UNA INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE...
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U NA INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE MÓDULOS C AMILA ANDREA S ARMIENTO B ETANCOURT Universidad Distrital Francisco José de Caldas Bogotá D.C. 2016
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UNA INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE MÓDULOS
CAMILA ANDREA SARMIENTO BETANCOURT
Universidad Distrital Francisco José de CaldasBogotá D.C.
2016
A mi familia y amigos
Agradecimientos
Agradezco a mi directora Verónica Cifuentes por toda su colaboración, dedicación e in-terés en la realización de este trabajo.
A mis padres y a mi hermana por su apoyo incondicional y no dejarme desfallecer enestos años de estudio.
Por ultimo agradezco a Sergio por creer en mí y en mis capacidades para lograr esteobjetivo.
I
Índice general
Agradecimientos I
Introducción III
1. Álgebras 1
1.1. K-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Teorema de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Radial de una K-álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Módulos 26
2.1. Módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Lema de Nakayama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3. Categoría de módulos 40
3.1. Categorías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.1. Categoría aditiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2. Categoría abeliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2. Funtores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1. Equivalencia de categorías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3. Categoría de módulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4. Conclusiones 66
Referencias 66
II
Introducción
Dentro del estudio de las estructuras algebraicas hay una que es objeto de estudio en elpresente escrito, esta es la estructura de módulo. En este trabajo se dará una introduc-ción a la teoría de módulos partiendo de otra estructura algebraica, las k-álgebras. Lalínea de presentación será la misma que nos brinda [4].
En primera instancia se definirán las k-álgebras y las propiedades que tienen lugar, paracontinuar con la presentación de los módulos a partir del concepto de álgebra.
A continuación, se introducirá el concepto de categoría y funtor, con algunas propieda-des que nos brindaran las herramientas necesarias para definir la categoría de módulos.
Por último, se mostrarán los módulos como conjuntos de espacios vectoriales conecta-dos por aplicaciones lineales, además se verán las propiedades de los módulos comoestructura algebraica, contando con algunos ejemplos ilustrativos.
III
Capítulo 1
Álgebras
En este capítulo empezaremos recordando algunas de las definiciones básicas del álge-bra como lo son la definición de grupo, espacio vectorial y anillo, para así definir unaK-álgebra. Además se definirán los homomorfismos de K-álgebras y sus implicacionesy se expondrán algunos ejemplos. Se presentara el teorema de isomorfismos para álge-bras y por último se dará la noción de radical de un álgebra.
1.1. K-álgebras
DEFINICIÓN 1. ([3], pp 19) Un grupo 〈G, ∗〉 es un conjunto G, junto con una operación binaria∗ en G, tal que satisface los siguientes axiomas:
I a ∗ b ∈ G para todo a, b ∈ G
II La operación binaria ∗ es asociativa.
III Existe un elemento e en G tal que e ∗ x = x ∗ e = x para todas las x ∈ G.
IV Para cada a en G existe un elemento a′ en G con la propiedad de que a′ ∗ a = a ∗ a′ = e.
Un grupo se dice abeliano si a ∗ b = b ∗ a para todo a, b ∈ G.
DEFINICIÓN 2. Un anillo es una tripla (A,+, ·) que consiste de un conjunto A y dos opera-ciones binarias
+ : A× A −→ A(a, b) 7−→ a + b
1
· : A× A −→ A(a, b) 7−→ a · b
Tal que (A,+) es un grupo abeliano y satisface:
I (ab)c = a(bc)
II a(b + c) = ab + ac y (b + c)a = ba + ca
para todo a, b, c ∈ A. Un anillo se dice conmutativo si ab = ba para a, b ∈ A La cuadrupla(A,+, ·, 1) es llamada Anillo con identidad y satisface que 1 ∈ A es tal que 1a = a1 = a paratodo a ∈ A.
Recordemos que un anillo A es un anillo de división si todo elemento no cero a ∈ Aen A es invertible, es decir, existe b ∈ A tal que ab = 1 y ba = 1. Un anillo de divisiónse dice campo si es conmutativo. Un campo K es algebraicamente cerrado si cualquierpolinomio no constante h(t) con coeficientes en K tiene una raíz en k.
Para continuar con el estudio de álgebras debemos tener en cuenta los siguientes con-ceptos.
DEFINICIÓN 3. Si A y B son anillos con elemento identidad, una aplicación f : A −→ B es unhomomorfismo de anillos si:
I f (a + b) = f (a) + f (b)
II f (ab) = f (a) f (b)
III f (1) = 1
para todo a, b ∈ A
DEFINICIÓN 4. ([3], pp 331) Sea K un campo. Un K-espacio vectorial consta de un grupoabeliano V bajo la suma, junto con una operación de multiplicación por un escalar por la izquier-da, de cada elemento de V por cada elemento de K, tal que para todas a, b ∈ K y α, β ∈ V sesatisfacen las siguientes condiciones:
I aα ∈ V
II a(bα) = (ab)α
2
III a(α + β) = (aα) + (aβ)
IV (a + b)α = (aα) + (bα)
V 1α = α
DEFINICIÓN 5. Sea K un cuerpo, una K-álgebra es un anillo A con elemento identidad tal queA tiene estructura de K-espacio vectorial compatible con la multiplicación del anillo. Es decir
λ(ab) = (aλ)b = (ab)λ
Para todo λ ∈ K y a, b ∈ A. Además se dice que A es una K-álgebra asociativa si
(ab)c = a(bc)
para todo a, b, c ∈ A.
Una K-álgebra A es finita si dimK A del K-espacio vectorial A es finita.
DEFINICIÓN 6. Un K-subespacio vectorial B de una K-álgebra A es una K-subálgebra de Asi la identidad de A pertenece a B y b1b ∈ B para todo b1, b ∈ BUn K-subespacio vectorial I de una K-álgebra A es un ideal a derecha de A si xa ∈ I paratodo x ∈ I, a ∈ A. De manera similar se define ideal a izquierda. Un ideal bilatero de A es unK-subespacio vectorial I de A si es un ideal a izquierda y a derecha de A.
DEFINICIÓN 7. Si I es un ideal bilateral de A y m ≥ 1 entero, denotamos por Im el idealbilateral de A generado por todos los elementos x1x2 · · · xm, donde x1, x2, . . . , xm ∈ I, esto es,Im consiste de todas las sumas finitas de elementos de la forma x1x2 · · · xm. Decimos que I0 = A.Un ideal I es nilpotente si Im = 0 para algún m ≥ 1.
DEFINICIÓN 8. ([2], pp 74) Sean A y B K-álgebras. Una aplicación f : A −→ B se dice que eslineal si:
f (a + b) = f (a) + f (b)f (λa) = λ f (a)
Para todo a, b ∈ A y λ ∈ K.
DEFINICIÓN 9. Sean A y B K-álgebras. Un homomorfismo de anillos f : A −→ B es llamadoun homomorfismo de K-álgebra si f es una aplicación K-lineal. Dos K-álgebras A y B sedicen isomorfas si existe un isomorfismo de K-álgebras, estos es un homomorfismo biyectivo deK-álgebras. Se nota A ∼= B.
3
Proposición 1.1.1. Si I es un ideal bilatero de una K-álgebra A entonces el K-espacio vectorialcociente A/I tiene única estructura de K-álgebra tal que la aplicación canónica
π : A −→ A/Ia 7−→ a = a + I
Se vuelve un homomorfismo de K-álgebra.
Demostración. Veamos que A/I es una K-álgebra. Sea λ, γ ∈ K y a, b, c ∈ A/I, así a =a′ + I, b = b′ + I y c = c′ + I para a′, b′, c′ ∈ A. Entonces
1. A/I es un grupo abeliano
I
a + b = (a′ + I) + (b′ + I)= (a′ + b′) + I= c′ + I= c
como c′ = a′ + b′ ∈ A entonces a + b ∈ A/I.
II
(a + b) + c = ((a′ + I) + (b′ + I)) + (c′ + I)= ((a′ + b′) + I) + (c′ + I)= ((a′ + b′) + c′) + I= (a′ + (b′ + c′)) + I= (a′ + I) + ((b′ + c′) + I)= (a′ + I) + ((b′ + I) + (c′ + I))= a + (b + c)
III El elemento neutro es I = 0 + I, donde 0 es el elemento neutro aditivo de A,ya que
I + a = (0 + I) + (a′ + I)= (0 + a′) + I= a′ + I= a
4
IV el elemento inverso es −a = −a′ + I, donde −a es el inverso aditivo de a′,puesto que
−a + a = (−a′ + I) + (a′ + I)= (−a′ + a) + I= 0 + I= I
V A/I es un grupo abeliano ya que como A es un grupo abeliano por ser unaK-álgebra entonces a′ + b′ = b′ + a′. Luego
a + b = (a′ + b′) + I = (b′ + c′) + I = b + a
2. A/I es un anillo con elemento identidad.
I
(ab)c = ((a′ + I)(b′ + I))(c′ + I)= (a′b′ + I)(c′ + I)= ((a′b′)c′) + I= (a′(b′c′)) + I= (a′ + I)(b′c′ + I)= (a′ + I)((b′ + I)(c′ + I))= a(bc)
II
a(b + c) = (a′ + I)((b′ + I) + (c′ + I))= (a′ + I)((b′ + c′) + I)= (a′(b′ + c′)) + I= (a′b′ + a′c′) + I= (a′b′ + I) + (a′c′ + I)= ((a′ + I)(b′ + I)) + ((a′ + I)(c′ + I))= ab + ac
5
III La identidad de A/I con respecto a la multiplicación es 1 = 1 + I, donde 1 esla identidad de la multiplicación de A, ya que
1a = (1 + I)(a′ + I)= 1a′ + I= a′ + I= a
3. A/I es un K-espacio vectorial
I
λa = λ(a′ + I)= λa′ + I
como λa′ ∈ A entonces λa ∈ A/I.
II
γ(λa) = γ(λ(a′ + I))= γ(λa′ + I)= γ(λa′) + I= (γλ)a′ + I= (γλ)(a′ + I)= (γλ)a
III
λ(a + b) = λ((a′ + I) + (b′ + I))= λ((a′ + b′) + I)= λ(a′ + b′) + I= (λa′ + λb′) + I= (λa′ + I) + (λb′ + I)= λ(a′ + I) + λ(b′ + I)= λa + λb
6
IV
(λ + γ)a = (λ + γ)(a′ + I)= (λ + γ)a′ + I= (λa′ + γa′) + I= (λa′ + I) + (γa′ + I)= λ(a′ + I) + γ(a′ + I)= λa + γa
V
1a = 1(a′ + I)= 1a′ + I= a′ + I= a
4. por último veamos que A/I tiene estructura de K-espacio vectorial compatiblecon la multiplicación del anillo:
λ(ab) = λ[(a′ + I)(b′ + I)]= λ(a′b′ + I)= λa′b′ + I= a′λb′ + I= a′b′λ + I= (a′b′ + I)λ= [(a′ + I)(b′ + I)]λ= (ab)λ
Por lo tanto A/I tiene estructura de K-álgebra.Veamos que π es lineal. Sean a, b ∈ A y λ ∈ K entonces
π(a + b) = a + b= a + b= π(a) + π(b)
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π(λa) = λa= λa= λπ(a)
Como sabemos que π es un homomorfismo de anillos, se tiene que π es un homomor-fismo de K-álgebras.
Ejemplos
(a) El anillo K[t] de todos los polinomios en la indeterminada t con coeficientes en Ky el anillo K[t1, . . . , tn] de todos los polinomios en indeterminadas conmutativast1, . . . , tn con eficientes en K son K-álgebras de dimensión infinita.
En efecto, sabemos que K[t] y K[t1, . . . , tn] son anillos con elemento identidad dadopor 1, veamos que cumplen la condición para ser K-álgebras.Así sean a ∈ K, yp(t), q(t) ∈ K[t]
a(p(t)q(t)) = (p(t)q(t))a
Veamos que es de dimensión infinita, es decir el cardinal de una base para K[t] esinfinito. Supongamos que la base es finita, así sea 1, t, t2, . . . , tn una base para K[t],consideremos el polinomio de grado n dado por
p(t) =n
∑i=0
citi
y consideremos q(t) = t, haciendo el producto, tenemos
p(t)q(t) =n+1
∑i=1
ci−1ti
el cual no puede ser generado por los elementos de la base, sin embargo está enK[t], luego la base debe ser infinita y por lo tanto la dimensión de K[t] es infinita. Demanera análoga se prueba para K[t1, . . . , tn].
(b) Si A es una K-álgebra y n ∈ N, entonces el conjunto Mn(A) de todas las matricescuadradas de tamaño n× n con coeficientes en A es una K-álgebra con respecto a lasuma y multiplicación usual de matrices. La identidad de Mn(A) es
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I =
1 0 · · · 00 1 · · · 0...
......
0 0 · · · 1
Veamos que Mn(A) es una K-álgebra. En efecto, sabemos que Mn(A) es un anillo.Ahora, sea λ ∈ K y B, C ∈Mn(A) entonces, sea D = BC así dij = ∑n
r=1 bircrj. Luego
λD = λ[dij]
=[λdij
]=
[λ
n
∑r=1
bircrj
]
=
[n
∑r=1
(λbir)crj
]
=
[n
∑r=1
bir(λcrj)
]
=
[(n
∑r=1
bircrj
)λ
]=[dijλ
]=[dij]
λ
= Dλ
Por lo tanto Mn(A) es una K-álgebra. Veamos que la dimensión de Mn(A) es n2.Una base para Mn(A) es el conjunto de matrices eij, donde
eij =
0 · · · 0 · · · 0...
......
0 · · · 1 · · · 0...
......
0 · · · 0 · · · 0
y 1 esta en la posición (i, j) para i, j ∈ {1, . . . , n}. Por lo tanto hay tantas matricescomo el número de entradas de una matriz de tamaño n× n es decir n2.
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(c) El subconjunto
Tn(K) =
K 0 · · · 0K K · · · 0...
......
K K · · · K
De Mn(K) consiste de todas las matrices triangulares [aij] en Mn(K) es una K-subálgebra de Mn(K). En efecto, la identidad de Mn(K) esta en Tn(K) ya que esuna matriz triangular. Sean A, B ∈ Tn(K): entonces
A =
a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0...
......
an1 an2 · · · ann
y B =
b11 0 · · · 0b21 b22 · · · 0...
......
bn1 bn2 · · · bnn
Así
AB =
a11b11 0 · · · 0
a21b11 + a22b21 a22b22 · · · 0...
......
∑nr=1 anrbr1 ∑n
r=1 anrbr2 · · · annbnn
Luego AB ∈ Tn(K). Por lo tanto Tn(K) es una K-subálgebra de Mn(K).
(d) Suponga que (I;�) es un poset finito, donde I = {a1, . . . , an} y � es un ordenparcial en I. El subconjunto
KI = {λ = [λij] ∈Mn(K); λst = 0 si as � at}
es una K-subálgebra de Mn(K).
En efecto. Como ai � ai entonces la posición λii admite todo el campo, en particularel 1. Por otra parte en las posiciones λij, con i 6= j, se tendrá que que ai � aj o ai � aj,si ai � aj, λij admite cualquier elemento del campo, en particular al 0 y si ai � ajentonces λij = 0, luego la identidad de Mn(K) está en KI. Veamos que el productoen KI es clausurativo. Sean A = [αij], B = [βij] ∈ KI, supongamos que ak � al para1 ≤ k, l ≤ n, así αkl = 0 y βkl = 0, haciendo el producto de A y B tenemos
AB = [αij][βij] =
[n
∑r=1
αirβrj
]= [δij]
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Veamos que δkl = 0. En efecto, supongamos que δkl 6= 0 entonces
δkl =n
∑r=1
αkrβrl
= αk1β1l + αk2β2l + · · ·+ αknβnl
así al menos αkrβrl 6= 0 es decir αkr 6= 0 y βrl 6= 0, luego ak � ar y ar � al, porser un orden parcial la relación � es transitiva y por lo tanto ak � al, lo cual escontradictorio, luego δkl = 0. Así se concluye que KI es una K-subálgebra de Mn(K).KI se llama el álgebra de incidencia del poset (I;�) con coeficientes en K.
(e) Si (I;≺) es el poset {1 � 2 � 3 � · · · � n} entonces el álgebra KI es isomorfoal álgebra Tn(K). Veamos como es el conjunto KI dado (I;≺). Sea A ∈ Mn(K).Entonces
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
... . . . ...an1 an2 · · · ann
tenemos que aii 6= 0 para 1 ≤ i ≤ n. Para los aij con i ≤ j se tiene que aij = 0. Paralos aij donde j ≤ i se tendrá que aij 6= 0. Luego
KI =
K11 0 · · · 0K21 K22 · · · 0
...... . . . ...
Kn1 Kn2 · · · Knn
Como KI y Tn(K) tienen la misma estructura se tiene que son isomorfos.
(f) Asuma que A1 y A2 son K-álgebras. El prodcuto de álgebras A1 y A2 es el álgebraA = A1 × A2 con la adición definida por (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2) y lamultiplicación dada por (a1, a2)(b1, b2) = (a1b1, a2b2), donde a1, b1 ∈ A1 y a2, b2 ∈A2. La identidad de A es el elemento 1 = (1, 1) = e1 + e2 ∈ A1 × A2, donde e1 =(1, 0) y e2 = (0, 1).
(g) Para cualquier K-álgebra A se define el álgebra opuesta Aop de A como la K-álgebracuyo conjunto subyacente y estructura de espacio vectorial son las mismas de A,pero la multiplicación ∗ en Aop se define por la formula a ∗ b = ba.
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1.2. Teorema de isomorfismo
Teorema 1.2.1. ([1],pp 13) Sea ϕ : A −→ B un homomorfismo de K-álgebras. Entonces existeun único homomorfismo ϕ : A/Kerϕ −→ Imϕ que hace conmutativo al diagrama
Aϕ
//
π��
B
A/kerϕϕ// Imϕ
i
OO
es decir, ϕ = iϕπ, donde i : Imϕ −→ B designa la inclusión canónica y π : A −→ A/kerϕ esla proyección canónica. En otras palabras, ϕ es un isomorfismo.
Demostración. Sea I = kerϕ. Un elemento de A/I es de la forma a + I = π(a), a ∈ A.Entonces
ϕ(a + I) = ϕ(π(a))= i(ϕ(π(a)))= ϕ(a)
Supongamos que existe ϕ tal que ϕ : A/kerϕ −→ Imϕ y ϕ = iϕπ. Entonces
ϕ(a + I) = ϕ(π(a))= i(ϕ(π(a)))= ϕ(a)
Luego ϕ(a + I) = ϕ(a + I). Por lo tanto ϕ es única.
Veamos que ϕ existe probando que esta bien definida. Sean a, b ∈ A tales que a + I =b + I,así (a− b) + I = 0. Luego a− b ∈ I y por lo tanto ϕ(a) = ϕ(b).
Probemos que ϕ es un homomorfismo de K-álgebras. Sean a, b ∈ A y λ ∈ K. Entonces
ϕ((a + I) + (b + I)) = ϕ(a + b + I)= ϕ(π(a + b))= ϕ(a + b)= ϕ(a) + ϕ(a)= ϕ(π(a)) + ϕ(π(b))= ϕ(a + I) + ϕ(b + I)
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ϕ((a + I)(b + I)) = ϕ(ab + I)= ϕ(π(ab))= ϕ(ab)= ϕ(a)ϕ(b)= ϕ(π(a))ϕ(π(b))= ϕ(a)ϕ(b)
ϕ(1 + I) = ϕ(π(1))= ϕ(1)= 1
ϕ(λ(a + I) + (b + I)) = ϕ(λ(a + I)) + ϕ((b + I))= ϕ(λπ(a)) + ϕ(b + I)= ϕ(π(λa)) + ϕ(b + I)= ϕ(λa) + ϕ(b + I)= λϕ(a) + ϕ(b + I)= λϕ(a + I) + ϕ(b + I)
Por lo tanto ϕ es un homomorfismo de K-álgebras.
Por último veamos que ϕ es inyectiva y sobreyectiva. En efecto, sea b ∈ Imϕ así existea ∈ A tal que ϕ(a) = b, luego b = ϕ(a + I). Por lo tanto ϕ es sobreyectiva.Sea a + I ∈ kerϕ, entonces ϕ(a + I) = 0, luego ϕ(a + I) = ϕ(a) = 0, es decir a ∈ I y Porlo tanto a + I = I, así ϕ es inyectiva.
Corolario 1.2.1. Sea ϕ : A −→ B un homorfimo sobreyectivo de K-álgebras. Entonces existeun único isomorfismo de K-álgebras ϕ : Kerϕ −→ B tal que
Aϕ
//
π��
B
A/kerϕϕ
;;
ϕ = ϕπ.
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Demostración. Como ϕ es un homomorfismo sobreyectivo, se tiene que B = Imϕ y lainclusión canónica es la identidad. Así por el teorema 1.2.1 tenemos el resultado espe-rado.
Ejemplo 1.2.1. Sea (G, ·) un grupo finito con elemento identidad e y sea A una K-álgebra. Elálgebra de grupo de G con coeficientes en A es el K-espacio vectorial AG que consiste de todaslas sumas formales ∑g∈G gλg, donde λg ∈ A, con la multiplicación definida por la formula(
∑g∈G
gλg
)·(
∑h∈G
hµh
)= ∑
f=gh∈Gf λgµh
Entonces AG es una K-álgebra de dimensión |G|dimk A y el elemento e = e1 es la identidad deAG.Veamos que AG es una K-álgebra.
1 AG es un grupo abeliano
I
∑g∈G
gλg + ∑h∈G
hµh = g1λg1 + · · ·+ gnλgn + h1µh1 + · · ·+ hmµhm
= ∑f∈G
f γ f ∈ AG
II
∑f∈G
f γ f +
(∑
g∈Ggλg + ∑
h∈Ghµh
)= ∑
f∈Gf γ f + (g1λg1 + · · ·+ gnλgn
+ h1µh1 + · · ·+ hmµhm)
= f1γ f1 + · · · fkγ fk+ (g1λg1 + · · ·
+ gnλgn + h1µh1 + · · ·+ hmµhm)
= ( f1γ f1 + · · · fkγ fk+ g1λg1 + · · ·
+ gnλgn) + h1µh1 + · · ·+ hmµhm
=
(∑f∈G
f γ f + ∑g∈G
gλg
)+ ∑
h∈Ghµh
III El elemento neutro es el 0 de A ya que
0 + ∑g∈G
gλg = ∑g∈G
(0 + gλg) = ∑g∈G
gλg
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IV Como gλg ∈ A entonces existe un elemento −gλg ∈ A tal que gλg − gλg = 0. Así
∑g∈G
gλg + ∑g∈G−gλg = ∑
g∈G(gλg − gλg) = 0
V Como A es un grupo abeliano tenemos que para gλg, hµh ∈ A, gλg + hµh = hµh + gλg.Así
∑g∈G
gλg + ∑h∈G
hµh = g1λg1 + · · ·+ gnλgn + h1µh1 + · · ·+ hmµhm
= +h1µh1 + · · ·+ hmµhm + g1λg1 + · · ·+ gnλgn
= ∑h∈G
hµh + ∑g∈G
gλg
2 AG es un anillo con elemento identidad
I ((∑
g∈Ggλg
)·(
∑h∈G
hµh
))·(
∑f∈G
f γ f
)=
(∑
gh∈Gghλgµh
)·(
∑f∈G
f γ f
)= ∑
(gh) f∈G(gh) f (λgµh)γ f
= ∑g(h f )∈G
g(h f )λg(µhγ f )
=
(∑
g∈Ggλg
)·(
∑h f∈G
h f µhγ f
)
=
(∑
g∈Ggλg
)·((
∑h∈G
hµh
)·(
∑f∈G
f γ f
))II
∑g∈G
gλg ·(
∑h∈G
hµh + ∑f∈G
f γ f
)=
(∑
g∈Ggλg
)·(
∑k∈G
kδk
)= ∑
gk∈Ggkλgδk
= ∑gh∈G
ghλgµh + ∑g f∈G
g f λgγ f
=
(∑
g∈Ggλg
)·(
∑h∈G
hµh
)+
(∑
g∈Ggλg
)·(
∑f∈G
f γ f
)
15
III El elemento identidad es e, puesto que
e · ∑g∈G
gλg = ∑g∈G
e(gλg)
= ∑g∈G
(eg)λg
= ∑g∈G
gλg
3 AG es un K-espacio vectorial. Sean α, β ∈ K
I α ∑g∈G gλg = ∑g∈G g(αλg), luego α ∑g∈G gλg ∈ AG.
II
α
(β ∑
g∈Ggλg
)= α ∑
g∈Gg(βλg)
= ∑g∈G
gα(βλg)
= ∑g∈G
g(αβ)λg
= (αβ) ∑g∈G
gλg
III
(α + β) ∑g∈G
gλg = ∑g∈G
g(α + β)λg
= ∑g∈G
g(αλg + βλg)
= ∑g∈G
[gαλg + gβλg]
= ∑g∈G
gαλg + ∑g∈G
gβλg
= α ∑g∈G
gλg + β ∑g∈G
gλg
16
IV
α
(∑
g∈Ggλg + ∑
h∈Ghµh
)= α ∑
f∈Gf γ f
= ∑f∈G
f αγ f
= ∑g∈G
gαλg + ∑h∈G
hαµh
= α ∑g∈G
gλg + α ∑h∈G
hµh
V 1 ∑g∈G gλg = ∑g∈G g1λg = ∑g∈G gλg
4 Sea α ∈ K, entonces
α
(∑
g∈Ggλg · ∑
h∈Ghµh
)= α ∑
gh∈Gghλgµh
= ∑gh∈G
α(ghλgµh)
= ∑gh∈G
(ghλgµh)α
=
(∑
g∈Ggλg · ∑
h∈Ghµh
)α
Por lo tanto AG es una K-álgebra.Por otro lado, tenemos que una base para AG es {giλi}i∈I , donde g1 ∈ G y λi están en una basepara A. Luego el cardinal de {giλi}i∈I es |G|dimk A.Si G es un grupo cíclico de orden m, entonces KG ∼= K[t]/(tm − 1)
K[t]ϕ
//
π��
KG
K[t]/ 〈tm − 1〉
ϕ88
Definamos a ϕ por
ϕ : K[t] −→ KG
∑i
aiti 7−→∑i
aigi
17
donde 〈g〉 = G, ademas ϕ(t) = g Veamos que ϕ es un homomorfismo sobreyectivo de K-álgebra.Sea λ ∈ K. Entonces
ϕ
(∑
iaiti + ∑
ibiti
)= ϕ
(∑
i(ai + bi)ti
)= ∑
i(ai + bi)gi
= ∑i(aigi + bigi)
= ∑i
aigi + ∑i
bigi
= ϕ
(∑
iaiti
)+ ϕ
(∑
ibiti
)
ϕ
(∑
iaiti ∗∑
jbjtj
)= ϕ
(∑
i∑
jaibjti+j
)= ∑
i∑
jaibjgi+j
= ∑i
aigi ·∑j
bjgj
= ϕ
(∑
iaiti
)· ϕ(
∑j
bjtj
)
ϕ(1) = ϕ(1t0)
= 1g0
= e
18
ϕ
(λ ∑
iaiti + ∑
jbjtj
)= ϕ
(λ ∑
iaiti
)+ ϕ
(∑
jbjtj
)
= ϕ
(∑
iaiλti
)+ ϕ
(∑
jbjtj
)
= ∑i
aiλgi + ϕ
(∑
jbjtj
)
= λ ∑i
aigi + ϕ
(∑
jbjtj
)
= λϕ
(∑
iaiti
)+ ϕ
(∑
jbjtj
)
Veamos que ϕ es sobreyectiva. En efecto, sea ∑i aigi ∈ KG así ϕ(∑i aiti) = ∑i aigi.
Veamos que 〈tm − 1〉 = I es kerϕ. Sea p(t) ∈ I entonces p(t) = q(t)(tm − 1) = ∑i aitm+i −∑i aiti, donde q(t) = ∑i aiti. Luego
ϕ
(∑
iaitm+i −∑
iaiti
)= ϕ
(∑
iaitm+i
)− ϕ
(∑
iaiti
)= ∑
iaigmgi −∑
iaigi
= ∑i
aiegi −∑i
aigi
= 0
Así I ⊆ Kerϕ.Sea p(t) ∈ Kerϕ. Por el algoritmo de la división tenemos que p(t) = q(t)(tm − 1) + r(t),donde gr(r) < m. Luego
ϕ(p(t)) = ϕ(q(t)(tm − 1) + r(t))= ϕ(q(t)(tm − 1)) + ϕ(r(t))= ϕ(r(t))
Como p(t) ∈ kerϕ entonces ϕ(p(t)) = ϕ(r(t)) = 0, pero gr(r) < m. Luego r(t) = 0. Asíp(t) = q(t)(tm − 1), es decir, kerϕ ⊆ I.Luego I = Kerϕ. Por lo tanto KG ∼= K[t]/ 〈tm − 1〉.
19
1.3. Radical de una K-álgebra
Antes de introducir el concepto de radical debemos definir un ideal maximal.Un ideal maximal de una K-álgebra A es un ideal M diferente de A tal que no existeningún ideal propio N de A que contenga propiamente a M.
DEFINICIÓN 10. El (Jacobson) radical radA de una K-álgebra A es la intersección de todos losideales maximales a derecha.
Lema 1.3.1. Sea A una K-álgebra y sea a ∈ A. las siguientes condiciones son equivalentes.
1. a ∈ radA
2. a ∈ B =⋂
Iidealmax.Izq.DeA I
3. Para cualquier b ∈ A, el elemento 1− ab tiene inverso a dos lados.
4. Para cualquier b ∈ A, el elemento 1− ab tiene inverso a derecha.
5. Para cualquier b ∈ A, el elemento 1− ba tiene inverso a dos lados.
6. Para cualquier b ∈ A, el elemento 1− ba tiene inverso a izquierda.
Demostración. 1⇒ 4 Sea b ∈ A. Supongamos que 1− ab no tiene inverso a derecha. En-tonces existe un ideal I maximal a derecha tal que 1− ab ∈ I. Como a ∈ radA ⊆ Ise tiene que ab ∈ I y 1 ∈ I lo cual es una contradicción. Luego 1− ab tiene inversoa derecha.
4⇒ 1 Supongamos que a /∈ radA entonces existe un ideal I maximal a derecha en A talque a /∈ radA. Luego A = I + aA. Asi existe x ∈ I y un b ∈ A tales que 1 = x + ab.Esto es x = 1− ab ∈ I no tiene inverso a derecha lo cual es una contradicción. Porlo tanto a ∈ radA.
2⇒ 6 Sea b ∈ A y supongamos que 1− ba no tiene inversa a izquierda. Luego existe unideal I maximal a izquierda de A tal que 1− ba ∈ I. Como a ∈ B ⊆ I entoncesba ∈ I y 1 ∈ I, lo cual es una contradicción. Luego 1− ba tiene inverso a izquierda.
6⇒ 2 Supongamos que a /∈ B. Sea I el ideal maximal a izquierda de A tal que a /∈ I.Entonces A = I + Aa. Así existe un x ∈ I y b ∈ A tales que 1 = x + ba luegox = 1− ba ∈ I, es decir x no tiene inverso a izquierda, lo cual es una contradicción.Por lo tanto a ∈ B.
20
3⇒ 5 Como 1− ab tiene inverso a dos lados entonces existe x ∈ A tal que (1− ab)x = 1.Entonces
x− abx = 1
Luego
b(x + abx)a = babxa− babxa− ba = 0
1 + bxa− babxa− ba = 11 + bxa− ba(1 + bxa) = 1
(1− ba)(1 + bxa) = 1
Así 1− ba tiene inverso a derecha.
Veamos que 1− ba tiene inverso a izquierda. Tenemos que existe y ∈ A tal quey(1− ab) = 1. Entonces
y− yab = 1b(y− yab)a = ba
bya− byaba− ba = 01 + bya− byaba− ba = 1
1 + bya− (bya + 1)ba = 1(1 + bya)(1− ba) = 1
Luego 1− ba tiene inverso a izquierda.
5⇒ 3 Como 1− ba tiene inverso a dos lados entonces existe x ∈ A tal que (1− ba)x = 1.Entonces
x− bax = 1
Luego
a(x + bax)b = abaxb− abaxb− ab = 0
1 + axb− abaxb− ab = 11 + axb− ab(1 + axb) = 1
(1− ab)(1 + axb) = 1
Así 1− ab tiene inverso a derecha.
21
Veamos que 1− ab tiene inverso a izquierda. Tenemos que existe y ∈ A tal quey(1− ba) = 1. Entonces
y− yba = 1a(y− yba)b = ab
ayb− aybab− ab = 01 + ayb− aybab− ab = 1
1 + ayb− (ayb + 1)ab = 1(1 + ayb)(1− ab) = 1
Luego 1− ab tiene inverso a izquierda.
4⇒ 3 Fijemos b ∈ A. Como 1− ab tiene inverso a derecha, entonces existe x ∈ A tal que(1− ab)x = 1. Luego x = 1− a(−bx). Así existe y ∈ A tal que
1 = xy = (1 + abx)y= y + abxy= y + ab
Luego y = 1− ab, es decir x es un inverso a izquierda de y y por lo tanto 1− abtiene inverso a dos lados.
6⇒ 5 Fijemos b ∈ A. Como 1− ba tiene inverso a derecha, entonces existe y ∈ A tal quey(1− ba) = 1 luego y = 1− (−yb)a. Así existe x ∈ A tal que
1 = xy = x(1 + yba)= x + xyba= x + ba
Luego x = 1− ba, es decir y es un inverso a derecha de x y por lo tanto 1− batiene inverso a dos lados.
Es claro que 5⇒ 6 y 3⇒ 4. Así el lema queda demostrado.
Este lema nos indica que el radical de un anillo A es un ideal bilatero de A.
Corolario 1.3.1. Sea radA el radical de una álgebra A
1. rad(A/radA) = 0.
22
2. Si I es un ideal bilatero nilpotente de A, entonces I ⊆ radA. Si, además, el álgebra A/Ies isomorfo al producto K× · · · × K de copias de K, entonces I = radA.
Demostración. 1. Sea a ∈ rad(A/radA), b ∈ A/radA. Por el lema 1.3.1 existe c ∈A/radA tal que
(1− ab)c = 1
Así (1− ab)c = 1− x, para a, b ∈ A, algún c ∈ A y x ∈ radA. Luego existe und ∈ A tal que (1− x)d = 1, es decir (1− ab)cd = 1. Luego 1− ab tiene inverso aderecha. Así a ∈ radA y por lo tanto a = 0 ∈ A/radA. Luego rad(A/radA) = 0
2. Sea m > 0 un entero tal que Im = 0. Sean x ∈ I y a ∈ A. Entonces ax ∈ I. Luego(ax)r = 0, para algún r > 0. Se sigue que la igualdad
(1 + ax + (ax)2 + · · ·+ (ax)r−1)(1− ax) = 1
Se mantiene para cualquier a ∈ A. Por el lema 1.3.1 se tiene que x ∈ radA. por lotanto I ⊆ radA.
Supongamos que el álgebra A/I es isomorfo al producto de copias de K. En par-ticular rad(A/I) = 0. El homomorfismo canónico π : A −→ A/I envía radA alrad(A/I). En efecto, si a ∈ radA y π(b) = b + I, b ∈ A, es cualquier elemento deA/I entonces 1− ab es invertible en A y luego el elemento
π(1− ab) = 1− π(b)π(a)
es invertible en A/I. Luego π(a) ∈ rad(A/I) = 0. Así radA ⊆ kerπ = I. Por lotanto radA = I.
Ejemplo
Sea I un poset finito y KI la K-álgebra de incidencia vista como una subálgebra de elálgebra de matrices Mn(K). Entonces el radKI es el conjunto U = {λ = [λij]|λii =0 para i = 1, . . . , n} y el álgebra KI/U es isomorfo al producto K × · · · × K de n copiasde K.Veamos que U es un ideal bilatero de KI. En efecto, Sea B = [βij] ∈ U y A = [αij] ∈ KI,entonces BC = [δij] donde δij = ∑n
r=1 βirαrj. Supongamos que ak � al, para 1 ≤ k, l ≤ n,así αkl = 0 y βkl = 0. Veamos que δkk = ∑n
r=1 βkrαrk = 0. Como ak � al entonces no sepuede tener que ak � am y am � al, para m 6= k. Así ak � am, es decir βkm = 0 param 6= k. Luego δkk = βkkαkk, como βkk = 0 entonces δkk = 0. Luego BA ∈ U y por lo tanto
23
U es un ideal a derecha de KI. de igual manera se prueba que U es un ideal a izquierdade KI y por lo tanto U es un idea bilatero de KI.Sea A ∈ U entonces el polinomio característico de A es p(λ) = (−1)nλn. Por el teoremade Cayley-Hamilton se tiene que p(A) = 0. Así An = 0, luego U es un ideal nilpotentede KI. Veamos que KI/U es isomorfo al producto de n copias de K. Así
KIϕ//
π��
K× · · · × K
KI/Uϕ
77
Definamos a ϕ por
ϕ : KI −→ K× · · · × KA 7−→ (a11, . . . , ann)
Veamos que ϕ es un homomorfismo sobreyectivo de K-álgebras. Sean A = [aij] y B =[bij] matrices de KI, entonces
I
ϕ(A + B) = ϕ([aij] + [bij])
= ϕ([ai j + bij])
= (a11 + b11, . . . , ann + bnn)
= (a11, . . . , ann) + (b11, . . . , bnn)
= ϕ(A) + ϕ(B)
II
ϕ(AB) = ϕ([aij][bij])
= (a11b11, . . . , annbnn)
= (a11, . . . , ann)(b11, . . . , bnn)
= ϕ(A)ϕ(B)
IIIϕ(1) = (1, . . . , 1)
24
IV Sea λ ∈ K
ϕ(λA) = ϕ(λ[aij])
= ϕ([λaij])
= (λa11, . . . , λann)
= λ(a11, . . . λ, ann)
= λϕ(A)
Veamos que ϕ es sobreyectiva. En efecto, sea (a11, . . . , ann) ∈ K× · · · ×K así ϕ(A) =(a11, . . . , ann). Por último veamos que U = kerϕ.Sea A ∈ Kerϕ entonces ϕ(A) = (0, . . . , 0) esto implica que aii = 0 luego A ∈ U. SeaA ∈ U, así aii = 0 luego ϕ(A) = (0, . . . , 0), por lo tanto A ∈ kerϕ.Por el teorema 1.2.1 concluimos que KI/U ∼= K × · · · × K. Luego por el corolario1.3.1 tenemos que U = radKI.
25
Capítulo 2
Módulos
En este capítulo se definirá módulo y se verán algunas de las propiedades básicas demódulos. Así mismo se presentaran algunos ejemplos de estos. Se verá un resultadoimportante el cual es el lema de Nakayama.
2.1. Módulos
DEFINICIÓN 11. Sea A una K-álgebra. Un A-módulo a derecha es una par (M, ·) donde M esun K-espacio vectorial y
· :M× A −→ M(m, a) 7−→ ma
Es una operación binaria que satisface las siguientes condiciones
(I) (x + y)a = xa + ya
(II) x(a + b) = xa + xb
(III) x1 = x
(IV) (xλ)a = x(aλ) = (xa)λ
para todo x, y ∈ M, a, b ∈ A y λ ∈ K.
Un módulo M se dice de dimensión finita si la dimensión de dimk M del K-espacio vectorialsubyacente de M es finito.
26
DEFINICIÓN 12. Un K-subespacio M′ de un A-módulo a derecha M se dice que es un A-submódulo de M si ma ∈ M′ para todo m ∈ M′ y a ∈ A.
Ejemplos
1. Si en la definición de módulo, A es un cuerpo, entonces la definición de módulocoincide con la definición de espacio vectorial sobre A. Por esto se dice que lateoría de módulos generaliza la de espacios vectoriales.
2. Cualquier grupo abeliano se puede considerar como un Z-módulo. Sea M un gru-po abeliano, x ∈ M y n ∈ Z se define xn como sigue: Si n ≥ 0, entonces x0 = 0y x(n + 1) = xn + x. Si n < 0, xn = (−x)(−n). Nótese que x1 = x(0 + 1) =x0 + x = x. La demostración se hará por inducción sobre n. Primero considere-mos el caso n ≥ 0. Sea m ∈ Z, y ∈ M y λ ∈ R. Entonces Para n = 0
I
(x + y)0 = 0= 0 + 0= x0 + y0
II
x0 + xm = 0 + xm= xm= x(m + 0)
III
x(0m) = x0= 0= (x0)m
IV
(xλ)0 = x(λ0)= 0= (x0)λ
27
Supongamos que se tiene para n = k. Así
I (x + y)k = xk + yk
II x(k + m) = xk + xm
III x(km) = (xk)m
IV (xλ)k = x(kλ) = (xk)λ
Probemos para n = k + 1
I
(x + y)(k + 1) = (x + y)k + (x + y)= xk + yk + x + y= x(k + 1) + y(k + 1)
II
x(k + 1 + m) = x(k + m + 1)= x(k + m) + x= xk + xm + x= x(k + 1) + xm
III
x((k + 1)m) = x(km + m)
= xkm + xm= (xk + x)m= (x(k + 1))m
IV
(xλ)(k + 1) = (xλ)k + xλ
= (xk)λ + xλ
= (xk + x)λ= (x(k + 1))λ
De manera análago se hace para n < 0.
28
3. Sea A una K-álgebra y sea Mn(A) el conjunto de todas las matrices de tamañon× n con entradas en A.El producto
Ba = [bij]a = [bija]
donde B = [bij] ∈Mn(A) y a ∈ A da a Mn(A) estructura de A-módulo. En efecto,sea C = [cij] ∈Mn(A), d ∈ A y λ ∈ K. Entonces
I
(B + C)a = ([bij] + [cij])a
= [bij + cij]a
= [(bij + cij)a]
= [bija + cija]
= [bija] + [cija]
= [bij]a + [cij]a
= Ba + Ca
II
B(a + d) = [bij](a + d)
= [bij(a + d)]
= [bija + bijd]
= [bija] + [bijd]
= [bij]a + [bij]d
= Ba + Bd
III
B(ad) = [bij](ad)
= [bij(ad)]
= [(bija)d]
= [bija]d
= ([bij]a)d
= (Ba)d
29
IV
B1 = [bij]1
= [bij1]
= [bij]
= B
V
(Bλ)a = ([bijλ])a
= [bijλ]a
= [(bijλ)a]
= [bij(aλ)]
= [(bija)λ]
= [bija]λ
= ([bij]a)λ
= (Ba)λ
Así Mn(A) es un A-módulo.
4. El subconjunto Tn(K) es un submódulo de Mn(K). En efecto, sean A ∈ Tn(K) yα ∈ K, entonces
A =
a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0...
......
an1 an2 · · · ann
Aα =
a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0...
......
an1 an2 · · · ann
α
=
a11α 0 · · · 0a21α a22α · · · 0
......
...an1α an2α · · · annα
Luego Aα ∈ Tn(K). Y por lo tanto Tn(K) es un submódulo de Mn(k).
30
DEFINICIÓN 13. Sean M y N A-módulos a derecha, donde A es una K-álgebra. Una aplicaciónlineal f : M −→ N es un homormofismo de A-módulos si f (aλ) = f (a)λ, para todoa ∈ M y λ ∈ A. Se dice que f es un monomorfismo si es inyectiva. f es un epimorfismo si essobreyectiva. Si f es biyectivo se dice que es un isomorfismo. Los A-módulos M y N a derechase dicen que son isomorfos si existe un isomorfismo de A-módulos h : M −→ N y se nota porM ∼= N. Un homomorfismo de A-módulo h : M −→ M se dice que es un endomorfismo.
Proposición 2.1.1. Si M es un A-módulo y M′ un A-submódulo de M entonces el K-espaciovectorial M/M′ tiene estructura natural de A-módulo tal que el epimorfismo canónico π :M −→ M/M′ es un homomorfismo de A-módulo.
Demostración. Sea x ∈ M/M′, entonces x = m + M′, para m ∈ M. Sea a ∈ A entonces
xa = (m + M′)a = ma + M′a = ma + M′
Como ma ∈ M se tiene que xa ∈ M/M′. Por lo tanto M/M′ tiene estructura natural demódulo. Veamos que π es linea. Sean m, n ∈ M y λ ∈ K. Entonces
π(m + n) = (m + n) + M′
= m + M′ + n + M′
= π(m) + π(n)
λπ(m) = λ(m + M′)= λm + λM′
= λm + M′
= π(λm)
Veamos que π cumple la condición para ser homomorfismo de módulos. En efecto
π(m)a = (m + M′)a= ma + M′a= ma + M′
= π(ma)
31
Proposición 2.1.2. Sea M un A-módulo a derecha y sea I un ideal a derecha de A. Entonces elconjunto MI que consiste de todas las sumas m1a1 + · · ·+ mnan, donde n ≥ 1, m1, . . . , mn ∈M y a1, . . . , an ∈ I es un submódulo de M.
Demostración. Sea m ∈ MI y b ∈ A, entonces
mb =
(n
∑i=1
miai
)b
=n
∑i=1
miaib
Como ai ∈ I se tiene que aib = ci ∈ I. Luego mb = ∑ni=1 mici ∈ MI y por lo tanto MI es
un submódulo de M.
DEFINICIÓN 14. Un A-módulo a derecha M se dice que es generado por los elementos m1, . . . , msde M si cualquier elemento m ∈ M es de la forma m = m1a1 + · · · + msas para algunosa1, . . . , as ∈ A. Se escribe M = m1A + · · ·+ ms A. Un módulo M se dice que es finitamentegenerado si es generado por finitos subconjuntos de elementos de M.
DEFINICIÓN 15. Sean M1, . . . , Ms submódulos de un A-módulo a derecha M. Se define M1 +· · · + Ms como el submódulo de M que consiste de todas las sumas m1 + · · · + ms, dondem1 ∈ M1, . . . , ms ∈ Ms y lo llamamos el submódulo generado por M1, . . . , Ms.
Proposición 2.1.3. Un modulo a derecha M sobre una K-álgebra A de dimensión finita esfinitamente generado si y solo si M es de dimensión finita.
Demostración. ⇐ Si b1, . . . , bn es una K-base β de M, entonces para m ∈ M se tienem = m1b1 + · · ·+ mnbn. Luego β es un conjunto generadores de M. Por lo tanto M esfinitamente generado.⇒ Si el A-módulo M es generado por los elementos m1, . . . , mn sobre A y si b1, . . . , bn esuna K-base de A. Luego el conjunto {mjbi|j = 1, . . . , n, i = 1, . . . , s} genera el K-espaciovectorial de M. Por lo tanto M es de dimensión finita.
Proposición 2.1.4. EL conjunto HomA(M, N) de todos los homomorfismos de A-módulos deM a N es un K-espacio vectorial con respecto a la multiplicacion por escalar ( f , λ) 7−→ f λ dadapor ( f λ)(m) = f (mλ) para f ∈ HomA(M, N), λ ∈ K y m ∈ M.
Demostración. Sean λ, µ ∈ K y f , g ∈ HomA(M, N). Entonces
I ( f λ)(m) = f (mλ) ∈ HomA(M, N).
32
II
(( f λ)µ)(m) = ( f λ)(mµ)
= f ((mµ)λ)
= f (m(µλ))
= ( f (µλ))(m)
= ( f (λµ))(m)
III
( f (λ + µ))(m) = f (m(λ + µ))
= f (mλ + mµ)
= f (mλ) + f (mµ)
= ( f λ)(m) + ( f µ)(m)
IV
(( f + g)λ)(m) = ( f + g)(mλ)
= f (mλ) + g(mλ)
= ( f λ)(m) + (gλ)(m)
V ( f 1)(m) = f (m1) = f (m)
Luego HomA(M, N) es un espacio vectorial.
Proposición 2.1.5. El K espacio vectorial EndM = HomA(M, M) de todos los endomorfis-mos de A-módulos es una K-álgebra asociativa con respecto a la composición de funciones. Laidentidad idM en M es la identidad de EndM.
Demostración. Sean f , g, h ∈ EndM y m, n ∈ M. Definamos la suma + es EndM comosigue
( f + g)(m) = f (m) + g(m)
Probemos que con la suma +, el K-espacio vectorial EndM es un grupo.
I
( f + g)(m + n) = f (m + n) + g(m + n)= f (m) + f (n) + g(m) + g(n)= ( f + g)(m) + ( f + g)(n)
Luego f + g ∈ EndM
33
II
(( f + g) + h)(m) = (( f + g)(m)) + h(m)
= ( f (m) + g(m)) + h(m)
= f (m) + (g(m) + h(m))
= f (m) + ((g + h)(m))
= ( f + (g + h))(m)
Así la suma es asociativa.
III Sea e la identidad aditiva de M y definamos el homomorfismo 0 por 0(m) = e. Así
( f + 0)(m) = f (m) + 0(m)
= f (m) + e= f (m)
IV para f definamos − f por (− f )(m) = −( f (m)). Luego
(− f + f )(m) = (− f )(m) + f (m)
= −( f (m)) + f (m)
= 0(m)
Además tenemos que
(− f )(m + n) = −( f (m + n))= −( f (m) + f (n))= − f (m) + (− f (n))= (− f )(m) + (− f )(n)
Así − f ∈ EndM
V Como M se define sobre la K-álgebra A y A es un grupo abeliano tenemos que:
f (m + n) = f (m) + f (n) = f (n) + f (m) = f (n + m)
Por lo tanto EndM son un grupo abeliano con la suma.
Veamos que EndM son un anillo con respecto a la suma + y a la composición de fun-ciones.
34
I
( f ◦ g) ◦ h(ma) = ( f ◦ g)(h(ma))= ( f ◦ g)(h(m)a)= f (g(h(m)a))= f (g(h(m))a)= f (g(h(m)))a= f ◦ (g(h(m)a))= f ◦ (g(h(ma)))= f ◦ (g ◦ h)(ma)
Luego la composición es asociativa.
II
f ◦ (g + h)(m) = f ((g + h)(m))
= f (g(m) + h(m))
= f (g(m)) + f (h(m))
= ( f ◦ g)(m) + ( f ◦ h)(m)
Así la composición es distributiva.
III La identidad idM dada por idM(m) = m es la identidad de EndM y así EndM sonun anillo con elemento identidad.
Por último veamos EndM son una K-álgebra asociativa.
I Sea λ ∈ K, entonces
λ( f ◦ g)(m) = λ( f (g(m)))
= f (λ(g(m)))
= f (g(λm))
= f (g(mλ))
= f (g(m)λ)
= f (g(m))λ
= ( f ◦ g)(m)λ
35
Como ya vimos que ( f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) entonces EndM son una K-álgebra asociati-va.
Proposición 2.1.6. Sean L, M y N A-módulos a derecha. Entonces la composición
◦ : HomA(M, N)× HomA(L, M) −→ HomA(L, N)
(h, g) 7−→ h ◦ g
es K-bilineal.
Demostración. Sean h1, h2 ∈ HomA(M, N), g1, g2 ∈ HomA(L, M) y λ ∈ K. Entonces
(h1 + h2) ◦ g1(m) = (h1 + h2)(g1(m))
= h1(g1(m)) + h2(g1(m))
= h1 ◦ g1(m) + h2 ◦ g1(m)
h1 ◦ ((g1 + g2)(m)) = h1(g1(m) + g2(m))
= h1(g1(m)) + h1(g2(m))
= h1 ◦ g1(m) + h1 ◦ g2(m)
(hλ) ◦ g(m) = (hλ)(g(m))
= h(g(m)λ)
= h(g(m))λ
= (h ◦ g(m))λ
h ◦ (gλ)(m) = h(gλ(m))
= h(g(mλ))
= h(g(m)λ)
= (h ◦ g(m))λ
36
DEFINICIÓN 16. Sea h : M −→ N un homomorfismo de A-módulos. Se define:
1. El Kernel de h como Kerh = {m ∈ M|h(m) = 0}.
2. La imagen de h como Imh = {h(m)|m ∈ M}.
3. El cokernel de h comoCokerh = N/Imh.
Proposición 2.1.7. El kernel, la imagen y el cokernel de h son submódulos.
Demostración. i. Sea m ∈ Kerh y a ∈ A. Así tenemos que
h(ma) = h(m)a = 0a = 0
Luego ma ∈ Kerh. Por lo tanto Kerh es un submódulo de M.
ii. Sean n ∈ Imh, entonces existe m ∈ M tal que h(m) = n. Luego para a ∈ A se tiene
na = h(m)a = h(ma)
Así na ∈ Imh. por lo tanto Imh es un submódulo de N.
iii. Como Imh es un submódulo de N, entonces Cokerh = N/Imh es un submódulode N.
DEFINICIÓN 17. La suma directa de M1, . . . , Ms de A-módulos a derecha es definica como el K-espacio vectorial de suma directa M1⊕ · · · ⊕Ms equipado con estructura de A-módulo definidapor (m1, . . . , ms)a = (m1a, . . . , msa) para m1 ∈ M1, . . . , ms ∈ Ms y a ∈ A establecemos
Ms = M⊕ · · · ⊕M (s copias)
DEFINICIÓN 18. UnA-módulo M a derecha se dice indescomponible si M es diferente de cero yno tiene descomposición en suma directa M ∼= N ⊕ L, donde L y N son A-módulos diferentesde cero.
Ejemplos
1. Si (I;�) es el poset {1 ≺ 2 · · · ≺ n}. Tendremos que
KI =
K K12 · · · K1n0 K · · · K2n...
......
0 0 · · · K
37
Como ya vimos el radical U de KI es:
U =
0 K12 · · · K1n0 0 · · · K2n...
......
0 0 · · · 0
Este es un submódulo de Mn(K). Así Mn(K) = Tn(k) ⊕ U. En efecto Sea A ∈Mn(K) entonces
A =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
......
an1 an1 · · · ann
donde aij ∈ K para 1 ≤ i, j ≤ n. Así
A =
a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0...
......
an1 an1 · · · ann
+
0 a12 · · · a1n0 0 · · · a2n...
......
0 0 · · · 0
= B + C
Luego B ∈ Tn(K) y C ∈ U. Por otro vemos que Tn(K) ∩ U = 0. Además paraa ∈ K se tiene que
(A, B)a = (Aa, Ba)
Para A ∈ Tn(K) y B ∈ U. Luego Mn(K) = Tn(K)⊕U.
2. Veamos que Z visto como módulo es indescomponible. Sean 〈m〉 y 〈n〉 submódu-los de Z tales que Z = 〈m〉 ⊕ 〈n〉. Como mn ∈ 〈m〉 ∩ 〈n〉 = 0 entonces mn = 0.Luego m = 0 o n = 0. Por lo tanto Z es indescomponible.
2.2. Lema de Nakayama
Lema 2.2.1 (Nakayama). Sea A una K-álgebra, M un módulo a derecha finitamentegenerado, e I ⊆ radA un ideal bilatero de A. Si MI = M, entonces M = 0.
Demostración. Suponga que M = MI y M = m1A + · · · + ms A, esto es, M esgenerado por los elementos m1, . . . , ms.
38
Se hará la prueba por inducción sobre s.
Sea s = 1. Entonces M = m1A = MI lo cual implica que m1(A− I) = 0. Luegoexiste x ∈ I tal que m1(1− x) = 0. Así m1 = 0 ya que (1− x) es invertible. Por lotanto M = 0.
Supongamos que M es generado por n elementos, es decir M = m1A+ · · ·+mn A.Luego tenemos que M = MI = m1 I + · · ·+ mn I. Así para a1, . . . , an ∈ I se tieneque m1 = m1a1 + · · ·+ mnan. Luego m1(1− a1) = m2a2 + · · ·+ mnan como 1− a1tiene inverso en A entonces m1 ∈ m2A+ · · ·+mn A. Así M tiene n− 1 generadoresm2, . . . , mn. Luego por la hipótesis de inducción M = 0.
Corolario 2.2.1. Si A es una K-álgebra de dimensión finita, entonces radA es nilpotente.
Demostración. Como dimK A < ∞ entonces la cadena
A ⊇ radA ⊇ (radA)2 ⊇ · · · ⊇ (radA)m ⊇ (radA)m+1 ⊇ · · ·
se vuelve estacionaria. Luego
(radA)m = (radA)m+1 = (radA)mradA
para algún m. Así por el lema de Nakayama se tiene que (radA)m = 0 y por lotanto radA es nilpotente.
39
Capítulo 3
Categoría de módulos
En este capítulo vamos a definir la categoría de módulos, para ello primero se dará unaintroducción a las categorías y funtores para así poder demostrar que la categoría de losmódulos es una categoría abeliana y con esto mostrar que los módulos se pueden vercomo conjuntos de espacios vectoriales conectados por aplicaciones lineales.
3.1. Categorías
DEFINICIÓN 19. ([5], pp 21) Una categoría es una cuádrupla C = (ObC, HomC, id, ◦) queconsiste de
1. Una clase ObC, cuyos miembros son llamados objetos.
2. Para cada par (A, B) de objetos, un conjunto HomC(A, B), cuyos miembros son llamadosmorfismos de A a B.
3. Para cada objeto A, un morfismo AidA−→ A, llamada identidad en A.
4. Una ley de composición asociada con cada morfismo Af−→ B y cada morfismo B
g−→ C un
morfismo Ag◦ f−−→ C, llamado la composición de f y g sujeto a las siguientes condiciones
a) La composición es asociativa, es decir, para morfismos Af−→ B, B
g−→ C y C h−→ D, laecuación h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f se mantiene.
b) Para C-morfismo Af−→ B, tenemos que idB ◦ f = f y f ◦ idA = f
40
c) Los conjuntos homC(A, B) son disjuntos dos a dos.
Ejemplos
1. La categoría Set de los conjuntos.Los objetos son conjuntos A, los morfismos HomSet(A, B) son funciones entre A yB, y la composición es la composición usual de funciones.
2. La categoría Vec de los espacios vectoriales.Los objetos son todos los espacios vectoriales reales (V,+, ·), los morfismos HomVec(V, W)son transformaciones lineales entre V y W. La composición de morfismos es lacomposición de transformaciones lineales.La transformación identidad es:
id :V −→ Vv 7→ v
Veamos que id ∈ HomVec(V, V). En efecto
id(u + v) = u + v= id(u) + id(v)
id(αu) = αu= αid(u)
Luego id es una transformación lineal.La composición de morfismos de Vec es un morfismos de Vec. Sean U, V, W ∈ObVec, T ∈ HomVec(U, V) y P ∈ HomVec(V, W). Entonces
P ◦ T(u + v) = P(T(u + v))= P(T(u) + T(v))= P(T(u)) + P(T(v))= P ◦ T(u) + P ◦ T(v)
P ◦ T(λu) = P(T(λu))= P(λT(u))= λP(T(u))= λP ◦ T(u)
41
Luego P ◦ T ∈ HomVec(U, W)La composición de morfismos de Vec es asociativa. En efecto, Sean U, V, W, Z ∈ObVec, S ∈ HomVec(U, V), P ∈ HomVec(V.W) y T ∈ HomVec(W, Z). Así
s ◦ (P ◦ S)(u) = T ◦ (P ◦ S(u))= T ◦ (P(S(u)))= T(P(S(u)))= (T ◦ P)(S(u))= (T ◦ P) ◦ S(u)
Sean U, V ∈ ObVec y T ∈ HomVec(V, U). Entonces
idU ◦ T(u) = idU(T(u))= T(u)
T ◦ idV(u) = T(idV(u))= T(u)
Se puede representar los morfismos de una categoría C por medio de diagramas. Asípara f ∈ HomC(A, B), g ∈ HomC(B, C) y h ∈ HomC(C, D) tenemos que h ◦ (g ◦ f ) =(h ◦ g) ◦ f se puede representar como
Bg//
��
C
h��
A
f
OO ??
Doo
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f
DEFINICIÓN 20. Se dice que el diagrama
Af//
h��
Bg��
C i // D
en una categoría C es conmutativo si g ◦ f = i ◦ h
DEFINICIÓN 21. ([6], pp 3) Sea C una categoría. Una categoría C ′ es un subcategoría sicumple las siguientes condiciones:
42
I ObC ′ ⊆ ObC
II HomC ′(A, B) ⊆ HomC(A, B), para A, B ∈ ObC ′.
III La composición de morfismos en C ′ es inducida por la composición de morfismos en C
IV La identidad de morfismos en C ′ es la identidad de morfismos en C.
Una categoría C ′ se dice completa si para A, B ∈ ObC ′, se tiene:
HomC ′(A, B) = HomC(A, B)
Ejemplos
1. La categoría Set’ cuyos elementos son conjuntos A y los morfismos HomSet’(A, B)son funciones biyectivas de A en B es una subcategoría de la categoría Set. En efec-to, como ObSet’ = ObSet se satisface la primera condición de subcategoría. Losmorfismos HomSet’(A, B) son funciones biyectivas de A en B, así HomSet’(A, B) ⊆HomSet(A, B). Además las composición de morfismos en Set’ es la misma que enSet. Por último, la identidad en Set definida por
id :A −→ Aa 7→ a
es biyectiva y por lo tanto también es la identidad de Set’.
DEFINICIÓN 22. Sean X y Y objetos de una categoría C, se dice que:
1. Un morfismo h : X → X in C es un endomorfismo de X.
2. Un morfismo u : X → Y en C es un monomorfismo si para cada objeto Z en ObC ymorfismos f , g ∈ HomC(Z, X),
Zf))
g55 X u // Y
tales que u ◦ f = u ◦ g, implica que f = g.
43
3. Un morfismo p : X → Y en C es un epimorfismo si para cada objeto Z en ObC y paracada par de morfismos f , g ∈ HomC(Y, Z)
Xp// Y
f))
g55 Z
tales que f ◦ p = g ◦ p, implica que f = g.
4. Un morfismo u : X → Y en C es un isomorfismo si existe un morfismo v : Y → X enC tal que uv = idY y vu = idx. En este caso el morfimos v esta unicamente determinadopor u, es llamado el inverso de u y se denota or u−1. Si existe un isomorfismo u : X → Yen C, decimos que X y Y son isomorfos en C, y se nota X ∼= Y.
DEFINICIÓN 23. Sea K un campo. Una categoría C es una K-categoría si, para cada par XY ∈ObC, el conjunto HomC(X, Y) tiene estructura de k-espacio vectorial tal que la composición ◦de morfismos en C es una aplicación K-bilineal.
3.1.1. Categoría aditiva
DEFINICIÓN 24. La suma directa de objetos X1, . . . , Xn de C es un objeto X1 ⊕ . . .⊕ Xn deC junto con morfismos
uj : Xj → X1 ⊕ . . .⊕ Xn
para j = 1, . . . , n, tal que para cada objeto Z in ObC y para cada conjunto de morfismos f1 :X1 → Z, . . . , fn : Xn → Z en C, existe un único morfismo f : X1 ⊕ . . .⊕ Xn → Z tal quef j = f ◦ uj, para j = 1, . . . , n.
DEFINICIÓN 25. Una categoría C es una categoría aditiva si se cumplen las siguientes con-diciones:
1. Para cualquier conjunto finito de objeto X1, . . . , Xn de C existe una suma directa X1 ⊕. . .⊕ Xn en C.
2. Para cada par X, Y ∈ ObC, el conjunto HomC(X, Y) de todos los morfismos de X a Y enC tiene estructura de grupo abeliano.
3. Para cada tripla de objetos X, Y, Z de C, la composición de morfismos en C es bilineal.
4. Existe un objeto 0 ∈ ObC (llamado el objeto cero de C) tal que la identidad de morfismosid0 es el elemento cero del grupo abeliano HomC(0, 0).
44
Ejemplo 3.1.1. Sea K un campo. Consideremos la categoría MapK donde los objetos son lastriplas (V, W, f ) donde V y W son K-espacios vectoriales y f : V −→ W es una aplicaciónK-lineal. Un morfismo de (V, W, f ) a (V′, W ′. f ′) en Mapk es un par (h1, h2) de K-aplicacioneslineales tales que el diagrama
Vf//
h1��
W
h2��
V′f ′//W ′
conmuta. La identidad viene dada por (idV , idW)
Vf//
idV��
WidW��
Vf ′//W
de manera que idV y idW son la identidad de espacios vectoriales.
Si (h′1, h′2) es un morfismo de (V′, W ′, f ′) a (V′′, W ′′, f ′′) en MapK, establecemos (h′1, h′2) ◦(h1, h2) = (h′1h1, h′2h2).
Veamos que la composición es asociativa. Sea (h′′1 , h′′2 ) un morfismo de (V′′, W ′′, f ′′) a (V′′′, W ′′′, f ′′′).Entonces
(h′′1 , h′′2 ) ◦ [(h′1, h′2) ◦ (h1, h2)] = (h′′1 , h′′2 ) ◦ (h′1h1, h′2h2)
= (h′′1 (h′1h1), h′′2 (h
′2h2)
= ((h′′1 h′1)h1, (h′′2 h′2)h2)
= (h′′1 h′1, h′′2 h′2) ◦ (h1, h2)
= [(h′′1 , h′′2 ) ◦ (h′1, h′2)] ◦ (h1, h2)
Ademas (idV′ , idW ′) ◦ (h1, h2) = (idV′h1, idW ′h2) = (h1, h2) y (h1, h2) ◦ (idV , idW) = (h1idv, h2idw) =(h1, h2).
Veamos que MapK es un categoría aditiva.
La suma directa en Mapk es definida por la fórmula
(V, W, f )⊕ (V′, W ′, f ′) = (V ⊕V′, W ⊕W ′, f ⊕ f ′)
esto es, la suma directa de aplicaciones K-lineales f y f ′.
45
Si definimos la suma de morfismos por (h1, h2) + (h′1, h′2) = (h1 + h′1, h2 + h′2) tenemos que elconjunto de morfismos de MapK es un grupo abeliano.
La composición es K-bilineal puesto que
I
(h1, h2) ◦ [(h′1, h′2) + (h′′1 , h′′2 )] = (h1, h2) ◦ (h′1 + h′′1 , h′2 + h′′2 )= (h1(h′1 + h′′1 ), h2(h′2 + h′′2 ))= (h1h′1 + h1h′′1 , h2h′2 + h2h′′2 )= (h1h′1, h2h′2) + (h1h′′1 + h2h′′2 )= (h1, h2) ◦ (h′1, h′2) + (h1, h2) ◦ (h′′1 , h′′2 )
[(h1, h2) + (h′1, h′2)] ◦ (h′′1 , h′′2 ) = (h1 + h′1, h2 + h′2) ◦ (h′′1 , h′′2 )= ((h1 + h′1)h
′′1 , (h2 + h′2)h
′′2 )
= (h1h′′1 + h′1h′′1 , h2h′′2 + h′2h′′2 )= (h1h′′1 , h2h′′2 ) + (h′1h′′1 , h′2h′′2 )= (h1, h2) ◦ (h′′1 , h′′2 ) + (h′1, h′2) ◦ (h′′1 , h′′2 )
II Sea λ ∈ K
[(h1, h2)λ] ◦ (h′1, h′2) = (h1λ, h2λ) ◦ (h′1, h′2)= ((h1λ)h′1, (h2λ)h′2)= ((h1h′1)λ, (h2h′2)λ)= (h1h′1, h2h′2)λ= [(h1, h2) ◦ (h′1, h′2)]
(h1, h2) ◦ [(h′1, h′2)λ] = (h1, h2) ◦ (h′1λ, h′2λ)
= (h1(h′1λ), h2(h′2λ))
= ((h1h′1)λ, (h2h′2)λ)= (h1h′1, h2h′2)λ= [(h1, h2) ◦ (h′1, h′2)]
46
Existe la aplicación (0, 0)
Vf//
0��
W
0��
V′f ′//W ′
tal que para x ∈ V, 0(x) = 0 y para y ∈W, 0(y) = 0.
Lema 3.1.1. Sea C una categoría aditiva, X1 ⊕ · · · ⊕ Xn ∈ C la suma directa de objetosX1, . . . , Xn de C. Sea uj : Xj −→ X1 ⊕ · · · ⊕ Xn el j-ésimo sumando encajado. Para cadaj ∈ {1, . . . , n} existe un morfismo pj : X1 ⊕ · · · ⊕ Xn −→ Xj (llamado el j-ésimo sumando deproyección) tal que pj ◦ uj = idXj , pj ◦ ui = 0 para todo i 6= j y u1 ◦ p1 + · · ·+ un ◦ pn =
idX1⊕···⊕Xn . Mas aún, dado un conjunto de morfismos g1 : X −→ X1, . . . gm : X −→ Xn en C,existe un único morfimo g : X −→ X1 ⊕ · · · ⊕ Xn, tal que pj ◦ g = gj para j = 1, . . . , n.
Demostración. Veamos que pj ◦ uj = idXj y pj ◦ ui = 0 . En efecto, sea xj ∈ Xj
pj ◦ uj(xj) = pj(ui(xj))
= pj((0, · · · , xj, · · · , 0))
= xj
Así pj ◦ uj(xj) = idXj . Además
pj ◦ ui(xi) = pj(uj(xi))
= pj((0, · · · , xi, · · · , 0))
= 0
También podemos ver que u1 ◦ p1 + · · ·+ un ◦ pn = idX1⊕···⊕Xn ya que
(u1 ◦ p1 + · · ·+ un ◦ pn)((x1, · · · , xn)) = u1 ◦ p1((x1, · · · , xn)) + · · ·+ un ◦ pn((x1, · · · , xn))
= u1(p1((x1, · · · , xn))) + · · ·+ un(pn((x1, · · · , xn)))
= u1(x1) + · · ·+ un(xn)
= (x1, 0, · · · , 0) + · · ·+ (0, · · · , xn)
= (x1, · · · , xn)
Luego u1 ◦ p1 + · · ·+ un ◦ pn = idX1⊕···⊕Xn . Por último, Probemos que pj ◦ g = gj parael conjunto de morfismos dado y además g es única. En efecto, sea x ∈ X, y definamos
47
a g como g(x) = (g1(x), · · · , gn(x)), así
pj ◦ g(x) = pj(g(x))
= pj(g1(x), · · · , gn(x))
= gj(x)
Ahora supongamos que existe h : X −→ X1⊕· · ·⊕Xn definida por h(x) = (h1(x), · · · , hn(x),para x ∈ X tal que pj ◦ h = gj. Luego
pj ◦ h(x) = pj(h(x))
= pj(h1(x), · · · , hn(x))
= hj(x)
= gj(x)
Así como hj = gj para cada j entonces h = g.
DEFINICIÓN 26. Sea C una categoría aditiva y f : X −→ Y un morfismo en C. El kernelde f es un objeto ker f junto con un morfismo u : Ker f −→ X tal que satisface las siguientescondiciones:
1. f ◦ u = 0
2. Para cualquier objeto Z de C y para cualquier morfismo h : Z −→ X en C tal que f ◦ h =0, existe un único morfismo h′ : Z −→ Ker f tal que h = u ◦ h′.
Proposición 3.1.1. u es un monomorfismo.
Demostración. Por definición de kernel, tenemos que para todo objeto Z y morfismoh : Z −→ X tal que f ◦ h = 0, existe un único morfismo h′ : Z −→ Ker f tal que h = u ◦ h′.Sea g ∈ homC(Z, ker f ) tal que u ◦ g = u ◦ h′ = h como h′ es el único que cumple estacondición entonces se debe tener que g = h′ luego u es un monomorfismo.
DEFINICIÓN 27. Sea C una categoría aditiva y f : X −→ Y un morfismo en C. El cokernel deun morfimos f en C es un objeto Coker f con un morfismo p : Y −→ Coker f que satisface lassiguientes condiciones:
1. p ◦ f = 0
2. Para cualquier objeto Z en C y para cualquier morfismo g : Y −→ Z en C tal que g ◦ f =0, existe un único morfismo g′ : Coker f −→ Z tal que g = g′ ◦ p.
48
Proposición 3.1.2. p es un epimorfismo.
Demostración. Por definición de cokernel tenemos que Para cualquier objeto Z en C ypara cualquier morfismo g : Y −→ Z en C tal que g ◦ f = 0, existe un único morfismog′ : Coker f −→ Z tal que g = g′ ◦ p. Asi, sea h ∈ homC(coker f , z) tal que h ◦ p = g′ ◦ p =g como g′ es el único que cumple esta condición se debe tener que h = g′. Por lo tanto pes un epimorfismo.
Lema 3.1.2. Suponga que todo morfismo en C admite kernel y cokernel. Entonces para cadamorfismo f : X −→ Y en C, existe un único morfismo f en C tal que el cuadrado en el siguientediagrama es conmutativo.
Ker f u // X
p′��
f// Y
p// Coker f
Cokeruf// Kerp
u′
OO
es decir f = u′ ◦ f ◦ p′, donde u′ es el kernel de p y p′ es el cokernel de u.
Demostración. Por definición de cokernel tenemos que p ◦ f = 0. Así existe un únicomorfismo f ′ : X −→ Kerp tal que f = u′ ◦ f ′.
Ker f u // X
p′��
f//
f ′
$$
Yp// Coker f
Cokeruf// Kerp
u′
OO
Luego u′ ◦ f ′ ◦ u = f ◦ u = 0, como u′ es un monomorfismo se tiene que f ′ ◦ u = 0.Entonces existe un único morfimo f : Cokeru −→ Kerp tal que f ′ = f ◦ p′. Por lo tantof = u′ ◦ f ◦ p′. Veamos que f es único. Supongamos que existe f tal que f = u′ ◦ f ◦ p′.Así
u′ ◦ f ◦ p′ = u′ ◦ f ◦ p′
Como u′ es un monomorfismo y p′ es un epimorfismo entonces f = f , Por lo tanto f esúnica. El objeto Kerp es llamado la imagen de f y se denota por Im f .
3.1.2. Categoría abeliana
DEFINICIÓN 28. Una categoría C es una categoría abeliana si
49
1. C es aditiva.
2. Cada morfismo f : X −→ Y en C admite kernel u : Ker f −→ X de f y cokernelp : Y −→ Coker f de f y el morfismo inducido f : Cokeru −→ kerp es un isomorfismo.
3.2. Funtores
DEFINICIÓN 29. ([5],pp30)Si A y B son categorías, entonces un funtor F de A a B es un función que asigna cada objeto Aa un objeto F(A), y cada morfismo f : A → A′ a un morfismo F( f ) : F(A) −→ F(A′), de talmanera que
1. F preserva composición, es decir, F( f ◦ g) = F( f ) ◦ F(g) siempre que f ◦ g este definido.
2. F preserva la identidad de morfismos, es decir, F(idA) = idF(A) para cada A-objeto A.
DEFINICIÓN 30. Un funtor T : C −→ C ′ de una categoría C a una categoría C ′ que asignacada objeto X de C a un objeto T(X) de C ′ y cada morfismo h : X −→ Y en C a un morfismoT(h) : T(X) −→ T(Y) en C ′ se dice covariante si satisface las siguientes condiciones:
1. T(idX) = idT(X), para todo objeto X de C
2. Para cada par de morfismo Xf// Y y Y
g// Z en C, la igualdad T(g ◦ f ) = T(g) ◦
T( f ) se mantiene.
DEFINICIÓN 31. Un funtor T : C −→ C ′ de una categoría C a una categoría C ′ que asignacada objeto X de C a un objeto T(X) de C ′ y cada morfismo h : X −→ Y en C a un morfismoT(h) : T(Y) −→ T(X) en C ′ se dice contravariante si satisface las siguientes condiciones:
1. T(idX) = idT(Y) para todo objecto X de C.
2. Para cada par de morfismos Xf// Y y Y
g// Z en C, la igualdad T(g ◦ f ) = T( f ) ◦
T(g) se mantiene.
DEFINICIÓN 32. Sean T : C −→ C ′ y T′ : C ′ −→ C ′′ funtores se define la composiciónT′T : C −→ C ′′ como sigue. Para cada objeto X de C, se establece T′T(X) = T′(T(X)), y, para
cada morfismo Xf// Y en C, se establece T′T( f ) = T′(T( f )).
50
Proposición 3.2.1. T′T es un funtor.
Demostración. Sean A, B, C ∈ obC y g ∈ HomC(A, B), f ∈ HomC(B, C). Entonces
T′T( f ◦ g) = T′(T( f ◦ g))= T′(T( f ) ◦ T(g))= T′(T( f )) ◦ T′(T(g)) = T′T( f ) ◦ T′T(g)
Es decir T′T preserva la composición. Además
T′T(idA) = T′(T(idA))
= T′(idT(A))
= idT′(T(A))
= idT′T(A)
Así, T′T preserva la identidad y por lo tanto T′T es un funtor.
DEFINICIÓN 33. Dada un par de categorías C yD, se define el producto C ×D como la categoríacuyos objetos son parejas (C, D) con C ∈ ObC, D ∈ ObD, y los morfismos h : (C, D) −→(C′, D′) son las parejas h = (h1, h2), donde h1 ∈ HomC(C, C′) y h2 ∈ HomD(D,D′). Lacomposición ◦ en C × D se define por (g1, g2) ◦ (h1, h2) = (g1 ◦ h1, g2 ◦ h2) para todo h1 ∈HomC(C,C′), g1 ∈ HomC(C′,C′′), h2 ∈ HomD(D,D′) y g2 ∈ HomD(D′,D′′). Cualquier funtorF : C ×D −→ C ′ es llamado bifuntor.
3.2.1. Equivalencia de categorías
DEFINICIÓN 34. Sean T, T′ : C −→ C ′ funtores. Un morfismo funtorial Ψ : T −→ T′
(o transformación natural de funtores) es una familia Ψ = {ΨX}X∈ObC de morfismos ΨX :T(X) −→ T′(X) tal que, para cualquier morfismo f : X −→ Y en C, el diagrama
T(X)ΨX //
T( f )��
T′(X)
T′( f )��
T(Y)ΨY // T′(Y)
en C ′ es conmutativo. Se nota Ψ : T −→ T′. Se dice que Ψ es un isomorfismo funtorial (o unaequivalencia natural de funtores) si, para cada X ∈ ObC, el morfismo ΨX : F(X) −→ F′(X) esun isomorfismo en C ′
51
Ejemplo 3.2.1. Sea u : X −→ X′ un morfismo en la categoría C. Definamos un morfismofuntorial h(u) : hX −→ hX′ asociado a u de la siguiente manera:Sean Y ∈ ObC y h(u)Y la aplicación
h(u)Y : Homc(Y, X) −→ HomC(Y, X′)
f 7−→ u f
donde hX(Y) = Homc(Y, X) y hX′(Y) = HomC(Y, X′). Así se ha definido un morfismosfuntorial de hX a hX′
hX(y)h(u)Y // hX′(Y)
hx(Y′) h(u)Y′//
hX( f )
OO
hX′(Y′)
hX′ ( f )
OO
para todo morfismo f : Y −→ Y′ en C. Veamos que efectivamente el diagrama conmuta. Seag ∈ hx(Y′) entonces
h(u)y(hX( f )(g)) = h(u)y(g f ) = u(g f ) = (ug) f = hX′( f )(ug) = hX′( f )(h(u)Y′(g))
DEFINICIÓN 35. Un funtor covariante T : C −→ C ′ se dice que es una equivalencia decategorías si existe un funtor F : C ′ −→ C e isomorfismos funtoriales Ψ : idC −→ FT yΦ : idC ′ −→ TF donde idC e idC ′ son los funtores identidad en C y C ′, respectivamente. Elfuntor F es llamado casi inverso de T.
DEFINICIÓN 36. Si existe una equivalencia Ψ : T −→ T′ de categorías C y C ′, se dice que C yC ′ son categorías equivalentes, y se nota C ∼= C ′. Un funtor contravariante D : C −→ D es unaequivalencia de categorías si el funtor covariante inducido D : Cop −→ D es una equivalenciade categorías. El funtor D es llamado dualidad.
DEFINICIÓN 37. Un funtor covariante T : C −→ C ′ es denso si para cualquier objeto A ∈ObC ′, existe un objeto C ∈ C y un isomorfismos T(C) ∼= A. Se dice que T es completo si laaplicación
TXY : HomC(X, Y) −→ HomC ′(T(x), T(Y))
dada por f 7−→ T( f ), es sobreyectiva para todos los objetos X y Y de C. Si TXY es una aplicacióninyectiva, para todo X, Y ∈ ObC, el funtor T es fiel.
Sean K un campo, C y C ′ dos K-categorías, el funtor T : C −→ C ′ es llamado K-lineal sipara cada para de morfismos f , g : X −→ Y en C y para cada pa de elementos α, β ∈ Kse tiene
T( f α + gβ) = T( f )α + T(g)β
52
Teorema 3.2.1. Un funtor covariante T : C −→ C ′ es una equivalencia de categorías si y solosí T es fiel, completo y denso.
Demostración. ⇐ Supongamos qu T es completo, fiel y denso. Definamos el cuasi inver-so de T por F : C ′ −→ C. Para cualquier objeto X′ ∈ ObC ′ se fija un objeto X ∈ ObC. Co-mo T es denso entonces T(X) ∼= X′, es decir existe un isomorfismo φX′ : X′ −→ T(X).Establecemos que F(X′) = X. Dado un morfismo f ′ ∈ HomC(X′, Y′), escogemos unmorfismo f ∈ HomC(X, Y) haciendo el siguiente diagrama
X′φX′ //
f ′��
T(X)
T( f )��
Y′φY′ // T(Y)
conmutativo. Es decir, φY′ f = T( f )φX′ . En efecto, si T( f ) = φY′ f φ−1X′ , tenemos que
como T es completo entonces tal f existe, además T es fiel, es decir f es única, así setiene φY′ f = T( f )φX′ . Si establecemos a F( f ′) = f tendremos que el siguiente diagrama
X′φX′//
f ′��
TF(X′)
TF( f ′)��
Y′φY′ // TF(Y′)
es conmutativo. Y además esto produce un funtor covariante F. En efecto, sea Z′ ∈ ObC ′y g′ ∈ HomC(Y′, Z′), entonces tenemos que el siguiente diagrama
X′φX′//
f ′��
TF(X′)
TF( f ′)��
Y′φY′ //
g′��
TF(Y′)
TF(g′)��
Z′φZ′ // TF(Z′)
es conmutativo. Ya que, TF( f ′)φX′ = φY′ f ′ y TF(g′)φY′ = φZ′g′. Así TF(g′)TF( f ′) =φZ′g′ f ′φ−1
X′ , luego TF(g′)TF( f ′)φX′ = φZ′g′ f ′. Así tenemos que el diagrama
X′φX′//
g′ f ′��
TF(X′)
TF(g′ f ′)��
Z′φZ′ // TF(Z′)
53
es conmutativo, es decir TF(g′ f ′)φX′ = φZ′g′ f ′. Luego TF(g′)TF( f ′)φX′ = TF(g′ f ′)φX′
entonces TF(g′)TF( f ′) = TF(g′ f ′), como T es un funtor covariante tenemos T(F(g′)F( f ′)) =T(F(g′ f ′)), además como T es fiel se tiene F(g′)F( f ′) = F(g′ f ′). Por lo tanto F es un fun-tor covariante.Luego la familia {φX′}X′∈ObC ′ de isomorfismos define un isomorfismo funtorial φ :idC ′ −→ TF.Ahora, se define un isomorfismo funtorial ψ : idC −→ FT de la siguiente manera. Paracualquier Z ∈ ObC, establecemos X′Z = T(Z). Entonces φT(Z) = φX′Z
es el morfismo
X′ZφX′Z // TF(X′Z)
Como T es fiel y completo existe un único morfismo ψ : Z −→ FT(Z) tal que T(ψZ) =φX′Z
= φT(Z). Veamos que ψZ es un isomorfismo. En efecto, sea φ−1X′Z
el inverso de φX′Z.
Como T es fiel y completo, existe un único morfismo ψ′Z : FT(Z) −→ Z tal que TψZ =
φ−1X′Z
. Así, T(ψZψ′Z) = TψZTψ′Z = φX′Zφ−1
X′Z= idX′Z
= idT(Z) = T(idZ). Como T es fiel
se tiene ψZψ′Z = idZ. De igual manera se prueba que ψ′ZψZ = idZ. Luego ψZ es unisomorfismo.Sea g : Z −→ V, Tenemos que ver que el siguiente diagrama
ZψZ //
g��
FT(Z)
FT(g)��
VψV // FT(V)
es conmutativo. En efecto, como φ : idC ′ −→ TF es un isomorfismo natural, el siguientediagrama
T(Z)φT(Z) //
T(g)��
TF(T(Z))
TF(T(g))��
T(V)φT(V) // TF(T(V))
es conmutativo. Por la escogencia de ψZ y ψV se tiene que φT(Z) = T(ψZ) y φT(V) =
T(ψV). Luego tenemos que
T(ψV g) = T(ψV)T(g)= TFT(g)T(ψZ)
= T(FT(g)ψZ)
54
Como T es fiel se tiene que ψV g = FT(g)ψZ como se quería. Por lo tanto, el morfismofuntorial ψ : idC −→ FT es un isomorfismo funtorial y así T es una equivalencia decategorías.
⇒ Supongamos que T : C −→ C ′ es un equivalencia de categorías y que F : C ′ −→C es el cuasi-inverso de T. Sean ψ : idC
∼= // FT Y φ : idC ′∼= // TF isomorfismos
funtoriales. Entonces, para todo objeto X′ ∈ ObC ′ existe un isomorfismo X′ ∼= TF(X′) ypor lo tanto T es denso.
Sean f1, f2 : X −→ Y morfismos de C tal que T f1 = T f2. Entonces idC∼= // FT da
isomorfismos φX : X∼= // FT(X) y φY : Y
∼= // FT(Y) tales que el diagrama
X′φX′ //
fi��
FT(X′)
FT( fi)��
Y′φY′ // FT(Y′)
con i = 1, 2, es conmutativo. Es decir, φY fi = FT( fi)φX. Así tenemos que f1 = φ−1Y FT( f1)φX
y f2 = φ−1Y FT( f2)φX. Luego
f1 = φ−1Y FT( f1)φX = φ−1
Y FT( f2)φX = f2
Por lo tanto T es fiel. De igual manera se prueba que F es fiel.Sea u : TX −→ TY un morfismo de C ′. Para Fu : FTX −→ FTY, establecemos f =φ−1
Y FT( f )φX. Así la conmutatividad del diagrama
XφX //
f��
FT(X)
Fu��
YφY // FT(Y)
se mantiene. Así Fu = φY f φ−1X = FT( f ) y como F es fiel se tiene que u = T( f ). Por lo
tanto T es completo. De manera análoga se prueba que F es completo.
3.3. Categoría de módulos
Proposición 3.3.1. Sean K un campo y A una K-álgebra. La categoría ModA de todos losmódulos a derecha es una categoría abeliana.
55
Demostración. Los objetos de la categoría ModA son A-módulos a derecha, el conjuntode morfimos entre los módulos de M y N es el conjunto HomA(M, N) de todos loshomomorfismos de A-módulos, dotado con la estructura usual de espacio vectorial.Para cada A-módulo M se tiene un homomorfismo identidad de M a M. La composiciónde morfismos en la composición usual de funciones. Además la suma directa M⊕ N dedos módulos es la suma directa de K-espacio vectoriales equipados con estructura deA-módulo dada por la (m, n)a = (ma, na) para todo m ∈ M, n ∈ N y a ∈ A.
Veamos que para M, N ∈ ObModA, el conjunto HomModA(M, N) tiene estructura degrupo abeliano. Sean f , g, h ∈ HomModA(M, N) y m, n ∈ M. Entonces
I
( f + g)(m + n) = f (m + n) + g(m + n)= f (m) + f (n) + g(m) + g(n)= ( f + g)(m) + ( f + g)(n)
Luego f + g ∈ HomModA(M, N)
II
( f + (g + h))(m) = f (m) + (g + h)(m)
= f (m) + (g(m) + h(m))
= ( f (m) + g(m)) + h(m)
= ( f + g)(m) + h(m)
= (( f + g) + h)(m)
Así la suma es asociativa.
III Sea e la identidad aditiva de N y definamos el morfismo 0 por 0(m) = e, param ∈ M. Entonces
( f + 0)(m) = f (m) + 0(m) = f (m) + e = f (m)
y(0 + f )(m) = 0(m) + f (m) = e + f (m) = f (m)
Por lo tanto 0 es la identidad aditiva de HomModA(M, N).
56
IV Para f ∈ HomModA(M, N) definamos − f por (− f )(m) = −( f (m)). Entonces
(− f )(m + n) = −( f (m + n))= −( f (m) + f (n))= −( f (m)) + (−( f (n)))= (− f )(m) + (− f )(n)
Luego − f esta en HomModA(M, N). Además
(− f + f )(m) = (− f )(m) + f (m)
= − f (m) + f (m)
= e= 0(m)
Por lo tanto − f es el elemento inverso de f .
V( f + g)(m) = f (m) + g(m) = g(m) + f (m) = (g + f )(m)
Por lo tanto HomModA(M, N) es un grupo abeliano.Como la composición de morfismos de ModA es bilineal. Entonces ModA es una catego-ría aditivia. Para que ModA sea una categoría abeliana nos falta ver que todo morfismof : M −→ N de ModA admite kernel y cokernel. En efecto, definamos el kernel de fpor Ker f = {m ∈ M| f (m) = 0} y u : Ker f −→ M por u(m) = m. Entonces
If ◦ u(m) = f (u(m)) = f (m) = 0
II Sea Z un A-módulo y h : Z −→ M un morfismo de ModA tal que f ◦ h = 0, es decir,para x ∈ Z h(x) ∈ Ker f . Luego tenemos que existe un morfismo h′ : Z −→ ker f talque
u ◦ h′(z) = u(h′(z))= h′(z)= h(z)
Luego el kernel esta bien definido.Definamos el cokernel de f por Coker f = N/Im f y ρ : N −→ N/im f por ρ(n) =n + Im f . Entonces
57
I Sea m ∈ M
ρ ◦ f (m) = ρ( f (m))
= f (m) + Im f= Im f
Luego ρ ◦ f = 0.
II Sea Z un A-módulo y g : N −→ Z un homomorfismo de módulo tal que g ◦ f =0. Entonces existe un homomorfismo de módulos g′ : N/Im f −→ Z definidopor g′(n + Im f ) = g(n). Así, para n ∈ N tenemos
g′ ◦ ρ(n) = g′(ρ(n))= g′(n + Im f )= g(n)
Luego f admite cokernel.
Una subcategoría completa de ModA es modA de todos los módulos finitamente gene-rados. Ademas modA es también una categoría abeliana.
Una forma de ver los A-módulos es como conjuntos de K-espacios vectoriales conecta-dos por K-aplicaciones lineales, lo cual se ilustrara en los siguientes ejemplos.
Ejemplos
1. Sea A el conjunto de las matrices triangulares inferiores con entradas en un cuerpoK.
A =
[K 0k K
]=
{[a 0b c
]; a, b, c ∈ K
}vista como una K-subálgebra de M2(K).
Para construir una equivalencia de categorías
ρ : modA −→ MapK
58
Notemos que las matrices e1 =
[1 00 0
], e2 =
[0 00 1
]y e21 =
[0 01 0
], forman una
base para A sobre K. Además id = e1 + e2 y
e1 e2 e21e1 e1 0 0e2 0 e2 e21e21 e21 0 0
Se sigue que todo módulo M en modA, visto como espacio vectorial, tiene des-composición en suma directa, es decir
M = Me1 ⊕Me2
En efecto, sea x ∈ M entonces
x = x1= x(e1 + e2)
= xe1 + xe2
y si xe1 = ye2 entonces
xe1 = xe1e1
= ye2e1
= 0
Así Me1 ∩ Me2 = 0. Ahora veamos que Me1 y Me2 son submódulos de M. Seam ∈ Me1 y B ∈ A, así m = me1 y B = Be1 + Be2 + Be21. Luego
mB = (me1)(Be1 + Be2 + Be21)
= me1Be1 + me1Be2 + me1Be21
= mBe1e1 + mBe1e2 + mBe1e21
= mBe1
Así mB ∈ Me1. De manera similar se prueba que Me2 es un submódulo de M.
Luego M determina de forma única la tripa ρ(M) = (VM, WM, fM) donde VM =Me2 y WM = Me1 y fM : VM −→WM esta dada pro fM(xe2) = (xe2)e21 = (xe21)e1.Veamos que fM es lineal. Sean x, y ∈ M entonces
fM((x + y)e2) = ((x + y)e2)e21
= (xe2 + ye2)e21
= (xe2)e21 + (ye2)e21
= fM(xe2) + fM(ye2)
59
Sea λ ∈ K
fM((xe2)λ) = ((xe2)λ)e21
= ((xe2)e21)λ
= fm(xe2)λ
Si g : M −→ N es un homomorfismo de A-módulos a derecha, se define
ρ(g) : ρ(M) −→ ρ(N)
como el par ρ(g) = (g1, g2) donde g1 : VM −→ VN y g2 : WM −→ WN son lasrestricciones de g a VM y WN, respectivamente.
Veamos que el diagrama
VMfM //
g1��
WM
g2��
VNfN //WN
conmuta. Sea v ∈ VM entonces
fN ◦ g1(v) = fy(g1(xe2))
= fN(g1(x)e2)
= g1(x)e21
= g(x)e21
g2 ◦ fM(v) = g2( fM(xe2))
= g2((xe2)e21)
= g2(xe21)
= g2(x)e21
= g(x)e21
Luego fN ◦ g1 = g2 ◦ fM, es decir ρ envía morfismos de modA a morfismos deMapK.
Veamos que ρ preserva identidades. Sea idM : M −→ M el morfismo identidad demodA y sean idVM : VM −→ VM y idWM : WM −→ WM las restricciones de idM aVM y WM, respectivamente. Así ρ(idM) = (idVM , idWM), es decir, ρ(idM) = idρ(M).
60
Sea h : N −→ Z un homomorfismo de módulos y sean h1 : VN −→ VZ y h2 :WN −→WZ las restricciones de h a VN y WN, respectivamente. Entonces
ρ(g) ◦ ρ(h) = (g1, g2) ◦ (h1, h2)
= (g1h1, g2h2)
= ρ(g ◦ h)
Por lo tanto ρ es un funtor. Veamos que es ρ un funtor K-lineal. Sean f , g : M −→ Ndos homomorfismos de módulos y α, β ∈ K. Entonces
ρ( f α + gβ) = ( f1α + g1β, f2α + g2β)
= ( f1α, f2α) + (g1β, g2β)
= ( f1, f2)α + (g1, g2)β
= ρ( f )α + ρ(g)β
Veamos que ρ es fiel y completo.Si g : M −→ N es tal que ρ(g) = (g1, g2), entonces, para todo x ∈ M, x =xe1 + xe2, se tiene
g(x) = g(xe1 + xe2) = g(xe1) + g(xe2) = g2(xe1) + g1(xe2)
Veamos que g es única. Supongamos que existe h : M −→ N tal que ρ(h) =(g1, g2), entonces
h(x) = g2(xe1) + g1(xe2)
= g(x)
Luego g = h. Se tiene que g es un homomorfismo de módulos puesto que parax, y ∈ M y λ ∈ K
g(x + y) = g2((x + y)e1) + g1((x + y)e2)
= g2(xe1 + ye1) + g1(xe2 + ye2)
= g2(xe1) + g2(ye1) + g1(xe2) + g1(ye1)
= g2(xe1) + g1(xe2) + g2(ye1) + g1(ye2)
= g(x) + g(y)
61
g(xλ) = g((xλ)e1 + (xλ)e2)
= g2((xλ)e1) + g1((xλ)e2)
= g2(xe1)λ + g1(xe2)λ
Veamos que g(xe1) = g(x)e1, g(xe2) = g(x)e2 y g(xe21) = g(x)e21.
g(xe1) = g2(xe1e1) + g1(xe1e2)
= g2(xe1)e1
= g(x)e1
De manera similar se tiene que g(xe2) = g(x)e2.
g(x)e21 = (g2(xe1) + g1(xe2))e21
= g2(xe1)e21 + g1(xe2)e21
= g(xe2)e21
= ( f ′g1)(xe2)
= (g2 f )(xe2)
= g2(xe2e21)
= g2(xe21)
= g(xe21)
Donde f y f ′ son las K-aplicaciones lineas de ρ(M) y ρ(N), respectivamente. Comog se puede escribir como combinación de (g1, g2) y además g es un homomorfismode módulos si tiene que ρ es sobreyectiva. Asimismo, como g es única tenemos queρ es inyectiva.
Veamos que ρ es denso. Sea (V, W, f ) un objeto de MapK. Equipamos al K-espaciovectorial M = W ⊕V de estructura de A-módulo dada por:
xe1 = (z, y)e1 = zxe2 = (z, y)e2 = y
xe21 = (z, y)e21 = f (y)
62
Para x = (z, y) ∈ M. Entonces, para[
a 0b c
]∈ A se tiene
(z, y)[
a 0b c
]= (za + f (y)b, yc)
Así podemos aplicar ρ a M, luego ρ(M) = (V, W, f ).
Por el teorema 3.2.1 ρ es un equivalencia de categorías. El funtor cuasi inversoρ1 : MapK −→ modA de ρ es definido juntando un objeto (V, W, f ) en MapK conK-espacio vectorial X = W ⊕V con la acción a derecha
· : X× A −→ X
de A en X definida por la fórmula
(w, v) ·[
a 0b c
]= (wa + f (v)b, vc)
Donde v ∈ V, w ∈W y a, b, c ∈ K.
2. Sea A el álgebra de Kronecker [K 0K2 K
]Cuyos elementos son matrices 2× 2 de la forma
[λ 0
(u1, u2) µ
]con λ, µ ∈ K, (u1, u2) ∈
K2, y la multiplicación en A es definida por[d 0
(u1, u2) c
] [f 0
(v1, v2) e
]=
[d f 0
(u1 f + v1c, u2 f + v2c) ce
]Los A-módulos a derecha de dimensión finita son llamados módulos de Kronec-ker.
Notemos que una base para A esta dada por e1 =
[1 00 0
], e2 =
[0 00 1
], α =[
0 0ξ1 0
], β =
[0 0ξ2 0
]. Donde ξ1 = (1, 0) y ξ2 = (0, 1), son los vectores de la
base estándar de K2. Y además tenemos la siguiente tabla
e1 e2 α βe1 e1 0 0 0e2 0 e2 α βα α 0 0 0β β 0 0 0
63
Definamos la categoría C como sigue. Los objetos de la categoría C son cuádruplas(V, W, ϕ1, ϕ2), donde V, W son K-espacios vectoriales y ϕ1, ϕ2 : W −→ V sonaplicaciones K-lineales. Un morfismo de (V, W, ϕ1, ϕ2) a (V′, W ′, ϕ′1, ϕ′2) es un parde K-aplicaciones lineales h = (h1, h2) donde h1 : V −→ V′ y h2 : W −→ W ′ talesque el siguiente diagrama
V
h1��
Wϕ1oo
ϕ2oo
h2��
V′ W ′ϕ′1
ooϕ′2oo
conmuta. Es decir, h1ϕ1 = ϕ′1h2 y h1ϕ2 = ϕ′2h2.
Cada módulo de Kronecker X puede ser identificado con la cuádrupla (X2, X1, ϕ1, ϕ2),donde X1 = Xe1, X2 = Xe2, X = X1 ⊕ X2, ϕ1, ϕ2 son K-aplicaciones lineales defi-nidas por
ϕ1(x) = x[
0 0ξ1 0
]= x
[0 0ξ1 0
]e1
ϕ2(x) = x[
0 0ξ2 0
]= x
[0 0ξ2 0
]e1
Para x ∈ X2. Veamos que ϕ1 y ϕ2 son lineales. Sean x, y ∈ X2 y λ ∈ K
ϕ1(x + y) = (x + y)[
0 0ξ1 0
]= x
[0 0ξ1 0
]+ y
[0 0ξ1 0
]= ϕ1(x) + ϕ2(x)
ϕ1(xλ) = (xλ)
[0 0ξ1 0
]=
(x[
0 0ξ1 0
])λ
= ϕ1(x)λ
64
De manera similar se prueba para ϕ2. Así cualquier morfismo de A-módulos φ :X′ −→ X puede ser identificado con el par φ1, φ2 de K-aplicaciones lineales φ1 :X′1 −→ X1 y φ2 : X′2 −→ X2 tales que el diagrama
Vφ1��
Wϕ1oo
ϕ2oo
φ2��
V′ W ′ϕ′1
ooϕ′2oo
conmuta. De igual forma al ejemplo anterior se prueba que el funtor F : mod(Kr) −→C dado por F(X) = (VX, WX, ϕ1, ϕ2) y si φ : X −→ Y es homomorfismo de mó-dulos de Kronecker, se define F(φ) : F(X) −→ F(Y) por el par F(φ) = (φ1, φ2), esuna equivalencia de categorías.
El funtor cuasi inverso F′ : C −→ mod(Kr) de F se define juntando un objeto(V, W, ϕ1, ϕ2) de C con el K-espacio vectorial X = V ⊕W con la acción
· : X× A −→ X
de A en X definida por
(v, w)
[λ 0
(u1, u2) µ
]= (vλ + ϕ1(w)u1 + ϕ1(w)u2, wµ)
donde v ∈ V, w ∈W y[
λ 0(u1, u2) µ
]∈ A .
65
Capítulo 4
Conclusiones
Mediante el estudio de los módulos se pueden generalizar estructuras algebraicascomo los espacios vectoriales y los grupos.
Las categorías nos permiten generalizar estructuras algebraicas, así como diversascategorías de módulos.
La facilidad de trabajar con módulos de forma categorial da luces para poder ca-racterizar álgebras a partir de módulos.
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Bibliografía
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