DISTRIBUCIN CONTINUAS4.1 DEFINICIN DE VARIABLE ALEATORIA CONTUNUA.

Si los datos representan mediciones de una variable aleatoria continua y si su cantidad de datos es muy grande, podemos reducir la anchura de los intervalos de clase hasta que la distribucin se vea como una curva continua. Una funcin de densidad de probabilidad, es un modelo terico para esta distribucin.Si f(y) es la funcin de distribucin acumulativa para una variable aleatoria continua y entonces la funcin de densidad f(y) para y es.

La funcin de densidad para una variable aleatoria continua y que modela alguna poblacin de datos de la vida real, por lo regular es una curva continua.Entonces, el rea acumulativa bajo la curva entre -y un punto y0 es igual a f(y0).-+La funcin de la densidad para una variable aleatoria continua siempre debe satisfacer las tres propiedades que se indican en siguiente.Propiedad

1.-

2.-

3.- , donde a y b son constantes. 4.2 FUNCIN DE DENSIDAD Y ACUMULATIVA.Si los datos representan mediciones de una variable aleatoria continua y si la cantidad de datos es muy grande, podemos reducir la anchura de los intervalos de una clase hasta que la distribucin se vea como una curva continua. Una funcin de densidad de probabilidad es un modelo terico para esta distribucin.[footnoteRef:1] [1: MENDENHALL William, Probabilidad y Estadstica para ingeniera y ciencia, Pg. 206]

Si f(y) es la funcin de distribucin acumulativa para una variable aleatoria continua y, entonces la funcin de densidad f(y) para y es.

La funcin de densidad para una variable aleatoria contina y que modela alguna poblacin de datos de la vida real, por lo regular es una curva.4.3 VALOR ESPERADO, VARIANZA Y DESVIACIN ESTNDAR.La media y la varianza de una variable aleatoria continua se define de la manera similar al caso de la variable aleatoria discreta. En las definiciones la integracin remplaza a la sumatoria.[footnoteRef:2] [2: MONTGOMERY, Douglas C. Op. Cit. Pg.168]

Supngale que X es una variable aleatoria continua con funcin de densidad de probabilidad fx (x),- 0 p: parmetro de forma, p > 0.Aumenta la distribucin ya que se puede utilizar para resolver muchos problemas en ingeniera y en la ciencia, hay aun numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de funciones de densidad. Dos de estas funciones de densidad, las distribuciones gamma y exponencial, se estudian en esta seccin.Resulta que la distribucin exponencial es una cosa especial de la distribucin gamma. Ambas encuentran un gran nmero de aplicaciones .Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante en teora de colas y problemas de confiabilidad. Los tiempos entre llegadas en instalaciones de servicio, y tiempo de falla de partes componentes y sistemas elctricos, a menudo quedan bien moldeadas mediante la distribucin exponencial. La realidad entre la gamma y la exponencial permite que la gamma se involucre en tiempos de problemas similares. La distribucin gamma, deriva su nombre de la bien conocida funcin gamma, que se estudia en muchas reas de las matemticas. Antes de que procedemos con la distribucin gamma, revisemos esta funcin y algunas de sus propiedades importantes.La funcin gamma se define como:

Al integrar la formula u= obtenemos

Para , que produce la formula recursiva La aplicacin repetida de la frmula de recursividad da Y as sucesivamente. Ntese que cuando es un entero positivo Sin embargo por la definicin Y de aqu Una propiedad importante de la fusin gamma, se deja al lector para su verificacin. Inclinaremos ahora la fusin gamma en nuestra difusin de la distribucin gamma.La variable aleatoria continua x tiene una distribucin gamma, con parmetros , si su fusin de densidad est dada por

En la figura 6.28 se muestran graficas de varias distribuciones en gamma para ciertos valores especficos de los parmetros .La distribucin gamma especial para la que se llama distribucin exponencial. La variable aleatoria continua x tiene una distribucin exponencial, con parmetro B, si su funcin de densidad est dada por

El siguiente teorema y corolario dan la media y la varianza de las distribuciones gamma y exponencial.La media y la varianza de la distribucin gamma son Para encontrar la media de la distribucin gamma escribimos Ahora bien, , que da Para encontrar la varianza de la distribucin gamma, procedemos como antes para obtener Y entonces La media y la varianza de la distribocion especial son 4.7 DISTRIBUCIN NORMALLa distribucin normal es la ms importante en probabilidad y estadstica. Muchas poblaciones numricas tienen distribuciones que se pueden ajustar con mucha aproximacin mediante una curva normal apropiada. Como ejemplos pueden citarse la estatura, peso y otras caractersticas fsicas (el famoso artculo 1903 de Biomtrica analiz muchos de este tipo), errores de medicin en experimentos cientficos, mediciones antropomtricas efectuadas en fsiles, tiempo de reaccin en experimentos psicolgicos, mediciones de inteligencia y aptitud, calificaciones de diversas pruebas y numerosas medidas e indicadores econmicos. Aun cuando la distribucin fundamental sea discreta, la curva normal proporciona con frecuencia una aproximacin excelente. A dems cuando las variables individuales no estn normalmente distribuidas, en condiciones apropiadas las sumas y promedios de las variables tendrn aproximadamente una distribucin normal.[footnoteRef:6] [6: Ibd. Pg.155]

La distribucin normal aparece en el estudio de muchos fenmenos fsicos bsicos. Por ejemplo, el fsico James Maxwell desarrollo la distribucin normal a partir de hiptesis muy sencillas con respecto a las velocidades de las molculas.[footnoteRef:7] [7: MONTGOMERY, Douglas C. Op. Cit. Pg.175]

Una variable aleatoria X con funcin de densidad de probabilidad

Tiene una distribucin normal con parmetros , donde -