Matemáticas I

Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 38

Unidad II

Geometría

Última revisión: 07-Octubre-2009

Matemáticas I

Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano Página 39

Tema 1. Geometría en el plano

La geometría del griego geo (tierra) y metrica (medida), es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos,

polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.

Tiene su aplicación práctica en física, mecánica, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística,

etc. También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías).

La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos

prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos».

El estudio de la astronomía, y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como una importante fuente de resolución de problemas

geométricos durante más de un milenio. René Descartes, desarrolló simultáneamente el álgebra y la

geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.

Términos indefinidos de la geometría (punto, línea y plano)

PUNTO Un punto sólo tiene posición en el espacio. Es la unidad indivisible de la geometría. No tiene ninguna

dimensión (largo, alto, ancho). LÍNEA

Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento. PLANO El plano, en geometría, es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y

rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta. Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos

fundamentales.

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Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

Tres puntos no alineados.

Una recta y un punto exterior a ella.

Dos rectas paralelas.

Dos rectas que se cortan. Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego o mayúsculas latinas. Suele representarse gráficamente, para

su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes

irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura pero no espesor.

El plano tiene dos dimensiones a diferencia de la mayoría de los casos que nos rodean que están en tres dimensiones. La geometría plana estudia por ejemplo los triángulos, cuadriláteros, circunferencia, círculo.

Clasificación y trazo de líneas, ángulos y figuras geométricas

Líneas.

Línea recta. Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.

Notación:

Línea curva. Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.

Notación:

Una línea puede ser recta, curva o

combinada. Una línea cualquiera, puede extenderse en forma ilimitada.

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Rayo. Línea recta que crece en un solo

sentido y una dirección

Trazo Línea segmentada, se caracteriza por

dos puntos terminales y se le asocia una dimensión (longitud).

Notación:

Ángulos.

Ángulo: cuando dos líneas se intersectan en sus extremos. El punto de intersección se conoce con el nombre de vértice del ángulo.

Unidades de medición de los ángulos. las unidades de uso común para medir los ángulos son el radián y el grado.

La medida de un ángulo es la cantidad de unidades de medición que contiene.

El grado: es una unidad de medida cuyo símbolo es o. Por consiguiente hay 360o en una revolución completa. En el sistema internacional de medidas, la unidad de medida angular es el radián. Los ángulos se pueden dividir en diferentes tipologías tomando como base los grados que tienen. Así, podemos distinguir entre cuatro tipos de ángulos.

Clases de ángulos.

Ángulo recto: está formado por el cruce de dos rectas perpendiculares que forman la cuarta parte de una revolución, es decir, 90o.

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Ángulo obtuso: un ángulo obtuso tiene una abertura mayor a la del ángulo recto, concretamente 180o.

Ángulo agudo: un ángulo agudo tiene una abertura menor a la del ángulo recto.

Ángulo plano: es aquel cuyos lados son semirrectas opuestas, además el ángulo es la mitad de una

revolución, o sea, 180o.

Notación: Un ángulo se denota de la siguiente forma:

a) Una letra mayúscula en el

vértice.

b) Una letra griega o un símbolo en

la abertura.

c) Tres letras mayúsculas.

Figuras geométricas.

Un polígono es una figura plana y cerrada formada por tres o más segmentos de línea unidos en sus extremos. Estas figuras pueden dividirse en dos variantes:

-Polígonos regulares: son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos congruentes. Además, todo polígono regular está inscrito en una circunferencia.

-Polígono irregular: son aquellos que no tienen todos sus lados y ángulos iguales.

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Clases de polígonos. Veamos ahora los tipos de polígonos que existen.

Los triángulos: son unos polígonos que tienen tres lados, que se unen en los vértices, y tres ángulos. Los triángulos se pueden clasificar por dos aspectos:

Por sus lados:

Escaleno: sus lados y sus ángulos no

son congruentes.

Isósceles: es un tipo de triángulo

que tiene dos lados iguales. Los ángulos opuestos a estos lados

iguales serán iguales.

Equilátero: es un triángulo que

tiene sus tres lados iguales y sus ángulos también son iguales.

Por sus ángulos

Acutángulo: un triángulo

acutángulo tiene sus tres ángulos agudos.

Obtusángulo: este tipo de

triángulo tiene un ángulo obtuso y dos agudos.

El lado opuesto al ángulo obtuso

será de mayor longitud.

Rectángulo: es aquel triángulo que

tiene un ángulo recto y dos agudos.

El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos

lados se llaman catetos.

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Los cuadriláteros. Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. Los lados de un cuadrilátero pueden ser consecutivos u opuestos. De acuerdo a la igualdad o al paralelismo de sus lados podemos clasificarlos en:

Según paralelismo:

Trapecio: El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus

cuatro ángulos son distintos de 90o.

Paralelogramo: El paralelogramo es un polígono de cuatro lados

paralelos dos a dos.

Rectángulo: El rectángulo es un polígono de cuatro lados, iguales

dos a dos. Sus cuatro ángulos son de

90 grados cada uno.

Según la igualdad:

Romboide: tiene dos pares de lados

consecutivos iguales.

Rombo: El rombo es un polígono de

cuatro lados iguales, pero sus

cuatro ángulos son distintos de 90o.

Cuadrado. El cuadrado puede

situarse en ambas categorías.

La suma de todos los ángulos

interiores de todo cuadrilátero es de 360o.

Líneas, ángulos y regiones en el círculo

La circunferencia es una línea curva cerrada, cuyos puntos tienen la propiedad de equidistar de otro

punto llamado centro. El término equidistar significa que están a la misma distancia. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.

En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, la primera: una superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia con área definida; mientras que se denomina circunferencia a la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud.

Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie).

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Líneas.

Principales elementos de la circunferencia. A continuación le explicamos las partes que conforman una circunferencia.

Radio: es el segmento que une el punto centro con cualquier punto de la

circunferencia. El radio permite nombrar a la circunferencia y lo

identificamos con la letra r.

Diámetro: segmento que une dos puntos de la circunferencia, pasando por

el punto centro. El diámetro equivale a la medida de dos radios.

Arco: es una parte o subconjunto de la circunferencia, limitada por dos

puntos de ella.

Cuerda: es un trazo que une dos puntos de la circunferencia.

Ángulos.

Existen diversos tipos de ángulos singulares en un círculo. Cuando un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo, recibe el nombre de ángulo central, mientras que cuando los extremos y el vértice

están sobre el círculo el ángulo se denomina inscrito. Un ángulo formado por una cuerda y una recta tangente se denomina semi-inscrito.

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Regiones del círculo.

Perímetros y áreas. Problemas

Se denomina Perímetro a la distancia alrededor de una figura plana bidimensional, es decir, la suma de las longitudes de sus lados.

Área, es la extensión o superficie comprendida dentro de una figura (de dos dimensiones), expresada en

unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de sus triángulos. A continuación se resumen algunas fórmulas para el cálculo de perímetros y áreas de algunas figuras geométricas básicas.

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Nota. Los problemas y ejercicios de este tema se verán en clase.

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Puntos y líneas en el triángulo

Las líneas notables en el triángulo son cuatro y siempre es posible dibujar tres en cualquier triángulo.

Alturas: son segmentos perpendiculares a un lado y que pasan por el ángulo opuesto, el punto donde se cruzan estas tres alturas se llama ortocentro.

Medianas: son los segmentos que van desde un vértice a la mitad del lado opuesto, el punto donde se cruzan se llama baricentro.

Mediatrices: Son segmentos perpendiculares a los lados que se trazan desde el punto

medio, el punto donde se cruzan se llama circuncentro, este punto es el centro de una circunferencia que se circunscribe al triángulo.

Bisectrices: Las bisectrices de un triángulo son segmentos que dividen cada ángulo

en dos partes iguales, las bisectrices se cortan en un punto llamado incentro, este

punto es el centro de una circunferencia inscrita.

De aquí se deducen los puntos notables del triangulo.

El circuncentro (C) de un triángulo es el punto en el que se cortan sus tres

mediatrices. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita.

El ortocentro (O) de un triángulo es el punto en el que se cortan las rectas que

contienen las tres alturas.

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El incentro (I) de un triángulo es el punto en el que se cortan sus tres bisectrices.

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita.

El baricentro (B) de un triángulo es el punto en el que se cortan las tres medianas.