UN CÁLCULO TEMPORAL DE PREDICADOS DE TIPO MODAL José … · UN CÁLCULO TEMPORAL DE PREDICADOS DE...

Boletín de MatemáticasNueva Serie, Volumen 1I (1995), pp.l21-140

UN CÁLCULO TEMPORAL DEPREDICADOS DE TIPO MODAL

José M. MuÑoz QUEVEDO(*)

Resumen. Se construye un cálculo predicativo temporal de tipo modal, referidosolamente al pasado, con una semántica natural de estructuras con dominioscrecientes con el tiempo. Se hallan esquemas y reglas válidas para esta semánticay con algunas de ellas se axiomatiza el sistema, desarrollándolo lo suficiente paraque sirva como maceo lógico sobre el cual pueda construirse en el futuro unatemía temporal de conjuntos.

Absiract, A first-order temporal calculus is constructed, with a natural seman-tíes given by structures whích grow with time. Rules and schemas o( the calcultJSare developped to allow a temporal set theory based on it.Ke'!lword3. Fírst-order modal calculus, temporallogic, set theory.

1. Motivaci6n

Cuando se analizan los axiomas de una teoría de conjuntos como la deZerrnelo- Fraenkel, se observa que ellos (con excepción del axioma de exten-sionalidad) son reglas que aseguran la existencia de ciertos oh jetos (conjuntos)asociados a otros objetos dados. Es entonces claro que el universo de los objetosmatemáticos puede imaginarse como construido a lo largo del tiempo, a partirpor ejemplo del conjunto vacío, utilizando los axiomas como leyes de formaciónde conjuntos nuevos a partir de otros ya existentes. Aunque es cierto que esta

(*)Texto recibido 3/7/96, revisado 20/11/96. José M.. Muños, Departamento deMatemáticas y Estadística, Universidad Nacional. Este trabajo ha sido elaborado dentrodel proyecto de investigación "El tiempo en la lógica y en la teoría de conjuntos",cofinanciado por Colciencias, la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional deColombia y el Cindec, entidades a las cuales el autor está altamente agradecido.

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construcción gradual de los objetos matemáticos ha estado presente en las dis-cusiones filosóficas sobre los fundamentos de las matemáticas (por ejemplo enel intuicionismo), en el desarrollo oficial de las matemáticas se ha mantenidoa un nivel informal. Uno de nuestros propósitos futuros es mostrar que si setoma en serio la temporalidad de la existencia de los objetos matemáticos, hayvías para desarrollar genuinas teorías temporales de conjuntos. Como talesteorías no pueden llevarse a cabo en el contexto de la pura lógica clásica, esnecesario crear lógicas temporales que sirvan como marcos dentro de los cualespuedan desarrollarse dichas teorías temporales de conjuntos. En [6] se presentóun cálculo proposicional temporal creado con el propósito antes mencionado.A continuación vamos a exponer los lineamientos generales de un cálculo pre-dicativo temporal de tipo modal construido con el mismo propósito.

2. Construcción

A los símbolos usuales de un cálculo de predicados clásico de primer ordencon igualdad, agreguemos los operadores temporales de tipo modal P y H.Vale la pena resaltar que pueden existir símbolos para predicados, símbolosfuncionales y símbolos constantes. Los términos se generan en la forma usuala partir de las variables y constantes mediante los símbolos funcionales. Lasreglas de formación de fórmulas son las de un cálculo de predicados de primerorden con igualdad (ver, por ejemplo, [1]) junto con la siguiente:

Si cp es una fórmula, entonces también lo son Pcp y H cp.

Intuitivamente los operadores temporales P y H tienen los significados siguien-tes:

Pip : en el pasado se verificó cp; en algún instante del pasado, cp.

H ip : siempre en el pasado se verificó cp; en todo instante del pasado, cp.

Además, y como es clásicamente evidente de los significados dados, Pip seconsiderará como una abreviación de -.H -'cp, equivalencia que denotaremosasí:

(DEF)

Teniendo en cuenta el propósito del cálculo de predicados en construcción, esconveniente comenzar definiendo con precisión su semántica. Una estructurade tipo Pred(H) será una tripla

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donde (T, <) es un conjunto no vacío provisto de una relación de orden estricto"<" ( o sea irreflexiva, antisimétrica y transitiva), lineal hacia el pasado (esdecir, VxVyVz[«x < z) /\ (y < z» -+ «x < y) V (x = y) V (y < x»))) yque opcionalmente puede poseer un momento inicial; estas propiedades que sepiden al tiempo son intuitivamente plausibles para desarrollar una teoría deconjuntos con un universo inicial que se expande hacia el futuro con diversidadde posibilidades (ya que el tiempo puede ser ramificado) pero en forma tal que,al situarse en cualquier momento y al mirar retrospectivamente, "se observauna única historia" , una única línea hasta el instante inicial.

Además (21(t»tET es una familia de estructuras de un tipo fijo en el cálculode predicados clásico subyacente, y para cada pareja (8,t) con 8 < t ; h.t es unhomomorfismo inyectivo (monomorfismo) h.t: 2l(s) -+ 2l(t), de forma tal que sir < 8 < t, entonces hrt = h.t o hr s :

Dichos monomorfismos poseen en particular la propiedad siguiente: si R esun símbolo relacional n-ario y R2f.(8) y R2f.(t) son las relaciones que lo interpretanen los universos 2l( s) y 2l(t) respectivamente, y si s < t Ya 1, a2, ... ,an E 121(s) 1,entonces

Aquí 121(s) I denota el dominio de la estructura 2l(s).Hemos impuesto a h.t la condición de ser un monomorfismo para que los

dominios de las estructuras sean crecientes con el tiempo, conserven ciertaspropiedades básicas de sus individuos y posean además un comportamiento co-rrecto con respecto a los símbolos funcionales que puedan existir en el lenguaje.En particular si 'para todo 8 < t, las h.t son inyecciones canónicas (h.t(x) = zpara todo x), el universo existente en el instante s es un subconjunto del uni-verso existente en el instante t, y la estructura de tipo Pred(H) correspondemás exactamente a un modelo de un universo en expansión. Por otro lado, siun objeto b existe en un determinado momento, él seguirá existiendo siempreen adelante ya que siempre poseerá imagen por cualquier función h.t de tran-sición, es decir, los objetos son eternos hacia el futuro; queremos que cuandoun conjunto comience a existir, siga existiendo siempre en adelante.

La verificabilidad en cada instante se define en la forma clásica para lasfórmulas sin H ni P (ver por ejemplo [1, p.139]): si tI, t2, ... ,tk son términoscon sus variables entre Xl, X2,' .. ,Xn, A If-. <p(t¡, t2, ... ,tk)[al' a2, ... ,an] si ysólo si 2l(s) 1= <p(tl, t2, ... ,td[al' a2, ... ,an] donde <p(tl, t2, ... ,tk )[al' a2, ... ,an] es la proposición que se obtiene al reemplazar todas las ocurrencias libresde Xl, X2, ... ,Xn por al, a2, . " , an respectivamente.

Para simplificar la escritura notaremos por a al elemento (al, a2,'" , an) de121(s)¡n. La igualdad se define sencillamente en la forma usual:

Ii4BLlOTECA C!NT~

••••• u.¡¡YIiIIS'IIAD "ACIOtUI


Debido a que las h.t son inyectivas, si dos objetos son distintos en un determi-nado momento, ellos seguirán siendo diferentes siempre en adelante, y puestoque son funciones, si dos objetos son iguales en un instante dado, entoncesseguirán siendo iguales en todo instante posterior.

Interpretemos ahora las fórmulas que involucran H o P. Si en tp ocurrenlibres exactamente las variables Xi" Xi" ... , Xi", Y P ~ in A If-. H tp(tl, t2, ... ,t,,)[al,a2,'" ,al'] si y sólo si para todo r < s, cuando (h;/(a¡J E Im(r)l/I.h;/(ai,) E Im(r)l/I. /1. h;/(aj,,) E Im(r)I), entonces A If-r tp(tl, t2,'" , tI;)[h;.l (aj,), h;}(ai,), , h;.l(a¡J].

Nótese que no se exige la existencia de las preimágenes por b-, de todoslos elementos al, ... ,al" sino tan solo de aquellos ai" ai,,' .. ,as" que se van autilizar para evaluar las variables libres Xi, , Xi" ... , Xi" de tp. Por este motivo,la evaluación de las variables que no ocurren libres en la fórmula tp, no tieneinfluencia en el valor de verdad resultante para tp.

Cuando las h.t son inyecciones canónicas, la definición anterior significa"siempre que los objetos ai" aj" ... ,ai" hayan existido simultáneamente, de-ben haber verificado tp", o más coloquialmente, " los ai" aj" ... , ai" debenhaber verificado tp durante toda su vida común". Abusando del lenguaje, lomismo puede decirse en el caso general si identificamos hacia el pasado b conh;/(b), y hacia el futuro identificamos b con h.t(b).

Como consecuencia tenemos que bajo las mismas condiciones anteriores,A If-. Ptp(t1,t2,··· ,t,l:)[al,a2,'" ,al'] si y sólo si existe r < s tal que (h;/(a¡,) E Im(r)l) /1. (h;/(ai,) E 12t(r)1) /1. .. , 1\ (h;/(a¡J E Im(r)1) y A If-rtp(t1,t2,'" , tk)[h;/ (a¡,),h;.l(ai,),"· ,h;:}(aiJ] es decir, vale en el pasadotp cuando todas las preimágenes de los a¡k existieron en un momento r anteriora s y en ese instante verificaron tp. Abusando del lenguaje nuevamente, esteenunciado equivale a " existió un momento r anterior a s en el cual todas lasaik existieron simultáneamente y en ese instante verificaron tp".

También vale la pena destacar el hecho de que, al igual que en el cálculode predicados usual, no tiene sentido considerar A If-. Ptp(tl, t2, ... , tI; )[al, a2,... , ap] cuando alguno de los ai no es del universo Im(s)l. Si se permitieranexpresiones como m(s) 1= <p[b]cuando b fÍ. 1!2l(s) L tendríamos que admitir, porejemplo para un símbolo relacional un ario R, que

!2l(s) Jé R[b] si y sólo si «b E Im(r)1 /1. b fÍ. R'l(·») V b fÍ. 1!2l(r)l).

Entonces para un b que no esté en Im(r)l, m(s) Jé R[b] e igualmente!2l( s) Jé -'R[b],lo cual significaría que, o bien se debe modificar radicalmente la semántica, obien se debe cambiar la lógica clásica bivalente por otra trivalente al menos, yaque !2l(s) Jé R[a] no sería equivalente a !2l(s) 1= -,R[a].

De lo anterior se deduce que para esta semántica, en un instante dado solopuede predicarse sobre los individuos existentes en dicho instante, y no sobreindividuos que ya no existen o que solo van a existir.


Además, diremos que A Ir-t <p(x) si y solo si Ql(t) 1=<p(x)[a] para toda n-tuplaa de elementos de Ql(t). Análogamente al caso proposicional, A Ir- <p si y solosi A II-t <p para todo t de T. Finalmente, diremos que <p es válida (Ir- <p) si ysolamente si para toda estructura A de tipo Pred(H), A Ir- <p.

En adelante usaremos la abreviación (P RE D) para justificar el empleo deresultados conocidos del cálculo de predicados clásico subyacente al sistema,y la abreviación (PRO P) para justificar el empleo de resultados del cálculoproposicional clásico subyacente.

Como se puso de presente en [8], la definición dada de igualdad captura laidea de que dos individuos son iguales en un instante dado si y solo si son igualesa lo largo de toda su historia, es decir, si comenzaron a existir simultáneamentey son iguales en cada momento de su existencia.

En [8] se probó que para esta semántica, son válidas entre otras, tanto lafórmula

(FB)

como su recíproca

(RB)

A la primera la llamaremos fórmula Barcan, ya que posee la forma de la ex-presión modal que lleva dicho nombre.

Si en las fómulas anteriores reemplazamos <p(x) por -'<p( x), H por =P:« yVx por -,3x-' respectivamente, y eliminamos negaciones, obtenemos

(FB·)

(RB·)

las cuales son equivalentes a F B y RB respectivamente. El que valgan tantola fórmula Barcan como su recíproca, facilitará el trabajo posterior.

En [8] se demostró que fórmulas que eran válidas en el cálculo proposicionalconstruido en [5], como

(AR) H(A -> B) -> (HA -> HB) (axioma de regularidad),

no son válidas para la semántica anterior. También se probó que ciertas reglasdeductivas, válidas en el caso proposicional, no lo son en el caso predicativogeneral. Entre ellas merecen destacarse:

si <p -'IjJ entonces Pip ......•P'IjJ,


(RK) S1 'PI /\ 'P2 /\ ... /\ 'Pn .......•'1/; entonces H'Pl /\ H'P2 /\ ... /\ H'Pn .......•H'I/;.La segunda vale en el cálculo proposicional temporal subyacente, pero no valepara la semántica dada para el cálculo predicativo temporal, como se probó en[8].

La falla de la regla RK se debe a que en el consecuente de la implicaciónno ocurren libres todas las variables que ocurren libres en el antecedente, locual permite que haya instantes anteriores donde no existan simultáneamentelos objetos utilizados para evaluarlas. Lo mismo sucede si en el antecedenteocurren constantes distintas a las del léxico que no ocurren en el consecuente.

Introduzcamos una notación que simplificará el enunciado de la regla deduc-tiva correcta: si Xl, X2, ... ,Xm son variables que no ocurren en '1/;,

HX,X2'Xm'l/; abreviará H«XI = Xl /\ X2 = X2 /\ /\ Xm = Xm) .......•'1/;),

cuyo significado es el siguiente: siempre que Xl, X2, ,Xm y las variables li-bres de '1/; han existido simultáneamente, han verificado '1/;. Obsérvese que siabreviamos P(Xl = Xl /\ X2 = X2/\,'" ,/\Xm = Xm) /\ '1/;), por PX¡X2'Xm 1/;,entonces

equivalencia a la cual también llamaremos simplemente (DEF).La regla deductiva correcta es la siguiente:

(RK +) Si 11-'PI /\ 'P2 /\ ... /\ 'Pn --+ '1/; entonces

11-H 'Pl /\ H 'P2 /\ ... /\ H 'Pn .......•HX¡X2"xmb,b2 ··b. '1/;,donde Xl, X2, "',o ,Xm son las variables libres de 'Pl, 'P2, ,'Pn que no ocurrenlibres en '1/;, y bl ,b2, ... ,blc son las constantes de 'Pl, 'P2, ,'Pn diferentes a lasdel léxico que no ocurren libres en '1/;. La prueba de validez de (RK +) puedeverse en [8].

Nótese que si el conjunto de variables libres de 'PI, 'P2, ... ,'Pn es un subcon-junto del conjunto de variables libres de '1/; y el conjunto de constantes (distintasa las del léxico) de 'PI, 'P2, ... ,'Pn es también un subconjunto del conjunto deconstantes de '1/;, entonces la regla anterior viene a ser simplemente la (RK)usual, no habiendo necesidad de colocar subíndices aH.

Cuando en una fórmula ocurre una constante del léxico, debido a que elladebe tener interpretación en toda estructura del tipo del lenguaje, dicha cons-tante "existirá" en todo universo de toda estructura de tipo Pred(H). Por esto,no hay necesidad de incluirla como subíndice de H para asegurar su existencia.

Una consecuencia inmediata de (RK +) es la forma correcta que adquiere elaxioma de regularidad.

(AR+) 11-H('P .......•'1/;) .......•(H'P --+ HX¡X2··xmb¡b2··bo '1/;).En efecto: 11-('P --+ '1/;) --+ ('P --+ '1/;) (PROP), implica 11-«'P .......•'1/;) /\ 'P) --+

'1/;) (PROP), luego, por (RK +),11- (H('P .......•1/;) /\ H'P) .......•HXIX2Xmb¡b2b.1/; dedonde 11-H('P .......•'1/;) -+ (H'P --+ HXIX2·Xmb¡b2··b.'I/;).


Corolario 1. If-H'rIXi.p(x, i) .......•Hipi», i).

Demostración. Como If- VXi.p(x,i) --1- i.p(x,y) y todas las variables libres deVXi.p(x,y) ocurren libres en i.p(x,y), por (GH), (RK+) y (MP) se obtiene elresultado.

De manera completamente análoga se prueba el siguiente corolario.

Corolario 2. If-H'rIXi.p(x, y) .......•Hi.p(t, y),

siendo t un término libre para x en <p, y sobreentendiéndose que en una estruc-tura 21(r) la fórmula completa es interpretable cuando las posibles constantesde t existan en el universo de la estructura.

Se tiene trivialmente If- (i.p /\ '1/;) .......•(i.p /\ '1/;), luego por (RK+), se obtiene elcorolario:

Corolario 3. If- H('P) /\ H('1/;) .......•H(i.p /\ '1/;),

ya que las variables libres y constantes del antecedente de la primera impli-cación, son las mismas del consecuente. Es claro que este resultado es equiva-lente a If-P( i.pV '1/;) .......•Pi.p V P'1/;.

Como If- 'P .......•'PV'1/; y 1f-'1/; .......•'PV'1/; y también las variables libres y constantesde los antecedentes ocurren (libres) en los consecuentes, entonces por (RK +),If- H'P .......•H('P V '1/;) y If- H'1/; .......•H(i.p V '1/;). Se deduce (PROP) el corolario:

Corolario 4. _!f- Hi.p V H'1/; .......•H('P V '1/;).

Vale la pena notar que si solo se consideran estructuras de tipo Pred(H) conuniversos constantes, todos los individuos existen simultáneamente en todos losuniversos, y entonces son válidos sin restricciones de ninguna naturaleza todoslos esquemas modales estándar.

Para axiomatizar este cálculotemporal de predicados con axiomas válidos,es necesario probar la validez de otros esquemas, tanto proposicionales comopredicativos. El siguiente describe la transitividad hacia el pasado de los dife-rentes instantes:

(TR) If- PP'P .......•P'P (equivalente a If- Hip .......•H Hi.p).

Chequeemos su validez: sean Xi1,X¡,,'" ,Xi" las variables libres de i.p(tl,t2,... ,tk). Entonces A If-t P P'P(t!, t2,'" , tk)[i.pl' a2,' .. ,ap] si y sólo si (38)(8 <t/\h;/(ai,) E 121(s)I,'" ,h;/(aiJ EI21(s)I/\AIf-s P'P(tl,t2,'" ,td(h;/(aiJ,... ,h;/(a¡..)]) si y sólo si (38)(05 < t/\h;/(aiJ,'" ,h;/(ain) E 121(s)IA(3r)(r <s /\ h;/( h;/ (ai,», ... , h;.l (h;/( ain») E IQl(r )1/\ A If-r 'P(tI, t2, ... , tk )[h;,l (h;/(aí, », ... ,h;,I(h;/(aín»)]) y como h;} (h;/( z) = h;/ (z) y la primera pertenen-cia es redundante, entonces (3s)(s < t /\ (3r)(r < 8/\ h;/(a¡J,.·. ,h;/(a¡..) E

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¡m(r)¡ /\ A II-r rp(tl, t», .. , , tk)[h;:/ (ai,), ... , h;:/ (ain)])), luego A II-t Prp(tl, t2,... ,tk )[al' a2, .. , , ap], quedando demostrado.

En [6] se probó que la fórmula

(MI)

fuerza la existencia de un momento inicial para el tiempo.¿ Será válida H(rp/\-'rp)V P H( rp/\-,rp) para la nueva semántica? Si aceptamos

que el tiempo posee un instante inicial y éste es O, entonces claramente A 11-0H (rp /\ -,rp) ya que al no existir instantes anteriores a O, las condiciones sesatisfacen vaciarnente (implicación con antecedente falso). Igualmente es obvioque A .!fo PH(rp /\ -,rp), pero si s ¡. O, i. cuándo se verifica A 11-. PH(rp /\-,rp)? Si Xi" Xi2, ••• ,Xin son las variables libres de rp, entonces A 11-. P H( rp /\-'rp)[al, a2, ... ,ap] si y sólo si (3r)(r < s /\ h;/(ai,) E !m(r)j,· .. , /\h-;}(a¡n) E¡m(r )I/\A II-r H( rp/\-,rp )[h;/ (aó,), ••• ,h;/ (ain)]) , pero el único instante anteriora t que se conoce con seguridad es O, y se debería tener hü/ (a¡ 1)' .. , , hü/ (a¡J E!m(O)! /\ A 11-0 H(rp /\ -,rp)[hü/(a¡,), ... , hü.l(a¡J)). En particular todos loshü/(ai) deberían pertenecer a Im(O)! y esto para toda escogencia de los ai

J,

o sea que las preimágenes de todos los elementos de !21(s) deberían estar en!m(O)/, lo cual va en contra de la filosofía del trabajo de partir de un dominioinicial pequeño.

Este problema no se presentaría si rp fuese una fórmula cerrada sin constantesdistintas a las del léxico, por lo cual, para que el axioma sea válido en general,debemos reemplazar a rp por su clausura universal ip. En consecuencia,

(MI)

cuando rp no posee constantes distintas a las del léxico y el tiempo tiene unprimer instante.

En las estructuras de tipo Pred( H), el orden se tomó lineal hacia el pasado,para que en esta clase de estructuras tal propiedad semántica quedase sintác-ticamente caracterizada por la fórmula: Prp /\ P'ljJ -+ (P( rp /\ 'ljJ)V P(Prp /\ 'ljJ)VP( rp /\ P'ljJ» la cual resulta naturalmente válida, como mostramos a continua-ción. Sean Xl, X2,' .. , Xn las variables libres de rp que no están libres en 'ljJyXn+l,Xn+2,'" ,Xn+m las variables libres comunes de rp y 'ljJy sean Xn+m+l,Xn+m+2, ... , Xn+mH las variables libres de 'ljJdistintas de las anteriores. Seana = (al,a2,'" ,an), b = (bl,b2,··· ,bm), e = (CI,C2,'" ,Ck); en adelanteabusaremos del lenguaje notando por h-l(a) a la n-tupla (h-l(ad,h-l(a2),... ,h-l(an» y por h-l(b) a (h-l(b¡), h-l(b2),··· , h-1(bn».

Supongamos A II-t (Prp /\ P'ljJ)[a,b, e); entonces A II-t (Prp)[a,b,c] y A II-t(P'ljJ)[a,b,c), luego (3s)(s < t /\ h;-/(a) E !m(s)ln,h;/(b) E 1!21(s)lm /\ A 11-.rp[h:;/(a), h~\b)]) y (3r)(r < t /\ h;:/(b) E 1!2l(rW, h;:/(c) E 1!2l(rW /\ A II-rrp[h;:/(b), h;:/(c))). Por la linealidad del orden hacia el pasado se tendrá uno

, :,~.


de los tres casos siguientes: (l)s :::: r o (2) s < r o (3) r < s. En elcaso (l),h;/(a), h;:/(b), h;/(c) son tuplas de elementos de 12l(r)1 y A If-rtp[h;:/(a), h;/ (b») y A If-r t/J[h;:tl(b), h;:/( e»), luego A If-r (1,0 /1. t/J)[h;:/ (a), h;:/(b) ,h;:/(c))), de manera que A Irt P(tp /1. t/J)[a,b, e). En el caso (2), 8 < r,luego h.t ::::hrt o h.r Y por su inyectividad, h;/ = h;"/ o h;:/ de modo queh;/(a) :::: h;/(h;:/(a» e igual con b; así necesariamente h;:/(a) E 12t(r)In ,luego A If-. tp[h;/(h;:/(a), h;/(h;:/(b)]) o sea A If-r Ptp[h;:/(a), h;:/(b)] y comoA If-r t/J[h;:/(b), h;:/(c)]), entonces A If-r (Ptp /1. t/J)[h;:/(a), h;:/(b), h;/(e»;siendo r < t, se infiere que A If-t P«Ptp /1. t/J»)[a,b,ej. Análogamente se procedeen el tercer caso, obteniéndose finalmente la validez del axioma de linealidadhacia el pasado.

Continuemos demostrando la validez de los axiomas cuntificacionales usua-les: If- Vxtp(x,f¡) --. tp(q,f¡) cuando q es libre para x en 1,0.

Si en tp(x, f¡) no ocurren H ni P, el resultado es evidente ya que dichafórmula se verifica en toda estructura de tipo Pred(H), y la veracidad en unnodo no depende de la veracidad en ningún otro. Probemos que el axioma secumple para Pip . o sea que cuando q es libre para z en 1,0, If- VxPtp(x,f¡) --.Ptp(q,y). Sean Yl,Y2,··· ,Yn las variables libres de tp(x,f¡) distintas de x ysean Zl,Z2,··· ,Zk las variables libres de tp(q,f¡) distintas de YbY2,··· ,Yn·Supongamos que A Wt Ptp(q, y)[al, a2, ... ,an, b1, bz, ... ,bk]; entonces (Vs)(s <t /1. h;/(a) E 12l(s)ln /1. h;/(b) E 12l(s)1 --. A Wt tp[qQ!(·)[h;/(a),h;/(~)]. Sid = qQ!(')[h;/(a), h:;/(b)], d esta. en 12l(s)1 y si h.t(d) ::::e (elemento de IQl(t)/),entonces (Vs)(s < t /1. h;/(c) E 121(s)I/I. h;/(a) E 121(sW /1. h;/(b) E 12t(s)jk --.A W. tp[h;/(c),h;/(a),h;/(b)]). Así A Wt Ptp[c,a,b] y en consecuenciaA Wt Ptp(x, f¡)[c, a, b] luego A Wt VxPtp(x, f¡)[a, b], quedando valido el axio-ma para Pip . Por el corolario 4 anterior, If- HVxtp(x,f¡) -> Htp(q,f¡); peropor (FB), If- VxHtp(x,y) -+ HVxtp(x,f¡), de manera que por trasitividad,If- VxHtp(x, y) -+ Htp(q,f¡), o sea que también vale el axioma para Hip .

Es claro que cuando ni H ni P ocurren en 1,0 ni en t/J,

(C2) Vx( 1,0 -+ t/J) -> (Vxtp -> Vxt/J)

vale en todo instante de toda estructura de tipo Pred(H). La prueba de suvalidez general es completamente rutinaria. Por ejemplo, si x es la única va-riable que ocurre en 1,0 y en t/J, mostremos que para cualquier estructura A ypara cualquier instante s,

(C2*) A If-. Vx(Htp -+ Ift/J) -+- (VxHtp -> VxHt/J).

Para ello supongamos que A 11-, Vx(Htp(x) -+ Ht/J(x» y que A If-. Vx(Htp(x»y demostremos que A If-. Vx(Ht/J(x». Sea a un elemento cualquiera de 12t(s)1y mostremos que A 11-. Vx(Ht/J(x»)[a]' o sea que para todo r < s, si h;:.L(a) E121(r)/, entonces 2l(r) 1=t/J(h;:/(a». Supongamos que efectivamente h;:.l(a) E

"IOUCA e!"~ÍIlA UIIII'U§iilJlB IU8SItt'


121(r)l. Como A Ir. Vx(Hcp(x)), entonces A Ir. (H<p(x)[aJ) y para dicho r,h;:}(a) E 121(r)l, luego 21(r) 1=cp(h;/(a)). Pero A Ir, Vx(H<p(x) ~ H1jJ(x)), demodo que A Ir. Vx(H<p(x) -> H1jJ(x)(a] o sea que si A Ir. (JIcp(x)(aJ) entoncesA Ir. (H1jJ(x)[aJ); de aquí, del hecho h;:/(a) E 121(r)1 y de 21(r) 1=cp(h;:/(a)), sesigue que 21(r) 1=1jJ(h;:.1 (a)), quedando demostrado C2 para este caso.

Antes se estableció que Ir P(tl = t2) -> (tI = t2) y también que Ir P(t1 f:.t2) -> (tI f:. t2). ¿ Será válida para cualquier cp la fórmula P<p -+ cp? Es decir, ¿permanecería a través del tiempo la propiedad descrita por cp? Si la respuestafuese afirmativa, se debería verificar

P3xVy(x = y) -+ 3xVy(x = y),

o sea que si en algún instante del pasado el dominio tuvo un único elemento,entonces de dicho instante en adelante también debería poseer un solo ele-mento, frenándose así su expansión. En consecuencia, para nuestra semánticano pueden ser válidas Pip -> cp ni P3x<p(x) -+ 3xcp(x) para toda z , ya que silo fuesen, no solo se estarían perpetuando a través del tiempo propiedades delos individuos sino de los universos mismos (como se acaba de ver), lo cual esmuy restrictivo.

¿Valdrá alguna versión restringida de dicha fórmula? Debido a que las fun-ciones h.t de paso de un dominio a otro son monomorfismos, se puede de-mostrar que la fórmula debe valer cuando <pes atómica o negación de atómica,o más aún, cuando cp es una fórmula obtenida combinando fórmulas atómicaso negaciones de atómicas mediante conectivos proposicionales. A una fórmulaobtenida de esta' manera la llamaremos puramente proposicional.

Permanencia temporal 1. Si <p es una fórmula puramente proposicional,entonces

(PTI) Ir P<p ~ cp.

Haremos su demostración por inducción en fórmulas.La) Como se puso de puso de presente antes, (PTI) vale cuando <pes tI = t2oh f:. tz· b) Sea cp atómica de la forma R(t1,t2,'" ,tk) con Xl,X2,'" ,Xncomo variables libres. A Irr PR(tl, t2, ... ,ik)[al, a2, ... ,an] si y sólo si(38 < r)(Vi,h:;r1)(ai) E 12(8)1/\ 21(8) 1=R!l1(S)(t~(8)(h:;/(a)], ... ,t~(s)[h:;/(a)]))si y sólo si(t~(·)(h;/(a)], ... ,t~(')[h;/(a)]) E R!l1(s). Como hrs es un mono-

modismo, entonces (hr.(t~(·)(h;/(a)]), ... ,hr8(t~(s)[h;/(a)])) E R!l1(r), es de-cir, (t~(r)[aJ, ... ,t~(r)[a]) E R(r), o sea que A Irr R(tl,t2,'" ,tk)[al,a2,"',an].2. Supongamos que la afirmación vale para <p (Ir Pip -+ <p) y demostrémoslapara -'<p; supongamos que Xl, X2," . , Xn son las variables libres de <p. A IrrP-'<p[al, a2,'" ,an] si y sólo si (38 < r)(Vi, h;r1(ad E 121(s)l/\ 21(s) 1==vp


[h;/(a») y puesto que h8r es un monomorfismo y en 'c.p no ocurren cuantifi-cadores [3, p.91), entonces 21(r) F 'c.p[h$r(h;/(a»), es decir, 21(r) F 'c.p[al,quedando demostrado. .3. Veamos que si (PTl) vale para c.py 'IjJ, también vale para c.pV'IjJ Y parac.p1\ 'IjJ. Por hipótesis If- Pip .......•c.py If- ?'IjJ -+ 'IjJ; como 11- c.p -+ c.pV 'IjJ Y11- 'IjJ -+ c.pV 'IjJ, por transitividad 11- Pip -+ (c.pV 'IjJ) Y 11- P'IjJ -+ (c.pV 'IjJ), Y seobtiene 11- (?c.p V P'IjJ) -+ (c.pV 'IjJ) (PRO?).Por el corolario 3, 11- P( <pV 'IjJ) -+ (P<p V P'IjJ), y por transitividad se sigue que11- P(c.p V 'IjJ) -+ (c.pV 'IjJ). De manera análoga se obtiene 11- Pip 1\ P'IjJ -+ (c.p1\ 'IjJ)Y por el corolario 4, 11- P(c.p 1\ 'IjJ) -+ (P<p 1\ P'IjJ); por transitividad se logra elresultado deseado para el conectivo 1\.4. Para los otros dos conectivos, basta expresarlos en su forma normal disyun-tiva y utilizar los tres casos ya demostrados.

Se concluye que si en un instante dos objetos están en una relación puramenteproposicional, entonces siempre que ellos existan simultámeamente (antes odespués) deben estar en dicha relación.

Con respecto a los cuantificadores, tenemos la propiedad siguiente:

(PT2) Si c.pes puramente proposicional, 11- P3x<p( x) -+ 3xc.p(x).

Demostración. Sean Xl, xz, ... ,:In las variables libres de <pdistintas de x y seaa E 12I(r)ln; entonces A II-r P3x¡p( x, Xl, X2, ... , Xk)[al, a2, ... , an) si y sólo si(3s < r)('v'i, h;"/(ai) E 121(8)11\ 21(8) F 3Xc.p(XI, XZ,'" ,xn)[h;/(a») si y sólo si(3s < r)('v'i, h;;.~(ai) E 121(8)11\ (3b E 121(8)1)(21(8) F c.p[b,h;"/(ad, h;/(a2),'" ,h;rl(an»). Entonces hr.(b) E 121(r)I, y siendo hr• un monomorfismo y c.ppuramente proposicional, se tiene que 21(r) F c.p[hr.(b),al,a2,··· ,on), luego21(r)F3xc.p(XI,X2'··· ,xn)[al,a2,'" ,an].

Corolario 5. 11- P3xI3xz'" 3xnc.p -+ 3XI3x2'" 3xnc.p cuando c.pes puramenteproposicional.

Su demostración viene a ser la misma que hemos dado para el caso de uncuantificador. Es interesante probar la siguiente proposición

Proposición. 11- P3xPc.p(x, ti) ......•3xPc.p( x, fí) es válida en general, sin ningunarestricción sobre c.p.

Demostración. Si aplicamos la fórmula Barcan a Pip , obtenemos 11- P3xPc.p(x)<--+ 3xPPc.p(x); como 11- PPc.p(x) -+ P<p(x), entonces 11- ,Pc.p(x) -+ -,PPc.p(x)(P RO?) y cuantificando universalmente y distribuyendo el cuantificador, 11-'v'x,Pc.p(x) -+ 'v'x,PPc.p(x) y 11- -,'v'x,PPc.p(x) -+ -Nx'Pc.p(x), o sea, 11- 3xPPc.p(x) -> 3xPc.p( x); de ésta y de la primera fórmula se obtiene por transitividad11- P3xPc.p(x) -+ 3xPc.p(x).

Resumiendo los casos anteriores obtenemos:


Corolario 6. If- P'P -+ <p cuando: a) <pes puramente proposicional, o b) <pes de la forma 3x'l/l{ z) con '1/1 puramente proposicional, oc) <pes de la forma3xP'I/I(x) para cualquier '1/1.

Sin embargo la permanencia temporal no vale cuando <p es de la formaH'I/I, ni siquiera para. '1/1 atómica, como lo ponen de presente los contraejemplossiguientes. Si el tiempo ha tenido un comienzo, sea D el instante inicial ysupongamos que en ese momento el universo posee solamente dos elementos a,y b, con a -¡. b; entonces es claro que Alf-o H(x = y)[a, b] vacíamente, mientrasque AWo (x = y)[a,b], luego A.II'o (H(x = y) -+ (x = y»[a, b].

De otra parte, sea T = {D,l} con O < 1. Supongamos además 121(0)1 ={a} = 121(1)1, con h01(a) = a y sea R un símbolo relacional unario tal queR2/.(0)= 0 = R2/.(1). Claramente Alf-o H R(x)[a] vacíamente, ya que O es elinstante inicial, pero A.II'o R(x)[a]' de modo que AWo (H R(x) -+ R(x))[a].

Sea R un símbolo de relación k-aria; si en R(h, t2, ... , tk) ocurren libresexactamente las variables X;l'Xi2,'" ,Xi", Y P ~ in, entonces A If-$ HR(t1,t2,... , tk)[al, a2,'" , up] si y sólo si para todo r < s, cuando (h;61(ai,) E 121(r) 1Ah;61(a¡') E 12l(r)1 A ... A h;/ (a;J E 12l(r)I), entonces A If-r R2/.(r)(t1, tz, ... , tk)[h;:} (ai, ), h;}(ai,),··· , h;,l(ai,,)]. Sea r un instante menor que s para el cualtodas las h;.l(aij) existan simultáneamente; entonces A If-r R2/.(r)(t1' t2,'" , tk)[h;.l(ai,), h;.l(ai,),··· , h;.l(a¡,,)] y aplicando el monomorfismo b-, se obtieneA If-. R2/.(')(t1,t2,"· ,tk)[ai"ai,,'" ,ai,,]. Se concluye que A If-, (HR-+R) [al, a2, . .. ,ap] si existe un instante r anterior a s en el cual todas las h;.l (aij )hayan existido simultáneamente.

Para finalizar el estudio semántico de Pred(H), probemos que también esválido el axioma del cálculo de predicados clásico

(es)

donde <p(-.. t2 ... ) es la fórmula obtenida al reemplazar en <p(-.. t1 ... ) todas,algunas o ninguna de las ocurrencias de ti por t2, y t1 es libre para t2 en <p.

Claramente si en <pno ocurren ni H ni P, (05) es válido en todo nodo detoda estructura de tipo Pred(H). Mostremos que para dicha <p, también esválido

(t1 = t2) -+ (H<p( .. ·t1···) -+ H<p(-' .t2···).

Es suficiente demostrar (PRO P) que

Supongamos que las variables libres que ocurren en t1 y en t2 están entreXl,X2,'" ,Xn; sea A una estructura de tipo Pred(H) cualquiera y sea s uninstante cualquiera. Debemos probar que para cualquier ii E 12l(s) 1, A If-.«(ti = t2)AH<p(-' ·t1···)) -+ H<p(-. ·t2··· »[a). Supongamos que A n-. «t1 =


t2)/\H<p(-··tI···))[a) y probemos que efectivamente A 1f-8 H'{{··t2···)[a).La hipótesis equivale a t~(')[a) = t~(8)[a] y para todo r < s , (h;:}(a¡¡),··· , h;/(aik) E 1Q!(r)1 -¡. Q!(r) F <p(- .. t~(r)[h;:/(aid,'" , h;/(aik»)") siendo XiI,Xi2, ... ,Xilc las variables libres que ocurren en tI'

Supongamos que h;/(ai¡),'" ,h;/(aik) E 1Q!(r)I; como t~(8)[a] = t~($)[aJ,entonces de los resultados obtenidos de la definición de igualdad se sigue quetambién h;}(aj 1), h;}( aj2), ... , h;;(ajm) existen (aquí estamos llamando XjI,Xj2,'" , Xjm a las variables que ocurren en t2), y que t~(r)[h;/(ai¡), h;/(ai2),.,. , h;/(aik)] = t~(r)[h;:,l(ajl), h;/(aj2),'" ,h;/(ajm)]. Como para Q!(r) vale(e5) del cálculo de predicados usual, entonces Q!(r) If- <p(- .. t~(r)[h;;(aid,h;)(ai2),'" , h;;(aik)]"') -¡. <p(... t~(r)[h;:}(aj¡), h;8I(aj2),'" ,h;8I(ajm)]... ) y, por modus ponens, Q!(r) Ir <p(- .. t~(r)[h;,1(ajI), h;/(aj2),'" ,h;;(ajm)]... ), o sea que Q!(s) 1=H cp(- .. tz ... )[a]' quedando así validado el axioma paraH <p. De manera enteramente análoga se prueba (tI = t2) -¡. (Pcp(· .. tI' .. ) -¡.

P<p(-" t2 .,. » obteniéndose la validez de (e5) para fórmulas cualesquiera dePred(/l).

Una forma ligeramente diferente de mostrar (e5) es la siguiente. Si If-(ti = t2) -e+ (<P(.. ·tl"·) -¡. <p(... t2"·», por (PROP) If- «tI = t2) /\<p(- .. tI'" » -¡. <pe·· t2 .,. », y por (RK +), If-H(tl = t2) /\ Hcpe·· tI'" ) -¡.

HXilX'l"·Xi.<P(-"t2·"» donde Xil,Xi2,'" ,Xik son las variables que ocurrenen tI y no en t2. Como 11-(tI = t2) -¡. H(t1 = t2), por (PROP) If- (tI =t2) /\ H <pe· . tI ) -¡. H(tI = t2) /\ <p(- .. tI ), luego por transitividad If- (tI =t2) /\H <p(... tI ) -¡. HX;,Xi2'Xik <pe .. t2 ). Pero debido a que tI = t2, siem-pre se tiene la simultaneidad de la existencia de las preimágenes (por cualquierhr8) de los elementos utilizados para evaluar tanto a tI como a t2, de maneraque en este caso no es necesario colocar los subíndices aH, obteniéndose asíel resultado deseado.

Los resultados establecidos hasta este momento ameritan ser organizados enun cuerpo deductivo, como indicamos a continuación.

3. Organización Axiomático-Deductiva de Pred(H)

En lo que resta del presente artículo, trataremos de sistematizar los cono-cimientos que poseemos de Pred(H), procurando que las cadenas deductivasque formemos incluyan la mayoría de los resultados obtenidos. Como axiomaslógicos parece natural tomar, del cálculo proposicional temporal desarrolladoen [6], aquellos que siguen siendo válidos en toda su generalidad para nuestrasemántica, junto con los cuantificacionales usuales, y con los que caracterizanla linealidad hacia el pasado (LP) o la existencia de un momento inicial (M 1).


Axiomas del sistema PRED(H):Todos los teoremas de un cálculo proposicional clásico, con sus letras proposi-cionales posiblemente reemplazadas por fórmulas de Pred(H).(DEF). P!.p •...•-.H-.!.p.(TR). H!.p --+ H H!.p.(LP). (P!.p /\ Pt/J) --+ (P(!.p /\ t/J) V P(Pt/J /\ t/J) V P(!.p /\ Pt/J».(Cl). YX!.p(x,f¡) --+ !.p(t,y) siendo t un término libre para x en !.p(x,fí).(C2). YX(!.p --+ t/J) --+ (Yx!.p --+ Yxt/J).(C3). !.p --+ YX!.p si x no ocurre libre en !.p.(C4). t = t siendo t un término cualquiera.(C5). (tl = t2) --+ [¡p(- .. t1 ... ) --;. !.p(- .. t2 ... )] siendo ¡p(- .. t2 ... ) la fórmulaobtenida al reemplazar en !.p(' .. t 1 ... ) todas, algunas o ninguna de las ocurren-cias de tl, por t2.Como axiomas cuantificacionales específicamente temporales, tenemos los si-guientes:(F B). P3xíf'(x) •...•3xPíf'(x)(PT). P!.p --+ !.pcuando: a) ip es puramente proposicional, o b) !.pes de la forma3x8(x) con 8 puramente proposicional, o e) !.p es de la forma 3xPt/J(x) paracualquier fórmula t/J( x).(GH). Si!.p es cualquiera de los axiomas anteriores, entonces Hip también es unaxioma. Con esto se pretende que los axiomas y teoremas del sistema valgantanto en el presente como en todos los momentos del pasado.(GY). Si e es un axioma, entonces YXl YX2 ... YXníf' también es un axioma. Aquín es un número natural cualquiera. En particular las clausuras universales delos axiomas son también axiomas.Como únicas reglas deductivas primitivas tomamos (MP) Y (RK +).

El axioma (PT) (de permanencia temporal) tiene como finalidad garantizarque los objetos definibles sean "eternos hacia el futuro" , en el sentido de que sien un instante pasado hubo, en el dominio del universo existente en ese instante,un objeto que verificó la condición !.p, entonces en el dominio actual tambiénexiste un elemento verificador de !.p. Por ejemplo y de manera informal, si besun elemento existente en un instante s (b E ¡2l(s) 1) y si t es cualquier momentoposterior, entonces en el instante t se verifica la proposición A Ih P3x( z =b) --+ 3x( x = b) Y como A If-t P3x( x = b) por existir b en el instante s anteriora t, entonces A If-t 3x(x = b), es decir 2l(t) F 3x(x = b) o sea que (una copiade) b existe en todo instante t posterior a s. Por consiguiente puede decirsede manera informal que si s < t, entonces para los dominios de los universosexistentes en los respectivos instantes, se cumple que ¡2l(s)¡ <;; ¡2l(t)¡.

Como P RED(H) no es una extensión conservadora del cálculo proposicionaltemporal subyacente, los teoremas de éste ya no lo serán necesariamente deaquel, por lo cual debemos redemostrar muchos resultados ya establecidos en[6].


Si definimos las deducciones con premisas en la forma usua.l, entonces tam-bién vale el teorema de generalización universal (ev·): si r 1- tp( x, fj) y x noocurre libre en ninguna fórmula de r, entonces r 1- Vxtp( z , fj). Su demostraciónviene a ser la misma dada por ejemplo en [1, p.133], o en [5] para el teoremade generalización universal usual y también lo denotaremos simplemente (GV).

Es claro que también vale la regla de demostración por reducción al absurdousual: si r, -,a 1- 13, -'13y en la deducción no se aplicó (ev·) usando variableslibres en a, entonces r 1- a.

Establezcamos a continuación algunos resultados del sistema:

Teorema 1. Si 1- tp, entonces 1- He».

Demostración. Si 1- tp, entonces 1- (tp V -,tp) .....•tp (PRO P) Y aquí (RK +) esaplicable sin subíndices en H, luego 1- H (tp V -,tp) .....•H tp; como tp V -,tp es unatautología, entonces es uno de nuestros axiomas, y por (eH), 1- H(tpV-'tp) demanera que por (M P) se obtiene el resultado. A este teorema le seguiremosllamando simplemente (eH).

Teorema 2. 1- P Ptp .....•Pip,

Su demostración es la misma dada para el caso proposicional.

Teorema 3. 1- Htp VH'I/; -+ H(tp V '1/;).

Demostración. Por (PRO P), 1- tp -> tp V '1/; Y 1- '1/; -> tp V '1/;; entonces por(RK+) (sin subíndices en ll), 1- Hip -> H(tp V '1/;) Y 1- H'I/; .....•H(tpV '1/;), luegopor (PROP), r. HtpV H'I/; -+ H(tp V '1/;).

Teorema 4. 1- Htp/l.H'I/; -> H(tp/l.'I/;).

Su prueba es la misma. dada antes para el corolario 3 de la parte semántica.

Teorema 5. Si 1- tp +-+ '1/; y en tp y '1/; ocurren las mismas constantes (distintasa las del léxico) y las mismas variables libres, entonces 1- H tp •....•H'I/;.

Demostración. Si 1- <p •....• '1/;, entonces 1- tp -+ '1/; y 1- '1/; -> <p y debido a lashipótesis, es aplicable (RK +) sin subíndices en H, luego 1- H tp .....•H'I/; Y1- H'I/; .....•Hip ; de modo que 1- Hip •....•H'I/;, quedando demostrado.

Teorema 6 (RE+). Si 1- a •....•13ya es una sub-fórmula de tp y en a y 13ocurren las mismas constantes (distintas a las del léxico) y las mismas variables

libres, entonces 1- tp +-+ [p] tp.

Demostración. 1) Si en 'P no ocurren los operadores P ni H, la afirmación esprecisamente la regla (RE) del cálculo de predicados básico. 2) Mostremos quesi la propiedad vale en una fórmula '1/;, entonces también vale para H'I/;. Enefecto, si a es una subfórmula de H'I/;, a) a es H'I/; o b) a es una subfórmula


de 1/;. En el primer caso, [~] H1/; = [~] a = f3 •....•a = H1/¡. En el segundo

caso, por hipótesis r-- 1/; •....•[~] 1/¡; como a es una subfórmula de 1/¡y en f3

ocurren las mismas constantes y variables libres que en a, entonces en [~] 1/¡

ocurren la mismas constantes y variables libres que en 1/¡, luego el teorema 4

es aplicable, y en consecuencia, H t{! •....• H [~ ] 1/¡o sea r-- H 1/¡T-+ [~] H 1/¡,con

lo cual queda demostrado. 3) Mostremos que si la propiedad vale para unafórmula 1/¡,entonces también vale para P1/¡: como por (DEF) la fórmula PtjJ es-.1l-.tjJ, se sigue que si a es una subfórrnula de -.H-.tjJ, entonces a) o: es toda lafórmula, caso en el cual procedemos como en a) de la parte 2), o b)a es una sub-

fórmula de H -.tjJ, caso en el cual por la parte 2) se tendría r-- H -.1j; •....•[~] H-.tjJ

Y por (PROP), r-- -.H-.1/¡ T-+.., [~] H..,tjJ o sea r-- -.H-.1/¡ •....•[~] ..,H..,1/¡, lo que

termina la prueba.

Corolario. r-- PI() T-+ P-'-'I().

Es una clara aplicación de la regla anterior.

Teorema 7. Si r-- r.p T-+ 1/¡yen r.p y 1/¡ocurren la mismas constantes (distintasa las de11éxico) y las mismas variables libres, entonces r-- Pip •....•Pt{!.

Demostración. Si r-- 1() T-+ 1/¡,entonces por (P RO P), r-- ""'1() T-+ -.1/¡, por el teorema5, r-- H""I() T-+ H-.1/¡, por (DEF), r-- ""P-""'I() T-+ ...,p,,1/¡, Y por el corolarioanterior aplicado a 1() y a1/¡, se tiene que r-- -'PI() •....•,PtjJ, concluyéndose por(PROP), r-- PI() T-+ P1/¡.

Teorema 8. r-- P(I() V 1/¡)-+ (PI() V P1/¡).

Demostración. Reemplazando en el teorema 2 a 1() y 1/¡por -'<p y -.1/¡ respec-tivamente, obtenemos (H-.r.p) A (H-.1/¡) -+ H(""I() A ...,1/¡)y usando (DEF),(-'P""'''''I()A (...,P...,...,1/¡)-+ ""P""(""I()A...,tjJ); por (RE), (""PI()A (,P1/¡) -+ ""P(I() V1/¡)y usando (RE+), ,(Pr.pV PtjJ) -+ -,P(I() V tjJ), concluyéndose por (PROP),P(r.pV1/¡) -> (PI() V P1/¡).

Teorema 9. r-- P(I() A tjJ) -+ (PI() 1\ P1/¡).

Su prueba es enteramente análoga a la anterior a partir del teorema 3.

Teorema 10 (FB"). r-- VxHI()(x) •....•HVxr.p(x).

Basta reemplazar en F1/¡ a I()(x) por ""I()(x) , a P por ..,H.., y a :Ix por ...,Vx..., yeliminar negaciones aplicando (RE+). Como en esta prueba todos los pasosdeductivos son también válidos en sentido inverso, se sigue la equivalencia de(F B) Y (F B*).


Teorema 11 (H ¡).Es la generalización hacia el pasado de la igualdad.

Demostración. 1. t¡ = t1 (C4). 2. H(t1 = td (GH). 3. it = t2 ---+

[H(t1 = td ---+ H(t1 = t2) (C5). 4. H(t1 = td ---+ [t1 = t2 ---+ H(t1 =t2)] (PROP). 5. h = t2 ---+ H(t1 = t2) (MP2,4). Se demuestra así la ideade que si dos objetos son iguales en un cierto momento, es porque siempre quehan existido han sido iguales.

Usando contrarecíprocas y el axioma (DEF), se llega a que (HI) es equiva-lente a

(H1*)

Este resultado también se habría podido obtener como una caso particular delaxioma (PT) ya que t1 :j:. t2 es puramente proposicional.

Intuitivamente esta expresión afirma que si dos objetos son distintos enel pasado, también deberán ser distintos en cualquier momento posterior aaquel en el cual fueron diferentes. Esto trae como consecuencia que en todomodelo para nuestro sistema PRED(H), si existen morfismos de un mundoen otro posterior entonces, como se puso de presente en la parte semántica,dichos morfismos deberán ser inyectivos, confirmándose de nuevo que el dominiodeberá ser creciente con el tiempo.

Teorema 12. f- t1 :j:. tz ---+ H(t1 :j:. t2).

Como t1 = t z es puramente proposicional, por (PT) se tiene f- Pit-; = t2) ---+

tI = t2 Y usando (PROP) y (DEF) se obtiene el resultado.Una generalización de los teoremas 11 y 12 anteriores, es la siguiente:

Teorema 13. a) f- t.p ---+ H lfJsi t.pes puramente proposicional.b) f- \lxt.p(x) .......•H'rixt.p(x) si t.p(x) es puramente proposicional.c) f- \lzH.,p(x) .......•H\lxH.,p(x) para cualquier fórmula.,p.

Estos resultados se obtienen de manera inmediata a partir de (PT), reem-plazando t.ppor -,t.p, (1/; por "".,p,etc.), 3 por ...,\1..." P por ...,H..., y usando (P ROP).

La validez de b) es clara, ya que si todos los elementos del dominio actualverifican ip entonces, debido a que cualquier dominio anterior es un sub-dominiodel actual, también deberán satisfacer t.p todos los elementos del dominio decualquier universo anterior.

Entre las relaciones P y H con los conectivos, merecen destacarse las si-guientes:

Teorema 14. f- P3x( t.p(z) V .,p( x)) .......•(P3xt.p( x) V P3x1/;( x».

Por distributividad, 3x(lfJ(x) V .,p(x» <-? (3zt.p(x) V 3z.,p(x», por el teorema 6,P3x(t.p(x) V .,p(x)) <-? P(3xt.p(x) V 3z.,p(x», y por el teorema 7, P(3xt.p(x) V3x.,p(x» .......•(P3x<p(x) V P3x.,p(x», de manera que por transitividad en la de-ducción se obtiene el resultado.


Teorema 15. r P3x(tp(x) 1\ tjI(x)) -+ (P3xtp(x) 1\ P3xtjJ(x)), pero la impli-cación recíproca no se tiene.

Demostración. P3x( tp( x) 1\ tjI( x)) ,.... 3xP( tp( x) 1\ tjJ(x)) por (F B). Pero 3x P( tp(x) 1\ tjI(x)) -+ 3x(Ptp(x) 1\ PtjI(x)) por Teorema 7 y (RE+); entonces 3x(P<p(x) 1\ PtjI(x)) -+ (3xPtp(x) 1\ 3xPtjI(x)) por (PRED); el consecuente de estaúltima implicación equivale, por (F B), a P3xtp( x) 1\ P3xtjl( x). El resultado sesigue entonces por (RE+) Y por la transitividad de la deducción.

Teorema 16. .....,P3xtp(x)"", .....,.....,H.....,3x<p(x),.... HVx.....,tp(x).

La primera equivalencia se tiene por (DEl") y (RE+) Yla segunda por (RE+),(PROP) y (PRED). De manera enteramente análoga e inmediata se obtienenlos resultados siguientes

Teorema 17. -.H3<p( x) ,.... PVx-.tp( x).

Teorema 18. -.HVxtp(x)"", P3x-,tp(x).

Teorema 19. -,PVxtp(x),.... H3x..,tp(x).

Equivalentes a los teoremas 14 y 15, son los siguientes:

Teorema 20. (HVxtp(x) 1\ HVxtjl(x)) -+ HVx (tp(x) 1\ tjI(x)).

Consecuencia inmediata del teorema 14, reemplazando tp(x), tjJ(x) y P por"'<p(x), ..,tjJ(x) y ......,H..,respectivamente, y usando luego (RE), (PROP) y(PRED).

Teorema 21. (HVxtp(x) 1\ HVxtjJ(x)) .....•HVx (<p(x) V tjJ(x)).

Basta aplicar al teorema 15 el mismo procedimiento recién descrito.

Enunciemos la propiedad de distributividad restringida de H con respectoa la implicación:

donde Xl, X2,' •. , Xm son las variables libres de tp que no ocurren libres en tjI, ybl, b2, ..• , bk son las constantes de tp diferentes a las del léxico que no ocurrenen tjI. Su prueba es la misma dada antes en la parte semántica.

Teorema 23. r HVxtp(x,f;) -+ Htp(x,Y).

Demostración. Como r Vx<p(x, f)) -+ tp(x, j}), entonces por (RK +), r HVxtp(x, y) -+ H tp( x, y), ya que todas las variables que aparecen libres en Vx<p(x, y)también lo están en <p(x, y) e igual sucede con las constantes.

UN" CÁLCULO TEMPORAL DE PREDICADOS DE TIPO MODAL 139

Demostración. Por (C2), Vx(tp -t 1/;) -t (Vxtp -t VxtjJ), o sea (Vx(tp -t 1/;) /\.Vxr.p) -t Vx'IjJ, luego por (RK+), (HVx(tp -t 'IjJ) /\. HVxr.p) --+ HX,X2 ..xmb,".bkVx'IjJ, de donde por (P ROP) se obtiene el teorema.

Si al teorema 22 lo generalizamos universalmente y le aplicamos el axioma(C2) dos veces, obtenemos un resultado similar al teorema 24:

Los resultados anteriores sugieren el siguiente teorema:

Teorema 26. (VxHXIX,xmbl.h 'Ij!) +--+ HX,X2'Xmb,h V'IjJ cuando x es unavariable distÍIlta de las Xi.

Demostración. Por definición, VHXIX,,,,xmbl'h 'IjJ +--+ VXH«Xl = XI/\'·· ./\'Xm =xm /\. ... /\. bk = bk) -t 'IjJ) y, por (FB*), esto es equivalente a HVX«Xl =Xl/\'·· ·/\.Xm = Xm/\.· . ·/\.bk = bk) -t 'Ij!); como X no ocurre libre en el antecedente,esta última fórmula es equivalente a H«Xl = Xl/\'·· . /\. Xm = Xm /\. ... /\. bk =bk) -t Vx'Ij!) y por definición ésta es precisamente HXIX,,,xmbl .. bkVx'Ij!.

Es claro que si en r.p y en 'IjJ ocurren las mismas constantes (distintas a lasdel léxico ) y las mismas variables libres, los resultados de los teoremas 24 y 25anteriores valen sin subíndices en H.

Teorema 27-. Si en tp y en 1/; ocurren las mismas constantes (distintas a lasde11éxico) y laSmismas variables libres, entonces

Aplicando (F B*) Y (RE +) se comprueba que estos dos resultados son equiva-lentes. Lo mismo sucede con los teoremas 24 y 25.

A pesar de que no hemos intentado probar que el sistema acabado de de-sarrollar es completo para la semántica definida antes ( no sabemos si lo sea ono), sí queremos recalcar su validez: como todos los axiomas que hemos dadoson válidos y es claro que las reglas de inferencia dadas producen conclusionesválidas a partir de premisas válidas, se concluye que el sistema propuesto esválido para la semántica considerada.

118110TECA C~",T'"


Referencias

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2. 8. Chellas, Modal/ogie, Cambridge/New York: Cambridge University Press, 1980.3. H. Enderton, A Mathematica/lntroclv.ction to Logie, New York: Acsdemlc Presa, 1972.4. E. Hugues, M. J. Creswell, Introdu.cción a la Lógica Modal, Madrid: Tecnos, 1973.5. E. Mendelson, Introdectio» to Mathematica/ Lagie, New York: va.n Nostrand, 1979.6. J. M. Muñoz, "Consistencia, validez y completitud de un sistema proposicional de lógica

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tica Enseñanza Universitaria.

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