Unitatea de Învatare Nr. 6
description
Transcript of Unitatea de Învatare Nr. 6
-
Serii de numere reale
Matematici aplicate n economie 1
Unitatea de nvare Nr. 6 Funcii continue Cuprins Obiectivele Unitii de nvare Nr. 6 6.1 Definiia funciei continue cu iruri, modul i limite de funcii 6.2 Funcii continue elementare care satisfac ecuaii funcionale 6.3 Proprieti ale funciilor continue Lucrare de verificare Unitate de nvare Nr. 6 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de nvare Nr. 6
Pagina
2 2 3 4
5 5 6
-
Serii de numere reale
Matematici aplicate n economie 2
OBIECTIVELE unitii de nvare nr. 6 Principalele obiective ale unitii de nvare Nr. 6 sunt:
S cunosc definiiile echivalente ale funciilor continue S cunoasc proprietile funciilor continue S aplice rezolvarea ecuaiilor cu proprietile funciilor continue S cunoasc noiunea de uniform continuitate i legtura cu continuitatea
6.1 Definiia funciei continue cu iruri, modul i limite de funcii Funcie continu, funcie uniform continu, mulimi nchise, mulimi deschise
-
Serii de numere reale
Matematici aplicate n economie 3
Test de autoevaluare 6.1.
1. Fie 2
3 2 , 1( ) 1 , 1
, 11
ax b xf x x
xx ax
+ < = = > + +
Sa se afle ,a b\ astfel incat f sa fie continua\
2. Sa se studieze continuitatea functiei
2
2 2 , ( , ) (0,0)( , ), ( , ) (0,0)
xy x yf x y x y
x yo
= + =
Rspunsul se va da n spaiul gol de mai sus. Rspunsul la test se gsete la pagina 5.
6.2. Funcii continue elementare care satisfac ecuaii funcionale Limite ale unor iruri particulare. Aplicaii
-
Serii de numere reale
Matematici aplicate n economie 4
Test de autoevaluare 6.2. 1. S se demonstreze ca urmatoarea functie este continua pe 2\
3 3
2 2 , ( , ) (0,0)( , ), ( , ) (0,0)
x y x yf x y x y
x yo
+ = + =
2. Sa se verifice daca 1 , 0sin
( ), 00
xf x x
x
= =
Rspunsul se va da n spaiul gol de mai sus. Rspunsul la test se gsete la pagina 5.
6.3. Proprieti ale funciilor continue Funcii injective, surjective, bijective, inversabile
-
Serii de numere reale
Matematici aplicate n economie 5
Test de autoevaluare 6.3. 1. Fie :[ , ] [ , ]f a b a b continua. Sa se arate ca exista [ , ]c a b astfel incat ( )f c c=
2. Fie 5 4 3( ) 11 1f x x x x x= + + . Sa se arate ca f are o radacina in (0,1) Rspunsul se va da n spaiul gol de mai sus. Rspunsul la test se gsete la pagina 5.
Rezumat
Lucrare de verificare unitate de nvare nr. 6
1. Sa se determine functiile continue care verifica egalitatea: ( ) ( ) ( ), ( ) ,f x y f x f y x y+ = + \ .
2. Sa se arate ca
2 2
2 2
2 , ( , ) (0,0)( , )
, ( , ) (0,0)
x y xy x yf x y x y
x yo
+ = + = este continua in (0,0)
3. Sa se studieze continuitatea functiei 2
1 , 0sin( )
, 0xx
f x xxx ax
>= +
Rspunsurile testelor de autoevaluare
Rspuns 6.1
1. 3 2 1 1
1 1a b aa b
+ = = = = 2.
( , ) (0,0)lim ( , ) 0 (0,0)
x yf x y f = = ceea ce arata ca f este continua
Rspuns 6.2. 1. | ( , ) | | | | |f x y x y + ( ) 0f c =
( , ) (0,0)lim ( , ) 0 (0,0)
x yf x y f = = deci f este continua in (0,0) si
pe 2 {(0,0)}\ 2.f nu este continua deoarece sinx nu are limita la +
-
Serii de numere reale
Matematici aplicate n economie 6
Rspuns 6.3 1. Fie ( ) ( )h x f x x= avem ( ) ( ) 0h a h b deci ( ) [ , ]c a b astfel incat ( ) 0h c =
unde obtinem ( )f c c= . 2. (0) 1 0f = < , ( ) [ , ]c a b astfel incat ( ) 0f c = radacina c a lui f. (1) 11 0f = >
Bibliografie unitate de nvare nr. 6
Anghel P, Silvia Fulina. Matematici superioare, editura Muntenia, 2006 V. Brnznescu, O. Stnil, Matematici Speciale (teorie, exemple, aplicaii), Ed. All, Bucureti, 1998. Chiri, Probleme de Matematici Superioare, Ed. Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1989. M.
-
Serii de numere reale
Matematici aplicate n economie 7
Nicolescu, N. Dinculeanu, S. Marcus, Analiz Matematic, vol. I - III, Ed. Did. i Ped., Bucureti, 1971.