Unidad 5 Series De FourierSerie de Fourier

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función

continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica

del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la

descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho

más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se

debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando

estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y

publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama

algunas veces Análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta

sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Areas de aplicación incluyen análisis

vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos.

En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los

componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de

un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de

espectros.

Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función

5.1 Funciones ortogonales.INTRODUCCION.

Los polinomios de Legendre y las funciones de Bessel están dentro de un grupo

de funciones que satisfacen una propiedad que se llama ortogonalidad y que es

de una importancia fundamental en las matemáticas de ingeniería.

DEFINICION:

Ahora definiremos el concepto de ortogonalidad de funciones.

Sean   (x) y (x) dos funciones reales que están definidas en un

intervalo

 a ≤ x ≤ b, de tal manera que la integral de el producto (x) (x) existe

en el intervalo. Denotaremos esta integral por

( , ). Entonces:

(1)

Se dice que las funciones

y 

son ortogonales en el intervalo

a ≤

x ≤ b si

Relaciones de Ortogonalidad

Existen muchos tipos de series de Fourier. Las mas sencillas son las Series de Fourier

Trigonométricas. Un ejemplo es la serie de Fourier del seno

Se vera que las series de Fourier tienen interpretaciones físicas importantes en las

aplicaciones. Sin embargo, las series de Fourier están basadas en un tipo distinto de

teoría a las familiares series de potencias.

De manera equivalente, una función diferenciable f(x) es una función tal que en cualquier

intervalo finito se puede dividir en un número de partes, cada una de las cuales es

continua y tiene derivada continua. Además, las únicas discontinuidades de F8x) y f’(x)

son discontinuidades de salto.

Ejemplo Funciones Ortogonales

Las dos funciones f(x) = x y g(x) = x2 son ortogonales en el intervalo [-1,1] puesto que

Sistemas de funciones ortogonales

trabajamos con funciones: (a veces: o

)

podemos escribir una función como combinación lineal de una colección de

funciones siendo tomado de un conjunto de índices finito o infinito

p.ej.: series de Fourier

Por qué?

a lo mejor se puede encontrar para un problema fácilmente soluciones para las

funciones y con esas soluciones se puede derivar una solucion para

p.ej.: filtro lineales, si se sabe la respuesta del filtro para los , se puede

derivar su compartamiento para

a lo mejor ciertas características de la función se puede observar mejor entre los

coeficientes (y aprovechar de ello)

p.ej.:

o Qué frecuencias están ``dentro'' de una señal acustica?

o Tiene una imagen cierta textura?

o Tiene discontinuidades?

o ... otras preguntas parecen interesante:

Cuáles de las posibles funciones se puede representar de tal forma?

Son los coeficientes únicos?

Cómo se calcula los (dados los y )?

                       

5.1 FUNCIONES ORTOGONALES

• Producto interno • Funciones ortogonales • Conjunto ortogonal • Nora • Norma

cuadrada

• Conjunto ortonormal • Ortogonalidad con respecto a una función peso

• Serie de Fourier generalizada

En matemáticas superiores se considera que una función es la generalización de

un vector. En esta sección veremos cómo los dos conceptos vectoriales de

producto interno (punto) y ortogonalidad se pueden ampliar para abarcar las

funciones.

Supongamos que u y v son vectores en el espacio tridimensional. El producto

interno (u, v) de los vectores, que también se escribe u ·  v, posee las

propiedades siguientes:

i) (u, v) = (v, u)

ii) (ku, v) = k(u, v), donde k es un escalar

iii) (u, u)= 0, si u= 0,y (u,u)>0 si u ≠ 0

iv) (u + v, w) = (u, w) + (v, w).

Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe tener

las mismas propiedades.

Producto interno Supongamos ahora que ƒ1 y ƒ2 son funciones definidas en un

intervalo [a, b].* Como una integral del producto ƒ1(x) ƒ2(x) definida en el intervalo

también posee las propiedades i) a iv), siempre y cuando existan las integrales,

podemos enunciar la siguiente definición:

DEFINICIÓN 5.1 Producto interno

El producto interno de dos funciones ƒ1 y ƒ2 en un intervalo [a, b] es el número

Funciones ortogonales Dado que dos vectores u y v son ortogonales cuando su

producto interno es cero, definiremos las funciones ortogonales en forma

semejante:

DEFINICION 5.2    Funciones ortogonales

Dos funciones ƒ1 y ƒ2 son ortogonales en un intervalo [a, b] si

(1)

A diferencia del análisis vectorial, en donde la palabra ortogonal es sinónimo de

"perpendicular", en el presente contexto el término ortogonal y la condición (1) no

tienen significado geométrico.

EJEMPLO 1 Funciones ortogonales

Las funciones ƒ1 (x) = x2 y  ƒ2 (x) = x3 son ortogonales en el intervalo [-1, 1] porque

5.2 Conjuntos ortogonales y conjuntos ortonormales.

Sean   (x) y (x) dos funciones reales que están definidas en un intervalo

 a ≤ x ≤ b, de tal manera que la integral de el producto (x) (x) existe en el intervalo. Denotaremos esta integral por

( , ). Entonces:

(1)

Se dice que las funciones

y 

son ortogonales en el intervalo

a ≤ x ≤ b si

 

 

Un conjunto de funciones reales (x), (x), (x), ... es llamado conjunto ortogonal de funciones en el intervalo a ≤ x ≤ b si todas están

definidas en el intervalo y si todas las integrales ( , )existen y son cero para todos los pares distintos de funciones.   

La raíz cuadrada de ( , )es llamada norma de y es generalmente

denotada por || || ; entonces

(2)

Es claro que, un conjunto ortogonal (x), (x), (x), ... en el intervalo a ≤ x ≤ b cuyas funciones tienen norma 1 satisfacen la condición

 Dicho conjunto es llamado conjunto ortonormal de funciones en el intervalo a ≤ x ≤ b .Obviamente, de un conjunto ortogonal podemos obtener un conjunto ortonormal dividiendo cada función entre su norma.

DEFINICIÓN DE CONJUNTOS ORTONORMALES Y CONJUNTOS ORTOGONALES:

Se dice que las funciones

y 

son ortogonales en el intervalo

a ≤ x ≤ b si

 

Un conjunto de funciones reales (x), (x), (x), ... es llamado conjunto ortogonal de funciones en el intervalo a ≤ x ≤ b si todas están

definidas en el intervalo y si todas las integrales ( , )existen y son cero para todos los pares distintos de funciones.   

La raíz cuadrada de ( , )es llamada norma de y es generalmente

denotada por || || ; entonces

(2)

Es claro que, un conjunto ortogonal (x), (x), (x), ... en el intervalo a ≤ x ≤ b cuyas funciones tienen norma 1 satisfacen la condición

 

Dicho conjunto es llamado conjunto ortonormal de funciones en el intervalo a ≤ x ≤ b .Obviamente, de un conjunto ortogonal podemos obtener un conjunto ortonormal dividiendo cada función entre su norma.

En un conjunto de vectores S de el espacio vectorial V es producto interno es ortogonal si cada vector de y seria espacio ortonormal si cada vector S es unitario.Es ortonormal si < vi, vj > = 0 i " j y || vj || = 1 donde i = 1, 2, 3, ..., n y es ortonormal si < vi, vj > = 0 i " j donde vi, vj pertenecen al conjunto s = { v1, v2, ..., vn }Un conjunto ortogonal es linealmente independiente si s es un conjunto de vectores diferentes de cero y que pertenecen al espacio v con producto interno.Proceso para ortonormalizar de Gram - Schmidt: Ver si la base tiene producto interno (como ya lo vimos). Convertir la base a una base ortogonal.Sea B = { v1, v2, ..., vn }w1 = v1w2 = v2 - proyw1 v2wn = vn - proyw1 v3 - … - proyw(n-1) vnB' = { w1, w2, ..., wn } y para ortonormalizar ui = wi / ||wi|| donde I = 1, 2, ..., n.

Donde B'' = { u1, u2, ..., un } es un abase ortonormal

5.3 Definición de series de Fourier.

Serie de Fourier generalizada Supongamos que {Øn(x)} es un conjunto infinito

ortogonal de funciones en un intervalo [a, b]. Nos preguntamos: si y = ƒ(x) es una

función definida en el intervalo [a, b], ¿será posible determinar un conjunto de

coeficiéntes cn,  n = 0, 1, 2, . . .,para el cual

(6)ƒ(x)=c0Ø0(x) + c1 Ø1(x) + ... + cn Øn(x) + ...?

Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un

vector, también podemos determinar los coeficientes cn mediante el producto

interno. Al multiplicar la ecuación (6) por Øm(x) e integrar en el intervalo [a, b] se

obtiene

Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es

cero, excepto cuando m = n. En este caso tendremos

Entonces, los coeficientes que buscamos son

En otras palabras,

('7)

en la que   (8)

La ecuación (7), en notación de producto interno (o producto punto), es

(9)

Vemos así que esta ecuación es el análogo funcional del resultado vectorial

expresado en la ecuación (5).

Serie de Fourier

El análisis de Fourier es una herramienta matemática utilizada para analizar

funciones periódicas a traves de descomponer dicha función en la suma

infinitesimal de funciones senoidales mucho mas simples.

Areas de aplicación incluyen la ingeniería, análisis vibratorio , acustica, óptica,

procesamiento de imágenes y señales,y compresión de datos. En ingeniería, para

el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a traves del uso de los

componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el

diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un

analizador de espectros.

En matemáticas, se llama serie de Fourier, a aquellas series que tienen la forma:

donde an y bn se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la

función y(x).

Jean-Baptiste Joseph Fourier fue el primero que estudió tales series

sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando

sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama

algunas veces Análisis armónico.

Función ortogonal

En matemática, se dice que dos funciones f y g son ortogonales si su producto

interno es nulo. Que dos funciones particulares sean ortogonales depende

de cómo se haya definido su producto interno. Una definición muy común de

producto interno entre funciones es:

con límites de integración apropiados y donde * denota complejo conjugado.

Véase también espacio de Hilbert para más detalles.

Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones de borde

pueden escribirse como una suma pesada de funciones solución ortogonales

(conocidas también como funciones propias).

Ejemplos de conjuntos de funciones ortogonales:

Polinomios de Hermite

Polinomios de Legendre

Armónicos esféricos

Funciones de Walsh

Introducción

  Si no tienes unas nociones previas, puede ser complicado comprender el concepto de

"representación en frecuencia de una señal". Básicamente la Transformada de Fourier se

encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de

donde se puede realizar su antitransformada y volver al dominio temporal. Estudiaremos a

lo largo de este trabajo la Serie de Fourier , Ejercicios referentes al seno y coseno , las

Transformadas de Fourier, propiedades e interpretación.

SERIE DE FOURIER

Sea una función f(t) una función periódica de periodo T, la cual se puede representar por

la serie trigonometrica

donde 0 /T.=2

Una serie como la representada se llama serie trigonometrica de Fourier. Esta serie

también se puede representar así:

Ejemplo 1: Deducir la forma de

y expresar Cn y n en términos de an t bn.

Se puede expresar así

se utiliza la entidad trigonométrica

donde

por consiguiente,

ó

También si se hace

Se Obtiene

Es obvio que la representación de Fourier de una función periódica, representa la función

como la suma de componentes sinusoides que tienen diferentes frecuencias. La

componente senosiudad de frecuencia se denomina la enésima armónica de la

función periódica. La primera armónica comúnmente se conoce como la componente

fundamental porque tiene el mismo período de la función y se conoce

como la frecuencia angular fundamental. Los coeficientes Cn y los ángulos n se conocen

como amplitudes armónicas y ángulos de fase, respectivamente.

Introducción

El integral de convolucion es una expresión fundamental que relación la entrada y la

salida de un sistema LTI. Sin embargo, tiene tres problemas:

1. Puede ser tediosa para calcular.

2. Ofrece una interpretación física limitada de lo que el sistema esta realmente

hacienda.

3. Da muy poca información de como diseñar sistemas para lograr ciertas funciones.

Las series de Fourier, junto la transformada de Fourier y la transformada de La Place,

provee una manera de resolver estos tres puntos. El concepto de eigenfuncion (o

eigenvector) es esencial para todos estos métodos. Ahora veremos como podemos re-

escribir cualquier señal f(t) , en términos de exponenciales complejos.

De hecho, al hacer nuestras anotaciones de señales y sistemas lineares menos

matemáticas, podemos extraer paralelos entre señales y sistemas con y algebra linear.

Una primera visita a las series de Fourier

Universidad de Granada

Departamento de Análisis Matemático

Fco. Javier Pérez González   fjperez@ugr.es

Aproximación por polinomios trigonométricos

Un polinomio trigonométrico de orden n es una función de la

forma   donde son números reales

llamados coeficientes del polinomio. Aquí tienes algunos ejemplos de polinomios

trigonométricos y sus gráficas.

Como acabas de ver, los polinomios trigonométricos pueden tener gráficas con

muy distintos aspectos. Parece razonable conjeturar que, eligiendo los

coeficientes de forma adecuada, podremos conseguir una buena aproximación de

una función dada por medio de polinomios trigonométricos.

Recuerda que ya sabes cómo aproximar localmente funciones derivables por sus

polinomios de Taylor. El problema que nos planteamos ahora es parecido: se trata

de calcular el polinomio trigonométrico de orden n que aproxima mejor a una

función dada f.

Se impone precisar el tipo de aproximación que vamos a considerar. Teniendo en

cuenta que los polinomios trigonométricos tienen período 2π, trataremos de

aproximar la función  f  en el intervalo [-π, π ]. Supondremos solamente que f es

continua en dicho intervalo. Como puedes apreciar, a diferencia de los polinomio

de Taylor que permiten una aproximación local para una función que tenga n

derivadas, ahora queremos una aproximación global, válida en todo un intervalo,

para funciones continuas.

Todavía queda por aclarar lo más importante: ¿de qué manera vamos a medir la

aproximación entre la función  f y un polinomio trigonométrico T ?  Pues bien,

vamos a considerar la aproximación en media cuadrática. Esto quiere decir

que entre todos los polinomios trigonométricos, T, de orden n vamos a calcular

aquél que haga mínima la cantidad . Dicho polinomio se llama

polinomio de Fourier de orden n de la función f.

Pongamos y

calculemos los coeficientes de T forma que sea mínima.

Desarrollando el cuadrado, tenemos que:

Teniendo en cuenta, como fácilmente puedes comprobar con Mathematica, que

,   y, para ,

. Y poniendo

, resulta

Expresión que, evidentemente, es mínima cuando , y

. Por tanto el polinomio de Fourier de orden n de  f es el polinomio

trigonométrico   cuyos coeficientes,

llamados coeficientes de Fourier de f, vienen dados por:

        

Los se llaman coeficientes coseno y los se llaman coeficientes seno. Es

importante que te des cuenta de que en ningún momento hemos usado la

supuesta continuidad de  f  y que lo único necesario  para poder hacer los cálculos

anteriores es que las integrales que en ellos aparecen estén definidas, para lo cual

es suficiente que la función f sea integrable. En particular, tiene perfecto

sentido hablar de los coeficientes de Fourier de una función monótona o de una

función acotada con un número finito de discontinuidades.

5.4 Convergencia de una serie de Fourier.

CONVERGENCIA DE LA SERIE DE FOURIER

 

Al igual que la serie de Taylor, la serie de Fourier depende de ciertos valores de la variable independiente x, para que converja o no. En esta sección, veremos condiciones

sobre   para saber a qué converge su serie de Fourier.

 

Definición.   (Función continua por partes)

Decimos que una función 

 es contínua por partes en el intervalo

 si:

i)  

 está definida y es contínua en 

, excepto quizás en un número finito de puntos.

ii)  

 y 

 exiten y son finites.

iii) En cada punto 

iv)  donde 

v)  no es continua,

vi)  y 

vii)  existen y son finitos.

 

Graficamente, una función 

  es contínua por partes si tiene solamente un número finito de discontinuidades y además, estas discontinuidades no son infinitas.

Así, una gráfica típica de una función contínua por partes se ve como sigue:

 

 

Puesto que vamos a usar mucho los límites laterales, es conveniente introducir una noación especial:

 

Ejemplo 5.

La función  definida como:

es continua por partes, como puede verificarse fácilmente con la gráfica.

 

Definición.   (Función suave por partes)

Una función 

 es suave por partes en el intervalo  

 si  

 y    son funciones continuas por partes 

en  .

 

Ejemplo 6.

La función del ejemplo 5, es suave por partes en    ya que 

de hecho   es:

Claramente esta última es contínua por partes en  .

 

Con estas dos definiciones, estamos en condiciones para dar nuestro primer teorema de convergencia para series de Fourier, el cual enunciamos sin demostración ya que ésta se sale de los objetivos del curso.

Primer Teorema de Convergencia

Sea    una función suave por partes en 

. Entonces la serie de Fourier de    converge en cada punto  

 al valor:

Es decir, la serie de Fourier converge al promedio de los límites laterales.

 

Observaciones:

1.         Si    es continua en    entonces la 

serie de Fourier converge a   . De hecho este es el valor al cual esperábamos que converja la serie (recuérdese el problema planteado al inicio de esta unidad), pero vemos que solamente se logra en los puntos donde  la función es continua.

2.         Si    es discontinua en    entonces la 

serie de Fourier no converge a  , pero si al punto medio entre los límites laterales.

3.         El Primer Teorema de Convergencia no nos da información sobre los puntos extremos del intervalo. El siguiente criterio de convergencia, mejora este “defecto”, aunque cambian las hipótesis.

 

 

Ejemplo 7.

Sea    la misma función del ejemplo 1. Claramente  

 es suave por partes, y de hecho,   es continua en todo el 

intervalo  . Por lo tanto, aplicando el primer teorema de 

covergencia, podemos concluir que la serie de Fourier converge a   ,  

.

Esto significa que, la función es igual a su serie de Fourier en el intervalo abierto: 

,  

 

Ejemplo 8.

Sea    la misma función del ejemplo 2. Claramente  

 es suave por partes en el intervalo   y continua en el 

intervalo   . Por lo tanto, aplicando el primer teorema de 

covergencia, podemos concluir que la serie de Fourier converge a   ,  

.

Esto significa que, la función es igual a su serie de Fourier en el intervalo abierto: 

,  

 

Ejemplo 9.

Consideremos la función definida en el ejemplo 5.  Ya vimos que esta función es suave por partes. 

Aquí,    no es continua en el intervalo abierto  

. De hecho, vemos que las discontinuidades de    son:  

Los extremos     no los tomamos en cuenta, ya que el Primer Teorema de Convergencia no nos da información sobre ellos. Analicemos 

entonces los valores restantes. En   ,

Por lo tanto,  en     la serie de Fourier  de     converge a:

En    se tiene que:

Por lo tanto,  en     la serie de Fourier  de     converge a:

En los demás valores  del intervalo  

, la serie  de Fourier converge a   , por la continuidad. 

Por lo tanto, sin calcular la serie de Fourier de  , podemos decir que converge a:

5.5 Series de Fourier de una función de período arbitrario.

Introducción

Uno de los descubrimientos más importantes en la historia de la matemática aplicada lo hizo Jean 

Baptiste   Fourier   (1768-1830),   quien   demostró   que   casi   toda   función   periódica   se   puede 

representar mediante una sumatoria de funciones seno y coseno. Estas sumatorias se conocen 

como las series de Fourier. Por ejemplo, en el análisis de vibraciones es común encontrar sistema 

masa – resorte – amortiguador, excitados por una fuerza periódica, cuya forma es algunas veces 

complicada. Mediante la descomposición de esta fuerza en funciones seno y coseno se pueden 

solucionar estos problemas de forma sencilla.

El desarrollo en series de Fourier se basa en la propiedad de ortogonalidad de la funciones seno y 

coseno. Las series de Fourier son en cierta forma más generales que las series de Taylor, ya que 

pueden representar funciones periódicas discontinuas que pueden ser de gran interés práctico. La 

complicación  más   importante   es   que   se  manejan   sumatorias   infinitas   y   en   algunos   casos   la 

convergencia puede ser un problema. Varias extensiones de las Fourier también son importantes 

como la transformada de Fourier y la transformada de Laplace, que se estudiarán más adelante. La 

teoría de Fourier ha sido aplicada con éxito en la solución de ecuaciones diferenciales, el estudio 

de vibraciones y ondas, procesamiento de señales, compresión de datos, procesamiento digital de 

imágenes y en muchos otros campos.

En este capítulo se estudiarán los conceptos básicos, los hechos y técnicas relacionadas con las 

series de Fourier. Se incluirán algunas aplicaciones importantes en la ingeniería. 

Funciones Periódicas y Series Trigonométricas 

Se dice que una función f(x) es periódica si está definida para toda x real y si existe algún número 

positivo T de manera que: 

El número T recibe el nombre de periodo de f(x). La gráfica de una función de este tipo se obtiene 

mediante una repetición periódica de la gráfica correspondiente a un periodo T (Figura 2.1). 

De la ecuación (2.1) se sigue que, si n es un número entero cualquiera se cumple que: 

de modo que  nT también es periodo de la función  f(x).  Además si  f(x) y  g(x) tienen periodo  T

entonces la función: 

también tiene periodo T. 

Ejemplos familiares de las funciones periódicas son las funciones seno y coseno. Note también que 

la función f = c = cte también es una función periódica de acuerdo a la definición dada en (2.1). 

Una serie trigonométrica es la sumatoria de funciones seno y coseno de la siguiente forma:

donde a0, a1, a2, …,b1, b2, … son constantes reales que reciben el nombre coeficientes de la serie. 

Se puede observar que los términos de la serie (2.4) tienen periodo 2π, por lo tanto, si la serie 

converge,   su   suma   será   una   función   periódica   con   periodo   2π.   El   proceso   para   hallar   los 

coeficientes de la serie (2.4) para representar funciones de periodo 2π se explicará en la siguiente 

sección,  mientras   que   el   procedimiento   para   representar   funciones   de   periodo   arbitrario   se 

presentará en una sección posterior.

5.6 serie de fourier de funciones pares e impares (desarrollo cosenoidal o senoidal)

FUNCIONES PARES E IMPARES

 

Definición.   Una   función    se   llama  función par  en   el   intervalo  

 si   cumple   que  

,  

.

 

Graficamente, una función es par si es simétrica respecto al eje  . Así, una gráfica típica de una función par, se ve como sigue:

Algunos ejemplos clásicos de funciones pares son:

1.     es   una   función   par   en   cualquier 

intervalo  .

2.     es una 

función par en el intervalo  .

 

El nombre de función par es debido a que todas las funciones de la forma   , donde  k es un número natural par, son funciones pares.

 

De  la  propiedad geométrica  de  las  funciones  pares,  es  claro que si  calculamos  

 , estamos calculando el area bajo la curva, y puesto que la función es simétrica respecto al eje  y,  entonces esta integral   equivale a dos veces el valor de 

. 

Una prueba formal de este resultado se da en los cursos de Cálculo.

LEMA.   Si   es una función par en el intervalo 

 entonces:

 

Pasemos ahora a las funciones impares.

 

Definición.    Una   función    se   llama  función impar  en   el   intervalo  

 si   cumple   que  

,  

.

Graficamente, una función   es impar si es simétrica respecto al origen. Así, una gráfica típica de una función impar, se ve como sigue:

Algunos ejemplos clásicos de funciones impares son:

1.     es   una   función   impar   en   cualquier 

intervalo  .

2.     es 

una función impar en el intervalo  .

 

El nombre de función impar es debido a que todas las funciones de la forma   , donde  k es un número natural impar, son funciones impares.

 

De  la  propiedad  geométrica  de   las  funciones  impares,   vemos  que  el   valor  de  

 y   el   valor   de  

 difieren por un signo y por lo tanto el valor total de  

 se anula. Una prueba formal se da en los cursos de Cálculo.

 

LEMA.    Si    es   una   función   impar   en   el   intervalo  

 entonces:

 

Al combinar bajo productos funciones pares e impares, éstas se comportan como cuando multiplicamos números positivos y negativos, siguiendo las leyes de los signos.

 

Informalmente hablando, tenemos las siguientes propiedades:

        (par)(par)   =   par

        (par)(impar)   =   impar

        (impar)(impar)   =   par

 

La demostración de estas propiedades es muy simple. Pongamos por ejemplo, que  

 

es una función par y    es una función impar. De aquí tenemos que:

lo que demuestra que    es una función impar.

Pasemos a ver el resultado que nos indica qué sucede con los coeficientes y la serie de Fourier de funciones pares e impares.

 

TEOREMA.   Sea    integrable en el intervalo  

.  Entonces:

i)   Si    es una función par, entonces la serie de Fourier de  

 en   es:

     donde:

                        

                        

,  

 ii)   Si    es una función impar, entonces la serie de Fourier de  

 en   es:

       donde:

                        

,  

Demostración.   i)   Supongamos que     es par. Entonces por las 

propiedades de las funciones pares e impares, 

 es par,  , y por uno de los lemas anteriores, se sigue que:

                        

                        

También,    es impar, 

, y por el otro lema se sigue que,

                        

ii)  Es completamente análogo al inciso (i).

 

Ejemplo 3.

Calcular la serie de Fourier para la función  

, en el intervalo   .

Solución.  Sabemos que     es par, y por lo tanto, solamente calculamos 

los coeficientes     y   . Tenemos que:

            

            

                 

 

Por lo tanto, la serie de Fourier de     en  

 es:

 

Ejemplo 4.

Calcular la serie de Fourier de la función definida como:

Solución. De la gráfica de la función,

vemos que  se trata de una función impar. Por lo tanto, para calcular su serie de Fourier, 

únicamente calculamos los coeficientes   :

 

            

 

Por lo tanto la serie de Fourier de   en    es:

 

De hecho, observamos que si   ,  

 entonces  

, mientras que si   , 

 entonces   . Por lo tanto, la serie de Fourier se puede escribir como:

SERIES DE FOURIER DE COSENOS Y DE SENOS■ Funciones pares e impares   ■ Propiedades de las funciones pares e impares■ Series de Fourier de cosenos y de. senos   ■ Sucesión de sumas parciales■ Fenómeno de Gibbs   ■ Desarrollos en mitad de intervaloFunciones pares e impares El lector recordará que se dice que una función ¦ es

EJEMPLO  1  Funciones pares e impares

Como se ilustra en las figuras 10.3 y 10.4, la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y y la de una función impar lo es con respecto al origen.

EJEMPLO  2  Funciones pares e imparesComo cosí (-x) = cos x  y sen(-x) = -sen x, el coseno y el seno son función par e impar, respectivamente.Propiedades de las funciones pares e impares El teorema que sigue menciona algunas propiedades de las funciones pares e impares.TEOREMA 10.2 Propiedades de las funciones pares e imparesa)       El producto dé dos funciones pares es par.b)       El producto de dos funciones impares es par. c)       El producto de una función impar y una función par es impar. d)       La suma o diferencia de dos funciones pares es par. e)       La suma o diferencia de dos funciones impares es impar:

DEMOSTRACIÓN DE b) Supongamos que ¦ y g son funciones impares. En ese caso tendremos

que,   Si definimos el producto de  entonces

Esto demuestra que el producto F de dos funciones impares es una función par. Las demostra-ciones de las demás propiedades se dejan como ejercicios. (Problemas 45 a 49 de los ejercicios 10.3.)Series de senos y de cosenos Si ¦ es una función paren (-p, p), entonces, en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9), (10) y (11) de la definición mencionada en la sección 10.2 se transforman en

En forma parecida, cuando ¦ es impar en el intervalo (-p, p),

Resumiremos los resultados en la definición siguiente.DEFINICIÓN 10.6 Series de Fourier de cosenos y serie de senos i) La serie de Fourier de una, función par en el intervalo (-p, p) es la serie de cosenos

en que (1) (2) (3)ii) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p, p) es la serie de senos

en donde (4) (5)

 EJEMPLO   3     Desarrollo en una serie de senosDesarrolle ¦ (x) = x, -2 < x < 2 en forma de una serie de Fourier.SOLUCIÓN Desarrollaremos f como una serie de senos porque al ver la figura 10.5 advertiremos que la función es impar en el intervalo (-2, 2).Hacemos que 2p = 4, o p = 2, y podemos escribir la ecuación (5) como sigue:

Integramos por partes para obtener

Por consiguiente, (6)

5.7 Serie de Fourier en medio intervalo.

¿Qué es la Serie de Fourier ?

En matemáticas, una serie de Fourier, que es llamada así en honor de Joseph Fourier

(1768-1830), es una representación de una función periódica como una suma de

funciones periódicas de la forma

que son armónicos de ei x; Fourier fue el primero que estudió tales series

sistemáticamente, aplicándolas a la solución de la ecuación del calor y publicando sus

resultados iniciales en 1807 y 1811. Este área de investigación se llama algunas veces

Análisis armónico. Muchas tipos de otras transformadas relacionadas con la de Fourier

han sido definidas desde entonces.

Definición de la serie de Fourier

Supongamos que es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo

[a,b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será

posible determinar un conjunto de coeficientes 0, 1, 2,..., para el cual

Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector,

también podemos determinar los coeficientes mediante el producto interno. Al

multiplicar la ecuación anterior por e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene:

Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero,

excepto cuando m=n. En este caso tendremos

Entonces los coeficientes que buscamos son

En otras palabras, (1)

En la que (2)

La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es

(3)

El conjunto de funciones

(1)

es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que f es una función definida en el

intervalo [-p,p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica

(2)

Entonces, los coeficientes pueden determinar tal como describimos

para la serie de Fourier generalizada en la sección anterior.

Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde –p hasta p, se obtiene

(3)

Como cada función , n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el

lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia,

Al despejar se obtiene

(4)

Ahora multipliquemos la ecuación (2) por e integremos:

(5)

por la ortogonalidad tenemos que

y

Entonces la ecuación 5 se reduce a

Y así (6)

Por último si multiplicamos a (2) por , integramos y aplicamos los resultados

llegamos a (7)

La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es

(8)

(9)

(10)

(11)

Series de Fourier de cosenos y de senos

Si f es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los

coeficientes de (9),(10) y (11) se transforman en

.

En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (-p,p),

, n=0,1,2,...,

Resumen de las constantes de la series de Fourier

a. La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos

en que

b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie de senos

en donde

5.8 Forma compleja de la serie de Fourier.

Definición. (Serie de Fourier Compleja).

Sea  con período  p sea  .

Definimos la serie de Fourier compleja de  como sigue:

donde:

 

También se tiene el criterio de convergencia correspondiente.

 

Definició. (Espectro de Frecuencias).

El espectro de frecuencias de una función periodica es una gráfica de los puntos

 para  

   …

 

Ejemplo 1.

Calcular la serie de Fourier compleja de la siguiente función, y tambien dibujar

el espectro de frecuencias.

 

                                                                     6                       

                                                                                      

 

 

 

                                        -8                        0                     8                         

 

 

 

Solución.

Tenemos que  y

 para  . De aquí que: 

                    

 

 

                        

 

                 

 

                   

 

                     

 

                     

 

                     

 

Como  

, entonces:

 

Por lo tanto, la serie de Fourier Compleja de  f(x)  es:

 

La cual converge converge a:

Y por ser   f(x)  periódica,   tiene el mismo comportamiento en los intervalos  

     ,…      

,…

El espectro de frecuencias se ve como sigue:

Cálculo de Cn:

BIBLIOGRAFIAS

http://72.14.253.104/search?q=cache:kBm1gjrop0wJ:docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%2520I/CONVERGENCIA.htm+Convergencia+de+una+serie+de+Fourier&hl=es&ct=clnk&cd=1&gl=mx

http://www.monografias.com/trabajos32/fourier-y-laplace/fourier-y-laplace.shtml

http://docentes.uacj.mx/gtapia/MateAvanz/Contenido/Unidad%20I/SERIE%20COMPLEJA.htm

http://docs.google.com/www.itescam.edu.mx/