UNIDAD 3: ESTUDIO Y ANALISIS DE CURVAS Y SUPERFICIES ...

MATEMÁTICA APLICADA- DISEÑO INDUSTRIAL- FAUD- UNSJ

UNIDAD 3:

ESTUDIO Y ANALISIS DE CURVAS Y SUPERFICIES ESPECIALES.

La matemática es una herramienta que permite traducir los fenómenos de la vida

mediante expresiones algebraicas y su formalización es una parte fundamental

en la formación personal y profesional del estudiante de diseño, ya que por medio

de ella se logra desarrollar una serie de competencias de índoles cognitivas, así

como habilidades, destrezas para el cálculo matemático y la capacidad de

abstracción que posteriormente lleva a procesos mentales más complejos.

La tarea de los diseñadores es inseparable de las leyes y los elementos

geométricos que idealizan el espacio de tres dimensiones, una noción de

representación abstracta que tenemos sobre nuestro lugar de vida y donde cada

objeto conocido está ubicado. Por su parte, las restricciones geométricas son los

invariantes universales de las cuales depende todo diseño real. La construcción

de conceptos abstractos como el de las superficies implicadas en el diseño

supone una comprensión de la geometría que le ayudará a percibir mejor el

mundo y a operar en él de manera más efectiva.

La nueva tecnología de la impresión 3D puede ayudar a visualizar

demostraciones y conceptos matemáticos, lo cual genera otro gran potencial en

el estudio de la matemática en las carreras proyectuales. Las figuras y los modelos

han ayudado a expresar las ideas, incluso antes de que el lenguaje matemático

formal fuese capaz de describir las estructuras

VENTAJAS Y DESVENTAJAS EN LA UTILIZACIÓN DE LA TECNOLOGÍA Y SOFWERE

EDUCATIVOS CON FINES DOCENTES:

Ayuda a desarrollar el pensamiento formal.

Las gráficas facilitan la integración de diversas imágenes

conceptuales, que son un obstáculo para el aprendizaje.

Mejorar la actitud de los alumnos frente a la matemática.

Contribuye la interiorización de los conceptos y procedimientos, de

forma que estos permanezcan a más largo plazo.

Desarrolla nuevas estrategias de razonamiento.

Favorecen la investigación y el descubrimiento.

Fortalece el trabajo autónomo del estudiante.

Propicia mejoras en la resolución de problemas en el alumno.

TRABAJO PRÁCTICO: “SUPERFICIES NO CONVENCIONALES”

Este trabajo tiene como objetivo explorar, descubrir las ecuaciones de las

superficies no convencionales y su posterior impresión 3d. Partiendo de una

ecuación matemática y utilizando un software específico (Wolfram Matemática

9) podrán concebirla y materializarla a través de impresiones 3D, rompiendo los

esquemas convencionales con los que los alumnos de estas carreras

proyectuales vienen trabajando en los talleres u otras asignaturas, donde siempre

1


se trabaja la parte formal con herramientas de dibujo asistido por computadora,

dejando de lado el sustento matemático y científico que da origen a lo forma.

La comprensión sobre la relación bidireccional entre una ecuación dada en el

espacio de tres dimensiones y la superficie que la representa ha sido siempre

considerada un tema difícil de interpretar por parte de los alumnos. La relación

entre la movilidad de los parámetros de las ecuaciones y la variación de las

formas que se obtienen es un elemento de significado importante para la

construcción del concepto.

SOFTWARE MATEMÁTICO UTILIZADO Y EMPLEO DEL MISMO

Wolfram Mathematica (generalmente denominado Mathematica) es un

programa matemático de cálculo simbólico, a veces denominado un sistema de

álgebra computacional o programa, utilizado por muchos científicos, ingenieros,

matemáticos, y los campos de computación. Fue concebido por Stephen

Wolfram y es desarrollado por Wolfram Research de Champaign, Illinois. El

Lenguaje Wolfram es el lenguaje de programación utilizado en Mathematica.

CARACTERÍSTICAS DEL PROGRAMA:

Amplia mejora en computación numérica.

Hacer pleno Uso del álgebra lineal numérica densa.

Vectores y matrices.

Soporte para funciones de algebra líneal.

Soporte para ecuaciones no lineales y parciales.

Superficie representada con parámetros ajustables.

LOS ATRIBUTOS DE MATHEMATICA INCLUYEN:

Bibliotecas de funciones matemáticas elementales y especiales.

Datos en 2D y 3D, función y visualización geográfica y herramientas de

animación.

Solucionadores para sistemas de ecuaciones, ecuaciones diofánticas,

ecuaciones diferenciales ordinarias, parciales, diferenciales algebraicas,

de retraso, diferenciales estocásticas y relaciones de recurrencia.

Herramientas de aprendizaje de máquina supervisada y no supervisada

para datos, imágenes y sonidos.

Geometría computacional en 2D, 3D y dimensiones mayores.

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Análisis de elementos finitos incluyendo generación de malla adaptiva en

2D y 3D.

Lenguaje de programación que da soporte a construcciones de

procedimiento, funcionales y orientadas a objetos.

Herramientas para procesamiento de imágenes2 en 2D y 3D, y

procesamiento morfológico de imágenes incluyendo reconocimiento de

imágenes.

Biblioteca de funciones de teoría de números.

Importación y exportación de filtros para datos, imágenes, video, sonido,

CAD, GIS,3 formato de documento y biomédicos.

Colección de base de datos para información matemática, científica y

socio-económica y acceso a datos de WolframAlpha y cálculos.

Procesamiento de palabras técnicos incluyendo edición de fórmulas y

reportes automatizados.

Herramientas para conectarse a sistemas basados en DLL, SQL, Java, .NET,

C++, Fortran, CUDA, OpenCL y http.

Lineamientos generales para trabajar:

3


Se abre un archivo nuevo, colocamos la función “ContourPlot3D” y nos da las

opciones para ingresar la función, los valores de las variables y sus parámetros

máximos y mínimos correspondientes para generar la superficie.

EXPLORACIÓN DE LAS DISTINTAS ECUACIONES PARA GENERAR LAS SUPERFICIES

Las superficies cuádricas están definida por una ecuación de segundo grado en

3 (tres) variables. Una sección plana (corte) de una cuádrica es una cónica o una

forma degenerada o límite de ésta.

ECUACIÓN GENERAL DE LAS CUÁDRICAS

La exploración de las superficies toma como punto de partida este concepto,

donde se tomará la ecuación de cualquiera de las superficies cuadricas vistas

en matemática de primer año. En este caso en particular tomaremos como

ejemplo la ecuación de una esfera para explorar diferentes superficies no

convencionales.

La ecuación de la esfera es: 2222 rzyx

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ECUACIÓN DE LA ESFERA Y SUS VARIANTES

Esfera con dominio <R

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Solo varió el exponente de la variable “x” y pasó de ser: x2 -> x3

6


Solo varió el exponente de la variable “x” y pasó de ser: x2 -> x4

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Misma ecuación que la anterior, pero se cambió los valores en

los intervalos de los ejes x,y z

Aparecen valores numéricos en cada una de las 3 variables,

varía el exponente de la variable x2 ->x3 y el de la variable z2 -> z

8


Desaparecen los valores numéricos en cada una de las 3

variables, incluso la variable independiente. Varía el

exponente de la variable x2 ->x10, y2 -> y6, z2 -> z4

9


Seguimos aumentando los valores en las potencias de las

diferentes variables, utilizando números pares. Variando el

exponente de la variable x2 ->x12, y2 -> y6 , z2 -> z9

10


Usamos los mismos valores de las potencia de cada una de las

variables, agregando coeficientes en cada una de ellas. Se

agrega un término más, donde las 3 variables aparecen

multiplicadas entre sí.

11


La variable x esta elevada al cubo, se sacan los coeficientes en

cada una de las variables. Se agrega un término más, donde las

3 variables aparecen multiplicadas entre sí y con un coeficiente

numérico q las multiplica.

12


13


La variable z está elevada al cubo, aparecen las 3 variables

multiplicadas entre sí y con un coeficiente numérico q las

acompaña.

14


La variable x e y están elevadas al cubo, aparecen las 3

variables multiplicadas entre sí y con un coeficiente numérico q

las acompaña.

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18


La variable x está elevadas al cubo, la variable y al cuadrado

aparecen 2 variables multiplicadas entre sí y con un coeficiente

numérico q las acompaña. La ecuación esta igualada a un

número fraccionario

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La 3 variable están elevadas al cuadrado, aparecen las 3


las acompaña.

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La variable x e y están elevadas con potencias pares,,

aparecen las 3 variables multiplicadas entre sí y con un

coeficiente numérico alto q las acompaña.

22


La variable x e y están elevadas al cubo, aparecen las 3


las acompaña.

PROCESO DE IMPRESIÓN EN 3D

GENERACIÓN DEL MODELO 3D EN SOFTWERE “WOLFRAM MATHEMATIC 9”

Una vez que fueron explorando las diversas ecuaciones matemáticas, se

procederá a darle el espesor y la resolución correspondiente para poder llevar a

imprimirla en 3D.

Para imprimir un objeto se necesita un modelo en 3 dimensiones, extensión .STL

(Standard Teselation Lenguaje), el cual lo hemos trabajado con Wolfram

Mathematic 9.

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EXPORTAR ARCHIVOS EN FORMATO ADECUADO PARA IMPRIMIR EN 3D

Una vez exportados también se visualiza en el programa 3D Builder para

ver el objeto antes de ser impresa.

Evaluar celdas

Abrir (open) para exportar archivo y visualizarlo en 3D Builder.

También se puede importar (impport) el archivo para ver una vista previa del objeto.

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IMPORTAR MODELO Y VISUALIZAR MEDIDAS

Se puede editar el objeto desde 3Dbuilder, conocer dimensiones y

espesores, rotar, hacer zoom para ver detalles, entre otras.

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PREPARAR EL OBJETO PARA IMPRIMIR

Se debe indicar a la máquina como lo queremos imprimir, una vez editado el

objeto, guardo el archivo en el formato compatible (STL) para poder imprimir.

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FORMAS DE TRANSFERIR LOS ARCHIVOS

Los archivos deben guardarse en una tarjeta de memoria para poder ser

impresos por la impresora 3D.

PROGRAMA UTILIZADO PARA IMPRIMIR 3D

SIMPLIFY 3D (programa con licencia paga)

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CARÁCTERISTICAS DEL PROGRAMA1

Simplify3D es un software de impresión 3D para garantizar y es compatible

con el último hardware de impresión en 3D y para que pueda obtener

resultados excepcionales.

Se puede utilizar la misma aplicación para todo su hardware de impresión

3D. El software puede cambiarse rápidamente entre diferentes

configuraciones de la máquina, lo que le permite controlar todo desde

una aplicación central.

Simula impresiones con anticipación

Simplify3D incluye una simulación de pre-impresión increíblemente realista

que le permite ver las acciones exactas que realizará su impresora 3D antes

de iniciar la impresión. Se puede observar literalmente una animación del

extrusor mientras que pone cada línea individual del plástico, dándole más

penetración que siempre antes

Permite identificar problemas con anticipación

La simulación incluye información sobre las velocidades, secuencias y

configuraciones exactas que se utilizan para su impresión, de modo que

pueda verificar rápidamente estos ajustes de un vistazo. Deje de perder

tiempo en las impresiones fallidas y utilice la simulación realista para

detectar posibles problemas antes de encender la impresora 3D.

1 https://www.simplify3d.com/software/features/

https://www.simplify3d.com/wp-content/uploads/2017/07/Pre-Configured-Printer-Profiles.jpeg

https://www.simplify3d.com/wp-content/uploads/2017/07/Pre-Configured-Printer-Profiles.jpeg

https://www.simplify3d.com/software/features/

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Configura Estructuras de apoyo galardonadas

Mejora la calidad de impresión y tiene fácil extracción de desechos

Simplify3D , proporciona las mejores estructuras de soporte disponibles, lo

que le permite alcanzar el más alto nivel de calidad de superficie incluso

para las impresiones más complejas. Una vez terminada la impresión, los

soportes se rompen fácilmente sin necesidad de herramientas especiales

o post-procesamiento.

https://www.simplify3d.com/wp-content/uploads/2017/07/Pre-Print-Simulation.jpeg

https://www.simplify3d.com/wp-content/uploads/2017/07/Pre-Print-Simulation.jpeg

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Personaliza los soportes para la impresión perfecta.

El software sugiere automáticamente dónde se debe agregar el material

de soporte, se puede agregar fácilmente más soporte en áreas que

pueden ser propensas a la inestabilidad o elimine soportes innecesarios

para tiempos de impresión más rápidos.

Se puede editar el objeto en esta instancia.

Configura la posición más apropiada de impresión para obtener una

buena calidad.

Se da la escala del modelo.

Se guarda en un formato “g.code” para mandarlo a la impresora 3D.

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ESCALA

La relación entre el límites de los intervalos de las variables y el espesor del

modelo deben ser tenidos en cuenta para dar las escala.

G-CODE2

También conocido como RS-274, es el nombre que habitualmente recibe

el lenguaje de programación más usado en control numérico (CN), el cual

posee múltiples implementaciones. Al G-code se le llama en ciertas ocasiones

lenguaje de programación G y es un lenguaje mediante el cual las personas

pueden decir a máquinas herramienta controladas por computadora qué

hacer y cómo hacerlo. Esos "qué" y "cómo" están definidos mayormente por

instrucciones sobre a dónde moverse, cuán rápido moverse y qué trayectoria

seguir. Las máquinas típicas que son controladas con G-code son fresadoras,

cortadoras, tornos e impresoras 3D.

MATERIAL USADO PARA IMPRIMIR

Filamento para impresión 3D:

P.L.A (Poliácido Láctico)

1,75 mm

Marca: “Grilon”

2 https://es.wikipedia.org/wiki/g-code

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IMPRESIÓN 3D

Para imprimir nuestro modelo 3D debemos poner a calentar a la debida

temperatura tanto el extrusor como la plataforma. En la impresora, el filamento

se calienta y se extrude a través de la boquilla. Hay tres casos esenciales en los

que debemos calentar el extrusor: para poner filamento en la impresora, para

quitar filamento de la impresora y para imprimir o extruir.

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RETIRAR EL OBJETO DE LA PLATAFORMA DE IMPRESIÓN

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OTROS EJEMPLOS IMPRESOS

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Se puede trabajar también con ecuaciones donde las superficies de los

modelos son mallas de un determinado espesor, las mismas están formadas por

las líneas que generan estas superficies como puede observarse en las

imágenes.

38


BIBLIOGRAFIA

Bachelard, Gastón LA FORMACIÓN DEL ESPÍRITU CIENTÍFICO. México: Siglo XXI, 1979.

Brousseau, G. (1986). FONDEMENTS ET METHODES DE LA DIDACTIQUES DE MATHEMATIQUES. RECHERCHES EN DIDACTIQUE DES MATHÉMATIQUES, 7, 2, P. 33-115. (Fundamentos y métodos de la didáctica de la matemática. Traducción de Dilma Fregona y Facundo Ortega). Argentina.

39


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Guzmán, Miguel de: TENDENCIAS ACTUALES DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA. Revista de Ciencias de la Educación 21,Pag 19-26. España, 1989.

Guzmán, Miguel de: TENDENCIAS INNOVADORAS EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA. OMA. Bs. As. 1992.

Peronard Thierry, Marianne / Gómez Macker, Luis / Parodi Sweis, Giovanni y Núñez Lagos, Paulina COMPRENSIÓN DE TEXTOS ESCRITOS: DE LA TEORÍA A LA SALA DE CLASES Santiago: Editorial Andrés Bello, 1997.

Sadowsky, Patricia: ENSEÑAR MATEMÁTICA HOY. Libros del Zorzal. Buenos Aires, 2005.

Santos Trigo, Luz Manuel y otros: PERSPECTIVAS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA. Grupo Editorial Iberoamericana. México, 1996.

WEBGRAFÍA

http://www.wolfram.com/?source=nav

http://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/plotting-and-graphics/

http://imprimalia3d.com/recursosimpresion3d/3d-printing-mathematical-

visualisation-impresi-n-3d-visualizaci-n-matem-tica


http://www.evolution-of-genius.de/gallery/default.htm

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http://www.evolution-of-genius.de/gallery/default.htm

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