UNIDAD DIDÁCTICA:

RELACIÓN ENTRE EL ÁREA, PERIMETRO Y LAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES

POR:

ANGÉLICA LILIANA MOLANO ZÁRATE

YEFERSON PALACIOS MOSQUERA

ASPIRANTES A MAGISTER EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

MAESTRIA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

SEMINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

UNIVERSIDAD DE MEDELLIN

2012

PRESENTACIÓN Y DESCRIPCIÓN GENERAL

Ciclo para el que se propone: 6º - 7º. Tiempo aproximado: 1 mes.

Nombre o título de la propuesta:

“RELACIONES ENTRE ÁREA, PERIMETRO Y PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES”

Propósito general: Hacer uso de los diferentes pensamientos matemáticos en situaciones generadas en el aula de clase.

Competencia(s) que se

desarrollan:

Trabajo en equipo. Pensamiento y razonamiento lógico matemático. Investigación científica. Planteamiento y resolución de problemas. Manejo de herramientas tecnológicas e informáticas. Desarrollo del lenguaje epistemológico.

Competencia(s) Específicas que se

desarrollan:

Interpreta las posibles relaciones existentes entre lo numérico y lo geométrico. Realiza cálculos para encontrar las medidas en figuras planas. Argumenta sus diferentes hipótesis planteadas a partir de experimentaciones lúdicas. Determina diferencias existentes en las propiedades de los conjuntos numéricos (Naturales y

Enteros). Socializa sus resultados como estrategia de comparación y confrontación de sus hipótesis. Utiliza las herramientas tecnológicas como medio de evaluación personal y formalización.

Qué enseñar y qué aprender:

CONCEPTUALES PROCEDIMENTALES ACTITUDINALES

Unidad de medida.

Noción de Área y perímetro.

Clasificación de los números (paridad y primalidad).

Propiedades de la Adición en los números Naturales (N).

Mediciones a partir de una unidad de medida.

Sistematización de datos obtenidos.

Solución de problemas empleando las operaciones entre números naturales.

Realización de operaciones que ayuden a encontrar relaciones y propiedades en la adición de los números naturales.

Orden en la presentación de los resultados obtenidos.

Responsabilidad a la hora de entregar o solucionar una situación, en el tiempo especificado.

Comunicación con sus compañeros a partir de la socialización de sus ideas.

Trabajo en equipo que permite el libre desarrollo de las ideas de sus compañeros.

Escucha hacia sus compañeros y docente.

1

1 FORMATO DE TABLA DE PRESENTACIÓN TOMADO UNIDAD DIDÁCTICA DE PROYECTO POLYA, PROGRAMA DE GESTIÓN CURRICULAR, ESCUELA DEL MAESTRO.

ANÁLISIS CURRICULAR

Desde lo presentado anteriormente podemos ver algunos elementos curriculares

importantes como las competencias generales y específicas a desarrollar, las

cuales parten de los estándares relacionados con los conceptos propuestos.

Los estándares establecidos para este ciclo y que podemos relacionar son:

Ciclo 6º - 7º

PENSAMIENTO NUMÉRICO

PENSAMIENTO ESPACIAL

PENSAMIENTO MÉTRICO

PENSAMIENTO ALEATORIO

PENSAMIENTO VARIACIONAL

Justifico

procedimientos

aritméticos utilizando

las relaciones y

propiedades de las

operaciones.

Formulo y resuelvo

problemas en

situaciones aditivas y

multiplicativas, en

diferentes contextos

y dominios

numéricos.

Justifico la

pertinencia de un

cálculo exacto o

aproximado en la

solución de un

problema y lo

razonable o no de

las respuestas

obtenidas.

Identifico y describo

figuras y cuerpos

generados por cortes

rectos y

transversales de

objetos

tridimensionales.

Resuelvo y formulo

problemas que

involucren factores

escalares (diseño de

maquetas, mapas).

Identifico relaciones

entre distintas

unidades utilizadas

para medir

cantidades de la

misma magnitud.

Resuelvo y formulo

problemas que

requieren técnicas

de estimación.

Predigo y justifico

razonamientos y

conclusiones usando

información

estadística.

Describo y represento

situaciones

de variación relacionando

diferentes representaciones

(diagramas, expresiones

verbales generalizadas y

tablas).

Cabe decir que nuestra visión de currículo está determinada por un modelo

constructivista, es decir que el estudiante construye conocimiento a partir de

situaciones planteadas por el docente en relación con su entorno y la

manipulación de elementos físicos.

Los elementos fundamentales del currículo a tener en cuenta para nuestra unidad

didáctica son:

Desde el fundamento filosófico, pretendemos que el estudiante reconozca su

entorno, no como algo pequeño y cerrado, sino como algo dinámico, cambiante y

en construcción. Él hace parte del cambio que debe ocurrir en su propio espacio,

en procura de mejorarlo.

2 Sacado de la página educativa de la alcaldía de Medellín, http://www.jaibana.com/

En la primera situación que planteamos en la unidad, tratamos de que el

estudiante reconozca el mundo desde lo macro hasta lo micro es decir, como en el

efecto (zoom); y al mismo tiempo que establezca relaciones con su quehacer

cotidiano.

Nuestro fundamento epistemológico hace que el estudiante vea el conocimiento

como algo no terminado, sino algo que se construye y se plantea como un

problema abierto donde el encuentra a diario cosas nuevas que lo motivan a

seguir investigando.

Los fundamentos antropológico y sociológico, va ligado al anterior fundamento, ya

que tiene como objetivo que el estudiante piense en el aporte que hace a la

sociedad a partir del conocimiento particular, volviéndose un ser socializador. Las

situaciones planteadas en la unidad, están pensadas, para que el estudiante tenga

la necesidad de interactuar con sus semejantes, compartiendo sus ideas y

respetando las de los demás.

De aquí, nace la necesidad de que el estudiante se convierta en un investigador

activo, con iniciativa, con participación activa, generando sus propias hipótesis. En

las situaciones planteadas en la unidad, el estudiante hace un redescubrimiento a

partir de sus propios análisis y conclusiones, es por esto que el fundamento

pedagógico de nuestra unidad está encaminado a generar en el estudiante la

“comprensión de los conceptos”, a partir de su propia construcción y relación con

el entorno.

Preguntarnos por las características personales y socio - económicas de los

estudiantes, hace que determinemos cuál debe ser la metodología que nos ayuda

a “enganchar” al estudiante con el conocimiento.

En esta unidad se tienen en cuenta estudiantes con bajos recursos económicos,

de diversas etnias y culturas, y con dificultades familiares y de conflicto armado,

donde muchos vienen como desplazados rurales para pasar a ser desplazados

urbanos.

Es por esto que la unidad debe estar encaminada a motivar a los estudiantes a

pensar y ver el mundo desde otra óptica o perspectiva, que hay un mundo

diferente al de la violencia, que puede cambiar si ellos cambian su concepción de

él.

Una de las formas de relacionar al estudiante con las necesidades que surgen en

la actualidad, es a partir del uso de la tecnología desde varios aspectos: como una

herramienta de búsqueda, como una herramienta de comprobación, y como una

herramienta de comunicación.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL:

Identificar y relacionar las propiedades básicas de la adición de los números

Naturales con situaciones transversales de la vida cotidiana, utilizando los

diferentes pensamientos lógico – matemáticos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Identificar características de orientación en sistemas geográficos.

Utilizar el diseño de mapas o maquetas para representar una ubicación.

Identificar relaciones entre diferentes unidades de medida.

Hacer relaciones de variables con algunos valores numéricos dados.

Formular hipótesis sobre algunas propiedades numéricas y geométricas.

Justificar procedimientos aritméticos, a partir de relaciones y propiedades

numéricas y geométricas.

Usar información recogida en tablas, como datos estadísticos para plantear

razonamientos y conclusiones.

Encontrar relaciones entre la medida y el valor numérico.

Utilizar el juego como estrategia de experimentación y aprendizaje.

Utilizar herramientas tecnológicas en los procesos de aprendizaje.

ANÁLISIS DIDÁCTICO DE CONTENIDO

TÓPICO GENERATIVO: “Son aquellas ideas y preguntas centrales que

establecen múltiples relaciones entre unos temas y otros y entre estos y la vida de

los estudiantes, por lo cual generan un auténtico interés por conocer acerca de

ellos”.3

Desde la unidad presentada, tenemos en cuenta las relaciones que se ven en la

siguiente “red conceptual”.4

RED CONCEPTUAL

3 Sacado de Revista Alegria de enseñar Nº31, Pág. 30, 1997.

4 . Según (Novak & Gowin, 1999), los mapas conceptuales “tienen por objeto representar relaciones significativas entre conceptos en forma de proposiciones. Una proposición consta de dos o más términos conceptuales unidos por palabras para formar una unidad semántica”. Sacado de la página de internet http://cmc.ihmc.us/papers/cmc2004-234.pdf

Figura 1: Mapa conceptual para el tópico “pensamientos matemáticos”

A partir del tópico establecido, planteamos en la situación Nº1, algunas preguntas

que conllevan al alumno a pensar en su entorno como manera de reflexionar y

construir algunos conceptos matemáticos, que se volverían importantes para el

desarrollo primordial de la comprensión.

HILOS CONDUCTORES: En esta unidad, los hilos conductores se establecen a

partir de los objetivos específicos, puesto que estos son los que determinan en

general lo que queremos que el estudiante aprenda.

METAS PARA LA COMPRESIÓN: “Las metas para la compresión son aquellos objetivos, que como docentes, deseamos sean alcanzados por nuestros alumnos. Estos objetivos son un conjunto de conceptos, procesos, habilidades, ideas, etc. que esperamos sean comprendidos por los estudiantes.”5

El estudiante desarrollará comprensión determinando y relacionando conceptos

fundamentales del conjunto de los números Naturales en el contexto cotidiano.

Para esto, los alumnos comprenderán:

5 Sacado del trabajo de especialización Final del Módulo IV “La Práctica de la Enseñanza” Universidad Católica de Santiago del Estero, Página web: http://www.ucse.edu.ar/fma/staff/svcavadini/Ensenanza-para-la-comprension.pdf

• El uso de los patrones de medida como una comparación para encontrar el área

de una superficie que representa su entorno (mundo, ciudad, barrio, etc.)

• El concepto de Número Natural.

• Propiedades de los números Naturales en relación con las propiedades a partir

de la experimentación.

USO DEL PROGRAMA GEOGEBRA COMO HERRAMIENTA PARA LA COMPRENSIÓN

Se pueden establecer relaciones entre la ciencia, la tecnología y la técnica para poder demostrar que la necesidad de investigación, creación e invención del hombre no es algo que apenas surge sino que viene desde el surgimiento mismo del hombre.

Las relaciones más inmediatas son:

6

Es decir, que la una sin las otras dos no podrían generar las herramientas para responder a las necesidades del hombre.

Pero que la una nazca para reemplazar a la otra, no indica que no se pueda trabajar con la anterior, como el ejemplo que se puede mostrar a continuación que demuestra que utilizar tecnología educativa no es solamente dejar de utilizar un tablero, sino cambiar la visión que tenemos frente a un estudiante como objeto inerte.

La tecnología nos proporciona las herramientas necesarias para que el estudiante deje de ser ese objeto inerte en el aula de clase y se convierta en un ser interactivo y constructor de conocimiento.

6 Imagen sacada de http://platea.pntic.mec.es/~msanch2/tecnoweb/introduc.htm

Lo que determina que la tecnología realmente sea educativa es entonces la guía que genere el maestro para que el estudiante logre interactuar con las herramientas, en búsqueda de conocimiento.

Podemos establecer algunas ventajas y desventajas de la utilización de la tecnología en el aula, de la siguiente manera:

VENTAJAS DESVENTAJASEl estudiante puede hacer su propia construcción del conocimiento.

Crea cierta dependencia por parte del estudiante al pensar que necesita solamente de

estas herramientas para crear su propio conocimiento.

El maestro tiene diferentes maneras de plantear situaciones que generen conocimiento.

Permite que las personas dejen de ser analíticos e investigadores, si solamente se

utiliza para ejercitar conocimientos.El estudiante se motiva para construir su propio

conocimiento.Puede acabar con la verificación sin consultar

con otros autores para verificar dicha información.

Permite mayor argumentación y socialización en los procesos.

La deshumanización que puede provocar la incorporación inadecuada de la tecnología al

campo educativo.Genera un puente entre la tecnología, la técnica

y la ciencia desde lo construido por el estudiante.

Debe ser muy personalizada en algunas ocasiones y debido a la cantidad de estudiantes en un grupo, se pierde el sentido de lo que se

busca en una situación presentada.

El empleo de programas informáticos (Geogebra y Cabri entre otros) en la actualidad se han

convertido en una fuerte herramienta muy necesaria para que el estudiante pueda acceder a una

formación de conocimientos más completa, pues el estudiante, el docente y el mismo proceso

educativo sienten notablemente la ayuda y facilidad dinámica que ofrece el sistema para que sea

el estudiante mismo, quien pueda redescubrir teoremas, formular, contrastar propiedades,

además de inferir y elaborar conjeturas.

DESEMPEÑO DE COMPRENSIÓN:

PLANTEAMIENTO DE LAS SITUACIONES

SITUACIÓN Nº 1: UN MUNDO PLANO DE DOS DIMENSIONES CON FIGURAS DE CUATRO LADOS

DESEMPEÑO PRELIMINAR: Responde las siguientes preguntas, de acuerdo a lo

que conozcas de tu mundo, tu continente, tu ciudad y tu barrio.

1. ¿En qué dimensión crees que vives?

2. ¿Cuántas clases de dimensiones crees que existen? ¿Cuáles son?

3. ¿Te distraes en clase? ¿En qué estás pensando cuando te distraes?

4. ¿Por qué cuando una persona se distrae, dicen que está en otra

dimensión?

ACTIVIDAD DE MOTIVACIÓN: Mira y analiza el VIDEO Dr. Quantum visita el "Planeta Plano" SACADO DE (http://www.youtube.com/watch?v=CR8cO554H4U&feature=related) y responde las siguientes preguntas:

1. ¿De cuántas dimensiones hablaron en el video? ¿Cuáles fueron?2. ¿Por qué crees que al círculo le daba miedo pasar de dimensión?3. Según la dimensión en la que te encuentras en tu barrio, ¿Qué cosas te

gustaría cambiar de esta dimensión?4. ¿Te gustaría salir de tu barrio a conocer otras dimensiones o te daría miedo

el cambio como al círculo? Explica tu respuesta.5. En caso de que tu respuesta a la pregunta anterior sea afirmativa, ¿Qué

condiciones debe cumplir tu nueva dimensión?; y en caso de que sea negativa, ¿Qué condiciones hacen que te quieras quedar en la dimensión de tu barrio?

Ahora, imagínese un mundo plano y sólo con figuras de cuatro lados donde todo

lo interior sea de la misma forma.

ACTIVIDADES DE EXPLORACIÓN: UTILIZANDO GEOGEBRA PARA CONSTRUIR MI MUNDO

ACTIVIDAD Nº 1:

1. Teniendo en cuenta el mapamundi realice una enmarcación de líneas

rectas, de tal forma que se forme el mundo de manera que se vea plano y

de cuatro lados.

El valor de medida de la superficie se puede encontrar a partir de una unidad de medida establecida y la cantidad de veces que está cabe en la figura enmarcada.

2. Utilizando el programa geogebra, plantea una estrategia para encontrar el

valor aproximado de la superficie del mundo que creaste y utilizando la

unidad cuadrada (U ¿¿2)¿como patrón general de medida.

U2=U×U

3. Utiliza una unidad cuadrada con el valor del doble de la medida de U para

medir el mapa.

4. Utiliza una unidad cuadrada con el valor de la mitad de la medida de U para

medir el mapa.

Resuelve:

U2

1. Compara los resultados que obtuviste con las tres unidades que usaste.

a. ¿Cuál de las tres unidades te da un resultado más aproximado?

b. ¿Por qué crees que ocurre esto?

c. ¿Qué relación tiene el área del mapa, con el área del rectángulo que lo

encierra, en cada caso?

d. Encuentra el área del rectángulo con (U ¿¿2)¿. ¿De qué manera la

hallaste?, ¿Existe una única forma de encontrarlo?

e. Encuentra el perímetro del rectángulo teniendo en cuenta que U es la

unidad de medida de longitud, sabiendo que se halla con el valor de la

suma alrededor de la figura.

f. Teniendo el área del rectángulo que encierra el mapa (77 U2) y el área

de afuera del mapa. ¿Cómo encontrarías el área del mapa, sin tener

que usar la suma de los cuadrados de adentro?

DESEMPEÑOS DE INVESTIGACIÓN GUIADA:

ACTIVIDAD Nº 2: 1. Utilizando geogebra, realice su propio dibujo del mapa imaginario de

Medellín y teniendo en cuenta el procedimiento anterior:

a. Encuentre el área aproximada del mapa utilizando

(U ¿¿2 comounidad patrón)¿.

b. Encuentre el perímetro aproximado del mapa utilizando U como unidad

de medida de longitud.

c. Investigue cual es el área estipulada para el mapa de Medellín y

compárelo con el que usted planteo, para determinar si se aproximo al

valor real.

d. ¿Qué unidad patrón de medida utilizan normalmente para dar el valor

del área de la ciudad?

e. Escriba por qué cree que le resultaron esos valores en comparación con

lo investigado.

SITUACIÓN Nº2: ORGANIZANDO CUADRADOS EN GEOGEBRA Teniendo en cuenta la unidad establecida en las actividades anteriores, es decir,

(U ¿¿2 comounidad patrón)¿, analice las siguientes actividades:

ACTIVIDAD 1: Mostramos las posibles formas de organizar (3U ¿¿2)¿ de tal

forma que resulten siempre rectángulos:

a. ¿Cuántas formas se obtuvieron con (3U ¿¿2)¿?

b. ¿Crees que se puedan obtener más formas con ellas, de tal manera que

resulte un rectángulo?

c. ¿Cuál es el área y perímetro de cada forma?

d. ¿Obtuviste los mismos valores para el área y para el perímetro?

1. Utilizando geogebra ordena el siguiente conjunto de unidades cuadradas,

teniendo en cuenta lo mostrado en el punto anterior, de tal forma que

construyas todos los rectángulos posibles con todas ellas:

a. 12(U ¿¿2)¿ b. 5 (U ¿¿2)¿ c. 8 (U ¿¿2)¿ d. 11 (U ¿¿2)¿ e. 9

(U ¿¿2)¿

1.1. ¿Cuántas formas obtuviste en cada caso?

1.2. ¿Cuál es el área de cada forma en cada caso?

1.3. ¿Cuál es el perímetro de cada forma en cada caso?

1.4. ¿Obtuviste los mismos valores para el área y para el perímetro? Explica tu

respuesta

1.5. ¿Con cuáles cantidades de (U ¿¿2)¿, obtuviste menos formas? Explica tu

respuesta

1.6. ¿Con cuáles cantidades de (U ¿¿2)¿ obtuviste más formas? Explica tu

respuesta

1.7. ¿Qué clase de números crees que se formaron con las cantidades de

(U ¿¿2)¿que hicieron resultar menos formas? Explica tu respuesta

1.8. ¿Qué clase de números crees que se formaron con las cantidades de

(U ¿¿2)¿que hicieron resultar más formas? Explica tu respuesta

ACTIVIDAD 2: Teniendo en cuenta las siguientes organizaciones, encuentre las

posibles propiedades de la adición y multiplicación de los números Naturales.

1. Observe la siguiente organización de las (U ¿¿2)¿, determine el valor inicial

1, Valor inicial 2 y el final.

ELEMENTOS TEÓRICOS

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN EN LOS NÚMEROS NATURALES (N)ASOCIATIVA: (a +b) + c = a + ( b + c), donde a, b y c ϵ N, es decir que no importa la forma en la que agrupemos los números, el resultado va a ser el mismo.CONMUTATIVA: a+ b =b +a, donde a y b ϵ N, es decir que no importa el orden de los sumandos, el resultado va a ser el mismo.MODULATIVA: a + 0 = a, donde a ϵ N, es decir que todo número sumado con cero da el mismo número.CLAUSURATIVA: a +b = c, con a, b, c ϵ N, es decir que todo número natural sumado con otro número natural nos da como resultado un número natural.

1.1. Realiza con los mismos valores y sin cambiar el perímetro, otra

organización de los valores iniciales 1 y 2, para que dé el mismo resultado o

valor final.

1.2. ¿Qué propiedad de la adición de los Números Naturales crees que

se cumple en el caso anterior?

2. Observe la siguiente organización de las (U ¿¿2)¿, determine el valor inicial

1, Valor inicial 2, valor inicial 3 y el valor final.

2.1. Realiza con los mismos valores y sin cambiar el perímetro, otra

organización de los valores iniciales 1, 2 y 3, para que dé el mismo

resultado o valor final.

2.2. Encuentra el área y el perímetro de las figuras y compara con lo que

tú encontraste.

2.3. ¿Qué propiedades de la adición de los Números Naturales crees que

se cumple en el caso anterior?

3. Observe la siguiente organización de la unidad patrón (U ¿¿2)¿, determine

el valor inicial 1 y el valor inicial 2, y el valor final.

3.1. ¿Encuentre el área y el perímetro de todas las figuras anteriores?

3.2. ¿Qué clase de números representan todos los valores encontrados?

3.3. ¿Qué propiedades de la adición de los Números Naturales crees que se

cumple en el caso anterior?

4. ¿Cuál propiedad crees que no se presentó en las situaciones? ¿Por qué?

4.1. ¿Cómo crees que se podría ejemplificar ésta propiedad?

DESEMPEÑOS FINALES DE SÍNTESIS:

5. ¿Cómo crees que se podrían plantear las propiedades de la multiplicación

utilizando geogebra?

6. Realiza el procedimiento para mostrar las propiedades de la multiplicación

en geogebra.

6.1. ¿Crees que se cumplen todas las propiedades de la adición en la

multiplicación? ¿Se cumplen todas de la misma manera?

RECURSOS

1) Aula convencional junto con sus elementos básicos (tablero, marcadores, borradores etc.).

2) El aula taller de matemáticas como elemento de la institución, puesto que dentro de este se encuentran muchas de las herramientas a tener en cuenta para el trabajo de matemáticas.

3) Material diseñado por el docente, el cual luego se fotocopiará, y se le hará entrega a cada alumno para que le sirva de introducción a los conceptos a trabajar dentro de la unidad didáctica.

4) Programa geogebra como elemento auto evaluativo y comparativo que permita al estudiante desprenderse del concepto del maestro como centro del conocimiento.

5) Sala de audiovisuales (con aparatos reproductores de videos) y de computadores con el fin de instruir a los niños en el manejo de geogebra.

6) Las multifichas del aula taller de matemáticas.

7) Uso de un glosario por parte del alumno. En este consignara el avance que los alumnos van teniendo en lo relacionado con la parte conceptual de los términos relacionados con la unidad didáctica.

8) Uso del diario de campo por parte del docente.

9) Internet, lápices, reglas etc.

Parte organizativa

La primera situación se plantea de forma individual La segunda situación en equipos de máximo 4 estudiantes y se verificara el

trabajo de los alumnos a través de exposiciones de sus trabajos hechos en geogebra.

BIBLIOGRAFÍA Y CIBERGRAFÍA

Comprender esa es la clave, revista alegría de enseñar, Nº 31, Págs. 28 –

37, 1997.

Didáctica de la matemática en la educación primaria, capítulo 2:

Aprendizaje y evaluación, Págs. 41 – 59.

http://www.jaibana.com/

http://cmc.ihmc.us/papers/cmc2004-234.pdf

http://www.ucse.edu.ar/fma/staff/svcavadini/Ensenanza-para-la-

comprension.pdf

http://www.youtube.com/watch?v=CR8cO554H4U&feature=related