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1º ESO

En esta unidad vas a: Sumario

Aprender a expresar de forma algebraica ciertas situaciones.

Distinguir y operar con monomios.

Distinguir e identificar ecuaciones e identidades.

Resolver ecuaciones de primer grado.

Resolver problemas utilizando ecuaciones

6.0.- Lectura Comprensiva.

6.1.- Introducción.

6.2.- Expresiones Algebraicas. Lenguaje Algebraico.

6.3.- Monomios.

6.3.1.- Monomios Semejantes.

6.4.- Operaciones con monomios.

6.4.1.- Suma y diferencia de Monomios.

6.4.2.- Producto de Monomios.

6.4.3.- División de Monomios.

6.5.- Ecuaciones.

6.5.1.- Elementos de una ecuación.

6.5.2.- Ecuaciones Equivalentes.

6.5.3.- Transformación de ecuaciones.

6.6.- Resolución de ecuaciones de primer grado.

6.6.1.- Resolución de ecuaciones con fracciones.

6.7.- Resolución de problemas con Ecuaciones.

6.8.- Ejercicios y problemas.

Unidad Didáctica 6: Algebra

Expresiones Algebraicas © Raúl G.M.

2020 © Selectividad.intergranada.com

1

1

Todos los pueblos que se han

preocupado por el avance de las ciencias han

creado centros en los cuales los sabios podían

trabajar e intercambiar ideas, como ocurre en

nuestras actuales universidades y academias.

En Bagdag, capital del mundo árabe en el siglo

IX, se reunieron artistas, escritores y científicos

(filósofos, matemáticos, físicos, astrónomos, médicos…..). Allí se

escribieron, bajo el reinado del Califa Al Raschid, los cuentos de Las Mil y

una Noches, Aladino y la lámpara maravillosa, Simbad el Marino,….. Años

más tarde, el cargo de Califa lo ocupa su hijo Al Mamoun. Cuentan que

una noche Al Mamoun tuvo un sueño en el que se le apareció el gran

filósofo Aristóteles. Al despertar, Al Mamoun, impresionado, mandó

traducir al árabe todas las obras griegas que se habían encontrado hasta

entonces. También mandó construir una casa de la sabiduría en la que se

pudieran reunir los sabios para estudiar y hacer avanzar la ciencia. Entre

esos sabios estuvo el matemático y astrónomo Al Khwarizmi, uno de los

más famosos del mundo árabe, cuyo nombre mal pronunciado dio lugar a

la palaba algoritmo.

6.0.- Lectura comprensiva

Lee nuevamente el texto anterior y completa el siguiente cuestionario:

1.- El término matemático Algoritmo proviene de una mala pronunciación del nombre del sabio árabe: _________________________________________

2.- La capital del mundo árabe antiguo era:___________________________________

3.- El famoso filósofo griego que se le apareció en sueños al Califa Al Mamoun era: ____________________________________

4.- Los cuentos árabes más famosos escritos en el siglo IX fueron:_________________________________

5.- Nuestras actuales universidades y academias equivalen a los:_________________________ de la antigüedad y del medioevo.

6.- Todas las obras griegas que se conocían en la época de Al Mamoun fueron traducidas al árabe por: ___________________________________________

7.- En la _____________________ se reunían los sabios del mundo árabe en tiempos del Califa Al Mamoun.

8.- En los centros de la ciencia re reunían: _________________, _______________ y __________________.

9.- ¿Al Raschid y al Mamoun fueron realmente, sabios o mecenas?: ________________________

10.- ¿Por qué?: ____________________________________________________________________



2

2

Álgebra, del árabe: ـــــج�� ـــ ـــ ـــ ـــ al-ŷabr, es el nombre que identifica a una rama الـــ

de la Matemática que emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas.

La palabra álgebra proviene del título de un libro Al-jabr w’al-muqabalah,

escrito en Bagdad alrededor del año 825 por el matemático y astrónomo Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi, que muestra en sus trabajos la primera fórmula general para la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.

El álgebra comienza en realidad cuando los matemáticos empiezan a

interesarse por las “operaciones” que se pueden hacer con cualquier cifra, más que por los mismos números. Desde 1.700 a.C. a 1.700 d.C. ésta se caracterizó por la invención de símbolos y la resolución de ecuaciones. En esta etapa encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a.C.), llamada álgebra geométrica, rica en

métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas. Hubo que esperar a la Edad Moderna para que los franceses Vieta (siglo XVI) y Descartes (siglo XVII) dotaran al álgebra de un lenguaje definitivamente simbólico, prácticamente igual al que usamos en la actualidad

Gracias a ellos, hoy entendemos como álgebra al área matemática que se centra en las relaciones, estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su resolución.

El álgebra elemental postula distintas leyes que permiten conocer las diferentes propiedades que poseen

las operaciones aritméticas. Por ejemplo, la suma de números (a + b) es conmutativa (a + b = b + a), asociativa a + (b+c) = (a+b)+c, tiene una operación inversa (la resta), a-a=0 y posee un elemento neutro (0), a+0=a.

El lenguaje que utiliza letras y números unidos por los signos de las operaciones aritméticas se denomina lenguaje algebraico.

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Son ejemplo de expresiones algebraicas:

Área de un círculo Densidad de una sustancia El cuadrado de un número

2·A R m

dv

2x

El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente tomamos

como expresiones particulares. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite simplificar teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. Este lenguaje nos ayuda a resolver problemas matemáticos mostrando generalidades.

En general las letras X, Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la expresión algebraica. Los

siguientes son ejemplos de las expresiones algebraicas más usadas, en forma verbal y escrita:

Enunciado Expresión algebraica Enunciado Expresión algebraica La suma de dos números a + b El doble de un número 2x

La resta o diferencia de dos números x-y El doble de la suma de dos números 2(a+b)

El cociente de dos números x/y La mitad de un número x/2

6.01.- Introducción

6.02.- Expresiones Algebraicas. El Lenguaje algebraico

Al Khwarizmi (siglo IX d.C.), considerado uno de los «padres del álgebra»



3

3

De todas las expresiones algebraicas con las que vamos a trabajar, los monomios son las expresiones algebraicas más sencillas.

Un monomio es el producto de un número por una o varias letras, donde el número (incluido su signo) es a lo que llamamos coeficiente y a las letras parte literal.

2 34 x tz pacoeficien rte lite alt er

Llamamos grado de un monomio al número de factores que forman la parte literal, o lo que es lo mimo, al número de letras de la parte literal.

dos x, una t y tres z son 6 letras

2 3 · · · · · 6parte literal x tz x x t z z z grado

Piensa y practica

1.- Si representamos la edad de María con x, escribe en lenguaje algebraico:

La edad que tendrá María dentro de tres años

La edad que tendrá dentro de quince años

La edad que tenía María hace siete años

El doble de la edad de María

La mitad de su edad aumentada en treinta años

La suma de la edad de María y la de su madre, que es el triple de la suya

La suma de las edades de María y de su primo, que es la mitad de la de María

2.-Traduce del lenguaje algebraico:

x

6.03.- Monomios



4

4

de de2 22 gradosegundo cuar gto

· ·

r o

·

ad

·

44

a a

Monomio Monomio

x x y y

x ya

Dos monomios son opuestos si son semejantes y sus coeficientes son números opuestos.

6.3.1.- Monomios semejantes

Decimos que dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal, es decir si tienen las mismas letras, aunque estas estén desordenadas.

2 3 2 3 2 3 3 3 24 3 5 7 8x z x z x z xz x z x zxzxz

Todos estos monomios son semejantes porque tienen 5 letras en la parte literal, 2 equis (x) y 3 zetas (z).

2 2 2 2 2

5 5 2 2

3 7 3 7 3 2

43 3 7 3 2

5

semejante no semejante no semejante

semejante no semejante semejante

x x y z y y

z z y x x y yzx xyz

Piensa y practica

Completa la siguiente tabla:

Monomio Coeficiente Parte Literal Grado Monomio Semejante

8a

3x

2a b

223

xy

5abc

5 48z

m

-7 5

El valor numérico de un monomio es el valor que se obtiene al cambiar la letra o letras por números y realizar la operación.

Por ejemplo, sea el monomio 23x :

el valor numérico para 1x será: 223 13 1 3· 3x

el valor numérico para 3x será: 22 33 3 3·9 27x

el valor numérico para 3

5x será:

2

2 3 9 273·

5 25 253 3x

Sea el polinomio 22a b :

el valor numérico para 21 ya b será: 2 22 2·( ) · 2( ) 2·1·2 41a b



5

5

A la hora de operar con monomios hemos de recordar el orden de preferencia de las operaciones, las tablas de multiplicar y las propiedades de las potencias, puesto que las letras representan números

6.4.1.- Suma y resta de Monomios

Para poder sumar (o restar) dos o más monomios estos han de ser monomios semejantes, es decir, monomios que tienen la misma parte literal, si no son semejantes no se pueden sumar (o restar).

+ = + = 1 tomate 2 tomates 3 tomates 3 patatas 2 patatas 5 patatas

Como podéis ver, podemos sumar tomates con tomates y patatas con patatas, es decir podemos sumar cosas iguales, pero no podemos sumar cosas diferentes:

+ + = ? = 3 patatas 8 tomates 3 pepinos 3 patatas

8 tomates 3 pepinos

Pues sumar (o restar) monomios es algo similar, la suma de monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma (o resta) de los coeficientes.

X + XX = XXX YYY + YY = YYYYY 1 x 2 x (1+2) x = 3x 3 Y 2 Y (3+2) Y = 5Y

Si los monomios no son semejantes, dejamos la suma indicada.

YYY + XX = YYY+XX 3 Y 2 X 3Y + 2X

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 33 3 3 23 2

3 2 (3 2) 5 4 7 11 3 3

5 3 5 3 2 9 6

2 2

3 85 8 5

x xx x x x x y x y x y x x

y y y y xzt xzt xz yyt y y

Piensa y practica

Calcula el resultado de las siguientes operaciones con monomios:

a) x x x f) 3 3 32 4z z z l) 2 211 6m m p) 3 3 35 7 4b b b

b) 2 2x x g) 2n n n n m) 8 3x x q) 4 4 42 4y y y

c) 4 2a a h) 4 4m m n) 3 35m m r) 4 2m m m

d) 2 23x x j) 7 7 73 4t t t ñ) 2 25 4

6 5m m s)

2 3 13 5 2

x x x

e) 7 5z z k) 3 3 35 2a a a o) 2 23

7x x t)

7 4 310 5 2

z z z

6.04.- Operaciones con monomios



6

6

6.4.2.- Multiplicación de Monomios

Recordando que un monomio es el producto de un número y letras, deducimos que el producto de dos monomios es otro monomio en el que el coeficiente es el producto de los coeficientes (tablas de multiplicar) y la parte literal es el producto de las partes literales (propiedades de las potencias).

3 35 4 3

2 3 5 1 3 2 1

2 2

2 2 4 33 3

7 47

· 21 · 24· 21· · 24· ·

· ·

3

·

63 6 4

·x y zx y z

x x y z yx y

yz

zx yzx z

Piensa y practica

Calcula el resultado de las siguientes multiplicaciones de monomios:

a) 3 · 4x x d) 3 4·2 ·4z z z g) 2 711 ·6m m j) 3 3 2 35 ·7 ·4b t b t

b) 2 22 ·x x e) · · ·3n n n n h) 8 ·3y x k) 4 4 3 2·2 ·3y yt y t

c) 34 ·2a a f) 24 ·3m m i) 3 39 ·5p m l) 3 ·4 ·2m m xz

6.4.3.- División de Monomios

De forma similar al producto, el cociente de monomios es otro monomio en el que el coeficiente es el cociente de los coeficientes y la parte literal es el cociente de las partes literales.

4 3 1 2 2 0

3 2

34 2

4 2

2

: 3 : 2:

3 33

9 69 63 : 2·1 2

: :3

1x zx

x x x z zz

xxx

zz

Cuando dividamos dos monomios semejantes, el resultado será un número (monomio de grado 0), porque la parte literal desaparecerá. Resumiendo, el cociente de monomios puede ser un número, otro monomio o una fracción dependiendo del grado de cada uno de ellos:

2 2 2· 36 : 3a b a b

2·a ·b

3 2·a ·b 4 3 3

2 15 : 3

Número

x x 3·5· x ·

3

x3· x

2 25 2 : 6

Monomio

x ab b · ·a b

2·3·b 3·Fracción

a

bb

Piensa y practica

Calcula el resultado de las siguientes multiplicaciones de monomios:

a) 10 : 2x x d) 5 227 : 9z z g) 4

2

x j)

212

4

a

a

b) 214 : 7a a e) 416 : 8a a h) 3

3a k)

2

15

3

x

x

c) 5 227 : 9z z f) 7 75 : 15z z i) 5

10

x

x l)

2

3

8

16

z

z



7

7

Llamamos polinomio a una expresión algebraica formada por la suma o la resta de varios monomios

no semejantes. Se llamará binomio cuando la expresión algebraica esté formada por dos monomios.

2 2 2 2 23 2 5 3 2 3 2 ( )x x x x x x x PolinomioMonomio Binomio

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos y datos desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Cuando esta igualdad es cierta para cualquier valor de la incógnita recibe el nombre de Identidad.

2

23 5 2 4 2 4 4

IDENTIDAD

ECUACIÓN

Primer miembro Segundo miembro

x x x x x

Aunque creas que las ecuaciones son algo novedoso, llevas utilizándolas desde los primeros cursos de primaria. Si no te lo crees, observa:

P Secundaria

3 5 3 5

3 53 5 22

En rimaria En

x

En ambos casos se trata de buscar el número que sumado a tres da como resultado cinco.

Las ecuaciones permiten codificar relaciones en lenguaje algebraico y suponen una potentísima herramienta para resolver problemas, aunque antes, debes aprender a resolverlas.

6.5.1.- Elementos de una ecuación

Los elementos de una ecuación son:

Miembro: Expresión algebraica que hay a ambos lados del =.

Término: Cada uno de los sumandos que hay en los dos miembros.

o Término Independiente: Es aquel que no tiene parte literal.

Incógnita: Cada una de las letras de valor desconocido y que queremos calcular. En general

utilizaremos la letra x, aunque también se suelen utilizar la y y la z.

Grado: Es el mayor de los grados de sus términos

6.5.2.- Ecuaciones equivalentes

Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.

2 4 2 Las ecuaciones Tienen la misma solución, por tanto son equivalentes.

4 8 2

x x

x x

6.05.- Ecuaciones



8

8

6.5.3.- Transformación de ecuaciones

El método para resolver una ecuación consiste en ir transformándola, mediante sucesivos pasos,

en otras equivalentes más sencillas hasta despejar la incógnita (dejar sola la x).

Para transformar una ecuación en otra equivalente más sencilla, utilizaremos dos recursos:

Reducir sus miembros. Transponer los términos.

Reducir los términos de una ecuación es agrupar las x con las x y los números con los números:

Reducciónde

términos

2 3 5 9 4 2 7 3 9 2x x x x x x

Trasponer los términos de una ecuación es pasar todas las x a un miembro y todos los números a otro sabiendo que:

Lo que está sumando, pasa al otro miembro de la ecuación restando (y viceversa)

El 3 que suma en el primer miembro, pasa al segundo restandoEl -2x que está restando en el segundo miembro,

. pasa al primero sumando.

7 9 7 2 9 23 3Trasponemos

cambia cambiade de

signo signo

x xx x

9 12Agrupamos

x

Lo que está multiplicando, pasa al otro miembro dividiendo (y viceversa)

El 9 que multiplica en el primer miembro, pasa dividiendo al segund El 4 que divide en el primer miembro, pasa multiplicando al segundoo

12 4· 12 5 5 24·9

39 40

yx x y

De forma teórica:

Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o resta un mismo número o expresión algebraica, se obtiene una ecuación equivalente a la dada originalmente.

3 4 0 3 4 0 3 44 4Ecuaciones Ecuaciones

Equivalentes Equivalentes

x x x

Si los dos miembros de una ecuación, se multiplican o dividen por un mismo número, distinto

de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada.

3 4 4

33 4

33Ecuaciones EcuacionesEquivalentes Equivalentes

xx x

Decimos que una ecuación es de primer grado cuando presenta monomios de grado 1 en alguno de sus miembros, si los monomios son de grado 2, diremos que la ecuación es de segundo grado, y así sucesivamente….

6.06.- Resolución de Ecuaciones de primer grado



9

9

M

2 3

onomio MonomioMonomiode grado 2 de grado 3de grado 1

Ecuación de primer grado Ecuación de tercer gradoEcuación de segundo a

2

gr do

4 3 2 75 0 0 2 4 5 0 .......x x x x x x

Resolver una ecuación es encontrar el valor, o los valores, que debe tomar la incógnita (o incógnitas) para que la igualdad sea cierta. En el caso de que no exista ningún valor que verifique la igualdad, diremos que la ecuación no tiene solución. Ecuaciones con infinitas soluciones y ecuaciones sin solución

• En la ecuación 0· 0x , cualquier valor que tome x hace cierta la igualdad, por tanto:

0· 0x → Tiene infinitas soluciones

• En la ecuación 0·x k , con k ≠ 0, no hay ningún valor de x, que haga cierta la igualdad.

0·x k → No tiene solución

De forma general, una ecuación de primer grado se

representa como: 0ax b donde a es el coeficiente principal, b el término independiente y x es la incógnita.

La solución de dicha ecuación viene dada por:

0b

ax b ax b xa

Trasponemos Agrupamos Despejamostérminos términos la incógni

Solucita

Rompemos Agrupamos TrasponemosParéntesis términos términos

Tras

ón

p

) 2

) 2 3 2 1 67 2 6 3 6

6 3 3 9 3 9 3 3 6 2

3

7( ) 7 8 3 6

x x

x x x x x x

a x x

b x

x

x

onemos Agrupamos Despejamostérminos té

Soluciónrminos la incógnita

708 67 3 7 70 10 0

71x x xx x

Piensa y practica

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

3 1 6 8x x 3 5 2 4 18x x 3 2 3 1 1x x x

13 5 2 4 2 1 7x x x 11 5 3 2 7 1 8x x x 23 2 5 2 4 30x x x x

2.- ¿Verdadero o falso?

a) La ecuación x2 + 6x = 7x – 1 es de segundo grado.

b) Los términos de una ecuación son los sumandos que forman los miembros.

c) Una ecuación puede tener más de dos miembros

d) Todas las ecuaciones de primer grado son equivalentes.

e) La ecuación x + 1 = 5 es equivalente a la ecuación x + 2 = 6.



10

1

0

6.6.1.- Resolución de Ecuaciones de primer grado con denominadores

Cuando en los términos de una ecuación aparecen denominadores, la transformaremos en otra

equivalente que no los tenga. Para ello, multiplicaremos los dos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

3· 13 213 2 1 2 22 3 13 2 2

3 2 3

402 38 6 2 8 3

. . .(3, 2,6) 66 6 6

8 2 8 538 2 8 408

xx x xx x

x x x x x

m

x

c d

Las ecuaciones permiten resolver una gran cantidad de problemas, presentados generalmente de manera verbal. Tal como lo decía Newton, el paso fundamental en la solución de esta clase de problemas está en la adecuada interpretación del enunciado a través de una ecuación.

Este proceso recibe el nombre de modelación del problema.

Para resolver un problema referente a números o de relaciones entre cantidades, basta traducir dicho problema del lenguaje verbal al lenguaje algebraico, o sea, a una ecuación.

Isaac Newton A continuación se presenta una secuencia de pasos, que permite en general, enfrentar

de manera ordenada la resolución de un problema.

1) Lectura y comprensión del enunciado. 2) Asignar la incógnita o incógnitas. 3) Establecer relaciones entre las variables del problema. 4) Plantear la ecuación ayudándonos del lenguaje algebraico. 5) Resolver la ecuación con precisión. 6) Analizar la solución de la ecuación en el problema y verificar la solución o soluciones. 7) Dar la respuesta al problema planteado

Piensa y practica

3.- ¿Qué enunciado asocias a cada ecuación?

a) La tercera parte de un número es igual a su cuarta parte más 20 unidades.

b) La edad de Andrés es el triple que la de su hermana, y entre los dos suman 20 años.

c) Un rectángulo es 3 metros más largo que ancho, y su perímetro mide 30 metros.

d) He pagado 30 € por 3 blocs de dibujo y una caja de acuarelas. Pero la caja costaba el doble que un bloc.

e) Un ciclista ha recorrido la distancia desde A hasta B a la velocidad de 15 km/h y un peatón, a 5 km/h, ha tardado una hora más. f) Un grillo avanza, en cada salto, un metro menos que un saltamontes. Pero el grillo, en 15 saltos, llega igual de lejos que el saltamontes en 5.

6.07.- Resolución de problemas con ecuaciones



11

1

1

6.7.1.- Ejemplos de problemas resueltos mediante ecuaciones

Veamos algunos ejemplos de problemas resueltos mediante ecuaciones:

1.- Si al triple de un número le restas 8, obtienes 25. ¿De qué número se trata?

Si llamamos x al número, el triple de dicho número será: 3x y por tanto la ecuación será:

3 8 25x Si trasponemos el 8 al segundo miembro:

3 25 8x Agrupando:

3 33x Y despejando la incógnita x:

3311

3x

Por tanto el número pedido es el 11.

2.- Un kilo de manzanas cuesta 0,50 € más que uno de naranjas. Marta ha comprado tres kilos de naranjas y uno de manzanas por 5,30 €. ¿A cómo están las naranjas? ¿Y las manzanas?

Si el precio de las naranjas es x, el de las manzanas será x+0,50

Total dePrecio de 3 Precio del kilo de la comprakilos de naranjas manzanas

Precio de naranjas: x

Precio manzanzas: x+0,50La ecuación será: 3· 0,50 5,30x x

Si rompemos el paréntesis: 3 0,50 5,30x x

Si agrupamos las x y trasponemos el 0,50 al segundo miembro:

4 0,50 5,30 4 5,30 0,50 4 4,80x x x

Si despejamos la x, pasando el 4 al segundo miembro (pasa dividiendo) y calculamos el valor de x:

4,804· 4,80 1,20

4x x

De aquí obtenemos que el precio del kilo de naranjas es 1,20 € y por tanto el de manzanas será:

0,50 1, 20 0,50 1,70 €Manzanas x

Por lo que las manzanas cuestan 1,70 € el kilo y las naranjas 1,20 € el kilo.

3.- Rosa tiene 25 años menos que su padre, Juan, y 26 años más que su hijo Alberto. Entre los tres

suman 98 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?

Si la edad de Rosa es x, su padre, Juan, tendrá 25 años más que ella, x+25, y su hijo Alberto, 26 años menos que ella, x-26. Si la suma de todos es 98, ya podemos escribir la ecuación:

98 25 26 9825

26Rosa Juan Albertoedad e

Rosa x

Juan x

Al

dad edad

bert

x x

o

x

x

Agrupando las x y los números y dejando las x a la derecha y los números a la izquierda del igual:

25 26 98 3 1 98 3 98 1 3 99x x x x x x

Y despejando la x: 99

3 99 333

x x

Número: x

Triple del número: 3x



12

1

2

Por tanto la edad de Rosa es de 33 años, la de su padre, Juan, x+25=33+25=58 años, y la de su hijo Alberto, x-26=33-26=7 años.

Así que Rosa tiene 33 años, Juan 58 años y Alberto 7 años.

Siempre que resolvamos un problema mediante ecuaciones, podemos comprobar que

el resultado es correcto, simplemente sustituyendo los resultados obtenidos.

En el ejemplo anterior, decía que la suma de sus edades era de 98 años, así que, vamos a comprobar si

nuestros resultados son correctos:

33 58 7 998 8Rosa Juan Albertoedad edad edad

Por tanto vemos que las edades obtenidas son correctas porque todas suman 98 y Juan es 25 años más

viejo que Rosa y Alberto es 26 años más joven.

Piensa y practica

4.- Resuelve los siguientes problemas

a) Hallar tres números consecutivos cuya suma sea 219.

b) Dado un número, la suma de su mitad, su doble y su triple es 55. ¿Qué número es?

c) Juan tiene 21 años menos que Andrés y sabemos que la suma de sus edades es 47. ¿Qué edades tienen?

d) Si hemos recorrido 21 km, que son las tres séptimas partes del trayecto, ¿cuántos km quedan por recorrer?

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

20=2x-(10-4x) Sol: x=5

5(x-1)+10(x+2)=45 Sol: x=2

12x+3(2x-4)=60 Sol: x=4

3x-(x+1)=x-2 Sol: x=-1

x-3(x+5)=3x+10 Sol: x=-5

3(2-x)=18x-1 Sol: x=1/3

10+5(x-3)=3(x+1) Sol: x=4

2.- Resuelve las siguientes ecuaciones con fracciones:

13 6 2

2x x x 4x

3 38 1

2 5x x 10x

4( 1) 2 1

3x x

7

2x

2 55 14

2 3 6

x x xx 3x

2 2 60

4 3

x x 6x

3.- Mi abuelo ha plantado los dos séptimos de la superficie de su huerto que son 12 m2. ¿Cuántos m2 mide el huerto?

Sol: 42 m2.

4.- Andrés tiene el triple de dinero que Luis y entre los dos tienen 248 € ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

Sol: 62 y 186 euros.

5.- La edad de Ana es el doble que la de Mirian y la edad de Mirian es el triple que la de Olga, si entre todas ellas suman 70 años ¿Cuál es la edad de cada una?

Sol: Olga 7 años, Miriam 21 y Ana 42.

6.- Luis ha gastado 4,20 € más que Loli. Si entre los dos han gastado 18 € ¿Cuánto gastó cada uno?

Sol: Loli 6,90 € y Luis 11,10 €.

7.- Tengo en una mano el doble de monedas que en la otra. Si en total tengo 27 monedas ¿Cuántas monedas tengo en cada mano?

Sol: 9 monedas en una y 18 en la otra.

8.- María tiene 30 años menos que su padre, y éste tiene el triple de los años de su hija. Halla la edad de cada uno.

Sol: María 15 años y su padre 45. 9.- Se reparten bombones entre tres niños. Al 2º le dan el doble que al 1º y al 3º el triple que al 1º. Si el total es de 36 bombones. ¿Cuántos bombones dan a cada niño?

Sol: 6, 12 y 18 bombones. 10.- Un padre tiene triple edad que su hijo. Si el padre tuviera 30 años menos y el hijo 8 más, los dos tendrían la misma edad. Averiguar la edad de cada uno.

Sol: El hijo 19 años y el padre 57.

6.08.- Ejercicios y Problemas

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