Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los...
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Sean y dos conjuntos arbitrarios.
Una función de en es una asociación entre elementos
de y donde a todos y cada uno de los elementos de
se les asocia un único elemento de .
El conjunto
A B
A B
A B A
B
A se llama de la función.
Al conjunto
dominio
codominio se le cdenomina ontradom io .nioB
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Es el conjunto de todos los valores posibles que puede
tomar la función.
También se le llama imagen del dominio bajo la función.
Dada la función : el rango de , es el conjunto
Rango de : para
f A B f
f x B x f a
Evidentemente el rango de es un subconunto del
contradominio:
El rango de Rango de Cont
alguna
radomini de
o
a
f f
A
f
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Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.Su rango es también un subconjunto de los reales.
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1 1 2 2
s 1 2 1 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
y
Se llama función suma de ambas, a la función:
Análogamente podemos definir la funci
y f (x) y f (x).
y y y f (x) f (x).
d 1 2 1 2
El dominio de definición de la función suma, y también el de la
función diferencia será la intersecci
ón diferencia c
ón de los dominios de am
omo
bas
funciones.
y y y f (x) f (x)
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1 1 2 2
p 1 2 1 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
( ) ( ).
Se llama función producto de ambas, a la función:
( ) ( )
Análogamente a lo que o
y f x y y f x
y y y f x f x
curre con las funciones suma y diferencia,
el dominio de definición de esta función vuelve aser la intersección
de los dominios.
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1 1 2
11C
2 2
Sean dos funciones reales de variable real dadas por las expresiones:
( ) y ( ).
Se llama función cociente de ambas, a la función:
= =
El dominio de defi
nic
y f x y f x
f xyy
y f x
2
ión de esta función es la intersección de los
dominios, menos todos los puntos que anulen a ( ), puesto que
serán puntos que anulen el denominador de dicha función.
f x
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Dadas dos funciones ( ), ( ),
se llama función compuesta
a la función
Para que exista la función compuesta es necesario
que el recorrido de la función quede totalmente
incluido en el
y f x z g y
g f
g f x g f x
f
dominio de la función .
Dominio Dom tales que Dom
g
g f x f f x g
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2
Sea : .
Se llama gráfica de la
función al conjunto
, ( , ( ))
f
G x y x f x
D R R.
R
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El concepto de “límite” describe
el comportamiento de una
función cuando su argumento se
“acerca” a algún punto o se
vuelve extremadamente grande
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Sea una función y un número real.
La expresión
lim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a .
Se dice "el límite de en , cuand
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
f x
o se aproxima a , es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
x c L
f x L
f x c
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Sea : una función y un número real.
La expresión
lim
significa que dado >0, existe >0 tal
que si
0
entonces
.
x c
f c
f x L
x c
f x L
D R R
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2
2
2
Nota 1.- El dominio
: 5 7
¿Cuál es e
de la función
l límite de esta función c
son todos los números
reales
Nota 2.- El contradominio de la función
uando tiende
o se acerca a 2?
¿lim 5 7 ?
son tod
x
g R R g x x
x
x
os los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo [ 7, ) R
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2: 5 7g R R g x x
2
2¿lim 5 7 ?
xx
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2: 5 7g R R g x x
2
2¿lim 5 7 ?
xx
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2: 5 7g R R g x x
13
2
2¿lim 5 7 ?
xx
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2
2
2
: 5 7
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 2?
lim 5 7 13x
g R R g x x
x
x
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2
2
2
: 5 7
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 2?
lim 5 7 1
E
3
n este caso, lim
x
x c
g R R g x x
x
x
f x f c
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1
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales positivos menos e
1: (0, ) 1
1¿Cuál es el límite de esta función
l 1
Nota 2.-
cuando tiende
o se acerca a 1?
1¿lim ?
E
1
l
x
xQ R Q x
xx
x
x
contradominio de la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo 1, R
![Page 21: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/21.jpg)
1: (0, ) 1
1
xQ R Q x
x
1
1¿lim ?
1x
x
x
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1
1: (0, ) 1
1
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 1?
De la gráfica es claro que
1lim 2
1x
xQ R Q x
x
x
x
x
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1
1: (0, ) 1
1¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 1?
1lim 2
1
Sin embargo, la función ni siquiera está definida en
1
x
xQ R Q x
xx
x
x
x
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2
5
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales
Nota 2.- El contradominio de
3 4 5:
5
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerc
la fu
a a 1?
¿li
nción
m
?x
x xa R R a x
x x
x
a x
son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función son todos los números reales
menos el intervalo (11,25]
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2
3 4 5:
5
x xa R R a x
x x
5
¿lim ?x
a x
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2
5
3 4 5:
5
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca a 5
Si nos acercamos por la izquierda
No exi
tiende a 11
Si nos acercamos por la derecha tiende a 25
?
l steimx
x xa R R a x
x x
x
a x
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0
Nota 1.- El dominio de la
1: 0
¿Cuál es el lím
función son todos
ite de esta función cuando tiende
o
los números
reales menos el cero
Nota
se acerca a 0?
1¿
2.- El contradom
l
i
im ?
nio de la funci
x
E R R E xxx
x
ón son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función son todos los números reales
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1: 0E R R E x
x
0
1¿lim ?
x x
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0No existe
Si
1: 0
¿
nos
Cuál es
acercamo
el límite de est
s por la izquier
a función cuando tiende
o se ac
da tiende a
Si nos acercamo
e
s
rca a
por la derecha tiende a
1
+
0?
limx
E R R E xx
x
x
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1: 0E R R E x
x
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1: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
E R R E xx
x
![Page 32: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/32.jpg)
1: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
E R R E xxx
![Page 33: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/33.jpg)
1: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
a , es decir, cuando se hace arbitrariamente grande?
l 0imx
E R R E xx
x
E x
![Page 34: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/34.jpg)
Sea una función y un número real.
La expresión
lim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a por la izquierda.
Se dice "el límit
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
e de en , cuando se aproxima a por
la izquierda, es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
f x x c
L
f x L
f x c
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Sea una función y un número real.
La expresión
lim
significa que se puede hacer tan cercano a como se
quiera haciendo suficientemente cercano a por la derecha.
Se dice "el límite
x c
y f(x) c
f x L
f x L
x c
de en , cuando se aproxima a por
la derecha, es ".
Lo anterior es cierto aún si
Más aún, puede no estar definida en .
f x x c
L
f x L
f x c
![Page 36: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/36.jpg)
0
Nota 1.- El dominio de la función son todos los números
reales menos el cero
Nota 2.- El contrad
sin: 0
¿Cuál es el límite de esta función cuando tiende
o se acerca
ominio
a 0?
si
d
n¿li
e
m ?x
xf R R y f x
x
x
x
x
la función son todos los
números reales
Nota 3.- El rango de la función es el intervalo -1,1 R
![Page 37: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/37.jpg)
sin: 0
xf R R y f x
x
0
sin¿lim ?
x
x
x
![Page 38: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/38.jpg)
sin: 0
xf R R y f x
x
0
Si 0,
sin
y
sinlim 1x
x
xf x
x
x
x
0
Si 0,
sin
y
sinlim 1x
x
xf x
x
x
x
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sin: 0
xf R R y f x
x
El límite por la izquierda es 1
El límite por la derecha es +1
0 0
sin sinDado que lim lim , el límite no existe
x x
x x
x x
![Page 40: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/40.jpg)
2: 5 7g R R g x x
En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
![Page 41: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/41.jpg)
1: (0, ) 1
1
xQ R Q x
x
En todo el dominio, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales
![Page 42: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/42.jpg)
2
3 4 5:
5
x xa R R a x
x x
En todo el dominio, excepto en 5, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales.En 5 son 25 y 11 respectivamente
![Page 43: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/43.jpg)
1: 0E R R E x
x
En todo el dominio, excepto en 0, el límite por la derecha y el límite por la izquierda son iguales.En 0 son +∞ y -∞ respectivamente
![Page 44: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/44.jpg)
Sean : y :
Supongamos que existen los límites
lim y lim
i).- lim lim + lim
x x
x x x
f D R R g C R R
f x g x
af x bg x a f x b g x
![Page 45: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/45.jpg)
Sean : y :
Supongamos que existen los límites
lim y lim
ii).- lim lim lim
x x
x x x
f D R R g C R R
f x g x
f x g x f x g x
![Page 46: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/46.jpg)
Sean : y :
Supongamos que existen los límites
lim y lim
limiii).- lim / si lim 0
lim
x x
x
x x
x
f D R R g C R R
f x g x
f xf x g x g x
g x
![Page 47: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/47.jpg)
![Page 48: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/48.jpg)
De manera intuitiva podemos decir que una función es continua cuando pequeños cambios en la variable independiente generan pequeños cambios en la variable dependiente.
De manera imprecisa podemos decir que son aquellas funciones que se “dibujan sin separar el lápiz del papel”
![Page 49: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/49.jpg)
Una función es continua en el punto de su dominio si:
a) está definida, es decir, está en el
Si una función es continua en todos los
dominio
puntos de su
dominio se le denom
de
)
i
limx c
f x c
f c c f
b f x f c
na continua
Si una función no es continua entonces es discontinua
![Page 50: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/50.jpg)
sin : sinR R y x
Esta función es continua
![Page 51: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/51.jpg)
3 2
:5 2
x xh R R y h x
x
•Es discontinua en x=-2•Es continua en todos los otros puntos del dominio
![Page 52: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/52.jpg)
Si y son continuas en el punto de su dominio
y , son números reales arbitrarios, entonces:
i).- es continua en
ii).- es continua en
iii).- es continua en , siempre y cua
f x g x c
a b
af x bg x c
f x g x c
f xc
g x
ndo
0g c
![Page 53: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/53.jpg)
![Page 54: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/54.jpg)
•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
•La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cancer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo
•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos ultracomplejos?
![Page 55: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/55.jpg)
Las funciones “describen” la
evolución de las variables
dinámicas de los sistemas
![Page 56: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/56.jpg)
23 20y f x x x
x f(x)0 20
1 24
-1 22
2 34
-2 30
3 50
-3 44
![Page 57: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/57.jpg)
23 20y f x x x
![Page 58: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/58.jpg)
23 20y f x x x
¿Cómo cambia la función?
•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)
•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece)
![Page 59: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/59.jpg)
23 20y f x x x
¿Cómo cambia la función entre y ?x x
f f x f x
![Page 60: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/60.jpg)
23 20y f x x x
¿Cómo cambia la función?
•Cuando va de 0 a 2 crece en 14
•Cuando va de -2 a 0 crece en -10 (decrece)
![Page 61: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/61.jpg)
23 20y f x x x
´¿Cómo cambia la función entre y ?x x
f x f xf
x x
![Page 62: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/62.jpg)
23 20f x f x
y f x x x fx x
x x
f x f x
x x
![Page 63: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/63.jpg)
f x f x
x x
tan
f x f x
x x
![Page 64: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/64.jpg)
La recta azul es la secante a la curva
![Page 65: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/65.jpg)
La recta azul es la tangente a la curva
![Page 66: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/66.jpg)
La recta azul es la tangente a la curva
•La pendiente de la tangente nos dice
•La rapidez con que la función está
•cambiando en ese punto
![Page 67: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/67.jpg)
lim
lim
x x
x x
f x f xm
x x
f x f xdfx
dx x x
![Page 68: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/68.jpg)
La recta azul es la tangente a la curva
tandf
m xdx
![Page 69: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/69.jpg)
0
00
0
0
limx x
f x
x
f x f xdfx
dx x x
Dada una función
se define su derivada en el punto como
![Page 70: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/70.jpg)
:f R R
x
y f x
![Page 71: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/71.jpg)
x
y f x
x x h
secante tan
f x h f xm
h
h
f x h f x
![Page 72: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/72.jpg)
x
y f x
x
tangente 0
tan limh
f x h f x df xm
h dx
![Page 73: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/73.jpg)
:f D R R
0
00
0
limx x
f x f xdfx x
dx x x
0x
f x
x
0 tandf
x xdx
![Page 74: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/74.jpg)
:v R R v x a
a
v a
donde es un número real arbitrario, pero fijo.
Es decir, es una función constante igual a .
![Page 75: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/75.jpg)
0
0
0
0
0
0
0
:
0
0
lim
0
0x x
dax
d
v R R v x a
v x v x a a
v x v x
x x
v x v x
x x
x
Esto es válido para todos los puntos del dominio
![Page 76: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/76.jpg)
:v R R v x a
a
v a
donde es un número real arbitrario, pero fijo.
Es decir, es una función constante igual a .
La derivada es cero,La función “no cambia”
![Page 77: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/77.jpg)
0: v xR Rx
v adv
d
![Page 78: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/78.jpg)
:l R R l x mx b
m b
l x mx b
m
donde y son números reales.
Esta es la función lineal más general,
es decir, engloba todas
las rectas posibles.
El real es la pendiente de la recta, es decir,
la tangente del án X
b
Y
gulo que hace con el eje
El real es la ordenda al origen, es decir,
el punto en el cual la recta corta al eje
![Page 79: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/79.jpg)
:l R R l x mx b
b
tanm
![Page 80: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/80.jpg)
0 0
0 0 0
0 0
0 0
0
0
0
0 0
:
lim limx x x x
l R R l x mx b
l x l x mx b mx b m x x
l x l x m x xm
x x x x
l
d mx
x l xm m
x x
bdlx x m
dx dxx
para todo en el dominio
![Page 81: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/81.jpg)
:l R R l x mx b
0
Es lógico, la tangente
a la recta es ella misma.
El cambio está dado por
la inclinación de la recta
dlx m
dx
![Page 82: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/82.jpg)
: l x mx bd
dl R mR
l
x
![Page 83: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/83.jpg)
2:f R R f x ax
Una parábola
![Page 84: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/84.jpg)
0
2
2 2 2 2
0
2
:
lim lim
lim lim 2
2
x x x x
x x x x
f R R f x ax
f x f x ax ax a x x a x x x x
f x f x a x x x xa x x
x x x xf x f x
a x xx x
a x x a x x a x x ax
d axdfx ax
dx dx
![Page 85: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/85.jpg)
2: 2f x axdf
axd
f Rx
R
![Page 86: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/86.jpg)
0
0
lim
lim
lim
x x
h
x
f x f xdfx
dx x x
f x h f xdfx
dx h
f x x f xdfx
dx x
![Page 87: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/87.jpg)
1
ln 1
nn
xx
dxnx
dx
dee
dxd x
dx x
2
sincos
cossin
tansec
d xx
dxd x
xdx
d xx
dx
![Page 89: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/89.jpg)
dfx
dxdf x
dxDf
f x
![Page 90: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/90.jpg)
![Page 91: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/91.jpg)
Lo opuesto de una derivada es una
La integral indefinida de una función
se denota co
ant
mo
iderivada
y está definida por la propied
o integral indef
d
d
a
ini a
f x
f x
df x dx f x
d
d
x
x
![Page 92: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/92.jpg)
Si una función es diferenciable, su derivada es única
Una función tiene un número infinito de integrales,
que difieren por una constante aditiva
df x dx f x
dx
![Page 93: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/93.jpg)
La integral indefinida de una función cuya derivada
es identicamente cero es una constante,
es decir,
0
donde es una constante arbitraria.
La integral indefinida de una función identicamente
cero es
dx c
c
una constante.
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Función constante:
: donde a es una constante
La integral indefinida de la función constante es
donde es una constante arbitraria
f R R f x a
adx ax c
c
![Page 95: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/95.jpg)
2
Función identidad
: :
La integral indefinida de la función identidad es
2donde es una constante arbitraria
I I R R I x x
xxdx c
c
![Page 96: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/96.jpg)
1
: entero, 1
La integral indefinida de la función es
1donde es una constante arbitraria
n
n
nn
f R R f x x n n
x
xx dx c
nc
![Page 97: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/97.jpg)
1 : 0
Dado que
1ln
se tiene que
ln
donde es una constante arbitraria
f R R f xx
dx
dx x
dxx c
xc
![Page 98: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/98.jpg)
sincos
cossin
d xx
dx
d xx
dx
De:
sin cos
cos sin
xdx x
xdx x
es claro que:
![Page 99: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/99.jpg)
exp exp
exp exp
dx x
dx
x dx x c
c
Tenemos que
así que
donde es una constante arbitraria
![Page 100: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/100.jpg)
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
- La integral indefinida de una combina
indefini
ción li
das:
neal
af x bg x dx a f x dx b g x dx
![Page 101: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/101.jpg)
1
1
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
indefinid
- De la regla de la cadena t
a
enemos
así que
c
s:
1
a a
aa
df x a f x f x
dx
f xf x f x dx c
a
on 1a
![Page 102: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/102.jpg)
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
indef
- De la derivada del logar
1ln para 0
ini
itmo
ln
tenemos
ln
das:
f xdf x
d
dx f x
f xdx f x c
f x
x xdx x
![Page 103: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/103.jpg)
De la regla de la cadena se tiene
donde
f d f g x g x dx
g x
![Page 104: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/104.jpg)
![Page 105: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/105.jpg)
RRf :
x
f x
![Page 106: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/106.jpg)
x
f x
b
a
f x dx
![Page 107: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/107.jpg)
x
f x
b
a
f x dx
a
![Page 108: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/108.jpg)
x
f x
b
a
f x dx
a b
![Page 109: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/109.jpg)
x
f x
b
a
f x dx
a b
Esta área
![Page 110: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/110.jpg)
x
f x
b
a
f x dx
a b
Esta área
La integral de a a b de la función f, es el área bajo la curva de la gráfica de la función entre a y b
![Page 111: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/111.jpg)
2 32 3f x x x x
![Page 112: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/112.jpg)
2 32 3f x x x x
![Page 113: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/113.jpg)
2 3
2:5 2:5 2:5 2:5 2:52 3 2 3
1.0 1.0 1.0 1.0 1.0
2.5 2.5 2.52.5 2 3 4
1.01.0 1.0 1.0
2 2 3 3 4 4
2 3
2 3 2 3
1 1 12 3
2 3 4
1 12 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.0 2.5 1.0
2 41
2 1.5 6.25 12
f x x x x
x x x dx dx xdx x dx x dx
x x x x
1.0 15.625 1.0 39.063 1.0
41 1
3.0 5.25 14.625 38.0632 4
3.0 2.625 14.625 9.5158 5.4842
![Page 114: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/114.jpg)
2 32 3f x x x x
![Page 115: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/115.jpg)
Valor aproximado 6.1172
Valor exacto 5.4844
1n
![Page 116: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/116.jpg)
5.4844 exactoValor
5.6426aproximadoValor
2n
![Page 117: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/117.jpg)
Valor aproximado 5.5239
Valor exacto 5.4844
4n
![Page 118: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/118.jpg)
Valor aproximado 5.4907
Valor exacto 5.4844
10n
![Page 119: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/119.jpg)
Valor aproximado 5.4846
Valor exacto 5.4844
50n
![Page 120: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/120.jpg)
Valor aproximado 5.4844
Valor exacto 5.4844
100n
![Page 121: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/121.jpg)
if x
![Page 122: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/122.jpg)
i if x x
![Page 123: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/123.jpg)
0
N
i ii
f x x
![Page 124: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/124.jpg)
0
0
limi
N
i ix
i
f x x
![Page 125: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/125.jpg)
0
0
limi
bN
i ix
i a
f x x f x dx
![Page 126: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/126.jpg)
Linearidad
b b b
a a a
rf x sg x dx r f x dx s g x dx
![Page 127: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/127.jpg)
División del rango de integración
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
![Page 128: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/128.jpg)
Antisimetría
b a
a b
f x dx f x dx
![Page 129: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/129.jpg)
0a
a
f x dx
![Page 130: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/130.jpg)
4 4 4
4
22 2 2
: 2
2 2 2 2 4 2 2 2 4
f R R f x
f x dx dx dx x
2 2 4
![Page 131: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/131.jpg)
0 0 0 0
3 3 3 3
0 22 20
33
: 3 2
3 2 3 2
303 2 3 2 0 3
2 2 2
9 27 153 2 3 6
2 2 2
g R R g x x
g x dx x dx xdx dx
xx
![Page 132: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/132.jpg)
623
3 9 27
2 2
27 156
2 2
![Page 133: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/133.jpg)
2
2 2 2 22 2
2 2 2 2
2 2 3 23 2 3 2
2 2
: 8 3
8 3 8 3
2 22 28 3 8 3
3 2 3 3 2 2
8 8 4 4 16 1288 3 8
3 3 2 2 3 3
h R R h x x x
h x dx x x dx x dx xdx
x x
![Page 134: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/134.jpg)
![Page 135: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/135.jpg)
![Page 136: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/136.jpg)
Definimos la función
donde es una constante
y
es la variable independiente
x
a
F x f d
a
x
![Page 137: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/137.jpg)
x
a
F x f d f x
a
x
![Page 138: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/138.jpg)
Se tiene
x
a
F x f d
dF x f x
dx
![Page 139: Una función real de una variable real es una función cuyo dominio es un subconjunto de los números reales y su contradominio son los números reales.](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061302/54e7c7224a7959333c8b4685/html5/thumbnails/139.jpg)
b
a
f x dx F b F a