Unidad 3. Metodos de integracion(2).pdf
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Cálculo integral Unidad 3. Métodos de integración
Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología
1
Calculo integral
Unidad 3. Métodos de
integración
Cálculo integral Unidad 3. Métodos de integración
Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología
2
Tabla de contenidos
UNIDAD 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 3
Presentación de la unidad 3
Consideraciones específicas de la unidad 3
Propósito de la unidad 4
Competencia específica 4
3.1. Integración por partes 5
3.1.1. Integrales por partes 5
Actividad 1. Métodos de integración 7
Actividad 2. Ejercicios de integración por partes 7
3.1.2. Sustitución para racionalizar 8
3.2. Integrales trigonométricas 8
3.2.1. Integrales trigonométricas 9
3.2.2. Integrales que contienen senos y cosenos 11
3.2.3. Integrales que contienen tangentes y secantes 14
Actividad 3. Resolución de problemas que contienen funciones trigonométricas 15
3.2.4. Sustitución trigonométrica 15
Actividad 4. Ejercicios de sustituciones trigonométricas 18
3.3. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales 18
3.3.1. Q(x) es producto de factores lineales distintos 20
3.3.2. Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten 22
3.3.3. Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite 24
3.3.4. Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido 26
Actividad 5. Integración mediante fracciones parciales 29
3.4. Estrategias de la integración por medio de tablas integrales 29
3.4.1. Tablas de fórmulas integrales 30
Actividad 6. Formulas de integración 31
3.4.2. Estrategias para integrar 31
Actividad 7. Resolución de integrales 32
3.5. Integrales impropias 32
3.5.1. Tipo 1. Intervalos infinitos 32
3.5.2. Tipo 2. Integrandos discontinuos 34
Evidencia de aprendizaje. Cálculo de una integral 37
Fuentes de consulta 37
Cálculo integral Unidad 3. Métodos de integración
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3
UNIDAD 3. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Presentación de la unidad
En la unidad 1 hemos visto el teorema fundamental del cálculo, el cual menciona que es posible integrar
una función si conocemos su antiderivada, o su integral definida. También hemos adquirido habilidad para
resolver cierto tipo de integrales; sin embargo, existen integrales más complicadas que no es posible
resolverlas con las fórmulas y métodos hasta ahora expuestos. Por ello, en este capítulo abordaremos
diferentes técnicas y métodos para resolver integrales.
Entre los métodos que veremos están integración por partes, integración usando funciones trigonométricas,
integraciones por sustitución trigonométrica, integración de un cociente mediante la descomposición de
fracciones parciales entre sus diferentes casos. También veremos el cómo abordar cierto tipo de integrales
mediante tablas y/o aplicando algunas estrategias para realizar el proceso de integración con éxito. Incluso
abordaremos las integrales impropias en donde extenderemos el concepto de integral definida al caso
donde el intervalo es infinito y también al caso donde f tiene una discontinuidad infinita en un intervalo
[a, b].
Consideraciones específicas de la unidad
En esta sección requerimos el siguiente material:
Calculadora.
Tablas de integración. Existen libros en las bibliotecas que podrías utilizar o bien adquirir las tablas
de Internet. Te aconsejamos que lleves contigo las tablas para evaluar las integrales.
Es necesario que repases las fórmulas para encontrar áreas a figuras geométricas planas y
volumétricas comunes.
Es necesario que tengas conocimientos sobre:
Álgebra
Geometría analítica
Cálculo diferencial
Propiedades y reglas de las operaciones de sumatorias.
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Propósito de la unidad
Al término de la unidad habrás incrementado tu competencia en
resolver integrales mediante diferentes métodos y reglas de
integración. Desarrollarás tu habilidad de escoger métodos
apropiados para resolver integrales. Identificarás integrales que
requieran el uso de tablas de integrales para su resolución.
Competencia específica
Utilizar métodos de integración para resolver integrales mediante reglas,
identidades, sustituciones, simplificaciones, definiciones, estrategias y
tablas, con base en ejercicios de práctica.
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3.1. Integración por partes
Como inicio de la unidad empezaremos a estudiar el método de integración por partes. Dicho método es
una consecuencia inversa del proceso de derivación de un producto de funciones. Veremos también el
proceso de integración cuando tengamos funciones expresadas como raíces cuadradas.
3.1.1. Integrales por partes
La regla de integración por partes surge de la regla de derivación de un producto de dos funciones.
Supongamos que f y g son funciones derivables.
La regla de derivación de un producto de funciones establece:
)()()()()()( xfxgxgxfxgxfdx
d
Si aplicamos la integral al producto de funciones, tenemos:
dxxfxgxgxfdxxgxfdx
d )()()()()()(
En el primer término se cancela la integral.
dxxfxgdxxgxfxgxf )()()()()()(
Despejamos el primer término de la suma del lado derecho.
dxxfxgxgxfdxxgxf )()()()()()(
Llegamos a lo que se conoce como fórmula de integración por partes.
Si renombramos los términos )(xfu y )(xgv y sus respectivos diferenciales dxxfdu )( y
dxxgdv )( ; reescribimos la fórmula de integración por partes como:
duvuvdvu
Reescribiendo de esta manera una integral, es más sencillo resolverla. Escrita de esta manera te será más
fácil recordarla.
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Ejemplo
Queremos determinar la integral de la forma dxxsenx .
Solución
Antes de realizar la integral identificamos a u y v .
u dv u v v du
Lo que está en rosa es lo que identificamos y lo que está en amarillo es lo que tenemos que encontrar para
poder aplicar la regla.
xu encontrar: dxdu
senxdxdv encontrar: xv cos
Sustituimos en nuestra fórmula de integración por partes, y procedemos a integrar las integrales faltantes.
En caso de que fuera necesario, volvemos nuevamente a aplicar la regla de integración por partes. En este
caso no es necesario.
Csenxxx
dxxxcoxx
dxxxsenxdxxduvvudvu
cos
cos
)cos()cos(
La integral del coseno la sacamos de las tablas de integrales.
El objetivo de la integración por partes es obtener una integral más fácil de resolver, en comparación con la
inicial.
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Actividad 1. Métodos de integración
Instrucciones
En esta primera actividad deberás ingresar al foro y realizar lo que se te pide a continuación.
Instrucciones
1. Investiga por tu cuenta y responde:
¿Qué otros métodos de integración existen y en qué consisten?
Comparte tus conclusiones con tus compañeros(as).
Participa al menos dos veces y recuerda ser respetuoso(a) con tus compañeros(as). Tu
Facilitador(a) retroalimentará tu participación.
Consulta la Rúbrica general de participación del foro, que se encuentra en la sección Material de apoyo.
Actividad 2. Ejercicios de integración por partes
Instrucciones
1. En un documento de Word, integra por partes las siguientes integrales e intégralas:
1. dxxx 322 6. dxsenxx )ln(cos
2. d
2sec 7. dxxx cos
3. dxxe x
2 8. dxxx
5
1ln
4. dxex x
32
9. dxx2)(ln
5. dxxx ln 10. dxsenxex
2. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en
los siguientes días.
*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.
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3.1.2. Sustitución para racionalizar
En esta sección evaluaremos integrales que tienen una expresión de la forma n xg )( , en la cual
efectuaremos una sustitución n xgu )( .
Ejemplo
Evaluar la integral
dxx
x 4
Solución
Haremos la sustitución de n xgu )( , es decir:
4 xu que es lo mismo que 42 xu , despejando x y determinando sus diferencias,
42 ux ; ududx 2
Sustituyendo en la integral, llegamos a:
duu
u
duu
uudu
u
udx
x
x
42
422
4
4
2
2
2
2
2
Este último término será evaluado usando fracciones parciales.
3.2. Integrales trigonométricas
En esta sección nos enfrentaremos a integrales que contienen funciones trigonométricas. Para ellos
conoceremos y aplicaremos algunas identidades trigonométricas frecuentemente usadas.
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3.2.1. Integrales trigonométricas
Las identidades trigonométricas juegan un papel importante a la hora de integrar ciertas combinaciones de
funciones trigonométricas.
La idea central de este método consiste en reescribir una integral dada en una integral más accesible que
permita realizar el proceso de integración de forma práctica.
Podemos usar las siguientes identidades, según nuestra conveniencia a la hora de evaluar integrales.
1cossen 22 xx ó xx 22 cos1sen ó xx 22 sen1cos
xxen 2cos12
1s 2
xx 2cos12
1cos2
1sectan 22 xx
xx 2csccot1 2
Para evaluar integrales de la forma dxnxmx cossen , dxnxmx sen sen ó dxnxmx cos cos , puedes usar
las siguientes identidades.
)(sen )(sen 2
1cossen BABABA
)( c)( cos2
1sen sen BAosBABA
)( c)( cos2
1coscos BAosBABA
Además, podemos usar otras identidades como:
Identidades recíprocas
senxx
1csc
xx
cos
1sec
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xx
tan
1cot
x
senxx
costan
senx
xx
coscot
Identidades pitagóricas
1cossen 22 xx
xxan 22 sec1t
xx 22 csccot1
Identidades de paridad
senxx )(sen
xxos cos)(c
xx tan)(tan
Ejemplo
Queremos evaluar la integral dxx cos3 . Como notarás, no la puedes evaluar directamente con los
métodos anteriormente vistos.
Solución
Por ello, utilizaremos las identidades anteriores para hacerla más fácil de resolver.
Para empezar, x3cos lo podemos reescribir con ayuda de las funciones trigonométricas como:
xxxxx cos) sen1(coscoscos 223
Reescribiendo la integral inicial con un cambio de variable xu sen y xdxdu cos
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Cuu
du
dxxxdxx
3
2
23
3
1
)u1(
cos) sen1(cos
Regresamos a la variable inicial x, reemplazando xu sen
Cxxdxx 33 sen
3
1sen cos
3.2.2. Integrales que contienen senos y cosenos
En esta sección conocerás el método de evaluar integrales de la forma
dxxx n cos senm
Para evaluar este tipo de integrales, hay que considerar los siguientes tres casos:
CASO UNO. En el caso que tengamos 12 kn una potencia impar, descomponemos el xncos en
factores, posteriormente utilizamos la identidad xx 22 sen1cos con la intención de expresar los factores
restantes en términos de funciones trigonométricas senos.
Finalmente, tenemos la integral con potencia par reescrita en términos de senos.
dxxxxdxxx kk cos)(cos sen cos sen 2m12m
Reemplazando nuestra identidad xx 22 sen1cos tenemos una integral de la forma,
dxxxxdxxx kk cos)sen1( sen cos sen 2m12m
Puedes resolver esta integral haciendo un cambio de variable xu sen y al hacer xdxosdu c . Al final
tendríamos que resolver una integral de la forma:
duuu mk
)1( 2
CASO DOS. Si te enfrentaras con integrales donde la potencia m es impar, 12 km . Usamos la misma
técnica que en el caso uno.
Descomponemos xnsen en factores, sustituimos la identidad xx 22 cos1sen
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12
dxxxx
dxxxxdxxx
nk
nkn
cos sen )cos1(
cos sen )(sen cos sen
2
212k
Esta forma se puede resolver por medio de una sustitución, haciendo xosu c , senxdxdu . Como en la
expresión no tenemos un dxxsen )( multiplicamos ambos lados por -1 y nos queda la expresión
dxxsendu )( . Finalmente tendrás que calcular esta integral.
duuu nk
)1( 2
Como te darás cuenta esta integral es más fácil de resolver.
CASO TRES. Veremos que éste es más fácil, ya que se trata de un caso donde las potencias son pares,
tanto para el seno como para el coseno. En este caso tendremos que aplicar las siguientes identidades:
xxen 2cos12
1s 2
xx 2cos12
1cos2
xxx 2sen 2
1sen cos
Ejemplo
Determina
xdxxsen 25 cos
Solución
Podríamos convertir x2cos a xsen21 pero nos quedaríamos con una expresión en términos de senx sin
factor xcos extra. En vez de eso, separamos un sólo factor seno y reescribimos el factor xsen4 restante en
términos de xcos :
xsenxxxsenxxsenxxsen 22222245 cos)cos1(cos)(cos
Sustituyendo xu cos , tenemos senxdxdu luego
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.
Otro ejemplo
Evaluar
=
=
=
=
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3.2.3. Integrales que contienen tangentes y secantes
En esta sección nos interesa evaluar integrales de la forma: dxxx n sec tanm .
Tienes dos casos.
i) Cuando la potencia kn 2 es par: descompondrás xnsec en factores, manteniendo en un factor una
potencia igual a 2. Reemplazarás la identidad xx 22 tan1sec . Expresarás la integral en términos de
xtan .
dxxxx
dxxxxdxxx
k
kk
sec)tan1( tan
sec)(sec tan sec tan
212m
212m2m
Hacemos una sustitución y y la integral que evaluarás quedaría así:
duuudxxxan mk
k1
22m 1 sec t
ii) Cuando la potencia 12 km es impar: lo que harás será descomponer xk 12tan en factores,
manteniendo en un factor una potencia igual a 2. Después reemplazarás la identidad 1sectan 22 xx .
Posteriormente, expresarás la integral en términos de sec x.
dxxxxx
dxxxxxdxxx
nk
nkn
tansecsec)1sec(
tansecsec)tan( sec tan
12
1212k
Convertimos y y nos queda una forma más sencilla de integral:
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Actividad 3. Resolución de problemas que contienen funciones trigonométricas
Instrucciones
1. En un documento de Word, calcula las siguientes integrales:
dxmxsen3
dxxx sectan2
dxxxsen45cos
dxxcsc
dxxsen 2)21(
2. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en
los siguientes días.
*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.
3.2.4. Sustitución trigonométrica
En esta sección aprenderemos a integrar funciones de la forma dxxa 22 , siendo a una constante
MAYOR a cero.
Haremos un cambio de variable de x a mediante la sustitución asenx . Emplearemos la identidad
22 1cos sen con el objetivo de quitar la raíz, observa:
coscos)1( 222222222 aasenasenaaxa
Podrás ver que, con este cambio de variable, la integral se convierte en una más sencilla facilitando la
integración. Hemos eliminado la raíz que nos complicaba el trabajo.
A este tipo de sustitución se le llama sustitución inversa.
Existen otros casos en los que se puede emplear el mismo seguimiento. A continuación tenemos una tabla
donde se muestra la expresión y lo que puedes usar dependiendo de los signos de los términos del
radicando.
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Forma del radical Sustitución Nuevo límite de integración Identidad empleada
1. 22 xa asenx
22
22 1cos sen
2. 22 xa tanax
22
22 tan1sec
3. 22 ax secax
20
ó
2
3
1sectan 22
En video puedes ver algunos ejemplos.
http://www.youtube.com/watch?v=g8mXuZD0Pb8
http://www.youtube.com/watch?v=MDzUKb46y-4&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=uviuFSY2vzw&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=HxOfazuF3U4&feature=related
Ejemplo
Determina la integral
dxxx 4
122
Solución
Identificamos que se trata del segundo caso que se encuentra en la tabla. Entonces, la sustitución
empleada será tan2x definida en el intervalo 2/2/, . El diferencial de x es ddx 2sec2 .
Trabajando con el radical y realizando las sustituciones respectivas se tiene:
sec2sec2sec4)1(tan44 222 x
Reemplazamos en nuestra integral original:
d
d
xx
dx
222
2
22 tan
sec
4
1
)sec2)(tan2(
sec2
4
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El integrando lo podemos reescribir de la siguiente forma:
22
2
2
coscos
cos
1
tan
sec
sensen
La integral queda:
d
send
xx
dx2222
cos
tan
sec
4
Realizando la sustitución senxu y su respectivo diferencial se tiene:
2222 4
1cos
4
1
4 u
dud
sendx
xx
dx
Resolviendo
CCsen
Cuu
du
4
csc
4
11
4
1
4
12
Emplearemos el triángulo siguiente para identificar los lados y la cosecante del ángulo en cuestión.
x
x 4csc
2
Cx
x
xx
dx
4
4
4
2
22
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Actividad 4. Ejercicios de sustituciones trigonométricas
Instrucciones
1. En un documento de Word, calcula la integral mediante sustitución trigonométrica en cada caso y
dibuja el rectángulo asociado.
dxxx
9
122
dxxx
22 25
1
dxxx 423
dxx
x
2
5
42
dxxx
136
12
2. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en
los siguientes días.
*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.
3.3. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales
Revisaremos algunos métodos para calcular integrales racionales de la forma:
xQ
xPxf
En donde )(xP y )(xQ son polinomios.
Para integrar funciones con esta forma, lo que haremos es expresar a )(xf como una suma de fracciones
más sencillas, siempre que el grado del polinomio P sea de menor grado que el polinomio Q.
Nota:
Recordemos que un polinomio se puede expresar de la siguiente manera.
01
1
1 axaxaxaxP n
n
n
n
En donde 0na . El grado del polinomio está denotado por n .
Por otra parte, debemos considerar que una función propia )(xf es cuando el grado de )(xP es menor
que el grado de )(xQ . Y una impropia es cuando el grado de )(xP es mayor que el grado de )(xQ .
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Considerando el caso que tengamos una función impropia, lo primero que haremos será realizar la división
de polinomios )(xP entre )(xQ hasta obtener el residuo. Es decir,
)(
)()(
)(
)()(
xQ
xRxS
xQ
xPxf
En donde )(xR y )(xS también son polinomios.
Revisemos el siguiente ejemplo para entenderlo mejor.
Ejemplo
Supongamos que nos piden determinar la integral racional de:
dxx
xx
1
3
Solución
Observemos. Se trata de una integral impropia, pues el grado del polinomio P es mayor que el grado del
polinomio Q.
Procedemos a realizar la división y la sustituimos dentro del radicando, tenemos:
dx
xxxdx
x
xx
1
22
1
23
Cxxxx
1ln2223
23
El cálculo de la integral fue más trivial al realizar la división.
Sin embargo, después de haber realizado la división, es posible que nos quedemos trabajando con el
cociente )(
)(
xQ
xR que pueda tener la forma de una función propia. El grado de )(xR es menor que el grado de
)(xQ .
)(
)(
xQ
xR
Cuando tengas esto, lo que debes hacer es descomponer el denominador Q(x) en factores, tanto como sea
posible para convertir nuestro cociente )(
)(
xQ
xR en una suma de fracciones parciales cuyos denominadores
son potencias de polinomios de grado menor o igual a dos.
Cálculo integral Unidad 3. Métodos de integración
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20
rFFFxQ
xR 21
)(
)(
El siguiente paso consiste en expresar la función racional propia, )(
)(
xQ
xR como una suma de fracciones
parciales, dependiendo del factor que esté contenido en )(xQ .
ibax
A
ó
jcbxax
BAx
2
Esto siempre va a ser posible.
Veremos en las siguientes secciones los diferentes casos que se pueden encontrar para el denominador
)(xQ de la función propia.
3.3.1. Q(x) es producto de factores lineales distintos
Sea el caso que tengamos una función propia. El grado de )(xP es menor que el grado de )(xQ .
rFFFxQ
xR 21
)(
)(
Caso I, cuando el denominador Q(x) es un producto de factores lineales distintos.
Es decir, puedes representar tu polinomio )(xQ como producto de factores lineales, la potencia de cada
uno de ellos es uno.
kk babxabxaxQ 2211
No debe haber factores repetidos. Con esto es posible reescribir el cociente como:
kk
x
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xR
22
2
11
1
donde kAAA ,,, 21 son constantes a encontrar.
Ejemplo
Resuelve la siguiente integral.
dxxxx
xx
232
1223
2
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21
Solución
Se trata de una función propia, ya que el polinomio del denominador es de mayor grado que el polinomio
del numerador.
Como comentamos anteriormente, tenemos que expresar el denominador en términos de factores de grado
uno.
212232232 223 xxxxxxxxx
Mira, lo hemos puesto con TRES FACTORES LINEALES DISTINTOS, con polinomios de grado uno. ¿Soy
muy redundante? Pues, sí, ¡que no se te olvide que el grado de cada factor es uno!
Entonces, ahora reescribimos nuestro cociente como el resultado de fracciones parciales, en términos de
las constantes A, B y C .
212212
122
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Lo que haremos ahora es hallar las constantes A , B y C . Para lograrlo multiplicamos ambos lados de la
expresión por
212 xxx .
122212122 xCxxBxxxAxx
Reordenado para conseguir la igualación de literales.
AxCBEAxCBAxx 222212 22
Encontramos que los coeficientes en ambas ecuaciones tienen que ser iguales.
CBA 221
CBEA 22
A21
Es un sistema de ecuaciones que hay que resolver para encontrar los valores de A , B y C . Puedes usar
cualquier método que desees para resolverlo.
Resolviendo el sistema de ecuaciones se encontraron los siguientes valores
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22
Al resolver el sistema obtenemos: 2
1A ,
5
1B y
10
1C
Finalmente, podemos reescribir nuestra integral original en términos de fracciones parciales
212212
122
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
Cxxx
dxxxx
dxxxx
xx
210
112ln
10
1ln
2
1
2
1
10
1
12
1
5
11
2
1
232
1223
2
Recalcando, el denominador )(xQ se escribió como un producto de factores lineales distintos
kk babxabxaxQ 2211
3.3.2. Q(x) contiene factores lineales, algunos se repiten
Si )(
)()(
)(
)()(
xQ
xRxS
xQ
xPxf , analizaremos el caso II, cuando el denominador Q(x) es un producto de
factores lineales, algunos de los cuales se repiten.
Sea el cociente de polinomios
rFFFxQ
xR 21
)(
)(
El cual es una función propia, donde descomponemos el denominador Q(x) en un producto de factores
lineales, algunos de los cuales se repiten.
rr
bxa
A
bxa
A
bxa
A
11
2
11
2
11
1
Observa que los factores )( 11 bxa se repiten r veces.
Un ejemplo claro es el siguiente:
32232
3
1111
1
x
E
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
xx
Cálculo integral Unidad 3. Métodos de integración
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23
Hicimos esto, ya que el factor x es lineal y se repite 2r veces, por lo que se escriben los términos x
A y
2x
B. Y también el factor )1( x es lineal y se repite 3r , por lo que puedes escribir tres términos
)1( x
C,
2)1( x
D y
)1( x
E
Analicemos un ejemplo de integración.
Ejemplo
Determine la integral
dx
xxx
xxx
1
14223
4
Solución
El primer paso es dividir para obtener el cociente de la forma anteriormente vista
)(
)()(
)(
)()(
xQ
xRxS
xQ
xPxf
Dividiendo resulta
1
41
1
1422323
4
xxx
xx
xxx
xxx
El segundo paso es expresar a 123 xxxxQ en factores.
Factorizamos, dado que 1 es solución de 0123 xxx tenemos el primer factor )1( x , también a
)1( 2 x lo podemos descomponer en dos factores )1( x )1( x . Reescribiendo tenemos:
11
111111
2
223
xx
xxxxxxxx
El factor lineal 1x , aparece dos veces.
Con esto ya podemos trabajar con la parte )(
)(
xQ
xR así que este cociente queda expresado como:
11111
422
x
C
x
B
x
A
xx
x
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24
Realizando la misma técnica del ejemplo anterior para hallar las constantes, multiplicamos por el mínimo
común denominador 112
xx y obtenemos
CBAxCBxCA
xCxBxxAx
2
11114
2
2
Igualamos coeficientes en relación con las literales:
0
42
0
CBA
CB
CA
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:
1A , 2B y 1C
Una vez que hemos hallado el valor de las constantes procedemos a sustituirlas en nuestras fracciones
parciales y reescribimos nuestra integral para resolverlas.
Cx
xin
xx
x
Cxinx
xinxx
dxxxx
xdxxxx
xxx
1
1
1
2
2
11
21
2
1
1
1
2
1
11
1
142
2
2
223
24
Una vez más hemos descompuesto el denominador Q(x) en un producto de factores lineales, algunos de
los cuales se repiten.
rr
bxa
A
bxa
A
bxa
A
11
2
11
2
11
1
3.3.3. Q(x) contiene factores cuadráticos reducibles, ninguno se repite
Caso III. Es el caso tal que la descomposición de xQ contiene factores cuadráticos irreducibles, de los
cuales ninguno se repite. Esto es cuando xQ posee el factor cbxax 2, en donde 042 acb . El
cociente )(
)(
xQ
xR tendrá un término de la forma:
cbxax
BAx
2
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25
Siendo Ay B constantes a ser determinadas. Considera que es posible que xQ contenga términos lineales
y no lineales.
Si el denominador contiene factores lineales, utilizarás el método de la sección anterior para determinar las
fracciones parciales debido a los términos lineales. Y para determinar la forma de las fracciones parciales
cuando los factores del denominador tienen factores cuadráticos, usarás el método expuesto en esta
sección.
El siguiente ejemplo lo ilustra mejor.
Ejemplo
La función 412 22
xxx
xxf descompuesta en fracciones parciales queda de la siguiente
manera:
412412 2222
x
EDx
x
CBx
x
A
xxx
x
Las fracciones parciales 12
x
CBxy
42
x
EDxsurgen debido a los factores cuadráticos 12 x y 42 x
respectivamente; y la fracción 2x
Aes consecuencia del término lineal )2( x .
Veamos un ejemplo donde se tenga que integrar una función racional.
Ejemplo
Calcule la siguiente integral dxxx
xx
4
423
2
Solución
Procedemos a descomponer )4(4)( 23 xxxxxQ y reescribimos el cociente (surgen dos fracciones,
una debido a un factor lineal y otra debido al factor cuadrático).
44
4222
2
x
CBx
x
A
xx
xx
Igual que en los ejemplos anteriores multiplicamos por 42 xx para resolver los valores de A, B y C.
ACxxBA
xCBxxAxx
4
442
2
22
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26
Resolviendo llegamos a los valores
1A 1B , 1C
Entonces, al reemplazar estos valores para A, B, y C, la integral toma la forma:
dxx
x
xdx
xx
xx
4
11
4
4223
2
Fíjate que esta integral, ahora está expresada como la integral de una suma, que es lo mismo que la suma
de dos integrales.
dxx
xdx
xdx
xx
xx
4
11
4
4223
2
El cálculo del primer término es trivial; sin embargo, el segundo término lo podemos expresar en dos partes
como:
dx
xdx
x
xdx
x
x
4
1
44
1222
La primera integral la resolvemos usando una sustitución de variable con 42 xu y xdxdu 2
respectivamente. En la segunda integral se usa la integral:
Ca
x
aax
dx
1
22tan
1
Identificamos que 2a . Observemos que finalmente nuestra integral original puede ser descompuesta en
tres fracciones parciales, una lineal y dos cuadráticas.
CxxInxIn
dxx
dxx
xdx
xdx
xx
xx
2tan4
4
1
4
1
4
42
1
212
21
223
2
3.3.4. Q(x) contiene un factor cuadrático irreductible repetido
En este tópico tendremos el caso IV en el cual el denominador )(xQ se puede descomponer en el factor
rcdxax 2 repetido r veces.
)(
)(
xQ
xRse descompone en las fracciones parciales de la forma:
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27
rrr
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
22
22
2
11
Ejemplo
Descompón en fracciones parciales el siguiente cociente:
322
23
111
1
xxxxx
xx
Solución
322222322
23
11111111
1
x
JIx
x
HGx
x
FEx
xx
DCx
x
B
x
A
xxxxx
xx
El factor x es lineal y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el término x
A, el factor )1( x es lineal y
tiene potencia 1r , por lo que también se escribe el término )1( x
B.
El factor )1( 2 xx es cuadrático y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el término )1( 2
xx
DCx .
Ahora pon mucha atención, como el factor 32 )1( x no es lineal y tiene una potencia 3r , es posible
escribir tres factores de la forma:
)1( 2
x
FEx,
22 )1(
x
HGx y
32 )1(
x
JIx.
Ejemplo
Determinar
dxxx
xxx
22
32
1
21
Solución
Para la descomposición de fracciones, debemos poner atención en la potencia r de cada factor )(xQ .
El factor x es lineal y tiene potencia 1r , por lo que se escribe el término x
A; sin embargo, el factor
)1( 2 x no es lineal y tiene potencia 1r , entonces se escribe el término )1( 2
x
CBx y el término
22 )1(
x
DDx.
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28
Entonces tenemos que el cociente )(
)(
xQ
xR es:
22222
32
1112
21
x
EDx
x
CBx
x
A
x
xxx
Multiplicamos por 22 1xx para hacer una igualación de coeficientes:
AxECxDBACxxBA
ExDxxxCxxBxxA
xEDxxxCBxxAxxx
234
232424
22223
2
12
1112
Se tiene:
0 BA 1C 22 DBA 1 EC 1A
Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a las soluciones:
1A 1B 1C 1D 0E
Sustituyendo los valores de las constantes, llegarás a:
Cx
xxx
x
xdx
x
dxdx
x
x
x
dx
dxx
x
x
x
xdx
xx
xxx
12
1tan1lnln
111
11
11
1
21
2
12
21
2222
22222
32
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29
Actividad 5. Integración mediante fracciones parciales
Instrucciones
1. En un documento de Word, evalúa cada una de las siguientes integrales usando el método de
descomposición de fracciones parciales:
dxxx
x
2
2 1
dxx
x
3
2
1
dxxx
xx
23
2
2
235
dxxx
xxx
45
1224
23
dxxx
xx
11
1222
2
2. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en
los siguientes días.
*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.
3.4. Estrategias de la integración por medio de tablas integrales
Dado que la integración ofrece más retos que la diferenciación, daremos unos puntos que debes tener en
consideración cuando trates de resolver integrales.
Es de mucha ayuda tener tablas de integrales y es muy aconsejable tratar de memorizarlas, por lo menos
las fórmulas básicas de integración.
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3.4.1. Tablas de fórmulas integrales
La tabla siguiente te será de mucha ayuda a la hora de resolver integrales.
Tabla de fórmulas de integración
1.
1
1
n
xdxx
nn
con )1( n 11. xxdxx tanseclnsec
2. xIndxx
1
12. xxdxx cotcsclncsc
3. xx edxe 13. xIndxx sectan
4. a
adxa
xx
ln
14. senxIndxxcot
5. sen x xdx cos 15. xdxxsenh cosh
6. xsendxxcos 16. xsenhdxxcosh
7. xdxx tansec2 17.
a
x
aax
dx 1
22tan
1
8. xdxx cotcsc2 18.
a
xsen
xa
dx 1
22
9. xdxxx sectansec 19.
ax
ax
aax
dxln
2
122
10. xdxxx csccotcsc 20.
22
22ln axx
ax
dx
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31
Actividad 6. Formulas de integración
Ingresa al foro y realiza lo que se te pide a continuación.
Instrucciones
1. Investiga por tu cuenta y agrega más fórmulas de integración que puedan ser útiles para integrar.
Compártelas con tus compañeros(as).
Participa al menos dos veces y recuerda ser respetuoso(a) con tus compañeros(as). Tu
Facilitador(a) retroalimentará tu participación.
2. Consulta la Rúbrica general de participación del foro, que se encuentra en la sección Material de
apoyo.
3.4.2. Estrategias para integrar
Hemos visto varias técnicas de integración; sin embargo, es necesario tener una estrategia para enfrentar
las integrales.
Para resolver una integral, lo primero que tienes que hacer es:
1. Simplificar el integrando en lo posible.
2. Detectar si existe una sustitución obvia.
3. Clasificar el integrando de acuerdo a la forma que tenga, para aplicar los métodos apropiados de
integración ya sean:
a. Integración de funciones trigonométricas
b. Integración de funciones racionales
c. Integración por partes
d. Integración de radicales
4. Intentar de nuevo si no se ha llegado a la respuesta con los primeros pasos, se puede intentar con
lo básico, por sustitución o por partes.
a. Prueba la sustitución
b. Intenta integrar por partes
c. Intenta integrar modificando el integrando
d. Relaciona integrales con problemas resueltos anteriormente, considera que la experiencia es
muy importante.
e. Utiliza varios métodos de integración, a veces no se llega al resultado con un método.
Una manera más eficiente que te ayudará a incrementar tus habilidades para resolver integrales es la
experiencia, por lo cual te recomiendo que resuelvas tantos integrales como te sea posible para cada uno
de los métodos vistos a lo largo del curso y en especial de esta unidad.
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32
¡Ánimo!, sigue resolviendo muchas integrales.
Actividad 7. Resolución de integrales
Instrucciones
1. Evalúa las siguientes integrales:
dxx 8
13
dxe
ex
x
1
1
dxx 21ln
dxaxsen
dxxx seccosh
2. Envía el archivo a tu Facilitador(a) a la sección de Tareas para que la revise y te retroalimente en
los siguientes días.
*Recuerda que tu documento no deberá pesar más de 4 MB.
3.5. Integrales impropias
Una integral impropia es aquella que se encuentra en el caso que está definida en un intervalo infinito y
también en el caso donde existe una discontinuidad infinita en [a, b].
Estudiemos ambos casos.
3.5.1. Tipo 1. Intervalos infinitos
Consideremos una integral en un intervalo infinito. Por ejemplo, la curva descrita por la función 2
1
xy .
La región S está acotada por la función 2
1
xy y el eje x , acotada en el lado izquierdo por la recta vertical
1x en el lado derecho hasta el infinito. En principio se pensaría que el área S es infinita; sin embargo,
esto no es así.
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33
El área de una región acotada por la vertical 1x y por la recta vertical movible en el eje tx está dada
por:
tx
dxx
tA
tt 1
111
11
Si nos ponemos a hacer cálculo variando t , sin importar qué tan grande sea, notaremos que el área no
rebasa el valor de una unidad, por lo tanto, concluimos que 1)( tA .
Observamos también, que si calculamos el límite cuando t , llegamos a un valor diferente de infinito.
11
1limlim
ttA
tt
El área de la región es igual a uno y esto lo podemos escribir como:
11lim1
1 21 2
dxxt
dxx
t
Este ejemplo te dio una noción intuitiva de que el área no es infinita; sin embargo, considera la definición
siguiente, la cual te expone tres casos:
Definición de una integral impropia de tipo 1
i) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma dxxft
a para cualquier at
, entonces:
dxxfdxxft
ata
lim
¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito.
ii) Si te enfrentaras a una integral que existe de la forma dxxfb
t para cualquier
bt , entonces:
dxxfdxxfb
tt
b
lim
¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito.
Estos dos casos de integrales impropias nos permiten nombrarlas como
convergentes si existe dicho límite y divergentes si no lo hay.
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34
iii) Si en ambas integrales dxxfa
y dxxfb
de los casos anteriores, son
divergentes, entonces por definición se tiene la suma de integrales:
dxxfdxxfdxxfa
a
Ejemplo
Determina si la integral es divergente o convergente dxx
1
Solución
De acuerdo con la definición anterior, la integral se amolda al caso i.
tt
xdxx
dxx
tt
t
t
t
t
lnlim1lnlnlim
lnlim1
lim1
111
El valor es infinito, no es un número finito, por lo tanto de la definición podemos concluir que la integral
impropia diverge.
Si tuvieses una integral impropia de la forma:
1
1dx
x p
Será convergente siempre y cuando 1p y divergente cuando 1p .
3.5.2. Tipo 2. Integrandos discontinuos
Tenemos abajo una tabla que define las integrales impropias con integrandos discontinuos.
Definición de una integral impropia de tipo 2
i) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en [a, b) y discontinua en b.
dxxfdxxft
abt
b
a lim
¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito.
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35
ii) Si te enfrentaras a una integral cuya f es continua en (a, b] y discontinua en a.
dxxfdxxfb
tat
b
a lim
¡Mucho ojo! Siempre y cuando exista el límite como un número finito.
Estos dos casos de integrales impropias nos permiten llamarlas como convergentes
si existe dicho límite y divergentes si no lo hay.
iii) Si tienes una discontinuidad en c que está entre los intervalos a y b , y además son
convergentes las integrales dxxfc
a y dxxfb
c , por definición tendrás:
dxxfdxxfdxxfb
c
c
a
b
a
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36
Ejemplo
Determina la integral dxx
5
2 2
1
Solución
La gráfica de la función es la siguiente.
Observa y veras que tiene una asíntota vertical en 2x . La discontinuidad es infinita marcada en 2x . De
la definición ii) de esta sección, se tiene:
32
232lim
22lim
2lim
2
2
5
2
5
2
5
2
t
x
x
dx
x
dx
t
tt
tt
Por lo tanto, podemos concluir que se trata de una integral impropia convergente. El área es región
sombreada de la región.
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37
Evidencia de aprendizaje. Cálculo de una integral
Instrucciones
1. Escribe tu nombre, fecha de nacimiento y edad.
2. Sean a y b dos constantes definidas por:
a= la suma de los dígitos que forman tu fecha de nacimiento.
b= la suma de los dos dígitos que forman tu edad.
Ejemplo:
23 de junio, implica que:
a=2+3=5
18 años, implica que:
b=1+8=9
3. Sustituye los valores a y b en la integral original antes de empezarla a evaluar.
4. Resuelve la siguiente integral mediante los métodos necesarios abordados en la unidad 3.
a
a
ba
bxeabx
baxbx
b
a
xxabxb
bxax
xbxa
xbaxx
dxxsen ba
12
2
233
22
2
7
2)(
)(tansec
cos
5. Escribe tu desarrollo.
6. Escribe en una lista los métodos de integración usados.
1. Guarda tu reporte con la siguiente nomenclatura CIN_EA_U3_XXYZ
2. Envíalo a tu Facilitador(a) a través del Portafolio de Evidencias y espera la retroalimentación
correspondiente.
Es importante que atiendas las observaciones del (la) Facilitador(a) para mejorar tu evidencia de
aprendizaje antes de volverla a enviar.
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38
3. Descarga la Escala de evaluación para conocer los criterios de evaluación de la evidencia de
aprendizaje.
*Además de enviar tu archivo anterior, debes agregar tu Autorreflexión en el Foro diseñado para tal fin.
Ingresa a ésta y genera un comentario a partir de las preguntas proporcionadas por tu Facilitador(a) en
ese mismo espacio.
Cierre de la unidad
En esta unidad aprendiste que dentro de los métodos de integración trigonométrica existen algunas
técnicas de integración que te servirán para resolver integrales trigonométricas que contienen senos,
cosenos, tangentes y secantes; otros más, te ayudarán a realizar sustituciones trigonométricas en el
cálculo de integrales, así como en los diferentes casos donde el método se use para integrar funciones
racionales mediante fracciones parciales.
Recuerda estudiar de manera constante, ya que el desarrollo de estas habilidades matemáticas son
necesarias para la resolución de problemas de cálculo en áreas afines comoTelemática, Desarrollo de
Software, Biotecnología, Energías renovables, entre otras.
Ahora es momento de que resuelvas tu Examen final que es parte de la calificación global de la asignatura.
¡Continúa esforzándote!
Fuentes de consulta
Apostol, T. M. (2008). Calculus. España: Reverté.
Larson, R. E. (2005). Cálculo. México: Mc Graw Hill.
Leithold, L. (2009). El Cálculo. México: Oxford University Press.
Stewart, James. (2008). Cálculo. Trascendentes tempranas. México: Cengage Learning.