UNIDAD 1 PROCESOS INFINITOS Y LA NOCIÓN DE LÍMITE

Propósitos. Explorar diversos problemas que involucren procesos infinitos a través de la manipulación tabular, gráfica y simbólica para propiciar un acercamiento al concepto de límite. En la Unidad siguiente, pretendemos que: • Resuelvas problemas de diversos contextos que involucran en su solución, procesos infinitos. • Utilices las representaciones gráfica, tabular y algebraica de un proceso infinito para analizar su

comportamiento en cuanto a: cómo cambia la variable, qué comportamiento sigue, cuáles son los valores siguientes, qué tan parecidos son y a la larga, cómo son éstos.

• Utiliza procedimientos aritméticos para resolver problemas que involucran procesos infinitos. • Reconoce características de los procesos infinitos utilizando diversas representaciones: material concreto,

diagramas, gráficas, tablas o explicaciones verbales. • Reconoce un proceso como una acción que produce un resultado, este proceso será infinito cuando se

pueda producir siempre un resultado más. • Distingue un proceso infinito de uno que no lo sea. • Resuelve problemas de diversos contextos que involucran en su solución, procesos infinitos. INTRODUCCIÓN. En esta primera unidad centraremos nuestra atención en el concepto de límite, para lo cual iniciaremos con el estudio de los procesos infinitos, su tendencia, estabilización, reconocimiento de patrones, predicción de comportamientos y resultados, mediante el tratamiento tabular, gráfico y algebraico. Los ejemplos y situaciones que trataremos de los procesos infinitos nos servirán para ir construyendo el concepto de límite, así como la compresión y manejo de su notación.

Iniciemos recordando la manera en que podíamos expresar un número racional en su forma decimal, por ejemplo nos hacían realizar ejercicios como los siguientes;

Escribe en su forma decimal los números racionales

12,1575,225

al efectuar la división respectiva, los resultados son:

12= 0.5,

1575

= 0.2,225

= 0.08

En estos casos la expresión decimal es finita, se termina, pero cuando nos planteaban la misma pregunta para números racionales como;

13,514,781

los resultados nos sorprendían ya que no podíamos terminar la división, la expresión decimal, no se termina, la división continuaba y en algún momento decíamos, hasta aquí, pero observamos algo que es muy importante, en el proceso de dividir, a partir de cierto número de dígitos, estos se volvían a repetir, encontrábamos lo siguiente:

!!= 0.3333333⋯

2

!!"= 0.357142857142857142⋯

!!"= 0.0864197530864⋯

En el primer caso, aparecía el número 3 indefinidamente, en el segundo aparece todo un bloque

de decimales que se repiten, en este caso el bloque es: 714285, lo mismo ocurre en el tercer caso. Decimos que estos números tienen una expansión decimal infinita.

Con el fin de ir creando un lenguaje común, hagamos las definiciones siguientes:

Definiciones:

a) Un proceso es una acción que produce un resultado. b) Un proceso es infinito si cada vez que se realiza la acción se puede realizar otra. c) Un proceso es finito si en algún momento la acción termina.

Por ejemplo, se tiene un número entero positivo, digamos 1, le aplicamos la acción de sumar

otro uno. 1, 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 1 = 4,⋯  

Como a la acción sumarle uno se puede seguir realizando, este proceso será infinito, también

cada resultado de la suma es diferente a las sumas anteriores, por lo que el conjunto resultante es infinito1.

Claro que también se tiene un proceso infinito cuando tenemos la suma de cero,

4   +  0   =  4, 4   +  0   =  4, 4   +  0   =  4, 4   +  0   =  4,⋯ .   lo cual obviamente es igual a 4 en cada acción. Este proceso tiene como diferencia con respecto al anterior, que cada nueva suma que se realiza no modifica el resultado, en este caso el conjunto resultante, no es infinito.

Existen otros números cuyas representaciones decimales también son infinitas, como 2, y que

se pueden también representar como el resultado de un proceso infinito. Recordarás que !! y 2 tienen

una diferencia fundamental cuando se hace su desarrollo decimal. ¿Recuerdas cuál es esa diferencia? Ahora, te invitamos a realizar cuidadosamente cada una de las actividades siguientes. Te

recomendamos que después de hacerlas, o bien mientras la efectúas, intercambies puntos de vista con tus compañeros, y corroboren sus resultados.

 

PROCESOS INFINITOS. Ejemplo 1. Considera el proceso siguiente en el cual se muestran las primeras cuatro acciones a las que le llamaremos pasos. Determina si es infinito o no.

5, 5 5, 5 5 5 , 5 5 5 5 ,...

1 No se debe de confundir, proceso infinito con conjunto infinito. Un conjunto infinito es aquel que se le puede asociar una biyección entre él y un subconjunto propio, nota de redacción.

3

Solución. En el primer paso debemos calcular la raíz de cinco, es decir, 5~2.236067977

(aproximación a 9 dígitos). En la segunda acción debemos calcular 5 5~3.343701525 cuya aproximación a 9 dígitos es; 3.343701525, a cada nueva acción se le multiplica por cinco y se vuelve a extraer la raíz cuadrada, como se puede hacer la acción siguiente, este proceso es infinito. Ejemplo 2. Evalúa la función 𝑎 𝑛 = 𝑛! para sus primeros ocho valores, con 𝑛 un número natural. Escribamos los primeros ocho valores de la función y resumamos los resultados en la tabla siguiente a los que llamaremos términos de la función.

𝑛 1 2 3 4 5 6 7 8 𝑎(𝑛) 1 4 9 16 25 36 49 64

El ejercicio nos indica que debemos evaluar a la función en sus primeros ocho valores, la acción

termina al evaluar a la función para 𝑛 = 8, por lo que el proceso es finito.

En la literatura matemática a las funciones que tienen como dominio a los números naturales se les llama sucesiones y se expresan con las letras iniciales del alfabeto, como; 𝑎, 𝑏, 𝑐  ⋯ su notación funcional como 𝑎! en lugar de 𝑎(𝑛) , así en el ejemplo anterior, tendríamos como primer término 𝑎 1 = 𝑎! = 1, como segundo término 𝑎 2 = 𝑎! = 4 y así sucesivamente.

ACTIVIDADES. Actividad 1. Considera un segmento de longitud uno. El proceso consiste en considerar la mitad del segmento como primer paso y después la mitad del segmento restante, como segundo paso, así sucesivamente se toma la mitad de lo que va quedando. ¿Si suponemos que siempre le es posible tomar la mitad siguiente, tomaremos en algún momento todo el segmento? 1. Traza un dibujo que represente lo que va ocurriendo.

2. Después del primer paso ¿cuánto camino ha recorrido? ___________________________________

3. ¿Cuánto recorrió en el segundo paso? _________________________________________________ 4. ¿Cuánto lleva recorrido en el segundo paso?____________________________________________ 5. Para continuar con el proceso y analizar lo que ocurre, completa la tabla siguiente:

Número de paso (𝑛)

Longitud del segmento tomado (𝑎!)

Longitud total del segmento tomado (𝑆!)

1 12

2 12+

14 =

34 = 0.75

3

4

5

4

6

7

8

6. Generaliza y obtén una fórmula para 𝑎!._________________________________

7. Ahora, con el fin de obtener la fórmula para 𝑆! te sugerimos que completes las sumas, observa el

resultado:

𝑆! =!!,  𝑆! =

!!+ !

!!= !

!, 𝑆! =

!!+ !

!!+ !

!!= !

!, 𝑆! =

!!+ !

!!+ !

!!+ !

!!= !"

!"

𝑆! =!!+ !

!!+ !

!!+ !

!!+ !

!!=_________, 𝑆! =  ____________________________ ⋯

𝑆! = __________________________________________ Cuando obtengas el último resultado, verifica la fórmula para los valores de 𝑛 que encontraste en la tabla.

8. ¿Si fuera posible que pudieras tomar siempre la mitad siguiente, llegaría a recorrer la unidad?

_____________________________.

Como observaste, la longitud del camino recorrido en cada salto está dada por los números:

!!. !!, !!,⋯,

en donde los denominadores son potencias de 2, por lo que en el enésimo salto recorre la distancia !!!.

Los términos: 𝑎! =!!, 𝑎! =

!!, 𝑎! =

!!, 𝑎! =

!!",⋯,  forman una sucesión infinita, la cual se puede

representar como: !!!

o bien 𝑎! .

Además de la tabla, podemos hacer una representación gráfica en un plano cartesiano, colocando en el eje de las abscisas los valores de la variable  𝑛 y en el de las ordenadas los de 𝑎!. 9. En la siguiente gráfica coloca todos los puntos que te sea posible realizando las tabulaciones que te

falten.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 0.8 0.6 0,4 0.2

𝑎!

𝑛  

5

10. Tanto en el registro tabular como en el gráfico se puede observar qué ocurre con !!!

conforme 𝑛  se

hace cada vez más grande. ¿Si 𝑛  se va haciendo cada vez más y más grande,   !!!

se va acercando

más y más a algún valor?___________, en caso afirmativo ¿a qué valor?________________ ¿Si llamamos  𝐿 a ese valor y tomamos valores de 𝑛 todavía mayores que los anteriores, la diferencia

entre !!!

y 𝐿 se hace cada vez menor?______________, o dicho de otra forma, ¿!!!− L se va

acercando cada vez más a cero? __________________ ¿Siempre que hacemos lo anterior ocurre lo mismo?__________________

11. Retoma los valores que encontraste de 𝑆! y calcula otros para graficar la mayor cantidad de puntos

que puedas en el siguiente sistema de coordenadas: 12. También en este caso, tanto en el registro tabular como en el gráfico se puede observar qué ocurre

con 𝑆! conforme 𝑛  se hace cada vez más grande. ¿Si 𝑛 se va haciendo cada vez más y más grande 𝑆! se va acercando más y más a algún valor?____________, ¿a qué valor?___________ ¿Si llamamos 𝐿  a ese valor y tomamos valores de 𝑛  todavía mayores que los anteriores, la diferencia entre 𝑆! y 𝐿 se hace cada vez menor, o dicho de otra forma, 𝑆! − 𝐿 se va acercando cada vez más a cero? ________ ¿Siempre que hacemos lo anterior ocurre lo mismo?____________ . Por todo lo ello, ¿a qué es igual lim

n→∞Sn ?_________________.

Actividad 2. Los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado 1, se unen para formar un cuadrado nuevo. Este procedimiento se repite para cada nuevo cuadrado (se muestran los primeros tres pasos). Calcula la suma de las áreas de los triángulos sombreados.

Paso 1 Paso 2 Paso 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

1 0.8 0.6 0,4 0.2

𝑆!

𝑛  

6

Solución: Denotaremos por 𝑎! el área de cada triángulo en cada paso, y por 𝑆! el área total sombreada, hagamos un resumen en la tabla siguiente.

Paso Área de cada triangulo 𝑎! Área total sombreada 𝑆!

1 18

418

=12

2 132

12+ 4

132

=12+18

3 1128

12+ 4

132

+ 41128

=12+18+132

1. Realiza los pasos 4 a 6.

Paso Área de cada triangulo 𝑎! Área total sombreada 𝑆!

4

5

6

Podemos observar que:

18=12!

"#$

%&3

, 132

=12!

"#$

%&5

, 1128

=12!

"#$

%&7

,

La variable 𝑎!, área de cada triángulo, es cada vez más pequeña, decrece en !!

! en cada paso, así el

área 𝑎! se aproxima a cero, en símbolos limn→∞

an = 0

2. Por otra parte la suma de las áreas 𝑆! se hace cada vez más grande. Conjetura un valor al que se esta acercando la suma 𝑆! _____________________ para calcular la suma de manera exacta, procedamos de la manera siguiente:

Sn =12!

"#$

%&+

12!

"#$

%&3

+12!

"#$

%&5

++12!

"#$

%&2n−1

Multiplicamos por 12!

"#$

%&2

a nS

12!

"#$

%&2

Sn =12!

"#$

%&3

+12!

"#$

%&5

++12!

"#$

%&2n−1

+12!

"#$

%&2n+1

Restamos

Sn −12"

#$%

&'2

Sn =12"

#$%

&'−

12"

#$%

&'2n+1

Como Sn −12"

#$%

&'2

Sn =34Sn

Tenemos 2 13 1 1

4 2 2

n

nS+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7

En este caso −1< r = 12<1 ,

limn→∞

12#

$%&

'(2n+1

= 0

De esta manera, 𝑆! se aproxima a !!.

El procedimiento llevado a cabo en este ejercicio (para obtener el valor del límite de 𝑆!) es típico para las series geométricas, primero se obtiene su suma en términos de 𝑛 y posteriormente se calcula su límite. En los ejemplos que hemos ilustrado, se han realizado sumas de áreas en un proceso infinito, estas sumas, reciben el nombre de sumas parciales, y en general, cuando se tiene una sucesión 𝑎!, se van formando las sumas parciales de ella, de la manera siguiente: S1 = a1

S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3

.

.

. Sn = a1 + a2 + a3 ++ an Observa que las sumas parciales, forman a su vez una nueva sucesión, al límite de esta sucesión (en caso de existir), se le conoce con el nombre de serie. Esta observación nos permite hacer la definición siguiente:

El método que utilizamos para calcular las sumas de las áreas de los cuadrados se ilustra con la

conocida serie geométrica, a saber, a+ ar + ar2 + ar3 + consideremos su suma parcial 𝑆! que en este caso es: Sn = a+ ar + ar

2 + ar3 ++ arn

Multiplicando por 𝑟

rSn = ar + ar2 + ar3 ++ arn + arn+1

Las restamos

(1− r)Sn = a− arn+1 = a(1− rn+1)

Sn =a(1− rn+1)1− r

siempre que 𝑟 ≠ 1

De esta manera

Definición: La serie infinita 𝑎! + 𝑎! + 𝑎! +⋯+ 𝑎! +⋯

Se dice que tiene una suma 𝑆, si los términos de su sucesión de sumas parciales

𝑆!,𝑆!, 𝑆!,⋯ , 𝑆! ,⋯ Se acercan arbitrariamente a 𝑆 conforme el valor de 𝑛 crece indefinidamente.

8

a+ ar + ar2 + ar3 += limn→∞

Sn = limn→∞

a(1− rn+1)1− r

=a1− r

el límite es cierta siempre que 𝑟 < 1. Actividad 3. Considera a la sucesión 𝑎! = 1, 𝑎! = −1, 𝑎! = 1, 𝑎! = −1,⋯ , 𝑎! = −1 !!!,⋯.  

a) Traza una gráfica donde representes a la sucesión.

b) Determina si 𝑎! es una sucesión convergente, si lo es calcula su límite. Actividad 4. En un triángulo equilátero de área 𝐴  se unen los puntos medios de sus lados para formar 4 triángulos equiláteros, de los cuales el del centro se pinta de negro. Luego con cada uno de los triángulos restantes se hace lo mismo. Dicho proceso se repite indefinidamente. Encuentra el área sombreada al final de cada paso (A este triángulo se le conoce como el triángulo de Sierpinski, más famoso aún que su carpeta).

a) Completa la tabla procurando escribir los resultados indicando las operaciones sin efectuarlas y también efectuándolas.

b) Encuentra en el paso 𝑛 del proceso las expresiones generales para calcular el área de los triángulos.

c) Traza una gráfica del número de paso contra el área de todos los triángulos sombreados.

d) ¿Cuando 𝑛 se va haciendo más y más grande el área de los triángulos sombreados se va aproximando a algún resultado?

e) ¿Cuando 𝑛 → ∞, a qué tiende el área total? Justifica tu respuesta.

Paso 𝑛

Área de cada triángulo 𝑎!

Número de Triángulos

𝑝!

Área de los nuevos Triángulos formados

𝑇!

Área de todos los triángulos sombreados: 𝑆!

1 2

1 0.5 - 0,5 -1

𝑎!

𝑛   0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

9

3 4 5 6 7 8

𝑛

𝑛 → ∞

Actividad 5. Como en el problema anterior, considera un triángulo equilátero de área 𝐴 y une los puntos medios de sus lados para formar otro triángulo el cual se pinta de negro. Luego considera sólo uno de los triángulos restantes y haz lo mismo que en la actividad anterior. Dicho proceso se repite indefinidamente. Encuentra el área total sombreada al final de cada paso.

a) Completa la tabla procurando escribir los resultados indicando las operaciones sin efectuarlas y también efectuándolas.

b) Encuentra en el paso 𝑛 las expresiones generales que representen el proceso.

c) Traza una gráfica del número de paso contra el área de todos los triángulos sombreados.

d) ¿Cuando n se va haciendo más y más grande el área de todos los triángulos sombreados se va aproximando a algún número?

e) ¿Cuando 𝑛 → ∞, a qué tiende el área total?

Paso 𝑛

Área del triángulo sombreado: 𝑎!.

Área de todos los triángulos sombreados 𝑆!

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

𝑛

𝑛 → ∞ Actividad 6. Considera el siguiente proceso en el cual se muestran los primeros cuatro pasos:

5, 5 5, 5 5 5 , 5 5 5 5 , ...

a) Completa la tabla procurando escribir en cada paso la expresión utilizando exponentes. b) Encuentra en el paso 𝑛  la expresión general utilizando exponentes. c) Traza una gráfica del número de paso contra el resultado obtenido en tu calculadora.

10

d) ¿Cuando 𝑛  se va haciendo más y más grande el resultado de la expresión se va aproximando a algún valor?

e) ¿Cuando 𝑛 → ∞, el resultado de la expresión a qué valor tiende?

Paso 𝑛

Expresión 𝑎!

Expresión escrita con exponentes

Resultado con ayuda de la calculadora

1 5

2 5 5

3 5 5 5

4 5 5 5 5

5 6 7 8 9

10

𝑛

𝑛 → ∞

11

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO ESCUELA NACIONAL COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

HAY QUE TRABAJAR BIEN LA PRIMERA VEZ. . . PARA NO TRABAJAR DOBLE. Suzanne Cane PROCESOS INFINITOS. En los siguientes problemas, es importante que contestes a las preguntas que a continuación se enlistan

• Variación. ¿Qué es y cómo cambia la variable? • Predicción. ¿Cuál es el estado próximo? • Comparación. ¿Quién es más grande? • Seriación. ¿Quién va primero? • Promediación. ¿Qué tan parecidos son? • Acumulación. ¿Cómo cambian los cambios? • Estabilización. ¿A la larga a qué se parece?

Problemas

1. Considera un segmento de longitud 1, como el que se muestra en la figura

Queremos expresar la longitud del segmento mediante el siguiente proceso. Primero nos aproximamos con el número 0.9, después (segundo paso) le aumentamos 0.09, en el tercer paso 0.009 y continuamos este proceso, ¿el número así construido, es menor, igual o mayor a 1?

3. Una conocida leyenda sobre el inventor del ajedrez afirma que el rey de Persia

estaba complacido con el juego que ofreció un premio al inventor. El inventor dijo que quería tanto trigo como el que pudiese poner en un tablero de ajedrez colocando un grano en el primer cuadro, 2 granos en el segundo, 4 en el tercero, 8 en el cuarto y así sucesivamente hasta que todos los cuadros quedaran cubiertos. El rey pensó que era una petición extraña ¿Lo era realmente? Por ejemplo ¿cuántos granos se deberían poner en el cuadro veinticuatro?

4. Considera un segmento de línea de longitud 1, como se muestra en la figura, se

divide este segmento en tres partes iguales (de longitud un tercio cada uno) y en el segmento de en medio se trazan dos segmentos (igualmente de un tercio cada uno), en cada nuevo segmento se procede de manera similar, calcula la longitud de cada segmento y di a que longitud se aproxima el total así construido..

0 1

12

5. Un cuadrado de lado 1 se divide en 9 cuadros menores, y el cuadro central se pinta

de negro como se muestra en la figura. Cada uno de los cuadros restantes se divide, a su vez, en 9 cuadrados y cada cuadrado intermedio se pinta de negro. Si se repite este proceso indefinidamente ¿cuál será el área total pintada de negro?

6. Consideramos la siguiente situación del profesor Carlos, al comprar un automóvil

nuevo. Después de recoger su automóvil en la agencia, y al acudir por primera vez a la gasolinera pide que le llenen el tanque y le pongan un litro de aditivo. La segunda vez que acude a la gasolinera, el tanque de combustible está a la mitad y le pone otro litro de aditivo y llena el tanque de gasolina, nuevamente. La tercera vez que acude a la a la gasolinera hace lo mismo, al estar el tanque a la mitad le pone otro litro de aditivo y llena el tanque. Y así sucesivamente. ¿A La larga, cuánto aditivo va a contener el tanque de gasolina de su automóvil?

Paso inicial Primer paso Segundo paso Tercer paso.