UN PO’ DI STORIA E ALCUNI NODI CONCETTUALI · dell'insegnamento dell'aritmetica nel primo anno...

UN PO’ DI STORIA E

ALCUNI NODI CONCETTUALI

L’apprendimento del numero

franca [email protected]

ff, 12 settembre 2011

Finalità della relazione


Aggiornare e mettere in discussione a livello adulto le conoscenze matematiche e didattiche

sulla costruzione del numero nei bambini

e su alcuni punti nodali dell'insegnamento dell'aritmetica nel primo anno della scuola primaria.

Parliamo di Numeri Naturali. E’ una storia lunga…

L’osso di Lartet, pervenuto in Dordogna, in Francia, risale a circa 30.000 anni fa; sono visibili gruppi distinti di segni; probabilmente i nostri antenati tenevano conto delle fasi lunari tracciando segni sulle ossa (Butterworth, 1999).


… evoluta lentamente nel tempo

L’osso di Ishango, risale a più di 20.000 anni fa, scoperto nel 1961 sulle rive di un lago in Africa Centrale; sono evidenti tre coppie di raggruppamenti per tacche che rappresentano alcuni numeri e il loro doppio, il che indica che i pescatori di quel periodo avessero il concetto di raddoppiamento e di numerosità; … (Butterworth, 1999)


La costruzione dei simboli numerici


Numerazioni con le tacche Insieme di tacche Composizione additiva L’insieme degli insiemi (moltiplicazione) Le basi di numerazione (10, 60) Le operazioni ricorsive Valore posizionale (cifre arabe, lo zero)


Graham Flegg.

Come giunge il bambino alla scrittura dei numeri?


Diversi studi: Hughees – Liverta Sempio – D’Amore & Aglì – …

Sintetizzando

Fase pittorico – figurativaFase segno/schematicaFase simbolica

3 anni e 9 mesi 4 anni e 4 mesi


Bambini e scrittura di numeri

5 anni e 9 mesi6 anni e qualche mese


1 – 2 – 3 – 4 I I I I I I I I I I1 – 2 – 3 – 4 –

5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 01

Bambini e scrittura di numeri (numero 10)

6 anni (ottobre classe I)


Come acquisiscono il numero i bambini?


Piaget Gelman e Gallistel Fuson Butterworth Dehaene Vergnaud …

Piaget (1941)


La costruzione del numero è correlata con lo sviluppo della logica

Il numero si costruisce e si evolve in stretto rapporto con l’ elaborazione graduale delle operazioni di classe e di serie, costituendosi quale loro sintesi operante

Il numero è una costruzione di natura operatoria.

Piaget (anni 40)


Molteplici fattori contribuiscono alla costruzione del numero

In particolare:

La conservazione della quantità La corrispondenza biunivoca


“La numerazione verbale non rappresenta alcuna parte nel progresso stesso della corrispondenza e dell’equivalenza.Senza dubbio nel momento in cui la corrispondenza diviene quantificante e dà così origine a degli inizi di equivalenza, lanumerazione parlata può accelerare il processo di evoluzione; ma i nomi dei numeri come tali non lo generano.” J. Piaget, 1941

A partire dagli anni sessanta


Analisi e critiche del pensiero piagetiano Influenza di fattori estranei sulle prestazioni dei

bambini. Sul piano della COMUNICAZIONE (Donaldson) Grado di familiarità delle formulazioni linguistiche con

cui ci si rivolge ai bambini - Grado di competenza conversazionale dei bambini …

Sul piano dell’INTERAZIONE SOCIALE (Doise e Mugny)

La dimensione sociale esercita la propria influenza dall’interno stesso dell’attività cognitiva

Gelman & Gallistel (1978)


Processo di astrazione (subitizing e conta spontanea)

Processo di ragionamento (operare sulle numerosità, capacità di fare inferenze sulle relazioni e trasformazioni numeriche)

Abilità strettamente connesse Grande importanza della CONTA Individuazione di 5 principi che governano

e definiscono il processo del contare

I 5 principi di Gelman e Gallistel


Il principio di iniettività (the one – one principle)

Il principio dell’ordine stabile Il principio di cardinalità Il principio di astrazione Il principio di irrilevanza dell’ordine

Fuson (fine anni 80)


Individuazione di un modello di costruzione del numero nel bambino

Diverse situazioni d’uso delle parole-numero (Contesto cardinale – Contesto ordinale – Contesto di misura)

Variabile fondamentale l’interazione con l’AMBIENTE

Il bambino forma la propria conoscenza del numero attraverso la relazione con ciò che lo circonda

Fuson. Interazione con l’ambiente


Riconoscimento di numeri243752149 “Non è un numero vero, perché questo

è un numero di telefono. Mi sembra quello di mia nonna, ma non è proprio uguale perché nel suo dopo il 2 c’è l’8”

Butterworth e l’intelligenza matematica (1999)


Tutti nasciamo con un cervello che contiene uno specifico “modulo numerico” che classifica il mondo in termini di numerosità

Capacità di contare come collegamento tra le capacità innate del bambino di percepire la numerosità e le acquisizioni matematiche più avanzate



I bambini devono affrontare diverse difficoltà, soprattutto di tipo linguistico

Non è facile imparare la sequenza verbale! Conoscere i vocaboli Collegare ciascuna parola ad un solo oggetto

(corrispondenza biunivoca parola/oggetto) Capire che l’ultima parola va ripetuta (l’ultima

parola del conteggio è il numero degli oggetti contati)



I bambini cinesi avvantaggiati per la concettualizzazione della notazione posizionale

Superate le difficoltà dei primi dieci numeri non devono più apprendere altri vocaboli

Undici : dieci – uno Dodici: dieci – due Venti: due - dieci

Dehaene e il “pallino della matematica” 1997


Dotazione sin dalla nascita di una rappresentazione mentale delle quantità molto simile a quella di molti animali, dai ratti alle scimmie.

Alcuni aspetti elementari dell’aritmetica sarebbero compresi dai bambini fin dal primo anno di vita, e sarà questo meccanismo a guidare l’apprendimento della matematica.



Prima di andare a scuola il bambino dispone già di una notevole capacità di conteggio.

Non valorizzare le conoscenze precoci dei bambini può avere un effetto disastroso sul resto della loro carriera scolastica.

Se l’intuizione è scoraggiata, l’insegnante è condotto al fallimento.



A bambini di sei e di nove anni è stato chiesto quanto fa 5+3-3

I bambini di sei anni rispondevano sistematicamente 5 e, soprattutto, senza fare calcoli, e osservando giustamente che “+3 e –3” si annullano

I bambini di nove anni per arrivare a 5 facevano sempre una doppia operazione “5+3=8; 8-3=5” sostenendo che “per risolvere un problema occorre necessariamente fare i calcoli; non fare i calcoli vuol dire imbrogliare”

Vergnaud e la teoria dei campi concettuali


Teoria cognitivista che studia lo sviluppo e dell’apprendimento di competenze complesse

E’una teoria psicologica del concetto, e più precisamente si occupa di processi di concettualizzazione del reale

Permette di individuare e di studiare le filiazioni e le rotture fra conoscenze dal punto di vista del loro contenuto concettuale


Un concetto non si può ridurre alla sua definizione, almeno se si è interessati al suo apprendimento e all'insegnamento.

E‘ attraverso situazioni e problemi da risolvere che un concetto acquista significato per un bambino.

E’ necessaria l’azione del soggetto. La conoscenza razionale è operatoria o

non esiste.




SENSO

(REFERENTE)

Situazioni di riferimento di un concetto

INVARIANTI OPERATORI

(SIGNIFICATO)

del concetto

RAPPRESENTAZIONI LINGUISTICHE

(SIGNIFICANTE) di un concetto



SENSO

(REFERENTE)

Situazioni di riferimento di un concetto

INVARIANTI OPERATORI

(SIGNIFICATO)

del concetto

RAPPRESENTAZIONI LINGUISTICHE

(SIGNIFICANTE) di un concetto

Evelyn : -D is p a r i s o n o q u e i n u m e r i c h e q u a n d o t i m e t t i in f i la p e r 2 u n o r e s t a s e n z a c o m p a g n o , c o m e n o i q u a n d o è a s s e n te u n b a m b in o

MOHAS S EN : -T IP O L ’1 1 E IL 1 0 . S E T U F A I C O S I ’ (M O S T R A L E D U E M A N I E D A P R E L E D IT A ), V E D I C H E IL 1 0 E ’ P A R I E C A P IS C I C H E L ’1 1 E ’ D IS P A R I , P E R C H E ’ C E N ’E ’ U N O IN P IU ’.

AR IANNA:-P A R I S O N O I N U M E R I C H E S I P O S S O N O D IV ID E R E IN D U E P A R T I U G U A L I



Molteplicità dei "sensi" Cardinale, collegato alle situazioni di valutazione

della numerosità di insiemi Ordinale, collegato alle situazioni in cui i numeri

servono per "mettere in ordine" eventi, situazioni spaziali, ecc;

Misura, collegato a situazioni in cui il numero serve per riferire la grandezza di un oggetto alla grandezza di un oggetto-campione

…

Vergnaud. Invarianti operatori


Numerazione di una collezione d’oggetti (biglie in un sacchetto, sedie intorno ad un tavolo, persone sparse in una sala, …)

Forma diversa di contare, ma invarianti operatori :

coordinazione dei movimenti degli occhi e dei gesti del dito e della mano rispetto alla posizione degli oggetti;

enunciazione coordinata della sequenza numerica; cardinalizzazione dell'insieme numerato

mediante sottolineatura tonica o ripetizione dell'ultima parola-numero pronunciata: uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette,…. Sette)

Vergnaud. Rappresentazioni linguistiche


Le espressioni linguistiche (verbali e non verbali) consentono il trattamento del concetto

E’ necessario distinguere il concetto di numero dai modi di scriverlo

La scrittura decimale- posizionale di un numero (esempio: 27) o la scrittura con le lettere dell'alfabeto (ventisette) sono solo "rappresentazioni linguistiche" del concetto, quindi componenti del concetto che non esauriscono la padronanza del concetto.

Rappresentazioni linguistiche del numero


Proposta di una bella discussione (Fine prima)

Quali analogie e quali differenze ci sono tra la scrittura delle parole usando le lettere dell'alfabeto e la scrittura dei numeri usando le cifre (nel sistema decimale-posizionale di scrittura dei numeri) ?

Rappresentazioni linguistiche del numero


ANALOGIA. Le lettere a, b, c, d… sono segni che si usano per scrivere le parole; le cifre 0, 1, 2, 3… sono segni che si usano per scrivere i numeri.

DIFFERENZE. Ogni giustapposizione di più cifre (con cifra iniziale diversa da zero) rappresenta un numero, solo poche giustapposizioni di più lettere danno luogo a parole del vocabolario.

Ogni cifra rappresenta un numero, solo poche lettere rappresentano parole del vocabolario (a – e – i – o)

I “sensi” del numero naturale


Ordinalità (mettere in ordine oggetti, situazioni, ecc.)

Cardinalità (contare il numero degli oggetti presenti in un dato aggregato)

Misura (misurare: stabilire quante volte una unità di misura scelta è fisicamente contenuta in una grandezza)

Etichetta (identificare un oggetto, una situazione ...) Valore (stabilire delle equivalenze: “una” cosa di

un tipo che ne vale “cinque” di un altro tipo...)

Ordinale Cardinale


Io ho 5 anni, perché sono nato un anno dopo di voi. Voi siete nati nel 2002, che viene prima del 2003. Io sono il più giovane della classe. (Lorenzo)

Io nell’astuccio ho 24 colori, ma di pennarelli ne ho meno. Ne ho solo 10. Li ho contati. (Evelyn)

I “sensi” del numero

Misura Etichetta


I numeri servono per misurare. Io sono molto alta e lo dico anche con i numeri. Mio padre mi dice che forse divento 2 metri. (Esther)

La nostra scuola è in via Benedetto Marcello numero 51. Il numero c’è scritto vicino al cancello. (Giacomo)


Valore Valore


Per la figurina di Eto io gliene ho date 3, perché a me mancava. (Junior)

1 euro vale tantissimi centesimi. (Mohassen)

Ne vale 100 (Lucia) 100 sono tantissimi

(Mohassen) Sì, ma 100 cent sono la

stessa cosa di 1 euro (Arianna)


I “sensi del numero”


Importanza delle esperienze pregresse

Famiglia Scuola dell’infanzia Contesti esterni

Mio padre mi fa fare tutti i giorni delle operazioni così dice che divento brava in matematica

Nella mia targa c’è il numero 746

Alla scuola materna tutti i giorni facevamo l’appello e

dicevamo quanti erano presenti

I contesti d’apprendimento


Tanti e vari!

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