UNIDAD N° 1: TEORÍA DE CONJUNTOS CONJUNTOS · PDF fileunidad n° 1:...

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  • Matemtica Unidad 1 - 1

    Facultad de Ciencias Exactas Fsicas y Naturales - U N S J -

    UNIDAD N 1: TEORA DE CONJUNTOS CONJUNTOS NUMRICOS

    NDICE GENERAL DE LA UNIDAD

    Nocin intuitiva de conjunto ............................................... 4

    Formas de definir un conjunto..... 4

    Conjuntos notables... 4

    Conjuntos numricos.... 5

    Nmeros Naturales: N.... 5

    Nmeros enteros: Z.... 5

    Nmeros racionales: Q........... 6

    Nmeros irracionales: I.. ........ 6

    Nmeros reales: R...... 6

    Nmeros Complejos: C...... 7

    Actividad..... 7

    Diagramas de Venn.. 7

    Actividad..... 8

    Representacin grfica de nmeros reales... 8

    Actividades..... 9

    Inclusin subconjuntos....... 10

    Actividades..... 11

    Operaciones con nmeros reales...... 12

    Suma o resta de nmeros fraccionarios.. 12

    Fracciones de igual denominador....... 12

    Fracciones de distinto denominador....... 12

    Multiplicacin de nmeros fraccionarios....... 12

    Divisin de nmeros fraccionarios........ 13

    Potenciacin de nmeros fraccionarios.......... 13

    De exponente natural......... 13

    De exponente entero negativo........ 13

    Radicacin de nmeros fraccionarios........ 14

    Propiedades de algunas operaciones........ 14

    Propiedad distributiva del producto respecto a la suma......... 14

    Propiedad distributiva del cociente respecto a la suma...... 14

    Propiedades de la potenciacin.......... 14

  • Matemtica Unidad 1 - 2

    Facultad de Ciencias Exactas Fsicas y Naturales - U N S J -

    Propiedades de la radicacin.......... 15

    Actividades... 15

    Subconjuntos de los nmeros reales: intervalos...... 19

    Tipos de intervalos....... 19

    Intervalo abierto......... 19

    Intervalo cerrado........ 19

    Intervalo semiabierto.......... 19

    Intervalo Infinito........ 19

    Actividades... 21

    Operaciones con conjuntos...... 21

    Unin.......... 21

    Interseccin........ 22

    Complemento......... 22

    Diferencia........... 23

    Propiedades de las operaciones entre conjuntos...... 23

    Propiedad conmutativa........... 23

    Propiedad asociativa.......... 23

    Propiedad distributiva........ 23

    Propiedad de idempotencia........ 23

    Leyes de De Morgan.......... 23

    Actividades... 24

    Operaciones con intervalos...... 24

    Unin......... 24

    Interseccin........ 25

    Diferencia.......... 25

    Complemento......... 26

    Actividades... 26

    Ejercicios prcticos... 26

  • Matemtica Unidad 1 - 3

    Facultad de Ciencias Exactas Fsicas y Naturales - U N S J -

    CONSEJOS A TENER EN CUENTA ANTES DE EMPEZAR:

    LEER CON MUCHA ATENCIN LOS CONTENIDOS.

    PONER NFASIS EN LOS EJEMPLOS.

    RESOLVER MINUCIOSAMENTE LOS EJERCICIOS.

    CONSULTAR LAS DUDAS QUE PUEDAN SURGIR.

  • Matemtica Unidad 1 - 4

    Facultad de Ciencias Exactas Fsicas y Naturales - U N S J -

    CONJUNTOS

    NOCIN INTUITIVA DE CONJUNTO

    La palabra CONJUNTO nos remite, intuitivamente a una agrupacin o coleccin de objetos que

    reciben el nombre de elementos. Esta idea nos sirve para introducirnos en el concepto de

    conjuntos que, en Matemtica es un trmino primitivo. Es decir no lo definimos, no contestamos

    a la pregunta qu es?

    Los conjuntos se designan con letras maysculas imprenta: A, B , C, y los elementos con

    letras minsculas imprenta: a, b, c, d.

    Si a es un elemento del conjunto A, dicho elemento pertenece al conjunto y escribimos a A.

    En caso contrario, si a no es un elemento de A se simboliza a A.

    FORMAS DE DEFINIR UN CONJUNTO

    Si queremos indicar el conjunto de las vocales podemos escribir:

    A = {x / x sea una vocal} A = {a, e, i, o, u}

    Un conjunto est definido por extensin o enumeracin, cuando entre llaves figuran todos sus

    elementos.

    Ejemplos:

    a) A = a, e, i, o, u

    b) {lunes, martes, mircoles, jueves, viernes, sbado, domingo}

    Un conjunto est definido por comprensin, cuando se enuncia la propiedad que caracteriza a

    sus elementos.

    Ejemplos:

    a) A = {x / x sea una vocal}

    b) {x / x es da de la semana}

  • Matemtica Unidad 1 - 5

    Facultad de Ciencias Exactas Fsicas y Naturales - U N S J -

    CONJUNTOS NOTABLES

    Conjunto Vaco: se simboliza con y es aquel conjunto que no posee elementos.

    Ejemplo: A = {nmeros impares entre 5 y 7} =

    No existe ningn nmero impar entre los nmeros 5 y 7.

    Conjunto Universal: se simboliza con U y es aquel conjunto que contiene todos los elementos

    del tema en estudio; por lo tanto no es fijo y se debe fijar de antemano.

    Nota: Si un conjunto tiene n elementos, se dice que es finito, caso contrario el conjunto es

    infinito.

    CONJUNTOS NUMRICOS

    Nmeros Naturales:

    Los nmeros naturales fueron los primeros que utiliz el ser humano para contar objetos. El

    conjunto de los nmeros naturales tiene infinitos elementos y se simboliza

    = {1, 2, 3, 4,5,..}

    Los puntos suspensivos indican que en no hay ltimo elemento, pero s existe primer elemento

    que es el nmero 1y adems todo nmero natural, llammosle x, tiene su nmero natural

    consecutivo o siguiente, x + 1.

    Al conjunto de los naturales con el cero incluido, se simboliza:

    0 = {0,1, 2, 3, 4,5,..}

    Los nmeros naturales constituyen un conjunto cerrado para las operaciones de suma y

    multiplicacin ya que, al operar con cualquiera de sus elementos, el resultado siempre ser un

    nmero natural: 5 + 6 = 11; 8.5 = 40.

    No ocurre lo mismo, en cambio, con la resta; por ejemplo 8 3 es un nmero natural, pero 3 8

    no es un nmero natural; como consecuencia de ello surgen los nmeros negativos.

    Nmeros enteros:

    Los nmeros enteros abarcan a los nmeros naturales, el cero y a los nmeros negativos.

    = {..,-5,-4,-3,-2,-1,0,1, 2, 3, 4,5,..}

    Todo nmero natural es un nmero entero.

  • Matemtica Unidad 1 - 6

    Facultad de Ciencias Exactas Fsicas y Naturales - U N S J -

    Los nmeros enteros permiten expresar cantidades negativas como un saldo deudor en una

    cuenta bancaria, un ao de la era antes de Cristo, el nmero de una planta del stano de un

    edificio, la representacin de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, etc.

    El conjunto de los nmeros enteros es cerrado para la suma, la resta y el producto; sin embargo,

    la divisin de dos nmeros a/b no siempre es un nmero entero. Es por ello que surge el conjunto

    de los nmeros fraccionarios o racionales.

    Nmeros racionales: Q

    Se llama nmeros racional a todo nmero que puede representarse como el cociente de dos

    enteros con denominador distinto de cero.

    El trmino racional alude a racin o parte de un todo.

    Un nmero racional es un decimal finito o infinito peridico; por ejemplo, el nmero decimal

    finito 0,75 es la representacin decimal del nmero racional 4

    3 y el nmero decimal infinito

    peridico 0,333... es la representacin decimal del nmero racional 3

    1.

    Luego, un nmero es racional si verifica alguna de las siguientes condiciones:

    - es un nmero entero (positivo, negativo o 0).

    - es un nmero fraccionario.

    - es un nmero decimal, con un nmero finito de cifras.

    - es un nmero decimal peridico.

    Nmeros irracionales:

    Los nmeros decimales que tienen infinitas cifras no peridicas, se denominan nmeros

    irracionales: , 2 , e, 3 , etc.

    Nmeros reales: R

    El conjunto formado por los nmeros irracionales y racionales es el conjunto de los nmeros

    reales.

    Todo nmero natural es un nmero real.

    Todo nmero entero es un nmero real.

    Todo nmero racional es un nmero real.

    Todo nmero irracional es un nmero real.

  • Matemtica Unidad 1 - 7

    Facultad de Ciencias Exactas Fsicas y Naturales - U N S J -

    A tener en cuenta!!!

    Entre dos naturales siempre hay un nmero finito de naturales entre ellos.

    Entre dos nmeros enteros hay un nmero finito de enteros entre ellos.

    Entre dos nmeros racionales hay infinitos racionales entre ellos.

    Entre dos nmeros reales hay infinitos reales entre ellos.

    Nmeros Complejos: C

    Al tratar de resolver igualdades como x2 + 4 = 0, aparecen expresiones como 4 que no es

    posible resolver en el conjunto de los nmeros reales, ya que ningn nmero real elevado al

    cuadrado es igual a 4.

    Por ello surgieron los nmeros imaginarios para que sea posible la radicacin de nmeros

    reales negativos: 4 = )1.(4 = 4 . 1 = 2.i

    Se