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ESPACIO BIDIMENSIONAL : CÓNICAS

Objetivos

Geometría analítica

139

Introducción

L sección cónicacónica

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

A B C D E F

4.1. Circunferencia

Circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo, llamado centro, C(h,k). Radio (r). Es la distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia.

4.1.1. Ecuación de la circunferencia

140

Ecuación de una circunferencia

En general, cuando se considera el centro C(h, k) y el radio r , así como un punto P(x, y) en la circunferencia como puede verse en la figura:

Por definición el segmento CP = r , además, la distancia entre los puntos C y P analíticamente es:

r

Por lo tanto, la ecuación cartesiana de una circunferencia , cuando el centro es un punto cualquiera del plano es (x – h)2 + (y – k)2 = r2, también conocida como forma ordinaria de la circunferencia.

C(h,k O rY

X

r

(x y

0


141

P(x y

OP = r 2 2

x2 + y2 = r2 ecuación de la circunferenciar. r r

r

Ejemplo 1

C

Solución

Ejemplo 2

Solución C(h, k) r

C r2 = r

4.1.2. Ecuación general de la circunferencia

142

La ecuación de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, con dos variables representa una cónica, pero en especial interesa que represente una circunferencia, así que si se toma la ecuación ordinaria de la circunferencia, cuyo centro es (h, k) y radio r se tiene que:

Desarrollando se obtiene:

x2 + y2 – 2hx –2ky+ h2 + k2 – r2 = 0, comparando con Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Para que ambas ecuaciones representen una circunferencia se pide que sean iguales, esto es, que los coeficientes de los términos del mismo grado deben ser proporcionales, así que como una de ellas carece de término xy, resulta que B = 0, además se tendrá:

A= C=1, D= –2h, E= –2k y F= h2+ k2–r2

Entonces, para que una ecuación de segundo grado represente una circunferencia se debe cumplir que carezca de término cruzado (xy); además de que los coeficientes de A y C sean iguales y distintas de cero (A = C

Por lo tanto, Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 con A = C, es la ecuación de una circunferencia en su forma general .

Ejemplo 3

C r

Solución


143

Ejemplo 4

A=C D h E k F=h2+k2–r2

Solución:

, C(h k r = 2

A = C =

D = E = F =

A=C h k h2+k2–r2

h k r = 2

NOTA

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, A = C A

2

2

144

D 2 + E 2 F

D 2 + E 2 F D 2 + E 2 F

4.1.3. Recta tangente a una circunferencia

recta es secante recta es exterior

recta es tangente

Ecuación de la tangente a una circunferencia

Para resolver esta situación se aplica la propiedad de que la tangente es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto P(x

1, y

1). Analíticamente

significa que la tangente y el radio deben tener pendientes negativamente recíprocas. A saber, si m es la pendiente del radio, la cual se obtiene de los puntos P y C, entonces –1/m es la pendiente de la recta tangente a la circunferencia y por consecuencia la ecuación de la tangente es (y – y1 = –1/m (x – x1 .

Ecuaciones de las tangentes a una circunferencia de sde un punto exterior

Sea una circunferencia de radio r y centro C(h, k), y sea P( x1, y

1) un punto

exterior a la circunferencia. La ecuación del haz de rectas que pasan por el punto P( x

1, y

1) es (y – y

1 = m (x – x

1, donde las tangentes a la circunferencia son todas

aquellas cuyas distancias al centro son iguales al radio. Esta condición permite determinar la pendiente m de cada tangente.

Sea (y – y1) = m (x – x1) el haz de rectas, eliminando paréntesis tenemos mx – y – mx1 + y1 = 0, tomando C(h, k) = (x, y) para calcular el radio r se utiliza la ecuación de la distancia de una recta a un punto, así que


145

, después de sustituir los valores de h, k y r de la

circunferencia, x y mm

Ejemplo 5

x y

Solución

r = 2

x2 + y2 x + 2y

Ejercicio 1

C r

146

Cr

4.2. Elipse

método del jardinero.

punto a punto

graficar punto a punto


147

4.2.1. Definición y elementos de la elipse

Definición y elementos de la elipse

Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ es una cantidad constante, que se representa por 2a, como se observa en la figura 4.2.

Se llaman focos a los puntos fijos F y F’; asimismo, la longitud se denomina distancia focal = 2c.

El centro (O) de la elipse es el punto medio del segmento FF’.

Del triángulo MFF’ tenemos que la suma de los dos lados , asimismo el lado FF’ = 2c, ya que el lado 2 2 , entonces .

Se llaman radios vectores a los segmentos MF y MF’ que unen un punto cualquiera de la elipse con los focos.

Una cuerda es el segmento CC’ que une dos puntos cualesquiera de la elipse. Asimismo, una cuerda que pasa por el centro, tal como DD’ , se denomina diámetro .

148

Se le llama eje mayor o focal al diámetro que pasa por los focos y el eje perpendicular a él es el eje menor o normal , y su longitud es 2b. En la figura, los ejes mayor y menor se denotan por AA’ y BB’, respectivamente.

Vértices de la elipse se denomina a las intersecciones A, A’ del eje con la curva.

Lados rectos (lr) de la elipse son llamadas las cuerdas EE’ y GG’ que pasan por los focos y son perpendiculares al eje mayor.

Excentricidad de una elipse es la razón entre la semidistancia focal y el semieje

mayor y se representa por e, y como a > c la razón es menor que la unidad.

NOTA: a medida que los focos se acercan al centro, la excentricidad disminuye y la elipse se parece más a la circunferencia. Entonces, si la excentricidad es igual a cero, c es cero, lo que indica que a = b y la elipse se convierte en una circunferencia.

Principales propiedades de la elipse:

1. El eje mayor es igual a la cantidad constante 2a. 2. Los vértices equidistan de los focos. 3. Los ejes se cortan en su punto medio. 4. El cuadrado del semieje mayor a es igual a la suma de los cuadrados del semieje

menor b y de la semidistancia focal c. (a2= b2+ c2). 5. La excentricidad es siempre menor que la unidad.

4.2.2. Ecuación ordinaria de la elipse y cálculo de sus elementos

Ecuación cartesiana de una elipse de centro en el o rigen y cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados


149

Primer caso . Eje focal sobre el eje X . Sea una elipse de centro en el origen de coordenadas, con focos F y F’ sobre el eje de las X, FF’ = 2c y eje mayor = 2a, siendo a y c, números positivos, y a > c, figura 4.3.

Sea M(x, y) un punto cualquiera de la elipse.

La propiedad que caracteriza a los puntos de la elipse es:

(1)

Las coordenadas de F son (c, 0), las de F’ son (–c, 0) y las longitudes MF y MF’ son:

,

Expresando analíticamente la igualdad (1)

Esto es:

Entonces: 2

= 2

Dividiendo entre 4 se tiene:

150

Elevando nuevamente al cuadrado para desaparecer el radical y reduciendo, se tiene:

De donde

De la propiedad 4 se deduce que 2 2 2 . Sustituyendo en (2), queda:

2 2 2 2 2 2 y dividiendo entre a2b2 resulta:

,...(a), que es la ecuación buscada.

Segundo caso. Eje focal sobre el eje Y. Si el eje focal coincide con el eje de las Y, siguiendo un razonamiento análogo, se obtiene:

o sea

Designando siempre por 2a el eje mayor de la elipse.

Ejemplo 6

Solución

O

a a 4 ab b b

y x

A(a A (–a B b B’ b


151

A , A’ , B , B’

F(c F’ c F( F’ .

lr FE y

x c

22 2

Ecuación de una elipse de centro en un punto cualqu iera y ejes paralelos a los coordenados

Segunda forma ordinaria . Sea la elipse de la figura 4.4, con centro C(h, k) y ejes paralelos a los coordenados, siendo el eje mayor paralelo al eje X . Sean (x, y) las coordenadas de un punto cualquiera de la elipse respecto a los ejes X, Y y (x’, y’) las coordenadas del mismo punto respecto a los ejes de la elipse X’, Y’.

Y

Y

0

X

X

(h + c(h c

(h, k b

(h + a, k

(h, k

(h, k + b

(h a, k

‘

‘‘

152

La ecuación de la elipse referida a sus ejes X’, Y’ como ejes de coordenadas es:

Utilizando la figura 4.4 se observa que:

y análogamente '

Sustituyendo, resulta:

(3)

Que es ecuación de una elipse con centro C(h, k) y ejes paralelos a los coordenados, siendo el eje mayor paralelo al eje X.

Análogamente, la ecuación:

o bien (4)

Representa una elipse de centro C(h, k) y sus ejes paralelos a los coordenados, siendo el eje mayor paralelo al eje Y. Esta ecuación recibe el nombre de forma ordinaria de la elipse.

Ejemplo 7

Ca = 4 b

Solución h

k


153

Ejemplo 8

C a = 4 b = 2,

Solución

h k

elementos de una elipse

Primer casoCentro C(h, k

Vértices A Aka h

A(h + a k A (h a k

B B’h

b k B(h k +b B h k b

Focosk

h cF(h + c k F h c k

Segundo caso.

Centro

Vértices A A’h

a kB(h + b k B h b k

154

Focos F F eje Yh

c k

Ejemplo 9

Solución

C(h, k C .

a a a = b b 4 b

y x

Semidistancia focal

Vértices A AA A B (h k + b ' B

B B B

Focos F FF F

Excentr icidad

una elipse en una posición cualquiera

Primer casoMF + MF´ = 2a,


155

Segundo caso

x ya b

4.2.3. Ecuación general de la elipse

La ecuación general de segundo grado con dos variables es de la forma:

(1)

Y la ecuación de una elipse de ejes paralelos a los coordenados de centro y semiejes a el mayor y b el menor es:

ó

Desarrollando las dos últimas ecuaciones. Para la primera ecuación, multiplicando por a2 b2

Distribuyendo: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2

Ordenando e igualando a cero:

(2)

Para la segunda ecuación procediendo de manera análoga se obtiene:

(3)

156

Para que la ecuación (1) represente una elipse de ejes paralelos a los coordenados, sus coeficientes y los de cada una de las (2) y (3) deben ser proporcionales. Luego, como las ecuaciones (2) y (3) carecen de término xy, entonces B = 0. Asimismo, los coeficientes A y C deben ser del mismo signo pero diferentes, por ser 2 2 . Así, toda ecuación de la forma representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados si los coeficientes A y C de x2 y de y2 son diferentes en valor absoluto, pero del mismo signo. Esta forma se conoce con el nombre de forma general de la ecuación de una elipse de ejes paralelos a los coordenados .

Ejemplo 10

Solución

C a a 4 a b b b

yx

Semidistancia focal c

VérticesA A A AB B B B

Focos F F

Excentr icidad

Lado recto


157

Ejemplo 11

Solución M(x, y

a = b

Ejercicio 2

A A e

158

4.3. Parábola

4.3.1. Definición y elementos de la parábola

Definición . La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo F y de una recta fija d. Así, para cualquier punto M de la curva, se tiene, de acuerdo con la figura 4.5, MF = MD

d

Y

X

‘‘


159

Elementos de la parábola : el punto fijo F se llama foco y la recta fija d se llama directriz.

El segmento MF que une un punto cualquiera de la parábola con el foco se llama radio vector.

La recta AF que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz es el eje de la parábola.

El punto V, punto medio de AF, donde el eje corta a la parábola es el vértice.

Un segmento como CC’, que une dos puntos cualesquiera de la parábola es una cuerda.

La cuerda EE’ que pasa por el foco y es perpendicular al eje se llama lado recto (lr) o ancho focal de la parábola. De la definición se deduce que el lado recto es el doble de la ordenada FE que corresponde al valor de x = p.

El segmento AF, distancia del foco a la directriz, se llama parámetro y se representa por 2p.

Las principales propiedades de la parábola se ilustran en la figura 4.6.

1. Un punto P se dice que es exterior a la parábola si su distancia al foco es mayor que su distancia a la directriz, y se dice que es interior si está más cerca del foco que la directriz, tal como el punto Q.

2. La bisectriz MT del ángulo formado por el radio vector MF de un punto cualquiera de la parábola y la perpendicular MD a la directriz, es tangente a la curva.

d

160

Recíprocamente, la tangente en un punto de la parábola es bisectriz del ángulo formado por el radio del punto de contacto y la perpendicular a la directriz, trazada por ese punto. Esta propiedad se utiliza en el trazado de la tangente a la parábola en uno de sus puntos; además, de ella se deduce que la tangente en el vértice de la parábola es perpendicular al eje.

Ejemplo 12

Solución directriz d foco F

eje

V FD

a , M F MD

A A’ aA A’


161

b, c e,B, B’, C, C’, E, E’ .

4.3.2. Ecuación ordinaria de la parábola y cálculo de sus elementos

Ecuación cartesiana de una parábola cuyo vértice es el origen y el eje coincide con uno de los ejes coordenados

Primer caso. El vértice (V) es el origen de coordenadas y el eje que coincide con el X; entonces el foco F está situado en la parte positiva de dicho eje. Por lo tanto, el parámetro 2p = FD.

Sea M(x, y) un punto cualquiera de la parábola, como se muestra en la figura 4.8.

Las coordenadas del foco F son (p, 0) y la ecuación de la directriz es x = –p. Por definición se tiene que MF = MN, expresando analíticamente

estas distancias son y ,

igualándolos y elevándolos al cuadrado tenemos:

d

162

. Desarrollando se tiene:

2 2 2 2 22 2 ; entonces, (1)

Ésta es la ecuación de una parábola con vértice en el origen cuyo eje coincide con el eje X y el foco está en la parte positiva de dicho eje. Análogamente, si el foco se encuentra en el lado negativo del eje X, la ecuación de la parábola es:

p < 0 (2)

Segundo caso. El vértice (V) es el origen y el eje coincide con el eje Y; entonces. el foco F está situado en la parte positiva de dicho eje (abre hacia arriba). La ecuación de la parábola es:

(3)

Análogamente, si el foco se encuentra en el lado negativo del eje Y (abre hacia abajo), la ecuación de la parábola es:

p < 0 (4)

Las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) se conocen con el nombre de forma ordinaria de la ecuación de la parábola.

Considerando p, la distancia del vértice al foco, como distancia dirigida, entonces las ecuaciones (1) y (2) se agrupan en una sola , que representa una parábola de concavidad hacia la derecha si p > 0 y de concavidad hacia la izquierda si p < 0.

Análogamente, las ecuaciones (3) y (4) se agrupan en la ecuación , que representa una parábola de concavidad hacia arriba si p > 0, y de concavidad hacia abajo si p < 0.


163

Ejemplo 13

Solución V .

p p

y = 0

Foco F(p, F .

Ecuación de la directr iz

La longitud del lado recto (lr)

d

164

Ecuación de una parábola de vértice en un punto cua lquiera y el eje paralelo a uno de los coordenados

Sea la parábola de vértice V(h, k), parámetro 2p, eje paralelo al de las x y concavidad hacia la parte positiva del eje X, como en la figura 4.9.

Sea M(x, y) un punto cualquiera de la parábola, referida a los ejes X, Y y sean (x’, y’) las coordenadas del mismo punto con relación a los ejes X’, Y’, paralelos a los anteriores y de origen el punto (h, k).

La ecuación de la parábola referida a los ejes X’, Y’ es de la forma:

Utilizando las siguientes ecuaciones de transformación de coordenadas:

' ; '

Sustituyendo queda:

(1)

Que es la ecuación de una parábola de vértice (h, k), eje paralelo al eje X y concavidad hacia la parte positiva del eje X.

Si la concavidad es hacia la parte negativa del eje X, la ecuación es de la forma:

p < 0 (2)

Análogamente, obtenemos la ecuación:

d


165

(3)

que representa una parábola de vértice V(h, k), eje paralelo al Y y concavidad hacia arriba.

Si la concavidad la dirige hacia abajo la ecuación es de la forma:

p < 0 (4) Las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) son las cuatro formas de la ecuación de la

parábola.

Se suelen designar con el nombre de forma ordinaria de la ecuación de la parábola con vértice fuera del origen.

Ejemplo 14

V

V F

Soluciónh 2 k

p

166

elementos de una parábola

Vértice h, k

Parámetro p

Ecuación del eje de la parábolay = k.

Coordenadas del foco

Ecuación de la directr iz

OB

Lado recto p

Ejemplo 15

Solución

V

p p 2


167

y

Foco F F

xx

Longitud del lado recto

de una parábola cuando el vértice es un punto cualquiera del plano y su eje es oblicuo

Primer caso

Segundo caso

y x

4.3.3. Ecuación general de la parábola

La ecuación de segundo grado con dos variables es de la forma:

(1)

168

La ecuación de una parábola de eje paralelo a uno de los coordenados es:

Desarrollando ambas ecuaciones, considerando solamente el signo positivo, se obtiene:

, que son ecuaciones del tipo:

(2)

(3)

Lo mismo ocurre tomando el signo negativo.

Ahora bien, para que las ecuaciones (1) y (2) ó (1) y (3) representen la misma curva, sus coeficientes deben ser proporcionales y por tanto, como las ecuaciones (2) y (3) carecen de término en xy, se tiene B 0; asimismo, comparando (1) y (2), resulta A 0 y comparando (1) y (3), debe ser C 0 , entonces:

Cy2 + Dx + Ey + F = 0 representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje X.

Ax2 + Dx + Ey + F = 0 representa una parábola cuyo eje es paralelo al Y.

Estas últimas formas se conocen con el nombre de forma general de la ecuación de la parábola .

Ejemplo 16

Solución


169

V p p

y

Foco F F

Ecuación de la directr iz x

Longitud del lado recto

Ejercicio 3

1.

2. F 4

3.

4.

5.

170

4.4. Hipérbola

4.4.1. Definición y elementos de la hipérbola

Definición y elementos

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia en valor absoluto de las distancias a dos puntos fijos F y F’ es una cantidad constante que se representa por 2a, de acuerdo con la figura 4.10.

Así, para cualquier punto M de la curva se tiene:

Elementos de la hipérbola. La curva es abierta y consta de dos ramas. Los puntos fijos F y F’ se llaman focos y la longitud FF’ es la distancia focal que se designa por 2c; a la recta donde se encuentran los focos se le llama eje focal.

El punto medio de FF’ es el centro de la hipérbola.

Los segmentos MF y MF’ que unen un punto cualquiera M de la hipérbola con los focos se llaman radios vectores.


171

Para que exista una hipérbola es necesario que 2c > 2a, o sea c > a, ya que en el triángulo MFF’ el lado FF’ = 2c, es mayor que la diferencia de los otros dos

.

Un segmento como CC’ que une dos puntos de una misma rama de la hipérbola es una cuerda.

La longitud de la cuerda que pasa por un foco y es perpendicular al eje de la hipérbola se llama lado recto EE’ y GG’.

Un segmento que une dos puntos de la hipérbola y pasa por el centro, como DD’, es un diámetro.

El diámetro que pasa por los focos se llama eje focal, real o transverso. Sobre la recta perpendicular al eje focal, que pasa por el centro (0) y que no corta a la curva, se considera un segmento BB’ llamado eje conjugado o imaginario, y su longitud es 2b.

Las intersecciones A y A’ del eje focal con la curva son los vértices de la hipérbola.

Excentricidad de una hipérbola es la razón de la semidistancia focal al

semieje real y se representa por e. Siempre es mayor que la unidad por ser c > a.

La curva está comprendida dentro del ángulo formado por las diagonales del rectángulo, cuyas dimensiones son 2a y 2b. Estas rectas se llaman asíntotas.

Las principales propiedades de la hipérbola se ilustran con la figura 4.11.

172

1. El eje real AA es igual a la cantidad constante 2a. En efecto, por ser A y A puntos de la hipérbola , ; sumando ambas ecuaciones se obtiene , y como ' ' ' ' y

' ' , resulta que, , de donde .

2. Los vértices A y A equidistan de los focos. En efecto , ' ' , igualando AF = A F.

3. Longitud del eje imaginario. Trácese en A la perpendicular al eje focal y con centro en 0 y radio c trácese un arco que corte a dicha perpendicular en H. El segmento AH es la longitud del semieje imaginario y llevándose sobre dicho eje, a partir de 0 a un lado y a otro, se obtiene BB’ = 2b, que es el eje imaginario. Del

triángulo rectángulo 0AH se deduce 2 2 , y por lo tanto 2 2 2 2

. El eje 2b puede ser igual, mayor o menor a 2a.

4. Relación entre los semiejes y la semidistancia focal. Del triángulo 0AH se deduce a 2 2 2, que es la relación entre los segmentos.

4.4.2. Ecuación ordinaria de la hipérbola y cálculo de sus elementos

Ecuación cartesiana de una hipérbola de centro en e l origen y cuyos ejes coinciden con los coordenados


173

La ecuación de una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje de las X, está dada por la expresión:

(a)

Si el eje focal coincide con el eje de las Y la ecuación es:

, (b)

y su longitud es 2a.

Las ecuaciones (a) y (b) se conocen con el nombre de forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola con vértice en el origen.

En la hipérbola, cuya ecuación es , el lado recto es 2 2

, y las

ecuaciones de las asíntotas son las rectas que pasan por el origen y sus pendientes

son . Así , o sea 0 y 0 .

NOTA: algunos autores llaman siempre 2a al eje de la hipérbola situado sobre el

eje X y entonces, la ecuación que resulta es .

Hipérbolas conjugadas . Las hipérbolas que tienen los mismos ejes, pero tales que el eje focal de una es el imaginario de la otra y el imaginario de la primera es el eje focal de la segunda, se llaman conjugadas y sus ecuaciones son:

Ejemplo 17

Solución a b a b

174

Ejemplo 18

Solución O

a a 4 ab b b

yx

F(c F’ (–c F( F’ .

Vértices A(a A’ (–a A , A’ .


175

Excentr icidad

Lado recto

Las asíntotas

Ecuación de una hipérbola de centro en un punto cua lquiera del plano y ejes paralelos a los coordenados

Forma ordinaria con vértice distinto del origen. Sea la hipérbola de centro O’(h, k), distancia focal 2c, y ejes 2a y 2b paralelos a los coordenados, siendo el eje focal paralelo al eje X, como se ve en la figura 4.14.

Sean (x, y) las coordenadas de un punto cualquiera M de la hipérbola respecto a los ejes X, Y, y (x’, y’); las coordenadas del mismo punto respecto a los ejes X’ Y’, las cuales son paralelos a los anteriores. Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola referida a los ejes X’Y’ es:

y por las ecuaciones de transformación de coordenadas se tiene ' ,' ; sustituyendo en la ecuación de la hipérbola, se tiene:

(c)

176

que es la ecuación de una hipérbola de centro O’(h, k), ejes paralelos a los coordenados y el eje focal paralelo al eje de las x. Análogamente, la ecuación d representa una hipérbola de centro O’(h, k), ejes paralelos a los coordenados y el eje focal paralelo al eje Y.

(d)

La forma (c) se conoce con el nombre de forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola con vértice fuera del origen.

Ejemplo 19

C , a = 4, b = C , b

Solución C

a = b =

C , b =

aa


177

elementos de una hipérbola

Primer casoC(h, k .

Vértices A A’k

h a

Focos kh c

Asíntotas: h, k

Segundo casoC(h, k

Vértices

Focos

Asíntotas

Ejemplo 20

178

Solución d

h, k C .

a2 a a b2

b b x =

y

c

F + F’F F’

Vertices A(h, k + a , A’ (h, k – a A A’A A’

Excentricidad

Lado recto


179

4.4.3. Ecuación general de la hipérbola

La ecuación general de segundo grado con dos variables es de la forma:

. (1)

Y la ecuación de una hipérbola de ejes paralelos a los coordenados de centro C(h, k), semieje real a y semieje imaginario b es:

,

Según el eje focal sea paralelo al eje X o el eje Y, respectivamente desarrollando resulta:

(2)

(3)

Para que la ecuación (1) represente una hipérbola, sus coeficientes y los de cada una de las ecuaciones (2) y (3) deben ser proporcionales. Entonces, como las ecuaciones (2) y (3) carecen de término xy, deben ser B = 0; asimismo, los coeficientes A y C deben ser de distinto signo.

En consecuencia, una ecuación de segundo grado con dos variables representa una hipérbola de ejes paralelos a los coordenados si no tiene término en xy, y si los coeficientes de x2 y de y2 son de signo contrario.

Por lo que, la ecuación . Con A y C de signo contrario, se conoce con el nombre de forma general de la ecuación de la hipérbola de ejes paralelos a los coordenados.

180

Ejemplo 21

Solución

C .

a a b b

y

x

Semidistancia focal y focos c FF

Vértices A A’

Excentr icidad e

Asíntotas x + 2y

A


181

Ejercicio 4

1. a = b =

2.

3. x2 y2 x y

4. x – y

4.5. Análisis de cónicas por discriminante

4.5.1. Ecuación general de segundo grado

circunferencia B A = Celipse B

hipérbola B A C

parábola x B A parábola y B C =

B elipse, parábola o hipérbola

xy

182

Dada una ecuación de segundo grado, ésta puede representar una cónica cuyo centro se encuentra en la coordenada C(h,k):

1. Los términos de segundo grado de la ecuación de una elipse cualquiera se pueden poner en forma de una suma de cuadrados:

2. Los términos de segundo grado de la ecuación de una hipérbola cualquiera se pueden poner en forma de una diferencia de cuadrados:

3. Los términos de segundo grado de una parábola cualquiera se pueden poner en la forma de un cuadrado perfecto:

P(x, y)a b,

+


183

a2x +b

184

4.5.2. Identificación mediante el discriminante de la cónica dada

2 2

2 2

B2 AC

B2 AC

Para determinar qué cónica representa una ecuación general de segundo grado con dos variables, se pueden seguir dos procedimientos que son equivalentes.

1. Calculando la expresión = B2 AC llamada discriminante de la ecuación.

Si = B2 AC representa una elipse. Si = B2 AC representa una hipérbola.Si = B2 AC representa una parábola.

2. Considerando los términos de segundo grado 2 2.

Si se pueden poner en forma de suma de cuadrados se tiene una elipse, como diferencia de cuadrados una hipérbola y como un cuadrado perfecto resulta una parábola.

NOTA: el primer procedimiento que corresponde al signo del discriminante es el más sencillo.


185

Ejemplo 22

Solución A = B = , C

2 22 22 2

Ejemplo 23

Solución:

A B C

xy

186

Ejemplo 24

Solución A B C


187

cónicas degeneradas cónicas

x y

cónicas elementales

xyx y

cónicas degeneradas

188

y

Ejemplo 25

Solución: A B C


189

y

y

x x m = , n p = 0.

x2

hipérbola real

y

x

190

Ejemplo 26

Solución: A B C = 2

y

x x m n p

x 2


191

Ejemplo 27

Solución

y

n

0

192

Un estudio completo de lo que representa una ecuaci ón de segundo grado con dos variables de la forma se obtiene de la siguiente manera:

1. Se calcula el discriminante de la ecuación para averiguar el género de la cónica.

2. Se despeja y.

3. Se considera el trinomio de segundo grado que aparece bajo el radical, el cual se escribe como mx2 + nx + p y su discriminante = n2 – 4mp, de donde se pueden presentar los siguientes casos:

Primer caso : si 0 la cónica es del género elipse, entonces:

, la ecuación representa una elipse real. , se trata de dos rectas imaginarias con un punto real. , la ecuación representa una elipse imaginaria.

Segundo caso : si 0 la cónica es del género hipérbola, entonces:

, la ecuación representa una hipérbola real. , la ecuación representa una hipérbola real. , la ecuación representa dos rectas reales que se cortan.

Tercer caso : si 0 , la cónica es del género parábola. En este caso:

nn 0 p 0n 0 p 0n 0 p 0

Ejercicio 5

1.

2.

3.


193

4.

5.

4.6. Traslación de ejes

transformación de coordenadastraslación rotación

Traslación de ejes . Sean OX, OY los ejes en el primer sistema: O el nuevo origen y O’X’, O’Y’ los ejes en el segundo sistema:

En la figura 4.15 se observa que las coordenadas de P, en el primer sistema, son:

Asimismo, en el nuevo sistema las coordenadas de P son ' ' , ' . Se tiene:

194

' ' '

Por consiguiente, si se conoce la ecuación de una línea referida a cierto sistema de ejes, puede hallarse la ecuación de la misma línea referida a otro sistema de ejes paralelos a los primeros, reemplazando x por x’ + y y por y’ + en la ecuación dada.

Ejemplo 28

Solución x x y y


195

4.7. Rotación de ejes

rotación de ejes

Rotación de los ejes. Se trata de cambiar la dirección de los ejes sin que cambie el origen. Sean el ángulo de (OX, OX’), (x, y) las coordenadas del punto P referidas al sistema de ejes OX, OY, y (x , y ) las coordenadas del mismo punto referidas al sistema OX’, OY’, como se observa en la figura 4.16.

Por lo que, las coordenadas de P en el nuevo sistema son:

x = ON y y = NP, por lo que se tiene:

Por lo tanto, si se conoce la ecuación de una línea referida a un sistema de

ejes puede hallarse la ecuación de la misma respecto a otro sistema de ejes, tales que formen con los primeros un ángulo determinado , sustituyendo x y y, respectivamente, por y en la ecuación dada.

196

Ejemplo 29

Solución: x y

el término xy en la ecuación de las cónicas


197

x,y

xy

x’y’

A C

A = C

xy

Ejemplo 30

xy

Solución = 90 =

198

V F

XOY

2 22

22

=


199

Ejercicio 6

1. O’

O

2. O’

3. xy.

4. x2 + 24xy + 4y2

Ejercicios resueltos

1. A B

Soluciónr

AB

4

AB

A B

r

r 2 2

200

C rr 2 2 .

2. x2 + y2 x +2y

Soluciónx x x x

x x x x x x x

x x x 0 x x

x x

x y y

x2y y

A B

3.

Solución


201

Cr2 r r

d

d d

d

4.

Solución

a2 = a a = b2 = b b =

F(c, F’ c, F F’

5.

202

Solución x y

xy

Cy =

x = –

a2 a = a = b2 = b = b =

c

F F

F F

6.

Solución: M(x, y

MF y MF’


203

+ 2

=2

2

7.

Solución p p

p p

204

p p

p V

8.

Solución x V

p p

p F p F

y

lr

9. V

Solución 4 p

p p

10. AA’ ) b = 4.

Solución a AA’ , C


205

11.

SoluciónC(h, k C

a2 a a b2 b = 4 b

yx = .

cF F

A(h + a k , A’ (h – a k A A’ A A’ .

12. F , F’a

Solución M(x, y

MF MF’

206

13.

Solución

14. x 2 + (y 2

Solución:


207

15

Solución

A = B = C =

16.

Solución

A = B = – C =

= B2 AC 2

17.

Solución

A = B = C

18.O’

O

Solución x x’ y y’

208

19.

Solución

A B C

20. xy

Solución


209

a b = 2

OX’ , OY’ , C XOY

C(OH, HC

C XOY,

,

2

210

C

Autoevaluación

1. C R

2.

3. AC

4.

5.


211

6.

7. A

8.

9.

10.

11.

12.

212

13. ’

14. x2 + xy y2

15.

16.

17.


213

18.

19.

Ejercicios opcionales

1. 2 2 2

2.

3.

4..

5.

214

6.

7. xy

8. xy

9.xy

10.


215

Respuestas a los ejercicios

C r = 2

r

x2 + y2 + 4x = 0r = 4

C a b = , c = F , F’ e ,

C a = , b = 4, c = , F , F’ , e ,

C a = 4, b = 2, c , F, F’ , e , lr = 2

C e

x2+ y + 24 = 0

3

2

1

216

C a b c F F A A

e

C a b c F

F A A e

y' + 2 = 0

4

5

6


217

Respuestas a la autoevaluación

x 2 + (y 2

4. C , a b c , F F , e ,

F

C , a = b c F , F’ , A , A’ ,

e , 9 ,

a b

A , A’

218

Respuesta a los ejercicios opcionales

d

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