UNA “NUOVA” ARITMETICAUNA “NUOVA” ARITMETICA

L’ ARITMETICA L’ ARITMETICA MODULAREMODULARE

SISTEMI di NUMERAZIONESISTEMI di NUMERAZIONE

ee

Generalmente ci serviamo dell’orologio o della sveglia molte volte al giorno. I nostri orologi sono macchine per misurare il tempo e, qualsiasi strumento di misura è di “natura” matematica.

0

6

39

7

8

10

11 1

2

4

5

77 ++ 88 == 33

Contando con i numeri che rappresentano le ore, spesso si ottengono risultati

insoliti: sono le 7 e aggiungiamo 8 ore …….

Questo tipo di aritmetica si chiama aritmetica modularearitmetica modulare o anche sistema di numerazione finitosistema di numerazione finito

Si legge “7 più 8 uguale a 3 (modulo 12) “

Un’ altro sistema numerico finito si può costruire con i giorni della settimana: 0 domenica, 1 lunedì, 2 martedì,……, 6 sabato.

alcune domande:alcune domande:

1. Se il 4 marzo era di sabato, che giorno era il 24 marzo?

2. Per trovare che giorno sarà il 4 marzo dell’anno successivo si potrebbe ragionare così…

3.Si può anche andare all’indietro e chiedersi: che giorno era il 4 marzo del 1906? E il 4 marzo del 1806?

Allo stesso modo si possono risolvere problemi del tipo: che ora sarà tra 1675 ore?

Se numeriamo le 24 ore del giorno da 0 a 23 e se, ora sono le 18,tra 1675 ore saranno (1675+18) modmod 24, cioè le 11.

il problema si può risolvere contando o con l’aritmetica il problema si può risolvere contando o con l’aritmetica modulo 7modulo 7

Spiegazione parziale

Il gioco del telefonoIl gioco del telefono

-Scrivi il tuo numero -Scrivi il tuo numero di telefonodi telefono

-Cambia l’ordine alle cifre -Cambia l’ordine alle cifre e riscrivi il e riscrivi il numeronumero ottenutoottenuto-Sottrai dal maggiore il -Sottrai dal maggiore il minore e somma le cifre minore e somma le cifre fino ad ottenere un fino ad ottenere un numero con un’unica numero con un’unica cifracifra-Inizia a contare dopo la -Inizia a contare dopo la stella (contrassegnata con stella (contrassegnata con 1) nel senso indicato1) nel senso indicato

Quale posto raggiungi? Quale posto raggiungi?

1

il gioco del telefonoil gioco del telefono

Un numero è divisibile per 9 se lo è la somma delle sue cifre:Un numero è divisibile per 9 se lo è la somma delle sue cifre:

un numero di tre cifre (a, b, c) assegnato, si scrive in forma polinomiale nel modo seguente :

(100 a + 10 b + c) = (99 + 1) a + (9 +1 ) b + c = 99 a + 9 b + (a + b + c ) =

= 9 ( 11 a + 1 b ) +( a + b + c )

questa quantità è divisibile per 9

il numero dato è divisibile per 9, se lo è il termine ( a + b + c ) cioè la somma delle sue cifre

esempio

Se il numero di telefono, diviso 9, dà come resto 0, 1 , ……. 8, si ha lo stesso resto anche con il numero ottenuto cambiando l’ordine alle cifre

la differenza tra i due numeri, divisa per 9, dà come resto la differenza dei due resti, cioè 0.

I simboli del cerchio sono nove, perciò il conteggio deve terminare sul I simboli del cerchio sono nove, perciò il conteggio deve terminare sul nono simbolo dopo il primo indicato .nono simbolo dopo il primo indicato .

[0] ={0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 ……}

[1] ={1, 6, 11, 16, 21, 26, 31 ……..}

[2] ={2, 7, 12, 17, 22, 27, 32 ……..}

[3] ={3, 8, 13, 18, 23, 28, 33 ……..}

[4] ={4, 9, 14, 19, 24, 29, 34 …….}

Consideriamo l’insieme dei numeri interi Z e la relazione detta di congruenza modulo ncongruenza modulo n (con n > 0), così definita:

DuDue numeri e numeri a a e e bb sono equivalenti modulo sono equivalenti modulo n n se e solo se (se e solo se (a-a-b)b) è multiplo di n. è multiplo di n.

Con la relazione di equivalenza si può costruire l’insieme Zn delle classi di equivalenza, dette anche classi di resto modulo n

classi classi [0][0]

[1][1]

[2] [2]

[3][3]

[4][4]

E’ interessante vedere che le ordinarie operazioni di addizione e E’ interessante vedere che le ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione che sono definite in moltiplicazione che sono definite in Z danno luogo a operazioni analoghe in danno luogo a operazioni analoghe in Zn

++ [[00]] [[11]] [[22]] [[33]] [[44]]

[[00]] [0] [1] [2] [3] [4]

[[11]] [1] [2] [3] [4] [0]

[[22]] [2] [3] [4] [0] [1]

[[33]] [3] [4] [0] [1] [2]

[[44]] [4] [0] [1] [2] [3]

CLASSE di RESTI MODULO 5CLASSE di RESTI MODULO 5

- L’operazione ++ è interna

- Vale la proprietà associativa

- Esiste l’elemento neutro [[00]]- Esiste , per ogni elemento il simmetrico

- L’insieme ZZ5 5 è chiuso rispetto alla somma

[ a ] + [ b ] = [ a + b ][ a ] + [ b ] = [ a + b ]

esercizio. esercizio. [ 2 ] + [ 4 ] = [ 2 + 4 ] = [ 1 ];[ 2 ] + [ 4 ] = [ 2 + 4 ] = [ 1 ];

la classe [2] rappresenta tutti gli elementi del tipo 2+5h, gli elementi della classe [4] la classe [2] rappresenta tutti gli elementi del tipo 2+5h, gli elementi della classe [4] sono del tipo 4+5k, sono del tipo 4+5k,

la loro somma èla loro somma è 2+5h+4+5k=2+4+5(h+k)=6+5(h+k)= 2+5h+4+5k=2+4+5(h+k)=6+5(h+k)= 1+5+5(h+k)=1+5(h+k+1) :questo elemento1+5+5(h+k)=1+5(h+k+1) :questo elemento appartiene alla classe [1]. appartiene alla classe [1].

** [[00]] [[11]] [[22]] [[33]] [[44]]

[[00]] [0] [0] [0] [0] [0]

[[11]] [0] [1] [2] [3] [4]

[[22]] [0] [2] [4] [1] [3]

[[33]] [0] [3] [1] [4] [2]

[[44]] [0] [4] [3] [2] [1]

CLASSE diCLASSE di RESTI MODULO 5RESTI MODULO 5

-La classe [0] annulla qualunque prodotto

- Esiste , per ogni elemento, diverso da [0] il simmetrico

- L’operazione ** è interna

- Esiste l’elemento neutro [1]

- Vale la proprietà associativa

es. es. [ 2 ] x = [ 3 ]; x = [3] [ 2 ] x = [ 3 ]; x = [3] *[2]*[2]simmeticosimmetico ; x =[3]; x =[3] * [3]; x = * [3]; x = [4][4]

** [[00]] [[11]] [[22]] [[33]] [[44]] [[55]]

[[00]] [0] [0] [0] [0] [0] [0]

[[11]] [0] [1] [2] [3] [4] [5]

[[22]] [0] [2] [4] [0] [2] [4]

[[33]] [0] [3] [0] [3] [0] [3]

[[44]] [0] [4] [2] [0] [4] [2]

[[55]] [0] [5] [4] [3] [2] [1]

CLASSE di RESTI MODULO 6CLASSE di RESTI MODULO 6

Qui molte proprietà non valgono:- Non è vero che ogni elemento ha il simmetrico: per i numeri2, 3, 4 non esistono

- Ci sono elementi diversi da zero che moltiplicati tra loro danno 0- In alcune righe compare più volte uno stesso elemento

Cosa è cambiato da 5 a 6? Si potrebbe rispondere che 5 è dispari e 6 pari, ma basterebbe provare con modulo 9 o 15 per rendersi conto che alcuni elementi non hanno il simmetrico.

5 è un numero primo e non ammette divisori propri e quindi non ci possono essere numeri diversi da zero che moltiplicati tra loro diano 0

La prova del noveSupponiamo di aver moltiplicato due numeri a e b, e di aver ottenuto come risultato c. Rifacendo il calcolo, potremmo ottenere risultati uguali o diversi: se sono diversi siamo sicuri che almeno uno dei due è errato, se sono uguali non abbiamo la certezza che il risultato sia corretto perché potremmo aver fatto lo stesso errore in tutti due i calcoli.

Lo stesso avviene con la prova del nove: la prova del nove: se i conti “non tornano” siamo sicuri di aver sbagliato la prova o la moltiplicazione, se “tornano”, avremo la conferma dell’esattezza del risultato, ma mai la sicurezza

La prova del nove è molto più veloce che non rifare la moltiplicazione e quindi è preferibile

La prova del nove ( o dell’ 11, o ... ) si basa sul fatto che se a * b = c allora

a mod p * b mod p = c mod pa mod p

b mod p

a mod p * b mod p

c mod p

Es. 564 * 4318 = 2435352

6

7

(6 7) mod 9 = 66

c mod p =c mod p = 6 6

*

Si potrebbe fare anche la prova del 2, ricordando che a mod 2 è uguale a 1 se a è dispari e a 0 se a è pari

Se almeno uno dei due numeri da moltiplicare è pari il risultato deve essere pari, se ambedue sono dispari il risultato deve essere dispari

Perché allora non si usa la prova del 2 ?

Ricordiamo che se la prova non torna il risultato è sbagliato, ma se la prova torna, potrebbe funzionare per caso.

E perché non si fa con 347? Ci sarebbero 347 casi possibili (0……346) e l’eventualità che la prova torni per caso è piuttosto remota.

La prova del 9 è abbastanza facile, ma anche la prova dell’ 11 può essere applicata senza troppi problemi

Basta osservare che: 10 = - 1 mod 11; 100 = 10*10 = 1 mod 11 e così via

P R O V A T EP R O V A T E

Anche la prova della divisione ( con resto ) si fa allo stesso modo

Se (a : b ) dà come quoziente q e resto r, risulta q* b +r =a PROVATEPROVATE

Il problema del falsario

Alla ricerca di un falsario che spaccia monete, la polizia ha fermato sei viaggiatori provenienti dal paese di …… , a ognuno dei quali ha sequestrato le monete e ha fatto sei mucchietti.

La polizia sa solo che le monete false si riconoscono da quelle vere perché differiscono da queste di un grammo e che le monete buone pesano un numero esatto di grammi.

Con l’aiuto di una bilancia la polizia riesce a smascherare il falsario

Quante pesate al minimo si devono fare?

Una sola pesata è sufficienteUna sola pesata è sufficiente

La strategia consiste nel prendere 1 moneta dal primo mucchio, 2 dal secondo, …6 dall’ultimo mucchio: in totale ci sono 21 monete.

Sia p il peso non noto di una moneta buona. Se tutte le monete fossero buone il peso totale sarebbe 21p, un numero divisibile per 21.

Invece nel mucchio ci sono monete false, e precisamente una se il falsario è il primo viaggiatore, due se è il secondo, …… di 6 se è il sesto.

Continuazione ……

Il peso totale delle 21 monete sarà 21p più tanti grammi quante sono le monete false

Se si divide il peso totale per 21, si avrà come resto 1 se il falsario è il primo viaggiatore ……

Supponiamo che le monete false pesino 1 grammo di più delle buone:

Che succederebbe se le monete false pesassero 1 in meno ?Che succederebbe se le monete false pesassero 1 in meno ?

Indizio

21p 21p+1

21p-1

Resto della divisione per 21 è 1

Resto della divisione per 21 Resto della divisione per 21 è…??è…??

Nell’ambito delle classi di resto è interessante il

TEOREMATEOREMA : Se p è primo, e a è primo con p, a Se p è primo, e a è primo con p, a p – 1p – 1==1 mod p (piccolo 1 mod p (piccolo teorema di Fermat)teorema di Fermat)

Il teorema permette di calcolare l’inverso di un numero in un’ aritmetica finita

Nel 1736 fu proprio Eulero a generalizzare il piccolo teorema di Fermat e a dimostrare che

Dati due qualsiasi numeri primi m ed N primi tra loro allora è m Dati due qualsiasi numeri primi m ed N primi tra loro allora è m ((N N ) ) __ 1 = 0 1 = 0 (mod N)(mod N)((N):N): funzione di Eulero che associa, a un numero intero N, il numero degli interi primi con N ed è funzione di Eulero che associa, a un numero intero N, il numero degli interi primi con N ed è uno degli ingredienti fondamentali del cifrario RSA uno degli ingredienti fondamentali del cifrario RSA (Rivest, Shamir,Adlemann)

Il problema di codificare o cifrare un messaggio è stato affrontato, generalmente per usi militari, attraverso tutta la storia della civiltà umana

La sfida del XX secolo era l’ideazione di un codice per cui anche il più potente calcolatore impiegasse millenni per la decodifica

LA CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA LA CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA (qualche considerazione)

Nel 1976 Diffie e Hellmann riuscirono a mostrare che per scambiarsi un messaggio segreto non è più indispensabile incontrarsi in privato per fissare una chiave

Lo sviluppo delle loro idee ha portato alla costruzione di molteplici algoritmi per il controllo dell’identità digitale – firma – e per la comunicazione cifrataL’ idea si basa sullo studio degli elevamenti a potenza nelle classi di resto che permettono ai due comunicanti di accordarsi su una chiave comune con cui cifrare i propri messaggi

I due interlocutori A e B concordano un numero primo p molto grande e un intero g minore di p

A sceglie un numero segreto a, calcola = ga (mod p) e lo comunica a BA sua volta B sceglie un numero segreto b , calcola = gb (mod p) e lo comunica ad A

Sarà possibile per A calcolare s = = gab ( mod p ) e per B calcolare lo stesso s = = gab ( mod p )

Chi avesse intercettato a tutta la comunicazione, sarà in possesso dei numeri p, g, , , ma non conoscendo né a né b , non sarà in grado di calcolare s, perché nelle classi di resto non si conoscono algoritmi efficienti per calcolare per esempio a da g e

Es:p=23, g=5 A sceglie il valore segreto 77 e calcola 577 mod 23=17.

Anche B sceglie un valore segreto, ad esempio, 55, calcola 555 mod 23 = 20A e B si comunicano i risultati: la chiave comune sarà 1755 mod 23 per B che è uguale a quello che si ricava A, 2077 mod 23, ovvero 21.

Il loro segreto in comune è 21

Chi ha ascoltato la conversazione conosce il 23, il 5, il 17 e il 20, ma per ricavare il segreto comune deve scoprire almeno uno degli esponenti scelti segretamente e mai comunicati

Nell’esempio si può procedere per tentativi provando gli esponenti da 1 a 22, ma se i numeri fossero dell’ordine del miliardo di miliardi,( con un miliardo di combinazioni al secondo), si impiegherebbe un tempo troppo lungo per decodificare il messaggio

PP0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ….….

C=PC=P33 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 …1000 …

C ’ = PC ’ = P33 mod 11 mod 11 0 1 8 5 9 4 7 2 6 3 10 0 1 8 5 9 4 7 2 6 3 10 ….….

L’aritmetica modulareL’aritmetica modulare è usata in numerosi crittosistemi per dissimulare ulteriormente l’informazione già trasformata da una funzione di cifratura.

L’ utilità dell’aritmetica modulare è mostrata già dalla semplice funzione di cifratura C = P3. Al crescere di P, la crescita continua di P3 rende possibile invertire la funzione, ovvero determinare il valore di P che corrisponde a un dato valore di C, anche senza una formula semplice per esprimere P come radice cubica di C.

Più precisamente, un valore di P che fornisca un valore piccolo di C è esso stesso piccolo, uno che dia luogo a un valore elevato è elevato.

Se invece si introduce la modularità, C ‘ è uguale a P3 modulo 11, e i valori della funzione hanno un andamento disordinato.

Al crescere di P, C ‘ varia in modo affatto discontinuo, celando efficacemente P.

SISTEMI di NUMERAZIONESISTEMI di NUMERAZIONE

PerPer sistema di numerazionesistema di numerazione si intende quell’ insieme di si intende quell’ insieme di simboli e di regolesimboli e di regole che permettono di esprimere che permettono di esprimere graficamente i numeri e di leggerli.graficamente i numeri e di leggerli.

1 * 10 10 + 4 4 * 1 = 144

Una decina4 unità

Contiamo gli elementi dell’ insieme A

A

nel sistema a base 10

(o modulo 10)

Ogni numero può essere scritto in forma polinomialeforma polinomiale

es. 124 = 1 * 102 + 2 * 101 + 4 * 00 ; ricordiamo che 10 0 = 1

ALCUNE BASI di NUMERAZIONE DIVERSE DA DIECIALCUNE BASI di NUMERAZIONE DIVERSE DA DIECI

Per gli antichi guerrieri, che dovevano reggere un’arma, forse era più comodo utilizzare una sola mano e quindi contare a gruppi di cinque, cioè in base cinque: questo modo di contare è citato per esempio nell’ OdisseaOdissea di Omero

Gli antichi Caldei, grandi astronomi, divisero il cerchio dell’orizzonte in trecentossesanta parti e presero il suo sottomultiplo sessanta come base della loro numerazione.

La numerazione binaria, cioè in base due, era già stata usata da qualche antico popolo orientale, forse suggerita dall’uso delle due mani; fu poi riutilizzata da G. Leibniz (1646-1716) nel ‘600, ma ebbe poca fortuna fino a poco tempo fa, quando divenne la numerazione fondamentale per le macchine calcolatrici.

I Babilonesi usarono delle basi diverse di numerazione, sessanta e dieci.

Nel sistema decimale sono sufficienti dieci simboli : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 per rappresentare tutti i numeri

Con lo stesso simbolo possiamo indicare le unità (I ordine), le decine (II ordine), poi le centinaia (III ordine), etc.

Possiamo usare lo stesso metodo per contare in una base diversaPossiamo usare lo stesso metodo per contare in una base diversa

Se vogliamo contare in base base cinquecinque, sono sufficienti cinque simboli (0, 1, 2, 3, 4) per indicare le unità del I ordine, con un gruppo di cinque “oggetti”(cinquina) otteniamo un’unità del II ordine, con cinque cinquine formiamo un’ unità del III ordine e così via.

EsempiEsempi es.1 es.1 Contiamo a base 10Contiamo a base 10

103 102 101 100

Possiamo scrivere 2*101 +

5*100

25 dieci

es.2 es.2 Contiamo a base 5Contiamo a base 5

53 52 51 50

Possiamo scrivere 4*51 + 3*50 43 cinque

es.3 es.3 Contiamo in base dueContiamo in base due

23 22 21 20

(si legge “uno-zero-zero-uno”)

1 * 23 + 0 * 22 + 00 * 21 + 1 * 20 10011001duedue

11 00 1100

es.3 es.3 Contiamo in base dueContiamo in base due

23 22 21 20

(si legge “uno-zero-zero-(si legge “uno-zero-zero-uno”)uno”)

11*23 + 00*22 + 00*21 + 11*20 10011001due

Da una base qualunque alla baseDa una base qualunque alla base 10 e viceversa10 e viceversa

32otto = 3 * 81 + 2 * 80 = 24 + 2 = 26dieci

122quattro = 1 * 42 + 2 * 41 + 2 * 40 = 26dieci

Da una base a una base qualunqueDa una base a una base qualunque

23cinqu

e

13dieci 111tre

ancoraancora esempi.....esempi.....

++

11

1010

00 00

11 11

00 11 **

00

11

00 00

11 00

00 11Tabelle relative Tabelle relative all’addizione e alla all’addizione e alla

moltiplicazione a base 2moltiplicazione a base 2

qualchequalche operazione .....operazione .....

a) 120tre + 12tre = 202 tre

b) 121 tre - 11tre = 110tre

c) 217otto * 32otto = 7206otto

d) 11110due : 101due =

110due e) AB3sedici + 8ADsedici = 1360sedici

f) 324cinque * 12cinque = 4443cinque

Ci sono errori ???Ci sono errori ???

È ora di smetterla con questa È ora di smetterla con questa mmaatteematica, che ne dite?matica, che ne dite?

77

10 10

1313

66