UNIDAD 1 ALINEACION
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UPC
Ecuaciones Diferenciales
y lgebra Lineal
Unidad 1
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN -
INTRODUCCIN
Los trminos ecuaciones y diferenciales
nos hacen pensar en la solucin de ciertos
tipos de ecuaciones que contienen derivadas diferenciales.
Ecuacin con derivadas
Ecuacin con diferenciales
-
ECUACIN DIFERENCIAL
Una ecuacin diferencial (ED) es una ecuacin que relaciona a una funcin desconocida y una o ms derivadas de esta funcin con respecto a una o ms variables independientes.
Si la funcin desconocida depende de una sola variable, la ecuacin diferencial se llama ordinaria. Si por el contrario dependiese de ms de una variable, se llama parcial .
Definicin
-
EDO y EDP
EDO
EDP
-
Nuestra atencin se centrar sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. Una ecuacin diferencial ordinaria es aquella que tiene a y como variable dependiente y a x como variable independiente.
Se acostumbra expresar en la forma:
OBSERVACIN
-
El orden de una ecuacin diferencial es igual al de la derivada de ms alto orden que aparece (de manera no trivial) en la ecuacin.
ORDEN
Ejemplos:
xy + 5(y)4 = 3x6y4 es de 2do orden.
exy - y/x + sen(xy) = 0 es de 3er orden.
-
EDO LINEAL
Una ecuacin diferencial ordinaria de orden n es lineal, si se puede escribir de la forma:
donde:
son funciones de x
Una ecuacin diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no-lineal.
-
SOLUCIN DE UNA EDO
Decimos que y =(x) es una solucin de la ecuacin diferencial:
en el intervalo I si:
para todo x I.
-
EJEMPLOS
Indique si las funciones dadas son soluciones de las EDO en cierto intervalo I.
-
USO DE CLASSPAD
Utilice su calculadora para comprobar si la siguiente es una familia de soluciones de la EDO.
-
USO DE CLASSPAD
Al sustituir la familia de funciones en la EDO, se satisface la igualdad.
Luego, s es una familia de soluciones de la EDO. -
INTERVALO DE VALIDEZ
es solucin de:
Como funcin
Como solucin:
-
es solucin de:
Como funcin:
Como solucin:
Si y(0)=-1
INTERVALO DE VALIDEZ
-
SOLUCIN IMPLCITA
La relacin G(x;y)=0 se llama solucin implcita de una EDO en un intervalo I si existe alguna funcin que satisface tanto la relacin como la EDO en I.
-
EJEMPLOS
Indique si las relaciones dadas son soluciones implcitas de las EDO en I.
-
FAMILIA DE SOLUCIONES
Algunas veces, a una solucin de una ecuacin diferencial se le llama integral de la ecuacin y a su grfica curva integral o curva solucin. Como la solucin general de una ecuacin diferencial lineal de orden n tiene n constantes, se acostumbra llamarla familia n-paramtrica de soluciones y se denota por:
Esto quiere decir que una EDO tiene una cantidad infinita de soluciones que corresponden a la eleccin arbitraria de esos parmetros.
-
SOLUCIN GENERAL Y PARTICULAR
Si encontramos una familia n-paramtrica de soluciones que contiene a TODAS las soluciones de una EDO, llamaremos a esta familia solucin general de la EDO.
Dada una familia n-paramtrica de soluciones de una EDO, una solucin que se obtiene al dar valores a los n parmetros se llama solucin particular.
Observacin: Las EDO lineales siempre tienen solucin general.
-
EJEMPLOS
1) Verifique si la familia mostrada es una familia uniparamtrica de soluciones de la EDO:
2) Verifique si las siguientes funciones son soluciones de la EDO y clasifquelas como solucin particular y/o trivial.
3) Diga si la familia uniparamtrica de 1) es o no solucin general de la EDO. Por qu?
-
Un problema de valor inicial (o de Cauchy) consta de una ecuacin diferencial de orden n y de n condiciones iniciales impuestas a la funcin desconocida y a sus n-1 primeras derivadas en un valor de la variable independiente.
Es decir:
PROBLEMA DE VALOR INICIAL (PVI)
-
EJEMPLO
-
MODELACIN (Paracadas)
Por la 2da Ley de Newton:
-
Resolver los ejemplos del libro de texto de las pginas 20 a 26.
MODELACIN (varios)
-
EDO VARIABLE SEPARABLE
EDO LINEAL
EDO EXACTA
EDO HOMOGENEA
EDO de primer orden
Clasificacin -
EDO VARIABLE SEPARABLE
Repaso:
Resolver ejemplo 1 2 de la pg. 46 del Zill.
-
ECUACIN LINEAL DE PRIMER ORDEN
Una EDO de la forma:
se llama ecuacin lineal de primer orden (EDOL).
Realizando las operaciones adecuadas se escribe en la forma estndar:
-
Un factor integrante para una EDOL de primer orden es:
FACTOR INTEGRANTE DE UNA EDOL
Resolver un ejemplo de la pg 55 del Zill.
-
Definicin: La forma diferencial
es exacta en un rectngulo R, si existe una funcin f (x,y) que cumple:
para todo (x,y) en R.
A f (x,y) se le llama Funcin Potencial.
(1)
FORMA DIFERENCIAL EXACTA
-
El diferencial de f satisface:
Ejemplo: Verificar en la forma diferencial
Es f nica o no?
NOTA
-
En (1) sean M, N y sus derivadas parciales de primer orden continuas en R, luego la condicin necesaria y suficiente para que la forma diferencial sea exacta es:
CONDICIN
-
Definicin: Una EDO de la forma
se llama exacta si la forma diferencial (1) es exacta.
Ejemplo:
es exacta.
EDO EXACTA
-
MTODO DE SOLUCIN DE UNA EDO
1: Verificar si es exacta o no.
2: Si fuese exacta, hallar por integ. parcial:
-
3: Como
Derivando resolver
4: Hallar g integrando parcialmente la
expresin anterior.
5: La solucin es
MTODO DE SOLUCIN DE UNA EDO
(contina)
-
Definicin: Una funcin f(x,y) se llama homognea de grado n si:
Ejemplo:
FUNCIN HOMOGNEA
-
Definicin: La EDO
se llama homognea si M y N son ambas homogneas del mismo grado.
Con uno de los cambios siguientes y=ux x=vy , podemos convertirla en una EDO de variable separable.
(2)
EDO HOMOGNEA PRIMER ORDEN
-
Resolviendo:
EJEMPLO:
EDO de Variable Separable
Hacemos:
-
Resuelva la EDO:
USO DE CLASSPAD
-
La EDO es de variable separable. Se separan las variables y luego se integra :
USO DE CLASSPAD
-
MODELOS LINEALES
Plantear los ejemplos del 1 al 5 de las pginas 83 a 87 del texto.
Comentar los resultados (soluciones) que da el texto.
0
2
=
+
y
dx
dy
x
0
)
1
2
(
=
-
+
dy
xy
xdx
y
y
x
dx
dy
cos
2
-
=
'
'
'
'
3
y
y
y
-
=
y
x
y
w
x
w
+
=
-
2
(
)
(
)
0
;...,
;
;
;
=
n
y
y
y
y
x
F
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
10
...()
nn
nn
axyaxyaxygx
-
-
+++=
(
)
0
)
(
;
,...
0
;
=
x
a
n
k
x
a
n
k
(
)
(
)
0
;...;
;
;
;
=
n
y
y
y
y
x
F
(
)
(
)
0
;...,
;
;
;
=
n
x
F
f
f
f
f
2
/
1
4
'
:
EDO
16
1
:
funcin
xy
y
x
y
=
=
5
3
'
:
EDO
2
:
funcin
=
+
=
x
y
x
y
0
'
:
EDO
1
:
funcin
=
+
=
y
xy
x
y
x
x
Bxe
Ae
y
2
2
:
funcin
+
=
0
4
4
:
EDO
2
2
=
+
-
y
dx
dy
dx
y
d
x
x
f
y
1
)
(
=
=
0
=
+
y
y
x
{
}
0
-
=
R
domf
+
=
;
0
I
0
;
-
=
I
c
x
y
+
=
2
1
0
2
2
=
+
xy
y
{
}
1
;
1
-
-
=
R
domf
1
;
1
-
=
I
1
1
2
-
=
x
y
y
x
y
y
x
-
=
=
+
'
:
EDO
25
:
relacin
2
2
(
)
0
'
2
:
EDO
0
1
:
relacin
2
2
=
+
+
=
-
-
-
-
y
y
e
xy
e
xy
y
y
(
)
0
;...;
;
;
;
2
1
=
n
c
c
c
y
x
G
2
)
'
(
'
:
EDO
y
xy
y
+
=
2
c
cx
y
+
=
9
3
)
+
=
x
y
a
0
)
=
y
b
4
/
)
2
x
y
c
-
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
000101
;;;...
;;...;()
n
n
n
n
n
dy
fxyyy
dx
yxyyxyyxy
-
-
-
=
===
2
)
1
(
3
2
=
+
=
y
y
x
y
dv
mmgkv
dt
=-
mg
kv
2
2
dydv
Fmm
dtdt
==
)
(
)
(
)
(
0
1
x
g
y
x
a
dx
dy
x
a
=
+
)
(
)
(
'
x
q
y
x
p
y
=
+
=
dx
x
p
e
x
u
)
(
)
(
dy
y
x
N
dx
y
x
M
)
,
(
)
,
(
+
(,)
f
Mxy
x
=
(,)
f
Nxy
y
=
(,)(,)
dfMxydxNxydy
=+
dy
y
x
dx
y
x
)
2
(
)
2
(
+
-
-
2
2
2
)
,
(
2
2
y
xy
x
y
x
f
-
-
=
x
N
y
M
=
0
)
,
(
)
,
(
=
+
dy
y
x
N
dx
y
x
M
0
)
2
(
)
2
(
=
+
-
-
dy
y
x
dx
y
x
+
=
)
(
)
,
(
)
,
(
y
g
dx
y
x
M
y
x
f
-
=
dx
y
x
M
y
y
x
N
y
g
)
,
(
)
,
(
)
(
'
(,)
f
Nxy
y
=
c
y
x
f
=
)
,
(
(
)
22
,
fxyxyxy
=-+
(
)
(
)
,,
n
ftxtytfxy
=
(
)
(
)
,,0
MxydxNxydy
+=
(
)
dy
y
x
ydx
+
=
2
0
2
2
=
-
-
x
y
cy
)
(
2
y
x
y
dx
dy
+
=
)
(
2
ux
x
ux
dx
du
x
u
+
=
+
)
1
(
2
u
u
dx
du
x
u
+
=
+
dx
du
x
u
dx
dy
+
=
ux
y
=
y
x
dx
dy
3
tan
=
dx
x
dy
y
3
tan
=