unidad 1

INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE Acayucan Asignatura : Mtodos Numricos

Carrera : Ingeniera Bioqumica Clave : BQM - 0524

Docente : Ing. Ulises Girn Jimnez

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Unidad I. Anlisis de error

Objetivo El estudiante comprender la importancia de los mtodos numricos en la solucin de problemas de ingeniera. Conocer los diferentes tipos de errores que se pueden inducir al aplicar un mtodo numrico por medio de un programa computacional. 1.1. Problemas matemticos y sus soluciones. En el campo profesional de la ingeniera se requiere utilizar modelos matemticos para la prediccin y explicacin de ciertos fenmenos, un modelo matemtico imprescindible para el ingeniero son los mtodos numricos, ya que son tcnicas mediante las cuales es posible plantear soluciones a los problemas. En cualquier tipo de problema es til conocer de la manera ms rpida y comprensible para poder obtener un resultado, por tal motivo la solucin de modelos matemticos son aplicables a problemas como una herramienta muy importante. Es casi obvio, que conocer la forma de dar solucin y respuesta a un problema, cualquiera que este sea, es de gran importancia, y mejor aun cuando ste se logra con xito y siguiendo un orden adecuado que nos permita llegar hasta el final de l.

Un modelo matemtico se define como la formulacin que est expresada en una ecuacin y que representa caractersticas fundamentales de un sistema o proceso fsico en trminos matemticos.

Por modelo matemtico entendemos entonces a aquella frmula o expresin que define o rige los factores que intervienen en un fenmeno, tambin puede decirse que es una escritura de leyes, como ejemplo tenemos :

tVd *= Esta frmula nos dice que la distancia que recorre un objeto o mvil es igual a la velocidad por el tiempo del mismo, es decir es dependiente de esos factores y al incrementarse uno har una modificacin en el otro, es decir si la velocidad es muy baja o lenta en un tiempo corto, la distancia recorrida ser tambin muy poca, y viceversa, siendo aqu de gran importancia el tiempo en el que se lleve dicha velocidad. Y como lo vimos anteriormente este es un modelo matemtico. 1. Races de ecuaciones, estos problemas estn relacionados con el valor de una variable o de un parmetro que satisface una ecuacin no lineal simple. Son especialmente valiosos en proyectos de ingeniera, donde con frecuencia resulta imposible despejar de manera analtica los parmetros de ecuaciones de diseo.

Encontrar x tal que f(x) = 0 2. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales, en esencia, se trata de problemas similares a los de races de ecuaciones, en el sentido de que estn relacionados con valores que satisfacen ecuaciones. Sin embargo, en lugar de




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satisfacer una sola ecuacin, se busca un conjunto de valores que satisfaga simultneamente un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales, las cuales surgen en el contexto de una variedad de problemas y en todas las disciplinas de la ingeniera. En particular, se originan a partir de modelos matemticos de grandes sistemas de sistemas de elementos interrelacionados, tal como estructuras, circuitos elctricos y redes de flujo; aunque tambin se llegan a encontrar en otras reas de los mtodos numricos como el ajuste de curvas y las ecuaciones diferenciales.

Dadas las a y las c Encontrar :

2222121

1212111

cxaxacxaxa

=+=+

x tal que

3. Ajustes de curvas, a menudo se tendr que ajustar curvas a un conjunto de datos representados por puntos. Las tcnicas desarrolladas para tal propsito se dividen en dos categoras generales: regresin e interpolacin. La regresin se emplea cuando hay un significativo grado de error asociado con los datos; con frecuencia los datos experimentales son de este tipo. Para estas situaciones, la estrategia es encontrar una curva que represente la tendencia general de los datos, sin necesidad de tocar los puntos individuales. En contrastes, la interpolacin se utiliza cuando el objetivo es determinar valores intermedios entre datos que estn, relativamente, libres de error. Tal es el caso de la informacin tabulada. En dichas situaciones, la estrategia consiste en ajustar una curva directamente mediante los puntos obtenidos como datos y usar una curva directamente mediante los puntos obtenidos como datos y usar la curva para predecir valor intermedios.

4. Integracin. Como hemos representado grficamente, la interpretacin de la integracin numrica es la determinacin del rea bajo la curva. La integracin tiene diversas aplicaciones en la practica de la ingeniera, que van desde la determinacin de los centroides de objetos con formas extraas, hasta el calculo de cantidades totales basadas en conjuntos de medidas discretas. Adems, las formulas de integracin numrica desempea un papel importante en la solucin de ecuaciones diferenciales.




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= ba

dxxfI )(

Encontrar el rea bajo la curva. 5. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Las estas tienen un enorme importancia en la practica de la ingeniera lo cual se debe a que muchas leyes fsicas estn expresadas en trminos de razn de cambio de una cantidad, mas que en trminos de la cantidad misma. Entre los ejemplos tenemos desde los modelos de prediccin demogrfica ( razn de cambio de la poblacin ) , hasta la aceleracin de un cuerpo que cae ( razn de cambio de la velocidad). Se tratan dos tipos de problemas con valor inicial y problemas con valores en la frontera.

),( ytfty

dtdy =

Encontrar y como funcin de t.

6. Ecuaciones diferenciales parciales. Sirven para caracterizar sistemas de ingeniera, en los que el comportamiento de una cantidad fsica se expresa en trminos de su razn de cambio con respecto a dos o mas variables independientes. Entre los ejemplos tenemos la distribucin de temperatura en estado estacionario sobre una placa caliente ( espacio bidimensional ) o la temperatura variable con el tiempo de una barra caliente ( tiempo y una dimensin espacial). Para resolver numricamente las ecuaciones diferenciales parciales se emplean dos mtodos bastantes diferentes.

),(22

2

2

yxfyu

xu =

+

determine u como funcin de x y . y




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Ahora bien, dentro de las soluciones numricas, tambin se pueden presentar dos fenmenos diferentes :

Convergencia .- El valor se acerca al valor real, es decir que los valores que encontramos en nuestros procedimientos o iteraciones, tienden a acercarse cada vez ms al valor real.

Divergencia .- El valor se aleja del valor real, este fenmeno quiere decir, que nuestros valores resultantes de

varias o diferentes iteraciones tienden a alejarse o se encuentran muy disparados del valor real. 1.2. Importancia de los mtodos numricos. El objeto de estudio del anlisis numrico es la construccin y valoracin de los mtodos numricos que tienen como resultados un valor numrico. Relacin entre anlisis numrico y mtodos numricos:

Algunas de las razones por las cuales se debe estudiar los mtodos numricos son los siguientes:

Son algoritmos que establecen la secuencia de solucin de sistemas de ecuaciones de gran tamao, con caractersticas de ser no lineales y geomtricas complicadas, porque la mayor parte de los problemas reales tienen este comportamiento, y que por lo general su solucin es muy complicada a travs de mtodos analticos.

Es importante que el futuro ingeniero tenga los conocimientos bsicos de los mtodos mas comunes, ya que en

el transcurso de su carrera, tendr la necesidad de usar software comercial o implementar su propio software, que resuelvan los algoritmos de problemas reales y que estn basados sobre algn mtodo numrico.




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Con los mtodos numricos el ingeniero usara la computadora como herramienta, el cual es uno de los propsitos, porque el profesionista debe de olvidarse de los clculos, y enfocarse en el diseo y planteamiento de la solucin de los problemas.

Proporciona una mayor comprensin de las matemticas, ya que reducen las matemticas superiores a

operaciones bsicas simples. Los mtodos numricos son tcnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritmticas. Aunque hay muchos tipos de mtodos numricos, todos comparten una caracterstica comn: invariablemente los mtodos numricos lleva a cabo un buen numero de tediosos clculos aritmticos. Con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rpidas, el papel de los mtodos numricos en la solucin de problemas de ingeniera haya aumentado considerablemente en los ltimos aos. Mtodos anteriores a la aparicin de la computadora. Ms all de solo proporcionar un aumento en la potencia de calculo la disponibilidad general de las computadoras ( especialmente de las computadoras personales) y su asociacin con los mtodos numricos, ha tenido una influencia muy significativa en el proceso de solucin de problemas de ingeniera. Antes del uso de la computadora haba tres mtodos diferentes que los ingenieros aplicaban a la solucin de problemas:

1. Primero, se encontraban las soluciones de algunos problemas usando mtodo exacto o analtico. Con

frecuencia estas soluciones resultaban tiles y proporcionaban una comprensin excelente del comportamiento de algunos sistemas. Sin embargo, las soluciones analticas pueden encontrarse solo para una clase limitada de problemas. Estos problemas incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y tambin aquellos que tienen valor practico limitado, porque la mayor parte de los problemas reales no son lineales, e implican formas y procesos complejos.

2. Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones grficas. stas tomaban la forma de

grafos o nomogramas. Aunque las tcnicas grficas a menudo pueden emplearse para resolver problemas complejos, los resultados no son muy precisos. Es ms, las soluciones grficas (sin la ayuda de una computadora) son tediosas en extremo y difciles de implementar. Finalmente, las tcnicas grficas estn limitadas a aquellos problemas que puedan des-cribirse usando tres dimensiones o menos.

3. Para implementar los mtodos numricos se utilizaban calculadoras manuales y reglas de clculo. Aunque en

teora estas aproximaciones deberan ser perfectamente adecuadas para resolver problemas complicados, en la prctica se presentan algunas dificultades. Los clculos manuales son lentos y tediosos. Adems no existen resultados consistentes debido a que surgen equivocaciones cuando se efectan las tareas manualmente.

Antes del uso de la computadora, se gastaba mucha energa en la tcnica misma de solucin, en vez de aplicarla

sobre la definicin del problema su interpretacin (Fig. 1.1 a). Esta situacin desafortunada exista debido al tiempo y trabajo montono que se requeran para obtener resultados numricos con tcnicas que no utilizaban a la computadora. Hoy en da, las computadoras y los mtodos numricos proporcionan una alternativa para clculos tan complicados. Al usar la computadora para obtener soluciones directamente, se pueden aproximar los clculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificacin o tcnicas deficientes. Aunque dichas suposiciones son an extremadamente valiosas tanto para resolver problemas como para proporcionar una mayor comprensin, los mtodos numricos representan alternativas que amplan considerablemente la capacidad para confrontar y resolver los problemas; como resultado, se dispone de ms tiempo para aprovechar las habilidades creativos personales. Por consiguiente, es posible dar ms importancia a la formulacin de un problema, a la interpretacin de la solucin y a su incorporacin al sistema total, o conciencia "holstica" (Fig. 1.1 b). Def. Grafos: Representacin simblica de los elementos constituidos de un sistema, mediante esquemas grficos. Def. Nomograma Grfico a base de lneas que permite leer la solucin de clculos sin necesidad de efectuarlos




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Los mtodos numricos y la prctica de la ingeniera

Desde finales de la dcada de 1940, la multiplicacin y disponibilidad de las computadoras digitales ha llevado a una verdadera explosin en cuanto al uso y desarrollo de los mtodos numricos. Al principio, este crecimiento estaba algo limitado por el costo de acceso a computadoras grandes (mainframes), por lo que muchos ingenieros continuaban usando simples planteamientos analticos en una buena parte de su trabajo. No es necesario mencionar que la reciente evolucin de computadoras personales de bajo costo, ha dado a mucha gente un fcil acceso a poderosas capacidades de computo. Adems existen un buen numero de razones por las cuales se deben estudiar los mtodos numricos:

1. Los mtodos numricos son herramientas extremadamente poderosas para la solucin de problemas. Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometras complicadas que son comunes en la practica de la ingeniera y que, a menudo, son imposibles de resolver analticamente. Por lo tanto, amplan la habilidad de quien los estudia para resolver problemas.

2. En el transcurso de la carrera, es posible que el estudiante tenga la ocasin de usar software disponible

comercialmente que contenga mtodos numricos. El uso inteligente de programas depende del conocimiento de la teora bsica en la que se basan estos mtodos.

3. Los mtodos numricos son un vehculo eficiente para aprender a servirse de las computadoras personales. Es

bien sabido que una manera efectiva de aprender programar las computadoras es escribir los programas. Como los mtodos numricos, en su mayor parte estn elaborados para implementarse en computadoras, resultan ideales para este propsito. Aun mas, estn especialmente adaptadas para ilustrar la potencia as como las limitaciones de las computadoras.

4. Los mtodos numricos son un medio para reforzar su comprensin de las matemticas. Porque una funcin de

los mtodos numricos es la de reducir las matemticas superiores a operaciones aritmticas bsicas ya que se




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profundizan en los temas que de otro modo resultan oscuros. Esta alternativa aumenta su capacidad de comprensin en la materia.

1.3. Tipos de error El anlisis numrico proporciona mtodos computacionales para el estudio y solucin de problemas matemticos. Al derivar los mtodos numricos para la solucin de dichos problemas, analizaremos los errores presentes en esos mtodos. Debido a que muchos clculos son realizados en computadores digitales, es conveniente la discusin para la implementacin de los mtodos numricos como programas de computador. Una caracterstica de estos mtodos es que proporcionan slo resultados aproximados, por lo tanto el estudio del error es de inters central para el anlisis numrico. En la practica profesional, los errores pueden resultar costosos y en algunas ocasiones catastrficos. Se puede perder hasta la vida si una estructura o un dispositivo llega a fallar. El concepto de cifras o dgitos significativos se han desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numrico. El numero de cifras significativas es el numero de dgitos mas un digito estimado que se pueda usar con confianza. Estas cifras proporcionan informacin real relativa a la magnitud y precisin de las mediciones de una cantidad. El aumento de la cantidad de cifras significativas incrementa la precisin de una medicin. Los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar el punto decimal. Los nmeros

0.000 018 45

0.000 184 5

0.001 845




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tienen cuatro cifras significativas. La incertidumbre (duda) se puede desechar usando la notacin cientfica en donde :

4.53 x 104

4.530 x 104

4.5300 x 104

muestran que el numero tiene tres, cuatro y cinco cifras significativas.

Los errores asociados con los clculos y medidas se pueden caracterizar observando su precisin y exactitud. La precisin es el grado de concordancia dentro de un grupo de mediciones o instrumentos. Ya que el numero de cifras significativas que representa una cantidad o la extensin en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad fsica. La precisin se compone de dos caractersticas: conformidad y el numero de cifras significativas con las cuales se puede realizar la medicin.

La exactitud se refiere al grado de aproximacin o conformidad al valor real de la cantidad medida. .

Estos conceptos se pueden ilustrar grficamente usando una analoga con un buen tirador al blanco. Los agujeros en el centro del tiro al blanco de cada esquema de la figura siguiente se pueden imaginar como las predicciones en una tcnica numrica, mientras que el centro del blanco de cada esquema representa la verdad. La inexactitud (conocida tambin como sesgo) se define como un alejamiento sistemtico de la verdad. Por lo tanto, aunque las balas en la figura c estn ms juntas que las de la figura a, los dos casos son igualmente inexactos ya que ambos se centran en la esquina superior izquierda del blanco. La precisin, por el otro lado se refiere a la magnitud del esparcimiento de las balas. Por lo tanto, aunque las figuras b y d son igualmente exactas (esto es, igualmente centradas respecto al blanco), la ltima es ms precisa ya que las balas estn en un grupo ms compacto.

Figura: Un ejemplo de un buen tirador ilustra el concepto de exactitud y precisin. a) Inexacto e impreciso; b) exacto e impreciso; e) inexacto y preciso; d) exacto y preciso.

1.3.1. Definicin de error.

Error, es la discrepancia que existe entre la magnitud verdadera y la magnitud obtenida. Y el error se divide en : {

Humanosdondeo

totalnumericotoTruncamienErrores Re

Si es una aproximacin a *p p , el error se define como




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*ppE = Sin embargo, para facilitar el manejo y el anlisis se emplea el error absoluto definido como

*ppEA =

y el error relativo como

,*

ppp

ER= si 0p

y como por ciento de error a

100)(ERERP =

error aproximado

100xonaproximaci

onaproximacionaproximaci

actual

anterioractuala

=

Ejemplo: Suponga que el valor para un calculo debera ser 21010.0 xp = pero se obtuvo el resultado , entonces 2* 1008.0 xp =

%20100

2.01010.0

1008.01010.0

21008.01010.0

2

22

22

====

==

ERxERPx

xxER

xxEA

1.3.2. Error por redondeo Este error es el resultado de representar aproximadamente nmeros exactos. Es decir, se debe a la omisin de algunas de las cifras significativas de algn valor especfico. Un ejemplo de donde sucede se da en las computadoras o calculadoras, que solo guardan un nmero finito de cifras significativas, cuyo mximo de dgitos o de cifras significativas son de 8 a 14 lo cual obliga a redondear el valor real. Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un numero finito de cifras significativas durante un calculo. Las computadoras realizan esta funcin de maneras diferentes. Por ejemplo, si solo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar como = 3.141592, omitiendo los trminos restantes y generando un error de redondeo.

Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo pareceran no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones del porque pueden resultar crticos en algunos mtodos numricos:

1. ciertos mtodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. Adems, estos clculos a menudo depende entre si. Estos es, los clculos posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual puede ser muy pequeo, el efecto de acumulacin en el transcurso de la gran cantidad de clculos puede ser significativos.




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2. el efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean nmeros muy pequeos y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos mtodos numricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.

En el redondeo se conservan las cifras significativas y el resto se descarta.

El ltimo dgito retenido se aumenta en uno si el primer dgito descartado es 5 , si no fuera as, el dgito conserva su valor.

Ejemplo : la importancia de las cifras significativas de los clculos algebraicos. Determnese la diferencia de dos nmeros grandes: 32981108.1234 y 32981107.9989. Enseguida , reptase los clculos pero incrementndose el minuendo en in 0.001%. Solucin: La diferencia de los nmeros es 32 981 108.123 4 - 32 981 107.998 9 0.124 5 ahora incrementando el minuendo en un 0.001 % se obtiene el numero 32 981 437.934 5 y la diferencia es: 32 981 437.934 5 32 981 107.998 9 329.335 6 que es considerable diferente de la primera. De aqu que una modificacin en el minuendo, aparentemente insignificante, provoca una gran diferencia en el resultado. Ejemplo : Ilustraciones de las reglas de redondeo Los siguientes ejemplos tienen por objeto ilustrar las reglas de redondeo analizados.

1. Errores de redondeo

5.6723 5.67 3 cifras significativas 10.406 10.41 4 cifras significativas 7.3500 7.4 2 cifras significativas

88.21650 88.217 5 cifras significativas 1.25001 1.3 2 cifras significativas

2. suma y resta

a) 2.2 1.768 = 0.432 = 0.4




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b) 0.00468 x 10 -7 + 8.3 x 10 -4 228 x 10-6 =6.02468 x 10 4 = 6.0 x 10 -4 se redondea hasta el 3 porque nos indica que es el valor para redondeo

3. multiplicacin y divisin

a) Evalese 0.0642 x 4.8 = 0.30816 = 0.31 b) 945/0.3185 = 2967.032967= 2970

1.3.3. Error por truncamiento Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una sucesin finita o infinita de pasos en el cual se realizan clculos para producir un resultado exacto, se trunca prematuramente despus de un cierto nmero de pasos. Truncar la siguiente cifra hasta centsimos, o hasta que sean dos las cifras significativas :

645751311 . 2 7 =

2.64 7 Como podemos ver, en este tipo de error, lo que se hace es omitir algunas de las cifras de una cantidad, debido a que esta contiene muchos decimales, entonces se trunca o corta el nmero, por lo que tambin cae en un error. Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximacin en lugar de un procedimiento matemtico exacto. Estos errores se regresan a la formulacin matemtica usada ampliamente en los mtodos numricos para expresar funciones en forma polinomial. La serie de Taylor.

La serie de Taylor

La serie de Taylor da una formulacin para predecir el valor de la funcin en en trminos de la funcin y de sus

derivadas en una vecindad al punto

1+ix.ix

Por ejemplo: el primer trmino de la serie es conocida como aproximacin de orden cero.

)()( 1 ii xfxf + aproximacin de primer orden .

hxfxfxf iii )()()( 1 ++ donde )( 1 ii xxh = + aproximacin de segundo orden .

21 !2

)()()()( hxfhxfxfxf iiii

+++ donde )( 1 ii xxh = + De esta manera se puede agregar trminos adicionales para desarrollar la expansin completa de la serie de Taylor.

nni

ni

iii Rhnxfhxfhxfxfxf +++++ !

)(!2

)()()()(

)(2

1

Se incluye un termino residual para considerar todas los trminos desde n + 1 hasta el infinito:




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1)1(

)!1()( ++

+=n

n

n hnfR

donde el subndice n indica que el residuo es de la aproximacin a n- simo orden y es un valor cualquiera de x que se encuentra en y ix 1+ix

1.3.4. Error numrico total

El error numrico total es la suma de los errores de truncamiento y de redondeo. ste es el medio para poder lograra minimizar los errores debido a redondeo, y esto se logra incrementando el nmero de cifras significativas. Los errores por truncamiento pueden ser disminuidos cuando los errores por redondeo se incrementan. Para poder disminuir un componente del error numrico total, se debe incrementar otro valor.

1.3.5. Errores humanos

1. Errores por equivocacin. Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de modelacin matemtica y puede contribuir con todas las otras componentes del error. Se puede evitar nicamente con el conocimiento de los principios fundamentales y con el cuidado sobre la aproximacin y diseo de la solucin a un problema.

2. Errores de formulacin. Los errores de formulacin o de modelamiento degeneran en lo que se podran considerar

como un modelo matemtico incompleto. Un ejemplo de un error de formulacin imperceptible es el hecho de que la segunda ley de newton no explica los efectos relativistas.

3. Incertidumbre en los datos. Algunas veces se introducen errores en un anlisis debido a la incertidumbre de los

datos fsicos sobre los que se basa el modelo. 1.4. Propagacin del error. Causas de errores graves en computacin Existen muchas causas de errores en la ejecucin de un programa de computo. Para esto, vamos a pensar en una computadora imaginaria que trabaja con nmeros en el sistema decimal, en forma tal que tiene una mantisa de cuatro dgitos decimales, y una caracterstica de dos dgitos decimales, el primero de los cuales es usado para el signo. Sumados estos seis al bit empleado para el signo del numero, se tendr una palabra de siete bits. Los nmeros que se van a guardar deben normalizarse primero en la siguiente forma

3.0 = .3000 x 10 1

7956000 = .7956 x 10 7

- 0.0000025211 = - .2521 x 10 -5




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Empleando esta computadora imaginaria, podemos estudiar algunos de los errores mas serios que se cometen en su empleo. Suma de nmeros muy distintos en magnitud. Vamos a suponer que se trata de sumar 0.002 a 600 en la computadora decimal imaginaria.

0.002 = .2000 x 10 2 600 = .6000 x 10 3

Estos nmeros normalizados no pueden sumarse directamente y, por tanto, la computadora debe normalizarlos antes de efectuar la suma.

.000002 x 10 3

+ .600000 x 10 3 .600002 x 10 3

Como solo se puede manejar solo cuatros dgitos , los ltimos dos son eliminados y la respuesta es .6000 x 10 3 o 600. Por el resultado, la suma nunca se realizo. Resta de nmeros casi iguales Supngase que la computadora decimal va a restar 0.2144 de 0.2145

.2145 x 10 0

- .2144 x 10 0

.0001 x 10 0

Como la mantisa de la respuesta esta desnormalizada, la computadora automticamente la normaliza y el resultado se almacena como .1000 x 10 3 La propagacin de errores. Una vez que se sabe como se produce los errores en un programa de computo, podra pensarse en tratar de determinar el error cometido en cada paso, y conocer de esa manera el error total en la respuesta final. Sin embargo, esto no es practico. Resulta mas adecuado analizar las operaciones individuales realizadas por la computadora para ver como se propagan los errores de dichas operaciones.

a) Suma Se espera que al sumar a y b, se obtenga el valor correcto de c = a + b ; no obstante, se tiene en general un valor de c incorrecto debido a la longitud finita de palabra que se emplea. Puede considerarse que este error fue causado por una operacin incorrecta de la computadora. Entonces el error es:

Error = ( a + b ) (a + b )

La magnitud de este error depende de las magnitudes relativas, de los signos de a y b, y de la forma binaria en que a y b son almacenados en la computadora, y por lo tanto es un error muy difcil de analizar .

b) Resta

El error de propagacin ocasionado por valores inexactos iniciales a* y b* pueden darse de manera similar que en la adicin, con un simple cambio de signo.

c) Multiplicacin Si se multiplica los nmeros a* y b* se obtiene

( a* x b* ) = (a + a ) x ( b + b ) = (a x b ) + ( a x b ) + ( b x a ) + ( a + b )

Si a y b son suficientemente pequeos, puede considerarse que su producto es muy pequeo en comparacin con otros trminos, y por tanto, eliminar el ultimo termino. Se obtiene entonces el error del resultado final

( a* x b* ) ( a x b ) (a x b) + ( b x a )

Esto hace posible encontrar el valor absoluto del error relativo del resultado dividiendo ambos lados entre a x b .




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ababaxbaxbxba abab ++ )(*)*(

El error de propagacin relativo en valor absoluto en la multiplicacin es aproximadamente igual o menor a la suma de los errores relativos de a y b en valor absoluto.

d) Divisin Puede considerarse la divisin de a* y b* como sigue

)(1)(

)/()(*/*

ba

ba

ba

baba

++=++=

Multiplicando numerador y denominador por )( bb

22))(())((

*/*b

baab

bb

ba

bbaab

bbbaba

+=++=

Si, como en la multiplicacin, se considera el producto ba muy pequeo y por las mismas razones, a y se desprecian, se tiene:

2b

2222*/* ba

bba

ba

bb

babba baba

+=+

El error es entonces:

2*/* ba

bbaba ba

Dividiendo entre a/b se obtiene el error relativo. Al tomar el valor absoluto del error relativo, se tiene

babababa

bba

baba

baba

ba +

//

*/* 2

Se concluye que el error de propagacin relativo del cociente en valor absoluto es aproximadamente igual o menor a la suma de los errores relativos en valor absoluto de a y b. 1.5. Aplicaciones

Ejercicio 1 : Estimacin del error para mtodos iterativos Enunciado del problema : en matemticas, a menudo se puede representa las funciones mediante una serie infinita. Por ejemplo la funcin exponencial se puede calcular usando:




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...!4!3!2

1432

+++++= xxxxe x

Mientras mas trminos se le agreguen a la serie , la aproximacin se acercara mas y mas al valor de x . la ecuacin anterior se le llama serie de Maclaurin.

Empezando con el primer termino , e x = 1, y agregando un termino a la vez, estmese el valor de e 0.5 . despus que se

agregue cada termin, calclense los ERP y a . Ntese que el valor real de

agrguense trminos hasta que

648721271.15.0 =esa




22

Solucin: s = (0.5 x 10 2 2 ) % = 0.5 % cos

3

0.5=

Ejercicio: Reptase los clculos del problema anterior pero ahora usando la serie de Maclaurin para sen x = 0

L++=!7!5!3

753 xxxxSenx

estmese el 2Sen

s = (0.5 x 10 2 2 ) % = 0.5 %

12

=Sen empezando sen x = 0

Ejemplo:

Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor. Enunciado del problema: sense trminos en la serie de Taylor de cero a cuarto orden para aproximar la funcin :

2.125.05.015.01.0)( 234 += xxxxxf desde el punto 0=ix y con h = 1. Esto es, predecir el valor de la funcin en

.11 =+ix Solucin: Ya que se trata de una funcin conocida se puede calcular valores f(x) 0 y 1




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f x( ) 0.1 x4 0.15x3 0.5x2 0.25x 1.2+:= x 0:=f x( ) 1.2=

f x( ) 0.1 x4 0.15x3 0.5x2 0.25x 1.2+:= x 1:=f x( ) 0.2=

Los resultados indican que la funcin empieza en f(0)=1.2 y continua hacia abajo hasta f(1)=0.2. por lo tanto el valor que se trata de predecir es 0.2.

La aproximacin en serie de Taylor de orden cero es:

)()( 1 ii xfxf + =1.2 Como se puede ver en la figura la aproximacin de orden cero es una constante . el error de truncamiento en este caso es

*ppE = E = 0.2 1.2 = - 1.2

En x = 1. Para n = 1, la primera derivada se debe determinar y evaluar en x = 0

f x( ) 0.1 x4 0.15x3 0.5x2 0.25x 1.2+:= x 0:=

xf x( )d

d0.25=

La aproximacin a primer orden es:

)( 1 ii xxh = + ))((')()( 11 iiiii xxxfxfxf + ++

hxf i 25.02.1)( 1 + f h( ) 1.2 0.25 h( )+:= h 1:=

f h( ) 0.95=

que se puede usar para h = 1 , calcular f(1) = 0.95 . Por consiguiente , la aproximacin empieza a coincidir con la trayectoria de la funcin como la pendiente de una lnea recta. De esta manera el error de truncamiento se reduce a :

E = valor verdadero valor aproximado = 0.2 0.95 = - 0.75

en x = 1 para n = 2, se evala la segunda derivada en x = 0:




24

f x( ) 0.1 x4 0.15x3 0.5x2 0.25x 1.2+:= x 0:=

2xf x( )d

d

21=

2111 )(!2

)(''))((')()( iiiiiiii xxxfxxxfxfxf ++ +++

21 )!2

1(25.02.1)( hhxf i++

f h( ) 1.2 0.25 h( )+ 12! h

2+:= h 1:=

f h( ) 0.45= E = valor verdadero valor aproximado = 0.2 0.45 = - 0.25

Los trminos adicionales mejoran aun mas la aproximacin.

en x = 1 para n = 3, se evala la tercera derivada en x = 0:

f x( ) 0.1 x4 0.15 x3 0.5 x2 0.25 x 1.2+:= x 0:=

3xf x( )d

d

30.9=

31

2111 )(!3

)(''')(!2

)(''))((')()( iiiiiiiiiii xxxfxxxfxxxfxfxf +++ ++++

321 )!3

9.0()!21(25.02.1)( hhhxf i

+++

f h( ) 1.2 0.25 h( )+ 12! h

2+

0.93! h

3+:= h 1:=

f h( ) 0.3= E = valor verdadero valor aproximado = 0.2 0.3 = - 0.1

En x = 1 para n = 4, se evala la cuarta derivada en x = 0:

f x( ) 0.1 x4 0.15 x3 0.5 x2 0.25 x 1.2+:= x 0:=

4xf x( )d

d

42.4=

41

43

12

111 )(!4)()(

!3)(''')(

!2)(''))((')()( iiiiiiiiiiiiii xx

xfxxxfxxxfxxxfxfxf ++++ +++++




25

4321 )!4

4.2()!39.0()

!21(25.02.1)( hhhhxf i

++++

Donde el termino residual es:

1)1(

)!1()( ++

+=n

n

n hnfR

5)5(

4 !5)( hfR =

f x( ) 0.1 x4 0.15x3 0.5x2 0.25x 1.2+:= x 0:=

5xf x( )d

d

50=

ya que la quinta derivada de un polinomio de cuarto orden es nula, R4 =0. Por consiguiente, la expansin en serie de Taylor hasta la cuarta derivada produce una aproximacin exacta en x = 1

f h( ) 1.2 0.25 h( )+ 12! h

2+

0.93! h

3+

2.44! h

4+:= h 1:=

f h( ) 0.2=

En general, la expansin en serie de Taylor de n-simo orden es exacta para un polinomio de n-simo. Para otras funciones continuas diferenciales, como las exponenciales o senoidales, no se obtiene una estimacin exacta mediante un numero finito de trminos. Cada uno de los trmino adicionales contribuye al mejoramiento de la aproximacin , aunque sea con poco. La decisin sobre cuantos trminos se requieren para obtener una aproximacin razonable se basa en el termino residual de la expansin .

1)1(

)!1()( ++

+=n

n

n hnfR

Esta ecuacin residual es de la forma general, tiene dos grandes desventajas . Primero no se conoce exactamente sino que solo se sabe que esta entre xi y xi+1 . Segundo , para la evaluacin de la ecuacin anterior se requiere para evaluar la (n + 1 ) sima derivada de f(x).

Ejemplo:

Uso de la serie de Taylor para aproximar una funcin que tiene un numero infinito de derivadas.

Enunciado del problema : sense los trminos de la serie de Taylor con n = 0 hasta 6 para aproximar :

xxf cos)( =




26

en 3/=x con base al valor de f(x) y de sus derivadas alrededor del punto )60( 4/=x )45( .Ntese que esto significa que 1243

==h

Solucin: Nota: el resultado de la sustitucin y de ellos quien tengan el valor pequeo ese ser el valor exacto F(x)= 0.5 f(x)= 0.707106781

El valor exacto

f x( ) cos x( ):= x 3

:=f x( ) 0.5=

La aproximacin de orden cero es

f x( ) cos x( ):= x 4

:=f x( ) 0.707106781=

%4.41%1005.0

707106781.05.0 ==ERP

La aproximacin de primer orden es

)()(' xsenxf = ( ) hxsenxf ))((cos

3

f h( ) cos x( ) sin x( )( )h+:= x 4

:= h 12

:=f h( ) 0.521986659=

%40.4%1005.0

521986659.05.0 ==ERP

La aproximacin de segundo orden es

)cos()('' xxf = ( ) 2

!2)cos())((cos

3hxhxsenxf




27

f h( ) cos x( ) sin x( )( ) h+ cos x( )2 !

h

2+:= x 4

:= h 12

:=f h( ) 0.497754491=

%449.0%1005.0

497754491.05.0 ==ERP

La aproximacin de tercer orden es

)()(''' xsenxf = ( ) 32

!3)(

!2)cos())((cos

3hxsenhxhxsenxf +

f h( ) cos x( ) sin x( )( )h+ cos x( )2!

h

2+ sin x( )3! h

3+:= x 4

:= h 12

:=f h( ) 0.499869147=

%0262.0%1005.0

499869147.05.0 ==ERP

La aproximacin de cuarto orden es

)cos()(4 xxf = ( ) 432

!4)cos(

!3)(

!2)cos())((cos

3hxhxsenhxhxsenxf ++


h

2+ sin x( )3! h

3+ cos x( )4! h

4+:= x 4

:= h 12

:=f h( ) 0.500007551=

21051.1%1005.0

500007551.05.0 == xERP

La aproximacin de quinto orden es

)()(5 xsenxf =




28

( ) 5432!5

)(!4

)cos(!3

)(!2

)cos())((cos3

hxsenhxhxsenhxhxsenxf ++


h

2+ sin x( )3! h

3+ cos x( )4! h

4+ sin x( )5! h

5+:= x 4

:= h 12

:=f h( ) 0.500000304=

51008.6%1005.0

500000304.05.0 == xERP

La aproximacin de sexto orden es

)cos()(6 xxf = ( ) 65432

!6)cos(

!5)(

!4)cos(

!3)(

!2)cos())((cos

3hxhxsenhxhxsenhxhxsenxf ++


h

2+ sin x( )3! h

3+ cos x( )4! h

4+ sin x( )5! h

5+ cos x( )6! h

6:= x 4

:= h 12

:=f h( ) 0.499999988=

61040.2%1005.0

499999988.05.0 == xERP

Ntese qu

e las derivadas nunca se acercan a cero, como es el caso del polinomio. Sin embargo, cada trmino que se le agrega a la serie produce una mejor aproximacin. Ntese tambin que la mayor aproximacin se consigue con los primeros trminos.




29

f x( ) cos x( ):= x 4 3.9, 10..:=

5 0 5 10

1

1

f x( )

x

Orden n )(xf n

3f

ERP

6543210

)cos()sin(

)cos()sin(

)cos()sin(

)cos(

xx

xxxx

x

499999988.0500000304.0500007551.0499869147.0497754491.0521986659.0707106781.0

6

5

2

1040.21008.61051.1

0262.0449.0

4.44.41

xxx

Unidad I.docDef. Nomograma Grfico a base de lneas que permite leer la solucin de clculos sin necesidad de efectuarlos Los mtodos numricos y la prctica de la ingeniera La serie de Taylor Ejercicio 1 : Estimacin del error para mtodos iterativos

unidad 1

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