UNIENSEÑA Estructuras
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UNIENSEÑA Estructuras
Curso
Análisis Matricial de Estructuras
ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURASIng. Waldo Inga Docente JP UNI/FIC-CIP:194293
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1. ARMADURAS
1.1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO BIARTICULADO
i: nodo inicial (𝑥𝑖; 𝑦𝑖)j: nodo final (𝑥𝑗; 𝑦𝑗)
Δx=𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 → 𝑐𝑥 =∆𝑥
𝐿= 𝑐𝑜𝑠𝜃
Δy= 𝑦𝑗 − 𝑦𝑖 → 𝑐𝑦 =∆𝑦
𝐿= 𝑠𝑒𝑛𝜃
L: longitud del elemento
𝐿 = ∆𝑥2 + ∆𝑦2
La matriz de rigidez se genera realizando desplazamientos unitarios uno a la vez en cada uno de los grados de libertad de
la barra en estudio.
4GDL, se tienen 2GDl por nodo. Los GDL
son solo en desplazamientos.
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1. ARMADURAS
1.1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO BIARTICULADO
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑁: 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑁𝐿
𝐸𝐴
𝑁 =𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥
𝐹11 = 𝐹31 = 𝐹 = 𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥2
𝐹21 = 𝐹41 = 𝑁𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥2
𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
−𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥2
−𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
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1. ARMADURAS
1.1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO BIARTICULADO
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑁: 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑁𝐿
𝐸𝐴
𝑁 =𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑦
𝐹12 = 𝐹32 = 𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
𝐹22 = 𝐹42 = 𝐹 = 𝑁𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑦2
𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑦2
−𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
−𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑦2
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1. ARMADURAS
1.1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO BIARTICULADO
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑁: 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝑁𝐿
𝐸𝐴
𝑁 =𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥
𝐹13 = 𝐹33 = 𝐹 = 𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥2
𝐹23 = 𝐹43 = 𝑁𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
−𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥2
−𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥2
𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
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1. ARMADURAS
1.1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO BIARTICULADO
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑁: 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑁𝐿
𝐸𝐴
𝑁 =𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑦
𝐹14 = 𝐹34 = 𝑁𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
𝐹44 = 𝐹24 = 𝐹 = 𝑁𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑦2
−𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
−𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑦2
𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑦2
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1. ARMADURAS
1.1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO BIARTICULADO
1 2 3 4
𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥2
𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
−𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥2
−𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
1
𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑦2
−𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
−𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑦2 2
−𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥2
−𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥2
𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
3
−𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
−𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑦2
𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑥𝑐𝑦
𝐸𝐴
𝐿𝑐𝑦2 4
𝐾 =
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1. ARMADURAS
1.2. GRADOS DE LIBERTAD LOCALES Y GLOBALES
Los grados de libertad globales corresponden a la estructura
en su totalidad, que esta conformada de varios elementos
biarticulados (GDL 1 2 3 4 5 6 7 8)
Los grados de libertad locales
corresponden a un solo elemento
biarticulado (GDL 1 2 3 4)
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1. ARMADURAS
1.3. ENSAMBLE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
La matriz de rigidez global de una estructura es la
contribución de cada elemento del que esta compuesta. El
ensamble de la matriz de rigidez se realiza con la
nomenclaturas de los grados de libertad locales y globales
correspondientes.
ElementoGDL local 1 2 3 4
AB 0 0 1 2
FC 7 8 3 4
BC 1 2 3 4
AF 0 0 7 8
⁞
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1. ARMADURAS
1.4. VECTORES FUERZA Y DESPLAZAMIENTO
El vector fuerza, es aquel que
organiza todas las fuerzas
puntuales en los grados de
libertad considerados en el
análisis.FBx FCx
FD
FFy
𝐹 =
𝐹𝐵𝑥0𝐹𝐶𝑥0𝐹𝐷𝑥−𝐹𝐷𝑦0
−𝐹𝐹𝑦
12345678
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1. ARMADURAS
1.4. VECTORES FUERZA Y DESPLAZAMIENTO
El vector desplazamiento, es aquel
que se genera debido a las fuerzas y a
la rigidez de la estructura en general.
Este vector representa la deformación
que se origina en cada grado de
libertad considerado.
𝑈 =
𝑢𝐵𝑥𝑢𝐵𝑦𝑢𝐶𝑥𝑢𝐶𝑦𝑢𝐷𝑥𝑢𝐷𝑦𝑢𝐹𝑥𝑢𝐹𝑦
12345678
𝐹 = 𝐾𝑈F: vector fuerza
K: matriz de rigidezU: vector desplazamiento
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1. ARMADURAS
Ejemplo 1.1) Determinar los desplazamientos de los nudos y las fuerzas internas en el siguiente reticulado de acero
estructural. Considerar E=2.1x10⁷tonf/m², todas las barras tienen una sección transversal de 5cm².
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1. ARMADURAS
Solución 1.1) Se define un sistema de coordenadas y los grados de libertad de la estructura global. Así mismo, se calculan
las coordenadas de cada nudo (A, B, C, D y E).
Nudo X (m) Y (m)
A 0 0
B 0 4
C 4 4
D 8 0
E 4 0
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1. ARMADURAS
Se calculan las matrices de rigidez de cada elemento y su respectivos grados de libertad locales y globales.
Elemento AB
E : 2.10E+07 tonf/m² elasticidad del material
A : 0.001 m² sección transversal
Nudo i Nudo j
(m) (m)
x 0.00 0.00
y 0.00 4.00
cx 0.000 cy 1.000
1 2 3 4 GDL local GDL global
0.00 0.00 0.00 0.00 1 0
0.00 2625.00 0.00 -2625.00 2 0
0.00 0.00 0.00 0.00 3 6
0.00 -2625.00 0.00 2625.00 4 7
CoordenadasLongitud
L (m)
EA/L
(tonf/m)
4.000 2625.00
KAB=
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1. ARMADURAS
Elemento BC
E : 2.10E+07 tonf/m² elasticidad del material
A : 0.001 m² sección transversal
Nudo i Nudo j
(m) (m)
x 0.00 4.00
y 4.00 4.00
cx 1.000 cy 0.000
1 2 3 4 GDL local GDL global
2625.00 0.00 -2625.00 0.00 1 6
0.00 0.00 0.00 0.00 2 7
-2625.00 0.00 2625.00 0.00 3 4
0.00 0.00 0.00 0.00 4 5
CoordenadasLongitud
L (m)
EA/L
(tonf/m)
4.000 2625.00
KBC=
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1. ARMADURAS
Elemento CD
E : 2.10E+07 tonf/m² elasticidad del material
A : 0.001 m² sección transversal
Nudo i Nudo j
(m) (m)
x 4.00 8.00
y 4.00 0.00
cx 0.707 cy -0.707
1 2 3 4 GDL local GDL global
928.08 -928.08 -928.08 928.08 1 4
-928.08 928.08 928.08 -928.08 2 5
-928.08 928.08 928.08 -928.08 3 1
928.08 -928.08 -928.08 928.08 4 0
CoordenadasLongitud
L (m)
EA/L
(tonf/m)
5.657 1856.16
KCD=
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1. ARMADURAS
Elemento ED
E : 2.10E+07 tonf/m² elasticidad del material
A : 0.001 m² sección transversal
Nudo i Nudo j
(m) (m)
x 4.00 8.00
y 0.00 0.00
cx 1.000 cy 0.000
1 2 3 4 GDL local GDL global
2625.00 0.00 -2625.00 0.00 1 2
0.00 0.00 0.00 0.00 2 3
-2625.00 0.00 2625.00 0.00 3 1
0.00 0.00 0.00 0.00 4 0
CoordenadasLongitud
L (m)
EA/L
(tonf/m)
4.000 2625.00
KED=
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1. ARMADURAS
Elemento AE
E : 2.10E+07 tonf/m² elasticidad del material
A : 0.001 m² sección transversal
Nudo i Nudo j
(m) (m)
x 0.00 4.00
y 0.00 0.00
cx 1.000 cy 0.000
1 2 3 4 GDL local GDL global
2625.00 0.00 -2625.00 0.00 1 0
0.00 0.00 0.00 0.00 2 0
-2625.00 0.00 2625.00 0.00 3 2
0.00 0.00 0.00 0.00 4 3
CoordenadasLongitud
L (m)
EA/L
(tonf/m)
4.000 2625.00
KAE=
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1. ARMADURAS
Elemento BE
E : 2.10E+07 tonf/m² elasticidad del material
A : 0.001 m² sección transversal
Nudo i Nudo j
(m) (m)
x 0.00 4.00
y 4.00 0.00
cx 0.707 cy -0.707
1 2 3 4 GDL local GDL global
928.08 -928.08 -928.08 928.08 1 6
-928.08 928.08 928.08 -928.08 2 7
-928.08 928.08 928.08 -928.08 3 2
928.08 -928.08 -928.08 928.08 4 3
CoordenadasLongitud
L (m)
EA/L
(tonf/m)
5.657 1856.16
KBE=
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1. ARMADURAS
Elemento EC
E : 2.10E+07 tonf/m² elasticidad del material
A : 0.001 m² sección transversal
Nudo i Nudo j
(m) (m)
x 4.00 4.00
y 0.00 4.00
cx 0.000 cy 1.000
1 2 3 4 GDL local GDL global
0.00 0.00 0.00 0.00 1 2
0.00 2625.00 0.00 -2625.00 2 3
0.00 0.00 0.00 0.00 3 4
0.00 -2625.00 0.00 2625.00 4 5
CoordenadasLongitud
L (m)
EA/L
(tonf/m)
4.000 2625.00
KEC=
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1. ARMADURAS
Se realiza el ensamble de la matriz de rigidez global con los grados de libertad numerados en cada elemento.
1 2 3 4 5 6 7
3553.08 -2625.00 0.00 -928.08 928.08 0.00 0.00 1
-2625.00 6178.08 -928.08 0.00 0.00 -928.08 928.08 2
0.00 -928.08 928.08 0.00 -2625.00 928.08 -928.08 3
K= -928.08 0.00 0.00 3553.08 -928.08 -2625.00 0.00 4
928.08 0.00 -2625.00 -928.08 3553.08 0.00 0.00 5
0.00 -928.08 928.08 -2625.00 0.00 3553.08 -928.08 6
0.00 928.08 -928.08 0.00 0.00 -928.08 3553.08 7
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1. ARMADURAS
Se realiza el cálculo del vector de fuerzas. Recordar que las fuerzas deberán estar aplicadas en los nodos y sus signos van
a depender de las direcciones de los grados de libertad considerados.
𝐹 =
00
−5𝑡𝑜𝑛𝑓−2.828𝑡𝑜𝑛𝑓−2.828𝑡𝑜𝑛𝑓
8𝑡𝑜𝑛𝑓0
𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕
Las fuerzas inclinadas se deberán
descomponer en X e Y.
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1. ARMADURAS
Ahora se calculan los desplazamientos en cada grado de libertad considerado con la siguiente ecuación F=KU.
1 2 3 4 5 6 7
3553.08 -2625.00 0.00 -928.08 928.08 0.00 0.00 1 0 1 0.004446 1
-2625.00 6178.08 -928.08 0.00 0.00 -928.08 928.08 2 0 2 0.001970 2
0.00 -928.08 3553.08 0.00 -2625.00 928.08 -928.08 3 -5 3 -0.008185 3
K= -928.08 0.00 0.00 3553.08 -928.08 -2625.00 0.00 4 F= -2.828 4 U= 0.004665 4
928.08 0.00 -2625.00 -928.08 3553.08 0.00 0.00 5 -2.828 5 -0.006786 5
0.00 -928.08 928.08 -2625.00 0.00 3553.08 -928.08 6 8 6 0.008218 6
0.00 928.08 -928.08 0.00 0.00 -928.08 3553.08 7 0 7 -0.000506 7
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1. ARMADURAS
A continuación se presentan los desplazamientos de los GDL usando el programa de cómputo SAP2000.
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1. ARMADURAS
Para el cálculo de las fuerzas internas en los elementos, se debe multiplicar la matriz de rigidez de cada elemento por las
deformaciones correspondientes a los GDL correspondientes.
1 2 3 4 GDL local GDL global U (m) F (tonf)
0.00 0.00 0.00 0.00 1 0 0 0.000
0.00 2625.00 0.00 -2625.00 2 0 0 1.328
0.00 0.00 0.00 0.00 3 6 0.008218 0.000
0.00 -2625.00 0.00 2625.00 4 7 -0.000506 -1.328
KAB=
𝑵 = 𝒄𝒙𝑭𝟑 + 𝒄𝒚𝑭𝟒 = −𝒄𝒙𝑭𝟏 − 𝒄𝒚𝑭𝟐𝑵 = 𝟎 𝟎 + 𝟏 −𝟏. 𝟑𝟐𝟖 = −𝟏. 𝟑𝟐𝟖𝒕𝒐𝒏𝒇
Nudo i Nudo j
(m) (m)
x 0.00 0.00
y 0.00 4.00
cx 0.000 cy 1.000
CoordenadasLongitud
L (m)
EA/L
(tonf/m)
4.000 2625.00
El signo negativo (-) indica que el elemento está a compresión.
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1. ARMADURAS
A continuación se presentan las fuerzas axiales (N) usando el programa de cómputo SAP2000.
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1. ARMADURAS
1.5. DEFORMACIÓN POR CAMBIOS DE TEMPERATURA
Para un aumento de la temperatura
La barra se estira, para equilibrar se
aplica una fuerza de compresión No
𝑓𝑜(𝑡)
= 𝐸𝐴𝛼(∆𝑇)
𝑐𝑥𝑐𝑦−𝑐𝑥−𝑐𝑦
𝑓𝑜(𝑡)
= −𝐸𝐴𝛼(∆𝑇)
𝑐𝑥𝑐𝑦−𝑐𝑥−𝑐𝑦
Para un decremento de la temperatura
La barra se comprime, para equilibrar
se aplica una fuerza de tracción No
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1. ARMADURAS
Ejemplo 1.2) Determinar los desplazamientos del nudo B debido a las fuerzas indicadas y a un cambio de temperatura
para todas las barras de +50°C. Considerar E=2.1x10⁷tonf/m², todas las barras tienen una sección transversal de 4cm² y un
coeficiente de dilatación térmico de 1.2x10^-5°C^-1.
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1. ARMADURAS
Solución 1.2) Elemento AB
E : 2.10E+07 tonf/m² elasticidad del material
A : 0.0004 m² sección transversal
Nudo i Nudo j
(m) (m)
x 0.00 4.00
y 3.00 3.00
cx 1.000 cy 0.000
1 2 3 4 GDL local GDL global
2100.00 0.00 -2100.00 0.00 1 0
0.00 0.00 0.00 0.00 2 0
-2100.00 0.00 2100.00 0.00 3 1
0.00 0.00 0.00 0.00 4 2
Elemento CB
E : 2.10E+07 tonf/m² elasticidad del material
A : 0.0004 m² sección transversal
Nudo i Nudo j
(m) (m)
x 0.00 4.00
y 0.00 3.00
cx 0.800 cy 0.600
1 2 3 4 GDL local GDL global
1075.20 806.40 -1075.20 -806.40 1 0
806.40 604.80 -806.40 -604.80 2 0
-1075.20 -806.40 1075.20 806.40 3 1
-806.40 -604.80 806.40 604.80 4 2
5.000 1680.00
KCB=
KAB=
CoordenadasLongitud
L (m)
EA/L
(tonf/m)
4.000 2100.00
CoordenadasLongitud
L (m)
EA/L
(tonf/m)
Matriz de rigidez global (ensamblada)
1 2
3175.20 806.40 1
806.40 604.80 2K=
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1. ARMADURAS
Vector fuerzas
Fuerzas=Fuerzas puntuales-Fuerzas ficticias debido al cambio de temperatura𝐹 = 𝐹𝑝 − 𝐹𝑜
𝑓𝑜(𝐴𝐵)
= 𝐸𝐴𝛼 ∆𝑇
𝑐𝑥𝑐𝑦−𝑐𝑥−𝑐𝑦
= 2.1𝑥107 4𝑥10−4 1.2𝑥10−5 50
10−10
=
5.040
−5.040
𝟎𝟎𝟏𝟐
𝑓𝑜(𝐶𝐵)
= 𝐸𝐴𝛼 ∆𝑇
𝑐𝑥𝑐𝑦−𝑐𝑥−𝑐𝑦
= 2.1𝑥107 4𝑥10−4 1.2𝑥10−5 50
0.80.6−0.8−0.6
=
4.0323.024−4.032−3.024
𝟎𝟎𝟏𝟐
𝐹𝑝 =4−5
𝟏𝟐
𝐹 = 𝐹𝑝 − 𝑓𝑜 =4−5
−−9.072−3.024
=13.072−1.976
𝟏𝟐
𝑓𝑜(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙)
=−5.040
+−4.032−3.024
=−9.072−3.024
𝟏𝟐
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1. ARMADURAS
Vector desplazamientos 𝑭 = 𝑲𝑼1 2
3175.20 806.40 1 13.072 1 0.00748 1
806.40 604.80 2 -1.976 2 -0.01324 2F= U=K=
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1. ARMADURAS
1.6. DEFORMACIÓN POR ASENTAMIENTO DE UN APOYO
Se deben agrupar los desplazamientos conocidos y desconocidos, así como las fuerzas conocidas y desconocidas.
𝐴 𝐵𝐶 𝐷
𝑈𝑑𝑒𝑠𝑐𝑈𝑐𝑜𝑛𝑐
=𝐹𝑐𝑜𝑛𝑐𝐹𝑑𝑒𝑠𝑐
En los desplazamientos conocidos (Udesc) se encuentran los asentamientos que se generan
en los apoyos.𝐴𝑈𝑑𝑒𝑠𝑐 + 𝐵𝑈𝑑𝑒𝑠𝑐 = 𝐹𝑐𝑜𝑛𝑐
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1. ARMADURAS
Ejemplo 1.3) Determinar los desplazamientos del nudo B debido a las fuerzas indicadas y a un asentamiento del apoyo C
de 0.5cm verticalmente hacia abajo. Considerar E=2.1x10⁷tonf/m², todas las barras tienen una sección transversal de 4cm².
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1. ARMADURAS
Se calcula la matriz de rigidez de la estructura global
para los grados de libertad considerados.
Elemento AB
E : 2.10E+07 tonf/m² elasticidad del material
A : 0.0004 m² sección transversal
Nudo i Nudo j
(m) (m)
x 0.00 4.00
y 3.00 3.00
cx 1.000 cy 0.000
1 2 3 4 GDL local GDL global
2100.00 0.00 -2100.00 0.00 1 5
0.00 0.00 0.00 0.00 2 6
-2100.00 0.00 2100.00 0.00 3 1
0.00 0.00 0.00 0.00 4 2
Elemento CB
E : 2.10E+07 tonf/m² elasticidad del material
A : 0.0004 m² sección transversal
Nudo i Nudo j
(m) (m)
x 0.00 4.00
y 0.00 3.00
cx 0.800 cy 0.600
1 2 3 4 GDL local GDL global
1075.20 806.40 -1075.20 -806.40 1 4
806.40 604.80 -806.40 -604.80 2 3
-1075.20 -806.40 1075.20 806.40 3 1
-806.40 -604.80 806.40 604.80 4 2
5.000 1680.00
KCB=
4.000 2100.00
KAB=
CoordenadasLongitud
L (m)
EA/L
(tonf/m)
CoordenadasLongitud
L (m)
EA/L
(tonf/m)
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1. ARMADURAS
1 2 3 4 5 6
3175.20 806.40 -806.40 -1075.20 -2100.00 0.00 1 u1 1 4 1
806.40 604.80 -604.80 -806.40 0.00 0.00 2 u2 2 -5 2
-806.40 -604.80 604.80 806.40 0.00 0.00 3 -0.005 3 F3 3
-1075.20 -806.40 806.40 1075.20 0.00 0.00 4 0 4 F4 4
-2100.00 0.00 0.00 0.00 2100.00 0.00 5 0 5 F5 5
0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 6 0 6 F6 6
3175.20 806.40 u1 -806.40 -1075.20 -2100.00 0.00 -0.005 4
806.40 604.80 u2 -604.80 -806.40 0.00 0.00 0 -5
0
0
u1 0.00508
u2 -0.02004
F=
+ =
=
K= U=
Desplazamientos:
Realizando operaciones con matrices se pueden calcular los desplazamientos u1 y u2.
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1. ARMADURAS
Comparación de
desplazamientos con
SAP2000
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37
2. VIGAS
2.1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO VIGA
La matriz de rigidez se genera realizando desplazamientos unitarios uno a la vez en cada uno de los grados de libertad de
la viga en estudio.
6GDL, se tienen 3GDL por nodo. Los GDL son de desplazamientos y
rotaciones.
i: nodo inicial
j: nodo final
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2. VIGAS
𝑀𝑖𝑗 =2𝐸𝐼
𝐿(2𝜃𝑖 + 𝜃𝑗 − 3
∆
𝐿)
Se pueden utilizar las expresiones del método de Deformaciones Angulares para el cálculo de las fuerzas en los extremos
de la viga para las deformaciones unitarias establecidas.
Para un desplazamiento unitario en el GDL 2.
−𝐹3=2𝐸𝐼
𝐿2 0 + (0) − 3
1
𝐿→ 𝐹3 =
6𝐸𝐼
𝐿2
−𝐹6=2𝐸𝐼
𝐿2 0 + (0) − 3
1
𝐿→ 𝐹6 =
6𝐸𝐼
𝐿2
∑𝑀𝑖 = 0; 𝐹5 𝐿 + 𝐹3+𝐹6= 0
𝐹5 = −12𝐸𝐼
𝐿3; 𝐹2 =
12𝐸𝐼
𝐿3
𝜃𝑖 = 0
𝜃𝑗 = 0
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2. VIGAS
𝐹1 = −𝐹4 =𝐸𝐴
𝐿𝐹2 = 𝐹3 = 𝐹5 = 𝐹6 = 0
𝐹2 = −𝐹5 =12𝐸𝐼
𝐿3
𝐹3 = 𝐹6 =6𝐸𝐼
𝐿2; 𝐹1 = 𝐹4 = 0
𝐹2 = −𝐹5 =6𝐸𝐼
𝐿2
𝐹3 =4𝐸𝐼
𝐿; 𝐹6 =
2𝐸𝐼
𝐿; 𝐹1 = 𝐹4 = 0
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2. VIGAS
𝐹4 = −𝐹1 =𝐸𝐴
𝐿𝐹2 = 𝐹3 = 𝐹5 = 𝐹6 = 0
𝐹5 = −𝐹2 =12𝐸𝐼
𝐿3
𝐹3 = 𝐹6 =−6𝐸𝐼
𝐿2; 𝐹1 = 𝐹4 = 0
𝐹2 = −𝐹5 =6𝐸𝐼
𝐿2
𝐹3 =2𝐸𝐼
𝐿; 𝐹6 =
4𝐸𝐼
𝐿; 𝐹1 = 𝐹4 = 0
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2. VIGAS
𝐾𝑣𝑖𝑔𝑎 =
𝐸𝐴
𝐿0 0
𝐸𝐴
𝐿0 0
012𝐸𝐼
𝐿36𝐸𝐼
𝐿20 −
12𝐸𝐼
𝐿36𝐸𝐼
𝐿2
06𝐸𝐼
𝐿24𝐸𝐼
𝐿0 −
6𝐸𝐼
𝐿22𝐸𝐼
𝐿𝐸𝐴
𝐿0 0
𝐸𝐴
𝐿0 0
0 −12𝐸𝐼
𝐿3−6𝐸𝐼
𝐿20
12𝐸𝐼
𝐿3−6𝐸𝐼
𝐿2
06𝐸𝐼
𝐿22𝐸𝐼
𝐿0 −
6𝐸𝐼
𝐿24𝐸𝐼
𝐿
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
Finalmente se puede obtener la matriz de rigidez de un elemento viga.
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2. VIGAS
En estos elementos viga es muy común no tener en cuenta las deformaciones axiales, por tanto la matriz de rigidez se
reduce a una de 4x4. Para la viga en estudio eliminamos los grados de libertad 1 y 4.
𝐾𝑣𝑖𝑔𝑎 =
𝐸𝐴
𝐿0 0
𝐸𝐴
𝐿0 0
012𝐸𝐼
𝐿36𝐸𝐼
𝐿20 −
12𝐸𝐼
𝐿36𝐸𝐼
𝐿2
06𝐸𝐼
𝐿24𝐸𝐼
𝐿0 −
6𝐸𝐼
𝐿22𝐸𝐼
𝐿𝐸𝐴
𝐿0 0
𝐸𝐴
𝐿0 0
0 −12𝐸𝐼
𝐿3−6𝐸𝐼
𝐿20
12𝐸𝐼
𝐿3−6𝐸𝐼
𝐿2
06𝐸𝐼
𝐿22𝐸𝐼
𝐿0 −
6𝐸𝐼
𝐿24𝐸𝐼
𝐿
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
𝐾𝑣𝑖𝑔𝑎 =
12𝐸𝐼
𝐿36𝐸𝐼
𝐿2−12𝐸𝐼
𝐿36𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿24𝐸𝐼
𝐿−6𝐸𝐼
𝐿22𝐸𝐼
𝐿
−12𝐸𝐼
𝐿3−6𝐸𝐼
𝐿212𝐸𝐼
𝐿3−6𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿22𝐸𝐼
𝐿−6𝐸𝐼
𝐿24𝐸𝐼
𝐿
1 2 3 4
1
2
3
4
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2. VIGAS
2.2. GRADOS DE LIBERTAD LOCALES Y GLOBALES