UNIDAD Nº 3: ESTATICA DEL CUERPO RIGIDO....conoce como principio del sistema nulo de fuerzas. 3-En...

UTN. BA - ING CIVIL – ESTABILIDAD – ING J. EDUARDO MARCO REVISION 2019 1

UNIDAD Nº 3: ESTATICA DEL CUERPO RIGIDO. Noción de fuerza. Tipo de vector. Unidades. Definición de estática. Hipótesis de cuerpo rígido. Principios de la estática. Momento de una fuerza respecto a un punto. Tipo de vector. Ternas de referencia. Momento de una fuerza respecto a un eje. Relación entre ambos. Cupla o par de fuerzas y su momento. Tipo de vector. Sistema generalizado de fuerzas .Reducción a un punto. Invariantes. Equivalencia y equilibrio entre sistemas de fuerzas. Planteo de las ecuaciones de equilibrio para los sistemas particulares de fuerzas. Fuerzas distribuidas en un volumen, en una superficie y en una línea. Casos habituales en Ingeniería civil. Ejemplo sencillo de análisis de carga. NOCION DE FUERZA. Fuerza es toda causa capaz de provocar efectos sobre los cuerpos. En el ámbito de interés los cuerpos son las estructuras. La fuerza es una magnitud vectorial y en consecuencia para su definición será necesario conocer: punto de aplicación, módulo, dirección y sentido. Si la fuerza aplicada a la estructura crece lentamente hasta su valor final sin acelerar la masa de la misma, entonces se la denomina fuerza de acción estática y puede ser independizada de la variable tiempo. A diferencia, si la fuerza aplicada a la estructura no puede ser independizada de la variable tiempo, se la denomina fuerza de acción dinámica.

En la materia ESTABILIDAD se estudian fuerzas de acción estática.

En relación a las unidades, es necesario manejarse fundamentalmente dentro del sistema internacional de unidades cuya unidad de fuerza es el Newton(N) definido como la fuerza que aplicada a un 1 Kg. masa le imprimirle una aceleración de 1 m/s2. A continuación se plantean equivalencias con el sistema técnico cuya unidad de fuerza es el kilogramo fuerza (kgf) definido como la fuerza que aplicada a 1 Kg. masa le imprime la aceleración de la gravedad (en forma practica 10 m/s2). Estas equivalencias son: 1N=0.1kgf 1KN =100kgf 1KN=0.1Ton. ESTATICA Es la parte de la física que trata las condiciones que debe cumplir un conjunto de fuerzas aplicadas a un cuerpo para que el mismo permanezca en reposo. La estática postula al cuerpo como rígido, pudiendo resumir este postulado como la invariabilidad de distancia entre sus puntos. Al aplicar una fuerza sobre un cuerpo rígido solo será necesario conocer un punto de su recta de acción, considerándose a la misma como un vector axilmente libre (que puede desplazarse libremente sobre su recta de acción). Piense el lector en un resorte que se estira. ¿Da lo mismo aplicar la fuerza necesaria en cualquier punto de su eje?


PRINCIPIOS DE LA ESTATICA. 1-Si en un punto de un cuerpo actúan dos fuerzas, el efecto que provocan sobre el mismo es igual al que provoca la resultante, entendida como la diagonal del paralelogramo que se conforma. Este principio se conoce como el principio del paralelogramo de fuerzas. Gráficamente:

2-Si sobre un cuerpo rígido se agrega o se quita un sistema nulo de fuerzas, no se modifican los efectos sobre el mismo. Se entiende por sistema nulo de fuerzas a aquel constituido por dos fuerzas actuantes según una misma recta de acción, de igual módulo pero sentido contrario. Este principio se conoce como principio del sistema nulo de fuerzas.

3-En el o los puntos de contacto entre dos cuerpos se generan fuerzas de interacción. Estas fuerzas aparecen de a pares, son de igual dirección y módulo, pero de sentido contrario y quedan evidenciadas cuando ambos cuerpos se separan. Este principio se conoce como el principio de acción y reacción.

Se hace notar que, si bien el principio de acción y reacción es mucho más abarcativo, el autor prefiere enunciarlo en forma sencilla con el objeto de facilitar su comprensión.


MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN PUNTO. Previamente se efectúa un repaso referido a sistemas de referencia.

El momento de la fuerza F (A es un punto cualquiera de su recta de acción) respecto del punto C, se define mediante el siguiente producto vectorial:

El vector momento de una fuerza respecto de un punto resulta aplicado en el mismo puesto que, si este cambia, cambia el momento. Lógicamente si la fuerza pasa por el punto el momento resulta nulo. Por tratarse de un producto vectorial el vector momento es perpendicular al plano definido por el vector fuerza y el vector posición y su modulo es igual al producto del módulo del vector fuerza por el módulo del vector posición por el seno del ángulo comprendido entre ambos vectores. A continuación se demuestra conceptualmente que, el punto A ubicado sobre la recta de acción de la fuerza, puede ser cualquiera:


Finalmente se muestra con un ejemplo simple como interviene el sistema de referencia en la determinación del momento de una fuerza respecto de un punto.

Puede observarse el cambio de signo en el momento al pasar de terna derecha a terna izquierda.

MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO DE UN EJE. En el punto anterior se definió el concepto de momento de una fuerza respecto de un punto. Si se hace pasar un eje por dicho punto, sobre el se proyecta el vector momento y a la proyección se le da carácter vectorial se llega al concepto de momento de una fuerza respecto de un eje. Gráficamente:

Se recuerda que la proyección de vectores se relaciona con el producto escalar.

La figura que precede permite analizar en forma sencilla cuando el momento de la fuerza respecto de dicho eje vale 0: En efecto, si el eje se ubica en el plano definido por la fuerza y el punto C (perteneciente al eje) entonces el momento de la fuerza respecto de dicho eje vale 0 (obsérvese que el vector MC es perpendicular a dicho plano y por lo tanto tiene proyección nula sobre el mismo y en particular sobre el eje). A partir de lo expresado se concluye que es suficiente para que, el momento de una fuerza respecto de un eje valga 0, que la fuerza y el eje formen plano.


En dicha circunstancia, la fuerza y el eje se cortan en un punto o bien la fuerza es paralela al eje. Si se acepta que dos rectas paralelas se cortan en un punto lo suficientemente alejado (punto impropio) puede afirmarse finalmente:

El momento de una fuerza respecto de un eje vale 0 toda vez que la fuerza y el eje sean coplanares o, lo mismo, se corten en un punto propio o impropio.

Queda por demostrar que, para definir el momento de una fuerza respecto de dicho eje, el punto C perteneciente al eje puede ser cualquiera. Se desarrolla la figura de análisis que sigue:

Aclaraciones sobre la figura: 1-La fuerza considerada es perpendicular al plano CAC1 puesto que las contenidas en dicho plano (como ya se estudio) no generan momento respecto del eje. 2-Al ser el vector posición C-A perpendicular al eje y a la fuerza, queda definida la distancia entre ambos. Esta condición se utiliza en la resolución de problemas, puesto que el momento de la fuerza respecto del punto coincide con el momento de la fuerza respecto del eje al proyectar en verdadera magnitud. Entonces, considerando el punto C se tiene:

Me=F.d Si se considera el punto C1 resulta:

Me=F.d1.senα y como d1=d/senα entonces Me=F.d

Quedando demostrado lo que se pretendía. Obsérvese que el momento de la fuerza respecto del punto C es distinto al momento de la fuerza respecto de C1, pero el momento de la fuerza respecto del eje es el mismo se considere uno u otro punto.


Ejemplo N°1: Mediante el presente, se pretende relacionar el momento de una fuerza respecto de un punto y de un eje. Se operará en terna izquierda (giro horario es positivo) tal como es habitual en Estabilidad.

Primero se determina el momento de la fuerza respecto del punto C.

A continuación se determina el momento de la fuerza respecto de cada uno de los ejes pasantes por el punto C.

De la simple observación de resultados se concluye:

Obtener el momento de una fuerza respecto de un punto es equivalente a determinar el momento de la fuerza respecto de tres ejes ortogonales entre si pasantes por el mismo. Lógicamente en ambas determinaciones debe utilizarse el mismo sistema de referencia.

CUPLA O PAR DE FUERZAS. Es un sistema constituido por dos fuerzas de igual módulo y dirección, pero de sentido contrario y además sus rectas de acción no son coincidentes,


MOMENTO DE LA CUPLA DE FUERZAS RESPECTO DE UN PUNTO.

La expresión recuadrada indica que el momento de la cupla de fuerzas es el mismo para cualquier punto que se considere como centro de momentos. Se trata entonces de un vector libre. Por ser un vector proveniente de un producto vectorial le corresponde el tratamiento ya explicado y en particular su modulo es el producto del modulo de las fuerzas por la distancia entre las rectas de acción de las mismas. MOMENTO DE LA CUPLA DE FUERZAS RESPECTO DE UN EJE. Resulta ser un vector obtenido como la proyección en la dirección del eje e, del vector momento de la cupla. O sea:

TRASLACIÓN DE UNA FUERZA Como ya se ha indicado, la fuerza actuando sobre un cuerpo rígido es un vector axilmente libre, A continuación se analiza que ocurre cuando se pretende trasladar la misma paralelamente a su recta de acción.

Si se quiere trasladar la fuerza que pasa por A al punto C se efectúa el siguiente procedimiento: En C se agrega un sistema nulo de fuerzas como se muestra en la figura. Si bien la fuerza se traslado desde A hasta C, se genera una cupla de fuerzas cuyo momento por ser un vector libre se deja aplicado (por conveniencia operativa) en el punto C. Se grafica:


SISTEMA GENERALIZADO DE FUERZAS.

Si sobre un cuerpo actúa un conjunto de fuerzas y un conjunto de cuplas de fuerzas representadas por su vector momento, entonces estará actuando un sistema generalizado de fuerzas. El término habitual es sistema de fuerzas. REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS A UN PUNTO. Es una operación necesaria a efectos de poder comparar distintos sistemas de fuerzas entre si, tal como se verá más adelante.

Considérese el sistema de fuerzas constituido por n fuerzas y m cuplas de fuerzas representadas por su vector momento actuando sobre el cuerpo rígido que precede: Si se desea obtener un sistema de fuerzas equivalente (aplicado al cuerpo le provoca idéntico estado de movimiento), actuando en un punto cualquiera (centro de reducción) y conformado por una sola fuerza (vector resultante) y un solo momento (vector momento), las expresiones son las siguientes:

A continuación se analiza que ocurre si se varía el centro de reducción, haciendo uso de la representación grafica que continua:


Analizando detalladamente la figura se concluye: 1-El vector resultante es el mismo para cualquier centro de reducción (C) y es el invariante vectorial (IV) de la operación. Entonces:

2-El vector momento varia con el centro de reducción; ello ocurre porque se modifica la componente perpendicular a la dirección de la resultante. Puede observarse que el modulo de la componente del vector momento en la dirección de la resultante (M2C) es independiente del centro de reducción (C), transformándose en el invariante escalar (IE) de la operación. Es decir:

Se recuerda que la proyección de vectores se relaciona con el producto escalar.

Comentarios finales sobre reducción de un sistema de fuerzas a un punto. En el caso general de reducción de un sistema de fuerzas a un punto, se obtiene un vector resultante y un vector momento cuyas direcciones forman un ángulo cualquiera. Si el vector momento se remplaza por una de las infinitas cuplas de fuerzas por el representadas se tiene la siguiente construcción grafica:

Entonces, para el caso general, un sistema de fuerzas puede ser reducido a dos fuerzas cuyas rectas de acción no se cortan. Si se cortasen el sistema se reduciría a una sola fuerza resultante de las dos.


Si particularmente, al reducir el sistema de fuerzas a un punto, el vector resultante y el vector momento resultan perpendiculares entre si (el invariante escalar es nulo), entonces el sistema se reduce a una sola fuerza (vector resultante).Gráficamente:

La expresión analítica que permite determinar la posición de la recta de acción del vector resultante del sistema de fuerzas será:

Donde AR es un punto de la recta de acción del vector resultante del sistema de fuerzas. La resolución analítica de la última expresión, dará origen a un sistema de ecuaciones compatible indeterminado, cuyas incógnitas serán las tres coordenadas de los infinitos puntos correspondientes a la recta de acción de la resultante. Se considera al lector suficientemente entrenado al respecto. EQUIVALENCIA Y EQUILIBRIO ENTRE SISTEMAS DE FUERZAS. Conocida la operación reducción de un sistema de fuerzas a un punto es posible comparar sistemas de fuerzas tal como sigue: Equivalencia entre sistemas de fuerzas. Dos sistemas de fuerzas (SF1 y SF2) son equivalentes (aplicados al cuerpo le originan el mismo estado de movimiento), cuando reducidos al mismo punto presentan igual vector resultante e igual vector momento. Es decir:

Equilibrio entre sistemas de fuerzas. Dos sistemas de fuerzas (SF1 y SF2) se equilibran entre si (el cuerpo permanece en reposo), cuando reducidos al mismo punto presentan vector resultante nulo y vector momento nulo. Es decir:

A criterio del autor, el equilibrio es un caso particular de equivalencia, donde uno de los sistemas de fuerzas resulta nulo y el otro surge de unificar los sistemas de fuerzas SF1 y SF2.


La nulidad del vector resultante y del vector momento implica el cumplimiento simultáneo de las 6 ecuaciones escalares indicadas a continuación:

La materia Estabilidad aborda la resolución de problemas isostáticos (igual número de incógnitas que de ecuaciones).Es decir, que en todo problema de fuerzas con incógnitas que se analice, las mismas no podrán superar el número de 6. PLANTEO DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO PARA LOS SISTEMAS PARTICULARES DE FUERZAS. 1-Sistema de fuerzas general.

2-Sistema de fuerzas concurrentes a un punto propio.

3-Sistema de fuerzas concurrentes a un punto impropio (fuerzas paralelas).


Ejemplo N°2:

Resolución 1-Se plantea el esquema de análisis indicando el sistema de referencia asociado al centro de reducción adoptado y los sentidos supuestos para las incógnitas.

2- Se plantea el sistema de ecuaciones para el centro de reducción adoptado. Es decir:

Rx=0) Xa + Xd=0 Mx=0) -Xe.3m – Xf.3m – 20Kn.4m + 10Knm=0 Ry=0) Xb + Xe + Xf =0 My=0) Xd.3m – 20Kn.4m=0 Rz=0) Xc – 40Kn + 20Kn =0 Mz=0) Xf.4m=0 Resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:

Xa=-26.66Kn Xb=23.33Kn Xc=20Kn Xd=26.66Kn Xe=-23.33Kn Xf=0Kn

El signo negativo en algunos resultados implica que el sentido correcto es contrario al supuesto


3-Finalmente se dibuja el cuerpo con el sistema de fuerzas en equilibrio (diagrama de cuerpo libre).

FUERZAS DISTRIBUIDAS. Hasta aquí se estudio el caso de fuerzas que actúan aplicadas en un punto del cuerpo. Las mismas reciben el nombre de fuerzas concentradas. No siempre las mismas representan con exactitud las distintas acciones que actúan sobre las estructuras. En lo que sigue se analiza el caso en que las fuerzas actúan en forma distribuida. 1-Sistema de fuerzas distribuidas en un volumen. El peso específico de un material es un claro ejemplo de fuerza distribuida por unidad de volumen. En forma diferencial se define fuerza distribuida por unidad de volumen como sigue:

2-Sistema de fuerzas distribuidas en una superficie. La carga permanente, la sobrecarga de uso, las acciones accidentales (viento, nieve), las presiones ejercidas por los fluidos y por el suelo, representan fuerzas distribuidas por unidad de superficie. Las mismas presentan distintas leyes de variación. En forma diferencial se define fuerza distribuida por unidad de superficie como sigue:


3-Sistema de fuerzas distribuidas en una línea. Como se verá en un ejemplo, todas las acciones consideradas en el punto anterior pueden ser consideradas también como fuerzas distribuidas por unidad de longitud. En forma diferencial se define fuerza distribuida por unidad de longitud como sigue:

A continuación se analiza el caso en que la línea es recta y la fuerza específica lineal es perpendicular a dicha línea, por ser un caso más que habitual en Ingeniería Civil. Entonces: 1-Fuerza distribuida lineal de valor constante o uniforme.

Considerando O como centro de reducción y planteando equivalencia entre el SF1 y el SF2 se tiene:

2-Fuerza distribuida lineal de variación lineal y con valor nulo en un extremo.

Considerando O como centro de reducción y planteando equivalencia entre el SF1 y el SF2 se tiene:


3-Fuerza distribuida lineal de variación lineal. En este caso es posible el análisis mediante cualquiera de las dos superposiciones que a continuación se detallan:

Ejemplo N°3:

Resolución 1-Se plantea el esquema de análisis indicando el sistema de referencia asociado al centro de reducción adoptado y los sentidos supuestos para las incógnitas.

2- Se plantea el sistema de ecuaciones para el centro de reducción adoptado. Es decir:

Rz=0) Xa + Xb + Xc.0.8 – 40Kn=0 Mx=0) Xb.3m + 30Kn.2.66m + 20knm=0. Ry=0) –Xc.0.6 + 30Kn =0


Resolviendo el sistema de ecuaciones resulta:

Xa=33.33Kn Xb=-33.33Kn Xc=50Kn

El signo negativo en algunos resultados implica que el sentido correcto es contrario al supuesto 3-Finalmente se dibuja el cuerpo con el sistema de fuerzas en equilibrio (diagrama de cuerpo libre).

EJEMPLO SENCILLO DE ANALISIS DE CARGA.

Las cargas actuantes en la losa se transfieren a las vigas. Las vigas descargan en las columnas y finalmente estas ultimas lo hacen el suelo de fundación mediante las bases.

1-Determinación de la carga en losa.

QLOSA=24Kn/m3x0.15m + 16Kn/m3x0.10m + 3.5Kn/m2=8.7Kn/m2


2-Determinación de las cargas en vigas. Para efectuar la descarga de losa en vigas, se utiliza el criterio de líneas de rotura. Es decir, como rompería la losa ante carga excesiva. Gráficamente:

Análisis de vigas V1 y V2. Atendiendo a razones de simetría, el estado de carga de ambas vigas es el mismo resultando el esquema indicado a continuación:

Análisis de vigas V3 y V4. Operando análogamente al caso anterior resulta:


3-Determinación de las cargas en columnas. Como consecuencia de la simetría, todas las columnas presentan la misma carga. Entonces: PC1=PC2=PC3=PC4=2.88Kn/m x 3m + (20.28-2.88)Kn/m x (2m/2 + 1m) + 1.92Kn/m x 2m + (19.32-1.92)Kn/m x 2m/2 + 24Kn/m3 x 0.2m x 0.2m x 3.70m=

PC1= PC2=PC3=PC4=68.232Kn

Para obtener la carga que llega al suelo de fundación, es necesario adicionar a la carga de columna el peso de la base (7.2Kn). Se propone al lector, estudiar como se modifica el análisis de carga efectuado, en el caso que sobre la viga V1 se cargue una pared de ladrillo común (peso específico 16Kn/m3) de 3m de altura y 15cm de espesor. ANEXO Determinación de la fuerza de empuje y de la posición del centro de empuje cuando la presión hidrostática actúa sobre una placa plana. Como se sabe, la presión hidrostática crece linealmente con la profundidad y es proporcional al peso específico (Pe) del fluido. Dicha presión actúa además en dirección perpendicular a la placa. Se grafica:

La expresión de la fuerza de empuje se deduce a continuación:

dE= p(y).dA= (pG + Pe.y).dA → E=∫A (pG + Pe.y).dA= pG .∫AdA + Pe.∫A y.dA


La segunda integral es nula por tratarse del momento estático de la placa respecto del eje X baricéntrico. Entonces la expresión final de la fuerza de empuje es:

E= pG. A Esta expresión indica que el empuje sobre una placa plana es igual a la ordenada de presión a nivel del baricentro multiplicada por el área de la placa. Además se puede concluir que placas que presenten igual posición del baricentro e igual área presentarán idéntico empuje independientemente de sus formas. Por ejemplo:

El Centro de Empuje (punto donde se encuentra aplicada la fuerza de empuje) surge del siguiente análisis: Planteando momento de las fuerzas respecto del eje X baricéntrico se obtiene:

E .YCE = ∫A (pG. y + Pe. y 2).dA= pG .∫A y. dA + Pe.∫A y2.dA La primera integral es nula por tratarse del momento estático de la placa respecto del eje X baricéntrico. Finalmente:

YCE =Pe. IXG / E

Planteando momento de las fuerzas respecto del eje Y baricéntrico se obtiene:

E. XCE = ∫A (pG. X + Pe. x. y).dA= pG .∫A x. dA + Pe.∫A x. y .dA La primera integral es nula por tratarse del momento estático de la placa respecto del eje Y baricéntrico. Finalmente:

XCE =Pe. IXYG / E Del análisis de las expresiones obtenidas para las coordenadas del centro de empuje se obtienen dos conclusiones: 1-El centro de empuje (CE) se encuentra siempre por debajo del baricentro. 2-Si la placa admite eje de simetría, entonces XCE resulta igual a cero debido a que IXYG=0 .En dicho caso el centro de empuje (CE) se encuentra verticalmente alineado con el baricentro y por debajo del mismo.


GUIA DE EJERCICIOS CON RESULTADOS. 1-Equilibrar los sistemas de fuerzas que actúan en las estructuras indicadas a continuación: a-Estructuras planas: P1=10Kn, P2=20Kn, P3=30Kn, M=40knm.


b-Estructuras espaciales: P1=10Kn, P2=20Kn, P3=30Kn, M1=40knm, M2=50knm. (M1 y M2 se refieren a terna izquierda).

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