UNIDADE UNIVERSITÁRIA: UNESP – CÂMPUS DE ILHA … · O numero´ 2;7 106 possui portanto ordem...
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PROGRAMA DE ENSINO
UNIDADE UNIVERSITÁRIA: UNESP – CÂMPUS DE ILHA SOLTEIRA
CURSO: Licenciatura em Matemática (Resolução UNESP nº 06 /2005 06 /2005 - Curso 7 - Currículo: 22HABILITAÇÃO:
OPÇÃO:
DEPARTAMENTO RESPONSÁVEL: Departamento de Física e Química
CÓDIGO DISCIPLINA OU ESTÁGIO SERIAÇÃO IDEAL/PERÍODO
FIS0728 FUNDAMENTOS DA FÍSICA I 2ª S
OBRIGATORIA/OPTATIVA/ESTAGIO
PRÉ-REQUISITO CO-REQUISITO ANUAL SEMESTRAL
Obrigatória Cálculo Diferencial Integral I( ) 1º SEM. ( )
2º SEM. ( X )
CRÉDITOS CARGA HORÁRIA DISTRIBUIÇÃO DA CARGA HORÁRIA
TOTAL TEÓRICA PRÁTICA TEÓRICO-PRÁTICA
OUTRAS
04 60 60
NÚMERO MÁXIMO DE ALUNOS POR TURMAAULAS TEÓRICAS AULAS PRÁTICAS AULAS TEÓRICO-
PRÁTICASOUTRAS
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OBJETIVOS: (ao término da disciplina o aluno deverá ser capaz de)
Dominar as técnicas de manuseio dos equipamentos de medição e saber seus potenciais e limitações em função da condição ou propósito da medida. Estar apto a realizar experimentos e explorar os resultados obtidos, extraindo relações funcionais entre as variáveis. Compreender conceitos e leis físicas básicas, demonstradas através de experimentos.
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CÓDIGO E DISCIPLINA: FIS0728 – Fundamentos da Física ICURSO: Matemática (Resolução UNESP nº 06/2005 - Currículo: 2 )
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO: (Título e descriminação das Unidades) 1. Algarismos Significativos; 1.1. Conceitos e Definições; 1.2. Notação Científica e números de Algarismos Significativos;2. Medidas Físicas; 2.1. Escalas Milimetradas, Paquímetro e Micrômetro; 2.2. Técnicas Específicas de medição de Comprimentos, Profundidades, Diâmetros; 3. Gráficos e Funções; 3.1. Construção e interpretação de Gráficos; 3.2. Utilização de papéis Gráficos Lineares, Monolog e Di-log; 3.3. Determinação de coeficientes lineares e angulares e das funções correspondentes; a uma reta obtida em escalas lineares, mono-logarítmicos e di-logarítmicos; 4. Movimento em uma Dimensão; 4.1. Movimento Retilíneo Uniforme e Acelerado; 4.2. Queda Livre; 5. Movimento no Plano; 5.1. Lançamento Oblíquo de Projétil; 6. Forças de Atrito; 6.1. Determinação de coeficientes de Atrito; 7. Energia Cinética e Trabalho; 7.1. Energia; 7.2. Trabalho; 7.3. Trabalho e Energia Cinética; 7.4.Trabalho Realizando por uma Força Gravitacional; 7.5. Trabalho Realizado por uma Força de Mola; 7.6. Trabalho Realizado por uma Força Variável Qualquer; 7.7.Energia Potencial; 7.8. Conservação da Energia Mecânica; 8. Colisões.8.1. Colisões uni e bidimensionais;
METODOLOGIA DE ENSINO:Aulas expositivas e demonstrativas sobre a manipulação de instrumentos de
medidas, Aulas expositivas em quadro negro. Aulas Práticas - Apresentação dos experimentos rotineiros através de roteiros ou guias - Montagem e elaboração dos experimentos em grupo de 4 alunos, com constituição de dados e discussão dos resultados obtidos.
PODERÁ SER INCLUÍDO ESTÁGIO DE DOCÊNCIA.
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CÓDIGO E DISCIPLINA: FIS0728 – Fundamentos da Física ICURSO: Matemática (Resolução UNESP nº 06/2005 - Currículo: 2 )
BIBLIOGRAFIA BÁSICA E COMPLEMENTAR: (de tal forma que as primeiras sejam concisas e dêem conta do conteúdo programático das disciplinas)
BÁSICA:HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentos de Física, Rio de Janeiro-RJ,
Livros Técnicos e Científicos Editora S/A, v.1, 6ª Edição, 2002.
COMPLEMENTAR:
SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, Física I – Mecânica São Paulo ,Addison Wesley, 2003 V. 1
TIPLER, P. A., Física Rio de janeiro, Ed. LTC, 2000 V. 1.
ALONSO, M., FINN, E.S., Física, São Paulo, Addison Wes Ley Lungman do Brasil Ltda,
1999, v.1., 936p.
RESNICK, R. e HALLIDAY, D. Física. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos
Editora S/A., 1992. v.1.1.
TIMONER, A,, ET ALII. Física: Manual de Laboratório (Mecânica, Calor e Acústica), São
Paulo, Edgard Blucher, 1973.
KITTEL, C.; KNIGTH, W.D. e RUDERMAN, M.A. Mecânica: Curso de Física de Berkeley.
São Paulo, Editora Edgard Blucher Ltda., 1973. v.1.
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM:
Será feita através de notas de provas e de trabalhos. A média de aproveitamento será
dada por:
MF = 0,8x[P1 + P2 + P3] / 3 + 0,2 x T
Onde P1 + P2 + P3 são notas de provas de T é a média das notas de trabalhos
OBS - Esta disciplina não oferecerá período de recuperação.
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CÓDIGO E DISCIPLINA: FIS0728 – Fundamentos da Física ICURSO: Matemática (Resolução UNESP nº 06/2005 - Currículo: 2 )
EMENTA: (Tópicos que caracterizam as unidades do programa de ensino)
Grandezas e Medição. Introdução aos conceitos fundamentais da cinemática e Dinâmica. Trabalho e Energia. Leis de conservação da energia e do momento linear.
APROVAÇÃO:CONSELHO DE
DEPARTAMENTOCONSELHO DE CURSO CONGREGAÇÃO
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FIS0728—Fundamentos de Fısica I
Ezequiel C. Siqueira — Depto. de Fısica e Quımica
Ementa
Os topicos que serao abordados na disciplina sao os seguintes:
1. Medidas, Algarismos Significativos.
2. Movimento Retilıneo
3. Movimento em duas e tres dimensoes
4. Forca e Movimento
5. Conservacao da Energia
6. Sistemas de partıculas, conservacao do momento linear e Colisoes
Informacoes mais detalhadas podem ser encontradas na ementa da disciplina, disponıvel na pagina:
http://www.dfq.feis.unesp.br/ementa_matematica.php
Provas (conteudo por prova sujeito a alteracoes )
Serao realizadas tres provas, a media final obtida a partir da media aritmetica destas provas.
• 1a Prova: 08/09/2011 — Movimentos em 1, 2 e 3 dimensoes
• 2a Prova: 20/10/2011 — Forca e Movimento + Conservacao da Energia
• 3a Prova: 02/12/2011 — Conservacao da Energia + Colisoes
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Referencias Bibliograficas
Livros principais (usados como livros-texto)
O curso sera baseado nos seguintes livros:
• HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentos de Fısica, Rio de Janeiro-RJ, Livros
Tecnicos e Cientıficos Editora S/A, v. 1, 6a Edicao, 2002.
• NUSSENSVEIG, H. M., Curso de Fısica Basica, Rio de Janeiro, Edgar Blucher, v.1., 4a Edicao,
2002.
• Apostila de Lab de Fısica I, do prof. Haroldo N. Nagashima no link:
www.dfq.feis.unesp.br/docentes/haroldo/Apostila Lab Fisica I - Agosto 2011.pdf.
Nesta referencia tem uma discussao detalhada de numeros significativos, visto no inıcio do curso.
As edicoes podem variar, na biblioteca estao disponıveis varias versoes destes livros, mas nao existem
mudancas drasticas de uma edicao para outra.
Outros livros de mesmo nıvel
• ALONSO, M., FINN, E.J., Fısica, Sao Paulo, Addison Wesley Longman do Brasil Ltda, 1999, v.1,
936p.
• TIPLER, P.A. Fısica. 3a Ed., Livros Tecnicos e Cientıficos Editora S/A, 1995, v. 1
• CHAVES, A., Fısica Basica, Livros Tecnicos e Cientıficos Editora S/A, 2007, v. 1
• YOUNG,H.D., FREEDMAN, R.A. Sears-Zemansky. Fısica. 10a Edicao, Addison Wesley, 2001.
Vol. 1 e 2
livros de nıvel intermediario
• KITTEL, C.; KNIGTH, W.D. e RUDERMAN, M.A. Mecanica: Curso de Fısica de Berkeley. Sao
Paulo, Editora Edgard Blucher Ltda., 1973. v.1.
• FEYNMAN R, LEIGHTON R, and SANDS, M. The Feynman Lectures on Physics, 1964, 1966,
v.1, Addison Wesley Longman.
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As referencias The Feynman Lectures on Physics e Mecanica: Curso de Fısica de Berkeley sao particu-
larmente interessantes. As leituras destes livros em paralelo podem ajudar no entendimento do conteudo
exposto em sala de aula.
livros de nıvel “avancado”
Os livros a seguir NAO SERAO USADOS neste curso, mas sao recomendados para aqueles que
desejam se aventurar em alguma coisa mais avancada!
• THORNTON, S. T., MARION, J. B., Classical dynamics of particles and systems, 2004, Bro-
oks/Cole.
• ARYA, A. P., Introduction to Classical Mechanics, Prentice Hall, 1998
• BEER, F. P., JOHNSTON Jr. , RUSSELL E., EISENBERG E. R., CLAUSEN W. E. , STAAB G.
H. Vector Mechanics for Engineers, Statics and Dynamics, McGraw-Hill, 2003.
Referencias Multimıdia
Cursos de fısica basica
Fundamentals of Physics-I with Professor Ramamurti Shankar
Para quem arranha no ingles, existem alguns cursos completos em vıdeo de fısica basica. O curso do
prof. Ramamurti Shankar de Universidade de Yale e altamente recomendavel. No link abaixo, e possıvel
fazer o download do curso completo gratuitamente:
http://oyc.yale.edu/physics/fundamentals-of-physics
Os vıdeos apresentam uma transcricao em ingles do que e dito na aula o que pode ajudar no enten-
dimento do conteudo.
MIT OpenCourseWare
Varios dos cursos oferecidos pelo MIT na area de fısica estao disponıveis em vıdeo. E interessante dar
uma olhada na pagina
http://ocw.mit.edu/courses/physics/
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Cursos avancados
Para alguem que tenha interesse em material extra-classe e mais avancado, recomendo os cursos do Prof.
Leonard Susskind de Stanford no link: http://www.youtube.com/watch?v=pyX8kQ-JzHI
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Capıtulo 1
Conceitos e Definicoes
1.1 O Sistema Internacional de Unidades
A fısica esta fundamentada em medidas. Desta forma, ao longo do tempo a metodologia e a padro-
nizacao das grandezas fısicas tem sido aprimorada. O sistema internacional de unidades (SI) escolheu
sete grandezas fundamentais a partir das quais outras grandezas derivadas podem ser definidas. No curso
de Fısica I, tres grandezas serao importantes: o tempo, o comprimento e a massa. Na tabela abaixo estas
grandezas e as respectivas unidades sao mostradas:
Grandeza Nome da Unidade Sımbolo da unidade
Comprimento metro m
Tempo segundo s
Massa quilograma kg
A partir das unidades da tabela podemos definir outras. Por exemplo, a unidade SI de potencia,
chamada de watt (sımbolo: W), e definida da seguinte forma
1 watt = 1 W = 1 kg× m2
s3
onde o ultimo conjunto de sımbolos de unidades e lido como quilograma metro quadrado por segundo ao
cubo.
1.2 Notacao Cientıfica & Ordem de grandeza
Ordem de grandeza e a potencia de 10 com expoente inteiro que mais se aproxima do valor medido de uma
determinada grandeza a ser analisada. Qualquer que seja o numero (q) que corresponde a essa medida em
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modulo, esta compreendida entre duas potencias de 10, inteiras e consecutivas, ou seja, 10n ≤ |q| ≤ 10n+1
Para obter a ordem de grandeza de um numero, devemos inicialmente coloca-la em notacao cientıfica
(por ex: q = a× 10n), com o numero “a” obedecendo a relacao 1 ≤ a ≤ 10. Nesta notacao,
3.560.000.000 m = 3, 56× 109 m
0, 000 000 492 s = 4, 92× 10−7 s.
A notacao cientıfica em computadores e usada de maneira mais abreviada como por exemplo, 3, 56E9
e 4, 92E− 7, onde E representa o “expoente de dez”. Em algumas calculadoras a notacao e mais concisa
substituindo-se o E por um espaco em branco.
A decisao de usar 10n ou 10n+1 (ordem de grandeza n ou n+ 1) e feita comparando-se o modulo de
“a”com o valor 101/2 ≈ 3, 16, uma vez que a variacao do expoente e igual a unidade. Assim temos:
1. Se |a| < 3, 16 a ordem de grandeza e 10n,
2. Se |a| > 3, 16 a ordem de grandeza e 10n+1
O numero 2, 7 × 106 possui portanto ordem de grandeza 106 e o numero 5, 9 × 106 possui ordem de
grandeza igual a 106+1 = 107.
Tambem sao utilizados prefixos para denotar as potencias de 10. Isto e muito util quando lidamos
com numeros muito grandes ou muito pequenos.
Fator Prefixo Sımbolo
109 giga- G
106 mega- M
103 quilo- k
10−2 centi- c
10−3 mili m
10−6 micro µ
10−9 nano n
10−12 pico p
Estes sao os prefixos mais comumente usados. Acrescentando um prefixo a uma unidade no SI produz
o efeito de multiplica-la pelo fator associado. Assim, podemos escrever uma dada potencia eletrica como
1, 27× 109 watts = 1, 27 gigawatts = 1, 27 GW
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ou um intervalo de tempo particular como
2, 35× 10−9 s = 2, 35 nanosegundos = 2, 35 ns
Alguns prefixos, como os usados em mililitro, centımetro, quilograma e megabyte, sao certamente
familiares ao leito de lıngua portuguesa.
1.2.1 Algarismos Significativos
Suponha que uma pessoa ao fazer uma serie de medidas do comprimento de uma barra (l), tenha obtido
os seguintes resultados:
1. comprimento medio: l = 92,8360 cm.
2. erro estimado: ∆l = 0,312 cm.
Supondo que o erro da medida esta na casa dos decimos de cm, nao faz sentido fornecer os algarismos
correspondentes dos centesimos ou milesimos de cm e assim por diante. Isso quer dizer que o erro estimado
em uma medida deve conter apenas o seu algarismo mais significativo. Os algarismos menos significativos
do erro sao utilizados apenas para efetuar arredondamentos ou simplesmente sao desprezados. Neste caso,
∆l deve ser representado apenas por:
∆l = 0, 3 cm
Os algarismos 9 e 2 do valor medio sao exatos, porem o algarismo 8 ja e duvidoso, pois o erro estimado
afeta a casa que lhe corresponde. Deste modo, os algarismos 3 e 6 sao desprovidos de significado fısico e
nao e correto escreve-los. Estes algarismos sao utilizados para efetuar arredondamentos ou simplesmente
sao desprezados. Sendo assim, o modo correto de expressar o resultado desta medida sera entao:
l = (92, 8± 0, 3) cm
Nos casos em que o erro da medida nao e estimado devemos tambem escrever o algarismo significativo
com criterio. Em problemas de engenharia, os dados raramente sao conhecidos com uma precisao superior
a 2%. Portanto e desnecessario realizar calculos com precisao superior a 2%.
Em resumo: algarismos significativos sao todos os algarismos corretos de um numero mais o primeiro
duvidoso. Exemplos:
• 0,00007 tem 1 algarismo significativo.
7
• 0,0080 tem 2 algarismos significativos.
• 23,00 tem 4 algarismos significativos.
• 3,2×105 tem 2 algarismos significativos.
1.3 Apresentacao de grandezas fısicas
Um grandeza fısica pode ser representada como X = x±∆x, onde x e o valor medio da grandeza e ∆x o
seu desvio. O desvio deve ser escrito com um unico algarismo significativo e o valor medio da grandeza
deve ter a mesma precisao do desvio.
Vejamos um exemplo: Se apos uma serie de medidas o valor da area de uma chapa metalica for
apresentada como A = (42, 2921 ± 0, 03875) m2 todos os algarismos devem ser considerados para efeito
de calculo. No entanto, para apresentacao final a grandeza deve ser reescrita. No exemplo apresentado o
desvio afeta a segunda casa decimal do valor medio da area, desta forma, os outros algarismos posteriores
perdem o significado, i.e., nao sao significativos e devem ser desprezados. Assim, escreve-se o resultado
final da seguinte maneira:
A = (42, 29± 0, 04) m2
ou em notacao cientıfica, como
A = (4, 229± 0, 004)× 10 m2
O desvio foi obtido a partir da regra do arredondamento e o valor medio da grandeza foi reescrito
com a precisao do desvio.
A tabela abaixo mostra a forma errada e a forma correta de se apresentar medidas de algumas
grandezas fısicas.
Grandeza Fısica Errada Correta
Comprimento (3,4563 ± 0,0037) m (3,456 ± 0,004) m
Area (54,3524 ± 1,884) m2 (5,4 ± 0,2)×10 m2
Volume (346,43 ± 13,2) m3 (3,5 ± 0,1)×102 m3
Intervalo de tempo (345765,31546 ±205, 440) s (3,458 ±0, 002)×105 s
Carga Eletrica (0,03464±0,000489) C (3,46 ± 0,05)×10−2 C
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1.4 Mudancas de Unidades
Frequentemente precisamos trocar de unidades nas quais esta expressa a grandeza fısica. Fazemos a
mudanca por um metodo chamado de conversao encadeada. Neste metodo, multiplicamos a medida
original por um fator de conversao. Por exemplo, pelo fato de 1 min e 60 s serem intervalos de tempo
identicos, temos
1 min
60 s= 1 e
60 s
1 min= 1
de modo que as razoes1 min
60 se
60 s
1 min= 1 podem ser usadas como fatores de conversao. Isto nao e a
mesma coisa que escrever 1/60 ou 60 = 1; cada numero e sua unidade devem ser tratados em conjunto.
Como nenhuma grandeza se altera ao ser multiplicada pela unidade, podemos introduzir tais fatores
onde quer que os achemos uteis. Neste metodo usamos os fatores para eliminar as unidades que nao nos
interessam, por exemplo:
2 min = 2× (1) min = 2×(
60 s
1 min
)× 1 min = 120 s
Exemplos
1. (a) Supondo que cada centımetro cubico de agua possui uma massa de exatamente 1 g, determine
a massa de um metro cubico de agua em quilogramas. (b) Suponha que demore 10,0 h para esvaziar
um recipiente de 5700 m3 de agua. Qual a “taxa de escoamento de massa” da agua do recipiente em
quilogramas por segundo?
(a)
1 m3 = (102)3 cm3 = 106 cm3
mas cada centımetro cubico tem exatamente 1 g, assim, a massa de um metro cubico e dada por,
m1m3 = 106 ×m1cm3 = 106 × 1 g = 106 g = 103 kg
(b)
A taxa de escoamento e obtida simplesmente dividindo-se o volume do recipiente pelo tempo que leva
para esvazia-lo:
taxa =massa contida em 5700 m3
10 h=
5700× 103 kg
10× 1 h× 60min
1 h× 60 s
1 min
= 158 kg
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2. (a) O ferro possui uma massa de 7,87 g por centımetro cubico de volume, e a massa do ferro
e 9,27×10−26 kg. Se os atomos sao esfericos e firmemente dispostos uns contra os outros. (a) qual o
volume de um atomo de ferro e (b) qual a distancia entre os centros de atomos adjacentes.
(a)
Em um centımetro cubico temos uma massa de 7,87 g. Assim, se dividimos esta massa pela massa
de cada atomo, entao sabemos quantos atomos estao contidos em 1 cm 3 de ferro, ou seja,
no de atomos =7, 87× 10−3 kg
9, 27× 10−26 kg= 8, 49× 1022 atomos
Se dividimos o centımetro cubico pelo numero de atomos entao descobrimos quanto volume cada atomo
ocupa. Isto e possıvel porque e assumido que os atomos sao esferas que distribuıdas uniformemente sobre
o volume, assim, segue que:
Vol. por atomo =1× 10−6 m3
8, 49× 1022 atomos= 1, 18× 10−29 m3
(b)
A distancia entre os centros de duas esferas em contato e simplesmente igual ao diametro de uma
das esferas. Assim, basta calcular o diametro de uma esfera de volume igual a 1, 18 × 10−29 m3, assim,
usamos,
distancia entre os centros dos atomos =3
√6× 1, 18× 10−29 m3
π= 0, 282 nm
3. Uma unidade astronomica (UA) e a distancia media do Sol a Terra, aproximadamente 1, 5 ×
108 km. A velocidade da luz e aproximadamente 3, 0 × 108 m/s. Expressa a velocidade da luz em
unidades astronomicas por minuto.
3, 0× 108m
s= 3, 0× 108
m
s
1 UA
1, 5× 1011 m
60 s
1 min= 0, 12 UA/min
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Capıtulo 2
Movimento Unidimensional
A mecanica e o ramo da fısica em que se estuda o movimento dos corpos. Comecamos o estudo da
Mecanica considerando o movimento mais simples possıvel: movimento em uma dimensao ou ao longo
de uma linha reta. Alem disso, por ora nao estaremos preocupados com a causa do movimento, mas
apenas com a sua descricao. Assim, estaremos focados na cinematica do movimento como e chamado o
conjunto de conceitos que intervem na descricao do movimento. Mais tarde vamos considerar que tipo de
movimento e causado por um determinado tipo de forca, o que e chamado de dinamica do movimento.
Alem de considerar que o movimento esta restrito em uma linha reta1, tambem consideramos que o
objeto em movimento e uma partıcula (termo usado para dizer o objeto e um pontual, como um eletron)
ou que se move como uma partıcula de forma que todas as partes do objeto se movem na mesma direcao
e ao mesmo tempo. Os objetos que tem esta propriedade sao chamados de corpos rıgidos.
Para descrever o movimento, precisamos primeiramente de um sistema de referencia, i.e., um sis-
tema de eixos que permita localizar a partıcula no espaco. Tambem e necessario saber o quao rapida
esta partıcula esta se deslocando e ainda se esta “rapidez” varia no tempo. Em fısica, todas essas ca-
racterısticas do movimento, que sao intuitivas para nos, sao definidas de maneira formal. Isto permite
caracterizar o movimento e obter equacoes que permitam prever como um corpo ira se mover a partir
do conhecimento previo de alguns parametros. A seguir, vamos definir as quantidades necessarias para
descrever o movimento unidimensional.
1o movimento pode ser vertical como uma pedra caindo, ou horizontal como um carro em uma rodovia, ou inclinado,
mas o importante e que seja em linha reta.
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2.1 Posicao e Deslocamento
Localizar uma partıcula se movendo em uma dimensao significa determinar a posicao desta partıcula
em relacao a algum ponto de referencia. Este ponto normalmente e escolhido como o zero de uma reta
orientada (eixo), chamada referencial ou sistema de referencia. O zero e chamado de “origem” do sistema
de referencia. Como ilustrado na figura 2.1, se a partıcula esta localizada a esquerda da origem, sua
posicao no sistema de referencia e negativa; caso a partıcula se encontre a direita da origem entao sua
posicao e positiva. Assim, se a posicao da partıcula e x = 3 m, entao sabemos que a partıcula se encontra
a direita de zero na posicao x = +3 m. Caso a posicao da partıcula seja −1 m, entao sabemos que
a partıcula esta localizada a esquerda de zero na posicao x = −1 m. O sinal positivo nao precisa ser
explicitado e quando encontramos um numero sem sinal, fica subentendido que a posicao e positiva, ou
seja, a direita de zero. No entanto, o sinal de menos deve ser sempre mostrado.
Uma mudanca de uma posicao qualquer x1 para outra posicao x2 e chamada de deslocamento ∆x:
∆x = x2 − x1. (2.1)
Usamos o sımbolo ∆ para denotar variacao de uma grandeza, neste caso a variacao e na posicao. Note
que o deslocamento e definido como a posicao final menos a inicial. Assim, um deslocamento positivo
implica um movimento no sentido positivo do eixo x. Por exemplo, imagine que a posicao inicial da
partıcula seja x1 = −2 m e a posicao final seja x = +3 m. Assim, ∆x = +3 m−(−2 m) = +5 m. Ou seja, a
partıcula se deslocou 5 m no sentido positivo do eixo x. Agora considere que a partıcula estava inicialmente
em x1 = −2 m e deslocou-se para x2 = −10 m. O deslocamento sera entao ∆x = −10 m−(−2 m) = −8 m.
O deslocamento neste caso e no sentido negativo do eixo x, a partıcula estava inicialmente no lado negativo
da origem e se moveu para uma posicao mais distante do lado negativo do eixo.
Da mesma forma que no caso da posicao, e crucial explicitar o sinal negativo do deslocamento e a
ausencia de sinal e interpretada como sendo um sinal positivo. O deslocamento e uma quantidade vetorial,
e portanto, para caracteriza-la e necessario fornecer seu modulo, direcao e sentido. No caso presente,
a direcao ja esta implıcita quando dizemos que o movimento e horizontal ou vertical, etc. O sentido e
determinado pelo sinal da quantidade, ou seja, se o sinal e positivo entao temos um deslocamento da
esquerda para a direita (no caso da figura 2.1) e o sentido inverso para o sinal negativo. No estudo
do movimento em 2 e 3 dimensoes o carater vetorial vai ficar mais claro do que no caso presente. O
modulo do deslocamento indica a distancia percorrida entre as posicoes final e inicial. Assim, no primeiro
exemplo, apesar da posicao inicial ser x1 = −2 m e a posicao final seja x = +3 m a distancia percorrida
foi de 5 m embora a partıcula tenha ficado na posicao +3 m.
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direção positiva
direção negativa
Origem
Figura 2.1: A posicao e determinada em um eixo que e marcado em unidades de comprimento (neste caso metros)
e que se estende indefinidamente em ambas as direcoes. O lado direito corresponde a valores positivos de x e o
lado esquerdo corresponde a valores negativos.
2.2 Velocidade Media e Velocidade Escalar Media
Uma vez que definimos a posicao e o deslocamento da partıcula, o proximo passo e considerar a variacao
destas quantidades com o tempo. De fato, o movimento e um fenomeno dinamico e, portanto, a descricao
do movimento consiste em determinar a funcao x(t), a posicao em funcao do tempo. O conhecimento
de x(t) nos permite determinar todas as propriedades cinematicas da partıcula. O grafico de x(t) e
particularmente interessante e ilustrativo. Na figura 2.2 temos dois graficos ilustrando duas situacoes: o
primeiro, mostrado na figura 2.2a, e uma linha reta horizontal que indica que a posicao x(t) e constante
para todos os valores do tempo. Portanto, esta e uma representacao de uma partıcula em repouso. No
segundo grafico, mostrado na figura 2.2b, temos um grafico onde x(t) varia desde −5 m, passando pela
origem em t = 3 s e finalmente atinge o valor 3 m em t = 5 s. Este grafico ilustra um movimento em
linha reta da posicao x(t) = −5 m para a x(t) = +3 m, veja figura 2.2c. Alem de ilustrar o deslocamento
da partıcula, podemos obter mais informacoes sobre o movimento da mesma usando o grafico x(t). Com
efeito, podemos determinar o quao rapido a partıcula se deslocou ao longo da trajetoria. Isso e feito
atraves da definicao da velocidade media, vmed, definida da seguinte forma,
vmed =∆x
∆t=
x2 − x1t2 − t1
(2.2)
que e a razao do deslocamento ∆x pelo tempo ∆t em que este deslocamento ocorreu. A velocidade
media tem unidades de metros por segundo (m/s) no sistema internacional, mas tambem e comum
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expressa-la em quilometros por hora (km/h) ou ainda em centımetros por segundo (cm/s). O significado
fısico da definicao e obvio: a velocidade e uma medida da “rapidez” com que um determinado corpo se
movimenta. A partir do grafico de x(t) podemos atribuir um significado geometrico para a velocidade
(a)
(c.)
(b)
Figura 2.2: (a) mostra um grafico de x(t) para uma partıcula em repouso. (b) caso em que x(t) mostra um objeto
em movimento na direcao x desde x = −5 m ate x = +3 m. (c) trajetoria real da partıcula.
media. Conforme ilustrado na figura 2.3, a velocidade media e o modulo do coeficiente angular da reta
que passa pelos pontos (x2, t2) e (x1, t1). Assim como o deslocamento e posicao, a velocidade media
possui modulo direcao e sentido, desde que e uma quantidade vetorial. Neste caso, valores positivos da
velocidade media, significam que a reta que liga os pontos e inclinada para cima a medida que a partıcula
se desloca para a direita. No caso de um sinal negativo, temos uma reta inclinada para baixo a medida
que a partıcula se desloca para a direita.
Outra maneira de quantificar a “rapidez” de um objeto e por meio da chamada velocidade escalar
media , definida como a razao da distancia total percorrida pelo corpo em movimento pelo tempo gasto
no percurso. Assim, escrevemos,
smed =dist. total percorrida
∆t. (2.3)
Como o proprio nome diz, smed e uma quantidade escalar e e dada apenas pelo modulo do deslocamento
total pelo tempo percorrido. Por esta razao, existem situacoes em que smed e vmed sao bem diferentes.
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v =inclinação desta linhaméd
Figura 2.3: Demonstracao da velocidade media como o coeficiente angular da reta que passa pelo par de pontos
(x2, t2) e (x1, t1).
Exemplo
Vamos considerar o exemplo resolvido no livro do Halliday para ilustrar o uso das definicoes acima.
1. Voce dirige uma picape mal-conservada numa estrada reta por 8,4 km a 70 km/h, quando a picape
para por falta de gasolina. Nos 30 min seguintes, voce caminha adiante por outros 2,0 km pela estrada
ate chegar a um posto de gasolina. (a) Qual o seu deslocamento total desde a saıda com a picape ate a
sua chegada ao posto de gasolina. (b) Qual o intervalo de tempo ∆t do inıcio da viagem ate a chegada
ao posto? (c) Qual a velocidade media vmed do inıcio da viagem ate a chegada no posto? Determine esta
velocidade tanto numerica quanto graficamente. (d) Suponha que para colocar gasolina, pagar e voltar
para a picape voce leve mais 45 min. Qual a velocidade escalar total do inıcio da viagem ate voce voltar
para a picape com gasolina?
(a)
Vamos considerar que estamos nos movendo na direcao positiva do eixo x a partir da origem, i.e.,
supomos que o ponto inicial x1 = 0 e ponto x2 e o posto de gasolina. Assim, considerando que com a
picape ocorreu um deslocamento de 8,4 km e, em seguida, um segundo deslocamento de 2,0 km, entao o
deslocamento total e dado por:
∆x = x2 − x1 = 8, 4 km + 2, 0 km− 0 = 10, 4 km
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(b)
O tempo do inıcio da viagem ate a chegada ao posto e composto por duas contribuicoes: a viagem
com a picape mais o tempo gasto a pe da picape ate o posto. O tempo gasto na viagem com a picape
pode ser facilmente determinado usando-se a definicao da velocidade media:
vmed =∆x
∆t
onde ∆x = 8, 4 m e vmed = 70 km/h. Assim, substituindo na definicao para a velocidade media, podemos
determinar o intervalo de tempo correspondente a viagem com a picape, que chamamos ∆t1:
∆t1 =∆x
vmed=
8, 4 km
70 km/h= 0, 12 h.
Considerando que o tempo da caminhada foi de ∆t2 = 30 min = 0, 5 h, podemos escrever o tempo
total gasto na viagem,
∆t = ∆t1 +∆t2 = 0, 12 h + 0, 5 h = 0, 62 h
(c)
A velocidade media desde o inıcio da viagem ate a chagada ao posto (viagem completa), e determi-
nada considerando-se que a posicao e tempo iniciais sao iguais a zero (escolhido como origem de nosso
referencial) e o tempo e posicoes finais sao 10,4 km e 0,62 h, calculado no item anterior, assim escrevemos:
vmed =10, 4 km
0, 62 h≈ 17 km/h
(d)
Neste caso, precisamos considerar que ocorreu um deslocamento adicional de 2 km em um tempo de
45 min que corresponde a 0,75 h. Assim, a velocidade escalar media e dada pela soma do trajeto total
pelo tempo total assim, escrevemos:
smed =8, 4 km + 2, 0 km + 2, 0 km
0, 12 h + 0, 5 h + 0, 75 h= 9, 1 km/h
2.3 Velocidade Instantanea e Velocidade Escalar
Ate agora descrevemos a velocidade media de uma partıcula, no entanto, muitas vezes se faz necessario
determinar a velocidade em um determinado instante de tempo, da mesma maneira que determinamos a
posicao de uma partıcula em um ponto. Isto e possıvel, tomando-se a velocidade media em instantes de
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tempo cada vez mais curtos de maneira que no limite em que o intervalo de tempo tende a zero, temos
a velocidade no instante de tempo t. Assim, tomando-se a Eq. (2.2) no limite de ∆t → 0, obtemos:
v(t) = lim∆t→0
vmed = lim∆t→0
∆x
∆t=
dx
dt
ou seja,
v(t) =dx
dt(2.4)
que e a derivada da funcao x(t) em relacao ao tempo. Assim, em um grafico da posicao em funcao do
tempo, a velocidade em certo instante de tempo e determinada tomando-se uma reta tangente a curva
x(t) no instante considerado. Este e o processo limite obtido geometricamente a partir da velocidade
media tomando-se os pares (x2, t2) e (x1, t1) cada vez mais proximos.
A exemplo do que ocorre com a velocidade media, podemos definir aqui uma velocidade escalar
que e simplesmente o modulo da velocidade instantanea. Esta velocidade apenas nos retorna o modulo
da velocidade sem qualquer mencao a direcao e sentido do movimento. Esta quantidade e encontrada
nos velocımetros dos carros e nos informa sempre a magnitude da velocidade independente se estamos
andando para a frente ou de marcha-a-re.
2.4 Aceleracao
Ate o momento consideramos como a posicao da partıcula depende do tempo e a velocidade que permite
descrever a “rapidez” com que a partıcula se desloca. Neste caso, podemos trabalhar com valores medios,
ou ainda com o valor instantaneo da velocidade tomando-se um limite infinitesimal do intervalo de tempo
em que ocorre o deslocamento. A proxima questao seria perguntar como a propria velocidade varia em
um determinado intervalo de tempo. Quando isso ocorre, dizemos que a partıcula esta acelerada (ou sofre
aceleracao). Para o caso simples, unidimensional que consideramos aqui, a aceleracao media e definida
por,
amed =v2 − v1t2 − t1
=∆v
∆t(2.5)
onde a partıcula tem a sua velocidade alterada de v1 no instante t1 para v2 no instante t2.
Da mesma forma que no caso da velocidade, a aceleracao num dado instante de tempo e determinada
aplicando-se o limite ∆t → 0 na Eq. (2.5), ou seja,
a = lim∆t→0
∆v
∆t
17
ou seja,
a =dv
dt(2.6)
que e simplesmente a derivada temporal da velocidade. Assim, se substituirmos a Eq. (2.4) em (2.6),
podemos escrever ainda,
a =d2x
dt2. (2.7)
Assim, a aceleracao e obtida atraves da segunda derivada da posicao em relacao ao tempo. A
unidade usual da aceleracao e o metro por segundo ao quadrado (m/s2). Existem outras unidades em que
podemos expressar a aceleracao, mas sempre sera na forma comprimento por tempo ao quadrado. Alem
disso, a aceleracao e uma grandeza vetorial de modo que e caracterizada por um modulo, direcao e sentido.
A direcao e determinada pelo eixo sobre o qual se desenvolve o movimento e o sentido e determinado pelo
sinal algebrico da mesma forma que no caso da velocidade e deslocamento, ou seja, a aceleracao com um
valor positivo esta na direcao positiva do eixo e um valor negativo esta apontando no sentido negativo do
eixo. Com o objetivo de ilustrar a relacao entre a posicao, velocidade e aceleracao, na figura 2.4 os graficos
da posicao, velocidade e aceleracao sao mostrados para um elevador que esta inicialmente em repouso
e entao descreve um movimento de subida ate parar. A curva da posicao x(t) exibe uma curvatura
inicial no intervalo de 0s a 3s, seguida por um comportamento linear entre 3s e 8s e finalmente exibe um
curvatura contraria de 8s a 9s tornando-se constante novamente em 10s. Considerando que a curvatura
e quadratica, entao a velocidade instantanea, mostrada no grafico de v(t) pode ser estimada usando-se
a definicao da derivada da posicao. No intervalo em que o movimento comeca e termina (0-3s e 8-9s)
a velocidade e linear, pois corresponde a derivada de uma funcao quadratica. No entanto, a inclinacao
da reta deve ser oposta desde que a curvatura no inıcio do intervalo e positiva e no final, negativa. Na
regiao linear de x(t), a velocidade deve exibir um valor constante desde que estamos considerando aqui
a derivada de uma funcao linear. Dada a curva da velocidade, podemos estimar a curva da aceleracao
fazendo mentalmente a derivada da velocidade em funcao do tempo. De fato, a aceleracao e diferente
de zero somente nos intervalos (0-3s e 8-9s) onde a velocidade exibe um comportamento linear. Nas
demais regioes a velocidade e constante e nao temos aceleracao. Alem disso, notamos que o elevador esta
acelerando no inıcio do movimento, portanto, a > 0 e no final do movimento o elevador comeca a frear
ate parar e, com isso, a < 0.
18
Posi
ção (
m)
Vel
oci
dad
e (m
/s)
Ace
lera
ção (
m/s
)2
Tempo (s)
Tempo (s)
Tempo (s)
Inclinaçãode x(t)
Inclinaçãode v(t)
(a)
(b)
(c )|
Figura 2.4: (a) grafico da posicao em funcao do tempo para um elevador que parte do repouso e se move para
cima ate parar. (b) velocidade do elevador. (c) aceleracao.
19
2.5 Movimento com aceleracao constante
Ate o momento definimos algumas grandezas fısicas que nos permite descrever o movimento de um corpo
rıgido que se comporta como uma partıcula movendo-se em 1 dimensao. O proximo passo e relacionar
estas quantidades de maneira a prever o movimento que a partıcula ou corpo ira exibir a partir de alguns
valores iniciais de velocidade e posicao. Em outras palavras, pretendemos determinar a funcao x(t) que
nos fornece a posicao da partıcula para todos os instantes de tempo. A partir desta funcao, conseguimos
determinar todas as quantidades que caracterizam o movimento como a velocidade e aceleracao.
Os movimentos dos corpos podem ser muito complicados desde que a aceleracao e velocidade em
princıpio podem assumir qualquer dependencia com o tempo. No entanto, um caso particular e de
grande interesse: os movimentos em que a aceleracao dos corpos e constante no tempo. O principal
exemplo deste tipo de movimento e a queda livre dos corpos na superfıcie da Terra, onde os corpos
que estao a uma certa altura em relacao ao chao experimentam a aceleracao da gravidade que pode ser
aproximada para um valor constante e igual2 a: g = −9, 8 m/s2. Assim, dada a relevancia deste caso,
vamos estuda-lo em detalhes nesta secao.
2.5.1 Equacoes para aceleracao constante
Para determinar o movimento com aceleracao constante, partimos da definicao da aceleracao como a
derivada temporal da velocidade:
a =dv
dt
que pode ser reescrita na forma,
dv = a dt
e integrando em ambos os lados em relacao ao tempo, segue que:∫dv =
∫a dt,
e desde que estamos supondo que a e constante podemos escrever:
v + C1 = at+ C2
2denotamos a aceleracao da gravidade pelo sımbolo g, reservando o a para aceleracoes gerais que nao sao devido a forca
gravitacional
20
ou ainda,
v = at+ C (2.8)
onde agrupamos as duas constantes de integracao na forma: C = C2 − C1. Para determinar o valor da
constante C, basta utilizar uma condicao inicial. Neste caso, supomos que no tempo t = t0 a velocidade
da partıcula e v0, assim, temos que,
v0 = at0 + C
o que nos permite obter,
C = v0 − at0
e substituindo na Eq. (2.8), obtemos a primeira equacao para o movimento com aceleracao constante:
v(t) = v0 + a(t− t0) (2.9)
onde explicitamos que v = v(t), ou seja, a velocidade e uma funcao do tempo. Vemos entao que a
velocidade e linear com o tempo no caso em que a e constante.
Uma vez que conhecemos v(t), podemos determinar a variacao da posicao com o tempo. Para isso,
usamos a definicao da velocidade:
v =dx
dt
ou ainda,
dx = v dt
e integrando em relacao ao tempo, segue que∫dx =
∫v dt.
A integral no primeiro membro e direta, ou seja x + K1, com K1 sendo a constante de integracao.
Assim, temos
x+K1 =
∫v dt.
Para determinar a segunda integral, precisamos saber como a velocidade varia com o tempo. Isso e
determinado pela Eq. (2.9), assim, substituindo na integracao, obtemos:
x+K1 =
∫[v0 + a(t− t0)] dt
21
e lembrando que v0, a e t0 sao constantes, podemos escrever
x+K1 = v0
∫dt+ a
∫t dt− at0
∫dt
e resolvendo as integracoes escrevemos
x+K1 = v0t+K2 +at2
2+K3 − at0t+K4
onde K1,K2,K3 e K4 sao constantes de integracao. Escrevemos ainda,
x+K1 = v0t+a
2
(t2 − 2t0t
)+K2 +K3 +K4
e completando o quadrado no parenteses, podemos obtemos
x = v0t+a
2
(t2 − 2t0t+ t20
)− at20
2−K1 +K2 +K3 +K4
e desde queat202
e tambem uma constante arbitraria, desde que t0 e arbitrario, podemos agrupar este termo
junto com as demais constantes de integracao. Alem disso, podemos escrever o termo entre parenteses
na forma (t− t0)2, assim segue que
x = v0t+a
2(t− t0)
2 +K (2.10)
onde, K = −at202
−K1 +K2 +K3 +K4.
Resta agora determinar a constante K na Eq. (2.10). Para isso, consideremos que no tempo t = t0 a
partıcula encontra-se na posicao x = x0, assim, obtemos,
x0 = v0t0 +a
2(t0 − t0)
2 +K
o que leva a,
K = x0 − v0t0
e substituindo este valor de volta na Eq. (2.10), podemos escrever
x(t) = x0 + v0(t− t0) +a
2(t− t0)
2 (2.11)
onde deixamos explıcita a dependencia temporal da posicao com o tempo x = x(t).
Existem situacoes em que se faz necessario trabalhar com apenas velocidade e posicao da partıcula
em movimento. Podemos obter uma equacao relacionando estas quantidades diretamente por meio da
regra da cadeia do calculo. Para isso, escrevemos a definicao da aceleracao na forma:
a =dv
dt=
dv
dx
dx
dt
22
e identificando o segundo fator com a definicao de velocidade podemos escrever,
a = vdv
dx
o que pode ser colocado na forma:
v dv = a dx
e integrando esta equacao em ambos os lados, obtemos:∫v dv =
∫a dx
As integrais sao diretas desde que consideramos que a aceleracao e constante tambem em relacao a
posicao, logo
v2
2+ L1 = ax+ L2
e agrupando as constantes de integracao na forma L = L2 − L1, podemos escrever ainda,
v2
2= ax+ L
E para determinar a constante L, consideramos que para uma dada posicao inicial x = x0 a partıcula
tenha uma velocidade v = v0, assim, obtemos:
v202
= ax0 + L
e isolando L, temos
L =v202
− ax0
e substituindo novamente na equacao para v, obtemos:
v2
2= ax+
v202
− ax0
o que pode ser escrito na forma
v2 = v20 + 2a(x− x0) (2.12)
que e a relacao procurada envolvendo apenas posicoes e velocidades.
As Eqs. (2.9), (2.11) e (2.12) permitem determinar o movimento de uma partıcula com aceleracao
constante. Podemos aplica-las para varios tipos de movimento, conforme ficara claro nos exemplos
23
seguintes. No entanto, e interessante combinar estas equacoes com o objetivo de determinar algumas
propriedades interessantes decorrente da aceleracao constante. Para isso, considere novamente a Eq.
(2.12),
v2 = v20 + 2a(x− x0)
que pode ser escrita na forma
v2 − v20 = 2a(x− x0)
(v − v0)(v + v0) = 2a(x− x0) (2.13)
mas a diferenca v − v0, pode ser escrita em termos da aceleracao usando a Eq. (2.9):
v − v0 = a(t− t0)
e substituindo na Eq. (2.13), obtemos
a(t− t0)(v + v0) = 2a(x− x0)
e eliminando a aceleracao, podemos escrever:
x− x0t− t0
=1
2(v + v0) (2.14)
e identificando o primeiro membro com a velocidade media, podemos escrever ainda
vmed =1
2(v + v0). (2.15)
E vemos que no movimento com aceleracao constante, a velocidade media pode ser obtida a partir
de uma media aritmetica entre dois valores de velocidade. Isto e uma consequencia do movimento ser
com aceleracao constante e nao pode ser generalizado para casos em que a aceleracao tenha outros
comportamentos.
Podemos obter uma segunda equacao, combinando as Eqs. (2.9) e (2.11). Para isso primeiramente
multiplicamos a Eq. (2.9) pela diferenca de tempo t− t0:
v(t− t0) = v0(t− t0) + a(t− t0)2 (2.16)
Retomando a Eq. (2.11), temos:
x− x0 = v0(t− t0) +1
2(t− t0)
2 (2.17)
24
No da Eq. Equacoes Parametro ausente
(2.9) v(t) = v0 + a(t− t0) x− x0
(2.11) x(t) = x0 + v0(t− t0) +a
2(t− t0)
2 v
(2.12) v2 = v20 + 2a(x− x0) t
(2.14) x− x0 =1
2(v + v0)(t− t0) a
(2.18) x− x0 = v(t− t0)−1
2(t− t0)
2 v0
Tabela 2.1: Equacoes para o movimento com aceleracao constante.
Agora subtraımos a Eq. (2.16) da (2.17), obtendo-se:
x− x0 − v(t− t0) = −1
2(t− t0)
2
o que pode ser colocado na forma final:
x− x0 = v(t− t0)−1
2(t− t0)
2 (2.18)
que tem a vantagem de nao fazer referencia a velocidade no tempo inicial. Esta e a ultima equacao
deduzida para o caso da aceleracao constante. Com este conjunto de equacoes podemos investigar varias
situacoes envolvendo problemas com aceleracao constante. Na tabela abaixo fazemos um resumo das
principais expressoes obtidas.
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