + +

= + +

= +

^

^

h

h

9) B 10) C 11) C 12) B 13) D 14) E 15) A 16) D 17) C 18) A

KonuBilgi

22

TEST


KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEST

Bilgi

z = a + bi

karmaşık sayısının eşleniği

sayısıdır.

z = a + bi

dir.

dir.

z = a + bi ise

z1 = a + bi

z2 = c + di ve

z1 = z2 ise

a = c ve b = d

dir.

z

–a bi

– –( – )a bi=

= +

(z) z=

m(z) –bI =

Re z a( ) =

z a bi= -

z a bi= -

1) A 2) B 3) B 4) E 5) E 6) C 7) D 8) D

1. z = –3 – 4i

olduğuna göre, z nin eşleniği kaçtır?

A) –3 + 4i B) –4 + 3i C) –4 – 3i

D) 3 – 4i E) 4i

2.

olduğuna göre, z nin eşleniğinin reelkısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3

3. z = 4 – 7i

olduğuna göre, kaçtır?

A) 4 – 7i B) –4 – 7i C) –4 + 7i

D) 7 – 4i E) –7 – 4i

4. z1 = 2 – 3i,

z2 = –2 – 4i

olduğuna göre, işleminin sonucu

kaçtır?

A) 8 – 6i B) 5 – 4i C) –5 + 4i

D) –8 + 6i E) –4 + 9i

5.


A) 1 – 2i B) –1 – 2i C) 2 – 2i

D) 2 + i E) –1 + 2i

6.

olduğuna göre, işleminin so-

nucu kaçtır?

A) 21 – 11i B) 15 – 8i C) 13 – 11i

D) 16 – 8i E) 19 – 13i

7. x ve y gerçel sayılar olmak üzere,

z = 4 + 2i + x – yi


A) x – y –6 B) x + y – 8 C) x – y – 3

D) x – y + 6 E) x + y – 2

8. z1 = 1 – ai – 4b – 2i

z2 = 12 – 7i + 3a

veriliyor.

olduğuna göre, b kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

z z1 2=

Re z Im z–^ ^h h

3z – 5z1 2

z 11 8i, z 4 7i1 2= - = -

. 5 2i i i3 1 4 2- - -^ ^h h

z 3z1 2+

z–

z 52 3i

=- +

4

23

9. z = a + bi olmak üzere,

olduğuna göre, z kaçtır?

A) 1 + 2i B) 3 + 2i C) 2 + 2i

D) 2 – 2i E) 3 – 2i

10. z1 = 2 – xi + y,

z2 = 4 – 2i + y,

veriliyor.


A) 14 – 8i B) 12 – 2i C) 16 + 2i

D) 14 + 8i E) 16 – 5i

11. z1 = 8 – 3i, z2 = 4 – xi + i, z3 = 4y – 6i

veriliyor.

olduğuna göre, x + y top-

lamı kaçtır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

12. z1 = 4 – 2i ve z2 = 1 – i


kaçtır?

A) 12 – 4i B) 16 – 8i C) 14 – 8i

D) 16 – 12i E) 12 – 16i

13. z = 1 + 2i

olduğuna göre, işleminin sonucukaçtır?

A) 5 B) C) 3 D) 2 E)

14. z1 = a – bi, z2 = 4 – i veriliyor.

olduğuna göre,

nedir?

A) 7 + 6i B) 8 + 5i C) 6 – 8i

D) 8 – 5i E) 7 – 6i


olduğuna göre, Re(z) + İm(z) toplamıkaçtır?

A) –4 B) –2 C) 0 D) 2 E) 4


olduğuna göre, z aşağıdakilerden han-gisidir?

A) –2i B) 1 – 2i C) 1 + 2i

D) 2 – 2i E) –1 + 2i

17. z = x + yi olmak üzere,

olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?

A) –16 B) –12 C) –10 D) 10 E) 20


eşitliğini sağlayan x + y toplamı kaçtır?

A) 2 B) 1 C) 0 D) –3 E) –452 5

2z z 6 2i+ = -

z 4 – 2i xi3 = +

z12z z 3z–1 2 3=

z z – z 0–1 2 3 =

z 2 6i 1 i2z

- + =+

. – –z i i z i1 10 2+ =^ ^h h

z.z z 4 2i+ = +

z 3z z 6 10i= + +-

z13z 4z 5 14i–1 2 = +

z.z

z1z .z2 2

TEST

Bilgi

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1Bilgi

TEST 4

ise

dir.

z1 = a + bi

z2 = c + di

karmaşık sayıları için

z1 = a + bi

z2 = c + di

karmaşık sayıları için

z1 = z2

ise

a = c ve b = d

dir.

z = 3 + 2i, = 3 – 2i olduğuna

göre, değerini bula-

lım.

z = 3 + 2i ise

=

=

=

bulunur.

.i i1681

1681

23 4

4= =c m

i46 4

c m

– ( – )–

i ii i

3 2 3 23 2 3 2 4

++ +

c m–z z

z z 4+c m

–z zz z 4+

c m

z

z z z z z z1 2 1 2 1 2+ = + = +

z a bi= -

z a bi= +

9) D 10) D 11) A 12) E 13) A 14) E 15) C 16) E 17) C 18) E

KonuBilgi

24

TEST


KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEST

Bilgi

z1= a + bi ve

z2 = c + di

sayıları verilsin.

dir.

dir.

z = a + bi sayısı için

dir.

i2 = –1 olduğuna göre,

sayısını bulalım.

= i20 = (i2)10 = (–1)10 = 1 olur.

– –

( )

– (– )

ii

i

i

i i i

11

1

1

1 11 2

22

( )i1

20

2

2 2

2 20 20

+ =+

= + + =

+e e

e c

o o

o m

– ii

11 20+

c m

z1

a bi1

z1

a ba bi

Re za b

a

m za b

b‹

a bi

2 2

2 2

2 2

=+

=+

-

=+

=-+

-

^

^

^

h

h

h

zz

c dia bi

c d

a bi c di

c d

ac bd bc ad i

21

2 2

2 2

c di

=+

+

=+

+ -

=+

+ + -

-

^ ^

^ ^

^

h h

h h

h

z .z a bi c di

ac – bd ad bc i

1 2 = + +

= + +

^ ^

^ ^

h h

h h

1) D 2) D 3) B 4) B 5) C 6) D 7) D 8) D

1. olmak üzere,

z1 = 2 – 3i ve z2 = 4 + 2i

veriliyor.

Buna göre, z1.z2 çarpımının sonucu kaç-tır?

A) 12 – 3i B) 15 – 4i C) 6 – 8i

D) 14 – 8i E) 10 – 4i

2.


A) 12 + 5i B) 18 + 3i C) 16 + 24i

D) 12 + 28i E) 21 – 18i

3.


A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3

4.


A) B) C) D) E)

5.


A) B) C)

D) E)

6.


A) 2 + 3i B) 3 + 4i C) 2 – 3i

D) 4 + 3i E) 4 – 3i

7.


A) B) C)

D) E)

8.


A) B) C) D) E)21

- 31

- 21

31

51

Re z1

b l

z 1 2 i= +

513

-2512

-

511

-59

-58

-

Re z .Im z^ ^h h

z 2 i2 i

=-

+

1 i7 i

-

-

23 2i+

23 5i-

25 3i-

25 3i+

24 3i-

1 i4 i

+

-

52

-51

-52

51

31

-

z i21

=-

5.i2 i . 2 i

46

47 37+ +^ ^h h

2 25 . 4 16- - - + -^ ^h h

i –1=

5

25

9.


A) 1 + 4i B) 1 – 2i C) 1 + 3i

D) 1 + 2i E) 1 – 4i

10.


A) B) C) –3i

D) –2i E)

11.


A) –2i B) –i C) –1 D) 1 E) i

12.


A) B) C)

D) E)

13.


A) –2 B) –i C) –1 D) i E) 1

14.


A) –1 B) –i C) 0 D) i E) 1

15.

işleminde İm(z) kaçtır?

A) B) C)

D) E)

16. z1 = 2 – 3i ve z2 = 4i


kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 4

17.


A) –1 – i B) 1 + i C) 2 – i

D) 2 + i E) 2 + 2i

18.

Şekilde verilen z1 ve z2 sayıları için

olduğuna göre, toplamı

kaçtır?

A) B) C)

D) E)

a b2 2+

1 i i3

+ -

i3

3i

-

38i

-310i

-

3i

-

z ii .21

i 32

=-

+

b l

2 3 2 5 3 2

3 5 4 2

zz

2i2

1 =

y

x

–2

0

b

z2

z1

a1

1 i1 i 2

+

-^ h

3 2iz .z1 2

+

51

21

51

-21

-

101

z i 3i 3

i 2i 2

=+

-+

-

+

ii

ii

11

11

+

-+

-

+

1 i1 i:1 i

1 i+

-

-

+

5i

i13-

i26-10

i-

10i

5 i1

5 i1

++

- +

TEST

Bilgi

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1Bilgi

TEST 5

3 + 2i karmaşık sayısının çarp-

maya göre tersini bulalım.

3 + 2i nin çarpmaya göre tersi

dir.

= olur.


(1 + i)(1 + i3)(1 + i6) işleminin

sonucu nedir?

(1 + i)(1 + i3)(1 + i6)

= (1 + i)(1 + i2.i)(1 + (i2)3)

= (1 + i)(1 – i)(1 + (–i)3)

= (1 + i)(1 – i)(1 – 1) = 0 olur.

– i133

132

3 2 –– –

i ii i1

9 43 2

9 43 2

2+= =

+( – )i3 2

i3 21+

a b

a b

a 2ab b

a 2ab b

2 2 2

2 2 2

-

+

= - +

= + +

^

^

h

h

c dia bi

c d

a bi

c d

ac bd

c di

bc ad i

2 2

2 2

+

+=

+

+

=+

+

-

+ -

^ ^

^ ^

h h

h h

a bi1

c di1

a ba bi

c dc di

2 2 2 2+-

+=

+

-+

+

-

a bi1

a ba bi2 2+

=+

-

9) A 10) A 11) B 12) C 13) C 14) C 15) B 16) E 17) A 18) B

KonuBilgi

26

TEST


KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEST

Bilgi

n ∈ N olmak üzere


(1 + i)5 + (1 – i)5 toplamı kaç-

tır? (i2 = –1)

(1 + i)5 + (1 – i)5

= [(1+i)2]2(1+i)+[(1–i)2]2(1–i)

= (1+2i+i2)2.(1+i)(1–2i+i2)(1–i)

= –4(1+i)–4(1–i) = –4–4i–4+4i

= –8 bulunur.

1 i

2i

1 i2n 2 n

n

-

= -

= -^ ^

^

h h

h

9 C

1 i

2i

1 i2n 2 n

n

+

=

= +^ ^

^

h h

h

9 C

i 1

i i

i i 1

i i i

4n

4n 1

4n 2 2

4n 3 3

=

=

= =-

= =-

+

+

+

a b a b a b

a – b a – b a b

– –2 2

4 4 2 2 2 2

= +

= +

^ ^

^ ^

h h

h h

1) C 2) B 3) D 4) D 5) E 6) C 7) A 8) B

1. olmak üzere,

çarpımının sonucu kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16

2.

olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?

A) 18 B) 20 C) 21 D) 22 E) 24

3. olmak üzere,


A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

4. olmak üzere,


A) –8 B) –4 C) –2 D) 0 E) 4

5. (1 + i)2 – (1 – i)2


A) –4i B) –2i C) 0 D) 2i E) 4i


(1 + i)4 – (1 – i)4


A) –8 B) –4 C) 0 D) 4 E) 8

7. (1 + i)12


A) –26 B) –26i B) 26 D) 26i E) 212

8. z = 4 – 4i

olduğuna göre, z11 sayısının reel kısmıkaçtır?

A) –228 B) –227 C) –225

D) 225 E) 227

i –1=

i –1=

i –1=

1 i 1 i 1 i 1 i . . 1 i7 8 9 10 84g+ + + + +^ ^ ^ ^ ^h h h h h

i i i i i i i i2 4 6 8+ + + +^ ^ ^ ^h h h h

1 i 6 1 i x yi3 4- - - = +^ ^h h

1 i 1 i 1 i i i3 5 7+ + + +^ ^ ^ ^h h h h

6

27


(1 – i)25

ifadesinin sonucu kaçtır?

A) 212(1 – i) B) 211(1 – i)

C) –212(1 – i) D) –211(1 – i)

E) 213(1 – i)

10. (1 + i)11 + (1 – i)11


A) 64i B) –64 C) 0

D) 64 E) 64i

11. (1 + i)8.(1 – i)7

işleminin sanal kısmı kaçtır?

A) 16 B) 32 C) 64 D) 96 E) 128

12.


A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

13.

işeminin sonucu kaçtır?

A) –i B) –1 C) 0 D) 1 E) i

14.

olduğuna göre, Re(z) + Im(z) toplamıkaçtır?

A) B) C) D) E)


z.i + z + 4i = z(1 – i)


A) –4 B) –3 C) –2 D) –1 E) 0

16. (z + 2i)(1 – 2i) = z + 3i

olduğuna göre, Im(z) kaçtır?

A) –3 B) –2 C) –1 D) 0 E) 1

17. olmak üzere,

z1 = 1 – 3i ve z2 = 1 + 2i


2z1 – (3 + i)z2 = a – bi

olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) 9 B) 10 C) 12 D) 13 E) 14

18. a ve b gerçel sayılar olmak üzere,


A) –4 B) –3 C) –2 D) –1 E) 0

i –1=

1 i1 i

1 i1 i2 2

-

+-

+

-b bl l

1 i1 i 88

+

-b l

z1 i

11 i

16 4=

++

-^ ^h h

2 i10 a bi 1 i-

+ + = +

121

-81

-41

- 121

81

TEST

Bilgi

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1Bilgi

TEST 6



(1 + i)(1 + i3)(1 + i5)(1 + i7)

çarpımının değerini bulalım.

(1 + i)(1 + i3)(1 + i5)(1 + i7)

=

= (1 + 1)(1 + 1) = 4

( )( – )(1 )(1– )i i i i1 1( – ) ( – )i i1 12 2

+ +1 2 344 44 1 2 344 44

1 i1 i

2i

2i

2 .i

2

i

1 i

1 i

.in n

2n

2 n

2 n

n

n

n n

n

+

-

=-

=-

= -

=

+

-b

^

^

^

^

^

^

l

h

h

h

h

h

h

9

9

C

C

a b a b a b2 2- = - +^ ^h h

1 i 1 i . 1 i

1 i . 1 i

2i . 1 i

2n 1 2n

2

n

n

+ = + +

= + +

= +

+^ ^ ^

^ ^

^ ^

h h h

h h

h h

9 C

1 i 1 i . 1 i

1 i

2i

. 1 i

. 1 i

2n 1 2n

2 n

n

- = - -

= -

= -

-

-

+^ ^ ^

^ ^

^ ^

h h h

h h

h h

9 C

9) A 10) B 11) E 12) C 13) D 14) B 15) C 16) B 17) E 18) A

KonuBilgi

28

TEST


KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEST

Bilgi

denkleminde

Δ = b2 – 4ac

olmak üzere denklemin kökleri

x1 ve x2 ise

denkleminin n tane kökü vardır.

z2 = i denkleminin kökleri

z 1 ve z0 ise

|z1 – z0| değerini bulalım.

z2 = i z =

z =

z = cis(45°+k.180°) olur.

k = 0 için z0 = cis45°

= cos45° + i.sin45°

= ve

z1 = –z0

= bulunur.

|z1 – z0|

=

= = 2 birim bulunur.2 2 4+ =

– – – –22

22

22

22

2 2+c cm m; ;E E

– – i22

22

i22

22+

&

( ° . °)cis k90 360+&

i&

a x a x …a x a 0nn

n 1n 1

1 0+ + + =--

x 2.ab

x 2ab

1

2

Δ

Δ

=- +

=- -

ax bx c 02 + + =

1) D 2) B 3) E 4) C 5) B 6) C 7) E 8) D

1. x2 – 2x + 10 = 0

ikinci dereceden denklemin köklerindenbiri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1 – 2i B) 2 – i C) 2 + i

D) 1 – 3i E) 2 + 3i

2. x2 – 4x + 5 = 0

denkleminin çözüm kümesi aşağıdakiler-den hangisidir?

A) {1 – i, 1 + i} B) {2 – i, 2 + i}

C) {3 – i, 3 + i} D) {–i, i}

E) {i – 1, i + 1}

3. x2 – 8x + 17 = 0 denkleminin kökleri x1 vex2 olsun.

Buna göre,

Re(x1 + x2) + Im(x1.x2)

kaçtır?

A) 7 B) 9 C) 11 D) 18 E) 25

4. x2 – 4ix + 5 = 0

ikinci dereceden denkleminin köklerindenbiri aşağıdakilerden hangisidir?

A) –3i B) –2i C) –i D) i E) 2i

5. x2 + 4 = 0


A) {–2, 2} B) {–2i, 2i} C) {–i, i}

D) {–i, 2i} E) {–2i, i}

6. x2 + 9 = 0


A) {–3, 3} B) {–i, 3} C) {–3i, 3i}

D) {3 – i, 3 + i} E) {–i, i}

7. x4 – 16 = 0


A) {–2, 2} B) {–2i, 2i}

C) {–2i, –2, 2} D) {–2i, 2i}

E) {–2, –2i, 2, 2i}

8. x4 – 81 = 0

denkleminin kaç farklı kökü vardır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7

29

9. x4 + 4x2 = 0

denkleminin kaç farklı kökü vardır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

10. x2 – axi + 4 = 0

denkleminin köklerinden biri i olduğunagöre, a kaçtır?

A) –4 B) –3 C) –2 D) –1 E) 0

11. x2 – 2nxi + 8 = 0

denkleminin köklerinden biri –2i oldu-ğuna göre, n kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3

12. Reel katsayılı x2 + ax + b + 3 = 0 denkle-minin köklerinden biri 1 + i olduğunagöre, a.b kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3

13. Reel katsayılı x2 + ax + b = 0 denklemininköklerinden biri 2 – i olduğuna göre,a + b kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

14. z2 – 3i.z – m + 4i + 3 = 0

denkleminin bir kökü 1 – i olduğunagöre, m kaçtır?

A) –2 B) –1 C) –i D) 1 E) i

15. Köklerinden biri 6i olan reel katsayılıikinci dereceden denklem aşağıdakiler-den hangisidir?

A) x2 – 12x + 36 = 0 B) x2 – 16 = 0

C) x2 – 36 = 0 D) x2 + 16 = 0

E) x2 + 36 = 0

16. Köklerinden biri 3 – 2i olan reel katsayılıikinci dereceden denklem aşağıdakiler-den hangisidir?

A) x2 – 6x + 11 = 0 B) x2 – 4x + 7 = 0

C) x2 – 4x + 10 = 0 D) x2 – 6x + 13 = 0

E) x2 – 2x + 5 = 0

17. Köklerinden biri olan reel kat-sayılı ikinci dereceden denklem aşağıda-kilerden hangisidir?

A)

B)

C)

D)

E)

18. Kökleri x1 ve x2 olan reel katsayılı ikinciderece denkleminde x1 = a + bi olduğunagöre, Re(x1) + Im(x2) toplamı kaçtır?

A) a + b B) a – b C) 2a

D) 2b E) –a

x x 3 02 - - =

–x x2 3 4 02 + =

x x 3 02 - + =

x 3 4 02 - + =

x 2x 2 3 02 - + =

3 1––

TEST

Bilgi

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1Bilgi

TEST 7

ax2 + bx + c = 0

denkleminin bir kökü k ise

dır. Yani denklemin kökü denklemisağlar.

Reel katsayılı bir denklemin birkökü

m + ni ise diğer kökü

m – ni dir.

Köklerinin toplamı s, çarpımıp olan ikinci dereceden den-klem

x2 – sx + p = 0 dır.

Kökleri, x1 = 3 – 2i ve x2 = 3 + 2i 2. dereceden denklemi bulalım.

x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0

x2–(3–2i+3+2i)x+(3–2i)(3+2i)=0

x2 – (6)x + 9 – 4i2 = 0

x2 – 6x + 9 – 4(–1) = 0

x2 – 6x + 13 = 0 bulunur.&

&

&

&

ak bk c 02 + + =

9) C 10) B 11) B 12) D 13) A 14) C 15) E 16) D 17) D 18) B

KonuBilgi

30

TEST


KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEST

Bilgi

z = a + bi sayısının boyu (mo-dülü)

dir.

Bir karmaşık sayının boyu, kar-maşık sayının belirttiği noktanınorijine uzaklığıdır.

sayısının boyu

dir.

dür.

z = (i2 = –1) olduğuna

göre, |z| nin değeri nedir?

z = ise

|z| =

.x

x olur1

1 12

2=

+

+ =

– –ixix

ixix

11

11+ =

+

– ixix

11+

– ixix

11+

z zz .z

ise

z z

z . z

31 2

3

1 2

=

=

z

c di

a bi

z

c dia bi

c d

a b2 2

2 2

=+

+

=+

+

=+

+

z c dia bi

=+

+

z a b2 2= +

1) C 2) D 3) B 4) D 5) B 6) A 7) B 8) C

1. z = 4 + 3i

olduğuna göre, |z| kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10

2. z = 2 – 4i

karmaşık sayısının orijine uzaklığı kaç bi-rimdir?

A) 3 B) C) 4

D) E) 5

3. z = 4 – 3i


A) B) C) 3

D) 5 E)

4.

karmaşık sayısının boyu kaç birimdir?

A) 13 B) 20 C) 24 D) 26 E) 30

5. z = 6 + ai ve

olduğuna göre, a değerleri çarpımı kaç-tır?

A) –81 B) –64 C) –32 D) –25 E) –16

6. z = x – 1 + 6i

karmaşık sayısının boyu 10 birim oldu-ğuna göre, x in alabileceği değerlerin çar-pımı kaçtır?

A) –63 B) –56 C) –45 D) 45 E) 56

7. z1 = 3 – 2i, z2 = 2 + i ve


A) B) C) 1 D) 5 E) 15

8. Karmaşık düzlemde z1 = 1 – 4i ve z2 = 9 – 6i sayılarına karşılık gelen nokta-ları birleştiren doğru parçasının orta nok-tasının orijine olan uzaklığı kaç birimdir?

A) B) C)

D) E)5 3 6 3

51

151

zz .z

3

1 22–

z 1 2 3 i3 = -

5 24 33 2

z 10=

z 3 4i6 8i 5 12i

=+

- +^ ^h h

53

5 5

1– 2iz

2 5

2 3

8

31

9. ve


A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

10.

Karmaşık düzlemde z1, z2 ve z3 karmaşıksayıları verilmiştir.

Buna göre, kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11.

karmaşık sayısında Re(z) kaçtır?

A) 3 B) 5 C) 6 D) 7 E) 10

12.


A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10

13.

olduğuna göre, x in pozitif değeri kaçtır?

A) 1 B) C) 2

D) E)

14. z1 = x + i, z2 = 2 – 3i ve

olduğuna göre, x in pozitif değeri kaç-tır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

15. z = 3 – 3i

olduğuna göre, |z2| kaçtır?

A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 36

16. z = 5 – 12i

olduğuna göre, |z–1| kaçtır?

A) B) C) 1 D) 5 E) 13

17.

sayısının orijine uzaklığı kaç birimdir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

18.

sayısının modülü kaçtır?

A) 13 B) 15 C) 16 D) 18 E) 26

y

x0

3

–2 3

–4 z2

z1

z3

zz z

3

1 2+

z 3 i6 8i

=-

-

z y 3xi3x yi . 4 3i

=-

+ -^ ^h h

z 3 4i3 i 5 12i2

=+

- -^ ^h h

z1 i6 8i

2=-

-

^ h

121

131

z z 51 2- =

2

2 2 3 2

z7 24i

3 4ive z

x i53

=-

+ +=

^

^ ^

h

h h

z 15=z 3 4i 1 x i= - +^ ^h h

TEST

Bilgi

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1Bilgi

TEST 8

z1 = a + bi

z2 = c + di

sayıları için

dir.

z = a + bi ise

karmaşık sayısının

boyunu (uzunluğu) bulalım.

Karmaşık düzlemde z = 3 – iise

|z–1| bulalım.

z = 3 – i ise

|z–1| =

= br bulunur.101

1010=

( ) (– )z z1 1

3 1

12 2

= =+

z

b ai

a bi

z

1

b aia bi

b a

a b2 2

2 2

=+

+

=

=+

+

=+

+

z b aia bi

=+

+

z1 z

z1

a

1

b

1

2 2

= =

=+

-

z z a c b d1 22 2

- = - + -^ ^h h

9) D 10) D 11) A 12) C 13) D 14) D 15) C 16) A 17) D 18) E

KonuBilgi

32

TEST


KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEST

Bilgi

z = a + bi

karmaşık sayısında

dir.

z = a + bi ise

dir.

z = a + bi sayısı

dir.

z = x + iy ve |z| = |z – 2| oldu-ğuna göre, z nin karmaşık düz-lemdeki geometrik yerinibulalım.

z = x + yi, |z| = |z – 2| ise

|x + yi| = |x + yi – 2|

x2 + y2 = x2 – 4x + 4 + y2

4x = 4 x = 1 doğrusu bu-

lunur.

x = 1 doğrusu gerçel eksenedik bir doğrudur.

&

( – 2)x y yx2 2 2 2+ +=

&

&

&

&

z.z z a b2 2 2= = +

z

a b

z z z

2 2= +

= - = = -

z a b2 2 2= +

1) E 2) D 3) A 4) D 5) A 6) C 7) A 8) E

1.


A) 2 B) 4 C) 8 D) 12 E) 16

2. |z| = x olmak üzere,


A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. olduğuna göre,

sayısının modülü kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 9

4. z = a + bi olmak üzere


A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5. z = x + 4i ve olduğuna göre,

x in alabileceği değerlerin çarpımı kaçtır?

A) –4 B) –2 C) –1 D) 1 E) 2

6.


A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7. z = x + yi, ve Re(z) = 6

olduğuna göre, İm(z) aşağıdakilerdenhangisidir?

A) –5 B) –4 C) –2 D) 2 E) 5

8.

olduğuna göre, çarpımı kaçtır?

A) 1 B) C) 2

D) E) 42 2

2

z.z

z 1 i2 2i

=-

+

z 3i 10- =

z 3 xi ve zi z 0= + + =

3 4iz 4

2

-=

z12

i.z 3=

z . z

z . –z . z

–2

z 4 i3 2i

=-

-

z z z 12- + + - =

z 1 i4 4i 2

=-

+b l

9

33

9.

olduğuna göre, z karmaşık sayısınınboyu kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16



A) B) C) D) 3 E) 4

11.

olduğuna göre, a değerleri çarpımı kaç-tır?

A) –16 B) –12 C) –10 D) –9 E) –2

12.


A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

13.


A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


olduğuna göre, a nın pozitif değeri kaç-tır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5


olduğuna göre, a kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

16.

olduğuna göre kaçtır?

A) B) C)

D) E)

17. z1 = 3 – i ve z2 = –3 + 7i

karmaşık sayıları arasındaki uzaklık kaçbirimdir?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

18. z1 = 2 – 3i ve z2 = a + 5i

karmaşık sayıları arasındaki uzaklık 10 brolduğuna göre, a değerleri çarpımı kaç-tır?

A) –24 B) –28 C) –30 D) –32 E) –36

z 4z1=-

z 3=

z z– 1–

38

37

35

z 3 a.i ve z 3 z 102= + - =

z.z z 1 5 i2

- = +^ h

z.z 2 z 5 3 i 02

+ - + =^ h

23

26

25

22

21

z

z 3 3 2i .z+ = +^ h

z z 1 3i- = -

z z i i4 212+ + = +

TEST

Bilgi

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1Bilgi

TEST 9

z = a + bi karmaşık sayısı için

z1 = a + bi ve

z2 = c + di

karmaşık sayıları arasındaki uzak-lık

z = a + bi ise

z = 2 + 4i ve u = 3i karmaşık sa-lılar olduğuna göre,

değerini bulalım.

z = 2 + 4i, u = 3i ise

= = –2 bulu-

nur.

– – – ( )i

ii

i24 2

22 2

+=

++

.( )

( – )(– ) –i

z ui

i ii

i i6 3 3 2

2 4 32

2 4 2

+=

+=

++

.i

z u6 3+

z

z

z a b a bi

z a b a bi

2 2

2 2

+ = + + +

- = + - -

z z a c b d1 22 2

- = - + -^ ^h h

z1

a bi1

z

z

a bi

z1 a bi a bi

1

=+

= -

=- = - -+

9) B 10) C 11) A 12) C 13) B 14) C 15) B 16) D 17) E 18) D

KonuBilgi

34

TEST


KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEST

Bilgi

z0 = a + bi verilsin.

z = x + yi olmak üzere

koşulunu sağlayan z

karmaşık sayılarının geometrik ye-rinin denklemi

dır. Bu merkezi M(a, b) ve yarı-çapı r olan çember denklemidir.

|z + 2 – i| = 10 eşitliğini sağlayanz karmaşık sayılarının geometrikyerinin denklemini bulalım.

z = x + yi alınırsa,

|z + 2 – i| = 10 |x + yi + 2 – i| = 10

|(x + 2) + (y – 1)i| = 10

(x + 2)2 + (y – 1)2 = 100

denklemi bulunur.

&

&

&

y

x0

Mb

a

rP

x yi

x a y b

x a

a bi r

i r

y b r2 2 2

+

- + -

-

- + =

=

+ - =

^ ^

^

^ ^

h h

h

h h

z z r0- =

1) E 2) D 3) D 4) B 5) A

1.

eşitliğini sağlayan karmaşık sayıların geo-metrik yerinin denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?

A) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4

B) (x – 2)2 + (y + 3)3 = 4

C) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 16

D) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 4

E) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16


olduğuna göre, z karmaşık sayılarınıngeometrik yer denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?

A) (x + 3)2 + (y + 2)2 = 4

B) (x – 3)2 + (y + 2)2 = 16

C) (x + 3)2 + (y + 2)2 = 16

D) (x + 3)2 + (y – 2)2 = 16

E) (x – 3)2 + (y – 2)2 = 4

3. z = 4 – 2i

karmaşık sayısından 5 birim uzaklıktakinoktaların geometrik yerinin denklemi aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A) (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25

B) (x – 4)2 + (y + 2)2 = 5

C) (x + 4)2 + (y – 2)2 = 25

D) (x – 4)2 + (y + 2)2 = 25

E) (x + 4)2 + (y + 2) = 5

4.

eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarınınkarmaşık düzlemdeki görüntüsü aşağıda-kilerden hangisidir?

5.

eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarınınkarmaşık düzlemdeki görüntüsü aşağıda-kilerden hangisidir?

y

x

A)

0–2

4

10y

x

B)

0

–4

2

10

–10

y

x

C)

0

4

y

x

D)

0 42 8

y

x

E)

0–4 2–10

z 4i 6- =

y

x

y

x

C) D)

0 0

y

x

y

x

A) B)

0 0

M

–2

4

2

–4 M

M M

y

x

E)

0

M

z 2 4i 2- + =

z 3 2i 4+ - =

z 2 3i 4- + =

10

35

6.

eşitsizliğine karşılık gelen noktaların geo-metrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?

7.

eşitsizliğine karşılık gelen noktaların geo-metrik yeri aşğıdakilerden hangisidir?

8.

eşitsizliğine karşılık gelen noktaların geo-metrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?

9.

eşitsizliğini sağlayan noktaların geomet-rik yerinin görüntüsü aşağıdakilerdenhangisidir?

M

MM

MM

A) B)

C) D)

E)

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

–3 3

–3–7 1 –1 3 7

–3

1

–7

z 4 6i 11- -

z 3i 42+

A) B)

C) D)

E)

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

2

3

2

–3

–2

3

M

M

M

M–3

2

3

–2 M

z 2 3i 1$+ -

M –2

–1

A) B)

C) D)

E)

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

M

1

2

3

M 2

3

M 2

3

1

M –2

–1

–3

–3

z 2i 1#-

A) B)

C) D)

E)

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

MM

4

64

6

6

–4

6

4

–6

–4

TEST

Bilgi

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1Bilgi

TEST 10

z0 = a + bi verilsin.


koşulunu sağlayan z karmaşıksayılarının geometrik yeri

dır. Bu, merkezi M(a, b) ve yarı-çapı r olan çemberin iç bölgesinibelirtir.

koşulunu sağlayan z

karmaşık sayılarının geometrikyeri:

dir. Bu, merkezi M(a, b) yarıçapır olan çemberin dış bölgesini be-lirtir.

y

x0

Mb

a

rP

y

x0

Mb

a

rP

x yi a bi

x a

r

y b r2 2 2

2

2

+ - -

- + -^ ^h h

z z r0 2-

x yi a bi

x a y b

x a

r

i r

y b r2 2 2

1

1

1

+ - -

- + -

- + -

^

^ ^

h

h h

z z r0 1-

6) D 7) B 8) C 9) E

KonuBilgi

36

TEST


KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEST

Bilgi

p, k ∈ R olmak üzere

koşulunu sağlayan z karmaşıksayılarının geometrik yerinin den-klemi doğru denklemidir.

z = x + yi alalım.

x eksenine dik bir doğrudur.

koşulunu sağla-

yan z karmaşık sayılarının geo-metrik yeri:

doğru denklemi elde edilir.

Karmaşık düzlemde

(cosx + isinx)2 = cos2x – isin2x

olduğuna göre, [0, π] de x in de-ğerlerini bulalım.

(cosx + isinx)2 = cos2x – isin2x

cos2x + 2icosx.sinx + i2sin2x

= cos2x – isin2x

sin2x = –sin2x veya –sin2x = 0 dır.

–sin2x = 0 sinx = 0, x = π olur.&

&

x yi p

x p

2px p 2ky k

2px 2ky k p 0

x yi ki

y x y k

2 2

2 2

2 2 2 2

+ -

-

- + =- +

- + - =

= + -

+ = + -^ ^h h

z p z ki- = -

z yi p

x p

x p

x p k x

2x p k

x 2p k

x yi k

y x k y

x k

2 2 2 2

+ -

-

-

- = -

= +

=+

= + -

+ = - +

= -

^ ^h h

z p z k- = -

1) C 2) A 3) B 4) C 5) D

1.

kümesinin geometrik yerinin denklemiaşağıdakilerden hangisidir?

A) x – y – 1 = 0 B) x + y – 2 = 0

C) x – y = 0 D) x + y – 1 = 0

E) x + y = 0

2.

eşitliğini sağlayan karmaşık sayıların kar-maşık düzlemdeki görüntüsü aşağıdaki-lerden hangisidir?

A) 2x + 4y + 1 = 0 B) 2x + 4y + 3 = 0

C) 2x + y – 1 = 0 D) 2x + 4y – 3 = 0

E) x – 2y + 1 = 0

3. z = x + yi ve

olduğuna göre, z karmaşık sayısının düz-lemdeki geometrik yeri aşağıdakilerdenhangisidir?

A) Sanal eksene dik bir eğri

B) Gerçel eksene dik bir doğru

C) Bir çember

D) Paralel iki doğru

E) Birbirine dik iki doğru


eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarınıngeometrik yeri aşağıdakilerden hangisi-dir?


eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarınıngeometrik yeri aşağıdakilerden hangisi-dir?

A) B)

C) D)

E)

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

1–1

1–1

y=–x y = x

1

z 1 i z 1 i+ - = - +

A) B)

C) D)

E)

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

2

–1/2

1

1

–2

z 3i z 2i+ = -

z z 1= -

z 1 i z i+ + = -

A z C, z x iy, z 1 z i!= = + - = -$ .

11

37

6.

karmaşık sayılarının karmaşık düzlem-deki görüntüsü aşağıdakilerden hangisi-dir?


koşulunu sağlayan z karmaşık sayısınınbaşlangıç noktasına olan uzaklığı en çokkaç birimdir?

A) 9 B) 11 C) 13 D) 15 E) 17


koşulunu sağlayan z karmaşık sayısınınbaşlangıç noktasına olan uzaklığı en azkaç birimdir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

9. |z| ≤ 3

olduğuna göre, ifadesinin en

büyük değeri kaçtır?

A) 8 B) 11 C) 13 D) 15 E) 16

10.

koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarıarasındaki uzaklık en çok kaç birimdir?

A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

11.

koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarıarasındaki uzaklık en az kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

12.

koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarıile, z1 = 8 + 9i karmaşık sayısı arasındakiuzaklık en çok kaç birimdir?

A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

13.

eşitsizliklerini sağlayan karmaşık sayılararasındaki uzaklığın alabileceği en büyükdeğer kaçtır?

A) 15 B) 17 C) 18 D) 20 E) 22

z: z C, z 4 2, Re(Z) 3! # #-$ .

z 4 8i 2 ve z 5 4i 3# #- + + -

z 2 i 3- - =

z 2 i 1 ve z 2 4i 2+ - = - - =

z 6 2i 2 ve z 2 8i 3- - = + - =

z – 5 12i+

z 4 3i 1- + =

z 5 12i 4- - =

2 3 4M

6

A) B)

C) D)

E)

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

2 3 4M

6

2 4M

6

3

2 4M

6

3

2 3 4M

6

TEST

Bilgi

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1Bilgi

TEST 11


koşulunu sağlayan z karmaşıksayılarının başlangıç noktasınauzaklığı en çok

en az

dir.

olmak üzere

ifadesinin en büyük değeri

en küçük değeri

dir.

|z + i| = |z – 2i| koşulunu sağlayanz karmaşık sayılarının geometrikyerini bulalım.

z = x + yi olsun.

|z + i| = |z – 2i|

|x + yi + i| = |x + yi – 2i|

|x + (y+1)i| = |x + (y–2)i|

x2 + y2 + 2y + 1 = x2 + y2 – 4y + 4

y = doğrusu aranan geometrik

yerdir.21

( ) ( )– 2x y x y12 2 2 2+ + +=

a b r2 2+ -

a b r2 2+ +

z a bi- -

z r#

a b r2 2+ -

a b r2 2+ =

z a bi r- - =

6) A 7) E 8) C 9) E 10) E 11) B 12) C 13) D

KonuBilgi

38

TEST


KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEST

Bilgi

z = a + bi karmaşık sayısının

esas argümenti bulunurken, kar-

maşık sayının belirttiği noktanın

hangi bölgede olduğuna dikkat

edilir.

a ve b pozitif reel sayılar olsun.

Bu durumda

z = a + bi sayısı 1. bölgededir.

z sayısının esas argümenti θ ise

eşitliğini sağlayan 1. bölgedeki θ

açısı z nin esas argümentidir.

dir.

z – 5 – i = 1 koşulunu sağlayan z

karmaşık sayısının argümenti θ ol-

duğuna göre, tanθ yı bulalım.

z – 5 – i = 1 ise z = 6 + i olur.

z(6, 1) den tanθ = bulunur.61

Arg zz

Argz Argz

Arg z .z Argz rgz

arg z .z nArg z mArg z

Argz

zn.Argz mArgz

A

21

1 2

1 2 1 2

1n

2m

1 2

2m1n

1 2

= -

= +

= +

= -

e

^

` ^ ^

f

o

h

j h h

p

tan abθ =

1) B 2) E 3) E 4) E 5) D 6) D 7) A 8) E

1.

karmaşık sayısının esas argümenti kaç de-recedir?

A) 30 B) 45 C) 60 D) 120 E) 135

2.

karmaşık sayısının esas argümenti kaçradyandır?

A) B) C) D) E)

3. z = –2i

karmaşık sayısının esas argümenti kaç de-recedir?

A) 90 B) 120 C) 135 D) 180 E) 270

4.

karmaşık sayısının esas argümenti kaçradyandır?

A) B) C) D) E)

5. z1 ve z2 karmaşık sayılar olmak üzere;

olduğuna göre, Arg(z1.z2) kaçtır?

A) B) C) D) E)

6.

olduğuna göre, kaç derecedir?

A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90

7.

olduğuna göre, kaç derece-

dir?

A) 0 B) 30 C) 120 D) 150 E) 210

8. z1 = 2(cos40°+isin40°)

z2 = 4(cos50°+isin50°) olduğuna göre,

kaç derecedir?

A) 120 B)140 C) 180 D) 210 E) 230

Arg z .z12

23

_ i

Arg z .z13

22

_ i

Arg 6 ve Arg 43z z1 2

π π= =^ ^h h

Arg zz

2

1d n

Arg z 32 ve Arg z 41 2

π π= =^ ^h h

136π

125π

56π

45π

43π

Arg 6 ve z 2 2iz1 2π

= = +^ h

34π

45π

43π

32π

3π

z 2 2 3 i=- -

53π

34π

45π

3π

6π

z 1 3 i= -

z 3 3i= +

12

39

9. z1 = –4i ve olduğuna göre,

kaç radyandır?

A) B) C) D) E)

10.

olduğuna göre, z–6 sayısının esas argü-menti kaç derecedir?

A) B) π C) D) E) 2π

11.

karmaşık sayısı veriliyor.

Buna göre, z–1 sayısının esas argümentikaç derecedir?

A) 345 B) 330 C) 300 D) 240 E) 150

12. Arg(z) = 40° olduğuna göre,

toplamı kaçtır?

A) 260 B) 270 C) 280 D) 310 E) 320

13.

olduğuna göre, Arg(z1.z2) kaçtır?

A) B) C) D) E)

14. z = 1 + cos70° + isin70°

karmaşık sayısının esas argümenti kaçderecedir?

A) 20 B) 25 C) 35 D) 40 E) 50

15.

olduğuna göre, Arg(z) kaç derecedir?

A) 65 B) 70 C) 75 D) 80 E) 85

16. z2 = –sin20° – icos160°

karmaşık sayısının esas argümenti kaçderecedir?

A) 70 B) 110 C) 130 D) 160 E) 210

17. z = –4 + 3i

karmaşık sayısının argümenti α olduğunagöre, cosα kaçtır?

A) B) C)

D) E)

18. z = 1 + i.cot50°

olduğuna göre, Arg(z) kaçtır?

A) 25 B) 30 C) 40 D) 50 E) 100

z 1 3 i2 = -

Argz

z

2213

f p

35π7

6π

65π

43π

32π

Arg z 6π

=^ h

23π

65π

2π

z 3 i= +

Arg Arg Argz z z+ - + -^ ^ ^h h h

43

-54

-

53

-54

53

z 1 cos10° isin10°= - +

32π

2π

3π

4π

6π

z 6 i ve z 1 6i1 2= + = +

TEST

Bilgi

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1Bilgi

TEST 12

Argzn = n.Argz

θ bir dar açı olsun.

ise

dir.

sayısının esas argümenti

dir.

z = 3v3 – 3i karmaşık (kompleks)

sayısı için z6 yı bulalım.

z = 3v3 – 3i = (3v3, –3) sayısı 4.

bölgededir. z6 yı bulmak için z nin

kutupsal biçimi bulunmalıdır.

|z| =

=

tanθ = = θ = 30° dir.

Arg(z) = 360° – 30° = 330° bulu-nur.

z = 6cis330° olur.

z6 = 66.cis(6.330°)

= 66.cis(1980°)

= 66.cis(180°)(1980° nin esas

ölçüsü180° dir.)

= 66(–1 + i.0)

= –66 = –(62)3 = –363 olur.

3 33

31=

27 9 6+ =

( ) (– )3 3 32 2+

Arg z 2θ

=^ h

z 1 cos i.sinθ θ= + +

Argz 2

Arg z

Arg z

Arg z

π θ

π θ

π θ

π θ

= -

- = +

- = +

- = -

^

^

^

h

h

h

Argz θ=

9) D 10) B 11) B 12) E 13) D 14) C 15) E 16) B 17) D 18) C

KonuBilgi

40

TEST


KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEST

Bilgi

z = a + bi karmaşık sayısının boyu

|z| esas argümenti θ olsun.

ikilisine z nin kutupsal ko-

ordinatları denir.

z = a + bi

karmaşık sayısının boyu |z|, esasargümenti θ ise

yazılışına z nin kutupsal biçimi

(gösterimi) denir.

Şekildeki z1 ve z2 karmaşık sayı-

larının çarpımının kutupsal şeklini

bulalım.

Şekilde verilenlere göre,

z1 = 5.cisθ1 ve

z2 = 5.cisθ2 olmalıdır.

z1 = 5(cosθ1 + isinθ1)

=

z2 = 5(cosθ2 + isinθ2)

=

z1.z2 = (3 + 4i)(–3 + 4i)

= –9 + 16i2

= –25 bulunur.

– –i i553

54 3 4+ = +c m

i i553

54 3 4+ = +c m

z , θ` j

y

x0

z1z2

θ2

–3 3

θ1

4

z z .cisθ=

1) E 2) C 3) B 4) C 5) A 6) E 7) C 8) E

1. Kutupsal koordinatları olan karma-

şık sayının reel kısmı kaçtır?

A) –2 B) –1 C) D) E) 2

2. Aşağıdaki karmaşık düzlemlerde verilensayıların hangisinin kutupsal koordinatlarıaltına yanlış yazılmıştır?

3. Dik koordinat sisteminde A(2, 2v3) nokta-sına karşılık gelen karmaşık sayının ku-tupsal koordinatları aşağıdakilerdenhangisidir?

A) (2, 60°) B) (4, 60°) C) (4, 120°)

D) (4, 300°) E) (2, 330°)

4. Kutupsal koordinatları olan z

karmaşık sayısı için Re(z) + İm(z) toplamıkaçtır?

A) –4 B) –2 C) 0 D) 2 E) 4

5.

karmaşık sayısının kutupsal biçimi aşağı-dakilerden hangisidir?

A) B)

C) D)

E)

6. z = 2 – 2i karmaşık sayısının kutupsal bi-çimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) B)

C) 4 cis225° D) 4 cis315°

E)

7.


A) B) C)

D) E)

8.

karmaşık sayısının standart biçimi nedir?

A) 2 + 2i B)

C) D)

E) 2 2 3 i+

2 3 2i+ 2 2 3 i-

2 3 3 i+

z 4 cos60° isin60°= +^ h

6 cis 34π6 cis 3

2π

4 cis 34π3 cis 3

2π2 cis 34π

z 2 12 i=- -

2 2 cis315°

2 2 cis150°2 2 cis135°

2 2 cis 35π

2 2 cis 34π2 cis 4

3π

2 cis 34π2 cis 3

2π

z 1 3 i=- +

2 2, 43π

b l

A) B)

C)

(6, 70°)

E)

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

20° 6

–3

(3, 180°)

–4

(–4, 270°) (5, 140°)

(4, 330°)

30°

4

550°

D)

21

21

-

4, 3π

a k

13

41

9.

karmaşık sayısında İm(z) + Re(z) kaçtır?

A) B) C) 0

D) E)

10.

olduğuna göre, z1.z2 işleminin sonucukaçtır?

A) –6 B) C)

D) E) 6

11. Kutupsal koordinatları,

z1 = 4.cis115° ve z2 = 2cis20°

olan karmaşık sayılarının çarpımı aşağı-dakilerden hangisidir?

A) B)

C) D)

E)


olduğuna göre, x – y farkı kaçtır?

A) –1 B) C) D) 1 E) 2

13. (1 + i).(cos105°+isin105°)

karmaşık sayısının eşiti şağıdakilerdenhangisidir?

A) B)

C) D)

E)

14.

karmaşık sayısının a + bi biçimindekieşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) B)

C) D)

E)

15.

olduğuna göre, çarpımının eşiti

aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C)

D) E)

16.

işleminin reel kısmı kaçtır?

A) B) C)

D) E)

17.

olmak üzere, sayısının sanal kısmı

kaçtır?

A) 12 B) 16 C) 24 D) 36 E) 40

z 2 cos225° isin225°= +^ h

2 2- 2-

2 2 2

z

z .z

34

13

22

z 2 cos ° isin °5 53 = +^ h

z 3 cos25° i.sin25°2 = +^ h

z 4 cos20° isin20°1= +^ h

23

22

21

23

-21

-

cos 0° isin 0°cos105° isin105° . cos95° isin95°

8 8+

+ +^ ^h h

1 3 i+2 2 3 i+

2 2 3 i-2 3 i-2 3 i+

z .z1 21-

6 cis 125 , z cis12z 321

π π= =

23

2i

- -

23

2i

-21

23 i+

21

23 i

- -21

23 i

-

z cos100° isin100°cos40° isin40°

=+

+

23 2 i- -

21 3 i+

26 2 i- -

26 2 i- +

21 3 i-

21

21

-

z cos20° isin20° . cos70° isin70°= + +^ ^h h

4 2 4 2 i- -

3 3 3i-3 3 3i- +

2 2 2 2 i-4 2 4 2 i- +

2 3

3 3-2 3-

z 2 3 cos75° i.sin75°1= +^ h

z 3 . cos105° i.sin105°2 = +^ h

TEST

Bilgi

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1Bilgi

TEST 13

z1 karmaşık sayısının boyu r1,argümenti θ1,

z2 karmaşık sayısının boyu r2,argümenti θ2 olsun.

olsun.

sayısının esas argümenti

θ ise

i2 = –1 z = olduğuna

göre, z9 u bulalım.

z = ise z9 u bulmak için

z karmaşık sayısının kutupsal bi-çimi bulunmalıdır.

|z| =

=

tanθ = θ = 30° dir.

z = 1(cos30° + isin30°) bulunur.

z9 = 19(cos(9.30°) + isin(9.30°))

(De Moivre kuralından)

z9 = cos270° + isin270°

= 0 + i(–1) = –i elde edilir.

&

23

21

31=

43

41 1 1+ = =

23

21

2 2+c cm m

i23

21+

i23

21+

m. n. p mod21 2 3/θ θ θ θ π+ -^ h

z

z .z

3p

1m

2n

z r .cis

z r .cis

z r .cis

1 1 1

2 2 2

3 3 3

θ

θ

θ

=

=

=

z .z r .r .cis

zz

rr

cis

1 2 1 2 1 2

21

21

1 2

θ θ

θ θ

= +

= -

^

^

h

h

9) A 10) A 11) A 12) A 13) B 14) A 15) E 16) A 17) D

KonuBilgi

42

TEST


KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEST

Bilgi

ise

0 < α < 90° olsun.

z = sinα – i.cosα

sayısını

cosθ + i.sinθ

biçimine getirmek için

yazılır.

dır.

dır.

z r .cis

z r .cis 270°

1 1

2 2

α

α

=

= -^ h

α

y

x0

z1

z2

r2

r1

α

z r .cis 90°

z r .cis 180°

1 1

2 2

α

α

= -

= -

^

^

h

h

y

x0

z1z2

αα

r2 r1

z cos 270° i.sin 270°α α= + + -^ ^h h

z z

(De Moivre Formülü)

.cisnn n θ=

z z .cisθ=

1) D 2) D 3) A 4) B 5) D 6) C 7) C 8) A

1.


A) cos70° + isin70°

B) cos110°+isin110°

C) cos220°+isin220°

D) cos290° + isin290°

E) cos310°+isin310°

2.


A) 2 cis270° B) 3 cis240°

C) 3 cis270° D) 8 cis270°

E) 27 cis240°

3.

işleminin değeri aşağıdakilerden hangisi-dir?

A) 1 B) cos3α + isin3α

C) cos9α + isin9α D) sin6α + icos6α

E) cos6α + isin6α

4. olduğuna göre,

z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangi-sidir?

A) B) C)

D) E)

5.

olduğuna göre, z karmaşık sayısınınsanal kısmı kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 4

6.

olduğuna göre, z20 aşağıdakilerden han-gisidir?

A) B)

C) D)

E)

7.

olduğuna göre, z12 sayısı aşağıdakilerdenhangisidir?

A) –212 B) –212 i C) 212

D) 212 i E) 213

8.

Karmaşık düzlemde z1, z2 ve z3 karmaşıksayıları verilmiştir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangi-

sidir?

A) –8i B) –6i C) 8i D) 6i E) 4i

z

z .z

32

1 2

y

xα

α

z1

z3

z2

4

–1

2

z 3 i= -

23

2i

-

21

23 i

- +21

23 i

- -

23

2i

- -23

2i

- +

z cis15π

=

Arg z 330° ve z 16.z 1= = -^ h

1 3 i+2 2 i-

2 2 i+3 i+3 i-

Arg z 6 ve z 2π= =^ h

. . .cos sin cos sini i3 3α α α α+ -^ ^h h

z 3 i3

= -^ h

z sin20° icos20°= -

14

43

9.

Karmaşık düzlemde z1 ve z2 verilmiştir.

Buna göre; aşağıdakilerden hangisi-

dir?

A) 4i B) 2i C) –4i D) –2i E) –4

10.

Karmaşık düzlemde z1 ve z2 karmaşık sa-yıları veriliyor.


A) B) 27i C) –27i

D) E)

11.

Karmaşık düzlemde z1, z2 ve z3 karma-şık sayıları verilmiştir.

Buna göre, z1.z2 kaçtır?

A) B) C)

D) E) 3i

12.

karmaşık sayısının eşiti kaçtır?

A) –2i B) –i C) –1 D) 1 E) i

13.

karmaşık sayısının orijine uzaklığı kaç bi-rimdir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

14. z = tan40° + i

karmaşık sayısının mutlak değeri aşağı-dakilerden hangisidir?

A) sin40° B) cos40° C) sec40°

D) cosec40° E) cot40°

15. z = 1 + i.tan70°

karmaşık sayısının mutlak değeri aşağı-dakilerden hangisidir?

A) sec20° B) sin20° C) tan70°

D) cosec20° E) cos70°

16. z = 1 + cos40° + i.sin40°°


A) 2 cos10° B) 2 cos20°

C) 2 cos40° D) 2 sin20°

E) 2 sin40°

17. olmak üzere,

z = 1 – cos2α + i.sin2α

olduğuna göre, |z| aşağıdakilerden han-gisidir?

A) cosα B) sinα C) sin2α

D) 2sinα E) 2cosα

3 3 i-^ h

2 3 i- -^ h3 3 i+^ h6 3 i- +^ h

27 1 3 i+^ h54 1 i+^ h

27 1 3 i-^ h

z

z

2213

y

x

z1

z2

0

28

0 2< 1α π

z 4 cos 43 isin 4

3π π= -b l

z sin icoscos isin

α αα α

=+

-

y

x

z1

0

z262

20°

40°

y

x

z1

02

z2

630°

30°

zz

1

2

TEST

Bilgi

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1Bilgi

TEST 14

dir.

Bir karmaşık sayı orijin etrafında

pozitif veya negatif yönde α

kadar döndürüldüğünde karmaşık

sayının boyu değişmez.

dir.

z = i + v3 sayısının kutupsalkoordinatlarda ifadesini bulalım.

z = i + v3 = (v3, 1) sayısınınkutupsal biçimi;

|z| =

tanθ = θ = 30° =

z = |z|(cosθ + isinθ)

z = 2 dır.cos sini6 6r r+` j&

6r

31

&

( ) i3 4 22 2+ = =

z r .cis

z r .cis 180°

1 1

2 2

α

β

=

= -^ h

y

x0

z1z2

β α

r2 r1

z z

z r.cis

cis

α

α=

=

=

y

x0

z

α

r

9) A 10) E 11) A 12) B 13) C 14) C 15) D 16) B 17) D

KonuBilgi

44

TEST


KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEST

Bilgi

z = r.cisθ

karmaşık sayısının karekökleri

dir.

Ayrıca

dır.

zn = a denkleminin çözümü

dir.

Bu köklerin tümü yarıçapı

olan çemberin üzerinde bulunur-

lar. Çember üzerindeki bu nokta-

lar bir düzgün çokgenin (n ≥ 3)

köşeleridir.

an

z a a.cis0

z w a .cis n0 2k

k 0 w a

k 1 w a cis n2

k 2 w a .cis 4

k n 1 için

w a cis n2 n 1

n

n

kn

0n

1n

2n

n 1n

&

&

&

h

π

π

π

π

= =

= =+

= =

= =

= =

= -

=-

-

b

^

l

h

w w 00 1+ =

w r

w r

.cis 2

.cis 2

0

1

θ

π θ

=

= +b l

1) C 2) A 3) C 4) D 5) E 6) A 7) C 8) E

1. z = 16 cis60°

karmaşık sayısının karekökleri aşağıdaki-lerden hangisidir?

A) B)

C) D)

E)

2. z = 4 cis40°

karmaşık sayısının kareköklerinden biriaşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 cis200° B) 2 cis160° C) 2 cis140°

D) 2 cis40° E) 2 cis10°

3.

sayısının kareköklerinden biri aşağıdaki-lerden hangisidir?

A)

B)

C)

D)

E)

4.

karmaşık sayısının küpköklerinden biriaşağıdakilerden hangisidir?

A) 2 cis20° B) 2 cis70° C) 2 cis110°

D) 2 cis130° E) 2 cis200°

5. z3 = 64

denkleminin köklerinden biri aşağıdakiler-den hangisidir?

A) –2 –2i B)

C) D)

E)

6. z2 = –4


A) –2i B) –i C) 1 D) i E) 2

7. z3 = –8i


A) B) C)

D) E) 3 + i

8.


A) 2 cis20° B) 4 cis15° C) 2 cis165°

D) 4 cis195° E) 2 cis195°

z28 2

6 ii

=+

3 3 i-

3 i- -2 3 i-3 i- +

2 2 3 i- -

2 2 3 i-2 3 2i- -

2 3 2i-

z 8 cos30° isin30°= +^ h

6 cos 34 isin 3

4π π+b l

6 cos 3 isin 3π π

+a k

6 cos 34 isin 3

4π π+b l

6 cos 3 isin 6π π

+a k

6 cos 3 isin 3π π

+a k

z 3 3 3 i=- +

2 3 i-

4 3 i+

4 3 4i+

4 3 4i- -

2 3 i- -2 3 i- -

2 3 2i- -

2 3 2i+

2 3 2i+2 3 i+

15

45

9. z = 7 + 24 i


A) 4 – 3i B) 4 + 3i C) –4 + 3i

D) 3 – 4i E) 3 + 4i


z sayısının karekökleri x1 ve x2 olduğunagöre, x1 + x2 kaçtır?

A) –2a B) –a –b C) 0

D) a + b E) 2b

11. z = x + yi karmaşık sayısının karekökleriz0 ve z1 dir.

olduğuna göre a + b toplamı kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

12. z karmaşık sayılarının karekökleri z0 ve z1

olduğuna göre, toplamı kaçtır?

A) 2.z12 B) z12 C) 2.z10

D) 0 E) –z12

13.

karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeorijin etrafında pozitif yönde 150° döndü-rülmesiyle elde edilen karmaşık sayı aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A) B) C)

D) E)

14. z = 4cis30°

karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeorijin etrafında pozitif yönde 240° döndü-rülmesiyle elde edilen karmaşık sayı aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A) –4 B) –4i

C) D)

E) 4i

15. z = 2 – 2i

karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeorijin etrafında negatif yönde 90° döndü-rülmesiyle elde edilen karmaşık sayı aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A) –2 – 2i B) 1 – i C) 1 + i

D) 2 – 2i E) 2 + 2i

16. z = 4 – 2i

karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeorijin etrafında pozitif yönde 135° döndü-rülmesiyle oluşan karmaşık sayı nedir?

A) B)

C) D)

E)

17. z = a + bi

karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeorijin etrafında pozitif yönde 120° döndü-

rülmesiyle oluşan karmaşık sayıolduğuna göre, Re(z) kaçtır?

A) B) –1 C) 1

D) 2 E)

18.

karmaşık sayısının orijinn etrafında pozi-tif yönde θ derece döndürülmesiyle olu-şan karmaşık sayı z1 = –2i olduğuna göre,θ kaç derecedir?

A) 90 B) 120 C) 150 D) 160 E) 210

3

z 1 3 i=- +

2 2

3 i- +

2 3 2 i- +

2 2 i- +2 2 2 i-

2 2 i- -3 3 2 i- +

2 3 2i- +2 2 2 2 i-

3 i- -2 3 i-

2 3 2i-3 i-3 i+

z 1 3 i= +

z z011

111+

z 2 a 2b

z a b 10i

i0

1

= - +

= - +

^ h

TEST

Bilgi

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1Bilgi

TEST 15

z = a + bi karmaşık sayısının ar-

gümenti bilinen bir açı değilse z

nin karekökleri şöyle bulunur:

eşitilğinden

denklem sisteminin reel çözümleribulunur.

Bir karmaşık sayının karekökleri

orijine göre simetriktir.

z karmaşık sayısının kökleri

w0 , w1 ise

w0 = –w1 dir.

z = a + bi karmaşık sayı orijin et-

rafında pozitif yönde döndürüldü-

ğünde elde edilen yeni karmaşık

sayı z1 ise

z1 = z.cisα

dır.

z = a + bi karmaşık sayısı orijin et-

rafında negatif yönde α kadar

döndürüldüğünde elde edilen kar-

maşık sayı z1 ise

z1 = z.cis(–α)

dır.

x y a

2xy b

2 2- =

=

J

L

KKK

N

P

OOO

a bi

a bi x y 2xyi

x yi x, y R

2 2

!+

+ = - +

= +

9) B 10) C 11) E 12) D 13) E 14) B 15) A 16) E 17) A 18) C

KonuBilgi

46

TEST


KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEST

Bilgi

dir.

z0 = a + bi karmaşık sayısı veril-sin.

Arg(z – z0) = θ

koşulunu sağlayan z karmaşıksayılarının düzlemdeki görüntülerişekildeki (AP yarı doğrusudur.

z = karmaşık sayısı-

nın kutupsal biçimini bulalım.

z = ise

|z| =

=

tanθ= θ=30°

argz = 180° + 30° = 210° dir.

z nin kutupsal biçimi

z = 3(cos210° + isin210°) veya

z = bulunur.cos sini6

76

73 r r+c m

–

–

xy

23 3

23

31

&= =

427

49 9 3+ = =

– –2

3 323

2 2+c cm m

– – i2

3 323

– – i2

3 323

y

x0

b

a

z0

θ

P

A

Arg zz

Argz n.Argz

Arg z .z

Argz Argz

n.Argz m.Argz

21

n

1n

2m

1 2

1 2

=

= -

= +

e

`

o

j

1) E 2) D 3) D 4) E 5) B 6) B 7) E 8) D

1.


A) –2 B) C) –1 D) 1 E) 2

2.

olduğuna göre, z–4 karmaşık sayısınınesas argümenti nedir?

A) B) C) D) E)

3. z = x + iy olmak üzere,

olduğuna göre, x – y kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4. ve

olduğuna göre, kaç derece-

dir?

A) 210 B) 220 C) 230 D) 240 E) 250

5.


A) –2 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3

6.

olduğuna göre Re(z) kaçtır?

A) B) 3 C)

D) E) 4

7.

olduğuna göre, z1 ile z2 arasındaki uzak-lık kaç birimdir?

A) B) C) 9

D) E) 10

8.

olduğuna göre, |z1 – z2| kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

z 3.cis152° ve z 5.cis32°1 2= =

9 2

8 26 2

z 6.cis170° ve z 8.cis80°1 2= =

3 2

2 32 2

Arg z 3 2π

- =^ h

Arg z 2 2i 4π

- - =^ h

Arg 5z 1 4π

=-^ h

Arg z 2 i 47π

+ - =^ h

Arg z .z13

22

_ i

Argz

z10°

231

=f pArg z .z 160°12

2 =_ i

Arg z 3 i 4π

- + =^ h

37π

34π

65π

3π

6π

Arg z 32π

=^ h

3-

Arg iz 210° ve z.z 16= =a k

16

47

9.


A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

10. z3 = –64 denkleminin köklerinden biriaşağıdakilerden hangisidir?

A) B)

C) D)

E)

11. z = 4.cis60° karmaşık sayısının karekök-lerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C)

D) E)

12.


A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 10

13. z = 1 + sin70° + i.cos70°

karmaşık sayısının modülü aşağıdakiler-den hangisidir?

A) cos35° B) sin35° C) 2sin35°

D) 2cos35° E) 2cos10°

14.


A) 8 B) 11 C) 12 D) 13 E) 15

15. z = 4.cis50°


A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 16

16.

eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarınınesas argümenti en çok kaç derecedir?

A) 150 B) 180 C) 210 D) 300 E) 330

17. |z + 8| = 4

koşulunu sağlayan z karmaşık sayıları-nın esas argümenti en az kaç derecedir?

A) 150 B) 210 C) 240 D) 270 E) 330

18. z = 9cis40°

karmaşık sayısının karekökleri w0 ve w1ise w0.w1 çarpımı aşağıdakilerden han-gisidir?

A) 9 cis200° B) 3cis180°

C) 9cis180° D) –9cis220°

E) 9cis220°

.–

sin cossinz

icos i

i ia a=+

4 3 i+^ h4 3 i-^ h

2 3 i- -^ h 2 1 3 i-^ h

4 3 i- -^ h

1 i- -3 i- +3 i- -

1 3 i- +1 3 i- -

z 1 i4 2i

=-

+

z.z

z 4i 2+ =

z.z

5cis170° 12cis80°-

TEST

Bilgi

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1Bilgi

TEST 16

dir.

z karmaşık sayısı için

dir.

r > 0 bir reel olmak üzere;

koşulunu sağlayan z karmaşıksayılarının esas argümenti:

esas argümentin en küçük değeri

θ = 150°

en büyük değeri

θ = 210°

y

x

r0

–2r

T

150°

30°

30°

0

z 2r r+ =

z.z z 2=

z zz

z z

z

21

2

1

=

=

9) A 10) D 11) A 12) E 13) E 14) D 15) E 16) D 17) A 18) E

1.

karmaşık sayısının reel kısmı x, sanal kısmı y olduğunagöre, x + y toplamı kaçtır?

A) 10 B) 9 C) 8 D) 6 E) 5

2. i + i2 + i3 + i4 + ...... + i61 + i62


A) 1 – i B) 1 + i C) i – 1

D) 1 + i E) i

3. k ∈ N olmak üzere,


A) –1 – i B) 1 – i C) 1 + i

D) –2 –i E) 2 – i

4.


A) 312 i B) 38 i C) 0

D) –38 i E) –312 i

5. P(x) = x4 – 2x3 + x – 1 olduğuna göre,

P(–i) kaçtır?

A) –3i B) –2i C) 1 – 2i

D) 2 – i E) 1 + i


olduğuna göre, im(Z) kaçtır?

A) –4 B) –3 C) –2 D) –1 E) 0

7. (1 – i)16 – (1 + i)8


A) 48 B) 72 C) 112 D) 174 E) 240

8. Karmaşık düzlemde

z1, z2 ve z3 karmaşık sayı-ları verilmiştir.


A) B)

C) D)

E) i32 2 2- +^ h

16 2 2 i-^ h 16 2 2 i- +^ h

8 2 2 i+^ h8 2 2 i- -^ h

z .zz

2 3

13

y

x

z1z2

z3 –2

2

45° 30°

4

3z z z.z 16 4i- + = -

3 3i . 3 3i . 3 3i 3 3i8 6 4 2+ + + +^ ^ ^ ^h h h h

i i i i12k 7 4k 3 16k 1 8k 2+ + ++ + + +

z 4 4 9 9= - - + - +

TEKRAR TESTI

48

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEKRAR TESTI1

1) D 2) C 3) A 4) C 5) A 6) D 7) E 8) B

9.


A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40

10.


A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

11. z = 4i karmaşık sayısının kutupsal biçimi aşağıdakilerdenhangisidir?

A) 2(cos90° + isin90°) B) 2(cos180°+isin180°)

C) 4(cos90°+isin90°) D) 4(cos180+isin180°)

E) 4(cos270°+isin270°)

12. z = –1 + i karmaşık sayıları veriliyor.

Buna göre, toplamı kaç derecedir?

A) 430 B) 480 C) 510 D) 540 E) 560

13. z = –1 + i

olduğuna göre, İm(z–6) kaçtır?

A) B) C) D) E)

14. z = x + yi olmak üzere;

eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının geometrik ye-rinin denklemi nedir?

A) x + y – 2 = 0 B) 4x – 4y – 3 = 0

C) 4x + 4y + 3 = 0 D) x – y – 2 = 0

E) x + y + 1 = 0

15.

eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının karmaşık düz-lemdeki görüntüsü nedir?

16.

eşitliğini sağlayan z sayısının orijine uzaklığı en çok kaçbirimdir?

A) 7 B) 8 C) 10 D) 12 E) 13

17. z = 1 + cos26° + isin26°

karmaşık sayısının mutlak değeri kaçtır?

A) 2cos26° B) 2sin26° C) sin13°

D) 2sin13° E) 2cos13°

18. z = 2.cis70° karmaşık sayısının karmaşık düzlemde orijinetrafında pozitif yönde 110° döndürülmesiyle elde edilenkarmaşık sayı aşağıdakilerden hangisidir?

A) –2i B) 2 C)

D) –2 E) –2 + i

z i z 2 i- = + +

4 4iz 1 i

8 6i+

-= -

^ h

3z.i 6=

z12

2 2 i- +

z 6 8i 3+ - =

M

A) B)

C) D)

E)

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

2

4

M

–4

2

M–2

4

–2

4

M

–4

M 2

z 4 2i 2$- +

21

41

81

-41

-21

-

Arg z Arg –z+^ ^h h

TEKRAR TESTI

49

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEKRAR TESTI1

9) E 10) E 11) C 12) D 13) C 14) E 15) D 16) E 17) E 18) D

1.


A) 4i – 5 B) 3i – 2 C) 6i – 5

D) 5 – 4i E) –6 + 4i

2.


A) –2i B) –i C) –1 D) 0 E) 1

3.


A) –1 – i B) 1 + i C) 1 – i

D) 2 – 2i E) 2 + 2i



A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

5.


A) B) C)

D) E)

6.

olduğuna göre, z100 kaçtır?

A) –2100 B) –250 C) –225

D) 225 E) 250

7.

olduğuna göre, |z|2 kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8.

olduğuna göre Re(z) + im(z) kaçtır?

A) –4 B) –2 C) 0 D) 4 E) 6

9. olduğuna göre,

kaçtır?

A) B) 7 C) D) 8 E)

10. Karmaşık düzlemde z1 ve z2karmaşık sayıları verilmiştir.

Buna göre, z1.z2 nin eşiti nedir?

A) 18i B) 9i C) 9

D) –18i E) –9i

z1

z2

3

6

y

x

8 37 24 5

z.z

z 2 3 5 i=- +

2z z z.z 5 6i1- + = +-

zi 1 2i

i 2 i 5i1

=+ -

- +

^

^

h

h

z 7 i8 6i

=-

+

3533

292623

z z 4 ve z z 10i+ = - =

z 2z 6 5i+ = -

i i i i i i i1 2 3 4 5 21 22g+ + + + + + +- - - - -

i1

i1

i1

i1

i1

2 3 4 103g+ + + + +

4 . 9 81 25- - + - - -

TEKRAR TESTI

50

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEKRAR TESTI2

1) E 2) C 3) A 4) B 5) C 6) B 7) E 8) E 9) B 10) D

11. z = 6 – 8i olduğuna göre,


A) 30 B) 36 C) 39 D) 40 E) 41

12. z1 = 6 – 4i ve z2 = –2 + 11i karmaşık sayıları arasındakiuzaklık kaç birimdir?

A) 9 B) 10 C) 15 D) 17 E) 20

13. z = 8cis175° ve z2 = 15cis85°

karmaşık sayıları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) B) C) 10

D) 15 E) 17

14.

eşitsizliğini sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsüaşağıdakilerden hangisidir?

15.

olduğuna göre, |z + 6 – 8i| ifadesinin alabileceği enbüyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?

A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 20

16.

eşitsizliğinin karmaşık düzlemde gösterdiği bölgeninalanı kaç birimkaredir?

A) 4π B) 8π C) 16π D) 32π E) 48π

17.

olduğuna göre, Arg(z) kaç derecedir?

A) 110 B) 125 C) 130 D) 140 E) 145

18.

olduğuna göre, z karmaşık sayısının karmaşık düzlem-deki görüntüsü nedir?

9 28 2

z 3 z 10. z 1+ - + -

A) B)

C) D)

E)

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0 4

2

–2

42

–4

–4

2 2

4

π/3π/3

π/3

π/3

π/3

Arg z 4 2i 3π

+ - =^ h

z 1 cos80° i sin80°= - -

4 z 5 2i 8# #- +

z 4#

A) B)

C) D)

E)

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

y

x0

3—2

3—4

3—2

3—4

2—3

3—4

2– — 3

2– — 3

2– — 4

3—4

z 1 i z 2 i1- + - -

TEKRAR TESTI

51

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

TEKRAR TESTI2

11) E 12) D 13) E 14) A 15) E 16) E 17) C 18) B

52

YAZILIYA HAZIRLIK SORULARI

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1 1. işleminin sonucu kaçtır?

2. olduğuna göre, P(i) kaçtır?

3. eşitliğini sağlayan z karmaşık

sayısını bulunuz.

4. x2 – 2x + 10 = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinibulunuz.

5. karmaşık sayısının

uzunluğu(boyu) kaçtır?

6.



7. karmaşık sayısının kareköklerini bulunuz.

8. olduğuna göre, Arg(z1)

kaç derecedir?

9. Karmaşık düzlemde z1 ve z2karmaşık sayıları verilmiştir.


10. |z| = 2 olmak üzere |z – 8 – 6i| ifadesinin en büyük değerikaçtır?

y

x60°

z1

z26

2

30°

zz

1

22

Arg z .z 32 ve Arg z

z21 2

2

12

π π= =^ fh p

z 3 i= +

z z z z12

2 3 4+ - + -

z 2i, z 3, z 3 4i, z 12 5i1 2 3 4= =- = - = +

z1 2i

4 3i . 3 2 i2 4

2=-

- -

^

^ ^

h

h h

2.z 4i 3 z 1 2i 3+ + = - +^ h

P x 4x 5x 6x 73 2= - + +^ h

1 3i 1 3i2 2- + +^ ^h h

1

53

1. i = c–1 olmak üzere, (1 + i)7 – (1 – i)7 işleminin sonucukaçtır?

2. Köklerinden biri 2 – 3i olan reel katsayılı ikinci derece-den denklemi bulunuz.

3. z + 1 = |z| – 3i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısını bu-lunuz.

4. olduğuna göre, |z–1| kaçtır?

5. z1 = 4 cis60°, z2 = 2 + 2i olduğuna göre, ifadesinin

eşiti nedir?

6. eşitliğini sağlayan z karmaşık sayı-

sını karmaşık düzlemde gösteriniz.

7. ifadesinin eşitini bulunuz.

8. z = 1 – cos40° + i.sin40° olduğuna göre, Arg(z) ve |z| yibulunuz.

9. z3 = 125 i eşitliğini sağlayan karmaşık sayılarını bulunuz.

10. z = –2 – 2i karmaşık sayısının karmaşık düzlemde orijinetrafında pozitif yönde 45° döndürülmesiyle oluşan kar-maşık sayıyı bulunuz.

2.cis110° 4cis50°-

z 2 i z 1- - = +

z

z

2213

z3

4.cisi

α=

-

YAZILIYA HAZIRLIK SORULARI

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

2

54

kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) B) C)

D) E) –1

(1 + i) kompleks sayısının (1 – i) kompleks sayısına bölü-münün sonucu nedir?

(Kompleks sayı = karmaşık sayı)

A) 0 B) –i C) –1 D) i E) 1

1 + 2i kompleks sayısının 1 – 2i kompleks sayısına bö-lümü nedir?

A) –2 B) C)

D) E)

sayısının eşleniğinin sanal kısmı aşağıdakilerden

hangisidir?

A) 3 B) C) D) –3i E) 3i

sayısının kutupsal koordinatlarda ifadesi hangisidir?

A) B)

C) D)

E)

z = 3v3 – 3i karmaşık (kompleks) sayısı için z6 nedir?

A) 363 B) –363 C) 363.i3

D) E) 0

Şekildeki z1 ve z2 karmaşık sayılarının çarpımının kutup-sal şekli aşağıdakilerden hangisidir?

A)

B)

C) 5i

D) 12

E) –25

12 cos isin1 2 1 2θ θ θ θ+ + +^ ^h h8 B

7 cos isin1 2 1 2θ θ θ θ+ + +^ ^h h8 B

y

xθ2θ1

z2 z1

–3 30

4

7. (1976)

36 .i3 3-

6. (1975)

2 cos 6 isin 3π π

+a aa k kk

2 cos 6 isin 6π π

+a aa k kk2 cos 4 isin 4π π

+a aa k kk

2 cos 3 isin 3π π

+a aa k kk2 cos 6 isin 6π π

+a aa k kk

z i 3= +

5. (1974)

253

-253

4 3i1–

4. (1974)

3. (1973)

52

35 i- +3

235 i+

53

54 i- +5

352 i-

2. (1970)

53

54 i- +

53

52 i-3

534 i-5

354 i-

2 i2 i–

+

1. (1971)

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

1) A 2) D 3) C 4) C 5) D 6) B 7) E

55

z = a + i(a + 1), a ∈ R ve ise a kaçtır?

A) –3 B) –2 C) 0

D) E)

3 + 2i karmaşık sayısının çarpmaya göre tersi aşağıdaki-lerden hangisidir?

A) 2 + 3i B) –3 – 2i C)

D) E) 5i

karmaşık sayısının eşleniği ile gösterildi-

ğine göre aşağıdakilerden hangisi nin bir kareköküdür?

A) B)

C) D)

E)

i2 = –1 olmak üzere,

olduğuna göre,

|z| nin değeri kaçtır?

A) 3 B) 2 C) 1 D) E)


eşitliğini sağlayan, z karmaşık sayısı aşağıdakilerdenhangisidir? ( , z nin eşleniğidir.)

A) B) C)

D) E)


sayısının sanal kısmı kaçtır?

A) B) 2 C) 1 D) E)

olduğuna göre,

a + b nin değeri kaçtır?

A) 2 B) 1 C) 0 D) –1 E) –2


(1 + i)(1 + i3)(1 + i6) işleminin sonucu kaçtır?

A) 3 B) 1 C) 0 D) –1 E) 3

15. (1988–ÖYS)

8. (1977)

z i z 2+ =

2 2 2

9. (1978)

31

31 i+

133

132 i-

1 i1 a bi 1 i+

+ + = -

14. (1985–ÖYS)

131

21

25

1 i3 2i

-

-

13. (1984–ÖYS)

41

21 i+1 3

1 i+

21 2i-4

1 1 i+^ h31 1 i+^ h

z

2 i z 1 z- = -^ h

12. (1983–ÖYS)

31

21

z 1 xi1 xi

=-

+

11. (1981–ÖYS)

2 cos 3 isin 3π π

+a aa k kk

2 cos 32 isin 3

2π π-b bc l lm2 cos 3 isin 3

22π π+b bc l lm

2 cos 34 isin 3

4π π+b bc l lm2 cos 3 isin 3

π π-a aa k kk

z

zz –1 3 i= +

10. (1979)

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

8) C 9) D 10) C 11) C 12) B 13) D 14) C 15) C

56

(1 + i)5 + (1 – i)5 toplamı kaçtır? (i2 = –1)

A) –8 B) –5 C) 0 D) 5 E) 8

karmaşık sayısının kutupsal biçimi, aşa-

ğıdakilerden hangisidir?

A) B)

C) D)

E)

z = 3 + 2i, olduğuna göre,

aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) B) C)

D) E) –i


çarpımı, aşağıdakilerden han-

gisine eşittir?

A) 2 B) 4 C) 1 + i

D) 1 – i E) 4i

Karmaşık düzlemde

A(4 + 6i), B(–2, –i), C(4 + 5i) noktaları veriliyor.

A nın [BC] nin ortasına olan uzaklığı kaç birimdir?

A) 5 B) 4 C) 3 D) E)

i2 = –1 olduğuna göre, sayısı aşağıdakilerden

hangisidir?

A) –2i B) –i C) –1 D) 1 E) 2i

Karmaşık düzlemde, z = 3 – i olduğuna göre,

|z–1| kaçtır?

A) B) C)

D) E)

Karmaşık düzlemde,

(cosx + isinx)2 = cos2x + isin2x olduğuna göre,

aşağıdakilerden hangisi x in değerlerinden biridir?

A) B) C) D) E) π6π

4π

3π

2π

17. (1989–ÖYS)

z 23 3

23 i=- -

9 cos 32 isin 3

2π π+b l9 cos 6 isin 6

π π+a k

3 cos 67 isin 6

7π π+b l3 cos 3

2 isin 32π π

+b l

3 cos 3 isin 3π π

+a k

18. (1990–ÖYS)

z 3 2i= -

z – zz z 4+

b l

1681 i-16

81-16

81

1681 i

19. (1991–ÖYS)

1 i 1 i 1 i1 i 5 73+ + ++^ ^ ^ ^h h h h

20. (1991–ÖYS)

23. (1994–ÖYS)

5010

3015

2015

2010

1010

22. (1993–ÖYS)

1– i1 i 20+b l

21. (1992–ÖYS)

3 33 2

16. (1989–ÖYS)KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

57

eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının

geometrik yerinin denklemi, aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 16

B) (x – 3)2 + (y – 1)2 = 64

C) (x + 2)2 + (y – 1)2 = 100

D) (x – 4)2 + (y – 1)2 = 81

E) (x – 4)2 + (y – 4)2 = 121

ve n pozitif tam sayı olmak üzere,

ifadesinin kısaltılmış biçimi, aşağıdakilerden

hangisidir?

A) i B) i + 1 C) i – 1

D) 1 E) 2

z = x + iy ve |z| = |z – 2| olduğuna göre,

z nin karmaşık düzlemdeki geometrik yeri, aşağıdakiler-den hangisidir?

A) Gerçek eksene dik bir doğru

B) Sanal eksene dik bir doğru

C) 2 birim çaplı bir çember

D) Bir elips

E) Bir parabol

z – 5 – i = 1 koşulunu sağlayan z karmaşık sayısının ar-gümenti θ olduğuna göre, tanθ kaçtır?

A) B) C) 0 D) E) 1

z = 2 + 4i ve u = 3i karmaşık sayılar olduğuna göre,

değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) –2 B) –1 C) 2

D) E)

i2 = –1, olduğuna göre,

z9 aşağıdakilerden hangisidir?

A) –i B) 1 C)

D) E)

|z| + z = 3 – 2i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A) B) C)

D) E)

25. (1995–ÖYS)

i 1= -

ii i

4n 1

8n 1 4n+-

-

26. (1995–ÖYS)

27. (1996–ÖYS)

61

21

-51

-

28. (1997–ÖYS)

6 3iz.u+

31 2i+

31 2i-

29. (1998–ÖYS)

z 23

21 i= +

21

23 i+

23

21 i- 2

321 i- +

43 2i+6

5 2i-53 2i-

30. (2006–ÖYS)

53 3i+3

2 3i-

24. (1994–ÖYS)

z 2 i 10+ - =

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

24) C 25) B 26) A 27) D 28) A 29) A 30) B16) A 17) D 18) A 19) B 20) A 21) D 22) A 23) E

58

Karmaşık sayılar kümesi üzerinde ★ işlemi,

z1 ★ z2 = z1 + z2 + |z1z2|

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre (1 – 2i) ★ (2 + i) işleminin sonucu nedir?

A) 1 + 8i B) 1 – 8i C) 8 + i

D) 8 – i E) 2 – i

z1 ve z2 karmaşık sayıları z2 = i denkleminin kökleridir.

Karmaşık düzlemde z1 ve z2 noktaları arasındaki uzaklıkkaç birimdir?

A) B) C) 1 D) 2 E) 4

karmaşık sayısı aşağıdakilerden

hangisidir?

A) B) C) 1

D) E)

ile z'nin eşleniği gösterdiğine göre, z = 2 + 1 karma-şık sayısı için

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) B) C)

D) E)

karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A)

B)

C)

D)

E)

Karmaşık sayılar düzleminde

denklemi aşağıdakilerden hangisini belirtir?

A) x = 1 doğrusu

B) doğrusu

C) doğrusu

D) çemberi

E) çemberix y 2 12 2+ + =^ h

x 1 y 12 2- + =^ h

x 2=

x 21

=-

z 1 z 2- = +

36. (2010–LYS)

4 cos 3 isin 3π π

-a k

4 cos 3 isin 3π π

+a k

2 cos 3 isin 3π π

+a k

2 cos 6 isin 6π π

-a k

2 cos 6 isin 6π π

+a k

z 1 i 3+ +

3 i+2 3i-

1 3i+32

23 i-2

123 i+

zz

1-

z

21

41

32. (2008–ÖSS)

35. (2010–LYS)

34. (2010–LYS)

21 i 3+

21 i 3-

23 i-

23 i+

z cos15° isin15°cos75° isin75°

=+

+

33. (2009–ÖSS)

31. (2007–ÖSS)

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

31) D 32) D 33) E 34) A 35) C 35) B

59

KA

RM

AŞ

IK S

AY

ILA

RÜ

NİT

E –

1

Unite1

Documents

Transcript of Unite1