Unidad 3 MEDIDAS DE DISPERSION - GONZALO REVELO PABON

Luis Gonzalo Revelo Pabón Dpto. de Matemáticas - Goretti

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MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIACIÓN Las medidas de Tendencia Central son útiles para encontrar el valor único, de un conjunto de datos; en cambio las medidas de dispersión describen la forma como los datos estadísticos tienden a ubicarse alrededor de la media aritmética. "Las medidas de dispersión pueden ser expresadas de dos maneras: una primera manera de expresarlas es forma de valor Absoluto y la segunda forma es de expresarlas en una forma porcentual o relativa. "Las medidas de dispersión más comunes que son expresadas en Valores Absolutos son: "

1. La Desviación Media (D.M) 2. La Desviación Estándar o Típica. (!;!)!!!!!!3. La varianza. (!!!!)!!!!!!!

"La medida de dispersión que es expresada en un Valor Relativo o Porcentual es el Coeficiente de Variación (C.V). "LA DESVIACIÓN MEDIA (D.M) La Desviación Media, es igual a la suma de todos de todos los valores absolutos, formados por la diferencia de cada elemento menos la media aritmética, dividido entre el número total de elementos de la muestra (n) o población (N). "DATOS NO AGRUPADOS: Para datos no agrupados la Desviación Media, está definida por la siguiente expresión:

!" = ! − !!

X: Dato estadístico. !: Media Aritmética !: Número de datos Ejemplo: Hallar la Desviación Media de: 2, 3, 8, 11

x ! − ! 2 2 − 6 = 4 3 3 − 6 = 3"8 8 − 6 = 2"

11 11 − 6 = 5"! = 24 ! − ! = 14

El valor Promedio es igual a: ! = !!!!

! = !"! = 6

Ahora la Deviación Media es igual a: !.! = !!!!

!.! = !"! = 3,5

Significa que la Desviación Media (D.M), tiene una dispersión de 3,5 unidades por encima y por debajo del valor promedio de 3,5. "

"


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!!

DESVIACIÓN TÍPICA O ESTÁNDAR (!;!) y VARIANZA (!!;!!)!!!!"La Desviación Típica, es la medida de dispersión más utilizada en estadística, ya que no solo destaca las pequeñas desviaciones sino también las grandes desviaciones. "La varianza, es la Desviación Típica elevada al cuadrado. " DATOS NO AGRUPADOS Cuando los datos estadísticos no están agrupados en una tabla de frecuencias, la Desviación típica está definida por las siguientes ecuaciones:

! = (!!!)!!!!

! = (!!!)!!

!: Desviación Típica Muestral. !: Desviación Típica Poblacional. .x: Dato estadístico. .n: Muestra= Número total de datos "

Ejemplo: Las calificaciones de un estudiante en una asignatura “ABC”, en un periodo académico son: 3; 1,5; 4,0; 2,5; 3,0. Encontrar:

"1. La calificación promedio 2. La desviación típica muestral. 3. La desviación típica poblacional 4. La varianza.

X (X-!) (X-!)! 3 0,5 0,25

1,5 -1 1 4 1,5 2,25

2,5 0 0 1,5 -1 1

! = 12,5 ! − ! = 0 (! − !)! = 4,5

Solución

1. La calificación promedio está definida por: ! = !!

! = !",!! = 2,5

2. La desviación típica muestral está definida por: ! = (!!!)!!!!

! = !,!!!! = 1,06

3. La desviación típica poblacional está definida por: ! = (!!!)!!

! = !,!! =0,94

Significa que la diferencia entre cada una de las calificaciones, con relación a la calificación promedio es 0,94.


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DISPERSIÓN RELATIVA o COEFICIENTE DE VARIACIÓN (CV) El Coeficiente de Variación, es igual al cociente formado por el valor de la Desviación Típica sobre el valor del valor Promedio o Media Aritmética, expresado en porcentajes. Es decir:!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!" =!!! X100% !" =!!! X100%

"Nota: En un análisis comparativo entre dos grupos, lo óptimo o lo mejor, es el que tenga menor valor porcentual del coeficiente de variación. Por lo tanto, el rendimiento se define como: Rendimiento = 1- CV Rendimiento = 1- CV% !Ejemplo: El director de una Institución Educativa, tiene las calificaciones finales, de dos estudiantes A y B, que son:

Estudiante A (!!) 4, 4,0 4,5 5 4,5 Estudiante B (!!) 5 4,2 4,7 4 4,1

Se pregunta:

1. ¿Cuál es la calificación promedio de cada uno de ellos? 2. ¿Qué estudiante tiene menor dispersión absoluta? (!!!!!) 3. ¿Qué estudiante tiene menor dispersión relativa? (CV=?) 4. ¿Cuál de los dos estudiantes, es académicamente el mejor?

"Solución Sea: !!: Estudiante A

!!: Estudiante B !!: Calificación promedio del estudiante A !̅!!: Calificación promedio del estudiante B !!: Dispersión Absoluta del estudiante A !!!!: Dispersión Absoluta del estudiante B !"!: Dispersión relativa del estudiante A !"!!!: Dispersión relativa del estudiante B

"Tabla de operaciones !! (X! − X!) (!! − !!)! !! (!! − !!) (!! − !!)!

4 -04 0,16 5 0,6 0,36 4 -0,4 0,16 4,2 -0,2 0,04

4,5 0,1 0,01 4,7 0,3 0,09 5 0,6 0,36 4 -0,4 0,16

4,5 0,1 0,01 4,1 -0,3 0,09 X!=22 (X! − X!) = 0 (!! − !!)! =0,7 X!=22 (X! − X!) = 0 (!! − !!)! =0,74

"

1. Calificación Promedio del estudiante A

!! =!!!

!! =!!! = 4,4

2. Dispersión Absoluta del estudiante A

!! = (!!!!!)!!!!

!! = !,!! = 0,4183

1. Calificación Promedio del estudiante B

!! =!!!

!! =!!! = 4,4

2. Dispersión Absoluta del estudiante B

!! = (!!!!!)!!!!

!! = !,!"! = 0,4301


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3. Dispersión Relativa del estudiante A

!!! =!!!!!

X100%

!!! =!!,!"#$!,! X100%

!!! =!9,5%

4. Rendimiento Académico del estudiante A

Rendimiento Académico (!!) = 1- CV% Rendimiento Académico = 100% - 9,50% Rendimiento Académico = 90,5%. Por lo tanto, el estudiante A es el mejor estudian-te

3. Dispersión Relativa del estudiante B

!!! =!!!!!

X100%

!!! =!!,!"#$!,! X100%

!!! =!9,77%

4. Rendimiento Académico del estudiante B

Rendimiento Académico (!!) = 1- CV% Rendimiento Académico = 100% - 9,77% Rendimiento Académico = 90,23%


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EJERCICIO RESUELTO

1. El grafico ilustra las temperaturas durante una semana en una ciudad cualquiera del país. A par-tir del grafico. Encontrar:

a. ¿Cuál es la temperatura promedio de la semana?

b. ¿Cuál es el valor de la desviación típica de las temperaturas de la semana?

c. ¿Cuál es el valor del coeficiente de va-riación?

Solución:

Observe que aunque los datos estén graficados, no son datos agrupados. Ya que en el gráfico solo indica el orden en que cada día de la semana se registraron las temperaturas: 20º – 22º – 28º – 28º – 26º – 27º – 24º. La información estadística hace referencia claramente de datos no agrupados.

De la grafica anterior, obtenemos la siguiente información:

X: variable temperatura.

Día de la semana x (! − !) (! − !)!

Lunes (L) 20º -5º 25

Martes (M) 22º -3º 9

Miércoles (M) 28º +3º 9

Jueves (J) 28º +3º 9

Viernes (V) 26º +1º 1

Sábado (S) 27º +2º 4

Domingo (D) 24 -1º 1

!= 175º (! − !) =0 (! − !)!=

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a) Para calcular la temperatura promedio, tenemos la siguiente ecuación

! = !!

! = !"#º! = 25º Por lo tanto, la temperatura promedio es de 25º

b) Para calcular el valor de la desviación típica de la temperatura semanal, hacemos uso de la siguiente ecuación:

! = (!!!)!!!!

! = !"!!! = 3,1º La desviación típica de la temperatura en una semana es de 3,1º

c) Para determinar el valor del coeficiente de Variación aplicación la siguiente ecuación:

!" =!!! X100%


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!" =!!,!º!"º X100% !" =!12,4%

TALLER 1) El número de intervenciones que ha realizado el servicio de bomberos a lo largo de un mes ha sido: 2,

1, 5, 3, 4, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 4, 1, 3, 4, 3. Con la anterior información en-contrar:

a) El valor de la media aritmética b) La desviacion tipica c) El coeficiente de variacion.

2) El número de mensajes recibidos por Gonzalo en su móvil durante una quincena ha sido: 5, 3, 4, 2, 3, 6, 9, 4, 3, 6, 7, 5, 7, 3, 4. Con la anterior información encontrar:

a) El valor de la media aritmética b) La desviacion tipica c) El coeficiente de variacion

3) El número de hermanos de los alumnos de una clase es el siguiente: 0, 1, 0, 0, 3, 2, 1, 4, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 0, 0, 2, 1, 2, 3, 5. Encontrar:


4) El número de goles metidos por partido por un cierto equipo es el siguiente: 0, 1, 0, 2, 3, 2, 1, 3, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 5, 3, 5. Encontrar:


5) El número de goles metidos por partido por el Deportivo Pasto es el siguiente: 0, 1, 0, 2, 3, 2, 1, 3, 0, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 5, 3, 5. Encontrar:


6) En una encuesta sobre vivienda se pregunta, entre otras cosas, cuántas personas viven en la casa, obteniéndose las siguientes respuestas: 4, 4, 8, 1, 3, 2, 1, 3, 4, 2, 2, 7, 0, 3, 8, 0, 1, 5, 6, 4, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 6, 2, 5, 3, 3, 5, 4, 6, 2, 0, 4, 3, 6, 1. encontrar :


7) En un estudio estadístico sobre el número de horas que duran 12 pilas de una determinada marca se obtuvieron los siguientes datos: 10, 12, 12, 11, 12, 10, 13, 11, 13, 11, 13, 9. Encontrar:"


8) El entrenador de un equipo de natación debe elegir a uno de sus integrantes para la próxima competen-cia en el estilo libre. En la siguiente tabla nos indica los tiempos en segundos que obtuvieron los tres postulantes en las cinco ultimas carreras de 100 mts de estilo libre.

"Diego 61,7 61,7 62,3 62,9 63,1

Tomás 61,5 62,9 62,9 63,7 63,7

Sergio 60,7 62,4 62,7 62,7 63,2

"a) Calcular el promedio en ambos cursos. b) Calcular la desviación típica muestral de ambos cursos.

c) ¿A qué nadador le conviene elegir el entrenador? "9) En un diagnostico de educación física se pidió a los alumnos de los grados 8.10 y 8.1 que hicieran abdominales durante 3 minutos. Se obtuvieron los siguientes resultados: !


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CURSO 8.10: 45 38 43 29 34 60 54 27 32 33 23 34 34 28 56 62 56 57 45 47. CURSO 8.11: 43 45 42 44 38 34 46 43 42 43 45 57 44 38 38 37 43 61 38 37.

"a) Calcular el promedio en ambos cursos. b) Calcular la desviación típica muestral de ambos cursos. c) Cuál de los dos cursos tuvo un mejor rendimiento r?

10) A continuación se presentan los resultados de los cursos 8 .10 y 8 .11 en la prueba de salto lar-go, medida en metros.

"CURSO 8.10: 3.2 3.5 4.9 5.0 3.1 4.1 2.9 2.8 3.8 4.5 4.3 4.5 4.1 5.8 3.9 3.6 4.2 4.6 1.9 2.8. CURSO 8.11: 3.5 2.9 1.3 1.7 3.6 5.6 2.8 5.2 5.3 4.1 4.1 4.4 1.6 5.1 4.3 5.0 5.3 3.2 2.8 .4.0.

a) Calcular el promedio en ambos cursos. b) Calcular la desviación típica muestral de ambos cursos. c) Cuál de los dos cursos tuvo un mejor rendimiento r?

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