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CAPÍTULO II - ESTABILIDAD CINEMÁTICA

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CAPÍTULO II

2.- ESTABILIDAD CINEMÁTICA DE LAS ESTRUCTURAS PLANAS

Generalidades

En este capítulo se establecen los fundamentos teóricos básicos, necesarios para determi-nar la estabilidad cinemática de las estructuras reticuladas planas, se dedica especial atención al análisis de los sistemas inestables, con un grado de libertad, dada la importancia que tiene su es-tudio en el contexto del análisis estructural.

2.1. Grados de libertad

Los grados de libertad de un sistema estructural, con posibilidad de desplazarse, pueden de-finirse como el número de parámetros independientes que deben prescribirse para definir o cono-cer la posición de cualquiera de sus puntos en su configuración desplazada. Ellos dependen del sistema de coordenadas en que se esté trabajando, así, el sistema más simple es el sistema lineal, en el cual puede considerarse una línea que abarca todo y en ella, puede analizarse el movimiento de un punto cualquiera A(x) con posibilidad de moverse sobre esa línea:

XA sea A'(x) la posición desplazada del punto A(x), con XA' = XA + U. Esto indica que la posi-ción desplazada del punto A(X) se conoce al describir únicamente el parámetro independiente "U". De acuerdo a la definición de grados de libertad, puede establecerse que el sistema considerado anteriormente tiene un grado de libertad.

Considere la configuración original desplazada de un cuerpo rígido en el plano X -Y, caracte-rizado porque la distancia entre sus puntos no se modifica cuando sufre un desplazamiento, y se ha tomado un punto O fijo, de manera que O no puede moverse según las direcciones X, Y:

Figura 2.1. Grados de libertad de un cuerpo rígido fijo.


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Sea i un punto situado a una distancia Yi de O. Bajo estas condiciones, como se indica en la figura No. 2.1 el cuerpo rígido solo puede rotar alrededor de O, con ello, el punto i se mueve según un arco de circunferencia con centro en O y radio Yi, pasando a la posición i'.

Se define la posición desplazada final de i (punto i') según:

Xi' = Xo + Yi Sen.

Yi' = Yo + Yi Cos

Donde puede notarse, que sólo se prescribió la rotación como parámetro independiente para definir la posición de i'. Según el concepto de grados de libertad, puede afirmarse que el sis-tema considerado tiene un grado de libertad, que de hecho está asociado a la posibilidad del mo-vimiento que el sistema tiene de rotar.

2.2. Vínculo

Vínculo es un término genérico utilizado para designar toda condición geométrica, que limita o restringe las posibilidades de movimiento, de los puntos de un sistema. Cuando el vínculo res-tringe a los puntos de un sistema, existen posibilidades de movimiento absoluto, referido este mo-vimiento a un sistema fijo que se considera es la tierra, el vínculo recibe el nombre de vínculo ex-terno. Si el vínculo restringe posibilidades de movimiento relativo entre los puntos de un sistema, se conoce como vínculo interno.

2.3. Chapa

Chapa es un término utilizado para designar a toda formación rígida (cuerpo rígido), consti-tuida por varios puntos materiales que se encuentran todos en un mismo plano y representado por un plano infinitamente delgado o lámina. Las chapas en una estructura son todas las formaciones rígidas, que se pueden definir en ella. El símbolo i es utilizado para identificar a la chapa i:

Este sistema, se representa así:


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Si una chapa es una formación rígida, debe recordarse que en ella existe, el vínculo interno de la rigidez entre los puntos de un sistema rígido, según, el cual la distancia entre dos puntos cualquiera del sistema, permanece invariable durante cualquier desplazamiento del mismo.

2.4. Grados de libertad de una chapa

Para determinar los grados de libertad de una chapa, ella es analizada en su plano (X-Y), al asumir que está en completa libertad de movimiento.

Sea una chapa en el plano X-Y, como se muestra en la figura No.2.2, donde se represen-ta su configuración inicial, estableciéndose en ella algunos datos iniciales conocidos: el punto O y su posición, un punto cualquiera i, referido a O por la distancia i = oi y el ángulos i que forma la horizontal trazada por O con el radio i, y en su configuración desplazada final con los puntos O', i':

Figura No. 2.2. Grados de libertad de una chapa en su plano

Los grados de libertad de la chapa en su plano dependen, según su definición, del núme-ro de parámetros independientes, que es necesario prescribir para conocer la posición de cual-quiera de sus puntos, tomado “i” arbitrariamente, en su configuración desplazada.

La chapa obtiene la posición desplazada, indicada en la figura No.2.2 al aplicar los si-guientes movimientos de cuerpo rígido: una traslación Uo en la dirección X, una traslación Vo en la dirección Y, y una rotación , que representan las posibilidades de movimiento que la chapa tiene en completa libertad de movimiento en su plano.

Según esto, es posible definir la posición del punto i' como:

X¡' = Xo + Uo + i cos. ( + i)

Yi' = Yo + Vo + i Sen. ( + i)


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Puede notarse que las coordenadas del punto i', han sido definidas mediante la prescripción de los parámetros independientes Uo, Vo, .Esto permite establecer que:

“Una chapa en su plano tiene tres grados de libertad”, en completa libertad de movimien-to. Es decir, puede trasladarse respecto a dos ejes X e Y, rotar respecto a un centro. Si los grados de libertad son notados por la letra g, una chapa en completa libertad de movimiento tiene un:

g = 3 Ec. 2.1

2.5. Desplazamientos finitos de una chapa en su plano

Para estudiar, los desplazamientos que experimenta una chapa en su plano, considere primero, la chapa mostrada en la figura No. 2.3 en su configuración inicial, donde se destacan los puntos i, j y en su configuración desplazada, donde los puntos i, j han pasado a las posiciones i’j’:

Figu-

ra No. 2.3. Rotación

de una chapa en su

plano

Por tratarse de una chapa (formación rígida), la distancia entre esos puntos no varía cuando se desplaza, por tanto:

ij = i’j’

Trazando rectas perpendiculares a los puntos medios de los segmentos ii’, y jj’, éstas se cor-tan en un punto propio, llamado O.

Del análisis geométrico de la configuración mostrada en la figura No. 2.3, se observa: los triángulos rectángulos oim y oi’m, tienen catetos iguales, im = mi’ y om es común, por lo tanto, sus hipotenusas oi y oi’ también lo son. Análogamente, ocurre con los triángulos rectángulos ojn y oj’n, en los cuales in = nj’ y on es común, por lo que sus hipotenusas oj, oj’ también son iguales.


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Se tiene entonces:

ij = i'j'

oi = oi'

oj = oj'

Esto permite afirmar que los triángulos oij y oi'j', marcados en la figura No. 2.3, son con-gruentes y que los puntos de la chapa se han desplazado sobre arcos de circunferencia, de centro común O, experimentando la chapa, una rotación alrededor del punto O conocido como centro ó polo de rotación, del tipo propio, y definido como el punto alrededor del cual rotan todos los otros puntos de la chapa.

Una chapa puede experimentar otro tipo de desplazamiento, que se manifiesta cuando todos los puntos de ella se desplazan la misma cantidad y en una misma dirección, es decir, experimen-tan desplazamientos paralelos e iguales, como se indica en la figura No.2.4:

Figura No. 2.4. Traslación de una chapa en su plano

En este caso el segmento i'j' es paralelo y se orienta en el mismo sentido que el segmento ij, entonces se tiene que ii' = jj'. Trazando mediatrices a los puntos medios de esos segmentos, resul-tan rectas paralelas que se cortan en el infinito.

A este tipo de desplazamiento experimentado por la chapa se le conoce como traslación; es decir, movimiento que a una rotación alrededor de un polo impropio en el infinito, en dirección per-pendicular a la de traslación.

Alternativamente, de ahora en adelante, cuando una chapa tenga su polo en el infinito, se dirá que ella se traslada en dirección perpendicular al polo en el infinito y además, todos los puntos de la chapa que se traslada se desplazan en dirección perpendicular a su polo en el infinito, la misma cantidad y en la misma dirección y sentido.


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2.6. Rotación infinitesimal de una chapa

Para analizar la rotación infinitesimal de una chapa, supóngase una chapa que tiene un polo de rotación O, alrededor del cual rota una cantidad infinitesimal , como se aprecia en la figura No.2.5:

Figura No. 2.5. Rotación infinitesimal de una chapa

Por efecto de la rotación impuesta a la chapa , un punto cualquiera i, separado de O a una distancia i, se desplaza a lo largo de un arco de circunferencia de centro en O y radio i, pasando a la posición i'. Cuando se consideran desplazamientos infinitésimos la cuerda ii', el arco ii’ y la tangente (normal al radio oi) ii" se confunden por ser infinitésimos equivalentes, es decir ii’ = ii' = ii".Se considera entonces que:

“Para rotaciones infinitesimales los desplazamientos que experimentan los puntos de una chapa se tomarán en dirección normal a las rectas determinadas por los puntos y el polo de rotación o radios de giro y en el sentido de la rotación”, como se muestra en la figura No. 2.6:

Figura No. 2.6. Desplazamientos de los puntos de una chapa que rotan

A partir de la figura No.2.5, para el punto i se tiene que ii' = = ii". Luego el desplaza-


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miento experimentado por un punto cualquiera i, cuando la chapa rota alrededor de su polo de rotación, puede calcularse como:

rI =

= rotación infinitesimal de la chapa.

= radio de giro del punto i respecto al polo 0

2.7. Determinación analítica y representación gráfica de los desplazamientos de una chapa.

El cálculo de los desplazamientos de los puntos de una chapa que rota alrededor de su polo, es posible realizarlo a partir de la ecuación 2.2, que representa el valor del desplazamiento experi-mentado por un punto i cualquiera de esa chapa.

En una chapa como la mostrada en la figura No. 2.6, los desplazamientos de los puntos i, j, k considerados vienen dados por; ri = i. rj = j, rk= k, respectivamente calculados como se ha indicado anteriormente, es decir, como el producto de la rotación por los radios de giro respecti-vos, en dirección normal a las rectas que unen el punto con el polo y en el sentido de la rotación.

Estos desplazamientos pueden representarse gráficamente de dos maneras. Una de ellas consiste en llevar los desplazamientos por un polo O', conocido como polo del diagrama, en el cual se encuentran ubicados todos los puntos fijos.

Para el caso de una chapa, en él se encuentra el polo de rotación de la misma. Para una chapa cualquiera, esto se indica en la figura No. 2.7:

Figura No.2.7. Representación gráfica de los desplazamientos de los puntos de una chapa.


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La figura No.2.7, muestra en la parte (a), la representación gráfica de los desplazamientos reales de los puntos i, j, k de la chapa , tal como ellos ocurren; a este tipo de representación se le conoce como diagrama de Williot - Mohr. Se considera que al unir apropiadamente los extremos de los vectores ri, rj, rk en el diagrama de Williot - Mohr se obtiene la chapa rotada 90º.

La parte (b) La parte (b) de la figura No. 2.7, muestra el diagrama de Williot - Mohr de una chapa, que tiene su polo de rotación en el infinito y por lo tanto, se traslada, todos sus puntos se desplazan la misma cantidad, en dirección perpendicular a la dirección que define el polo en el infinito y su representación gráfica, como puede notarse, se reduce a un punto.

Es posible expresar los desplazamientos de los puntos de una chapa en componentes de desplazamiento según los ejes X e Y. Para ello supóngase una chapa que rota alrededor de su polo de rotación como se indica en la figura No.2.8:

Figura No. 2. 8. Representación gráfica de las componentes U-V de desplazamientos de los puntos de una chapa.

El cálculo analítico de los desplazamientos se supone que:

Ui = ri Sen. Ec. 2.3

Vi = ri Cos. Ec. 2.4

Donde ri está dado por la ecuación (2.2):

Sen.

Ec. 2.5

Cos.

Ec. 2.6

Sustituyendo las ecuaciones (2.2), (2.5) y (2.6) en (2.3) y (2.4) respectivamente, se obtiene:


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U Ec.2.7

Ec. 2.8

El resultado obtenido en las ecuaciones (2.7) y (2.8), permite establecer lo siguiente:

“La componente horizontal del desplazamiento de un punto cualquiera de una chapa que rota; es igual al producto de la rotación por la proyección vertical de su radio de gi-ro.”

“La componente vertical de desplazamiento de un punto cualquiera de una chapa que rota; es igual al producto de la rotación por la proyección horizontal de su radio de giro.”

“Las componentes horizontal y vertical de desplazamiento de un punto, son directa-mente proporcionales, a las componentes vertical y horizontal respectivamente, de su radio de giro.”

De esta manera, es posible realizar otro tipo de representación gráfica de las componentes horizontal U y vertical V, de los desplazamientos experimentados por los puntos de una chapa. Para ello, basta saber como se desplaza un punto cualquiera de la chapa, representar sus compo-nentes U y V a partir de rectas de referencia; en las cuales se consideran ubicados los puntos fijos, particularmente el polo de rotación O; unir las componentes U y V de desplazamiento del punto con el polo O, en forma lineal y prolongar en el dominio de la chapa, para tenerla representada en componentes U-V de desplazamiento.

A esta representación gráfica de las componentes de desplazamiento, según los ejes X e Y de los puntos de una chapa, se le conoce como; Diagrama U - V. Lo expresado anteriormente, se aprecia en la figura No 2.8.

Cuando la chapa tiene su polo en el infinito, la representación gráfica de desplazamientos U - V se realiza como se indica en la figura No. 2.9:

Figura No. 2.9. Representación gráfica de las componentes U- V de desplazamientos de los puntos de una chapa que se

traslada.


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2.8. Vinculación externa de una chapa

La vinculación externa de una chapa, se define como aquella que restringe posibilidades de movimiento absoluto de los puntos de la chapa, entendiendo como movimientos absolutos aquellos referidos al sistema, la tierra ( ) tomado como fijo. Debe recordarse que una chapa en completa libertad de movimiento en su plano, tiene tres (3) grados de libertad o posibilidades de movimiento (ecuación 2.1). Según el vínculo externo o absoluto, restrinja una, dos o las tres posibilidades de movimiento que posee la chapa en libertad de movimiento, el vínculo será de primera, segunda, o tercera especie respectivamente.

Se analizan a continuación, los diferentes tipos de vinculación externa. Se presenta prime-ramente, la chapa referida al sistema fijo T, en completa libertad de movimiento, en cuyo caso tiene 3 posibilidades de movimiento: dos traslaciones y una rotación:

Ahora, la chapa se ha vinculado a T mediante una barra rígida b1. La condición de rigidez de b1, le restringe a la chapa la posibilidad de movimiento absoluto, en la dirección de la barra rígi-da y le permite trasladarse en dirección perpendicular a la barra y rotar alrededor del punto i. Por lo tanto, el sistema representado muestra una chapa vinculada externamente, por medio de un vínculo de primera especie, el cual, como se indica, restringe una posibilidad de movimiento abso-luto y permite dos:

Este tipo de vehículo en forma idealizada es representado como se indica:


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Adicionalmente, conocidos los desplazamientos de los puntos de la chapa, es posible cono-cer el polo de rotación. En este caso, los desplazamientos permitidos indican que el polo de rota-ción de la chapa debe estar sobre la recta que define la dirección de la barra rígida. Es importante tener presente que un vínculo externo de 1ra especie no define el polo de rotación de la chapa, suministra una dirección para su ubicación:

Otro tipo de vínculo externo de primera especie, se define cuando la chapa se vincula; como se indica:

Este vínculo de 1era especie según Landa se conoce como empotramiento de primer grado, el cual restringe un grado de libertad, el rotacional, permitiendo traslaciones en cualquier dirección y se representa idealmente como:


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Por ser vínculo externo de 1ra especie, no define el polo, sólo indica que el polo de la chapa está en el infinito, sin conocerse su dirección. Si la chapa se vincula a T con dos barras rígidas se tienen los siguientes casos:

Este primer caso muestra la vinculación externa dada por dos barras rígidas b1 y b2; que se interceptan en un punto propio. La condición de rigidez de las barras b1 y b2, impone el despla-zamiento de los puntos i, j. Recordando que los desplazamientos de esos puntos, permiten cono-cer la ubicación del polo de la chapa, se tiene que éste, queda localizado en el punto de inter-sección de las barras b1 y b2. Esta condición le restringe a la chapa, las dos traslaciones absolutas y le permite rotar en forma absoluta alrededor de O, con respecto al sistema de referencia fijo T.

En consecuencia, el sistema representado, es el de una chapa vinculada externamente con un vínculo externo de 2da especie, normalmente referido como apoyo fijo que suele representarse así:

El otro tipo de vinculación externa de 2da especie, se presenta, cuando las barras rígidas b1 y b2 son paralelas, por lo cual impone desplazamientos a los puntos i, j en dirección perpendicular a ellas. Esto pone de manifiesto, el caso de los desplazamientos iguales y en una misma dirección asociado a chapas que se trasladan. Ciertamente, el sistema mostrado, representa una chapa vinculada externamente con un vínculo de 2da especie, conocido como empotramiento sobre rodi-llos, el cual restringe la traslación absoluta en la dirección de las barras rígidas y la rotación; permi-tiendo que la chapa se traslade en dirección perpendicular a la de las barras como se muestra:


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Esta chapa tiene entonces, su polo en el infinito en dirección normal a la de traslación, que es la dirección de las barras paralelas que definen este tipo de vinculación externa. En forma idea-lizada este sistema es representado por:

Empotramiento sobre rodillos

Lo visto anteriormente, permite afirmar lo siguiente: un vínculo externo de 2da especie define el polo de rotación de la chapa.

Por último, considérese la chapa vinculada a T, mediante tres barras rígidas como se indi-ca:


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Las barras b1 y b2 de hecho, definen un polo de rotación. Si ella rota alrededor de ese polo, el punto k particularmente experimenta un desplazamiento perpendicular a la recta que lo une a O. Por otro lado, la condición de rigidez de la barra b3 le impone a k un desplazamiento normal a ella. Esto evidencia incompatibilidad de desplazamientos para el punto k lo cual conduce a afirmar que el punto k también es polo de la chapa y por cuanto una chapa no puede rotar simultáneamente alrededor de dos polos, se concluye que la chapa debe estar fija, es decir, que sus tres posibilida-des de movimiento han sido restringidas todas.

En consecuencia, el sistema considerado muestra una chapa vinculada externamente con un vínculo de tercera especie que la fija y en forma idealizada se representa así:

Este análisis permite afirmar, que un vínculo externo de 3ra especie fija la chapa. Nótese, que si las líneas de acción de los vínculos, no tienen un punto común de intersección, la chapa está fija, es decir, tiene más de un polo de rotación. En las figuras mostradas a continuación, cada chapa tiene más de un polo de rotación, o por lo menos un polo y una dirección, lo cual hace supo-ner, más de un punto de la chapa fijo, por lo tanto la chapa está fija:

En consecuencia, se establece que la vinculación externa de 3ra especie, suministrada por tres barras rígidas, sólo se da cuando esas barras no son las tres, ni paralelas, ni concurrentes, pues, en caso contrario la chapa no es fijada, quedándole una posibilidad de movimiento, como se muestra.

Tres barras concurrentes no fijan la chapa, le permiten la rotación alrededor de O:


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Tres barras paralelas no fijan la chapa, le permiten la traslación en dirección perpendicular a las barras como se indica:

Cuando la chapa está vinculada externamente mediante tres barras que se intersectan o son paralelas, ellas son inefectivas como vínculo, pues no la fijan. Este tipo de vinculación recibe el nombre de aparente. Algunos ejemplos se ilustran a continuación:

Tres direcciones paralelas Direcciones del polo por el apoyo 1ra especie.

Es posible encontrar también la vinculación conocida como redundante, que se presenta a continuación en la figura:


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La chapa con las tres barras rígidas b1, b2 y b3 está fija, por lo que la barra b4, no se re-quiere para fijarla; ésta barra es redundante. Note que los vínculos redundantes, son las cantida-des de vínculos en exceso sobre las necesarias y suficientes para fijar la chapa. Esto se manifiesta en el siguiente ejemplo:

Por lo analizado anteriormente, pueden plantearse las siguientes conclusiones relacionadas con la ubicación de los polos de rotación de las chapas, a partir de la vinculación externa:

Para todo vínculo de 1ra especie, rodillo o biela, el polo de rotación se encuentra en la di-rección de la barra que lo define.

Todo empotramiento de 1er grado genera polos impropios.

Todo apoyo fijo es un polo de rotación.

Todo empotramiento deslizante, móvil o sobre rodillo, define un polo de rotación en el infi-nito, es decir, un polo impropio, en dirección perpendicular al permitido, o lo que es equiva-lente, en la dirección de las barras que lo definen.

Toda chapa empotrada está fija.


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2.9. Desplazamiento relativo entre dos chapas

En el estudio realizado hasta ahora, se ha tomado una sola chapa, en adelante se conside-ran sistemas formados por un número cualquiera de chapas:

Figura No.2.10. Representación gráfica del desplazamiento relativo entre dos chapas

La figura No. 2.10, muestra dos chapas 1 y 2 con sus respectivos polos absolutos de ro-tación O1 y O2. Se consideran los puntos i perteneciente a 1 y j a 2. Al rotar las chapas 1 y 2 alrededor de sus polos, los puntos i de 1 y j de 2 experimentan los desplazamientos indicados en dirección normal a las rectas determinadas, respecto a los polos de rotación y de acuerdo al sentido de la rotación, presentando particularmente componentes verticales de desplazamiento Vi y Vj respectivamente. Con estas componentes verticales de desplazamiento de los puntos, es posi-ble graficar los diagramas de componentes verticales de desplazamiento de las chapas; uniendo cada uno de estos desplazamientos con el polo respectivo y prolongado en el dominio de cada chapa, como se ha visto anteriormente y se representa en la figura 2.4.

Nótese, que a partir de las componentes verticales de desplazamiento de los puntos j de 2 e i de 1, se define una diferencia de desplazamientos Vji = Vj - Vi, que se conoce como despla-zamiento relativo entre los puntos i de 1 y j de 2. Adicionalmente, en la configuración desplaza-da de las chapas, se observa un punto que presenta el mismo desplazamiento, debido a la rotación de las dos chapas. A ese punto que pertenece a las dos chapas y se caracteriza por experimentar igual desplazamiento, en magnitud, dirección y sentido, por efecto de la rotación de las dos cha-pas, se le conoce como polo relativo de rotación, y se denota como O12. Es preciso establecer, que el polo relativo O12 para que presente el mismo desplazamiento en magnitud, dirección y sentido, debido a la rotación de las chapas vinculadas por él, debe estar alineado con los polos absolutos O1 y O2 de las chapas 1 y 2. Este importante resultado, se ha convenido en establecer como un


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teorema:

Primer teorema:

Los polos absolutos de rotación de dos chapas consecutivas y el polo relativo que las une, se encuentran alineados.

El cumplimiento de este teorema se muestra en los siguientes esquemas:

Primer teorema

Lo planteado anteriormente para componentes verticales de desplazamiento, obviamente, también puede establecerse para las componentes horizontales.

En este mismo análisis, se considera ahora que a la configuración desplazada obtenida an-teriormente, se le imprime una rotación - 1; con ello la chapa 1 pasa a estar fija y por tanto a estar representada sobre el eje donde se definen todos los puntos fijos, y la chapa 2 experimenta en una rotación 1212 alrededor de O12, quedando en consecuencia representados los desplazamientos, relativos de los puntos de la chapa 2 con respecto a la 1. Esto permite esta-blecer por una parte, que los desplazamientos relativos de una chapa; respecto a otra, se pueden estudiar considerando una de ellas fija, y por otra, cuando una chapa está fija, la chapa vinculada con ella, rota alrededor del polo relativo entre ellas. La primera consideración es utilizada más adelante, para el estudio de la vinculación interna entre chapas y la segunda se ha convenido en expresar mediante un teorema:

Segundo teorema:

Cuando una chapa está fija, el polo relativo que la vincula con otra chapa, pasa a ser un polo absoluto de rotación de la otra chapa.

Una aplicación de este segundo teorema se encuentra en un caso como el indicado a conti-nuación:


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Segundo teorema

Por vinculación externa la chapa 1 está fija, entonces; aplicando el segundo teorema se tiene que O12 pasa a ser 02.

De acuerdo con Landa, una consecuencia importante de lo anterior es la siguiente:

“Si en un polo relativo entre chapas, se localiza el polo absoluto de rotación de cual-quiera de las chapas, que a él concurren, éste será polo de rotación de todas y cada una de las chapas concurrentes en ese polo relativo:”

En el estudio realizado, se ha considerado que a cada dos chapas les corresponde un polo relativo de rotación, interesa determinar el número de polos relativos que corresponden a “m” cha-pas.

Se establece que el número N de polos relativos de rotación entre m chapas, viene dado por el total de combinaciones diferentes que pueden realizarse de dos en dos chapas con las m cha-pas, así:

N Ec. 2.9

2

)1(

2

mmm


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La ecuación No. (2.9), se verifica para m = 2, resultando N = 1. Al considerar tres chapas, es decir, m = 3, de la aplicación de la ecuación No. (2.9) resulta un número de polos de rotación N = 3.

Considere ahora el un conjunto formado por tres chapas 1, 2 y 3, como se muestra:

En este sistema correspondiente a un N = 3, se conviene en considerar lo siguiente: los po-los relativos O12 y O2 están localizados en las articulaciones reales que vinculan internamente a las chapas, faltando por ubicar el polo relativo O13.Sí la chapa 2 se toma fija por el segundo teorema, que O12 pasa a ser O1 y O23 pasa a ser O3. Ahora bien por el primer teorema, el polo relativo O13 se encuentra alineado con los polos absolutos O1 y O3, esto define la dirección para el tercer polo relativo O13.

El resultado obtenido de este análisis se expresa mediante un teorema:

Tercer teorema:

Los polos relativos entre cada tres chapas están alineados.

2.10. Vinculación interna entre dos chapas

La vinculación interna entre dos chapas, sé estudia a partir de las restricciones de movi-miento relativo, impuestas a los puntos de una de las chapas respecto a la otra, considerada fija, como se desprende del estudio realizado en la sección 2.9.

Una chapa referida a otra (tomada como fija) en completa libertad de movimiento posee 3 grados de libertad, como se presenta:


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Dependiendo del número de restricciones que imponga la vinculación interna que se esta-blezca entre las chapas 1 y 2, a las tres posibilidades de movimiento relativo de la chapa 2 con respecto a la 1, el vínculo interno será de 1ra, 2da o 3ra especie. Se considera a continua-ción cada uno de estos casos:

La chapa 2 se vincula a 1 mediante la barra rígida b1; bajo esta condición, la rigidez de b1 le impide a la chapa 2 la traslación relativa en su dirección y le permite moverse en dirección perpendicular a ella y rotar relativamente respecto a 1. A la chapa 2, le queda impedida una de las tres posibilidades de movimiento relativo que inicialmente tenía, quedando establecida en este caso la vinculación interna de 1ra especie. Se considera a continuación la vinculación interna defi-nida por dos barras rígidas. Caso en el que las chapa 1 y 2 se vinculan internamente por dos barras rígidas que se cortan en un lugar propio:

Del estudio realizado en la vinculación externa (sección 2.8), se deriva exactamente el com-portamiento que manifiesta, en este caso, 2 con respecto a 1 fija. A 2 le están impedidas las dos traslaciones y le queda la posibilidad de rotar relativamente con respecto a 1 y esa rotación


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relativa la realiza alrededor del punto de intersección, de las dos barras rígidas b1 y b2; de allí, que en ese punto se ubique el polo relativo de rotación entre las chapas 1 y 2. Se nota que la inter-sección de esas barras puede ocurrir dentro o fuera del dominio de las chapas, así como se indica:

A este vínculo interno de 2da especie se le conoce como vínculo interno ficticio propio. El vínculo interno definido por las dos barras rígidas que se intersectan, al permitirle a 2 respecto de 1, sólo la rotación relativa y al restringir las dos traslaciones, representa la vinculación interna de 2da especie. Este tipo de vinculación interna se presenta también cuando las chapas se vincu-lan mediante una articulación interna propia o articulación real, como se muestra:

Articulación real

De allí, que a la "vinculación ficticia propia" también se le conoce por "articulación ficticia propia".

Otro tipo de vinculación interna de 2da. especie se presenta cuando las dos barras rígidas b1 y b2 son paralelas:


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En este caso, 2 sólo puede trasladarse relativamente con respecto a 1 en dirección per-pendicular a las barras rígidas, quedándole impedidas la traslación en dirección de las barras rígi-das y la rotación relativa, por lo tanto; el vínculo interno que estas barras paralelas define, es un vínculo interno de segunda especie, al restringirle a 2 dos de las tres posibilidades de movimiento relativo que ella tenía en completa libertad con respecto a 1.

Visto, que 2 sólo se traslada relativamente con respecto a 1, puede afirmarse que el polo relativo de rotación entre las dos chapas vinculadas por dos barras paralelas, se encuentra en el infinito, en dirección perpendicular a la de traslación o lo que es equivalente, en la dirección de las barras que definen este tipo de vinculación interna de segunda especie:

A este vínculo interno de 2da. especie también se le conoce como vínculo ficticio impropio, o articulación ficticia impropia.

El vínculo interno de 3ra. especie, se define cuando las dos chapas son vinculadas mediante tres barras rígidas que no sean las tres ni paralelas, ni concurrentes, así:

Esta vinculación le restringe a 2 todas las posibilidades de movimiento relativo respecto a 1, es decir, la fija. Por tal razón; cuando dos chapas se vinculan internamente mediante tres barras rígidas, que definen una vinculación interna de tercera especie efectiva, se establece que


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ellas forman una sola chapa, una sola formación rígida:

Cuando las tres barras rígidas son las tres concurrentes o paralelas, la chapa 2 no esta impedida de moverse con respecto a 1 quedando representada en este caso una vinculación interna aparente:

Bajo esta condición, a 2 le queda la posibilidad de rotar relativamente con respecto a 1, alrededor del punto de intersección de las tres barras b1, b2 y b3.

Mediante esta condición, 2 puede trasladarse relativamente respecto a 1 en dirección perpendicular a las barras b1, b2, b3. En ambos casos, la tercera barra rígida es inefectiva como vínculo, pues no se logra la fijación de 2 con respecto a 1 .

También, internamente se presenta vinculación de tipo redundante cuando, estando 2 fija con respecto a 1 se introduce una cuarta barra que no se requiere para la fijación de 1 :


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La cuarta barra b4 que no se necesita para fijar a 2, se conoce como barra o vínculo interno redundante. Obviamente este sistema continuo formando una sola chapa.

Es preciso destacar, que el sistema considerado arriba, con vinculación interna redundante, es equivalente a dos chapas doblemente articuladas, que pudieran también representarse de la forma:

Dos chapas vinculadas mediante dos articulaciones reales, formando dos chapas doblemen-te articuladas, corresponden al caso de vinculación redundante considerado. Lo anterior, permite afirmar:

“Dos chapas doblemente articuladas forman una sola chapa y definen vinculación in-terna de tipo redundante”.

2.11. Cadenas de chapas.

Una cadena de chapas, es un sistema constituido por un conjunto de chapas o láminas en un plano, vinculadas entre sí, mediante vínculos internos de 2da. especie o articulaciones: reales, ficticias propias o impropias. Por ejemplo, el sistema mostrado en la figura No. 2.11, es por defini-ción, una cadena formada por siete chapas:

Figura No. 2.11.- Cadena de chapas


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Clasificación de Cadenas de Chapas.

Las cadenas de chapas, según el contorno de las chapas, pueden clasificarse en; abiertas, cerradas y mixtas. La cadena mostrada en la figura No. 2.11, por la configuración que la forman, se determina como cadena abierta de siete chapas. Se muestran a continuación en forma esquemáti-ca algunas cadenas abiertas, cerradas y mixtas:

Cadenas abiertas

Cadenas cerradas


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Cadena mixta

A partir de la definición de cadenas de chapas, se derivan algunos aspectos resaltantes, re-lacionados con la identificación de las cadenas de chapas, en las cuales deben considerarse las chapas vinculadas por vínculos internos de segunda especie. Así, una barra rígida, no cargada, que ha sido definida como vínculo interno de primera especie, debe ser considerada como una chapa; tres barras no paralelas ni concurrente, que definen un vínculo interno de tercera especie entre dos formaciones rígidas forman con ellas una sola chapa.

Es importante tener presente, que una barra para ser considerada vínculo, debe ser rígida y no puede estar cargada. La cadena cerrada más pequeña y simple, es la de tres chapas; pero es necesario, aclarar que ese conjunto se constituye en una sola chapa rígida, con un g= 3, siempre que las articulaciones entre ellas no estén en línea recta (alineadas), como se muestra a continua-ción:

Lo expresado anteriormente se demuestra, aplicando el procedimiento cinemático indicado a continuación, en vista de que estudio cinemático de la formación, depende del movimiento inde-pendiente de cada chapa. Considérese una de las tres chapas fijas, sí a partir de esta considera-ción es posible fijar las restantes, encontrando dos polos por chapa, entonces, el sistema está fijo y forma una sola chapa:


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Al tomar 3 fija, aplicando los dos primeros teoremas se tiene: los polos relativos O13 y O23 pasan a ser O1 y O2 respectivamente. Al considerarlos polos O1 y O12 se tiene que alineado con O1 y O12 debe estar O2, esto define a la chapa 2 fija. Fijada 2, el polo O12, pasa a ser O1 y la cha-pa 1, también resuelta fija. Se deja al lector la verificación, tomando los polos O2 y O12. En conse-cuencia, se afirma:

“Tres chapas en cadena cerrada, cuyos polos relativos no estén alineados, forman una chapa rígida que tiene tres grados de libertad”.

Un ejemplo inmediato, que se deriva de este resultado, es dado por una formación triangu-lar, sistema rígido por excelencia:

En el caso mostrado a continuación, dado por tres chapas en cadena cerrada, con polos re-lativos alineados, se demuestra que esa formación, no es una sola chapa rígida, debe considerarse como tres chapas en cadena cerrada:

Nótese, que al tomar una chapa fija, no logran fijarse las restantes. Al suponer 3 fija, O13 = O1 y O23 = O2. Por la aplicación del primer teorema, los polos O1 y O12, o equivalentemente O2 y O12.

Definen direcciones para O2 y O1 respectivamente, que pasan por los polos O1 y O2 ya defi-nidos y esto no define dos polos para las chapas 1 y 2; por lo tanto, no se logra su fijación. En consecuencia, la formación analizada debe clasificarse como tres chapas en cadena cerrada.


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2.12. Grados de libertad de una cadena de chapas

En secciones anteriores, se ha determinado y considerado el número de grados de libertad que posee una chapa en completa libertad de movimientos, (g = 3). Interesa establecer el número de grados de libertad g, que posee una cadena de chapas, formada por m chapas, bajo cualquier configuración y en completa libertad de movimiento. Para ello, se propone determinar, una expre-sión general, que sea válida para cualquier tipo de cadena. Se define:

g = gm - ga Ec. 2.10

Donde:

g: Número de grados de libertad de la cadena

gm: Grados de libertad que tienen los “m” chapas al vincularse.

ga: Grados de libertad restringidos por las “a” articulaciones de la cadena.

Por lo visto anteriormente, gm = 3m, y la ecuación (2.10) se convierte en:

g = 3m - ga Ec. 2.11

Para obtener la expresión buscada, debe evaluarse ga, considérese una articulación Oij, cualquiera donde se vinculan mi chapas y sea:

gi: Número de grados de libertad restringido por la articulación Oij.

Por consiguiente:

a

ga = ∑ gi Ec.2.12

i = 1

Para determinar el número de grados de libertad gi, restringidos por la articulación Oij, se considera, como se dijo, que a la articulación Oij se vinculan mi chapas:


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La cantidad gi, se obtiene restando los grados de libertad que tienen las mi chapas, antes de vincularse a Oij (3mi), de los grados de libertad que le quedan al sistema, una vez vinculadas las mi chapas a Oij (una rotación por cada chapa más las dos traslaciones), es decir:

gi = 3mi – (mi + 2) =2 (mi – 1) Ec. 2.13

Al sustituir la ecuación (2.13) en (2.12) se obtiene:

a a

ga = 2(mi – 1) = 2 mi – 2a Ec 2.14

1i 1i

Al sustituir la ecuación (2.14) en la (2.11) se tiene, finalmente:

a a

2(3 mg mi )2a = 223 am mi Ec. 2.15

1i 1i

Donde:

g: Número de grados de libertad de la cadena

m: Número de chapas de la cadena

a: Número de articulaciones en la cadena

mi Número de chapas que concurren a cada articulación.


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“La ecuación (2.15), suministra la expresión general que permite calcular, los grados de libertad que tiene una cadena de chapas, bajo cualquier configuración: abierta, cerrada, mixta, en completa libertad de movimiento:

Para ilustrar su aplicación, se considera el siguiente ejemplo:

Al aplicar la fórmula general de la ecuación (2.15), para determinar así el número de grados de libertad que la cadena mostrada posee, se tiene entonces:

m = 9

m = 8

mi = 2+2+2+3+2+2+2+2 = 17

g = 3x9+2 x 8 – 2x(17) = 9

El resultado obtenido indica, que la cadena mixta considerada tiene 9 grados de libertad en completa libertad de movimiento.

A partir de lo visto anteriormente, es posible deducir dos expresiones particulares muy senci-llas, que pueden utilizarse en el caso de cadenas abiertas y cerradas, bajo la estricta consideración de que a todas las articulaciones de la cadena, sólo se vinculen dos chapas, es decir, el término mi siempre sea igual a dos. Bajo esta condición especial, de las ecuaciones (2.13) y (2.12) se tiene:

gi = 2(mi - 1) = 2 Ec. 2.16

ga = 2a Ec. 2.17

Por lo tanto, la ecuación (2.11), toma la siguiente forma:

g = 3m-2a Ec. 2.18

La ecuación (2.18), permite calcular los grados de libertad de una cadena abierta o cerrada, bajo la condición muy particular de mi = 2 constante.

Al considerar que en las cadenas abiertas bajo condición mi = 2 constante en el número “a” de articulaciones es siempre igual a (m – 1), como se aprecia a continuación:


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m = 3

a = m – 1 = 2

De la ecuación (2.18) resulta:

g = 3m – 2(m - 1) = m + 2 Ec.2.19

En las cadenas cerradas, bajo la condición mi = 2 constante, el número de articulaciones es siempre igual a m, por ejemplo:

m = 5

a = m = 5

Luego a partir de la ecuación (2.18) se tiene:

g = 3m – 2m = m Ec. 2.20

Las ecuaciones (2.19) y (2.20), suministran expresiones particulares para el cálculo de los grados de libertad de cadenas de chapas abiertas y cerradas con mi = 2 constante.

Estas ecuaciones (2.19) y (2.20), resultan muy sencillas y de mucha utilidad, pero es nece-sario destacar que sólo pueden usarse para calcular los grados de libertad de cadena abiertas y cerradas bajo la condición especial de que a todas y cada una de las articulaciones de la cadena, sólo lleguen dos chapas; es decir mi = 2 constante.

Nótese que en el caso de las cadenas abiertas o cerradas, que no cumplan con esa condi-ción y obviamente para el caso de cadenas mixtas, “g” deberá calcularse aplicando la fórmula ge-neral dada por la ecuación (2.15).


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2.13. Determinación cinemática de un sistema

En la sección anterior, se estableció la manera de calcular los grados de libertad de cual-quier cadena de chapas.

Ahora bien, esas cadenas de chapas, que se han considerado sin restricción de movimien-tos impuestas por vinculación externa, en realidad están vinculadas externamente al sistema de referencia fijo la tierra, como se indica esquemáticamente:

Cadena abierta de cuatro chapas g = 6

Cada vínculo externo o apoyo, suministra un número de restricciones según sea su especie; al número total de restricciones impuestas por la vinculación externa se le denota como “r” y su determinación se realiza por simple conteo.

Entonces, en un sistema definido por una chapa o una cadena de chapas cualquiera, cono-cidos sus grados de libertad g y determinado r, por simple conteo de restricciones impuestas por la vinculación externa, puede evaluarse la relación g – r, cuyo resultado puede ser mayor, igual o menor que cero, esto es: g-r>0, g-r = 0, g-r< 0.

Obviamente, el caso g - r > 0 se presenta cuando el sistema posee más grados de libertad, que restricciones de vínculo externo.

En el caso g - r = 0, cuando los grados de libertad y las restricciones externas son iguales y, el caso g - r < 0, cuando las restricciones externas superan a los grados de libertad del sistema. Esto establece, una clasificación de los sistemas desde el punto de vista cinemático, como se indi-ca:

Sistema cinemáticamente indeterminado

g - r > = 0

Sistema cinemáticamente determinado

g - r = 0

Sistema cinemáticamente sobredeterminado

g - r < 0


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Se revisa esta clasificación, considerando la viga simple que forma una sola chapa, de figura la No. 2.12, bajo algunas condiciones de apoyo:

g = 3 g – r = 1

(a) r = 2 > Sistema cinemáticamente

indeterminado.

g = 3 g – r = 0

(b) r = 3 > Sistema cinemáticamente determinado.

g = 3 g – r = 0

(c) r = 3 > Sistema cinemáticamente determinado.

g = 3 g – r = 0

(d) r = 4 > Sistema cinemáticamente

sobredeterminado.


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g = 3 g – r = 0

(e) r = 4 > Sistema cinemáticamente sobredeterminado.

Figura No. 2.12. Determinación cinemática de un sistema

Analizando los casos considerados e indicados en la figura No. 2.12., se tiene:

La viga (a), se muestra como un sistema cinemáticamente indeterminado con una diferencia g – r > 0, puede rotar alrededor del punto fijo y es por lo tanto inestable, al quedarle esa posibilidad de movimiento.

“Los sistemas cinemáticamente indeterminado, son definidos inmediatamente como inestables, este tipo de estructura no tiene los vínculos necesarios para fijarla o estabilizar-la.”

Nótese, que un sistema plano con un g = 3, necesita tres componentes de reacción como condición necesaria, aunque no siempre sean suficientes.

La viga (b), representa un sistema cinemáticamente determinado con diferencia g – r = 0 y por vinculación externa está fija. Nótese que para un g = 3, la viga cuenta con las tres restricciones de vínculo externo necesarias para fijarla.

La viga (c) representa también, como en el caso (b), un sistema cinemáticamente determi-nado; sin embargo, las tres componentes de reacción tienen líneas de acción paralelas, que defi-nen vinculación externa aparente, permitiendo que la viga quede con una posibilidad de movimien-to y no fija.

Se observa, que a pesar de tener la viga (c) las tres restricciones de vínculo necesarias para su fijación, ellas no son suficientes; esto hace que el sistema sea inestable.

En el caso correspondiente a la viga (d), se observa que está clasificado como un sistema cinemáticamente sobredeterminado, pues, g – r < 0. A partir de los conceptos impartidos, se dedu-ce que la viga (d) está fija, por el mismo hecho de tener un empotramiento en su vinculación exter-na; luego la otra restricción externa representa la vinculación redundante.

Por último, la viga (e), también se clasifica desde el punto de vista cinemático, como sistema sobredeterminado, pero a diferencia del caso (d), la vinculación externa que posee no la fija, ya que le permite desplazarse en la dirección indicada por los rodillos. Luego, la viga no está impedida totalmente en sus posibilidades de movimiento, también está presente en este caso, la vinculación aparente como en el caso (c).


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El análisis realizado anteriormente, permite establecer condiciones muy importantes que tie-nen que ver con la definición de la estabilidad de los sistemas considerados (una chapa o una ca-dena de chapas):

“Se necesitan como mínimo, tantas condiciones de vínculo externo para estabilizar el sistema, como grados de libertad tenga, pero esto no implica necesariamente estabilidad; de allí que ésta sea considerada condición necesaria, pero no suficiente para la estabilidad del sistema.”

Esto permite establecer que sistemas con:

g – r > 0 = > Inestables

g – r 0 = > Aparentemente estables

Lo expresado anteriormente en estas condiciones es, por consiguiente, la condición necesa-ria no es suficiente para la estabilidad del sistema.

Nótese, a partir de los casos analizados e indicados en la figura No. 2.12, que aquellos sis-temas para los cuales la diferencia g – r 0 y han resultado inestables, es debido a presencia de vinculación aparente. Casos como estos, donde el sistema presenta inestabilidad geométrica, pue-den convertirse en estables con sólo modificar la disposición de los apoyos aparentes que en ellos existan.

Para el caso (c), por ejemplo, la viga inestable geométricamente se convierte en estable si, su condición de vínculo es cambiada por:

g = 3 > r = 3 > g - r = 0 Sistema cinemáticamente determinado estable.

2.14. Estabilidad cinemática de un sistema

Los sistemas considerados se definen como cinemáticamente estables, cuando cumpliendo con la condición necesaria, se encuentren fijos o estabilizados. Si el sistema está formado por una sola chapa, se considera fijo si tiene dos polos de rotación. Por consiguiente, si se trata de una cadena de chapas, para que sea estable todas y cada una de sus chapas, deben tener dos polos rotación, o sea, todas deben estar fijas. Esta representa la condición suficiente para la estabilidad del sistema.


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Todo lo expuesto hasta ahora, permite en forma general establecer algunos pasos que de-ben seguirse para determinar la estabilidad cinemática de las estructuras:

Identificar el sistema (chapa o cadena de chapas), tratando de configurar el menor número de chapas, y clasificar el tipo de formación de acuerdo ésta configuración.

Determinar los grados de libertad g del sistema, haciendo uso de la ecuación, (2.1), (2.15), (2.19), o (2.20), según corresponda.

Contar las restricciones impuestas por la vinculación externa y calcular la diferencia g – r.

Clasificar cinemáticamente el sistema a la diferencia g-r:

g – r > 0 Sistema inestable

g – r 0 Sistema aparentemente estable

“De resultar el sistema aparentemente estable (condición necesaria), definir su estabi-lidad, estableciendo la condición suficiente para ello. Será estable si, todas las chapas tie-nen dos polos de rotación, lo que significa que están todas fijas, de lo contrario será inesta-ble.”

Dada la importancia de este análisis, es conveniente detallar más específicamente, las con-diciones establecidas para determinar la estabilidad de los diferentes tipos de cadenas que tienen “g” o más vínculos externos, o sea, una diferencia g – r 0, satisface la condición necesaria de la estabilidad aparente.

2.14.1. Estabilidad cinemática de cadenas abiertas

En una cadena cinemática abierta aparentemente estable, se asegura su estabilidad estu-diando los polos de rotación:

Cadenas cinemáticas abiertas inestables: Cuando sólo se puede conseguir un polo ab-soluto de rotación, para cada chapa de la cadena o no logran fijarse todas las chapas.

Si al menos una chapa de la cadena está en condición inestable, como lo postulado, no es aplicado solo a una parte de la estructura sino a toda ella en conjunto, la estructura es inesta-ble.

Cadenas cinemáticas abiertas estables: Cuando se consigue más de un polo de rota-ción para todas y cada una de las chapas de la cadena.

2.14.2. Estabilidad cinemática de cadenas cerradas y mixtas.

Una cadena cinemática cerrada o mixta aparentemente estable como condición necesaria, pero no suficiente, será estable cuando se consiga más de un polo de rotación para todas sus cha-pas, en el caso contrario será inestable. Alternativamente, la estabilidad de estos tipos de cadenas se puede estudiar buscando un solo polo de rotación para cada chapa, cosa que no implica inesta-bilidad en la cadena, y comprobando compatibilidad de movimientos. Según esto, se tendrá:


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Cadena cinemática cerrada o mixta inestable: Cuando es aparentemente estable, se consiga un polo de rotación para cada chapa y la cadena tenga compatibilidad de movi-mientos (dirección, sentido, magnitud).

Cadena cinemática cerrada o mixta estable: Cuando es aparentemente estable, se con-siga un polo de rotación para cada chapa y la cadena tenga incompatibilidad de movimien-tos. Se insiste en el hecho que si una cadena cinemática cerrada o mixta, tiene más de un polo de rotación, para cada chapa no es necesario el estudio de la compatibilidad de mo-vimientos para decretarla estable, como se indicó inicialmente.

Estudio de la compatibilidad del movimiento: Debido a que la estabilidad de las cade-nas cerradas y mixtas, puede estudiarse como se ha indicado, buscando un polo por chapa y comprobando la compatibilidad de movimientos, resulta inmediato aclarar el significado y procedimiento para realizar el chequeo de esa compatibilidad de desplazamientos en la cadena:

Una vez hallado un polo de rotación para cada chapa, por ser una formación cerrada o mixta (que tiene parte cerrada) puede hablarse de un punto de cierre P. C., el cual es ubicado apropia-damente en un polo relativo; seguidamente se imprime una rotación infinitesimal, alrededor de su polo a una de las chapas de la cadena vinculada al P.C.

Al observar como se desplaza el P.C., debido a esa rotación. Inmediatamente, se traslada el desplazamiento a través de la cadena, se distinguen especialmente los desplazamientos de los polos relativos, hasta llegar en formación cerrada al desplazamiento experimentado por el P.C., debido a la rotación de la otra chapa vinculada con él.

Entonces podrá establecerse si en el P.C. se produce incompatibilidad o compatibilidad de desplazamientos. Debe recordarse que cualquier tipo de incompatibilidad se traduce en estabilidad de la cadena y la compatibilidad de desplazamientos manifiesta en el P.C., en dirección, sentido y magnitud, indica que la cadena tiene posibilidades de movimiento, luego es inestable desde el punto de vista cinemático.

Este procedimiento alternativo para cadenas cerradas o mixtas, puede resumirse en los si-guientes pasos:

Buscar un polo por chapa

Definir el punto de cierre (P.C.)

Dar rotación infinitesimal a una de las chapas vinculadas al P.C., e indicar el desplaza-miento experimentado por el P.C., debido a esa rotación.

Trasladar los desplazamientos en formación cerrada y secuencia contraria a la chapa vin-culada al P.C.

Indicar el desplazamiento producido en el P. C., debido a la rotación de la otra chapa vin-culada a él.

Observar los desplazamientos en el P. C. incompatibilidad de desplazamientos en direc-ción o sentido cadena estable. Compatibilidad de desplazamientos en dirección y sen-tido, no implican necesariamente inestabilidad de la cadena, debe chequearse las magni-tudes. Si los desplazamientos en el P. C., resultan compatibles, también en magnitud, en-tonces existe compatibilidad de desplazamientos cadena inestable.

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