Una Solucion Simpledel Cubo de Rubik

Una publicacion del blog Just Categories

POR J. SANCHEZ

Mundialmente popularizado en losochentas, el cubo de Rubik es uno de

los mas interesantes juegos matematicosque se pueden encontrar. Tal vez este exitose deba a sus reglas intuitivas, aunque lasolucion no es facil de encontrar. Y es poresto que el cubo de Rubik es un hermosoproblema matematico: es un problemadifıcil donde su comprension no formaparte de la complejidad. Tan pronto comose tiene el cubo en las manos, se inicia laparte reflexiva, donde se busca la manerade ordenar los colores.

El primer reflejo cuando se trata de re-solver el cubo, es ordenar una cara, mismosi los bordes no tienen la buena disposicion.Aquı, se experimenta un poco de satisfac-cion con esta pequena muestra de orden en-tre tanto caos. Luego, comenzamos a com-pletar una cara, pero ahora con el buen or-den de los colores en la corona, llegandoası a nuestra primera pequena victoria.

Le tomo un poco mas de un mes al inven-tor del cubo de Rubik resolverlo. Original-mente el creo el cubo de solo un color. Comoarquitecto, el estaba interesado en el estu-dio de estructuras en tres dimensiones, y el

mecanismo del cubo resulto ser una buenaherramienta para sus cursos como profesor.El le preguntaba a sus estudiantes que des-cribieran el mecanismo interno del cubo, ycomo este permitıa que las partes se movie-ran casi libremente sin caerse.

Un tiempo despues, un amigo de ErnoRubik, le sugirio colorear las caras con el finde hacer un juego comercializable. Y fue deeste modo que la fiebre por el cubo de Ru-bik empezo, primero en Budapest, luego enLondres, Parıs, Nueva York y finalmente, elresto del mundo.

En estas notas voy a detallar una solucionque yo mismo encontre. Aunque exis-

ten muchas tecnicas para resolver el cubo,

1

la particularidad de esta solucion su formaintuitiva y simple. No hay necesidad de me-morizar una gran lista de patrones para en-contrar la solucion, solamente se necesitantres tipos de movimientos, y la ultima partedel metodo es similar a resolver un Sudoku.Sin embargo, no creo que esta solucion seala adecuada si lo que se quiere es resolverel cubo en menos de un minuto.

Antes de empezar con la descripcion, va-mos a hacer un boceto de la tecnica. Comose menciono antes, completar una cara esel primer paso de la solucion, por lo quetomamos como punto de partida una caracompleta y correctamente ordenada en susbordes. Si usted no sabe como hacer una ca-ra, tomese un poco de tiempo e intentelo,seguramente va a lograrlo. De esta mane-ra usted puede familiarizarse con los movi-mientos del cubo.

La segunda parte es alinear las ocho es-quinas. Con una cara ya completa, sola-mente se necesita alinear las otras cuatroesquinas. Para eso se van a utilizar dos ti-pos de movimientos. El primero es usadopara colocar las cuatro esquinas en el lugarcorrecto, aunque puede pasar que tenganalguna rotacion en los colores. El segundose usa para orientar estas cuatro esquinas.

Ası, en la ultima parte tenemos, unacara completa y todas las ocho esquinascorrectamente ordenas. Solamente faltacompletar las otras caras. Para eso usamosel ultimo tipo de movimiento, el cual vaa intercambiar cubos internos dejandosin cambios todo el resto. Probablementese necesitara aplicar varias veces estemovimiento, pero luego de un tiempo sellega a la solucion.

Ahora vamos a empezar con las notacio-

nes necesarias. Primero definimos unpunto de vista del cubo y luego identifica-mos los movimientos.

Los ejes del cubo nos dan 6 posibles mo-vimientos, los cuales son las rotaciones delas caras externas.

Con cada rotacion tenemos 3 posibilida-des: una rotacion de 90, denotada ×1, unarotacion de 270, denotada ×2, y una rota-cion de 270 grados, denotada ×3. Tambiense tienen 3 tipos de rotaciones internas.

2

Todo esto lo vamos a usar para poderdescribir los tres tipos de movimientonecesarios para la solucion del cubo.

El primer movimiento se escribe Σ y seusa con la ya hecha cara superior. Es-

ta cara sera llamada, cara de referencia. Laidea con Sigma es que mantenga sin cam-bios la cara de referencia e intercambie dosesquinas de la cara opuesta, que es la carainferior. En esta parte, no nos interesa loque sucede con los cubos que no estan en lacara de referencia o en las esquinas.

La accion de Σ sobre las cuatro esquinas

inferiores esta descrita en la siguiente ima-gen.

Se puede ver que dos esquinas fueronintercambiadas y que las otras dos sequedaron en el mismo lugar, una con unarotacion y la otra sin cambios.

Muy similar al primer movimiento, el si-guiente movimiento, Ω no afecta a la

cara de referencia y rota los colores de lascuatro esquinas de la cara inferior.

3

Ahora los detalles de como los colores ro-tan.

Al final del movimiento, una de lasesquinas inferiores se queda sin cambiosmientras que las otras sufrieron una rota-cion.

El ultimo tipo de movimiento, Φ, solo in-tercambia dos pares de cubos internos

sin afectar al resto.

Se pueden usar las letras R, G, W , B, Oy Y , para referirse a los colores de las ca-ras. Esta notacion es util cuando se este de-cidiendo como y cuales cubos internos sequieran intercambiar.

Con estos tres movimientos ahora pode-mos iniciar con la solucion del cubo.

4

Tal vez se necesita un poco de practicapara manejar sin problemas los movi-

mientos Σ, Ω y Φ, pero eso toma solo unosminutos. Ahora, los pasos para la solucion.

1. Complete una de cara del color quemas le guste, por ejemplo, rojo.

2. Vea las esquinas de la cara inferior, ytrate de alinearlas con las esquinas de lacara de referencia usando Σ. No importaque al final, las esquinas de la cara inferiortengan alguna rotacion en sus colores, sola-mente se necesita, que por ejemplo, debajodel cubo Y −R−B, se pueda encontrar elcubo Y −O −B.

3. Ahora es tiempo de orientar las esqui-nas. Para eso usamos Ω. Recuerde que Ωdeja sin cambios la esquina izquierda de lacara inferior. La idea es llegar a la posicion

donde solamente uno de los cubos de la carainferior este bien orientado. Luego, se colo-ca el cubo de Rubik de tal manera que elcubo orientado este en la posicion que Ωdeja sin cambios. Luego, se aplica Ω una odos veces. Ahora se puede ver que las todaslas esquinas estan orientadas.

4. En esta parte se usa Φ para intercam-biar los cubos internos. Tal vez la preguntasea, ¿Como exactamente se usa Φ?. Veamosdos ejemplos.

Con la siguiente configuracion, se necesi-ta aplicar una sola vez Φ antes de que elcubo de Rubik este resuelto.

Tambien el uso de Φ se puede ver en unasituacion como la suguiente.

5

En este caso, para resolver el cubo de Ru-bik, necesitamos hacer el intercambio de loscubos R

B ⇐⇒RG y R

W ⇐⇒ RY . Pero antes

de poder aplicar Φ, se necesita alinear loscubos. Esto se logra, en este caso, con lasecuencia de movimientos,

Luego de que se aplica Φ, necesitamosvolver a la posicion original. Por lo que seaplican en el orden inverso, todos los movi-mientos usados para alinear los cubos.

Lo mas importante cuando usamos Φ pa-ra intercambiar cubos internos, es recor-dar los movimiento intermediarios utiliza-dos para alinear los cubos que se quierenintercambiar, y no confundirse cuando seregresa a la posicion original. Por eso, talvez es mejor escribir los movimientos usa-dos para alinear los cubos. Pero hay quetener cuidado, un error puede hacer que setenga que volver a comenzar.

Este metodo necesita un poco de refle-xion a la hora de elegir los cubos que sequieren intercambiar en la ultima parte dela solucion, y tambien cuando se trata deencontrar la manera de alinear los cubospara poder aplicar Φ, pero es por eso queesta ultima parte se parece a un Sudoku.

No es complicada, pero puede tomar unpoco de tiempo y concentracion.

Uno de los aspectos interesantes en es-te metodo es que no da esa impresion

artificial de las soluciones usadas en cam-peonatos de velocidad, donde es necesariomemorizar una gran cantidad de movimien-tos y patrones. Pero tambien, esta solucionpuede ser usada para resolver otras varian-tes del cubo de Rubik.

Por ejemplo, el cubo 2× 2× 2 se resuel-ve usando solo Σ y Ω. Otro ejemplo es elRubik’s Cube Mirror, que se resuelve usan-do la tecnica que acabamos de describir. Eneste caso, el cubo tiene un solo color, perolos cubos que lo componen, tienen formasdiferentes.

Para cubos de Rubik de mayor tamano,como el 7× 7× 7, necesitarıamos encontraruna nueva version de Φ.

Pero tal vez vamos a ocupar nuevasversiones de Σ, Ω y Φ para resolver cubosde Rubik mas extranos y exoticos, como elcubo de Rubik de cuatro dimensiones.

En un aspectos mas tecnicos del cubo deRubik, este juego es un ejemplo de lo

que se llama en matematicas, un grupo. Re-cuerde que un grupo es un conjunto de ob-jetos junto con una operacion binaria. Estaoperacion, usualmente denotada ∗, cuentacon una unidad y cada elemento del grupotiene un inverso.

Un grupo puede describirse a partir desus generadores. Por ejemplo, considere unreloj mecanico que marca las horas. Este re-loj puede describirse con un grupo de doceelementos 0, . . . , 11, uno por cada hora.La operacion es la suma de horas. Pero sepueden usar 1 y la operacion para describir

6

los otros elementos del grupo. Por ejemplo4 = 1 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 1, o tambien podemos usarla notacion 4 = 14. El elemento neutro 0puede verse como 112.

Para describir el grupo del cubo de Rubikvamos a utilizar sus generadores. Primero,fije una posicion para el cubo. Los elemen-tos del grupo seran todas los posibles mo-vimientos finitos. Estos son completamen-te descrito por los movimientos basicos de-notados x1, x2, y1, y2, z1, z2, α, β, γ. El ele-mento neutro del grupo se escribe 1 y re-presenta el movimiento que no cambia na-da.

Para la operacion se usa la notacion αx1,que significa que primero se aplica x1 y lue-go α. Y entonces se pueden empezar a veralgunas relaciones como x41 = 1.

Ası, el cubo de Rubik es visto como elgrupo libre sobre el conjunto de generado-res x1, x2, y1, y2, z1, z2, α, β, γ cocientadopor cierta lista de relaciones. Cuales sonestas relaciones? x41 = 1, x42 = 1, y41 = 1,z42 = 1 y α4 = 1, son algunos ejemplos.

Este simple vistazo al mundo del cubo deRubik nos muestra como una buena

idea nace y como la gente toma esta idea

para empezar a crear todo tipo de nuevosresultados. Tal vez algunas variantes delcubo de Rubik son increıblemente comple-jas, pero todas ellas fueron posibles graciasal primer cubo.F

Para mas informacion sobre el tema:

Pida prestado o compre un Cubo de Rubik.

7