Unidad académica MATEMÁTICA FINANCIERA · PDF filePRESENTACIÓN NORMA DE...

CORPORACIÓN IBEROAMERICANA DE ESTUDIOS CIES INSTITUCIÓN DE EDUCACIÓN PARA EL TRABAJO Y EL DESARROLLO HUMANO

PROGRAMA TÉCNICO LABORAL POR COMPETENCIAS RESOLUCIÓN 15-026 15-011 S.E.D

Código SIGA: 2042

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PROGRAMAS TÉCNICOS LABORALES

Unidad académica

MATEMÁTICA FINANCIERA

Elaborada por

VICTOR ARCINIEGAS PAEZ

DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES PROGRAMAS TÉCNICOS LABORALES POR

COMPETENCIAS BOGOTA D.C.

2015



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NOMBRE : ____________________________________________

C.C : ____________________________________________

PROGRAMA : ____________________________________________

JORNADA : MARTES Y MIÉRCOLES ( ) AM____ PM____

JUEVES Y VIERNES ( ) AM____ PM____

SÁBADOS ( ) AM____ PM____

DOMINGOS ( )

NOMBRE DEL DOCENTE : ________________________

CALIFICACIÓN FINAL : ________________________

FECHA 1 2 3 4

FIRMA 1 2 3 4

Sr. Docente: No firme la cartilla si no está debidamente diligenciada en todos

sus campos.

DERECHOS DEL ESTUDIANTE EN EL AULA DE CLASE

Exigir el uso de la cartilla

Exigir firma y sello de la cartilla por parte del

docente.

Exigir sus notas al final del módulo.



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NINGUNA RECLAMACIÓN SERÁ ACEPTADA SI SU CARTILLA NO ESTÁ

DILIGENCIADA EN TODOS SUS CAMPOS, CON FIRMA Y SELLO DEL

DOCENTE CORRESPONDIENTE.

TABLA 1. PRESENTACIÓN NORMA DE COMPETENCIA LABORAL

INTERNACIONAL (SIAN) Y COLOMBIANA (SENA)

COMPETENCIA

210301019 Contabilizar los recursos de operación, inversión y financiación

de acuerdo con las normas y políticas organizacionales.

210301020 Generar la información contable, financiera y fiscal según

normas legales y políticas organizacionales.

ELEMENTO

210301019. 01 Clasificar los documentos soportes de hechos económicos

de acuerdo con las normas legales y procedimientos organizacionales.

210301019. 02. Registrar los hechos económicos de acuerdo con las

normas legales y procedimientos organizacionales.

210301020 01. Preparar los estados contables y financieros de la

organización.

210301020 02. Presentar la información contable y financiera de la

organización.

210301020 03. Elaborar los reportes contables y fiscales según normas

legales.



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TABLA No2 SABERES A DESARROLLAR EN EL COMPONENTE MATEMÁTICA FINANCIERA

SABER SABER HACER SER

Concepto y aplicaciones del Interés. Tipos de Interés Desarrollo de problemas

Reconoce y aplica los registros y operaciones financieras de acuerdo con el tipo de interés, así como la forma de pago.

Reconoce sus Fortalezas y habilidades. Asume con disciplina la realización de las actividades académicas.



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Contenido SESIÓN 1 ...................................................................................................................... 8 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE LAS FINANZAS................................................... 8 1.1. EXPECTATIVA DE DESEMPEÑO: ................................................................ 8 1.2. EXPECTATIVA DE OPORTUNIDAD: ........................................................... 8

1.3. FINANZAS ........................................................................................................ 8 1.4. TÍTULOS VALORES, ....................................................................................... 8 1.5. MERCADO DE VALORES .............................................................................. 9

1.6. BONOS, ........................................................................................................... 10 1.7. ACCIONES, ..................................................................................................... 10 1.8. CAPITAL, ........................................................................................................ 10 1.9. BANCA O SISTEMA BANCARIO, ............................................................... 11

1.10. DIVISAS, ..................................................................................................... 12 1.11. CAPITAL FINANCIERO ............................................................................ 13

1.12. INVERSIÓN: ............................................................................................... 13 1.13. INTERÉS: .................................................................................................... 13

1.14. INTERÉS EFECTIVO: ................................................................................ 13

1.15. INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO ........................................ 14

1.16. MONTO: ...................................................................................................... 14 1.17. PLAZO: ........................................................................................................ 14 1.18. TASA DE INTERÉS: ................................................................................... 14

1.19. TASA DE DESCUENTO ............................................................................ 14 1.20. TASA DE EQUIVALENCIA: ..................................................................... 14

1.21. TASA DE INTERÉS ANTICIPADA E INTERÉS VENCIDO: ................. 14 1.22. TASA DE INTERÉS CONTINUA: Es la tasa de interés efectiva cuando el

número de períodos de liquidación es infinito; por ejemplo cuando es muy grande. . 14

1.23. TASA DE INTERÉS EFECTIVA: Es la tasa de interés que resulta cuando

se liquida una tasa de interés nominal en períodos menores al estipulado inicialmente

para ella. Es una tasa de interés equivalente a la nominal liquidada en períodos

inferiores (más cortos) que el estipulado para la tasa nominal. .................................. 14

1.24. TASA DE INTERÉS NOMINAL: ............................................................... 14 1.25. TASA DE INTERÉS PERIÓDICA: ............................................................ 15 1.26. TASA DE INTERÉS REAL: ....................................................................... 15 1.27. TASA DE INTERÉS VENCIDA: ................................................................ 15 1.28. TASA DE OPORTUNIDAD FINANCIERA: ............................................. 15

1.29. TASA DE DESCUENTO: ........................................................................... 15 1.30. TASAS DE INTERÉS EQUIVALENTES: ................................................. 15 1.31. VALOR EFECTIVO O LÍQUIDO DE UN PAGARE: ............................... 15 1.32. VALOR NOMINAL: ................................................................................... 15



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1.33. VALOR PRESENTE (VP) ........................................................................... 15

1.34. VENCIMIENTO .......................................................................................... 15

1.35. DESCUENTO: ............................................................................................. 15

1.36. DESCUENTO BANCARIO: ....................................................................... 15 1.37. DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA LIBRE O DIAGRAMA DE TIEMPO

VALOR: ...................................................................................................................... 15 1.38. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA O DE EQUIDAD FINANCIERA: ..... 16 1.1.1. INTERÉS SIMPLE ...................................................................................... 16

1.1.2. CALCULO DE LA TASA DE INTERES ................................................... 17 1.1.3. CALCULO DEL PERIODO DE PAGO ...................................................... 18 1.1.4. VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE DE UNA DEUDA ................. 22

1.1.5. DESCUENTO RACIONAL O MATEMATICO. ........................................ 23 1.1.6. PAGARES .................................................................................................... 24 SESIÓN 2 .................................................................................................................... 28 2. DIAGRAMAS ECONÓMICOS Y ECUACIONES EQUIVALENTES ............ 28 2.1. DIAGRAMAS ECONÓMICOS ...................................................................... 28 2.2. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA ................................................................. 30

2.3. ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE .............................................. 30 2.4. DESCUENTO BANCARIO Y OTROS DESCUENTOS ............................... 35

2.5. DESCUENTO COMERCIAL ......................................................................... 36 2.6. DESCUENTOS EN CADENA O SERIE ........................................................ 37

2.7. INTERESES DE MORA ................................................................................. 39 2.8. TASAS ESCALONADAS ............................................................................... 39

SESIÓN 3 .................................................................................................................... 43 3. PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CRÉDITO DE CORTO PLAZO ............ 43 3.1. PAGO DE LOS INTERESES DE UN PAGARÉ EN FRACCIONES DE

PAGO DE LA DEUDA .............................................................................................. 43 3.2. DESCUENTO BANCARIO CON PAGOS ANTICIPADOS DE LOS

INTERESES EN FRACCIONES DE PAGO. ............................................................ 45

3.3. PAGOS PARCIALES ...................................................................................... 46 3.4. VENTAS A PLAZOS ...................................................................................... 48

3.5. TASA DE INTERÉS CON VENTAS A PLAZOS ......................................... 50 3.6. INTERÉS COMPUESTO ................................................................................ 54 3.7. DIFERENCIA ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO. .... 57 3.8. MONTO COMPUESTO CON PERÍODOSDE CAPITALIZACIÓN

FRACCIONARIOS .................................................................................................... 60

SESION 4 .................................................................................................................... 63 4. VALOR PRESENTE, DIAGRAMAS DE TIEMPO VALOR Y ECUACIONES

EQUIVALENTES A INTERÉS COMPUESTO ........................................................ 63 4.1. VALOR ACTUAL O PRESENTE .................................................................. 63 4.2. VALOR ACTUAL O PRESENTE A INTERÉS COMPUESTO CON

PERIODO DE CAPITALIZACIÓN FRACCIONARIOS ......................................... 64



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4.3. DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO ................................................... 65 4.4. VALOR ACTUAL DE UNA DEUDA QUE DEVENGA INTERESES ........ 66 4.5. ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE .............................................. 67

4.6. TIEMPO EQUIVALENTE .............................................................................. 69 4.7. CONVERSION DE LAS TASAS DE INTERÉS ............................................ 72 4.8. DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS DE CONVERSIÓN ENTRE TASAS 73 4.9. Aplicaciones de las tasas de interés ................................................................. 80



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SESIÓN 1

1. CONCEPTOS BÁSICOS DE LAS FINANZAS

1.1. EXPECTATIVA DE DESEMPEÑO: identifica, diferencia y relaciona los

términos básicos de las finanzas.

1.2. EXPECTATIVA DE OPORTUNIDAD: Conocer las funciones relevantes de las

empresas estatales de control del sistema financiero. En las lecciones anteriores, desarrollamos los conceptos básicos de las matemáticas

aplicados en el ámbito financiero. Esta lección nos permite adquirir una terminología básica

en el mundo de las finanzas y por ende fundamental en el contexto de las matemáticas

financieras.

1.3. FINANZAS,

Es un término aplicado en economía al conjunto de operaciones de compra-venta de

instrumentos legales, cuyos propietarios tienen ciertos derechos para percibir, en el futuro,

una determinada cantidad monetaria. Estos instrumentos legales se denominan activos

financieros o títulos valores e incluyen bonos, acciones y préstamos otorgados por

instituciones financieras.

1.4. TÍTULOS VALORES,

Término utilizado en economía y en las finanzas con dos significados: por una parte, designa

algo dado por un prestatario a la persona que presta para asegurar un préstamo, es decir,

algo que el prestador puede vender y así recuperar el dinero adeudado si el prestatario no

devuelve lo prestado; por otra, designa una participación en los fondos propios (el activo

menos el pasivo) de una empresa.

Los valores eran en un principio los documentos (llamados también título-valor) que probaban

la posesión de una propiedad o los ingresos que podían ser utilizados como garantía

subsidiaria para un préstamo. Hoy día, el término valores se utiliza por lo general para hacer

referencia a acciones rentables o a bonos que se comercian sobre el capital (finanzas a largo

plazo) o en mercados monetarios (finanzas a corto plazo).



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En las últimas dos décadas se ha producido un considerable incremento de la inversión en

valores debido al hecho de que las empresas han optado cada vez más por aumentar sus

finanzas a través del mercado de valores en vez de hacerlo solicitando un préstamo a un

banco o a otro intermediario financiero. Como resultado de ello, el mercado de valores se ha

convertido en algo bastante diverso y sofisticado. Puede que los bancos hayan perdido parte

de su tradicional negocio como entidades prestadoras, pero se ven beneficiados por el hecho

que el riesgo que conlleva conceder un préstamo se reparte ahora en una mayor gama de

entidades financieras, con lo que les resulta rentable ocuparse del tema de los valores.

A medida que la inversión en valores ha ido creciendo lo ha hecho también el mercado de los

llamados derivados, que son en realidad activos derivados de otros activos. Por ejemplo, una

opción (el activo derivado) de comprar una acción (el activo original) a un cierto precio en

cualquier momento hasta una fecha específica establecida en el futuro. En este caso, operan

dos mercados: uno para el activo original y otro para el activo derivado. Aquellos que

comercian con opciones apuestan sobre el precio de la acción de la que han adquirido una

opción de compra. Si el precio de la acción sube en una proporción superior al coste de la

opción, pueden obtener un beneficio. En teoría podría haber derivados de derivados, como,

por ejemplo, en el caso de una posibilidad para adquirir una opción a comprar una acción. En

la práctica, existe una preocupación real de que una excesiva concentración de derivados

pueda minar el mercado de los valores originales.

1.5. MERCADO DE VALORES

Centro donde se produce el intercambio de activos financieros. Los mercados financieros a

largo plazo se denominan de manera común mercados de capitales. Pero la diferencia

fundamental entre los distintos mercados de valores viene dada por el hecho de que se

emitan activos financieros (en cuyo caso se denomina mercado primario o de emisión), o

que se negocien valores (llamado mercado secundario o de negociación).

El primer emisor de un título valor se denomina prestatario, mientras que a la persona que

compra el título valor se la conoce como prestamista. Los prestatarios necesitan dinero en

efectivo, mientras que a los prestamistas les sobra liquidez. Cuando un prestatario emite un

título valor que adquiere un prestamista, ambas partes se ven beneficiadas; el prestatario

obtiene el efectivo que necesita y el prestamista el derecho a obtener en el futuro el valor

monetario prestado, así como una tasa justa de beneficios (como pago de intereses).



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1.6. BONOS,

Instrumento de crédito legal mediante el cual se adquiere el compromiso de pagar una

cantidad prefijada en una fecha concreta, cuando se cumplan determinados requisitos. Los

bonos que se emplean en las finanzas son instrumentos financieros reflejados en un

documento escrito en el que se estipula que el emisor adeuda al tenedor una determinada

cuantía por la que le pagará ciertos intereses, además del principal, en determinadas fechas

preacordadas. Esta clase de bonos suelen ser emitidos por grandes empresas y por los

gobiernos, como medio de emitir deuda pública que les permita financiarse a corto y largo

plazo. El término bonos se suele utilizar para reflejar una emisión de deuda a corto plazo,

mientras que para las emisiones de deuda a medio plazo se emplea el término pagaré, y a

largo plazo el de obligación. Las emisiones de deuda se realizan acudiendo a intermediarios

financieros, que pueden ser bancos o cualquier otro tipo de brokers (intermediarios

financieros que trabajan a comisión por cuenta ajena). El comprador de los bonos puede

quedarse con ellos y cobrar los intereses acordados, o venderlos a un tercero. Los bonos

emitidos por las empresas suelen estar respaldados por una hipoteca sobre las propiedades

de la empresa en algunos casos, pero en otros están respaldados por otro tipo de garantías

pignoraticias o pignoradas. Los bonos emitidos por el Estado no están garantizados, pero el

comprador se siente seguro al conocer la capacidad recaudadora de los gobiernos; sin

embargo, el éxito de la emisión depende de la confianza que tengan los inversores en la

estabilidad del Gobierno emisor.

1.7. ACCIONES,

En economía y en finanzas son participaciones que otorgan el derecho de propiedad sobre

una empresa. Representan, por lo tanto, cada una de las partes en que se puede dividir el

capital social de una empresa.

1.8. CAPITAL,

Término genérico que designa un conjunto de bienes y una cantidad de dinero de los que se

puede obtener, en el futuro, una serie de ingresos. En general, los bienes de consumo y el

dinero empleado en satisfacer las necesidades actuales no se incluyen en la definición

económica de la teoría del capital. Por lo tanto, una empresa considerará como capital la tierra,

los edificios, la maquinaria, los productos almacenados, las materias primas que se posean,

así como las acciones, bonos y los saldos de las cuentas en los bancos. No se consideran



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como capital, en el sentido tradicional, las casas, el mobiliario o los bienes que se consumen

para el disfrute personal, ni tampoco el dinero que se reserva para estos fines.

1.9. BANCA O SISTEMA BANCARIO,

Conjunto de instituciones que permiten el desarrollo de todas aquellas transacciones entre

personas, empresas y organizaciones que impliquen el uso de dinero. Dentro del sistema

bancario podemos distinguir entre banca pública y banca privada que, a su vez, puede ser

comercial, industrial o de negocios y mixta. La banca privada comercial se ocupa sobre todo

de facilitar créditos a individuos privados. La industrial o de negocios invierte sus activos en

empresas industriales, adquiriéndolas y dirigiéndolas. La banca privada mixta combina ambos

tipos de actividades. En el siglo XIX fueron muy comunes los bancos industriales, aunque

éstos han ido perdiendo fuerza a lo largo del siglo XX en favor de la banca mixta. Dentro de

la banca pública debemos destacar, en primer lugar, el banco emisor o banco central, que

tiene el monopolio de emisión de dinero y suele pertenecer al Estado. Asimismo, destacan las

instituciones de ahorro y dentro de éstas, en Colombia, las cajas de ahorro y las cooperativas

solidarias.

El principal papel de un banco consiste en guardar fondos ajenos en forma de depósitos, así

como el de proporcionar cajas de seguridad, operaciones denominadas de pasivo. Por la

salvaguarda de estos fondos, los bancos cobran una serie de comisiones, que también se

aplican a los distintos servicios que los bancos modernos ofrecen a sus clientes en un marco

cada vez más competitivo: tarjetas de crédito, tarjetas débito, entre otros. Sin embargo, puesto

que el banco puede disponer del ahorro del depositante, remunera a este último mediante el

pago de un interés. Podemos distinguir varios tipos de depósitos. En primer lugar, los

depósitos pueden materializarse en las denominadas cuentas corrientes: el cliente cede al

banco unas determinadas cantidades para que éste las guarde, pudiendo disponer de ellas

en cualquier momento. En segundo lugar, los bancos ofrecen cuentas de ahorro, que también

son depósitos a la vista, es decir, que se puede disponer de ellos en cualquier momento. Los

depósitos y reintegros se realizan y quedan registrados a través de una cartilla de ahorro, que

tiene carácter de documento financiero. La disponibilidad de este tipo de depósitos es menor

que la de las cuentas corrientes puesto que obligan a recurrir a la entidad bancaria para

disponer de los fondos, mientras que las cuentas corrientes permiten la disposición de fondos

mediante la utilización de cheques y tarjetas de crédito. En tercer lugar hay que mencionar las

denominadas cuentas a plazo fijo, en las que no existe una libre disposición de fondos, sino



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que éstos se recuperan a la fecha de vencimiento aunque, en la práctica, se puede disponer

de estos fondos antes de la fecha prefijada, pero con una penalización (la remuneración del

fondo es menor que en el caso de esperar a la fecha de vencimiento). En cuarto lugar, existen

los denominados certificados de depósito, instrumentos financieros muy parecidos a los

depósitos o cuentas a plazo fijo; la principal diferencia viene dada por cómo se documentan.

Los certificados se realizan a través de un documento escrito intercambiable, es decir, cuya

propiedad se puede transferir. Por último, dentro de los distintos tipos de depósitos, los

depósitos de ahorro vinculado son cuentas remuneradas relacionadas con operaciones

bancarias de activo es el caso de una cuenta vivienda: las cantidades depositadas deben

utilizarse para un fin concreto, como en la adquisición de vivienda.

Los bancos, con estos fondos depositados, conceden préstamos y créditos a otros clientes,

cobrando a cambio de estas operaciones (denominadas de activo) otros tipos de interés.

Estos préstamos pueden ser personales, hipotecarios o comerciales. La diferencia entre los

intereses cobrados y los intereses pagados constituye la principal fuente de ingresos de los

bancos. Por último, los bancos también ofrecen servicios de cambio de divisas, permitiendo

que sus clientes compren unidades monetarias de otros países.

1.10. DIVISAS,

Unidades monetarias o dinero extranjero, que tienen los bancos de un país, de otras

naciones, o de particulares, en los países que lo autorizan. Así, una libra esterlina es dinero

en Inglaterra, pero se considera como una divisa en Estados Unidos. Un depósito de 1.000

dólares en un banco estadounidense perteneciente a una empresa francesa constituye una

cantidad de divisas a favor de Francia.

La existencia de divisas se debe a que los diferentes países utilizan distintas unidades

monetarias que sólo son de curso legal dentro de su propio territorio, careciendo de valor en

otros países. Debido al comercio internacional, a los viajes que las personas realizan al

extranjero, y a las inversiones que unos países realizan en otros, es necesario poder

intercambiar las distintas unidades monetarias. La cantidad de bienes intercambiados entre

dos países, y las inversiones que hagan entre sí en el otro país, determinarán el valor de

sus respectivas monedas.

Durante los últimos años se ha desarrollado una fuerte discusión en el seno de la Unión

Europea (UE) respecto a la creación de una única unidad monetaria para todos los Estados

miembros, como resultado de la Unión Económica y Monetaria. Si se suprimen todas las



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unidades monetarias de cada país europeo creándose a cambio, por ejemplo, el EURO, no

serán necesarios los intercambios de divisas al comerciar dentro de la UE. Esta disminución

de los costes de transacción favorecería el comercio entre los miembros de la UE.

Las Matemáticas Financieras se refieren al desarrollo de las habilidades para el cálculo de los

factores que conforman el Mercado Financiero. La existencia de un Mercado viene dada por

la presencia de un “bien escaso”: nos referimos en este caso al Capital, uno de los recursos

básicos de la actividad económica. El Mercado Financiero no se refiere al Capital “per se”

sino que incorpora una dimensión fundamental: el tiempo. En realidad lo importante del

Capital, del dinero, es que este se pueda mover en el tiempo y que podamos hallar su valor

en distintos momentos. Toda persona que obtiene un préstamo queda obligada a pagar un

rédito o interés, por el uso del dinero tomado en préstamo o a recibir una utilidad por la

inversión realizada. En general el dinero genera dinero, acumulando valores que varían con

el tiempo. Las actividades, los cálculos y los procedimientos que se manejan en las diferentes

situaciones de la matemática financiera las podemos aplicar en los siguientes conceptos:

1.11. CAPITAL FINANCIERO

Es la medida de cualquier activo real o financiero expresado por su cuantía y por su

vencimiento o momento de disponibilidad. Una operación financiera es toda acción por la que

se produce un intercambio de capitales de vencimientos no simultáneos.

1.12. INVERSIÓN:

Una inversión es cualquier sacrificio de recursos hoy con la esperanza de recibir algún

beneficio en el futuro.

1.13. INTERÉS:

Es la suma que se paga o recibe por el uso del capital. Provecho, ganancia, utilidad. Lucro

producido por el capital. El interés, I, es la compensación que reciben los individuos, firmas o

personas naturales, por el sacrificio en que incurren al ahorrar una suma P.

1.14. INTERÉS EFECTIVO:

Son tasas de interés que usualmente se manejan en las entidades financieras, la persona que

está realizando transacciones necesita conocer e interpretar el manejo y conversión de la tasa

de interés para poder definir el valor real de la transacción.



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1.15. INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO:

La tasa de interés puede considerarse simple o compuesta. El interés simple ocurre cuando

este se genera únicamente sobre la suma inicial, a diferencia del interés compuesto que

genera intereses sobre la suma inicial y sobre aquellos intereses no cancelados que ingresan

o se suman al capital inicial.

1.16. MONTO:

El valor en unidades de una moneda o el valor de una transacción.

1.17. PLAZO:

Es el término que se utiliza para expresar el periodo de duración del préstamo.

1.18. TASA DE INTERÉS:

Es la relación entre el interés acumulado en la unidad de tiempo y el capital original. Se

expresa en porcentaje y se representa por la letra i.

1.19. TASA DE DESCUENTO:

Tasa de interés que establece la equivalencia entre sumas futuras y presentes. Es la máxima

entre el costo de capital y el costo de oportunidad del dinero de la firma.

1.20. TASA DE EQUIVALENCIA:

La tasa de interés que establece la equivalencia entre una suma futura y una presente se

llama tasa de equivalencia, tasa de descuento (discount rate o hurdle rate, en inglés) o tasa

de rentabilidad mínima aceptable.

1.21. TASA DE INTERÉS ANTICIPADA E INTERÉS VENCIDO:

Tasa de interés que se liquida al comienzo del período.

1.22. TASA DE INTERÉS CONTINUA: Es la tasa de interés efectiva cuando el

número de períodos de liquidación es infinito; por ejemplo cuando es muy grande.

1.23. TASA DE INTERÉS EFECTIVA: Es la tasa de interés que resulta cuando se

liquida una tasa de interés nominal en períodos menores al estipulado inicialmente para ella.

Es una tasa de interés equivalente a la nominal liquidada en períodos inferiores (más cortos)

que el estipulado para la tasa nominal.

1.24. TASA DE INTERÉS NOMINAL: Tasa de interés nominal es una tasa de interés

que se estipula para un determinado período -por ejemplo, un año- y que es liquidable en

forma fraccionada, en lapsos iguales o inferiores al indicado inicialmente; esta liquidación se

realiza con la tasa determinada para ese período menor y se llama tasa de interés periódica.



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1.25. TASA DE INTERÉS PERIÓDICA: Tasa de interés asociada a un período

menor que el estipulado para la tasa de interés nominal y que sirve para calcular el monto del

interés a pagar o recibir.

1.26. TASA DE INTERÉS REAL: Tasa de interés que mide la capacidad intrínseca

que tiene el capital de generar riqueza. Se puede considerar como la tasa de interés de una

inversión sin riesgo, en una economía sin inflación.

1.27. TASA DE INTERÉS VENCIDA: Tasa de interés que se liquida al final del

período.

1.28. TASA DE OPORTUNIDAD FINANCIERA: La menor tasa de interés entre

varias alternativas de inversión. Se utiliza para calcular la desventaja financiera.

1.29. TASA DE DESCUENTO: Es el porcentaje del valor nominal que deduce el

prestamista al descontar un pagaré.

1.30. TASAS DE INTERÉS EQUIVALENTES: Tasas de interés que son

equivalentes entre sí y que tienen en cuenta la forma de liquidación: anticipada, vencida,

nominal o efectiva.

1.31. VALOR EFECTIVO O LÍQUIDO DE UN PAGARE: El valor actual o

presente con descuento bancario.

1.32. VALOR NOMINAL: Es el que está inscrito en la obligación (pagaré) e indica la

cantidad que debe pagarse en la fecha de vencimiento señalada, sin intereses.

1.33. VALOR PRESENTE (VP) El valor presente de un ingreso de dinero en el futuro,

es aquella cantidad que se debe entregar o invertir hoy para asegurar esa misma suma de

dinero en el futuro. Esta suma presente es equivalente al flujo de dinero que se espera recibir

en el futuro.

1.34. VENCIMIENTO: Momento en que se tiene que cumplir una obligación o fecha en

que se debe pagar una deuda.

1.35. DESCUENTO: Es la diferencia entre el valor nominal y valor que se recibe en el

momento de descontar el pagaré.

1.36. DESCUENTO BANCARIO: Es el valor que se cobra por adelantado cuando se

adquiere una obligación financiera.

1.37. DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA LIBRE O DIAGRAMA DE TIEMPO

VALOR: El diagrama de flujo de caja libre o de tiempo valor, consiste en un modelo gráfico

que se utiliza para representar los desembolsos e ingresos de dinero a través del tiempo. Los



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ingresos se representan con una flecha hacia arriba y los egresos con una flecha hacia abajo.

Todo se supone que ocurre al final de cada período.

1.38. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA O DE EQUIDAD FINANCIERA: Una o

varias sumas de dinero pueden transformarse en otra u otras sumas de dinero equivalentes

con el paso del tiempo si la tasa de interés utilizada para la transformación satisface las

aspiraciones del inversionistas.

EJERCICIOS DE CONSULTA

Responda las siguientes preguntas teniendo en cuenta el escrito anterior, y algunas fuentes

gubernamentales y privadas, editadas en los diferentes medios de comunicación:

a. Cuál es la función de la SUPERINTENDENCIA BANCARIA en Colombia?

b. Cuáles son las funciones más relevantes del Banco Emisor en Colombia?

c. Identifique las diferentes entidades bancarias en Colombia y clasifíquelas de acuerdo

a las clases expuestas en el escrito.

d. Cuáles son las comisiones y gastos bancarios que se cobran en el mercado

financiero?

e. Que es la inflación?

f. Como afecta la inflación en el mercado de divisas?

g. Cuáles son los indicadores financieros más relevantes en Colombia?

1.1.1. INTERÉS SIMPLE

EXPECTATIVA DE DESEMPEÑO: Calcula el plazo, monto y la tasa de interés de

obligaciones financieras a interés simple.

EXPECTATIVA DE OPORTUNIDAD: Establecer criterios para liquidar pagares y

obligaciones comerciales a interés simple.

En la cotidianidad del contexto financiero, el interés I es la retribución que se reconoce por el

uso del dinero tomado en préstamo, durante un periodo de tiempo determinado t , a una tasa

de interés i acordada o como la utilidad o ganancia que genera una inversión. La cantidad de



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dinero tomado en préstamo o la cantidad de dinero invertido, se conoce como cantidad original

o CAPITAL, se denota por la letra C . Las leyes de cada país rigen las condiciones de los

contratos y relaciones entre el prestamista y el prestatario, o el inversionista y las empresas

del mercado financiero. La forma de liquidar estos intereses al vencimiento de una fecha,

determina el monto total liquidado al finalizar las condiciones.

El interés simple es el interés que se liquida teniendo en cuenta únicamente la cantidad original

o capital durante todo el tiempo que dura la operación, es decir, al calcular el interés simple

se ignoran todos los intereses que se han acumulado en periodos de tiempo anteriores a la

fecha de vencimiento. El cálculo del interés simple se expresa como:

itCI ..

1.1.2. CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS

La tasa de interés i es la relación entre el interés acumulado, y el capital invertido o prestado,

se expresa en porcentaje y depende del periodo de tiempo para el pago. La tasa de interés

que se paga por el uso de cualquier suma de dinero, se expresa generalmente como un

porcentaje de dicha suma, durante un periodo de tiempo igual a un año.

%100*C

Ii

Por ejemplo, Leidy presta a su compañera Martha, $1.000.000, y después de 1 mes Martha le

regresa $1.005.000, esto quiere decir que el capital 000.000.1C 5000I , por lo tanto:

5.0%100*000.000.1

000.5%100*

C

Ii

Si Leidy asume su préstamo como una inversión, la tasa de interés liquidada se conoce como

tasa de retorno, ya que Leidy espera recuperar una suma mayor a la invertida.



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1.1.3. CÁLCULO DEL PERIODO DE PAGO

Como nos podemos dar cuenta, el periodo del tiempo es una de las variables fundamentales

en el cálculo de intereses y de la tasa de interés. El periodo de pago es el intervalo de tiempo

que se utiliza para hacer los depósitos o retiros de capital. Los periodos de pago pueden ser:

anuales, semestrales, trimestrales, mensuales, quincenales, diarios etc. Se representa con la

letra n . El periodo de tiempo que se usa para liquidar el interés sobre el capital inicial o sobre

la cantidad acumulada hasta el momento, se conoce como periodo de capitalización. Los

periodos de capitalización pueden ser igualmente anuales, semestrales, mensuales etc.

Por ejemplo, si una persona deposita dinero cada mes en una cuenta de ahorros, que paga

una tasa de interés del 6% semestral, el periodo de capitalización es semestral y el periodo

de pago es mensual.

Cuando calculamos el interés de una suma prestada o invertida debemos tener en cuenta las

condiciones en que se calcula el tiempo de duración del préstamo. Generalmente la tasa de

interés se calcula en un periodo de tiempo igual a un año. Para efectos de facilitar los cálculos,

se acostumbra a suponer el año de 360 días con 12 meses de 30 días cada uno. Sin embargo

para periodos de pago inferiores a un año, se acostumbran calcular los intereses con un año

de 365 días y de 366 si el año es bisiesto.

El interés calculado teniendo como base el año de 360 días se conoce como interés simple

ordinario o comercial, si el interés, se calcula sobre la base de un año de 365 días o de 366

para años bisiestos se conoce como interés simple real o exacto. Es decir:

360

.. inCIo

365

.. inCIr

Existen varias maneras de medir el tiempo que interviene en el cálculo de los intereses. Para

la cuenta de los días, es costumbre excluir el primer día e incluir el último. Así, para un

préstamo contraído el 16 de febrero y pagado el 25 del mismo mes, el tiempo comercial

transcurrido es de 9 días. En algunos países, la costumbre es contar el primero y el último día;

en tal caso, el tiempo comercial es de 10 días. Es importante que se tenga en cuenta y apliquen



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las costumbres locales, en la solución de problemas. La fijación de la fecha de vencimiento se

establece contractualmente. Por ejemplo, un préstamo que se recibe el 10 de marzo a 3 meses

deberá pagarse el 10 de junio; pero cuando el mismo préstamo se reciba a 90 días, deberá

pagarse el 8 de junio, si la costumbre es contar sólo el día terminal. Si la fecha terminal

corresponde a un día festivo, la costumbre local indicará si el pago debe recibirse el primer

día laboral siguiente, sin contar días adicionales para el cobro de intereses. Para calcular el

tiempo transcurrido entre la fecha inicial y la fecha terminal o de vencimiento, de periodos

mayores de un año, la costumbre comercial es calcular el tiempo aproximado, computando los

años de 360 días y los meses de 30 días, así, para calcular el tiempo transcurrido entre el 29

de mayo de 1984 y el 9 de septiembre de 1987, utilizamos las operaciones aritméticas con

números complejos, es decir:

1987 años 09 meses 09 días


______________________________


Igual a días 1180días 10días 90días 1080

Para periodos menores de un año, la costumbre comercial es contar los días calendarios que

hay entre dos fechas. Para agilizar dichos cálculos utilizamos la tabla siguiente. Los números

de las líneas horizontales indican los días transcurridos, entre el día del mes de la fecha inicial

y el mismo día del mes de la fecha de vencimiento. Por ejemplo si un pagare se firma el 18 de

mayo de un año, y su fecha de vencimiento es el 18 de octubre del mismo año, el periodo de

pago es de 153 días. Esto es igual al número anotado en la intersección de la horizontal

correspondiente al mes inicial, mayo, con la vertical del mes terminal, octubre. Si el día del

mes inicial es diferente al día del mes terminal, para el cálculo se presentan dos casos:



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NUMERO EXACTO DE DIAS ENTRE DOS FECHAS (AÑOS NO BISISESTOS)

DESDE EL AL MISMO DIA DEL MES TERMINAL

DIA DEL MES

INICIAL ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGOS SEP OCT NOV DIC

ENERO 365 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334

FEBRERO 334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303

MARZO 306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275

ABRIL 275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 214 244

MAYO 245 276 304 335 365 31 61 92 123 153 184 214

JUNIO 214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183

JULIO 184 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153

AGOSTO 153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122

SEPTIEMBRE 122 153 181 212 242 273 303 334 365 30 61 91

OCTUBRE 92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61

NOVIEMBRE 61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30

DICIEMBRE 31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365

a. El día del mes terminal es mayor que el día del mes inicial: en este caso se suma la

diferencia de los días, al número definido por el inicial y el mes terminal. Por ejemplo,

para calcular los días transcurridos entre el 3 de septiembre de un año y el 15 de abril

del año siguiente, se debe calcular la diferencia entre las fechas, 15 – 3 = 12, luego

se ubica el número de días entre la intersección septiembre – abril 212, por lo tanto

entre las dos fechas propuestas, hay 224 días calendarios.

b. El día del mes terminal es menor que el día del mes inicial: en este caso la diferencia

entre el día terminal y el inicial se debe restar al número de la intersección de los

meses. Por ejemplo, si se quiere calcular el número de días que hay entre el 18 de

marzo y 10 de noviembre del mismo año, procedemos así: 18 – 10 = 8, la intersección

marzo – noviembre es de 245 días, por lo tanto entre la fecha inicial y la fecha terminal

es 245 – 8 = 237

Igualmente la tabla anterior nos permite calcular la fecha de vencimiento de una transacción,

conocida la fecha inicial y el número de días. El cálculo se hace con gran rapidez, sin

necesidad de contar los días en un calendario. Por ejemplo, si el día 13 de marzo se firma un

pagaré a 120 días, la fecha terminal se puede calcular de la siguiente manera: en la línea

horizontal del mes inicial, marzo, se busca el número más próximo a 120, en este caso es el

número 122 que corresponde al mes terminal julio, la diferencia 122 – 120 = 2 se resta a los



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días del mes inicial y se obtiene el número de días del mes terminal, en este caso, 13 – 2 =

11, por lo tanto la fecha de vencimiento del pagaré es el 11 de julio del mismo mes.

Son muchas las equivalencias que pueden formarse con el ánimo de facilitar los cálculos

suponiendo el año de 360 días, pues si tenemos en cuenta los divisores de 360, podemos

encontrar varias equivalencias que permiten calcular con rapidez los decimales de año

equivalente a cualquier número de días, por ejemplo 360 permite expresar el tiempo en

fracciones de año, como: 30 días = 1/12, 60 días = 1/6, 90 días = 1/4, etc. Igualmente 30 días

= 0.08333333, 60 días = 0.166666. etc. Las tablas siguientes, nos permiten el cálculo

equivalente en fracciones de año de cualquier cantidad de días:

Días

Decimales de

año Días Decimales de año

1 0,002777778 1 0,002739726

2 0,005555556 2 0,005479452

3 0,008333333 3 0,008219178

4 0,011111111 4 0,010958904

5 0,013888889 5 0,01369863

6 0,016666667 6 0,016438356

7 0,019444444 7 0,019178082

8 0,022222222 8 0,021917808

9 0,025 9 0,024657534

Por ejemplo, al calcular la equivalencia de 235 días, en decimales de año comercial se procede

a utilizar la tabla de la siguiente manera:

200 días = 0.005555556 * 100 = 0.5555556

30 días = 0.008333333 * 10 = 0.0833333

5 días = 0.013888889 * 1= 0.0138889

____________________________________

235 días = 0.652778 años de 360 días



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El uso de las actuales calculadoras permite prescindir de las tablas, sin embargo se debe

considerar de gran importancia el uso de estas tablas, ya que en el campo financiero,

comercial o industrial seguirá siendo un medio ágil y seguro de cálculo. Además la matemática

financiera debe capacitar al estudiante para que organice los métodos de solución de los

problemas que se presentaran en las actividades profesionales y producir las tablas que

necesite para los cálculos cotidianos. Una finalidad práctica del uso de las tablas es facilitar el

cálculo de los intereses, por ejemplo, para calcular el interés que debe pagarse por un

préstamo de $250.000 al 10% en 240 días, (si no se indica lo contrario, el interés es el

comercial u ordinario) debemos proceder así:

Sabemos que itCI .. , 000.250$C , días 240n , %10i entonces convertimos

los 240 días a decimales de año, así:

200 días = 0.005555556 * 100 = 0.5555556

40 días = 0.011111111 * 10 = 0.11111111

____________________________________

240 días = 0.666666671 años de 360 días

El interés es por lo tanto 67,666.16$)1.0)(66666671.0)(000.250( I

1.1.4. VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE DE UNA DEUDA

El planteamiento de los problemas económicos – financieros se desarrolla en torno de dos

conceptos básicos que son: CAPITALIZACION y ACTUALIZACIÓN. el concepto de

capitalización se refiérela estudio del monto que se obtendrá en fecha futura o que se

convertirán los capitales colocados en fechas anteriores. En otras palabras CAPITALIZAR es

trasladar y valorizar capitales del presente al futuro. El concepto de actualización se refiere al

estudio del valor en la fecha actual o presente de capitales que se recibirán en fecha futura.

ACTUALIZAR es por lo tanto, traer y valorizar capitales, del futuro al presente.

El valor presente es una suma de dinero que se toma o se entrega en préstamo el día de hoy.

Generalmente indica la cantidad de dinero ubicada en el periodo cero o como se dijo antes es



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el CAPITAL. Se representa por la letra P . El monto o valor futuro, es el valor acumulado al

final de n periodos de interés, igual al valor presente más el interés devengado. Se representa

con la letra F . Es decir:

IPF Pero inPI .. entonces ).1( inPF

Por ejemplo, calcular el monto que debe pagarse por una deuda de $200.000 el 9 de

septiembre, si el pagare fue firmado el 12 de febrero, al 8% de interés.

En este caso 000.200$P , 66666667.0n , 08.0i , por lo tanto, el monto es de:

67,666.210))081.0)(66666667.0(1.(000.200).1( inPF

Para el cálculo del valor presente de una deuda a interés simple y teniendo en cuenta la

ecuación del monto tenemos que:

).1( inPF Entonces in

FP

.1

Si volvemos al ejemplo anterior, podemos decir que 50 días antes de la fecha de vencimiento,

el valor presente de la deuda es:

65,351.208$)08,0)(13888888,0(1

67,666.210

.1

in

FP

1.1.5. DESCUENTO RACIONAL O MATEMÁTICO.

La diferencia entre el valor futuro y el valor actual o presente produce un descuento se conoce

como descuento racional o matemático, la fórmula que permite su cálculo es:

PFD ó inPPinPD ..).1.(

Es decir: el descuento racional o matemático es igual a los intereses simples del capital o valor

presente, que en fecha futura, dará el valor futuro o el monto de la deuda. Volviendo al ejemplo,

el descuento racional o matemático de la deuda 50 días antes de la fecha de vencimiento es:

02.231565,351.20867,666.210 PFD , sin embargo si calculamos el



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descuento simple tenemos que: 22.2222.. inPD , se puede notar que el cálculo de los

descuentos son diferentes, por esta razón el interés racional o matemático es muy poco

utilizado en el mercado financiero y en cambio se utiliza el descuento bancario que será

estudio de otra lección.

1.1.6. PAGARES

Uno de los instrumentos financieros que históricamente se maneja en el comercio desde

mucho tiempo atrás es el pagaré, este es una promesa escrita de pago de una determinada

cantidad de dinero, con intereses o sin ellos, en una fecha dada, suscrita por un deudor a favor

de un acreedor. En un pagaré intervienen los siguientes elementos:

- Plazo: Es el tiempo especificado explícitamente en el documento (número de meses

o número de días).

- Valor Nominal: Es la suma estipulada en el documento

- Fecha de Vencimiento: es la fecha en la cual debe ser pagada la deuda.

- Valor de Vencimiento: se acostumbra a calcular el valor futuro de acuerdo a la tasa de

interés pactada a la fecha de vencimiento.

En un pagaré, en el cual no se estipulen intereses, el valor nominal es igual al valor al

vencimiento, en caso contrario, el valor del vencimiento siempre será mayor que el valor

nominal. Para determinar la fecha de vencimiento del pagaré, se utilizan las técnicas

expuestas anteriormente.

Bogotá, D.E Enero 15 de 2002

Seis meses después de la fecha el(a) inscrit@ promete pagar a la orden

de víctor Arciniegas Páez, la suma de Cinco millones de pesos

($5.000.000.oo) ------------, valor recibido con interés al 6 por ciento

ALEJANDRO GARCIA



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EJERCICIOS DE APOYO Y REFUERZO

1. Determine el monto y el interés simple de:

a. $750.000 durante 9 meses al 5.5%

b. $1.800.000 durante 10 meses al 4.75%

c. $600.000 durante 5 meses y 10 días al 6%

d. $900.000 durante 253 días.

2. Calcular la tasa de interés simple proporcional mensual equivalente a la tasa anual dada.

a. 9% b. 5% c. 12% d. 24% e. 36%

b.

3. Determine la fecha de vencimiento y el monto al vencimiento de cada uno de los siguientes

pagarés.

Valor nominal Fecha inicial Plazo Tasa

a. $300.000 20 de abril 3 meses 7.5%

b. $5.000.000 5 de mayo 65 días 8%

c. $2.000.000 9 de septiembre 8 meses 6%

d. $4.000.000 28 de diciembre 125 días 4%

4. Cuantos días debo pagar por un préstamo que recibí el 10 de marzo y pago el:

a. 15 de junio

b. 10 de junio

c. En 3 meses

d. 25 de diciembre

e. Febrero del año siguiente

5. Calcular el número de días en tiempo real (TR) y en tiempo comercial (Tc) de las siguientes

fechas:

a. 3 de enero de 2000 a 3 de enero de 2002

b. 3 de enero de 2000 a 14 de octubre de 2005

c. 22 de febrero de 2002 a 26 de marzo del 2006

6. Calcule el interés simple comercial y el interés exacto de:

a. $ 250.000 durante 8 meses al 8%

b. $ 600.000 durante 63 días al 9%



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c. $1.200.000 durante 3 meses y 12 días al 8%

d. $1.500.000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el cuatro de abril y el 18 de

septiembre del mismo año.

e. $200.000 durante 3 años al 0.75% mensual.

f. $400.000 durante 2 años 3 meses al 0.5% mensual.

g. $10.000.000 durante 4 años al 5 % semestral

7. Hallar la tasa de interés simple sabiendo que el monto de $ 16.500.000 es:

a. $16.775.000 en 4 meses

b. $17.050.000 en 10 meses

c. $17.479.000 en 325 días

d. $22.632.500 en 2 años, 3 meses, y 13 días

8. En qué tiempo un capital de $300.000 produce:

a. $ 9.000 al 4% de interés simple.

b. $15000 al 6% de interés simple

c. Alcanza un monto de $ 310.000 al 5% de interés simple.

9. El propietario de una casa recibe el 18 de abril de 1999 las tres ofertas que se detallan a

continuación. ¿Cuál es la mejor, si el rendimiento es del 9% mensual?

a. $60.000.000 al contado y un pagaré al 10 de septiembre de 1999 por 32.600.000.

b. $ 30.000.000 a 120 días y $ 63.500 a 180 días

c. $ 20.000.000 al contado y un pagaré con intereses del 8% por $71.000.000 a 120 días.

10. Un inversionista recibió un pagaré que gana intereses del 8%, por $12.000.000, el 15 de

noviembre a 180 días. El 20 de marzo del año siguiente lo ofrece a otro inversionista que

desea ganar el 10%. ¿Cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista?

11. Una persona firma un pagaré por $ 2.000.000 el 15 de abril con vencimiento el 13 de julio

y recibe solo $ 1.955.990. ¿A qué tasa de descuento racional o matemático le fue descontado

el pagaré?

12. El señor Efraín García, invierte la suma de $ 250.000 en la adquisición de un bono de una

corporación financiera que pagó el 6.75% trimestre vencido. ¿Cuál es el interés que recibe



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trimestralmente? ¿Cuál es el monto que puede cobrar el señor García después de año y medio

de haber comprado el bono?

13. La señora Elvira Borda presto la suma de $2.500.000 y recibe mensualmente $90.000 por

concepto de intereses sobre dicho préstamo. ¿A qué tasa de interés presto el dinero?

14. Los títulos de participación fueron creados por la resolución 4ª. De 1974, con el objeto de

regular el mercado monetario. Si un título de participación por un valor nominal de $ 1.000.000,

cuyo vencimiento es de 90 días, fue comprado por la suma de $ 945.620, ¿Cuál fue el valor

descontado? ¿Cuál es la tasa de interés equivalente al descuento? ¿Cuál es la tasa trimestral

y anual que produce dicho título?

15. Una corporación financiera presta a una empresa comercial, la suma de $ 20.000.000 por

un mes a una tasa de 2.25% mensual anticipado. Si cobra por el estudio del crédito $50.000,

timbres $10.000, gastos de manejo $2.000 y papel sellado $350, ¿Cuál es el descuento hecho

por el banco?

a. Sin tener en cuenta los costos de apertura del crédito.

b. Teniendo en cuenta los costos de apertura.

16. El señor Gutiérrez compro una nevera en un almacén por la suma de $ 780.000. El dueño

del almacén le concedió un descuento del 7% por pago de contado. ¿Cuál fue el valor del

descuento y el valor efectivo de la factura?



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SESIÓN 2

2. DIAGRAMAS ECONÓMICOS Y ECUACIONES EQUIVALENTES

EXPECTATIVA DE DESEMPEÑO: Analiza, y soluciona situaciones problemáticas del

entorno financiero, visualizando las condiciones en diagramas de tiempo valor.

EXPECTATIVA DE OPORTUNIDAD: Expresar el principio de equivalencia financiera

utilizando ecuaciones equivalentes.

2.1. DIAGRAMAS ECONÓMICOS

Consiste en la representación gráfica de un problema financiero. Su importancia radica en que

permiten visualizar el problema, facilitando así su definición y análisis correcto. Un diagrama

consta de lo siguiente:

a. Una línea horizontal en la cual se representan todos los periodos en los cuales se ha

dividido el tiempo para efectos de la tasa de interés.

b. Unas flechas hacia arriba y otras hacia abajo ó a la derecha y a la izquierda con las

cuales se representan el flujo de caja (ingresos egresos) o los valores y tiempos que

determinan la actualización o capitalización.

Existen dos tipos de diagramas económicos, diagramas de TIEMPO – VALOR y DIAGRAMAS

DE FLUJO DE CAJA. Si se colocan en una línea de tiempos los valores en juego, se tiene un

diagrama de TIEMPO – VALOR, estos diagramas son de gran utilidad para el análisis de los

problemas y permiten apreciaciones intuitivas. En uno de estos diagramas, el tiempo puede

medirse de dos maneras diferentes: en sentido positivo (de izquierda a derecha), si se tiene

una fecha inicial y se habla de un valor futuro, o de una capitalización; en sentido negativo (de

derecha izquierda), si se tiene una fecha de vencimiento, o final y se habla de una

actualización.

En evaluación de proyectos se utilizan, para guiar el análisis, los DIAGRAMAS DE FLUJO DE

CAJA, que son similares a los diagramas de tiempo valor; colocando flechas hacia arriba para

los ingresos en el momento que se producen y flechas hacia abajo para los egresos. Ejemplo:

Elaborar un diagrama de tiempo – valor para un monto de $20.400 al 6%, 30, 60, 90 y 120

días antes del vencimiento con descuento racional. Comparar este diagrama con el que



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corresponde a una deuda de $20.000 al 6%, calculando su valor a 30, 60, 90 y 120 días

después de la fecha inicial. Para el primer caso se hacen actualizaciones para

días 120 ,90 ,60 ,30 ,06.0 ,400.20 niF

Tiempo 0 30 60 90 120

l l l l l

Valor 20000 20298,51 20198,02 20098,52 20400

En el segundo caso se capitaliza días 120 ,90 ,60 ,30 ,06.0 ,000.20 niP

Tiempo 0 30 60 90 120

l l l l l

Valor 20000 20100 20200 20300 20400

Comparando ambos diagramas se observa que el valor solo es igual en las fechas inicial y final. Observe que la diferencia en una misma fecha por ejemplo, entre las cantidades 20198,02 y 20200 es igual a los interés simples de 198,02 a la tasa dada y en el tiempo calculado para 20198,02. 20200 – 20198,02 = 1,98 que es igual a los

intereses de 198,02 al 6% en 60 días. 98,1)06.0(6

102,198

. Lo invitamos a realizar

los cálculos para las otras fechas. Para el caso de actualización en un diagrama de flujo de caja se tendría para el mismo caso: F = 20400

0 30 60 90 120

P = 20000 20298,51 20198,02 20098,52

Te invitamos para que realices la capitalización en un diagrama de capitalización.



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2.2. PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

Cuando se van a comparar dos o más cantidades, sus características deben colocarse sobre

una base equivalente. Por ejemplo: ¿Qué tiene más valor, 5 libras de azúcar o 2 kilos de la

misma? Para responder la pregunta es necesario colocarlas dos cantidades sobre una base

equivalente, haciendo la respectiva conversión. Una vez hecha la conversión, la pregunta

queda resuelta, pues lógicamente 5 libras de azúcar cuestan más que 4 libras de la misma. Al

estudiar equivalencias de sumas de dinero se debe proceder de la misma manera, teniendo

en cuenta la cuantía, el tiempo de ocurrencia y la tasa de interés. El principio de equivalencia

financiera se enuncia de la siguiente manera:

Una o varias sumas de dinero pueden transformarse en otra u otras sumas de dinero

equivalentes con el paso del tiempo, si la tasa de interés utilizada para la transformación,

satisface las aspiraciones del inversionista.

2.3. ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE

La forma de expresar el principio de equivalencia financiera, es utilizando ecuaciones de

valores equivalentes y la forma de representarlo es utilizando los diagramas de tiempo – valor

o los diagramas de flujo de caja. Para decidir entre diferentes posibilidades financieras, es

fundamental plantear las ecuaciones de valores equivalentes, para determinar por medio de

ellas, cuál de las alternativas es la más conveniente apoyándonos en un diagrama de tiempo

valor. Revisemos los siguientes ejemplos:

a. En cierta fecha, una persona firma un pagaré por $120000 a 90 días, al 8%. 30 días

después, firmó otro pagaré por $100000 a 90 días sin interés. 60 días después de la

primera fecha, conviene con su acreedor, pagar $40000 y recoger los dos pagarés

firmados remplazándolos por uno solo a 120 días, contados desde la última fecha, con un

rendimiento del 9%. Determinar el pago único convenido.

Para plantear la ecuación equivalente para cada una de las condiciones, es necesario dibujar

primero el diagrama de tiempo - valor:



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Tiempo 0 30 60 90 120 150 180

l l l l l l l

Valor 120000 100000 40000 X

La fecha que se escoge para establecer la equivalencia es llamada por algunos como fecha

focal; la fijación de la fecha focal debe ser cuidadosamente analizada, ya que debe

corresponder estrictamente a lo pactado en los pagarés. Los cambios de la fecha focal

producen variaciones en la determinación de las cantidades. Para el ejemplo planteado, se

escoge como fecha focal 180 días después de la firma del primer pagaré, se calculan los

distintos valores en esa fecha y se forma la ecuación de valores equivalentes entre las

condiciones antiguas y nuevas, es decir:

Lo pactado inicialmente (valores antiguos):

)09,0(

4

11)08,0(

4

11120000 +

)09.0(

6

11100000

Los nuevos valores pactados

)09,0(

3

1140000X

Estableciendo la igualdad y efectuando los cálculos, se obtiene:

)09,0(

3

1140000X =

)09,0(

4

11)08,0(

4

11120000 +

)09.0(

6

11100000

10150012515441200 X

41200101500125154 X

185454$X

b. El día de hoy, el señor Criollo debe $10.000.000 por un préstamo con vencimiento en 6

meses, contratado originalmente a 1,5 años a una tasa de 4% y debe además, $2.500.000

con vencimiento en 9 meses, sin intereses. El desea pagar $5.000.000 de inmediato y



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liquidar el saldo mediante un pago único dentro de un año. Suponiendo un rendimiento de

5% y considerando la fecha focal dentro de un año, determinar el pago único que debe

hacer el señor Criollo.

Antes de construir el diagrama de tiempo valor, se debe calcular el monto o valor futuro de la

primera obligación del señor criollo:

000.600.10$)5,1)(04.0(1000.000.10 F

El diagrama de tiempo valor que nos permite interpretar las condiciones es:

Tiempo 0 6 9 12

l l l

l

Valor 5.000.000 10.600.000 2.500.000 X

La ecuación que determina en la fecha focal los valores originales y los nuevos valores es:

)25,0)(05,0(1000.500.2)5,0)(05,0(1000.600.10)05,01(000.000.5 X

253125010865000000.250.5 X

000.250.5253125010865000 X

250.146.8$X

c. Una persona desea liquidar las siguientes obligaciones el día de hoy, suponiendo una tasa

de 4% de interés simple: $1.000.000 con vencimiento el día de hoy; $2.000.000 con

vencimiento en 6 meses con interés del 5% y $3.000.000 con vencimiento en un año con

interés al 6%. Utilizar el día de hoy como fecha focal.

Calculemos los montos de cada una de las obligaciones:

000.050.2)5.0(05.01000.000.21 F 000.180.306.01000.000.32 F

En esta situación, es necesario actualizar cada una de las obligaciones el día de hoy, es decir:

Tiempo 0 6 12 l l l



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Valor 1.000.000 2.050.000 3.180.000

X

04.01

000.180.3

)5.0)(04.0(1

000.050.2000.000.1

X

23.496.067.6$31,692.057.392,803.009.2000.000.1 X

d. el señor Mendoza, ha firmado los siguientes pagares en una empresa de repuestos,

$500.000 con vencimiento en 2 meses, $1.000.000 con vencimiento en 5 meses y

$1.500.000 con vencimiento en 8 meses. El desea saldar las deudas mediante dos pagos

iguales, uno con vencimiento en 6 meses y otro con vencimiento en 10 meses. Determine

el valor de los dos pagos que debe realizar el señor Mendoza suponiendo un interés del

6% tomando como fecha focal la fecha al final de los 10 meses.

Si designamos por X el valor de cada uno de los dos pagos que debe realizar el señor

Mendoza, construimos el grafico de tiempo valor para esta situación así:

Tiempo 0 2 5 6 8 10 l l l l l l Valor 500.000 1.000.000 X 1.500.000 X

Entonces la ecuación de valor equivalente es:

)

6

1)(06.0(1000.500.1)

12

5)(06.0(1000.000.1)

3

2)(06,0(1000.500)

3

1)(06,0(1 XX

)01,1(000.500.1)025,1(000.000.1)04,1(000.50002,1 XX

49.851.514.1$02.2

000.060.3 entonces 000.060.302,2 XX



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1. Una persona debe $2.000.000, para pagar en un año con interés al 6 %. Conviene

pagar $500.000 al final de 6 meses. ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final de 1 año

para liquidar el resto de la deuda, suponiendo un rendimiento del 6%? Tome como

fecha focal la fecha después de un año.

2. Leidy debe $5.000.000 con vencimiento en 3 meses e intereses al 5% y $15.000.000

con vencimiento en 9 meses al 4%. ¿Cuál será el importe del pago único que tendrá

que hacerse dentro de 6 meses para liquidar las deudas suponiendo un rendimiento

del 6%? Tomar como fecha focal a) al final de 6 meses, y b) al final de 9 meses.

3. El señor Jiménez adquiere un terreno de $50.000.000 mediante un pago de contado

de $5.000.000. conviene en pagar el 6% de intereses sobre el resto. Si paga

$20.000.000 tres meses después de la compra y $15.000.000 seis meses más tarde,

¿Cuál será el valor del pago que tendrá que hacer 1 año después para liquidar

totalmente el saldo? Tomar como fecha focal la fecha al final de 1 año.

4. Una persona firma los siguientes pagarés con el 8%: $10.000 dólares a 120 días;

$12.000 dólares a 90 días y $8.000 dólares a 180 días. Trascurridos 30 días, propone

efectuar un pago de $10.000 dólares al contado y un pago único a 180 días con el 9%

de rendimiento. Determine el valor de este pago único.

5. Juan Pablo debe a Cecilia $1000 dólares, pagaderos dentro de 6 meses, sin intereses,

y $2000 dólares con intereses de 4% por 1,5 años, con vencimiento dentro de 9

meses. Cecilia está de acuerdo en recibir 3 pagos iguales, uno inmediato, otro dentro

de 6 meses y el tercero dentro de un año. Determinar el valor de cada pago utilizando

como fecha focal la fecha dentro de un año, suponiendo que Cecilia espera un

rendimiento de 5% en la operación.

6. Una persona debe $2.000.000 con vencimiento a 3 meses y $1.600.000 con

vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con

vencimiento a 6 meses y un año, respectivamente. Determinar el valor de los nuevos

pagarés con el 8% de rendimiento. Tome como fecha focal la fecha dentro de un año.



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2.4. DESCUENTO BANCARIO Y OTROS DESCUENTOS

EXPECTATIVA DE DESEMPEÑO: Diferencia el tipo de desempeño que se debe

aplicar en una situación polémica.

EXPECTATIVA DE OPORTUNIDAD: Aplicar diferentes tipos de descuento a un

pagaré o título valor.

Desde tiempo muy antiguo se ha implementado la costumbre, de cobrar los intereses por

adelantado, sobre el valor de los pagarés, calculándolos sobre el valor anotado en dichos

documentos. Esto además de permitir al prestamista disponer de inmediato del dinero

correspondiente a los intereses, le da un mayor rendimiento que la tasa señalada en la

operación.

El descuento bancario es el interés cobrado por anticipado por las corporaciones financieras,

sobre el valor de un crédito. Este crédito es tanto por cuenta corriente como de ahorros. El

plazo para estos préstamos es generalmente hasta de un año. La tasa de interés depende de

la cuantía del préstamo y de si es sobre cuenta corriente o sobre cuenta de ahorros. El

descuento bancario es una modalidad de interés simple, la diferencia entre este y aquel radica

en que el interés simple por lo general se paga vencido, en tanto que el descuento se produce

por anticipado. El descuento bancario es el que se utiliza en todas las operaciones comerciales

y por ello, al hablar de descuento, se entiende que es el descuento bancario, salvo que se

exprese que es un descuento racional o de otra forma convencional. Para estas operaciones

financieras es necesario recordar y precisar algunas expresiones léxicas, abordadas en la

lección número 5.

- Valor nominal: nV . Es el valor que está inscrito en un documento. En algunos

casos se maneja como el valor futuro.

- Descontar un pagaré: es la acción de recibir o pagar hoy un dinero, a cambio

de una suma mayor comprometida para fecha futura, bajo las condiciones convenidas

en el pagaré. Como se dijo en la lección anterior, un pagaré como un bien mobiliario

puede ser vendido, es decir descontado, una o más veces antes de la fecha de su

vencimiento y cada comprador descuenta el pagaré por el tiempo que falta para su

vencimiento. Cuando la operación se efectúa entre bancos, toma el nombre de

redescuento.



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- Descuento: es la diferencia entre el valor nominal y el valor que se recibe, en el

momento de descontar el pagaré, a una tasa de interés d .

- Valor efectivo eV . Es el valor que se recibe después de haberse efectuado el

respectivo descuento del valor nominal; luego DVV ne . En términos del valor

presente y futuro de puede decir que, el valor efectivo P o valor actual de un pagaré,

es igual al valor nominal F , menos el descuento D , es decir:

DFP Pero dnFD .. entonces dnFFP .. ó )1( ndFP

2.5. DESCUENTO COMERCIAL

En el comercio ofrecen incentivos por el pago de contado, proporcionando descuentos sobre

el valor de los productos, con el fin de obtener una recuperación rápida de su cartera e

incrementar la rotación de inventarios y, en consecuencia, aumentar su capacidad de trabajo,

los motivos que se aducen para efectuar los descuentos son, entre otros, promociones

especiales, compras al por mayor, por pronto pago etc. Los descuentos comerciales tales

como las comisiones se expresan en tanto por ciento y en su valor no interviene el tiempo. Si

%d es el descuento que por alguna razón se concede sobre alguna factura de valor efectivo

F . Por lo tanto dFD . . El valor neto de una factura es igual al valor facturado, menos el

descuento, )1( dFDFP . Por ejemplo: Calcular el valor neto de la factura de

$525.500, por la que se concede un descuento del 8%. En este caso 500.525$F ,

08.0d , por lo tanto 460.483$)08.01(500.525 P .

El comercio mayorista acostumbra ofrecer descuentos por pronto pago, que permiten al

comprador escoger su forma de pago, entre varias alternativas, según el tiempo en que

anticipen el pago sobre el plazo que expresa la lista de precios del mayorista. Si un mayorista

indica sus precios con plazos de pago de 60 días, esto significa que el comprador queda

obligado a pagar a los 60 días contados desde la fecha de la factura; sobre el precio facturado,

se ofrecen los descuentos por pronto pago. Es costumbre indicar los descuentos por medio

de fracciones cuyo numerador indica el tanto por ciento de descuento y cuyo denominador

indica el tiempo dentro del cual el comprador tiene la opción de pagar, para tener derecho al



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descuento que señala el denominador. Por ejemplo: un comerciante factura $2.000.000 el

primero de abril, con las condiciones siguientes: neto a 60 días; %8 ;15

6 ;30

4 al contado.

Esto significa que: por pago al contado contra factura, se paga con el 8% de descuento o sea

que el valor neto de la factura es $1.840.000. Por pago a 15 días de plazo o sea el 15 de abril,

se paga la factura con el 6% de descuento, es decir el valor neto de la factura es $1.880.000,

por pago a 30 días de plazo o sea el 1 de abril, se paga con el 4% de descuento, es decir el

valor neto de la factura es $1.920.000.

2.6. DESCUENTOS EN CADENA O SERIE

Con frecuencia, ocurre que, sobre una misma factura, se hacen varios descuentos por

diferentes razones independientes entre sí. Estos descuentos sucesivos reciben el nombre de

descuentos en cadena o en serie. Por ser los descuentos independientes, cada uno de ellos

se efectúa sobre el valor neto de la factura, después de deducir el descuento anterior. El valor

neto de la factura resultante de los descuentos en cadena se puede hallar con la siguiente

formula:

)1).......(1)(1)(1( 321 niiiiFP

Donde P es el valor neto o efectivo de la factura después de haber hecho todos los

descuentos, F el valor nominal de la factura, niiii ,....,, 321 , el porcentaje equivalente a cada

uno de los descuentos consecutivos aplicados al valor nominal de la factura. Por análisis

podemos decir, que el orden en que se efectúen los descuentos no altera el valor neto final de

la factura, ya que la operación que se realiza es el producto y esta es conmutativa. Si se quiere

calcular el valor único equivalente a una cadena de descuentos, establecemos la ecuación de

equivalencia entre los valores netos de una factura de $1, con descuentos en cadena

niiii ,....,, 321 , equivalente a d , es decir:

)1)........(1)(1(1 21 niiid

)1)........(1)(1(1 21 niiid

Como aplicación de lo aquí expuesto revisemos los siguientes ejemplos.

a. Sobre una factura de $500.000 se conceden los siguientes descuentos:

- Por compra al por mayor 8%



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- Por promociones especiales de ventas 5%

- Por despachos sin empaques 6%

Hallar el valor neto de la factura y el descuento equivalente único. Dar la solución aplicando

consecutivamente para cada descuento y luego la fórmula del descuento en cadena.

Si 000.500$F , 08,01 i , 05.02 i , 06.03 i , entonces:

Valor neto de la factura Descuento % Valor actual

$ 500.000 8% $ 460.000

$ 460.000 5% $ 437.000

$ 437.000 6% $ 410.870

Es decir el valor neto de la factura es $410.870 después de aplicados los tres descuentos.

Utilizando la ecuación de los descuentos en cadena obtenemos:

)1)(1)(1( 321 iiiFP Entonces )06.01)(05.01)(08.01(000.500 P

Es decir 780.410$)94.0)(95.0)(92.0(000.500 P

Encontramos que el valor neto de la factura es el mismo.

El descuento equivalente único es: )1)(1)(1(1 321 iiid por lo tanto:

)06.01)(05.01)(08.01(1 d , es decir: %844.1717844.082156.01 d

Puedes notar que 780.410$)17844.01(000.500$ P idéntico a los resultados

anteriores.

b. Un laboratorio farmacéutico vende medicamentos a una caja de previsión social por la suma

de $ 10.000.000, efectuando los siguientes descuentos:

- 10% por compras al por mayor

- 8% promoción especial

- 6% por pago en efectivo

Calcular el valor neto de la factura y el descuento único equivalente.

Utilizando la ecuación de los descuentos en cadena obtenemos:

)1)(1)(1( 321 iiiFP Entonces )06.01)(08.01)(1.01(000.000.10 P

Es decir 200.783.7$)94.0)(92.0)(90.0(000.00.10 P



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El descuento equivalente único es: )1)(1)(1(1 321 iiid por lo tanto:

)06.01)(08.01)(1.01(1 d , es decir: %168.2222168.077832.01 d

Puedes notar que 200.783.7$)22168.01(000.000.10$ P idéntico al monto neto de

la factura calculado anteriormente.

2.7. INTERESES DE MORA

Cuando un pagaré no es cancelado en la fecha señalada para su vencimiento, entra a ganar

intereses simples sobre el valor nominal por el tiempo que se retrasa el pago, a una tasa de

interés que se fija al firmar el pagaré. Los intereses de mora se calcula aplicando las formulas

del monto o valor futuro y descontando el valor nominal del pagaré que se asume como valor

presente. Por ejemplo: calcular los intereses de mora de un pagare cuyo valor nominal es de

1.400.000 cancelado 38 días después de su vencimiento, si los intereses de mora se fijan en

el 15%.

Aplicando la fórmula para hallar el monto tenemos:

67,166.422.1$)15.0(360

381(000.400.1)1( niPF , por lo tanto los intereses

ganados son: 67,166.22$000.400.1$67,166.422.1$ PFI , que es

equivalente al cálculo de un descuento simple racional o matemático.

2.8. TASAS ESCALONADAS

Las tasas escalonadas son aquellas en las que los tipos de interés que se aplican varían de

acuerdo con algún criterio preestablecido. Por ejemplo las escalas de tributación de impuestos

de renta, catastrales y otros, en Colombia los sueldos de los empleados oficiales aumentan

de acuerdo a tasas escalonadas preestablecidas por el gobierno. Es decir, para un cierto rango

de valores se asigna un porcentaje de aumento diferente al de otros rangos.

En una empresa que concede aumentos salariales de acuerdo a una escala de tasas

escalonadas como la siguiente:



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Salarios hasta $700.000 10% de aumento

Salarios de $700.001 a $1.400.000 6% de aumento

Salarios de $1.400.001 en adelante 4% de aumento

Con las tasas escalonadas de aumento, sucede que la vecindad de los valores en que se

produce la variación de la tasa se origina una situación de inversión en la categoría de de los

empleados, pues suele ocurrir, que después del aumento, los empleados de cierta categoría

quedan con un sueldo superior al de otros empleados que eran antes del aumento, sus

superiores, en categorías de sueldos. Por ejemplo: un empleado de la empresa antes

señalada, que tenía un sueldo de $700.000 recibe un aumento del 10%, es decir, el nuevo

sueldo es de $770.000, pero otro empleado que esta en la segunda categoría y gana $710.000

recibe un aumento del 6%, es decir, su nuevo sueldo es de $752.600, inferior al primer

empleado que estaba en una categoría inferior antes del aumento.

La forma de evitar esta inversión, es modificando la escala, por medio del planteamiento de

una ecuación equivalente, de manera que el nuevo valor sea igual al antiguo, más una suma

fija y más un porcentaje del exceso con relación al extremo inferior del intervalo. La suma fija

es equivalente al aumento del sueldo en el extremo inferior del intervalo. El porcentaje fijo es

igual a la razón entre la diferencia de los aumentos en los extremos del intervalo y el ancho

del intervalo. Generalizando matemáticamente el concepto de escalas modificadas podemos

decir que:

Sea S el nuevo valor buscado, en un intervalo supinf LL , con un ancho w a una tasa 1i

. Sea inf11 .LiA , el aumento en el extremo inferior del intervalo, y sup22 .LiA el aumento

en el extremo superior, sea 12 AAd , la diferencia de los aumentos en los extremos, el

porcentaje o tasa modificada es: w

d

w

AAi

12 , si P es el valor actual, entonces:

EidPS . , siendo E el exceso de los valores actuales con respecto al extremo

inferior.

Volviendo al ejemplo anterior, la escala modificada de los sueldos para el intervalo

000.400.1001.700$ , en este caso 000.84 000.70 21 AA por lo tanto

000.14$000.70000.84 d 02.0000.700

000.14

w

di , entonces los sueldos entre,



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000.400.1001.700$ aumentan 000.14$ , más el 2% del excedente del sueldo sobre

001.700$ , por ejemplo para un sueldo de 000.900$ el valor modificado es:

EidPS . = 000.918$)000.200(02.0000.14000.900

Para el intervalo de 000.400.1$ en adelante, la modificación se hace con relación al sueldo

más alto en la empresa; por ejemplo, si éste es de 000.800.1$ , se toma su valor como

extremo superior del intervalo. El estudiante debe establecer cuál es la nueva escala

modificada en este intervalo.


1. Un inversionista descuenta dos pagarés en un banco que cobra el 9% de interés

simple por adelantado: uno por valor nominal de $15.000.000 a 90 días y otro por

$10.000.000 a 60 días; hallar el valor efectivo que recibe.

2. Un inversionista presta una suma de dinero a un cliente mediante un pagaré cuyo

valor nominal es $6.000.000 con vencimiento a 150 días, que aplica un descuento

bancario cargando el 12% de interés. 40 días después descuenta el pagaré en un

banco que carga el 9% de interés, hallar: a. La suma que recibe el cliente; b. La suma

que en la operación comercial gana el inversionista; c. la suma que descuenta el

banco.

3. Un vendedor de artículos de papelería factura el 1 de abril la suma de $1.800.000,

para cancelar en las siguientes condiciones:

a. 8% de descuento si paga de contado

b. 6% de descuento si paga a los 15 días

c. 4% de descuento si paga a los 30 días

d. Neto si paga a los 60 días

Encuentre el valor efectivo de la factura para cada una de las condiciones.

4. Un banco carga el 5% de descuento simple en préstamos a corto plazo. Determinar

el valor del documento, sin intereses, dado al banco si el prestatario recibe:

a. $2.500.000 por 60 días

b. $1.250.000 por 3 meses

c. $1.750.000 por 5 meses

d. $1.500.000 del 20 de septiembre al 4 de noviembre



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e. $2.000.000 del 21 de junio al 1º. De septiembre

f. $3.000.000 del 11 de junio al 18 de noviembre

5. Un banco carga el 6% de intereses por adelantado (6% de descuento simple). Si el

señor González, firma un documento por $2.000.000 a 5 meses, ¿Qué cantidad

recibirá en el banco?, ¿Qué tasa de interés simple paga el señor González?

6. Determinar el valor de un documento que debe firmar la señora Norma Pérez a 5

meses y a una tasa del 6% para que reciba $ 3.000.000, de un banco.

7. Un pagaré a 120 días por $3.000.000 que gana intereses del 10% se negocia en un

banco que descuenta al 8% de intereses; hallar el valor efectivo que se recibe del

banco.

8. Determinar la fecha en que fue descontado un pagaré de $600.000 con vencimiento

el 21 de mayo, si se recibieron $594.000 con descuento bancario del 9%.

9. La tarifa para impuestos de renta en Colombia es de tasas escalonadas modificadas.

Entre $10.000.000 y $150.000.000 la tarifa es de $2.416.500, más el 37% del exceso

sobre $10.000.000 de renta líquida gravable. Calcular.

a. La tasa real de impuestos que se paga, sobre $10.000.000 de renta.

b. La tasa real de impuestos que se paga, sobre $15.000.000 de renta.

c. La tasa real de impuestos que se paga, sobre $11.500.000 de renta.

d. La tasa real de impuestos que se paga, sobre $13.000.000 de renta.

10. Un acuerdo sindical concede a los trabajadores la siguiente escala de aumentos de

sueldos. Sueldos inferiores a $1.500.000, 12% de aumento. Sueldos desde

$1.500.001 a $2.500.000, 10% de aumento. Sueldos desde $2.500.001 a $3.500.000,

el 8%. Desde $3.500.001 en adelante, el 6%, calcular la escala modificada, para evitar

la inversión de las categorías de sueldos.

Un comerciante ofrece mercancías por valor de $16.000.000 y establece los descuentos en cadena del 8%, 6%, 5%. Por experiencia sabe que el 25% de los compradores harán uso de los tres descuentos; el 35% hará uso del primero y segundo descuento; el 22% hará uso del primero de los descuentos y el resto de los clientes no utilizará ninguno de ellos. Calcular: a. el descuento equivalente de la cadena; b. el descuento único equivalente a la cadena de los dos primeros descuentos; c. el descuento efectivo con que vendió toda su mercancía; la cantidad en que vendió la mercancía.



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SESIÓN 3

3. PAGOS PARCIALES Y VENTAS A CRÉDITO DE CORTO PLAZO

EXPECTATIVA DE DESEMPEÑO: Analiza situaciones financieras donde se hacen

pagos parciales.

EXPECTATIVA DE OPORTUNIDAD: calcular la cantidad que se debe cancelar en la

fecha de vencimiento de una obligación por medio de una serie de pagos parciales.

Es importante tener en cuenta la forma de cancelar una deuda a través de pagos parciales

durante el plazo pactado, porque se le puede permitir al deudor que pague con ciertas

facilidades, sin disminuir en ningún momento el rendimiento de la operación. Para comprender

mejor esta situación, observe que al liquidar los intereses de cualquier pagaré en fracciones

del plazo de la deuda, si éstos son acumulados al final de cada periodo, van a ser equivalentes

a una tasa de interés efectiva anual, que se estudiará en la lección 10. Igualmente a la lección

anterior, es necesario precisar algunos términos.

- Pagos parciales: Abonos que se hacen a la deuda antes de su fecha de vencimiento.

- Tasas de interés efectivo: es la que determina el interés periódico que efectivamente

debe sumarse al capital en el momento de la liquidación.

- Tasa nominal: es la tasa que se declara en las operaciones financieras, sobre una

base anual; se determina multiplicando la tasa de interés efectiva para el periodo de

interés por el número de periodos por año. Se expresa como nir . , y representa el

% anual con capitalización semestral, trimestral, mensual, etc.

3.1. PAGO DE LOS INTERESES DE UN PAGARÉ EN FRACCIONES DE PAGO DE LA DEUDA

Analicemos lo que sucede con un pagare de $100 que gana interés del 12%, con vencimiento

a un año de plazo de un año, y que el deudor se comprometió a pagar los intereses por

bimestre vencido.

El diagrama de tiempo – valor, muestra para este ejemplo, la fecha de pago de los intereses

y el valor de estos:



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_____________________________________________________________________ 44

Tiempo 2 4 6 8 10 12 Valor $2 $2 $2 $2 $2 $2

Fijando la fecha focal en la fecha de vencimiento del pagaré, se tiene que los intereses

pagados en cada bimestre, ganan intereses, a la misma tasa del pagaré, hasta la fecha de

vencimiento. Es decir, si los intereses no son cancelados al final de cada bimestre, éstos a su

vez ganan intereses a la misma tasa del pagaré, hasta la fecha de vencimiento del mismo.

Calculando los valores futuros de cada pago de interés al final del año, designándolos por

n321 F,......., , , FFF . Además, ).1( inPF . Entonces:

Para añodemesesn 6

5

12

10 10 2.2$))12,0(

6

51.(21 F

Para añodemesesn 3

2

12

8 8 16.2$))12,0(

3

21.(22 F

Para añodemesesn 2

1

12

6 6 12.2$))12,0(

2

11.(23 F

Para añodemesesn 3

1

12

4 4 08.2$))12,0(

3

11.(24 F

Para añodemesesn 6

1

12

2 2 04.2$))12,0(

6

11.(25 F

Además, en la fecha de vencimiento el deudor deberá cancelar el interés correspondiente al

último trimestre más el valor del pagaré, o sea, el monto al final del año es de $102, si se le

agrega a este valor los montos 54321 ,, , , FFFFF , se tiene el monto en la fecha focal:

16.112$04.208.212.216.22.2102 F

El valor futuro final muestra que los intereses correspondiente a un pagaré de $100 a una tasa

efectiva del 12,16%, que es mayor que la tasa nominal del pagaré, 12%.



Código SIGA: 2042

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_____________________________________________________________________ 45

3.2. DESCUENTO BANCARIO CON PAGOS ANTICIPADOS DE LOS INTERESES EN FRACCIONES DE PAGO.

En el descuento bancario, son frecuentes las obligaciones que obligan al deudor al pago

anticipado de los intereses, por tiempos que son fracciones del plazo de la deuda. Analicemos

el descuento bancario con pagos anticipados de los intereses, a través de la siguiente

situación: el propietario de un pagaré por valor de $100 que vence dentro de 12 meses, con

pagos de intereses del 12% por bimestres anticipados. En la fecha inicial, el propietario del

pagaré recibe el valor efectivo descontado en el primer bimestre, es decir:

98$))12.0(6

11(100)1( ndFP

El diagrama de tiempo – valor, para este ejemplo es:

Tiempo 0 2 4 6 8 10 12 Valor $2 $2 $2 $2 $2 $2

Los intereses que debe pagar el prestatario en fecha futura al comienzo de cada bimestre son

obligaciones que, dentro del mismo juego de descuento bancario a la tasa fijada, es posible

calcularles su valor efectivo en la fecha inicial. Es decir:

Para añodemesesn 6

1

12

2 2 96.1$))12,0(

6

11.(21 P

Para añodemesesn 3

1

12

4 4 92.1$))12,0(

3

11.(22 P

Para añodemesesn 2

1

12

6 6 88.1$))12,0(

2

11.(23 P

Para añodemesesn 3

2

12

8 8 84.1$))12,0(

3

21.(24 P

Para añodemesesn 6

5

12

10 10 8.1$))12,0(

6

51.(25 F



Código SIGA: 2042

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_____________________________________________________________________ 46

El valor de los intereses calculados por descuento bancario en el presente tiene un valor de:

4.11$80.184.1$88.1$92.1$96.1$2$ D

Es decir, la tasa real de descuento bancario es de 11,4%, menor que la tasa nominal del 12%

señalada en el pagaré.

3.3. PAGOS PARCIALES

En ciertas obligaciones financieras se permite hacer una serie de pagos parciales durante el

periodo pactado de la obligación. La situación problemita es determinar la cantidad que se

debe cancelar en la fecha de vencimiento de la respectiva obligación. Para el tratamiento de

estas obligaciones hay diferentes criterios; las más importantes y de más frecuente aplicación

son la regla comercial y la regla de los saldos insolutos

La regla comercial indica que, para los pagarés que ganan intereses, deben calcularse en la

fecha de vencimiento, independientemente, los montos de la obligación y de los diferentes

abonos. La cantidad por liquidar en esa fecha es la diferencia entre el monto de la obligación

y la suma de los montos de los diferentes abonos. Sea F el monto de la deuda en la fecha

de vencimiento y n321 F,......., , , FFF los montos de los distintos abonos en la misma fecha y

se X la cantidad por liquidar. De acuerdo con la regla comercial, la ecuación de equivalencia

es:

)...( 321 nFFFFFX

Por ejemplo: Si un almacén de AUTOPARTES firma una letra por valor de $500.000 el día 1

de mayo de 2002, a una tasa de interés del 20% con vencimiento de un año. El almacén paga

$80.000 en dos meses, $100.000 en seis meses y $150.000 en siete meses, calcular de

acuerdo a la regla comercial, el saldo por pagar en la fecha de vencimiento. En el diagrama

tiempo – valor, podemos representar la situación teniendo en cuenta cada uno de los pagos y

el valor inicial de la deuda.

Tiempo 0 2 6 7 12 Valor $500.000 $80.000 $100.000 $150.000 X



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Los montos respectivos de los abonos, en la fecha de vencimiento son:

Para añomesesn 112

12 12 000.600$))2,0(1.(000.500 F , que es el monto

total que se debe cancelar dentro de un año, si no se hace ningún pago antes de la fecha.

Ahora , el valor futuro de cada pago parcial a la fecha de vencimiento de la obligación es:

Para añodemesesn 6

5

12

1010 33,333.93$))2,0(

6

51.(000.801 F

Para añodemesesn 2

1

12

6 6 000.110$))2,0(

2

11(000.1002 F

Para añodemesesn 12

5 5 500.162$))2,0(

12

51(000.1503 F

Por lo tanto. El saldo de la deuda al final del año es:

)...( 321 nFFFFFX = )000.162000.11033,333.93(000.600$

67.666.234$X

Se puede notar que el monto nominal al final del año es menor que el calculado teniendo en

cuenta los pagos parciales.

En el caso de la regla de los saldos insolutos, cada vez que se hace un abono debe calcularse

el monto de la deuda hasta la fecha del abono, y restar ese monto el valor del abono; así se

obtiene el saldo insoluto en esa fecha. Los pagos parciales deben ser mayores que los

intereses de la deuda hasta la fecha de pago. Ejemplo: aplicar la regla de los saldos insolutos

a la situación del almacén del ejercicio anterior.

Tiempo 0 2 6 7 12 Valor $500.000 $80.000 $100.000 $150.000 X

Teniendo en cuenta el diagrama de tiempo valor procedemos así:

El Monto de la deuda a los 2 meses es: 67.666.516$))2.0(6

11(000.500 F

El saldo insoluto a los 2 meses es: 67.666.436$000.80$1 FS



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_____________________________________________________________________ 48

El monto a los 6 meses es 78.777.465$))2.0(3

11(67,666.4361 F


El monto a los 7 meses es 08.874.371$))2.0(12

11(78.777.3652 F


Sobre el saldo insoluto en la fecha del último abono, se calcula el monto en la fecha de

vencimiento. Es decir:

59.363.240$))2.0(12

51(08.221874 F

Comparando los resultados obtenidos, al aplicar la regla comercial y la regla de los saldos

insolutos, se puede notar que el saldo por pagar en la fecha de vencimiento resulta mayor,

resulta mayor al aplicar la regla de los saldos insolutos. Esto se debe al que aplicar esta regla,

el prestamista entra a ganar intereses sobre los intereses capitalizados, en cada fecha de los

pagos parciales. Si un deudor de una obligación con intereses del 12% a un año de plazo,

hace abonos mensuales, aplicando la regla de los saldos insolutos, se le cobra sobre saldos

el 1% mensual con capitalización mensual, es decir, interés compuesto y no simple, esto lo

aclararemos en la lección 10.

3.4. VENTAS A PLAZOS

Debido a la gran aplicación que tienen en el comercio, es necesario hacer un análisis de

algunos aspectos de los sistemas utilizados en las compraventas a plazos. El comerciante, al

precio de contado de la mercancía, carga un cierto valor por concepto de intereses, otro por

concepto de gastos administrativos, entre los cuales se cuenta el estudio del crédito, gasto de

contabilidad, gastos legales y otros. Para el comprador, el sobre precio que paga son los

intereses de la deuda que contrae con la compra a plazos. Se presentan dos modalidades

ventas a plazos con cobro de interés sobre saldos y ventas a plazos con pagos periódicos

iguales.

Para el caso de las ventas a plazos con cargo de intereses sobre saldos, esta modalidad es

de aplicación poco frecuente y consiste en cancelar la deuda en cuotas iguales al final de cada

período, a las que se le suman los intereses sobre el saldo de la deuda a una tasa convenida.

Por ejemplo Gerardo compra un electrodoméstico en un almacén por la suma de $580.000;



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_____________________________________________________________________ 49

paga por concepto de cuota inicial $100.000 y el saldo en 8 cuotas cada una, más un interés

del 3% mensual sobre saldos. Esto quiere decir que:

Valor de la compra $580.000 Menos cuota inicial $100.000 ------------- Saldo $ 480.000

Gerardo debe pagar la cuota fija de capital ($60.000), más el cargo por intereses sobre el

saldo insoluto en la fecha. Luego los pagos al final de cada periodo serán:

Periodo abonos a capital intereses sobre saldos valor cuota mensual saldo

1 $ 60.000 (480.000)(0.03)=$14.400 $74.400

$420.000

2 $ 60.000 (420.000)(0.03)=$12.600 $72.600

$360.000

3 $ 60.000 (360.000)(0.03)=$10.800 $70.800

$300.000

4 $ 60.000 (300.000)(0.03)=$ 9.000 $69.000

$240.000

5 $ 60.000 (240.000)(0.03)=$ 7.200 $67.200

$180.000

6 $ 60.000 (180.000)(0.03)=$ 5.400 $65.400

$120.000

7 $ 60.000 (120.000)(0.03)=$ 3.600 $63.600 $

60.000

8 $ 60.000 ( 60.000)(0.03)=$ 1.800 $61.800 $

00.000

Para el caso de las ventas a plazos con pagos periódicos iguales, es la costumbre más general

en el comercio, para las ventas a plazos. Para determinar el valor de cada uno de los pagos

periódicos o cuotas, se procede así: al precio de contado se le hace un cargo adicional por

venta a plazos. De este valor, se resta la cuota inicial y el saldo se divide por el número de

pagos convenidos. Es decir:

gosnúmerodepa

inicial cuota - adicional) cargo contado de (precio cuotaValor

Reorganizando el numerador se obtiene:



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gosnúmerodepa

adicional cargo ) inicial cuota - contado de (precio cuotaValor

Quiere decir, que en realidad, la adición se hace al saldo insoluto y el valor de la cuota es:

gosnúmerodepa

inicial cuota - insoluto Saldo cuotaValor

3.5. TASA DE INTERÉS CON VENTAS A PLAZOS

El problema de determinar la tasa de interés anual cargada, en una transacción del tipo

mencionada, es necesario fijar algunos términos y dar algunas definiciones:

inicial pago - contado deValor insoluto Saldo B

intereses o adicional Cargo I

inicial pago el excluyendo pagos de úmero Nn

periodico pago delalor VR

unopor en tanto expresado interes de anual Tasa i

añoun en contenidos plazos o períodos de úmero Nm

añosen expresado Tiempo m

n

abonosen pagopor cargo interesespor cargo . BnRI

No es prioridad en este documento hacer las demostraciones de las fórmulas para calcular,

las tasas de interés, según la regla comercial, según los saldos insolutos y según el descuento

bancario. Sin embargo sugerimos que con tu profesor hagan la deducción de cada una de

ellas en clase. Las formulas son:

a. Para la tasa de interés según la regla comercial, se supone que todos los pagos

parciales R se utilizan en primer lugar para el pago del saldo insoluto B , y además

para el pago del cargo por intereses I , determinamos, la tasa de interés como:

)1()1(

..2

nInB

Imi



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_____________________________________________________________________ 51

Por ejemplo: Una nevera de $650.000, precio de contado; se vende a plazos mediante un

pago inicial de $120.000 y el saldo en 6 cuotas mensuales de $ 100.000. Calcular la tasa

de interés cargada. En este caso:

El saldo insoluto 000.530$000.120000.650 B ; el cargo por intereses es:

000.70$000.530)000.100(6. BnRI ; El número de pagos es 6n ; el periodo

de paga es 1 mes, por lo tanto 12m

5,0000.350000.710.3

000.680.1

)16(000.70)16(000.530

000.70)12(2

i

La tasa de interés cargada es por lo tanto del 50%.

En la venta a plazos del ejemplo anterior, supóngase que el comerciante desea cargar

intereses a la tasa del 30%. Calcular a) El cargo que debe adicionar al precio de contado, para

obtener su precio de venta a plazos; b) La cuota mensual.

5,0.5000.710.3

.24

)5()7(000.530

).12(23.0

I

I

I

Ii

II .24.5.1000.113.1 ; Por lo tanto, 06,647.43$5.25

000.113.1I

El valor de la cuota o pago periódico es: 84,607.95$6

06,647.43000.530

R

b. Para el caso de la tasa de interés según la regla de los saldos insolutos, se utilizan

algunas fórmulas para cálculos aproximados de la tasa cargada en operaciones de

ventas a plazos. Sin embargo desde el punto de vista de las matemáticas financieras

ninguna de ellas tiene validez y serán trabajadas con mayor rigor en el capítulo del

interés compuesto. Una de las más utilizadas es la llamada de razón constante, bajo

la suposición de que cada pago R se utiliza para el pago de parte del saldo insoluto

y para el pago de intereses, en la misma razón del saldo insoluto B , al cargo por

intereses I , encontramos que la tasa de interés es:

)1(

2

nB

mIi



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Por ejemplo: para el caso de la nevera del ejercicio anterior en el que se pedía hallar la

tasa de interés cargada, se tiene que:

4528,0000.710.3

000.680.1

)16(000.530

000.70)12(2

i , es decir el 45.28%

c. La tasa de descuento bancario en ventas a plazos, considera el saldo insoluto B

como el valor efectivo o actual, de la suma de los valores presentes en la fecha de

compra, de la secuencia de pagos R a la tasa de descuento simple %d .

)1.(.

2

nnR

mId

Como ejemplo retomamos el ejemplo anterior y encontramos que:

4.0000.200.4

000.680.1

)7)(6(000.100

)000.70)(12(2

)1.(.

2

nnR

mId

Por lo tanto la tasa de descuento bancario es del 40%

Supongamos que el comerciante desea cargar la tasa de descuento del 24%. Calcular el cargo

que debe adicionar al precio de contado, para obtener el precio de ventas a plazos.

)1.(.

2

nnR

mId , 000.100$ ;6 ;12 ;24.0 Rnmd , por lo tanto:

000.200.4

24

)7)(6(000.100

).12(224.0

II

000.008.124 I , entonces 000.42$24

000.008.1I


1. El 1º de junio del año anterior Marcos Pereira pidió un préstamo de $500.000 al 6%.

Pago $150.000 el 15 de julio, $50.000 el 20 de octubre y $250.000 el 25 de enero de

este año. ¿Cuál es el saldo vencido el 15 de marzo de este año?, calculado mediante

a) la regla comercial, b) la regla de los saldos insolutos.



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2. Un automóvil usado se ofrece por un valor de $6.000.000 de contado o $1.000.000

de cuota inicial y 9 mensualidades de $600.000 cada una. Determinar,

aproximadamente la tasa de interés cargada mediante, a) la formula comercial, b) la

fórmula de descuento bancario.

3. Un automóvil con precio de $30.850.000 es vendido por $5.850.000 de cuota inicial.

El saldo se pagará mediante una serie de pagos mensuales con intereses del 6%

anual sobre el saldo inicial. Hallar el importe del pago mensual y de la tasa de interés

cargada si en total se harán 18 pagos iguales, aplicando, a) la fórmula de razón

constante, b) la fórmula de descuento bancario.

4. Una empresa financiera carga el 2% mensual sobre préstamos de $500.000 o menos.

Usando la fórmula de descuento bancario, hallar la tasa de interés cargada sobre un

préstamo de $450.000, si este será pagado mediante 24 pagos mensuales iguales.

5. Un banco descuenta un pagaré de $4.500.000 a un año de plazo con un pagare de

interés del 28% por trimestre anticipado. Calcular la tasa efectiva de descuento.

6. Un inversionista presta la suma de $1.500.000 a un cliente, mediante un pagare que

gana el 29% de interés simple, quedando el prestatario obligado a cancelar los

intereses por trimestre vencido. Hallar la tasa de interés cobrado teniendo en cuenta

que cada pago de intereses gana a su vez intereses.

7. Una deuda de $750.000 con intereses del 10% vence en 10 meses. Si se pagan

$150.000 en tres meses y $200.000 dentro de cinco meses, ¿Cuál es el saldo insoluto

en la fecha de vencimiento?

8. Un inversionista presta $2.000.000 a un cliente, a un año de plazo, mediante un

pagaré que gana el 10% de intereses simples, quedando obligado el deudor a

cancelar los intereses por trimestre vencido. Hallar la tasa de interés real cobrado.

9. Un banco descuenta un pagaré de $1.000.000 a 18 meses de plazo con intereses del

12% anual, pagaderos por semestre anticipados. Hallar la tasa efectiva de descuento

bancario cobrada por el banco.

10. Una persona firma un pagaré de $500.000 a 6 meses de plazo, con intereses del 9%.

Antes del vencimiento, efectúa los siguientes abonos: $100.000 al mes y $200.000 a

los cuatro meses de firmado el pagaré. Hallar el saldo que debe pagar al vencimiento,

aplicando la regla comercial, y luego la de saldos insolutos.

11. Un comerciante acostumbra a aumentar el precio de venta de contado en 10% para

ventas con plazos hasta 6 meses, y en 15%, para plazos entre 6 meses y un año.

Cobra una cuota inicial igual a las cuotas a pagar en los plazos. dos clientes Alberto y



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Beatriz, compran cada uno artículos por el mismo valor de $600.000. Alberto lo

compra a 5 meses de plazo y Beatriz a 10 meses de plazo, con pagos mensuales.

Para ambas compras, calcular la cuota mensual y la tasa de interés cargada en la

transacción, aplicando la regla comercial.

12. Una tienda ofrece muebles de sala en $780.000 con una cuota inicial de $100.000 y

el saldo en 18 cuotas quincenales de $39.600 cada una. Calcular la tasa de interés

cargada en la venta, según la regla comercial.

13. Un comerciante vende televisores a $450.000; para promover sus ventas, los ofrece

a crédito para pagar en 12 cuotas mensuales de $40.000 cada una y recibe la primera

como cuota inicial. Calcular la tasa de descuento bancario de la transacción.

14. Un comerciante en artículos electrodomésticos, recarga el precio de contado en el

14% para sus ventas a plazos hasta 8 meses. Como cuota inicial, cobra el 20% del

valor de la venta a plazos y el saldo, en cuotas iguales mensuales. Calcular el valor

de las cuotas que debe pagar una persona que compra artículos por valor de $500.000

precio de contado, para pagar en 8 cuotas mensuales iguales. Calcular, igualmente la

tasa de interés cargada en la venta según la regla comercial.

15. Un banco descuenta un pagaré de $650.000 a un año de plazo con pago de intereses

del 9% por trimestre anticipado. Calcular la tasa efectiva de descuento.

16. un pagaré con intereses del 10% obliga al deudor a pagar los intereses

mensualmente. El pagaré vence a los seis meses; calcular la tasa efectiva de interés

pagado.

3.6. INTERÉS COMPUESTO

EXPECTATIVA DE DESEMPEÑO: Calcula el monto, el plazo, la tasa de interés de una

operación financiera a interés compuesto.

EXPECTATIVA DE OPORTUNIDAD: Aplicar las costumbres comerciales del país

para liquidar obligaciones financieras en periodos fraccionarios de tiempo a interés compuesto.

Si en cada intervalo de tiempo convenido en una obligación se agregan los intereses al capital,

formando un monto sobre el cual se calcularán los intereses en el siguiente intervalo o periodo

de tiempo y así sucesivamente, se dice que los intereses se capitalizan y que la operación

financiera es a interés compuesto. En una operación financiera a interés compuesto, el capital

aumenta en cada final de periodo, por la adición que se hace de los intereses vencidos a la



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tasa convenida. Por ejemplo: Una deuda de $1.000.000 a 5 años de plazo, convenida a una

tasa de interés del 10% con capitalización anual. Esto quiere decir que al final de cada año los

intereses deben capitalizarse. En la tabla siguiente se muestra el desarrollo de la deuda, en

cada periodo, que en este caso es anual.

Número

de

periodos

Capital al principio

del periodo

Intereses en el

periodo

Capital más

intereses al

final del

período

1 1.000.000 100.000 1.100.000

2 1.100.000 110.000 1.210.000

3 1.210.000 121.000 1.331.000

4 1.331.000 133.100 1.464.100

5 1.464.100 146.410 1.610.510

En términos generales, el monto a interés completo se puede calcular, utilizando el concepto

de sucesiones geométricas así:

Número

de

periodos

Capital al

principio

del

periodo

Intereses

en el

periodo

Capital más intereses al

final del período

1 P iP. )1(. iPiPP

2 )1( iP iiP ).1( 2)1()1()1( ipiiPiP

3 2)1( iP iiP .)1( 2 322 )1()1()1( ipiiPiP

. . . .

. . . .



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n 1)1( niP iiP n .)1( 1 1)1( niP + iiP n .)1( 1 =

niP )1(

Es decir el monto niPF )1( , donde P es el valor presente o capital inicial, i , es la tasa

efectiva en el periodo, ni)1( es el factor de interés compuesto y corresponde al monto de

$1 a interés compuesto en n periodos. Los valores del factor de acumulación ni)1( , pueden

calcularse utilizando las calculadoras, los logaritmos o por desarrollo del teorema del binomio.

En la práctica se utilizan tablas financieras, en las que están calculados hasta con diez

decimales, los valores de ni)1( , para las tasas más utilizadas y para valores de n de 1 hasta

100 periodos, estas las encuentras en los libros de matemáticas financiera, sin embargo la

invitación es para construir sus propias tablas teniendo en cuenta los valores de i , utilizados

con más frecuencia y para el numero de periodos n , necesitados en el contexto y situación

donde se desenvuelve el estudiante.

Para el caso del ejercicio anterior el monto total o valor futuro de la deuda de $1.000.000 a

una tasa efectiva del 10% anual, durante cinco años, se calcula utilizando la ecuación así:

niPF )1( = 510.610.1$)1.1(000.000.1)1.01(000.000.1 55 igual al monto

calculado en la tabla.

En problemas que implican interés compuesto, tres conceptos son importantes: el capital

original o valor presente, la tasa de interés por período y el número de periodos de conversión

o de capitalización durante todo el plazo de la transacción. En la lección 6 se planteó la

diferencia entre el periodo de pago, y los periodos de capitalización, se representa con la letra

n los periodos de capitalización anual y como m . El número de capitalizaciones en el año:

semestrales (cada 6 meses, 2 capitalizaciones al año), trimestrales (cada 3 meses, 4

capitalizaciones al año), bimestrales (cada dos meses, 6 capitalizaciones al año) etc. La tasa

de interés por periodo o tasa efectiva, se deduce de la tasa de interés convenida %r o tasa



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_____________________________________________________________________ 57

nominal dividida entre el número de periodos de capitalización m , es decir: m

ri . El calculo

del monto para estos casos, se hace utilizando la fórmula:

mn

m

rPF .)1(

Por ejemplo: Volviendo al caso de la deuda de $1.000.000 a 5 años de plazo, convenida a una

tasa de interés del 10% con capitalización semestral. Esto quiere decir que al final de cada

semestre los intereses deben capitalizarse. En este caso 5n ; 2m ; %10r ;

000.000.1$P , por lo tanto:

mn

m

rPF .)1( = 102*5 )05.1(000.000.1)

2

1.01(000.000.1 = 63.894.628.1$

Si el plazo de capitalización es trimestral tendríamos que: 5n ; 4m ; %10r ;

000.000.1$P , por lo tanto:

mn

m

rPF .)1( = 204*5 )025.1(000.000.1)

4

1.01(000.000.1 = 44.616.638.1$

Es de anotar que a medida que aumentan los periodos de capitalización, el monto igualmente

se aumenta.

3.7. DIFERENCIA ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO.

En aquellas transacciones que abarcan un periodo largo de tiempo, el interés puede ser

manejado de dos maneras:

1. A intervalos establecidos, el capital que produce los intereses permanece sin cambio

durante el plazo de la transacción. En este caso, se habla de interés simple, como se

vio en lecciones anteriores.



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2. A intervalos establecidos, el interés vencido se agrega al capital (por ejemplo, en las

cuentas de ahorro). En este caso se dice que el interés es capitalizable, o convertible

en capital y en consecuencia también gana intereses. El capital aumenta

periódicamente y el interés convertible en capital también aumenta periódicamente

durante el periodo de la transacción. La suma vencida al final de la transacción se

conoce como valor futuro o monto compuesto. A la diferencia entre el monto

compuesto y el capital original se le conoce como interés compuesto.

Para comprender esta diferencia, la mejor forma de comparación es dibujando las gráficas

correspondientes a los valores acumulados tanto a interés simple como compuesto. Si por

ejemplo se tiene un crédito de $6.000.000 a 24 meses y a una tasa del 7% mensual, calcular

los intereses y los saldos a interés simple y a interés compuesto, elaborar la gráfica.

El valor futuro a interés compuesto crece en progresión geométrica y su grafica corresponde

a la de una función exponencial, mientras que el interés simple crece en progresión aritmética

y su grafica es una línea recta.

La tasa del 7% mensual es solo una especulación en este trabajo para poder determinar

claramente la diferencia grafica entre el interés simple y el interés compuesto sin embargo

cabe anotar que como se puede observar en la gráfica, a medida que el número de periodos

de capitalización aumentan, la diferencia entre el monto a interés simple e interés compuesto,

$ 0.00

$ 5.000.000.00

$ 10.000.000.00

$ 15.000.000.00

$ 20.000.000.00

$ 25.000.000.00

$ 30.000.000.00

$ 35.000.000.00

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

MO

NT

OS

TIEMPOS

GRAFICA DE INTERÉSSIMPLE Y COMPUESTO

INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO



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es notoria, pero para periodos inferiores a un año las diferencias son casi imperceptibles y de

alguna manera la explicación a esta situación la encontramos a continuación.

INTERÉS SIMPLE INTERÉS COMPUESTO

Mes Monto Intereses Saldo Mes Monto Intereses Saldo

1

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 6.420.000,00 1 $ 6.000.000,00 $ 420.000,00 $ 6.420.000,00

2

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 6.840.000,00 2 $ 6.420.000,00 $ 449.400,00 $ 6.869.400,00

3

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 7.260.000,00 3 $ 6.869.400,00 $ 480.858,00 $ 7.350.258,00

4

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 7.680.000,00 4 $ 7.350.258,00 $ 514.518,06 $ 7.864.776,06

5

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 8.100.000,00 5 $ 7.864.776,06 $ 550.534,32 $ 8.415.310,38

6

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 8.520.000,00 6 $ 8.415.310,38 $ 589.071,73 $ 9.004.382,11

7

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 8.940.000,00 7 $ 9.004.382,11 $ 630.306,75 $ 9.634.688,86

8

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 9.360.000,00 8 $ 9.634.688,86 $ 674.428,22 $ 10.309.117,08

9

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 9.780.000,00 9 $ 10.309.117,08 $ 721.638,20 $ 11.030.755,27

10

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 10.200.000,00 10 $ 11.030.755,27 $ 772.152,87 $ 11.802.908,14

11

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 10.620.000,00 11 $ 11.802.908,14 $ 826.203,57 $ 12.629.111,71

12

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 11.040.000,00 12 $ 12.629.111,71 $ 884.037,82 $ 13.513.149,53

13

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 11.460.000,00 13 $ 13.513.149,53 $ 945.920,47 $ 14.459.070,00

14

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 11.880.000,00 14 $ 14.459.070,00 $ 1.012.134,90 $ 15.471.204,90

15

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 12.300.000,00 15 $ 15.471.204,90 $ 1.082.984,34 $ 16.554.189,24

16

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 12.720.000,00 16 $ 16.554.189,24 $ 1.158.793,25 $ 17.712.982,49

17

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 13.140.000,00 17 $ 17.712.982,49 $ 1.239.908,77 $ 18.952.891,27



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18

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 13.560.000,00 18 $ 18.952.891,27 $ 1.326.702,39 $ 20.279.593,65

19

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 13.980.000,00 19 $ 20.279.593,65 $ 1.419.571,56 $ 21.699.165,21

20

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 14.400.000,00 20 $ 21.699.165,21 $ 1.518.941,56 $ 23.218.106,77

21

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 14.820.000,00 21 $ 23.218.106,77 $ 1.625.267,47 $ 24.843.374,25

22

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 15.240.000,00 22 $ 24.843.374,25 $ 1.739.036,20 $ 26.582.410,45

23

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 15.660.000,00 23 $ 26.582.410,45 $ 1.860.768,73 $ 28.443.179,18

24

$

6.000.000,00

$

420.000,00 $ 16.080.000,00 24 $ 28.443.179,18 $ 1.991.022,54 $ 30.434.201,72

3.8. MONTO COMPUESTO CON PERÍODOSDE CAPITALIZACIÓN FRACCIONARIOS

Las condiciones convenidas, en una operación financiera a interés compuesto, fijan el período

de capitalización suponiendo que serán períodos enteros. Cuando se presentan fracciones de

períodos, la costumbre comercial es calcular el monto compuesto para los períodos enteros

de capitalización y utilizar el interés simple, para las fracciones de períodos. Teóricamente, el

interés simple en las fracciones de período es mayor que el compuesto a la misma tasa, ya

que significa capitalizar los intereses en un período menor al convenido, y como consecuencia,

la tasa efectiva resulta mayor. Le invitamos para que construya una tabla que contenga los

valores de pi1

)1( , que corresponde a los montos de 1 a interés simple para fracciones de

período. Ejemplo: Una deuda de $1.000.000 convenida al 6% con capitalización anual es

pagada a los dos años 4 meses. Calcular el monto en el momento del pago.

La costumbre o regla comercial indica cobrar los intereses compuestos para los dos períodos

completos y simples, para los 4 meses. Es decir, si 000.000.1$P ; 06.0i ;

2 completos períodos ; 3

1

12

4 período defracción ; por lo tanto:

072.146.1$)02.1()06.1(000.000.1))06.0(3

11()06.01( 22 PF



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Desde el punto de vista teórico, el monto debe calcularse a interés compuesto para el total de

períodos incluyendo la fracción. Es decir, 000.000.1$P ; 06.0i ;; 3

12n ; por lo tanto:

97,636.145.1$)06.1()06.1(000.000.1)06.01()06.01()06.01( 3

1

3

1

3

1222

PPF

Para el cálculo de interés compuesto, hay diferentes costumbres comerciales para el

tratamiento de los intereses, en las fracciones de período. En algunas operaciones financieras,

se señalan expresamente las fechas de capitalización en el año y todo el dinero colocado entre

fechas, gana interés simple, hasta la fecha inicial del período siguiente; todo dinero retirado

entre fechas gana interés simple, desde la fecha terminal del período anterior. Por ejemplo, si

alguien deposita $1000 el 20 de enero en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% de interés

capitalizable trimestralmente, los: 31 de marzo, 30 de junio, 30 de septiembre y 31 de

diciembre, quiere decir, que el capital gana intereses simples, durante los 70 días que

transcurren desde el 20 de enero al 31 de marzo, convirtiéndose en un monto 1F , si queremos

calcular el monto a retirar el 15 de diciembre del año siguiente, entonces 1F es el monto que

gana intereses compuestos durante los 6 periodos completos que transcurren entre el 1 de

abril y el 30 de septiembre del año siguiente, convirtiéndose en un monto en un monto 2F ,

que gana intereses simples durante los 75 días hasta el 15 de diciembre. Es decir:

03,1120$))06.0(360

751.()

4

06.01)).(06.0(

360

701(000.1 6 F


1. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital en una corporación que reconoce el 2%

mensual?

2. ¿Qué banco es preferible para depositar dineros en cuenta corriente: A, que ofrece el

7% con capitalización trimestral o B, que ofrece el 7.25% con capitalización semestral?

3. ¿Cuál es el monto de $6.000.000 colocados al 9% de interés compuesto, capitalizable

semestralmente durante 14 años 6 meses?



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4. Una persona obtiene un préstamo de $3.000.000 a 5 años, con interés del 8%

capitalizable trimestralmente. Calcular el monto que debe pagar en la fecha de

vencimiento.

5. Calcular el monto acumulado de $500.000 al 6%, con capitalización mensual en 6

años y 3 meses.

6. En un juicio civil por cobro de una deuda de $12.000.000, el juez falla ordenando el

pago de la cantidad adeudada con acumulación anual de los intereses al 8,3% por4

años y 3 meses, contados desde la fecha de vencimiento. Calcular el monto

acumulado de la deuda.

7. Hallar el monto compuesto de:

a. $5.000.000 al 6% capitalizable semestralmente en 20 años

b. $4.000.000 al 7% capitalizable trimestralmente en 10 años

c. $1.000.000 al 2.57% capitalizable mensualmente en 10 años

d. $3.000.000 al 7.25% capitalizable bimestralmente en 6 años 4 meses

e. $2.000.000 al 3% capitalizable trimestralmente en 3 años 2 meses

8. Una persona deposita $3.000.000 el 22 de abril de 2003, en una caja de ahorros que

paga el 6%, capitalizable semestralmente el 30 de junio y el 31 de diciembre de cada

año. ¿Cuánto puede retirar el 14 de noviembre del 2008?

9. Un banco pagaba el 5% de interés compuesto, capitalizable trimestralmente. El 1 de

enero de 1993 modifico la tasa, elevándola al 7% capitalizable semestralmente.

Calcular el monto compuesto que tendrá el 1 de enero del 2005 un depósito de

$1.000.000, efectuado el 1 de abridle 1990.

10. Se estima que un bosque maderable evaluado en $7.500.000 aumentara su valor

cada año en el 8.5% durante los próximos 6 años. ¿Cuál será su valor, al final del

plazo calculado?



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SESIÓN 4

4. VALOR PRESENTE, DIAGRAMAS DE TIEMPO VALOR Y ECUACIONES EQUIVALENTES A INTERÉS COMPUESTO

EXPECTATIVA DE DESEMPEÑO: Utiliza los diagramas de tiempo – valor para diseñar

ecuaciones equivalentes en la reliquidación de una obligación a interés compuesto.

EXPECTATIVA DE OPORTUNIDAD: Establecer parámetros para el cálculo del valor

presente, el tiempo equivalente, los vencimientos y el monto de un documento financiero.

4.1. VALOR ACTUAL O PRESENTE

Una situación fundamental en el mundo de los negocios es la determinación del valor de

aquellos bienes expresables en dinero que, por alguna condición, se recibirán en fecha futura.

Por ejemplo, el valor de un terreno hoy, que esta entregado a concesión por 6 años, valor de

un pagare con vencimiento en fecha futura, etc.

El valor actual o presente a interés compuesto de un dinero que se recibirá en fecha futura; es

aquel capital que, a interés compuesto, tendrá en el mismo tiempo un monto equivalente a la

suma de dinero que se recibirá en la fecha convenida. Utilizando la fórmula del monto

obtenemos que:

niPF )1( Entonces n

niF

i

FP

)1(

)1(

El factor ni)1( es el valor actual de una unidad por recibir dentro de n períodos de

capitalización, a la tasa efectiva i por periodo. Se acostumbra expresarlo por el símbolo n ,

obteniéndose la formula equivalente a las anteriores nFP . . En las tablas que

mencionábamos en la lección anterior se encuentran igualmente los valores para n , sin

embargo se deben construir las propias tablas.

La fórmula del valor presente o actual a una tasa r capitalizable m veces en el año es:

nm

m

rFP .)1(

Revisemos las siguientes situaciones:



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- Hallar el valor actual de un pagare de $5.000.000, pagaderos en 5 años, a una tasa

efectiva anual de 6%. En este caso 000.000.5F ; 5n ; 06.0i , por lo tanto

89,991127.6$)06.1(000.000.5)06.01.(000.000.5)1( 55 niFP .

- ¿Cuánto debe depositarse hoy en una corporación financiera que paga el 28% anual

capitalizable trimestralmente para obtener $2.252.191,60, dentro de 4 años? En esta

situación 89,127.991.6$F ; 07.04

28.0

m

ri , 4n ; 4m ; por lo tanto:

90,136.368.2$)07.01(89,127.991.6)1( 16. nm

m

rFP .

- Si una cooperativa, adeuda a una corporación financiera la suma de $60.000.000

pagaderos dentro de 3 años a una tasa del 1.5% convertible mensualmente. ¿Cuánto

debe liquidar hoy la cooperativa si quiere saldar la deuda? En esta situación

000.000.60$F ; 015.0i , 3n ; 12m ; por lo tanto:

12,384.105.35$)5.01.01(000.000.60)1( 36. nmiFP .

4.2. VALOR ACTUAL O PRESENTE A INTERÉS COMPUESTO CON PERIODO DE CAPITALIZACIÓN FRACCIONARIOS

En la lección 10 se explicó las dos formas de calcular el monto a interés compuesto, cuando

se presentan fracciones de periodo. El mismo método se aplica para el cálculo del valor actual

o presente en fracciones de periodo. Es decir según la costumbre comercial, se calcula a

interés compuesto el valor actual para los periodos enteros, y a interés simple, para las

fracciones de periodo. Según el cálculo teórico, el cálculo se hace a interés compuesto para

todo el tiempo, incluyendo la fracción de período. Ejemplos,

- ¿Cuál es el valor actual de un pagaré de $4.000.000, pagadero dentro de 3 años 5

meses, si la tasa es del 8% capitalizable semestralmente? En esta situación

000.000.4$F ; 04.02

08.0

m

ri , 3n ; 2m ;

12

5det iempofraccion

por lo tanto: haciendo el cálculo comercial, tenemos que para los seis periodos



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_____________________________________________________________________ 65

completos calculamos el valor presente a interés compuesto y para los 5 meses, a

interés simple, es decir:

03.282.059.3$

)08.0(12

51

1)04.01(000.000.4)1( 6.

nm

m

rFP .

En el caso del cálculo teórico 12

41

12

53 n ;

6

41

12

412.

nm , por lo tanto:

02.606.059.3$)04.01(000.000.4)1( 6

41.

nm

m

rFP

Se puede observar que el valor presente es mayor a interés compuesto incluyendo la fracción

del período en $324, que el obtenido calculando a interés simple para la fracción de período.

4.3. DESCUENTO A INTERÉS COMPUESTO

El descuento compuesto conocido en el ámbito financiero como descuento compuesto

verdadero, es la diferencia entre el monto a pagar y su valor actual. Es decir: PFD

pero nFP . entonces nFFD por lo tanto:

)1( nFD

El valor n. recibe el nombre de factor de descuento a interés compuesto.

Si la tasa de interés es r capitalizable m veces por año, se obtiene:

nm

m

rFD .)1(1



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_____________________________________________________________________ 66

Por ejemplo: Marlon firma un documento comprometiéndose a pagar a Nidia $3.000.000 en 6

años con interés al 8% capitalizable trimestralmente. Cuatro años después Marlon resuelve

recoger el pagare. ¿Cuál es el descuento que obtiene Marlon por el pagaré?

En este caso 74,311.825.4$F ; ¿Por qué? 02.04

08.0

m

ri , 2n ; 4m , por lo

tanto:

63.954.706$)02.01(174,311.825.4)1(1 8.

nm

m

rFD

El descuento bancario compuesto es el que se calcula sobre el monto de la deuda, a una tasa

de descuento d . Esta forma de descuento es poco frecuente y no tiene aplicaciones

prácticas. Por medio de un procedimiento análogo utilizado para obtener el descuento

bancario a interés simple se obtiene la fórmula:

ndFP )1(

4.4. VALOR ACTUAL DE UNA DEUDA QUE DEVENGA INTERESES

Para calcular el valor actual de una deuda que devenga intereses, es necesario calcular

primero su monto nominal, es decir, el valor que liquidara la deuda que devenga intereses, es

necesario calcular primero su monto nominal, es decir el valor que liquidará de la deuda a su

vencimiento. Una vez calculado el monto nominal, se procede a determinar el valor presente.

Ejemplo: Calcular, 2 años antes de su vencimiento, el valor actual, al 8% capitalizable

semestralmente, de un pagaré de $10.000.000, firmado a 4 años de plazo, con el 12% de

interés capitalizable trimestralmente.



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- Primero, se calcula el monto nominal a los 4 años de plazo. En este caso

000.000.10$P ; 03.04

12.0

m

ri , 4n ; 4m , por lo tanto:

39.064.047.16$)03.01(000.000.10 16 F

- Luego para ese monto, se calcula el valor presente. Es decir:

89,097.717.13$)04.01(39.064.047.16$)1( 4. nm

m

rFP

Observe que este valor se puede hallar aplicando los factores de monto y de valor actual al

valor original, es decir 89,097.717.13$)04.01()03.01(000.000.10 416 P

4.5. ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE

Estas ecuaciones como se dijo en la lección 7, son las que se forman igualando, en una fecha

de comparación o fecha focal, las sumas de los valores en la fecha escogida de dos conjuntos

diferentes de obligaciones. A diferencia de las ecuaciones planteadas en la lección 7 donde

se notó que cuando se trata de interés simple, dos conjuntos de obligaciones que son

equivalentes en una cierta fecha pueden no serlo en otra distinta, sin embargo para el caso

del interés compuesto, dos conjuntos de obligaciones que son equivalentes en una fecha

también los son en cualquier otra.

Recordemos que el propósito fundamental de las ecuaciones equivalentes es la de determinar

el valor que deberá pagarse, en una fecha determinada, equivalente al valor de un conjunto

de obligaciones, que venden en diferentes fechas. Por ejemplo: Miguel Beltrán debe a Nidia

Pacheco $1.000.000 pagaderos en 2 años a una tasa del 3% capitalizable anualmente y

$3.000.000 pagaderos en 5 años, sin intereses. Acuerdan que Miguel liquide sus deudas

mediante un único pago 3 años después de haber adquirido la primera deuda, sobre la base

de un rendimiento de 6% convertible semestralmente. ¿Cuál es el valor de este pago?

Elaboramos un diagrama de tiempo valor, que nos permita visualizar las obligaciones:



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Tiempo 0 1 2 3 4 5

Valor $1.000.000 X $3.000.000

Designamos por X el valor del pago requerido. Tomando como fecha focal, el final del tercer

año, la deuda de $1.000.000 esta vencida en un año y su valor es

22

1 )03.01()03.01(000.000.1$ F ; la deuda de $3.000.000 vence en 2 años y su valor

en la fecha focal es 4)03.01(000.000.3 P , el valor para el pago X es la misma cantidad

X en la fecha focal. Igualando la suma de valores de las deudas con el valor del pago único,

en la fecha focal, se obtiene:

44 )03.1(000.000.3)03.1(000.000.1 X

Si tomamos como fecha focal, la fecha inicial, la ecuación de valor es:

64646 )03.1()03.1(000.000.3)03.1()03.1(000.000.1)03.1( X

1026 )03.1(000.000.3)03.1(000.000.1)03.1( X

Tomando al final del quinto año la fecha focal se obtiene:

44444 )03.1()03.1(000.000.3)03.1()03.1(000.000.1)03.1( X

084 )03.1(000.000.3)03.1(000.000.1)03.1( X

Observe que las tres ecuaciones de valor son equivalentes, por ejemplo, la segunda puede

ser obtenida de la primera multiplicando la primera por 6)03.1( y la tercera puede ser obtenida



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multiplicando la primera por 4)03.1( . Sin embargo, si tomamos 30 años después como fecha

focal, la ecuación de valor correspondiente puede ser obtenida de a la primera ecuación por

60)03.1( . Se puede concluir entonces, que de todas las ecuaciones que pueden formarse, la

primera es visiblemente la más simple para determinar X . Utilizándola obtenemos que:

95,969.790.3$14.461.665.281,508.125.1)03.1(000.000.3)03.1(000.000.1 44 X

Utilice las otras dos ecuaciones y compruebe la equivalencia.

4.6. TIEMPO EQUIVALENTE

Las ecuaciones equivalentes y los diagramas de tiempo – valor, utilizados a interés compuesto

permiten deducir el tiempo equivalente de un conjunto de obligaciones. La fecha en la cual un

conjunto de obligaciones, con vencimiento en fechas diferentes, puede ser liquidado mediante

un pago único igual a la suma de las distintas deudas se conoce como fecha de vencimiento

promedio de las deudas. El tiempo por transcurrir hasta dicha fecha se conoce como tiempo

equivalente. Ejemplo: ¿Cuál es el tiempo equivalente para el pago de unas deudas de

$100.000 con vencimiento en un año, y $300.000 con vencimiento en 2 años suponiendo un

rendimiento de 4% convertible trimestralmente?

Revisando un diagrama de tiempo – valor, observamos que:

Tiempo 0 1 2 3 4 5 4X 6 7

8

Valor $100.000 $400.000

$300.000



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Designamos por X años el tiempo equivalente. Tomando el día de hoy como fecha focal, la

ecuación equivalente es:

844 )01.1(000.300)01.1(000.100)01.1(000.400 X

9328575.0000.400

143.373

000.400

)01.1(000.300)01.1(000.100)01.1(

844

X

Utilizando las propiedades de los logaritmos despejamos X.

9328575.0log)01.1log(.4 X por lo tanto 0172854.0

0301847.0

)01.1log(4

)9328575.0log(

X

añosX 7462444.1 ó 1 año; 8 meses; 28 días.


1. ¿Cuánto se debe depositar hoy en una entidad financiera que paga el 28% anual

capitalizable trimestralmente para acumular dentro de 6 años $3.500.000?

2. Se deposita hoy $2.500.000 a una tasa de interés del 8% anual capitalizable

semestralmente. ¿Cuántos años debe dejarse dicho depósito para acumular

$4.682.450?

3. ¿Cuánto debe invertirse hoy al 7% con capitalización semestral, para obtener

$6.000.000 dentro de 5 años?

4. ¿A qué valor de contado equivale la oferta de $1.200.000 pagaderos dentro de 1.5

años por un bien raíz, si las inversiones locales producen el 10% capitalizable

trimestralmente?

5. ¿Qué oferta es más conveniente para la venta de una propiedad? $900.000 de

contado ó $400.000 de contado y el saldo entres pagares iguales de $200.000 cada



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uno a: 1 año, 2 años y 3 años de plazo, si el rendimiento del dinero es del 8%

capitalizable semestralmente?

6. El señor Gutiérrez adquiere un préstamo y tiene a su cargo los siguientes pagarés:

$2.000.000 a 6 años de plazo, $5.000.000 a 2 años de plazo, $4.000.000 a 1 año de

plazo y $500.000 exigibles de inmediato. Ofrece cancelar de contado $3.000.000 y el

saldo a 3 años de plazo. Hallar este valor, si el tipo de interés es del 9% capitalizable

semestralmente.

7. ¿Con que pagos iguales a 1 año de plazo, 2 años de plazo, y 3 años de plazo, pueden

remplazarse una obligación de $12.000.000 que vence dentro de 4 años, si la tasa de

interés es del 7.25%, con capitalización semestral?

8. Un pagaré se firmo el 1 de abril de 2000, con vencimiento a 6 años, por un monto de

$6.500.000, ganando interés simple del 18%. El primero de diciembre del 2001, se

negocia con un inversionista que cobra el 14% nominal, con capitalización trimestral;

hallar el valor pagado por el inversionista.

9. El Banco Ganadero, cobra una deuda judicialmente por $2.000.000 y es pagado 5

años después. Si la tasa bancaria para cuentas es del 16% nominal con capitalización

trimestral, hallar: a) La suma que bastaba consignar en una cuenta de ahorros al iniciar

el juicio para cancelar la deuda en la fecha del fallo; b) la pérdida que sufrió el

acreedor.

10. Hallar el valor actual de $9.600.000 pagaderos dentro de 15 años con capitalización

mensual.

11. Una persona vende un terreno y recibe dos pagarés de $6.000.000, a 2 años y 4 años

de plazo. Hallar el valor de contado, si el rendimiento es del 8% con capitalización

semestral.

12. Al nacer su hijo, un padre desea invertir una cantidad tal que, acumulada al 3.5%

convertible semestralmente, tenga un valor de $60.000.000, cuando el hijo tenga 21

años. ¿Cuánto tendrá que invertir?

13. ¿Cuál será el valor de cada uno de los 4 pagos anuales que tendrán que hacerse para

liquidar una deuda de $8.00.000, con vencimiento el día de hoy, suponiendo un

rendimiento del 6% convertible trimestralmente, si, a) el primer pago se hace de

inmediato, b) el primer pago se hace al terminar el primer año.

14. Hallar el tiempo equivalente para el pago de dos deudas de $2.050.000 cada una, con

vencimiento en 6 meses y un año respectivamente, suponiendo un rendimiento del

3% convertible mensualmente.



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4.7. CONVERSION DE LAS TASAS DE INTERÉS

EXPECTATIVA DE DESEMPEÑO: Calcula las tasas de interés efectivas con los cuales

se medirán los costos de un crédito y la rentabilidad de una inversión.

EXPECTATIVA DE OPORTUNIDAD: Encontrar la tasa equivalente efectiva de una

tasa nominal dada y viceversa, para la liquidación de transacciones financieras.

Entre las muchas particularidades del funcionamiento del día a día del sector financiero en

Colombia, las tasas de interés merecen un capítulo aparte, y específicamente la diversidad de

indicadores que la miden. La utilización cotidiana e indiscriminada de denominaciones como

efectivo anual, trimestre anticipado y vencido y semestre anticipado y vencido tienen como

resultado desorden y desinformación para los usuarios y los propios agentes del sistema

financiero.

De otro lado, el sinnúmero de tasas de interés en el mercado son otro ejemplo de confusión.

La existencia de la TBS (tasa básica de la superintendencia bancaria), la TIB (tasa

interbancaria), la DTF (tasa de captación a través de Depósitos a Término Fijo), la TCC (tasa

de captación de las corporaciones financieras), la tasa de los TES e incluso la tasa de las

operaciones de intervención del Banco de la República conforman el universo de indicadores

que buscan identificar el costo de los recursos en la economía.

La mejor herramienta para medir el costo de un crédito, o la rentabilidad de una inversión la

constituye la tasa de interés efectiva. Por lo general, cuando se hablan de tasas de interés se

hace referencia a tasas nominales; por esta razón es necesario aprender a calcular las tasas

de interés efectivas con las cuales se medirán los costos de un crédito y la rentabilidad de una

inversión. Así mismo, es necesario aprender las formas para realizar conversiones posibles

entre las diferentes tasas de interés.

Como se había planteado en lecciones anteriores, las tasas se expresan como nominales o

como efectivas. La tasa nominal es aquella a la que por lo general se refieren todas las

operaciones financieras; comúnmente se expresa sobre la base de un año, se representa por

la letra r . La tasa efectiva es aquella que indica cuál es la rentabilidad de una inversión o cual

es el costo de un crédito, comúnmente se relaciona con el interés compuesto.



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Cuando se hablan de tasas efectivas se involucra el concepto de capitalización, es decir, el

proceso mediante el cual se liquidan los intereses y se suman al capital inicial; se representa

por la letra i .

Por ejemplo: la tasa de interés nominal del 36% anual, capitalizable trimestralmente, significa

que el la tasa de interés efectiva al terminar cada trimestre es del 9%; ahora si se tiene una

tasa efectiva del 3% bimestral, quiere decir que la tasa nominal es de 18%. De esto podemos

deducir que:

m

ri , siendo m el número de capitalizaciones al año, igualmente mir .

Igualmente una tasa efectiva del 2,5 mensual equivale a una tasa nominal de

%30125.2. mir . Tengamos en cuenta que las tasas varían de acuerdo al número

de capitalizaciones m .

4.8. DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS DE CONVERSIÓN ENTRE TASAS

1. Deducción de la fórmula para convertir una tasa nominal en una

tasa efectiva

En las lección 10, planteamos que el valor futuro de un documento a interés compuesto es

igual a: niPF )1( si la tasa es efectiva anual, o mn

m

rPF .)1( si la tasa es

capitalizable en periodos de tiempo. Si igualamos las dos ecuaciones obtenemos que:

niP )1( = mn

m

rP .)1(

ni)1( = mn

m

r .)1( entonces n mn

m

ri .)1(1 , quiere decir que



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1)1(

m

m

ri

Por ejemplo: una tasa nominal del 29% capitalizable trimestralmente, produce una rentabilidad

al final del año de:

1)1(

m

m

ri Entonces %31.3210725.011)

4

29.01(

44

i

Quiere decir que una tasa nominal del 29% capitalizable trimestralmente, equivale a una tasa

efectiva anual del 32,31%.

2. Conversión de tasas de interés para capitalizaciones vencidas.

Se pueden presentar las siguientes situaciones:

a. Tasas nominales a tasas efectivas periódicas

b. Tasas nominales en tasas efectivas anuales.

c. Tasas efectivas anuales en tasas nominales con diferentes periodos de capitalización.

d. Tasas efectivas equivalentes entre si para distintos periodos.

Si denominamos las tasas efectivas como:

ti = tasa efectiva trimestral

si = tasa efectiva semestral

mi = tasa efectiva mensual

bi = tasa efectiva bimestral

i = tasa efectiva anual

Se puede abordar cada una de las situaciones anteriores así:



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a. como decíamos antes para la conversión de una tasa nominal en una tasa efectiva

periódica, se utiliza la formula m

ri .

Por ejemplo: si en una transacción financiera, se pacta una tasa de 30% anual, capitalizable

semestral, trimestral y mensualmente, hallar las tasas efectivas para esos periodos, entonces:

- Semestralmente %1515.02

30.0

2

ris

- Trimestralmente %5.7075.04

30.0

4

rit

- Mensualmente %5.2025.012

30.0

12

rim

b. Este caso es una situación particular de la anterior, simplemente si la capitalización es

anual, el número m de capitalizaciones es 1 y por lo tanto:

%3030.01

30.0

1

ri Es decir la tasa efectiva es igual a la tasa nominal

c. Para convertir tasas efectivas anuales en tasas nominales equivalentes, se procede a

despejar r de la fórmula de la tasa de interés efectiva, es decir:

1)1(

m

m

ri Entonces m

m

ri )1(1

m

rim 11 De donde, 11 m imr

Por ejemplo, hallar la tasa nominal r capitalizable semestralmente, equivalente a una tasa

efectiva anual del 39,24%.

En este caso 2m ; 24,39i , por lo tanto:



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%36)18.0(213924.01211 2 m imr

d. Para hacer la conversión de tasas efectivas equivalentes entre si para distintos periodos

debemos recordar, que al dar la definición de interés compuesto, se explico como cuando se

utiliza este tipo de interés los intereses acumulados en los periodos anteriores también se

capitalizan, es decir, el interés compuesto significa interés sobre interés. Por otra parte se

define la tasa efectiva anual, como aquella que produce el mismo resultado anual, cualquiera

que sea el número de veces que se liquidan y acumulan los intereses al capital inicial.

Con base en estos dos conceptos podemos efectuar la conversión de una tasa efectiva anual

a una tasa periódica (semestral, trimestral, mensual, etc.) equivalente despejando m

r de la

fórmula de la tasa de interés efectiva, es decir:

11 m im

r En este caso

m

r, es la tasa efectiva periódica ... mtp iii

Por ejemplo: Calcular la tasa mts iii ;; para una tasa efectiva anual del 42,58%.

- %41,1914258.0111 22 iis

- %27,914258.0111 44 iit

- %314258.0111 1212 iim

También podemos realizar conversiones de una tasa efectiva periódica a una tasa efectiva

anual equivalente, utilizando la fórmula:

1)1( m

pii Siendo pi la tasa periódica conocida



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Ejemplo: calcular la tasa efectiva anual equivalente a una tasa efectiva semestral del 16.5%.

De acuerdo a la formula anterior tenemos: 1)1( 2 sii e s decir:

%72,351)165.01( 2 i

Igualmente se puede hacer la conversión de una tasa efectiva periódica a otra tasa efectiva

periódica, en este caso se debe tener en cuenta, cuantas veces contiene el periodo de

capitalización dado al periodo de capitalización solicitado, por ejemplo, un semestre tiene 2

trimestres, 6 meses, etc. Teniendo en cuenta esto, revisemos las siguientes situaciones.

a. Calcular la tasa efectiva de interés semestral equivalente a una tasa efectiva de interés

trimestral del 2%.

En este caso 1)1( m

ts ii ; 02.0ti ; 2m , (un semestre tiene 2 trimestres), entonces:

%04.41)02.01( 2 si

b. Calcular la tasa efectiva mensual equivalente a una tasa efectiva trimestral del 6%.

En este caso 1)1( m

tm ii ; 06.0ti ; 3

1m , (un trimestre tiene 3 meses), entonces:

%96,11)06.01( 3

1

mi

De acuerdo a todo lo anterior, podemos concluir que cuando el periodo de capitalización es

igual a un año, la tasa nominal anual es igual a la tasa efectiva anual. En cualquier otro caso

la tasa efectiva anual será mayor que la nominal anual. Lo anterior se debe a que en el caso

de capitalización trimestral, hay cuatro periodos de capitalización, en tanto que el caso

semestralizado solo hay dos y así sucesivamente. En consecuencia puede afirmarse que

cuando más cortos sean los subperiodos de capitalización en el periodo anual, mayor será la

tasa efectiva anual.



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3. Conversión de tasas de interés para capitalizaciones anticipadas.

En diferentes operaciones financieras que se realizan en Colombia se cobran los por

anticipado, sobre todo en los préstamos bancarios, de los fondos de empleados, de las

compañías de financiamiento comercial, de las corporaciones financieras, etc., y estos a su

vez pagan intereses por anticipado sobre los depósitos a término. Esta circunstancia implica

una tasa de interés efectiva mayor ya que los periodos de capitalización se inician

inmediatamente. Por ejemplo, un banco presta la suma de $3.000.000 al 2.5% mensual

anticipado. El banco descuenta los intereses, $75.000, y entrega el excedente al cliente, pero

a su vez puede prestar el dinero ganado por concepto de intereses y obtener un mayor

rendimiento.

Lo anterior quiere decir, que cuando la anticipaciones anticipada, el proceso de sumar los

intereses al capital se inicia más rápidamente, dando lugar a que la tasa efectiva sea mayor

que en el caso de la capitalización vencida. Por ejemplo, una corporación presta $100 a un

año y estipula una tasa del 36% anual con capitalización trimestral anticipada, entonces;

36.0r , 4m , 100P ,

09.04

36.0

m

r; Esta es una tasa efectiva periódica. Esto quiere decir que al momento de

hacer entrega del crédito, el valor líquido de este es: 919100 IPVL, por lo tanto

la tasa periódica anticipada es 0989010.091

9

L

aV

Ii . Esto quiere decir que se paga a

la corporación una tasa de 9,89% trimestral. El interés ha operado como un descuento, y en

consecuencia debe hablarse de una tasa de descuento y un valor líquido o valor efectivo.

Si por el contrario, tenemos varias capitalizaciones, se puede hallar una fórmula general para

aplicarla a todos los casos, es decir, se puede obtener una fórmula para calcular, la tasa

efectiva anual equivalente a una tasa nominal cuando las capitalizaciones son anticipadas.



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Sea

'

'

m

ri , la tasa periódica anticipada, de acuerdo al procedimiento utilizado

anteriormente, tenemos que:

m

rm

r

i

1

', remplazando en 1)1( m

m

ri , obtenemos:

1)1( ' mii = 1

1

1

m

m

rm

r

= 1

1

1

m

m

rm

r

m

r

= 1

1

1

m

m

r

Por lo tanto 1

1

1

m

m

r, es decir: 1)1( m

m

ri

Esta fórmula permite calcular la tasa de interés efectiva anual equivalente, a una tasa nominal,

cuando las capitalizaciones son por anticipado. Ejemplo: calcular la tasa efectiva de interés

equivalente a una tasa nominal del 30% anual capitalizable a) semestralmente, b)

trimestralmente, c) mensualmente por anticipado.

a. Capitalización semestral

%40,381)85.0(12

30.0111 2

2

m

am

ri

b. Capitalización trimestral

%59,361)925.0(14

30.0111 4

4

m

am

ri



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c. Capitalización mensual

%5,351)975.0(112

30.0111 12

12

m

am

ri

Ahora, para convertir una tasa efectiva anual en una tasa nominal equivalente cuando las

capitalizaciones son por anticipado, basta con despejar de la formula anterior m

r, es decir, si

11

m

m

ri , entonces:

m

m

ri

11 Por lo tanto mimr

1

11

Por ejemplo, supongamos que una corporación financiera que paga el 38% efectivo anual, por

sus depósitos a término, afirma que dicho interés corresponde a una tas nominal capitalizable

trimestralmente por anticipado. ¿Cuál es esa tasa nominal?

Retomando la formula obtenemos que:

mimr1

11

Entonces

4

1

4

38.0114r =

%97.808973.0022433.04

4.9. Aplicaciones de las tasas de interés

Básicamente son dos. A toda persona le interesa saber cuánto le produce una inversión

(rentabilidad) o cuánto paga por un préstamo (costo del crédito). Como puede apreciarse, hay

dos operaciones de tipo financiero: de capitalización o pasivas y de crédito o de activas, y

pueden efectuarse en moneda corriente o en moneda extranjera.

En moneda corriente, como se indicó antes, la tasa efectiva puede resultar afectada por

factores como el estudio del crédito, comisiones, etc. Además de estos factores existen otros



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elementos que afectan notoriamente la rentabilidad; ellos son los impuestos y la inflación.

Como estos factores disminuyen la rentabilidad, es necesario hablar de una rentabilidad neta

y una rentabilidad real.

La rentabilidad neta RN , se define como aquella que queda después de descontar los

impuestos de la rentabilidad efectiva.

)(itiiRN ee

)1( itiRN e

Donde it es la tasa de tributación o tasa de retención en la fuente.

La rentabilidad real RR , algunos autores la definen como aquella que queda después de

descontar la tasa de inflación de la rentabilidad neta.

iiRNRR

Aceptar lo anterior es admitir que la inflación no afecta los intereses sino únicamente al capital

invertido. Esto es erróneo y carece de sentido. Es como aceptar que las lesiones solo afectan

a los futbolistas. Por esta razón y para superar este error, se debe utilizar la siguiente, formula:

ii

iiRNRR

1

Por ejemplo, una corporación ofrece una tasa de corrección monetaria del 25% anual y una

tasa de interés adicional del 4% para sus depósitos en cuentas de ahorro. Si la tasa de inflación

está estimada en el 26% anual y la retención en la fuente es del 7%, ¿Cuál será la rentabilidad

real para esos depósitos?

En este caso se tiene que 1)1)(1( Ac iii = %301)04,1)(25,1( , además:

)1( itiRN e = 2790.0)07.01(30,0



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ii

iiRNRR

1 = %50,101507.0

26.1

26.02790.0

Muy diferente de iiRNRR = %90.126.02790.0

Debemos recordar que la devaluación es reducir el valor de la moneda, o la pérdida de poder

adquisitivo de una moneda con respecto a otra. Todo rendimiento producto de inversión en

moneda extranjera está compuesto por: a) interés y b) devaluación del peso frente a dicha

moneda. Aunque el rendimiento está configurado por a y b no puede decirse que el

rendimiento efectivo es la suma de a + b. la siguiente situación, nos permite aclarar esto.

Ejemplo: Una persona hace una inversión de 1000 dólares; al momento de la inversión, el

dólar tiene un valor de $2500. Sobre esta inversión se reconoce una tasa de interés del 9,5%.

La tasa anual de devaluación se estima en el 25%. ¿Cuál es el rendimiento ganado?

En apariencia, el rendimiento efectivo de esta inversión es igual a: %5.34%25%5.9 i

, sin embargo la inversión en dólares tiene una rentabilidad de :

dolares 1095)095.01(1000)1( ciPF

%5,9095.01000

95

P

Ii

En pesos colombianos la rentabilidad es:

3421875$)095.01)(25,01)(1000(2500 F

875.9212500000875.421.3 I

%875.3636875.0000.500.2

875.921i



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Nótese que la tasa efectiva en pesos colombianos de la inversión que la persona hizo en

dólares fue del 36,875% y no del 34,5% como aparentemente se mostró al principio.

Como conclusión podemos decir que, para calcular cualquier rendimiento en moneda

extranjera debe hacerse con la fórmula:

1)1)(1( cd iii , donde di es la tasa de devaluación.

Volviendo al ejercicio anterior, podemos observar que %875,361)095.1)(25,1( i .

Si se desea calcular RR en pesos, se iguala la rentabilidad efectiva en moneda extranjera

con la rentabilidad neta, es decir:

Si RNi entonces ii

iiRNRR

1

Para el caso de la moneda extranjera, es necesario tener en cuenta dos conceptos

fundamentales inflación y devaluación. Podemos retomar estos conceptos de la

lección 5 y de los cuales podemos concluir que:

a. Si la tasa de inflación es menor que la tasa de devaluación, la rentabilidad real

es mayor que la tasa de interés en moneda extranjera.

b. Si la tasa de inflación es mayor que la tasa de devaluación, la rentabilidad real

es menor que la tasa de interés en moneda extranjera.

c. Si la tasa de inflación es igual a la tasa de devaluación, la rentabilidad real es

igual es a la tasa de interés en moneda extranjera.

En consecuencia, debe invertirse en aquellas monedas para las cuales la inflación es

menor que la devaluación.



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1. Hallar las tasas efectivas anuales equivalentes a una tasa del 25% anual con

capitalización: a) mensual, b) bimestral, c) trimestral, d) semestral, e) anual.

2. Hallar la tasa de interés trimestral equivalente a una tasa de interés nominal anual del

24% con capitalización trimestral.

3. Hallar una tasa de interés efectiva anual equivalente a una tasa de interés nominal

anual del 24% con capitalización trimestral.

4. Una persona invierte $15.000.000 en un CDT a tres meses; la tasa de interés es del

5% anual, la de corrección monetaria es del 19% anual y la tributación es del 7%. La

tasa de inflación es del 22% anual. ¿Cuál es la rentabilidad real de esa inversión?

5. El BANCOLOMBIA, presta $5.000.000 a una tasa de interés nominal anual del 31%

con capitalización mensual vencida. El Banco Ganadero presta la misma cantidad al

32% nominal anual pero con capitalización semestral vencida. ¿Qué opción

aconsejaría usted? ¿Por qué?

6. Hallar la tasa de interés efectiva para dos años equivalentes a una tasa de interés del

7,5% bimestral. Resolverlo con esas condiciones para forma vencida y para forma

anticipada.

7. El señor Mendoza desea invertir cierto dinero. Una corporación le ofrece el 36% anual

con capitalización semestral vencida; otra entidad le ofrece el 34% anual con

capitalización mensual vencida. ¿Dónde debe hacer la inversión?

8. El señor Figueroa, cultivador de arroz desde hace 10 años, piensa comprar un tractor,

que tiene un precio de $35.850.000. desea adquirirlo a través de la línea a mediano

plazo que consiste en pagar el 30% de cuota inicial y el 70% amparado con un pagaré

a un año de plazo sin abono a capital y sin intereses por anticipado. Si la tasa de

interés con la cual le financian el 70% es del 2,6% mensual, ¿Cuánto debe cancelar

el señor Figueroa al vencerse el plazo?

9. Una empresa constructora se comprometió a construir un puente cuyo costo es de

$300.000.000. como estaba realizando otras obras y no le alcanzaban los fondos, se

vio obligado a solicitar un préstamo a una entidad financiera, que le otorga el 35% del

valor de la obra, a una tasa de interés del 14% anual capitalizable semestralmente, y

le concedió un plazo de 6 meses. ¿Cuánto deberá pagar al final de los 6 meses?



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10. El señor Merchán, desea exportar artesanías, al ver su buen precio en el mercado

Europeo; pero como no posee los recursos suficientes, recurre a una entidad

encargada de financiar exportaciones. La junta directiva de dicha entidad decide

prestarle el dinero al señor Merchán con la condición de que cancele $13.197.600 al

finalizar el primer trimestre y $12.598.800 al final del segundo. Si la tasa de interés fue

del 18% anual capitalizable trimestralmente, halle el valor del préstamo.

11. La señora Luz Dary Merchán, para poder explotar una mina de arena, solicito un

préstamo a una entidad con el compromiso de cancelar $3.769.461.20 dentro de cinco

años. Si se pactó una tasa de interés del 29% anual capitalizable semestralmente,

¿Cuál fue el valor del préstamo?

12. Dada la tasa del 21% anual capitalizable mensualmente, hallar:

a. la tasa efectiva mensual

b. la tasa efectiva anual

c. la tasa efectiva semestral equivalente a la tasa dada

d. la tasa efectiva trimestral

13. ¿Qué es más rentable: 28% anual capitalizable mensualmente por mes vencido, o

28% anual capitalizable mensualmente por mes anticipado?

14. Si en un depósito a término pagan el 44,93% anual efectivo, ¿a qué tasa de interés

nominal con pre inversión anual anticipada corresponde?

15. ¿Qué tasa convertible anualmente es equivalente al 6% convertible trimestralmente?

16. Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente equivalente al 5% convertible

semestralmente?

17. Hallar la tasa nominal convertible mensualmente equivalente al 6% convertible

semestralmente?

18. Hallar la tasa nominal convertible semestralmente a la cual el monto de $25.000.000

es $32.500.000 en 5 años?

19. Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente a la cual el monto de $3.500.000 es

$5.000.000 en 6,25 años.

20. Hallar la tasa nominal convertible mensualmente equivalente al: a) 5.5% efectivo, b)

5.5 convertible semestralmente, c) 5.5 convertible trimestralmente.



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BIBLIOGRAFÍA

Matemáticas Financieras. Jaime A. García. Quinta Edición. Ed. PAERSON Prentice

Hall

Ingeniería Económica. Guillermo Baca Currea. Fondo Educativo Panamericano.

Análisis Financiero Aplicado. Héctor Ortíz Anaya. Universidad Externado de

Colombia. Modelos Financieros con Excel. Jairo Gutiérrez Carmona. Ecoe Ediciones



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CUADRO 1. CONTROL DEL DOCUMENTO

PARTICIPANTES NOMBRE CARGO DEPENDENCIA FECHA

Autor Víctor

Arciniegas

Páez

Docente

Académica

03/2012

Revisión Fernando

Calderón

Diseño

Curricular

Diseño Curricular

04/2012

Aprobación Luis Eduardo

Rodríguez

Director

Académico

Académica

04/2012

CUADRO 2. CONTROL DE ESTADO DE PREPARACIÓN DE LA

CARTILLA

VERSIÓN

No.

FECHA DE SU

ELABORACIÓN

DESCRIPCIÓN DEL CAMBIO SOLICITADO

POR:

01 28/03/2012 Construcción de las cartillas de Análisis

Financiero en la Corporación

Iberoamericana de Estudios CIES en

función a su cadena de valor con el fin de

asegurar la calidad de sus servicios.

Consejo

Superior.

02 06/2015 Unificación y Ajuste Comité

Curricular

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