MATEMATICAMATEMATICAUNIDAD : RAZONES Y PROPORCIONESUNIDAD : RAZONES Y PROPORCIONES

ContenidoContenidos:s: Razón y proporción. Razón y proporción. Calculo del término desconocido de una proporción. Calculo del término desconocido de una proporción. Magnitudes directamente proporcionales. Magnitudes directamente proporcionales. Magnitudes inversamente proporcionales Magnitudes inversamente proporcionales Problemas referentes a porcentajes, usando proporciones precio de Problemas referentes a porcentajes, usando proporciones precio de

compra, precio de venta. compra, precio de venta. Problemas prácticos de interés simpleProblemas prácticos de interés simple

RAZONRAZONEs la relación que se establece entre dos cantidades de la misma especie, considerando, al compararlas, qué múltiplo, parte o partes, es una cantidad de la otra.

La razón de A a B se expresa usualmente como A : B o A B y se lee como A es a B. Las cantidades A y B se llaman términos de la razón. Al primer termino se le llama antecedente y al segundo consecuente.

Para encontrar qué múltiplo o parte es A de B, dividimos A por B; por consiguiente, la razón A : B puede ser medida por la fracción A/B, notación que es más conveniente usar en la mayoría de los casos.

Para que dos cantidades se puedan comparar deben estar expresadas en la misma unidad. Así la razón de 2 m a 15 dm, se mide por la fracción 2x10 /15; o sea, 4/3.

PROPORCIONUna proporción es una igualdad entre dos razones. Se escribe de la forma:

Partiendo de la regla anterior en el caso de alguno de los términos de la proporción no se tengan, se aplica la regla para obtenerlos. Para comprobar si una proporción es verdadera se aplica producto Para comprobar si una proporción es verdadera se aplica producto

cruzadocruzado

Ejemplo:Ejemplo:33 = = 1212 3 x 16 = 4 x 12 3 x 16 = 4 x 124 164 16 48 = 48 48 = 48La proporción sí es verdaderaLa proporción sí es verdadera

PROPORCION DIRECTAPROPORCION DIRECTA

Dos variables x e y son directamente Dos variables x e y son directamente proporcionales si su razón x/y es constante. proporcionales si su razón x/y es constante. En este caso se dice que las variables x e y En este caso se dice que las variables x e y son directamente proporcionales.son directamente proporcionales.

Dicho de otra manera si una de las variables Dicho de otra manera si una de las variables aumenta (x), la otra también aumenta (y); y si aumenta (x), la otra también aumenta (y); y si una de las variables disminuye (x), la otra una de las variables disminuye (x), la otra también disminuye (y). también disminuye (y).

1 2 3 4 6Nº MANZANAS (N)Nº MANZANAS (N)

PRECIO (P)PRECIO (P)

500 1 000 1 500 2 000 3 000

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

P

N=

500

1=

1 000

2=

1 500

3=

2 000

4=

3 000

6= 500 = k

P

N= k P = k N

Dos magnitudes son directamente proporcionales, si están ligadas por un

cociente constante.

Regla de tres simple directaRegla de tres simple directaDadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud calculamos el valor proporcional de la segunda magnitud una magnitud calculamos el valor proporcional de la segunda magnitud

Regla de tres simple directaRegla de tres simple directa

EJEMPLOEJEMPLO

Ejemplo Ejemplo

En una receta se incluyen En una receta se incluyen tres huevos por cada 12 tres huevos por cada 12 personaspersonas. . ¿Cuántos ¿Cuántos huevos se necesitarán si huevos se necesitarán si se desea preparar la se desea preparar la receta para 20 personas?receta para 20 personas?

Proporción: Proporción: 1212 = = 33

20 X20 X

X = X = 20 x 320 x 3

1212

X = 5X = 5

Por lo tanto, una Por lo tanto, una receta para 20 receta para 20 personas necesita 5 personas necesita 5 huevoshuevos

huevos

personas

ALGUNOS EJERCICIOS ALGUNOS EJERCICIOS PARA PRACTICARPARA PRACTICAR

Tres metros de género valen $ 800. Tres metros de género valen $ 800. ¿Cuánto valen ocho metros del mismo ¿Cuánto valen ocho metros del mismo género?género?

Una moto recorre 120 metros en 4 Una moto recorre 120 metros en 4 segundos. ¿Qué distancia recorre en segundos. ¿Qué distancia recorre en 52 segundos, si mantiene su rapidez 52 segundos, si mantiene su rapidez constante?constante?

Seis operarios cavan en 1 día una zanja Seis operarios cavan en 1 día una zanja de 80 metros de longitud. ¿Cuántos de 80 metros de longitud. ¿Cuántos metros cavarán, en un día, 42 operarios metros cavarán, en un día, 42 operarios trabajando las mismas condiciones?trabajando las mismas condiciones?

Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. Teresa trabajó 3 horas y ganó $ 8.100. A esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará A esa razón, ¿cuánto tiempo le tomará ganar $ 27.000?ganar $ 27.000?

ALGUNOS EJERCICIOS ALGUNOS EJERCICIOS PARA PRACTICARPARA PRACTICAR

PROPORCION INVERSAPROPORCION INVERSA

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si:Dos magnitudes son inversamente proporcionales si: Al aumentar una de ellas en una cierta cantidad de Al aumentar una de ellas en una cierta cantidad de

veces, la otra disminuye en la misma proporciónveces, la otra disminuye en la misma proporción Al disminuir una de ellas una cierta cantidad de Al disminuir una de ellas una cierta cantidad de

veces, la otra aumenta en la misma proporciónveces, la otra aumenta en la misma proporción..

Si dos magnitudes son inversamente proporcionales:Si dos magnitudes son inversamente proporcionales: El producto entre las variables es constante, x · y El producto entre las variables es constante, x · y = =

kk Su gráfico está constituido por puntos de una curva Su gráfico está constituido por puntos de una curva

llamada hipérbolallamada hipérbola. . Ésta no intersecta los ejes Ésta no intersecta los ejes coordenados, solo se acerca a elloscoordenados, solo se acerca a ellos

120 60 40 30 20VELOCIDAD (V)VELOCIDAD (V)

TIEMPO (t)TIEMPO (t)

1 2 3 4 6

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

÷ 2 ÷ 3 ÷ 4 ÷ 6

x 2X 3 x 4

x 6

= k

k

t=VV · t = k

Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si están ligadas por un

producto constante.

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

120 60 40 30 20VELOCIDAD (V)VELOCIDAD (V)

TIEMPO (t)TIEMPO (t)

1 2 3 4 6

V · t = (120)(1) = (60)(2) = (40)(3) = (30)(4) = (20)(6) = 120

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

20

120

100

40

60

80

1 65432

120 60 40 30 20VELOCIDAD (V)VELOCIDAD (V)

TIEMPO (t)TIEMPO (t)

1 2 3 4 6

Regla de tres simple inversa Regla de tres simple inversa Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud calculamos de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud calculamos el valor proporcional inverso de la segunda magnitudel valor proporcional inverso de la segunda magnitud

Estás invitado a un cumpleaños y como es habitual, hay una torta para compartir con el festejado. A la fiesta asisten 10 amigos. A la hora de repartir la torta (si se hace en partes iguales) le corresponde una (1) parte de diez a cada uno, es decir, una décima parte de la torta o también el 10 % del total.

Con estos datos tenemos siguiente tabla:

Como se aprecia, tenemos dos variables invitados ( personas) y Trozos de torta (%), en una los valores aumentan y en la otra los valores disminuyen. y a cada valor le corresponde un valor y sólo uno en la otra.

El gráfico que describe el comportamiento de las variables es el siguiente:

Invitados (personas)Invitados (personas) Trozos de torta (%)Trozos de torta (%)

11 100,00100,00

22 50,0050,00

33 33,3333,33

44 25,0025,00

55 20,0020,00

66 16,6616,66

77 14,2814,28

88 12,5012,50

99 11,1111,11

1010 10,0010,00

1111 9,099,09

1212 8,338,33

EJEMPLOSEJEMPLOS

GRAFICOGRAFICO

Con la tabla anterior multiplica Con la tabla anterior multiplica cada par de valores (cada par de valores (xx e e yy))

Invitados (x)Invitados (x) Porción de Torta (y)Porción de Torta (y) Producto x por y = cProducto x por y = c Constante de Constante de proporcionalidad (c)proporcionalidad (c)

11 100,00100,00 1 por 100,001 por 100,00 100100

22 50,0050,00 2 por 50,002 por 50,00 100100

33 33,3333,33 3 por 33,333 por 33,33 100100

44 25,0025,00 4 por 25,004 por 25,00 100100

55 20,0020,00 5 por 20,005 por 20,00 100100

66 16,6616,66 6 por 16,666 por 16,66 100100

77 14,2814,28 7 por 14,287 por 14,28 100100

88 12,5012,50 8 por 12,508 por 12,50 100100

99 11,1111,11 9 por 11,119 por 11,11 100100

1010 10,0010,00 10 por 1010 por 10 100100

Ejemplo Ejemplo

Una lancha demora 0,5 Una lancha demora 0,5 horas en atravesar un horas en atravesar un lago a una rapidez lago a una rapidez promedio de 40 kmpromedio de 40 km//hh. . ¿Qué rapidez promedio ¿Qué rapidez promedio necesita la lancha para necesita la lancha para regresar en 0,2 horas?regresar en 0,2 horas?

Proporción: Proporción: 0,50,5 = = 4040

0,2 X0,2 X

X = X = 0,5 x 400,5 x 40 X = 100X = 100

0,20,2

Por lo tanto la Por lo tanto la rapidez de la lancha rapidez de la lancha deberá ser de 100 deberá ser de 100 Km/h para regresar Km/h para regresar en 0,2 horasen 0,2 horas

tiempo

rapidez

ALGUNOS EJERCICIOS ALGUNOS EJERCICIOS PARA PRACTICARPARA PRACTICAR

8 albañiles tardan en hacer una obra 15 8 albañiles tardan en hacer una obra 15 días y medio, ¿cuánto tardarían 11 días y medio, ¿cuánto tardarían 11 albañiles?albañiles?

Una persona tiene 30 vacas y alimento Una persona tiene 30 vacas y alimento almacenado para darles de comer almacenado para darles de comer durante 16 días. Vende 18 de ellas, durante 16 días. Vende 18 de ellas, ¿Cuántos días puede alimentar a las ¿Cuántos días puede alimentar a las que sobran con el alimento que tiene? que sobran con el alimento que tiene?

Un ciclista que corre a una velocidad de 16 Un ciclista que corre a una velocidad de 16 Km./h tarda 2 horas y 20 minutos en llegar al Km./h tarda 2 horas y 20 minutos en llegar al próximo pueblo. ¿Cuánto tardaría si llevase próximo pueblo. ¿Cuánto tardaría si llevase una velocidad de 22 Km./h? una velocidad de 22 Km./h?

Se desea repartir una bolsa de 100 caramelos Se desea repartir una bolsa de 100 caramelos entre 3 hermanos de manera inversamente entre 3 hermanos de manera inversamente proporcional a sus edades, que son de 8, 9 y proporcional a sus edades, que son de 8, 9 y 13 años respectivamente. ¿A cuánto toca cada 13 años respectivamente. ¿A cuánto toca cada uno? uno?

ALGUNOS EJERCICIOS ALGUNOS EJERCICIOS PARA PRACTICARPARA PRACTICAR

PROPORCION PROPORCION COMPUESTACOMPUESTA

Diremos que un problema es de proporcionalidad Diremos que un problema es de proporcionalidad compuesta si intervienen tres o más magnitudes. Al compuesta si intervienen tres o más magnitudes. Al intervenir más de dos magnitudes las relaciones intervenir más de dos magnitudes las relaciones proporcionales dos a dos de las magnitudes pueden proporcionales dos a dos de las magnitudes pueden ser distintas, es decir, si tenemos las magnitudes A, B ser distintas, es decir, si tenemos las magnitudes A, B y C, la relación proporcional entre A y B o entre B y C y C, la relación proporcional entre A y B o entre B y C puede ser:puede ser:

1.1. Directa. Directa.

2.2. Directa e Inversa.Directa e Inversa.

3.3. Inversa.Inversa.

En una mina, una cuadrilla de 4 mineros abren una En una mina, una cuadrilla de 4 mineros abren una galería de 70 metros de longitud en 15 días. Si otra galería de 70 metros de longitud en 15 días. Si otra cuadrilla tiene 18 mineros. ¿Cuántos metros de galerías cuadrilla tiene 18 mineros. ¿Cuántos metros de galerías abrirán en 34 días? abrirán en 34 días?

En una cadena de montaje, 9 obreros trabajando 7 En una cadena de montaje, 9 obreros trabajando 7 horas diarias han fabricado 1200 piezas. ¿Cuántos horas diarias han fabricado 1200 piezas. ¿Cuántos obreros son necesarios para fabricar 3200 piezas obreros son necesarios para fabricar 3200 piezas trabajando 12 horas? trabajando 12 horas?

En una cadena de montaje, 9 obreros trabajando 7 En una cadena de montaje, 9 obreros trabajando 7 horas diarias han fabricado 1200 piezas. ¿Cuántos horas diarias han fabricado 1200 piezas. ¿Cuántos obreros son necesarios para fabricar 3200 piezas obreros son necesarios para fabricar 3200 piezas trabajando 12 horas? trabajando 12 horas?

RESOLUCION DE PROBLEMAS

Para resolver un problema de proporcionalidad compuesta debes seguir los siguientes pasos: 1º.- Plantea la regla de tres. Expresa las cantidades de la misma magnitud en la misma unidad. 2º.- Compara cada magnitud con la que lleva la x para ver si la proporcionalidad entre ellas es directa o inversa. Escribe D debajo de las directas e I debajo de las inversas. 3º.- Si hay alguna proporcionalidad inversa vuelve a plantear la regla de tres invirtiendo las cantidades en las que sean inversas. 4º.- Escribe una proporción de la siguiente forma: la primera razón con las cantidades de la magnitud donde está la x , la segunda razón con el producto de las cantidades de las demás magnitudes.

Un taller, trabajando 8 horas diarias, ha necesitado 5 días para fabricar 1 000 piezas. ¿Cuántos días tardará en hacer 3 000 piezas trabajando 10 horas diarias? Nº piezasHoras díaDías1000 8 5 3000 10 x

D I

(A doble de piezas, doble de días necesarios) (A doble de horas diarias, mitad de días necesarios)

1000 10 5 3000 8 x

Tardará 12 días

5 = 1000*10 x = 5*3000*8 = 12

X 3000*8 1000*10

REPARTOS PROPORCIONALESREPARTOS PROPORCIONALESEn un reparto proporcional hay que repartir una cantidad proporcionalmente a otras, este reparto puede ser directo, si a una cantidad mayor corresponde otra mayor o inverso, si a una cantidad mayor le corresponde una menor.

• REPARTO PROPORCIONAL DIRECTOEjemplo:Tres socios, Antonio, José y Ana pusieron para crear una empresa 5000, 8000 y 10000 euros respectivamente. Tras un tiempo la empresa tiene 2300 euros de beneficios. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno?Es claro que los beneficios se tienen que repartir proporcionalmente a la cantidad que se aporta y a mayor aportación más beneficios, luego el reparto proporcional es directo.Llamemos x, y, z a los beneficios de Antonio, José y Ana. Establecemos la proporción entre el beneficio y la aportación

Por tanto Antonio recibirá 500 euros, José recibirá 800 euros y Ana 1000 euros.

x + y + z =N ; 5000+8000+10000 = 23000 = N

APORTE UNIT = APORTE TOTAL / N = 2300/23000 = 1/10

REPARTO PROPORCIONAL INVERSOREPARTO PROPORCIONAL INVERSOA una mayor cantidad corresponde menor proporción A una mayor cantidad corresponde menor proporción

Ejemplo:Ejemplo:

Un padre quiere repartir 15000 euros entre sus hijos de 3, 10 y 15 años. Desea Un padre quiere repartir 15000 euros entre sus hijos de 3, 10 y 15 años. Desea entregar a cada hijo una cantidad que sea inversamente proporcional a su edad. entregar a cada hijo una cantidad que sea inversamente proporcional a su edad. ¿Qué cantidad corresponderá a cada hijo?¿Qué cantidad corresponderá a cada hijo?Llamemos Llamemos x, y, zx, y, z a las cantidades que lo corresponde a los hijos de 3, 10 y 15 años a las cantidades que lo corresponde a los hijos de 3, 10 y 15 años respectivamenterespectivamente

Por tanto al niño de 3 años le corresponden 10.000 €, al de 10 años 3.000 € y al de 15 2000 €.

REPARTOS PROPORCIONALESREPARTOS PROPORCIONALES

PROBLEMAS DE MEZCLASPROBLEMAS DE MEZCLAS1.1. Se mezclan 20 kg. de trigo tipo A a 0,6 euros/Kg. con 60 Kg. de trigo tipo B a 0.8 Se mezclan 20 kg. de trigo tipo A a 0,6 euros/Kg. con 60 Kg. de trigo tipo B a 0.8

euros/Kg. ¿Qué precio tiene la mezcla?euros/Kg. ¿Qué precio tiene la mezcla?

Los 20 Kg. de tipo A cuestan 20·0.6 = 12 euros.Los 20 Kg. de tipo A cuestan 20·0.6 = 12 euros.Los 60 Kg. de tipo B cuestan 50·0.8 = 48 euros.Los 60 Kg. de tipo B cuestan 50·0.8 = 48 euros.Al mezclar obtenemos 80 Kg. a un precio de 60 euros.Al mezclar obtenemos 80 Kg. a un precio de 60 euros.Precio por Kg. Precio por Kg.

2.2. Se funden 1000 gr. de oro con una pureza del 90% con oro de pureza 75%. La Se funden 1000 gr. de oro con una pureza del 90% con oro de pureza 75%. La pureza de la mezcla es del 85%. ¿Qué cantidad de oro de pureza 75% se ha pureza de la mezcla es del 85%. ¿Qué cantidad de oro de pureza 75% se ha añadido a la mezcla?añadido a la mezcla?

Si la pureza de la primera cantidad es el 90% entonces hay 900 gr. de oro puro.Si la pureza de la primera cantidad es el 90% entonces hay 900 gr. de oro puro.

Llamemos Llamemos xx a la cantidad con que se mezcla, tendrá a la cantidad con que se mezcla, tendrá 0.75x0.75x de oro puro. de oro puro.

Si mezclamos, tendremos en la mezcla Si mezclamos, tendremos en la mezcla 1000 +x1000 +x gr. como la pureza es del 85% gr. como la pureza es del 85% entonces la mezcla tendrá una cantidad de entonces la mezcla tendrá una cantidad de 0.85(1000+x)0.85(1000+x) de oro puro. de oro puro.

Luego Luego 0.85(1000+x)=900 +0.75x0.85(1000+x)=900 +0.75x ; ; 850+0.85x=900+0.75x 850+0.85x=900+0.75x ;; 0.1x=500.1x=50 ; ; x=500 x=500

la cantidad buscada es 500 gr.la cantidad buscada es 500 gr.

PORCENTAJESPORCENTAJESLas fracciones con denominador igual a 100 se llaman tanto por ciento o, simplemente, porcentajes.

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, se expresa el tanto por ciento en forma decimal (dividiéndolo por 100) y se multiplica por la cantidad.

                             

Obtención del porcentaje correspondiente a una proporciónPara hallar qué tanto por ciento representa una cantidad,   , respecto a un total,    , se efectúa la siguiente operación:

         

PORCENTAJESPORCENTAJES

Un Un aumento porcentualaumento porcentual es añadir un porcentaje a una cierta cantidad y es añadir un porcentaje a una cierta cantidad y una una disminución porcentualdisminución porcentual es quitar un porcentaje a una cierta es quitar un porcentaje a una cierta cantidad. cantidad.

El número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la El número por el que hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la cantidad final se llama cantidad final se llama índice de variacióníndice de variación. .

En En aumentos porcentualesaumentos porcentuales del n%, el índice de variación es 1 más el del n%, el índice de variación es 1 más el aumento porcentual expresado en forma decimal. aumento porcentual expresado en forma decimal.

En una En una disminución porcentualdisminución porcentual del n%, el índice de variación es 1 menos del n%, el índice de variación es 1 menos la disminución porcentual puesta en forma decimal. la disminución porcentual puesta en forma decimal.

Aumentos y disminuciones porcentuales

PORCENTAJESPORCENTAJES

PORCENTAJESPORCENTAJES

PORCENTAJESPORCENTAJESDeterminación del tanto por ciento (%).

Dada una razón (a / b), calcular el tanto por ciento consiste en determinar una razón equivalente a la primera con denominador 100 (a / 100=a%).En una clase de 25 alumnos 6 son rubios ¿Qué porcentaje de alumnos rubios hay en esa clase?

Cálculo del tanto por ciento de una cantidadDada una cantidad se determina su x % multiplicando dicha cantidad por x y dividiéndola por 100.El 25% de los alumnos de una clase tienen gafas. Si en la clase hay 32 alumnos ¿Cuántos tienen gafas?25% de 32 es alumnos tienen gafas

Determinación de una cantidad inicial conocido % y la cantidad que representa ese %.Mónica ha comprado un CD. El dependiente le dice que la descontado el 20% de su valor, siendo ese descuente 3 € .¿Cuánto costaba inicialmente el CD? 20% de x es 3 . Luego inicialmente el Cd costaba 15 €.

Incremento de un % Un ordenador está valorado en 950 € sin impuestos, si los impuestos son el 15% del precio. ¿Cuánto costará el ordenador?El precio del ordenador es el 100%, que incrementaremos con un 15% de impuestos por tanto habrá que pagar el 115%.Precio final es el 115% de 950 1092'50 €.Disminución de un %

La etiqueta de un pántalon marca 40 € y ofrece un descuento del 20% ¿Cuánto cuesta el pantalón?Al 100% del valor del pantalón habrá que descontarle el 20%, tras ese descuento el pantalón nos costará el 80% de su valor inicial. Lo calculamos, el 80% de 40 es . Luego tras el descuento el pantalón cuesta 32 €.

INTERES SIMPLEINTERES SIMPLEEn cuanto a la definición de interés simple, se trata de los intereses que produce una inversión en el tiempo gracias al capital inicial. Por lo tanto, el interés simple se calcula en base al capital principal, la tasa de interés y el periodo (el tiempo de la inversión).

En otras palabras, el interés es un índice que, a través de un porcentaje, permite expresar la rentabilidad de los ahorros o el costo de un crédito.

Lo importante a la hora de considerar al interés simple es que los intereses producidos por el capital en un determinado periodo no se acumulan al mismo para generar los intereses correspondientes al siguiente periodo.

Esto quiere decir que el interés simple que genere el capital invertido será igual en todos los periodos de duración de la inversión, siempre que la tasa y el plazo no varíen.

Formula de Interés Simple I = C * t * i

Donde:

I = Interés

C = Capital inicial

t = periodo de tiempo

i = tasa interés simple

EjemplosEjemplosCalcular el interés simple comercial de: a) $2.500 durante 8 meses al 8%. DATOS: C = $2.500 ; t = 8 meses; i= 0,08 (es decir 8%) I = 2.500 * 8 * 0.08 =$133,33 b) $60.000 durante 63 días al 9%. DATOS: C =$60.000 ; t =63 días; i =0,09 I =60.000 * 63 * 0.09=$ 945

c) $5.000 durante 3 años 2 meses 20 días al 0,75% mensual. DATOS : C = 5.000 ; i = 0,0075 ; t =116 meses 3años *12 meses =36 meses + 2 meses = 38 meses + (20dias * 1 mes)= 116

meses

I =5.000 * 38,67 * 0,0075 =1.450 Nota: Fíjese que en este ejercicio la tasa esta expresa de en meses por lo que

debe transformarse el tiempo también a meses