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UNIDAD 5: FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS

1. CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una función real de variable real es una correspondencia de un conjunto D en el conjunto de los números reales , es decir, una ley que a cada valor del conjunto D asigna un único número real.

La función f de D en se simboliza así:

:

f D

x f x

El conjunto D recibe el nombre de dominio de la función, y se representa por Dom f , y el conjunto

de los transformados mediante f recibe el nombre de recorrido o imagen de la función, y se

representa por Img f :

Dom : tiene sentidof x f x

Img valores que toma la función / existe al menos un :f y x D y f x

Las funciones también se suelen escribir en la forma y f x , y se dice que x es la variable

independiente e y la variable dependiente o función.

Dos funciones y f g son iguales, f g , cuando Dom Domf g y

f x g x Domx f . Geométricamente, una correspondencia es una función cuando la gráfica de la correspondencia corta a cada recta vertical en un único punto.

Correspondencia que es función

Correspondencia que no es función

2. FUNCIONES ALGEBRAICAS

Funciones polinómicas

Bloque 3: Análisis  

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Son del tipo dondef x A x 11 1 0...n n

n nA x a x a x a x a es un polinomio.

Se tiene que: Dom f

Funciones racionales

Son de la forma donde y 0

A xf x A x B x

B x son polinomios.

Se tiene que: Dom : 0 : 0f x B x x B x

Funciones irracionales

Son funciones en las que normalmente su expresión algebraica viene dada por una raíz. Si

kf x g x

Se tiene que:

: 0 si el índice es parDom

Dom si el índice es impar

x g xf

g

Funciones definidas a trozos

Cuando una función se define utilizando más de una expresión algebraica, se dice que está definida a trozos. Su dominio variará dependiendo de las expresiones algebraicas de los trozos.

La imagen o recorrido de una función la estudiaremos teniendo en cuenta su representación gráfica.

3. OPERACIONES CON FUNCIONES ■ Función suma

f g x f x g x x Dom f Dom g

■ Función producto f g x f x g x x Dom f Dom g

■ Función cociente

: 0

f xfx x g x

g g x

■ Función compuesta f g x f g x (se lee g compuesta1 con f )

Propiedad: Elemento simétrico: Es una función que, si existe, se representa por 1f y verifica:

1 1f f x f f x I x

                                                            1 Se lee al revés de como se escribe, ya que primero aplicamos g y luego f .

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La función 1f recibe el nombre de función inversa2 de f . ■ Función inversa

o Cálculo de la función inversa: a) Expresar la variable y en función de la variable x . b) Despejar la variable x de la igualdad anterior con el fin de hallar la expresión de x en

función de y . c) Intercambiar las variables, ya que cualquier función se expresa siempre a partir de la

variable x . d) Realizar la comprobación.

Geométricamente, si existe la función inversa, su gráfica se obtiene tomando la simétrica de la gráfica de la función respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

4. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES

4.1.- MONOTONÍA (crecimiento, decrecimiento), máximos y mínimos relativos. Sea :f D una función e I D un intervalo. Se dice que f es

a) estrictamente creciente en I si

b) creciente en I si 0 1 0 1 0 1, : se tiene que x x D x x f x f x

c) estrictamente decreciente en I si 0 1 0 1 0 1, : se tiene que x x D x x f x f x

d) decreciente en I si 0 1 0 1 0 1, : se tiene que x x D x x f x f x

e) constante en I si 0 1 0 1 0 1, : se tiene que x x D x x f x f x

Estrictamente creciente

Estrictamente decreciente

Función constante

                                                            

2 ¡Alerta! 1 1f

f (la función

1

f recibe el nombre de función recíproca de f , aunque también es “usual” en la

bibliografía que llamen función recíproca a 1f )

101010 que tienese :, xfxfxxDxx

Bloque 3: Análisis  

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Una función es estrictamente monótona si es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, y es monótona si es creciente o decreciente.

Diremos que f tiene un máximo relativo en 0x D si existe un entorno abierto3 de 0x , 0E x tal que

.

Diremos que f tiene un mínimo relativo en 0x D si existe un entorno abierto de 0x , 0E x tal que

0 0 f x f x x D E x .

x

y

0x 0x 0x

m 0f x

y f x

Geométricamente una función tiene un máximo relativo cuando en ese punto la función pasa de ser creciente a ser decreciente y tiene un mínimo relativo cuando pasa de ser decreciente a ser creciente. 4.2.- SIMETRÍAS (funciones pares e impares) Sea :f D una función. Se dice que f es

a) par o simétrica respecto del eje cuando x D y f x f x x D

b) impar o simétrica respecto del origen de coordenadas si x D y f x f x

x D .

Función par

Función impar

Geométricamente una función es:

                                                            

3 Un entorno abierto de es un intervalo de la forma 0 0,x x para algún 0 . Lo representaremos por

0 0 o ,E x E x si necesitamos precisar el radio, , que tiene.

00 xEDxxfxf

OY

0x

x

y

0x 0x 0x

M 0f x

y f x

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a) par si al doblar la gráfica respecto del eje OY las ramas positiva y negativa de la función coinciden. b) es impar si al girarla 180º vuelve a coincidir con ella misma.

4.3.- PERIODICIDAD Una función :f D es periódica de período si se cumplen las siguientes dos condiciones:

1) f x T f x x D

2) 0T es el menor de los números que cumple 1).

4.4.- CONTINUIDAD (funciones continuas) Definición no rigurosa4: Diremos que una función :f D es continua en un punto 0x D si

en un entorno de dicho punto los puntos próximos a 0x tienen imágenes próximas a 0f x en otro

entorno de dicho punto. En el caso de que f sea continua en todos los puntos de un subconjunto S D , se dice que f es continua en S. Cuando una función no sea continua en un punto, se dice que es discontinua en dicho punto. Sin embargo, hay que tener cuidado, ya que, si una función no está definida en un punto, no tiene sentido estudiar la continuidad de la función en dicho punto. La clasificación de las discontinuidades de una función se hará en el tema correspondiente. 4.5.- ACOTACIÓN (funciones acotadas). Máximo y mínimo absoluto. Una función :f D está:

a) acotada si 0 : M f x M x D

b) acotada superiormente si : K f x K x D

c) acotada inferiormente si : k k f x x D

Función acotada

Función acotada superiormente Función acotada inferiormente

Como consecuencia de lo anterior se tiene la siguiente caracterización:

f acotada f acotada superior e inferiormente

                                                            4 En el tema de Límites y Continuidad daremos una definición rigurosa de función continua, que involucra límites.

0T

Bloque 3: Análisis  

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Geométricamente, el hecho de que una función esté acotada (por un número 0M ), se traduce en que su gráfica está entre las rectas e y M y M

Si f está acotada superiormente, el número M recibe el nombre de cota superior. A la menor de las cotas superiores se le llama supremo de f en D. Si el supremo es alcanzado por la función f, es decir,

1 1:x D f x es el supremo, entonces el número 1f x recibe el nombre de máximo absoluto de f

en D. Si f está acotada inferiormente el número m recibe el nombre de cota inferior. A la menor de las cotas inferiores se le llama ínfimo de f en D. Si el ínfimo es alcanzado por la función f , es decir,

0 0:x D f x es el ínfimo, entonces el número 0f x recibe el nombre de mínimo absoluto de f

en D.

Teorema de WEIERSTRASS: Si : ,f a b es continua, entonces f tiene máximo y mínimo

absolutos. Este resultado lo que nos dice es que la función tiene extremos absolutos, pero no nos dice dónde están ni cómo calcularlos. 4.6.- CURVATURA (funciones convexas y cóncavas). Puntos de inflexión Daremos una definición5 basada en la interpretación geométrica:

Una función :f I , donde I es un intervalo, es convexa si para cualesquiera ,a b I con

a b la gráfica de f restringida al intervalo ,a b “se halla situada por debajo” del segmento de

extremos , , ,a f a b f b .

Así, las funciones convexas son aquellas tales que el recinto del plano que queda por encima de su gráfica es un conjunto convexo. Diremos que :f I , donde I es un intervalo, es cóncava cuando f sea convexa. Una función tiene un punto de inflexión, cuando en dicho punto la función pasa de ser convexa a ser cóncava o viceversa. En el primer caso se habla de punto de inflexión convexo-cóncavo y en el segundo de punto de inflexión cóncavo-convexo.

                                                            5 ¡¡Ojo!! Al consultar la bibliografía es posible encontrar libros donde llaman función cóncava a lo que nosotros llamamos función convexa. También se usa la nomenclatura cóncava hacia arriba para las funciones convexas y cóncava hacia abajo para las cóncavas. Lo importante no es el nombre que se le dé, sino el concepto. Sin embargo, no he encontrado un solo

libro que no sea de Bachillerato donde la parábola 2x sea cóncava.

ab x

y

M

M

y f x

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4.7.- TENDENCIAS Asíntotas verticales

Decir que cuando f x x a , significa que cuando x tiende a a (se acerca cada vez más al

punto a), con x a , f x toma valores cada vez mayores.

Análogamente, decir que cuando f x x a , significa que cuando x tiende a a, con x a ,

f x toma valores cada vez más pequeños.

Llamamos asíntotas de una función a las rectas que se aproxima la función en el infinito.

La recta x = a es una asíntota vertical de f x si se da alguna de las siguientes situaciones:

cuando f x x a cuando f x x a

cuando f x x a

Asíntotas horizontales

Decir que cuando f x b x , significa que cuando x se hace tan grande como queramos, la

función f x toma valores cada vez más próximos al número b.

Análogamente, decir que cuando f x b x , significa que cuando x se hace tan pequeño

como queramos, la función f x toma valores cada vez más próximos al número b.

La recta y = k es una asíntota horizontal de f x si se da alguna de las siguientes situaciones:

cuando f x k x o cuando f x k x

Bloque 3: Análisis  

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5. EJERCICIOS 1. Indica en cada una de las siguientes gráficas cuáles son representaciones de funciones y cuáles no:

2. De las siguientes parejas de funciones, indica cuáles son iguales y cuáles no:

a) y b)

c) si 0 si 0

; si 0 si 0

x x x xy y

x x x x

3. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

1) 10)

2) 11)

3) 12)

4) 13)

5) 14)

6) 2log 1f x x 15)

7) 16)

333 ; 1 yxxy333 ; 1 yxxy

32 xy xxf

0 xyyx 32

2

4

x

xxf

2

2 3

x

xxf

23 xxf

5 2 5 xxf

1 si 3

1 si 2

xx

x

xxxf

9

52

x

xf

0 si

0 si 12

xx

xxxf

12 xxf

032 xy 1

1

x

xxf

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8) 17)

9) 18)

4. Calcula , Dom y 5f g f g g f en cada uno de los siguientes casos:

a)

b)

5. Dadas las funciones , comprueba si existe la función

y la función . 6. Halla las funciones y , siendo:

y

7. Considera las funciones , y calcula:

a) c)

b) d) Dom

8. Dadas :

a) Halla

b) Determina Dom

c) ¿Es cierta la igualdad ?

9. Calcula: , siendo y .

10. Dadas las funciones y

2 si 43

2 si 22

xx

xxxg halla:

a) c)

b) Dom d)

11. Sabiendo que calcula:

02 xy 422

12

x

xxf

12 xxf 1

1

x

xxf

152y 1 22 x-xxgxxf

xxgxxxf 8y 50,0 si 2

x

xgxxf

4

1y 9

gf gf

gf gf

xx

xx

xx

xf

4 si 4

1

40 si 1

0 si 22

2 si

2 si 2 xx

xxxg

1

1y 1 ,1 23

xxhxxgxxf

hgf 2fg

hgf gf

1

1y 12

xxgxxf

1fg

fg

11

12

xx

xxfg

gf3

1 si

1 si 1

xx

xxxf

1 si 43

1 si 1

1

xx

xxxg

0 si 1

0 si 12 xx

xxxf

1fg 3fg

fg 1fg

4y 1 2 xxgxxf

Bloque 3: Análisis  

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a) b) Dom c)

12. Determina el dominio de las funciones recíprocas de las siguientes funciones:

a) c)

b) d)

13. Con las funciones del ejercicio anterior, calcula:

a) b) c)

14. Dadas , determina:

a) b) c) Dom

15. Si , halla .

16. Dadas , calcula:

a) b) Dom

17. Considera las funciones , y determina:

a) b) 18. Dada la función , resuelve las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c) 162 xxff 19. Comprueba si la función tiene inversa, y en caso afirmativo, calcula el

dominio de 1f . 20. Halla la función inversa de las siguientes funciones:

a) e)

b) f)

c) g)

2fg

g

f 3

g

f

2 xxf 3

12

x

xxh

11 xxg 31

11

xx

xxj

gf 23 124 hg f

h2

3

1y 12 2 xxgxxf

gf fg gf

3y 1

xxgx

xf fggf y

2

1y 1

xxgxxf

1gf fg

13

1y 1 , 2

xxhxxgxxf

2fg 2hfg

63 xxf

0xff

xxff

0 2 xxxf

23 xy12

2

x

xy

2

1

xy 3xy

1

2

xy

13

3

x

xy

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d) h)

21. Si tenemos la función , ¿podrías calcular sin hallar ?

22. Sabiendo que halla, si es posible,

a) Halla, utilizando la gráfica de la función,

b) Dibuja la gráfica de 23. Si , ¿es necesariamente ? Si no es así pon un ejemplo de dos funciones no nulas cuyo producto sea cero. 24. Indica las características (dominio, imagen, monotonía, simetrías, extremos relativos y acotación) de las siguientes funciones:

25. Dibuja una gráfica que cumpla las condiciones dadas en cada uno de los siguientes casos:

a) Dom e Img

b) Dom – {3} e Img

c) Dom e Img

d) Dom e Img

26. Estudia la simetría de las siguientes funciones:

5

12

x

xy xy

32 xxf 71f 1f

0 si 1

0 si 2

xx

xxxf xf 1

21 f

xf 1

0fg 0 o 0 gf

f 1,1f

f f ,11,f 2,2f

f f

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a) c)

b) d) 27. Dibuja una función par, otra impar y otra 2 – periódica. 28. Expresa la altura de un triángulo equilátero en función de la media de su lado.

29. Expresa el volumen de una piscina de forma cúbica, cuya base mide 30 m2, en función de su altura.

30. En una circunferencia de ocho metros de radio se quiere inscribir un rectángulo de base . Expresa la altura del rectángulo en función de la base.

31. Queremos construir habitaciones rectangulares de 16 m2. Expresa en forma implícita la función que relaciona las dimensiones de una de dichas habitaciones.

32. Sea una función acotada superiormente en y otra función acotada en . Demuestra las siguientes afirmaciones: a) está acotada superiormente.

b) está acotada inferiormente.

c) no está acotada superiormente 33. ¿Existe alguna función par e impar a la vez?

xxxf 5 14

2

x

xxf

124 xxxf 642 xxf

x

f g

gf gf fg