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Algebra Comutativa

um tour ao redor dos aneis comutativos

Eduardo Tengan(ICMC-USP)

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Copyright c© 2010 E. Tengan

Permission is granted to make and distribute verbatim copies of this document provided the copyrightnotice and this permission notice are preserved on all copies.

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“To get a book from these texts, only scissors and glue were needed.”

J.-P. Serre, in response to receiving the 1995 SteelePrize for his book “Cours d’Arithmetique”

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Chapter 1

Prefacio

Quando terminei de escrever meu livro anterior, estava tao esgotado que prometi a mim mesmo: meuproximo livro sera intitulado “A Tabela dos Primos Pares (versao resumida)”.

A Teoria de Aneis possui diversas aplicacoes nas mais diversas partes da Matematica, tais comoCombinatoria, Geometria Algebrica, Teoria dos Numeros, Analise, e ate mesmo fora da Matematica,como na Culinaria (aneis de cebola), no Transporte (anel rodoviario). No cinema, aneis tem obtidogrande destaque, em pelıculas como “O Senhor dos Aneis”, “Matrix” e “Corpo Fechado”.

Os pre-requisitos para este livro sao poucos, Bourbarki Lang

1 Devo ler este livro?

2 Terminologia Frequente e Notacoes

Utilizamos a ja consagrada notacao N, Z, Q, R, C para denotar os conjuntos dos numeros naturais(incluindo o zero), inteiros, racionais, reais e complexos. Denotamos ideais por letras goticas. Alemdisso, ao longo de todo o livro utilizaremos a seguinte terminologia:

1. Claramente: Nao estou a fim de escrever todos os passos intermediarios.

2. Lembre: Nao deverıa ter que dizer isto, mas. . .

3. Sem Perda de Generalidade: Farei apenas um caso e deixarei voce adivinhar o resto.

4. Verifique: Esta e a parte chata da prova, entao voce pode faze-la na privacidade do seu lar, quandoninguem estiver olhando.

5. Esboco de Prova: Nao consegui verificar todos os detalhes, entao vou quebrar a prova em pedacosque nao pude provar.

6. Dica: A mais difıcil dentre as muitas maneiras de se resolver um problema.

7. Analogamente: Pelo menos uma linha da prova acima e igual a prova deste caso.

8. Por um teorema anterior: nao me lembro do enunciado (na verdade, nem tenho certeza se provei istoou nao), mas se o enunciado estiver correto, o resto da prova segue.

9. Prova omitida: Acredite, e verdade.

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anelanel zeromorfismo! demodulomorfismo! degrupo de unidadesanel produtoideal

Chapter 2

Vamosseramigosdosaneis!

Em contraponto ao restante deste livro, este capıtulo inicial tem um carater, digamos, mais exploratorio:veremos aneis comutativos em seu formato “bruto”, ainda nao lapidados por uma abordagem teoricae sistematica, a ser adotada a posteriori. Cabe aqui bem lembrar que Algebra Comutativa nao e umaarea isolada do resto da Matematica; muito pelo contrario, e uma disciplina que bebe de diversas fontes,como a Analise, a Teoria dos Numeros, a Geometria e a Topologia, entre outras. Conhecer esta interacaoe importante, nao so para compreender como a Algebra Comutativa se posiciona dentro do Cosmosmatematico, mas tambem para entender a motivacao dos teoremas, metodos e exemplos que formam otronco desta bela disciplina.

Muito bem, mas o que de fato e feito neste capıtulo? Afinal de contas, queremos menos palavrase mais acao! Comecamos com uma breve revisao das definicoes e conceitos basicos que serao utilizadosao longo de todo o livro. Logo em seguida, introduzimos os grandes protagonistas no estudo dos aneiscomutativos: os ideais primos. Veremos o papel que eles assumem em diversos exemplos concretos. Porfim, encerramos este preludio definindo a topologia de Zariski do espectro primo de um anel, sinalizandoum dos temas recorrentes deste manuscrito: que aneis comutativos sao, sobretudo, objetos geometricospor natureza.

1 Notacao e Convencoes

Esta secao e uma “colecao de pre-requisitos”, definicoes e conceitos assumidos como conhecidos e queserao frequentemente utilizados em todo o livro. Sugerimos que o leitor nao perca muito tempo nestasecao, fazendo apenas uma leitura rapida para se familiarizar com as notacoes empregadas.

Comecamos com a nocao de anel: como voce ja sabe, um anel nada mais e do que um conjuntoonde podemos somar, subtrair e multiplicar; neste livro, convencionamos que o termo nao adornado anelsignificara sempre anel comutativo com 1. Note que o menor anel do universo, o anel zero A = 0 (comum unico elemento 0 = 1) e um legıtimo anel e nao esta banido por esta convencao. Um morfismode aneis φ:A → B e um mapa que preserva soma e produto, i.e., φ(a1 + a2) = φ(a1) + φ(a2) eφ(a1 · a2) = φ(a1) · φ(a2) para todo a1, a2 ∈ A, e que (ainda por decreto) satisfaz φ(1) = 1. UmA-modulo M e, moralmente falando, um “espaco vetorial sobre A” em que 1 · m = m para todom ∈ M . Um morfimo de A-modulos ψ:M → N e uma “transformacao A-linear” entre M e N :ψ(a1 ·m1 + a2 ·m2) = a1 · ψ(m1) + a2 · ψ(m2) para todo a1, a2 ∈ A e m1,m2 ∈M .

Recorde que uma unidade u ∈ A e um elemento que possui inverso multiplicativo u−1 ∈ A. Oconjunto de todas as unidades de A, juntamente com a operacao multiplicacao, forma um grupo abelianoA×, o grupo de unidades de A. Por exemplo, Z× = ±1 e C[t]× = C× = C \ 0.

Dada uma colecao de aneis Aλ, λ ∈ Λ, definimos o anel produto∏λ∈ΛAλ como o anel dado pelo

produto cartesiano dos Aλ, com a soma e multiplicacao efetuadas coordenada a coordenada. O elementoneutro deste anel e a tupla constante com todas as entradas iguais a 0 e a identidade e a tupla constantecom todas as entradas iguais a 1.

Lembre ainda que um ideal a de um anel A e um A-submodulo de A, ou seja, um subconjuntoa ⊂ A fechado por combinacoes A-lineares: x, y ∈ a e a, b ∈ A ⇒ ax + by ∈ A. Ideais generalizam anocao de conjunto de multiplos de um elemento. Dada uma famılia arbitraria bλλ∈Λ de elementos deA, o conjunto de todas as combinacoes A-lineares (finitas) de elementos nesta famılia

a1 · bλ1 + · · ·+ ar · bλr

∣∣ r ∈ N, ai ∈ A, λi ∈ Λ

e um ideal de A, o ideal gerado por bλλ∈Λ. Note que este e o “menor” ideal de A que contem oconjunto bλλ∈Λ. O ideal gerado por a1, . . . , an ∈ A sera denotado por uma das duas seguintes formas:

(a1, . . . , an) = A · a1 + · · ·+A · an

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8 Vamos ser amigos dos aneis!

ideal! principalideal! propriomorfismo! quociente

Ideais da forma (a), isto e, gerados por um unico elemento, sao chamados de ideais principais.

Ideais podem ser multiplicados e somados: dados dois ideais a e b, a · b e o ideal gerado por todosos produtos a · b com a ∈ a e b ∈ b. Dada uma famılia de ideais aλ, denotamos por

∑λ aλ o ideal gerado

pela uniao⋃λ aλ. Em particular, para ideais finitamente gerados, temos

(a1, . . . , am) · (b1, . . . , bn) = (a1b1, a1b2, . . . , aibj , . . . , ambn)

(a1, . . . , am) + (b1, . . . , bn) = (a1, . . . , am, b1, . . . , bn)

Um ideal a de A e dito proprio se a 6= A, isto e, se a e um subconjunto proprio de A. Note que a eproprio se, e so se, 1 /∈ a ou, mais geralmente, se, e so se, A× ∩ a = ∅ (da sabedoria popular: “a melhormaneira de se livrar de um ideal proprio e dar uma unidade a ele”). De fato, se A× ∩ a = ∅ entao 1 6∈ a eportanto a 6= A. Reciprocamente, se a e proprio mas existe u ∈ A× tal que u ∈ a entao a = au−1 · u ∈ a

para todo a ∈ A, o que e absurdo. Observe que todo anel, com excecao do anel 0, possui ideais proprios(o ideal nulo, por exemplo).

Ideais possuem um importante papel nao so em nossas vidas mas tambem nas vidas dos aneis, sendoingredientes essenciais na promocao da igualdade: dado um ideal a ⊂ A, o anel quociente A/a e o anelobtido “igualando-se” elementos que diferem por um elemento em a; formalmente, os elementos de A/asao as classes laterais do ideal a, que serao denotadas por uma das seguintes tres maneiras:

a+ a = a mod a = a ∈ A/a (a ∈ A)(sendo a ultima notacao a utilizada se o ideal a esta claro pelo contexto). Escrevemos ainda

a ≡ b (mod a) ⇐⇒ a− b ∈ a ⇐⇒ a = b em A/a

de modo que as propriedades usuais de congruencias se verificam:

a ≡ b (mod a)c ≡ d (mod a)

⇒

a+ c ≡ b+ d (mod a)a− c ≡ b− d (mod a)ac ≡ bd (mod a)

Por exemplo, para provar a ultima propriedade, note que se a − b ∈ a e c − d ∈ a entao ac − bd =c · (a − b) + b · (c − d) ∈ a. Estas propriedades nada mais expressam do que a compatibilidade dasoperacoes do anel com a relacao de equivalencia dada pelo quociente. Isto mostra que as operacoes emA/a

a± b def= a± b e a · b def

= a · b (a, b ∈ A)estao de fato bem definidas, isto e, independem da escolha dos representantes de classe a, b.

O anel quociente vem equipado de fabrica com um morfismo quociente ou morfismo projecao,claramente sobrejetor:

q:A։ A/a

a 7→ a

Ainda no que tange a quocientes, temos os seguintes resultados muito importantes, ainda que de demon-stracoes singelas. O primeiro e o princıpio “zero vai em zero”: para mostrar que um morfismo de um anelquociente A/a para um outro anel B esta bem definido, basta verificar que 0 7→ 0. O segundo fornececondicoes suficientes sob as quais este morfismo e um isomorfismo. O terceiro identifica os ideais do anelquociente A/a com os ideais de A contendo a.

Teorema 1.1 (Propriedade Universal do Quociente) Sejam A e B aneis e seja a um ideal de

A. Dar um morfismo φ:A/a → B e o mesmo que dar um morfismo φ:A → B tal que φ(a) = 0.Explicitamente, se φ:A → B satisfaz φ(a) = 0 entao existe um unico morfismo φ:A/a → B tal queφ(a) = φ(a) para todo a ∈ A, ou seja, tal que o seguinte diagrama comuta:

Aφ - B

A/a

q

??

∃!φ-

Aqui q:A։ A/a denota o morfismo quociente.

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modulo quociennilpotentereduzidodivisor de zeroelementos assocorpo de frac˜elemento! irredutdomınio de fatora¸domınio de ideais

Teorema 1.2 (Isomorfismo) Seja φ:A→ B um morfismo de aneis. Entao o kernel de φ

kerφdef= a ∈ A | φ(a) = 0

e um ideal de A e φ induz (pelo teorema anterior) um morfismo φ:A/ kerφ → B que e injetor e queportanto estabelece um isomorfismo entre A/ kerφ e a imagem de φ.

Teorema 1.3 (Correspondencia de Ideais) Seja A um anel e a um ideal. O mapa quociente q:A։

A/a estabelece uma bijecao entre

ideais b de A tais que b ⊃ a

↔ideais de A/a

b 7→ q(b)

Se N e um A-submodulo deM , podemos definir o A-modulo quocienteM/N de maneira analoga,como o conjunto das classes laterais de N . Mutatis mutandis, os tres teoremas anteriores valem tambemno contexto de modulos.

Lembre que um elemento a de um anel A e dito nilpotente se existe um numero natural n tal quean = 0. Um anel A 6= 0 e chamado de reduzido se seu unico elemento nilpotente e o 0. Um elementoa 6= 0 e um divisor de zero se existe b 6= 0 tal que a · b = 0. Recorde que um anel A 6= 0 sem divisoresde zero e chamado de domınio: mais explicitamente, um anel A e um domınio se A 6= 0 e, para todoa, b ∈ A, temos a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0. Num domınio, vale a “lei do cancelamento”: se c 6= 0entao a · c = b · c⇒ a = b (ja que a · c = b · c ⇐⇒ (a− b) · c = 0 ⇐⇒ a− b = 0). Para elementos a, dem um domınio A, escrevemos ainda

d | a (le-se “d divide a” ou “a e multiplo de d”)

⇐⇒ a = b · d para algum b ∈ A⇐⇒ (d) ⊃ (a) (como diz o velho ditado, “no mundo ideal, conter e dividir”)

Dois elementos a, b de um domınio A sao ditos associados se eles diferem de uma unidade (multiplica-tivamente falando), isto e, a = b · u para alguma unidade u ∈ A×. Ideais sao “insensıveis a associados”no sentido que

(a) = (b) ⇐⇒ a e b sao associados

De fato, temos que (a) = (b) e equivalente a a | b e b | a, ou seja, a existencia de elementos u, v ∈ Atais que a = b · u e b = a · v. Se a e b sao associados, digamos a = b · u com u ∈ A×, temos tambemb = a · v para v = u−1; reciprocamente, se a = b · u e b = a · v temos a = a · vu, ou seja, a = b = 0 ouvu = 1⇒ u, v ∈ A× e em ambos os casos a e b sao associados.

Para um domınio A, denotaremos ainda por

FracA =ab

∣∣∣ a, b ∈ A, b 6= 0

o seu corpo de fracoes: aqui, duas fracoes ab e c

d sao identificadas se, e so se, ad = bc; e as operacoessao definidas do modo usual:

a

b+c

d=a · d+ b · c

b · d ea

b· cd=a · cb · d

Seja A e um domınio. Um elemento π ∈ A\ (A×∪0) e dito irredutıvel se ele so possui fatoracoestriviais: π = a · b ⇒ a ∈ A× ou b ∈ A×. Um domınio A e chamado de domınio de fatoracao unica(DFU) se todo elemento a 6= 0 de A pode ser fatorado de maneira essencialmente unica como produtode irredutıveis, ou seja,

1. (Existencia da fatoracao) a pode ser escrito como a = π1π2 . . . πm com πi irredutıveis;

2. (Unicidade da fatoracao) Se a tambem se escreve como a = ρ1ρ2 . . . ρn com ρi irredutıveis entaom = n e existe uma permutacao σ: 1, 2, . . . ,m → 1, 2, . . . ,m tal que πi e associado a ρσ(i),i = 1, 2, . . . ,m = n.

Um domınio em que todo ideal e principal e chamado de domınio de ideais principais (DIP). Porexemplo, Z e C[t] sao DIPs. Temos ainda os seguintes importantes resultados (ver apendice):

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algebracomplexosequencia exataproduto diretosoma direta

Teorema 1.4 Todo DIP e um DFU.

Teorema 1.5 Se A e um DFU entao A[x] tambem e um DFU.

Uma A-algebra e por definicao um morfismo de aneis φ:A→ B. Muitas vezes, φ (dito morfismobase) e claro pelo contexto e por isso nos referimos ao proprio anel B como sendo uma A-algebra. Porexemplo, o anel de polinomios A[x1, . . . , xn] e uma A-algebra via a inclusao A → A[x1, . . . , xn]; alemdisso, qualquer anel A e uma Z-algebra pelo morfismo natural Z→ A (que leva 1 ∈ Z em 1 ∈ A). Noteque φ nao e necessariamente injetivo, mas se a ∈ A e b ∈ B denotamos φ(a) · b simplesmente por a · b,por abuso de linguagem. Finalmente, um morfismo f :B → C de A-algebras e um morfismo de aneiscompatıvel com os morfismos bases φ:A→ B e ψ:A→ C, isto e, tal que o diagrama

Bf - C

A

φ

6ψ

-

comuta (f φ = ψ). Utilizando o abuso de linguagem acima, um morfismo de aneis f :B → C e ummorfismo de A-algebras se, e somente se, f e A-linear: f(ab) = af(b) para todo a ∈ A e b ∈ B.

Relacoes lineares entre modulos sao geralmente expressas atraves de sequencias exatas. Umasequencia de morfismos de A-modulos

· · · - Mi+1fi+1- Mi

fi- Mi−1fi−1- Mi−2

fi−2- · · ·e um complexo se fi−1 fi = 0 ⇐⇒ im fi ⊂ ker fi−1 para todo i. Um complexo e uma sequenciaexata se im fi = ker fi−1 para todo i. Em particular,

0 - Mf- N

g- P - 0

e uma sequencia exata se, e so se, f e injetora, g e sobrejetora e ker g = im f , de modo que g induz umisomorfismo N/f(M) ∼= P . Neste caso dizemos que a sequencia acima e uma sequencia exata curta.Uma maneira de interpretar uma sequencia exata curta e imaginar o modulo do meio como “composto”pelos modulos das pontas. Por exemplo, se os modulos acima sao k-modulos onde k e um corpo (i.e., M ,N e P sao k-espacos vetoriais) entao dimkN = dimkM + dimk P .

Note que toda sequencia exata (M•, f•) pode ser quebrada em sequencias exatas curtas

0 - im fi+1- Mi

- im fi - 0

de modo que o estudo de sequencias exatas gerais pode ser reduzido ao estudo das sequencias exatascurtas.

Dados dois A-modulos M e N , o conjunto HomA(M,N) de todos os morfismos φ:M → N de A-modulos tambem e um A-modulo (com a soma e o produto por escalares em A induzidos pelas operacoesem N). Alem disso, dada uma famılia de A-modulosMi, i ∈ I, podemos construir dois novos A-modulos:o produto direto ∏

i∈IMi

que, como conjunto, e igual ao produto cartesiano dos Mi, sendo a soma e o produto por escalaresrealizada componente a componente; e a soma direta⊕

i∈IMi

que e o submodulo do produto direto cujos elementos sao as tuplas (mi)i∈I quase nulas, i.e., com mi 6= 0apenas para um numero finito de ındices i. Um modulo que e isomorfo a uma soma direta

⊕i∈IMi onde

cada Mi∼= A e chamado de modulo livre sobre A. Por exemplo, espacos vetoriais sobre um corpo k

sao k-modulos livres.

Observe que temos os isomorfismos canonicos∏

i∈IHomA(T,Mi) = HomA

(T,∏

i∈IMi

)e

∏

i∈IHomA(Mi, T ) = HomA

(⊕

i∈IMi, T

)

onde o primeiro isomorfismo leva (φi)i∈I no morfismo φ:T → ∏i∈IMi cuja i-esima coordenada e φi,

enquanto que o segundo isomorfismo leva (ψi)i∈I no morfismo ψ:⊕

i∈IMi → T dado por ψ((mi)i∈I

)=∑

i∈I ψi(mi), que faz sentido uma vez mi = 0 para quase todo i ∈ I.

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ideal primoideal maximalespectro

2 Ideais Primos e Maximais

Nesta secao, iniciamos o estudo dos aneis propriamente ditos. Para realmente entendermos um anel,precisamos sobretudo conhecer seus ideais. Dois tipos de ideais desempenham um papel primordial: osideais primos e os maximais.

Definicao 2.1 Seja A um anel.

1. Um ideal p de A e dito primo se satisfaz uma das (e portanto todas!) seguintes condicoesequivalentes:

i. A/p e um domınio;

ii. p e um ideal proprio e a · b ∈ p ⇐⇒ a ∈ p ou b ∈ p para todo a, b ∈ A;iii. p e um ideal proprio e a · b ⊂ p ⇐⇒ a ⊂ p ou b ⊂ p para quaisquer ideais a, b de A.

2. Um ideal m ⊂ A e dito maximal se satisfaz uma das (e portanto todas!) seguintes condicoesequivalentes:

i. A/m e um corpo;

ii. m e maximal no conjunto parcialmente ordenado (por inclusao) dos ideais proprios de A,isto e, se a e um ideal proprio de A e a ⊃ m entao a = m.

Observe que como todo corpo e domınio, todo ideal maximal e primo.

Intuitivamente, p e primo se p 6= (1) (afinal de contas, ao contrario da crenca popular, 1 nao eum numero primo!) e “p divide o produto a · b se, e so se, p divide a ou p divide b”. A equivalencia(i) ⇐⇒ (ii) na definicao de ideal primo e apenas uma parafrase em termos de quociente: A/p e domınio

se, e so se, primeiro, A/p 6= 0, ou seja, p 6= A e, segundo, a · b = 0 ⇐⇒ a = 0 ou b = 0 para todoa, b ∈ A ou, em outras palavras, a · b ∈ p ⇐⇒ a ∈ p ou b ∈ p. Para ver que (iii) ⇒ (ii), basta tomara = (a) e b = (b). Finalmente, para mostrar que (ii)⇒ (iii), suponha por absurdo que p ⊃ ab mas p 6⊃ a

e p 6⊃ b. Neste caso, existem elementos a ∈ a \ p e b ∈ b \ p, logo por (ii) temos a · b 6∈ p. Mas a · b ∈ a · b,o que contradiz a hipotese p ⊃ ab.

A equivalencia (i) ⇐⇒ (ii) na definicao de ideal maximal decorre do fato de que a correspondenciade ideais no teorema 1.3 preserva a relacao de inclusao, de modo que m ⊂ A e maximal dentre os ideaisproprios de A ordenados por inclusao se, e so se, (0) e o unico ideal proprio de A/m. Mas um anel Bpossui um unico ideal proprio (necessariamente o ideal nulo) se, e so se, B e um corpo. De fato, se Be um corpo e b 6= (0) e um ideal de B, entao b possui um elemento b 6= 0, que e uma unidade, logo1 = b · b−1 ∈ b⇒ b = B. Reciprocamente, se (0) e o unico ideal proprio de um anel B, entao dado b 6= 0temos (b) = B e portanto 1 ∈ (b), logo existe c ∈ B tal que bc = 1, isto e, b ∈ B×, mostrando que todoelemento nao nulo e uma unidade e que, portanto, B e corpo.

Dado um morfismo de aneis φ:A → B, se q e um ideal primo de B, entao a sua pre-imagemφ−1(q) e um ideal primo de A. De fato, note primeiramente que φ−1(q) e proprio, pois de outra forma1 ∈ φ−1(q) ⇐⇒ 1 = φ(1) ∈ q, contrariando o fato de q ser proprio. Por outro lado, temos que

a · b ∈ φ−1(q) ⇐⇒ φ(a) · φ(b) = φ(a · b) ∈ q ⇐⇒ φ(a) ∈ q ou φ(b) ∈ q ⇐⇒ a ∈ φ−1(q) ou b ∈ φ−1(q)

Definicao 2.2 Dado um anel A, chamamos de espectro primo ou simplesmente espectro de A oconjunto de todos os ideais primos de A, denotado por SpecA. Se φ:A → B e um morfismo de aneis,denotamos por

Spec(φ): SpecB → SpecA

q 7→ φ−1(q)

o morfismo entre espectros induzido por φ.

Exemplo 2.3 (0) ∈ SpecA se, e so se, A e um domınio.

Exemplo 2.4 Se A e um DFU e π ∈ A e irredutıvel, entao (π) e um ideal primo. De fato, (π) e propriopois π /∈ A× e, pela fatoracao unica em irredutıveis, temos que ab ∈ (π) ⇐⇒ π | ab ⇐⇒ π | a ouπ | b ⇐⇒ a ∈ (π) ou b ∈ (π).

Exemplo 2.5 Seja A um DIP (por exemplo, A = Z ou A = C[t]). Entao

SpecA =(0)∪(π) | π e irredutıvel

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De fato, ja sabemos pelo exemplo anterior que se π e irredutıvel entao (π) e primo. Reciprocamente, seum ideal (principal) nao nulo (π) e primo entao π 6= 0 e irredutıvel: π /∈ A× pois caso contrario (π) = Ae se π = a · b entao como a · b ∈ (π) e (π) e primo temos a ∈ (π), digamos, logo existe c ∈ A tal quea = πc ⇐⇒ a = abc ⇐⇒ 1 = bc (note que a 6= 0 pois π 6= 0 e A e domınio) e portanto b ∈ A×, isto e,a fatoracao de π e trivial.

Em particular, temos

SpecZ =(0)∪(p) | p e primo

SpecC[t] =(0)∪(t− a) | a ∈ C

Exemplo 2.6 Se A e um DIP, todo ideal primo nao nulo de A e maximal. De fato, para mostrar queA/(π) e um corpo se π e irredutıvel, tome a ∈ A tal que a 6= 0, ou seja, tal que π ∤ a. Como A e DIP,temos que (π, a) = (d) para algum d ∈ A. Mas entao d | π, logo, como π e irredutıvel, d e associado oua 1 ou a π, sendo que o ultimo caso nao ocorre pois d | a mas π ∤ a. Resumindo, (π, a) = (1) e assimexistem r, s ∈ A tais que

r · π + s · a = 1⇒ s · a = 1 em A/(π)

Ou seja, a e uma unidade em A/(π), como querıamos mostrar.

Exemplo 2.7 Se a e um ideal qualquer de um anel A e q:A ։ A/a e o mapa quociente entao peloteorema da correspondencia de ideais (teorema 1.3) temos que Spec(q): SpecA/a → SpecA e injetor,com imagem dada pelos ideais primos em SpecA que contem a. Por exemplo, temos

SpecZ(n)

=(p)∣∣ p primo, p | n

SpecC[t](f(t)

) =(t− a)

∣∣ a ∈ C, f(a) = 0

(Lembre que “conter e dividir” e t− a | f(t) ⇐⇒ f(a) = 0)

O proximo teorema mostra que ideais maximais (e portanto primos) existem em abundancia.

Teorema 2.8 Seja A 6= 0 um anel nao zero. Entao A possui um ideal maximal. Consequentemente:

1. SpecA = ∅ ⇐⇒ A = 0

2. se a ⊂ A e um ideal, entao a e proprio se, e so se, a ⊂ m para algum ideal maximal m de A.

Prova Seja A 6= 0 e seja P o conjunto de todos os ideais proprios de A, parcialmente ordenados porinclusao. Devemos mostrar que P possui um elemento maximal, o que seguira do lema de Zorn. Noteque P 6= ∅ pois (0) ∈ P (aqui utilizamos A 6= 0). Temos agora que mostrar que qualquer cadeia C em Pe limitada superiormente. Considere

u =⋃

c∈Cc

Se mostrarmos que u e um ideal proprio de A, claramente u sera um limitante superior de C em P e oresultado segue. Primeiramente, u e ideal pois se x, y ∈ u existem ideais g, h ∈ C tais que x ∈ g e y ∈ h

e podemos supor que g ⊂ h (lembre-se de que C e uma cadeia). Assim, ax + by ∈ h ⊂ u para quaisquera, b ∈ A. Alem disso, u e proprio, pois caso contrario 1 ∈ u e assim 1 ∈ c para algum c ∈ C, contradizendoo fato de que c ∈ P e proprio.

Agora, para mostrar o item 1, note que se A 6= 0 entao SpecA 6= ∅ pois A possui pelo menos umideal maximal, que e primo; por outro lado, se A = 0, nao ha ideais proprios e, em particular, nao haprimos, logo SpecA = ∅. Para obter o item 2, se a e proprio entao A/a 6= 0 e portanto A/a possui umideal maximal, que corresponde a um ideal maximal m de A com a ⊂ m pelo teorema da correspondenciade ideais (teorema 1.3). A recıproca e imediata.

Encerramos esta secao com uma generalizacao do famoso Teorema Chines dos Restos, que afirmaque dados inteiros m1,m2, . . . ,mn, dois a dois coprimos (i.e., gcd(mi,mj) = 1 se i 6= j), entao existe umisomorfismo de aneis

Z(m1m2 . . .mn)

∼- Z(m1)

× Z(m2)

× · · · × Z(mn)

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teorema chinesideais! coprimos

Por exemplo, para m1 = 3 e m2 = 5, temos a seguinte tabela, cujas linhas sao indexadas por elementosde Z/(3) e as colunas, por elementos de Z/(5) e cuja entrada na posicao (a, b) ∈ Z/(3) × Z/(5) e oelemento de Z/(15) correspondente:

0 1 2 3 4

0 0 6 12 3 9

1 10 1 7 13 4

2 5 11 2 8 14

Teorema 2.9 (Chines dos Restos) Seja A um anel e sejam a1, . . . , an ideais dois a dois coprimos,isto e, ai+ aj = (1) para i 6= j (esta condicao e por exemplo satisfeita se os ai sao todos ideais maximaisdistintos). Entao

1. a1 ∩ · · · ∩ an = a1 · . . . · an2. Temos um isomorfismo

A

a1 · . . . · an=

A

a1 ∩ · · · ∩ an

∼- A

a1× · · · × A

an

dado pelo mapa natural

a mod a1 ∩ · · · ∩ an 7→ (a mod a1, . . . , a mod an)

Prova Observe que, em geral, a1 ∩ · · · ∩ an ⊃ a1 · . . . · an. Para mostrar a inclusao oposta, procedemospor inducao em n, o caso n = 1 sendo trivial. Para n = 2, existem ai ∈ ai tais que 1 = a1 + a2 pois a1 ea2 sao coprimos. Assim, se c ∈ a1 ∩ a2 temos c = ca1 + ca2 ∈ a1 · a2, como desejado. Agora seja n > 2.Basta mostrar que a1 ∩ · · · ∩ an−1 e an sao coprimos, pois neste caso por hipotese de inducao (para n− 1e 2 ideais) concluiremos que (a1 ∩ · · · ∩ an−1)∩ an = (a1 · . . . · an−1)∩ an = (a1 · . . . · an−1) · an. Como aie an sao coprimos, existem ai ∈ ai e bi ∈ an tais que ai + bi = 1 para i = 1, . . . , n− 1. Assim

1 = (a1 + b1) · · · (an−1 + bn−1) ∈ a1 . . . an−1 + an ⊂ (a1 ∩ · · · ∩ an−1) + an

o que mostra que (a1 ∩ · · · ∩ an−1) + an = (1), encerrando a prova do item 1.

Para o item 2, temos que o mapa natural

A→ A/a1 × · · · ×A/ana 7→ (a mod a1, . . . , a mod an)

tem kernel a1∩· · · an, logo induz um morfismo injetor A/(a1∩· · · an) → A/a1×· · ·×A/an. Para mostrarque este morfismo e sobrejetor, observe que por “A-linearidade” basta encontrar, para cada i = 1, . . . , n,pre-imagens para os vetores da forma (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (com 1 na i-esima entrada), ou seja, elementosei ∈ A tais que

ei ≡ 1 (mod ai)ei ≡ 0 (mod aj) para j 6= i

De fato, neste caso teremos que a = b1e1 + · · · + bnen sera uma pre-imagem para um vetor arbitrario(b1, . . . , bn). Por simetria, podemos assumir i = n. Pela demonstracao do item anterior temos quea1 ∩ · · · ∩ an−1 e an sao coprimos, logo existem elementos en ∈ a1 ∩ · · · ∩ an−1 e b ∈ an com en + b = 1.Temos que en satisfaz as condicoes pedidas.

Exemplo 2.10 Seja k um corpo e considere o anel k[x], que e um DIP e logo um DFU. Seja f(x) ∈ k[x]um polinomio nao nulo e seja f(x) = c · p1(x)e1 · · · pn(x)en , c ∈ k× a fatoracao de f(x) em potenciasde polinomios monicos irredutıveis distintos pi(x). Note que se i 6= j entao (pi(x)

ei ) + (pj(x)ej ) =

(pi(x)ei , pj(x)

ej ) = (1), pois k[x] e um DIP e (pi(x)ei , pj(x)

ej ) e gerado por um elemento que dividepi(x)

ei e pj(x)ej , logo associado a 1. Pelo Teorema Chines dos Restos temos

k[x]

(f(x))=

k[x]

(p1(x)e1 )× · · · × k[x]

(pn(x)en)

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anel de series formaisObservacao 2.11 Tome cuidado: embora x e y nao possuam fatores comuns no DFU k[x, y] (para kum corpo), os ideais (x) e (y) nao sao coprimos pois (x) + (y) = (x, y) 6= k[x, y]. E, de fato, k[x, y]/(xy)nao e isomorfo a k[x, y]/(x) × k[x, y]/(y)! Uma maneira de ver isto e a seguinte: o anel produto possuium idempotente nao trivial e = (1, 0), isto e, um elemento e diferente do elemento neutro e da identidadesatisfazendo e2 = e. Por outro lado, todos os idempotentes de k[x, y]/(xy) sao triviais: se f ∈ k[x, y] etal que f

2= f em k[x, y]/(xy), entao xy | f(f −1) e pela fatoracao unica em k[x, y] temos que, primeiro,

x | f ou x | f − 1 e, segundo, y | f ou y | f − 1. Testando as 4 possibilidades, obtemos apenas f = 0 ouf = 1. Por exemplo, se x | f e y | f , temos xy | f (novamente pela fatoracao unica) e assim f = 0. Poroutro lado, se x | f e y | f −1 entao f = x ·g e f −1 = y ·h para algum g, h ∈ k[x, y], logo x ·g−y ·h = 1,o que e imposıvel (o lado esquerdo se anula para x = y = 0 mas o direito nao).

3 Aneis que aparecem na Natureza

Algebra Comutativa nao e uma disciplina isolada; muitos de seus metodos e exemplos foram inspiradosem partes diversas da Matematica, como a Analise, a Teoria dos Numeros, a Geometria e a Topologia.Vejamos alguns casos concretos.

3.1 Series Formais

Comecamos com um exemplo de um anel modelado em series de potencias estudadas em Analise, mascom a vantagem de nao termos de nos preocupar com as irritantes questoes de convergencia. Seja A umanel. O anel de series formais A[[t]] com coeficientes em A e o anel cujos elementos sao “polinomiosinfinitos” na variavel t, i.e., expressoes da forma

a0 + a1t+ a2t2 + · · · , ai ∈ A

sendo a soma e a multiplicacao definidos da maneira usual, como no anel de polinomios:

(a0 + a1t+ a2t2 + · · ·) + (b0 + b1t+ b2t

2 + · · ·) = (a0 + b0) + (a1 + b1)t+ (a2 + b2)t2 + · · ·

(a0 + a1t+ a2t2 + · · ·) · (b0 + b1t+ b2t

2 + · · ·) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)t+ (a0b2 + a1b1 + a2b0)t2 + · · ·

O anel de series formais em varias variaveis A[[x1, . . . , xn]] e definido indutivamente por A[[x1, . . . , xn]] =A[[x1, . . . , xn−1]][[xn]].

Por exemplo, em Z[[t]] temos

(1− t) · (1 + t+ t2 + t3 + · · ·) = 1

de modo que 1− t e 1 + t+ t2 + t3 + · · · sao unidades em Z[[t]] (intuitivamente, a soma da “PG infinita”1 + t+ t2 + · · · e 1

1−t ). Em geral temos

Lemma 3.1.1 Seja A um anel. Entao

A[[t]]× = a0 + a1t+ a2t2 + · · · ∈ A[[t]] | a0 ∈ A×

Prova Um elemento a0 + a1t+ a2t2 + · · · ∈ A[[t]] e uma unidade se, e so se,

(a0 + a1t+ a2t2 + · · ·)(b0 + b1t+ b2t

2 + · · ·) = 1

tem solucao nas “variaveis” bi’s, ou seja, se, e so se, o seguinte “sistema triangular” possui solucao:

a0b0 = 1

a1b0 + a0b1 = 0

a2b0 + a1b1 + a0b2 = 0

...

Assim, se a0 + a1t + a2t2 + · · · e unidade entao a0b0 = 1 ⇒ a0 ∈ A×. Reciprocamente, se a0 ∈ A×,

podemos recursivamente definir b0 = a−10 e bn = −a−1

0 (anb0 + an−1b1 + · · ·+ a1bn−1) para n ≥ 1, que esolucao do sistema acima, logo a0 + a1t+ a2t

2 + · · · ∈ A[[t]]×.

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anel localinteiro algebrico

Exemplo 3.1.2 Um caso interessante ocorre quando o anel de coeficientes e um corpo k. Neste caso,como k[[t]]/(t) ∼= k, temos que (t) e um ideal maximal; como o complementar de (t) e exatamente k[[t]]×,temos que todo ideal proprio esta contido em (t), que e portanto o unico ideal maximal de k[[t]]. Um anelcom um unico ideal maximal e chamado de anel local.

Vamos mostrar agora que o espectro de k[[t]] consiste apenas de dois elementos:

Spec k[[t]] = (0), (t)

De fato, como k[[t]] e um domınio, temos que (0) e um ideal primo. Se p 6= (0) e um ideal primo e f ∈ p

e um elemento nao nulo, “descascando” a maior potencia de t que divide f podemos escrever f = tn · ucom u ∈ k[[t]]× e n ≥ 1 (pois p ⊂ (t)). Agora f = tn · u ∈ p ⇒ t ∈ p ⇒ (t) ⊂ p e como (t) e maximaldevemos ter p = (t).

Series formais possuem inumeras aplicacoes. Por exemplo, elas podem ser utilizadas para “resolver”recursoes, como mostra o seguinte

Exemplo 3.1.3 (Sequencia de Fibonacci) A sequencia de Fibonacci Fn e a sequencia definida re-cursivamente por

F0 = 0, F1 = 1 e Fn = Fn−1 + Fn−2 para n ≥ 2

Assim, seus primeiros termos sao

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 · · ·0 1 1 2 3 5 8 13 21 · · ·

Para encontrar uma formula explıcita para Fn, considere o elemento S = F0+F1t+F2t2+F3t

3+· · · ∈ R[[t]].Temos

S = F0 + F1t+ F2t2 + F3t

3 + F4t3 + · · ·

S · t = F0t+ F1t2 + F2t

3 + F3t3 + · · ·

S · t2 = F0t2 + F1t

3 + F2t3 + · · ·

e como Fn = Fn−1 + Fn−2 para n ≥ 2 temos portanto

(1− t− t2) · S = F0 + (F1 − F0)t ⇐⇒ S =t

1− t− t2

Agora sejam α = 1+√5

2 e β = 1−√5

2 , de modo que 1 − t − t2 = (1 − αt)(1 − βt). Utilizando “fracoes

parciais” e a formula da “soma da progressao geometrica” 1 + αt+ αt2 + · · · = 11−αt temos portanto

S =t

1− t− t2 =1

α− β ·( 1

1− αt −1

1− βt)=∑

n≥0

αn − βnα− β · tn

Assim, comparando coeficientes, temos que Fn = αn−βn

α−β para todo n ≥ 0.

3.2 Inteiros Algebricos

Uma grande fonte de aneis comutativos e a Teoria Algebrica dos Numeros. O conceito central aqui e ode inteiro algebrico:

Definicao 3.2.1 Dizemos que θ ∈ C e um inteiro algebrico se θ e raiz de um polinomio monicop(x) ∈ Z[x] (lembrando: um polinomio monico e aquele cujo coeficiente lıder e igual a 1).

Por exemplo, os numeros α = 1+√5

2 e β = 1−√5

2 do exemplo anterior sao inteiros algebricos pois

sao raızes do polinomio monico com coeficientes inteiros x2 − x− 1 = 0. Inteiros algebricos generalizamo conceito de inteiro; uma das motivacoes para esta definicao e o seguinte lema, que caracteriza oselementos de Z como sendo exatamente os inteiros algebricos que moram dentro de Q:

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Lemma 3.2.2 Seja θ ∈ Q uma raiz de um polinomio monico com coeficientes inteiros

f(x) = xn + cn−1xn−1 + · · ·+ c0, ci ∈ Z

Entao θ ∈ Z.

Prova Escreva θ = a/b com a, b ∈ Z primos entre si. Substituindo x = θ em f(x) e limpando osdenominadores obtemos

an + cn−1an−1b+ cn−2a

n−2b2 + · · ·+ c0bn = 0

Como b divide todos os termos a partir do segundo, temos que b divide an tambem. Mas como a e b saoprimos entre si temos que a unica possibilidade para que isto ocorra e b = ±1, logo θ = ±a ∈ Z.

Se θ e um inteiro algebrico, raiz de um polinomio monico f(x) = xn + cn−1xn−1 + · · · + c0 ∈ Z[x]

de grau n, temos que o conjunto

Z[θ] def= a0 + a1θ + · · ·+ an−1θ

n−1 | ai ∈ Z

e um subanel de C. De fato, este conjunto e fechado por soma e tambem por produto, ja que aplicandovarias vezes a relacao

f(θ) = 0 ⇐⇒ θn = −cn−1θn−1 − · · · − c0 ⇒ θn+i = −cn−1θ

n+i−1 − · · · − c0θi

para i ≥ 0 podemos escrever qualquer potencia em θ de grau maior ou igual a n em termos de potenciasde grau menor do que n. Note a importancia do fato de f(x) ser monico, o que dispensa a necessidadede dividir a relacao acima pelo coeficiente lıder de f(x). Conclusao: Z[θ] e um anel que e finitamentegerado sobre Z como Z-modulo, algo que nao se ve todo dia! Aneis como Z[θ] tem diversas aplicacoesem Teoria dos Numeros, vejamos uma:

Exemplo 3.2.3 Seja Fn o n-esimo numero de Fibonacci. Vamos mostrar que

m | n⇒ Fm | Fn

Suponha que m | n, digamos n = mk com k ∈ Z. Utilizando a formula explıcita de Fn encontrada noexemplo anterior, obtemos

FnFm

=FkmFm

=αkm − βkmαm − βm = (αm)k−1 + (αm)k−2(βm) + (αm)k−3(βm)2 + · · ·+ (βm)k−1 (∗)

Agora observe que tanto α como β = 1− α sao elementos do anel Z[α]def= a+ bα | a, b ∈ Z. Este anel

tem uma propriedade muito interessante: todo elemento de Z[α] e um inteiro algebrico: como α+β = 1 eαβ = −1, multiplicando pelo “conjugado” temos que a+ bα e raiz do polinomio monico com coeficientesinteiros (

x− (a+ bα))·(x− (a+ bβ)

)= x2 − (2a+ b)x+ (a2 + ab− b2)

Desta forma, de (∗) temos que Fn

Fme um elemento de Z[α] e, portanto, e um inteiro algebrico. Mas um

numero racional que e um inteiro algebrico deve ser inteiro, ou seja, Fn

Fm∈ Z ⇐⇒ Fm | Fn, o que encerra

a prova.

Utilizando o fato que Z e um domınio de ideais principais, e facil verificar que

SpecZ = (0) ∪ (p) | p e um numero primo

e que, com excecao de (0), todo ideal primo e maximal. Para encontrar o espectro de aneis maiscomplicados como Z[α] acima, podemos utilizar o mapa f : SpecZ[α] → SpecZ associado a inclusaoZ → Z[α], como mostra o seguinte

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Exemplo 3.2.4 Seja Z[α] e f : SpecZ[α]→ SpecZ como acima. Vamos descrever SpecZ[α], mostrandoem particular que, como em Z, todos os ideais primos com excecao de (0) sao maximais. Dado q ∈SpecZ[α], observe inicialmente que f(q) = q ∩ Z, de modo que temos dois casos a considerar:

• f(q) = (0) ⇐⇒ q ∩ Z = (0). Neste caso, provaremos que q = (0). Para isto, supomos que q 6= (0) evamos mostrar que q∩Z 6= (0). Seja a+ bα ∈ q um elemento nao nulo. Multiplicando pelo “conjugado”a+bβ, obtemos como no exemplo anterior que (a+bα)(a+bβ) = a2+ab−b2 ∈ q∩Z, que e um elementonao nulo ja que a+ bα 6= 0 e a+ bβ 6= 0.

• f(q) = (p) ⇐⇒ q ∩ Z = (p) para algum numero primo p. Neste caso, como q ⊃ (p), pela corre-spondencia de ideais, temos que determinar SpecZ[α]/(p). Como Z[α] ∼= Z[x]/(x2 − x − 1), temos queZ[α]/(p) ∼= Fp[x]/(x2−x−1) e assim temos alguns subcasos, de acordo com a fatoracao de x2−x−1 emFp[x]. Se x2 − x− 1 e irredutıvel em Fp[x], temos Fp[x]/(x2 − x− 1) e um corpo e assim (p) e maximalem Z[α]. Por outro lado, se x2 − x− 1 = (x− a)(x− b) e redutıvel em Fp[x] com fatores distintos, entaopelo Teorema Chines dos Restos temos que

Fp[x](x2 − x− 1)

∼= Fp[x](x− a) ×

Fp(x− b)

∼= Fp × Fp

e o produto de dois corpos, de modo que seus ideais primos sao os maximais (0) × Fp e Fp × (0), quecorrespondem aos ideais maximais (x− a) e (x− b) em Fp[x]/(x2 − x− 1), ou seja, aos ideais maximais(α−a, p) e (α−b, p) em Z[α], onde a, b ∈ Z sao levantamentos de a, b ∈ Fp. Finalmente, se x2−x−1 temraızes multiplas em Fp[t], o que ocorre quando (x2 − x− 1, 2x− 1) = (1) em Fp[t] (criterio da derivada),isto e, quando p = 5 (verifique!), entao F5[x]/(x

2 − x− 1) ∼= F5[x]/(x− 3)2. Se (p(x)) e um ideal primode F5[x] contendo (x − 3)2, entao p(x) | (x − 3)2, de modo que devemos ter (p(x)) = (x − 3). Assim,F5[x]/(x

2 − x − 1) tem um unico ideal primo (x − 3), que e maximal e corresponde ao ideal maximal(α− 3, 5) de Z[α].Resumimos os casos acima no seguinte diagrama esquematico, onde os ideais maximais sao representadospor pontos e os ideais (0) pelas linhas cheias (a escolha desta representacao, que deve ficar mais claraposteriormente, foi feita em analogia com os “aneis geometricos” correspondentes das secoes seguintes):

SpecZ(5) (2) (3) (7) (11)

(α− 3, 5)(2) (3) (7)

(11, α− 4)

(11, α+ 3)

SpecZ[α]

f

f : SpecZ[α]→ SpecZ

Observacao 3.2.5 Temos que x2 − x − 1 e redutıvel em Fp[t] se, e so se, seu discriminante ∆ =

12 − 4 · (−1) = 5 for um quadrado perfeito em Fp. Utilizando a lei de reciprocidade quadratica (ver

por exemplo J.-P. Serre, “A course in Arithmetic”, capıtulo I), temos que isto ocorre para p 6= 2, 5exatamente quando

(p5

)= 1 ⇐⇒

(5p

)= 1 ⇐⇒ p ≡ ±1 (mod 5).

3.3 Anel de funcoes contınuas e anel de funcoes holomorfas

Analise e Topologia sao duas outras grandes fontes de aneis comutativos. Dado um espaco topologicoX , podemos considerar o seu anel de funcoes contınuas reais

C(X)def= f :X → R | f e contınua

onde a soma e o produto sao os usuais de funcoes. Note que C(X)× consiste nas funcoes contınuasf :X → R que nao se anulam em nenhum ponto de X (o inverso de f e 1/f , que e contınua). Em geral,

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C(X) nao e um domınio (por exemplo, se X = R podemos encontrar funcoes nao identicamente nulas fe g que se anulam em (−∞, 1) e (0,∞), respectivamente, de modo que fg e identicamente nula).

Muitas propriedades geometricas deX refletem-se em propriedades algebricas de C(X). Por exemplo,cada ponto P ∈ X define um ideal mP de C, o ideal das funcoes que se anulam em P :

mPdef= f ∈ C | f(P ) = 0

Este ideal e um ideal maximal de C(X), ja que o mapa “avaliacao em P”

C(X)→ R

f 7→ f(P )

e sobrejetor (tome funcoes constantes por exemplo) e tem kernel mP , de modo que C(X)/mP ∼= R, quee um corpo, mostrando que mP e maximal.

Se Y e outro espaco topologico e φ:X → Y e uma funcao contınua, temos um morfismo induzidode aneis na direcao oposta, dado por composicao com φ:

φ#: C(Y )→ C(X)

g 7→ g φ

Note que o morfismo de espectros associado Spec(φ#): Spec C(X)→ Spec C(Y ) leva mP em (φ#)−1mP =mφ(P ).

Adicionalmente, se supusermos que X compacto, podemos mostrar que todo ideal maximal de C(X)e da forma mP para algum P ∈ X . De fato, basta mostrar que para todo ideal proprio a de C(X) existeum ponto P ∈ X tal que a ⊂ mP . Suponha, por absurdo, que tal nao aconteca, isto e, que para cadaponto P ∈ X podemos encontrar uma funcao aP ∈ a tal que aP (P ) 6= 0. Seja UP uma vizinhanca abertade P onde aP nao se anula (aqui usamos a continuidade de aP ). Como X e compacto, existe um numerofinito de pontos P1, . . . , Pn tais que a uniao dos UPi

cobrem X . A funcao a2P1+ · · ·+ a2Pn

∈ a e nao se

anula em nenhum ponto de X , o que e um absurdo, pois a2P1+ · · ·+ a2Pn

e entao uma unidade mas a eproprio.

Desta forma, para X compacto e Hausdorff temos uma bijecao

pontos P de X ↔ ideais maximais mP de C(X)

relacionando a algebra de C(X) com a geometria de X ! Ja mostramos no paragrafo anterior que P 7→ mPe sobrejetor; por outro lado, a injetividade segue do lema de Urysohn (X e normal), que garante aexistencia de uma funcao contınua f :X → R tal que f(P ) = 0 mas f(Q) 6= 0 para dois pontos P 6= Qdados, de modo que P 6= Q ⇒ mP 6= mQ. Veremos mais tarde que os ideais mP nao esgotam todos osideais primos de C(X).

Alem disso, como vimos antes, se φ:X → Y e um mapa contınuo com Y tambem compacto eHausdorff, temos que o mapa de espectros associado Spec(φ#): Spec C(X)→ Spec C(Y ) se restringe aossubconjuntos dos ideais maximais de X e Y , levando mP 7→ mφ(P ). Assim, a bijecao acima permite

recuperar o mapa φ a partir do morfismo de aneis φ#!

Temos tambem uma versao “analıtica” do exposto acima: se U e um subconjunto aberto de C,definimos os aneis

H(U) = f :U → C | f e uma funcao holomorfaM(U) = f :U → C ∪ ∞ | f e uma funcao meromorfa

Assim, H(U) e um subanel de M(U). Estes aneis sao muito mais bem comportados do que o anel defuncoes contınuas reais; por exemplo, se U e conexo, entao H(U) e um domınio eM(U) e um corpo. Defato, se f, g ∈ H(U) sao tais que f(z)g(z) = 0 para todo z ∈ U mas f(z0) 6= 0 para algum z0 ∈ U entaopor continuidade f(z) 6= 0 para todo z em alguma vizinhanca aberta V de z0 e assim g(z) = 0 paratodo z ∈ V . Mas zeros de funcoes analıticas nao nulas em abertos conexos sao isolados, logo g deve seridenticamente 0 em U . De maneira analoga, prova-se queM(U) e um corpo. Utilizando-se o teorema defatoracao de Weierstraß (veja por exemplo J. B. Conway, “Functions of One Complex Variable”, VII.§5),pode-se inclusive mostrar queM(U) e o corpo de fracoes de H(U).

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conjuntos alg3.4 Conjuntos Algebricos Afins

Dados polinomios f1, . . . , fd ∈ C[x1, . . . , xn], podemos considerar o conjunto de seus zeros comuns

V = V (f1, . . . , fn)def= (a1, . . . , an) ∈ Cn | fi(a1, . . . , an) = 0 para todo i = 1, . . . , d

Subconjuntos de Cn da forma acima sao chamados de conjuntos algebricos. Note que podemostambem tomar o ideal I = (f1, . . . , fn) e considerar

V = V (I)def= (a1, . . . , an) ∈ Cn | f(a1, . . . , an) = 0 para todo f ∈ I,

o que fornece uma definicao equivalente para conjuntos algebricos em termos de ideais de C[x1, . . . , xn](veremos mais tarde que todo ideal deste anel e finitamente gerado pelo teorema da base de Hilbert).Exemplos familiares de conjuntos algebricos incluem o espaco todo Cn (definido pelo polinomio nulo),qualquer ponto (a1, . . . , an) ∈ Cn (definido pelos polinomios x1 − a1, . . . , xn − an), retas e cırculos no“plano complexo” C2 (como os dados pelas equacoes x = y e x2 + y2 = 1), entre muitos outros.

Note que se p, q ∈ C[x1, . . . , xn] sao tais que p ≡ q (mod (f1, . . . , fd)) entao p(a1, . . . , an) =q(a1, . . . , an) para todos os pontos (a1, . . . , an) ∈ V . Assim, os elementos do quociente

Adef= A(f1, . . . , fd) = C[x1, . . . , xn]/(f1, . . . , fd)

podem ser vistos como funcoes polinomiais de V em C. Por outro lado, como na secao anterior, umponto P = (a1, . . . , an) ∈ V define um ideal maximal

mPdef= a ∈ A | a(P ) = 0

das funcoes polinomiais em V que se anulam em P . Aqui, por outro lado, podemos dar uma descricaomuito mais explıcita de mP , como sendo o ideal gerado pelas funcoes xi − ai ∈ A:

mP = (x1 − a1, . . . , xn − an)De fato, por um lado e claro que xi − ai ∈ mP de modo que mP ⊃ (x1 − a1, . . . , xn − an). Para mostrara inclusao oposta, seja f ∈ mP , representado por um polinomio em C[x1, . . . , xn] que ainda denotamospor f . Temos que

f(x1, . . . , xn) ≡ f(a1, . . . , an) (mod x1 − a1, . . . , xn − an)e como f(a1, . . . , an) = 0 por hipotese, temos que f ∈ (x1 − a1, . . . , xn − an), o que encerra a prova.

Dados dois pontos distintos de V , que diferem em suas primeiras coordenadas a1 e a′1 digamos,temos que x1 − a1 ∈ A estara no ideal do primeiro ponto mas nao na do segundo. Assim, a associacao

V → ideais maximais de A(a1, . . . , an) 7→ (x1 − a1, . . . , xn − an)

e injetiva. Veremos mais tarde (pelo Nullstellensatz Hilberts) que esta associacao e na verdade umabijecao, e assim como na secao anterior novamente testemunhamos uma estreita relacao entre a algebrado anel A e a geometria do conjunto V !

Lemma 3.4.1

1. O conjunto 1

x− λ ∈ C(x)∣∣∣ λ ∈ C

e linearmente independente sobre C. Em particular, C(x) possui dimensao incontavel sobre C.

2. Se V e um espaco vetorial de dimensao contavel sobre C e T :V → V e um operador linear,entao existe λ ∈ C tal que T − λ nao e bijetor em V .

Prova Se temos uma relacao de dependencia linear∑

1≤i≤nai

x−λi= 0, multiplicando por x − λ1 e

substituindo x = λ1 concluımos que a1 = 0; repetindo este procedimento, obtemos ai = 0 para todo i.Para provar (2), suponha por absurdo que T − λ e bijetor para todo λ ∈ C. Tome qualquer vetor v ∈ Vnao nulo e considere o conjunto

(T − λ)−1v ∈ V | λ ∈ CComo este conjunto e incontavel e a dimensao de V e contavel, existe uma relacao de dependencia linear∑

1≤i≤nai(T − λi)−1v = 0

Seja f(x) =∑

1≤i≤n ai(x − λi)−1 ∈ C(x), que e nao nulo pelo item (1). Escrevendo f(x) = p(x)/q(x)

com p(x), q(x) ∈ C[x] e fatorando estes polinomios em termos lineares, temos que p(T ) e q(T ) saotransformacoes lineares bijetoras em V , logo p(T )q(T )−1v = 0 implica v = 0, uma contradicao.

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Teorema 3.4.2 (Nullstellensatz) Todo ideal maximal de C[x1, . . . , xn] e da forma (x1− a1, . . . , xn−an) com ai ∈ C.

Prova Seja m um ideal maximal de C[x1, . . . , xn]. Temos que V = C[x1, . . . , xn]/m e um corpo que temdimensao contavel sobre C (pois isto ja vale antes do quociente). Assim, para o operador linear em Vdada pela multiplicacao por xi existe ai ∈ C tal que a multiplicacao por xi − ai nao e bijetora em V , oque so e possıvel se xi − ai = 0 ja que V e um corpo. Logo m ⊃ (x1 − a1, . . . , xn − an) e devemos ter aigualdade ja que ambos sao ideais maximais.

Mais ainda: dados dois conjuntos algebricos V ⊂ Cn e W ⊂ Cm, definidos por ideais I ⊂C[x1, . . . , xn] e J ⊂ C[y1, . . . , ym], digamos, podemos considerar os mapas polinomiais φ:V →W entre Ve W , isto e, mapas que sao da forma φ(a) = (p1(a), . . . , pm(a)), a ∈ V , onde p1, . . . , pm ∈ C[x1, . . . , xn]sao polinomios fixos tais que

g(y1, . . . , ym) ∈ J ⇒ g(p1(x1, . . . , xn), . . . , pm(x1, . . . , xn)

)∈ I (∗)

Note que a ultima condicao (∗) garante que (p1(a), . . . , pm(a)) ∈ W para todo a ∈ V . Esta condicao soprecisa ser verificada num conjunto de geradores de J , que e finito (pelo teorema da base de Hilbert, aser provado mais tarde). Como no caso dos aneis de funcoes contınuas, associado a φ temos um morfismode aneis dado pela composicao com φ:

φ#:A(J) = C[y1, . . . , yn]/J → A(I) = C[x1, . . . , xn]/I

g 7→ g φ

que neste caso possui uma descricao muito mais explıcita: φ# e o morfismo de C-algebras dado por yi 7→pi(x1, . . . , xn). Novamente a condicao (∗) garante que este morfismo esta bem definido. O morfismo deespectros correspondente Spec(φ#): SpecA(I)→ A(J) se restringe aos subconjuntos de ideais maximaisde A(I) e A(J) e leva mP 7→ mφ(P ), de modo que pela bijecao entre pontos e ideais maximais podemos

recuperar o mapa φ a partir do morfismo de C-algebras φ#!

Exemplo 3.4.3 Como C[t] e um domınio de ideais principais, temos que SpecC[t] e formado por (0) epor ideais principais gerados por polinomios irredutıveis em C[t], ou seja,

SpecC[t] = (0) ∪ (t− a) | a ∈ C

Note que obtemos desta forma uma bijecao a ↔ (t − a) entre pontos a ∈ C da “reta complexa”e ideaismaximais (t− a) ⊂ C[t] do anel de funcoes polinomiais nesta reta. Como acima, (t− a) e o conjunto dasfuncoes polinomiais que se anulam no ponto a. Representando os ideais maximais por pontos e o ideal(0) pela linha cheia, temos o seguinte diagrama esquematico:

← (0)(t)

0

(t− 1)

1

(t+ 2)

−2

SpecC[t]

Exemplo 3.4.4 Vamos determinar SpecC[x, y]/(y2 − x3 + x). Para isto considere o morfismo de C-algebras φ:C[x] → C[x, y]/(y2 − x3 + x) dado por φ(x) = x. Note que este morfismo e injetor (nenhumpolinomio na variavel x apenas pode ser multiplo de y2 − x3 + x), de modo que podemos pensar em

C[x] como subanel de C[x, y]/(y2 − x3 + x) e que este ultimo e obtido “adicionando-se√x3 − x a C[x]”.

Observe ainda que como y2 − x3 + x e um polinomio irredutıvel no domınio de fatoracao unica C[x, y],temos que (y2 − x3 + x) ⊂ C[x, y] e um ideal primo e C[x, y]/(y2 − x3 + x) e um domınio. Utilizando arelacao y2 = x3 − x, todo elemento de C[x, y]/(y2 − x3 + x) pode ser representado unicamente como umpolinomio p(x) + q(x)y de grau no maximo 1 em y.

Agora seja f : SpecC[x, y]/(y2 − x3 + x)→ SpecC[x] o morfismo associado a φ. Como no exemplo 3.2.4,temos dois casos considerar:

• f(q) = (0) ⇐⇒ q ∩ C[x] = (0). Como no exemplo 3.2.4, vamos mostrar que q = (0). Se q 6= (0)e a(x) + b(x)y ∈ q e um elemento nao nulo, temos que

(a(x) + b(x)y

)·(a(x) − b(x)y

)= a(x)2 −

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elementos homogb(x)2(x3 − x) ∈ q ∩ C[x] e um elemento nao nulo, pois e o produto de dois elementos nao nulos nodomınio C[x, y]/(y2 − x3 + x).

• f(q) = (x − a) ⇐⇒ q ∩ C[x] = (x − a) para a ∈ C. Como no exemplo 3.2.4, devemos calcularSpecC[x, y]/(y2 − x3 + x, x − a). Seja b ∈ C tal que b2 = a3 − a, de modo que C[x, y]/(y2 − x3 +x, x − a) ∼= C[y]/(y2 − a3 + a) = C[y]/(y2 − b2). Se b 6= 0, temos pelo Teorema Chines dos Restos queC[y]/(y2 − b2) ∼= C[y]/(y − b)× C[y]/(y + b) ∼= C× C, que possui dois ideais primos (0) × C e C × (0),correspondendo aos ideais primos (e maximais) (y − b, x− a) e (y + b, x − a) do anel original. Se b = 0(isto e, se a3 − a = 0 ⇐⇒ a = 0 ou a = ±1) entao so ha um primo (y) em C[y]/(y2), que correspondeao ideal primo (e maximal) (y, x− a).Resumindo: SpecC[x, y]/(y2−x3+x) consiste no ideal (0) e nos ideais maximais (x−a, y−b), exatamenteum para cada ponto (a, b) ∈ C2 da curva complexa y2 = x3 − x. Novamente representado cada idealmaximal pelo ponto correspondente da curva e o ideal (0) por toda a curva, temos que f correspondea “projecao no eixo x” como mostra o seguinte diagrama esquematico (compare com o diagrama noexemplo 3.2.4):

(x− a, y − b)(a, b)

(x− a)

f

SpecC[x]

SpecC[x, y]/(y2 − x3 + x)

3.5 Aneis graduados

Ao contrario da crenca popular, aneis graduados nao sao aqueles com um diploma. A origem do nomeanel graduado seria mais clara se ele fosse rebatizado “anel grau-duado”, mas ate os matematicos estaosob a egide das regras ortograficas. . .

Definicao 3.5.1 Um anel Z-graduado (ou simplesmente anel graduado e um anel A cujo grupoaditivo admite uma decomposicao

A =⊕

d∈Z

Ad

como soma direta de subgrupos abelianos Ad tal que

ai ∈ Aiaj ∈ Aj ⇒ aiaj ∈ Ai+j

para todo i, j ∈ Z. Os elementos de ad ∈ Ad ⊂ A sao chamados de elementos homogeneos de graud. Um morfismo de aneis φ:A → B entre dois aneis graduados e um morfismo de aneis graduadosse φ respeita a graduacao: φ(Ad) ⊂ Bd para todo d ∈ Z.Um A-modulo Z-graduado M e um A-modulo cujo grupo aditivo e uma soma direta de subgruposabelianos

M =⊕

d∈Z

Md

de modo que ai ∈ Aimj ∈Mj

⇒ aimj ∈Mi+j

para todo i, j ∈ Z. Como no caso de aneis, os elementos em Md sao chamados de homogeneos de grau de um morfismo de modulos graduados e um morfismo de modulos que respeita a graduacao.

Se Ad = 0 para d < 0 diremos que A e um anel N-graduado. Analogamente definimos modulosN-graduados.

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ideal homogeneoserie de Hilbert

O exemplo canonico de anel graduado e o anel de polinomios k[x1, . . . , xn] sobre um corpo k, queadmite a graduacao

k[x1, . . . , xn] =⊕

d∈Z

k[x1, . . . , xn]d

onde k[x1, . . . , xn]d = 0 se d < 0 e k[x1, . . . , xn]d e o k-espaco vetorial de dimensao(n+d−1

d

)gerado pelos

monomios xe11 xe22 . . . xenn de grau d = e1 + · · ·+ en para d ≥ 0.

Um ideal a de A que e graduado como A-modulo, ou seja, admite a decomposicao

a =⊕

d∈Z

(a ∩ Ad)

e chamado de ideal homogeneo. Se a e homogeneo, o anel quociente A/a tambem e graduado demaneira natural pois podemos escrever

A

a=⊕

d∈Z

Ada ∩ Ad

Lema 3.5.2 (Ideais Homogeneos) Seja A =⊕Ad um anel graduado e a um ideal de A. As seguintes

condicoes sao equivalentes:

1. a e um ideal homogeneo;

2. a e tal que um elemento a =∑ad ∈ A com ad ∈ Ad pertence a a se, e somente se, cada

componente homogenea ad pertence a a;

3. a e gerado por elementos homogeneos (possivelmente de graus diferentes).

Prova Claramente temos 2 ⇐⇒ 1 ⇒ 3. Para mostrar que 3 ⇒ 1, suponha que a e gerado porelementos homogeneos fi e seja a ∈ a. Entao podemos escrever a = gi1 · fi1 + · · ·+ gin · fin . Expandindocada gi =

∑d gi,d como soma de suas componentes homogeneas, temos que o termo de grau d em a e

dado por ad = gi1,d−deg(fi1 )· fi1 + · · ·+ gin,d−deg(fin ) · fin e assim ad ∈ a.

Muitas propriedades de ideais homogenos podem ser verificadas testando-se apenas elementos ho-mogeneos. Por exemplo, temos o seguinte

Lemma 3.5.3 Seja A =⊕Ad um anel graduado. Um ideal homogeneo proprio p de A e primo se, e

so, ab ∈ p ⇐⇒ a ∈ p ou b ∈ p para todos os elementos homogeneos a, b ∈ A.

Prova Sejam a, b ∈ A =⊕Ad elementos arbitrarios e escreva-os como soma de elementos homogeneos:

a =∑ad, b =

∑bd com ad, bd ∈ Ad. Suponha por absurdo que ab ∈ p mas a /∈ p e b /∈ p; sejam m e n

os menores inteiros para os quais am /∈ p e bn /∈ p. O termo de grau m+ n em ab e

· · ·+ am−2bn+2 + am−1bn+1 + ambn + am+1bn−1 + am+2bn−2 + · · ·

Como p e homogeneo e ab ∈ p, temos que esta soma tambem pertence a p. Porem cada termo aibj comi < m ou j < n pertence a p, logo ambn ∈ p, uma contradicao.

Definicao 3.5.4 Seja k um corpo e seja A = k[x1, . . . , xn]. Seja M um A-modulo graduado finitamentegerado. A serie de Hilbert de M e definida como

HM (t) =∑

d≥0

(dimkMd) · td ∈ Z[[t]]

Teorema 3.5.5 (Hilbert) Com a notacao acima, temos

HM (t) =p(t)

(1− t)d

para algum polinomio p(t) ∈ Z[t].

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espaco projetiv3.6 Conjuntos Algebricos Projetivos

Dado um corpo k, o espaco projetivo Pnk de dimensao n sobre k e definido como o conjunto detodas as direcoes no espaco afim kn+1 de dimensao n + 1. Em outras palavras, um ponto em Pnkpode ser representado como um vetor nao nulo (a0, a1, . . . , an) ∈ kn+1; dois vetores (a0, a1, . . . , an) e(b0, b1, . . . , bn) definem o mesmo ponto se eles sao homoteticos, isto e, existe um λ ∈ k nao nulo talque ai = λbi para i = 0, 1, . . . , n. Representamos o ponto definido pelo vetor (a0, a1, . . . , an) atraves dasugestiva notacao (a0 : a1 : . . . : an).

Por exemplo, temos que a reta projetiva pode ser decomposta como

P1k = (1 : a1) | a1 ∈ k ∪ (0 : 1)

pois se a0 6= 0 entao (a0 : a1) = (1 : a1a0 ) e se a0 = 0 entao (0 : a1) = (0 : 1). Assim, a reta projetiva

consiste de uma “reta afim”, composta pelos pontos da forma (1 : a1), e mais um “ponto no infinito”(0 : 1). Da mesma forma, temos que o plano projetivo

P2k = (1 : a1 : a2) | (a1, a2) ∈ k2 ∪ (0 : a1 : a2) | a1 6= 0 ou a2 6= 0

e a uniao de um “plano afim” (primeiro termo, ja que (1 : a1 : a2) = (1 : a′1 : a′2) ⇐⇒ a1 = a′1 ea2 = a′2) e uma reta projetiva no “infinito” (segundo termo). Note que a escolha de “reta no infinito” ecompletamente arbitraria, pois poderıamos tomar uma outra decomposicao, por exemplo

P2k = (a0 : a1 : 1) | (a0, a1) ∈ k2 ∪ (a0 : a1 : 0) | a0 6= 0 ou a1 6= 0

e agora os pontos com a2 = 0 formam a “reta no infinito”.

Agora falaremos um pouco sobre curvas algebricas planas. No plano afim k2, temos que qualquerpolinomio p(x, y) ∈ k[x, y] define uma curva

C = (a, b) ∈ k2 | p(a, b) = 0

(que pode eventualmente degenerar em um ponto, em todo o plano, ou mesmo no conjunto vazio, masnao vamos nos preocupar com estes detalhes agora). Porem, no mundo projetivo so podemos considerarpolinomios homogeneos, isto e, polinomios cujos monomios tem todos o mesmo grau. De fato, sep(x0, x1, x2) ∈ k[x0, x1, x2] e homogeneo de grau d entao temos que

p(a0, a1, a2) = 0⇒ p(λa0, λa1, λa2) = λdp(a0, a1, a2) = 0.

Assim, faz sentido dizer quando um polinomio homogeneo p(x0, x1, x2) se anula em uma classe de vetoreshomoteticos e podemos considerar a curva projetiva definida por p(x0, x1, x2):

C = (a0 : a1 : a2) ∈ P2k | p(a0, a1, a2) = 0.

Por exemplo temos que x0 = 0 e uma equacao da “reta no infinito” descrita acima. Temos que paraqualquer (a, b, c) 6= (0, 0, 0) a equacao ax0 + bx1 + cx2 = 0 define uma reta projetiva em P2

k; esta reta ea uniao de uma reta afim de equacao a + bx+ cy = 0 (x0 6= 0) e de um “ponto no infinito” (0 : −c : b)(supondo b 6= 0 ou c 6= 0), interseccao das retas ax0 + bx1 + cx2 = 0 e x0 = 0.

Em geral, duas retas distintas ax0 + bx1 + cx2 = 0dx0 + ex1 + fx2 = 0

possuem exatamente um ponto de interseccao, pois a solucao do sistema linear homogeneo acima e1 dimensional (nao pode ser 2 dimensional, pois neste caso as retas seriam coincidentes), logo defineexatamente um ponto em P2

k (ou seja, uma direcao em k3).

Definicao 3.6.1 Um conjunto algebrico projetivo e um subconjunto de Pn definido por zeros depolinomios homogeneos, ou seja, um subconjunto da forma

(a0 : . . . : an) ∈ Pn | f(a0, . . . , an) = 0 para todo f ∈ a

onde a e um ideal homogeneo de k[x0, x1, . . . , xn].

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topologia de ZariskiBlow-up

Se a e a homogeneous ideal of R = k[X0, . . . , Xn], we can extend the definition of V (a) as the setof common zeros of todo homogeneous polinomios in a. Entao, as before, we may replace a por thehomogeneous ideal it generates. In the same way, the projective algebrico sets satisfy the axioms paraclosed sets, e define a topology on Pn which we also call the Zariski topology. Algum things saodifferent, though: para instance, se e R+ e its irrelevant ideal, entao V (R+) = ∅, even though R+ 6= R.More generally, se a =

∑d≥d0 Rd para algum d0 > 0, entao V (a) = ∅, como a contains the homogeneous

polinomios Xd00 , . . . , Xd0

n , whose set of common zeros consists of the single tuple (0, . . . , 0), which e nota ponto of Pn.

Definicao 3.6.2 An irreducible projective algebrico set e called a projective variety.

4 Topologia de Zariski

Nos exemplos anteriores de “aneis de funcoes”, os ideais maximais puderam ser identificados com ospontos do espaco considerado. Por analogia, para um anel qualquer A, queremos considerar os elementosde A como “funcoes” no “espaco” SpecA de todos os ideais primos (e nao so os maximais). Para uma“funcao” f ∈ A, vamos apenas definir quando f se “anula” num “ponto” p ∈ SpecA: f se anula em p

se, e so se, f ∈ p (o ideal p e o conjunto de todas as “funcoes” que se anulam neste “ponto”). Nesteespırito, temos a seguinte

Definicao 4.1 Seja a ⊂ A um ideal. Definimos a variedade cortada por a como sendo o subconjuntode SpecA dado por

V (a)def= p ∈ SpecA | p ⊃ a

Seja h ∈ A um elemento. Definimos o domınio de 1/h como o subconjunto de SpecA dado por

D(h)def= p ∈ SpecA | p 6∋ h

Para aproximar SpecA um pouco mais de um objeto geometrico, definimos agora uma topologianeste espaco:

Teorema 4.2 (Topologia de Zariski) Seja A um anel. Entao

1. V ((0)) = SpecA e V ((1)) = ∅;2. V (a) ∪ V (b) = V (ab);

3.⋂λ V (aλ) = V (

∑λ aλ);

Desta forma, os conjuntos da forma V (a) definem os fechados de uma topologia em SpecA, denominadatopologia de Zariski.

Prova O primeiro item e claro. Para o item 2, devemos mostrar que para p ∈ SpecA temos p ⊃ ab ⇐⇒p ⊃ a ou p ⊃ b. A implicacao ⇐ e imediata; por outro lado, se p ⊃ ab mas p 6⊃ a e p 6⊃ b, entao existema ∈ a\p e b ∈ b\p, mas como p e primo, ab ∈ ab\p, uma contradicao, o que completa a prova do item 2.Finalmente, para o item 3 basta notar que p ∈ ⋂λ V (aλ) se, e so se, p ⊃ aλ para todo λ, o que ocorrese, e so se, p ⊃∑λ aλ ⇐⇒ p ∈ V (

∑λ aλ).

Vejamos algumas propriedades da topologia de Zariski.

Lemma 4.3 Seja A um anel. Temos

1. Os conjuntos D(h), h ∈ A, formam uma base da topologia de Zariski.

2. D(gh) = D(g) ∩D(h).

3. se φ:A→ B e um morfismo de aneis, Spec(φ): SpecB → SpecA e um mapa contınuo.

4. se p ∈ SpecA, temos p = V (p) (fecho topologico). Em particular, m ∈ SpecA e um pontofechado se, e so se, m e um ideal maximal e se A e um domınio, (0) e um ponto denso.

5. SpecA e compacto.

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Prova O primeiro item segue da identidade SpecA\V (a) =⋃h∈aD(h) (um primo p nao contem a se, e

so se, p nao contem algum elemento h ∈ a), enquanto que o segundo item e apenas uma reinterpretacaode gh /∈ p ⇐⇒ g /∈ p e h /∈ p para um primo p. Para mostrar que Spec(φ) e contınuo, pelo primeiroitem basta mostrar que a pre-imagem de D(h) e um aberto em SpecA, o que segue de

(Spec (φ)

)−1 (D(h)

)= D

(φ(h)

)

ja que q ∈(Spec (φ)

)−1(D(h)

)⇐⇒ Spec (φ)(q) = φ−1(q) ∈ D(h) ⇐⇒ q ∈ D

(φ(h)

). Finalmente, o

item 4 segue de

p =⋂

V (a)∋p

V (a) = V(∑

a⊂p

a)= V (p)

Agora vamos provar o item 5. Pelo item 1, e suficiente provar que uma cobertura de SpecA por umafamılia D(hα), hα ∈ A, tem uma subcobertura finita. Como D(hα) cobre SpecA, o ideal

∑α(hα) nao

esta contido em nenhum ideal primo, logo nao pode ser proprio e assim A =∑

α(hα). Portanto podemosescrever 1 =

∑1≤i≤n aihαi

para hαie ai ∈ A. Mas isto implica SpecA =

⋃1≤i≤nD(hαi

), o que encerraa prova.

Exemplo 4.4 Seja k um corpo. Em Spec k × k = (0) × k, k × (0), ambos os ideais sao maximais eportanto fechados, logo todos os subconjuntos de Spec k sao fechados e a topologia de Zariski coincidecom a discreta. Por outro lado, em Spec k[[t]] = (0), (t) temos que (t) e um ponto fechado enquantoque (0) e um ponto denso. Assim, os fechados de Spec k[[t]] sao o vazio, todo o espectro e (t).

Exemplo 4.5 Em C[t], todos os ideais primos sao maximais, logo fechados, a excecao de (0), que edenso (isto explica nossa escolha de representar o (0) pela linha cheia, “espalhado” por toda a reta).Assim, os conjuntos fechados de SpecC[t] sao os seus subconjuntos finitos e o espectro todo.

De maneira similar, os fechados proprios de SpecC[x, y]/(y2 − x3 + x) no exemplo 3.4.4 tambem saodados pelos subconjuntos finitos deste espectro. Os fechados do espectro SpecZ[α] do exemplo 3.2.4tambem possuem a mesma descricao, o que explica a nossa escolha de representa-lo como uma “curva”,em analogia aos dois casos geometricos anteriores.

Exemplo 4.6 Here e an amusing application: we mostrar que se A e B sao n× n matrices com entriesin k, entao the characteristic polinomios of AB e BA sao equal. In fact, se A e invertible, this followsfrom

det(xI −AB) = det(A−1) det(xI −AB) det(A) = det(xI −BA)

onde I e the n× n identity matrix. To extend the result to todo matrices, fix B e consider A as a ponto

in An2

. The set

V = A ∈ An2 | det(xI −AB) = det(xI −BA)

e an algebrico set. This can be seen as follows: consider the n× n matrix M = (xij) whose entries saoindeterminates xij , 1 ≤ i, j ≤ n. Write

det(xI −MB) = xn + cn−1(xij) · xn−1 + · · ·+ c0(xij)

det(xI −BM) = xn + dn−1(xij) · xn−1 + · · ·+ d0(xij)

onde cl, dl sao polinomios in k[xij ]. Entao V = V (cn−1 − dn−1, . . . , c0 − d0). Now V contains the non-empty open set D(detM) consisting of those matrices A com detA 6= 0, i.e., the invertible ones. But

open sets in the Zariski topology sao huge, e in this case, como An2

e a variety, V e the whole set An2

.

In fact, this follows from An2

= V ∪ V (detM), portanto we must have V = An2

. This concludes theproof.

Encerramos esta secao com a “versao projetiva” da topologia de Zariski.

Definicao 4.7 Seja A =⊕

d≥0Ad um anel N-graduado. O ideal homogeneo

A+def=⊕

d>0

Ad

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ideal irrelevantee chamado de ideal irrelevante. Definimos

ProjAdef= p ∈ SpecA | p e homogeneo e p 6⊃ A+

Para todo ideal homogeneo a ⊂ A, definimos a variedade projetiva cortada por a como o subcon-junto de ProjA dado por

V+(a)def= p ∈ ProjR | p ⊃ a

Da mesma forma, para todo elemento homogeneo h ∈ A, definimos o domınio de 1/h como

D+(h)def= p ∈ ProjR | p 6∋ h

(esta definicao e literalmente demais!)

Como antes, temos que

1. V+((0)) = ProjR e V+((1)) = ∅.2. V+(a) ∪ V+(b) = V+(ab)

3.⋂λ V+(aλ) = V+(

∑λ aλ)

de modo que os conjuntos da forma V+(a) sao fechados de uma topologia em ProjA, tambem chamadade topologia de Zariski. Mostra-se da mesma forma que os conjuntos D+(h) formam uma base deabertos desta topologia.

5 Exercıcios

01. Seja A um anel e a ∈ A um elemento nilpotente. Mostre que 1 + a ∈ A×.

02. Encontre formulas explıcitas para as seguintes recursoes:

(a) G0 = 0, G1 = 1 e Gn+2 = 5Gn+1 − 6Gn para n ≥ 0.

(b) P0 = P1 = 1, P2 = 0 e Pn+3 = 7Pn+1 − 6Pn para n ≥ 0.

03. Seja θ ∈ R e n um inteiro positivo. Calcule o resto da divisao do polinomio (cos θ + x sin θ)n ∈ R[x]por x2 + 1.

04. Mostre que x2 = 1 + t possui solucao x em R[[t]] (ou seja, 1 + t e um quadrado perfeito em R[[t]]!).

05. Considere o anel

A =Q[x, y]

(x2 + y2 − 1)

(a) Mostre que ha uma bijecao entre o conjunto de todos os morfismos de aneis f :A → Q e pontosracionais (i.e. pontos com ambas as coordenadas racionais) do cırculo de equacao x2 + y2 = 1.

(b) Mostre que ha uma bijecao entre o conjunto de todos os morfismos de aneis f :A → Q(i) e pontosdo cırculo de equacao x2 + y2 = 1 com ambas as coordenadas em Q(i).

(c) Determine (geradores para) ker f , onde f :A→ C e o morfismo dado por x 7→ i e y 7→√2.

06. Seja p > 5 um numero primo. Neste exercıcio, mostraremos que p | Fp2−1 onde Fn denota o n-esimo

numero de Fibonacci. Lembre-se de que Fn = αn−βn

α−β onde α = 1+√5

2 e β = 1−√5

2 sao as raızes de

x2 − x− 1 = 0.

(a) Mostre que α, β ∈ Z[α]×.(b) Mostre que o quociente Z[α]/(n) e um anel finito com n2 elementos para todo inteiro positivo n.Mostre ainda que a inclusao Z → Z[α] induz uma inclusao Z/(n) → Z[α]/(n).(c) Mostre que (2α)p

2

e 2α possuem a mesma imagem em Z[α]/(p). Conclua que αp2−1 e 1 possuem a

mesma imagem em Z[α]/(p).Hint: utilize o pequeno teorema de Fermat para inteiros: ap−a e um multiplo de p para todo inteiro

a e primo p. Voce se lembra da demonstracao deste resultado?

(d) Mostre que (α − β) · Fp2−1 pertence ao ideal (p) ⊂ Z[α]. Conclua que Fp2−1 e um multiplo inteirode p.

07. Mostre que todo anel A 6= 0 possui um ideal primo minimal, ou seja, um ideal primo p tal queq ∈ SpecA e q ⊂ p⇒ q = p (por exemplo, se A e um domınio, entao (0) e o unico primo minimal de A).Quais sao os primos minimais de C[x, y]/(x2 − y2)? De uma interpretacao geometrica.

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conjunto multiplicativmapa de localiza¸

Chapter 3

ManobrasBasicas

Chegou a hora de aprender os “truques do ofıcio”.

1 Localizacao

Definicao 1.1 Seja A um anel. Um conjunto multiplicativo S ⊂ A e um subconjunto tal que 1 ∈ Se que e fechado com relacao ao produto: s, t ∈ S ⇒ st ∈ S.As duas escolhas mais populares para S sao:

1. S = hn | n ≥ 0 , o conjunto das potencias de um elemento fixo h ∈ A.2. S = A \ p, o complemento de um ideal primo p ∈ SpecA.

Dado um conjunto multiplicativo S ⊂ A, vamos construir um novo anel S−1A onde todos os el-ementos de S se tornem unidades. Fazemos isto invertendo formalmente os elementos de S, tomandoalguns cuidados para evitar problemas com os divisores de zero em A:

Definicao 1.2 Seja S ⊂ A um conjunto multiplicativo. A localizacao S−1A do anel A com relacao aS e o anel

S−1A =

fracoes a/s com a ∈ A e s ∈ S, onde duas fracoes a1/s1 e a2/s2 saoidentificadas se existe t ∈ S tal que t · (a1s2 − a2s1) = 0 em A

onde a soma e o produto sao definidos da maneira usual:

a1s1

+a2s2

=a1s2 + a2s1

s1s2

a1s1· a2s2

=a1a2s1s2

O anel S−1A vem equipado de fabrica com um morfismo ρ:A → S−1A dado por ρ(a) = a/1, que echamado de mapa de localizacao.

Devemos verificar que estas operacoes estao bem definidas, o que e facil, mas deveras chato (e melhorfeito as escondidas, quando ninguem estiver olhando). Vejamos so que a soma esta bem definida. Se

a1s1

=b1t1

ea2s2

=b2t2

com a1, a2, b1, b2 ∈ A, s1, s2, t1, t2 ∈ S

entao existem u, v ∈ S tais que u(a1t1 − b1s1) = v(a2t2 − b2s2) = 0. Devemos mostrar que

a1s2 + a2s1s1s2

=b1t2 + b2t1

t1t2⇐⇒ w

((a1s2 + a2s1)t1t2 − (b1t2 + b2t1)s1s2

)= 0

⇐⇒ w((a1t1 − b1s1)s2t2 + (a2t2 − b2s2)s1t1

)= 0

para algum w ∈ S. Basta tomar w = uv.

Quando A e domınio e 0 /∈ S temos o criterio usual as = bt ⇐⇒ at = bs (para a, b ∈ A e s, t ∈ S)

e assim podemos interpretar S−1A como subanel de FracA, o corpo de fracoes de A. Em particular,o mapa de localizacao e sempre injetivo. Em geral, na presenca de divisores de zero isto e falso, comomostra o

Exemplo 1.3 Seja A = Z/12Z e S = A−(2) = 1, 3, 5, 7, 9, 11. Vamos determinar o kernel do mapa delocalizacao ρ:A → S−1A. Utilizando o fato de que os unicos elementos em S que possuem divisores de

zero em A sao 3 e 9 (os demais sao unidades) temos a1= 0

1⇐⇒ sa = 0 para algum s ∈ S ⇐⇒ a ∈ (4).

Agora podemos “calcular” S−1A. Note que ρ e sobrejetor: para mostrar isto, basta verificar que asfracoes 1/s com s ∈ S estao na imagem. Se s 6= 3, 9 temos s ∈ A×, logo ρ(s−1) = 1/s. Por outro lado,ρ(−1) = 1/3 pois −1/1 = 1/3 ⇐⇒ 3 · (−1 · 3 − 1 · 1) = 0 e portanto 1/9 = (1/3)2 = 1/1 tambem estana imagem de ρ. Pelo teorema do isomorfismo, S−1A ∼= A/ kerρ = A/(4) = Z/4Z.

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28 Manobras Basicas

propriedade universallocalizacao

O anel S−1A e o “maior” anel em que todos os elementos de S se tornam unidades, no seguintesentido: se φ:A→ B e um morfismo de aneis tal que φ(s) ∈ B× para todo s ∈ S entao existe um unicoφ fazendo o seguinte diagrama comutar (ρ e o mapa de localizacao):

Aφ - B

S−1A

ρ

?

∃!φ-

Esta e a chamada propriedade universal da localizacao. Em termos categoricos, esta propriedade dizque S−1A representa o funtor HomS(A,−) dos morfismos que levam S em unidades, ou seja, composicaocom ρ fornece uma bijecao natural

Hom(S−1A,B)∼- HomS(A,B)

φ 7→ φ ρAs provas de todos estes fatos seguem diretamente das definicoes e sao deixadas a cargo do leitor.

Exemplo 1.4 Seja h ∈ A e S = hn | n ∈ N. Entao temos um isomorfismo φ:S−1A∼- A[x]/(1−hx).

Para construir φ, basta notar que o morfismo de A-algebras A→ A[x]/(1−hx) leva hn em uma unidadepois hx = 1 ⇒ hnxn = 1 em A[x]/(1 − hx), de modo que pela propriedade universal acima, temos ummorfismo φ:S−1A→ A[x]/(1−hx) dado por φ(a/hn) = axn (x “faz o papel” de h−1). Para mostrar queφ e um isomorfismo, basta construir o mapa inverso. Temos que o morfismo de A-algebras A[x]→ S−1Adado por x 7→ 1/h leva 1− xh em 0, logo define um mapa ψ:A[x]/(1 − hx)→ S−1A, e uma verificacaoimediata mostra que ψ φ = id e φ ψ = id, o que conclui a prova.

Podemos tambem localizar modulos (em particular, ideais) e algebras: dado um A-modulo M , alocalizacao S−1M de M com relacao a S e o S−1A-modulo

S−1M =

fracoes m/s com m ∈ M e s ∈ S, onde duas fracoes m1/s1 e m2/s2 saoidentificadas se existe t ∈ S tal que t · (s2m1 − s1m2) = 0 em M

onde as operacoes sao dadas por

m1

s1+m2

s2=s2m1 + s1m2

s1s2

a

t· ms

=am

ts

para todo a ∈ A, s, t ∈ S e m,m1,m2 ∈M . Novamente, verificacoes tediosas mostram que tudo funcionacomo deveria funcionar.

Definicao 1.5 Seja A um anel e M um A-modulo. Para h ∈ A, denotamos por Ah e Mh as localizacoesde A e M com relacao ao conjunto das potencias de h. Se p ∈ SpecA, Ap e Mp denotam as localizacoesde A e M com relacao a A− p.

Localizacao e na verdade um funtor da categoria de A-modulos para a categoria de S−1A-modulos.Se φ:M → N e um morfismo de A-modulos, temos um morfismo induzido de S−1A-modulos

S−1φ:S−1M → S−1N

m

s7→ φ(m)

s

(m ∈M e s ∈ S)

estando tudo bem definido como e facil (e tedioso) verificar. Um fato notavel e que este funtor e exato.

Teorema 1.6 (Localizacao e um funtor exato) Seja A um anel, S um conjunto multiplicativo e

Mφ- N

ψ- P

uma sequencia exata de A-modulos. Entao

S−1MS−1φ- S−1N

S−1ψ- S−1P

e uma sequencia exata de S−1A-modulos.

Prova Note que imS−1φ ⊂ kerS−1ψ ja que S−1ψ S−1φ = S−1(ψ φ) = 0. Para mostrar a inclusaooposta, seja n/s ∈ kerS−1ψ (onde n ∈ N e s ∈ S). Como ψ(n)/s = 0/1 em S−1P existe t ∈ S tal quet · ψ(n) = ψ(t · n) = 0. Pela exatidao da sequencia de A-modulos, existe m ∈ M tal que φ(m) = t · n eportanto (S−1φ)(m/ts) = tn/ts = n/s, o que mostra que n/s ∈ imS−1φ.

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anuladorSequencias exatas podem ser utilizadas para codificar diversas relacoes “lineares” entre modulos.Por exemplo, o teorema anterior possui as seguintes consequencias uteis

Corolario 1.7 Seja A um anel, S um conjunto multiplicativo e φ:M → N um morfismo de A-modulos.

1. se φ e injetor (respectivamente sobrejetor, bijetor) entao o mesmo vale para S−1φ.

2. localizacao comuta com kernels, cokernels e imagens: kerS−1φ ∼= S−1 kerφ, cokerS−1φ ∼=S−1 cokerφ, imS−1φ ∼= S−1 imφ.

3. localizacao tambem comuta com quocientes: se M e um submodulo de N entao S−1(N/M) ∼=S−1N/S−1M .

Prova O primeiro item e uma consequencia do segundo, que pode ser mostrado localizando sequenciasexatas adequadas. Por exemplo, localizando a sequencia exata de A-modulos

0 - kerφ - Mφ- N

obtemos a sequencia exata de S−1A-modulos

0 - S−1 kerφ - S−1MS−1φ- S−1N

o que mostra que kerS−1φ ∼= S−1 kerφ. As provas para cokerφ e imφ sao analogas. Finalmente, oterceiro item segue da localizacao da sequencia exata

0→M → N → N/M → 0

Temos ainda uma importante recıproca para o teorema anterior:

Teorema 1.8 (Um princıpio “local-global”) Seja A um anel.

1. Seja M um A-modulo. Entao

M = 0 ⇐⇒ Mm = 0 para todos os ideais maximais m de A

2. Seja

Mφ- N

ψ- P

um complexo de A-modulos. Se as localizacoes

Mmφm- Nm

ψm- Pm

sao exatas para todos os ideais maximais m de A entao o complexo anterior de A-modulos eexato. Em particular, um morfismo de A-modulos e injetor (respectivamente sobrejetor) se, eso se, todas as localizacoes com relacao aos ideais maximais possuem a mesma propriedade.

Prova O segundo item segue do primeiro aplicado ao A-modulo kerψ/ imφ e do fato de que localizacaoe um funtor exato e portanto (kerψ/ imφ)m = (kerψ)m/(imφ)m = kerψm/ imφm.

Resta provar o primeiro item, e a implicacao⇒ e clara. Para mostrar⇐, seja m ∈M ; vamos provarque m = 0. Para isto, considere o anulador de m

ann(m)def= a ∈ A | a ·m = 0

que claramente e um ideal de A. Temos que mostrar que ann(m) = A e para isto basta mostrar queann(m) 6⊂ m para todo ideal maximal m. Mas isto segue do fato de Mm = 0: como m/1 = 0/1, existeum s ∈ A \m tal que sm = 0 ⇐⇒ s ∈ ann(m) e portanto ann(m) 6⊂ m.

Como estamos acrescentando unidades ao anel A, um efeito colateral da localizacao e o “massacre deideais”. Isto simplifica o anel original e e um dos motivos que tornam a localizacao um dos instrumentosmais uteis no estudo de aneis.

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30 Manobras Basicas

Teorema 1.9 (Localizacao e Ideais) Seja A um anel e S um conjunto multiplicativo. Denote porρ:A→ S−1A o mapa de localizacao.

1. Todo ideal de S−1A e da forma S−1a para algum ideal a de A.

2. O mapa de espectrosSpec(ρ): SpecS−1A → SpecA

e injetor e tem como imagem o conjuntos dos primos p de A tais que p∩ S = ∅; a pre-imagemde um tal p e dada por S−1p.

Prova Primeiramente note que se a ⊂ A e um ideal de A, entao S−1a ⊂ S−1A sera um S−1A-submodulode S−1A, isto e, um ideal de S−1A, pois localizacao, sendo exata, preserva injetividade. Reciprocamente,

se b e um ideal de S−1A, defina adef= ρ−1b. E facil ver que a e um ideal de A e que S−1a ⊂ b. Por outro

lado, se b/s ∈ b (b ∈ A, s ∈ S) entao multiplicando por s/1 obtemos ρ(b) = b/1 ∈ b, ou seja, b ∈ a. Logob ⊂ S−1a e portanto devemos ter a igualdade, o que prova o item 1.

Para o item 2, seja DS ⊂ SpecA o conjunto dos primos p tais que p ∩ S = ∅. Note primeiramenteque a imagem de Spec(ρ) esta contida em DS : se p = Spec(ρ)(q) ⇐⇒ p = ρ−1q e ha um elementos ∈ S ∩ p entao ρ(s) ∈ q, mas como ρ(s) e unidade em S−1A, isto e impossıvel. Observe ainda que parap ∈ DS , a ∈ A e s ∈ S temos

a

s∈ S−1p ⇐⇒ a ∈ p (∗)

A implicacao⇐ e obvia; por outro lado, se a/s ∈ S−1p, entao existem p ∈ p e t ∈ S tais que a/s = p/t eisto por sua vez implica que existe um r ∈ S tal que r(at− ps) = 0. Portanto rta ∈ p e, como p∩ S = ∅,a deve pertencer a p.

Agora mostremos que S−1p ∈ SpecS−1A quando p ∈ DS : primeiro, S−1p e um ideal proprio pois

caso contrario terıamos 1/1 ∈ S−1p ⇒ 1 ∈ p por (∗); por outro lado, se as · a

′

s′ ∈ S−1p (a, a′ ∈ A es, s′ ∈ S) entao aa′ ∈ p novamente por (∗), assim ou a ou a′ pertence a p, isto e, ou a/s ou a′/s′ devepertencer a S−1p, como requerido.

Finalmente provemos que Spec(ρ): SpecS−1A→ DS e o mapa no sentido oposto p 7→ S−1p, p ∈ DS ,sao inversos um do outro e portanto estabelecem uma bijecao entre SpecS−1A e DS . Se p ∈ DS entaoSpec(ρ)(S−1p) = p por (∗). Agora, dado q ∈ SpecS−1A, se p = Spec(ρ)(q) temos que q = S−1p peloitem 1. Isto completa a demonstracao.

Exemplo 1.10 (Localizacao em um elemento) Seja h ∈ A e considere o anel localizado Ah commapa de localizacao ρ:A → Ah. Neste caso, o conjunto multiplicativo e o das potencias de h e temosque a imagem de Spec(ρ): SpecAh → SpecA e justamente D(h), o domınio de 1/h: como h/1 e umaunidade em Ah, todos os primos que contem h sao mortos durante a localizacao.

Exemplo 1.11 (Localizacao em um ideal primo) Seja p ∈ SpecA a e considere o anel localizadoAp com mapa de localizacao ρ:A→ Ap. Neste caso, temos que o conjunto multiplicativo sendo invertidoe o S = A \ p e a imagem de Spec(ρ): SpecAp → SpecA consiste nos primos contidos em p; todos osdemais primos sao “assinados” quando invertemos os elementos de S. Desta forma, Ap possui um unicoideal maximal S−1p, que usualmente denotamos por pAp (o ideal gerado por ρ(p)). Como localizacaocomuta com quociente e a imagem de S em A/p consiste nos elementos nao nulos deste anel, temos queo corpo

k(p) def= Ap/pAp = S−1(A/p) = Frac(A/p)

e o corpo de fracoes do domınio A/p (lembre-se de que p e primo!). Este corpo k(p) e chamado corporesidual de p.

Note os efeitos complementares da localizacao e do quociente: enquanto Spec(ρ): SpecAp → SpecA“filtra” os ideais primos contidos em p, o mapa de espectros Spec(q): SpecA/p → SpecA associado aomapa quociente q:A ։ A/p tem como imagem V (p), a variedade cortada por p, que consiste em todosos ideais primos que contem p. Combinando localizacao e quociente, podemos desta forma selecionarqualquer conjunto de primos que desejamos estudar. Por exemplo, o mapa f : Spec k(p) → SpecAassociado a composicao

Aρ- Ap

-- k(p)

tem como imagem exatamente o primo p pois f e a composicao

Spec k(p) → SpecAp → SpecA

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radicalnilradical

e a imagem do primeiro mapa e pAp, que e levado em p pelo segundo mapa. Em outras palavras, oquociente e a localizacao filtram os primos que contem e que estao contidos em p e o que sobre e apenaso primo p.

2 Localizacao em Acao

Vejamos em alguns exemplos praticos como a utilizacao da localizacao pode simplificar o estudo de aneis.

2.1 Nilradical

Definicao 2.1.1 Seja A um anel e a um ideal de A. O radical de a e definido como

√a

def= a ∈ A | an ∈ a para algum n ≥ 1

O nilradical de A e definido como o conjunto de todos os elementos nilpotentes de A, i.e., como√(0).

Observe que√a e de fato um ideal: se a ∈ √a, entao e claro que ra ∈ √a para qualquer r ∈ A; por

outro lado, se a, b ∈ √a, podemos escolher n grande o suficiente de modo que an e bn estao ambos em a.Entao

(a+ b)2n =∑

0≤i≤2n

(2n

i

)aib2n−i ∈ a

pois ou i ≥ n e portanto ai ∈ a ou i ≤ n ⇐⇒ 2n− i ≥ n e portanto b2n−i ∈ a. Assim, a+ b ∈ √a.Ha uma conexao muito forte entre o nilradical e os primos de um anel. Se p ∈ SpecA e a ∈

√(0),

entao para algum n temosan = 0⇒ an ∈ p⇒ a ∈ p

Portanto um elemento nilpotente pertence a todo ideal primo de A:

√(0) ⊂

⋂

p∈SpecA

p

Na verdade, a inclusao acima e uma igualdade! Para mostrar isto, vamos provar que para todo h /∈√(0)

existe p ∈ SpecA tal que h /∈ p. Como o mapa SpecAh → SpecA associado ao mapa de localizacao temimagem D(h), mostrar a existencia de tal primo e equivalente a mostrar que SpecAh 6= ∅ ⇐⇒ Ah 6= 0.Mas Ah = 0 se, e so se, 1/1 = 0/1 em Ah, isto e, se, e so se, existe um n tal que hn(1 · 1− 1 · 0) = 0 emA, ou seja, se, e so se, h e nilpotente. Com isto, acabamos de provar o

Teorema 2.1.2 Para qualquer anel A,√(0) =

⋂p∈SpecA p.

Aplicando o teorema acima para A/a no lugar de A e observando que o nilradical de A/a correspondeao radical de a na correspondencia de ideais, obtemos o

Corolario 2.1.3 Para qualquer ideal a do anel A,√a =

⋂p∈V (a) p.

Exemplo 2.1.4 Seja k um corpo e considere o anel A = k[x1, . . . , xn], um domınio de fatoracao unica.Se f ∈ A e um elemento nao nulo e

f = u · pe11 . . . perr , u ∈ k×

e a fatoracao de f em potencias de polinomios monicos irredutıveis p1, . . . , pr ∈ A, entao utilizando afatoracao unica concluımos que

√(f) = (p1 . . . pr) = (p1) ∩ · · · ∩ (pr)

Por outro lado, observe que se p ∈ SpecA entao f ∈ p⇒ pi ∈ p para algum i e, como os pi sao irredutıveisem A, (pi) ja sao ideais primos, donde concluımos que os (pi) sao os ideais primos minimais contendo

(f). Pelo corolario acima,√(f) e a interseccao dos (pi), o que concorda com a computacao direta feita

acima. Assim, obtemos uma comprovacao experimental do teorema anterior!

Vejamos agora algumas aplicacoes no estudo da topologia de Zariski.

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32 Manobras Basicas

elementos idempotentesLemma 2.1.5 Seja A um anel, a e b ideais e g, h ∈ A.1. V (a) ⊂ V (b) ⇐⇒ a ⊂

√b. Em particular, V (a) = V (b) ⇐⇒ √

a =√b.

2. D(h) ⊂ D(g) ⇐⇒ h ∈√(g).

Teorema 2.1.6 (Morfismo Dominante) Seja A ⊂ B uma inclusao de domınios. Entao o mapaf : SpecB → SpecA e dominante, i.e., sua imagem e densa.

Prova Devemos mostrar que a imagem de f intercepta qualquer aberto nao vazio. Para isto, note que,para um aberto basico D(h) ⊂ SpecA nao vazio, isto e, com h 6= 0, temos

f−1(D(h)

)= D(h) ⊂ SpecB,

que tambem e nao vazio.

Dizemos que um anel A e decomponıvel se existe um isomorfismo A ∼= B ×C para dois aneis naonulos B e C. Neste caso, os elementos e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) satisfazem as relacoes

e1 + e2 = 1 e21 = e1 e22 = e2 e1e2 = 0

Dois elementos nao nulos e1 e e2 de um anel qualquer A sao chamados de idempotentes ortogonaisse as relacoes acima se verificam. Observe que as duas ultimas identidades seguem das duas primeiras.Temos que um anel A e decomponıvel se, e so se, possui idempotentes ortogonais: ja vimos uma dasdirecoes; para mostrar a recıproca observe que se e1, e2 ∈ A sao entao sao idempotentes ortogonais,podemos definir subaneis B = Ae1 e C = Ae2 de A e e facil verificar que os mapas

A∼- B × C

a 7→ (ae1, ae2)

B × C ∼- A

(b, c) 7→ b + c

sao isomorfismos inversos um do outro.

Lemma 2.1.7 Seja A um anel e seja a um ideal tal que a ⊂√(0). Entao

A/a e decomponıvel ⇐⇒ A e decomponıvel

Prova (⇐) Sejam e1, e2 ∈ A idempotentes ortogonais; entao suas imagens e1, e2 ∈ A/a tambem sao

idempotentes ortogonais: basta verificar que eles nao sao nulos. Mas se ei = 0 entao ei ∈ a ⊂√(0), logo

eni = 0 para algum n. Aplicando a relacao e2i = ei varias vezes, obtemos ei = 0, uma contradicao.

(⇒) Sejam e1, e2 ∈ A/a idempotentes ortogonais e seja e1 ∈ A uma pre-imagem de e1. Defina e2 = 1−e1,que e uma pre-imagem de e2. Como e1e2 = 0, temos e1e2 ∈ a ⊂

√(0) e portanto (e1e2)

n = 0 para algumn. Da expansao de (e1 + e2)

2n, definimos dois novos elementos

e′1def= e2n1 +

(2n

1

)e2n−11 e2 +

(2n

2

)e2n−21 e22 + · · ·+

(2n

n− 1

)en+11 en−1

2

e′2def= e2n2 +

(2n

2n− 1

)e1e

2n−12 +

(2n

2n− 2

)e21e

2n−22 + · · ·+

(2n

n+ 1

)en−11 en+1

2

de modo que

e′1 + e′2 = e′1 + e′2 +

(2n

n

)en1 e

n2 = (e1 + e2)

2n = 1

Alem disso e′1e′2 = 0 pois e uma soma de elementos da forma ei1e

j2 com i, j ≥ n. Como e1e2 ∈ a, temos

que e′i tambem e uma pre-imagem de ei = e2ni para i = 1, 2 e como acima temos que e′i 6= 0. Assim, e′1 ee′2 sao idempotentes ortogonais de A, que e portanto decomponıvel.

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FibraTeorema 2.1.8 (Conexidade e Indecomponibilidade) Seja A um anel. Entao SpecA e desconexose, e so se, A e decomponıvel.

Prova Sendo B e C dois aneis nao nulos, temos uma uniao disjunta

SpecB × C = V (a) ⊔ V (b) onde a = (0)× C e b = B × (0)

Como a e b sao ideais proprios de A × B, os conjuntos fechados V (a) e V (b) sao nao vazios e assimSpecB × C e desconexo.

Reciprocamente, se SpecA e desconexo, digamos SpecA = V (a) ⊔ V (b) para dois ideais proprios ae b entao

V (a) ∩ V (b) = ∅V (a) ∪ V (b) = SpecA

⇐⇒V (a+ b) = V

((1))= ∅

V (ab) = V((0))= SpecA

⇐⇒a+ b = (1)ab ⊂

√(0)

Assim, pelo teorema chines dos restos temos um isomorfismo

A

ab=

A

a ∩ b=A

a× A

b

Como a e b sao proprios, os aneis A/a e A/b sao nao nulos e assim A/ab e decomponıvel. Pelo lemaanterior, temos portanto que A e decomponıvel.

2.2 Fibras

Agora vamos utilizar o par localizacao/quociente na descricao de fibras. Fibra e somente um nomepomposo para a pre-imagem de um ponto. No nosso caso, estamos interessados em obter as fibras demapas entre espectros:

Teorema 2.2.1 (Fibras) Seja φ:A → B um morfismo de aneis e seja f : SpecB → SpecA o mapacorrespondente de espectros. Seja p ∈ SpecA e seja S = A− p. Entao o mapa

SpecS−1(B/pB)→ SpecB

associado ao mapa natural B → S−1(B/pB) estabelece uma bijecao

ideais primos em SpecS−1(B/pB)↔ ideais primos em f−1(p)

Observe que no teorema acima estamos interpretamos B como uma A-algebra via φ, de modo quepB denota o ideal de B gerado por φ(p) e assim por diante.

Vamos analisar separadamente o efeito do quociente e da localizacao. O primeiro da origem aosseguintes diagramas comutativos

B/pB B

A/p

φ

6

A

φ

6SpecB/pB ⊂ - SpecB

SpecA/p

Specφ

?⊂ - SpecA

Spec φ

?

onde φ e o mapa induzido por φ, ou seja, φ(a) = φ(a) para todo a ∈ A. Note que o mapa SpecA/p →SpecA identifica SpecA/p com V (p). Vamos mostrar que a imagem de SpecB/pB → SpecB consiste

justamente na pre-imagem (Specφ)−1V (p), de modo que no segundo diagrama Spec φ pode ser interpre-tado como a “restricao” de Specφ ao conjunto V (p) e a sua pre-imagem (as fibras de V (p)). De fato, umprimo q ∈ SpecB esta na imagem de SpecB/pB → SpecB se, e so se, q ⊃ pB. Mas pB e o ideal de B ger-ado por φ(p), assim a ultima condicao e equivalente a q ⊃ φ(p) ⇐⇒ φ−1q ⊃ p ⇐⇒ Spec(φ)(q) ∈ V (p),que era o querıamos provar.

Da mesma forma, temos diagramas comutativos

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34 Manobras Basicas

S−1B B

S−1A

S−1φ

6

A

φ

6

SpecS−1B ⊂ - SpecB

SpecS−1A

SpecS−1φ

?⊂ - SpecA

Specφ

?

onde os mapas horizontais no primeiro diagrama sao os mapas de localizacao. Vamos mostrar queSpecS−1φ pode ser interpretado como o conjunto das fibras dos primos de A que estao contidos em p,ou seja, vamos mostrar que a imagem de SpecS−1B → SpecB e a pre-imagem por Spec φ do conjuntodos primos de A contidos em p. A imagem de SpecS−1B → SpecB consiste dos primos q de B tais queq∩φ(S) = ∅ (lembre-se de que o produto de um elemento de A por um de B e feito via o morfismo baseφ e que portanto S−1B denota na verdade a localizacao de B com relacao ao conjunto multiplicativoφ(S)). Porem q ∩ φ(S) = ∅ ⇐⇒ φ−1q ∩ S = ∅, ou seja, Spec(φ)(q) ⊂ p, como desejado.

O teorema agora segue compondo os dois resultados acima:

S−1(B/pB) B/pB B

S−1(A/p)

S−1φ

6

A/p

φ

6

A

φ

6SpecS−1(B/pB) ⊂- SpecB/pB ⊂ - SpecB

SpecS−1(A/p)

SpecS−1φ

?⊂ - SpecA/p

Specφ

?⊂ - SpecA

Specφ

?

Note que S−1(A/p) = k(p) e o corpo residual de p, logo SpecS−1(A/p) consiste em um unico ponto,cuja imagem em SpecA e justamente p. Assim, o mapa SpecS−1(B/pB) → SpecB tem como imagemprecisamente a fibra de p.

Exemplo 2.2.2 (Calculo do SpecC[x, y]) Considere a inclusao φ:C[x] → C[x, y]. Vamos calcular asfibras de Spec φ. Temos dois casos:

• Fibra de p = (x− a), a ∈ C. Seja S = C[x] \ p. Temos

S−1( C[x, y](x− a)

) x 7→a∼= C[y]

Assim, temos que os primos na fibra de p sao da forma (x − a) e (x − a, y − b) com b ∈ C, que saorespectivamente as imagens de (0) e (y − b) pelo mapa SpecC[y] → SpecC[x, y].• Fibra de p = (0): seja S = C[x] \ 0. Temos S−1C[x, y] = C(x)[y], que e um domınio de ideaisprincipais visto que C(x) e um corpo. Assim, SpecC(x)[y] consiste no primo (0) e nos ideais principais(f(x, y)

)gerados por elementos irredutıveis f(x, y) ∈ C(x)[y]. Sem perda de generalidade, podemos

supor que f(x, y) ∈ C[x, y] pois podemos multiplica-lo por um polinomio nao nulo em C[x] (que euma unidade em C(x)[y], logo nao altera o ideal). Mais ainda, podemos supor que os coeficientes def(x, y) ∈ C[x][y], visto como polinomio em y, sao primos entre si (ou seja, f(x, y) e primitivo). Pelolema de Gauß, temos que f(x, y) e irredutıvel em C(x)[y] se, e so se, e irredutıvel em C[x, y]. Assim,

SpecC(x)[y] = (0) ∪ (f(x, y)

)| f(x, y) ∈ C[x, y] \ C[x] e e irredutıvel em C[x, y]

A imagem de (0) por SpecC(x)[y]→ SpecC[x, y] e (0), enquanto que a imagem de q =(f(x, y)

)⊂ C(x)[y]

e q∩C[x, y], que e(f(x, y)

)⊂ C[x, y]: se f(x, y)g(x, y)/s(x) ∈ C[x, y]∩ q, g(x, y) ∈ C[x, y] e s(x) ∈ C[x],

pela fatoracao unica em C[x, y] temos s(x) | g(x, y) ja que f(x, y) e primitivo, logo f(x, y)g(x, y)/s(x) emultiplo de f(x, y) em C[x, y].

Exemplo 2.2.3 (Blow-up) Considere o mapa f : SpecC[x, y, z]/(y−zx)→ SpecC[x, y] correspondenteao morfismo de C-algebras φ:C[x, y] → C[x, y, z]/(y − xz) dado por φ(x) = x e φ(y) = y. Note que φe injetor, de modo que podemos identificar A = C[x, y] como um subanel de B = C[x, y, z]/(y − zx).Geometricamente, A e o anel de funcoes polinomiais do plano complexo C2 enquanto que B e o anelde funcoes polinomiais na superfıcie em C3 de equacao y = zx, que e uma uniao de retas (para z = mconstante, y = mx e a reta de coeficiente angular m, desenhada na “altura” z = m). O mapa fcorresponde a projecao da superfıcie no “plano xy”.

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anel localcorpo residualmorfismo local

Vamos calcular a fibra de um ideal maximal da forma m = (x − a, y − b) ∈ SpecA. Temos uma bijecaode f−1m com SpecS−1(B/mB), onde S = A \m e

S−1( B

mB

)= S−1

( B

(x − a, y − b))= S−1

( C[x, y, z](x− a, y − b, y − xz)

) x 7→ay 7→b∼= C[z]

(b − az)

Note que como m consiste nos polinomios que se anulam em (a, b), temos que no ultimo isomorfismotodos os elementos de S sao levados em constantes nao nulas, que ja sao inversıveis em C[z].Agora temos alguns casos a analisar. Se a 6= 0, C[z]/(b− az) ∼= C e a fibra consiste em um unico ponto.Para encontra-lo, basta tomar a imagem de SpecC → SpecB associada ao morfismo B → C que mapeiax 7→ a, y 7→ b, z 7→ b/a. Tal ponto e o ideal maximal (x − a, y − b, z − b/a) ⊂ B, que geometricamentecorresponde ao ponto (a, b, b/a) ∈ C3 da superfıcie y = xz, que e o unico que projeta no ponto (a, b) ∈ C2.

Agora se a = 0 e b 6= 0, C[z]/(b−az) = 0 e a fibra e vazia. Finalmente, se a = b = 0, C[z]/(b−az) = C[z]e a fibra e a imagem do mapa SpecC[z] → SpecB associado ao morfismo B → C[z] que mapeia x 7→ 0,y 7→ 0, z 7→ z. Temos neste caso

f−1(x, y) = (x, y) ∪ (x, y, z − d) | d ∈ C

onde o ideal (x, y) e a imagem de (0) ∈ SpecC[z] enquanto que (x, y, z − d) e a imagem de (z − d) ∈SpecC[z]. Geometricamente esta fibra e uma reta, com um ponto denso correspondente a (x, y) e pontosfechados correspondentes aos pontos (0, 0, d) ∈ C3 da superfıcie y = xz, que sao justamente os pontoscuja projecao e a origem (0, 0) ∈ C2.

Calculemos agora a fibra do ideal primo p = (y2 − x2(x + 1)) ∈ SpecA. Sendo S = A \ p, temos

S−1( B

mB

)= S−1

( B

(y2 − x2(x+ 1))

)= S−1

( C[x, y, z](y2 − x2(x+ 1), y − xz)

)

=S−1C[x, y, z]

((xz)2 − x2(x + 1), y − xz) =S−1C[x, y, z]

(z2 − (x + 1), y − xz) =S−1C[x, z]

(z2 − (x + 1))∼= S−1C[z]

Aqui, no antipenultimo isomorfismo utilizamos o fato de x ser unidade em S−1C[x, y, z] ja que x ∈ S.O penultimo isomorfismo e dado por x 7→ x, y 7→ xz, z 7→ z e o ultimo, por x 7→ z2 − 1, z 7→ z. Noteque S−1C[z] = C(z), o corpo de fracoes de C[z], pois qualquer fracao em C[z] pode ser escrita comof(z)g(z) = f(z)g(−z)

g(z)g(−z) com denominador g(z)g(−z) que e uma funcao par, ou seja, so possui monomios cujos

expoentes sao pares. Mas qualquer polinomio par e a imagem de algum polinomio h(x) ∈ S na variavelx apenas, ja que a composicao ψ dos isomorfismos acima leva x 7→ z2 − 1.

A fibra consiste portanto em um unico elemento, que e pela imagem do mapa SpecC(z) → SpecBassociado ao morfismo ψ:B → C(z) que leva x 7→ z2 − 1, y 7→ z(z2 − 1), z 7→ z. Esta imagem e o idealprimo ψ−1(0) = (z2 − x− 1) de B. De fato, e claro que ψ−1(0) = kerψ contem (z2 − x − 1) e portantoψ induz um morfismo ψ:B/(z2 − x − 1)→ C(z). Assim, para mostrar a inclusao oposta basta verificarque ψ e injetor. Como B/(z2− x− 1) = C[x, y, z]/(z2− x− 1, y− xz) ∼= C[z], onde o ultimo isomorfismo

leva x 7→ z2 − 1 e y 7→ z(z2 − 1), seguindo os varios isomorfismos concluımos que ψ:C[z] → C(z) nao enada alem do mapa de inclusao, o que encerra a prova.

Geometricamente, este primo (z2− x− 1) corresponde a “abrir” a curva singular y2 = x2(x+1): os dois“ramos” que passam pela origem tem direcoes tangentes distintas, logo sao levadas a alturas diferentes.Obtemos assim a curva nao singular z2 = x + 1 sobre a superfıcie y = xz, como ilustra a figura aseguir. Observe ainda na figura que cada ponto (a, b) ∈ C2 do plano de baixo tem uma unica pre-imagem(a, b, b/a) na superfıcie, a excecao da origem, cuja pre-imagem e uma reta.

2.3 Aneis Locais

Definicao 2.3.1 Um anel local A e um anel que possui um unico ideal maximal m. O quocientek = A/m e chamado de corpo residual. Escrevemos (A,m, k) para denotar um anel local A com idealmaximal m e corpo residual k.

Um morfismo φ:A → B entre dois aneis locais (A,m, k) e (B, n, l) e um morfismo local se φ−1n = m

ou, equivalentemente, φ(m) ⊂ n. Note que um morfismo local induz um morfismo injetivo de corposresiduais φ: k → l dado por a mod m 7→ φ(a) mod n para a ∈ A.

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36 Manobras Basicas

truque do determinanbase minimal

Fibra de p = (y2 − x2(x + 1))

Observe que, em qualquer anel A,

u ∈ A× ⇐⇒ (u) = A ⇐⇒ u nao pertence a nenhum ideal maximal de A (veja teorema II.2.8)

Desta forma, um anel A e local se, e somente se, A \ A× e um ideal. De fato, se A e local com idealmaximal m, entao u ∈ A× ⇐⇒ u /∈ m pela observacao acima e assim m = A \ A×. Por outro lado, seA \ A× e um ideal, todo ideal proprio de A esta necessariamente contido em A \ A×, que e portanto ounico ideal maximal de A.

Em vista do princıpio local-global (teorema 1.8), diversas questoes sobre aneis gerais podem serreduzidas a aneis locais, que possuem portanto um papel central em algebra comutativa. Um dosprincipais resultados sobre aneis locais e o aparentemente inocuo

Lema 2.3.2 (Nakayama) Seja (A,m, k) um anel local, a um ideal proprio de A e M um A-modulofinitamente gerado.

1. Se aM =M entao M = 0.

2. Se N e um submodulo de M tal que M = N + aM entao M = N .

Prova O segundo item segue diretamente do primeiro aplicado ao A-modulo M/N . Para provar oprimeiro item, utilizaremos o famoso truque do determinante. Seja ω1, . . . , ωn geradores de M . Porhipotese, existem aij ∈ a ⊂ m tais que

ω1 = a11ω1 + a12ω2 + · · ·+ a1nωn

ω2 = a21ω1 + a22ω2 + · · ·+ a2nωn

...

ωn = an1ω1 + a2nω2 + · · ·+ annωn

Considere a matriz n × n dada por T = (aij) e seja I a matriz identidade de ordem n. Em notacaomatricial, podemos escrever o “sistema linear” acima como (I − T ) · w = 0, onde 0 denota a matrizcoluna n × 1 nula e w e a matriz coluna cujas entradas sao os ωi. Multiplicando pela matriz adjunta,obtemos det(I − T ) · ωi = 0 para i = 1, . . . , n. Porem, como aij ∈ m, temos det(I − T ) ≡ det I = 1(mod m), ou seja, det(I − T ) ∈ A× e assim ωi = 0 para todo i, mostrando que M = 0.

Como aplicacao, vamos mostrar que para um modulo finitamente gerado sobre um anel local, onumero de elementos em um conjunto minimal de geradores (com relacao a inclusao) e o mesmo, inde-pendentemente do conjunto escolhido:

Corolario 2.3.3 (Bases Minimais) Seja (A,m, k) um anel local e M um A-modulo finitamentegerado. Entao qualquer conjunto minimal de geradores de M possui dimkM/mM elementos.

Prova Seja d = dimkM/mM e seja ω1, . . . , ωn um conjunto minimal de geradores de M . Temos que asimagens ω1, . . . , ωn ∈ M/mM dos ωi geram o k-espaco vetorial M/mM e portanto n ≥ d. Na verdade,n = d, ou seja, os ωi formam uma base. Caso contrario, terıamosm < n elementos ω1, . . . , ωm (digamos)

que gerariamM/mM . Mas neste caso o submodulo Ndef= Aω1+ · · ·+Aωm de M satisfaz M = N +mM

e por Nakayama terıamos que M = N , ou seja, ω1, . . . , ωm gerariam M , contrariando a minimalidadedo conjunto de geradores acima.

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Mas atencao! Embora um conjunto minimal de geradores receba o nome de base minimal, esteconjunto nao forma uma base em geral! Ou seja, estes elementos nao sao necessariamente linearmenteindependentes.

Exemplo 2.3.4 Seja B = C[x, y]/(y2 − x2(x+ 1)) e considere o ideal maximal n = (x, y) de B. Vamosdeterminar o numero mınimo de geradores do ideal maximal nBn do anel local Bn. Temos inicialmenteque o corpo residual de Bn e FracB/n = C. Agora seja A = C[x, y] e considere o ideal maximal m = (x, y)de A. Temos que Bn = Am/(y

2−x2(x+1)) e como mAm ⊃ (y2−x2(x+1)) e (mAm)2 ⊃ (y2−x2(x+1)),

pela correspondencia de ideais obtemos que o numero mınimo de geradores de nBn e

dimC

nBn

(nBn)2= dimC

mAm

(mAm)2

e este ultimo espaco vetorial tem dimensao 2. De fato, vamos verificar que os elementos x e y demAm/(mAm)

2 sao linearmente independentes sobre C. Se a, b ∈ C sao tais que ax + by = 0 ⇐⇒ax+by ∈ mAm, entao existem polinomios p(x, y), q(x, y), r(x, y) ∈ A e s(x, y) ∈ A\m (isto e, s(0, 0) 6= 0)tais que

ax+ by =p(x, y) · x2 + q(x, y) · xy + r(x, y) · y2

s(x, y)

Substituindo y = 0, concluımos que a = p(x, 0) · x/s(x, 0), isto e, a pertence ao ideal maximal (x) doanel local C[x](x), o que so e possıvel se a = 0. Analogamente, mostra-se que b = 0, o que completa aprova da afirmacao.

Agora seja p = (x + 1, y) ⊂ A e q = (x + 1, y) ⊂ B. Vamos determinar o numero mınimo de geradoresdo ideal maximal do anel local Bq. Como acima, temos que este numero e

dimC

qBq

(qBq)2= dimC

pAp

(y2 − x2(x+ 1)) + (pAp)2

(note que agora (pAp)2 6⊃ (y2 − x2(x + 1)), por isso o ideal correspondente em Ap muda). Como x e

unidade em Ap, temos que (y2− x2(x+1))+ (pAp)2 = (y2− x2(x+1), y2, (x+1)y, (x+1)2) = (y), logo

o ultimo quociente acima e gerado apenas por x+ 1, ou seja, e de dimensao 1 e, assim, qBq = (x+ 1) eum ideal principal.

Geometricamente, temos que B e o anel de funcoes polinomiais da curva complexa plana y2 = x2(x+1)e que n corresponde a origem (0, 0) ∈ C2, enquanto que q corresponde ao ponto (−1, 0) ∈ C2. Sendo umacurva (dimensao 1), intuitivamente espera-se que, localmente, um ponto seja determinado pelos zeros deum unico elemento de B, como ocorre com o ponto regular (−1, 0), que e definido por x + 1 = 0 (noteque x + 1 e justamente o gerador de nBn). Entretanto, o ponto (0, 0) e singular, e portanto nao podeser definido pelos zeros de um unico elemento, precisamos de pelo menos dois elementos. Por exemplo,a equacao y = 0 define dois pontos (−1, 0) e (0, 0) sobre a curva, enquanto que x = 0 define um “pontoduplo” (0, 0) pois o “anel de funcoes” correspondente Bn/(x) ∼= C[y]/(y2) nao e exatamente C, mas umaalgebra de dimensao 2 sobre C.

(−1, 0) (0, 0)

A curva y2 = x2(x+ 1)

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38 Manobras Basicas

mapa bilinearproduto tensorial

Observacao 2.3.5 Se A e um anel qualquer e m e um ideal maximal de A, o corpo residual do anellocal Am e k = A/m e temos um isomorfismo de k-espacos vetoriais

m

m2=

mAm

(mAm)2

o que permite simplificar o calculo do exemplo anterior. Para provar o isomorfismo acima, seja S = A\m.Basta observar que as imagens dos elementos de S ja sao inversıveis em k = A/m e assim, utilizando acomutatividade entre localizacao e quociente, temos

mAm

(mAm)2= S−1

( m

m2

)=

m

m2

3 Produto Tensorial

3.1 Definicao e Propriedades Basicas

Seja A um anel e sejam M , N e T A-modulos. Um mapa bilinear f :M ×N → T e uma funcao que eA-linear em cada entrada separadamente: para todo m,m′ ∈M , n, n′ ∈ N e a ∈ A,1. f(am, n) = af(m,n) = f(m, an)

2. f(m+m′, n) = f(m,n) + f(m′, n)

3. f(m,n+ n′) = f(m,n) + f(m,n′)

O conjunto de todos os mapas bilineares de M ×N a T sera denotado por BilA(M ×N, T ).O produto tensorialM⊗AN deM e N (denotado tambem porM⊗N se A e claro pelo contexto)

e definido como o quociente

M ⊗A N def=

⊕(m,n)∈M×N A · e(m,n)

R

do A-modulo livre⊕

(m,n)∈M×N A · e(m,n) com base e(m,n) pelo submodulo R gerado pelos elementos da

forma

1. e(am,n) − a · e(m,n); e(m,an) − a · e(m,n)2. e(m+m′,n) − e(m,n) − e(m′,n)

3. e(m,n+n′) − e(m,n) − e(m,n′)

onde m,m′ ∈M , n, n′ ∈ N e a ∈ A. Denotamos a imagem de e(m,n) em M ⊗A N por m⊗ n (chamadosde tensores elementares). Assim, os tensores elementares geram M ⊗A N e um elemento arbitrariode M ⊗A N pode ser escrito como uma soma finita m1 ⊗ n1 + · · · +mk ⊗ nk de tensores elementares.Em M ⊗A N , 1–3 acima dao origem as relacoes correspondentes

1. (am)⊗ n = a(m⊗ n) = m⊗ (an)

2. (m+m′)⊗ n = m⊗ n+m′ ⊗ n3. m⊗ (n+ n′) = m⊗ n+m⊗ n′

e assim o produto tensorial vem equipado de fabrica com um mapa bilinear

⊗:M ×N →M ⊗A N(m,n) 7→ m⊗ n

A “raison d’etre” da construcao acima e a seguinte propriedade universal, que caracteriza o produtotensorial a menos de isomorfismo: para qualquer “modulo de teste T ”, dado um mapa bilinear f ∈BilA(M ×N, T ), existe um unico morfismo de A-modulos f :M ⊗A N → T fazendo o seguinte diagramacomutar:

M ×N f - T

M ⊗N

⊗

?

∃!f-

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De fato, como f e bilinear, o kernel do mapa

⊕

(m,n)∈M×NA · e(m,n) → T

∑

i

aie(mi,ni) 7→∑

i

aif(mi, ni)

contem o submodulo A, logo define um unico mapa f :M ⊗A N → T dado por f(∑i ai(mi ⊗ ni)) =∑

i aif(mi, ni) e que faz o diagrama anterior comutar. Em outras palavras, temos uma bijecao

HomA(M ⊗A N, T ) = BilA(M ×N, T )f 7→ f ⊗

Assim, em termos categoricos, o produto tensorial representa o funtor BilA(M × N,−). Note que apropriedade universal acima diz que e muito facil construir um morfismo partindo de M ⊗A N : bastaconstruir uma aplicacao bilinear partindo de M ×N .

O produto tensorial e uma ferramenta geral que inclui diversas outras construcoes como quocientes elocalizacoes. O seguinte teorema lista as propriedades basicas que permitem escrever o produto tensorialem termos que nos sao mais familiares:

Teorema 3.1.1 (Isomorfismos Basicos) Seja A um anel. Temos isomofismos

1. (associatividade) (M ⊗A N)⊗A P =M ⊗A (N ⊗A P ) dado por (m⊗ n)⊗ p 7→ m⊗ (n⊗ p);2. (elemento neutro) A⊗AM =M dado por a⊗m 7→ am;

3. (comutatividade) M ⊗A N = N ⊗AM dado por m⊗ n 7→ n⊗m;

4. (distributividade) M ⊗A(⊕

Ni)=⊕

(M ⊗A Ni) dado por m⊗ (ni) 7→ (m⊗ ni);5. (localizacao) para qualquer conjunto multiplicativo S de A, (S−1A) ⊗A M = S−1M dado por

(a/s)⊗m 7→ am/s;

6. (quociente) para qualquer ideal a de A, M ⊗A (A/a) =M/aM dado por m⊗ a 7→ am.

7. (produto tensorial comuta com limite direto) se Mi e um sistema direto de A-modulos e N eum A-modulo qualquer entao

( lim−→Mi)⊗A N = lim−→(Mi ⊗A N)

Prova As provas sao simples, consistindo em verificar que os mapas acima estao bem definidos utilizandoa propriedade universal e em construir morfismos inversos explıcitos para estes mapas. A tıtulo deexemplo, provemos (6). Observe que o mapa M × (A/a) → M/aM dado por (m, a) 7→ am independeda escolha do representante de classe de a; alem disso, ele e A-bilinear, logo pela propriedade universaltemos que f :M ⊗A (A/a) → M/aM dado por m ⊗ a 7→ am esta bem definido. Para mostrar que estemapa e um isomorfismo, vamos construir o seu inverso. Considere o mapa M → M ⊗A (A/a) definidopor m 7→ m⊗ 1. Se m ∈ aM , digamos m =

∑i aimi com ai ∈ a e mi ∈M , o mapa anterior leva m em

(∑

i aimi)⊗ 1 =∑

imi⊗ai = 0. Portanto o mapa anterior induz um morfismo g:M/aM →M ⊗A (A/a)tal que g(m) = m⊗ 1. Agora basta checar que f g e g f sao os mapas identidade, o que e facil: temosque f g(m) = f(m⊗ 1) = m e g f(m⊗ a) = g(am) = am⊗ 1 = m⊗ a.

Exemplo 3.1.2 Seja k um corpo e V e W dois espacos vetoriais de dimensao finita sobre k. Sejamω1, . . . , ωm e τ1, . . . , τn bases de V e W respectivamente. Usando a distributividade, temos que

V ⊗k W =( ⊕

1≤i≤mk · ωi

)⊗k( ⊕

1≤j≤nk · τj

)=⊕

1≤i≤m1≤j≤n

k · ωi ⊗ τj

Logo V ⊗kW e um espaco vetorial com base ωi⊗ τj , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, e portanto dimk(V ⊗kW ) =(dimk V ) · (dimkW ).

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40 Manobras Basicas

Exemplo 3.1.3 Sejam m,n ∈ Z e d = gcd(m,n). Temos

Z/(m)⊗Z Z/(n) =Z/(m)

(n) · (Z/(m))= Z/(d)

Note que se f :M → M ′ e g:N → N ′ sao dois morfismos de A-modulos, entao o mapa M × N →M ′ ⊗A N ′ dado por (m,n) 7→ f(m) ⊗ g(n) e A-bilinear. Assim, pela propriedade universal temos ummapa de A-modulos f ⊗ g:M ⊗A N → M ′ ⊗A N ′. Em particular, para um modulo fixo N , temos umfuntor − ⊗A N da categoria de A-modulos para ela mesma, que leva a flecha f :M → M ′ na flechaf ⊗ id:M ⊗A N → M ′ ⊗A N . O teorema a seguir traduz uma das propriedades mais importantes doproduto tensorial:

Teorema 3.1.4 O produto tensorial e um funtor exato a direita, i.e., se

Mf- N

g- P → 0

e uma sequencia exata de A-modulos, entao o mesmo vale para

M ⊗ T f⊗id- N ⊗ T g⊗id- P ⊗ T → 0

para qualquer A-modulo T .

Prova Em primeiro lugar, observe que g ⊗ id e sobrejetor: dado um gerador p ⊗ t de P ⊗ T ondep ∈ P e t ∈ T , pela exatidao da primeira sequencia podemos encontrar n ∈ N tal que g(n) = p e assim(g ⊗ id)(n⊗ t) = p⊗ t.

Agora seja I ⊂ N ⊗ T a imagem de f ⊗ id. Como (g ⊗ id) (f ⊗ id) = (g f)⊗ id = 0, temos queI esta claramente contido no kernel de g ⊗ id, assim g induz um morfismo φ: (N ⊗ T )/I → P ⊗ T . Paramostrar que I = ker(g ⊗ id), basta portanto mostrar que φ e um isomorfismo, e para isto construımosexplicitamente o mapa inverso. Considere o mapa P × T → (N ⊗ T )/I dado por p⊗ t 7→ n⊗ t+ I onden ∈ N e qualquer elemento tal que g(n) = p (com p ∈ P e t ∈ T ). Observe que se g(n′) = p entaon′ = n+ f(m) para algum m ∈M , logo n′ ⊗ t = n⊗ t+ (f ⊗ id)(m⊗ t), ou seja, n′ ⊗ t+ I = n⊗ t+ I,

logo o mapa anterior nao depende da escolha da pre-imagem n de p. E facil ver que este mapa tambeme bilinear, logo define um morfismo ψ:P ⊗ T → (N ⊗ T )/I. Uma verificacao imediata mostra que φ ψe ψ φ sao os mapas identidade, o que completa a demonstracao.

Exemplo 3.1.5 Produtos tensoriais podem destruir a injetividade: considere a sequencia exata deZ-modulos

0 - Z2- Z - Z/(2) - 0

onde Z2- Z denota a multiplicacao por 2. Como o funtor M 7→ M ⊗Z Z/(2) e isomorfo ao funtor

M 7→M/2M , tensorizando a sequencia acima com Z/(2) obtemos a sequencia

0 - Z/(2)0- Z/(2)

id- Z/(2) - 0

que nao e exata a esquerda.

3.2 Mudanca de Base e Produto Tensorial de Algebras

Uma das interpretacoes mais uteis do produto tensorial e como mudanca de base. Seja B uma A-algebra; se M e um A-modulo, entao B ⊗A M pode ser visto como um B-modulo via multiplicacaona primeira coordenada: b · (∑ bi ⊗ mi) =

∑(bbi) ⊗ mi para b, bi ∈ B e mi ∈ M . Como o mapa

B ×M → B ⊗A M dado por (b′,m) 7→ bb′ ⊗ m e bilinear, temos que a operacao anterior esta bemdefinida.

Em outras palavras, temos um funtor − ⊗A B da categoria de A-modulos para a categoria de B-modulos. Este e o chamado funtor mudanca de base. Intuitivamente, a operacao − ⊗A B consisteem “trocar os coeficientes” de A para B. Por exemplo, se K ⊂ L e uma extensao de corpos e V eum K-espaco vetorial de dimensao n e base ω1, . . . , ωn, temos que V ⊗K L e um L-espaco vetorial dedimensao n e base ω1 ⊗ 1, . . . , ωn ⊗ 1.

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Note que neste contexto produtos tensorias comutam com a mudanca de base: dados A-modulos Me N , temos um isomofismo de B-modulos

(B ⊗AM)⊗B (B ⊗A N) = B ⊗A (M ⊗A N)

definido por (b⊗m)⊗ (b′⊗n) 7→ (bb′)⊗ (m⊗n). Alem disso, se M e um A-modulo e P e um B-modulo,temos um isomorfismo de B-modulos (transitividade da mudanca de base)

P ⊗B (B ⊗AM) = P ⊗AMdado por p ⊗ (b ⊗m) 7→ bp ⊗m. Aqui P ⊗AM e visto como B-modulo via multiplicacao na primeiracoordenada.

Exemplo 3.2.1 (Invariancia de Posto) Como uma aplicacao simples da mudanca de base, vamosmostrar que o posto de um modulo livre esta bem definido. Se An ∼= Am como A-modulos entao n = m.De fato, se m e qualquer ideal maximal de A e k = A/m, aplicando −⊗A k e usando a distributividade,obtemos kn ∼= km, logo m = n ja que a dimensao de um k-espaco vetorial esta bem determinada. Sevoce achou esta aplicacao babaca, entao talvez voce se surpreenda com o fato de que existem aneisnao-comutativos A para os quais R ∼= R2! Um exemplo e dado pelo anel R = HomC(CN,CN) dosendomorfismos do C-espaco vetorial de dimensao contavel CN.

Podemos tensorizar algebras tambem: dadas duas A-algebras B e C, o produto tensorial B ⊗A Cadmite estrutura de anel via

(∑

i

bi ⊗ ci)(∑

j

b′j ⊗ c′j)=∑

i,j

bib′j ⊗ cic′j , bi, b

′j ∈ B, ci, c′j ∈ C

Como temos um mapa multilinear B×C ×B×C → B⊗AC dado por (b, c, b′, c′) 7→ bb′⊗ cc′, utilizandoa propriedade universal e facil verificar que a operacao acima esta bem definida. Desta forma, B ⊗A Cadmite a estrutura de uma A-algebra: multiplicacao por a ∈ A e dada por a(b⊗ c) = (ab)⊗ c = b⊗ (ac).

Exemplo 3.2.2 (Mudanca de Base de Aneis de Polinomios) Seja B uma A-algebra, entaoA[x] ⊗A B = B[x] como B-algebras, pois A[x] e um A-modulo livre com base xn, n ≥ 0. Assim,pela distributividade temos um isomorfismo de A-modulos A[x] ⊗A B = B[x] e e facil verificar queeste isomorfismo preserva as estruturas de B-modulos correspondentes. Em particular, obtemos queA[x]⊗A A[y] = A[x, y].

Exemplo 3.2.3 Seja B um A-modulo e f(x) ∈ A[x]. Tensorizando por B a sequencia exata

A[x]f(x)- A[x] - A[x](

f(x)) - 0

(o mapa da esquerda e a multiplicacao por f(x)), obtemos a sequencia exata

B[x]f(x)- B[x] - A[x](

f(x)) ⊗A B - 0

e, assim, o isomorfismo de B-algebras(A[x]/(f(x))

)⊗A B = B[x]/(f(x)).

Exemplo 3.2.4 O que e Q(√2)⊗Q C como C-algebra? Temos

Q(√2)⊗Q C =

Q[x]

(x2 − 2)⊗Q C =

C[x](x2 − 2)

=C[x]

(x−√2)× C[x]

(x+√2)

= C× C

pelo exemplo anterior e pelo teorema Chines dos Restos.

Exemplo 3.2.5 (Fibras como mudanca de base) Seja φ:A→ B um morfismo de aneis e p ∈ SpecA.A fibra de p com relacao a Specφ: SpecB → SpecA pode ser calculada via uma mudanca de base: sejak(p) = FracA/p o corpo residual do anel local Ap. Temos diagramas comutativos

B ⊗A k(p) B

k(p) = A⊗A k(p)

φ⊗ id

6

A

φ

6SpecB ⊗A k(p) ⊂ - SpecB

Spec k(p)

Specφ⊗ id

?⊂ - SpecA

Specφ

?

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42 Manobras Basicas

A-planoonde A → k(p) e o mapa natural e B → B ⊗A k(p) e o mapa obtido tensorizando por B este mapanatural. Sendo S = A \ p, temos que

B ⊗A k(p) = (B ⊗A S−1A)⊗S−1A k(p) = S−1B ⊗S−1A (S−1A/S−1p) = S−1B/S−1pB = S−1(B/pB)

e portanto B → B ⊗A k(p) e isomorfo a B → S−1(B/pB), de modo que o diagrama a direita representaa restricao de Specφ a fibra de p.

Alem do calculo de fibras, outros teoremas tambem podem ser enunciados na linguagem do produtotensorial, que possui a vantagem de ser concisa e funtorial. Por exemplo, temos

Teorema 3.2.6 (Nakayama, segunda versao) Seja (A,m, k) um anel local e M um A-modulo fini-tamente gerado. Temos

M ⊗A k = 0 ⇐⇒ M = 0

Geometricamente, para um anel A qualquer, podemos pensar em um A-modulo M como uma“famılia” de espacos vetoriaisM⊗Ak(p), um sobre cada “ponto” p ∈ SpecA (aqui k(p) = FracA/p denotao corpo residual de Ap). Nakayama pode entao ser entendido como um resultado de “continuidade”: seM e finitamente gerado e “se anula” sobre um “ponto” p, entao M se anula em uma vizinhaca de p. Defato, como

M ⊗A k(p) =Mp ⊗Apk(p) = 0⇒Mp = 0

e M e finintamente gerado, digamos M = Aω1 + · · ·+Aωn, como ωi/1 = 0/1 em Mp, existem si ∈ A \ ptais que siωi = 0 em M e portanto h = s1 . . . sn anula M . Desta forma, Mq = 0⇒M ⊗A k(q) = 0 paratodo q na vizinhaca aberta D(h) de p.

Temos ainda a seguinte reformulacao:

Teorema 3.2.7 (Bases Minimais, segunda versao) Seja (A,m, k) um anel local e M um A-modulofinitamente gerado. O numero mınimo de geradores de M e dado por

dimkM ⊗A k

3.3 Modulos e Algebras Planas

A falta de exatidao a esquerda no produto tensorial faz com que mudancas de base arbitrarias facilmente“destruam” as relacoes lineares entre modulos. Por exemplo, considere o mapa f : SpecC[t, x]/(tx) →SpecC[t] associado ao morfismo de C-algebras C[t]→ C[t, x]/(tx) dado por t 7→ t. Pense nas fibras de fcomo uma “famılia” de subconjuntos algebricos de C parametrizadas pelo “tempo” t. Quando t 6= 0, detx = 0 temos que o conjunto algebrico correspondente e apenas a “origem” x = 0; porem quando t = 0,temos que o conjunto algebrico correspondente e todo o C. Esta “descontinuidade” pode ser entendidaalgebricamente da seguinte forma: ao calcular a fibra de (t−a), aplicamos −⊗C[t]C[t]/(t−a) a sequenciaexata

0 - C[t, x]tx- C[t, x] - C[t, x]

(tx)- 0

obtendo uma nova sequencia (exata a direita) isomorfa a

0 - C[x]ax- C[x] - C[x]/(ax) - 0

Note que quando a 6= 0, esta sequencia e exata tambem a esquerda, porem isto e falso para a = 0; nesteultimo caso a relacao “tx = 0” no ultimo termo “se perde”.

A fim de evitar o problema acima, definiremos algebras planas A → B como as algebras para asquais a mudanca de base sempre preserva todas as estruturas “lineares” dos modulos originais, ou seja,para as quais −⊗AB e exato. Geometricamente, isto se traduz em um “comportamento contınuo” paraas fibras de SpecB → SpecA.

Definicao 3.3.1 Seja A um anel e M um A-modulo. Dizemos que M e A-plano se o funtor M ⊗A− eexato. Se B e uma A-algebra, dizemos que B e A-plana se ela e plana vista como A-modulo.

Observacao 3.3.2 Como qualquer sequencia exata pode ser quebrada em sequencias exatas curtas e oproduto tensorial e sempre exato a direita, temos que um A-modulo M sera plano se, e somente se, ofuntor M ⊗A − preserva injetividade.

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Exemplo 3.3.3 (Modulos livres) Qualquer A-modulo livre e A-plano. Se B e uma A-algebra que elivre como A-modulo entao B e A-plano sobre A. Por exemplo, B = A[x] e A-plano para qualquer anelA, e se k e um corpo, qualquer k-algebra e plana sobre k.

Exemplo 3.3.4 (Localizacao) Para qualquer conjunto multiplicativo S de A, temos que S−1A⊗A −e isomorfo ao funtor localizacao, que e exato. Assim, S−1A e uma algebra A-plana.

Exemplo 3.3.5 Se a e um ideal de A, entao B = A/a e A-plano se, e so se, a = 0; afinal de contas,nada melhor do que quocientes para destruir a injetividade! Formalmente, basta tomar um elementonao nulo a ∈ a e considerar a inclusao (a) → A; tensorizando por A/a obtemos o mapa zero (a)/(a) ·a =(a)⊗A A/a→ A⊗A A/a = A/a, o que mostra que A/a nao pode ser A-plano.

Mais tarde, utilizando metodos homologicos, veremos diversos criterios que permitem decidir napratica se uma algebra e ou nao plana. Nesta secao, nos contentamos em listar e provar algumas de suaspropriedades basicas.

Teorema 3.3.6 Seja A um anel e M um A-modulo. Sejam φ:A→ B e ψ:B → C duas algebras.

1. (Estabilidade por Composicao) Se φ:A → B e ψ:B → C sao planas, o mesmo vale paraψ φ:A→ C.

2. (Estabilidade por Mudanca de base arbitraria) Se M e plano sobre A, entao M ⊗A B e planosobre B. Em particular, se S e um conjunto multiplicativo de A, S−1M e plano sobre S−1Aquando M for plano sobre A.

3. (Natureza local) M e plano sobre A se, e somente se, Mm e plano sobre Am para todos os ideaismaximais m de A.

4. (Natureza microlocal) Seja N um B-modulo. Entao N e plano sobre A se, e somente se, Nn eplano sobre Aφ−1(n) para todos os ideais maximais n de B.

Prova (1) segue imediatamente do isomorfismo

M ⊗A C =M ⊗A B ⊗B C

que mostra que o funtor −⊗A C e a composicao dos funtores exatos −⊗A B e −⊗B C, sendo portantotambem exato. Da mesma forma, (2) segue do isomorfismo de funtores −⊗B (M ⊗A B) = −⊗AM .

Mostremos agora (3). De (2), ja sabemos que se M e A-plano, entao Mm e Am-plano. Reciproca-mente, seja N → N ′ uma injecao de A-modulos; se Mm e Am-plano para todo ideal maximal m, comoNm → N ′

m e injetor (exatidao da localizacao), Nm ⊗AmMm → N ′

m ⊗AmMm tambem e injetor. Porem

Nm ⊗AmMm = (N ⊗A Am)⊗Am

(M ⊗A Am) = (N ⊗AM)⊗A Am = (N ⊗AM)m

Portanto (N ⊗AM)m → (N ′ ⊗AM)m e injetor para todo m; pelo princıpio local-global (teorema 1.8),temos que N ⊗AM → N ′ ⊗AM e injetor, logo M e A-plano. A prova de (4) e similar e e deixada parao leitor.

Seja q be a maximal ideal of B. Se N e a Bq-modulo,

N ⊗Aφ−1q

Bq = N ⊗A Bq = (N ⊗A B)⊗B Bq

Como localisation preserves exactness, the computation above shows that se B e flat sobre A entao Bq

e flat sobre Aφ−1q. Reciprocamente, suponha que Bq e flat sobre Aφ−1q para todo maximal ideals q ofB. Seja N ′ → N be an injection of A-modulos, e denote por K the kernel of N ′ ⊗A B → N ⊗A B.Localising at q, temos por the computation above

0→ Kq → N ′ ⊗Aφ−1q

Bq → N ⊗Aφ−1q

Bq

e portanto Kq = 0 para todo maximal ideals q. Por the local-global principle, K = 0.

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44 Manobras Basicas

fielmente planoExemplo 3.3.7 (Blow-up nao e plano) Sejam A = C[x, y] e B = C[x, y, z]/(y − xz), visto comoA-algebra da maneira usual. Entao B nao e plano sobre A: as fibras de SpecB → SpecA nao variam“continuamente” ja que ha um salto de dimensao na origem. De fato, aplicando − ⊗A B a inclusao(x, y) → A, obtemos um mapa

ψ: a⊗A B → B

que nao e injetor: temos que ψ(x⊗z−y⊗1) = 0, porem x⊗z−y⊗1 6= 0 em a⊗AB. De fato, considereo morfismo de A-modulos

φ: a→ A⊕Aa(y,−x) | a ∈ A

α = p(x, y)x+ q(x, y)y 7→ (p(x, y), q(x, y)) mod b

E facil verificar que este mapa esta bem definido, isto e, independe da representacao de α como com-binacao A-linear de x e y. Assim, temos um mapa φ⊗ id: a⊗AB → (B×B)/b. Now φ⊗1(x⊗z−y⊗1) =(z,−1) + b e not 0, e portanto x⊗ z − y ⊗ 1 6= 0, as required.

Agora vamos definir algebras e modulos com relacao aos quais a mudanca de base e “reversıvel”.

Definicao 3.3.8 Um A-moduloM e fielmente plano sobre A se M e A-plano e se vale a “propriedadede cancelamento”

M ⊗A N ⇒ N = 0 para todo A-modulo N

Uma A-algebra B e fielmente plana se ela e plana como A-modulo.

Exemplo 3.3.9 Qualquer algebra livre e fielmente plana. Em particular, qualquer algebra sobre umcorpo e fielmente plana.

Observacao 3.3.10 Uma algebra φ:A → B fielmente plana e sempre injetora, de modo que podemosconsiderar A como subanel de B. De fato, seja a = kerφ. Da planaridade e da sequencia exata

0→ a→ A→ A/a→ 0

obtemos outra sequencia exata

0→ a⊗A B → A⊗A B → (A/a)⊗A B → 0

Porem o mapa A⊗AB → (A/a)⊗AB corresponde ao mapa B → B/φ(a)B = B, que e um isomorfismo.Portanto a⊗A B = 0 e a = 0, como querıamos.

Teorema 3.3.11 (Fidelidade) Seja M um A-modulo. As seguintes condicoes sao equivalentes:

1. M e fielmente plano sobre A.

2. Para qualquer sequencia de A-modulos

N ′ f- Ng- N ′′ (∗)

a sequencia

N ′ ⊗AM f⊗id- N ⊗AM g⊗id- N ′′ ⊗AM (∗∗)e exata se, e so se, (∗) e exata.

3. M e plano e mM 6=M para todo ideal maximal m de A.

Prova (1 ⇒ 2) Se (∗) e exata, entao (∗∗) e exata pois M e A-plano. Reciprocamente, se (∗∗) e exata,como M e A-plano, temos que o funtor −⊗AM comuta com kernels, imagens e quocientes e, assim,

0 = im((f g)⊗ id

)= im(f g)⊗AM ⇒ f g = 0

de modo que (∗) e um complexo. Alem disso,

0 =ker(g ⊗ id)

im(f ⊗ id)=

(ker g)⊗AM(im f)⊗AM

=(ker gim f

)⊗AM ⇒

ker g

im f= 0

e portanto (∗) e exata.

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(2 ⇒ 1) Claramente 2 implica que M e A-plano. Como por hipotese 0 → N → 0 e exato se, e so se,0→M ⊗A N → 0 e exato, temos que M ⊗A N = 0⇒ N = 0.

(1⇒ 3) Como A/m 6= 0, temos M ⊗A A/m =M/mM 6= 0.

(3 ⇒ 1) Seja N um A-modulo qualquer e suponha que N 6= 0; temos que mostrar que M ⊗A N 6= 0.Seja n ∈ N um elemento nao nulo; como M e A-plano, temos que M ⊗AAn →M ⊗AN e injetor, assimbasta mostrar que

M ⊗A An 6= 0 ⇐⇒ M ⊗A A/ ann(n) =M/ ann(n)M 6= 0

Mas isto e facil: seja m um ideal maximal de A tal que m ⊃ ann(n), entao M ) mM por hipotese, logoM ) ann(n)M .

Do criterio 3, obtemos

Corolario 3.3.12 Seja A um anel local e B uma A-algebra local. Entao B e A-plano se, e so se, efielmente A-plano.

A ideia de trabalharmos com algebras fielmente planas e que, para verificar que um certo moduloou algebra possui uma certa propriedade, e em geral mais facil faze-lo apos uma mudanca de base. Porexemplo, qualquer extensao de corpos e fielmente plana, entao pode-se trabalhar sobre o fecho algebricokalg de k apos uma mudanca de base −⊗kkalg e depois tentar “descer” ao corpo original. Como ilustracaodesta filosofia, vejamos o

Exemplo 3.3.13 Seja B uma A-algebra fielmente plana. Vamos mostrar que um A-modulo M e planosobre A se, e so se, o B-modulo M ⊗A B e plano sobre B. Como planaridade e estavel por mudanca debase arbitraria, basta mostrar que se M ⊗A B e plano sobre B entao M e plano sobre A. Dada umasequencia exata de A-modulos

N ′ → N → N ′′ (∗)

tensorizando por M sobre A, obtemos uma nova sequencia

N ′ ⊗AM → N ⊗AM → N ′′ ⊗AM

que sera exata se, e so se,

(N ′ ⊗AM)⊗A B → (N ⊗AM)⊗A B → (N ⊗AM)⊗A B

e exata. Mas esta sequencia e isomorfa a

(N ′ ⊗A B)⊗B (M ⊗A B)→ (N ⊗A B)⊗A (M ⊗A B)→ (N ′′ ⊗A B)⊗B (M ⊗A B)

que e obtida a partir da sequencia original (∗) aplicando-se primeiro o funtor exato −⊗AB e, em seguida,o funtor exato −⊗B (M ⊗A B).

A “reversibilidade” da mudanca de base fielmente plana possui uma expressao geometrica:

Teorema 3.3.14 Seja A → B um morfismo plano de aneis. Entao A → B e fielmente plano se, e sose, SpecB → SpecA e sobrejetor.

Prova Temos que SpecB → SpecA e sobrejetor se, e so se, para todo p ∈ SpecA, a fibra SpecB⊗Ak(p)de p e nao vazia, ou seja, se, e so se, B ⊗A k(p) 6= 0.

Assim, se SpecB → SpecA e sobrejetora entao, para todos os ideais maximais m de A, B⊗Ak(m) =B/mB 6= 0, logo A→ B e fielmente plano pelo criterio 3 do teorema anterior. Reciprocamente, se A→ Be fielmente plano, como k(p) 6= 0 para todo p ∈ SpecA, temos B⊗Ak(p) 6= 0 e portanto SpecB → SpecAe sobrejetor.

4 Condicoes de Finitude

Nesta secao, veremos algumas condicoes de finitude sobre aneis e modulos que frequentemente sao veri-ficadas na pratica e alguns resultados importantes que fazem uso destas condicoes de finitude.

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46 Manobras Basicas

noetheriano4.1 Aneis e Modulos Noetherianos

Definicao 4.1.1 Um anel A e noetheriano se satisfaz qualquer uma das seguintes propriedades equiv-alentes:

1. todo ideal a de A e finitamente gerado;

2. toda cadeia ascendente de ideais estabiliza, isto e, dada uma cadeia de ideais

a0 ⊂ a1 ⊂ a2 ⊂ a3 ⊂ · · ·

entao ai = ai+1 para i suficientemente grande;

3. todo conjunto nao vazio I de ideais possui um ideal que e maximal em I com relacao a inclusao.

Vamos verificar a equivalencia das condicoes acima.

• (1) ⇒ (2) Tome a =⋃i≥0 ai, que e um ideal de A: dados a, b ∈ a e r ∈ A, escolha i grande o

suficiente para que a, b ∈ ai, de modo que a + b ∈ ai ⊂ a e ra ∈ ai ⊂ a. Sejam a1, . . . , an ∈ Ageradores de a. Entao existe um i0 grande suficiente tal que a1, . . . , an ∈ ai0 , logo a = ai0 e portantoai = ai+1 para todo i ≥ i0.• (2) ⇒ (1) Seja a um ideal e tome a1 ∈ a. Se (a1) 6= a, tome a2 ∈ a \ (a1). Se (a1, a2) 6= a, tomea3 ∈ a \ (a1, a2). E assim por diante. Como a cadeia (a1) ⊂ (a1, a2) ⊂ (a1, a2, a3) ⊂ · · · estabiliza,temos que a = (a1, . . . , an) para algum n.

• (2)⇒ (3) Suponha que I nao possua elemento maximal e seja a0 ∈ I. Entao existe a1 ∈ I tal quea0 ( a1. Repetindo este procedimento, obtemos uma cadeia ascendente estrita a0 ( a1 ( a2 ( · · ·,o que e um absurdo.

• (3) ⇒ (2) Dada uma cadeia ascendente a0 ⊂ a1 ⊂ a2 ⊂ · · ·, tome I = ai | i ≥ 0. Se ai0 e umelemento maximal de I entao devemos ter ai = ai+1 para todo i ≥ i0.

Quase todos os aneis que aparecem na natureza sao noetherianos: por exemplo, corpos e PIDs (taiscomo Z) sao noetherianos e veremos a seguir que qualquer algebra finitamente gerada sobre um anelnoetheriano tambem e noetheriano. O exemplo classico (isto e, visto em classe) de anel nao noetherianoe o anel de polinomios k[x1, x2, . . .] em um numero infinito de variaveis sobre um corpo k (isto e, cadaelemento deste anel e um polinomio usual cujas variaveis estao em um subconjunto finito de x1, x2, . . .).De fato, neste anel temos a cadeia ascendente estrita de ideias

(x1) ( (x1, x2) ( (x1, x2, x3) ( · · ·

Os axiomas acima podem ser interpretados como substitutos para o “princıpio de inducao finita”ou para o “princıpio da boa ordem” dos numeros naturais. A “inversao” da ordem se deve ao fato que,para ideais, “conter significa dividir”: por exemplo, em Z, o fato de nao existir uma cadeia ascendenteestrita de ideais (d1) ( (d2) ( (d3) ( · · · corresponde ao fato de nao existir uma “cadeia descrescente dedivisibilidade” · · · | d3 | d2 | d1. Vejamos como utilizar este “novo PIF noetheriano” no seguinte

Exemplo 4.1.2 (Inducao Noetheriana) Seja A um anel noetheriano. Vamos demonstrar que todoideal a contem um produto finito de ideais primos. Suponha que isto seja falso e seja I o conjuntode ideais que nao contem produtos finitos de ideais primos. Seja b um elemento maximal em I. Porhipotese, b nao e primo, logo existem a, b /∈ b tais que ab ∈ b. Como (a) + b ) b e (b) + b ) b, pelamaximalidade de b temos que ambos os ideais (a)+ b e (b)+ b contem produtos finitos de ideais primos.Mas neste caso, como ab ∈ b, temos que b ⊃

((a) + b

)·((b)+ b

)e, assim, b tambem contem um produto

finito de ideais primos, uma contradicao.

O exemplo anterior mostra que um anel noetheriano A possui apenas um numero finito de ideaisprimos minimais: como (0) ⊃ p1 · · · pn para certos pi ∈ SpecA, temos que para qualquer q ∈ SpecA,q ⊃ p1 · · · pn, logo q ⊃ pi para algum i. Assim, os primos minimais de A formam um subconjunto dospi’s acima.

Talvez o mais importante dos resultados sobre aneis noetherianos e o famoso

Teorema 4.1.3 (Basissatz Hilberts) Se A e um anel noetheriano, entao A[x] e A[[x]] tambem saonoetherianos.

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noetherianoProva Seja a um ideal de A[x]. Para mostrar que a e finitamente gerado, considere para cada inteirod ≥ 0 o conjunto cd dos coeficientes lıderes polinomios em a de grau d, juntamente com o 0. Temos quecada cd e um ideal de A e que cd ⊂ cd+1. Como A e noetheriano, esta cadeia de ideais estabiliza, logoexiste D tal que cd = cD para todo d ≥ D. Para cada d = 0, 1, . . . , D, escolha um numero finito depolinomios de grau d em a tais que seus coeficientes lıderes geram cd. Seja p1(x), . . . , pn(x) o conjuntode todos os polinomios escolhidos. Vamos mostrar que estes polinomios geram a. Seja f(x) ∈ a. Temosque o coeficiente lıder de f(x) e uma combinacao linear de coeficientes lıderes dos pi(x), logo e possıvelescolher monomios mi(x) = cix

ei tais que

deg(f(x)−m1(x)p1(x)− · · · −mn(x)p(x)

)< deg f(x)

Por inducao no grau de f(x), podemos supor que f(x)−m1(x)p1(x)− · · · −mn(x)p(x) ∈ a pertence aoideal (p1(x), . . . , pn(x)), logo f(x) ∈ (p1(x), . . . , pn(x)) tambem, como desejado.

A demonstracao de que A[[x]] e noetheriano e analoga e e deixada como exercıcio para o leitor.

Vejamos agora como obter uma pletora de aneis noetherianos!

Lemma 4.1.4 Seja A um anel noetheriano. Entao

1. A/a e noetheriano para todo ideal a.

2. Se S e um conjunto multiplicativo, entao S−1A e noetheriano.

3. Qualquer A-algebra finitamente gerada B e noetheriana.

Prova (1) segue diretamente do teorema da correspondencia de ideais, enquanto que (2) segue doteorema 1.9. Por fim, (3) e consequencia do Basissatz Hilberts: se B e gerado sobre A por ω1, . . . , ωn,temos uma sobrejecao de A-algebras

A[x1, . . . , xn] ։ B

xi 7→ ωi

Se a e o kernel desta sobrejecao, temos portanto que B e isomorfo a A[x1, . . . , xn]/a. Como A[x1, . . . , xn]e noetheriano pelo teorema anterior, por (1) temos que B tambem e noetheriano.

Observacao 4.1.5 O produto tensorial de algebras noetherianas sobre um anel noetheriano nem sempree noetheriano.

Como para aneis e ideais, podemos definir modulos noetherianos de maneira completamente analoga:

Definicao 4.1.6 Seja A um anel qualquer (i.e. nao necessariamente noetheriano). Um A-modulo enoetheriano se satisfaz uma (e portanto todas) das seguintes condicoes equivalentes:

1. todo submodulo N de M e finitamente gerado;

2. toda cadeia ascendente de submodulos estabiliza, isto e, dada uma cadeia de submodulos de M

N0 ⊂ N1 ⊂ N2 ⊂ N3 ⊂ · · ·

entao Ni = Ni+1 para i suficientemente grande;

3. todo conjunto nao vazio N de submodulos de M possui um elemento que e maximal em N comrelacao a inclusao.

Teorema 4.1.7 Seja A um anel.

1. Seja

0 - M ′ f- Mg- M ′′ - 0

uma sequencia exacta de A-modulos. Entao M e noetheriano se, e so se, M ′ e M ′′ sao noethe-rianos.

2. Seja M um A-modulo finitamente gerado. Se A e noetheriano, entao M e noetheriano.

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Prova (1) Sem perda de generalidade, podemos supor que M ′ e submodulo de M e que M ′′ =M/M ′.Assim, se M e noetheriano, claramente M ′ e noetheriano e M ′′ e noetheriano pelo teorema de corre-spondencia de submodulos. Reciprocamente, suponha que M ′ e M ′′ sao noetherianos. Dada uma cadeiaascendente de submodulos de M

M1 ⊂M2 ⊂M3 ⊂ · · ·temos que as cadeias de submodulos, respectivamente de M ′ e M ′′,

M1 ∩M ′ ⊂M2 ∩M ′ ⊂M3 ∩M ′ ⊂ · · · eM1 +M ′

M ′ ⊂ M2 +M ′

M ′ ⊂ M3 +M ′

M ′ ⊂ · · ·

estabilizam para i≫ 0. Assim, basta provar que

Mi ∩M ′ =Mi+1 ∩M ′ eMi +M ′

M ′ =Mi+1 +M ′

M ′ ⇒Mi =Mi+1

Tome mi+1 ∈ Mi+1. Como mi+1 ∈ Mi+1 + M ′ = Mi + M ′, existe mi ∈ Mi e m′ ∈ M ′ tal quemi+1 = mi +m′. Mas entao m′ = mi+1 −mi ∈Mi+1 ∩M ′ =Mi ∩M ′. Portanto mi+1 = mi +m′ ∈Mi

e assim Mi+1 ⊂Mi. Como ja temos a inclusao oposta, o resultado segue.

(2) Note que A e noetheriano como A-modulo e, por (1), um modulo livre de posto finito An tambeme noetheriano. Se M e finitamente gerado sobre A, existe uma sobrejecao An ։M para algum n (bastalevar os elementos da base de An para os geradores de M). Logo, novamente por (1), M e noetheriano.

Encerramos esta secao com uma aplicacao menos trivial. O metodo de demonstracao a seguir, “de-vissage” (desmantelamento), e extremamente util e importante e subjaz os diversos metodos homologicosque serao estudados mais tarde.

Teorema 4.1.8 Seja A um anel noetheriano e B um A-modulo plano. SejaM um A-modulo finitamentegerado e N um A-modulo qualquer. Entao o mapa canonico

HomA(M,N)⊗A B → HomB(M ⊗A B,N ⊗A B)

φ⊗ b 7→ φ⊗mb

(onde mb denota a multiplicacao por b) e um isomorfismo de B-modulos.

Prova O funtor HomA(−, N)⊗AB e exato a esquerda, pois e a composicao do funtor exato a esquerdaHomA(−, N) e o funtor exato − ⊗A B. Da mesma forma, HomB(− ⊗A B,N ⊗A B) tambem e exato aesquerda. Note que o mapa natural

HomA(T,N)⊗A B → HomB(T ⊗A B,N ⊗A B)

φ⊗ b 7→ φ⊗mb

e um isomorfismo quando T = An e livre, ja que neste caso o mapa acima se transforma no isomorfismoNn ⊗A B = (N ⊗A B)n.

Como M e finitamente gerado, existe uma sobrejecao An ։ M , cujo kernel tambem e finitamentegerado pois An e noetheriano. Assim, podemos escrever uma sequencia exata

Am - An - M - 0

e obtemos o seguinte diagrama comutativo com linhas horizontais exatas:

0 - HomA(M,N)⊗A B - HomA(An, N)⊗A B - HomA(A

n, N)⊗A B

0 - HomB(M ⊗A B,N ⊗A B)?

- HomA(Bn, N ⊗A B)

≈?

- HomB(Bn,⊗AB)

≈?

As duas flechas verticais da direita sao isomorfismos, logo a flecha vertical da esquerda tambem, por um“easy diagram chase” (ou aplicacao do “lema dos 5”).

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artinianosimplesirredutıvelserie de compcomprimento

4.2 Aneis e Modulos Artinianos

“Invertendo” a definicao de anel noetheriano, obtemos a nocao de anel artiniano (nao, nao e anel onaire-hteon!)

Definicao 4.2.1 Um anel A e artiniano se satisfaz qualquer uma das seguintes propriedades equiva-lentes:

1. toda cadeia descendente de ideais estabiliza, isto e, dada uma cadeia de ideais

a0 ⊃ a1 ⊃ a2 ⊃ a3 ⊃ · · ·entao ai = ai+1 para i suficientemente grande;

2. todo conjunto nao vazio I de ideais possui um ideal que e minimal em I com relacao a inclusao.

Ao contrario dos aneis noetherianos, que existem em grande profusao (olhe para o chao, garanto quevoce acabou de achar um anel noetheriano!), aneis artinianos sao mais “raros”. Intuitivamente, aneisartinianos sao “aneis muito pequenos”; por exemplo, veremos que seus espectros sao sempre finitos.

Exemplo 4.2.2 Seja k um corpo. Entao um k-modulo M (vulgo k-espaco vetorial) e artiniano se, esomente se, dimkM <∞. De fato, se dimkM <∞ entao uma cadeia descendente de subspacos vetoriaisde M estabiliza pois as dimensoes destes subespacos formam uma sequencia nao crescente de naturais,que e eventualmente constante. Por outro lado, se dimkM = ∞, tome uma sequencia ω1, ω2, . . . deelementos linearmente independentes de M e defina Mn =

⊕i≥n k · ωi. Entao M0 ) M1 ) M2 ) · · · e

uma cadeia estritamente descendente de submodulos de M , e portanto M nao e artiniano.

Exemplo 4.2.3 Aneis finitos, tais como Z/n, sao claramente artinianos. O anel Z, por sua vez, nao eartiniano, pois temos a cadeia estritamente decrescente de ideais (2) ) (22) ) (23) ) · · · por exemplo.O anel C[t]/(tn) e artiniano, pois possui apenas um numero finito de ideais, correspondentes aos ideais(p(t)) de C[t] tais que p(t) | tn, ou seja, (ti) com i = 0, 1, . . . , n.

A demonstracao do teorema seguinte e completamente analoga ao teorema para modulos noetheri-anos e e deixado como exercıcio para o leitor ( = estou com preguica de escrever a prova).

Teorema 4.2.4 Seja A um anel.

1. Seja0→M ′ →M →M ′′ → 0

uma sequencia exata de A-modulos. Entao M e artiniano se, e so se, M ′ e M ′′ sao artinianos.

2. Seja M um A-modulo finitamente gerado. Se A e artiniano, entao M e artiniano.

4.3 Comprimento de modulos

Nesta secao, vamos estender a nocao de dimensao de espacos vetoriais para modulos que sao simultane-amente noetherianos e artinianos.

Definicao 4.3.1 Seja A um anel. Um A-modulo M 6= 0 e simples ou irredutıvel se os seus unicossubmodulos sao 0 e M . Equivalentemente, M e simples/irredutıvel se, e so se, M ∼= A/m para algumideal maximal m de A.

Verifiquemos a equivalencia acima. Se m e um ideal maximal de A, entaoM = A/m e um A-moduloirredutıvel, pois os submodulos de M correspondem aos submodulos de A (popularmente conhecidoscomo ideais) que contem m. Reciprocamente, se M e simples e m ∈ M e qualquer elemento nao nulo,entao devemos ter M = Am e assim M ∼= A/ ann(m). Novamente pelo teorema de correspondencia deideais, devemos ter que ann(m) deve ser maximal.

Definicao 4.3.2 Dado um A-modulo M , uma serie de composicao de M de tamanho n e umasequencia de submodulos

M =Mn ⊃Mn−1 ⊃Mn−2 ⊃ · · ·M1 ⊃M0 = 0

tais que os quocientes consecutivos Mi+1/Mi sao todos A-modulos simples. O comprimento de Msobre A, denotado lenAM , e o mınimo entre todos os tamanhos das series de composicao de M , ou ∞se M nao admite serie de composicao finita.

Por exemplo, um k-espaco vetorial e irredutıvel se, e so se, tem dimensao 1. Assim, uma serie decomposicao para um espaco vetorial V e uma sequencia

V = Vn ⊃ Vn−1 ⊃ Vn−2 ⊃ · · ·V1 ⊃ V0 = 0

onde dimk Vi = i. Assim, lenk V = n = dimk V .

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50 Manobras Basicas

Lemma 4.3.3 M possui comprimento finito se, e so se, M e artiniano e noetheriano.

Prova Suponha que M seja artiniano e noetheriano. Podemos construir uma serie de composicao daseguinte maneira: dentre os submodulos nao nulos de M , tome um submodulo minimal M1, que existepois M e artiniano; temos que M1 e necessariamente simples. Dentre os submodulos de M que contemM1 propriamente, tomeM2 minimal; deste modoM2/M1 sera simples tambem. Procedendo desta forma,teremos uma cadeia ascendente propria

0 (M1 (M2 ( · · ·que eventualmente terminara emM pois este e noetheriano. Ou seja,M admite uma serie de composicaofinita.

Para mostrar a recıproca, faremos uma inducao sobre lenAM <∞. Se lenAM = 0 entao M = 0 eo resultado e claro. Se n = lenAM > 0, existe uma serie de composicao

M =Mn ⊃Mn−1 ⊃Mn−2 ⊃ · · · ⊃M1 ⊃M0 = 0

Assim, M/M1 admite uma serie de composicao

M/M1 =Md/M1 ⊃Md−1/M1 ⊃ · · · ⊃M1/M1 = 0

De fato, note que o quociente entre dois termos consecutivos e um modulo simples pois temos o isomofismo

Mi/M1

Mi−1/M1=

Mi

Mi−1

Assim, temos que lenAM/M1 ≤ d − 1, logo M/M1 e noetheriano e artiniano por hipotese de inducao.Como M1 e claramente noetheriano e artiniano pois e simples. Portanto M e noetheriano e artiniano.

O seguinte teorema e um caso especial do teorema de Jordan-Holder.

Teorema 4.3.4 Seja M um A-modulo de comprimento finito. Entao todas as series de composicao deM tem tamanho lenAM .

Prova Novamente faremos uma inducao em d = lenAM . Se d = 0, entao M = 0 e o resultado e claro.Agora seja d > 0 e suponha que o teorema valha para todos os modulos de comprimento estritamentemenores do que d. Tome uma serie de composicao de tamanho d para M :

M =Md ⊃Md−1 ⊃Md−2 ⊃ · · · ⊃M1 ⊃M0 = 0

Como na demonstracao do lema anterior, temos lenAM/M1 ≤ d− 1, logo todas as series de composicaode M/M1 tem tamanho lenAM/M1 = d− 1 por hipotese de inducao. Agora seja

M =M ′e ⊃M ′

e−1 ⊃M ′e−2 ⊃ · · · ⊃M ′

1 ⊃M ′0 = 0

uma segunda serie de composicao de M de tamanho e ≥ d. Como M1 e simples, para cada i = 0, 1, . . . , etemos que M ′

i ∩M1 = 0 ou M ′i ∩M1 = M1. Seja r o menor ındice para o qual M ′

r ∩M1 = M1 ⇐⇒M ′r ⊃M1 (que existe pois M ′

n ∩M1 =M1). Entao afirmamos que

M

M1=M ′e

M1⊃ M ′

e−1

M1⊃ · · · ⊃ M ′

r

M1=M ′r−1 +M1

M1⊃ M ′

r−2 +M1

M1⊃ · · · ⊃ M ′

0 +M1

M1= 0

e uma serie de composicao de M/M1, logo tem comprimento d − 1 = e − 1 ⇒ e = d, o que encerra aprova do teorema.

Para verificar a afirmacao, observe inicialmente que M ′r = M ′

r−1 +M1 pois M ′r/M

′r−1 e simples,

logo nao ha submodulos de M estritamente entre M ′r−1 e M ′

r, e M1 6⊂M ′r. Por outro lado, temos que os

quocientes entre termos consecutivos da serie acima sao simples pois

M ′i +M1

M1=

M ′i

M ′i ∩M1

=M ′i para i = 0, 1, . . . , r − 1

eM ′i/M1

M ′i−1/M1

=M ′i

M ′i−1

para i = r + 1, r + 2, . . . , e

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Teorema 4.3.5 (Aditividade em Sequencias Exatas) Seja A um anel e

0 - M ′ - M - M ′′ - 0

uma sequencia exata de A-modulos. Entao M possui comprimento finito sobre A se, e somente se, M ′

e M ′′ possuem comprimento finito sobre A. Neste caso,

lenAM = lenAM′ + lenAM

′′

Prova Sem perda de generalidade podemos supor que M ′ ⊂ M e que M ′′ = M/M ′. Temos queM e artiniano (respectivamente noetheriano) se, e so se, M ′ e M ′′ sao artinianos (respectivamentenoetherianos), logo M possui comprimento finito se, e so se, M ′ e M ′′ possuem comprimento finito.Neste caso, para mostrar a aditividade dos comprimentos, dadas duas series de composicao

M ′ =M ′d ⊃M ′

d−1 ⊃M ′d−2 ⊃ · · ·M ′

1 ⊃M ′0 = 0

eM ′′ =M ′′

e ⊃M ′′e−1 ⊃M ′′

e−2 ⊃ · · ·M ′′1 ⊃M ′′

0 = 0

de M ′ e M ′′, basta combina-las em uma serie de composicao de M de tamanho d+ e: se M ′′i denota o

submodulo de M contendo M1 correspondente ao submodulo M ′′i de M ′′, entao

M = M ′′e ⊃ M ′′

e−1 ⊃ · · · ⊃ M ′′0 =M ′ =M ′

d ⊃M ′d−1 ⊃ · · · ⊃M ′

0 = 0

e uma serie de composicao de M , como desejado.

Exemplo 4.3.6 Vamos calcular o comprimento ℓ(n) do C[x]-modulo C[x]/(xn). Para n = 0 temos queℓ(0) = 0 e para n ≥ 1 temos uma sequencia exata

0 - (xn−1)

(xn)- C[x]

(xn)- C[x]

(xn−1)- 0

Como a multiplicacao por x induz um isomorfismo

C[x](x)

∼x- (xn−1)

(xn)

e lenC[x]C[x]/(x) = 1 pois C[x]/(x) e simples (o ideal (x) e maximal), temos pela aditividade do compri-mento em sequencias exatas curtas que ℓ(n) = ℓ(n− 1) + 1. Assim, ℓ(n) = n para todo n natural.

Exemplo 4.3.7 Vamos mostrar que o comprimento do C[x, y]-modulo C[x, y]/(xn, ym) e mn. Isto eclaro se m = 0 ou n = 0, entao vamos supor que m,n > 0. Temos uma sequencia exata

0 - (xn−1, ym)

(xn, ym)- C[x, y]

(xn, ym)- C[x, y]

(xn−1, ym)- 0

Pela aditividade de comprimentos e por hipotese de inducao em n, basta agora mostrar que o comprimentode M = (xn−1, ym)/(xn, ym) e m. Temos uma sobrejecao C[x, y] ։M dada por f(x, y) 7→ xn−1f(x, y),que induz um isomorfismo

C[y](ym)

∼= C[x, y](x, ym)

∼- M

Note que como M e anulado por x, podemos ve-lo como um modulo sobre C[y] ∼= C[x, y]/(x), assimtemos que o comprimento de M e o comprimento do C[y]-modulo C[y]/(ym), que e m pelo exemploanterior.

Observacao 4.3.8 Nos exemplos acima, temos que os comprimentos das C-algebras de dimensao finitaC[x]/(xn) e C[x, y]/(xn, ym) coincidem com suas dimensoes sobre C (uma base sobre C para a segundaalgebra e dada pelos monomios da forma xiyj com 0 ≤ i ≤ n − 1 e 0 ≤ j ≤ m − 1). Porem, se k e umcorpo e A uma k-algebra de dimensao finita qualquer, em geral, lenAA 6= dimk A. Para ver isto, bastatomar por exemplo A como um corpo que e extensao finita de k com dimk A > 1; como A e simples,temos lenAA = 1.

(interpretacao geometrica como multiplicidade de interseccao)

Utilizando o comprimento, podemos agora provar o importante

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52 Manobras Basicas

Teorema 4.3.9 (Estrutura de Aneis Artinianos) Seja A um anel artiniano.

1. SpecA = m1, . . . ,mn e finito e todos os seus elementos sao ideais maximais (e portanto ideaisprimos minimais tambem).

2. dimA = 0.

3. A e noetheriano.

4. O mapa canonico

A∼- Am1 × · · · ×Amn

e um isomorfismo.

Prova Em primeiro lugar, vamos mostrar que A possui um numero finito de ideais maximais. Porcontradicao, suponha que haja uma quantidade infinita de ideais maximais m1,m2, . . .. Temos umacadeia descendente de ideais

m1 ) m1m2 ) m1m2m3 ) · · ·

Para chegar a uma contradicao, basta verficar que a cadeia acima e estrita: se m1 . . .mn = m1 . . .mn+1,entao mn+1 ⊃ mi para algum i, 1 ≤ i ≤ n, e como ambos os ideais sao maximais, devemos ter mn+1 = mi,uma contradicao.

Agora seja a = m1 . . .mn = m1 ∩ · · · ∩ mn a interseccao de todos os ideais maximais m1, . . . ,mn deA (o chamado radical de Jacobson de A). Vamos mostrar que am = 0 para algum m. Isto implicaraque todo ideal primo p de A e maximal, pois p ⊃ am e portanto p = mi para algum i. Desta forma,concluiremos tambem que SpecA e finito e que dimA = 0.

Como as potencias de a formam uma cadeia descendente, existe um m tal que am = am+1; provemosque am = 0. Por contradicao, suponha que am 6= 0 e seja S o conjunto de todos os ideais b tais quebam 6= 0. Temos S 6= ∅ ja que (1) ∈ S, assim existe um ideal minimal b em S. Isto significa que xam 6= 0para algum x ∈ b e pela minimalidade de b temos que b = (x) e principal. Por outro lado,

(bam) · am = ba2m = bam 6= 0

e portanto bam pertence a S tambem; novamente pela minimalidade de b, temos b = bam ⇐⇒ (x) =xam. Consequentemente, x = xa ⇐⇒ (1 − a)x = 0 para algum a ∈ am. Mas 1 − a ∈ A× ja quea ∈ a e portanto 1 − a nao pertence a nenhum mi. Assim, (1 − a)x = 0 ⇐⇒ x = 0, o que contradizbam = xam 6= 0. Portanto am = 0, como afirmado.

Para mostrar que A e noetheriano, vamos mostrar que A tem comprimento finito sobre si mesmo.Considere a cadeia

A ⊃ m1 ⊃ m1m2 ⊃ m1m2m3 ⊃ · · · ⊃ a = m1 . . .mn

⊃ am1 ⊃ am1m2 ⊃ · · · ⊃ a2

⊃ a2m1 ⊃ a2m1m2 ⊃ · · ·⊃ am−1 ⊃ am−1m1 ⊃ · · · ⊃ am = 0

Sejam M e miM dois termos consecutivos desta cadeia. Basta mostrar que M/miM tem comprimentofinito sobre A, ou seja, que M/miM e um espaco vetorial de dimensao finita sobre A/mi. Mas isto eclaro, pois o ideal M e um A-modulo artiniano, logo M/miM e artiniano sobre A e tambem sobre A/mie um espaco vetorial sobre um corpo e artiniano se, e so se, e de dimensao finita.

Finalmente, para mostrar que o mapa natural (produto dos mapas de localizacao)

A→ Am1 × · · · ×Amn

e um isomorfismo, basta mostrar que todas as suas localizacoes com relacao aos ideais maximais de Asao isomorfismos, o que e claro.

4.4 Algebras e Modulos de Presentacao Finita

Nesta secao, apresentamos certas condicoes “relativas” de finitude.

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presentacao finitaDefinicao 4.4.1 Seja A um anel. Um A-modulo M e de presentacao finita sobre A se existem m en e uma sequencia exata de A-modulos

Am - An - M - 0

Uma A-algebra B e de presentacao finita se ela se escreve como um quociente

B ∼= A[x1, . . . , xn]

(f1, . . . , fm)fi ∈ A[x1, . . . , xn]

Se A e um anel noetheriano, entao todo modulo finitamente gerado e toda algebra finitamente geradasao de presentacao finita. Por exemplo, se B e gerado como A-algebra por ω1, . . . , ωn, entao temos umasobrejecao de A-algebras

A[x1, . . . , xn] ։ B

xi 7→ωiMas como A[x1, . . . , xn] e noetheriano pelo Basissatz Hilberts, temos que o kernel deste mapa e finita-mente gerado, logo B e de fato de presentacao finita sobre A. Isto mostra que “ser de presentacao finita”e uma especie de “noetherianidade relativa”, ja que A nao e, necessariamente, noetheriano.

Teorema 4.4.2 (Morfismos de presentacao finita)

1. (Estabilidade por composicao) Se A→ B e B → C sao algebras de presentacao finita, o mesmovale para a composicao A→ C.

2. (Estabilidade sob mudanca de base arbitraria) Seja B uma A-algebra de presentacao finita e A′

uma A-algebra arbitraria. Entao B ⊗A A′ e de presentacao finita sobre A′.

3. A localizacao Ah de um anel A em um elemento h ∈ A e de presentacao finita sobre A, a saberAh ∼= A[x]/(xh− 1).

4. Se φ:B ։ C e um morfismo sobrejetor de A-algebras de presentacao finita entao kerφ e umideal finitamente gerado de B.

Prova Os itens (1)–(3) sao deixados como exercıcios para o leitor; aqui provaremos apenas o item (4).Como B e o quociente de uma algebra polinomial A[x1, . . . , xn] por um ideal finitamente gerado, bastaprovar o teorema para B = A[x1, . . . , xn]. Escreva C = A[y1, . . . , ym]/a onde a e um ideal finitamentegerado de A[y1, . . . , ym]. Como

C =A[y1, . . . , ym, x1, . . . , xn]

a+ (x1, . . . , xn)

e de presentacao finita sobre B, podemos reduzir a prova para o caso B = A. A prova agora e porinducao no numero de variaveis m e e suficiente provar a afirmacao para m = 1: pois neste caso, comoφ:A։ C se fatora como

A→ A[y1, . . . , ym−1]ψ։ C =

A[y1, . . . , ym]

a

com ψ sobrejetor, temos que kerψ e finitamente gerado e podemos escrever C = A[y1, . . . , ym−1]/ kerψ.Portanto temos uma sobrejecao φ:A ։ A[y]/a de A-algebras onde a e um ideal finitamente gerado deA[y] e temos que mostrar que kerφ tambem e finitamente gerado. Mas como y esta na imagem de φ existea ∈ A tal que y− a ∈ a. Logo se f1(y), . . . , fr(y) sao geradores de a entao C ∼= A/

(f1(a), . . . , fr(a)

), i.e.,

o kernel de φ pode ser gerado por f1(a), . . . , fr(a).

O seguinte resultado explicita a relacao entre algebras de presentacao finita e aneis noetherianos.Este teorema (e seus companheiros) sao frequentemente utilizados para reduzir demonstracoes que en-volvam algebras gerais de presentacao finita ao caso noetheriano. Como nao utilizaremos este teorema,omitimos sua prova (que e um pouco longa, mas nao e particularmente difıcil), referindo o leitor aEGAIVc, 8.9.1, pag. 34.

Teorema 4.4.3 (“Reducao Noetheriana”) Seja A um anel e B uma A-algebra de presentacao finita.Entao existe um anel noetheriano A0, um mapa A0 → A e uma A0-algebra B0 finitamente gerada talque B = B0 ⊗A0 A.

A ideia central da prova e escrever A como uniao (limite direto) de suas subalgebras finitamentegeradas sobre Z e utilizar o fato que as relacoes que definem B sobre A podem ser expressas em termosde elementos de algum destes subaneis.

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54 Manobras Basicas

algebra do blow-upalgebra de Rees

5 Aneis completos

5.1 Topologia a-adica e o teorema de Artin-Rees

Seja A um anel e a um ideal. O conjunto das potencias an de a formam uma base de abertos do 0; atopologia definida em A e chamada de topologia a-adica. E facil mostrar que as operacoes de soma eproduto sao contınuas com relacao a esta topologia e que A e Hausdorff se, e somente se,

⋂n≥0 a

n = (0).Da mesma forma, dado um A-modulo M , o conjunto anM e uma base de abertos de 0 que define atopologia a-adica de M .

O proximo teorema diz que a topologia a-adica de um submodulo N de um modulo M coincide coma topologia induzida pela topologia a-adica de M .

Teorema 5.1.1 (Artin-Rees) Seja a um ideal de um anel noetheriano A e seja M um A-modulofinitamente gerado. Seja N um submodulo de M . Entao existe um r tal que para todo n ≥ r

(anM) ∩N = an−r ·((arM) ∩N

)

Em particular, para n grande o suficiente, anN ⊂ (anM) ∩N) ⊂ an−rN , logo a topologia a-adica em Ne a mesma que a induzida pela topologia a-adica de M .

Prova Considere o anel graduado Ba(A)

Ba(A)def= A⊕ a⊕ a2 ⊕ · · ·

Este anel e chamado de algebra do blow-up ou algebra de Rees de a. Temos tambem o Ba(R)-modulograduado Ba(M)

Ba(M)def= M ⊕ aM ⊕ a2M ⊕ · · ·

Afirmamos que o anel Ba(A) e noetheriano e o modulo Ba(M) e finitamente gerado sobre Ba(A). Defato, sejam a1, . . . , an geradores de a. Temos um morfismo sobrejetor

φ : A[x1, . . . , xn] ։ Ba(A)

xi 7→ (0, ai, 0, 0, . . .)

de A-algebras graduadas, logo Ba(A) e finitamente gerada sobre A e portanto e noetheriana tambem. Poroutro lado, seM = Am1+· · ·+Amd, entao Ba(M) e generada sobre Ba(A) pelos elementos (mi, 0, 0, . . .),1 ≤ i ≤ d. Desta forma, Ba(M) e um modulo noetheriano.

A inclusao (anM) ∩N ⊃ an−r ·((arM) ∩ N

)e clara. Para mostrar a inclusao oposta, considere o

submodulo de Ba(M)

Pdef=⊕

n≥0

(anM) ∩N

Como Ba(M) e noetheriano, P e finitamente gerado sobre Ba(A). Fixe um conjunto de geradoreshomogeneos e seja r o grau maximo de um elemento deste conjunto. Entao, para n ≥ r,

Pn =∑

0≤i≤rBa(A)n−i · Pi ⇒

(anM) ∩N =∑

0≤i≤ran−i ·

((aiM) ∩N

)⊂ an−r ·

((arM) ∩N

)

Observacao 5.1.2 Geometricamente, ProjBa(A) corresponde ao blow-up de SpecA com centro nosubesquema fechado SpecA/a, daı o nome de algebra de blow-up. Por exemplo, se A = C[x, y] ea = (x, y), o ideal correspondendo a “origem” de C2, temos um isomorfismo de C[x, y]-algebras graduadas(exercıcio!)

C[x, y, w, z](yw − xz)

∼- B(x,y)(C[x, y])

w 7→ (0, x, 0, 0, . . .)

z 7→ (0, y, 0, 0, . . .)

e a variedade definida por yw − xz = 0 e o blow-up usual do plano C2 na origem.

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55

sequencia decompletocompletamen

Teorema 5.1.3 (Interseccao de Krull) Seja A um domınio noetheriano e a um ideal proprio de A.Entao ⋂

n≥0

an = (0)

Prova Seja b =⋂n≥0 a

n. Pelo teorema de Artin-Rees, existe c tal que, para n≫ 0, b = b∩an+c ⊂ ban,isto e, b = ba. Localizando em um ideal maximal m ⊃ a e aplicando Nakayama, temos que bm = 0.Como A e domınio, temos que isto implica b = 0.

5.2 Completamento

Seja A um anel e a ⊂ A um ideal qualquer. Uma sequencia an ∈ A e uma sequencia de Cauchy sedado d > 0 existe um n0 > 0 tal que

m,n ≥ n0 ⇒ am − an ∈ ad

Dizemos que uma sequencia (an) em A converge para um elemento a ∈ A se dado d > 0 existe umn0 > 0 tal que

n ≥ n0 ⇒ an − a ∈ ad

Um anel A e completo com relacao a topologia a-adica se toda a sequencia de Cauchy em A converge.

Podemos construir o completamento de A como o limite projetivo

A = lim←−A/an =

(an) ∈

∏

n≥1

A/an∣∣∣ an ≡ am (mod am) para todo n ≥ m

Lemma 5.2.1 Seja a be an ideal of a noetherian anel A. Seja M be an A-modulo e N be a finitesubmodulo of M . Entao

lim←−N/anN = lim←−N/(N ∩ anM)

Prova temos natural maps fn:N/anN → N/(N ∩ anM) which determines a mapa f : lim←−N/a

nN =

lim←−N/(N ∩ anM). Seja us mostrar que f e an isomorfismo. Seja (Xn) ∈ lim←−N/anN be tal que

fn(Xn) = 0 para todo n. Entao fn+r(Xn+r) = 0 implies Xn = φn+r,n(Xn+r) = 0 por the Artin-Rees

theorem. Portanto f e injetivo. Now seja (yn) ∈ lim←−N/(N ∩ anM). Choose Xn tal que fn(Xn) =

yn e define Xn = φn+r,n(Xn+r). Como fn+r(φn+r+1,n+r(Xn+r+1) − Xn+r) = 0, again por Artin-

Rees 0 = φn+r,n(φn+r+1,n+r(Xn+r+1) − Xn+r) = φn+1,n(Xn+1) −Xn. Portanto (Xn) ∈ lim←−N/anN e

f(Xn) = (yn), proving that f e surjective.

Exemplo 5.2.2 A[x] = A[[x]]

Observacao 5.2.3 Frac(Z[[x]]

)6= Q((x)). Por exemplo, se pn denota o n-esimo primo, entao

∑n≥0

1pn·

tn ∈ Q((x)) \ Frac(Z[[x]]

).

We can now mostrar que under our assumptions completion preserve exactness.

Teorema 5.2.4 Seja a be an ideal of a noetherian anel A. Se

0 - M ′ f- Mg- M ′′ - 0

e an exact sequence of finite modulos, entao the corresponding sequence of a-adic completions

0 - M ′ f- Mg- M ′′ - 0

e also exact. In particular, temos (M/M ′)ˆ= M/M ′.

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56 Manobras Basicas

Prova We may assume that M ′ e a submodulo of M e that f e the inclusao mapa. Entao the exactsequence

0 - M ′

M ′ ∩ anM

f- M

anM

g- M ′′

anM ′′- 0

determines an exact sequence of inverse systems

0 - lim←−M ′

M ′ ∩ anM

f- lim←−M

anM

g- lim←−M ′′

anM ′′- 0

which we will prove to be exact. Exactness at the first two modulos e easy, seja us just check the lastone.

Dado (yn) ∈ lim←−M′′/anM ′′, we shall construct elements Xn ∈ M/anM inductively de modo que

(Xn) ∈ lim←−M/anM e gn(Xn) = yn. suponha que Xn−1 has already been determined, choose Xn ∈M/anM tal que gn(Xn) = yn. Now gn−1(Xn−1−φn,n−1(Xn)) = 0, portanto existe a z ∈ f(M ′)/f(M ′)∩anM com in−1 φn,n−1(z) = Xn−1−φn,n−1(Xn). Defining Xn = z+ Xn, temos que φn,n−1(Xn) = Xn−1

e gn(Xn) = yn. This shows that g e surjective.

Now combining the above com the previous corollary finishes the proof.

Teorema 5.2.5 Seja A be a noetherian anel, a e b be ideals of A e M be a finite A-modulo. Seˆdenotesthe a-adic completion, temos

1. M ⊗A A = M

2. (bM ) = bM = bM

Prova 1. Consider the exact sequence Am → An →M → 0. temos the seguinte diagrama comutativo

Am ⊗ A - An ⊗ A - M ⊗ A - 0

Am?

- An?

- M

?- 0

The top row e exact como the tensor product e right exact; the bottom row e exact por the previoustheorem e the isomorfismo Am = (Am). Now the first two vertical flechas sao isomorfismo, portanto soe the third.

2. Seja b = Ab1 + · · ·Abn e define f :Mn → M por f(m1, . . . ,mn) = b1m1 + · · · + bnmn. temos anexact sequence

Mn f- Mg- M/bM - 0

e portanto

Mn f- Mg- (M/bM ) - 0

e also exact. Portanto bM = im(f) = ker(g). Como (M/bM ) = M/(bM ), ker(g) = (bM ) e portanto

bM = bM ). Finally, applying this last result toM = A, temos bA = b, e portanto bM = bM , completingthe proof.

Teorema 5.2.6 Seja a be an ideal of a noetherian anel A. Se a = Aa1+ · · ·+Aan, the a-adic completionof A e isomorphic to A[[X1, . . . , Xn]]/(X1 − a1, . . . , Xn − an). In particular, A e noetherian.

Prova Seja A = A[X1, . . . , Xn], m = Ax1 + · · ·+Axn e n = A(X1 − a1) + · · ·+A(Xn − an). Denoting

por ˆ the m-adic completion, temos que A ∼= A/n implies A ∼= A/n = A/nA = A[[X1, . . . , Xn]]/(X1 −a1, . . . , Xn − an). However, the m-adic completion of A as an A-modulo coincides com the a-adic com-pletion of A as a anel, e the result follows. Como A e noetherian, A[[X1, . . . , Xn]] e also noetherian e

portanto so e A.

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Lema 5.2.7 (Hensel) Seja (A,m, k) um anel local completo. Se f(x) ∈ A[x] e um polinomio monico tal

que sua imagem f(x) ∈ k[x] = A[x]/mA[x] possui uma raiz simples α em k (i.e. f(α) = 0 e f′(α) 6= 0)

entao f(x) possui uma raiz a ∈ A tal que a mod m = α.

Lema 5.2.8 (Nakayama Completo) Seja (A,m, k) um anel local completo e M um A-modulo (naonecessariamente finitamente gerado sobre A) que e m-separado, i.e.,

⋂n≥0 m

nM = 0. Entao

M ⊗A k = 0 ⇐⇒ M = 0

Teorema 5.2.9 (Preparacao de Weierstraß) Seja (A,m, k) um anel local completo e f(x) ∈ A[[x]]tal que f(x) /∈ mA[[x]]. Entao A[[x]]/

(f(x)

)e uma extensao finita de A.

Prova TemosA[[x]](f(x)

) ⊗A k =k[[x]](f(x)

)

e finita sobre k. Utilizando o Nakayama completo, podemos levantar uma base desta k-algebra.

Teorema 5.2.10 Seja A um anel noetheriano, a um ideal de A e M um A-modulo finitamente gerado.Denote por A e M os completamentos a-adicos de A e M , respectivamente. Entao

1. Temos um isomorfismo M ⊗A A = M .

2. A e plano sobre A.

3. se a = (a1, . . . , an) entao

A ∼= A[[x1, . . . , xn]]

(x1 − a1, . . . , xn − an)

e portanto A tambem e noetheriano.

Lemma 5.2.11 Seja (A,m) be a local noetherian anel, e M be a finitely generated A-module. Se N e asubmodule of M generated por ω1, . . . , ωd, temos

N = Aω1 + · · ·+ Aωd

as a submodule of M , onde the hat denotes the completion com respect to the m-adic topology. Inparticular, se a e an ideal of A, entao a = aA.

Prova Dado an element x = a1ω1 + · · · + adωd of Aω1 + · · · + Aωd, ai ∈ A, choose Cauchy sequences(ain)n≥1 in A converging to ai, i = 1, . . . , d; entao xn = a1nω1 + · · ·+ adnωd sao the terms of a Cauchy

sequence in N converging to x, portanto x ∈ N . Reciprocamente, suponha que x ∈ N , e seja (xn)n≥1

be a Cauchy sequence converging to x tal que xn+1 − xn ∈ mnN para todo n. Define x0 = 0 e chooseelements ain ∈ A tal que

xn+1 − xn = a1nω1 + · · ·+ adnωd, ain ∈ mn

Entao

xn =∑

0≤j<n(xj+1 − xj) =

( ∑

0≤j<na1j

)ω1 + · · ·+

( ∑

0≤j<nadj

)ωd

Como cada sum∑

0≤j<n aij converges in A as n→∞, concluımos que (xn)n≥1 converges to an element

of Aω1 + · · ·+ Aωd, e portanto x ∈ Aω1 + · · ·+ Aωd.

6 Exercıcios

01. Seja A um anel e seja

A→∏

p∈SpecA

Ap

o produto dos mapas de localizacao. Prove que este mapa e injetor.

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58 Manobras Basicas

coprimos02. Sejam a e b ideais de um anel A.

(a) Prove que√√

a =√a e√ab =

√a ∩ b.

(b) Mostre que se a e b sao coprimos (i.e. a+ b = (1)), entao o mesmo vale para am e bn para todosm,n ≥ 0.

(c) Suponha que√a e finitamente gerado. Mostre que existe um inteiro n tal que a ∈ √a ⇒ an ∈ a

globalmente (i.e., independentemente do a).

03. Seja A um anel graduado e a um ideal homogeneo de A. Mostre que√a tambem e um ideal

homogeneo.

04. Considere o anel A = C[x, y](x,y)/(xy). Determine SpecA, seus abertos e fechados e calcule explici-tamente a localizacao Ax. De uma interpretacao geometrica.

05. Para cada um dos aneis A a seguir, descreva o mais explicitamente possıvel

1. SpecA e os ideais maximais de A

2. os abertos e fechados de SpecA

De tambem descricoes geometricas destes aneis (por exemplo, faca um desenho) no maior numerode casos que voce conseguir.

(a) C (b) C× C

(c) C[z] (d) C[[z]]

(e) C[z]/(z2010) (f) C[[z]]/(z2010)

(g) C[x, y]/(x2010, y2010) (h) C[x, y]/(xy)2010

(i) R[z]/(z2 + 1) (j) C[z]/(z2 + 1)

(k) F5[z]/(z2 − 2) (l) F5[z]/(z

5 − 2)

(m) C[x, y]/(y2 − x3) (n) C[x, y]/(y2 − x2(x + 1))

(o) C[x, y]/(y2 − x3 + 1) (p) C[x, y, z]/(y − xz, z2 − x− 1)

06. Seja φ:C[x, y] → C[x, y, z]/(y − xz) o morfismo de C-algebras dado por φ(x) = x e φ(y) = y. Sejaf = Spec(φ): SpecC[x, y, z]/(y − xz)→ SpecC[x, y] o morfismo de espectros associado a φ.

(a) Determine f(ma,b,c) onde ma,b,c = (x−a, y−b, z−c) e o ideal maximal associado ao ponto (a, b, c) ∈C3 da superfıcie y = xz.

(b) Calcule as fibras f−1ma,b onde ma,b = (x − a, y − b) ∈ SpecC[x, y] e o ideal maximal associado aoponto (a, b) ∈ C2.

(c) Calcule as fibras f−1pa,b e f−1(0) onde pa,b = (ax+by) ∈ SpecC[x, y] denota o ideal primo associado

ao ponto generico das retas em C2.

07. Mostre que SpecZ[x] consiste nos seguintes ideais primos:

1. (0);

2. (f(x)), onde f(x) ∈ Z[x] e um polinomio irredutıvel;

3. (p), onde p ∈ Z e um numero primo;

4. (p, f(x)), onde p ∈ Z e um numero primo e f(x) ∈ Z[x] e tal que sua imagem em Fp[x] e umpolinomio irredutıvel.

08. Seja A o anel de todas as funcoes contınuas f : [0, 1] → R. Mostre que existe um primo p ∈ SpecAque nao e da forma

IP = f ∈ A | f(P ) = 0com P ∈ [0, 1].

Hint: Localize.

09. Use o “truque do determinante” para mostrar o seguinte:

(a) (Cayley-Hamilton) Seja K um corpo e M uma matriz n×n com entradas em K. Se pM (x) ∈ K[x] eo polinomio caracterıstico de M , entao pM (M) = 0. Para provar este teorema, considere V = Kn como

um K[x]-modulo onde multiplicacao de f(x) ∈ K[x] por v ∈ Kn e dada por f(x) · v def= f(M)v.

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10. Encontre geradores minimais para os ideais maximais dos seguintes aneis locais A = Bm onde

(a) B = C[x, y]/(y2 − x3) e m = (x, y).

(b) B = C[x, y]/(y2 − x2(x+ 1)) e m = (x, y).

(c) B = C[x, y]/(y2 − x2(x+ 1)) e m = (x+ 1, y).

(d) B = C[x, y, z]/(y − xz, z2 − x− 1) e m = (x, y, z − 1)

(e) B = Z[x] e m = (3, x)

(f) B = Z[x]/(x2 − 45) e m = (3, x).

De interpretacoes geometricas.

11. Seja (A,m, k) um anel local e sejam f(x), g(x) ∈ A[x] polinomios monicos. Denote por f(x), g(x) ∈k[x] as imagens de f(x) e g(x) em A[x]/mA[x] = k[x], respectivamente. Mostre que se (f(x), g(x)) = (1),entao

A[x]

(f(x)g(x))∼= A[x]

(f(x))× A[x]

(g(x))

12. Sejam V e W espacos vetoriais de dimensao finita sobre um corpo K com bases ωi e τj respectiva-mente. Mostre que os elementos ωi ⊗ τj formam uma base do K-espaco vetorial V ⊗K W e conclua quedimK(V ⊗K W ) = dimK V · dimKW .

13. Mostre os seguintes isomorfismos de aneis:

(a) Z/n⊗Z Z/m = Z/(m,n)(b) C[x]⊗C C[y] = C[x, y].

14. Seja φ:A→ B uma A-algebra.

15. Seja L ⊃ K uma extensao finita galoisiana de corpos com G = Gal(L/K). Mostre que

L⊗K L ∼= Maps(G,L)

onde Maps(G,L) e o anel de todas as funcoes de G em L, ou seja, Maps(G,L) ∼= L|G|, o anel de tuplascom entradas em L indexadas por elementos de G (produto e soma componente a componente).

16. Seja A um anel noetheriano e φ:A։ A um morfismo sobrejetor. Mostre que φ e um isomorfismo.

17. Prove que se todos os elementos de SpecA sao finitamente gerados entao o anel A e noetheriano.

18. Calcule o comprimento do A-modulo M onde

(a) A = C[x] e M = A/(xn) com n ∈ N.(b) A = Z e M = A/(pn) com n ∈ N e p primo.

(c) A = C[x, y] e M = A/(x, y)n com n ∈ N.(d) A = C[x, y]/(y2 − x3 + 1) e M = A/(x, y)n com n ∈ N.(e) A = C[x, y]/(y2 − x3) e M = A/(x, y)n com n ∈ N.

19. Prove that a noetherian domainA e a PID se, e so se, todo its prime ideals sao principal. Hint: suponhaque the result e false e seja a be an ideal of A, maximal among the non-principal ones. Entao a e notprime; seja x, y /∈ a but xy ∈ a. Entao (x) + a = (a) e (y) + a = (b) para algum a e b. Consider the idealb = (a : a).

20. (Chomp, o jogo) Ha um chocolate em cada ponto (m,n) de Z2≥0, com excecao do ponto (0, 0), no

qual ha um morango envenenado. Dois jogadores se alternam: cada movimento deste jogo consiste emescolher um chocolate em um ponto (m,n) e papar todos os chocolates acima e a direita de (m,n), ouseja, todos os chocolates nos pontos (x, y) com x ≥ m e y ≥ n (sim, cada jogador e um tremendo glutaocapaz fagocitar infinitos chocolates em um so movimento!) O jogo acaba quando um deles morre (osjogadores sao highlanders, somente o morango envenenado e capaz de lhes subtrair a vida). Mostre queo jogo acaba apos um numero finito de movimentos.

Hint: Utilize Basissatz Hilberts.

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integralfinita

Chapter 4

ExtensoesFinitase Integrais

Extensoes finitas e integrais de aneis generalizam os conceitos de extensoes finitas e algebricas de corpos,sendo portanto conceitos muito importantes no estudo de aneis, com diversas aplicacoes em GeometriaAlgebrica e Teoria dos Numeros.

1 Definicoes e Propriedades Basicas

Definicao 1.1 Seja A ⊂ B uma extensao de aneis. Um elemento b ∈ B e integral sobre A se ele satisfazum polinomio monico com coeficientes em A:

bn + an−1 · bn−1 + · · ·+ a0 = 0, ai ∈ A

Dizemos que o anel B e integral sobre A se todo elemento de B e integral sobre A.

Definicao 1.2 Uma A-algebra B e dita finita se B e um A-modulo finitamente gerado.

As definicoes acima sao generalizacoes para aneis dos conceitos familiares de elemento algebricoe extensoes finitas e algebricas de corpos. Por exemplo, o teorema seguinte e uma generalizacao doconhecido fato de que um elemento θ e algebrico sobre um corpo K se, e somente se, [K(θ) : K] <∞.

Teorema 1.3 (Caracterizacao Intrınseca de Integralidade) Seja A ⊂ B uma extensao de aneise seja b ∈ B. As seguintes condicoes sao equivalentes:

1. b e integral sobre A;

2. A[b] e uma A-algebra finita;

3. A[b] ⊂ C para alguma A-subalgebra finita C de B.

Prova (1 ⇒ 2) Seja bn + an−1bn−1 + · · · + a0 = 0, ai ∈ A, uma equacao monica para b. Entao, para

i ≥ 0, temos

bn = −an−1bn−1 − · · · − a0 ⇒ bn+i = −an−1b

n−1+i − · · · − a0bi

o que nos permite recursivamente expressar qualquer potencia bj com j ≥ n em termos de combinacoesA-lineares de 1, b, . . . , bn−1. Assim,

A[b] = A+Ab+ · · ·+Abn−1

e uma A-algebra finita.

(2⇒ 3) Obvio: basta tomar C = A[b].

(3 ⇒ 1) Aqui usamos o nosso velho conhecido, o truque do determinante: se ω1, . . . , ωn sao geradoresde C sobre A, como b · ωi ∈ C para todo i, temos o seguinte “sistema linear” nas “variaveis” ωi e“coeficientes” aij ∈ A:

b · ω1 = a11ω1 + · · ·+ a1nωn

...

b · ωn = an1ω1 + · · ·+ annωn

Assim, b e raiz do polinomio caracterıstico da matriz (aij), que e monico e possui coeficientes em A.

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62 Extensoes Finitas e Integrais

fecho integralnormalintegralmente fechado

Corolario 1.4 Sejam A ⊂ B ⊂ C extensoes de aneis.

1. (Finito ⇒ Integral) Se B e uma A-algebra finita entao B e integral sobre A. Reciprocamente,temos

finitamente gerado + integral = finito

2. (Transitividade de Finitude e Integralidade) Se C e finito (resp. integral) sobre B e B e finito(resp. integral) sobre A entao C e finito (resp. integral) sobre A.

3. (Normalizacao e anel) Seja A ⊂ B o subconjunto de todos os elementos de B que sao integrais

sobre A. Entao A e um subanel de B, chamado de fecho integral ou normalizacao de A emB.

Prova (1) e consequencia imediata do teorema. Para provar (2), suponha que B seja finito sobre A,gerado por ωi, 1 ≤ i ≤ n, e que C seja finito sobre B, gerado por τj , 1 ≤ j ≤ m. Entao C e finito sobreA, gerado pelos mn elementos ωiτj , 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m. Agora suponha que C ⊃ B e B ⊃ A sejamextensoes integrais e seja c ∈ C; devemos mostrar que c e integral sobre A. Por hipotese, c satisfaz umarelacao monica

cn + bn−1cn−1 + · · ·+ b0 = 0 bi ∈ B

Por outro lado, cada bi e integral sobre A. Assim, pelo teorema A[b0] ⊃ A e uma extensao finita. Comob1 e integral sobre A, tambem e integral sobre A[b0], de modo que A[b0, b1] ⊃ A[b0] e finita, bem comoA[b0, b1] ⊃ A pelo que acabamos de mostrar. Procedendo desta forma, concluımos que

A[b0, b1, . . . , bn−1, c] ⊃ A

e uma extensao finita e c ∈ A[b0, b1, . . . , bn−1, c], de modo que c e integral sobre A, como desejado.

Finalmente, para provar (3), sejam b1, b2 ∈ A; devemos mostrar que b1 ± b2 e b1b2 tambem estao

em A, ou seja, sao integrais sobre A. Mas ambos estes elementos pertencem ao subanel A[b1, b2], que efinito sobre A (veja a prova do item anterior), o que encerra a demonstracao.

Definicao 1.5 Um domınio A e normal ou integralmente fechado se A e seu proprio fecho integralem FracA.

Teorema 1.6 UFDs sao normais.

Prova Seja A um UFD e seja θ ∈ FracA um elemento integral sobre A, digamos raiz do polinomiomonico f(x) = xn + cn−1x

n−1 + · · ·+ c0 ∈ A[x]. Podemos escrever θ = a/b com a, b ∈ A primos entre si.Limpando os denominadores em f(θ) = 0 obtemos

an + cn−1an−1b+ cn−2a

n−2b2 + · · ·+ c0bn = 0

Como b divide todos os termos a partir do segundo, temos que b divide an tambem. Mas como a e b saoprimos entre si temos que a unica possibilidade para que isto ocorra e b ∈ A×, logo θ ∈ A.

Lema 1.7 (“Limpando denominadores”) Seja A um domınio com corpo de fracoes K = FracA eseja L ⊃ K uma extensao algebrica de corpos. Para todo θ ∈ L, existe d ∈ A nao nulo tal que dθ eintegral sobre A.

Prova Suponha que anθn + an−1θ

n−1 + · · · + a0 = 0 com ai ∈ A, an 6= 0. Multiplicando por an−1n

obtemos (anθ)n + an−1(anθ)

n−1 + · · ·+ an−1n a0 = 0, logo podemos tomar d = an.

Teorema 1.8 Seja A um domınio normal com corpo de fracoes K = FracA. Seja L ⊃ K uma extensaoalgebrica de corpos e seja B o fecho integral de A em L.

1. Um elemento β ∈ L pertence a B se, e so se, seu polinomio minimal p(x) sobre K pertence aA[x].

2. Se L ⊃ K e uma extensao finita, entao TrL/K(β), NL/K(β) ∈ A para todo β ∈ B.

3. Se L ⊃ K e uma extensao finita separavel e A e noetheriano entao B e finito sobre A.

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Prova 1. Se o polinomio minimal (que e monico por definicao) de β ∈ L pertence a A[x] entaoclaramente β ∈ B. Reciprocamente, seja β ∈ B e seja f(x) ∈ K[x] o polinomio minimal de β. Entaotoda raiz de f(x) (no fecho algebrico de K) e integral sobre A: se f(β) = f(γ) = 0 seja σ o isomorfismode K-algebras dado pela composicao

K[β]β 7→x

≈- K[x](

f(x)) x 7→γ

≈- K[γ]

Se p(x) ∈ A[x] e um polinomio monico tal que p(β) = 0 entao p(γ) = p(σ(β)) = σ(p(β)) = 0 e portantoγ tambem e integral sobre A.

Assim, como os coeficientes de f(x) sao polinomios simetricos elementares em suas raızes, temosque os coeficientes de f(x) sao integrais sobre A e pertencem a K. Como A e normal, isto implica quef(x) ∈ A[x].2. Pelo item anterior, o polinomio minimal p(x) = xn + an−1x

n−1 + · · · + an de β sobre K pertencea A[x]. Como TrL/K(β) e um multiplo inteiro de an−1, temos que TrL/K(β) ∈ A. Da mesma forma,NL/K(β) e, a menos de sinal, uma potencia de a0, logo NL/K(β) ∈ A tambem.

3. Como A e noetheriano, basta mostrar que B esta contido em algum A-submodulo finitamentegerado de L. Seja ω1, . . . , ωn uma base de L sobre K. Como os ωi sao algebricos sobre K, “limpandodenominadores” podemos supor que sem perda de generalidade que ωi ∈ B para i = 1, . . . , n. Vamosmostrar a existencia de um D ∈ A nao nulo tal que

B ⊂ A · ω1

D+ · · ·+A · ωn

D

Tome β ∈ B. Como os ωi formam uma base de L sobre K, podemos escrever β = a1ω1+ · · ·+ anωncom ai ∈ K. Vamos aplicar novamente o “truque do determinante”: multiplicando a relacao anteriorpor ωj e tomando tracos, obtemos o “sistema linear” nos ai’s:

TrL/K(βω1) = a1 TrL/K(ω1ω1) + · · ·+ anTrL/K(ωnω1)

TrL/K(βω2) = a1 TrL/K(ω1ω2) + · · ·+ anTrL/K(ωnω2)

...

TrL/K(βωn) = a1 TrL/K(ω1ωn) + · · ·+ anTrL/K(ωnωn)

Note que como βωi e ωiωj sao todos integrais sobre o anel normal A, D = det(TrL/k(ωiωj)), o discrim-inante da base ωi, pertence a A. Como L ⊃ K e separavel, temos que D 6= 0. Pela regra de Cramertemos que ai ∈ A ·D−1, o que mostra que β ∈ A · ω1

D + · · ·+A · ωn

D , como desejado.

Exemplo 1.9 Seja d um inteiro livre de quadrados (i.e. nenhum quadrado de primo divide d). Entao

o fecho integral de Z em Q(√d) e dado por Z[ω] = Z+ Zω, onde

ω =

√d se d ≡ 2, 3 (mod 4)

1+√d

2 se d ≡ 1 (mod 4)

Teorema 1.10 (Localizacao × Integralidade) Seja B ⊃ A uma extensao de aneis e seja S umconjunto multiplicativo de A.

1. Se B e integral sobre A entao S−1B e integral sobre S−1A.

2. Se A e um domınio normal entao S−1A e normal tambem.

3. Um domınio A e normal se, e so se, Am e normal para todos os ideais maximais m de A.

Prova Para mostrar (1), seja b/s ∈ S−1B (com b ∈ B e s ∈ S). Como B e integral sobre A, b satisfazuma relacao monica bn + an−1b

n−1 + · · · + a0 = 0 com ai ∈ A. Assim, “dividindo por sn”, temos emS−1B ( b

s

)n+an−1

s·( bs

)n−1

+an−2

s2·( bs

)n−2

+ · · ·+ a0sn

= 0

o que mostra que b/s e integral sobre S−1A.

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Agora, suponha que A seja um domınio normal e considere um elemento x ∈ FracS−1A = FracAintegral sobre S−1A. Entao existem ai ∈ A e t ∈ S (tomando um “denominador comum”) tais que

xn +an−1

txn−1 + · · ·+ a1

tx+

a0t

= 0⇒ (tx)n + an−1(tx)n−1 + · · ·+ a1t

n−2(tx) + a0tn−1 = 0

Assim, tx ∈ FracA e integral sobre A e logo tx ∈ A. Portanto x ∈ S−1A, o que prova (2).

Por (2), ja sabemos que se A e normal entao Am tambem e normal para todo ideal primo m.Reciprocamente, suponha que Am e normal para todos os ideais maximais m de A e seja x ∈ FracA umelemento integral sobre A. Como A ⊂ Am (vistos como subaneis de FracA), temos que x e integral sobrecada Am e portanto

x ∈⋂

m

Am = A

pelo princıpio local-global (teorema III.1.8), o que mostra que A e tambem normal.

Teorema 1.11 Se A e um domınio normal, o mesmo vale para A[x].

Prova Seja K = FracA e seja f(x) ∈ Frac(A[x]

)um elemento integral sobre A[x]. Entao f(x) e integral

sobre K[x]. Mas como K[x] e um PID, logo um UFD, e um domınio normal e portanto f(x) ∈ K[x].Escreva

f(x) = αnxn + · · ·+ α0, αi ∈ K

Vamos agora mostrar por inducao no grau n de f(x) que f(x) ∈ A[x]. E suficiente mostrar que αn ∈ A,ja que neste caso teremos que f(x) − αnx

n tambem e integral sobre A[x] e, aplicando a hipotese deinducao, que f(x)− αnxn ∈ A[x] e assim f(x) ∈ A[x].

Vamos agora mostrar que αn e integral sobre A e assim αn ∈ A pois A e normal. A ideia e utilizara filosofia de “reducao noetheriana” (c.f. teorema III.4.4.3). Vamos construir um subanel noetherianosubanel A0 ⊂ A e um A0-modulo finito M0 ⊂ K tal que A0[αn] ⊂ M0. Como A0 e noetheriano, temosque A0[αn] sera uma A0-algebra finita contendo αn, logo este elemento sera integral sobre A0 e a fortiorisobre A tambem.

Agora vamos construir A0 e M0. Seja

F (T ) = T d + cd−1(x) · T d−1 + · · ·+ c0(x), ci(x) ∈ A[x]

um polinomio monico tal que F(f(x)

)= 0. Seja A0 a Z-subalgebra de A gerada por todos os coeficientes

dos ci(x)’s. Claramente A0 e noetheriana. Agora sejam ω1, . . . , ωr todos os coeficientes dos polinomios

1, f(x),(f(x)

)2, · · · ,

(f(x)

)d−1

Defina M0 = A0 · ω1 + · · ·A0 · ωr. Observe que como F (T ) ∈(A0[x]

)[T ] todas as potencias

(f(x)

)ide

f(x) podem ser escritas como A0[x]-combinacoes lineares das primeiras d potencias acima. Logo todos

os coeficientes de(f(x)

)ipertencem a M0, em particular todas as potencias αin de αn pertencema a M0

ja que αin e o coeficiente lıder de(f(x)

)i. Isto mostra que A0[αn] ⊂M0, o que encerra a prova.

Observacao 1.12 Em geral, A normal nao implica A[[x]] normal.

2 Fibras de Extensoes Integrais e Going-up

Lema 2.1 (“Corpos descem”) Seja B ⊃ A uma extensao integral de aneis.

1. Suponha que A e B sejam domınios. Entao

A e corpo ⇐⇒ B e corpo

2. Seja P ∈ SpecB e seja p = P ∩ A ∈ SpecA a imagem de P pelo mapa SpecB → SpecAinduzido pela inclusao A → B. Entao

p e maximal ⇐⇒ P e maximal

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Prova Suponha que A e corpo e tome b ∈ B nao nulo. Como B e integral sobre A, b e algebrico sobreA e satisfaz um polinomio

bn + an−1bn−1 + · · ·+ a0 = 0 ⇐⇒ b · (bn−1 + an−1b

n−2 + · · ·+ a1) = −a0

com ai ∈ A e a0 6= 0 (se a0 = 0, podemos cancelar b pois B e domınio). Assim, como a0 ∈ A× ⊂ B×,temos que b ∈ B× tambem, o que mostra que B e um corpo.

Reciprocamente, suponha que B seja um corpo. Se a ∈ A e um elemento nao nulo, entao a−1 ∈ Be integral sobre A, logo existem ai ∈ A tais que

(a−1)n + an−1 · (a−1)n−1 + an−2 · (a−1)n−2 + · · ·+ a0 = 0

Multiplicando por an−1, temos

a−1 = −an−1 − an−2 · a · · · − a0 · an−1 ∈ A

o que mostra que A e um corpo.

Finalmente, aplicando o resultado provado a extensao integral de domınios A/p → B/P, obtemoso item (2).

Teorema 2.2 Seja B ⊃ A uma extensao integral de aneis.

1. (Recobrimento) SpecB ։ SpecA e sobrejetor.

2. (Incomparabilidade) Os primos de uma fibra de SpecB ։ SpecA sao dois a dois incomparaveis,i.e., P1 ∩ A = P2 ∩ A⇒ P1 = P2 para Pi ∈ SpecB.

3. (Finitude) Se B e finito sobre A entao as fibras de SpecB ։ SpecA sao conjuntos finitos.

Prova Seja p ∈ SpecA e S = A \ p. Temos que a extensao S−1B ⊃ S−1A e integral (lembre-se de quelocalizacao e um funtor exato, logo preserva inclusoes) e e finita se B ⊃ A e finita. Logo, substituindo Ae B por suas localizacoes com relacao a S, podemos supor que A e local com ideal maximal p. Seja k ocorpo residual de A.

Para mostrar (1), devemos mostrar que a fibra SpecB⊗Ak de p e nao vazia, ou seja, que B⊗Ak 6= 0.Suponha por absurdo que B⊗A k = 0 ⇐⇒ B = pB. Se a extensao B ⊃ A e finita temos por Nakayama(teorema III.3.2.6) que B = 0, absurdo. No caso geral, de B = pB podemos escrever

1 = p1b1 + · · ·+ pnbn com pi ∈ p, bi ∈ B

Seja B′ = A[b1, . . . , bn] a A-subalgebra de B gerada pelos bi’s. Temos que B′ e finita sobre sobre A eB′ = pB′ pois multiplicando a relacao acima por bi vemos que bi ∈ pB′. Logo o caso geral segue do casoespecial que acabamos de provar.

Para provar (2), basta mostrar que todo primo P de B ⊗A k e maximal. Temos que (B ⊗A k)/Pe um domınio, que e uma extensao integral de k, pois B ⊗A k e integral sobre k. Pelo lema anterior,(B ⊗A k)/P e corpo, isto e, P e maximal.

Finalmente, se B ⊃ A e uma extensao finita, temos que dimk B⊗A k <∞, logo B⊗A k e artiniano eportanto SpecB⊗A k e finito pelo teorema III.4.3.9. Isto prova (3). Note que, neste caso finito, sabemosainda que todos os primos B ⊗A k sao maximais, logo dois a dois incomparaveis, o que fornece uma“outra” prova de (2) neste caso.

Corolario 2.3 (“Going-up”) Seja B ⊃ A uma extensao integral de aneis. Sejam p ( p′ ideais primosde A. Se P ∈ SpecB e um ideal primo sobre p (i.e. p = P ∩ A) existe P′ ∈ SpecB sobre p′ e tal queP ( P′.

P ( ∃P′ ( B| | |p ( p′ ( A

Prova A inclusao A → B induz uma inclusao de domınios A/p → B/P, que e integral pois B e integralsobre A. Assim, o resultado segue do teorema anterior (recobrimento) aplicado a esta ultima inclusao eo ideal primo p′/p de SpecA/p.

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Corolario 2.4 Seja A ⊂ B uma extensao integral de aneis. Entao dimA = dimB.

Prova Se

p0 ( p1 ( · · · ( pn ( A (∗)

e uma cadeia de ideais primos em A, entao pelo going-up existe uma cadeia de ideais primos em B

P0 ( P1 ( · · · ( Pn ( B (∗∗)

com Pi ∩A = pi e portanto dimB ≥ dimA. Reciprocamente, dada uma cadeia como (∗∗), temos que os

primos pidef= Pi∩A sao todos distintos pela incomparabilidade dos primos em uma fibra e assim definem

uma cadeia com em (∗). Logo dimA ≥ dimB.

3 Normalizacao de Noether e Nullstellensatz Hilberts

Teorema 3.1 (Normalizacao de Noether) Seja A um domınio finitamente generado sobre um corpok e seja r = tr. degk FracA. Entao existe uma base de transcendencia x1, . . . , xr ∈ A tal que A e finitosobre o subanel k[x1, . . . , xr].

Prova A prova e por inducao no numero n de geradores de A sobre k. Se A = k[a1, . . . , an] e os ai’ssao algebricamente independentes sobre k, entao n = r = tr. degk FracA e podemos tomar xi = ai. Casocontrario, n > r e existe uma relacao polinomial nao trivial entre os geradores ai:

∑

e1,...,en

be1,...,en · ae11 ae22 . . . aenn = 0 be1,...,en ∈ k (∗)

A ideia e reescrever (∗) de modo a obter uma equacao monica para a1. Isto pode ser feito da seguinte

maneira: para algum natural N , fazemos a “mudanca de coordenadas” a′i = ai − aNi−1

1 , i = 2, . . . , n.Como

ae11 ae22 . . . aann = ae11

(a′2 + aN1

)e2. . .(a′n + aN

n−1

1

)en

= ae1+e2N+···+enNn−1

1 + termos de grau baixo em a1,

escolhendo N grande o suficiente podemos fazer com que todos os expoentes e1 + e2N + · · ·+ enNn−1

“escritos na base N” fiquem distintos. Desta maneira, (∗) fornece um polinomio monico em a1 comcoeficientes no subanel A′ = k[a′2, . . . , a

′n] de A. Entao a1 sera integral sobre A′, bem como todos os

ai = a′i+aNi−1

1 . Resumindo, A e integral sobre A′; por outro lado, por hipotese de inducao, A′ e integralsobre um subanel R = k[y1, . . . , yr] para alguma base de transcendencia yi sobre k, portanto A e tambemintegral sobre A, o que encerra a prova.

Geometricamente, a normalizacao de Noether corresponde a existencia de uma projecao SpecA ։

Spec k[x1, . . . , xr] com fibras finitas de uma variedade qualquer sobre o espaco afim kr.

Corolario 3.2 Se A e um domınio finitamente generado sobre um corpo k entao dimA = tr. degk FracA.

Prova Pelo teorema, temos que A e finito sobre k[x1, . . . , xr] onde r = tr. degk FracA. Assim, docorolario 2.4, temos que dimA = dim k[x1, . . . , xr] ≥ r, pois temos a cadeia de primos de tamanho r

(0) ( (x1) ( (x1, x2) ( · · · ( (x1, . . . , xr) ( k[x1, . . . , xr]

Por outro lado, se temos uma cadeia de ideais primos

(0) = p0 ( p1 ( · · · ( pd ( k[x1, . . . , xr]

temos que B = k[x1, . . . , xr]/p1 e um domınio finitamente gerado sobre k e tr. degk FracB ≤ r − 1 poisqualquer polinomio nao nulo em p1 fornece uma relacao de dependencia algebrica entre os xi’s. Porinducao temos dimB ≤ r − 1, assim d− 1 ≤ dimB ⇒ d ≤ r, ou seja, dimA ≤ r.

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Teorema 3.3 (Nullstellensatz Hilberts, versao I) Seja A um domınio finitamente generado sobreum corpo k. Seja m ∈ SpecA. Entao

m e um ideal maximal de A ⇐⇒ dimk A/m <∞

Prova Substituindo A por A/m, temos que mostrar que um corpo A que e finitamente gerado comok-algebra e necessariamente algebrico sobre k. Pela normalizacao de Noether, A e uma extensao finitade um anel de polinomios k[x1, . . . , xr] onde r = tr. degk A. Mas pelo lema 2.1, k[x1, . . . , xr] tambem eum corpo, o que so ocorre se r = 0, ou seja, se A e algebrico e portanto uma extensao finita de k, ja queA e finitamente gerado sobre k.

Corolario 3.4 Seja A um domınio finitamente generado sobre um corpo k. Entao os ideais maximaisde A formam um conjunto denso em SpecA. Alem disso, se a e um ideal de A, temos

√a =

⋂

m∈V (a)m maximal

m

Corolario 3.5 Seja φ:A → B um morfismo de k-algebras finitamente geradas. Entao Spec(φ) levaideias maximais de B em ideais maximais de A.

Prova Seja q um ideal maximal de B e p = φ−1(q) ∈ SpecA. O morfismo φ induz uma injecao dek-algebras A/p → B/q. Como q e maximal, pelo Nullstellensatz, dimk B/q <∞ e assim dimk A/p <∞o que, novamente pelo Nullstellensatz, implica que p e maximal.

Observacao 3.6 Em geral, o mapa entre espectros nao preserva ideais maximais. E facil achar contra-exemplos: o mapa SpecQ→ SpecZ associado a inclusao Z → Q leva o ideal maximal (0) de Q no idealprimo nao maximal (0) de Z.

Teorema 3.7 (Nullstellensatz Hilberts, versao II) Seja k um corpo algebricamente fechado. Osideais maximais de k[x1, . . . , xn] sao precisamente os da forma (x1 − a1, . . . , xn − an) com ai ∈ k.

Prova Como k[x1, . . . , xn]/(x1−a1, . . . , xn−an) e isomorfo a k via xi 7→ ai, temos que (x1−a1, . . . , xn−an) e maximal. Reciprocamente, se m e um ideal maximal de k[x1, . . . , xn], pelo teorema anterior o corpok[x1, . . . , xn]/m e uma extensao finita de k e portanto isomorfo a k ja que este e algebricamente fechado.Assim, existem elementos ai ∈ k tais que xi ≡ ai (mod m), ou seja, (x1 − a1, . . . , xn − an) ⊂ m. Mascomo ambos os ideais sao maximais, devemos ter a igualdade.

Teorema 3.8 (Nullstellensatz Hilberts, versao III) Seja k um corpo algebricamente fechado.Entao I(V (a)) =

√a para todos os ideais a de k[x1, . . . , xn].

Prova E claro que√a ⊂ I(V (a)). Para provar a inclusao oposta, tome f ∈ I(V (a)) e considere o ideal

a+(yf − 1) de k[x1, . . . , xn, y]. Afirmamos que a+(yf − 1) = (1): de fato, se existisse um ideal maximal(x1 − a1, . . . , xn − an, y − b) contendo a + (yf − 1), entao (a1, . . . , an) ∈ V (a) e b · f(a1, . . . , an) = 1, oque e um absurdo pois f(a1, . . . , an) = 0 para todo (a1, . . . , an) ∈ V (a) por definicao.

Assim, existem g, gi ∈ k[x1, . . . , xn, y] e pi ∈ a tais que

1 = g(x1, . . . , xn, y) ·(yf(x1, . . . , xn)− 1

)+∑

i

gi(x1, . . . , xn, y) · pi(x1, . . . , xn)

Agora substitua y = 1/f na expressao acima e multiplique por uma potencia suficientemente grande fm

de f para “limpar” os denominadores. Obtemos uma nova expressao que mostra que fm ∈ a ⇐⇒ f ∈√a.

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valorizacao discretadomınio de valorizacaovalorizacao p-adica

Corolario 3.9 (Aneis artinianos revisitados) Seja k um corpo e A uma k-algebra finitamente ger-ada. As seguintes condicoes sao equivalentes:

1. dimk A <∞;

2. A e artiniano;

3. dimA = 0;

4. SpecA e discreto;

5. SpecA e um conjunto finito.

Prova Claramente 1⇒ 2 e ja sabemos pelo teorema III.4.3.9 que 2⇒ 3.

(3 ⇒ 4) Como dimA = 0, todo ideal primo de A e simultaneamente maximal e minimal, assim todoponto de SpecA e fechado. Alem disso, como A e finitamente gerado sobre k, A e noetheriano e portantopossui apenas um numero finito de ideais primos minimais, logo SpecA e finito e portanto discreto.

(4 ⇒ 5) Seja p ∈ SpecA. Como todo ponto e fechado, temos p = p ⇐⇒ V (p) = p, ou seja,p e maximal. Assim, todo ideal primo de A e simultaneamente maximal e minimal e como acima istoimplica que SpecA e finito.

(5⇒ 1) Se SpecA e finito entao A possui um numero finito de ideais maximais m1, . . . ,mn. Pela prova doteorema III.4.3.9, temos uma cadeia finita A ⊃ m1 ⊃ m1m2 ⊃ · · · ⊃ 0 tal que se M e miM denotam doistermos consecutivos nesta cadeia entao o quociente M/miM e finito sobre A/mi. Assim, para mostrarque A e finito sobre k basta mostrar que cada A/mi e finito sobre k, o que segue do Nullstellensatz(teorema 3.3).

4 Valorizacoes discretas

Na definicao seguinte,∞ denota um sımbolo sujeito as condicoes a+∞ =∞ e mina,∞ = a para todoa ∈ Z ∪ ∞.Definicao 4.1 Seja K um corpo. Uma valorizacao discreta v:K → Z∪∞ e uma funcao sobrejetoraque satisfaz os seguintes tres axiomas:

1. v(a) =∞ ⇐⇒ a = 0;

2. v(ab) = v(a) + v(b) para todo a, b ∈ K (isto e, v:K× → Z e um morfismo de grupos);

3. v(a+ b) ≥ minv(a), v(b) para todo a, b ∈ K.

O conjunto

Ov def= a ∈ K | v(a) ≥ 0

e um anel local com ideal maximal

mvdef= a ∈ K | v(a) > 0

ja queO×

v = a ∈ K | v(a) = 0 = Ov \mvO anel Ov e chamado de domınio de valorizacao discreta associado a valorizacao v. Um domıniopara A para o qual existe uma valorizacao discreta v: FracA → Z ∪ ∞ tal que A = Ov tambem serachamado de domınio de valorizacao discreta.

Exemplo 4.2 Seja p um numero primo. Associado a p, temos a chamada valorizacao p-adica vp:Q→Z ∪ ∞, definida da seguinte forma: para cada racional z 6= 0, escreva

z = pn · ab

com a, b ∈ Z e p ∤ a e p ∤ b

Defina vp(z) = n se z = 0 e vp(0) =∞, ou seja, vp(z) e o expoente da maior potencia de p que divide z.

E facil ver que v e uma valorizacao discreta de Q e que Ov = Z(p).

Exemplo 4.3 Seja M o corpo de todas as funcoes meromorfas de C em C. Considere a funcao

v0(f(z)) =

∞ se f(z) = 0;n se f(z) tem um zero de ordem n em z = 0;0 se f(z) se f(z) e holomorfa em z = 0 e f(0) 6= 0;−n se f(z) tem um polo de ordem n em z = 0.

Entao v0:M → Z ∪ ∞ e uma valorizacao discreta de M .

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Lemma 4.4 Seja v:K → Z ∪ ∞ uma valorizacao discreta. Entao

1. v(±1) = 0 e v(−a) = v(a) para todo a ∈ K;

2. v(a/b) = v(a)− v(b) para todo a, b ∈ K com b 6= 0;

3. v(a+ b) = v(b) se v(a) > v(b).

4. se a1 + · · ·+ an = 0 entao existem i 6= j tais que v(ai) = v(aj).

5. se a ∈ K× entao a ∈ Ov ou a−1 ∈ Ov.

Lemma 4.5 Seja A um domınio noetheriano normal com K = FracA. Seja a um ideal de A. Se f ∈ Ke tal que f · a ⊂ a entao f ∈ A.

Prova Truque do determinante. Se a = (ω1, . . . , ωn), temos que

fωi =∑

1≤j≤naijωj aij ∈ A i = 1, 2, . . . , n

e assim f e raiz do polinomio caracterıstico da matriz (aij), que e monico e tem coeficientes em A. ComoA e normal, temos que f ∈ A.

Teorema 4.6 Seja (A,m, k) um domınio local com K = FracA. As seguintes condicoes sao equivalentes:

1. A e um domınio de valorizacao discreta;

2. A e um domınio de ideais principais que nao e um corpo;

3. A e noetheriano e o ideal maximal m = (π) de A e principal;

4. A e um domınio de fatoracao unica com um unico elemento irredutıvel π a menos de unidades(π e chamado de uniformizador de A).

5. A e noetheriano, de dimensao 1 e normal;

Prova (1⇒ 2) Seja v a valorizacao discreta associada a A = Ov. Como v e sobrejetor, temos que m 6= 0e portanto A nao e corpo. Agora tome a um ideal nao nulo. Como v assume valores nao negativos em A,podemos escolher um elemento t ∈ a com valorizacao mınima dentre os elementos de a; vamos mostrarque a = (t). A inclusao a ⊃ (t) e clara pois t ∈ a. Agora seja a ∈ a; temos que v(a) ≥ v(t) pela escolhade t, logo v(a/t) = v(a)− v(t) ≥ 0, ou seja, a/t ∈ A e portanto a ∈ (t).

(2⇒ 3) Se A e um PID entao e noetheriano e m e principal. Alem disso, os ideais primos nao nulos deA sao todos maximais, logo dimA = 1.

(3 ⇒ 4) Devemos mostrar que qualquer elemento nao nulo a ∈ A e, a menos de unidade, uma potenciado elemento primo π. Como A e um domınio noetheriano, pelo teorema de interseccao de Krull (teo-rema III.5.1.3) temos que

⋂n≥0(π

n) = (0). Alternativamente, sendo a =⋂n≥0(π

n), um ideal finitamente

gerado ja que A e noetheriano, e facil ver que (π) · a = a, logo por Nakayama temos a = 0. Em todocaso, dado a 6= 0 existe n ≥ 0 tal que a ∈ (πn)\ (πn+1), ou seja, a = uπn com u /∈ (π) = m ⇐⇒ u ∈ A×.

(4 ⇒ 1) Todo elemento a ∈ K× pode ser unicamente escrito na forma a = uπn com u ∈ A× e n ∈ Z.Basta definir v(a) = n e e facil verificar que v define uma valorizacao discreta com Ov = A.

(2 ⇒ 5) Um domınio de ideais principais e noetheriano e e de fatoracao unica, logo e normal tambem.Se nao for corpo, sua dimensao e 1.

(5⇒ 3) Temos que mostrar que m e principal. Tome a ∈ m nao nulo. Como dimA = 1, temos que m e ounico ideal primo diferente de (0). Assim, como A e um domınio noetheriano, temos que m ⊃ (a) ⊃ mn

para algum n. Podemos supor que n e mınimo com esta propriedade, ou seja, que (a) 6⊃ mn−1. Tome

b ∈ mn−1 \ (a). Temos que fdef= b/a ∈ K e tal que fm ⊂ A mas f /∈ A. Pelo lema anterior, nao podemos

ter fm ⊂ m, logo fm = A e portanto m = (f−1) e principal. (observe que pelas escolhas de n e b,“secretamente” sabemos que a possui valorizacao n enquanto que b possui valorizacao n − 1, portantof−1 tera valorizacao 1 como esperado.)

Da condicao 5 acima, temos imediatamente os seguintes

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Corolario 4.7 Seja A um domınio noetheriano normal e p um ideal primo de A com altura 1. EntaoAp e um domınio de valorizacao discreta.

Corolario 4.8 Seja A um domınio noetheriano com dimA = 1. Entao A e normal se, e so se, mAm eprincipal para todo ideal maximal m de A.

Corolario 4.9 Seja f(x, y) ∈ C[x, y] um polinomio irredutıvel. Seja (a, b) ∈ C2 um ponto da curvaf(x, y) = 0 e seja m = (x− a, y − b) o ideal maximal correspondente. Entao

A =C[x, y]m(f(x, y)

)

e um domınio de valorizacao discreta se, e so se, (a, b) e um ponto nao singular de f(x, y) = 0, isto e,

∂f

∂x(a, b) 6= 0 ou

∂f

∂y(a, b) 6= 0

Em particular, C[x, y]/(f(x, y)) e um domınio normal se, e so se, f(x, y) = 0 e uma curva nao singular.

Prova Temos que A e um anel noetheriano local com dimA = 1. Mostremos que o ideal maximal(x− a, y − b) de A e principal. Temos a seguinte expansao (finita) de Taylor

f(x, y) = f(a, b) +∂f

∂x(a, b) · (x− a) + ∂f

∂y(a, b) · (y − b)

+∂2f

∂x2(a, b) · (x − a)2 + ∂2f

∂x∂y(a, b) · (x− a)(y − b) + ∂2f

∂y2(a, b) · (y − b)2 + · · ·

Suponha que ∂f∂x (a, b) 6= 0. Como f(a, b) = 0, a imagem em A da igualdade acima tem a forma

0 = (x− a) ·(∂f∂x

(a, b) +∂2f

∂x2(a, b) · (x− a) + · · ·

)

︸︷︷︸unidade em A

+ multiplo de (y − b)

Logo (x− a, y − b) = (y − b) e principal.

Exemplo 4.10 Vamos mostrar que C[x, y]/(y2 − x3 + x) e um domınio normal. Sendo f(x, y) =y2 − x3 + x, temos que um ponto singular (a, b) ∈ C2 da curva f(x, y) = 0 satisfaz

f(a, b) =∂f

∂x(a, b) =

∂f

∂x(a, b) = 0 ⇐⇒

b2 = a3 − a3a2 − 1 = 02b = 0

que nao tem solucao. Logo f(x, y) = 0 e nao singular e C[x, y]/(y2 − x3 + x) e normal.

Exemplo 4.11 Vamos mostrar que A = Z[ 3√2] e normal e portanto e igual ao fecho integral de Z em

Q( 3√2). Para isto, temos que mostrar que mAm e principal para todo ideal maximal m de A. Por calculo

de fibras de SpecZ[ 3√2] ։ SpecZ, temos que os ideais maximais de A sao da forma m = (p, f( 3

√2)),

onde p ∈ Z e um numero primo e f(x) ∈ Z[x] e um polinomio tal que sua imagem f(x) ∈ Fp[x] e umfator irredutıvel de x3 − 2 ∈ Fp[x].Temos o seguinte “criterio de nao singularidade aritmetico” obtido calculando-se a derivada de x3 − 2modulo p: se gcd(3x2, x3 − 2) = 1 em Fp[x], entao x3 − 2 nao possui raızes multiplas e portanto temosuma fatoracao

x3 − 2 = f(x) · g(x) com f(x) irredutıvel e gcd(f(x), g(x)) = 1

Sejam f(x), g(x) ∈ Z[x] pre-imagens de f(x), g(x) ∈ Fp[x] e m = (p, f( 3√2)). Entao existem polinomios

a(x), b(x), j(x), h(x) ∈ Z[x] tais que

a(x)f(x) + b(x)g(x) = 1 + p · j(x)⇒ b(3√2)g(

3√2) ≡ 1 (mod m)

ex3 − 2− f(x)g(x) = p · h(x)⇒ f(

3√2)g(

3√2) = p · h( 3

√2)

Portanto, no anel local Am, temos que g( 3√2) ∈ A×

m e assim f( 3√2) e multiplo de p, ou seja, mAm = (p)

e principal.

Agora, suponha que gcd(3x2, x3 − 2) 6= 1 em Fp[x], o que ocorre se p = 2 ou p = 3 (em todos os outroscasos, 2 e 3 sao inversıveis e gcd(3x2, x3 − 2) = gcd(x2, x3 − 2) = gcd(x2, 2) = 1). Mas por calculo de

fibras, o unico primo de A sobre p = 2 e m = ( 3√2), que ja e principal, e o unico primo de A sobre p = 3

e m = ( 3√2 + 1), que tambem e principal (note que 3 = 2 + 1 = ( 3

√2 + 1)( 3

√4− 3√2 + 1)).

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domınio de Dedekind4.1 Aneis de valorizacao discretos completos

(incluir independencia de valorizacoes)

4.2 Extensoes de aneis de valorizacao discretos∑

i eifi = n.

5 Domınios de Dedekind

Definicao 5.1 Um domınio A e um domınio de Dedekind se satisfaz os seguintes axiomas:

1. A e noetheriano;

2. A e normal;

3. dimA = 1.

Exemplo 5.2 Z e k[x], k corpo, sao domınios de Dedekind. Qualquer domınio de valorizacao discretae de Dedekind.

Teorema 5.3 Um domınio noetheriano A e de Dedekind se, e somente se, todas as suas localizacoesAm em primos maximais m sao domınios de valorizacao discreta. Em particular, se dimA = 1, A e deDedekind se, e so se, os ideais mAm sao principais.

Teorema 5.4 (Fatoracao Unica) Seja A um domınio de Dedekind. Todo ideal nao nulo de A seescreve como produto de ideais primos de maneira unica, a menos da ordem dos fatores.

Prova

Exemplo 5.5 suponha que chark 6= 2, 3 e seja C = V (Y 2 − X3 − 10) ⊂ A2k. Por the last example,

k[C] e a Dedekind domain, so we may apply the discussion above. Consider para instance the functionf = x − 2y + 7 ∈ k[C], onde x e y sao the images of X e Y in k[C] as usual. Entao the zeros of f saoP = (−1, 3) e Q = (9/4, 37/8), the pontos of intesection of the line L = V (X − 2Y + 7) e C.

Seja mP = (x + 1, y − 3) e mQ = (x − 9/4, y − 37/8) be the corresponding maximal ideals. We alreadyknow that both mP e mQ divide (f), but we suspect that the order of vanishing of f at P e greater than1 como L e tangent to C at P . In fact, m2

P | (f), como x−23 · (x+1)2− 1

3 · (y− 3)2 = x− 2y+7. Portanto

m2PmQ | (f). We now mostrar que m2

PmQ = (f). First observe that m2PmQ e gerado por

(x+ 1)2(x− 94 ), (x+ 1)(y − 3)(x− 9

4 ), (y − 3)2(x − 94 )

(x+ 1)2(y − 378 ), (x+ 1)(y − 3)(y − 37

8 ), (y − 3)2(y − 378 )

But we saw that f ∈ m2PmQ, e como f = (x + 1) − 2(y − 3) = (x − 9

4 ) − 2(y − 378 ), temos m2

PmQ =

(f, (y − 378 )(y − 3)2). Finally

(f) = (x− 2y + 7, y2 − x3 − 10) =(x− 2y + 7, (y − 3)2 · (y − 37

8 )),

portanto (f) = m2PmQ.

Teorema 5.6 Seja A um domınio de Dedekind com K = FracA. Se L e uma extensao finita e separavelde K e B e o fecho integral de A em L entao B tambem e um domınio de Dedekind.

Teorema 5.7 Seja A um domınio de Dedekind. Um A-modulo M e plano se, e so se, e livre de torcao,isto e, ann(m) = 0 para todo m ∈M nao nulo.

Teorema 5.8 Seja A um domınio normal noetheriano. Entao

⋂

ht p=1

Ap = A

0 - A× - K× div-⊕

ht p=1

Z - 0

onde a soma percorre todos os primos de altura 1.

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divisor de zeroanuladorsuporte

6 Primos Associados

Vamos estudar o “anel de definicao” de um modulo.

Definicao 6.1 Seja A um anel e M um A-modulo. Um elemento a ∈ A e um divisor de zero de M seexiste m ∈M , m 6= 0, tal que a ·m = 0. O anulador de um elemento m ∈M e o ideal de A

ann(m)def= a ∈ A | a ·m = 0

Por sua vez, o anulador do modulo M e definido como o ideal de A dado por

annMdef=

⋂

m∈Mann(m) = a ∈ A | a ·m = 0 para todo m ∈M

Observe que se um A-modulo M pode ser visto como A/(annM)-modulo via

a ·m def= a ·m a ∈ A, m ∈M

multiplicacao esta que esta bem definida uma vez que (a+ r) ·m = a ·m se r ∈ annM .

Definicao 6.2 O suporte suppM de M e definido (em analogia com o suporte de uma funcao emAnalise) como o conjunto

suppMdef= p ∈ SpecA |Mp 6= 0

Lema 6.3 (Anulador e Suporte) Para todo A-modulo temos suppM ⊂ V (annM), com igualdadese M e finitamente gerado sobre A.

Prova Temos

p ∈ suppM ⇐⇒ Mp 6= 0 ⇐⇒ sm 6= 0 para algum m ∈M e todo s ∈ A \ p⇒ annM ⊂ p ⇐⇒ p ∈ V (annM)

Por outro lado, se M e finitamente gerado, digamos M = Aω1 + · · · + Aωn, entao temos que annM =⋂1≤i≤n ann(ωi). Assim, se p ∈ V (annM), temos que p ⊃ ann(ωi) para algum i, logo s ·ωi 6= 0 para todo

s ∈ A \ p e portanto vale a recıproca da unica implicacao acima que nao e uma equivalencia.

No estudo dos divisores de zero, modulos da forma M = A/p, p ∈ SpecA, sao particularmentefaceis de se entender: temos annM = p, suppM = V (p) e os divisores de zero de M sao exatamente oselementos de p. Isto nos leva a seguinte

Definicao 6.4 Seja M um A-modulo. Um ideal primo p de A e dito associado a M se satisfaz umadas (e portanto todas) seguintes condicoes equivalentes:

1. M contem um submodulo isomorfo a A/p;

2. p = ann(m) para algum elemento m ∈M .

O conjunto de primos associados a M e denotado por AssM (eu sei que soa feio, mas esta e a notacaooficial ).

Mostremos que as duas condicoes acima sao, de fato, equivalentes. Se p = ann(m), m ∈ M , entaotemos uma injecao de A-modulos

A/p →M

a 7→ a ·m

E reciprocamente, se temos uma injecao φ:A/p →M de A-modulos, sendo m = φ(1) temos p = ann(m).

Primos associados sao muito importantes no estudo dos divisores de zero de modulos finitamentegerados sobre aneis noetherianos. O proximo teorema mostra que primos associados realmente existemde verdade.

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Teorema 6.5 Seja A um anel noetheriano e M um A-modulo.

1. Se M 6= 0 entao Ass(M) 6= ∅;2. O conjunto dos divisores de zero de M e a uniao dos primos em AssM .

Prova 1. Considere a famılia de ideais

F = ann(m) | m ∈M, m 6= 0

Como A e noetheriano, existe um elemento maximal ann(m) que, como mostraremos, e um ideal primo,logo associado de M . Suponha que ab ∈ ann(m) mas a /∈ ann(m). Entao am 6= 0 e portanto ann(am) ∈F . Mas ann(am) ⊃ ann(m), logo devemos ter ann(am) = ann(m). Assim, b ∈ ann(am) = ann(m),mostrando que o ideal ann(m) e de fato primo.

2. Claramente⋃

p∈AssM p consiste de divisores de zero em M . Reciprocamente, dado um divisor dezero a em M , considere a famılia de ideais

G = ann(m) | m ∈M, m 6= 0, am = 0

Como em (1), um elemento maximal p desta famılia e um ideal primo, logo p ∈ Ass(M) e a ∈ p.

Teorema 6.6 (Cadeia Primaria) Seja A um anel noetheriano e seja M um A-modulo finitamentegerado. Entao M admite uma cadeia de submodulos

0 =M0 ⊂M1 ⊂ · · · ⊂Mn =M

tal que os quocientes Mi+1/Mi sao isomorfos a A/pi com pi ∈ SpecA.

Prova O resultado e verdadeiro para M = 0. Se M 6= 0 entao pelo teorema anterior AssM 6= ∅e portanto M contem um submodulo M1

∼= A/p1 com p1 ∈ SpecA. Se M1 6= M , podemos repetiro procedimento com M/M1 no lugar de M , obtendo um submodulo M2 de M tal que M2 ⊃ M1 eM2/M1

∼= A/p2 com p2 ∈ SpecA. Este processo eventualmente termina poisM e noetheriano, fornecendoa decomposicao pedida.

Lemma 6.7 Seja0 - M ′ - M - M ′′ - 0

uma sequencia exata de A-modulos. Entao

AssM ⊂ AssM ′ ∪ AssM ′′

Prova Sem perda de generalidade podemos supor que M ′ ⊂ M e M ′′ = M/M ′. Tome p ∈ AssM ,digamos p = ann(m), m ∈ M , de modo que N = Am ⊂ M e um submodulo isomorfo a A/p. SeN ∩M ′ = 0 entao N ∼= (N +M ′)/M ′ ⊂ M ′′ e portanto p ∈ AssM ′′. Por outro lado, se N ∩M ′ 6= 0,vamos mostrar que N ∩M ′ contem um submodulo N ′ isomorfo a N e que, portanto, p ∈ AssM ′. Sejab ∈ A tal que 0 6= bm ∈ N ∩M ′. De fato, como b /∈ ann(m) = p, temos que b nao e divisor de zero emN e portanto multiplicacao por b estabelece um isomorfismo entre N e N ′ = bN = Abm ⊂ N ∩M ′. Istoencerra a prova.

Corolario 6.8 Seja A um anel noetheriano e M um A-modulo finitamente gerado. Entao AssM e umconjunto finito.

Prova Inducao no comprimento n da cadeia do teorema anterior. Se M = 0 entao AssM = ∅ enquantoque se M = A/p, p ∈ SpecA, entao AssM = p. Se n > 1, temos uma sequencia exata

0 - M1- M - M/M1

- 0

e M/M1 admite uma cadeia de comprimento n−1. Assim, por hipotese de inducao, AssM1 e AssM/M1

sao finitos, logo AssM e finito pelo lema anterior.

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Teorema 6.9 Seja A um anel noetheriano, p ∈ SpecA e seja M um A-modulo. Entao

AssApMp = qAp | q ∈ AssAM, q ⊂ p

Prova Se q ∈ AssAM e q ⊂ p, say q = ann(m), m ∈ M , entao qAp = ann(m/1), so qAp ∈ AssApMp.

Reciprocamente, se qAp ∈ AssApMp para algum prime ideal q ⊂ p, we may write qAp = ann(m/s) para

algumm ∈M e s ∈ A\p. Como q e finitamente gerado, existe a t ∈ A\p tal que tqm = 0 para todo q ∈ q.Portanto q ⊂ ann(tm), e reciprocamente se x ∈ ann(tm), entao x/1 ∈ ann(tm/1) = ann(m/s) = qAp,i.e., x ∈ q. Portanto q ∈ AssAM .

Teorema 6.10 (Suporte e Primos Associados) Seja A um anel noetheriano e M um A-modulofinitamente gerado. Entao

SuppM =⋃

q∈AssM

V (q)

Alem disso, todo primo minimal em suppM e associado.

Prova Temos

p ∈ SuppM ⇐⇒ Mp 6= 0 ⇐⇒ AssRpMp 6= ∅ ⇐⇒ p ⊃ q para algum q ∈ AssM

Lemma 6.11 Seja A be a noetherian normal domain, e seja x ∈ A be a nonzero element. Entao paraqualquer p ∈ AssA/x, ht p = 1.

Prova Como p ∈ AssA/x implies pAp ∈ AssAp/x, we may assume that A e local com maximal idealp. Por definition of associated prime, p = (x : y) para algum y /∈ (x). Observe that y

x · p e an ideal of A.But y/x /∈ A, portanto the previous lemma implies that y

x · p 6= p, e portanto yx · p = A ⇐⇒ p = (y/x).

Como p e principal, concluımos que ht p = 1.

Teorema 6.12 Seja A um domınio noetheriano normal. Entao

A =⋂

ht p=1

Ap

Prova E claro que A ⊂ ⋂ht p=1Ap. Reciprocamente, tome f = x/y ∈ ⋂ht p=1Ap, x, y ∈ A. We need to

mostrar que f ∈ A. Suponha not; entao the image x of x in A/y e not zero. Amongst todo the ideals ofthe form ann(rx), r ∈ A, pick a maximal one, say p = ann(ax). Entao p ∈ Ass(A/y), e por the lemma,ht p = 1. But f ∈ Ap, so ha m, s ∈ A, s /∈ p, tal que f = m/s. Entao

f =x

y=m

s⇒ sx = my ⇒ sax = may ⇒ s ∈ ann(ax) = p,

a contradiction. This finishes the proof.

7 Acao de Grupo e Going-down

Seja B um anel e G ⊂ Aut(B) um grupo de automorfismos de B. Denote por A = BG o subanel fixopor G, isto e,

A = BGdef= b ∈ B | σ(b) = b para todo σ ∈ G

Note que se S e um conjunto multiplicativo de A, entao a localizacao de σ ∈ G fornece um automorfismoS−1σ de S−1B que fixa cada elemento de S−1A. Temos

S−1A = (S−1B)G

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onde ainda denotamos por G o subgrupo de Aut(S−1B) obtido localizando-se os automorfismos deG ⊂ Aut(B). De fato, temos uma sequencia exata

0 - A - Bf-

∏

σ∈GB

b 7→ (σ(b)− b)σ∈G

Localizando-a com relacao a S, obtemos uma nova sequencia exata

0 - S−1A - S−1BS−1f-

∏

σ∈GS−1B

donde (S−1B)G = S−1A. Resumindo: a acao de grupo e compatıvel com localizacao arbitraria, o quesera frequentemente usado para reduzir o caso geral para o caso local.

Agora se G e finito, entao B e integral sobre A, pois b ∈ B e raiz do polinomio monico

p(x) =∏

σ∈G

(x− σ(b)

)∈ A[x]

cujos coeficientes sao expressoes simetricas elementares em σ(b), σ ∈ G, e portanto sao fixos por G. Agoraseja p ∈ SpecA e S = A\p. Temos uma extensao integral de aneis S−1A ⊂ S−1B com (S−1B)G = S−1A.Alem disso, se P ∈ SpecB pertence a fibra de p com relacao ao mapa SpecB → SpecA induzido pelainclusao, temos pelo lema 2.1 que S−1P e um ideal maximal de S−1B. Assim, quando G e finito,localizando poderemos sempre supor que A e local e que B e semi-local (i.e., possui um numero finitode ideais maximais).

Teorema 7.1 (Acao transitiva) Sejam B um anel, G um grupo finito de automorfismos de B eA = BG. Entao G age transitivamente nas fibras de SpecB ։ SpecA.

Prova Sejam P,P′ ∈ SpecB dois primos da fibra de p ∈ SpecA. Localizando com relacao a S = A \ p,podemos assumir que A e local com ideal maximal p e que P,P′ sao ideais maximais em B. Suponhapor absurdo que P,P′ possuam orbitas disjuntas:

σ(P) | σ ∈ G ∩ σ(P′) | σ ∈ G = ∅

Como os ideais σ(P) e σ(P′) sao maximais (logo comaximais), pelo teorema chines dos restos, existe umelemento b ∈ B tal que

b ≡ 0 (mod σ−1(P))b ≡ 1 (mod σ−1(P′))

⇐⇒σ(b) ≡ 0 (mod P)σ(b) ≡ 1 (mod P′)

para todo σ ∈ G

Da primeira congruencia, temos que a “norma” de b e tal que

NG(b)def=∏

σ∈Gσ(b) ∈ P ∩ A = p

Porem, como NG(b) ∈ p ⊂ P′ tambem, terıamos σ(b) ∈ P′ para algum σ ∈ G, o que contradiz a segundacongruencia. Logo a acao de G e transitiva na fibra de p.

Corolario 7.2 Seja A um domınio normal com K = FracA. Seja L ⊃ K uma extensao normal decorpos e seja B o fecho integral de A em L. Entao G = AutK(L) age transitivamente nas fibras deSpecB ։ SpecA.

Prova Observe inicialmente que todo σ ∈ G se restringe a um A-automorfismo de B: de fato, se b ∈ Be raiz de um polinomio monico p(x) ∈ A[x] entao p(σ(b)) = σ(p(b)) = 0, o que mostra que σ(b) ∈ B.

Primeiro, tratamos do caso em que L ⊃ K e uma extensao finita e separavel e portanto Galois comgrupo de Galois G. Neste caso, A ⊂ BG ⊂ K mas como BG ⊂ B e A e normal, devemos ter A = BG.O resultado agora segue do teorema anterior.

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O caso em que L ⊃ K e uma extensao Galois infinita pode ser reduzido ao anterior por uma “casados pombos infinita”. Dados dois primos P e P′ de B, para cada corpoM tal que L ⊃M ⊃ K eM ⊃ Ke Galois finito, considere o conjunto

F (M) = σ ∈ G | σ(P ∩M) = P′ ∩M

Temos que F (M) e nao vazio (pelo ja demonstrado) e fechado em G na topologia de Krull. Assim, comoG e compacto, temos ⋂

M

F (M) 6= ∅

onde M percorre todas as subextensoes Galois finitas de L ⊃ K. Um elemento σ nesta interseccao e umautomorfismo de G = lim←−

M

AutK(M) tal que σ(P) = P′, como desejado.

Agora, para L ⊃ K e arbitrario, seja M = LG. Temos que L ⊃ M e Galois enquanto que M ⊃ Ke puramente inseparavel. Assim, basta tratar do caso em que L ⊃ K e puramente inseparavel comp = charK > 0. Note que neste caso G e trivial, assim temos que mostrar que a fibra de um primop ∈ SpecA possui um unico elemento. De fato, como para qualquer b ∈ B existe um natural n > 0 talque bp

n ∈ K ∩B = A, o unico primo de B na fibra de p e

Pdef= b ∈ B | bpn ∈ p para algum n > 0

Exemplo 7.3 Seja τ(z) = z a conjugacao complexa. Seja B = Z[i] e G = id, τ ⊂ Aut(B). EntaoA = Z. Se p e um numero primo da forma 4k+ 3, entao (p) e primo em B e G fixa (p). Por outro lado,se p e um numero primo da forma 4k+ 1, entao p se fatora como p = (a+ bi)(a− bi), a, b ∈ Z, de modoque (a+ bi) e (a− bi) sao os primos da fibra de (p), que sao claramente permutados por τ .

Teorema 7.4 (“Going-down”) Seja B ⊃ A uma extensao integral de domınios com A normal. Entaose P′ ∈ SpecB esta sobre p′ entao existe P ∈ SpecB sobre p tal que P ( P′.

∃P ( P′ ( B| | |p ( p′ ( A

Prova Sejam K = FracA, L = FracB e M o fecho normal de L. Seja C o fecho integral de A em M .

σ(Q) Q ( σ(Q′) = Q′0

Q′

( C ⊂ M| | | |

Pdef= σ(Q) ( P′ = Q′

0 ∩B ( B ⊂ L| | | |p ( p′ ( A ⊂ K

Pelo going-up, existem primos Q ( Q′ de C tais que Q ∩ A = p e Q′ ∩ A = p′. Temos Q ∩B ( Q′ ∩B,de modo que e tentador definir P como Q ∩ B, mas infelizmente pode ocorrer um “desalinhamento”Q′ ∩B 6= P′, mas que pode ser facilmente corrigido utilizando-se um automorfismo de AutK(M), ja queeste grupo age transitivamente sobre a fibra de p′. “Going-up once more”, tome Q′

0 ∈ SpecC tal queQ′

0 ∩B = P′. Existe σ ∈ AutK(M) tal que σ(Q′) = Q′0. Basta tomar agora P = σ(Q) ∩B.

Teorema 7.5 (“Going-down Plano”) Seja B uma A-algebra plana. Dada uma inclusao de ideaisprimos p ⊂ q de A e um ideal primo Q de B sobre q, existe P ∈ SpecB tal que P ⊂ Q e P esta sobre p.

Prova Como B e plano sobre A, BQ e fielmente plano sobre Aq, logo SpecBQ → SpecAq e sobrejetor.Assim, existe P ∈ SpecB tal que a imagem de PBQ e pAq. Mas entao P ⊂ Q e P esta sobre p.

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grupo de decompgrupo de inercia

Definicao 7.6 Sejam B um anel e G ⊂ Aut(B) um grupo de automorfismos de B. Temos que G induzuma acao em SpecB; dado P ∈ SpecB, definimos o grupo de decomposicao GP de P (com relacaoa G) e como o estabilizador de P com relacao a esta acao, ou seja,

GPdef= σ ∈ G | σ(P) = P

Um automorfismo σ ∈ GP induz um automorfismo σ ∈ Aut(B/P) dado por

σ(b)def= σ(b) para todo b ∈ B

Assim, temos um morfismo de gruposGP → Aut(B/P)

σ 7→ σ

cujo kernel IP e chamado de grupo de inercia de P.

Exemplo 7.7 Seja B = C[x] e G o grupo de “rotacoes”

G = id, ρ, ρ2, . . . , ρn−1

onde ρ denota o automorfismo de C-algebras

ρ:B → B

x 7→ x · e2πi/n

Temos A = BG = C[xn] ∼= C[y]. Se a ∈ C e nao nulo, temos que a orbita de (x−a) consiste em n primosdistintos:

(x− a · e2πik/n) ∈ SpecB | k = 0, 1, . . . , n− 1

de modo que o grupo de decomposicao G(x−a) = id e trivial. Por outro lado, temos que G(x) = G.Como ρ = id ∈ Aut(C), temos tambem que I(x) = G.

Na notacao da definicao, seja S um conjunto multiplicativo de A tal que S ∩P = ∅. E facil mostrarque os grupos de decomposicao e inercia sao compatıveis com a localizacao em S:

GS−1P = GP e IS−1P = IP

Alem disso, os corpos residuais dos primos nao se alteram com a localizacao. Isto nos permitira localizarcom relacao a p = P ∩ A ∈ SpecA, de modo que poderemos supor A local e B semi-local.

Setup 7.8 Seja B um anel, seja G ⊂ Aut(B) um grupo finito de automorfismos e seja A = BG. Sejaq ∈ SpecB e seja p = q ∩ A ∈ SpecA. Sejam k e l os corpos residuais de p e q respectivamente.Finalmente, sejam

B′ = BGq

B′′ = BIqe

q′ = q ∩B′ ∈ SpecB′

q′′ = q ∩B′′ ∈ SpecB′′

Denote ainda por l′′ o corpo residual de q′′. Pictoriamente:

q ⊂ B l| |

q′′ ⊂ B′′ l′′

| |q′ ⊂ B′ k

| ‖p ⊂ A k

(a igualdade dos corpos residuais de p e q′ sera justificada no proximo lema).

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Teorema 7.9 (Anel de decomposicao) Na notacao do setup 7.8, temos:

1. q e o unico primo de B sobre q′.

2. A inclusao k(p) → k(q′) de corpos residuais e um isomorfismo.

3. pB′q′ = q′B′

q′ .

Prova 1. Como Gq age transitivamente sobre a fibra de q′ e Gq estabiliza q, o resultado e claro.

Para os proximos itens, podemos localizar com relacao a S = A \ p e portanto supor que (A, p, k) elocal e que q e q′ sao maximais em B e B′, respectivamente.

2. Vamos mostrar que para todo b′ ∈ B′ existe a ∈ A tal que a ≡ b′ (mod q). Seja σ1, . . . , σg umsistema de representantes de classes laterais a esquerda de Gq em G com σ1 = 1. Como G permutatransitivamente os primos na fibra de p, esta fibra consiste nos ideais maximais σ1(q), . . . , σg(q). Se i 6= 1

entao σ−1i /∈ Gq e portanto σ−1

i (q) 6= q. Entao (1) implica que σ−1i (q)∩B′ 6= q′ e portanto pelo teorema

chines dos restos existe x ∈ B′ tal que

x ≡ b′ (mod q′)x ≡ 1 (mod (σ−1

i q) ∩B′) para i 6= 1⇒x ≡ b′ (mod q)σi(x) ≡ 1 (mod q) para i 6= 1

Entao a “norma” de x

adef=

∏

1≤i≤gσi(x) ≡ b′ (mod q)

e um elemento com a propriedade desejada. De fato, vejamos que a ∈ A. Dado σ ∈ G, escrevendoσσi = σjiτi com 1 ≤ ji ≤ g e τi ∈ Gq, temos que ji1 6= ji2 se i1 6= i2: caso contrario, σσi1τ

−1i1

=

σσi2τ−1i2⇐⇒ σi1τ

−1i1

= σi2τ−1i2

, o que e impossıvel ja que σi1Gq 6= σi2Gq. Assim, como x ∈ B′ e fixopor Gq, temos

σ(a) =∏

1≤i≤gσσi(x) =

∏

1≤i≤gσjiτi(x) =

∏

1≤i≤gσi(x) = a

o que prova que a e fixo por todo elemento de G, isto e, a ∈ A.3. Como p ⊂ q′, basta mostrar que q′ ⊂ pB′

q′ . Sejam q′1 = q′, q′2, . . . , q′s os ideais maximais de B′. Note

que, mutatis mutandis, a mesma prova do item anterior mostra que qualquer x ∈ q′1 \ (q′2 ∪ · · · ∪ q′s)pertence a pB′

q′ . De fato, se σ /∈ Gq entao σ−1(q′) = q′i para algum i 6= 1; isto implica que σ(x) /∈ q′.Portanto

∏2≤i≤g σi(x) /∈ q′ onde σi sao como em (2). Portanto

x ·∏

2≤i≤gσi(x) ∈ q ∩ A = p⇒ x ∈ pBq′

Em seguida, observe que como a fibra de p e finita, temos que SpecB′/pB′ e um conjunto finito,logo a k-algebra B′/pB′ e um anel artiniano (corolario 3.9). Portanto temos um isomorfismo

B′

pB′ =B′

q′1

pB′q′1

× · · · ×B′

q′s

pB′q′s

Para provar que pB′q′ = q′B′

q′ precisamos mostrar que o ideal maximal q′1B′q′1/pB′

q′1do primeiro fator e

0. Seja t ∈ q′1B′q′1/pB′

q′1e seja x ∈ B′ uma pre-imagem do elemento (t, 1, . . . , 1) no produto acima. Entao

x ∈ q′1 \ (q′2 ∪ · · · ∪ q′s) e pelo que ja provamos x ∈ pBq′ . Mas isto implica t = 0, como desejado.

Observacao 7.10 Note que pelo item 1 do teorema anterior, SpecB → SpecB′ induz uma bijecao entreos primos da fibra de p em B e B′, respectivamente, ou seja, o primo p “se decompos” totalmente emB′, o anel fixo por Gq, daı o nome grupo de decomposicao para este ultimo grupo.

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Teorema 7.11 (Anel de Inercia) Na notacao do setup 7.8, temos

1. q′′ e o unico primo de B′′ sobre q′.

2. l ⊃ k e uma extensao normal de corpos, i.e., qualquer polinomio irredutıvel f(x) ∈ k[x] quepossui uma raiz em l se fatora completamente.

3. O morfismo Gq ։ Aut(l/k) e sobrejetor. Assim, temos um isomorfismo

Gq/Iq = Aut(l/k)

4. l′′ ⊃ k e a maxima subextensao separavel de l ⊃ k, de modo que Aut(l/k) = Aut(l′′/k).

5. pB′′q′′ = q′′B′′

q′′ .

Prova 1. Segue de (1) do teorema anterior juntamente com o fato de que SpecB ։ SpecB′′ esobrejetor (B ⊃ B′′ e uma extensao integral).

2. Seja f(x) ∈ k[x] um polinomio monico irredutıvel e suponha que a imagem b ∈ l de b ∈ B e umaraiz de f(x). Temos que b e raiz do polinomio monico

m(x) =∏

σ∈G(x− σ(b)) ∈ A[x]

cuja imagem m(x) em k[x] se fatora completamente em l[x]. Mas como f(x) e o polinomio minimal deb e m(b) = 0, temos que f(x) | m(x). Assim, f(x) tambem se fatora completamente em l[x].

3. Observe que pelo teorema anterior p e q′ tem mesmo corpo residual e que pB′q′ = q′B′

q′ . Portanto,

substituindo A por B′q′ e B pela localizacao com relacao a B′ \ q′, podemos supor que todos os aneis A,

B e B′′ sao locais e que Gq = G.

Seja ks ⊃ k a maxima subextensao separavel de l ⊃ k. Pela prova do item anterior, qualquerelemento b ∈ ks e raiz um polinomio m(x) de grau |G|. Assim, pelo teorema do elemento primitivo,[ks : k] ≤ |G| e finito e podemos escrever ks = k(b) para algum b ∈ B. Seja f(x) ∈ k[x] o polinomiominimal de b. Sendo m(x) como no item anterior, temos que f(x) | m(x), logo as raızes de f(x) sao

todas da forma σ(b) = σ(b), σ ∈ G = Gq. Assim, dado um automorfismo φ ∈ Aut(l/k) = Gal(ks/k),

como φ permuta as raızes de f(x), temos que existe σ ∈ G tal que φ(b) = σ(b), o que implica φ = σ ja

que b gera ks sobre k. Portanto G։ Aut(l/k) e sobrejetor, como querıamos demonstrar.

4. Observe que aplicando os itens anteriores a B′′ no lugar de A temos que l′′ ⊃ l e uma extensaonormal de corpos com Aut(l′′/l) e trivial (pois Iq ։ Aut(l′′/l) e sobrejetor). Logo l ⊃ l′′ e puramenteinseparavel e portanto ks ⊂ l′′ (mantemos as notacoes e reducoes do item anterior). Queremos mostrarque ks = l′′. Para isto, substituindo B′′ por B, l′′ por l e G = Gq por Gq/Iq, podemos assumir que Iq etrivial e que, portanto, G = Aut(l′′/k).

Observe inicialmente que qualquer elemento b ∈ l′′ e raiz de um polinomio em k[x] de grau menor

ou igual a |G| (tome a imagem de∏σ∈G(x − σ(b)) ∈ A[x]). Agora seja k0 = (l′′)Aut(l′′/k). Temos que

l′′ ⊃ k0 e uma extensao Galois de grau |G| e que k0 ⊃ k e puramente inseparavel. Pelo teorema doelemento primitivo, podemos escrever l′′ = k0(θ) para algum θ ∈ l′′. Temos que θ e separavel sobre k:como θ possui |G| conjugados distintos, temos

[k(θ) : k]sep ≥ |G| ≥ [k(θ) : k] ≥ [k(θ) : k]sep

e assim temos igualdade em todos os lugares, o que mostra que k(θ) ⊃ k e uma extensao separavel degrau |G|.

Para concluir que l′′ ⊃ k e separavel, devemos mostrar que k0 = k. Como k0 e puramente inseparavelsobre k e suficiente mostrar que, dado um elemento λ ∈ k0, λ ∈ k(θ), sendo portanto separavel sobre k.

Denote por p = char k > 0. Existe um n natural tal que λpn ∈ k. Assim,

(λ− θ)pn = λpn − θpn ⇒ k(θp

n

) ⊂ k(λ− θ)

Mas como θ e separavel sobre k temos que k(θpn

) = k(θ). Por outro lado, [k(λ−θ) : k] ≤ |G| = [k(θ) : k],logo k(λ− θ) = k(θ). Finalmente, isto implica que λ = θ+ (λ− θ) ∈ k(θ) e portanto λ e separavel sobrek, como querıamos.

5.

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discriminanteTeorema 7.12 (Completamento e Grupo de Decomposicao) Seja B um anel noetheriano, G umgrupo finito de automorfismos de B e A = BG. Seja p ∈ SpecA e sejam P1, . . . ,Pg ∈ SpecB os primosda fibra de p com relacao a SpecB ։ SpecA. Entao temos um isomorfismo

B ⊗A Ap =∏

1≤i≤gBPi

onde o chapeu denota completamentos com relacao aos ideais maximais correspondentes. Temos que Gage transitivamente sobre B ⊗A Ap, permutando seus fatores. O estabilizador do i-esimo fator BPi

eGPi

e (BPi

)GPi = Ap

8 Exercıcios

01. (Nilva’s problem) Seja A um anel noetheriano e m um ideal maximal. Mostre que A/mn e artinianopara todo n ≥ 0.

02. Seja d um inteiro livre de quadrados (i.e., d nao e divisıvel por nenhum quadrado de primo). Mostre

que o anel A dos inteiros algebricos em Q(√d) e A = Z+ Zω onde

ω =

1+

√d

2 se d ≡ 1 (mod 4)√d caso contrario

03. Seja A = C[x, y]/(y2 − x2(x + 1)). Mostre que as localizacoes Am sao normais para todos os ideaismaximais m de A com excecao de m = (x, y).

04. Mostre que C[x, y]/(y2 − x3 + x) e normal.

05. Seja G um grupo finito de automorfismos de um anel B e seja

A = BGdef= b ∈ B | σ(b) = b para todo σ ∈ G

o anel fixo por G.

(a) Mostre que B e integral sobre A.

(b) Seja B = C[x, y] e considere G = id, σ onde σ:B → B e o automorfismo de C-algebras definidopor σ(x) = −x e σ(y) = −y. Mostre A = BG = C[x2, xy, y2] e determine explicitamente a acao de Gsobre as fibras de SpecB → SpecA sobre os ideais maximais de A.

06. Seja A um domınio com K = FracA. Seja L ⊃ K uma extensao finita separavel de corpos de graun = [L : K].

(a) Mostre que existe uma base ω1, . . . , ωn ∈ L de L sobre K tal que cada ωi e integral sobre A.

(b) Seja B ⊂ L o subanel dos elementos integrais sobre A. Utilize o truque do determinante paramostrar que

A · ω1 + · · ·+A · ωn ⊂ B ⊂ A ·ω1

D+ · · ·+A · ωn

D

onde D ∈ A e o determinante da matriz (TrL/K(ωiωj))1≤i,j≤n (D e chamado de discriminante da baseωi).

(c) Conclua que se A e noetheriano entao B e finito sobre A e portanto e noetheriano. Alem disso, seA e um domınio de ideais principais entao B e um A-modulo livre de posto n.

07. Mostre que

Z[ 3√2] = a+ b

3√2 + c

3√4 | a, b, c ∈ Z

e normal (sugestao: localize ou utilize o exercıcio anterior).

08. Seja A uma k-algebra finitamente gerada onde k e um corpo.

(a) Mostre que o conjunto de todos os ideais maximais e denso em SpecA.

(b) Seja a um ideal de A. Mostre que√a e igual a interseccao de todos os ideais maximais de A contendo

a.

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09. Seja A um domınio finitamente gerado sobre Z. Mostre que um ideal m de A e maximal se, e somentese, A/m e um corpo finito.

Dica: seja S = Z\0 e aplique o teorema de normalizacao de Noether para a Q-algebra finitamentegerada S−1A.

10. Seja A um dvr e seja p(x) ∈ R[x] um polinomio de Eisenstein. Mostre que R[x]/(p(x)) tambem eum dvr.

11. Mostre que um domınio de Dedekind com um numero finito de primos e um PID.

12. Mostre que qualquer ideal em um domınio de Dedekind pode ser gerado por dois elementos.

13. Seja0 - M ′ - M - M ′′ - 0

uma sequencia exata de A-modulos. Mostre que

suppM = suppM ′ ∪ suppM ′′

14. Seja A = C[x, y] e M = C[x, y]/(x3y4), visto como A-modulo. Determine Ass(M) e escreva suacadeia primaria.

15. Seja θ uma raiz do polinomio irredutıvel f(x) = x3 − x2 − 2x− 8 ∈ Q[x] e seja K = Q[θ].

(a) Mostre que ν = (θ2 + θ)/2 e um inteiro algebrico.

(b) Mostre que o fecho integral de Z em K e Z+ Zθ + Zν.

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dimensao dealturacaternariopolinomio binomial

Chapter 5

Dimensao

1 Dimensao de Krull

Definicao 1.1 Seja A um anel. A dimensao de Krull dimA de A e definida como o maior comprimenton de uma cadeia (numerada a partir do zero)

p0 ( p1 ( p2 ( p3 ( · · · ( pn

de ideais primos em A.

Definicao 1.2 Seja A um anel e p ∈ SpecA. A altura ht p de p e definida como dimAp ou, equivalen-temente, o maior comprimento n de uma cadeia (numerada a partir do zero)

p0 ( p1 ( p2 ( p3 ( · · · ( pn = p

de ideais primos em A contidos em p.

Exemplo 1.3 Se k e um corpo, temos dim k = 0. Como todo ideal primo nao nulo de k[t] e maximal,temos que dim k[t] = 1. Da mesma forma, temos tambem que dimZ = 1 e dim k[[t]] = 1.

Diretamente das definicoes, temos

dimA ≥ ht p+ dimA/p

para todo p ∈ SpecA. Se ocorre a igualdade para todos os ideais primos de A, dizemos que A ecaternario. Os aneis do exemplo anterior sao todos caternarios.

2 Algumas Identidades Binomiais

Seja d ≥ 0 um inteiro. Definimos o polinomio binomial de grau d como o polinomio em Q[x] dado por(x

d

)def=

x(x − 1)(x− 2) . . . (x− d+ 1)

d!

Observe que se n ∈ Z entao(nd

)∈ Z. Para n ≥ d e um inteiro positivo,

(nd

)= n!

d!(n−d)! coincide com o

coeficiente binomial usual. Podemos utilizar este fato para dar provas combinatorias de certas identidadesde polinomios binomiais, por exemplo, a identidade

(x

d

)+

(x

d+ 1

)=

(x+ 1

d+ 1

)

pode ser demonstrada da seguinte forma: se x = n ≥ d e um inteiro positivo, temos que ambos os ladosda igualdade contam o numero de maneira de escolhermos d+ 1 dentre n+ 1 objetos; no lado esquerdo,esta contagem e feita considerando as

(nd

)maneiras que incluem o (n+1)-esimo objeto (basta escolher os

d objetos que faltam dentre os n primeiros objetos) e as(nd+1

)maneiras que nao incluem o (n+1)-esimo

objeto. Agora, como ambos os lados sao polinomios em Q[x] que concordam para um numero infinitode valores, ou seja, a diferenca e um polinomio com um numero infinito de raızes, temos que eles devemser iguais como polinomios em Q[x].

Seja ∆ o operador “derivada discreta”

∆f(n)def= f(n+ 1)− f(n)

Por exemplo, a identidade binomial acima pode ser reescrita como

∆

(x

d

)=

(x

d− 1

)

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84 Dimensao

funcao de HilbertLemma 2.1

1. Um polinomio p(x) ∈ Q[x] de grau d e tal que p(n) ∈ Z para todo inteiro n ≫ 0 se, e so se, eda forma

p(x) = ad

(x

d

)+ ad−1

(x

d− 1

)+ · · ·+ a1

(x

1

)+ a0

(x

0

)

com ai ∈ Z e ad 6= 0.

2. Seja f :N→ N uma funcao. Suponha que, para n≫ 0, f(n+1)−f(n) = q(n) para um polinomioq(x) ∈ Q[x] de grau d− 1. Entao, para n≫ 0, f(n) = p(n) para um polinomio p(x) ∈ Q[x] degrau d.

Prova 1. Pela interpretacao combinatoria, e claro que qualquer combinacao Z-linear de polinomiosbinomiais assume valores inteiros para valores inteiros positivos de x. Para mostrar a recıproca, faremosuma inducao em d, sendo o caso d = 0 claro. Como os polinomios

(xd

)formam uma base de Q[x] sobre

Q, podemos escrever

p(x) = ad

(x

d

)+ ad−1

(x

d− 1

)+ · · ·+ a1

(x

1

)+ a0

(x

0

)

com ai ∈ Q. Para mostrar que estes coeficientes sao, de fato, inteiros, considere

∆p(x) = ad

(x

d− 1

)+ ad−1

(x

d− 2

)+ · · ·+ a1

(x

0

)

Como ∆p(n) = p(n + 1) − p(n) ∈ Z para todo inteiro n ≫ 0, por hipotese de inducao temos quea1, . . . , ad ∈ Z. Mas entao

p(x)− ad(x

d

)− ad−1

(x

d− 1

)− · · · − a1

(x

1

)

e um polinomio constante a0 ∈ Z.

2. Por (1), podemos escrever

q(x) = ad

(x

d− 1

)+ ad−1

(x

d− 2

)+ · · ·+ a1

(x

0

)ai ∈ Z

Seja

p(x) = ad

(x

d

)+ ad−1

(x

d− 1

)+ · · ·+ a1

(x

1

)

Temos que ∆(f − p)(n) = 0 para todo inteiro n ≫ 0. Em outras palavras, f(n) − p(n) = a0 ∈ Z econstante para n≫ 0 e o resultado segue.

3 Polinomio de Hilbert-Samuel

Seja A =⊕

d≥0Ad um anel graduado. Suponha que k = A0 e um corpo e que A e finitamente gerado

sobre k por elementos de grau 1 (por exemplo, o anel de polinomios k[x1, . . . , xd] possui esta propriedade).Seja M um A-modulo graduado finitamente gerado. Definimos a funcao de Hilbert de M por

hM (n) = dimkMn

Teorema 3.1 Nas condicoes acima, existe um polinomio p(x) ∈ Q[x] tal que hM (n) = p(n) para todointeiro n≫ 0.

Prova Faremos uma inducao no numero de geradores d de grau 1 de A sobre k. Se d = 0, temos queA = k e M e um k-espaco vetorial de dimensao finita, logo hM (n) e uma funcao constante.

Agora suponha que d > 0 e seja g ∈ A1 um gerador de A sobre k. Temos uma sequencia exata deA-modulos graduados

0 - N - Mg- M [1] - P - 0

onde N e P sao respectivamente o kernel e o cokernel da multiplicacao por g e M [1] denota o moduloM com graduacao “deslocada por 1”, ou seja, M [1]d = Md+1 para d ≥ 0. Olhando para a dimensao daparte de grau n obtemos

dimkNn − dimkMn + dimkMn+1 − dimk Pn = 0 ⇐⇒ hM (n+ 1)− hM (n) = hP (n)− hN (n)

Como g anula P e N , podemos ve-los como A/(g)-modulos finitamente gerados. Por hipotese de inducao,hP (n) e hN (n) sao funcoes polinomiais para n≫ 0, logo o mesmo vale para hM (n) pelo lema anterior.

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funcao de Hilbpolinomio defuncao de Hilbpolinomio desistema de parˆ

Exemplo 3.2 Seja A = k[x1, . . . , xd], k corpo. Entao

hA(n) =

(n+ d− 1

d

)

e um polinomio de grau d.

Pelo exemplo anterior, temos que o grau da polinomio de Hilbert mede, de certa forma, o “numerode parametros independentes” de A. Agora utilizaremos este fato no estudo da dimensao de um anellocal noetheriano. Ate o final deste capıtulo, (A,m, k) denotara um anel local noetheriano.

Definicao 3.3 A funcao de Hilbert-Samuel hA(n) do anel A e definida como

hA(n)def= lenA

A

mn

Teorema 3.4 Existe um polinomio χA(x) ∈ Q[x] tal que hA(n) = χA(n) para n suficientemente grande.Este polinomio e chamado de polinomio de Hilbert-Samuel.

Prova Basta mostrar que hA(n+1)−hA(n) e uma funcao polinomial para n≫ 0. Temos uma sequenciaexata

0 - mn

mn+1- A

mn+1- A

mn- 0

de modo que hA(n+ 1)− hA(n) = lenAmn/mn+1 = dimk mn/mn+1. Portanto esta diferenca e a funcao

de Hilbert da k-algebra graduada ⊕

n≥0

mn

mn+1

que e gerada sobre k = A/m pelos geradores de m em grau 1.

Ate o final deste capıtulo, (A,m, k) denotara um anel local noetheriano.

Definicao 3.5 A funcao de Hilbert-Samuel hA(n) do anel A e definida como

hA(n)def= lenA

A

mn

Teorema 3.6 Existe um polinomio χA(x) ∈ Q[x] tal que hA(n) = χA(n) para n suficientemente grande.Este polinomio e chamado de polinomio de Hilbert-Samuel.

4 Teorema de dimensao de Krull

Definicao 4.1 Seja (A,m, k) um anel local. Um conjunto a1, . . . , an ⊂ A e chamado de sistema de

paramteros de A se√(a1, . . . , an) = m.

Teorema 4.2 (Prime avoidance) Seja a um ideal arbitrario e p1, . . . , pn be ideais primos em umanel. Entao

a ⊂⋃

1≤i≤npi ⇒ a ⊂ pi para algum i

Prova A prova e por inducao em n. Se n = 1 o resultado e claro. Agora seja n > 1 e suponha quea ⊂ ⋃1≤i≤n pi. Mostremos que a esta contido na uniao de n − 1 primos pi’s, de modo que o resultado

segue por inducao. Suponha, por absurdo, que a ⊂ ⋃1≤j≤n pj mas que a 6⊂ ⋃j 6=i pj para todo i. Para

cada i, tome ai ∈ a \ ⋃j 6=i pj , de modo que ai ∈ pi mas ai /∈ pj se i 6= j. Considere o elementoa = a1 + a2a3 . . . an ∈ a. Entao a nao pertence a nenhum primo pi:

a1 ∈ p1a2a3 . . . an /∈ p1

⇒ a /∈ p1 e

a1 /∈ pia2a3 . . . an ∈ pi

⇒ a /∈ pi para i = 2, 3, . . . , n

Isto contradiz a ⊂ ⋃1≤i≤n pi.

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86 Dimensao

Lemma 4.3 Seja (A,m, k) um anel local. Seja a ∈ m, B = A/(a) e denote por dA e dB os graus de χAe χB respectivamente. Entao

1. dB ≥ dA − 1;

2. se a e regular (i.e, nao e divisor de zero em A), entao dB = dA − 1.

Prova Denote por m a imagem de m em B. O anel B e um anel local com ideal maximal m e corporesidual B/m = A/m = k. Temos isomorfismos

B

mn=

A

(a) +mne

(a) +mn

m=

(a)

(a) ∩mna=

A

(mn : a)

onde o ultimo isomorfismo e induzido pela multiplicacao por a e (mn : a) denota o ideal b ∈ A | ab ∈ mn.Assim, obtemos a seguinte sequencia exata:

0→ A

(mn : a)→ A

mn→ B

mn→ 0

Portanto, como mn−1 ⊂ (mn : a), temos

lenA

( Amn

)= lenB

( Bmn

)+ lenA

( A

(mn : a)

)

≤ lenB

( Bmn

)+ lenA

( A

mn−1

)

Assim, para n grande o suficiente, temos que χB(n) ≥ χA(n)− χA(n− 1)⇒ dB ≥ dA − 1.

Agora assuma que a e regular. Entao, pelo teorema de Artin-Rees, temos que existe uma constanter para a qual (mn : a) ⊂ mn−r para todo n grande o suficiente. De fato, basta observar que

b ∈ (mn : a)⇒ ba ∈ (a) ∩mn = mn−r · ((a) ∩mr) ⊂ amn−r

e, como a e regular, ba ∈ amn−r ⇒ b ∈ mn−r. Assim,

lenA

( Amn

)= lenB

( Bmn

)+ lenA

( A

(mn : a)

)

≥ lenB

( Bmn

)+ lenA

( A

mn−r

)

Isto implica que, para n grande o suficiente, temos χB(n) ≤ χA(n)− χA(n− r)⇒ dB ≤ dA − 1⇒ dB =dA − 1.

Teorema 4.4 (Krull) Seja (A,m, k) um anel local noetheriano. Entao dimA e finito. Alem disso,dimA e igual ao grau dA do polinomio de Hilbert-Samuel χA(n) e a menor cardinalidade δA de umsistema de parametros de A.

Prova Vamos mostrar uma sequencia de desigualdades dimA ≤ dA ≤ δA ≤ dimA. Observe que aprimeira desigualdade mostra que dimA e finita.

(i) dimA ≤ dA: vamos mostrar, por inducao em dA, que dada uma cadeia de ideais primos p0 ( p1 (· · · ( pn de tamanho n, temos n ≤ dA. Se dA = 0, entao χA(n) = lenAA/m

n e constante paran suficientemente grande. Mas como χA(n + 1) = χA(n) + lenAmn/mn+1, temos que mn ⊗A k =mn/mn+1 = 0 para n grande. Por Nakayama, temos que mn = 0 para algum n, logo SpecA = me portanto n ≤ 0.

Agora suponha que dA > 0. Como dA/p0≤ dA, basta mostrarmos que n ≤ dA/p0

. Assim, substi-tuindo A por A/p0, podemos assumir que p0 = (0) e que A e um domınio. Seja a ∈ p1 um elementonao nulo e seja B = A/(a). Como a e regular, temos pelo lema que dB = dA− 1. Por outro lado, asimagens de p1, . . . , pn em B formam uma cadeia de tamanho n− 1, assim por hipotese de inducaotemos que n− 1 ≤ dB = dA − 1⇒ n ≤ dA, como desejado.

(ii) dA ≤ δA: vamos utilizar inducao em δA. Se δA = 0, entao m =√(0) e portanto lenAA/m

n = lenAAe constante para n suficientemente grande, provando que dA = 0. Agora suponha que δA > 0. Seja

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a ∈ A um elemento pertencente a um sistema de parametros de cardinalidade δA e seja B = A/(a).Entao δB ≤ δA − 1 e por hipotese de inducao δB = dB. Assim, pela parte (a) do lema, temos quedA − 1 ≤ dB = δB ≤ δA − 1⇒ dA ≤ δA.

(iii) δA ≤ dimA: vamos fazer uma inducao em dimA (que ja sabemos ser finito por (i)). Se dimA = 0,

entao SpecA = m, logo√(0) = m e portanto δA = 0. Agora suponha que dimA > 0. Como

A e noetheriano, A possui apenas um numero finito de ideais primos minimais. Assim, utilizandoo “prime avoidance”, podemos escolher a ∈ m que nao pertence a nenhum primo minimal, demodo que B = A/(a) e tal que dimB ≤ dimA − 1. Por hipotese de inducao, temos portantoδB ≤ dimB. Note ainda que se a1, . . . , ar ∈ A sao elementos cujas imagens em B formam um sistemade parametros de B, entao a, a1, . . . , ar forma um sistema de parametros de A, logo δA ≤ δB + 1.Assim δA − 1 ≤ δB ≤ dimB ≤ dimA− 1⇒ δA ≤ dimA.

Corolario 4.5 (Teorema do Ideal Principal de Krull) Seja A um domınio noetheriano e sejaa 6= 0 um elemento de A. Entao qualquer ideal primo que e minimal dentre os que contem (a) tem altura1. Mais geralmente, qualquer ideal primo que e minimal dentre os que contem (a1, . . . , an) tem alturamenor ou igual a n.

Prova Seja p ∈ SpecA que e minimal dentre os primos contendo (a1, . . . , an). Portanto pAp =√(a1, . . . , an), logo ht p = dimAp = δAp

≤ n.

Como δA e menor ou igual ao numero mınimo de geradores do ideal maximal m, temos

Corolario 4.6 Seja (A,m, k) um anel local noetheriano. Entao

dimkm

m2≥ dimA

Definicao 4.7 Um anel local noetheriano (A,m, k) e regular se m pode ser gerado por dimA elementos.Um anel noetheriano B qualquer e regular se todas as suas localizacoes Bn com relacao aos seus ideaismaximais n sao regulares.

Exemplo 4.8 Seja A = Z[x] e seja m = (3, x). Entao dimAm = 2 e Am e regular. De fato, como temosuma cadeia de ideais primos (0) ( (x) ( (3, x), concluımos que dimAm ≥ 2. Por outro lado, mAm podeser gerado por dois elementos, assim dimAm = δAm

≤ 2. Em suma: dimAm = 2, que tambem e igual aonumero mınimo de geradores de mAm, assim Am e regular.

Exemplo 4.9 Seja A = Z[x]/(x2 − 18) e seja m = (3, x). Entao dimAm = 1 e Am nao e regular. Defato, como temos uma cadeia de ideais primos (0) ( (3, x), concluımos que dimAm ≥ 1. Por outro lado,

como x2 = 18 ⇒ x ∈√(3), temos que 3 e um sistema de parametros e portanto δAm

≤ 1. LogodimAm = δAm

= 1. Por outro lado, temos isomorfismos de F3-espacos vetoriais

mAm

(mAm)2=

m

m2=

(3, x)

(9, 3x, x2)=

(3, x)

(9, 3x, x2)

que tem dimensao 2 sobre F3, portanto o numero mınimo de geradores de mAm e 2. Assim, Am nao eregular.

Teorema 4.10 Um anel local noetheriano regular (A,m, k) e um domınio.

Prova Inducao em dimA. Se dimA = 0, temos que m = (0) e portanto A e um corpo. Agora suponhaque n = dimA > 0 e sejam a1, . . . , an geradores de m. Entao B = A/(a1) e um anel noetheriano localcujo ideal maximal pode ser gerado por n− 1 geradores. Mas como dimB ≥ dimA− 1 = n− 1, devemoster dimB = n− 1 e portanto B e regular, logo um domınio por hipotese de inducao. Assim, (a1) e umideal primo. Dados x, y ∈ A com xy = 0, se ambos estes elementos sao nao nulos entao dividindo x e ypor a1, podemos supor x, y 6∈ (a1), o que e um absurdo.

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88 Dimensao

Teorema 4.11 (Dimensao das Fibras) Sejam (A,m, k) e (B, n, l) aneis locais noetherianos e sejaφ:A→ B um morfismo local (i.e., φ−1(n) = m). Entao

dimB ≤ dimA+ dimB ⊗A k

com igualdade se B e (fielmente) plano sobre A.

Prova Sejam m = dimA e n = dimB ⊗A k. Seja a1, . . . , am um sistema de parametros de Ae sejam b1, . . . , bn ∈ B pre-imagens de um sistema de parametros de B ⊗A k = B/φ(m)B. Paraprovar que dimB ≤ m + n, pelo teorema de dimensao de Krull e suficiente mostrar que os m + nelementos b1, . . . , bn, φ(a1), . . . , φ(am) formam um sistema de parametros de B. Para mostrar que

n =√(b1, . . . , bn, φ(a1), . . . , φ(am)), tome b ∈ n. Existe um r natural tal que b

r ∈ (b1, . . . , bn) emB ⊗A k = B/φ(m)B, ou seja, br ∈ (b1, . . . , bn) + φ(m)B. Como ms ⊂ (a1, . . . , am) para algum natural s,temos

brs ∈((b1, . . . , bn) + φ(m)B

)s ⊂ (b1, . . . , bn) + φ(ms)B ⊂ (b1, . . . , bn, φ(a1), . . . , φ(am))

como desejado.

Agora suponha que B seja plano sobre A, de modo que o going-down vale. Escolha uma cadeia deprimos em A

p0 ( p1 ( · · · ( pm = m

e uma cadeia de primos em B contendo φ(m), ou seja, primos da fibra de m em B:

φ(m) ⊂ qm ( qm+1 ( · · · ( qm+n = q

Pelo going-down, podemos estender a cadeia anterior para uma cadeia de primos em B

q0 ( · · · ( qm−1 ( qm ( · · · ( qm+n = q

com qi sobre pi para i = 0, 1, . . . ,m. Assim, dimB ≥ m+ n e portanto dimB = m+ n.

Corolario 4.12 Seja A um anel noetheriano. Entao

dimA[x] = dimA+ 1

Prova Dada uma cadeia de ideais primos de A

p0 ( p1 ( · · · ( pn

temos uma cadeia de ideais primos em A[x]

p0 ·A[x] ( p1 · A[x] ( · · · ( pn ·A[x] ( pn + (x)

de modo que dimA[x] ≥ dimA + 1. Para mostrar a desigualdade oposta, seja q um ideal maximal deA[x] tal que dimA[x] = dimA[x]q. Seja p = q ∩ A ∈ SpecA e seja k = Frac(A/p) seu corpo residual.Como A[x] e plano sobre A, temos que A[x]q e plano sobre Ap, logo

dimA[x] = dimA[x]q = dimAp + dimA[x]q ⊗A k = dimAp + dim k[x]q ≤ dimA+ 1

Lemma 4.13 Seja A um anel noetheriano. Se A e regular, entao A[x] tambem e regular.

Prova Seja q ∈ SpecA[x] e seja p = q ∩ A. Seja k = FracA/p o corpo residual de p. A fibra de p eisomorfa a Spec k[x], logo temos duas possibilidades: q = pA[x] ou q = (p, f(x)) onde f(x) ∈ A[x] e talque sua imagem em k[x] e irredutıvel. No segundo caso, como dimA[x]q = dimAp + 1 e pAp e geradopor dimAp elementos, temos que A[x]q e regular.

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5 Exercıcios

01. Para cada um dos aneis locais noetherianos a seguir, determine:

(i) um sistema de parametros minimal;

(ii) o polinomio de Hilbert-Samuel;

(iii) a dimensao de Krull.

Diga ainda se cada um destes aneis e regular ou nao.

(a) um corpo K (b) Z(p), p primo

(c) Q[t](t) (d) Q[t](t2+1)

(e) C[x, y](x,y) (f) C[x, y, z](x,y,z)(g) Z[x](3,x) (h) C[x, y](y2−x3)

(i) Am onde A = C[x, y]/(y2 − x2(x+ 1)) e m = (x+ 1, y)

(j) Am onde A = C[x, y]/(y2 − x2(x+ 1)) e m = (x, y)

(k) Am onde A = Z[x]/(x2 − 15) e m = (3, x)

(l) Am onde A = Z[x]/(x2 − 45) e m = (3, x)

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complexoexatomorfismohomologiahomotopia

Chapter 6

MetodosHomologicos

Em Topologia, um fato surpreendente e que a “falha” ou “obstrucao” de certa propriedade pode serquantificada pela falha de exatidao de certas sequencias. Por exemplo, o grupo de homologia H1(X,Z)de um espaco topologico X pode ser entendido como uma medida da “falha” de X ser simplesmenteconexo. Neste capıtulo, veremos como esta filosofia oriunda da Topologia se aplica no estudo de aneisregulares e de planaridade.

1 Complexos e Homologia

Definicao 1.1 Dado um anel A, uma sequencia de morfismos de A-modulos

· · · - Mi+1di+1- Mi

di- Mi−1di−1- · · ·

e um complexo se a composicao de duas flechas consecutivas e 0, ou seja,

di di+1 = 0 ⇐⇒ im di+1 ⊂ ker di para todo inteiro i

Se im di+1 ⊂ ker di para todo i, dizemos que o complexo e exato.

Um morfismo entre dois complexos (M•, d•) e (N•, e•) de A-modulos e uma colecao de morfismos deA-modulos φi:Mi → Ni tais que o seguinte diagrama comuta:

· · · - Mi+1di+1- Mi

di- Mi−1di−1- · · ·

· · · - Ni+1

φi+1

? ei+1- Ni

φi

? ei- Ni−1

φi−1

? ei−1- · · ·

Definicao 1.2 Dado um complexo (M•, d•), definimos a sua i-esima homologia como o A-modulo

Hi(M•, d•)def=

ker diim di+1

Observe que (M•, d•) e exato se, e so se, Hi(M•, d•) = 0 para todo i. Assim, a homologia de um complexoquantifica a “falta de exatidao” de um complexo.

Dado um morfismo do complexos φ•: (M•, d•)→ (N•, e•), temos um morfismo induzido em homolo-gias

Hi(φ•):Hi(M•)→ Hi(N•)

z mod im di+1 7→ φi(z) mod im eiz ∈ ker di

E facil verificar que este mapa esta bem definido e que ele preserva identidade e composicoes. Temosportanto que cada Hi e um funtor da categoria de complexos de A-modulos para a categoria de A-modulos.

Definicao 1.3 Sejam dois complexos (M•, d•) e (N•, e•) de A-modulos e sejam φ• e ψ• dois morfismosentre eles. Uma homotopia entre φ• e ψ• e um colecao de mapas ki:Mi → Ni+1 tais que

φi − ψi = ei+1 ki + ki−1 di

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92 Metodos Homologicos

quase-isomorfismosequencia exata curtamorfismos conectores

para todo i. Dois morfimos sao homotopicos se existe alguma homotopia entre eles.

· · · - Mi+1di+1- Mi

di - Mi−1di−1- · · ·

· · · - Ni+1

φi+1, ψi+1

? ei+1-

k i

Ni

φi, ψi

? ei -

k i−1

Ni−1

φi−1, ψi−1

? ei−1- · · ·

A importancia de homotopias se deve ao seguinte

Lemma 1.4 Se φ•, ψ•: (M•, d•)→ (N•, e•) sao homotopicos, entao eles induzem a mesma homologia.

Prova Seja k• uma homotopia entre φ• e ψ•. Temos que mostrar que Hi(φ•) = Hi(ψ•), ou seja, queHi(φ• − ψ•) = 0. Mas k• “constroi pre-imagens” para anular a homologia: se z ∈ ker di, temos que

φi(z)− ψi(z) = ei+1 ki(z) + ki−1 di(z) = ei+1 ki(z) ∈ im ei+1

que portanto possui imagem 0 em Hi(N•, e•).

Definicao 1.5 Um morfismo de complexos φ•: (M•, d•) → (N•, e•) e um quase-isomorfismo se osmorfismos induzidos em homologia

Hi(φ•):Hi(M•)∼- Hi(N•)

sao todos isomorfismos.

Uma sequencia exata curta de morfismos de complexos

0 - M ′•

f•- M•g•- M ′′

• - 0

e uma sequencia de morfismos de complexos para a qual

0 - M ′i

fi- Migi- M ′′

i- 0

e exata para cada i. O proximo resultado e a ferramenta mais importante no estudo e calculo dahomologia de complexos.

Teorema 1.6 (A sequencia exata longa) Dada uma sequencia exata curta de complexos

0 - M ′•

f•- M•g•- M ′′

• - 0

existem morfismos δi:Hi(M′′• , d

′′•) → Hi−1(M

′•, d

′•), chamados de morfismos conectores, tais que a

sequencia

· · · - Hi(M′•)

Hi(f•)- Hi(M•)Hi(g•)- Hi(M

′′• )

δi-

Hi−1(M′•)

Hi−1(f•)- Hi−1(M•)Hi−1(g•)- Hi−1(M

′′• )

δi−1- · · ·e exata.

Prova Vamos primeiro definir δi. Considere o seguinte diagrama commutativo com linhas exatas:

0 - M ′i

fi - Migi - M ′′

i- 0

0 - M ′i−1

d′i

? fi−1- Mi−1

di

? gi−1- M ′′i−1

d′′i

?- 0

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M -regularDado um elemento z ∈ Hi(M′′• ) representado por z ∈ ker d′′i , tome y ∈ Mi tal que gi(y) = z. Como

gi−1 di(y) = 0, existe um unico x ∈M ′i−1 para o qual fi−1(x) = di(y).

y ∈Migi -- z ∈M ′′

i

x ∈M ′i−1

⊂fi−1- fi−1(x) = di(y) ∈Mi−1

di

?

E facil verificar que d′i−1(x) = 0 e que δi(z) = x+ im d′i e independente das escolhas de z ou y.

Um “diagram chase” simples (mas longo e tedioso, voce pode fazer quando ninguem estiver olhando)mostra que a sequencia longa acima definida e realmente exata.

Observacao 1.7 Os mapas δi sao transformacoes naturais: dado um diagrama comutativo com linhasexatas

0 - M ′• - M• - M ′′

• - 0

0 - N ′•

?- N•

?- N ′′

•

?- 0

temos um diagrama comutativo

Hi(M′′• )

δM

i- Hi−1(M′•)

Hi(N′′• )

? δN

i- Hi−1(N′•)

?

Uma observacao final. As vezes, trabalharemos com complexos com numeracao crescente:

· · · - Mp−1 dp−1

- Mp dp- Mp+1 dp+1

- · · ·

Mutatis mutandis, todos os resultados e definicoes anteriores tambem se aplicam para essas “sequenciascrescentes”; neste caso, convencionamos escrever os ındices como superescritos. Por exemplo, para asequencia anterior, sua homologia e definida por

Hp(M•) =kerdp

im dp−1

2 Sequencias Regulares e o Complexo de Koszul

Como primeiro exemplo de aplicacao pratica, vejamos como as tecnicas homologicas sao uteis no estudode sequencias regulares.

Definicao 2.1 Seja A um anel e M um A-modulo. Dizemos que um elemento a ∈ A e M-regular se a

multiplicacao por este elemento Ma- M e injetora, ou seja, am = 0⇒ m = 0 para todo m ∈M .

Dizemos que uma sequencia a1, . . . , an ∈ A e uma M-sequencia regular (ou apenas M-sequencia) seas seguintes condicoes sao satisfeitas:

1. ai e M/(a1, . . . , ai−1)M -regular para cada i = 1, . . . , n;

2. (a1, . . . , an)M 6=M .

Exemplo 2.2 Seja (A,m, k) um anel local noetheriano regular de dimensao n, de modo que m =(a1, . . . , an). Temos que a1, . . . , an e uma sequenciaA-regular pois A/(a1, . . . , ai−1) e um anel noetherianolocal regular, logo um domınio, de modo que ai nao e divisor de zero neste anel.

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complexo de KoszulNo estudo de sequencias regulares, o seguinte complexo tera papel central.

Definicao 2.3 Seja M um A-modulo e a = (ai)1≤i≤n uma sequencia de elementos em A. O complexode Koszul (K•(a,M), d•) associado a M e a e definido da seguinte maneira:

Kp(a,M) =

0 se p < 0M se p = 0⊕

0≤i1<···<ip≤nM · ei1...ip se p > 0

Ou seja, para p > 0 o modulo Kp(a,M) e o produto tensorial de M com o A-modulo livre de posto(np

)

e base ei1i2...ip | 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ip ≤ n. Finalmente, definimos, para p > 1,

dp:Kp(a,M)→ Kp−1(a,M)

m · ei1...ip 7→∑

1≤k≤p(−1)k−1aikm · ei1...ik...ip

onde ei1...ik...ip e o elemento da base obtido omitindo-se o ındice ik. Para p = 1, d1(m · ei) = aim,

1 ≤ i ≤ n.Note que realmente temos um complexo:

dp−1 dp(m · ei1...ip)=∑

1≤k≤p(−1)k−1aikdp−1(m · ei1...ik...ip)

=∑

1≤k≤p(−1)k−1aik

( ∑

1≤j≤k−1

(−1)j−1aijm · ei1...ij ...ik...ip +∑

k+1≤j≤p(−1)jaijm · ei1...ik...ij ...ip

)

= 0

pois cada elemento da base ei1,...,ep com dois ındices ij e ik omitidos aparece duas vezes na soma acimacom coeficientes de sinais opostos.

Exemplo 2.4 Para n = 1, o complexo de Koszul e simplesmente

0 - K1 =Me1d1=a1- K0 =M - 0

onde d1 e simplesmente a multiplicacao por a1. Assim, a sequencia a1 e M -regular se, e so se,

H1(K•) = 0 e H0(K•) 6= 0

Exemplo 2.5 Para n = 2, o complexo de Koszul e dado por

0 - K2 =Me12

d2=

(−a2a1

)

- K1 =Me1 ⊕Me2d1=(a1,a2)- K0 =M - 0

onde os mapas di sao dados por

d1(m1e1 +m2e2) = a1m1 + a2m2 d2(me12) = a1me2 − a2me1Vejamos a relacao entre este complexo e a M -regularidade de a1, a2. Para isto, considere a seguintesequencia exata de complexos de Koszul:

0 - 0 - Me12me12 7→ me1 - Me1 - 0

0 - Me1? me1 7→ me1- Me1 ⊕Me2

(−a2a1

)

? m1e1 +m2e2 7→ m2- M

a1

?- 0

0 - M

a1

? id - M

(a1, a2)

?- 0

?- 0

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Aqui as linhas sao exatas, a coluna do meio e o complexo de Koszul para a1, a2 e as colunas externassao os complexos de Koszul para a1, sendo o da direita “deslocado” em uma posicao. Temos portantouma sequencia exata (nao muito) longa

0 - H2(K•(a1, a2,M)) - H1(K•(a1,M))

δ2- H1(K•(a1,M)) - H1(K•(a1, a2,M)) - H0(K•(a1,M))

δ1- H0(K•(a1,M)) - H0(K•(a1, a2,M)) - 0

Vamos descrever explicitamente os morfismos de conexao. Seja me1, m ∈ M , um representante de umelmento de H1(K•(a1,M)), de modo que a1m = 0. Temos

δ2(me1) = d2(me12) = −a2me1

Assim, δ2 e induzido pela multiplicacao por −a2. Da mesma forma mostra-se que δ1 e e induzido pelamultiplicacao por +a2.

Se a1, a2 e M -regular, entao H1(K•(a1,M)) = 0 e δ1 e injetor, pois a2 e regular em M/a1M =H0(K•(a1,M)). Portanto, da sequencia exata acima, temos H1(K•(a1, a2,M)) = H2(K•(a1, a2,M)) = 0enquanto H0(K•(a1, a2,M)) =M/(a1, a2)M 6= 0.

Agora suponhamos adicionalmente que (A,m, k) e um anel noetheriano local, que a1, a2 ∈ m e que M efinitamente gerado sobre A. Vejamos o que ocorre quando H1(K•(a1, a2,M)) = 0 e H0(K•(a1, a2,M)) 6=0. Neste caso, a2 anula H1(K•(a1,M)). Mas como M e noetheriano, temos que esta homologia e ummodulo e finitamente gerado sobre A, logo por Nakayama concluımos que H1(K•(a1,M)) = 0, ou seja, a1e regular. Assim, temos tambem que H2(K•(a1, a2,M)) = 0. Isto implica que a2 e regular em M/a1M :se a2m2 = a1m1 para mi ∈M , temos que m1e1 −m2e2 ∈ kerd1 = im d2, logo m2 ∈ a1M .

Resumindo: se (A,m, k) e um anel noetheriano local, a1, a2 ∈ m e M 6= 0 e um modulo finitamentegerado sobre A, entao

a1, a2 e M -regular ⇐⇒ H1(K•(a1, a2,M)) = 0

ja que, por Nakayama, H0(K•(a1, a2,M)) = M/(a1, a2)M = 0 ⇐⇒ M = 0. Note que, em particular,a1, a2 e M -regular se, e so se, a2, a1 e M -regular, pois a condicao H1(K•(a1, a2,M)) = 0 e claramenteindependente da ordem dos ai’s.

No exemplo anterior, temos que a homologia do complexo de Koszul e uma “medida de falha” deregularidade de uma sequencia. Podemos generalizar este exemplo, para isto provemos inicialmente oseguinte

Lemma 2.6 Seja A um anel, M uma A-modulo e a = (ai)1≤i≤n uma sequencia de elementos em A.Denote Hp(K•(a,M)) por Hp(a,M).

1. Temos uma sequencia exata de complexos

0→ K•(a1, . . . , an−1,M)f- K•(a1, . . . , an,M)

g- K•(a1, . . . , an−1,M)[−1]→ 0

onde [−1] denota “deslocamento” por −1, isto e,

Kp(a1, . . . , an−1,M)[−1] def= Kp−1(a1, . . . , an−1,M)

Desta sequencia, obtemos uma sequencia exata longa da forma

· · · (−1)pan- Hp(a1, . . . , an−1,M)→ Hp(a1, . . . , an,M)→ Hp−1(a1, . . . , an−1,M)

(−1)p−1an- Hp−1(a1, . . . , an−1,M)→ Hp−1(a1, . . . , an,M)→ · · ·

2. Para todo p, anHp(a1, . . . , an,M) = 0. Em particular, Hp(a1, . . . , an,M) e anulada por qual-quer elemento do ideal (a1, . . . , an).

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Prova 1. Para cada p, defina fp:Kp(a1, . . . , an−1,M)→ Kp(a1, . . . , an,M) por

fp(mei1i2...ip) = mei1i2...ip m ∈M

e gp:Kp(a1, . . . , an,M)→ Kp(a1, . . . , an−1,M)[−1] por

gp(mei1i2...ip) =

mei1i2...ip−1 se ip = n0 se ip < n

m ∈M

Temos portanto sequencias exatas

0 - Kp(a1, . . . , an−1,M)fp- Kp(a1, . . . , an,M)

gp- Kp(a1, . . . , an−1,M)[−1] - 0

e e facil verificar que os mapas fp e gp comutam com os diferenciais dp dos complexos de Koszul.Assim, temos uma sequencia exata de complexos. Falta ainda mostrar que os morfismos de conexaoδp:Hp(a1, . . . , an−1,M)[−1]→ Hp−1(a1, . . . , an−1,M) sao dados por multiplicacao por (−1)p−1an.

Tome um representante∑mi1...ip−1ei1...ip−1 ∈ ker dp de um elemento de Hp−1(a1, . . . , an−1,M).

O resultado segue observando que∑mi1...ip−1ei1...ip−1n ∈ Kp(a1, . . . , an,M) e uma pre-imagem deste

elemento por gp e que

dp

(∑mi1...ip−1ei1...ip−1n

)

=∑

i1,...,ip−1

( ∑

1≤k≤p−1

(−1)k−1aikmi1...ip−1ei1...ik...ip−1n+ (−1)p−1anmi1...ip−1ei1...ip−1

)

= (−1)p−1an∑

mi1...ip−1ei1...ip−1

utilizando o fato que∑mi1...ip−1ei1...ip−1 ∈ kerdp.

2. Podemos escrever

Kp(a1, . . . , an,M) =(⊕ip<nMei1...ip

)⊕(⊕ip=nMei1...ip

)

∼= Kp(a1, . . . , an−1,M)⊕Kp−1(a1, . . . , an−1,M)

e, nesta decomposicao, dp:Kp(a1, . . . , an,M)→ Kp−1(a1, . . . , an,M) se escreve como

dp(x, y) =(dp(x) + (−1)p−1any, dp−1(y)

)

para x ∈ Kp(a1, . . . , an−1,M) e y ∈ Kp−1(a1, . . . , an−1,M).

Assim, se dp(x, y) = 0 entao dp(x) = (−1)pany e dp−1(y) = 0, logo an · (x, y) = dp+1

(0, (−1)px

).

Isto mostra que anHp(a1, . . . , an,M) = 0. Como temos um isomorfismo de complexos

K•(a1, . . . , an,M) ∼= K•(aσ(1), . . . , aσ(n),M)

para qualquer permutacao σ de 1, 2, . . . , n, temos tambem um isomorfismo das homologias. Assim, porsimetria, todo ai anula Hp(a1, . . . , an,M).

Agora podemos generalizar o criterio do segundo exemplo.

Teorema 2.7 Seja M 6= 0 um modulo finitamente gerado sobre um anel noetheriano local (A,m, k).Sejam a1, . . . , an ∈ m. As seguintes condicoes sao equivalentes:

1. a1, . . . , an e uma M -sequencia regular.

2. Hp(a1, . . . , an,M) = 0 para todo p > 0.

3. H1(a1, . . . , an,M) = 0.

Prova Observe inicialmente queM/(a1, . . . , an)M 6= 0 automaticamente por Nakayama (lema III.2.3.2).A prova e por inducao em n, sendo que os casos n = 1 e n = 2 seguem dos exemplos. Seja n > 1.

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(1 ⇒ 2) A sequencia exata longa do lema anterior, juntamente com a hipotese de inducao, mostra queHp(a1, . . . , an,M) = 0 se p > 1. Para p = 1, temos o seguinte fragmento da sequencia exata longa:

0 =H1(a1, . . . , an−1,M) - H1(a1, . . . , an,M)f- H0(a1, . . . , an−1,M)

an- H0(a1, . . . , an−1,M)

Como an e regular em H0(a1, . . . , an−1,M) = M/(a1, . . . , an−1)M , concluımos que f = 0. PortantoH1(a1, . . . , an,M) = 0 e o resultado vale para p = 1 tambem.

(2⇒ 3) Claro.

(3⇒ 1) Temos uma sequencia exata:

H1(a1, . . . , an−1,M)−an- H1(a1, . . . , an−1,M) - H1(a1, . . . , an,M) = 0

Como an ∈ m, por Nakayama (lema III.2.3.2) temos H1(a1, . . . , an−1,M) = 0. Por hipotese de inducao,temos que a1, . . . , an e M -regular. Por outro lado, a exatidao de

0 = H1(a1, . . . , an,M) - H0(a1, . . . , an−1,M)an- H0(a1, . . . , an−1,M)

mostra que an e regular em H0(a1, . . . , an−1,M) =M/(a1, . . . , an−1)M .

Novamente como temos um isomorfismo de complexos K•(a1, . . . , an,M) ∼= K•(aσ(1), . . . , aσ(n),M)para qualquer permutacao σ de 1, 2, . . . , n, obtemos o seguinte

Corolario 2.8 Nas condicoes do teorema anterior, uma permutacao de uma sequencia M -regular eM -regular.

Continuamos nas condicoes do teorema anterior. Queremos agora considerar M -sequencias que saomaximais; elas certamente existem pois para toda M -sequencia a1, a2, . . ., temos uma cadeia ascendenteestrita (a1) ( (a1, a2) ( · · ·, que estabiliza pois A e noetheriano. O fato surpreendente e que todas asM -sequencias possuem o mesmo comprimento:

Teorema 2.9 Seja (A,m, k) um anel local noetheriano. Sejam b1, . . . , bn geradores de m e seja

q = maxi | Hi(b1, . . . , bn,M) 6= 0Entao toda M -sequencia maximal tem tamanho n− q.Prova Seja a1, . . . , as uma M -sequencia maximal, provemos por inducao em s que s = n− q. Se s = 0,entao todo elmento de m e um divisor de zero em M , logo m ⊂ ⋃p∈Ass(M) p. Pelo “prime avoidance”

(teorema V.4.2), temos m ∈ Ass(M), assim existe v 6= 0 em M tal que m = ann(v). Portanto

v ∈ Hn(b1, . . . , bn,M) = m ∈M | b1m = · · · = bnm = 0o que mostra que neste caso q = n.

Agora seja s > 0. Vamos mostrar que

maxi | Hi(b1, . . . , bn,M/a1M) 6= 0 = q + 1 (∗)Deste modo, por hipotese de inducao aplicada aM/a1M -sequencia maximal a2, . . . , as de tamanho s−1,teremos s− 1 = n− (q + 1) ⇐⇒ s = n− q.

Para provar (∗), considere a sequencia exata

0 - Ma1- M - M/a1M - 0

Temos uma sequencia exata de complexos de Koszul

0 - K•(b1, . . . , bn,M)a1- K•(b1, . . . , bn,M) - K•(b1, . . . , bn,M/a1M) - 0

e portanto uma sequencia exata longa

· · · - Hp(b1, . . . , bn,M)a1- Hp(b1, . . . , bn,M) - Hp(b1, . . . , bn,M/a1M)

- Hp−1(b1, . . . , bn,M)a1- Hp−1(b1, . . . , bn,M) - Hp−1(b1, . . . , bn,M/a1M) - · · ·

Mas como a1 ∈ m = (b1, . . . , bn) anula estes modulos (lemma 2.6), esta sequencia longa se parte emsequencias menores da forma

0 - Hp(b1, . . . , bn,M) - Hp(b1, . . . , bn,M/a1M) - Hp−1(b1, . . . , bn,M) - 0

Se p > q+1, temos Hp(b1, . . . , bn,M) = Hp−1(b1, . . . , bn,M) = 0 e portanto Hp(b1, . . . , bn,M/a1M) = 0tambem para o termo do meio. Finalmente, para p = q + 1, obtemos Hq+1(b1, . . . , bn,M/a1M) ∼=Hq(b1, . . . , bn,M) 6= 0, o que encerra a prova de (∗) e do teorema.

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Cohen-Macauleyexato a esquerdaexato a direitaexato

Definicao 2.10 Nas condicoes do teorema anterior, o numero de elementos depthM em qualquer M -sequencia maximal e chamado de profundidade de M .

Exemplo 2.11 Seja k um corpo e A = k[x, y](x,y)/(y2 − x3). O complexo de Koszul de A com relacao

a sequencia x, y e

0 - Ae12

(−yx

)

- Ae1 ⊕Ae2(x,y)- A - 0

Como A e um domınio e x, y nao sao 0, temos que H2(x, y, A) = 0. Por outro lado, temos que o elemento−x2e1 + ye2 ∈ ker d1 mas nao pertence a im d2, ja que y /∈ (x) (caso contrario, este anel seria regular, oque ja sabemos nao ser verdade). Isto mostra que H1(x, y, A) 6= 0. Assim, depthA = 2− 1 = 1.

A profundidade e um importante invariante de modulos e aneis. Temos a seguinte relacao com adimensao:

Teorema 2.12 Seja (A,m, k) um anel local noetheriano. Entao

depthA ≤ dimA

Prova Inducao na dimensao. Se dimA = 0 entao m =√(0) e portanto depthM = 0. Se dimA > 0

e a1, . . . , as e uma sequencia A-regular maximal (s = depthA) entao depthA/a1A = s− 1, tanto comoA-modulo e como A/a1A-modulo. Por outro lado, dimA/a1A = dimA− 1 pois a1 nao e divisor de zero.Por inducao, temos portanto que

s− 1 = depthA/a1A ≤ dimA/a1A = dimA− 1 ⇐⇒ depthA ≤ dimA

Exemplo 2.13 Seja k um corpo e A = k[x, y](x,y)/(xy, x2). Temos que dimA = 1 pois y e um sistema

de parametros. Por outro lado, como (x, y) = ann(x) e associado, temos que todo elemento deste idealmaximal e divisor de zero e portanto depthA = 0, mostrando que a desigualdade acima pode ser estrita.

Definicao 2.14 Um anel noetheriano local A e Cohen-Macauley se depthA = dimA.

Veremos mais tarde que a condicao acima e uma especie de “regularidade fraca.” Em particular,aneis regulares sao Cohen-Macauley, ja que uma base minimal para o ideal maximal e uma sequenciaregular.

3 Resolucoes e Funtores Derivados

Apos este breve interludio com o complexo de Koszul, voltemos a situacao abstrata geral. Vamos estudaragora a “falha de exatidao” de certos funtores, o que nos leva ao conceito de funtor derivado.

3.1 Modulos Projetivos e Injetivos

Definicao 3.1.1 Seja F um funtor da categoria de A-modulos para a categoria de grupos abelianos.Dizemos que F e exato a esquerda se para toda sequencia exata curta de A-modulos

0 - M ′ - M - M ′′ - 0

a sequencia0 - FM ′ - FM - FM ′′

tambem e exata. Por outro lado, o funtor F e dito exato a direita se para toda sequencia exata curtade A-modulos como acima, a sequencia

FM ′ - FM - FM ′′ - 0

e exata. O funtor F e exato se e simultaneamente exato a esquerda e a direita, ou seja, preservasequencias exatas.

Se G e um funtor contravariante, dizemos que ele e exato a esquerda se

0 - GM ′′ - GM - GM ′

e exato para toda sequencia exata curta de A-modulos como acima. Analogamente define-se funtorcontravariante exato a direita e funtor contravariante exato.

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projetivoinjetivogrupo divisıvel

Exemplo 3.1.2 Seja N um A-modulo qualquer. Entao − ⊗A N e exato a esquerda, sendo exato se, eso se, N e A-plano.

Exemplo 3.1.3 Para qualquerA-modulo N , temos um funtor HomA(N,−) que associa a cada A-moduloM o grupo abeliano dos morfismos de A-modulos φ:N →M . Para cada flecha f :M1 →M2, este funtorassocia a flecha

HomA(N, f): HomA(N,M1)→ HomA(N,M1)

φ 7→ f φ

Agora e facil checar que HomA(N,−) e um funtor exato a esquerda. Da mesma forma, define-se o funtorcontravariante HomA(−, N), que tambem e exato a esquerda.

Definicao 3.1.4 Um A-modulo P e projetivo se o funtor HomA(P,−) e exato. Um A-modulo I einjetivo se o funtor HomA(−, I) e exato.

Exemplo 3.1.5 Todo modulo livre e projetivo: se M =⊕

i∈I Aei e livre, entao

HomA(M,T ) =∏

i∈IHomA(Aei, T ) =

∏

i∈ITei

e portanto o funtor HomA(M,−) e exato.

Teorema 3.1.6 Um A-modulo I e injetivo se, e so se, para qualquer ideal a de A

HomA(A, I) ։ HomA(a, I)

e sobrejetor, i.e., qualquer morfismo f : a→ I se estende para um morfismo f :A→ I sobre todo A.

Prova A necessidade e clara. Para mostrar que a condicao e suficiente, seja N ⊂ M uma inclusao deA-modulos e tome φ ∈ HomA(N, I); temos que obter uma extensao φ ∈ HomA(M, I), o que e mais umatarefa para o lema de Zorn: considere a colecao das extensoes (T, ψ) de φ, isto e,

(T, ψ)

∣∣∣ T e um A-modulo tal que N ⊂ T ⊂M e ψ ∈ HomA(T, I) e tal que ψ|N = φ

parcialmente ordenado da maneira usual:

(T1, ψ1) ≤ (T2, ψ2) ⇐⇒ T1 ⊂ T2 e ψ2|T1 = ψ1

E facil verificar que toda cadeia e limitada superiormente, de modo que o conjunto acima admite umelemento maximal (N , φ). Devemos mostrar que N = M . Suponha por absurdo que nao e tome

m ∈M \ N . Considere o ideal a = a ∈ A | am ∈ N. Por hipotese, existe f :A→ I estendendo o mapa

f : a→ I dado por f(a) = φ(am), a ∈ a. Podemos agora definir N = N +Am e

φ: N → I

n+ am 7→ φ(n) + f(a)a ∈ A, n ∈ N

Observe que φ esta bem definido, i.e., independe da particular representacao de um elemento em N . Mas

entao (N , φ) e estritamente maior que (N , φ), o que e absurdo.

Utilizando o criterio anterior, podemos dar agora exemplos de modulos injetivos. Relembrando: umgrupo abeliano G e dito divisıvel se a multiplicacao por n em G e sobrejetora para todo inteiro n > 0.Por exemplo, Q e Q/Z sao grupos abelianos divisıveis.

Lemma 3.1.7 Qualquer grupo abeliano divisıvel G e um Z-modulo injetivo.

Prova Todo ideal de Z e principal. Assim, dado d ∈ Z e um morfismo f : (d) → G, basta definir uma

extensao f :Z→ G, o que e facil: se y ∈ G e tal que dy = f(d), basta por f(1) = y.

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cindesecao

Definicao 3.1.8 Uma sequencia exata curta de A-modulos

0 - M ′ i- Mp- M ′′ - 0

cinde se a injecao i admite uma secao s, isto e, um morfismo de A-modulos s:M →M ′ tal que s i = idou, equivalentemente, a projecao p admite uma secao t, isto e, morfismo de A-modulos t:M ′′ → M talque p t = id. Neste caso, temos isomorfismos

M∼- M ′ ⊕M ′′

m 7→ (s(m), p(m))e

M ′ ⊕M ′′ ∼- M

(m′,m′′) 7→ i(m′) + t(m′′)

Exemplo 3.1.9 Sobre um corpo k, toda sequencia exata curta de k-espacos vetoriais cinde. A sequenciade Z-modulos

0 - Z/22- Z/4 - Z/2 - 0

nao cinde, pois Z/4 6∼= Z/2⊕ Z/2.

Lemma 3.1.10 Seja

0 - M ′ - M - M ′′ - 0

uma sequencia exata curta de A-modulos.

1. Se M ′ e injetivo ou se M ′′ e projetivo entao a sequencia acima cinde.

2. Se a sequencia acima cinde, entao para qualquer funtor F exato a esquerda ou a direita asequencia

0 - FM ′ - FM - FM ′′ - 0

e exata.

Prova Se M ′ e injetivo, qualquer extensao s:M → M ′ da identidade id:M ′ → M ′ e uma secao deM ′ →M , logo a sequencia cinde.

Teorema 3.1.11 (Projetivo como Somando de Livres) Um modulo M e projetivo se, e so se,existe M ′ tal que M ⊕M ′ e livre.

Prova Existe um modulo livre F e uma sobrejecao F ։ M . Seja N o kernel deste mapa; temos umasequencia exata

0 - N - F - M - 0

Assim, como M e projetivo, a sequencia acima cinde e F ∼=M ⊕N .

Lemma 3.1.12 Seja M um A-modulo. Entao

M e livre⇒M e projetivo⇒M e plano

Prova Ja sabemos que todo modulo livre e projetivo. Agora suponha que M e projetivo e seja M ′ talque M ⊕M ′ e livre. Seja i:N ′ → N uma injecao qualquer de A-modulos. Entao

(M ⊕M ′)⊗N ′ ⊂id⊗i- (M ⊕M ′)⊗N

‖ ‖(M ⊗N ′) ⊂

id⊗i- (M ⊗N)⊕ ⊕

(M ′ ⊗N ′) ⊂id⊗i- (M ′ ⊗N)

e injetor, logo o mesmo vale para M ⊗N ′ →M ⊗N , provando que M e plano.

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Teorema 3.1.13 (“Abundancia Projetiva e Injetiva”) Seja M um A-modulo.

1. existe um A-modulo projetivo P e uma sobrejecao P ։M .

2. existe um A-modulo injetivo I e uma injecao M → I.

Prova O primeiro item e uma consequencia direta do fato que todo modulo e quociente de um modulolivre. Para o segundo item, vamos primeiro mostrar o resultado quando A = Z. Para qualquer grupoabeliano M , defina M∨ = HomZ(M,Q/Z), o grupo dual de M . Temos

1. O dual F∨ de um grupo abeliano livre F e Z-injetivo (i.e., e um grupo divisıvel)

2. Ha uma injecao canonica de M no duplo dual

M →M∨∨

m 7→ (φ 7→ φ(m);φ ∈M∨)

Para mostrar que o mapa acima e de fato injetor, observe que dado m 6= 0 existe um mapa nao zeroφ:Zm→ Q/Z e como Q/Z e injetivo, φ se estende a um mapa nao zero φ ∈M∨.

Agora dado um grupo abeliano M , tome F um grupo abeliano livre e uma sobrejecao φ:F ։M∨.Dualizando, obtemos uma injecao M∨∨ → F∨. Assim, a composicao M →M∨∨ → F∨ e uma imersaode M em um Z-modulo injetivo F∨.

Vejamos agora o caso geral. Em primeiro lugar, para um grupo abeliano G, note que podemos verHomZ(A,G) como A-modulo da seguinte forma: dados f ∈ HomZ(A,G) e a ∈ A, af ∈ HomZ(A,G) e omapa x 7→ f(xa), x ∈ A. Denotando por M0 o grupo abeliano subjacente de um A-modulo M , temos

1. Ha uma injecao de A-modulosM → HomZ(A,M0)

m 7→ (a 7→ am; a ∈ A)2. Para todo grupo abeliano G, temos um isomorfismo de A-modulos

HomA(M,HomZ(A,G))∼- HomZ(M0, G)

φ 7→ (m 7→ φ(m)(1);m ∈M0)

O mapa inverso e dado por

HomZ(M0, G)∼- HomA(M,HomZ(A,G))

ψ 7→ (m 7→ ψm;m ∈M)

onde ψm ∈ HomZ(A,G) e dado por ψm(a) = ψ(am).

Agora dado um A-modulo M , seja M0 → I0 uma imersao de M0 em Z-modulo injetivo I0. Temosportanto uma injecao HomZ(A,M0) → HomZ(A, I0). Mas como HomA(−,HomZ(A, I0)) = HomZ(−, I0)e exato, HomZ(A, I0) e um A-modulo injetivo, logo a composicao M → HomZ(A,M0) → HomZ(A, I0) ea imersao pedida.

3.2 Resolucoes Projetivas e Injetivas

Definicao 3.2.1 Um complexo (M•, d•) e limitado superiormente se Mi = 0 para i ≫ 0 e e lim-itado inferiormente se Mi = 0 para i ≪ 0. O complexo e limitado se e limtado superiormente einferiormente.

Teorema 3.2.2 (Extensao Projetiva) No seguinte diagrama, a linha superior e um complexo comPi projetivos e a linha inferior e exata.

· · · - P2d2 - P1

d1 - P0ǫ - M - 0

· · · - Q2

∃f2? d′2 - Q1

∃f1? d′1 - Q0

∃f0? ǫ′ - N

f

?- 0

Entao qualquer morfismo f :M → N pode ser estendido a um morfismo f•:P• → Q• entre os doiscomplexos. Alem disso, esta extensao e unica a menos de homotopia.

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Prova Vamos construir os fi’s indutivamente. Como P0 e projetivo e Q0 ։ N e sobrejetor, por definicaode modulo projetivo existe f0:P0 → Q0 que e um “levantamento” da composicao f ǫ:P0 → M → N .Agora, utilizando a comutatividade do quadrado mais a esquerda, temos

ǫ′ (f0 d1) = f (ǫ d1) = 0⇒ im(f0 d1) ⊂ ker ǫ′ = im d′1

Logo temos um mapa f0 d1:P1 → im d′1 e uma sobrejecao d′1:Q1 ։ im d′1. Como P1 e projetivo, existeum levantamento f1:P1 → Q1 de f0 d1. Procedendo desta forma, obtemos indutivamente fi:Pi → Qicomo levantamento de fi−1 di:Pi → im d′i.

Agora temos que mostrar que duas extensoes de f sao homotopicas. Para isto, basta mostrar quequalquer extensao f• de f = 0 e homotopica a 0. Vamos construir os mapas de homotopia ki:Pi → Qi+1

indutivamente. Como f = 0, temos ǫ′ f0 = f ǫ = 0⇒ im f0 ⊂ ker ǫ′ = im d′1. Assim, temos um mapaf0:P0 → im d′1 e como P0 e projetivo e d′1:Q1 ։ im d′1 e sobrejetor, existe um levantamento k0:P0 → Q1

de f0. Assim,

f0 = d′1 k0Da mesma forma, temos

d′1 (f1 − k0 d1) = d′1 f1 − (d′1 k0) d1 = f0 d1 − f0 d1 = 0⇒ im(f1 − k0 d1) ⊂ kerd′1 = im d′2

Assim, temos um mapa (f1 − k0 d1):P1 → im d′2, que pode ser levantado para k1:P1 → Q2. Portanto

f1 = k0 d1 + d′2 k1

Procedendo indutivamente desta forma, definimos ki:Pi → Qi+1 como o levantamento de (fi − ki−1 di):Pi → im d′i+1 de modo que

fi = ki−1 di + d′i+1 ki

Teorema 3.2.3 (Resolucoes Projetivas) Dado um complexo (M•, d•) limitado inferiormente, existeum complexo (P•, d•) limitado inferiormente quase-isomorfo a (M•, d•) com Pi projetivo.

Prova Sem perda de generalidade vamos supor que Mi = 0 para i < 0. Seja P0 ։ M0 uma sobrejecaocom P0 projetivo.

Definicao 3.2.4 A injetivo resolucao (I•, d•) of M e a complex of injetivo modulos together com aninjection ǫ:M → I0 de modo que the augmented complex

0 - Mǫ- I0

d0- I1d1- I2 - · · ·

e exact. The resolucao e said to be finite se Ip = 0 para todo sufficiently large p.

We define the injetivo dimensao of a modulo as the length of the shortest injetivo resolucao, in thesame way as we did para projetivo dimensao. por exemplo,

0→ Z→ Q→ Q/Z→ 0

e an injetivo resolucao of the Z-modulo Z, which portanto has injetivo dimensao 1; it cannot be 0 comoZ e not injetivo.

We now mostrar que todo modulo has an injetivo resolucao. The proof of the corresponding resultpara projetivo resolucaos was based on the fact that todo modulo e the quociente of a free modulo.Similarly in order to show the existence of an injetivo resolucao, todo that we need e to mostrar quequalquer modulo can be embedded into an injetivo modulo, para once temos an embedding M → I0 ofM into an injetivo modulo I0, we can embed the cokernel of this mapa into another injetivo modulo I1to obtain an exact sequence 0→ M → I0 → I1; iterating this process, obtemos an injetivo resolucao ofM .

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aditivofuntor derivado

Lema 3.2.5 (Resolucoes) Dado um complexo (M•, d•) de A-modulos limitado inferiormente, existeum outro complexo (P•, e•) quase-isomorfo a (M•, d•) e tais que os modulos Pi sao todos projetivos.

Definicao 3.2.6 Um funtor F e aditivo se para qualquer f, g ∈ Hom(M,N), F (f + g) = F (f) +F (g).

Definicao 3.2.7 Seja F um funtor aditivo exato a esquerda. O funtor derivado a esquerda LF deF .

3.3 Tor e Ext

Exemplo 3.3.1 (Tor sobre Z) SejaM e N be finitamente gerado Z-modulos (a.k.a finitamente geradoabelian groups). We can write a surjection ǫ:F0 ։M com F0 free of finite rank. Como Z e a PID, ker ǫe also free of finite rank, so obtemos a projetivo resolucao

0 - F1d1- F0

ǫ- M - 0

of M . This shows that TorZp(M,N) = 0 para p > 1. Como TorZ0 (M,N) =M ⊗N , the so thing left to be

computed e TorZ1(M,N) = ker d1 ⊗ 1. But como M e N sao direct sums of free Z-modulos, which sao

flat, e finite cyclic groups, everything boils down to the computation of TorZ1 (Z/(m),Z/(n)).A free resolucao of Z/(m) e

0 - Zm- Z

ǫ- Z/(m) - 0

Deleting the term Z/(m) from this sequence e tensoring it com Z/(n), concluımos que TorZ1 (Z/(m),Z/(n))e the kernel of the multiplication por m in Z/(n), i.e., TorZ1(Z/(m),Z/(n)) = Z/(d) onde d = gcd(m,n).

Teorema 3.3.2depthM = mini | Exti(k,M) 6= 0

4 Planaridade

Lemma 4.1 Seja0 - M ′ - M - M ′′ - 0

uma sequencia exata de A-modulos com M ′′ plano. Entao, para qualquer A-modulo N , a sequencia

0 - M ′ ⊗N - M ⊗N - M ′′ ⊗N - 0

e exata.

Prova Temos uma sequencia exata longa

0 = Tor1(M′′, N) - M ′ ⊗N - M ⊗N - M ′′ ⊗N - 0

onde o termo da esquerda se anula pois M ′′ e plano.

Teorema 4.2 Seja (A,m, k) um anel noetheriano local e M um A-modulo finitamente gerado. Entao

M e livre ⇐⇒ M e projetivo ⇐⇒ M e plano

Prova Basta mostrar que, nas condicoes do enunciado, todo modulo plano e livre. SejaM um A-moduloplano finitamente gerado e seja ω1, . . . , ωn um conjunto minimal de geradores de M ; sabemos que asimagens dos ωi em M ⊗ k =M/mM formam uma base deste k-espaco vetorial. Defina

φ:An ։M

(a1, . . . , an) 7→ a1ω1 + · · ·+ anωn

e seja N = kerφ, de modo que temos uma sequencia exata curta

0 - N - Anφ- M - M - 0

Queremos mostrar que N = 0. Como M e plano sobre A, pelo lema anterior temos que esta sequenciapermanece exata quando a tensorizamos por k. Mas como φ⊗k e um isomorfismo por construcao, temosque N ⊗A k = 0. Temos ainda que A e noetheriano e M e finitamente gerado, logo N e finitamentegerado tambem. Portanto N = 0 ⇐⇒ N ⊗A k = 0 por Nakayama (lema III.2.3.2), como desejado.

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O proximo resultado mostra que, para modulos finitamente gerados sobre aneis noetherianos,

projetivo = localmente livre

Corolario 4.3 Seja A um anel noetheriano e seja M um A-modulo finitamente gerado. Entao

M e projetivo ⇐⇒ Mm e livre para todo ideal maximal m de A

Prova Pelo teorema anterior, devemos mostrar que M e projetivo se, e so se, cada Mm e projetivo. SeM e projetivo, entao e somando de um modulo livre, propriedade que e preservada sob localizacao, oque mostra que cada Mm e projetivo.

Reciprocamente, suponha que cada Mm e projetivo. Seja N• uma sequencia exata de A-modulos.Pelo princıpio local-global (teorema III.1.8), temos que HomA(M,N•) sera uma sequencia exata de A-modulos se, e so se, HomA(M,N)m for exata para todo m maximal. Mas como M e finitamente geradoe Am e plano sobre A, temos um isomorfismo (teorema III.4.1.8)

HomA(M,N)m = HomAm(Mm, Nm)

para qualquer A-modulo N . Como localizacao e um funtor exato, temos que cada sequencia de Am-modulos N•

m e exata. Assim, como Mm e projetivo, temos que HomAm(Mm, N

•m) e exata e portanto M

e projetivo, como querıamos.

Exemplo 4.4 Todo ideal a em um domınio de Dedekind A e um modulo projetivo. Por exemplo, jasabemos que o ideal a = (3, 1 + 2i

√5) de A = Z[i

√5] nao e principal (isto e, nao e um A-modulo livre),

mas que ele e localmente principal.

Teorema 4.5 Seja M um A-modulo. Entao as seguintes condicoes sao equivalentes:

1. M e A-plano;

2. TorAn (M,N) = 0 para todo n ≥ 1 e todo A-modulo N ;

3. TorA1 (M,N) = 0 para todo A-modulo N ;

4. o mapa natural a⊗AM ։ aM e um isomorfismo para todo ideal a de A.

Prova 1⇒ 2⇒ 3 e claro. Vamos mostrar que 3⇒ 4. Considere a sequencia exata curta

0 - a - A - A/a - 0

Temos uma sequencia exata longa

0 = TorA1 (M,A/a) - M ⊗A a - M ⊗A A - M ⊗A (A/a) - 0

que e isomorfa a

0 - M ⊗A a - M - M/aM - 0

e portanto a imagem de M ⊗A a→M e igual a aM , o que mostra (4).

Agora vamos provar que 4 ⇒ 1. Seja N ′ ⊂ N uma inclusao de A-modulos; temos que mostrar queN ′ ⊗M → N ⊗M e injetor.

Primeiro, vejamos que sem perda de generalidade podemos assumir que N/N ′ e finitamente gerado.Temos

N ⊗M = (lim−→N ′′

N ′′)⊗M,

onde N ′′ percorre todos os modulos tais que N ′ ⊂ N ′′ ⊂ M e N ′′/N ′ e finitamente gerado. Assim, se∑i n

′i ⊗mi ∈ N ′ ⊗M tem imagem 0 em N ⊗M , entao existe N ′′ como acima tal que

∑i n

′i ⊗mi tem

imagem 0 em N ′′⊗M , ou seja, se existe um contra-exemplo N ′ ⊂ N para a planaridade deM , existe umcom N/N ′ finitamente gerado. Podemos ate mesmo supor que N/N ′ e gerado por um unico elemento,

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pois se a injetividade e preservada neste caso especial, entao para o caso geral N = N ′+Aω1+ · · ·+Aωnpodemos escrever N ′ ⊗M → N ⊗M como composicao de injecoes

(N ′ +Aω1 + · · ·+Aωi)⊗M → (N ′ +Aω1 + · · ·+Aωi+1)⊗M

Suponha portanto que N/N ′ = Aω de modo que N/N ′ = A/a para a = ann(ω). Da sequencia exatacurta

0 - a - A - A/a - 0,

obtemos uma sequencia exata longa

0 = Tor1(M,A) - Tor1(M,A/a) - M ⊗ a - M ⊗A =M

onde o termo da esquera e zero pois A e plano sobre si mesmo. ComoM⊗a →M e injetivo por hipotese,da sequencia acima concluımos que Tor1(M,A/a) = 0. Finalmente, da sequencia exata

0 - N ′ - N - A/a - 0

obtemos a sequencia exata

0 = Tor1(M,A/a) - M ⊗N ′ - M ⊗Nque mostra que M ⊗N ′ →M ⊗N e de fato injetor.

Corolario 4.6 Seja0 - M ′ - M - M ′′ - 0

uma sequencia exata de A-modulos. Se M ′ e M ′′ sao A-planos, o mesmo vale para M .

Prova Para todo A-modulo N , temos uma sequencia exata

0 = Tor1(M′, N) - Tor1(M,N) - Tor1(M

′′, N) = 0

onde os extremos, e portanto o meio, se anulam pois M ′ e M ′′ sao A-planos. Assim, M e A-plano peloteorema anterior.

Teorema 4.7 (Criterio Local de Planaridade) Seja (A,m, k) uma anel local noetheriano. SejaB uma A-algebra noetheriana local e M um B-modulo finito. Para n ≥ 1, escreva An = A/mn eMn =M ⊗A An =M/mnM . As seguintes condicoes sao equivalentes:

1. M e plano sobre A;

2. TorA1 (k,M) = 0;

3. Mn e plano sobre An para todo n ≥ 1.

Prova (1⇒ 2) e claro.

(2⇒ 3) Provemos inicialmente que TorA1 (N,M) = 0 para todo A-modulo N de comprimento finito porinducao em lenAN : se lenAN = 0 entao N = 0 e se lenAN = 1 entao N ∼= A/m = k e em ambos os

casos TorA1 (k,M) = 0. Para lenAN > 1, podemos escrever uma sequencia exata curta

0 - N ′ - N - N/N ′ - 0

onde N ′ e um submodulo simples de N , de modo que lenAN′ e lenAN/N

′ sao estritamente menores doque lenAN . O resultado segue da hipotese de inducao e da sequencia exata

0 = TorA1 (N′,M) - TorA1 (N,M) - TorA1 (N/N

′,M) = 0

Agora, dado um an ideal de An, precisamos mostrar que o mapa natural an⊗AnMn →Mn e injetor.

Temos uma sequencia exata de A-modulos

TorA1 (An/an,M) - an ⊗AM - An ⊗AM - (An/an)⊗AM - 0

Mas como An/an e anulado por mn, seu comprimento sobre A e finito e portanto TorA1 (An/an,M) = 0.Assim,

an ⊗AnMn = an ⊗A An ⊗AM = an ⊗AM → An ⊗AM =Mn

e injetor, como querıamos.

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(3 ⇒ 1) Dado um ideal a ⊂ A, devemos mostrar que o mapa natural a ⊗AM → M e injetor. Seja n oideal maximal de B. Como a⊗AM e um modulo finitamente gerado sobre o anel noetheriano local B emB ⊂ n, temos ⋂

n≥1

nn(a ⊗AM) = 0⇒⋂

n≥1

mn(a⊗AM) = 0

Assim, e suficiente mostrar que ker(a⊗AM →M) ⊂ mn(a⊗AM) para todo n. E ate mesmo suficientemostrar que

ker(a ⊗AM →M) ⊂ ker(a⊗AM →

( a

a ∩mn

)⊗AM

)para todo n (∗)

De fato, da sequencia exata

0 - a ∩mn - a - a

a ∩mn- 0

temos uma sequencia exata

(a ∩mn)⊗AM - a⊗AM -( a

a ∩mn

)⊗AM - 0

Alem disso, pelo teorema de Artin-Rees (teorema III.5.1.1), existe um inteiro positivo r tal que a∩mn ⊂mn−ra para todo n ≥ r. Portanto se x ∈ ker

(a ⊗A M →

(a

a∩mn

)⊗A M

)para todo n ≥ 0 entao

x ∈ im((mn−ra)⊗AM → a⊗AM

)= mn−r(a⊗AM) para todo n ≥ r.

Tensorizando o diagrama comutativo

a - a

a ∩mn

A?

∩

- A

mn= An

?

∩

com M , obtemos o diagrama comutativo

a⊗AM -( a

a ∩mn

)⊗AM ==

( a

a ∩mn

)⊗An

Mn

M?

- An ⊗AM?

∩

============Mn

?

∩

Mas como Mn e plano sobre An por hipotese e a/(a ∩mn) → A/mn e injetor, a flecha vertical a direitano ultimo diagrama tambem e injetora. Assim, (∗) se verifica, o que completa a prova.

Corolario 4.8 Sejam A → B → C morfismos locais entre aneis locais noetherianos. Seja M um C-modulo finitamente gerado. Suponha que B seja plano sobre A. Seja k o corpo residual de A. Saoequivalentes:

1. M e plano sobre B

2. M e plano sobre A e M ⊗A k e plano sobre B ⊗A k.

5 Teorema de Serre

5.1 Dimensao Global e Resolucoes Minimais Livres

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dimensao prodimensao injetivdimensao global

Definicao 5.1.1 Seja M um A-modulo. Dizemos que M tem dimensao projetiva finita se M admiteuma resolucao projetiva finita:

0 - Pn - Pn−1- Pn−2

- · · · - P0- M - 0

Neste caso, definimos proj. dimM como o menor comprimento n dentre todas estas resolucoes. Se todasas resolucoes projetivas de M sao infinitas, escrevemos proj. dimM =∞. Da mesma forma, definimos adimensao injetiva inj.dimM de um modulo M .

Definicao 5.1.2 Seja A um anel. A dimensao global de A e o supremo de proj. dimM quando Mpercorre todos os A-modulos finitamente gerados.

Observacao 5.1.3 A dimensao global pode tambem ser definida como o supremo de todas as dimensoesprojetivas de todos os modulos, finitamente gerados ou nao.

Exemplo 5.1.4 Como todo modulo sobre um corpo e livre, temos que a dimensao global de qualquercorpo e 0. Por outro lado, temos que a dimensao global de Z ou de qualquer PID A e 1: para A-modulosda forma A/(a) 6= 0, temos uma resolucao projetiva de tamanho 1

0 - P1 = Aa- P0 = A - A/(a) - 0

Como A/(a) nao e projetivo, temos assim que proj. dimA/(a) = 1 e portanto a dimensao global de Atambem e 1, ja que qualquer A-modulo finitamente gerado e soma direta de copias de A e de modulosda forma A/(a).

Temos a seguinte caracterizacao das dimensoes projetivas e injetivas de um modulo.

Lemma 5.1.5 Seja A um anel e M um A-modulo.

1. proj. dimM ≤ n ⇐⇒ Exti(M,N) = 0 para todo A-modulo N e todo i ≥ n+ 1;

2. inj.dimM ≤ n ⇐⇒ Exti(N,M) = 0 para todo A-modulo N e todo i ≥ n+ 1.

Prova Se proj. dimM ≤ n, utilizando uma resolucao projetiva de M de comprimento menor ou igual an para calcular Exti(M,N), obtemos imediatamente Exti(M,N) = 0 para i ≥ n + 1. Reciprocamente,

suponha que Exti(M,N) = 0 para todo A-modulo N e todo i ≥ n + 1. Mostremos por inducao em nque proj. dimM ≤ n. Para n = 0, dada uma sequencia exata de A-modulos

0 - N ′ - N - N ′′ - 0

obtemos uma sequencia exata

0 - HomA(M,N ′) - HomA(M,N) - HomA(M,N ′′) - Ext1A(M,N ′) = 0

e portanto HomA(M,−) e exato, ou seja,M e projetivo e portanto proj. dimM = 0. Para n > 0, faremosum “dimension shift”: considere uma sequencia exata

0 - Q - P - M - 0 (∗)

com P projetivo. Para qualquer A-modulo N , temos uma sequencia exata

Exti(M,N) - Exti(P,N) - Exti(Q,N) - Exti+1(M,N)

Para i ≥ n, temos que Exti+1(M,N) = 0 por hipotese e Exti(P,N) = 0 tambem, pois P e projetivo

e i ≥ 1. Assim, Exti(Q,N) = 0, logo por inducao temos que Q admite uma resolucao projetiva decomprimento menor ou igual a n− 1. Desta forma, podemos estender (∗) para uma resolucao projetivade M de comprimento no maximo n, como querıamos.

A demonstracao do segundo item e analoga e e deixada como (mais um!) exercıcio para o leitor.

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Agora nos restringiremos ao caso local. Nesta situacao, um tipo especial de resolucao projetiva nossera especialmente importante no estudo das dimensoes projetivas e globais.

Definicao 5.1.6 Seja (A,m, k) um anel noetheriano local. Uma resolucao livre minimal de M e umaresolucao projetiva

· · · - Fidi- Fi−1

di−1- · · · d1- F0ǫ- M - 0

satisfazendo as seguintes propriedades:

1. Todos os Fi sao A-modulos livres de posto finito.

2. Para todo i, os mapas di ⊗ id:Fi ⊗ k → Fi−1 ⊗ k sao zero. Em outras palavras, im di ⊂ mFi−1.

3. O mapa ǫ⊗ id:F0 ⊗ k →M ⊗ k e um isomorfismo.

Vamos mostrar que todo A-modulo finitamente gerado M possui uma resolucao minimal. Tomeuma base minimal ω1, . . . , ωn de M e defina a sobrejecao

ǫ:F0def= An ։M

(a1, . . . , an) 7→ a1ω1 + · · ·+ anωn

Por construcao, temos que ǫ ⊗ id:F0 ⊗ k∼- M ⊗ k e um isomorfismo. Agora seja L0 = ker ǫ,

que e um A-modulo finitamente gerado pois A e noetheriano. Repetindo o procedimento com L0 nolugar de M , obtemos um A-modulo livre F1 de posto finito e um mapa sobrejetor d′1:F1 ։ L0 tal que

d′1 ⊗ id:F1 ⊗ k ∼- L0⊗ k e um isomorfismo. Assim, definindo d1:F1 → F0 como a composicao de d′1 eda inclusao i0:L0 → F0, temos que d1 ⊗ id:F1 ⊗ k → F0 ⊗ k e o mapa zero: da exatidao de

L0 ⊗ ki0⊗id- F0 ⊗ k

ǫ⊗id

≈- M ⊗ k - 0

temos que i0 ⊗ id = 0, logo d1 ⊗ id = (d′1 ⊗ id) (i0 ⊗ id) = 0. Procedendo indutivamente desta forma,obtemos a resolucao minimal de M desejada.

Exemplo 5.1.7 (Resolucoes Minimais Livres e Complexo de Koszul) Seja (A,m, k) um anelnoetheriano local e a1, a2, . . . , an ∈ m uma A-sequencia regular, de modo que pelo teorema 2.7 o complexode Koszul K•(a1, . . . , an, A) fornece uma resolucao livre de M = A/(a1, . . . , an):

0 - Kn(a1, . . . , an, A)dn- · · · d1- K0(a1, . . . , an, A)

ǫ- M =A

(a1, . . . , an)- 0

Esta resolucao e minimal, pois cada termo Kp(a1, . . . , an, A) e livre de posto finito e, alem disso, im dp ⊂mKp−1(a1, . . . , an, A) pois ai ∈ m. Finalmente, temos isomorfismos

K0(a1, . . . , an, A)⊗ k = A⊗ k = k e M ⊗ k = k

e com estas identificacoes ǫ⊗ id: k→ k e o mapa identidade.

O proximo lema permite-nos restringir a resolucoes livres minimais no lugar de resolucoes projetivasarbitrarias.

Lemma 5.1.8 Seja (A,m, k) um anel noetheriano local e seja M um A-modulo finitamente gerado. Sen = proj. dimM <∞, M admite uma resolucao livre minimal

0 - Fndn- Fn−1

dn−1- · · · d1- F0ǫ- M - 0

de comprimento n.

Prova Inducao em proj. dimM . Se proj. dimM = 0, M e projetivo, logo livre de posto finito e oresultado e claro. Agora se proj. dimM > 0, escreva a sequencia exata

0 - L0- F0

ǫ- M - 0 (∗)como na construcao da resolucao minimal de M descrita acima. Para todo A-modulo N , temos umasequencia exata

Exti(M,N) - Exti(F0, N) - Exti(L0, N) - Exti+1(M,N)

Se i ≥ proj. dimM , temos que Exti+1(M,N) = 0. Alem disso, como F0 e projetivo e i ≥ 1, Exti(F0, N) =

0, o que mostra que Exti(L0, N) = 0 para todo i ≥ n. Portanto proj. dimL0 ≤ n − 1 e por inducaoL0 tera uma resolucao livre minimal de tamanho no maximo n − 1, o que permite estender (∗) a umaresolucao livre minimal de M de tamanho menor ou igual a n (na verdade igual pois proj. dimM = n).

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O teorema a seguir traduz o fato que, para calcular a dimensao global de um anel noetheriano local(A,m, k), basta calcular a dimensao projetiva de k, o “menos livre” dentre todos os A-modulos.

Teorema 5.1.9 Seja (A,m, k) um anel noetheriano local e seja M um A-modulo. Suponha que

0 - Fndn- Fn−1

dn−1- · · · d1- F0ǫ- M - 0

e uma resolucao minimal livre finita de M com Fi 6= 0 para todo i. Entao

1. proj. dimM = n = maxi | Tori(M,k) 6= 02. proj. dimM ≤ proj. dimk.

Em particular, temos que a dimensao global de A e igual a proj. dimk.

Prova 1. Tensorizando a resolucao acima por k, obtemos Tori(M,k) = Fi ⊗ k 6= 0 para todo i.Portanto n = maxi | Tori(M,k) 6= 0. Por outro lado, temos

maxi | Tori(M,k) 6= 0 ≤ proj. dimM ≤ nonde a primeira desigualdade segue do calculo de Tori(M,k) utilizando-se uma resolucao de tamanhoproj. dimM . Assim, devemos ter igualdade em todos os lugares e o resultado segue.

2. Calculando Tori(M,k) com uma resolucao projetiva de tamanho proj. dimk, vemos que

maxi | Tori(M,k) 6= 0 ≤ proj. dim k

o que, combinado com o primeiro resultado, fornece a desigualdade desejada.

Podemos relacionar agora a dimensao projetiva e a profundidade de um modulo no importante

Teorema 5.1.10 (Auslander, Buchsbaum) Seja (A,m, k) um anel noetheriano local e M um A-modulo de dimensao projetiva finita. Entao

proj. dimM = depthA− depthM

Prova A prova e por inducao em proj. dimM . Se proj. dimM = 0, M e livre e portanto depthM =depthA. Agora faremos um “dimension shift”. Sejam a1, . . . , an geradores de m; pelo teorema 2.9podemos calcular profundidades utilizando o complexo de Koszul K•(a1, . . . , an,M). Por legibilidade,denotaremos Hi(K•(a1, . . . , an,M)) simplesmente por Hi(M).

Suponha inicialmente que proj. dimM = 1. Temos que mostrar que depthM = depthA− 1, isto e,que

n−maxi | Hi(M) 6= 0 = depthA− 1 ⇐⇒ maxi | Hi(M) 6= 0 = n− depthA+ 1

Para isto, seja

0 - F1d1- F0

ǫ- M - 0

uma resolucao livre minimal de M . Temos uma sequencia exata longa

· · · - Hi(F1) - Hi(F0) - Hi(M)

- Hi−1(F1) - Hi−1(F0) - · · ·Temos ainda

depthF0 = depthF1 = depthA = n−maxi | Hi(F0) 6= 0 = n−maxi | Hi(F1) 6= 0Assim, temos que Hi(M) = 0 para i ≥ n − depthA + 2, logo basta mostrar que Hi(M) 6= 0 parai = depthA + 1. Para isto, basta mostrar que Hi(F1) → Hi(F0) e zero, pois isto implicara Hi(M) ∼=Hi−1(F1) 6= 0 para i = depthA+1. Porem Hi(F1)→ Hi(F0) e induzido por d1; como a resolucao acimae minimal, im d1 ⊂ mF0. Mas ja sabemos que m anula Hi(F1) e o resultado segue.

Para p = proj. dimM > 1, temos uma resolucao livre minimal

0 - Fpdp- · · · - F1

d1- F0- M - 0

Sendo L = im d1, temos uma sequencia exata curta

0 - L - F0- M - 0

com proj. dimL = proj. dimM−1. Por hipotese de inducao, depthL = depthA−proj. dimL < depthF0.Da sequencia exata longa

· · · - Hi(L) - Hi(F0) - Hi(M) - Hi−1(L) - · · ·temos como antes depthM = depthL− 1. Assim,

proj. dimM = proj. dimL+ 1 = depthA− depthL+ 1 = depthA− depthM

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5.2 Aneis Locais Regulares

Teorema 5.2.1 (Serre) Um anel local noetheriano (A,m, k) e regular se, e so se, sua dimensao globale finita.

Prova Se A e regular de dimensao de Krull n, seu ideal maximal m pode ser gerado por n elementosa1, . . . , an, que formam uma sequenciaA-regular. Assim, o complexo de KoszulK•(a1, . . . , an,M) e exatoe fornece uma resolucao livre minimal de k, de modo que A tem dimensao global proj. dim k = n <∞.

Reciprocamente, suponha que a dimensao global de A e finita, ou seja, proj. dimk < ∞. Pelaformula de Auslander-Buchsbaum, proj. dim k = depthA− depth k = depthA. Como

dimk m/m2 ≥ dimA ≥ depthA = proj. dim k

se mostrarmos que proj. dimk ≥ dimk m/m2 teremos igualdade em todos os pontos, de modo que

dimk m/m2 = dimA, i.e, A e regular.

Seja n = dimkm/m2 e sejam a1, . . . , an geradores de m. Seja (F•, d•) uma resolucao livre mini-

mal finita de k (que existe pois proj. dimk < ∞). Considere ainda o complexo obtido do de KoszulK•(a1, . . . , an, A) apensando o mapa K0(a1, . . . , an, A) → k → 0. Como cada Ki(a1, . . . , an, A) e livre,temos um mapa f :K•(a1, . . . , an, A) → F• que estende a identidade em k. Vamos mostrar que f einjetivo e que ela “cinde” F•, ou seja, que f identifica K•(a1, . . . , an, A) com um somando direto de F•.Isto provara que proj. dimk ≥ n. Precisamos de um

Lemma 5.2.2 Seja f :K → F um mapa entre A-modulos livres de posto finito. Se f⊗ id:K⊗k→ F ⊗ke injetivo, entao existe g:F → K tal que g f = id.

Prova Escolha α1, . . . , αn ∈ K e β1, . . . , βm ∈ F tais que α1 ⊗ 1, . . . , αn ⊗ 1 e β1 ⊗ 1, . . . , βn ⊗ 1 saobases dos k-espacos vetoriais K ⊗ k e F ⊗ k, respectivamente, e tais que f ⊗ id(αi ⊗ 1) = βi ⊗ 1 para1 ≤ i ≤ n, o que e possıvel pois f ⊗ id e injetivo. Por Nakayama lema III.2.3.2, α1, . . . , αn e β1, . . . , βmsao bases dos modulos livres K e F . Podemos portanto definir

g(βi) =

αi para 1 ≤ i ≤ n0 para n < i ≤ m

Assim, basta mostrar que os mapas fp⊗k:Kp(a1, . . . , an, A)⊗k → Fp⊗k sao injetivos. Para p = 0,isto segue do diagrama comutativo com linhas que sao isomorfimos:

F0 ⊗ k≈ - k

K0(a1, . . . , an, A)⊗ k

f0 ⊗ k6

≈ - k

wwwwwwwwww

Para p > 0, temos um diagrama comutativo

Fp ⊗ k ∼=FpmFp

- mFp−1

m2Fp−1

Kp(a1, . . . , an, A)⊗ k ∼=Kp(a1, . . . , an, A)

mKp(a1, . . . , an, A)

fp ⊗ k6

⊂dp - mKp−1(a1, . . . , an, A)

m2Kp−1(a1, . . . , an, A)

fp−1

∪

6

onde dp e fp−1 sao induzidos por dp e fp−1, respectivamente. Afirmamos que dp e fp−1 sao injetivos, oque e suficiente para mostrar que fp ⊗ k e injetivo.

Por inducao, fp−1 ⊗ k e injetor, logo pelo lema existe uma secao gp−1:Fp−1 → Kp−1(a1, . . . , an, A)para fp− 1. Assim, existe um mapa gp−1:mFp−1/m

2Fp−1 → mKp−1(a1, . . . , an, A)/m2Kp−1(a1, . . . , an, A)

tal que gp−1 fp−1 = 1, provando que fp−1 e injetor.

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irredutıvelassociados

Para mostrar que dp e injetor, suponha que∑

i1...ipai1...ipei1...ip ⊗ 1 +mKp(a1, . . . , an, A) pertenca

a ker dp. Entao∑

i1...ip

∑

1≤k≤p(−1)k−1aikai1...ipei1...ik...ip ⊗ 1 ∈ m2Kp−1(a1, . . . , an, A)

Como a1, . . . , an e uma base minimal de m, temos que a1 + m2, . . . , an + m2 e uma base do k-espacovetorial m/m2. Portanto a identidade anterior implica que ai1...ip ∈ m para todo 1 ≤ i1 < . . . < ip ≤ n.

Logo dp e injetor.

Um importante corolario e o seguinte:

Corolario 5.2.3 Se (A,m, k) e um anel local noetheriano regular, entao Ap e tambem regular para todop ∈ SpecA.

Prova Como A e regular, proj. dimA/p < ∞ e assim A/p admite uma resolucao livre minimal finita.Localizando esta resolucao em p, obtemos uma resolucao livre finita do corpo residual de Ap, mostrandoque a dimensao global de Ap e finita, logo Ap e regular.

6 Teorema de Auslander-Buchsbaum

Seja A um domınio. Recordando: dizemos que um elemento p ∈ A \ (A× ∪ 0) e irredutıvel sep = ab ⇒ a ∈ A× ou b ∈ A×. Dizemos que p e primo se o ideal (p) e primo. Note que todo elementoprimo e irredutıvel, mas em geral nao vale a recıproca. Dois elementos a, b ∈ A sao associados se geramo mesmo ideal, ou seja, se existe u ∈ A× tal que a = ub.

Temos que A e um UFD se cada elemento nao nulo de A se escreve como produto de elementosprimos. A “unicidade” e automatica: se up1 . . . pr = vq1 . . . qs com u, v ∈ A× e pi, qj primos, entao comoq1 . . . qs ∈ (p1), temos q1 ∈ (p1), digamos, e como p1 e q1 sao irredutıveis existe w ∈ A× tal que q1 = wp1.Portanto up2 . . . pr = vwq2 . . . qs e por inducao no numero de fatores temos que r = s e que, apos umapermutacao, cada pi e associado a qi.

Se A e noetheriano, por “PIF noetheriano” temos que todo elemento em A \ (A× ∪ 0) e produtode irredutıveis. Assim, um domınio noetheriano e um UFD se, e so se, todo irredutıvel e primo. Nestecaso, sendo K = FracA, temos uma sequencia exata

0 - A× - K× div-⊕

ht p=1

Z - 0

onde a soma percorre todos os primos de altura 1.

Lemma 6.1 Um domınio noetheriano A e um UFD se, e somente se, todo ideal primo ideal p de altura 1e principal.

Prova Suponha primeiro que A e um UFD e seja p ∈ SpecA um ideal primo de altura 1. Temos quep contem algum elemento irredutıvel p (basta tomar qualquer elemento nao nulo de p e escreve-lo comoproduto de irredutıveis, um dos quais deve pertencer a p). Porem como (p) e primo e ht p = 1, devemoster p = (p), mostrando que este ideal e principal.

Reciprocamente, suponha que todo ideal primo de altura 1 em A e principal. Devemos mostrar quetodo irredutıvel q e primo. Um ideal primo minimal p contendo q possui altura 1 pelo teorema do idealprincipal de Krull (corolario V.4.5), logo por hipotese p = (p). Mas como (p) ⊃ (q) ⇐⇒ p | q e q eirredutıvel, temos que p e q sao associados, logo q e primo.

Lemma 6.2 Seja A um domınio noetheriano e seja p ∈ A um elemento primo. Se Ap e um UFD entaoo mesmo vale para A.

Prova Seja q ∈ SpecA de altura de 1. Se p ∈ q entao q = (p) e principal, caso contrario, qAp ∈ SpecAptem altura 1 e pelo lema anterior e principal, digamos qAp = (q). Como p e unidade em Ap, multiplicandopor uma potencia de p, podemos supor que q ∈ A. Tome q ∈ A tal que q gera qAp e qA e maximal emA com essa propriedade (A e noetheriano). Temos q ∈ q = qAp ∩A, logo (q) ⊂ q. Reciprocamente, dadoa ∈ q ⊂ qAp, temos que a = qb/pn ⇐⇒ apn = qb para algum b ∈ A e n ∈ N. Como p e primo temosp | q ou p | b. O primeiro caso nao pode ocorrer pela maximalidade de q. Entao p | b; cancelando o fatorp e repetindo o argumento eventualmente chegaremos a a = qb′ para algum b′ ∈ A, ou seja, a ∈ (q), oque prova a inclusao oposta q ⊂ (q).

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Queremos mostrar que ideais primos de altura 1 em sao principais, ou seja, livres de posto 1 comoA-modulos. Isto e feito em dois tempos:

Lemma 6.3 Seja A um anel e M um A-modulo projetivo que admite uma resolucao livre finita. EntaoM e “estavelmente livre”, ou seja, existe um A-modulo livre F tal que M ⊕ F e livre.

Prova Seja

0 - Fndn- · · · → F1

d1- F0ǫ- M - 0

uma resolucao livre finita de M . A prova e por inducao no comprimento desta resolucao. Se n = 0,M ∼= F0 e livre. Se n > 0, seja L = im d1 de modo que temos uma sequencia exata

0 - L - F0- M - 0

Como M e projetivo, esta sequencia cinde e portanto M ⊕ L ∼= F0. Assim L e projetivo e admite umaresolucao finita livre de comprimento n− 1, logo por inducao L e estavelmente livre, i.e., existe F ′ livre

tal que Fdef= L⊕ F ′ e livre e portanto M ⊕ F ∼= F0 ⊕ F ′ tambem e livre.

Para ideais, estavelmente livre e o mesmo que livre.

Lemma 6.4 Seja A um domınio e seja a um ideal tal que a⊕An ∼= An+1. Entao a e principal.

Prova Seja ω0, . . . , ωn uma base de An+1 e identifiquemos a⊕An e A⊕An como submodulos de

A⊕An = An+1 = Aω0 ⊕Aω1 ⊕ · · · ⊕Aωn

da maneira natural (i.e. inclusao componente a componente). Seja M = (aij)0≤i,j≤n a matriz corre-

spondente ao isomorfismo φ:An+1 ∼- a⊕An nesta base, i.e.,

φ(ωi) =∑

0≤j≤naijωj

Vamos mostrar que a = (d) onde d = detM . Como ai0 ∈ a para 0 ≤ i ≤ n, temos claramente que d ∈ a.Reciprocamente, dado a ∈ a, considere a matriz

N =

a 0 0 · · · 00 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0

...0 0 0 · · · 1

Como aω0, ω1, . . . , ωn ∈ imφ, podemos encontrar uma matriz P tal que MP = N . Tomando determi-nantes, temos

detM · detP = detN ⇐⇒ d detC = a⇒ a ∈ (d)

e portanto a ⊂ (d), o que encerra a prova.

Teorema 6.5 (Auslander-Buchsbaum) Todo anel local noetheriano regular (A,m, k) e um UFD.

Prova A prova e por inducao em dimA. Se dimA = 0, A e um corpo e o resultado e claro. Suponhaagora que dimA > 0 e escolha p ∈ m−m2. Entao p e primo (c.f. prova do teorema V.4.10). Pelo que japrovamos, precisamos mostrar que Ap e um UFD, ou seja, que todos os ideais em SpecAp de altura 1sao principais. Para isto, basta mostrar que estes ideais sao projetivos e admitem resolucao livre finita.

Um ideal de SpecAp de altura 1 e da forma qAp para algum q ∈ D(p) ⊂ SpecA de altura 1. ComoA e regular, temos que sua dimensao global e finita, logo q, e portanto qAp, admitem resolucoes livresfinitas.

Falta mostrar que qAp e projetivo, ou seja, que ele e localmente livre. Seja n um ideal maximalde Ap; note que (Ap)n e um anel local com dimensao estritamente menor do que dimA (ja p ∈ m) e eregular pelo teorema de Serre. Por hipotese de inducao, temos que (Ap)n e um UFD. Portanto (qAp)n,que e ou igual a (Ap)n ou um primo de altura 1, e principal, logo livre de posto 1.

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algebra tensorialalgebra exterioralgebra simetrica

7 Algebra Multilinear

O produto tensorial pode ser utilizado para construir certas algebras nao comutativas que sao frequente-mente utilizadas em Algebra e, especialmente, em Geometria e Topologia.

Definicao 7.1 Seja M um A-modulo. A algebra tensorial de M e a A-algebra graduada (nao comu-tativa em geral) dada por

T (M)def=⊕

n≥0

M⊗n = A⊕M ⊕ (M ⊗M)⊕ (M ⊗M ⊗M)⊕ · · ·

onde o produto de um elemento homogeneom1⊗· · ·⊗mr ∈M⊗r de grau r por outro n1⊗· · ·ns ∈M⊗s

de grau s e dado por

(m1 ⊗ · · · ⊗mr) · (n1 ⊗ · · ·ns) = m1 ⊗ · · · ⊗mr ⊗ n1 ⊗ · · ·ns ∈M⊗(r+s)

A algebra exterior de M e A-algebra graduada (nao comutativa em geral) dada pelo quociente

∧M

def=

T (M)

(m⊗m |M)

de T (M) pelo ideal homogeneo bilateral gerado por elementos da forma m ⊗m ∈ M⊗2. A imagem doelemento m1 ⊗ · · · ⊗mr ∈M⊗r em

∧M sera denotada por m1 ∧ · · · ∧mr.

Finalmente, a algebra simetrica de M e A-algebra graduada comutativa definida como o quociente

S(M)def=

T (M)

(m⊗ n− n⊗m | m,n ∈M)

de T (M) pelo ideal homogeneo bilateral gerado por elementos da forma m⊗ n− n⊗m ∈M⊗2.

Note que como, em geral, m ⊗ n 6= n ⊗m ∈ M⊗2, T (M) nao e comutativa. Por outro lado, comoS(M) e gerado em grau 1 pelas imagens dos elementos de M , que comutam por definicao, temos queS(M) e sempre comutativa. Finalmente, a algebra exterior

∧M e anti-comutativa: para m,n ∈ M

temos

(m+ n) ∧ (m+ n) = 0 ⇐⇒ m ∧m+m ∧ n+ n ∧m+ n ∧ n = 0 ⇐⇒ m ∧ n = −n ∧m

Exemplo 7.2 Para o A-modulo livre M =⊕

1≤i≤n Axi de posto n com base x1, . . . , xn, como

M⊗d =⊕

(i1,...,id)∈1,...,nd

Axi1 ⊗ xi2 ⊗ . . .⊗ xid ,

e um A-modulo livre de posto nd, e facil ver que temos um isomorfismo de A-algebras graduadas

A〈x1, . . . , xn〉∼- T (M)

xi 7→ (0, xi, 0, 0, . . .)

onde A〈x1, . . . , xn〉 e a algebra dos polinomios nas variaveis nao comutativas x1, . . . , xn, ou seja, a A-algebra associativa livre em x1, . . . , xn. Por outro lado, neste isomorfismo temos que o ideal de T (M)gerado porm⊗n−n⊗m, m,n ∈M , corresponde ao ideal de A〈x1, . . . , xn〉 pelos comutadores xixj−xjxi,1 ≤ i, j ≤ n, e assim temos o isomorfismo

S(M) = A[x1, . . . , xn]

da algebra simetrica com a algebra comutativa usual dos polinomios. Finalmente, utilizando a anti-

comutatividade, temos que a parte de grau d∧d

M de∧M e dada por

d∧M =

⊕

1≤i1<···<id≤nAxi1 ∧ . . . ∧ xid

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determinantecaracterıstica de Euler

que e um A-modulo livre de posto(nd

). Note que

∧dM = 0 para d > n. O termo de grau mais alto

∧nM

tem posto 1 com base x1 ∧ . . . ∧ xn e e as vezes chamado de determinante de M pela seguinte razao:dada uma matriz quadrada (aij) de ordem n com entradas em A, consideremos os elementos “coluna”

em∧1

M

v1def= a11x1 + · · ·+ an1xn, v2

def= a12x1 + · · ·+ an2xn, . . . , vn

def= a1nx1 + · · ·+ annxn

Utilizando a anticomutatividade, temos que o produto exterior v1 ∧ . . . ∧ vn ∈∧n

M destes elementos e

v1 ∧ . . . ∧ vn =∑

σ∈Sn

sgnσ · a1σ(1) . . . anσ(n) · x1 ∧ . . . ∧ xn = det(aij) · x1 ∧ . . . ∧ xn

onde Sn denota o grupo simetrico de ordem n (grupo de todas as permutacoes de 1, . . . , n) e sgnσ e aassinatura de σ ∈ Sn, i.e., −1 se σ e uma permutacao ımpar e +1 se for par.

O exemplo acima mostra que, para um modulo livre M de posto finito, as algebras tensorial T (M),simetrica S(M) e exterior

∧M sao generalizacoes das algebras de polinomios (tanto comutativos como

nao comutativos) e do determinante, mas elas sao definidas de modo completamente “intrınseco”, naodependendo da escolha de uma particular base deM . Como veremos mais tarde, isto e muito util no casoem que queremos construir “famılias” de tais algebras a partir de modulos M que sao localmente livres(i.e. tais que Mp e um modulo Ap livre para todo p ∈ SpecA), mas nao necessariamente “globalmente”livres.

Teorema 7.3 Seja0 - M - N - P - 0

uma sequencia exata de modulos livres de postos m, n e p, respectivamente. Entao temos um isomorfismocanonico

n∧N =

m∧M ⊗

p∧P

8 Exercıcios

01. (5-lemma) No seguinte diagrama de A-modulos, as linhas sao exatas, a flecha vertical mais a esquerdae sobrejetora, a mais a direita e injetora e as duas interiores marcadas com ≈ sao isomorfismos. Mostreque a flecha vertical central remanescente e um isomorfismo.

M - N - P - Q - R

M ′??

- N ′

≈?

- P ′?

- Q′

≈?

- R′?

∩

02. (Caracterıstica de Euler) Seja (M•, d•) um complexo de A-modulos de comprimento finito e com umnumero finito de componentes Mi 6= 0. A sua caracterıstica de Euler e definida como

χ(M•, d•)def=∑

i

(−1)i lenAHi(M•, d•)

Seja0 - M ′

• - M• - M ′′• - 0

uma sequencia exata de complexos como acima. Mostre que

χ(M•, d•) = χ(M ′•, d

′•) + χ(M ′′

• , d′′•)

03. Sejam a e b ideais de um anel A. Mostre que that TorA1 (A/a, A/b) = (a ∩ b)/ab.

04. Mostre que a dimensao global de um anel A e igual ao supremo de proj. dimM onde M percorretodos os A-modulos (e nao so os finitamente gerados).

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Teorema 8.1 (Equational characterisation of flatness) An A-modulo M e flat se, e so se, it has theseguinte propriedade: dado an m× n matrix A com entries in A e a vector (x1, . . . , xn)

T ∈Mn tal que

A

x1...xn

=

0...0

existe a n× p matrix B com entries in A tal que AB = 0 e

x1...xn

= B

y1...yp

para algum vector (y1, . . . , yp)T ∈Mp.

Prova Suponha that M e flat sobre A. The matrix A defines an A-linear mapa φ:Rn → Rm; sejaK = kerφ. Entao (x1, . . . , xn)

T e in the kernel of Rn ⊗M = Mn → Rm ⊗M = Mm, which e K ⊗M ,portanto ha y1, . . . , yp ∈M e (b1,1, . . . , b1,n), . . . , (bp,1, . . . , bp,n) ∈ K tal que (x1, . . . , xn) can be written inthe form

∑1≤i≤p(bi,1, . . . , bi,n) ·yi, which e the image of

∑1≤i≤p(bi,1, . . . , bi,n)⊗yi under the isomorfismo

Rn ⊗M =Mn. We may entao take B = (bij).

Reciprocamente, suponha that the above propriedade holds; temos to show that para todo ideala of A, a ⊗ M → M e injetivo. Seja a1, . . . , an ∈ a e x1, . . . , xn ∈ M be tal que

∑1≤i≤n ai ⊗ xi e

in the kernel of a ⊗ M → M , i.e.,∑

1≤i≤n aixi = 0. Entao ha elements y1, . . . , yp ∈ M e a n × p

matrix B = (bij) com∑

1≤i≤n aibij = 0 para todo j e tal que xi =∑

1≤j≤p bijyj . This implies that∑

1≤i≤n ai ⊗ xi =∑

1≤j≤p

(∑1≤i≤n aibij

)yj = 0, as was to be shown.

Teorema 8.2 Seja A be a noetherian anel e seja B be a noetherian flat A-algebra. Se b ∈ B e tal queits image in B/mB e regular para todo maximal ideals m of A, entao B/(b) e flat sobre A.

Prova

Corolario 8.3 Se P (X1, . . . , Xn) ∈ R[X1, . . . , Xn] e such that the ideal gerado por its coefficients e (1),entao R[X1, . . . , Xn]/(P ) e flat sobre A.

Seja M be an A-modulo. We write M∗ para the dual of M :

M∗ = HomR(M,R)

Two observations about duals. First, se A e a domain e M e torsion-free, entao so eM∗, as can be easilychecked. Second, se A e noetherian e M e finitamente gerado sobre A, so e M∗. To see this, write anexact sequence F →M → 0, onde F e a free modulo of finite rank; dualising, obtemos an exact sequence0 → M∗ → F ∗. Como F ∗ ∼= F (non-canonically) e A e noetherian, concluımos que the submodulo M∗

of F ∗ e indeed finitamente gerado.

Also, existe always a canonical mapa M →M∗∗ taking m ∈M to the mapa φ 7→ φ(m), φ ∈M∗ SeM →M∗∗ e an isomorphism, we say that M e reflexive.

Recall that se (R,m, k) e a local anel, entao

proj. dimM = supn | Torn+1(M,k) = 0

Portanto se F e free e

0→ N → F →M → 0

e exact, entao proj. dimM = proj. dimN − 1.

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Lemma 8.4 Seja (R,m, k) be a noetherian regular local anel of dimension at most 2. Entao qualquerfinitamente gerado reflexive A-modulo M e free.

Prova Como A e noetherian, M∗ e finitamente gerado, e we may write an exact sequence

0→ N → F →M∗ → 0

para algum free modulo F of finite rank e algum finitamente gerado modulo N . Dualising, obtemos anexact sequence

0→M∗∗ → F ∗ → N∗

Seja Q be the image of F ∗ → N∗. Por hypothesis, M e reflexive, so we can write an exact sequence

0→M → F ∗ → Q→ 0 (1)

Como A e regular, it e a domain; seja K = FracR. Now N , as a submodulo of the free modulo F ,e torsion-free. Portanto N∗ e also torsion-free, e so e its submodulo Q. Portanto Q → Q ⊗R K e aninjection (notice that Q⊗RK e just the localisation of Q com respect to the multiplicative set R \ 0).Por (1), Q e finitamente gerado, portantoQ⊗RK e a finite dimensionalK-espaco vetorial; seja ω1, . . . , ωnbe a base. Multiplying the ωi por a convenient element of K, we may assume that todo the generatorsof Q mapa to elements of the free modulo P = Rω1 + · · ·+Rωn. Portanto temos an exact sequence

0→ Q→ P → P/Q→ 0 (2)

Como A has global dimension at most 2, proj. dimP/Q ≤ 2, e (1) e (2) imply that proj. dimQ ≤ 1 eproj. dimM = 0. Portanto M e projective, but como it e finitamente gerado sobre a local anel A, itmust be free.

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A-derivacao

Chapter 7

AspectosDiferenciaisdeAneis

1 Derivacoes e Diferenciais de Kahler

1.1 Definicoes e Exemplos

Definicao 1.1.1 Sejam A um anel, B uma A-algebra e M um B-modulo. Uma A-derivacao de B emM e uma funcao D:B →M satisfazendo os seguintes axiomas: para todo a1, a2 ∈ A e b1, b2 ∈ B,

1. (A-linearidade) D(a1b1 + a2b2) = a1D(b1) + a2D(b2);

2. (Regra de Leibniz) D(b1b2) = b1D(b2) + b2D(b1).

O conjunto de todas as A-derivacoes de B em M e denotado por DerA(B,M). No lugar de DerA(B,B),escreveremos simplesmente DerA(B).

Note, em particular, que D(1 · 1) = D(1) +D(1)⇒ D(1) = 0 e portanto D(a) = a ·D(1) = 0 paratodo a ∈ A. Ou seja, A pode ser visto como o “anel dos escalares” ou “anel das constantes”.

Exemplo 1.1.2 Considere a A-algebra B = A[x1, . . . , xn] dos polinomios em n variaveis. Temos que as

derivadas parciais Didef= ∂

∂xisao A-derivacoes de B em B. E e facil mostrar que qualquer B-combinacao

linear dos Di’s e uma derivacao:

D = q1 ·D1 + · · ·+ qn ·Dn ∈ DerA(B) qi ∈ B

Reciporcamente, qualquer elemento D ∈ DerA(B) e da forma acima: pela “regra da cadeia”, temos

D(p(x1, . . . , xn)

)=∑

1≤i≤nDi

(p(x1, . . . , xn)

)·D(xi)

e assim, basta tomar qi = D(xi) na igualdade acima.

Exemplo 1.1.3 (Espaco Tangente) Seja (B, n,R) a R-algebra que e a localizacao do anel das funcoesinfinitamente diferenciaveis f :Rn → R com relacao ao ideal maximal f | f(0, . . . , 0) = 0 das funcoesque se anulam na origem. Consideremos M = R como um A-modulo via

f ·m def= f(0, . . . , 0) ·m f ∈ A, m ∈M

Temos que um vetor v = (v1, . . . , vn) do espaco tangente de Rn na origem define uma R-derivacao de Bem M , a saber, a derivada direcional

Dv(f) = limt→0

f(tv) − f(0, . . . , 0)t

=∑

1≤i≤nvi ·

∂f

∂xi(0, . . . , 0)

Reciprocamente, qualquer derivacao D ∈ DerR(B,M) e da forma acima, de modo que temos umaidentificacao natural de DerR(B,M) com o espaco tangente de Rn na origem! Para provar isto, observeque dado f ∈ B, temos

f(x1, . . . , xn)− f(0, . . . , 0) =∫ 1

0

df

dt(tx1, . . . , txn) dt =

∑

1≤i≤nxi ·

∫ 1

0

∂f

∂xi(tx1, . . . , txn) dt

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118 Aspectos Diferenciais de Aneis

diferenciais de KahlerOu seja, temos

f(x1, . . . , xn) = f(0, . . . , 0) +∑

1≤i≤nxi · φi(x1, . . . , xn) com φi ∈ B

e φi(0, . . . , 0) =∂f∂xi

(0, . . . , 0). Expandindo cada φi como acima e substituindo, temos portanto que

f(x1, . . . , xn) = f(0, . . . , 0) +∑

1≤i≤nxi ·

∂f

∂xi(0, . . . , 0) + g(x1, . . . , xn) com g ∈ n2

Note que se p, q ∈ n, temos D(pq) = p ·D(q) + q ·D(p) = 0, logo D(g) = 0 (g e uma soma de termos daforma pq). Portanto

D(f(x1, . . . , xn)

)=∑

1≤i≤nD(xi) ·

∂f

∂xi(0, . . . , 0)

e assim temos D = Dv para o vetor v como componentes vi = D(xi).

Em seguida, vamos definir o analogo algebrico de uma forma diferenciavel.

Definicao 1.1.4 Seja B uma A-algebra. O modulo de diferenciais de Kahler ΩB/A e o quocienteM/N do B-modulo livre

M =⊕

b∈BB · db

gerado pelos sımbolos db, um para cada elemento b ∈ B, pelo submodulo N gerado pelas expressoesd(ab + a′b)− a · db − a′ · db′d(bb′)− b · db′ − b′ · db a, a′ ∈ A, b, b′ ∈ B

Por construcao, ΩB/A vem equipado de fabrica com uma A-derivacao

d:B 7→ ΩB/A

cujos elementos da imagem db geram ΩB/A. Temos ainda a seguinte propriedade universal: dado um B-modulo de “teste” T e uma A-derivacaoD:B → T , existe um unico morfismo de B-modulos φ: ΩB/A → Tde modo que o seguinte diagrama comuta:

BD - T

ΩB/A

d

?

∃!φ-

Em outras palavras, temos uma bijecao natural

HomB(ΩB/A, T )∼- DerA(B, T )

φ 7→ φ dExemplo 1.1.5 Seja B = A[x1, . . . , xn]. Temos ΩB/A e um B-modulo livre com base dxi:

ΩB/A =⊕

1≤i≤nB · dxi

De fato, como ΩB/A e gerado por elementos da forma df , f ∈ B, e

df =∂f

∂x1· dx1 + · · ·+

∂f

∂xn· dxn

temos que ΩB/A = Bdx1+ · · ·+Bdxn e so resta mostrar que os dxi sao linearmente independentes sobre

B. Pela propriedade universal, cada ∂∂xi∈ DerA(B) da origem a um morfismo φi ∈ HomB(ΩB/A, B) tal

que

φi(dxj) =1 se i = j0 caso contrario

Portantob1dx1 + · · ·+ bndxn = 0⇒ b1φi(dx1) + · · ·+ bnφi(dxn) = 0⇒ bi = 0

para todo i, como querıamos.

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Exemplo 1.1.6 (Espaco cotangente) Mantemos a notacao do exemplo 1.1.3. Temos uma bijecao

HomB(ΩB/R,M)∼- DerR(B,M)

Por outro lado, vimos que DerR(B,M) pode ser identificado com o espaco tangente de Rn na origem, umespaco vetorial de dimensao n com base ∂

∂x1, . . . , ∂

∂xn. Como n anula M , temos que HomB(ΩB/R,M) =

HomR(ΩB/R/nΩB/R,M), que e dual a ΩB/R/nΩB/R como R-espaco vetorial. Assim, a “fibra na origem”ΩB/R ⊗B B/n = ΩB/R/nΩB/R de ΩB/R e dual a DerR(B,M) e pode ser interpretado como o espacocotangente de Rn na origem.

Raızes multiplas de polinomios podem ser detectadas utilizando-se o criterio da derivada. Naosurpreedentemente, diferenciais podem ser utilizados para reconhecer extensoes separaveis de corpos.Vejamos o

Exemplo 1.1.7 Seja L ⊃ K uma extensao separavel de corpos (possivelmente infinita). Vamos mostrarque ΩL/K = 0. Seja θ ∈ L e f(x) ∈ K[x] seu polinomio minimal. Em ΩL/K temos

d(f(θ)

)= 0⇒ f ′(θ)dθ = 0

Mas como L ⊃ K e separavel por hipotese, temos f ′(θ) 6= 0 e portanto dθ = 0. Como elementos destaforma geram ΩL/K , o resultado segue.

Seja B uma A-algebra. Terminamos esta secao com uma segunda construcao para o modulo dediferenciais ΩB/A. Considere o mapa de multiplicacao

m:B ⊗A B ։ B

b⊗ b′ 7→ bb′

e seja I = kerm. Como m e sobrejetor, temos um isomorfismo (B⊗AB)/I ∼= B e portanto podemos verI/I2 como um B-modulo: para b ∈ B e

∑1≤i≤n bi ⊗ b′i ∈ I, temos

b · (∑

1≤i≤nbi ⊗ b′i mod I2) =

∑

1≤i≤nbbi ⊗ b′i mod I2 =

∑

1≤i≤nbi ⊗ bb′i mod I2

pois m(b ⊗ 1) = m(1⊗ b) = b. Definimos agora uma A-derivacao

d:B → I/I2

b 7→ (1⊗ b− b ⊗ 1) mod I2

Como 1⊗ a− a⊗ 1 = a⊗ 1− a⊗ 1 = 0 para a ∈ A, temos que da = 0 para todo a ∈ A. Por outro lado,

d(b1b2)− b1db2 − b2db1 = 1⊗ b1b2 − b1b2 ⊗ 1− (b1 ⊗ b2 − b1b2 ⊗ 1)− (b2 ⊗ b1 − b1b2 ⊗ 1) mod I2

= (1⊗ b1 − b1 ⊗ 1)(1⊗ b2 − b2 ⊗ 1) mod I2 = 0

mostra que d satisfaz a regra de Leibniz, logo temos que d e de fato uma A-derivacao. E facil checarque o par (I/I2, d) possui a propriedade universal do modulo de diferenciais de Kahler, sendo portantoisomorfo ao modulo anteriormente construıdo.

1.2 Propriedades Funtoriais

Vejamos agora as propriedades funtoriais do modulo de diferenciais. Seja

B0ψ - B

A0

6

- A

6

um diagrama comutativo de aneis. Entao temos um mapa de B-modulos

ΩB0/A0⊗B0 B → ΩB/A

db0 ⊗ b 7→ b · dψ(b0)b0 ∈ B0, b ∈ B

que corresponde a A0-derivacao b0 7→ dψ(b0), b0 ∈ B0, na bijecao natural

DerA0(B0,ΩB/A) = HomB0(ΩB0/A0,ΩB/A) = HomB(ΩB0/A0

⊗B0 B,ΩB/A)

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Lema 1.2.1 (Mudanca de Base) Sejam A′ e B duas A-algebras e seja B′ = B ⊗A A′. Temosisomorfismos

ΩB/A ⊗A A′ = ΩB/A ⊗B B′ = ΩB′/A′

Em particular, se S e um conjunto multiplicativo de A entao

S−1ΩB/A = ΩS−1B/S−1A = ΩS−1B/A

Prova O primeiro isomorfismo e apenas uma consequencia do isomorfismo

M ⊗A A′ =M ⊗B (B ⊗A A′)

valido para qualquer B-modulo M . Pela discussao acima, temos um morfismo natural ΩB/A ⊗B B′ →ΩB′/A′ , assim para provar o segundo isomorfismo basta construir o mapa inverso. Note que o mapa

B′ = B ⊗A A′ → ΩB/A ⊗B B′∑

i

bi ⊗ a′i 7→∑

i

dbi ⊗ (1⊗ a′i) a′i ∈ A′, bi ∈ B

e uma A′-derivacao, logo define um mapa ΩB′/A′ → ΩB/A ⊗B B′. Agora e facil verificar que este mapae inverso do anterior.

Por fim, o isomorfismo ΩS−1B/S−1A = ΩS−1B/A e uma consequencia imediata do fato que temos

uma bijecao DerS−1A(S−1B,M) = DerA(S

−1B,M) para todo S−1B-modulo M .

A principal ferramenta no calculo do modulo de diferenciais e o

Teorema 1.2.2 (Sequencias Fundamentais) Sejam A→ B e B → C duas algebras.

1. A sequencia

ΩB/A ⊗B C - ΩC/A - ΩC/B - 0

e exata.

2. Seja b um ideal de B e suponha que C = B/b, visto como B-algebra pelo mapa quociente. Entaoa sequencia

b/b2δ- ΩB/A ⊗B C - ΩC/A - 0

e exata, onde δ e dado por

δ(b mod b2) = db⊗ 1 b ∈ b

Prova Primeiro, observe que em ΩB/A ⊗B C temos, para b, b′ ∈ b,

d(bb′)⊗ 1 = (b · db′ + b′ · db)⊗ 1 = db′ ⊗ b + db⊗ b′ = 0

de modo que δ esta bem definido. E facil verificar que ambas as sequencias sao complexos e que ΩC/A ։

ΩC/B e ΩB/A ⊗B C ։ ΩC/A sao sobrejetores. Falta apenas verificar a exatidao nos termos do meio dasduas sequencias.

Para a primeira sequencia, seja I a imagem de ΩB/A ⊗B C → ΩC/A, que e gerada por elementosda forma db, b ∈ B. Defina M = ΩC/A/I. Devemos mostrar que o morfismo M → ΩC/B induzido porΩC/A → ΩC/B e um isomorfismo. Mas como c 7→ dc mod I, c ∈ C, define uma derivacao em DerB(C,M),temos um morfismo ΩC/B →M . Agora e facil verificar que este mapa e o inverso de M → ΩC/B.

A prova para a segunda sequencia e similar. Seja M = (ΩB/A ⊗B C)/ im δ; o mapa inverso deM → ΩC/A e o correspondente a derivacao em DerA(C,M) dada por b mod b 7→ db⊗ 1 mod im δ, b ∈ B.

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matriz JacobianaExemplo 1.2.3 Seja A um anel. Considere a A-algebra de presentacao finita

C =A[x1, . . . , xn]

(f1, . . . , fm)fi ∈ A[x1, . . . , xn]

Para calcular ΩC/A, vamos utilizar a segunda sequencia fundamental com B = A[x1, . . . , xn] e b =(f1, . . . , fm). Do exemplo 1.1.5, ja sabemos que ΩB/A e um B-modulo livre com base dx1, . . . , dxn eportanto ΩB/A ⊗B C =

⊕1≤i≤n C · dxi. Por outro lado, a imagem de δ e gerada por

dfi ⊗ 1 =∑

1≤j≤n

( ∂fi∂xj· dxj

)⊗ 1 para i = 1, . . . ,m

Assim, ΩC/A e isomorfo ao cokernel do mapa C-linear Cm → Cn dado pela matriz Jacobiana

∂f1∂x1

mod b · · · ∂fm∂x1

mod b

......

∂f1∂xn

mod b · · · ∂fm∂xn

mod b

Em particular, para C = A[x]/f(x) temos um isomorfismo

C

(f ′(x))=

A[x](f(x), f ′(x)

) ∼- ΩC/A

p(x) 7→ p(x) · dx

Teorema 1.2.4 (Espaco Cotangente) Sejam k um corpo, A uma k-algebra e m um ideal maximal

de A tal que o mapa natural k∼- A/m e um isomorfismo. Entao temos um isomorfismo

δ :m

m2

∼- ΩA/k ⊗A k

m 7→ dm⊗ 1(m ∈ m)

Prova Nas condicoes do enunciado, a segunda sequencia fundamental se escreve como

m

m2

δ- ΩA/k ⊗A k - Ωk/k - 0

Como Ωk/k = 0, basta mostrar que δ e injetor. Seja s:A → k a composicao A ։ A/m ∼= k (pense ems(a) como o “valor” da “funcao” a no “ponto” m). Como a− s(a) ∈ m para todo a ∈ A, podemos definir

D:A→ m

m2

a 7→(a− s(a)

)mod m2

E facil mostrar que D e uma k-derivacao, logo define um morfismo de A-modulos ΩA/k → m/m2. Assim,temos um morfismo de A-modulos

ǫ: ΩA/k ⊗A k→m

m2

da⊗ b 7→ b ·(a− s(a)

)mod m2

(a, b ∈ A)

Como ǫ δ = id, temos que δ e injetor e portanto um isomorfismo, como querıamos demonstrar.

1.3 Separabilidade

Uma das principais aplicacoes dos diferenciais de Kahler e testar a separabilidade de corpos. Maisgeralmente, temos

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Teorema 1.3.1 Seja k um corpo e A uma k-algebra de dimensao finita. Denote por kalg o fecho algebricode k. As seguintes condicoes sao equivalentes:

1. A e um produto de um numero finito de corpos que sao extensoes finitas separaveis de k.

2. A⊗k kalg e um produto de um numero finito de copias de kalg.

3. A⊗k kalg e um anel reduzido.

4. ΩA/k = 0.

Prova (1 ⇒ 2) Podemos supor que A e um corpo que e uma extensao finita separavel de k. Peloteorema do elemento primitivo, podemos escrever A = k[α], onde α satisfaz um polinomio monicoirredutıvel f(x) ∈ k[x] com raızes distintas α = α1, . . . , αn ∈ kalg. Pelo teorema Chines dos restos, temosportanto

B ∼= k[x](f(x)

) ⊗k kalg =kalg[x](f(x)

) =k[x]

(x− α1)× · · · × k[x]

(x − αn)∼= kalg × · · · × kalg

(2⇒ 3) Trivial.

(3⇒ 1) Como A e artiniano, ele e um produto de aneis artinianos locais, assim sem perda de generalidade

podemos assumir que A e local com um unico ideal primo m =√(0). Como kalg e fielmente plano sobre

k (kalg e um k-modulo livre), temos que m ⊗k kalg → A ⊗k kalg e injetor e como A ⊗k kalg e reduzido,temos m⊗k kalg = 0⇒ m = 0, ou seja, A e um corpo.

Mostremos que A ⊃ k e uma extensao separavel. Suponha por absurdo que nao e seja p > 0 acaracterıstica de k. Entao existe um elemento em A cujo polinomio minimal f(x) ∈ k[x] e da forma

f(x) = xpn + an−1xp(n−1) + · · ·+ a1x

p + a0, ai ∈ kObserve que f(x) e uma p-esima potencia em kalg[x]; seja g(x) ∈ kalg[x] tal que g(x)p = f(x). EntaoA⊗k kalg contem uma subalgebra (kalg e fielmente plano sobre k) que e isomorfa a

k[x](f(x)

) ⊗k kalg =kalg[x](f(x)

) =kalg[x](g(x)p

)

que nao e reduzida, absurdo.

(2⇒ 4) Seja B = A ⊗k kalg. Como kalg e fielmente plano sobre k, basta mostrar que ΩA/k ⊗k kalg = 0.

Mas isto segue da mudanca de base ΩA/k ⊗k kalg = ΩB/kalg = 0.

(4⇒ 2) Como dimkalg A⊗k kalg = dimk A <∞ e, por mudanca de base, Ω(A⊗kkalg)/kalg = ΩA/k⊗k kalg =

0, substituindo k por kalg e A por A ⊗k kalg podemos assumir que k e algebricamente fechado. Maisainda, como A e artiniano, logo um produto de aneis locais, e suficiente mostrar que se (A,m, k) e umaalgebra local de dimensao finita sobre um corpo algebricamente fechado k e ΩA/k = 0 entao A = k, ou

seja, m = 0. Porem, pelo teorema 1.2.4, temos ΩA/k = m/m2, logo por Nakayama, m = 0.

Definicao 1.3.2 Uma k-algebra A satisfazendo as condicoes 1–4 do teorema anterior e dita separavel.

Definicao 1.3.3 Seja L ⊃ K uma extensao de corpos. Um subconjunto B ⊂ L e chamado de basede transcendencia separante de L sobre K se B e uma base de transcendencia de L sobre K e L eseparavel sobre K(B), o subcorpo de L gerado por B sobre K.

Teorema 1.3.4 Seja K um corpo perfeito e seja L ⊃ K uma extensao finitamente gerada de corpos.Entao L admite uma base de transcendencia separante x1, . . . , xn sobre K.

Prova Podemos assumir que p = charK > 0. Seja x1, . . . , xn uma base de transcendencia de L sobreK tal que o grau de separabilidade [L : K(x1, . . . , xn)]sep de L sobre K(x1, . . . , xn) e mınimo. Vamosmostrar que x1, . . . , xn e uma base de transcendencia separante. Suponha por absurdo que nao; entaoexiste um elemento θ ∈ L \K(x1, . . . , xn) que e raiz de um polinomio da forma

f(y) = ad · ypd + ad−1 · yp(d−1) + · · ·+ a0, ai ∈ K[x1, . . . , xn]

que e irredutıvel em K[x1, . . . , xn][y] e portanto em K(x1, . . . , xn)[y] pelo lema de Gauß. Temos tambemque f /∈ K[xp1, . . . , x

pn, y], caso contrario como K e perfeito f seria uma p-esima potencia. Portanto

podemos supor que xn e separavel sobre K(x1, . . . , xn−1, θ). Mas entao x1, . . . , xn−1, θ seria uma basede transcendencia para a qual

[L : K(x1, . . . , xn)]sep = [L : K(x1, . . . , xn, θ)]sep · [K(x1, . . . , xn, θ) : K(x1, . . . , xn)]sep

> [L : K(x1, . . . , xn−1, θ)]sep

o que contradiz a minimalidade de [L : K(x1, . . . , xn)]sep.

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nao-ramificadaCorolario 1.3.5 Nas condicoes do teorema, temos

ΩL/K =⊕

1≤i≤nL · dxi (n = tr. degK L)

Prova Como no exemplo 1.1.5, mostra-se que ΩK(B)/K e um K(B)-espaco vetorial com base dx | x ∈B. Agora observe que toda derivacao D ∈ DerK

(K(B)

)se estende unicamente a uma derivacao em

DerK(L). De fato, seja θ ∈ L e seja f(x) = anxn + · · ·+ a0 seu polinomio minimal sobre K(B)[x], que e

separavel por hipotese, de modo que f ′(θ) 6= 0. Entao qualquer extensao de D deve satisfazer

D(f(θ)

)= 0⇒ D(θ) =

D(an) · θn +D(an−1) · θn−1 + · · ·D(a0)

f ′(θ)

o que prova a unicidade. Para mostrar a existencia, utilize a expressao acima para definir a extensao.

Definicao 1.3.6 Seja L ⊃ K uma extensao de corpos de caracterıstica p > 0. Um subconjunto B ⊂ L echamado de p-base de L sobre K se, B gera L sobre o composito Lp ·K e, para todo subconjunto finitox1, . . . , xn ⊂ B, o conjunto

xe11 . . . xenn | 0 ≤ ei < pe linearmente independente sobre Lp ·K.

Uma aplicacao simples do lema de Zorn (exercıcio!) mostra que p-bases sempre existem. A im-portancia de p-bases em nosso estudo de derivacoes e que qualquer mapaD:B → L se estende unicamentea uma derivacao D ∈ DerK(L) por

D(xe11 . . . xenn ) =∑

1≤i≤nei · xe11 . . . xei−1

i . . . xenn ·Dxi

para todo x1, . . . , xn ⊂ B. Portanto ΩL/K possui base dx | x ∈ B sobre L.

1.4 Discriminante e Diferente

d = annΩB/A

2 Morfismos nao-ramificados

Definicao 2.1 Uma A-algebra φ:A→ B e nao-ramificada se e de presentacao finita e ΩB/A = 0.

Exemplo 2.2 Seja A um anel e a um ideal qualquer de A. Entao o morfismo quociente A։ A/a e naoramificado.

Teorema 2.3 Seja k um corpo e A uma k-algebra finitamente gerada. Entao A e nao ramificada sobrek se, e so se, A ∼= l1 × · · · × ln, onde li sao corpos que sao extensoes finitas separaveis de k.

Prova Como A e finitamente gerado sobre k, A e noetheriano e portanto automaticamente de pre-sentacao finita sobre k. Portanto A e nao ramificado sobre k se, e so se, ΩA/k = 0.

Se A ∼= l1 × · · · × ln, onde li sao corpos que sao extensoes finitas separaveis de k, temos queΩA/k = 0, logo A e nao ramificado sobre k. Reciprocamente, suponha que ΩA/k = 0. Seja p umideal primo minimal de A e seja K = Frac(A/p). Entao K e finitamente gerado (como corpo) sobrek; alem disso, ΩA/k = 0 ⇒ ΩK/k = 0. Portanto K e uma extensao finita separavel de k e assimdimA/p = tr. degkK = 0. Portanto dimA = 0, i.e., A e uma k-algebra de dimensao finita. O resultadoagora segue do teorema da secao anterior.

Lemma 2.4

1. (Composicao) A composicao de dois morfismos nao ramificados e nao ramificado;

2. (Mudanca de Base) Se φ:A → B e nao ramificado e A′ e uma A-algebra qualquer, entao amudanca de base φ⊗ id:A′ → B ⊗A A′ tambem e nao ramificada.

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Teorema 2.5 Seja φ:A → B um morfismo de presentacao finita. As seguintes condicoes sao equiva-lentes.

1. φ e nao-ramificado;

2. O morfismo fibra φ⊗ id: k(p)→ B ⊗A k(p) e nao-ramificado para todo ideal primo p ∈ SpecA;

3. Para todo ideal primo q ∈ SpecB, sendo p = φ−1(q) ∈ SpecA, temos que qBq = pBq ek(q) ⊃ k(p) e uma extensao separavel de corpos.

Prova Como B e of finite type sobre A, ΩB/A e a finite B-modulo, e portanto (ΩB/A)q = 0 se, e so se,existe h ∈ B − q tal que (ΩB/A)h = 0, which e equivalent to Bh being unramified sobre A. Portanto1⇔ 2. Furthermore, como (ΩB/A)q = ΩBq/Ap

, temos que 2⇔ 3.

Now we prove that 4⇔ 5. Como f−1(y) = SpecB ⊗A k(p) e of finite type sobre Spec k(p), we canapply the last theorem, e 4 holds se e so se Bq ⊗A k(p) e a finite separable corpo extensao of k(p). Butthat means that pBq equals the maximal ideal qBq of Bq, e that k(q) = Bq/qBq = Bq/pBq e separableover k(p), which e precisely condicao 5.

Finally, we mostrar que 2 ⇔ 4. We already know that 4 holds se, e so se, Of−1(y),x = Bq ⊗A k(p)e formally unramified sobre k(p). Write k = k(p), B = Bq ⊗A k(p) = Bq/pBq, e l para the common

residue corpo of B e Bq. Entao 4 holds se, e so se, ΩB/k = 0, while 2 holds se, e so se, ΩBq/Ap= 0. But

como ΩB/k e ΩBq/Apsao finite modulos over B e Bq, respectively, Nakayama’s lemma implies that

ΩBq/Ap= 0 ⇐⇒ ΩBq/Ap

⊗Bql = 0 ⇐⇒ (ΩBq/Ap

⊗BqB)⊗B l = 0

⇐⇒ ΩB/k ⊗B l = 0 ⇐⇒ ΩB/k = 0

3 Morfismos etales

3.1 Condicoes Abertas

Lemma 3.1.1 Seja A um domınio noetheriano e seja B ⊃ A com B finitamente gerado sobre A. Sejaf : SpecB → SpecA o mapa correspondente a inclusao A → B. Entao existe um elemento nao nuloh ∈ A tal que D(h) ⊂ f(SpecB).

Prova Escreva B = A[x1, . . . , xn] em que x1, . . . , xd sao algebricamente independente sobre FracA e osdemais xi satisfazem relacoes algebricas

c(i)ri (x1, . . . , xd) · xrii + c

(i)ri−1(x1, . . . , xd) · xri−1

i + · · ·+ c(i)0 (x1, . . . , xd) = 0,

c(i)j (x1, . . . , xd) ∈ A[x1, . . . , xd] c(i)ri (x1, . . . , xd) 6= 0

para i = d+ 1, . . . , n. Considere o produto dos coeficientes lıderes:

t(x1, . . . , xd) =∏

d+1≤i≤nc(i)ri (x1, . . . , xd) 6= 0

Localizando com relacao ao elemento t(x1, . . . , xd), temos que Bt e integral sobre A[x1, . . . , xd]t, portantoSpecBt ։ SpecA[x1, . . . , xd]t e sobrejetor. Seja h ∈ A qualquer nao nulo de t(x1, . . . , xd). Temos queD(h) ⊂ f(SpecB). De fato, dado p ∈ D(h) temos que t /∈ p ·A[x1, . . . , xd] e portanto p ·A[x1, . . . , xd]t eum ideal primo; tome P ∈ SpecB tal que PBt e levado em p · A[x1, . . . , xd]t. Entao f(P) = p.

Teorema 3.1.2 (Morfismos Planos sao Abertos) Seja A um anel noetheriano e seja B uma A-algebra plana finitamente gerada. Entao o mapa associado de espectros f : SpecB → SpecA e um mapaaberto.

Prova Temos que mostrar que f(D(h)

)e aberto para todo h ∈ B. Substituindo B por Bh, e suficiente

mostrar que f(SpecB) e aberto. Seja F = SpecA \ f(SpecB); temos que mostrar que F e fechado emSpecA. Como A e noetheriano, podemos escrever o fecho F de F como uniao finita Z1 ∪ · · · ∪ Zn de

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etalefechados irredutıveis Zi = V (pi) com pi ∈ SpecA. Basta mostrar que pi ∈ F para todo i: de fato, comoB e A-plano, pelo going-down temos que F ⊃ ⋃i Zi, i.e., F = F e fechado.

Seja p ∈ f(SpecB) e seja q ∈ SpecB tal que f(q) = p. Afirmamos que existe um abertoW ⊂ SpecAtal queW∩V (p) ⊂ f(SpecB). De fato, isto do fato que V (p) e homeomorfo a SpecA/p e do lema anterioraplicado a A/p → B/q.

Provemos que pi ∈ F . Suponha por absurdo que nao. Neste caso, temos pi ∈ f(SpecB) e portantof(SpecB) ⊃W ∩ Zi para algum aberto W ⊂ SpecA. Mas como pi /∈ Zj para j 6= i, temos

pi ∈W ∩(⋃

j 6=iZj)c ⊂W ∩ (f(SpecB) ∪ Zi) ⊂ f(SpecB)

Portanto W ∩(⋃

j 6=i Zj)c

e uma vizinhanca aberta de pi disjunta de F , contradizendo pi ∈ F .

3.2 Morfismos etale

Definicao 3.2.1 Uma A-algebra φ:A→ B e etale se e de presentacao finita, nao-ramificada e plana.

Seja C be an A-algebra that e a free A-modulo of finite rank. Para qualquer c ∈ C, multiplicationpor c gives rise to an A-linear mapa Tc:C → C; se ω1, . . . , ωn e a base of C, we can express Tc in termsof a matrix (aij)1≤i,j≤n com entries aij ∈ A satisfazendo

c · ωi =∑

1≤j≤naijωj , i = 1, . . . , n

The trace of c, written TrC/A(c), e defined to be the trace of the matrix (aij); it e easy to see thatTrC/A(c) e independent of the choice of base above. Notice that para qualquer base change φ:A → A′

temos TrC⊗AA′/A′(c⊗ 1) = φ(TrC/A(c)).

Lemma 3.2.2 Seja C be an A-algebra that e free of finite rank as an A-modulo.

1. Se c ∈ C e nilpotent, entao TrC/A(c) ∈ A e also nilpotent.

2. Suponha that A e a normal domain com FracA = K. Se c ∈ C ⊗AK e integral sobre C, entaoTrC⊗AK/K(c) ∈ A.

3. Seja f ∈ A[x] be a monic polinomio of grau n, e suponha that C has the form A[x]/f . Thedeterminant of the n× n matrix (TrC/A(x

i+j))1≤i,j≤n e equal to the discriminant of f , i.e., tothe resultant of f e f ′.

Prova 1. We need to mostrar que TrC/A(c) ∈ p para todo p ∈ SpecA, i.e., that TrC/A(c) maps to 0 ink(p), or equivalently, that TrC⊗Ak(p)/k(p)(c) = 0. But c e nilpotent in C, so c⊗1 e nilpotent in C⊗Ak(p).But that means that the k(p)-linear mapa Tc⊗1 e nilpotent, e portanto its trace e 0, as required.

Teorema 3.2.3 Seja B be an etale A-algebra.

1. Se A e reduced, entao B e also reduced.

2. Se A e normal, entao B e normal.

Prova Todo properties sao local, so we may assume that (A,m, k) e local, e that B = Cq, onde C =A[x]/f para algum f e monic polinomio of grau n, q ∈ SpecA[x] contains f e lies sobre m, e f ′ e a unitin B.

1. Se b = c/s e in the nilradical of B, entao existe t ∈ C − q tal que ct e nilpotent in C. Now write

ct = a0 + a1x+ · · ·+ an−1xn−1, ai ∈ A

Entao, para i = 0, . . . , n− 1, temos

TrC/A(tcxi) =

∑

0≤j<naj TrC/A(x

i+j)

Now cada TrC/A(tcxi) = 0 como it e nilpotent in A. Moreover, det(TrC/A(x

i+j)) e invertible in A comof ′ e a unit in B. Portanto aj = 0 para todo j, i.e., tc = 0, e portanto b = c/s = 0 in B.

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2. First we mostrar que we may take f irredutıvel sobre K, e portanto C e a domain. In fact, se f = ghcom monic polinomios f, g ∈ K[x], entao como the coefficients of g e h sao polinomios in the roots of f ,they sao integral sobre A, e portanto they must lie in A. Portanto g, h ∈ A[x]. We cannot have bothg e h in q, como otherwise f ′ ∈ q. Entao por the Chinese remainder theorem, B decomposes, which eimpossible como it e a local anel. Portanto f must be irredutıvel in K[x].

Now L = C⊗AK e a finite separable corpo extensao of K, como f ′ e a unit in B; it e the quocientecorpo of B e C. Seja c ∈ L e integral sobre C, e write

c = a0 + a1x+ · · ·+ an−1xn−1, ai ∈ K

As before, D = det(TrC/A(xi+j)) e tal que Daj ∈ A, e portanto Dc ∈ C. But D e invertible in B, e the

result follows.

Exemplo 3.2.4 Seja k be an algebricoally closed corpo com char k 6= 2, e seja A = k[x, y]/(y2−x2(x+1)).The maximal ideal m = (x + 1, y), corresponding to the ponto (−1, 0) of the curve SpecA, defines aninvertible sheaf: para the open cobertura D(x) ∪ D(x + 1) of SpecA, temos mx = (y) e mx+1 = (1).temos que m2 = (x + 1), e it can be checked that m e not principal; portanto m defines an element oforder 2 in PicA.

Now we use m to construct an etale A-algebra B. Seja µ:m2 → A be the isomorphism of A-modulosdado por µ(x+ 1) = 1. As an A-modulo, seja B = A⊕m, e define the multiplication in B por

(a1, t1) · (a2, t2) = (a1a2 + µ(t1t2), a1t2 + a2t1), a1, a2 ∈ A, t1, t2 ∈ m

Now we check that B e etale sobre A. In D(x), temos an isomorphism

Ax[t]

t2 − x2 → Bx, t 7→ (0, y)

while in D(x+ 1) temos the isomorphism

Ax+1[t]

t2 − 1x+1

→ Bx+1, t 7→ (0, 1)

Portanto B e locally isomorphic to standard etale algebras.

We can write an explicit presentation of B. Consider the polinomio algebra A[w, z] e the surjectivemorphism of A-algebras

A[w, z]→ B w 7→ (0, x+ 1), z 7→ (0, y)

Clearly the elements

−yz + x2w, yw − (x+ 1)z, w2 − (x+ 1), wz − y, z2 − x2

mapa to 0, e it e easy to check that they actually generate the kernel. E como x2w − yz = z(wz − y)−w(z2 − x2), we can do com just 4 polinomios: seja a be the ideal generated por these 4 polinomios, econsider the ideals p = a+(x−z) = (x−z, w2−(x+1), wx−y) e q = a+(x+z) = (x+z, w2−(x+1), wx+y).

Both A[w, z]/p e A[w, z]/q sao isomorphic to A = k[x, y, w]/(w2 − (x+ 1), wx− y), the normalisation ofA. Portanto p e q sao prime ideals of A[w, z] com p ∩ q ⊃ a ⊃ pq, e portanto p e q correspond to theminimal prime ideals of B. But como A e reduced e B e etale sobre A, concluımos que B e also reduced,e portanto a = p ∩ q. This shows that SpecB has two irredutıvel components, both isomorphic to thenormalisation of SpecA.

4 Morfismos suaves

Lemma 4.1 Seja B be a anel, seja M be a finitamente gerado B-modulo, e N be a free B-modulo offinite rank. Seja πj :N → B be the j-th projection com respect to a fixed base e1, . . . , en of N . Sejaφ:M → N be a morphism, e q ∈ SpecB. The seguinte sao equivalent:

1. φq:Mq → Nq has a section;

2. φ⊗ 1:M ⊗B k(q)→ N ⊗B k(q) e injective.

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3. ha elements ω1, . . . , ωm ∈ M whose images generate Mq, e an m ×m minor U of the matrix(πj φ(ωi)

)1≤i≤m

1≤j≤n

com detU /∈ q.

4. existe an element h ∈ B − q tal que φh:Mh → Nh has a section.

Prova Clearly 4 ⇒ 1 ⇒ 2, e 2 ⇒ 3 follows se we choose the ωi de modo que their images form aminimal set of generators of the Bq-modulo Mq. To see that 3⇒ 4, choose h ∈ B − q de modo que theimages of the ωi generate Mh e detU e a unit in Bh. Without loss of generality, we may assume thatU =

(πj φ(ωi)

)1≤i≤m

1≤j≤m

. Entao we may define ψ:Nh →Mh por

ψ(e1/1)

...ψ(em/1)

= U−1

ω1...ωm

e ψ(ej/1) = 0 para j = m+ 1, . . . , n

Entao ψ φ(ωi) = ωi para i = 1, . . . ,m, e portanto ψ e a section of φh.

Teorema 4.2 (Jacobian criterion of smoothness) Seja A be a anel. Seja B be a finitely presentedA-algebra, say B = R/b, onde R e the polinomio anel A[x1, . . . , xn], e b e a finitamente gerado ideal ofR. Seja Q ∈ SpecR be a prime ideal containing b, seja q be its image in B, e p = Q ∩ A. The seguintesao equivalent:

1. Bq e formally smooth sobre Ap.

2. The morphism ( b

b2

)q⊗Bq

k(q)→ ΩRq/Ap⊗Rq

k(q)

e injective.

3. ha polinomios g1, . . . , gm ∈ R whose the images generate (b/b2)q, e an m×m minor U of theJacobian matrix

∂(g1, . . . , gm)

∂(x1, . . . , xn)=

(∂gi∂xj

)

1≤i≤m

1≤j≤n

tal que detU /∈ Q.

4. existe an element h ∈ B − q tal que Bh e smooth sobre A.

Prova Como ΩR/A =⊕

1≤j≤n Rdxj e free over R, so e N = ΩR/A⊗RB sobre B; moreover the fact that

b e finitamente gerado sobre R implies that N = b/b2 e also finitamente gerado sobre B. Next observethat R e formally smooth sobre A, e portanto, para qualquer Q ∈ SpecR e qualquer h ∈ R, RQ e Rhsao formally smooth sobre Ap e A, respectively. Portanto we sao in position to apply the differentialcriterion of smoothness. Seja δ:N →M be defined por δ(b mod b2) = db⊗ 1 para todo b ∈ b. Entao seg e a polinomio in b,

δ(g mod b2) = dg ⊗ 1 =∑

1≤j≤n

∂g

∂xjdxj

Now 1 e 4 can be rephrased in terms of finding sections to δq:Mq → Nq e δh:Mh → Nh, e we can applythe lemma to our situation to obtain the desired equivalences.

Teorema 4.3 Seja k be a perfect corpo, e A be a k-algebra of finite type. Entao A e smooth sobre k se,e so se, A e regular.

Prova We may write A = R/a onde R = k[x1, . . . , xn] e a e a finitamente gerado ideal of R. SejaQ ∈ SpecR be a prime ideal containing a, e seja q be its image in A. It e enough to mostrar que Aq eformally smooth sobre k se, e so se, Aq e a regular local anel.

Suponha first that Aq e formally smooth sobre k; after renumbering the variables, the Jacobian

criterion shows that ha polinomios g1, . . . , gm ∈ R whose images generate aq/a2q e det

(∂gi∂xj

)1≤i,j≤m /∈ Q.

We claim that the images of the gi in QRQ ⊗RQk(Q) = QRQ/(QRQ)

2 sao linearly independent overk(Q), e portanto they sao part of a system of parameters of RQ. Entao, como RQ e a regular anel,

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RQ/aQ = Aq will also be regular. To prove the claim, suponha that ha elements a1, . . . , am ∈ R tal quea1g1 + · · ·+ amgm ∈ (QRQ)

2. Entao, para j = 1, . . . ,m,

∂

∂xj(a1g1 + · · ·+ amgm) ∈ QRQ ⇒ a1

∂g1∂xj

+ · · ·+ am∂gm∂xj

∈ QRQ

But como det(∂gi∂xj

)e a unit in RQ, concluımos que ai ∈ QRQ para todo i. This finishes the proof of the

claim, e of the first implication of the theorem.

Now suponha that Aq e regular. temos a sequence

aQ

a2Q⊗RQ

k(Q)λ- QRQ ⊗RQ

k(Q)µ- ΩRQ/k ⊗RQ

k(Q)

Como both RQ e Aq = RQ/aQ sao regular, a minimal set of generators of aQ must be part of a systemof parameters of RQ, e portanto λ must be injective. por outro lado, como k e perfect, k(Q) e separablygenerated sobre k, e portanto k(Q) e formally smooth sobre k. Por the Jacobian criterion, we concludeentao that µ must be injective as well. But entao µ λ e injective, e portanto again por the Jacobiancriterion Aq e smooth sobre k.

Corolario 4.4 Seja k be qualquer corpo, e A be a k-algebra of finite type. Entao A e smooth sobre k se,e so se, A e geometrically regular.

Prova Seja kalg be the algebrico closure of k. Como kalg e perfect, it e enough to mostrar que A⊗k kalge smooth sobre kalg se, e so se, A e smooth over k. One direction e easy: por base change, se A e smoothover k, entao A⊗k kalg e smooth sobre kalg.

Now suponha that A ⊗k kalg e smooth sobre k. Write A = R/a onde R = k[x1, . . . , xn] e a e afinitamente gerado ideal of R. Seja Q ∈ SpecR be a prime ideal containing a, e seja q be its imagein A. We denote por a prime the result of tensoring com kalg sobre k; por exemplo A′ = A ⊗k k,R′ = kalg[x1, . . . , xn], e so on. Using the Jacobian criterion e the fact that kalg e faithfully flat over k,temos que A e smooth sobre k at q se e so se

(aQa2Q⊗RQ

k(Q))⊗k kalg →

(ΩRQ/k ⊗RQ

k(Q))⊗k kalg

e injective, i.e., se, e so se,a′Qa′2Q⊗R′

Qk(Q)′ → ΩR′

Q/kalg ⊗R′

Qk(Q)′ (∗)

e injective. But como A′ = R′/a′, again por flatness, e A′ e smooth sobre kalg, por the Jacobian criteriontemos that a′/a′2 → ΩR′/kalg ⊗R′ A′ has a section. Localising com respect to the multiplicative set R−Q

e tensoring com k(Q)′ sobre R′Q shows that (∗) e injective, as required.

Teorema 4.5 Seja f :X → Y be a morphism locally of finite presentation. Seja x ∈ X e y = f(x).Entao f e smooth at x se, e so se, there exist afim open neighbourhoods U = SpecB of x e V = SpecAof y com f(U) ⊂ V tal que the morphism of anel A→ B corresponding to restriction U → V of f factorsas

A→ A[x1, . . . , xn]→ B

com B etale sobre A[x1, . . . , xn].

Prova Clearly se there exist afim open neighbourhoods U = SpecB e V = SpecA as above, entao fe smooth at x como B e smooth sobre A, being the composition of two smooth morphisms. On theother hand, suponha that f e smooth at x. Seja (A, p, k) be the local anel OY,y. Como f e of finitepresentation, OX,x e the localisation of algum finitely presented A-algebra B at a prime ideal q ∈ SpecBlying sobre p, e it e enough to mostrar que A → Bq factors as above. Write B = R/a para algumpolinomio algebra R = A[x1, . . . , xN ] e algum finitely generated ideal a of R, e seja Q ∈ SpecR be aprime ideal containing a whose image in B e q; temos Q ∩ A = p.

Por the Jacobian criterion,

δ:aQ

a2Q⊗RQ

k(q)→ ΩRQ/A ⊗RQk(q)

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e injective, e ha polinomios g1, . . . , gm ∈ R whose images generate aQ e det(∂gi∂xj

)1≤i,j≤m /∈ Q. Without

loss of generality we may assume that x1, . . . , xn sao tal que dx1 ⊗ 1, . . . , dxn ⊗ 1 generate the cokernelof δ. Put S = A[xm+1, . . . , xN ], Q′ = Q ∩ S, e think of gi as elements of S[x1, . . . , xm]. Entao

Bq =RQ

aQ=S[x1, . . . , xm]Q(g1, . . . , gm)

e, moreover, det(∂gi∂xj

)1≤i,j≤m /∈ Q. Portanto Bq e standard etale sobre S, as required.

Teorema 4.6 Seja f :X → Y be a morphism locally of finite presentation. Entao the seguinte saoequivalent:

1. f e smooth.

2. f e flat e geometrically regular.

Prova Se f e smooth entao por the the last theorem f e locally the composition of two flat morphisms,e por base change f−1(y) e smooth sobre Spec k(y) para todo y ∈ Y , which e equivalent to f−1(y) beinggeometrically regular. Reciprocamente suponha that 2 holds. Entao por the corollary, f−1(y) e smoothsobre Spec k(y). Entao, como B e flat sobre A,

0→ b⊗A k(y)→ R⊗A k(y)→ B ⊗A k(y)→ 0

e exact. Entao the seguinte mapa e injective

b⊗A k(y)(b ⊗A k(y))2

⊗Rq⊗Ak(y) k(q)→ ΩRq⊗Ak(y)/k(y) ⊗Rq⊗Ak(y) k(q)

which e equivalent tobq

qbq→ ΩRq/Ap

⊗Rqk(q)

Portanto B e smooth sobre A.

5 Aneis Henselianos

Seja (A,m, k) be a local anel, e B be a finite A-algebra. Se n e a maximal ideal of B, entao B/n e a corpowhich e finite sobre the domain A/(n ∩ A). Portanto this domain e actually a corpo, e n ∩ A = m, i.e.,the maximal ideals of B sao exactly the maximal ideals in the fibre of m. But como B ⊗A k = B/mB efinite sobre k, B/mB e artinian, e portanto SpecB/mB e a finite set, e todo its elements sao maximalideals. Portanto B has so finitely many maximal ideals, say n1, . . . , nn. temos a diagrama comutativo

B ⊂ -∏

1≤i≤nBni

B/mB

?? ∼-∏

1≤i≤nBni

/mBni

??

Como B/mB e artinian, it e isomorphic to the product of its localisations com respect to its maximalideals, e portanto the bottom flecha e an isomorphism. por outro lado, the top flecha e always injective:se b e in the kernel, entao ann(b) 6⊂ ni como b/1 = 0 in Bni

, so ann(b) e not contained in qualquermaximal ideal of B, i.e., ann(b) = B ⇐⇒ b = 0.

We will be interested in the case when the top flecha e also an isomorphism, i.e., B e a productof local aneis. We now claim that this e the case se, e so se, todo idempotent of B/mB lifts to anidempotent of B. In fact, it e clear that a product of local aneis has the stated idempotent liftingpropriedade. Reciprocamente, suponha that the idempotent

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0) ∈ Bn1

mBn1

× · · · × Bnn

mBnn

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lifts to an idempotent e1 of B. Entao e1 maps to an element (a1, . . . , an) ∈∏

1≤i≤nBni, onde ai e an

idempotent of Bni; but como the latter e a local anel, ai = 0 or ai = 1. Portanto e1 must mapa to

(1, 0, . . . , 0). This argument applies to the other idempotents as well, showing that the top flecha in thediagram e also surjective in this case, e B e isomorphic to a product of local aneis, as claimed.

Now we consider the special case B = A[x]/f(x) onde f ∈ A[x] e monic. Denote por f the image

of f in k[x] = A[x]/mA[x]. Seja f = f1 . . . fn be the factorisation of f into powers f i = peii of distinct

monic irredutıvel polinomios pi ∈ k[x]; in particular, temos (f i, f j) = k[x] para i 6= j. Se pi ∈ A[x] ea lift of pi, we can write the maximal ideals of B as ni = (m, pi). Now we claim that B e a product oflocal aneis se, e so se, the factorisation f = f1 . . . fn lifts into a factorisation f = f1 . . . fn, onde cadafi ∈ A[x] e monic e fi lifts f i.

In fact, suponha first that the factorisation of f = f1 . . . fn lifts into a factorisation of f = f1 . . . fnitself. Entao (fi, fj) = A[x] para i 6= j: como the fi sao monic, M = A[x]/(fi, fj) e a finite A-modulo

com M ⊗A k = k[x]/(f i, f j) = 0, e portanto por Nakayama’s lemma M = 0. Por the Chinese remaindertheorem,

B =A[x]

f(x)∼= A[x]

f1(x)× · · · × A[x]

fn(x)

e cada factor A[x]/fi(x) e finite sobre A; moreover, como(A[x]/fi(x)

)⊗A k = k[x]/f i(x) = k[x]/peii has

a single prime ideal pi(x) mod fi(x), concluımos que cada factor A[x]/fi(x) e a local anel, e so temoswritten B as a product of local aneis.

Reciprocamente, suponha that B = Bn1 × · · · × Bnncom ni = (m, pi). Seja di be the grau of f i;

como the images of 1, x, . . . , xdi−1 in Bni/mBni

= k[x]/f i form a base sobre k, por Nakayama’s lemmathey generate the finite A-algebra Bni

, e portanto we can find a monic polinomio fi of grau di which liftsf i e tal que fi(x) = 0 in Bni

. Portanto the product f1 . . . fn e 0 in B = A[x]/f , i.e., f divides f1 . . . fn,but como both polinomios sao monic e of the same grau, we must have f = f1 . . . fn, as required.

Teorema 5.1 Seja (A,m, k) be a local anel. The seguinte condicoes on A sao equivalent:

1. Hensel’s lemma holds para A: se f ∈ A[x] e a monic polinomio whose image f factors as f = ghcom g, h ∈ k[x] monic e relatively prime, entao there exist monic polinomios g, h ∈ A[x] tal quef = gh lifts the factorisation f = gh.

2. Qualquer finite A-modulo B e a product of local aneis.

Prova Por the discussion above, it e clear that 2 ⇒ 1 se we choose B = A[x]/f ; reciprocamente, se1 holds, entao we know that 2 holds para finite A-algebras of the form B = A[x]/f , onde f e a monicpolinomio.

Seja n1, . . . , nn be the maximal ideals of B. Para the general case, we must mostrar que qualqueridempotent of B/mB lifts to an idempotent of B, e it e actually enough to show that the idempotent eof B/mB corresponding to (1, 0, . . . , 0) ∈ Bn1/mBn1 × · · · × Bnn

/mBnncan be lifted to an idempotent

e of B. Choose qualquer lift e′ ∈ B of e, e seja B′ = A[e′]. Como B e finite sobre A, existe a monicpolinomio f ∈ A[x] tal que f(e′) = 0. Set B′′ = A[x]/f ; temos a surjective morphism of A-algebrasφ:B′′ ։ B′ sending x mod f to e′.

Como B′ e B′′ sao finite sobre A, the maximal ideals of B′ e B′′ sao the images of n1, . . . , nnunder SpecB → SpecB′ e SpecB → SpecB′′, which we denote por n′1, . . . , n

′n e n′′1 , . . . , n

′′n, respectively.

These ideals sao not necessarily pairwise distinct, however por the choice of e′ temos e′ ∈ ni paratodo i = 2, . . . , n while e′ /∈ n′1, e portanto n1 e the so prime of B lying sobre n′1; por outro lado,SpecB′ → SpecB′′ e a closed immersion, e in particular, e injective. Por the special case above, weknow that B′′ e a product of local aneis; seja e′′ be the idempotent which corresponds to the elementcom coordinate 1 in B′′

n′′1e 0 in the other components. Entao e = φ(e′′) e an idempotent of B′, e portanto

of B, e e ∈ n2, . . . , nn ondeas e /∈ n1. Portanto e lifts e, e we sao done.

Definicao 5.2 A local anel A e henselian se it satisfies the condicoes of the theorem above.

Definicao 5.3 Seja (A,m, k) be a local anel. A local A-algebra B e called a pontoed etale extensaoof A se B e the localisation of an etale A-algebra C at a prime ideal q ∈ SpecC lying sobre m e tal quek(q) = k. Notice that B e actually an extensao of A como it e faithfully flat sobre A.

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Teorema 5.4 Seja (A,m, k) be a local anel. The seguinte condicoes on A sao equivalent:

1. A e henselian;

2. Se f ∈ A[x] e a polinomio whose image f ∈ k[x] has a simple root α ∈ k, entao f itself has aroot a ∈ A tal que α = a mod m.

3. Todo pontoed etale extensao of A e trivial.

Prova (1⇒ 2) Como f(x) = (x− α) · g(x) para algum g(x) ∈ k[x] com g(α) 6= 0, ha monic polinomiosx− a e g(x) in A[x] lifting x− α e g(x), respectively, e such that f(x) = (x− a) · g(x), e 2 follows.

(2⇒ 3) Seja B be a pontoed etale extensao of A. Por the local structure theorem, we may assume thatB = A[x]q/f para algum monic polinomio f ∈ A[x], e a prime ideal q ∈ SpecA[x] containing f , tal que

q lies sobre m, has residue corpo k(q) = k, e tal que f ′ e a unit in B. Seja f be the image of f in k[x], ep ∈ k[x] be the irredutıvel factor of f corresponding to the prime q in the fibre SpecB⊗Ak = Spec k[x]/f

of m. Como k(q) = k, temos que p(x) = x − α para algum root α ∈ k of f . Como (f, f ′) = A[x]q, we

also have (f, f′) = k[x]x−α, so α e a simple root of f . Por hypothesis, f factors as f(x) = (x− a) · g(x),

com (x− a, g) = A[x]q. Portanto B e the localisation of A[x]/f at q = (m, x− a), e portanto B ∼= A.

(3 ⇒ 1) Seja f(x) = xn + fn−1xn−1 + · · · + f0, fi ∈ A, be a monic polinomio whose image f(x) =

xn + fn−1xn−1 + · · · + f0, f i = fi mod m, in k[x] factors as f = gh onde g, h ∈ k[x] sao two relatively

prime monic polinomios. Write

g(x) = xr + gr−1xr−1 + · · ·+ g0, gi ∈ k

h(x) = xs + hs−1xs−1 + · · ·+ h0, hi ∈ k

com n = r + s. Define polinomios F0, . . . , Fn−1 in n variables y0, y1, . . . , yr−1, z0, z1, . . . , zs−1 por

Fi(y0, . . . , yr−1, z0, . . . , zs−1) =∑

0≤j≤iyizi−j − fi, i = 0, 1, . . . , n− 1

Denote por F i the image of Fi in k[y0, . . . , yr−1, z0, . . . , zs−1]. Como f = gh, temos que (g0, . . . , gr−1, h0, . . . , hs−1) =0 e a solution to the system

F i(y0, . . . , yr−1, z0, . . . , zs−1) = 0, i = 0, 1, . . . , n− 1 (∗)e clearly the factorisation f = gh lifts to a factorisation of f se, e so se, the system

Fi(y0, . . . , yr−1, z0, . . . , zs−1) = 0, i = 0, 1, . . . , n− 1 (∗∗)has a solution (g0, . . . , gr−1, h0, . . . , hs−1) in A lifting (g0, . . . , gr−1, h0, . . . , hs−1). This can be rephrasedas follows: define the A-algebra

B =A[y0, . . . , yr−1, z0, . . . , zs−1]

(F0, . . . , Fn−1)

Notice that the solution (g0, . . . , gr−1, h0, . . . , hs−1) to (∗) corresponds to the maximal ideal

(y0 − g0, . . . , yr−1 − gr−1, z0 − h0, . . . , zs−1 − hs−1)

(F 0, . . . , Fn−1)

in the fibre

SpecB ⊗A k = Speck[y0, . . . , yr−1, z0, . . . , zs−1]

(F 0, . . . , Fn−1)

of m. Seja q be the corresponding ideal of B. Entao an isomorphism Bq∼= A will correspond to the

desired solution to (∗∗), so it e enough to mostrar que Bq e a pontoed etale extensao of A. An explicitcalculation shows that the Jacobian determinant

∂(F0, . . . , Fn−1)

∂(y0, . . . , yr−1, z0, . . . , zs−1)

e the resultant of the two polinomios in the variable x

xr + yr−1xr−1 + · · ·+ y0

xs + zr−1xs−1 + · · ·+ z0

E this determinant e invertible in Bq se, e so se, its image in Bq/qBq = k e not zero, i.e., se, e so se, the

resultant of g e h e not zero. But g e h sao relatively prime por hipotese, e that does it.

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5.1 Henselizacao e Henselizacao Estrita

Setup 5.1.1 Seja A be a normal noetherian domain com corpo of fractions K = FracA. Seja L be a(possibly infinite) Galois extensao of K com G = Gal(L/K). We denote the integral closure of A in Lpor B.

Observe that σ(B) = B para todo σ ∈ G, so B e a G-modulo, e that BG = A, como A e normale portanto BG = B ∩K = A. A useful consequence of this fact e that se L/K e finite entao the normfrom L to K defines a multiplicative mapa NL/K :B → A.

The Galois group G also permutes the prime ideals of B, turning SpecB into a G-set. Seja q ∈SpecB. The stabiliser of q

Dq = σ ∈ G | σq = q

e called the decomposition group of q.

Now seja p = q∩A ∈ SpecA. Seja k e l the residue corpos of p e q, respectively. Como the inclusaoA → B induces an injection A/p → B/q, we may think of k as a subcorpo of l. temos a mapa

Dq → Aut(l/k)

sending σ ∈ Dq to the automorfismo σ ∈ Aut(l/k) dado por

σ(b mod q) = σ(b) mod q para todo b ∈ B

The kernel Iq of Dq → Aut(l/k) e called inertia group of q. Clearly Iq ⊳ Dq.

An important observation e that the above setup e definitions sao compatible com localisation: seS e qualquer multiplicative set of A, entao S−1B e the integral closure of S−1A in L, e como S ⊂ K,SpecS−1B e a G-set e temos a commutative diagram of G-sets

SpecS−1B ⊂ - SpecB

SpecS−1A

?⊂ - SpecA

?

Portanto se q ∈ SpecB does not intersect S entao DS−1q = Dq. Moreover, como q e S−1q have the sameresidue corpos, IS−1q = Iq. Portanto in most proofs we will be able to localise com respect to S = A− p

e assume that A e local com maximal ideal p, e that q e maximal in B.

Teorema 5.1.2 (Transitive action on primes) Assume the setup above, e seja p ∈ SpecA. Thegroup G acts transitively on the set of prime ideals of B lying sobre p.

Corolario 5.1.3 Assume the setup above. Seja q ∈ SpecB, e seja M/K be a Galois subextensao ofL/K. Seja

BM = B ∩M = integral closure of A in M

qM = q ∩M = q ∩BM ∈ SpecBM

Entao DqMe the image of Dq under the projection G = Gal(L/K) ։ Gal(M/K). Portanto

D = lim←−M

DqMe BD = lim−→

M

BDqM

M

onde M/K runs sobre todo finite Galois subextensoes of L/K.

Prova The projection Gal(L/K) ։ Gal(M/K) maps σ ∈ Gal(L/K) to σ|M ∈ Gal(M/K). Clearly seσ ∈ Dq entao σ|M ∈ DqM

, portanto the image of Dq e contained in DqM. Reciprocamente, se φ ∈ DqM

,seja σ ∈ G be qualquer automorfismo extending φ. Entao σ(q)∩M = σ(q∩M) = φ(qM ) = qM , portantoboth q e σq lie sobre qM , e por the last theorem, existe τ ∈ Gal(L/M) tal que τσ(q) = q. Portantoτσ ∈ Dq e a pre-image of φ.

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Para the next results, we work in the seguinte

Setup 5.1.4 Assume the previous setup. Fix a prime ideal q ∈ SpecB, e seja p = q ∩ A ∈ SpecA.Denote the decomposition e inertia groups of q por D e I, respectively. Finally set

B′ = BD = B ∩ LD = integral closure of A in LD

B′′ = BI = B ∩ LI = integral closure of A in LI

q′ = q ∩B′ ∈ SpecB′

q′′ = q ∩B′′ ∈ SpecB′′

Lemma 5.1.5 Assume the above setup.

1. q e the unique prime of B lying sobre q′.

2. The inclusao k(p) → k(q′) of residue corpos e an isomorfismo.

3. pB′q′ = q′B′

q′ .

Prova 1. Como D = Gal(L/LD) acts transitively on the primes of B lying sobre q′ e D stabilises q,the result follows.

Para the next assertions, we may localise todo the aneis e ideals com respect to S = A−p e portantoassume that (A, p, k) e local e that q e q′ sao maximal in B e B′, respectively. We now mostrar quethe proof can be reduced to the case onde L/K e finite. Seja BM e qM as in the corollary, e define

B′M = B

DqM

M , q′M = q ∩ B′M e l′M to be the residue corpo of q′M . Denote por l′ be the residue corpo of

q′. Por the corollary, temos que

B′ =⋃

M

B′M q′ =

⋃

M

q′M l′ =⋃

M

l′M

onde M/K runs sobre todo finite Galois subextensoes of L/K. Portanto se we can mostrar que l′M = ke that p(B′

M )q′M

= q′M (B′M )q′

Mpara todo M entao we will have that l′ = k e that pB′

q′ = q′B′q′ .

2. We need to mostrar que para todo b′ ∈ B′ existe a ∈ A tal que a ≡ b′ (mod q). Seja σ1, . . . , σg bea system of representatives of left cosets of D com σ1 = 1. Por the last theorem, the primes of B lyingsobre p, which sao the maximal ideals of B, sao exactly σ1q, . . . , σgq. Se i 6= 1 entao σ−1

i /∈ D e portanto

σ−1i q 6= q. Entao (1) implies that (σ−1

i q)∩B′ 6= q′, e portanto por the Chinese remainder theorem thereexists x ∈ B′ tal que

x ≡ b′ (mod q′)x ≡ 1 (mod (σ−1

i q) ∩B′) para i 6= 1⇒x ≡ b′ (mod q)σi(x) ≡ 1 (mod q) para i 6= 1

Entaoa = NLD/K(x) =

∏

1≤i≤gσi(x) ≡ b′ (mod q)

e the required element.

3. Como p ⊂ q′, we so need to mostrar que q′ ⊂ pB′q′ . Seja q′1 = q′, q′2, . . . , q

′s be the maximal ideals of

B′. Notice that the proof of (2) shows that qualquer x ∈ q′1 − (q′2 ∪ · · · ∪ q′s) belongs to pB′q′ . In fact, se

σ /∈ D entao σ−1q′ = q′i para algum i 6= 1; this implies that σ(x) /∈ q′. Portanto∏

2≤i≤g σi(x) /∈ q′ ondeσi sao as in (2). Portanto from

x∏

2≤i≤gσi(x) = NLD/K(x) ∈ q ∩ A = p

temos que x ∈ pBq′ .

Next, observe that como B′ e finite sobre A, B′/pB′ e finite sobre k e e portanto an artinian anel.Portanto B′/pB′ e isomorphic to the product of its localisations com respect to its maximal ideals:

B′

pB′ =B′

q′1

pB′q′1

× · · · ×B′

q′s

pB′q′s

To prove that pB′q′ = q′B′

q′ we must mostrar que the maximal ideal q′1B′q′1/pB′

q′1of the first factor e

0. Seja t ∈ q′1B′q′1/pB′

q′1e seja x ∈ B′ be a lift of the element (t, 1, . . . , 1) in the product above. Entao

x ∈ q′1 − (q′2 ∪ · · · ∪ q′s) e por the above x ∈ pBq′ . But this implies t = 0, as required.

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Lemma 5.1.6 Assume the setup above.

1. q′′ e the unique prime ideal of B′′ lying sobre q′.

2. l/k e a normal corpo extensao, i.e., qualquer irredutıvel polinomio f(x) ∈ k[x] which has a rootin l splits completely. Moreover the mapa D → Aut(l/k) e surjective.

Prova 1. This follows from (1) of the last lemma e the fact that B e an integral extensao of B′′ eportanto SpecB → SpecB′′ e surjective.

To prove the remaining assertions, observe that por (2) e (3) of the last lemma p e q′ have the sameresidue corpos e that pB′

q′ = q′B′q′ . Portanto we may replace A por B′

q′ e portanto assume that (A, p, k)

e a normal local domain, that D = G, e portanto por (1) of the previous lemma that the integral closure(B, q, l) of A in L e local. Por (1) above, (B′′, q′′, l′′) e also local.

Now we introduce algum notation. Para qualquer b ∈ B, write b ∈ l para b mod q. Sejamb(x) ∈ K[x]be the minimal polinomio of b; notice that actually mb(x) ∈ A[x] como A e normal e b e integral sobreA. We also write mb(x) ∈ l[x] para the image of mb(x) under the mapa A[x] → l[x] induced porA→ A/p = k.

2. We first mostrar que l/k e a normal extensao. Seja f(x) ∈ k[x] be an irredutıvel polinomio e suponhathat it has a root b ∈ l, b ∈ B. Entao f(x) e the minimal polinomio of b, e como we also have mb(b) = 0,

concluımos que f(x) | mb(x). But como L/K e Galois e mb(x) has a root b ∈ L, mb(x) splits completelyin B[x]. Portanto mb(x) also splits completely in l[x], e portanto so does f(x).

Next we mostrar que D → Aut(l/k) e surjective. Seja ks/k be the maximal separable subextensaoof l/k, e observe that Aut(l/k) = Gal(ks/k), portanto temos to mostrar que D → Gal(ks/k) e surjective.

First we consider the case that ks/k e finite, de modo que por the primitive element theorem we

can write ks = k(b) para algum b ∈ B. Seja f(x) ∈ k[x] be the minimal polinomio of b. Entao an

automorfismo φ ∈ Gal(ks/k) e completely determined por the value of φ(b) = b′, also a root of f(x),

e como f(x) | mb(x), we may take b′ to be a root of mb(x). But como mb(x) e irredutıvel sobre K,

existe σ ∈ Gal(L/K) tal que σ(b) = b′, e portanto σ(b) = b′= φ(b), i.e., σ = φ, which shows that

D → Gal(ks/k) e surjective when ks/k e finite.

Para the general case, seja φ ∈ Gal(ks/k), e para cada finite Galois subextensao k′/k of ks/k define

T (k′) = σ ∈ D | σ|k′ = φ|k′

In other words, T (k′) e the pre-image under D → Gal(ks/k) of the closed subset in the Krull topologyof Gal(ks/k) consisting of todo automorfismos agreeing com φ on k′. But D → Gal(ks/k) e continuous,portanto T (k′) e closed, e por the special case above, T (k′) 6= ∅. Como D e compact, as in the proofof teorema 5.1.2, temos que

⋂k′ T (k

′) 6= ∅, onde k′/k runs sobre todo finite Galois subextensao of ks/k.Entao σ = φ para qualquer σ ∈ ⋂k′ T (k′), which finishes the proof.

Corolario 5.1.7 Assume the setup above. Seja q ∈ SpecB, e seja M/K be a Galois subextensao ofL/K. Seja

BM = B ∩M = integral closure of A in M

qM = q ∩M = q ∩BM ∈ SpecBM

Entao IqMe the image of Iq under the projection G = Gal(L/K) ։ Gal(M/K). Portanto

I = lim←−M

IqMe BI = lim−→

M

BIqM

M

onde M/K runs sobre todo finite Galois subextensoes of L/K.

Prova Seja lM be the residue corpo of qM . Se σ ∈ I entao σ|lM = 1 e portanto the image of I econtained in IqM

. Reciprocamente, dado φ ∈ IqM⊂ DqM

, por corolario 5.1.3 existe σ ∈ D tal queσ|M = φ. E como σ|lM = 1, σ ∈ Gal(l/lM ) e por (2) of the last lemma existe τ ∈ DqM

⊂ Gal(L/M) talque τ = σ. Entao τ−1σ ∈ I e a pre-image of φ.

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Lemma 5.1.8 Assume the setup above. Seja l′′ be the residue corpo of q′′. Entao l′′/k e the maximalseparable subextensao of l/k. Furthermore pB′′

q′′ = q′′B′′q′′ . Portanto se B′′ e of finite presentation sobre

A, B′′ e unramified sobre A at q′′.

Prova The fact that l/l′′ e purely inseparable follows from (2) of the last lemma applied to B′′ in placeof A: temos que l/l′′ e a normal extensao, e como D = I in this case, that I ։ Aut(l/l′′) e surjective.But como I e the kernel of D → Aut(l/l′′), this implies that Aut(l/l′′) e trivial, e portanto that l/l′′ epurely inseparable.

We sao left to mostrar que l′′/k e separable e that pB′′ = q′′. Notice that como I ⊳ D, LI/Ke Galois e portanto in order to prove the two assertions above, we may replace L por LI e (B, q, l)por (B′′, q′′, l′′). In other words, we now assume that I = 1 e G = D, so that D → Aut(l/k) e anisomorfismo. Furthermore we may reduce the proof to the case onde L/K e finite. Indeed, por the last

corollary, temos que (B′′, q′′, l′′) e the union of the (BIqM

M , qM ∩BIqM

M , l′′M ) asM/K runs sobre todo finite

Galois subextensoes of L/K, onde l′′M denotes the residue corpo of qM ∩BIqM

M . Portanto se we mostrar

que l′′M/k e separable e that pBIqM

M = qM ∩BIqM

M para todo M entao we will have that l′′/k e separablee that pB′′ = q.

Seja b be tal que k(b)/k e the maximal separable subextensao of l/k. We sao going to mostrar quemb(x) ∈ k[x] e the minimal polinomio of b e that the mapa A[x]/mb(x) → B dado por x 7→ b e anisomorfismo. Entao l = k(b) will be separable sobre k e B will be standard etale sobre A, proving thatpB = q.

Seja f(x) ∈ k[x] be the minimal polinomio of b. To prove that mb(x) = f(x), notice that comof(x) | mb(x) e G = D → Aut(l/k) e an isomorfismo por hipotese, temos que

degmb(x) = degmb(x) = [K(b) : K] ≤ [L : K] = |G| = |Aut(l/k)|= [k(b) : k] = deg f(x) ≤ degmb(x)

We must portanto have equality everywhere, e portanto mb(x) = f(x) e L = K(b). Portanto A[b] ∼=A[x]/mb(x) e standard etale sobre A com FracA[b] = B. Como A e normal, so e A[b]. However A[b] ⊂ Be both aneis sao normal e have the same corpo of fractions, so we must have A[b] = B, as required.

5.2 Henselisation e Strict Henselisation: existence

See [Nagata], VI.41.2, p. 159, e [Milne], I.3.20, p. 29.

Lemma 5.2.1 Seja (A, p, k) be a local anel, seja (B, q, l) be an etale local A-algebra e seja (C, r,m) bea henselian local A-algebra. temos an isomorfismo

Hom loc A-alg(B,C)∼- Hom k-alg(l,m)

that takes a local morfismo φ:B → C of A-algebras to the induced morfismo φ: l → m of residue corpos.

Prova First we mostrar que se φ, ψ ∈ Hom loc A-alg(B,C) induce the same morfismos on the residuecorpos entao φ = ψ. Para that we will just use the fact that B e unramified sobre A. Set S = SpecA,X = SpecC, Y = SpecB, e seja f e g be the two S-morfismos from X to Y corresponding to φ e ψ. Wehave to mostrar que f = g. Consider the seguinte cartesian diagram

Z = Y ×(Y×SY ) X ⊂ - SpecX

Y?

⊂∆Y/S- Y ×S Y

f × g?

In other words, Z e the largest closed subesquema of X on which f e g coincide. Como Y e unramifiedsobre S, ∆Y/S e both an open e a closed immersion, e portanto Z e also an open subesquema of X . ButX e connected, being the spectrum of a local anel, portanto Z = X or Z = ∅. But the fact that φ e ψinduce the same morfismos on the residue corpos shows that Z(Specm) 6= ∅, so we must have Z = X ,i.e., f = g.

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Now suponha that we sao dado φ ∈ Hom k-alg(l,m). Por the local structure theorem, we can write Bas the localisation of R = A[x]/f(x) at algum maximal ideal Q. But the maximal ideals of A correspondto the elements of SpecR ⊗A k = k[x]/f(x), i.e., to the prime factors of f(x). But como the image off ′(x) in B = RQ we can write f(x) = f1(x) · f2(x) onde f1(x) e a separable irredutıvel polinomio in

k[x] e f2(x) e relatively prime to f1(x). Moreover l ∼= k[x]/f1(x). Now write β = x mod f(x) ∈ B eβ = x mod f1(x). Entao φ takes β to a root r ∈ m of f1(x). But como C e strictly henselian, r lifts toa root r ∈ C of f(x). Now we define φ(β) = r, e it e clear that φ induces φ on the residue corpos.

Teorema 5.2.2 Seja (A, p, k) be a normal local domain com corpo of fractions K = FracA. Seja Ks bethe separable closure of K e seja B be the integral closure of A in Ks. Choose a maximal ideal q ∈ SpecBe seja D e I be its decomposition e inertia groups respectively. Seja

B′ = BD q′ = q ∩BD B′′ = BI q′′ = q ∩BI

Entao B′q′ e a henselisation of A onde the local mapa from A to B′

q′ e the inclusao A ⊂ B′q′ . Similarly

B′′q′′ e a strict henselisation of A.

Prova The universal propriedade follows from corolario 5.1.7 e the previous lemma.

Seja us just sketch the general construction of the strict henselisation of an arbitrary local anel(A, p, k). We say that an A-algebra B e essentially etale sobre A se B = Cq para algum etale A-algebra C e algum q ∈ SpecC lying sobre p. Como the algebras C sao of finite presentation sobreA, it e easy to see that existe a set E of essentially etale A-algebras containing one representative perisomorfismo class. Fix a separable closure ks of k. Now we consider the set N whose elements sao pairs(B, λ) com B ∈ E e λ:B → ks e A-linear com kerλ equal to the maximal ideal of B. We have portantoa diagrama comutativo

ks λB

A

6

onde A → ks e the composition of A → k → ks. Dado two elements (B, λ) e (C, µ) of N , a morfismofrom (B, λ) e (C, µ) e a morfismo φ:B → C such that λ = µ φ. That makes N into a category, e it eeasy to check that this category e filtred. Portanto we may take the limit

lim−→(B,λ)

B

It e not difficult to mostrar que this limit has the required universal propriedade making it into a stricthenselisation of A. Para the henselisation, one restricts the limit to so those etale algebras that have thesame residue corpo as A.

6 Exercıcios

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esquemamorfismo de restri¸pre-feixe

Chapter 8

Esquemas

Neste capıtulo, formalizaremos a filosofia de que aneis sao objetos geometricos, que estivemos implicita-mente utilizando ate agora. Veremos o importante conceito de esquema, introduzido por Grothendieck,que nada mais e do que um espaco “localmente isomorfo a um anel”.

1 Espacos Localmente Anulares como Objetos Geometricos Gerais

Basicamente, dar um objeto geometrico consiste em dar nao so um “conjunto de pontos” (ou seja, umespaco topologico) mas tambem dizer quais os tipos de “funcoes admissıveis” estamos considerando sobreestes conjuntos. Por exemplo, em variedades topologicas, todas as funcoes contınuas sao permitidas,enquanto que em variedades analıticas apenas funcoes holomorfas sao consideradas.

1.1 Feixes

Em geral, nao estamos so interessados em “funcoes globalmente defindas”, e preciso tambem poder dizerquais as funcoes admissıveis em abertos deste espaco. Por exemplo, se estamos trabalhando com var-iedades analıticas compactas conexas, pelo teorema de Liouville as unicas funcoes holomorfas globalmentedefinidas sao apenas as funcoes constantes, o que acaba nao dizendo muito sobre a variedade.

O conceito de feixe, que nada mais e do que uma notacao para organizar a interacao local/global,surgiu em resposta a situacao acima. Antes de dar a definicao formal, vejamos um exemplo. Seja X umespaco topologico qualquer e, para cada aberto U ⊂ X , defina o anel das funcoes contınuas reais em U :

F(U) = f :U → R | f e contınua

Estes aneis nao sao todos independentes entre si: se U ⊃ V e uma inclusao de abertos, temos ummorfismo de restricao

resUV :F(U)→ F(V )

f 7→ f |VEstes morfismos de restricao satisfazem a seguinte propriedade de “cola”: dado um aberto U , umacobertura aberta U =

⋃i∈I Ui de U e funcoes fi ∈ F(Ui) concordando nas interseccoes, i.e.,

fi|Ui∩Uj= resUi,Ui∩Uj

(fi) = resUj ,Ui∩Uj(fj) = fj |Ui∩Uj

para todo i, j ∈ I

existe uma unica funcao f ∈ F(U) tal que f |Ui= resUUi

(f) = fi para cada i ∈ I. De fato, se x ∈ Upertence a Ui, basta definir f(x) = fi(x), o que independe da escolha do aberto Ui que contem x pelofato de os fi’s concordarem nas interseccoes.

Vamos agora axiomatizar as propriedades essenciais do exemplo anterior. Um espaco topologico Xdefine uma categoria O(X) dos seus abertos: os objetos desta categoria sao todos os abertos de X e asflechas sao dadas pelas inclusoes:

Hom(U, V )def=

U → V se U ⊂ V∅ caso contrario

Definicao 1.1.1 Seja X um espaco topologico. Um pre-feixe F : O(X) → Ab de grupos abelianos emX e um funtor contravariante de O(X) para a categoria dos grupos abelianos Ab. Explicitamente, temos

1. para cada aberto U de X , um grupo abeliano F(U);

2. para cada inclusao de abertos U ⊃ V , um morfismo de grupos abelianos resUV :F(U)→ F(V ),chamado de restricao;

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138 Esquemas

morfismo de pre-feixessecoes

tais que resUU = id para todo aberto U e resVW resUV = resUW para todas as inclusoes de abertosU ⊃ V ⊃W .

Se F ,G: O(X) → Ab sao dois pre-feixes, um morfismo de pre-feixes φ:F → G e um morfismo defuntores entre F e G. Explicitamente, para cada aberto U temos um morfismo de grupos φU :F(U) →G(U) de modo que se U ⊃ V e uma inclusao de abertos, o diagrama

F(U)φU- G(U)

F(V )

resFUV

? φV- G(V )

resGUV

?

comuta. Denotamos por PSh(X) a categoria de pre-feixes de grupos abelianos sobre X . Pre-feixes deaneis, conjuntos, etc. sao definidos analogamente, substituindo a categoria de grupos abelianos pelacategoria correspondente.

Observacao 1.1.2 Alguns comentarios acerca da notacao e terminologia. Por questoes de conveniencia,em deferencia ao exemplo inicial denotamos muitas vezes resUV (f) ∈ F(V ) simplesmente por f |V . Oselementos de F(V ) sao chamados de secoes de F sobre V (esta terminologia tem origem nos feixesde secoes de fibrados vetoriais). O grupo F(V ) e as vezes escrito Γ(V,F) (secoes “Γlobais” sobre V ),especialmente se desejamos enfatizar o carater funtorial da associacao F 7→ Γ(V,F).

Definicao 1.1.3 Um pre-feixo F : O(X) → Ab de grupos abelianos em um espaco topologico X echamado de feixe se ele satisfaz o “axioma de cola”: para cada aberto U e qualquer cobertura abertaUii∈I de U , dados fi ∈ F(Ui) elementos que “concordam nas interseccoes”, i.e.,

resUi,Ui∩Uj(fi) = resUj ,Ui∩Uj

(fj) para todo i, j ∈ I

existe um unico elemento f ∈ F(U) tal que resUUi(f) = fi para cada i ∈ I.

Um morfismo entre feixes e simplesmente um morfismo entre os pre-feixes subjacentes, ou seja, apenasum morfismo de funtores. Denotamos por Sh(X) a categoria de feixes de grupos abelianos sobre X .Analogamente, define-se feixes de aneis, conjuntos, etc.

Por conveniencia (deste autor, e claro!), daremos todas as definicoes/resultados para feixes de gruposabelianos, deixando para o leitor fazer as modificacoes necessarias para outras categorias.

Observacao 1.1.4 Para um feixe de grupos abelianos F : O(X) → Ab, temos que a unicidade doaxioma de cola pode ser expressa dizendo-se que o produto dos mapas de restricao

F(U)→∏

i∈IF(Ui)

e injetor, i.e., que seu kernel e trivial. Em particular, se U = ∅, temos que U admite uma coberturavazia (i.e., com I = ∅) e portanto temos que F(∅) = 0 ja que o produto vazio e o grupo trivial. Aquelesque acharem este tipo de raciocınio deveras bizarro estao convidados a incluir a condicao F(∅) = 0 nadefinicao acima.

Observacao 1.1.5 Simbolicamente, o fato de F satisfazer o axioma de cola e as vezes expresso dizendo-se que a sequencia

F(U)→∏

i∈IF(Ui)

∏

(i,j)∈I×IF(Ui ∩ Uj)

e exata. Aqui a primeira flecha e o produto dos mapas de restricao enquanto que as flechas duplasdenotam o produto das restricoes com relacao a “primeira” e a “segunda” inclusoes Ui ∩ Uj ⊂ Ui eUi∩Uj ⊂ Uj . O fato da sequencia acima ser exata deve ser interpretada do seguinte modo: a imagem deF(U) e precisamente o “kernel dos equalizadores” (as flechas duplas), ou seja, as tuplas em

∏i∈I F(Ui)

que concordam nas interseccoes.

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139

feixe constantefeixe kerneltalo

Exemplo 1.1.6 (Feixe Constante) Seja X um espaco topologico qualquer e A um grupo abeliano,munido da topologia discreta. Para cada aberto U , defina

A(U) = f :U → A | f e contınua = Aπ0(U)

com os mapas de restricao usuais. Aqui π0(U) e o conjunto das componentes conexas de U . Temos queA e um feixe, chamado feixe constante com valores em A. Note que nao bastaria definir A(U) = Apara todo aberto U , pois o axioma de cola nao seria satisfeito: por exemplo, se U consiste em duascomponentes conexas disjuntas U0 e U1, devemos ter F(U) = F(U0)⊕F(U1) para qualquer feixe F (poisF(U0 ∩ U1) = F(∅) = 0).

Exemplo 1.1.7 O exemplo do feixe de funcoes contınuas reais pode ser facilmente generalizado. Porexemplo, seja X = C e considere, para cada aberto U ,

H(U)def= f :U → C | f e holomorfo

com os mapas de restricao usuais (para U = ∅, a definicao acima deve ser interpretada como H(∅) = 0;de agora em diante nao mencionaremos mais este detalhe). Temos que H define um feixe de aneis sobreX = C, o feixe de funcoes holomorfas.

Exemplo 1.1.8 Tomando os grupos de unidades no exemplo anterior, temos que U 7→ H(U)× (funcoesholomorfas que nao se anulam em nenhum ponto de U) define um feixe de grupos abelianos (com osmapas de restricao usuais) que denotamos por H×.

Exemplo 1.1.9 A funcao exponencial define um morfismo de feixes de grupos abelianos em X = C:

expU :H(U)→ H×(U)

f 7→ ef

Exemplo 1.1.10 (O Feixe Kernel) Seja φ:F → G um morfismo de feixes de grupos abelianos. Paracada U , defina

K(U) = ker(F(U)φU- G(U))

onde os mapas de restricao sao induzidos pelos de F , i.e., temos um diagrama comutativo com linhasexatas

0 - K(U) - F(U)φU- G(U)

0 - K(U)

resKUV

?- F(V )

resFUV

? φV- G(V )

resGUV

?

O axioma de cola de K e “herdado” do de F , como e facil verificar. O feixe K e chamado de feixe kernelde φ e e simplesmente denotado por kerφ. Por exemplo, o kernel da funcao exponencial exp:H → H×

do exemplo acima e o feixe constante 2πiZ, associado ao grupo dos multiplos inteiros de 2πi.

Em suma, como diz o ditado popular, “kernel de feixe, feixinho e”. Alertamos porem o leitor para o fatode que U 7→ imφU e U 7→ cokerφU (com mapas de restricao induzidos pelos de G) sao apenas pre-feixes,mas nao feixes em geral. Assim, as definicoes de feixes imagem e cokernel precisam ser ligeiramentemodificadas, como veremos mais abaixo.

Definicao 1.1.11 Seja F um pre-feixe de grupos abelianos em um espaco topologico X . Seja x ∈ X .O talo Fx de F em x e o grupo abeliano de “todas as secoes definidas em alguma vizinhaca aberta dex”, ou seja, o limite direto

Fx = lim−→U∋xF(U)

onde U percorre todas as vizinhacas abertas de x, ordenados pela relacao U V ⇐⇒ U ⊇ V e mapasde transicao dados pelos mapas de restricao de F .

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140 Esquemas

Explicitamente, os elementos de Fx sao classes de equivalencia [(U, f)] de pares (U, f) onde U e umaberto contendo x e f ∈ F(U) e uma secao definida em U . A relacao de equivalencia e dada por

[(U, f)] = [(V, g)] ⇐⇒ existe um aberto W ∋ x tal que W ⊂ U ∩ V e f |W = g|W

Ou seja, dois pares sao equivalentes se suas secoes concordam em alguma vizinhaca aberta de x. Asoma de duas classes [(U, f)] e [(V, g)] e definida restringindo-se f e g a uma vizinhaca comum de x, porexemplo W = U ∩ V : [(U, f)] + [(V, g)] = [(W, f |W + g|W )].

Seja φ:F → G e um morfismo de pre-feixes de grupos abelianos em X . Denotamos por φx o morfismode grupos abelianos entre talos induzido por φ:

φx:Fx → Gx[(U, f)] 7→ [(U, φU (f))]

O seguinte exemplo ilustra bem o fato de que o talo de um feixe corresponde intuitivamente aoconjunto de todas as “secoes definidas em torno de x”:

Exemplo 1.1.12 Se H e o feixe de funcoes holomorfas em X = C, temos que o talo H0 na origem 0 ∈ Xe isomorfo ao anel Cz das series de potencia a0 + a1z + · · · convergentes (em alguma vizinhancaaberta de 0). De fato, podemos construir um isomorfismo Cz → H0 da seguinte maneira: cadaf(z) ∈ Cz define uma funcao holomorfa em alguma vizinhaca U de 0, logo podemos levar f(z)no elemento [(f(z), U)], que claramente nao depende da escolha de U . Para construir o mapa inversoH0 → Cz, tome um elemento do talo [(f(z), U)] e leve-o na expansao em serie f(z) = a0 + a1z + · · ·da funcao holomorfa f(z) em torno do 0.

Uma secao de um feixe e completamente determinada por suas imagens nos talos, como mostra oseguinte

Exemplo 1.1.13 (Conhecendo Feixes via Talos) Seja F um feixe de grupos abelianos em um espacoX . Dado um aberto U e um elemento f ∈ F(U), denotamos por fx = [(U, f)] ∈ Fx a imagem de f notalo em x ∈ U . Entao temos uma injecao de grupos abelianos

F(U) →∏

x∈UFx

f 7→ (fx)x∈U

que mostra que um feixe e realmente uma colecao de talos (pelo menos em linguagem agricultural!). Defato, se fx = 0 entao existe uma vizinhaca aberta Ux ⊂ U de x para a qual f |Ux

= 0. Assim, se fpertence ao kernel do mapa acima, existe uma cobertura aberta de U na qual f se restringe a 0 em cadaaberto desta cobertura. Pela unicidade no axioma de cola, temos portanto que f = 0, mostrando que omapa acima e injetor.

Em particular, observe que se P e um pre-feixe e temos dois morfismos de pre-feixes φ, ψ:P → F taisque φx = ψx para todo x ∈ X entao φ = ψ. Assim, um morfismo de um pre-feixe para um feixe ecompletamente determinado por seus valores nos talos.

Encerramos esta secao com uma importante operacao, a feixificacao (esta palavra existe?!), quenos permitira definir os feixes quociente, imagem e cokernel.

Teorema 1.1.14 (Feixificacao) Seja X um espaco topologico. O funtor de inclusao i: Sh(X) →Psh(X) possui um adjunto a esquerda s: Psh(X) → Sh(X), chamado funtor de feixificacao. Explici-tamente, dado um pre-feixe P ∈ Psh(X), existe um feixe s(P) ∈ Sh(X) e um morfismo de pre-feixesq:P → i s(P) tal que, para todo feixe F ∈ Sh(X) e todo morfismo de pre-feixes ψ:P → i(F), existeum unico morfismo de feixes φ: s(P)→ F que faz o seguinte diagrama comutar:

P ψ - i(F)

i s(P)

q

?

∃!i(φ)

-

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feixe quocientefeixe imagemfeixe cokernel

Em outras palavras, temos uma bijecao natural

HomSh(s(P),F)∼- HomPsh(P , i(F))

φ 7→ i(φ) q

Alem disso, temos um isomorfismo de talos qx:Px∼- (s(P))x para todo x ∈ X.

Prova Para todo aberto U de X , uma secao de Γ(U, s(P)) e definida como uma colecao de “secoescompatıveis” de P :

Γ(U, s(P)) =(fx) ∈

∏

x∈UPx∣∣∣∣∣existe uma cobertura aberta

⋃λ Uλ = U de U e elementos

fλ ∈ P(Uλ) tais que (fλ)x = fx sempre que x ∈ Uλ

Aqui, (fλ)x = [(Uλ, fλ)] ∈ Px denota a imagem de fλ no talo em x. Agora, dada uma inclusao de abertosU ⊃ V , definimos o mapa de restricao resUV ignorando as coordenadas correspondentes a pontos quenao pertencem a V :

resUV : Γ(U, s(P))→ Γ(V, s(P))(fx)x∈U 7→ (fx)x∈V

E facil verificar que, com as definicoes acima, s(P) e de fato um feixe. Definimos ainda q:P → s(P) damaneira natural:

qU : Γ(U,P)→ Γ(U, s(P))f 7→ (fx)x∈U

Novamente e facil ver que qx:Px → (s(P))x e um isomorfismo.

Verifiquemos a propriedade universal. Inicialmente, observe que dado um morfismo de pre-feixesψ:P → i(F), existe no maximo um morfismo φ: s(P) → F tal que ψ = i(φ) q pois isto implicaψx = φx qx para todo x ∈ X e, como qx e um isomorfismo, temos que os talos de φ estao completamentedeterminados, logo ha no maximo um φ pelo exemplo anterior. Agora mostremos que φ de fato existe.Dada uma secao f = (fx)x∈U ∈ Γ(U, s(P)) temos que (ψx(fx))x∈U ∈

∏x∈U Fx define um unico elemento

φU (f) ∈ F(U). De fato, tomando uma cobertura aberta⋃λ Uλ = U e elementos fλ ∈ P(Uλ) tais que

(fλ)x = fx, temos que os elementos ψUλ(fλ) ∈ F(Uλ) satisfazem o axioma de cola, pois

(ψUλ

(fλ))x= ψx((fλ)x) = ψx(fx) = ψx((fµ)x) =

(ψUµ

(fµ))xpara todo x ∈ Uλ ∩ Uµ

⇒ ψUλ(fλ)|Uλ∩Uµ

= ψUλ(fµ)|Uλ∩Uµ

pelo exemplo anterior. Assim, estes elementos “colam” e definem um unico elemento de F(U), quebatizamos φU (f), cujos talos sao ψx(fx). Agora uma verificacao rotineira mostra que os morfismosφU : s(P)(U) → F(U) assim definidos sao compatıveis com os mapas de restricao, logo definem ummorfismo de feixes φ: s(P)→ F , que satisfaz ψ = i(φ) q.

Finalmente, se ξ:P → Q e um morfismo de pre-feixes, definimos s(ξ): s(P) → s(Q) como o mapaassociado pela propriedade universal a composicao

P ξ- Q q- s(Q)

Uma outra verificacao rotineira mostra que, com as definicoes acima, s define de fato um funtor dePsh(X) em Sh(X).

Observacao 1.1.15 Como ja se era de esperar, se P ja e um feixe, entao s(P) e um feixe isomorfo a P .A feixificacao permite dar a definicao “correta” dos feixes quociente, kernel, cokernel, etc.

Definicao 1.1.16 Seja F um subfeixe de G, i.e., F(U) ⊂ G(U) para todo aberto U e os mapas derestricao de F sao induzidos pelos de G. Definimos o feixe quociente F/G como o feixe associado aopre-feixe U 7→ G(U)/F(U) (com mapas de restricao induzidos pelos de G).Seja φ:F → G um morfismo de feixes de grupos abelianos em um espaco topologico X . Definimosrespectivamente os feixes imagem imφ e cokernel cokerφ de φ como sendo os feixes associados aospre-feixes

U 7→ imφU e U 7→ cokerU

Dizemos que φ e injetor (resp. sobrejetor) se kerφ = 0 (resp. cokerφ = 0).

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142 Esquemas

Lemma 1.1.17 Um morfismo de feixes φ:F → G e injetor (resp. sobrejetor) se, e so se, os morfismosde talos φx:Fx → Gx sao injetores (resp. sobrejetores) para todo x.

Prova Como a feixificacao preserva talos, temos que (kerφ)x e (cokerφ)x sao os talos dos pre-feixesU 7→ kerφU e U 7→ cokerφU , respectivamente. Desta forma, temos

(kerφ)x = kerφx e (cokerφ)x = cokerφx

Por outro lado, pelo exemplo anterior, temos que kerφ = 0 ⇐⇒ (kerφ)x = 0 e cokerφ = 0 ⇐⇒(cokerφ)x = 0 para todo x e o resultado segue.

O lema anterior sugere a seguinte

Definicao 1.1.18 Uma sequencia de morfismos de feixes de grupos abelianos em um espaco X

· · · - F i−1 φi−1

- F i φi

- F i+1 φi+1

- · · ·

e exata se, e so se, as sequencias

· · · - F i−1x

φi−1x- F ix

φix- F i+1

x

φi+1x- · · ·

de talos sao exatas para todo x ∈ X .

Lema 1.1.19 (Funtor secoes globais) Seja X um espaco topologico. O funtor “secoes globais”

Sh(X) 7→ Ab

F 7→ Γ(X,F)

e exato a esquerda.

Prova Considere uma sequencia exata curta de feixes de grupos abelianos sobre X :

0 - F φ- G ψ- H - 0

Devemos mostrar que a seguinte sequencia de grupos abelianos e exata:

0 - Γ(X,F) φX- Γ(X,G) ψX- Γ(X,H)

Ja vimos que se kerφx = 0 para todo x entao kerφ = 0 e em particular kerφX = 0. Agora sejag ∈ kerψX . Por hipotese, para cada x ∈ X , existe um unico elemento fx ∈ Fx tal que φx(fx) = gx, logoexiste uma vizinhanca aberta Ux de x e um elemento f ∈ Γ(Ux,F) tal que φUx

(f) = g|Ux. Considere o

conjunto(U, f) | U ⊂ X e um conjunto aberto e f ∈ Γ(U,F) e tal que φU (f) = g|U

ordenado da maneira usual: (U, f) (U ′, f ′) ⇐⇒ U ⊂ U ′ e f ′|U = f . E facil verificar que toda cadeiae limitada superiormente, logo pelo lema de Zorn existe um elemento maximal (U, f) neste conjunto.Afirmamos que U = X e que portanto φX(f) = g. De fato, caso U 6= X , para x ∈ X \ U haveria umavizinhaca aberta V de x e um elemento h ∈ Γ(V,F) tal que φV (h) = g|V . Pelo que ja provamos, φU∩Ve injetor, logo

φU∩V (f |U∩V ) = g|U∩V = φU∩V (h|U∩V )⇒ f |U∩V = h|U∩V

e pelo axioma de cola, existe um elemento t ∈ Γ(U ∪ V,F) tal que t|U = f e t|V = h, o que implica

φU∪V (t)|U = g|UφU∪V (t)|V = g|VφU∪V (t)|U∩V = g|U∩V

⇒ φU∪V (t) = g|U∪V

novamente pelo axioma de cola (desta vez em G). Mas entao (U ∪ V, t) seria um elemento estritamentemaior do que o elemento maximal (U, f), o que e uma contradicao.

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feixe! injetivoespaco localmenimagem diretamorfismo de espa¸

Exemplo 1.1.20 (A sequencia exponencial) Seja X = C e H o feixe de funcoes holomorfas em X .A sequencia

0 - Z2πi- H exp- H× - 0

e uma sequencia exata de grupos abelianos. De fato, a sequencia de talos em P ∈ X

0 - ZP2πi- HP

expP- H×

P- 0

‖ ‖ ‖Z Cz − P Cz − P×

e exata: para mostrar que exp e sobrejetor, tome h ∈ H×

P ; uma pre-imagem de h e log h, onde logrepresenta qualquer ramo da funcao logaritmo que esteja definido em h(P ) 6= 0.

Por outro lado, sabe-se que a funcao logaritmo nao pode ser definida “globalmente” e, de fato, tomandoU = C \ 0 temos que expU :H(U) → H×(U) nao e sobrejetora, ja que f(z) = z nao pertence a suaimagem: se g(z) ∈ H(U) e tal que eg(z) = z para todo z ∈ U entao eg(z) · g′(z) = 1 ⇐⇒ g′(z) = 1/z, oque leva a contradicao

0 =

∫

|z|=1

g′(z) dz =

∫

|z|=1

dz

z= 2πi

Observacao 1.1.21 Um feixe I e injetivo se o funtor HomSh(−, I) e exato. Pode-se demonstrar acategoria de feixes abelianos possui injetivos “em abundancia”, i.e., que para todo feixe F existe umfeixe injetivo I e uma injecao F → I. Assim, podemos definir os funtores derivados a direita RiΓ dofuntor secao global Γ(X,−), denotados simplesmente por Hi(X,−). No exemplo anterior, demonstra-seque H1(U,Z) = Z e H1(U,H) = 0, de modo que temos uma sequencia exata longa

0 - Z2πi- H(U)

exp- H×(U)h 7→ 1

2πi

∫|z|=1

h′

hdz- H1(U,Z) = Z - H1(U,H) = 0

Note que H1(U,Z) = Z concorda com o grupo de cohomologia singular usual H1sing(U,Z) (observe que

U e homotopico ao cırculo S1). Mais geralmente, demonstra-se que Hi(X,Z) = Hising(X,Z) para todo

X paracompacto.

1.2 Espacos Localmente Anulares

Definicao 1.2.1 Um espaco localmente anular e um par (X,OX) formado por um espaco topologicoX e um feixe de aneis OX em X e tal que os talos OX,x sao aneis locais para todo x ∈ X .

Definicao 1.2.2 Seja φ:X → Y uma funcao contınua entre dois espacos topologicos e seja F um feixede grupos abelianos sobre X . A imagem direta φ∗F de F e o feixe em Y dado em um aberto V ⊂ Ypor

(φ∗F)(V ) = F(φ−1(V ))

sendo os mapas de restricao os de F .Definicao 1.2.3 Um morfismo de espaco localmente anulares (φ, φ#): (X,OX) → (Y,OY ) e umpar formado por uma funcao contınua φ:X → Y e por um morfismo φ#:OY → φ∗OX de feixes em Ytal que, para todo ponto x ∈ X , o morfismo induzido de talos

φ#P :OY,φ(x) → OX,x[(V, f)] 7→ [(φ−1(V ), φ#V (f))]

e um morfismo local (relembrando: isto significa que a imagem do ideal maximal de OY,φ(x) esta contidono ideal maximal de OX,x).

Morfismos de espacos localmente anulares podem ser compostos: dados

(f, f#): (X,OX)→ (Y,OY ) e (g, g#): (Y,OY )→ (Z,OZ)sua composicao e dada por

(g f, (g∗f#) g#): (X,OX)→ (Z,OZ),onde (g∗f#) g# e a composicao de mapas de feixes em Z

OZg#- g∗OY

g∗f#

- g∗f∗OX = (g f)∗OXA categoria de espacos localmente antulares sera denotada por LRS.

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144 Esquemas

Exemplo 1.2.4 (Variedades Diferenciaveis) Seja X uma variedade diferenciavel e seja OX o feixede funcoes reais diferenciaveis sobre X : para um aberto U ⊂ X ,

OX(U)def= f :U → R | f e diferenciavel

Temos que o par (X,OX) e um espaco localmente anular.

Exemplo 1.2.5 (Subespacos Abertos) Seja (X,OX) um espaco locamente anular e seja U ⊂ X umconjunto aberto. Entao (U,OX |U ) tambem e um espaco localmente anular; aqui OX |U denota a restricaodo feixe OX aos subconjuntos abertos de U . Temos ainda um morfismo de espacos localmente anulares(uma “imersao aberta”)

(j, j#): (U,OX |U ) → (X,OX)

onde j:U → X e o mapa de inclusao e j#:OX → j∗OX |U e induzido pelos mapas de restricao do feixe:se V ⊂ X e um aberto,

j#V :OX(V )→ Γ(V, j∗OX |U ) = OX(U ∩ V )

f 7→ f |U∩V

Agora, dado um morfismo qualquer (f, f#): (X,OX) → (Y,OY ) de LRS e um aberto U ⊂ X , podemosdefinir a restricao (f, f#)|U de (f, f#) a U como a composicao

(f, f#)|U = (f, f#) (j, j#)

onde (j, j#): (U,OX |U ) → (X,OX) e o morfismo de inclusao de U definido acima.

Lema 1.2.6 (Colando LRS) Seja (Xi,OXi)i∈I uma colecao de espacos localmente anulares. Supo-

nha que para cada par (i, j) ∈ I × I sao dados abertos Uij ⊂ Xi e isomorfismos

(φij , φ#ij): (Uij ,OXi

|Uij)

∼- (Uji,OXj|Uji

)

tais que φij(Uij ∩ Uik) = Uji ∩ Ujk de modo que as seguintes condicoes de cociclo sao satisfeitas:

1. (φii, φ#ii ) = id e (φij , φ

#ij) = (φji, φ

#ji)

−1;

2. (φik, φ#ik) = (φjk, φ

#jk) (φij , φ

#ij) em Uij ∩ Uik (tome as restricoes como no exemplo anterior).

Entao existe um espaco localmente anular (X,OX) juntamente com morfismos de espacos localmente

anulares (ψi, ψ#i ): (Xi,OXi

) → (X,OX) (“imersoes abertas”) tais que X =⋃i∈I ψi(Xi), ψi(Uij) =

ψi(Xi) ∩ ψj(Xj) e (ψi, ψ#i ) = (ψj , ψ

#j ) (φij , φ#ij) em Uij. O espaco localmente anular (X,OX) e

unicamente determinado a menos de isomorfismo por estas condicoes.

Prova Considere a seguinte relacao ∼ na uniao disjunta⊔iXi:

xi ∼ xjxi ∈ Xi

xj ∈ Xj

⇐⇒

xi ∈ Uij ,xj ∈ Uji eφij(xi) = xj

As condicoes de cociclo asseguram que esta relacao e de equivalencia. Defina X =⊔iXi/ ∼ com a

topologia quociente e sejam ψi:Xi → X os mapas quociente. Vamos agora construir um feixe em X :para U ⊂ X aberto, uma secao de OX(U) e uma tupla de secoes de ψi∗OXi

(U) “concordando nasinterseccoes”:

OX(U)def=(si) ∈

∏

i∈Iψi∗OXi

(U)∣∣∣ si|Uij∩ψ−1

i(U) = φ#

ij Uji∩ψ−1j

(U)(sj |Uji∩ψ−1

j(U)) ∀i, j ∈ I

Os mapas de restricao sao induzidos pelos mapas de restricao dos feixes ψi∗OXi. Temos ainda um mapa

ψ#i :OX → ψi∗OXi

de feixes em X dado pela projecao na i-esima coordenada. Com estas definicoes, umaverificacao rotineira mostra que (X,OX) e um espaco localmente anular e que todas as demais condicoesdo lema sao satisfeitas.

Temos o seguinte “lema companheiro”, cuja prova fica como exercıcio para o leitor:

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Lema 1.2.7 (Colando morfismos de LRS) Sejam (X,OX) e (Y,OY ) dois espacos localmente an-ulares. Seja

⋃i Ui = X uma cobertura aberta de X e suponha que sao dados morfismos de espacos

localmente anulares (fi, f#i ): (Ui,OX |Ui

)→ (Y,OY ) concordando nas interseccoes, i.e., (fi, f#i )|Ui∩Uj

=

(fj , f#j )|Ui∩Uj

para todo i, j. Entao podemos “colar” estes morfismos em um morfismo de espacos local-

mente anulares (f, f#): (X,OX)→ (Y,OY ) de modo que (fi, f#i ) = (f, f#)|Ui

.

Definicao 1.2.8 Seja (X,OX) um espaco localmente anular. Um OX-modulo e um feixeM de gruposabelianos em X tal que, para todo aberto U ,M(U) e um OX(U)-modulo e tal que os mapas de restricaosao compatıveis com as estruturas de modulo structures: para toda inclusao U ⊃ V de abertos,

(a ·m)|V = a|V ·m|V para todo a ∈ OX(U) e m ∈ M(U)

Ou seja, temos um diagrama comutativo

OX(U) × M(U) - M(U)

OX(V )

res

?× M(V )

res

?- M(V )

res

?

Um morfismo de OX-modulos M → N e um morfismo de feixes de grupos abelianos tal que paracada aberto U o mapaM(U)→ N (U) e um morfismo de OX(U)-modulos.

Analogamente definimos uma OX-algebra como sendo um feixe A em X tal que A(U) e uma OX(U)-algebra para cada aberto U , com mapas de restricao compatıveis com as estruturas de algebras.

2 Esquemas

O esquema afim associado a um anel comutativo A consiste de duas partes: o espaco topologico Spec(A),juntamente com um feixe de aneis OA, cujas secoes sao as “funcoes” do esquema. Assim como umavariedade diferenciavel e obtida “colando-se” bolas abertas do Rn, um esquema geral sera obtido como“colagem” de esquemas afins.

2.1 Esquemas Afins

Para qualquer anel A, vamos construir um feixe OA de aneis sobre SpecA (munido da topologia deZariski) de forma que OA(D(h)) = Ah para todo h ∈ A. Vejamos inicialmente o caso em que A e umdomınio com corpo de fracoes K = FracA. A ideia e interpretar um elemento f ∈ A como uma “funcao”sobre SpecA que “se anula” exatamente nos primos p tais que p ∋ f . O anel OA(U) ⊂ K por sua vezdeve ser visto como o anel das “funcoes racionais” que estao “definidas” em todo o aberto U ; aqui umelemento f ∈ K esta “definido” no primo p se podemos escrever f = a/s com a ∈ A e s ∈ A \ p (istoe, o denominador de f “nao se anula” em p). Assim, para um conjunto aberto nao vazio U ⊂ SpecA enatural definirmos

OA(U)def=⋂

p∈UAp ⊂ K

Se U ⊃ V entaoOA(U) ⊂ OA(V ) e definimos resUV :OA(U) → OA(V ) como sendo o mapa de inclusao. Efacil ver que com estas definicoes OA e de fato de aneis sobre SpecA. Vamos verificar que OA(D(h)) = Ahpara todo h ∈ A. Como ha uma bijecao

D(h)∼- SpecAh

p 7→ ph

e, alem disso, (Ah)ph= Ap, temos que

OAh(SpecAh) = OA(D(h))

Logo e suficiente considerar o caso h = 1, ou seja, devemos mostrar que⋂

pAp = A, o que segue do

princıpio local-global (teorema III.1.8). O anel OA(D(h)) = Ah ⊂ K deve ser pensado como o “domıniode definicao” da “funcao” 1/h. Note que o talo de OA em p ∈ SpecA e dado por

OA,p = lim−→U∋p

OA(U) = lim−→D(h)∋p

OA(D(h)) = lim−→h/∈p

Ah = Ap

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146 Esquemas

feixe estruturalja que os conjuntos D(h) formam uma base da topologia de Zariski.

Para um anel geral A, nao podemos ver as localizacoes Ap como subaneis do corpo de fracoes (quenao existe em geral). Entretanto, o mapa natural

A →∏

p∈SpecA

Ap

ainda e injetivo pelo princıpio local-global, assim e natural tentar definir OA(U) como um subanel doproduto

∏p∈SpecAAp imitando a construcao do funtor feixificacao (ver teorema 1.1.14).

Para um aberto nao vazio U ⊂ SpecA defina

OA(U)def=

(sp)p∈U ∈

∏

p∈UAp

∣∣∣∣∣existe uma cobertura aberta U =

⋃iD(hi) de U por abertos

basicos (com hi ∈ A) e elementos ai/hni

i ∈ Ahi, ai ∈ A, de

modo que sq = ai/hni

i ∈ Aq para todo q ∈ D(hi)

Os mapas de restricao sao definidos como no teorema 1.1.14. E facil ver que OA e de fato um feixe deaneis sobre SpecA, o chamado feixe estrutural de A.

Esta definicao pode parecer complicada de inıcio mas, basicamente, pelo axioma de cola, paraconhecer OA basta saber seus valores nos “abertos basicos” D(h) juntamente com o fato que os mapasde restricao nada mais sao do que os mapas de localizacao:

Teorema 2.1.1 (Dissecando o feixe estrutural OA) Seja A um anel e OA seu feixe estrutural.Para g ∈ A, denote por φg:Ag → OA

(D(g)

)o mapa natural que leva a/gn, a ∈ A, na “tupla constante”

(sp) dada por sp = a/gn ∈ Ap para todo p ∈ D(g). Entao φg e um isomorfismo para todo g ∈ A e temosum diagrama comutativo

Agφg

≈- OA

(D(g)

)

Agh

ρ

? φgh

≈- OA

(D(gh)

)

res

?

para todo g, h ∈ A, onde ρ:Ag → Agh e o mapa natural de localizacao. Em particular, OA(SpecA

) ∼= Ae o talo de OA em p ∈ SpecA e dado por

OA,p = lim−→D(g)∋p

OA(D(g)

)= lim−→

g/∈p

Ag = Ap

Prova Como no caso de domınios, temos um isomorfismo OA(D(g)

)= OAg

(D(g)

)e portanto substi-

tuindo A por Ag e suficiente mostrar que φ1:A → OA(SpecA) e um isomorfismo. O princıpio local-global (teorema III.1.8) mostra que este mapa e injetor. Para mostrar a sobrejetividade, observamosinicialmente que dar uma secao de OA(SpecA) e o mesmo que dar uma cobertura aberta basica finita⋃

1≤i≤nD(hi) = SpecA e uma famılia de “elementos compatıveis nas interseccoes” ai/hi ∈ Ahi, ou seja,

tais que ai/hi = aj/hj em Ahihjpara todo i, j. De fato, como SpecA e quase-compacto (lemma II.4.3)

e D(hni

i ) = D(hi), na definicao de uma secao de OA(SpecA) podemos assumir que a cobertura basica efinita e que ni = 1 para todo i. Alem disso, da ja demonstrada injetividade de φhihj

, se ai/hi = aj/hjem Ap para todos os primos p ∈ D(hi) ∩D(hj) = D(hihj) entao ai/hi = aj/hj em Ahihj

tambem.

Agora seja⋃

1≤i≤nD(hi) = SpecA uma cobertura finita e ai/hi ∈ Ahiuma famılia de elementos

compatıveis como acima. Nossa missao e encontrar a ∈ A tal que a/1 = ai/hi em Ahipara todo i. Como

ai/hi = aj/hj em Ahihj, existe N tal que, em A,

(hihj)N (aihj − ajhi) = 0 ⇐⇒ aih

Ni h

N+1j = ajh

N+1i hNj (∗)

Como a cobertura e finita, tomando N grande o suficiente podemos assumir que esta igualdade e validapara todos os pares i, j. Alem disso, temos (ver a demonstracao de lemma II.4.3)

⋃

1≤j≤nD(hN+1

j ) =⋃

1≤j≤nD(hj) = SpecA⇒

∑

1≤j≤nhN+1j · tj = 1 (∗∗)

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esquema afimpara certos tj ∈ A, o que fornece uma “particao algebrica da unidade”. Portanto a =∑

1≤j≤n(ahN+1j )·tj

para qualquer a ∈ A; como estamos procurando a ∈ A tal que a/1 = aj/hj = ajhNj /h

N+1j em Ahj

paratodo j, um bom candidato e

adef=

∑

1≤j≤najh

Nj tj

Mostremos que isto funciona. Para um i fixado, temos por (∗) e (∗∗)

ahN+1i =

∑

1≤j≤najh

N+1i hNj tj =

∑

1≤j≤naih

Ni h

N+1j tj = aih

Ni

∑

1≤j≤nhN+1j tj = aih

Ni

⇒ hNi (ahi − ai) = 0⇒ a

1=aihi

em Ahi

como desejado. As demais afirmacoes do teorema sao simples consequencias do que provamos.

Observacao 2.1.2 Se A e um domınio, as duas construcoes de OA dao origem a feixes isomorfos.Seja η = (0) o “ponto generico” de SpecA temos OA,η = Aη = K onde K = FracA. Como η e umponto denso, ele pertence a todos os abertos nao vazios U de SpecA e portanto temos um mapa naturalOA(U) → OA,η que, para U = D(h), nada mais e do que a inclusao Ah → K. Como os D(h) formamuma base da topologia de Zariski, temos que o axioma de cola implica que OA(U) → OA,η = K e injetorpara qualquer aberto U 6= ∅. E da segunda construcao de OA(U) temos que f ∈ K pertence a imagemde OA(U) → K se, e so se, para cada p ∈ U podemos escrever f = a/h com a, h ∈ A e h /∈ p; em outraspalavras, a imagem de OA(U) → K e

⋂p∈U Ap. Identificando os aneis OA(U) com suas imagens em K,

concluımos que a nova construcao de OA coincide com a anterior.

Exemplo 2.1.3 Vejamos um exemplo concreto da filosofia “diga-me seus valores nos abertos basicos ete direi quem tu es”. Seja X = SpecC[x, y] e seja U = X \ (x, y) (o complemento da “origem” do“plano” X). Para determinar OC[x,y](U), observe inicialmente que U = D(x)∪D(y) de modo que temosuma sequencia exata

OC[x,y](U) → OC[x,y](D(x)) ⊕OC[x,y](D(y)) OC[x,y](D(x) ∩D(y))‖ ‖

C[x, y]x ⊕ C[x, y]y C[x, y]xy

Como C[x, y] e um domınio, os mapas de restricao/localizacaoC[x, y]x → C[x, y]xy e C[x, y]y → C[x, y]xynada mais sao que os mapas de inclusao e assim

OC[x,y](U) =(f, g) ∈ C[x, y, 1x ]× C[x, y, 1y ]

∣∣∣ f = g em C[x, y, 1xy ]

=(f, f) ∈ C[x, y, 1x ]× C[x, y, 1y ]

∣∣∣ f ∈ C[x, y]

= C[x, y]

Agora podemos associar um objeto geometrico a todo anel.

Definicao 2.1.4 O esquema afim associado ao anel A e o espaco localmente anular (SpecA,OA). Porabuso de linguagem, muitas vezes nos referimos ao proprio SpecA como o esquema afim associado a A,deixando o feixe OA subentendido.

Vamos agora mostrar como associar a cada morfismo of aneis φ:A → B um morfismo de espacoslocalmente anulares

(f, f#): (SpecB,OB)→ (SpecA,OA)

Definimos f = Spec(φ), que e um mapa contınuo (lemma II.4.3). Para definir f#:OA → f∗OB , observeinicialmente que, para todo q ∈ SpecB, φ induz um morfismo local

φq:Aφ−1(q) = Af(q) → Bq

a

s7→ φ(a)

φ(s)

(a ∈ A, s ∈ A \ φ−1(q))

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148 Esquemas

Agora, para um aberto U ⊂ SpecA, definimos

f#U :OA(U)→ f∗OB(U) = OB(f−1U)

(sp)p∈U 7→ (tq)q∈f−1U

ondetq = φq(sf(q)) ∈ Bq

Vejamos que este mapa esta bem definido, ou seja, que a tupla (tq)q∈f−1U mora de fato em OB(f−1U).

Primeiramente, observe que, em termos basicos, f# nada mais e do que a localizacao de φ: para h ∈ A,temos um diagrama comutativo

OA(D(h)

) f#D(h)- OB

(f−1(D(h))

)== OB

(D(φ(h))

)

Ah

≈6

φh - Bφ(h)

≈6

De fato, dado a/hn ∈ Ah (a ∈ A), o elemento correspondente em OA(D(h)

)e a tupla constante

(sp)p∈D(h) com sp = a/hn ∈ Ap para todo p ∈ D(h). Esta tupla e mapeada na tupla constante(tq)q∈D(φ(h)) onde tq = φ(a)/φ(h)n para todo q ∈ D(φ(h)). Mas este elemento e justamente a imagem

de φh(a/hn)

def= φ(a)/φ(h)n ∈ Bφ(h), o que comprova a comutatividade do diagrama.

Para um aberto U ⊂ SpecA arbitrario, temos que um elemento de OA(U) pode ser representadopor uma famılia de elementos compatıveis ai/h

ni

i ∈ Ahionde

⋃iD(hi) = U e uma cobertura de abertos

basicos. Como acima, verifica-se que a imagem deste elemento por f#U pode ser representado pela

famılia compatıvel de elementos φ(ai)/φ(hi)ni ∈ Bφ(hi) correspondentes a cobertura

⋃iD(φ(hi)) =⋃

i f−1(D(hi)) = f−1U de f−1U , o que mostra que f#

U esta de fato bem definido.

Para mostrar que (f, f#) e um morfismo de espacos localmente anulares, precisamos verificar que osmorfimos induzidos nos talos sao locais. Mas, das definicoes, temos para todo q ∈ SpecB um diagramacomutativo

OA,f(q)f#q - OB,q

Af(q)

≈6

φq - Bq

≈6

com flechas verticais que sao isomorfismos. Como φq e local, temos que f#q tambem e local.

Assim, temos um funtor Rings → LRS que associa a um anel A o esquema afim (SpecA,OA) ea um morfismo de aneis φ:A → B o morfismo de espacos localmente anulares (f, f#): (SpecB,OB) →(SpecA,OA) como construıdo acima. O proximo teorema mostra que este funtor “geometrizacao” efielmente pleno, ou seja, podemos ver a categoria de aneis como uma subcategoria plena da categoriados espacos localmente anulares.

Teorema 2.1.5 (Aneis como uma subcategoria plena de LRS) O funtor Rings → LRS con-struıdo acima e plenamente fiel: existe uma bijecao natural

HomRings(A,B) = HomLRS

((SpecB,OB), (SpecA,OA)

)

Prova Dado um morfismo (f, f#): (SpecB,OB) → (SpecA,OA) em LRS podemos utilizar os isomor-

fismos A = OA(SpecA) e B = OB(SpecB) para definir um morfismo de aneis f#SpecA:A → B. Vamos

agora mostrar que a associacao (f, f#) 7→ f#SpecA e inversa da associacao φ 7→ (f, f#) dada pelo funtor

Rings → LRS.

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Claramente temos que comecando com φ:A→ B e aplicando as duas operacoes acima em sequencia

obtemos o morfismo original φ de volta. Por outro lado, comecando com (f, f#), defina φdef= f#

SpecA.

Seja (g, g#) o morfismo em LRS associado a φ. Vamos mostrar que (f, f#) = (g, g#).

Seja q ∈ SpecB e pdef= f(q) ∈ SpecA. Como f# e um mapa of feixes, obtemos um diagrama

comutativo

A ====== OA(SpecA)φ = f#

SpecA- OB(SpecB) ===== B

Ap

loc

?======== OA,p

res

? f#q - OB,q

res

?======== Bq

loc

?

onde as flechas verticais sao os mapas naturais de restricao/localizacao. Como f#q e local por hipotese,

temos (f#q )−1(qBq) = pAp e assim a pre-imagem de qBq ⊂ Bq em A e p. Por outro lado (literalmente!),

temos que esta pre-imagem e (f#SpecA)

−1(q) = φ−1(q), assim φ−1(q) = f(q) e portanto f = g = Spec(φ).

Temos agora que f# e g# sao dois mapas entre os feixes OA e f∗OB = g∗OB em SpecA. Assim,para mostrar que f# = g# basta mostrar que estes dois mapas concordam nos abertos basicos D(h),h ∈ A. Temos o diagrama comutativo

A ====== OA(SpecA)φ = f#

SpecA- OB(SpecB) ====== B

Ah

loc

?====== OA(D(h))

res

? f#D(h) - OB(D(φ(h)))

res

?==== Bφ(h)

loc

?

de modo que f#D(h):OA(D(h)) → OB(D(φ(h))) pode ser identificado com a localizacao φh:Ah → Bφ(h)

de φ. O mesmo vale para g#D(h):OA(D(h))→ OB(D(φ(h))), de modo que f#D(h) = g#D(h), como desejado.

Exemplo 2.1.6 Sejam k e l dois corpos. Temos que ambos os espacos topologicos Spec k e Spec lconsistem apenas de um ponto. Porem, pelo teorema,

HomLRS((Spec l,Ol); (Spec k,Ok)) = HomRings(k, l)

de modo que nao ha morfismos entre os dois esquemas afins a nao ser que k seja isomorfo a um subcorpode l e, neste caso, ha tantos morfismos quanto imersoes de k em l! Isto ilustra uma caracterıstica muitoimportante de esquemas: morfismos requerem certa compatibilidade das “funcoes” dos dois espacos.

Exemplo 2.1.7 (“Retas obesas”) Considere os esquemas afins

X = SpecQ[x, y]/(x2) e Y = SpecQ[x, y]/(x)

(aqui comecamos a utilizar o abuso de linguagem e omitir os feixes na notacao). Note que embora os doisespacos topologicos sejam homeomorfos, estes dois esquemas nao sao isomorfos como espacos localmenteanulares: OX contem elementos nilpotentes enquanto que OY nao. Geometricamente, imaginamos Ycomo a “reta” x = 0 enquanto que X deve ser pensado como uma “reta gorda” obtida a partir doplano fazendo-se “quase” x = 0 (mas so x2 e realmente 0 em X) e que tem um “tecido adiposo extra”ou “material infinitesimal” espalhando-se na direcao normal a Y . Observe que temos um morfismo de“inclusao” f :Y → X da reta magra na gorda correspondente ao morfismo de Q-algebras Q[x, y]/(x2) ։Q[x, y]/(x), que leva a “funcao nilpotente” nao nula x ∈ OX(X) na funcao zero em OY (Y ) (ou seja,x ∈ OX(X) se restringe a 0 em Y ).

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150 Esquemas

esquemamorfismo de esquemas

O ultimo examplo ilustra uma das caracterısticas unicas de esquemas dentre os diversos objetosgeometricos encontrados em Matematica: a presenca de “funcoes nilpotentes”. Esta e a razao pela qualem um morfismo de esquemas o mapa entre feixes nao e automaticamente determinado pelo mapa deespacos topologicos e precisa ser dado explicitamente, ao contrario do caso de variedades diferenciaveis,por exemplo.

Terminamos esta secao com alguns comentarios sobre modulos. Seja A um anel e M um A-modulo.

Imitando a construcao de OA, podemos associar a M um OA-modulo M definido da seguinte forma:

M(U)def=

(mp)p∈U ∈

∏

p∈UMp


⋃iD(hi) de U por abertos

basicos (com hi ∈ A) e elementos mi/hni

i ∈ Mhi, mi ∈ M , de

modo que mq = mi/hni

i ∈Mq para todo q ∈ D(hi)

Mutatis mutandis, as mesmas provas se aplicam para mostrar que para todo h ∈ A e p ∈ SpecA haisomorfismos naturais

M(D(g)) ∼=Mg e (M)p ∼=Mp

e os mapas de restricao sao dados por localizacao. Da mesma forma, um morfismo M → N de A-

modulos induz um morfismo de OA-modulos M → N que, para um aberto basico D(h), se resuma aomapa localizado Mg → Ng. Assim, temos um funtor da categoria de A-modulos para a de OA-modulose como acima temos uma bijecao natural

HomA-Mod(M,N) = HomOA-Mod(M, N)

Os mesmos comentarios tambem se aplicam para OA-algebras.

Exemplo 2.1.8 Seja a um ideal de um anel A. Seja i: SpecA/a → SpecA o morfismo de LRS associadoao morfismo natural A։ A/a. Da sequencia exata de A-modulos

0 - a - A - A/a - 0

obtemos uma sequencia de OA-modulos

0 - a - OA - i∗OA/a - 0

Aqui vemos (A/a) = OA/a como uma OA-algebra via o morfismo i#:OA → i∗OA/a. Esta e umasequencia exata de feixes pois temos uma sequencia exata de talos

0 - ap - OA,p - (i∗OA/a)p - 0‖ ‖ ‖

0 - ap - Ap- (A/a)p - 0

para todo p ∈ SpecA.

2.2 Esquemas em geral

Apos a introducao de todo este formalismo, estamos finalmente prontos para dar a definicao geral deesquemas como objetos geometricos obtidos a partir da “colagem de aneis”:

Definicao 2.2.1 Um esquema e um espaco localmente anular (X,OX) para o qual existe uma cober-tura aberta X =

⋃α Uα de X com cada (Uα,OX |Uα

) isomorfo na categoria LRS a um esquema afim(SpecAα,OAα

). Um morfismo de esquemas e somente um morfismo em LRS. Assim, a categoria deesquemas Sch e uma subcategoria plena de LRS. Por abuso de linguagem, vamos nos referir ao esquema(X,OX) simplesmente por X e ao morfismo de esquemas (f, f#): (X,OX)→ (Y,OY ) simplesmente porf :X → Y ; em particular, escreveremos Spec(φ): SpecB → SpecA para o morfismo de esquemas afinsassociado ao morfismo de aneis φ:A→ B.

O conceito correspondente ao de uma A-algebra e um S-esquema:

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Definicao 2.2.2 Seja S be a esquema. Um S-esquema ou esquema sobre S e um morfismo deesquemas p:X → S. Por abuso de linguagem, vamos nos referir a X como o S-esquema se p e claropelo contexto. Um morfismo de S-esquemas entre p:X → S e q:Y → S e um morfismo de esquemasf :X → Y tal que o diagrama

Xf - Y

S

p

?

q

comuta. A categoria de S-esquemas e denotada por Sch/S. Note que como todo anel e uma Z-algebra,todo esquema e um Z-esquema.

Como primeiro exemplo, seja X = SpecA um esquema afim e seja U ⊂ X um conjunto abertoqualquer. O espaco localmente anular (U,OA|U ) e um esquema (em geral, nao afim): isto segue doseguinte lema e do fato que os abertos principais D(h) formarem uma base para a topologia de Zariski.

Lema 2.2.3 (Subesquema Aberto Principal) Seja A um anel e h ∈ A. Temos um isomorfismo deesquemas

(SpecAh,OAh) ∼= (D(h),OA|D(h))

induzido pelo mapa de localizacao ρ:A→ Ah.

Prova Denote por (f, f#): (SpecAh,OAh)→ (SpecA,OA) o morfismo de espacos localmente anulares

correspondente ao morfismo de localizacao ρ:A → Ah. Temos que f induz um homeomorfismo entreSpecAh e D(h) ⊂ SpecA. Portanto restringido f e f#:OA → f∗OAh

a D(h) obtemos um morfismo deespacos localmente anulares (SpecAh,OAh

)→ (D(h),OA|D(h)). Falta apenas mostrar que o morfismo de

feixes e um isomorfismo e para isto basta olharmos para os talos: se p ∈ D(h) o mapa f#p : (OA|D(h))p →

(f∗OAh)p e um isomorfismo pois Ap

∼= (Ah)ph.

Corolario 2.2.4 Os abertos afins U de um esquema (X,OX) (i.e. abertos para os quais (U,OX |U ) ∼=(SpecA,OA) para algum anel A) formam uma base de abertos para X.

Note que, como consequencia do corolario (ou do lema), temos mais geralmente que para todoesquema (X,OX) e todo aberto U ⊂ X o espaco localmente anular (U,OX |U ) tambem e um esquema, osubesquema aberto determinado por U .

Observacao 2.2.5 Se (X,OX) e um esquema e Y ⊂ X e um subconjunto fechado, devido a possi-bilidade de existencia de “funcoes nilpotentes”, existem em geral diversas maneiras de vermos Y como“subesquema fechado” de X , ou seja, existem diversos feixes OY “compatıveis” com OX . Por exemplo,se X = SpecC[t], temos que Y1 = SpecC[t]/(t) e Y2 = SpecC[t]/(t2) sao dois esquemas nao isomorfoscom o mesmo espaco topologico subjacente (t) ⊂ X .

Exemplo 2.2.6 (Reta Projetiva) Podemos utilizar a tecnica de colagem de espacos localmente an-ulares para construir esquemas. Para exemplifica-la, vamos construir a versao esquematica da retaprojetiva sobre um anel A. Considere os esquemas afins

X0 = SpecA[x] X1 = SpecA[y]∪ ∪

U0 = D(x) U1 = D(y)

Seja φ:U0∼- U1 o isomorfismo de A-esquemas dado pelo isomorfismo de A-algebras

A[y]y∼- A[x]x

y 7→ 1/x

O A-esquema obtido colando-se X0 e X1 ao longo de φ e chamado reta projetiva sobre A, denotadopor P1

A.

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152 Esquemas

Por exemplo, se A = C o isomorfismo φ identifica os “pontos genericos” (0) de X0 = SpecC[x] eX1 = SpecC[y]; alem disso, o ponto fechado (x− a) ∈ X0, a ∈ C \ 0, e identificado com ponto fechado(y − 1/a) ∈ X1. Portanto P1

C possui um unico ponto generico e seus pontos fechados sao os mesmos deX0 acrescido e um ponto extra “no infinito”, que corresponde ao ideal maximal (y) ∈ X1. Assim comono caso “classico” (i.e., visto em classe) da reta projetiva complexa ou esfera de Riemann, que consisteem uma copia de C acrescida de um “ponto no infinito”.

No caso classico, como a esfera de Riemann e compacta, pelo teorema de Liouville nao ha funcoesholomorfas globalmente definidas alem das constantes. Vejamos que o mesmo ocorre em “nossa” retaprojetiva. Por construcao, temos que

Γ(P1C,OP1

C

) = (s0, s1) ∈ Γ(X0,OX0)× Γ(X1,OX1) | φ#U1(s1|U1) = s0|U0

= (s0(x), s1(y)) ∈ C[x]× C[y] | s1(1/x) = s0(x) em C[x]x= (a, a) ∈ C[x]× C[y] | a ∈ C= C

Em particular, como P1C 6= Spec Γ(P1

C,OP1C

) (P1C possui infinitos pontos enquanto SpecC so possui um),

temos que P1C nao e afim.

Observacao 2.2.7 O espaco projetivo n-dimensional PnA sobre A pode ser definido de maneira analoga:seja

X(i) = SpecA[x(i)0 , . . . , x(i)n ] com a entrada x

(i)i omitida

e U(i)j = D(x

(i)j ) ⊂ X(i) para i, j = 0, 1, . . . , n. Definimos isomorfismos φij :U

(i)j → U

(j)i de A-esquemas

correspondentes aos isomorfismos de A-algebras

A[x(j)0 , . . . , x(j)n ]

x(j)i

→ A[x(i)0 , . . . , x(i)n ]

x(i)j

x(j)k 7→

x(i)k

x(i)j

O espaco projetivo PnA e definido pela colagem associada ao pacote acima. Na proxima secao, veremosuma maneira mais pratica de definir PnA, em que tudo ja vem “colado de fabrica”.

Lema 2.2.8 (Fatoracao Aberta) Seja f :X → Y um morfismo de esquemas. Suponha que a imagemde f esteja contida em um aberto V ⊂ Y . Entao f se fatora unicamente como uma composicao

Xg- V ⊂

j- Y

onde j:V → Y denota o morfismo de inclusao.

Prova Temos que o mapa de espacos topologicos g:X → V e unicamente obtido restringindo-se f a V .Por outro lado, o mapa de feixes f#:OY → f∗OX em Y se restringe a um mapa de feixes g#:OV → g∗OXem V e e claro que f# = (j∗g#) j#.

Teorema 2.2.9 (Morfismos para um esquema afim) Sejam X um esquema e A um anel. Temosuma bijecao natural

HomSch(X, SpecA) = HomRings(A,OX(X))

(f, f#) 7→ f#SpecA

Prova Seja X =⋃α Uα uma cobertura afim de X . Dado φ:A → OX(X), construımos um morfismo

f :X → SpecA da seguinte maneira: seja φα = resXUαφ:A → OX(Uα) e seja fα:Uα → SpecA o

morfismo correspondente de esquemas afins. Vamos mostrar que os fα’s concordam nas interseccoes eassim podem ser colados.

Seja⋃γ Vγ = Uα ∩ Uβ uma cobertura afim de Uα ∩ Uβ. Temos dois morfismos entre os esquemas

afins Vγ e SpecA: fα|Vγe fβ|Vγ

. Porem ambos correspondem ao mesmo morfismo de aneis resXVγφ.

Portanto fα|Vγ= fβ |Vγ

para todo k e assim fα|Uα∩Uβ= fβ|Uα∩Uβ

, como desejado.

Reciprocamente, dado f :X → Spec(A), definindo φ = f#SpecA e repetindo a construcao acima,

obtemos um morfismo f ′:X → Spec(A) tal que f ′|Uα= f |Uα

para todo α, portanto f ′ = f .

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153

2.3 Esquemas Projetivos

Aneis graduados sao uma grande fonte de esquemas, os chamados esquemas projetivos, que estaopara os conjuntos algebricos projetivos assim como os esquemas afins estao para os conjuntos algebricosafins.

Seja A =⊕

d∈ZAd um anel graduado e S um conjunto multiplicativo cujos elementos sao todos

homogeneos. Entao S−1A e tambem e um anel graduado: definimos deg(a/s) = deg(a) − deg(s) paraa ∈ A e s ∈ S elementos homogeneos. Para um elemento homogeneo h ∈ A, definimos o anel

A(h)def= f ∈ Ah | deg(f) = 0

Por exemplo, se A = C[x1, x2, . . . , xn] e h = x1 entao A(h) = C[x2

x1, . . . , xn

x1].

Para p ∈ ProjA, seja S o conjunto multiplicativo de todos os elementos homogeneos em A \ p.Definimos

A(p)def= f ∈ S−1A | deg(f) = 0

Agora suponha que A seja N graduado, i.e., Ad = 0 para d < 0. Definimos agora um feixe sobreProjA. Para todo aberto U ⊂ ProjA, seja

OProjA(U)def=

(sp)p∈U ∈

∏

p∈UA(p)


⋃iD+(hi) de U por abertos

basicos (com hi ∈ A homogeneos) e elementos ai/hni

i ∈ A(hi),ai ∈ A, de modo que sq = ai/h

ni

i ∈ A(q) para todo q ∈ D+(hi)

Os mapas de restricao sao definidos da maneira usual. Agora vamos mostrar que o espaco localmenteanular (ProjA,OProjA) e um esquema, denominado o esquema projetivo associado ao anel graduadoA.

Lemma 2.3.1 Seja h ∈ A+ um elemento homogeneo. Temos um homeomorfismo

f :D+(h)∼- SpecA(h)

p 7→ ph ∩ A(h)

Alem disso, se p ∈ D+(h), temos um isomorfismo A(p) = (A(h))f(p).

Prova Observe que se p ∈ D+(h) entao ph ∈ SpecAh e portanto ph ∩A(h) ∈ SpecA(h), de modo que f

esta bem definido. Alem disso, e facil mostrar que f−1(D(a/hn)

)= D+(h) ∩ D+(a), de modo que f e

contınuo.

Mostremos que f e sobrejetor. Seja ρ:A→ Ah o mapa de localizacao. Seja q ∈ SpecA(h) e considere

o ideal√qAh de Ah; afirmamos que este ideal e um ideal primo homogeneo de Ah e que p = ρ−1(

√qAh)

esta em D+(h) e que f(p) = q.

Primeiro observe que qAh e um ideal homogeneo de Ah, gerado por elementos de grau 0. O fato deque√qAh e um ideal homogeneo segue de um fato geral: o radical

√b de qualquer ideal homogeneo b

em um anel graduado B =⊕

d∈ZBd e homogeneo. De fato, se∑

d bd ∈√b, bd ∈ Bd, entao (

∑d bd)

N ∈ b

para algum N ; se d0 e o menor ındice para o qual bd0 6= 0, temos que bNd0 e a componente de grau d0N

em (∑

d bd)N , logo bNd0 ∈ b pois b e homogeneo por hipotese. Assim, bd0 ∈

√b. Subtraindo bd0 de

∑d bd

e repetindo o argumento, eventualmente concluıremos que cada bd ∈√b.

Vejamos que√qAh ∈ SpecAh. Este ideal e proprio, pois caso contrario terıamos 1 ∈ √qAh ⇐⇒

1 ∈ qAh e olhando para os termos de grau 0 concluirıamos que 1 ∈ q = (qAh) ∩A(h), absurdo. Agora se

x = a/hn e y = b/hm, com a, b ∈ A homogeneos, sao tais que xy ∈ √qAh entao, multiplicando por umapotencia conveniente de h, temos que para algum N

(adeg(h)

hdeg(a)· b

deg(h)

hdeg(b)

)N∈ qAh ⇒

adeg(h)

hdeg(a)∈ q ou

bdeg(h)

hdeg(b)∈ q

(observe que adeg(h)/hdeg(a) e bdeg(h)/hdeg(b) pertencem a A(h)). Suponha que tenhamos adeg(h)/hdeg(a) ∈q; neste caso adeg(h)/1 ∈ qAh ⇒ x ∈ √qAh, como desejado.

Agora mostraremos que p = Spec(ρ)(√qAh) esta em D+(h) e que f(p) = q. Primeiro, p e um ideal

primo homogeneo de A: se∑ad ∈ p, ad ∈ Ad, como

√qAh e homogeneo, entao cada ρ(ad) ∈

√qAh e

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154 Esquemas

funtor de pontosportanto ad ∈ p para todo d. E como p esta na imagem de Spec(ρ), temos que p 6∋ h, logo p ∈ D+(h).Finalmente f(p) =

√qAh ∩ A(h), que e igual a q: claramente f(p) ⊃ q e se x ∈ f(p) entao xN ∈ qAh

para algum N e como deg(x) = 0, temos xN ∈ q = (qAh) ∩ A(h) ⇐⇒ x ∈ q. Isto completa a prova deque f e sobrejetor.

Em seguida, vamos mostrar que para ideais homogeneos a, p com p primo temos

f(p) ⊃ f(a) ⇐⇒ p ⊃ a

Aqui estendemos a definicao de f para ideias homogeneos arbitrarios: f(a) = ah ∩ A(h). Se provarmosa equivalencia acima, mostraremos que f :D+(h)→ SpecA(h) e injetor e que e um mapa fechado, o quecompletara a prova de que f e um homeomorfismo. A implicacao ⇐ e trivial. Suponha que f(p) ⊃ f(a)e seja a ∈ a um elemento homogeneo. Entao adeg(h)/hdeg(a) ∈ f(a) ⊂ f(p) e isto implica que a ∈ p, comoquerıamos.

Por fim, dado p ∈ D+(h), podemos definir morfimos de aneis

A(p) → (A(h))f(p)

a

s7→ adeg(h)/hdeg(a)

sdeg(h)/hdeg(s)

a ∈ A, s ∈ A \ p homogeneos com deg(a) = deg(s)

e

(A(h))f(p) → A(p)

a/hm

s/hn7→ ahn

shma ∈ A, s ∈ A \ p homogeneos com deg(a) = m deg(h) e deg(s) = n deg(h)

Agora uma verificacao rotineira (licao de casa!) mostra que os mapas acima estao bem definidos (naodependem dos representantes de classe das fracoes) e que sao inversos um do outro, de modo que temosum isomorfismo A(p) = (A(h))f(p).

Como os abertos D+(h) formam uma base da topologia de Zariski em ProjA, para provar que(ProjA,OProjA) e um esquema basta mostrarmos que ha um isomorfismo de espacos localmente anulares

(f, f#): (D+(h),OProjA|D+(h))∼- (SpecA(h),OA(h)

). Ja sabemos que f como no lema e um home-

omorfismo. Definimos f#:OA(h)→ f∗OProjA|D+(h) utilizando o isomorfismo φp: (A(h))f(p)

∼- A(p):para um aberto U ⊂ SpecA(h),

f#U :OA(h)

(U)→ OProjA(f−1U)

(sq)q∈U 7→ (tp)p∈f−1U

ondetp = φp(sf(p)) ∈ A(p)

Utilizando o lema, como no caso afim e facil verificar que este mapa esta bem definido, i.e., que a tupla(tp)p∈f−1U e localmente igual a elementos em A(g) para varios g’s. Como por construcao f# e um

isomorfismo nos talos, temos que f# e um isomorfismo de feixes e portanto (f, f#) e um isomorfismo deespacos localmente anulares.

Exemplo 2.3.2 (Reta Projetiva Revisitada) automorfismo Mobius

3 Funtor de Pontos e Produto Fibrado

Ate o momento, vimos esquemas como uma colagem de aneis. Outro ponto de vista muito importante,talvez o mais natural sob a otica geometrica, e o chamado funtor de pontos associado a um esquema,que permite ve-lo como um objeto geometrico “estratificado” segundo os “domınios de definicao” de seuspontos.

Definicao 3.1 Seja S um esquema e seja X um S-esquema. O funtor representado por X , a saber,

X(−) def= HomSch/S(−, X)

e chamado funtor de pontos de X . Um elemento de X(T ) e chamado de ponto com valores em Tde X . Se T = SpecA, abreviaremos X(SpecA) por X(A) e referiremo-nos aos elementos de X(A) comopontos com valores em A.

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anel de numerosExemplo 3.2 (Conjuntos Algebricos Afins) Seja k um corpo e considere a k-algebra

A =k[x1, . . . , xn]

(f1, . . . , fm)fi ∈ k[x1, . . . , xn]

Considere o k-esquema afim associado X = SpecA. Seja l ⊃ k uma extensao de corpos. Temos que ospontos com valores em l de X sao dados por

X(l) = HomSch/k(Spec l, X) = Homk-alg(A, l)

Mas dar um morfismo de k-algebras φ:A → l e o mesmo que dar uma n-upla (a1, . . . , an) ∈ ln talque fi(a1, . . . , an) = 0 para todo i = 1, . . . ,m, ja que neste caso podemos definir φ(xi) = ai. Emoutras palavras, φ corresponde a um ponto com coordenadas em l do conjunto algebrico definido pelospolinomios fi: temos uma bijecao natural

X(l) = (a1, . . . , an) ∈ ln | fi(a1, . . . , an) = 0 para todo i = 1, . . . ,m

Ou seja, um ponto com valores em l de X e realmente um ponto com valores em l! Podemos assimpensar em um k-esquema X como um “conjunto algebrico definido sobre k”, mesmo quando k nao ealgebricamente fechado. Por exemplo, para o R-esquema X = SpecR[x, y]/(x2+y2+1) temos X(R) = ∅enquanto que X(C) e o “cırculo complexo de raio i”. Supimpa, ne?

Exemplo 3.3 (Pontos com Valores sobre o Anel de Numeros Duais) Sejam k, A e X = SpecAcomo no exemplo anterior. Considere a k-algebra B = k[t]/(t2), chamada de anel numeros duais.Seguindo a tradicao, denotaremos por ǫ a imagem de t em B (notacao esta remonta a pre-historia; emalgumas pinturas paleolıticas, ve-se o desenho de um homem matando um bisao e, ao lado, o anel denumeros duais B = k[ǫ]).

Como sao os elementos de X(k[ǫ]) = HomSch/k(Spec k[ǫ], A) = Homk−alg(A, k[ǫ])? Dar um morfismo dek-algebras φ:A → k[ǫ] agora corresponde a dar uma n-upla (a1 + b1ǫ, . . . , an + bnǫ) ∈ k[ǫ]n (aj , bj ∈ k)tal que fi(a1 + b1ǫ, . . . , an + bnǫ) = 0 em k[ǫ] para todo i = 1, . . . ,m. Como ǫ2 = 0, aplicando a formulade Taylor, obtemos

fi(a1 + b1ǫ, . . . , an + bnǫ) = fi(a1, . . . , an) +∑

1≤j≤n

∂fi∂xj

(a1, . . . , an) · bjǫ

que e 0 em k[ǫ] para todo i se, e so se, (a1, . . . , an) e um ponto com coordenadas em k do conjuntoalgebrico definido por fi(x1, . . . , xn) = 0, i = 1, . . . ,m, e (b1, . . . , bn) e um “vetor tangente” ao conjuntoalgebrico neste ponto, tambem com coordenadas em k.

Por exemplo, para o R-esquema X = R[x, y]/(x2− y) (uma “parabola”), temos que um R[ǫ]-ponto de Xe um par consistindo de um ponto real da parabola (a, a2), a ∈ R, e um vetor tangente real b · (1, 2a),b ∈ R. Geometricamente, temos a seguinte “explicacao”: SpecR[ǫ] e um “ponto gordo” obtido a partirda “reta real” SpecR[x] “quase” fazendo-se x = 0, de modo que ha certo “material infinitesimal extra”transbordando para os lados, nas direcoes normais ao “ponto” SpecR[x]/(x). Assim, para especificarum morfismo SpecR[ǫ] → X precisamos dizer nao so a imagem do “ponto” SpecR[x]/(x) mas tambema imagem da “parte infinitesimal”, que corresponde ao vetor tangente.

Definicao 3.4 Seja X um esquema e x ∈ X . O corpo residual do anel local OX,x e denotado por k(x).

Lemma 3.5 Seja X um esquema e l um corpo. Temos uma bijecao natural

X(l) =(x, φ)

∣∣ x ∈ X e φ ∈ HomRings(k(x), l)

Prova Seja η = (0) o unico elemento em Spec l. A cada elemento (f, f#): (Spec l,Ol) → (X,OX) deX(l), associamos o ponto x = f(η) ∈ X e o morfismo φ: k(x) → l induzido pelo morfismo de talosf#η :OX,x → Ol,η = l (note que como este morfismo e local por definicao, o ideal maximal mx de OX,xpertence ao kernel de f#

η , logo podemos definir φ(a) = f#η (a) para a ∈ OX,x). Reciprocamente, dado

um par (x, φ) como acima, podemos definir um morfismo (f, f#): (Spec l,Ol) → (X,OX) decretando

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156 Esquemas

produto fibradof(η) = x, de modo que f∗Ol e agora “concentrado sobre um unico ponto x” (as vezes denominado “feixearranha-ceu” sobre x): para um aberto U ⊂ X ,

f∗Ol(U) =l se x ∈ U0 caso contrario

Assim, para especificar f#:OX → f∗Ol, basta considerar os abertos U que contem x, para os quais

definimos f#U :OX(U)→ f∗Ol(U) = l como a composicao

OX(U) - OX,x -- k(x)φ- l

E facil verificar que, com estas definicoes, (f, f#) e um morfismo de esquemas e que as duas associacoesacima descritas sao inversas uma da outra.

Exemplo 3.6 (Reta Projetiva) Seja k um corpo e seja o k-esquema X = P1k

def= Projk[x0, x1]. Se

l ⊃ k uma extensao de corpos

Um morfimo de S-esquemas f :X → Y define, por composicao, um morfismo entre os funtores depontos associados, que ainda denotamos por f : para um S-esquema T ,

f :X(T ) = HomS(T,X)→ Y (T ) = HomS(T, Y )

φ 7→ f φ

Segue imediatamente de lema 1.2.7 que o funtor de pontos se comporta como um “feixe na categoriaSch/S”: se T =

⋃α Tα e uma cobertura aberta de T , temos que

X(T ) =(tα) ∈

∏

α

X(Tα)∣∣∣ tα|Tα∩Tβ

= tβ |Tα∩Tβpara todo par (α, β)

Teorema 3.7 (Princıpio Yoneda) Sejam X e Y dois S-esquemas. Dar um S-morfismo f :X → Y eo mesmo que dar um morfismo de seus funtores de pontos fT :X(T )→ Y (T ) para todo S-esquema afimT .

Exemplo 3.8 mobius em P1A.

Definicao 3.9 Seja C uma categoria e seja S ∈ C um objeto desta categoria. Um S-objeto e ummorfismo T → S; um morfismo de S-objetos entre φ:X → S e ψ:Y → S e um morfismo f :X → Yque e “compatıvel com os morfismos base”, ou seja, tal que ψf = φ. O conjunto de todos os S-morfismosentre φ e ψ sera denotado por HomS(X,T ). Os S-objetos definem uma subcategoria plena de C quedenotamos por C/S. Dado um S-objeto X → S, definimos o funtor de pontos associado da maneirausual:

X : C/S → Sets

T 7→ HomS(X,T )

Dados dois S-objetos φ:X → S e ψ:Y → S, dizemos que um objeto X ×S Y ∈ C e o produtofibrado de X e Y sobre S se X ×S Y representa o produto cartesiano dos funtores de pontos de X eY . Explicitamente: X ×S Y vem equipado de fabrica com dois S-morfismos projecao p:X ×S Y → X eq:X ×S Y → Y de modo que temos uma bijecao natural

X ×S Y (T ) = X(T )× Y (T )

t 7→ (p t, q t)

Em outras palavras, dados dois S-morfismos f :T → X e g:T → Y , existe um unico S-morfismo f×g:T →X ×S Y para o qual o seguinte diagrama comuta

X ×S Y

Xf -

T

∃!f × g 6

gY

-

S?

ψφ -

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Exemplo 3.10 Na categoria de conjuntos ou espacos topologicos, o produto fibrado de dois S-objetosφ:X → S e ψ:Y → S sempre existe e e dado por

X ×S Y = (x, y) ∈ X × Y | φ(x) = ψ(y)

com os mapas de projecao p:X ×S Y → X e q:X ×S Y → X usuais: p(x, y) = x e q(x, y) = y.

O produto fibrado possui interpretacoes interessantes para varios casos particulares. Por exemplo, nacategoria de espacos topologicos, se X e um subespaco de S e φ:X → S e o morfismo de inclusao, entaoX ×S Y e homeomorfo a ψ−1X , a projecao q:X ×S Y → Y e dada pela inclusao ψ−1X → Y enquantoque a projecao p:X ×S Y → X e dada pela restricao de ψ a ψ−1X :

ψ−1X ==== X ×S Y ⊂q - Y

X

ψ|ψ−1X

?======== X

p

?⊂

φ - S

ψ

?

Em geral, podemos pensar na flecha da esquerda como uma “mudanca de base” da flecha da direita; arestricao e apenas um caso particular desta operacao.

Queremos mostrar que o produto fibrado sempre existe na categoria de esquemas. Comecamos comum simples

Lemma 3.11 Sejam A e B duas C-algebras. Entao

SpecA×SpecC SpecB = Spec(A⊗C B)

onde os morfismos de projecao p: Spec(A ⊗C B) → SpecA e q: Spec(A ⊗C B) → SpecB sao induzidospelos morfismos naturais de C-algebras

α:A→ A⊗C Ba 7→ a⊗ 1

eβ:B → A⊗C B

b 7→ 1⊗ b

Prova Temos que mostrar que, para todo (SpecC)-esquema T , o mapa

HomSpecC(T, Spec(A⊗C B))→ HomSpecC(T, SpecA)×HomSpecC(T, SpecB)

t 7→ (p t, q t)

e uma bijecao. Mas pelo teorema 2.2.9, isto equivale a mostrar que

HomC−alg(A⊗C B,OT (T ))→ HomC−alg(A,OT (T ))×HomC−alg(B,OT (T ))τ 7→ (τ α, τ β)

e uma bijecao, o que e imediato pela propriedade universal do produto tensorial.

Lemma 3.12 Sejam U ⊂ X e V ⊂ Y dois subesquemas abertos dos S-esquemas X e Y . Se X ×S Yexiste, entao

U ×S V = p−1(U) ∩ q−1(V ) ⊂ X ×S Yonde p e q sao as projecoes de X ×S Y para X e Y , respectivamente.

Prova Seja W = p−1(U) ∩ q−1(V ). Pelo lema 2.2.8, temos as seguintes bijecoes naturais:

HomS(T,W ) = τ ∈ HomS(T,X ×S Y ) | τ(T ) ⊂W= (f, g) ∈ HomS(T,X)×HomS(T, Y ) | f(T ) ⊂ U e g(T ) ⊂ V = HomS(T, U)×HomS(T, V )

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158 Esquemas

Agora podemos finalmente mostrar que

Teorema 3.13 Sejam X e Y dois S-esquemas. Entao X ×S Y existe na categoria de S-esquemas.

Prova A ideia da demonstracao e “colar” os diversos produtos fibrados de subesquemas abertos de Xe Y a fim de obter X ×S Y . A condicao de cociclo (ver lema 1.2.6) e automaticamente verificada pelapropriedade universal da definicao de produto fibrado.

Vamos primeiramente mostrar que se X =⋃αXα e uma cobertura aberta de X e cada produto

fibrado (Xα ×S Y, pα, qα) existe entao X ×S Y tambem existe. Defina, para cada par (α, β),

Uαβdef= p−1

α (Xα ∩Xβ) ⊂ Xα ×S Y

Pelo lema anterior, temos que ambos Uαβ e Uβα sao produtos fibrados de Xα∩Xβ e Y sobre S, portanto

ha um unico S-isomorfismo φαβ :Uαβ∼- Uβα compatıvel com os morfismos de projecao. Em particular,

da unicidade temos φαα = id e φαβ = φ−1βα. Alem disso, para cada tripla (α, β, γ),

Uαβγdef= Uαβ ∩ Uαγ = p−1

α (Xα ∩Xβ ∩Xγ) ⊂ Xα ×S YUγαβ

def= Uγα ∩ Uγβ = p−1

γ (Xα ∩Xβ ∩Xγ) ⊂ Xγ ×S Y

sao todos produtos fibrados de Xα∩Xβ∩Xγ e Y sobre S. Como as restricoes de φαγ e φβγ φαβ fornecemisomorfismos entre Uαβγ e Uγαβ compatıveis com os mapas de projecao, novamente pela unicidade dapropriedade universal temos que φαγ = φβγ φαβ. Assim, as condicoes de cociclo se verificam e podemoscolar os esquemasXα×SY de modo a obter um S-esquemaX×SY , bem como colar os mapas de projecaopα, qα de modo a obter mapas p:X ×S Y → X e q:X ×S Y → Y . Para mostrar que (X ×S Y, p, q) erealmente o produto fibrado de X e Y sobre S, identificamos inicialmente Xα×S Y com os subesquemasabertos de X ×S Y correspondentes. Agora, dado um S-esquema T e dois pontos f ∈ X(T ) e g ∈ Y (T ),sendo Tα = f−1(Xα×S Y ) e fα = f |Tα

, temos que para cada α existe um unico ponto tα ∈ Xα ×S Y (Tα)tal que p tα = fα e q tα = g. Novamente pela unicidade da propriedade universal, temos quetα|Tα∩Tβ

= tβ |Tα∩Tβ, de modo que temos um unico ponto t ∈ X ×S Y (T ) tal que p t = f e q t = g,

como desejado.

Agora suponha que S e afim. Se Y e afim, como o produto fibrados de dois S-esquemas afins existe,pela construcao acima X ×S Y existe. Aplicando novamente o argumento acima com X e Y trocadosconcluımos que o produto fibrado X ×S Y existe para X e Y arbitrarios.

Para um S esquema qualquer, seja Sα uma cobertura afim de S. Denote por f :X → S e g:Y → Sos morfismos base e sejam Xα = f−1(Sα) e Yα = g−1(Sα). Ja sabemos que Xα ×Sα

Yα existem. Noteque temos um isomorfismo Xα×Sα

Yα = Xα×S Y . Finalmente, aplicando o argumento inicial mais umavez, obtemos que X ×S Y existe no caso geral.

Exemplo 3.14 Seja B uma A-algebra. Entao P1A ×SpecA SpecB = P1

B.

Exemplo 3.15 P1A ×SpecA P1

A = ProjA[x, y, z]/()

Definicao 3.16 Seja f :X → Y um morfismo de esquemas. Seja y ∈ Y . A fibra de y com relacao a fe o k(y)-esquema X ×Y Spec k(y).

4 Propriedades Locais

Lema 4.1 (Mudanca de Carta) Seja X um esquema e sejam U e V dois abertos afins de X comisomorfismos

i:U∼- SpecA e j:V

∼- SpecB

Entao para todo x ∈ U ∩ V existe uma vizinhaca aberta W ⊂ U ∩ V de x que e simultaneamente umaberto principal tanto em SpecA como em SpecB, ou seja, existem h ∈ A, g ∈ B tais que as restricoesde i e j induzem isomorfismos

i|W :W∼- D(h) = SpecAh e j|W :W

∼- D(g) = SpecBg

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Prova Escolha h′ ∈ A tal que i(x) ∈ D(h′) e D(h′) ⊂ i(U ∩ V ); em seguida, escolha g ∈ B tal quej(x) ∈ D(g) e D(g) ⊂ j

(i−1(D(h′))

). Definamos W = j−1

(D(g)

); basta agora mostrarmos que i(W ) e

um aberto principal em SpecA. Temos um morfismo de esquemas afins dado pela composicao

SpecAh′ = D(h′)i−1

- U ∩ V j- SpecB

Seja φ:B → Ah′ o morfismo de aneis correspondente. Temos que i(W ) = Spec(φ)−1(D(g)

)= D(φ(g)) ⊂

SpecAh′ e um aberto principal quando visto como subesquema de SpecAh′ . Se φ(g) = h/h′n, h ∈ A,temos portanto que i(W ) = D(hh′) = D(h) ∩ D(h′) ⊂ SpecA tambem e principal quando visto comosubesquema de SpecA.

Como esquemas afins sao compactos, obtemos o seguinte

Corolario 4.2 Seja X um esquema e⋃Ui = X uma cobertura afim de X com Ui = SpecAi. Seja

U = SpecB um aberto afim de X. Entao U possui uma cobertura finita da forma

U = Vi1 ∪ · · · ∪ Vin com Vik = Spec(Aik)hik= SpecBgi

com hik ∈ Aik e gi ∈ B.

Definicao 4.3 Um esquema X e

1. localmente noetheriano se OX(U) e um anel noetheriano para todo U afim;

2. reduzido se OX,x e um anel reduzido para todo x;

3. conexo se o espaco topologico X e conexo;

4. irredutıvel se o espaco topologico X e irredutıvel;

5. integral se X e reduzido e irredutıvel;

6. regular se OX,x e um anel regular para todo x ∈ X ;

7. Cohen-Macauley se OX,x e um anel Cohen-Macauley para todo x ∈ X .

Teorema 4.4 A propriedade de ser localmente noetheriano e local: um esquema X e localmente noethe-riano se, e so se, X admite uma cobertura X =

⋃Ui onde Ui = SpecAi com Ai aneis noetherianos.

Prova Suponha que X admita uma cobertura afim X =⋃Ui onde Ui = SpecAi com Ai aneis noethe-

rianos. Dado um aberto afim U = SpecB qualquer de X , devemos mostrar que B e noetheriano. Comoa localizacao de um anel noetheriano e noetheriano, pelo corolario 4.2 podemos assumir que U = SpecBadmite uma cobertura aberta finita U =

⋃1≤i≤mD(gi) com gi ∈ B e tal que cada Bgi e noetheriano.

Agora considere uma cadeia ascendente de ideais b1 ⊂ b2 ⊂ · · · de B. Como os Bgi ’s sao noetheri-anos e ha um numero finito de tais aneis, existe n0 tal que n ≥ n0 implica (bn)gi = (bn+1)gi paratodo i = 1, . . . ,m. Como os abertos principais D(gi) cobrem SpecB, isto implica que se n ≥ n0 entao(bn)p = (bn+1)p para todo p ∈ SpecA. Pelo princıpio local-global (teorema III.1.8), temos portanto quebn = bn+1 para todo n ≥ n0.

Definicao 4.5 Um morfismo f :X → Y de esquemas e

1. localmente de tipo finito se, dado qualquer aberto afim V = SpecA de Y e qualquer abertoafim U = SpecB de f−1(V ), temos que B e uma A-algebra finitamente gerada via o morfismode aneis A→ B correspondente ao morfismo de esquemas afins f |U :U → V ;

2. plano se f#x :OY,f(x) → Ox e plano para todo x ∈ X ;

3. fielmente plano se f e plano e sobrejetor;

4. afim se f−1(V ) e afim para qualquer aberto afim V de Y ;

5. finito se f e afim e se, para todo aberto afim V = SpecA de Y , f−1(V ) = SpecB com B umaA-algebra finita via o morfismo de aneis A→ B correspondente ao morfismo de esquemas afinsf |U :U → V ;

6. nao ramificado

7. etale se f e plano e nao ramificado;

8. suave

9. quase-finito

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160 Esquemas

Teorema 4.6 A propriedade de ser localmente finito e local: um morfismo f :X → Y e localmente de tipofinito se, e so se, Y admite uma cobertura afim Y =

⋃i Vi com Vi = SpecAi tal que, para cada i, f−1Vi

admite uma cobertura afim f−1Vi =⋃j Uij com Uij = SpecBij onde Bij e uma Ai-algebra finitamente

gerada via o morfismo de aneis Ai → Bij correspondente ao morfismo de esquemas SpecBij → SpecAidado pela restricao de f .

Prova Suponha que Y admita uma cobertura afim como a do enunciado e seja V = SpecA um abertoafim qualquer de Y e U = SpecB um aberto afim de f−1(V ); temos que mostrar que B e uma algebra fini-tamente gerada sobreA. Como a localizacao (Bij)hi

de Bij em um elemento hi ∈ Ai e uma (Ai)hi-algebra

finitamente gerada, substituindo Y por V podemos supor que Y = SpecA. Aplicando o corolario 4.2,podemos ainda assumir que Y e coberto por um numero finito de abertos principais D(hi) ⊂ SpecAe que Ai = Ahi

(hi ∈ A). Observando ainda que os mapas de localizacao A → Ahie Bij → (Bij)gij

sao algebras finitamente geradas, mais uma aplicacao do corolario 4.2 mostra que podemos ate mesmoassumir que B admite uma cobertura finita por abertos principais D(gj) onde Bgj e uma A-algebrafinitamente gerada (gj ∈ B).

Sejam ωjk/gnjk

j geradores de Bgj sobre A (ωjk ∈ B). Temos que SpecB =⋃jD(gj) implica que

existem bj ∈ B tais que∑

j bjgj = 1. Afirmamos que os elementos bj, gj , ωjk geram a A-algebra B.

Primeiramente, observe que elevando∑j bjgj = 1 a uma potencia suficientemente grande, para qualquer

n temos uma expressao da forma∑j Tj(bj , gj) · gnj = 1 com Tj(bj , gj) um polinomio em bj e gj com

coeficientes em A. Agora, dado b ∈ B, como cada Bgj e finitamente gerado sobre A, existe um n tal quegnj b = Pj(ωjk, gj) em B para algum polinomio Pj(ωjk, gj) em ωjk e gj com coeficientes em A. Portanto

b =∑

j

Tj(bj , gj) · gnj b =∑

j

Tj(bj , gj) · Pj(ωjk, gj)

pertence a A-algebra gerada por ωjk, bj, gj , como afirmamos.

Virtualmente qualquer propriedade/construcao sobre aneis que se comporta bem com relacao alocalizacao e “globalizavel”. Temos o seguinte dicionario:

Aneis Esquemas

Ideal Primo PontoLocalizacao em um primo Talo

Produto Tensorial Produto FibradoLocalizacao em um elemento Subesquema Aberto

Quociente Subesquema FechadoAnel Noetheriano Esquema Noetheriano

Domınio Esquema IntegralAnel Reduzido Esquema Reduzido

Anel Indecomponıvel Esquema Conexo

Algebra Finita Morfismo Finito

Algebra finitamente gerada Morfismo de tipo finitoModulo Modulo Quase-coerente

Modulo finitemente presentado Modulo Coerente

Observacao 4.7 Existem duas propriedades globais (relativos a cola). Um S-esquema e separado seo morfismo diagonal id× id:X → X ×S X e uma imersao fechada. Dizemos que X e proprio sobre Sse X e separado e universalmente fechado: para todo S-esquema T , o morfismo X ×S T → T e fechado.

5 Modulos quase-coerentes

Definicao 5.1 Seja X um esquema. Um OX -modulo M e dito quase-coerente se para todo aberto

afim U = SpecA de X existe um A-modulo M e um isomorfismo de OA-modulosM|U ∼= M . Se, alemdisso, M e de presentacao finita, dizemos que M e coerente. Analogamente definimos OX -algebrasquase-coerentes e coerentes.

Exemplo 5.2 Seja X = P1A e considere o A[x0, x1]-modulo graduado N =

(A[x0, x1]

)[n]. Definimos

OP1A(n) = N , um OP1

A-modulo coerente.

Exemplo 5.3 OP1A(m)⊗OP1

A(n) = OP1

A(m+ n)

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Lemma 5.4 A propriedade de ser quase-coerente (resp. coerente) e local: M e quase-coerente (resp.coerente) se, e so se, existe uma cobertura aberta afim X =

⋃i Ui com Ui = SpecAi e Ai-modulos Mi

tais queM|Ui∼= Mi para todo i.

Prova Seja U = SpecA um aberto afim qualquer de X .

subesquemas fechados

Teorema 5.5 Seja f :X → Y uma funcao contınua. O funtor imagem direta f∗: Sh(X)→ Sh(Y ) possuium adjunto a esquerda, o funtor imagem inversa f−1.

HomSh(Y )(F , f∗G) = HomSh(X)(f−1F ,G)

Prova DefinaΓ(V, f−1F) = lim−→

U⊃f(V )

F(U)

Exemplo 5.6 talo

Definicao 5.7 Seja f :X → Y um morfismo de esquemas e N um OY -modulo. Definimos o pull-backf∗N de N como o OX -modulo

f∗N = f−1N ⊗f−1OXOX

Lemma 5.8 Seja B uma A-algebra e f : SpecB → SpecA o morfismo de esquemas afins correspondente.Seja M um A-modulo. Entao

f∗(M) = M ⊗A B

Prova Seja g ∈ B.

6 Fibrados Vetoriais e Modulos Localmente Livres

Antes de tratarmos fibrados algebricos vamos rever (ou ver, dependendo do caso) a teoria classica. SejaX um espaco topologico. Um fibrado vetorial (real) de posto n sobre X e uma “famılia contınua”de espacos vetoriais reais de dimensao n sobre X . Mais precisamente, temos uma funcao contınuaπ:E ։ X tal que as fibras φ−1x ⊂ E de cada ponto x ∈ X possuem a estrutura de um R-espacovetorial de dimensao n e π e localmente isomorfo a projecao p1:U × Rn ։ U , i.e., cada x ∈ X possui

uma vizinhanca aberta U ⊂ X juntamente com um homeomorfismo ξU :π−1U

∼- U × Rn fazendo oseguinte diagrama comutar

U × RnξU

≈- π−1U ⊂ - E

U

p1

?========= U

π

?⊂ - X

π

?

e de modo que ξU induz um isomorfismo ξU,x: x × Rn∼- π−1x de espacos vetoriais entre as fibras

para cada ponto x ∈ U .

Dizemos que dois fibrados vetoriais π1:E1 → X e π2:E2 → X sao de posto n sao isomorfos se existe

um homeomorfismo φ:E1∼- E2 fazendo o seguinte diagram comutar

E1φ

≈- E2

X

π1

?======== X

π2

?

de modo que o morfismo induzido das fibras φx:π−11 x

∼- π−12 x e R-linear para cada x ∈ X .

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Exemplo 6.1 Sobre o cırculo S1, a projecao p1:S1 × R → S1 e um fibrado vetorial de posto 1, o

fibrado trivial. Mas tambem a projecao π:M → S1 da “faixa de Mobius infinita” M sobre o cırculomediano tambem e um outro fibrado vetorial de posto 1 sobre S1: aqui M e o quociente de [0, 1] × Robtido fazendo a identificacao (0, y) ∼ (1,−y) para todo y ∈ R; S1 e a imagem de [0, 1]× 0 em M eπ:M → S1 e dado por π(x, y) = x. Embora localmente um produto da forma U × R, este fibrado nao eglobalmente um produto S1 ×R (isto e, nao e isomorfo ao fibrado trivial) ja que M nao e orientavel, aocontrario de S1 × R.

Exemplo 6.2 Sobre a esfera S2 = (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1, considere

Tdef= (p,v) ∈ S2 × R3 | v e tangente a S2 em p= (p,v) ∈ S2 × R3 | p · v = 0

e seja π:T ։ S2 o mapa de projecao. E facil ver que, localmente, T e da forma U × R2, de modo queπ e um fibrado vetorial de posto 2 sobre S2, o chamado fibrado tangente. Veremos a seguir que estefibrado nao e trivial. Temos tambem

Ndef= (p,v) ∈ S2 × R3 | v e normal a S2 em p= (p, λp) ∈ S2 × R3 | λ ∈ R

Se τ :N → S2 e o mapa de projecao, temos que τ e um fibrado vetorial de posto 1, o chamado fibradonormal de S2 ⊂ R3. Este ultimo fibrado e isomorfo ao trivial via

ξ:N∼- S2 × R

(p, λp) 7→ (p, λ)

Por definicao, para qualquer fibrado vetorial π:E → X existe uma cobertura aberta U = Ui de Xque trivializa π, isto e, π restrito a cada Ui e isomorfo a um fibrado trivial Ui×Rn ։ Ui. Esta simplesobservacao e a base da receita da construcao de todos os fibrados trivializados por U .

Seja

ξi:Ui × Rn∼- π−1Ui

uma trivializacao do fibrado π:E → X com relacao a cobertura aberta U = Ui. Entao, para cada

par (i, j), temos um automorfismo de fibrado vetoriais φij : (Ui ∩ Uj) × Rn∼- (Ui ∩ Uj) × Rn sobre

Ui ∩ Uj dado pela composicao

φij : (Ui ∩ Uj)× Rnξi- π−1(Ui ∩ Uj)

ξ−1j- (Ui ∩ Uj)× Rn

onde, para nao sobrecarregar a notacao, ainda denotamos por ξi e ξ−1j as suas restricoes a (Ui∩Uj)×Rn

e π−1(Ui ∩ Uj) respectivamente. Estes automorfismos clearmente satisfazem as seguintes relacoes decompatibilidade:

1. φii = id para todo i;

2. φij = φ−1ji para todo par i, j;

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3. (condicao de cociclo) para toda tripla i, j, k,

φik = φjk φij

sobre Ui ∩ Uj ∩ Uk.Uma colecao de automorfismos φij satisfazendo as condicoes acima e chamada de 1-cociclo de Cech.

Associamos um 1-cociclo de Cech a cada trivializacao de um fibrado vetorial. Reciprocamente, dado um1-cociclo de Cech φij, podemos construir um fibrado π:E → X “colando” os fibrados triviais Ui ×Rn

com ajuda dos automorfismos φij : tome E como o quociente

E =

⊔i(Ui × Rn)∼

da uniao disjunta dos Ui × Rn pela relacao de equivalencia

v ∼ w para v ∈ Ui × Rn e w ∈ Uj × Rn ⇐⇒ φij(v) = w sobre Ui ∩ Uj

As condicoes 1–3 acima asseguram que ∼ e de fato uma relacao de equivalencia, de modo que tudoesta bem definido. Agora os mapas de projecao Ui × Rn → Ui induzem um mapa global de projecaoπ:E → X , que e o fibrado vetorial prometido.

Exemplo 6.3 Seja ǫ > 0 pequeno e considere a seguinte cobertura aberta de S2 (formada pelos hem-isferios norte e sul):

S2+

def= (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1 e z ≥ −ǫ S2

−def= (x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 = 1 e z ≤ +ǫ

trivializacao do fibrado tangente π:T → S2 de

Observacao 6.4 Seja λ:E∼- F um isomorfismo de fibrados e sejam ξi:Ui × Rn

∼- π−1E Ui e

χi:Ui×Rn∼- π−1

F Ui trivializacoes de modo que φij = ξ−1j ξi e ψij = χ−1

j χi sobre Ui ∩Uj. Entao,sobre Ui, temos um automorfismo de fibrados µi:Ui × Rn → Ui × Rn dado pela composicao

µi:Ui × Rnξi- π−1

E Uiλ- π−1

F Uiχ−1i- Ui × Rn

Agora um calculo simples mostra que, para todo i, j,

ψij = µj φij µ−1i sobre Ui ∩ Uj

Caso haja automorfismos µi of Ui × Rn tais que a relacao acima se verifica, dizemos que os 1-cociclos

ψij e φij sao cohomologos. E facil verificar que a relacao acima e de equivalencia e que temos umabijecao

classes de isomorfismo de fibra-dos vetoriais de posto n trivial-izados por U

↔classes de cohomologiade U-Cech 1-cociclos

7 Topologias de Grothendieck e Descenso Fielmente Plano

Agora sejam X e U como na secao anterior e seja Y =⊔i Ui a uniao disjunta dos Ui. Considere o mapa

h:Y → X induzido pelas inclusoes Ui → X . Entao temos homeomorfismos

Y ×X Y =⊔

i,j

Ui ∩ Uj e Y ×X Y ×X Y =⊔

i,j,k

Ui ∩ Uj ∩ Uk

e mapas

Y ×X Y ×X Yp12−→−→−→p23 Y ×X Y

p1−→−→p2 Yh−→ X

Aqui p1 e p2 sao os mapas de projecao e p12(y1, y2, y3) = (y1, y2), p13(y1, y2, y3) = (y1, y3) (a “flechado meio” na flecha tripla, nao indicada por falta de espaco), p23(y1, y2, y3) = (y2, y3). Agora dar uma

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164 Esquemas

colercao φij de automorfismos de fibrados (Ui ∩ Uj)×Rn e o mesmo que dar um unico automorfismode fibrados sobre Y ×X Y :

φ:Y ×X Y × Rn∼- Y ×X Y × Rn

A condicao de 1-cociclo e agora resumida por uma unica relacao

p∗13φ = p∗23φ p∗12φ

onde p∗ijφ denotam os pull-backs de φ com relacao a pij , isto e, o morfismo em Y ×X Y ×X Y × Rn

induzido por φ na componente (i, j) e pela identidade na componente remanescente: por exemplo,p∗13φ(y1, y2, y3, v) = (y1, y2, y3, w) onde φ(y1, y3, v) = (y1, y3, w). Agora dois automorfismos φ e ψ sao

cohomologos se, e so se, existe um automorfismo µ:Y × Rn∼- Y × Rn tal que ψ = p∗2µ φ p∗1µ−1.

Algebricamente, Y = SpecB tera o papel de uniao disjunta da cobertura de X = SpecA. Comotrabalhamos com aneis em vez de esquemas, as flechas serao invertidas e os pull-backs serao dados peloproduto tensorial. Escrevemos

p1:B → B ⊗A Bb 7→ b⊗ 1

p2:B → B ⊗A Bb 7→ 1⊗ b

Se N e um B-modulo, sejam

p∗1N = N ⊗B (B ⊗A B) = N ⊗A B e p∗2N = (B ⊗A B)⊗B N = B ⊗A N

os pull-backs de N , ou seja, os B ⊗A B-modulos obtidos tensorizando N com respeito as primeira esegunda entradas respectivamente. Entao p∗iN fara o papel do fibrado trivial Y × Rn. Seja

φ: p∗1N∼- p∗2N

be um isomorfismo de B⊗AB-modulos (φ tera o papel de um automorfismo de Y ×X Y ×Rn). Considereos “mapas de projecao duais”

p12:B ⊗A B → B ⊗A B ⊗A Bb1 ⊗ b2 7→ b1 ⊗ b2 ⊗ 1

p13:B ⊗A B → B ⊗A B ⊗A Bb1 ⊗ b2 7→ b1 ⊗ 1⊗ b2

p23:B ⊗A B → B ⊗A B ⊗A Bb1 ⊗ b2 7→ 1⊗ b1 ⊗ b2

e os pull-backs de N para B⊗AB⊗AB, obtidos tensorizando o ultimo anel com N sobre B com respeitoas primeira, segunda e terceira entradas de B ⊗A B ⊗A B, respectivamente:

N ⊗A B ⊗A B e B ⊗A N ⊗A B e B ⊗A B ⊗A N

Tensorizando φ com id sobre B com respeito a terceira, segunda e primeira entradas de B ⊗A B ⊗A B,obtemos morfismos de B ⊗A B ⊗A B-modulos

p∗12φ:N ⊗A B ⊗A B → B ⊗A N ⊗A B p∗12φ (n⊗ 1⊗ 1) =∑

i bi ⊗ ni ⊗ 1

p∗13φ:N ⊗A B ⊗A B → B ⊗A B ⊗A N p∗13φ (n⊗ 1⊗ 1) =∑

i bi ⊗ 1⊗ nip∗23φ:B ⊗A N ⊗A B → B ⊗A B ⊗A N p∗23φ (1⊗ n⊗ 1) =

∑i 1⊗ bi ⊗ ni

para φ(n⊗ 1) =∑i bi⊗ni. Estes mapas farao o papel de pull-backs do automorfismo de Y ×X Y ×X Rn

para Y ×X Y ×X Y × Rn. Podemos agora enunciar e provar

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Teorema 7.1 (Grothendieck’s Faithfully Flat Descent) Seja B ⊃ A uma extensao fielmente planade aneis.

1. Para qualquer A-modulo M , a sequencia

0 - Mǫ- M ⊗A B d0- M ⊗A B ⊗A B d1- M ⊗A B ⊗A B ⊗A B d2- · · ·

e exata. Aqui ǫ(m) = m⊗ 1 e

dr(m⊗ b0 ⊗ · · · ⊗ br) =∑

0≤i≤r(−1)i ·m⊗ b0 ⊗ · · · ⊗ bi−1 ⊗ 1⊗ bi ⊗ · · · ⊗ br

2. Seja N um B-modulo (ou uma B-algebra). Entao existe uma bijecao entre as classes de iso-morfismo de A-modulos (ou A-algebras) M tais que M ⊗A B ∼= N e as classes equivalencia deB ⊗A B-isomorfismos

φ:N ⊗A B∼- B ⊗A N

satisfazendo a condicao de 1-cociclo p∗13φ = p∗23φ p∗12φ, de modo que temos um diagramacomutativo

N ⊗A B ⊗A Bp∗12φ- B ⊗A N ⊗A B

B ⊗A B ⊗A N

p∗23φ

?

p ∗13 φ

-

Dois B ⊗A B-isomorfismos φ e ψ sao equivalentes se, e so se, existe um B-automorfismo

µ:N∼- N tal que

ψ = p∗2µ φ p∗1µ−1

onde p∗1µ = µ⊗ id:N⊗AB ∼- N⊗AB e p∗2µ = id⊗µ:B⊗AN ∼- B⊗AN sao os pull-backsde φ com relacao a p1 e p2.

Prova 1. Primeiro vamos mostrar que o complexo dado e homotopico a 0 se o mapa ǫ:M →M ⊗ABadmite uma secao s:M ⊗A B →M (isto e, s ǫ = id). Defina

kr:M ⊗A B⊗(r+1) →M ⊗A B⊗r

m⊗ b0 ⊗ b1 ⊗ · · · ⊗ br 7→ s(m⊗ b0)⊗ b1 ⊗ · · · ⊗ br

Agora verifique que id = dr−1 kr + kr+1 dr para todo r. Isto mostra que o complexo e exato. Parao caso geral, como B e fielmente plano sobre A, basta mostrar que a sequencia e exata apos a mudancade base − ⊗A B. Portanto e suficiente mostrar que o mapa ǫB:M ⊗A B → M ⊗A B ⊗A B admite umasecao. Defina s:M ⊗A B ⊗A B →M ⊗A B por s(m⊗ b1 ⊗ b2) = m⊗ b1b2 e verifique que s ǫ = id.

2. Suponha que M e um A-modulo tal que M ⊗A B = N . Entao podemos definir um isomorfismo

φ:N ⊗A B∼- B ⊗A N de B ⊗A B-modulos por

φ: (M ⊗A B)⊗A B ∼- B ⊗A (M ⊗A B)

m⊗ b1 ⊗ b2 7→ b1 ⊗m⊗ b2

que, em nossa discussao geometrica, corresponde ao automorfismo de Y ×X Y × Rn que identifica asrestricoes de Ui × Rn e Uj × Rn sobre Ui ∩ Uj . Agora um calculo direto mostra que φ satisfaz acondicao de 1-cociclo. Observe que por (1), podemos identificar M com o A-submodulo de N dado porm⊗ 1 | m ∈M.

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166 Esquemas

Agora sejam M1 e M2 dois A-modulos tais que M1 ⊗A B = M2 ⊗A B = N e sejam φ1 e φ2 os iso-

morfismos correspondentes N⊗AB → B⊗AN . Se existe um isomorfismo de A-modulos ν:M1∼- M2,

entao ele induz um B-automorfismo µ = ν ⊗ id de N e temos que φ2 = p∗2µ φ1 p∗1µ−1 pois

p∗2µ φ1 p∗1µ−1(m2 ⊗ b1 ⊗ b2) = (id⊗ν ⊗ id) φ1 (ν−1 ⊗ id⊗ id)(m2 ⊗ b1 ⊗ b2)= (id⊗ν ⊗ id) φ1(ν−1m2 ⊗ b1 ⊗ b2)= (id⊗ν ⊗ id)(b1 ⊗ ν−1m2 ⊗ b2)= b1 ⊗m2 ⊗ b2 = φ2(m2 ⊗ b1 ⊗ b2)

para todo m2 ∈ M2 e b1, b2 ∈ B. Reciprocamente, se φ2 = p∗2µ φ1 p∗1µ−1 ⇐⇒ φ2 p∗1µ = p∗2µ φ1entao µ:N

∼- N se restringe a um isomorfismo ν:M1∼- M2 ja que

φ2(µ(m1)⊗ 1) = φ2 p∗1µ(m1 ⊗ 1) = p∗2µ φ1(m1 ⊗ 1) = p∗2µ(1⊗m1) = 1⊗ µ(m1),

i.e., µ(m1) ∈M2 para todo m1 ∈M1.

Agora temos que mostrar que dado um isomorfismo φ:N⊗AB ∼- B⊗AN satisfazendo a condicaode 1-cociclo, existe um A-modulo M tal que M ⊗A B = N . “Secretamente”, sabemos que M existe eque φ e dado pela “formula de troca” acima, portanto e natural definir

Mdef= m ∈ N | φ(m⊗ 1) = 1⊗m

que, em termos geometricos, corresponde ao subconjunto de Y × Rn =⊔i Ui × Rn dos elementos que

“concordam nas interseccoes” Ui ∩ Uj .O subconjunto M ⊂ N e claramente um A-modulo. Vamos mostrar que o mapa natural

λ:M ⊗A B → N

m⊗ b 7→ bm

e um isomorfismo de B-modulos. Para isto, considere o seguinte diagrama

M ⊗A B - N ⊗A Bα⊗ id-

β ⊗ id- B ⊗A N ⊗A B

N

λ ≈? ǫ- B ⊗A N

φ ≈? e0 -

e1- B ⊗A B ⊗N

≈ p∗23φ

?

onde os mapas horizontais de linha inferior sao os de (1), a saber, e1(b⊗n) = 1⊗b⊗n e e0(b⊗n) = b⊗1⊗npara b ∈ B, n ∈ N , e os mapas da linha superior sao obtidos pela mudanca de base fielmente plana−⊗A B da sequencia exata

M - Nα-β- B ⊗A N

que define o A-modulo M , onde α(n) = φ(n ⊗ 1) e β(n) = 1 ⊗ n. Em particular, temos que M ⊗A Be o equalizador de α⊗ id e β ⊗ id, enquanto que N e o equalizador de e0 e e1. Portanto o isomorfismoφ induzira o isomorfismo pedido λ uma vez que mostrarmos que o diagrama acima comuta. Mas e facilchecar que o quadrado da direita formado pelas flechas inferiores β⊗ id e e1 comuta e o mesmo vale parao quadrado da esquerda pela definicao de M . O quadrado da direita formado pelas flechas superioresα⊗id e e0 tambem comuta pois p∗23φα⊗id(n⊗b) = p∗23φp∗12φ(n⊗1⊗b) = p∗13φ(n⊗1⊗b) = e0φ(n⊗b).

Se N e uma B-algebra, temos tambem que mostrar que o mapa de multiplicacao m:N ⊗B N → Ntambem “desce,” o que pode ser feito por calculos similares aos anteriores e que deixamos como exercıciopara o leitor.

Exemplo 7.2 (Variedade de Brauer-Severi)

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8 Exercıcios

01. Mostre que ProjA[x, y, z, w]/(yw − xz) = P1A ×SpecA P1

A.

02. Seja S um esquema noetheriano. Sejam X e Y dois S-esquemas de tipo finito. Seja x ∈ X ey ∈ Y dois pontos com mesma imagem s ∈ S. Sejam f :X → Y e g:X → Y dois morfismos tais quef(x) = g(x) = y e os morfismos OS,s-algebras f#

x :OY,y → OX,x e g#x :OY,y → OX,x sao iguais. Proveque existe uma vizinhanca aberta U de x tal que f |U = g|U .Teorema 8.1 Para qualquer esquema Y , existe a reduced esquema Yred e a morfismo Yred → Y comthe seguinte propriedade: se X e a reduced esquema, a morfismo f :X → Y factors through Yred → Y ,i.e., f determines a unique g:X → Yred tal que f e the composition of g e the mapa Yred → Y .

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base

Chapter 9

Apendice

Para a conveniencia do leitor, recordamos neste apendice alguns conceitos basicos que sao frequentementeutilizados ao longo de todo o livro.

1 Topologia Geral

Um espaco topologico e um conjunto X juntamente com uma colecao O de subconjuntos de X ,chamados de abertos, satisfazendo os seguintes axiomas:

1. ∅ ∈ O e X ∈ O (vazio e todo o espaco sao abertos);

2. U,W ∈ O ⇒ U ∩W ∈ O (interseccao finita de abertos e aberto);

3. se Uλλ∈Λ e uma famılia qualquer com Uλ ∈ O entao⋃λ∈Λ Uλ ∈ O (uniao arbitraria de

abertos e aberto).

Um subconjunto F ⊂ X e chamado de fechado se ele e o complementar de algum aberto em X . Osconjuntos fechados satisfazem portanto os seguintes axiomas:

1. ∅ e X sao fechados;

2. se F e G sao fechados entao F ∪G tambem e fechado;

3. se Fλλ∈Λ e uma famılia qualquer de fechados entao⋂λ∈Λ Fλ tambem e fechado.

Se a colecao O estiver clara pelo contexto, por abuso de linguagem diremos que o conjunto X e eleproprio um espaco topologico. Todo conjunto X admite ao menos a chamada topologia discreta, emque todo subconjunto de X e aberto (e portanto fechado).

Dados dois espacos topologicos X e Y , dizemos que uma funcao f :X → Y e contınua se, para todoaberto V de Y , a sua pre-imagem f−1(V ) e um aberto de X . Equivalentemente, f e contınua se a pre-imagem de um conjunto fechado de Y e fechado em X . Se f e uma bijecao contınua e sua inversa tambeme contınua, dizemos que f e um homeomorfismo e que X e Y sao espacos homeomorfos. Uma funcaocontınua f :X → Y e dita aberta (resp. fechada) se a imagem de todo aberto (resp. fechado) de X eum aberto (resp. fechado) de Y . Assim, uma bijecao contınua f :X → Y e um homeomorfismo se, e sose, f e um mapa aberto (ou fechado).

Em vez de prescrever todos os conjuntos abertos (ou fechados) de X , uma outra maneira de descrevera topologia de X e por meio de uma base B, isto e, uma colecao de subconjuntos abertos de X tal quequalquer aberto de X pode ser escrito como uma uniao de elementos de B. Por exemplo, a colecaode todas bolas abertas formam uma base para a topologia usual do Rn. Uma base B de X satisfaz asseguintes duas propriedades:

1.⋃U∈B U = X

2. se U,U ′ ∈ B entao U ∩ U ′ pode ser escrito como uniao de elementos em B.Por outro lado, dada uma famılia B de subconjuntos de um conjunto X satisfazendo os dois axiomasacima, podemos definir uma topologia em X , bastando para isto declarar um subconjunto U de X abertose ele se escreve como uniao de elementos de B. Trabalhar com bases em geral simplifica algumas tarefas.Por exemplo, para verificar que um mapa f :X → Y e contınuo, e suficiente verificar que as pre-imagensf−1(V ) de abertos V de uma base de Y sao abertos em X .

Seja X um espaco topologico e x ∈ X um ponto deste espaco. Uma vizinhanca aberta ousimplesmente vizinhanca e qualquer conjunto aberto contendo x. Para qualquer subconjunto S ⊂ X ,definimos o seu fecho S como sendo o menor conjunto fechado que contem S, i.e.,

Sdef=

⋂

F⊃SF fechado

F =x ∈ X

∣∣∣ toda vizinhanca de x tem interseccao naovazia com S

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170 Apendice

topologia induzidatopologia quocientetopologia produtoHausdorffquasi-compactocompactodesconexoconexoredutıvellema de Zornlimitante superiorelemento maximallimitante inferiorelemento minimaluniverso de Grothendiec

Em outras palavras, S e o conjunto de pontos x que estao “arbitrariamente proximos” de S. Se S = X ,dizemos que S e denso em X .

Dado um subconjunto arbitrario Y ⊂ X de um espaco topologico X , Y tambem e um espacotopologico com a chamada topologia induzida: os abertos de Y sao aqueles da forma U ∩ Y onde Ue um conjunto aberto em X . A topologia induzida e a topologia mais grossa para a qual o mapa dainclusao Y → X e contınuo.

Lemma 1.1 Seja Uα be an open cobertura of X. A subset F ⊂ X e closed in X se, e so se, F ∩ Uα eclosed in Uα (com the subspace topology) para todo α.

Prova Se Fα sao closed sets in X tal que F ∩ Uα = Fα ∩ Uα, entao F =⋂(Fα ∪ U cα), which e a closed

set in X .

Se ∼ e um relacao de equivalencia em X , podemos definir uma topologia no espaco quociente X/ ∼,chamada de topologia quociente, da seguinte forma: um conjunto de classes de equivalencia U emX/ ∼ e aberto se, e somente se, a sua uniao e um aberto em X . A topologia quociente e a mais finapara a qual a projecao X → X/ ∼ e contınua.

Finalmente, se Xii∈I e uma colecao de espacos topologicos, definimos a topologia produto emX =

∏i∈I Xi como a mais grossa das topologias para a qual todos os mapas de projecao pi:X → Xi sao

contınuos. Uma base de X e formada pelos conjuntos dos forma⋂i∈I0 p

−1i (Ui) onde I0 e um subconjunto

finito de I e cada Ui ⊂ Xi e aberto no respectivo espaco.

Dizemos ainda que um espaco topologico X e:

1. Hausdorff se para cada par de pontos distintos x, x′ ∈ X existem dois conjuntos abertosdisjuntos U e U ′ tais que x ∈ U e x′ ∈ U ′;

2. quasi-compacto se toda cobertura aberta X =⋃λ Uλ de X admite uma subcobertura finita

X = Uλ1 ∪ . . . ∪ Uλn; seguindo a tradicao francesa, dizemos que X e compacto se ele e quasi-

compacto e Hausdorff;

3. desconexo se ele e a uniao de dois fechados disjuntos nao vazios (que, portanto, tambem saoabertos). Caso contrario, X e dito conexo;

4. redutıvel se ele e a uniao de dois conjunotos fechados proprios. Caso contrario, X e chamado(adivinhe!) de irredutıvel. Equivalentemente, X e irredutıvel se, e somente se, quaisquer doissubconjuntos abertos nao vazios tem uma interseccao nao vazia. Em particular, os espacosirredutıveis sao conexos. Este conceito so e interessante para os espacos nao Hausdorff.

Se Y e um subconjunto arbitrario de X , dizemos que Y e quasi-compacto, irredutıvel e assim por diante,se Y tem a propriedade correspondente com relacao a topologia induzida de X .

O seguinte resultado e equivalente ao axioma da escolha (e nao somos um daqueles hereges que naoacreditam no axioma da escolha!).

Teorema 1.2 (Tychonoff) O produtos de espacos quasi-compactos e quasi-compacto.

Ja que mencionamos o axioma da escolha, convem tambem relembrar uma de suas formas equiv-alentes mais uteis, o chamado lema de Zorn. Seja (P ,≤) um conjunto parcialmente ordenado. Umacadeia C e um subconjunto de P no qual quaisquer dois elementos x, y sao comparaveis, isto e, se x, y ∈ Centao ou x ≤ y ou y ≤ x. Um limitante superior de C e um elemento u ∈ P tal que x ≤ u paratodo x ∈ C (observe que u nao pertence necessariamente a C). Um elemento maximal m de P e umelemento para o qual m ≤ x implica x = m. Analogamente definimos limitante inferior e elementominimal.

Teorema 1.3 (Zorn’s lemma) Seja (P ,≤) um conjunto parcialmente ordenado em que toda cadeiapossui um limitante superior. Entao (P ,≤) possui um elemento maximal.

Temos um resultado analogo trocando limitante superior por inferior e elemento maximal por mini-mal. Na maioria das aplicacoes, P e uma famılia de subconjuntos de um conjunto fixado e ≤ e a inclusaode conjuntos ⊂.

2 Categorias e Funtores

Um universo de Grothendieck U e um conjunto muito grande no qual podemos realizar as operacoesusuais da teoria dos conjuntos em seus elementos sem jamais sair de U . Precisamente, um conjunto naovazio U e universo de Grothendieck se satisfaz os seguintes axiomas:

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axioma de univcategoriaflechas

morfismo idendualopostaisomorfismofuntor covarianfuntor

1. se x ∈ U e y ∈ x entao y ∈ U ;2. se x, y ∈ U entao x, y ∈ U ;3. se x ∈ U entao 2x ∈ U (aqui 2x denota o conjunto das partes de x);

4. se I ∈ U e (xi)i∈I e uma famılia de elementos de U entao⋃i∈I xi ∈ U .

O axioma de universo garante que, dado qualquer conjunto x, existe um universo U tal quex ∈ U . Adotamos esta axioma, que e independente dos outros axiomas da teoria dos conjuntos. Comisto, evitaremos certas dificuldades logicas do tipo “conjuntos de todos os conjuntos” no que segue.

Uma categoria C consiste em

1. um conjunto Obj(C), cujos elementos sao chamados de objetos de C;

2. para cada par de objetos X,Y ∈ Obj(C), um conjunto HomC(X,Y ), cujos elementos saochamados de morfismos ou flechas de X em Y ;

3. para cada terna de objetos X,Y, Z ∈ Obj(C), uma lei de composicao de morfismos

HomC(X,Y )×HomC(Y, Z)→ HomC(X,Z)

(f, g) 7→ g f

satisfazendo os seguintes axiomas:

i. (identidade) para cada objeto X ∈ Obj(C), existe um morfismo idX ∈ HomC(X,X),chamado de morfismo identidade de X , tal que

f idX = f e idX g = g

para todo f ∈ HomC(X,Y ) e g ∈ HomC(Z,X).

ii. (associatividade) para todo f ∈ HomC(W,X), g ∈ HomC(X,Y ) e h ∈ HomC(Y, Z),

h (g f) = (h g) f

Por exemplo, fixado um universo de Grothendieck U , podemos considerar a categoria dos conjuntosSet, cujos objetos sao todos os conjuntos que pertencem a U e HomSet(X,Y ) e simplesmente o conjuntode todas as funcoes f :X → Y ; a lei de composicao de morfismos nada mais e do que a composicao usualde funcoes. Outro exemplo e a categoria dos grupos abelianos Ab, cujos objetos sao todos os gruposabelianos que pertencem a U e HomAb(X,Y ) e simplesmente o conjunto de todos os morfismos de gruposf :X → Y ; a lei de composicao e a usual. Temos ainda a categoria Top de todos os espacos topologicosem U e cujos morfismos sao as aplicacoes contınuas. No que segue, frequentemente omitiremos referenciaexplıcita ao universo U fixado, referindo-nos as categorias de “todos” os conjuntos, grupos abelianos,espacos topologicos, etc.

Uma maneira pratica de se pensar em um categoria e em termos de seu grafo subjacente (na verdade,um multigrafo dirigido), cujo vertices sao os objetos da categoria e cujas arestas sao os morfismos dacategoria. Cada vertice tem um laco distinto, a flecha identidade, e temos uma regra de composicao dearestas satisfazendo os axiomas usuais.

Se C e uma categoria denotamos por C a chamada dual ou oposta, obtida invertendo-se o sentidode todas as flechas de C (ou seja, HomC(X,Y ) = HomC(Y,X)). Por abuso de linguagem que costu-mamos escrever X ∈ C se X e um objeto de C. Dizemos que h ∈ HomC(X,Y ) e um isomorfismo seexiste g ∈ HomC(Y,X) tal que g f = idX e f g = idY . Nos escrevemos X ∼= Y se ha um isomorfismoentre X e Y .

Sejam C e D duas categorias. Um funtor covariante ou simplesmente funtor F : C→ D de C emD e uma regra que associa

1. um objeto F (X) ∈ D para cada objeto X ∈ C;

2. um morfismo F (φ) ∈ HomD(F (X), F (Y )) para cada morfismo φ ∈ HomC(X,Y ), respeitandomorfismos identidade bem como as leis de composicao:

F (idX) = idF (X) e F (φ ψ) = F (φ) F (ψ)

para todo X ∈ C e todos os morfismos φ e ψ de C que podem ser compostos.

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172 Apendice

funtor contravariantemorfismo de funtorestransformacao naturalfielplenamente fielsubcategoriaplenaessencialmente sobrejetorlema de Yoneda

Em termos dos grafos subjacentes, um funtor nada mais e do que um morfismo de grafos que re-speitam os lacos identidade e as leis de composicao das arestas. Um funtor F : C → D e as vezeschamado de funtor contravariante de C para D, uma vez que ele inverte os sentidos das flechas.Exemplos classicos de funtores sao: o funtor inclusao F : Ab → Set, tambem chamado funtor esqueci-mento (basta “esquecer” as estruturas de grupo abeliano, tanto para objetos como para morfismos); ofuntor π1: PTop→ Group dado pelo grupo fundamental π1(X, x0) de um espaco topologico pontuado(X, x0) (aqui os objetos de PTop sao pares (X, x0) onde X e um espaco topologico e x0 ∈ X e um “pontobase” e um morfismo f : (X, x0)→ (Y, y0) e um mapa contınuo f :X → Y preservando pontos base, i.e.,f(x0) = y0).

Dados dois funtores F,G: C→ D, um morfismo de funtores ou transformacao natural φ:F →G entre F e G e uma colecao de morfismos φX ∈ HomD(F (X), G(X)), um para cada objeto X ∈ C, talque

F (X)φX- G(X)

F (Y )

F (f)

? φY- G(Y )

G(f)

?

comuta para todos X,Y ∈ C e todos f ∈ HomC(X,Y ). O conjunto de todos os morfismos (em algumuniverso) entre F e G sera denotado Hom(F,G).

Um funtor F : C→ D da origem a um mapa

FX,Y : HomC(X,Y )→ HomD(F (X), F (Y ))

para cada par de objetos X,Y ∈ C. Dizemos que e F pleno (respectivamente fiel, plenamente fiel)se FX,Y e sobrejetora (respectivamente injetora, bijetora) para todo X,Y ∈ C. Um funtor fiel F naoprecisa ser injetor em objetos ou morfismos: podemos ter f :X → Y e f ′:X ′ → Y ′ com F (X) = F (X ′),F (Y ) = F (Y ′) e F (f) = F (f ′); a injetividade so e garantida apenas para morfismos entre um par fixode objetos. Da mesma forma um funtor pleno nao precisa ser sobrejetor em objetos ou morfismos.

Uma subcategoria C′ de C e uma categoria cujos objetos e morfismos sao subconjuntos dos de Ce cuja regra de composicao de flechas e a mesma de C; um subcategoria C′ de C e dita plena se o funtorinclusao C′ → C e plenamente fiel. Em termos dos grafos subjacentes, uma subcategoria correspondea um subgrafo e uma subcategoria completa, a um subgrafo induzido, ou seja, um subgrafo obtidoescolhendo vertices de um grafo e incluindo todas as arestas entre eles.

Dizemos que duas categorias C e D sao equivalentes se houver funtores F : C → D e G: D → C eisomorfismos G F ∼= idC e F G ∼= idD, onde id denota o funtor identidade. Um funtor F : C → D dauma equivalencia das categorias se, e somente se, ele e plenamente fiel e essencialmente sobrejetor:cada objeto de D e isomorfo a F (X) para algum X ∈ D. Em particular, uma equivalencia de categoriasnao precisa ser uma bijecao. Por exemplo, as categorias dadas pelos seguintes grafos sao equivalentes:

•

e •

•

Um funtor plenamente fiel F : C→ D estabelece uma equivalencia entre C e sua imagem, uma subcategoriaplena de D.

Para cada objeto X ∈ C, temos um funtor X : C → Sets dado por X(−) = HomC(X,−). Dizemosque um funtor F : C → Sets e representavel por um objeto X ∈ C se existe um isomorfismo F ∼= X .Uma consequencia direta, mas util, das definicoes acima e o chamado lema de Yoneda, que afirma quepara qualquer funtor F : C→ Sets e para cada X ∈ C existe uma bijecao natural

Hom(X,F )∼- F (X)

φ 7→ φX(idX)

que e funtorial em X , ou seja, quando fazemos X percorrer os objetos de C as bijecoes acima produzemum isomorfismo entre os funtores X 7→ Hom(X,F ) e F . Em particular, temos um isomorfismo natural

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adjunto a esquerdaadjunto a direitadirecionadofiltrante

Hom(X,Y ) = HomC(X,Y ) para cada X,Y ∈ C, mostrando que um objeto que representa um funtor eunico a menos de isomorfismo.

Sejam F : C → D e G: D → C funtores. Dizemos que F e um adjunto a esquerda de G e que(surpresa!) G e um adjunto a direita de F se, para cada X ∈ C e Y ∈ D, existe uma bijecao natural

HomD(F (X), Y )∼- HomC(X,G(Y ))

funtorial em ambas as entradas X e Y : para X fixo, conforme Y percorre os objetos de D, as bijecoesacima dao origem a um isomorfismo entre os funtores HomD(F (X),−) e HomC(X,G(−)), e analogamentepara Y fixo.

3 Limites

3.1 Conjuntos Direcionados e Categorias Filtrantes

Comecamos definindo o nosso “conjunto de ındices”.

Definicao 3.1.1 Uma relacao em um conjunto I e uma pre-ordem se satisfaz os seguintes doisaxiomas:

1. (Reflexividade) i i para todo i ∈ I.2. (Transitividade) se i j e j k entao i k.

Um conjunto pre-ordenado (I,) e chamado de direcionado se, para quaisquer i, j ∈ I, existe k ∈ Ital que i k e j k (ou seja, existe k “majorando” dois elementos i e j quaisquer).

Exemplo 3.1.2 Conjuntos direcionados que aparecem na Natureza sao, por exemplo,

1. o conjunto 2X das partes de um conjunto X (i.e., o conjunto de todos os subconjuntos de X),pre-ordenados pela inclusao ⊆. Dados dois subconjuntos A e B de X , temos que A∪B majoraA e B.

2. os conjuntos de submodulos finitamente gerados de um moduloM , pre-ordenados pela inclusao.Dados dois submodulos N e P , temos que N + P e finitamente gerado e majora N e P .

3. os elementos de um conjunto multiplicativo S de um anel, pre-ordenados pela relacao de divisi-bilidade | em S (i.e., s t ⇐⇒ s | t ⇐⇒ existe u ∈ S tal que t = su). Dados dois elementost, s ∈ S, temos que o produto st majora s e t.

Note que nos dois primeiros exemplos, a relacao de pre-ordem e uma relacao de ordem (i.e., vale apropriedade anti-simetrica), mas nao no ultimo exemplo: se S e o conjunto multiplicativo de Z formadopor todos os elementos nao nulos, temos que 2 | −2 e −2 | 2 mas 2 6= −2.

Um conjunto direcionado (I,) pode ser visto como uma categoria da seguinte forma: os objetosdesta categoria sao os elementos de I e as flechas sao dadas por

Hom(i, j)def=

i→ j se i j∅ caso contrario

para quaisquer i, j ∈ I. Esta categoria e o exemplo mais importante de uma categoria filtrante, como naseguinte

Definicao 3.1.3 Uma categoria I e dita filtrante se satisfaz os seguintes axiomas:

1. Dadas duas flechasj

րiց

k

elas “eventualmente convergem”: existem j → l e k → l tais que o seguinte diagrama comuta:

jր ց

i lց ր

k

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174 Apendice

conexacofiltrantecolimitelimite direto

2. Dadas duas flechasi j

elas podem ser “equalizadas”: existe j → k tal que as composicoes

i j → k

de i para k sao iguais.

3. I e conexa vista como um grafo nao direcionado, i.e., quaisquer dois objetos i e j de I podemser conectados por um caminho de flechas, ignorando as suas orientacoes:

i← x1 → x2 ← x3 → · · · ← xn−1 → xn ← j

Dizemos que a categoria I e cofiltrante se a categoria oposta I e filtrante.

3.2 Colimite ou Limite Direto

Seja I uma categoria filtrante e C uma categoria qualquer. Seja F : I→ C um funtor (covariante). Penseem I com um “conjunto de ındices” para objetos F (i) ∈ C. Queremos definir agora uma especie de“uniao” dos F (i), o chamado colimite ou limite direto de F . Formalmente, o limite direto e umobjeto lim−→

i∈I

F (i) ∈ C, juntamente com “mapas de inclusao” em C

φi:F (i) - lim−→i∈I

F (i) i ∈ I

que sao “compatıveis entre si”, isto e, para qualquer flecha i→ j em I, temos um diagrama comutativo

F (j)φj- lim−→

i∈I

F (i)

F (i)

6

φ i-

e lim−→i∈I

F (i) e o “menor objeto” com a propriedade acima, i.e., satisfaz a seguinte propriedade universal:

dado um “objeto de teste” T ∈ I e uma colecao de morfismos fi:F (i) → T , i ∈ I, compatıveis entre si,ou seja, para qualquer flecha i→ j em I, temos um diagrama comutativo em C

F (j)φj - T

F (i)

6φ i

-

existe um unico morfismo f : lim−→i∈I

F (i)→ T tal que fi = f φi para todo i ∈ I.

Exemplo 3.2.1 (Uniao como limite direto) Seja X um conjunto qualquer e seja I a categoriafiltrante associada ao conjunto das partes de X , com elementos ordenados por inclusao. Considere ofuntor de “inclusao”

F : I→ Set

S 7→ S

Temos que lim−→F = X com os mapas de inclusao usuais S → X . De fato, basta verificar que a

propriedade universal e satisfeita, o que e claro: dar um morfismo (vulgo funcao) f :X → T em Set e omesmo que dar uma famılia de funcoes fS:S → T compatıveis no sentido que fS = fS′ |S sempre queS ⊂ S′.Da mesma forma, seja A um anel e M um A-modulo qualquer. Se I e a categoria filtrante associada aoconjunto de submodulos de M finitamente gerados e F : I → A−Mod e o funtor de inclusao, temos quelim−→F =M : definir um morfismo de A-modulos f :M → T e o mesmo que definir uma famılia compatıvel

de morfismos fN :N → T , N ∈ I, ja que todo elemento m ∈ M pertence a um submodulo finitamentegerado (por exemplo, N = Am).

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funtor constanlimite inversolimite projetivlimite

Podemos expressar a propriedade universal de uma maneira mais sucinta da seguinte forma. Paraum objeto X ∈ C, seja cX : I→ C o funtor constante que leva todo i ∈ I em X e toda flecha em idX .Note que dar uma famılia compatıvel de morfismos fi:F (i)→ X , i ∈ I, e o mesmo que dar um morfismode funtores F → cX . Assim, o limite direto de F pode ser definido agora como qualquer objeto (casoexista) representando o funtor X 7→ Hom(F, cX), ou seja, temos uma bijecao natural

HomC( lim−→F,X) = Hom(F, cX)

f 7→ f φii∈I

Pelo lema de Yoneda ou pela propriedade universal, temos que quaisquer dois limites diretos sao isomorfosentre si.

Exemplo 3.2.2 (Limite Direto de Grupos Abelianos) Seja I uma categoria filtrante e F : I→ Abum funtor. Vamos mostrar que o limite direto de F sempre existe; o mesmo metodo de construcao seaplica a outras categorias alem de Ab. Defina

lim−→Fdef=

⊕i∈I F (i)

H

onde H e o seguinte subgrupo: identificando um elemento g ∈ F (i) com o vetor na soma direta cujai-esima componente e g e cujas demais componentes sao nulas, temos que H e gerado pelas diferencas

xi − xj , xi ∈ F (i), xj ∈ F (j)onde existem flechas f : i→ k, g: j → k em I com

F (f)(xi) = F (g)(xj)

Em outras palavras, identificamos dois elementos na “uniao” dos F (i)’s desde que eles “eventualmenteconcordem”.

Lemma 3.2.3 Se as sequencias

0 - M ′i

- Mi- M ′′

i- 0

sao exatas, entao0 - lim−→

i∈I

M ′i

- lim−→i∈I

Mi- lim−→

i∈I

M ′′i

- 0

tambem e exato.

3.3 Limite ou Limite Inverso

O conceito “dual” de limite direto e o de limite inverso. Novamente seja I uma categoria filtrante, C umacategoria qualquer e F : I→ C um funtor. O limite inverso ou limite projetivo ou ainda simplesmentelimite de F , em sımbolos,

lim←−i∈I

F (i),

e um objeto em C que representa o funtor X 7→ HomC(cX , F ), ou seja, temos a “formula”

HomC(X, lim←−F ) ∼= Hom(cX , F )

Explicitamente, isto significa que temos uma famılia de “mapas de projecao”

ψi: lim←−i∈I

F (i) - F (i) i ∈ I

compatıveis entre si, ou seja, tais que, para cada flecha i→ j, os diagramas

lim←−i∈I

F (i)ψi- F (i)

F (j)?

ψj

-

comutam, e lim←−i∈I

F (i) e o “menor objeto” com esta propriedade: dado um “objeto de teste” T juntamente

com mapas de projecao pi:T → F (i), compatıveis entre si como acima, existe um unico morfismop:T → lim←−

i∈I

F (i) tal que pi = ψi p para todo i ∈ I.

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176 Apendice

separavelseparavelpuramente inseparavelfecho separavelnormalGalois

Exemplo 3.3.1 Seja k um corpo e ks seu fecho separavel. Seja I a categoria filtrante cujos objetos saoos subcorpos l de ks que sao extensoes Galois finitas de k; temos uma flecha l → l′ se, e so se, se l ⊃ l′.Considere ainda o funtor

F : I→ Groups

l 7→ Gal(l/k)

e que associa, para cada flecha l → l′, isto e, para cada inclusao l ⊃ l′, a projecao natural dos grupos deGalois

Gal(l/k) ։ Gal(l′/k)

φ 7→ φ|l′l ⊃ l′

Entao afirmamos que lim←−F = Gal(ks/k), com os mapas de projecao Gal(ks/k) ։ Gal(l/k) usuais. Isto

segue do seguinte fato: dar um elemento σ ∈ Gal(ks/k) e dar uma colecao de elementos σl ∈ Gal(l/k)compatıveis entre si, ou seja, tais que σl|l′ = σl′ sempre que l ⊃ l′. De fato, a partir de σ ∈ Gal(ks/k)podemos definir σl = σ|l e, reciprocamente, dada uma famılia de elementos σl ∈ Gal(l/k) compatıveis,como todo elemento a ∈ ks pertence a alguma extensao Galois finita l ⊃ k, podemos definir σ(a) = σl(a),definicao esta que claramente independe da escolha de l. Portanto, dar um morfismo de grupos p:T →Gal(ks/k) e o mesmo que dar uma famılia de morfismos pl:T → Gal(l/k) compatıveis, logo Gal(ks/k)possui a propriedade universal do limite inverso.

4 Alguns Resultados Algebricos

4.1 Extensoes Algebricas

Seja L ⊃ K uma extensao finita de corpos de grau n = [L : K]. Dizemos que L e separavel sobre K seexistem exatamente n K-imersoes σ1, . . . , σn:L → Kalg de L no fecho algebrico de K.

Teorema 4.1.1 (Elemento Primitivo) Seja L ⊃ K uma extensao separavel finita. Entao L = K(θ)para algum θ ∈ L.

Teorema 4.1.2 As seguintes condicoes sao equivalentes:

1. L ⊃ K e separavel.

2. Todo elemento b ∈ L e separavel, i.e., o polinomio minimal de b sobre K nao possui raızesmultiplas.

3. L⊗K Kalg e reduzida (i.e., nao possui elementos nilpotentes alem de 0).

Um polinomio f(x) ∈ K[x] possui raızes multiplas se, e so se, gcd(f(x), f ′(x)) 6= 1. Se f(x) eirredutıvel, isto ocorre se, e so se, gcd(f(x), f ′(x)) = f(x), isto e, se, e so se, f ′(x) = 0 (pois deg f ′(x) <deg f(x)). Isto significa que f(x) = g(xp) para algum g(x) ∈ K[x] e p = charK > 0. Em particular,extensoes de corpos de caracterıstica 0 sao sempre separaveis.

Definicao 4.1.3 Seja L ⊃ K uma extensao de corpos de caracterıstica p > 0. Dizemos que L ⊃ K epuramente inseparavel se para todo b ∈ L existe um n (que depende de b) tal que bp

n ∈ K.

Note que toda extensao de corpos L ⊃ K pode ser quebrada em uma extensao separavel M ⊃ Kseguida de uma puramente inseparavel L ⊃M . Basta tomar M como o conjunto de todos os elementosseparaveis de L. O corpo M e chamado de fecho separavel de K em L.

Uma extensao de corpos L ⊃ K e dita normal se, para todo b ∈ L, todos os seus conjugadospertencem a L. Uma extensao de corpos e Galois se e normal e separavel.

Teorema 4.1.4 Seja L ⊃ K uma extensao normal e seja G = AutK(L). Seja M o corpo fixo por G:

M = KG def= b ∈ L | σ(b) = b para todo σ ∈ G

Entao L ⊃M e Galois e M ⊃ K e puramente inseparavel.

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algebricamenbase de transcendgrau de transcendtraconorma

4.2 Grau de Transcendencia

Seja L ⊃ K uma extensao de corpos. Um subconjunto Ω = ωi de L e algebricamente indepen-dente sobre K se nao existe relacao polinomial nao trivial entre os ωi, ou seja, dado um polinomiof(x1, . . . , xn) ∈ K[x1, . . . , xn],

f(ωi1 , . . . , ωin) = 0⇒ f(x1, . . . , xn) = 0

para todo subconjunto finito ωi1 , . . . , ωin de Ω.

Um subconjunto maximal (com relacao a inclusao) Ω ⊂ L algebricamente independente sobre Ke chamado de base de transcendencia de L sobre K. Note que Ω e uma base de transcendencia deL sobre K se, e so se, a K-subalgebra K[Ω] de L e isomorfa a um anel de polinomios nas “variaveis”ω ∈ Ω e L e algebrico sobre K(Ω) = FracK[Ω]. Por exemplo, x1, . . . , xn e x21 − x2, x2, . . . , xn saoduas bases de transcendencia de K(x1, . . . , xn) = FracK[x1, . . . , xn] sobre K. Quaisquer duas bases detranscendencia possuem mesma cardinalidade, que e chamada de grau de transcendencia de L sobreK e e denotada por tr. degK L. Assim, no exemplo tr. degK K(x1, . . . , xn) = n.

No caso finito, como para espacos vetoriais, para mostrar que quaisquer duas bases possuem mesmacardinalidade, basta provar o

Lema 4.2.1 (Axioma de troca de Steinitz) Sejam Ω e Ω′ duas bases de transcendencia de L sobreK. Dado qualquer ω ∈ Ω, existe ω′ ∈ Ω′ tal que (Ω \ ω) ∪ ω′ e uma base de transcendencia.

Prova Sejam Ω = ω1, . . . , ωr e Ω′ = ω′1, . . . , ω

′s com ω = ω1. Para cada i = 1, . . . , s, considere uma

relacao polinomial nao trivial pi(ω′i, ω1, . . . , ωr) = 0 entre ω′

i, ω1, . . . , ωr, que existe devido a maximalidadede Ω. Entao pelo menos um dos pi’s deve envolver ω1 nao trivialmente, caso contrario todos os elementosde Ω′, e portanto de L, seriam algebricos sobre K(ω2, . . . , ωr). Mas entao ω1 seria algebrico sobreK(ω2, . . . , ωr), o que contradiz a independencia algebrica de Ω.

Sem perda de generalidade, seja p1(ω′1, ω1, . . . , ωr) = 0 tal relacao envolvendo ω = ω1. Afirmamos

que (Ω \ ω) ∪ ω′1 = ω′

1, ω2, . . . , ωr e uma base de transcendencia de L sobre K. De fato, da maxi-malidade de Ω, temos que L e algebrico sobre K(ω′

1, ω1, . . . , ωr) e a relacao polinomial acima mostra queω1 e algebrico sobre K(ω′

1, ω2, . . . , ωr), de modo que L tambem e algebrico sobre este ultimo corpo, o quemostra a maximalidade de (Ω \ ω)∪ω′

1. Por outro lado, se este ultimo conjunto nao fosse algebrica-mente independente, como ω2, . . . , ωr e algebricamente independente, terıamos que ω′

1 seria algebricosobre K(ω2, . . . , ωr). Mas como acabamos de ver, temos que L e algebrico sobre K(ω′

1, ω2, . . . , ωr) eportanto L seria algebrico sobre K(ω2, . . . , ωr), o que contraria a maximalidade de Ω. Isto completa aprova.

Agora, aplicando Steinitz um numero finito de vezes, podemos transformar Ω em uma base contidaem Ω′ e vice-versa, mostrando que |Ω| = |Ω′|.

4.3 Traco e Norma

Seja B uma A-algebra que e livre como A-modulo de posto finito n. Todo elemento b ∈ B define, pormultiplicacao, uma transformacao A-linear

Mb:B → B

x 7→ bx

Definimos o traco TrB/A(b) ∈ A de b ∈ B como o traco de Mb; da mesma forma, a norma NB/A(b) ∈ Ade b ∈ B e definida como o determinante de Mb. Explicitamente, se ω1, . . . , ωn e uma base de B sobreA, escrevendo

b · ω1 = a11ω1 + a12ω2 + · · ·+ a1nωn

b · ω2 = a21ω1 + a22ω2 + · · ·+ a2nωn

...

b · ωn = an1ω1 + a2nω2 + · · ·+ annωn

com aij ∈ A, temos

TrB/A(b) = Tr(aij) =∑

1≤i≤naii e NB/A(b) = det(aij)

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e, como em algebra linear, mostra-se que estes dois valores independem da escolha da base de B sobreA. Diretamente das definicoes, temos que o traco e aditivo e a norma e multiplicativa: para b1, b2 ∈ B,

TrB/A(b1 + b2) = TrB/A(b1) + TrB/A(b2) e NB/A(b1 · b2) = NB/A(b1) ·NB/A(b2)

Observe ainda que se a ∈ A, entao TrB/A(a) = na e NB/A(a) = an.

Se C e uma B-algebra que e livre de posto finito como B-modulo, temos ainda que

TrC/A = TrB/A TrC/B e NC/A = NB/A NC/B

Isto segue do calculo explıcito com matrizes, utilizando bases B = Aω1⊕· · ·⊕Aωn, C = Bτ1⊕· · ·⊕Bτme C =

⊕1≤i≤n

1≤j≤m

Aωiτj .

Agora, vamos especializar a discussao acima para corpos: seja L ⊃ K uma extensao algebrica finitade grau n = [L : K]. Pelo teorema do elemento primitivo, podemos escrever L = K(θ) = K[θ] paraalgum θ ∈ L com polinomio minimal p(x) ∈ K[x], que possui n raızes distintas θ = θ1, θ2, . . . , θn emKalg. Neste caso, podemos descrever explicitamente as imersoes σi como as composicoes de K-algebras

σi:L = K[θ] ≈ K[x](

p(x)) ≈- K[θi] → Kalg

θ1 7→ x 7→ θi

Assim, se p(x) = xn+an−1xn−1+ · · ·+a0, utilizando a base 1, θ, . . . , θn−1 de L sobre K, temos que para

calcular a norma e o traco de θ, precisamos calcular o determinante e o traco da “matriz companheira”de p(x):

0 0 · · · 0 −a01 0 · · · 0 −a10 1 · · · 0 −a2

...0 0 · · · 1 −an−1

PortantoTrL/K(θ) = −an−1 =

∑

1≤i≤nθi =

∑

1≤i≤nσi(θ)

NL/K(θ) = (−1)na0 =∏

1≤i≤nθi =

∏

1≤i≤nσi(θ)

e, em geral, temos

Lemma 4.3.1 Seja L ⊃ K uma extensao algebrica finita separavel de corpos de grau n = [L : K] esejam σ1, . . . , σn:L → Kalg as n K-imersoes de L no fecho algebrico de K. Entao, para todo b ∈ L,

TrL/K(b) =∑

1≤i≤nσi(b) e NL/K(b) =

∏

1≤i≤nσi(b)

Prova Seja m = [K(b) : K]. Temos, pelo calculo acima, que

TrL/K(b) = TrL/K(b) TrK(b)/K(b) = m ·∑

τ

τ(b)

onde τ percorre as m K-imersoes de K(b) em Kalg. Como L ⊃ K(b) e separavel, temos que cadaK-imersao τ :K(b) → Kalg se estende para exatamente n/m = [L : K(b)] K-imersoes de L em Kalg.Portanto

TrL/K(b) = m ·∑

τ

τ(b) =∑

1≤i≤nσi(b)

como desejado. A prova para a norma e analoga.

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Teorema 4.3.2 (Basic properties of norms e traces) Seja K/k be a finite extensao of corpos ofgrau n.

1. The trace e k-linear e the norm e multiplicative: para todo α, β ∈ K e a, b ∈ k,

TrK/k(aα+ bβ) = aTrK/k(α) + bTrK/k(β)

NK/k(αβ) = NK/k(α)NK/k(β)

TrK/k(a) = na e NK/k(a) = an

2. Seja ns e ni denote respectively the graus of separability e inseparability of K/k. ha exactly nsk-embeddings (i.e., embeddings that restrict to the identity on k) of K into an algebrico closurekalg of k; denote them por σ1, σ2, . . . , σns

. Entao, para qualquer α ∈ K,

TrK/k(α) = ni∑

1≤j≤ns

σj(α) e NK/k(α) =( ∏

1≤j≤ns

σj(α))ni

In particular, the trace e zero se the extensao e inseparable.

3. (Transitivity) Seja L/K be another finite extensao of corpos e seja α ∈ L. Entao

TrL/k(α) = TrK/k TrL/K(α)

NL/k(α) = NK/k NL/K(α)

Prova 1. Follows easily from the definitions.

2. Seja p be the characteristic of k. Se p(X) denotes the minimal polinomio of α sobre k, we may writep(X) = f(Xpe) para algum f(X) = Xd + cd−1X

d−1 + · · · + c0 com distinct roots r1, r2, . . . , rd in kalg.We may assume that αp

e

= r1. Como ni/pe e an integer e nins = n, temos

( ∏

1≤j≤ns

σj(α))ni

=( ∏

1≤j≤ns

σj(r1))ni/p

e

=( ∏

1≤j≤drns/dj

)ni/pe

=( ∏

1≤j≤drj

)n/(dpe)

But por the last example we also have

NK/k(α) = (−1)ncn/(dpe)

0 = (−1)n((−1)d

∏

1≤j≤drj

)n/(dpe)=( ∏

1≤j≤drj

)n/(dpe)

The argument works similarly para the trace. Moreover, se the extensao e inseparable, ni e a power ofp, so the trace vanishes.

3. Seja ms e ns be respectively the graus of separability of L/K e K/k, e mi e ni be respectively

the graus of inseparability of L/K e K/k. Seja τ1, . . . , τmsbe the K-embeddings of L into kalg, e seja

σ1, . . . , σnsdenote extensoes of the k-embeddings of K to algum normal extensao of k containing L.

Entao σiτj sao the msns k-embeddings of L. Como the grau of inseparability of L/k e mini, temos

NL/k(α) =( ∏

1≤i≤ns

∏

1≤j≤ms

σiτj(α))mini

=( ∏

1≤i≤ns

σi(NL/K(α)))ni

= NK/k NL/K(α)

e similarly para the trace.

4.4 Discriminante

Sejam ω1, . . . , ωn e τ1, . . . , τn bases de K sobre Q e seja C = (cij) a matriz de mudanca de base:

ωi = ci1τ1 + · · ·+ cinτn i = 1, . . . , n

Sejam ∆(ω1, . . . , ωn) = (TrK/Q(ωiωj)) e ∆(τ1, . . . , τn) = (TrK/Q(τiτj)) os discriminantes das duas bases.Entao

∆(ω1, . . . , ωn) = ∆(τ1, . . . , τn) · (detC)2

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torsion free moduloe ambos os discriminantes sao nao nulos.

Sejam σi:K → C as imersoes de K em C e considere a matriz δ(ω1, . . . , ωn) = (σj(ωi)). Multipli-cando pela transposta, temos

δ(ω1, . . . , ωn) · δ(ω1, . . . , ωn)T =

( ∑

1≤k≤nσk(ωi)σk(ωj)

)=(TrK/Q(ωiωj)

).

Por outro lado,

δ(ω1, . . . , ωn) =( ∑

1≤k≤ncikσj(τk)

)= C · δ(τ1, . . . , τn).

Assim,

∆(ω1, . . . , ωn) = (det δ(ω1, . . . , ωn))2 = (detC)2 · (det δ(τ1, . . . , τn))2

= (detC)2 ·∆(τ1, . . . , τn)

Como detC 6= 0, para mostrar que estes discriminantes sao nao nulos, basta mostrar isto para uma baseespecıfica. Escrevendo K = Q(θ) (teorema do elemento primitivo ), temos que 1, θ, . . . , θn−1 e uma basede K sobre Q. Sendo θi = σi(θ) os conjugados de θ, temos o determinante de Vandermonde

det δ(1, θ, θ2, . . . , θn−1) = det(θi−1j ) =

∏

1≤i<j≤n(θi − θj) 6= 0.

Este determinante, e portanto ∆(1, θ, . . . , θn−1) = det δ(1, θ, . . . , θn−1)2, sao nao nulos pois os conjugadosθi sao dois a dois distintos

4.5

Teorema 4.5.1 Todo PID e a UFD.

Prova Seja A be a PID; we first mostrar que todo element r ∈ R − (R× ∪ 0) can be written as aproduct of irredutıvels. Se r e not itself an irredutıvel, we can write it as r = ab com a, b /∈ R×. Se eithera or b e not irredutıvel, say the first, we can repeat the process e write a = cd, c, d /∈ R×. The questionentao e whether this will eventually stop. The answer e yes: se not, there would be a sequence of elementsr0 = r, r1 = a, r2 = c, . . . of A e a strictly increasing chain of ideals (r0) ( (r1) ( (r2) ( · · ·; however, theideal

⋃i≥0(ri) = (r0, r1, r2, . . .) e principal. Seja s ∈ R be a generator. In particular, como s ∈ ⋃i≥0(ri),

existe n tal que s = xrn para algum x ∈ R. But we also have rn+1 ∈⋃i≥0(ri) = (s) = (xrn) ⊂ (rn),

portanto (rn+1) = (rn), which e a contradiction.

Second, now that we know that factorisation into irredutıvels e possible, temos to prove that todoirredutıvel p ∈ R e prime. So suponha that p | xy but p ∤ x; we need to mostrar que p | y. The ideal(p, x) e principal; como p e irredutıvel e p ∤ x, it must be equal to (1). In other words, ha a, b ∈ R talque 1 = ap+ bx. Multiplying por y, temos y = ay · p+ b · xy, which shows that p | y.

The last topic of our review e an easy special case of the structure theorem of finitamente geradomodulos sobre a PID, which will be sufficient para our applications. Recall that an A-modulo M e saidto be torsion free se rm = 0 para algum r ∈ R e m ∈M implies r = 0 or m = 0.

Teorema 4.5.2 (Modulos sobre a PID) Seja A be a PID.

1. Seja M be a free A-modulo of finite rank. Entao qualquer submodulo N of M e also free offinite rank.

2. Todo finitamente gerado torsion free A-modulo e free.

Prova 1. Seja e1, . . . , en be a base of M e seja πi:M → R, i = 1, . . . , n, be the correspondingcoordinate functions, i.e., the A-modulo morfismos defined por πi(ei) = 1 e πi(ej) = 0 para j 6= i.Consider the ideal π1(N); como A e a PID, we can write π1(N) = (r1) para algum r1 ∈ R. Seja v′1 ∈ Nbe tal que π1(v

′1) = r1. Next, we look at the submodulo N1 = v ∈ N | π1(v) = 0 of N e repeat the

procedure: write π2(N1) = (r2) e choose algum v′2 ∈ N1 tal que π2(v′2) = r2. In general, we recursively

define Ni = v ∈ Ni−1 | πi(v) = 0 e pick v′i+1 ∈ Ni tal que πi+1(v′i+1) generates πi+1(Ni). Deleting the

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diagonalzeros amongst the v′1, . . . , v′n, obtemos elements v1, . . . , vm ∈ N which we claim e a base para N . In fact,

por construction, the first i− 1 coordinates of v′i sao 0:

v′1 = r1e1 + · · ·v′2 = r2e2 + · · ·v′3 = r3e3 + · · ·

e so on. This implies that the vi sao linearly independent. Furthermore, se v ∈ N has the formv = a1e1 + · · ·+ anen, ai ∈ R, como a1 ∈ (r1), existe s1 ∈ R tal que v − s1v′1 ∈ N1; applying the samereasoning com v − s1v′1 e N1 in place of v e N , we can find s2 ∈ R tal que v − s1v′1 − s2v′2 ∈ N2 e so on.Portanto v = s1v

′1 + · · ·+ snv

′n para algum si ∈ R, which shows that the vi generate N .

2. SejaM be a finitamente gerado torsion free A-modulo e seja e1, . . . , em be a set of generators; we mayassume that e1, . . . , en, n ≤ m, sao linearly independent, e that they sao maximal com this propriedadeamong todo the subsets of ei. Entao ha nonzero ai ∈ R tal que aien+i = ri1e1+ · · ·+rinen para algumrij ∈ R. Seja a = a1 . . . am−n 6= 0. Entao aM ⊂⊕1≤i≤nRei, portanto aM e free por (1). But como Me torsion free, multiplication por a e injetivo, portanto M e also free.

5 Exercıcios

01. (Furstenberg) Para a, b ∈ Z, seja Ua,b = a+ nb | n ∈ Z.(a) mostrar que the sets Ua,b form a base para a topology on Z. Observe that in this topology qualquer

non-empty open set e infinite e Ua,b e both open e closed.

(b) mostrar que Z \ −1, 1 = ⋃p U0,p, onde p runs sobre todo prime numbers. Use this fact to mostrarque ha infinitamente many primes.

02. mostrar que X e Hausdorff se, e so se, the diagonal ∆(X) = (X, x) ∈ X ×X | X ∈ X e a closedset in X ×X .

03. (Irredutıvels in Z[i])(a) Seja p ≡ 1 (mod 4) be a prime number. mostrar que the equation X2 + 1 ≡ 0 (mod p) has a

solution. Conclude that p e not an irredutıvel in Z[i] e portanto e the sum of two squares in Z.(b) mostrar que the irredutıvels of Z[i] sao 1+ i, prime numbers p ≡ 3 (mod 4), e elements of the form

a+ bi, onde a e b sao integers tal que a2 + b2 = p para a prime number p ≡ 1 (mod 4).

04. Seja A be a UFD.

(a) (Gauss’ lemma) Seja S be the set of polinomios p(X) = cnxn + · · ·+ c0 in R[X ] whose coefficients

sao relatively prime, i.e., u | ci para todo i implies u ∈ R×. mostrar que se p(X), q(X) ∈ S entaop(X)q(X) ∈ S. Conclude that a polinomio in R[X ] e irredutıvel in R[X ] se, e so se, it e irredutıvelin k[X ], onde k e the quociente corpo of A.

(b) Prove that R[X ] e a UFD. Portanto k[X1, . . . , Xn], k a corpo, e a UFD. Caution: Se A e a UFD,entao R[[X ]] (see definition below) e not necessarily a UFD.

05. Seja K be a number corpo. mostrar que α ∈ OK e a unit se, e so se, NK/Q(α) = ±1. Find the groupof units of O

Q(√d), onde d < 0 e a square-free integer.

06. Seja p be a prime number e ζ be a primitive p-th root of 1. mostrar que

(a) TrQ(ζ)/Q(ζk) = p− 1 se k = 0 e TrQ(ζ)/Q(ζ

k) = 0 se k = 1, . . . , p− 1.

(b) the discriminant ∆(1, ζ, . . . , ζp−2) = (−1) p−12 pp−2.

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Chapter 10

Bibliografia

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