Una Introducción al Método de

Diferencias Finitas. Métodos

Implícitos y Explícitos

Eusebio Ingol Blanco, Ph.D.

Daene McKinney, Ph.D.

Universidad Nacional Agraria la Molina Escuela de Postgrado

Maestría en Ingeniería de Recursos Hídricos

Método de Diferencias Finitas

• Finite-difference method

– Replace derivatives in governing equations with Taylor series approximations

– Generates set of algebraic equations to solve

Taylor Series

• Expresion en series de Taylor de h(x) en un punto t x+Dx cerca a x

• Si se trunca la serie despues del nth termino, el error sera

Primera Derivada- Hacia Adelante

• Considerar una expansión en series de Taylor hacia adelante de una función h(x) cerca al punto x

• Resolver para 1st derivada

 

h(x)

x

xx D

xD

 

h(x)

xxx D

xD

Primera Derivada- Hacia Atras

• Considerar una expansión en series de Taylor hacia atras de una función h(x) cerca al punto x

• Resolver para 1st derivada

 

h(x)

x

xx D

xD

 

h(x)

xxx D

xD

Segunda Derivada- Central

 

¢ ¢ h (x)Adicionar y resolver para

Aproximación en Diferencias Finitas

 

hi+1 

h(x)

x

 

i +1

xD

 

hi

 

i

 

hi-1

 

i -1

xD

Hacia atras 1st derivada

Hacia adelante 1st derivada

Central 2nd derivada

Grids y Discretización

• Proceso de discretizacion

• Grid definido para cubrir el dominio

• Objetivo es predecir los valores de carga en los puntos de nodo de la malla

– Determinar efectos de bombeo

– Flujo de un rio, etc

• Método D.F

– Popular y fácil de implementar

– Atractivo para simple geometría

i,j

i,j+1

i+1,j

i-1,j

i,j-1

x, i

y, j

Domain

Mesh

Node point

D x

D y

Grid cell

 

Notation

h(x, y, z,t) = hi, j,kl

Aproximación de Derivadas • Ecuación que rige

• 2nd derivada x

• 1st derivada t

 

¶2h

¶x2=

S

T

¶h

¶t

Hacia adelante Hacia atras

li ,1

ix,

lt,

1, li

li ,1

1, li

xD

tD

li,

Método Explicito

• Use toda la información del paso de tiempo anterior para calcular el valor en este paso de tiempo

• Procede punto por punto a través del dominio

• Podría ser inestable para largos periodos de tiempo

li ,1

ix,

lt,

1, li

li ,1

1, li

xD

tD

li,

 

¶2h

¶x2=

S

T

¶h

¶t

Aprox. DF

Método Explicito

 

hil+1 = hi

l + r hi-1l - 2hi

l + hi+1l( )

l+1 nivel tiempo desconocido

l nivel tiempo conocido

Método Explicito

 

hil+1 = hi

l + r(hi-1l - 2hi

l + hi+1l )

Dx = 1m, L = 10m, b = 1.5m

hA = 6.1m, hB = 1.5m,

K = 0.5m/d, S = 0.02

Considerar: r = 0.48 r = 0.52

Resultados (Dt = 18.5 min; r = 0.48 < 0.5)

Resultados (Dt = 20 min; r = 0.52 > 0.5)

Método Implícito

• Usa información de un punto en el paso de tiempo anterior para calcular el valor en todos los puntos de este paso de tiempo

• Resuelve para todos los punto en el dominio simultáneamente

• Es mas estable

li ,1

ix,

lt,

1, li

li ,1

1, li

xD

tD

li,

1,1 li1,1 li

1,1 li 1,1 li

 

¶2h

¶x2=

S

T

¶h

¶t

Aprox. DF

Método Implícito

 

-rhi-1l+1 + (1+ 2r)hi

l+1 - rhi+1l+1 = hi

l

l+1 nivel tiempo desconocido

l nivel tiempo conocido