CALCOLARE... COME UNA VOLTA

l’aritmografo, il regolo calcolatore,

le calcolatrici meccaniche tascabili, e altro

Un grazie a L. Preziosi, L. Pandolfi, S. Berrone, F. Ceragioli,

P. Valabrega, G. Beccari e altri ancora ...

EVOLUZIONE DEL CALCOLO

calcolo aritmetico

calcolo algebrico

calcolo differenziale e integrale

calcolo vettoriale

calcolo matriciale

calcolo tensoriale

calcolo combinatorio

calcolo delle probabilita

......................

CALCOLO ARITMETICO

somme e sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni, potenze e radici

Si evolve sulla spinta di impellenti necessita di ordine pratico:

• trattare numeri sempre piu grandi

• eseguire calcoli sempre piu lunghi e complicati

• velocizzare l’esecuzione

• assicurare una sempre maggior precisione

• garantire l’immunita da errori

=⇒ sviluppo di tecniche:

1) per la rappresentazione simbolica dei numeri (basi

numeriche, notazione posizionale) e per il calcolo (algoritmi e

regole, stima degli errori di arrotondamento)

2) per la realizzazione di dispositivi che permettano di

automatizzare l’esecuzione delle operazioni.

L’ABACO

gia noto agli antichi egizi, ancora in uso in Cina fino alla meta

del secolo scorso

• Abaco “modello base” (pallottoliere)

• Abaco cinese del tipo (2,5)

• Addiator (aritmografo a cremagliera)

Principale produttore:

Addiator Gesellschaft, Berlino (dal 1920 al 1982)

IL REGOLO CALCOLATORE

Nella sua versione piu semplice, il regolo calcolatore e

composto da due sbarrette, una fissa e l’altra scorrevole, su

ciascuna delle quali e riportata una scala logaritmica.

Edmund Gunter (Londra, 1620)

William Oughtred (Cambridge, 1630)

Amedee Mannheim (Parigi, 1851)

(aggiunge nuove scale per altri calcoli)

Quintino Sella (Torino, 1859)

Max Rietz (1902)

Alwin Walther (Universita di Darmstadt, “log log”) (1934)

Prodotto e commercializzato a partire dalla fine dell’ottocento

e fino al 1978 (Faber-Castell, Pickett, Aristo, Nestler)

I logaritmi costituiscono il fondamento teorico del regolo

calcolatore.

Definizione (moderna) di logaritmo (Eulero, 1730 circa):

X = logb x ⇐⇒ bX = x b > 0(b 6= 1), x > 0

Basi frequentemente usate:

• base e (logaritmi naturali, scopi scientifici)

notazione ISO: ln x

• base 10 (logaritmi comuni, usi tecnici e commerciali)

notazione ISO: lg x

Proprieta dei logaritmi:

logb xy = logbx + logb y (x > 0, y > 0)

logbxy = logbx − logb y (x > 0, y > 0)

logb xk = k logb x (x > 0, k ∈ R)

loga x = loga b · logb x (cambiamento di base)

in particolare:

logb x = − log1bx = − logb

1x loga b = 1/ logb a

loge 10 = 2.302584

Grafico della funzione logaritmo (base 2 e 3)

0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

SCALA LOGARITMICA

Se X = logx, si usa x per denotare il punto di ascissa X

Su una scala logaritmica, due intervalli [a, b] e [c, d] sono

“uguali” se

b

a=

d

c

Infatti

B − A = logb

a, D − C = log

d

c

Operazioni col regolo

Moltiplicazione: grazie alla prima proprieta dei logaritmi, con

l’utilizzo delle scale C e D

moltiplicazione → somma → traslazione

• i numeri vanno rappresentati in virgola mobile x = M · 10E

• l’ordine di grandezza E deve essere calcolato a parte.

• la precisione dipende dall’esperienza e dall’abilita

dell’operatore

17 × 23 = 391

5738 × 7239 = 41537382

0.5738 · 104 × .7238 · 104 = 0.4152.... · 108

Scale aggiuntive:

A scala fissa dei quadrati

B scala mobile dei quadrati

CI scala dei reciproci

K scala dei cubi

L, LL1 ... scale di logaritmi

S scala dei seni e coseni

T scala delle tangenti

..........

Altre operazioni:

Calcolo di percentuali, risoluzione di certe equazioni di secondo

grado, area e diametro del cerchio, potenze e radici, funzioni

trigonometriche

Altri tipi di regolo:

regoli circolari

regoli cilindrici

regoli concepiti per attivita specifiche (Calcolo del fattore di

potenza e delle curve di carico degli impianti elettrici, calcolo

della sezione di un cavo, rendimento di una dinamo o di un

motore, calcoli statistici, regoli per usi militari)

Regoli didattici

Altri strumenti per l’esecuzione di calcoli particolari

(nomogrammi)

I LOGARITMI

John Napier (1614)

Siano date due semirette, di origine rispettivamente O e O′, e

sia A un punto sulla prima semiretta, di ascissa 107. Un punto

P , di ascissa x, si muove a partire da A verso l’origine, con

velocita che decresce in maniera proporzionale alla distanza

che gli rimane da percorrere. Simultaneamente, un punto Q, di

ascissa X, si muove sulla seconda semiretta con velocita

costante uguale a 107, partendo dall’origine.

AP

Q

O

O’

x

X

X e il logaritmo “neperiano” di x.

x = −x

x(0) = 107

X = 107

X(0) = 0

Integrando, (con notazione moderna)

x = 107e−t , X = 107t

Eliminando t, con semplici passaggi, si ottiene

X = 107 log1e

x

107

Differenze rispetto alla definizione attuale:

• la base (si riduce a uno scambio di segni)

• i fattori di scala

=⇒

• il logaritmo neperiano di uno non e zero

• il logaritmo neperiano della base non e uno

Sembra che Napier sia arrivato a formulare la sua definizione

sviluppando due idee:

1) l’uso di formule di prostaferesi per i calcoli astronomici

(Tycho Brahe)

2) l’uso di progressioni geometriche, combinate col metodo

dell’interpolazione lineare, per ridurre la complessita dei calcoli

(Stifel, 1544)

1, b, b2, b3, . . . , bN , . . .

Progressione geometrica di base 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Napier si chiede come scegliere b per rendere il piu possibile

efficiente questo metodo, e decide di scegliere

b = 1 − 1

107= 0.9999999

In questo modo pero la curva risulta troppo schiacciata, e

allora aggiunge un fattore correttivo pari a 107, e afferma che

X e il logaritmo di x se

x = 107(

1 − 1

107

)X

Si noti che

(

1 − 1

107

)X

=

(

1 − 1

107

)

107X

107=

(

1 − 1

107

)107

X

107

il numero in parentesi quadra e molto vicino a 1/e

limk→∞

(

1 +1

k

)k= e = 2.7182818284

(

1 − 1

107

)−107

= 2.718281962

corretto fino alla sesta cifra! (Non si conoscevano ancora le

derivate, le serie, e nemmeno la notazione esponenziale)

I primi logaritmi calcolati da Napier erano logaritmi di seni di

angoli del primo quadrante (di minuto in minuto). Per

calcolare la sua tavola impiego 20 anni. L’invenzione di Napier

si diffonde e si sviluppa rapidamente tra i suoi contemporanei:

J. Speidell (1619, 1622), E. Wright (1618) e all’uso che ne fa

Keplero.

Jobst Burgi (1620) pubblica una sua teoria dei logaritmi,

usando come base

b = 1 +1

104

(fornisce un valore di e corretto fino alla quarta cifra)

Henry Briggs nel 1617 pubblica una tavola dei logaritmi dei

numeri da 1 a 1000, calcolati fino alla quattordicesima cifra

dopo la virgola, in base 10 (logaritmi comuni), e tali che

log1 = 0 e log10 = 1.

TAVOLE DEI LOGARITMI

Sembra che Briggs si sia servito di almeno tre metodi per

comporre le sue tavole. Il procedimento piu semplice si basa

sull’estrazione di radici e l’interpolazione lineare.

x = 10p2n =

√

...√

10p ⇐⇒ p2n = log10 x

Nel 1624 Briggs pubblica tavole di logaritmi di numeri a cinque

cifre, da 1 a 20000 e da 90000 a 100000. I logaritmi dei

numeri da 20000 a 90000 furono pubblicati pochi anni dopo da

Adrian Vlacq (con 10 decimali). Le tavole di Vlacq contengono

circa 2100000 cifre stampate, di cui 603 si sono poi rivelate

sbagliate: una percentuale inferiore allo 0.003%!

Nel 1668 viene pubblicata la serie di Mercator

log(1 + x) = x − x2

2+

x3

3− x4

4+ ...

Cambia il modo di calcolare i logaritmi.

• E sufficiente calcolare i logaritmi dei numeri primi

• Noti i logaritmi dei numeri primi fino a P (con P abbastanza

grande), se ne possono ottenere altri con lo sviluppo

(J. Gregory, 1668)

logQ =log(Q − 1) + log(Q + 1)

2+

+

[

1

2Q2 − 1+

1

3(2Q2 − 1)3+

1

5(2Q2 − 1)5+ . . .

]

Nuove tavole appaiono verso la fine del ’700.

J.H. Lambert (1770)

J.K. Schulze (1778): tavole di Wolfram (un ufficiale di

artiglieria olandese) di logaritmi naturali (fino a 2200) e di

numeri primi fino a 10009.

De Prony (1792) Table du Cadastre (ri-edite a cura del

Governo Francese nel 1891)

Jurij Vega nel 1794 rivede le tavole di Vlacq eliminando parte

degli errori.

Istituto geografico-militare di Firenze (1889)

Nel secolo scorso, molti governi hanno finanziato la produzione

di tavole matematiche. Negli Stati Uniti esiste un’agenzia con

queste finalita: NIST (National Institute for Standardization

and Technology, gia National Bureau for Standardization)

• Tavole per uso scolastico e commerciale (logaritmi comuni)

• Tavole per uso scientifico (logaritmi naturali)

USO DELLE TAVOLE

Come col regolo, mediante le tavole si trova solo la mantissa,

cioe la parte dopo la virgola. La caratteristica, cioe la parte

intera, dipende dall’ordine di grandezza e va calcolata a parte.

Esempio. 320 = 3.20 · 102

log10 320 = 2 + log10 3.2 = 2 + 0.50515 = 2.50515

LE CALCOLATRICI MECCANICHE

Wilhelm Schikard (1623): Orologio calcolatore

Blaise Pascal (1645): Pascalina (solo addizioni)

Gottfried Leibniz (1673): Stepped Reckoner (inventa il

“traspositore”, in grado di eseguire moltiplicazioni e divisioni)

Curt Herzstark: CURTA

Prodotta dalla Contina Ltd Mauren (Liechtenstein) e

commercializzata dal 1948 al 1970 (circa 1400000 esemplari al

costo di 125 dollari)

Charles Babbage (1837): macchina analitica

Douglas Hartree (1934): analizzatore differenziale (usa pezzi

del ”Meccano”)

LE CALCOLATRICI ELETTRONICHE

SR10 Texas Instruments (1970)

HP35 (1972) Calcolatrice scientifica

TI59 (1977) Programmabile

Casio PB100 (1982) Linguaggio Basic

BIBLIOGRAFIA

Capelo, Ferrari, Padovan: Numeri, aspetti storici, linguistici e

teorici dei sistemi di numerazione, 1990 Zanichelli

Boyer, Storia della matematica, 1968 Mondadori

Cajori, History of Mathematics, 1985 Chelsea

Geymonat, Lezioni di matematica 1, 1981 Levrotto e Bella

Table of natural logarithms, conducted under the sponsorship

of the National Bureau of Standards, 1941

MAP museo archivio politecnico

http://areeweb.polito.it/strutture/

Museo degli strumenti per il calcolo di Torino

http://museostrumenticalcolo.altervista.org/joomla

Museo degli strumenti scientifici per il calcolo (Pisa)

http://www.fondazionegalileogalilei.it

Mateureka (Pennabilli, Rimini)

http://www.mateureka.it