Unidad 2 Teoria Vibraciones
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18-04-2012
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Ingeniería de Mantenimiento
Dr. Ing. Eduardo Diez CifuentesDr. (c) Ing. Jorge González Salazar
Departamento de Ingeniería MecánicaUniversidad de La Frontera
Unidad 2: Análisis de Vibraciones,Teoría de vibraciones
Sistema dinámico lineal de un grado de libertad
• El sistema es lineal si se puede modelar con una ecuación lineal
Teoría de vibraciones: Sistema de un grado de libertad
El sistema es lineal si se puede modelar con una ecuación lineal de segundo orden cuya forma general es:
• Caso vibración de sistema mecánico: • Muchos sistemas dinámicos se pueden aproximar con el modelo
d d d lib t d
iooo qbqa
dtdq
adt
qda 0012
2
2 =++
( )tfkxxcxm =++ &&&
de un grado de libertad
18-04-2012
2
• Características de los sistemas lineales:
- Satisfacen el principio de superposición:
Teoría de vibraciones: Sistema de un grado de libertad
Satisfacen el principio de superposición:
)()()()(
:Si
22
11
tstetste
→→
M
La presencia de una excitación no afecta la respuesta del sistema a otras excitaciones.
)()(6)()()()(:Entonces
)()(
2121 tstststetete
tste
nn
nn
+++=+++
→
LL
M
• Características de los sistemas lineales:
- En estado estacionario, la respuesta del sistema a una
Teoría de vibraciones: Sistema de un grado de libertad
En estado estacionario, la respuesta del sistema a una excitación de frecuencia Ω es a la misma frecuencia Ω.
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• Propiedades físicas del sistema dinámico de un grado de libertad:– Inercia: Masa, m [kg]– Propiedades elásticas: Rigidez, k [N/m]
Teoría de vibraciones: Sistema de un grado de libertad
Propiedades elásticas: Rigidez, k [N/m]– Disipación de energía: Amortiguamiento, c [N/m/s]– Excitación: Fuerza, f(t) [N]
Movimiento de la base, xb(t) [m]
• Rigidez:
Teoría de vibraciones : Sistema de un grado de libertad
( )12 xxkF −=
• Amortiguamiento:
• Ecuaciones de movimiento se obtienen aplicando la segunda ley
( )12 vvcF −=
de Newton. Analizaremos vibraciones libres y forzadas para sistemas sin amortiguamiento y con amortiguamiento
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Vibraciones libres, f(t)=0. Sistema no amortiguado.
Teoría de vibraciones
Resolver el PVI:Resolver el PVI:
Solución:0
0
)0()0(
con ,0bieno0
xtxxtx
mkωx
mkxkxxm n
&&
&&&&
====
==+=+
De la forma: Ecuación característica:
Solución:
A y B se obtienen de las condiciones iniciales
eCeCx(t) trtr 2121 +=
;02 =+ kmrmkjr ±=2,1
sincos tmkBt
mkAx(t) +=
Vibraciones libres, f(t)=0. Sistema no amortiguado.
Teoría de vibraciones
TfTX
/1
0
[Hz]movimientodelFrecuencia:[s] movimiento del Período :
[m] pico valor ento,desplazami del Amplitud :
cossin)( 0 ωω + txtxtx&
Solución:
xaxv
fTf
n
&&
&
==
==
2/1
ϕπω
][m/sn Aceleració :[m/s] Velocidad :
[rad] fase de Ángulo :[rad/s] vibrar de natural Frecuencia :
[Hz]movimientodelFrecuencia:
2
( )( )
)sin()sin()()()2/sin()cos()()(
/tan/
sin)(
cossin)(
00
00
00
20
200
0
020
πϕωϕωωπϕωϕωω
ωϕω
ϕω
ωωω
++=+−==++=+==
=
+=
+=
+=
tAtXtxtatVtXtxtv
xxxxX
tXtx
txttx
nnn
nnn
n
n
n
nnn
&&
&
&
&
arctan x&
)(tx0arctan x
0=tϕ t0x
0X
Posiciónde
equilibrio
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Teoría de vibraciones
Frecuencia natural de vibrar:
k
• Depende de la rigidez y la masa del sistema.• Si la rigidez disminuye → frecuencia natural disminuye.• Si la masa disminuye → frecuencia natural aumenta.
mkωn =
Vibraciones libres, f(t)=0. Sistema amortiguado.
Teoría de vibraciones
Resolver el PVI:
Solución:Tres casos dependiendo de las raíces de la ecuación característica:
0
0
)0()0(
0
xtxxtxkxxcxm
&&
&&&
====
=++
02 =++ kcrmrecuación característica: 0=++ kcrmr
mk
mc
mcr −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛±−=
2
2,1 22
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Vibraciones libres, f(t)=0. Sistema amortiguado.
Teoría de vibraciones
El sistema vibra cuando ri son imaginarios:
Se cumple cuando:
mk
mc
mcr −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛±−=
2
2,1 22
02
≤⎟⎞
⎜⎛ kc
El máximo valor de c para el cual el sistema vibra se llama amortiguamiento crítico y vale:
02
≤−⎟⎠
⎜⎝ mm
nc mkmc ω22 ==
Vibraciones libres, f(t)=0. Sistema amortiguado.
Teoría de vibraciones
El estudio se hace más fácil en función de dos á t dibl ζparámetros medibles:
La ecuación característica queda:
nωζ y
ientoamortiguam deFactor ;cc
c=ζ
122,1 −±−= ζωζω nnr
Se tienen tres casos de solución en función del tipo de raíces de la ecuación característica.
2,1 nn
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Vibraciones libres, f(t)=0. Sistema amortiguado.
Teoría de vibraciones
Caso I: Amortiguamiento subcrítico (ξ<1) Raíces complejas conjugadas
( )( )
( ) aamortiguad natural frecuencia 1con ;tan;
1sin1cos1sin1
)(
1cos1sin1
2
00
02
2002
00
20
20
2
200
2222,1
ζωωζω
ωϕωζω
φωζωζωζζω
ζω
ζωζωωζζω
ζωζω
ζω
−=+
=+
+=
+−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+−
−
+=
−+−→−±−=
−−
−
ndn
d
d
n
nt
nn
n
nt
nnt
nn
xxxxxxX
teXtxtxxetx
BAer
nn
n
&
&
&
Solución:
0arctan x&
0=t
)(tx
0x
nx1+nx
ddT
ωπ2
=
t
tneX ζω0
Teoría de vibraciones
• Efecto del amortiguamiento en las vibraciones libres:
- Disminuir secuencialmente la amplitud de las vibracionesDisminuir secuencialmente la amplitud de las vibraciones- Disminuir la frecuencia de las vibraciones de ωn a ωd
• En la práctica, generalmente y se puede considerar:2,0<ζ
ndω ω≈
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Teoría de vibraciones
Decremento logarítmico
• Una forma conveniente de determinar la cantidad deUna forma conveniente de determinar la cantidad de amortiguamiento de un sistema es a partir de la tasa de decaimiento de las vibraciones libres
• El decremento logarítmico se define como:
0arctan x&)(tx
nxd
dTωπ2
= tneX ζω0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
+ nn
n
xx
nxx 0
1
ln1lnδ
0=t
0x
n1+nx
t
( )( ) 22)(
0
20
1 12
)(1sin1sin
lnlnζ
πζφωζ
φωζδ
ζω
ζω
−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−
+−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
+−
−
+ dnnTt
nnt
n
n
TteXteX
xx
dnn
nn
Vibraciones libres, f(t)=0. Sistema amortiguado.
Teoría de vibraciones
Caso II: Amortiguamiento crítico (ξ=1) Raíces reales e iguales
( )
( )( ) tn
tn
n
n
extxtx
eBtAtxrr
ζω
ζω
ω
ζω
−
−
++=
+=→−==
00
21
1)(
:inciales scondicione las Aplicando)(
&
Solución:
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Vibraciones libres, f(t)=0. Sistema amortiguado.
Teoría de vibraciones
Caso III: Amortiguamiento sobrecrítico (ξ>1) Raíces reales y distintas
( ) ( ) t
n
nt
n
n
tt
nn
nn
nn
exx
exx
tx
BeAetxrr
ωζζωζζ
ωζζωζζ
ζω
ωζζ
ζω
ωζζ
ζωζω
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+−
−
−−−−+
−
−++=
+=→−±−==
1
20
201
20
20
11221
22
22
12
1
12
1)(
:inciales scondicione las Aplicando)(1
&&
Solución:
Vibración forzada con excitación armónica. Sistema amortiguado.
Teoría de vibraciones
Resolver la ecuación diferencial ordinaria:
( )tFkxcxxm Ω=++ sin0&&
( ) ( )φϕωζω +Ω++= − tXtAetx ddtn sinsin)( 0
Vibración transitoria Vibración estacionaria
Resolver la ecuación diferencial ordinaria:
Solución de la forma:
Vibración transitoria Vibración estacionaria
222
0
0
21 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ Ω+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛Ω−
=
nn
kF
X
ωζ
ω
2
1
2tan
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛Ω−
Ω
=
n
n
ω
ωζ
φ
A y φd se obtienen de las condiciones iniciales.
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Vibración forzada con excitación armónica. Sistema amortiguado.
Teoría de vibraciones
x(t) ( ) ( )ξx(t)
Respuesta Total
Respuesta Transiente
( ) ( )φϕωξω −Ω+−= − tsenXtsenAetx ddtn
0)(
t (s)
Respuesta Estacionaria
Teoría de vibraciones
• La respuesta transitoria desaparece rápidamente. A mayor amortiguamiento más rápido desaparece.
• Si la frecuencia de la excitación es cero (Ω=0), la amplitud de la respuesta en estado estacionario es igual a la respuesta del sistema a una fuerza estática:
• La ecuación de la amplitud de la respuesta estacionaria se puede
kFX 0
0 =
• La ecuación de la amplitud de la respuesta estacionaria se puede hacer adimensional:
2220
0
21
1
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ Ω+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛Ω−
=
nn
kFX
ωζ
ω
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Teoría de vibraciones
0=ξkFX0
0
2,0=ξ
1,0=ξ
0 1=F
X
4,0=ξ3,0=ξ
nωΩ
2220 21 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ Ω+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞⎜
⎝⎛Ω−
nn
kF
ωζ
ω
Resonancia
Teoría de vibraciones
• Resonancia: Grandes amplitudes para
• Cambio del fase del desplazamiento para
nω≈Ω
ω≈ΩCambio del fase del desplazamiento para
• Amortiguar solo es efectivo en la zona resonante
nωΩ
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Teoría de vibraciones
La función de transferencia y la función respuesta
• Función de transferencia: se define como la razón de lasFunción de transferencia: se define como la razón de las transformadas de Laplace de la salida y entrada del sistema.
( ) ( )
222
2
211
)()()(
0)0()0()()()0()()0()0()(
)(
ssm
kcsmssFsXsH
xxsFskXxssXcxsXsXsm
tfkxxcxm
ωζω ++=
++==
===+−+−−
=++++
&
&
&&&
• Útil para estudiar la estabilidad del sistema.
2)( nnsskcsmssF ωζω ++++
Teoría de vibraciones
La función de transferencia y la función respuesta
• Función respuesta: se define como respuesta en estadoFunción respuesta: se define como respuesta en estado estacionario a una entrada sinusoidal. Se representa por un complejo:
( )[ ] ( )[ ]nn ffiffk
fSfEfH
/2/11
)()()( 2 ζ+−==
• Útil por que es fácil de obtener de forma experimental.
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Teoría de vibraciones
Diagrama de Bodé: Representación gráfica de la función respuesta en frecuencia
0
0.5
1
1.5
2x 10
-5
Mag
nitu
de (a
bs)
0
Bode Diagram
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-180
-135
-90
-45
Phas
e (d
eg)
Frequency (Hz)
Teoría de vibraciones
Vibraciones forzadas por movimiento de la base
bb
fkxxckxxcxm
xxkxxcxm
=+=++
=−+−+ 0)()(*&&&&
&&&&
( )( )f
fbbb
bb
bb
bb
tFf
tkcXtXctkXf
tXtxtXtx
fkxxckxxcxm
φ
φ
+Ω=→
+Ω+Ω=ΩΩ+Ω=→
ΩΩ=Ω=
=+=++
sin
sincossin
cos)(sin)(
:Si
*0
*
222*
&
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14
0
0
FFTR t=
0=ξ
1,0=ξ
40ξ
2,0=ξ
3,0=ξ
nω/Ω
4,0=ξ
Teoría de vibraciones0=ξ
2,0=ξ
1,0=ξ
30ξ4,0=ξ3,0=ξ
Región de amplificación
Región de aislamiento
4,0=ξ
0=ξ
2,0=ξ1,0=ξ
3,0=ξ
nω/Ω