PÓS-GRADUAÇÃO

PROJETO “AVEZ DO MESTRE”

Um Estudo Sobre a Evolução da Matemática como uma Ciência Intuitiva

Por Mauro Lúcio Feital Orientador Prof. Marco Antônio Chaves

Rio de janeiro, RJ, agosto de 2001

II

PÓS-GRADUAÇÃO

PROJETO “A VEZ DO MESTRE”

Um Estudo Sobre a Evolução da Matemática como uma Ciência Intuitiva

Por Mauro Lúcio Feital Trabalho Monográfico apresentado como requisito parcial para a obtenção do Grau de Especialista em Docência do Ensino Fundamental e do Grau Médio.

Rio de Janeiro,RJ, agosto de 2001

III

Genealogia de nossos digitos segundo Karl Menninger, Zahlwort und Ziffer (

Göttingen, RFA:Vanderhoeck & Ruprecht, 1957-1958, 2 vols) II,233.

IV

DEDICATÓRIAS. Quero dedicar este trabalho, ao qual me entreguei com a vontade de todos os grandes projetos de minha vida:

A meus saudosos pais, Seu Jovito e D. Zilpa, que sempre acreditaram em mim.

Às mulheres da minha vida, Maria de Lourdes, . que enquanto viva, sempre me tolerou e a Idelícia F. Feital que sempre me incentivou

A meu filho Marcus Thadeu, e a meus enteados Carlos Antônio e João Ricardo que sempre fizeram a minha vida o mais colorida e agitada possível.

V

AGRADECIMENTOS. Quero agradecer á todos aqueles que tornaram possível a execução deste trabalho: Aos mestres que me orientaram na sua elaboração, e

especialmente, a minha esposa Idelícia, que se permitiu privar de minha presença durante todas as horas necessárias a sua execução.

VI

“A educação esteve, portanto, nos alicerces das nações modernas desde as primeiras revoluções antifeudais do século XVI. Na Inglaterra

a energia que lançaria na História seu imenso império - alem da Revolução Industrial – veio desses impulsos remotos, que exorcizaram a fatalidade

como explicação para os infortúnios da vida, fizeram o domínio da natureza parecer possível e desejável, transformaram a ampla cidadania numa fonte

de vitalidade nacional. Nisso não foi exceção. Foi regra histórica. Um século e meio depois dos

Ingleses, as revoluções francesas e prussianas retomariam a universalização da educação como chave do igualitarismo e também para multiplicar

cidadãos formados em ofícios mais práticos do que a cultura de nobres letrados.

Todas estas revoluções, não por acaso, produziram impérios políticos e econômicos.”

Sérgio Costa Ribeiro -VEJA- 25 ANOS – Reflexões para o Futuro

VII

SUMÁRIO RESUMO…………………………………………………………………………6

INTRODUÇÃO:

………………………………………………………………….7

CAPÍTULO I – A Grafia, O Simbolismo, e o Pensamento Lógico.....……..…10

CAPÍTULO II- A Matemática grega: Ascenção e Decadência...............……...15

CAPÍTULO III- A China e a Índia, novas ideias e novos símbolos.............…...17

CAPÍTULO IV- A contribuição Árabe ………………..……………….…….…22 CAPÍTULO V- O papel da Idade Média…………….……………………….….23 CAPÍTULO VI- O Renascimento…………….. …………………………….…...25 CAPÍTULO VII- Do Renascimento ao Mundo Moderno………………….…...28 CONCLUSÕES- …………………………………………………………………..31 BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………..…34 ANEXOS

VIII

RESUMO O objetivo deste trabalho monográfico é apresentar um estudo sobre a

evolução da ciência da matemática, desde, aproximadamente, 2500 anos AC até a era

moderna, como de caracter espontâneo/intuitivo/evolutivo, em que os conhecimentos

produzidos nas diversas culturas em épocas anteriores, serão sempre utilizados por

seus estudiosos ou seguidores, mesmo que de outras culturas, em novos avanços, em

um caracter sempre cumulativo e muito significativo. A tese abordada por este

trabalho procura estudar, analisar e demonstrar que, da teoria dos números ao

conhecimento de métodos matemáticos, póde ser abservado que nenhum povo ou

cultura desenvolveu seu conhecimento de maneira isolada e estanque. A conclusão

observada, seria de que todas as culturas, de alguma forma, aproveitaram algum

desenvolvimento oriundo de alguma cultura anterior ou vizinha, mesmo que para

corrigir deficiências próprias. Algumas enfatizando mais um aspecto peculiar, devido

às suas necessidades ou interesses, outras enfatizando outros aspectos. Contudo,

esta evolução sempre foi contínua, com alguns saltos mais significativos em

determinadas oportunidades, quando por força do surgimento de algum estudioso

mais bem dotado intelectual e intuitivamente, se conseguia suprir alguma lacuna de

conhecimento muito significativa. Pode ser observado ainda nas conclusões que, nos

períodos de grande estagnação cultural, esta certamente foi provocada pela

descontinuidade de conhecimento da cultura anterior ou vizinha, o que foi

demonstrado muito significativamente no Período Medieval e até no Renascimento.

IX

INTRODUÇÃO

Elza F. Gomide, na Apresentação, pg 18, da sua tradução da “ A História da

Matemática” ( BOYER,Carl B. A História da Matemática. 2 Ed.São Paulo,Edgard

Blücher,1996), cita “ ...A história das dificuldades , esforços, tempos envolvidos em

toda a evolução da matemática dá a medida da grandeza desta realização humana.

Não deixa persistir a impressão, que o ensino pode dar, de algo que caiu do céu

pronto e perfeito. Tudo, inclusive o que já nos parece trivial, agora que sabemos

alguma coisa, tudo nos custou erros, tentativas, até que um resultado fosse

construido...”

Durante toda a vida acadêmica, foi sempre persistente aquela leve impressão

de que poderia faltar alguma coisa. De onde teria surgido tal gama de conhecimentos

que foi sendo apresentada, desde os tempos de alfabetização? Conhecimentos que

davam sempre aquela impressão de origem mágica, quase divina, sem que nunca se

apresentassem ou fossem claras sequer, maiores informações sobre a forma e o custo

da aquisição de tal saber?

Exceto a origem arábica da grafia dos números, raramente era informado ou

conhecido algo mais que o pretenso autor intelectual deste ou daquele teorema, desta

ou daquela equação, deste ou daquele método.

A luta pela aquisição do conhecimento profissional, e a sua implantação nas

atividades afins de realização, relegou, se não ao esquecimento, pelo menos ao

segundo plano todas estas indagações. Contudo, sempre se aguardou uma

oportunidade para esclarecer estas dúvidas e se aprofundar no caminho trilhado por

outros para que se pudesse chegar ao estágio atual deste saber.

Esta oportunidade surgiu com a realização deste trabalho, com o qual se

pretende, se não tirar todas as dúvidas, o que seria de muita pretensão para uma

pequena monografia, mas pelo menos esclarecer algumas e ainda balizar um caminho

e apontar uma direção em um possível trabalho futuro de maior vulto.

Em todo o desenvolvimento deste trabalho sempre houve a preocupação e

uma premissa básica em apontar as idéias dos vários autores pesquisados sobre o “

X

COMO ? “ e principalmente o “ PORQUE ? ”, as quais sempre foram as dúvidas

presentes todos estes anos.

Sempre foi tambem uma grande dúvida, o método pelo qual se poderiam

esclarecer as razões do desenvolvimento desta ciência, que foi sempre pré-julgada,

durante a vida profissional, ser essencialmente intuitiva. Mas nesta possibilidade, por

que só alguns “ iluminados “ conseguem ter esta divina intuição que os leva a

conseguir respostas inesperadas à dúvidas inexplicáveis ?

KUHN, Thomas S. na sua obra A Estrutura das Revoluções Científicas. 5

Ed.São Paulo. Perspectiva,2000, pg 23, relata que pretendia desenvolver uma

determinada dissertação para Mestrado em Física, contudo, diz ele, “... um afortunado

e inesperado envolvimento em um curso de História da Ciência em que se

apresentavam teorias e práticas cientificas antiquadas veio a minar radicalmente

algumas das minhas concepções básicas a respeito da ciencia e das razões do

sucesso desta...” e concluiu por enfluenciar e mudar drasticamente seus planos de

pesquisa e profissionais.

Esta conclusão, de imediato, possibilitou tambem balizar este trabalho logo

direcionado para a pesquisa histórica, na procura das respostas almejadas.

Assim, uma dificuldade inicial às respostas a primeira pergunta ( o

COMO?), logo foi encontrada ao pesquisar a bibliografia sobre o assunto. Poucas e

dificeis de encontrar são as obras sobre o assunto. E, se no dizer de Elza Gomide

“...São muitas as Histórias (sobre a matemática), não muitas as que são boas...”,

nota-se, ao pesquisar a sua tradução da obra de BOYER, algumas referências às obras

de origem alemã ou francesa, poucas às de lingua inglesa e, pode-se constatar

durante toda esta pesquisa, quase inexistentes, às de origem ou vertida ao

português.

Esta dificuldade, que sempre se constituiu em um obstáculo muito grande

aos fins pretendidos e limitou imensamente o campo de pesquisa, porem não

impediu de concluir o objetivo proposto inicialmente.

A resposta a segunda pergunta ( o POR QUE?), certamente estaria embutida

no contexto cultural dos povos pesquisados, nas suas necessidades e, eventualmente,

XI

como se pode ver neste estudo e nos clássicos gregos, na profunda inquietação da

alma humana.

Esta pesquisa foi desenvolvida segundo uma metodologia Descritiva,

Qualitativa, Bibliográfica, utilizando os pensamento e as informações dos vários

autores

relacionados na bibliografia apresentada.

XII

CAPÍTULO I

A Grafia, O Simbolismo, e o Pensamento Lógico

BOYER,Carl B. A História da Matemática. 2 Ed.São Paulo,Edgard

Blücher,1996, tambem não apresenta respostas às questões iniciais levantadas. Pelo

contrário, deixa mais dúvidas, quando aponta que, nas palavras de Aristóteles ( 380-

324 aC), a geometria teria surgido no vale do Nilo porque lá os sacerdotes egpícios

tinham o lazer necessário para desenvolver o conhecimento teórico (pg 34).

Contudo, os registros mais antigos da existência alguma matemática egípcia,

apontam segundo BOYER, para calendários com origem em 2773 aC, outros

registros encontrados, como o Papiro de Ahmes, porem apresentam a existência de

algum exercício matemático, já bastante sedimentado, por volta de 2000 aC.

Por outro lado, este autor esclarece que, a necessidade de medições periódicas

de áreas de cultivo, devido ao apagamento das áreas demarcadas anteriormente pelas

cheias anuais do Nilo, seria a causa do surgimento dos agrimessores ou “

estiradores de corda ”, no dizer irónico dos gregos contemporâneos à Aristóteles.

Já KAPLAN, Robert. O Nada que Existe. Uma História Natural do Zero. Rio,

Rocco, 2001, situa o início desta historia em, aproximadamente, 5000 aC com os

sumérios, uma civilização mesopotâmica bastante avançada tanto nos conceitos como

na maneira de grafar, conservar e difundir as informações sobre a ciencia dos

números. Este autor baseia no comércio e nas religiões os fatores principais para o

desenvolvimento desta ciência nesta antiga cultura. Segundo ele, como religião, se

entende a necessidade de controlar o número de cada espécie de oferendas aos

deuses em seus templos.

De qualquer modo, na sua obra, HOWARD, Eves, Unicamp, 1995, com base

nos registros mais antigos reportados do Egito, se por um lado justifica o surgimento

da teoria dos números como uma necessidade prática imediata no trabalho dos

agrimessores, por outro lado procura razões para justificar o primitivo manuseio

matemático sem uma aplicação maior, somente como exercício de uma habilidade

intelectual.

XIII

Nota-se aí portanto, o surgimento de dois conceitos distintos, segundo suas

palavras. O primeiro deles consistiria na utilização de uma matemática prática,

aplicativa, de base decimal e de uso cotidiano, em que é grande a utilização de

frações unitarias do tipo 1/ N para representar os mais variados números. Este

método seria para utilização imediata e corriqueira, como por exemplo, definir a

quantidade de material a ser utilizada em construçòes, as próprias dimensões destas

construções, assim como a quantidade de alimento que se fazia necessária para suprir

os trabalhadores ou como esta deveria ser dividida e, principalmente, para exercer a

atividade de contagem de tempo ou o estabelecimento de calendários.

Mas havia tambem uma outra matemática, sem utilização prática imediata, que

pareceria ser mais adequada a um usofruto do pensamento abstrato ou um recurso de

lazer cultural, a qual contudo utiliza ainda assim, os mesmos conceitos numéricos de

fração unitária utilizados na “outra” matemática.

Aí parece ficar evidente, segundo BOYER, nas palavras de Aristóteles, na

grafia hierática ou “sagrada” dos números, utilizada em ambientes restritos, em

contraposição ao uso mais corrente e pouco flexivel do hieróglifo, que deveria ser

mesmo reservado um papel místico ou sacerdotal aos manipuladores destes recursos.

BOYER aponta ainda que, em um papiro existente no British Museum, datado

provavelmente de 1650 aC, o escriba AHMES que o copiou nesta grafia hierática ou

“sagrada”, promete no que parece ser um tom místico “... fornecer um estudo

completo e minucioso de todas as coisas... e o conhecimento de todos os segredos...”.

Este papiro, de fato, permitiu uma visão, se não completa, pelo menos muito

apurada dos métodos matemáticos e da grafia dos números utilizada no antigo Egito.

Se na civilização egípcia, os indícios parecem apontar que o manuseio mais

complexo dos números era efetuada de uma forma restrita e em um âmbito mais

místico e sacerdotal, BOYER tambem utiliza este fato como justificativa para uma

estagnação por quase 2000 anos, após um período de brilhante avanço na

manipulação dos números.

Contudo, outra civilização, que BOYER, HOWARD ou KAPLAN não

esclarecem, se de uma forma autônoma ou de alguma outra forma influenciada pelos

egípcios, no vale mesopotâmico, desenvolve brilhantes conceitos matemáticos e

XIV

tambem uma grafia dos números, chamada numeração cuneiforme, que lhes permite

rapidamente superar os métodos, conhecimentos e dificuldades egípcias.

Ambos os autores apontam que as civilizações babilônicas desenvolvem e

utilizam um sistema tambem de fração unitária, porem de base sexagesimal, ao

contrário do sistema de base decimal egípcio, e com isto parecem querer contornar as

dificuldades imediatas daqueles e nos legam até os dias atuais, influência nos

sistemas de medidas angulares e influnciam tambem a matemática utilizada na

astronomia pelos gregos, romano e Europa, de uma maneira que persiste até o

Renascimento.

Sua escrita cuneiforme e seus métodos de preservação e transporte do seu

conhecimento atraves de tabletas de barro cozido nos permite ter uma visão farta e

detalhada de seus métodos de manuseio matemático ao contrário de seus

contemporâneos egípcios com seus papiros de dificil conservação e mesmo das

civilizações helênicas das quais pouco se conservou como registro dos métodos e

manuseio. E o pouco que se tem registrado são de relatos posteriores as épocas

pesquisadas.

As civilizações babilônicas, até 600 aC, nos deixaram fartos registros de uma

cultura matemática muito rica, com um desenvolvimento abstrato muito mais

profundo que o egípcio, com surpreendentes conceitos lógicos de abstração

matemáticas e geométricos cujos similares só vieram a serem encontrados nos dias

atuais

Assim, tanto BOYER quanto HOWARD, relatam que, embora métodos de

tratamento da geometria dedutiva sejam creditados a Tales de Mileto (624/548 aC) e

Pitágoras de Samos (600/580 aC), muito se pode encontrar de registros de métodos e

tratamentos equivalentes nas civilizações egípcias e babilônias de muitos séculos

anteriores. Relata ainda a existência, em muitos registros históricos posteriores, das

viagens destes dois personagens históricos, às civilizações babilônicas e egípcias.

De qualquer forma BOYER aponta como a contribuição decisiva no

desenvolvimento matemático da civilização grega, a grafia mais racional dos

números, com a numeração JÓNIA, em que foi utilizado parcialmente o princípio

posicional, tornando mais flexível o manuseio e manipulação complexa dos números,

e muito mais fácil o raciocínio abstrato no uso da lógica matemática. Deixa ainda sem

XV

sombra de dúvida, que os conceitos de abstração matemática, de utilização restrita ao

meio sacerdotal do antigo Egito, já abandonados pelas civilizações babilônicas, passa

agora na civilização grega a ser encarado como uma filosofia de pensamento,

principalmente com a escola pitagórica e seus seguidores.

Porem KAPLAN aponta que, de forma alguma, uma grafia como a utilizada

por sumérios, gregos ou egípcios poderia se um obstaculo maior a um

desenvolvimento de uma matemática dedutiva mais avançada, “ pois ainda hoje

usamos constantemente alguns artificios na grafia dos números ”, baseados

principalmente no contexto em que tal grafia seria utilizada. E, se haveria uma

carencia de um zero e de uma vírgula para possibilitar um conceito posicional

apurado nestas civilizações, de forma alguma isto significaria uma dificuldade maior

quando se tem, nas questões comerciais, um conceito sobre o valor de uma

mercadoria.

Sendo assim, não seria de forma alguma compatível, como ainda hoje, utilizar

valores numéricos inadequados ao contexto que se quer retratar, como por exemplo

cotar o preço de um produto (comum nas épocas em questão) em valores ou muito

acima ou muito abaixo de seu valor comum.

KAPLAN aponta ainda que, se estas antigas civilizações utilizavam um

mesmo símbolo para representar coisas ou valores diferentes, hoje ainda se faz o

mesmo quando por exemplo se emprega o mesmo símbolo para representar aspas e

para representar polegadas e sempre se sabe quando utilizar tais sinais pelo contexto

envolvido.

Porem, segundo BOYER, se a carência de uma grafia numérica mais flexível

causou alguns tropeços e atrasos no desenvolvimento da matemática grega, contudo

causou um extraordinário desenvolvimento de uma geometria intuitiva que substituiu

os conceitos da álgebra moderna quase totalmente.

Alguns conceitos matemáticos intuidos atravéz da geometria grega ainda

causam assombro até hoje. Pensadores matemáticos como Aristóteles, Anaxágoras,

Hípias, Filolau, Arquitas, Zeno, Demócrito, Teodoro, Eudoxo, Euclides, Menaecmus,

Dinostratos e o mais famoso deles, Arquimedes, ainda hoje são estudados como

homens que conseguiram resultados tão assombrosos com ferramental matemático

exclusivamente geométrico intuitivo.

XVI

O mais fantástico é que todo o resultado obtido provem unicamente de um

pensamento de matemática abstrata, que só circulava nos meios eruditos. Apesar dos

célebres desafios a que se submetiam voluntariamente, a maior parte dos conceitos

emitidos só teriam valor neste meio erudito.

E estes desafios eram muitos e cada vez mais complexo. Quadratura do

círculo, trisseção de um ângulo, duplicação de um cubo, quadraturas das lunas, eram

conceitos de quase ou nenhum uso prático, que só tinham valor como

desenvolvimento de um pensamento cada vez mais geométrico e abstrato e no meio

matemático-erudito.

E foi devido a todo este desenvolvimento matemático de seus pensadores, que

o período em torno de 600 aC até 200 aC , BOYER chamou de a Idade do Ouro do

pensamento intuitivo matemático grego.

Contudo não se pode deixar de admirar que os avanços conseguidos por estes

pensadores, foram obtidos com tão pouco ferramental. Equações de primeiro grau,

de segundo grau, tabelas de quadraturas, de cúbicas, equações cúbicas, áreas

poligonais, os poliedros, as curvas, os sólidos, princípios de trigonometria,

proporções, o desenvolvimento do estudo dos números, os princípios de uma

matemática infenitesimal com os paradóxos de Zeno e de uma geometria analítica

com Papus, todos são conceitos dificeis de se aceitar como poderiam ter sido

desenvolvidos naquele ambiente, e não obstante o foram.

Deve-se ainda a Ptolomeu de Alexandria (150 dC) a divisão da

círcunferência em 360º , as subdivisões em sessenta partes minutae primae e

sessenta partes minutae secundae e os princípios gerais de alguma coisa que mais

tarde seria a trigonometria. Nota-se aí segundo BOYER, a herança do sistema

sexagesimal mesopotâmico. Seu Almagesto, em que são apresentadas estas ideias, foi

utilizado para a ciência da astronomia por mais de 1400 anos.

XVII

CAPÍTULO II

A Matemática grega: Ascenção e Decadência

Se a época de ouro da matemática Grega decorreu segundo BOYER (Carl B.

A História da Matemática. 2 Ed.São Paulo,Edgard Blücher,1996) de em tôrno de 600

aC até perto de 200 dC, desta época até 600 dC aproximadamente , ocorreu uma

progressiva decadência do pensamento lógico abstrato grego, sem que se houvesse

apresentado um herdeiro à altura desta tradição.

A civilização romana não apresentou nenhuma figura de peso que desse

prosseguimento ao pensamento grego, e até pelo contrário, BOYER aponta como as

contribuições da civilização romana à ciencia da matemática, alem da morte de

Arquimedes por mãos de um soldado romano, comandado por Marcelo, durante o

cerco de Siracusa , a recuperação do túmulo de Arquimedes por Cícero, grande

orador romano durante o período em que foi Questor na Cicília.

Segundo BOYER (pg 98) “ ...durante toda sua longa história, a Roma antiga

pouco contribuiu para a ciência e a filosofia e menos ainda para a matemática. Tanto

durante a republica com durante o império, os romanos mnostraram pouca

inclinação para a investigação especulativa ou lógica. As artes práticas como a

medicina e a agricultura eram cultivadas com algum interesse, e a geometria

descritiva era olhada favoravelmente. Projetos notáveis de engenharia e monumentos

arquitetônicos se relacionavam com os aspectos mais simples da ciência, mas os

construtores romanos se satisfaziam com as técnicas práticas elementares que

requeriam muito pouco conhecimento da grande massa do pensamento grego...”.

Contudo mesmo um pequeno renascimento da cultura matemática grega entre

período de 200 dC a 600 dC foi o suficiente para fazer surgir e projetar nomes como

Diofante, Nicômaco, Papus e Hipátia, filha de Teon , cujo assassinato em 415, na

cidade de Alexandria, por uma turba enfurecida representou o marco do fim do

brilhantismo grego na matemática intuitiva.

Porem, mesmo este pequeno recrudescimento, foi suficiente para continuar a

projetar conceitos que influenciaram e atrairam o pensamento de estudiosos árabes e

hindus, e permitiram que, atravez de traduções nestes ediomas, se preservassem

muitas obras da cultura grega, que de outra forma se perderiam.

XVIII

Estes conhecimentos matemáticos influenciaram o pensamento ocidental e

nortearam o estudo e o aprendizado desta ciência por toda a Idade Média e por parte

do Renascimento.

Há que se notar ainda assim as principais contribuições destes pensadores

gregos neste período final do seu brilhante desenvolvimento matemático, e

principalmente, reconhecer o papel importante da Universidade de Alexandria com

centro aglutinador e impulsionador de todo este desenvolvimento cultural, pois foi

atravez de Diofante que se implementou o surgimento de uma nova filosofia

matemática, com o desenvolvimento dos princípios de um pensamento que mais tarde

daria a origem a álgebra, assim como tambem dos princípios elementares da

geometria analítica atravez de Papus, quando esta só foi se desenvolver plenamente já

no século XVII, com Descartes.

Com o fim de mais este brilhante período do pensamento grego, foi tambem

determinado o fim de uma era denominada por BOYER de Período Alexandrino, ou

da influência dos pensadores originados por Alexandria na matemática lógica

abstrata.

Porém, se este marco significou uma interrupção do pensamento lógico

matemático ocidental por alguns séculos e que, quando ressurgiu, o fez em outras

terras europeias mais ao norte, nos paises orientais este ainda era forte, se

desenvolvia de maneira independente, com muitos conceitos novos e outros

semelhantes ainda que desenvolvidos indepententemente.

XIX

CAPÍTULO III

A China e a Índia, novas ideias e novos símbolos

BOYER,na sua A História da Matemática faz questão de apontar de uma

maneira muito decisiva, que algumas descobertas atribuidas à gregos ou babilônios

já eram do conhecimento de matemáticos chinese até em séculos anteriores, e

enfatiza, “se em alguma oportunidade, algum conhecimento entrou ( na China ), em

muito maior quantidade, saiu... “, com isto queria explicitar que a contribuição

chinesa foi muito anterior aos conhecimentos gregos e que portanto mais certo seria

considerar estes como sendo influenciados por aqueles.

Em toda a sua obra, contudo aponta sempre para semelhanças, mais que meras

coincidências, nos diversos trabalhos conhecidos destes períodos, embora a origem do

documento possa ser egípcia, babilônica, grega, chinesa ou hindu.

E mais talvez que mera coincidência, aponta as similaridades com

proposições e problemas encontrados na cultura grega. Algumas das proposições de

problemas e soluções são posteriores às gregas, outras contemporâneas, e outras ainda

definitivamente anteriores.

De qualquer modo, parece ter sempre havido, em epocas distintas, algumas

influências de parte a parte, embora as formas de grafia numéricas sejam sempre

distintas e características de cada cultura.

Muito interessante seria enfatizar a anotação deste autor à pag135, quando

relata que por volta de 213 aC o imperador chinês mandou destruir todo vestígio de

cultura queimando livros ou outros meios de preservação do pensamento. Isto

prejudicou muito seriamente a cultura matemática chinesa e destruiu certamente

muitas fontes que poderiam desfazer dúvidas sobre a primazia de algumas

proposições.

Contudo, apesar deste percalço, a cultura matemática chinesa, não pôde ser

desta forma, completamente estancada, devido as grandes necessidades deste

conhecimento no comércio e no calendário.

Curiosamente, apesar de outras muitas similaridades nas proposições, chama

mais a atenção o conceito de macho e femea (yin e yang), encontrado tambem no

XX

pensamento grego quanto aos números, agora aqui é encontrado no conceito das

frações, entre numerador e denominador.

Enquanto o conceito de números negativos, devido talvez ao pensamento

lógico geométrico, não era aceito por qualquer das civilizações mediterrâneas, aos

chineses não acarretava contrariedade e até da mesma forma que aos gregos,

utilizavam um sistema de base decimal.

Outra similaridade de difícil confrontação de primazia consistia nos ábacos e

tábuas de contar. Conhecidas dos chineses já por volta de 300 aC, seria no entender

de BOYER, muito dificil precisar a época em que cada cultura absorveu este método.

Contudo algumas diferenças sempre podem ser anotadas, como por exemplo: o ábaco

árabe possuia 10 bolas em cada arame sem barra central, ao passo que o chines

possuia cinco fichas superiores e cinco inferiores separadas por uma barra, o que

talvez explique a fácil aceitação do conceito de números negativos nesta cultura .

A contribuição hindu parece ter sido sempre peculiar, se menos rica no

entender de BOYER. Seus matemáticos, talvez por falta de relatos registrados,

aparecem de forma esparça e sua contribuição original, embora exista, parece ser

menos significativa que de outras culturas mediterrâneas.

Contudo, este autor aponta que, se o pensamento lógico matemático hindu era

menos severo que a lógica geométrica grega, era talvez por isto mesmo, muito rico

no conceito intuitivo, e até de uma certa forma resultado de uma inocência lógica, por

não estar tão preso aos severos conceitos numéricos gregos.

Já KAPLAN esclarece que, mais que qualquer aspecto, foi essencialmente o

aspecto místico da alma hindu, o fator maior que permitiu a este povo desenvolver

algumas caracteristicas peculiares no trato da matematica intuitiva.

Conceitos e aspectos religiosos e místicos associados ao caracter divino no

trato com os números, permitiu e possibilitou aos hindus se desvincular do severo

preciosismo grego e assumir novas e revolucionárias proposições matemáticas.

Ou como esclarece o Mahavira em sua Ganita Sara Sagraha escrita em 830

dC “Que a regra daquele amo soberano de Jina prospere, ele que destruiu a

posição das conclusões simples e propôs a logica do syadvada”. KAPLAN esclarece

que, o tradudor inglês, neste caso pretendia explicar que syadvada é argumento de

XXI

que o mundo das aparências pode ser ou não real, ou ambas as coisas podem ou não

ser reais.

Com este aspecto mística, nada mais natural que uma abordagem

descompromissada para com a severidade da lógica grega na procura de novos

conceitos.

Assim, uma das contribuição decisivas da cultura lógica matemática hindu,

foi o aperfeiçoamento do conceito do manuseio da trigonometria moderna, cujos

primeiros princípios foram apresentados por Ptolomeu, e BOYER aponta até como

sendo a palavra seno uma tradução ocidental do termo hindu jiva .

Muitas outras influências da cultura grega são anotadas, e se parece ser

pouco representativo o desenvolvimento de uma cultura matemática lógica

independente hindu, foi de fato da maior importância, a sua contribuição para a

matemática moderna.

Desta forma, um outro ponto a apresentar muito interesse seria a notação

numeral ou a grafia dos números nas culturas estudadas. A grafia chinesa, em um

sistema de numerais em barras, de alguma forma lembra a cuneirforme

mesopotâmica e também apresenta um princípio para a numeração posicional, porém,

segundo BOYER, somente em 1247 é anotado o uso de um símbolo, cuja grafia

parece ser assemelhada com o zero, ou posição vazia de quantidade, um conceito

muito abstrato até para a cultura grego Aristotélica.

Este princípio de notação posicional era muito conveniente para a aplicação de

tábuas de calcular, e mesmo o conceito de zero ou posição vazia poderia ser

simuladas nestas com muita facilidade.

Na Índia, por longo tempo esteve em uso uma notação particular, a qual teria

sido precedida por uma notação de traços verticais e posteriormente substituida

(século 3 AC), por outra muito semelhante ao sistema herodiânico grego e mais tarde,

de uma forma muito sintomática, segundo BOYER, substituida por uma outra notação

denominada brahmi, algum tempo depois que os herodiânicos foram substituidos

pelos jônicos na Grécia.

Esta notação brahmi, possuia nove símbolos posicionais primeiros, seguidos

de outros especiais e, era um passo inicial para a notação posicional moderna, porem

XXII

a contribuição hindu estacionou neste ponto, e BOYER vem a apontar uma possível

influência grega neste conceito, ao provocar mais tarde em uma redução aos nove

símbolos primeiros.

Aí aparece mais fortemente a possível influência grega ( talvez Alexandria)

na criação de um símbolo para o zero, como representação para a posição vazia,

dentro de um conceito de notação posicional, sendo transmitido posteriormente à

Índia.

Curiosamente, BOYER aponta também um desenvolvimento do conceito do

zero posicional na civilização Maya pré- colombiana, e desta forma, independente

mesmo de qualquer possível influência maditerrânea, onde, nas aplicações

destinadas a contar os dias, aparecia um símbolo representado por um olho aberto,

significando uma posição vazia.

A numeração hindu, que já contribuira com os nove símbolos primários, logo

introduziu um décimo símbolo, representado como um ovo de ganso, para a posição

vazia e estava completo no entender de BOYER, a notação moderna que se compõe

essencialmente de :

1) base decimal,

2) notação posicional,

3) uma forma cifrada para cada um dos dez numerais.

E embora aponte BOYER, que a grafia dos numerais seja bem diferente dos

utilizados atualmente, e que nenhum dos requisitos se deveu originalmente aos

hindus, foi muito provavelmente esta a cultura que primeiro os uniu para formar o

nosso moderno sistema de numeração.

A simbologia hindu para o zero, o ovo de ganso, que por algum tempo

pareceu ser de influência grega e originada da letra grega ômicron, que é a letra

inicial da palavra grega ouden ou vazio, porem estudos posteriores indicam não ser de

fato esta a origem e sim o ovo de ganso hindu, utilizado por nós até os dias atuais.

O pensamento matemático lógico hindu, distanciado das severas restrições

lógicas da geometria grega, pode se desenvolver de uma maneira própria, intuitiva e,

se apresentou deficiências, por não estar preso a lógica das ideias gregas, pode

XXIII

desenvolver métodos aritméticos próprios e influenciar o pensamento árabe e por

meio deles, ao europeu.

O conceito de operações com o zero , ou o vazio, inadmissivel para o

pensamento grego, recebeu deles uma atenção especial, e ao conceito de números

irracionais e de equações indeterminadas, trataram sem as restrições gregas.

KAPLAN porem, desenvolve toda uma análise sobre o aspecto místico

religioso da civilização hindu, assegurando ser esta, a única a possibilitar a

existência de uma figura com tal grau de polemização quanto o ZERO e aponta que

esta figura matemática, como auxiliar de uma notação posicional restrita, já estava

presente desde os sumérios na antiga mesopotamia e tambem mesmo na civilização

grega, embora seu aspecto se resumisse meramente a delimitar ou indicar grandezas

especiais.

Neste caso, este autor aponta como indiscutível o papel da civilização hindu

ser a única possível de imaginar e admitir a existência, e assim criar uma grafia, de

um símbolo para representar o vazio, ou a ausência de tudo, conceito normalmente

associado a coisas mágicas ou de caracter malígno, que perdurou até a Idade Média .

XXIV

CAPÍTULO IV

A contribuição Árabe

Por volta do século VIII, aproximadamente um século após a invasão árabe e

conquista do Ímperio Muçulmano, BOYER aponta que um grande desenvolvimente

dos conceitos matemáticos, ocorreu por influência muçulmana, principalmente em

Bagda, que passou, tal como Alexandria alguns séculos anteriores, a ostentar o título

de capital cultural do mundo conhecido.

Por influência de alguns califas (al-Mansur, Harum al-Rachid e al-Mamum,

principalmente este último), foi incentivada a tradução para o árabe, de muitas obras

gregas e hindus, e, desta forma , foi grande a influência destas culturas no

pensamento árabe e na difusão destas obras na Europa.

Grandes pensadores matemáticos árabes surgiram e acrescentaram ao

pensamento lógico geométrico grego e ao lógico intuitivo hindu, a organização

sistemática árabe.

Dentre os pensadores, Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi, com as suas

obras De Número Hindorum e Al-jabr Wa’l muqabalah, se destaca de tal maneira

que o seu nome dá origem ao têrmo algarismo, significando o sistema de

numeração posicional, proveniente da Índia, e erradamente a partir dai confundido

como de origem arábica.

BOYER aponta ainda que o Al-jabr dá origem, nome e fundamento aos

conceitos da Álgebra, em complementação ao grego Diofante, de uma forma clara e

sistemática, como não tinha sido alcançado anteriormente por este e outros autores

gregos e hindus, principalmente por serem os árabes os primeiros a ter disponíveis

simultaneamente o pensamento lógico grego, a numeração posicional e os conceitos

intuitivos pré algébricos hindus.

Há que se notar contudo que, influências provenientes de varias regiões

distintas afetaram a grafia original do sistema numeral hindu, embora como ressalte

BOYER, o mais importante seria o conceito de numeração posicional emitido e não a

simples grafia utilizada.

XXV

CAPÍTULO V

O papel da Idade Média

HOWARD, Eves, Unicamp, 1995,pg 156, aponta que o colápso cultural e fim

provável da expansão e domínio árabe no desenvolvimento da lógica matemática

ocorreu em 1436, com a morte de Al-Kashi, o último dos grande matemáticos árabes.

Porem, de uma maneira muito feliz, já estava a cultura europeia

apropriadamente madura para absorver e desenvolver, por caminhos próprios, todo o

conhecimento acumulado nas todas as etapas anteriores. Enfatiza ainda este autor, que

se os árabes não contribuiram ocom o grande desenvolvimento proporcionado pelos

gregos ou com criação de um sistema numeral apropriado como os hindus, nem por

isto legaram aos novos povos matemáticos europeus, uma cultura lógica menos rica

que a encontrada inicialmente 600 anos atrás.

À cinco grandes civilizações, em cinco línguas diferentes, em épocas distintas,

devemos os primórdios do desenvolvimento da cultura lógica matemática nos séculos

anteriores ao século X, e deste período até aproximadamente o século XV, tambem a

europa medieval pode apresentar sua contribuição, principalmente, tal como os

árabes, na tradução e preservação das idéias dos clássicos gregos.

De alguma forma, se o pensamento lógico não apresentou evolução de maior

monta, pelo menos não estacionou e preservou o que já havia sido conquistado, com

alguma sedimentação das idéias, como que preparando o terreno fertil para o

Renascimento.

BOYER chama o período da Idade Média no século XII, de Século das

Traduções. A expansão dos numerais posicionais de origem hindu e assimilado pelos

árabes, expandiu-se a partir do século doze, e sua utilização permitiu um melhor

entendimento e aplicação dos conceitos e métodos aritméticos desenvolvidos pela

civilização hindu.

Mas foram nas traduções desta época a que se atribui a origem de alguns

termos preservados pelo uso até os dias atuais. Aos hindus é atribuida a origem do

nome jiva para designar a metade da corda do arco trigonométrico, função

XXVI

matemática cujos principío são por sua vez atribuidas a Ptolomeu e aperfeiçoada

muito posteriormente pelos hindus.

Segundo BOYER, porem tal palavra hindu foi erradamente assimilada pelos

árabes como jiba, mais tarde transformada pelos matemáticos contemporâneos em

jaib cujo significado seria baia ou enseada , traduzido por Robert de Chester no

século doze como sinus , expressão latina de mesmo significado, estando aí a origem

para a palavra seno de uso atual corrente.

Outra provável e curiosa origem de termo utilizado hoje, seria aquela

provocada por Leonardo de Pisa mais conhecido como o Fibonacci , ou “o filho de

Bonaccio”, um comerciante italiano. Leonardo, teria viajado com o pai pelo norte da

África e conhecia Egito, Síria e Grécia, e haveria até estudado com um professor

muçulmano, conhecendo assim os métodos algébricos árabes e hindus, assim como a

metodologia de grafar os números pelo processo posicional hindu.

Durante o Seculo das Traduções, o Fibonacci escreveu uma obra chamada O

Liber Abaci no qual descreve o método de numeração posicional e o símbolo

denominado zephirum . Posteriormente, deste termo teriam derivadas as palavras

cifras e zero da matemática atual.

XXVII

CAPÍTULO VI

O Renascimento

Segundo HOWARD, Eves.Unicamp 1995, pg 255, por volta do século XV, a

invenção da imprensa e dos seus tipos móveis, possibilitou uma maior e mais fácil

difusão do pensamento grego e de suas obras, agora sendo redescobertas e

influenciando profundamente o pensamento europeu contemporâneo.

A matemática clássica grega, apesar de dificil compreensão para a maior parte

dos estudiosos europeus da época, sempre pode ter uma difusão mais facilitada,

juntamente com a filosofia dos grandes pensadores gregos.

Vários autores da Alemanha e Itália neste século apresentaram grande

contribuição na interpretação dos pensadores gregos, na sua difusão e na introdução

de novos conceitos, porem só em 1484 pode ser identificada uma obra em que,

efetivamente, BOYER aponta um avanço considerável.

Nicolas Chuquet, um médico inexpressivo de Lyon, do qual pouco se sabe,

apresentou uma obra intitulada Triparty en la Science des Nombres na qual inclui o

conceito da numeração posicional hindu, o conceito do “décimo numeral” e seu

significado, e ainda das quatro operações fundamentais denominadas plus, moins,

multiplier par e partyr par.

Introduz ainda o conceito da “regra da incógnita “nas expressões algébricas,

anteriormente identificadas como res (em latim), chose (em francês), cosa (em

italiano) ou coss (em alemão). Apresenta um conceito de notação exponencial

incluindo expoente negativo e, pela primeira vez, apresenta um conceito de igualdade

a um número negativo em uma equação.

Se na maneira medieval o plus e o moins de Chuquet era rotineiramente

utilizado na abreviação p e m, com a influência germânica, estas abreviaturas foram

substituidas por símbolos iguais aos utilizados para indicar excesso ou deficiências

em medidas de quantidade em armazens, e tornaram-se os símbolos para as

operações aritméticas de soma e subtração.

XXVIII

Estes símbolos (+) e (-) apareceram pela primeira vez em 1489, em uma

aritmética comercial denominada “ Rechnung auff allen Kauffmanschaffen”

publicados por um professor de Leipzig chamado Johann Widman.

Dentre uma profusão de obras e contribuições de autores germânicos neste

período (1487/1567), BOYER pode identificar uma primeira utilização da notação

atual para raizes, uma figura gráfica semelhante ao triângulo de Pascal, cem anos

antes deste nascer, uma admissão, ainda que constrangida, aos números negativo e

aos irracionais, a proposição de utilização de uma letra apenas para identificar uma

incógnita em uma equação e a vulgarização do uso dos símbolos (+) e (-) para a soma

e a subtração.

Outro grande impacto no desenvolvimento da lógica matemática consistiu na

solução das equações cúbicas e tambem das quárticas ( através da Ars Magna de

Gerônimo Cardano -1545), enigma por longo tempo e infrutiferamente pesquisado

por todos os pensadores, desde os clássicos gregos, os quais só lhes conseguiram

visualizar soluções (para as cúbicas) nas seções cônicas.

Em um novo avanço, o sinal de igualdade, surgiu de uma maneira muito

discreta em 1557 na Inglaterra no Whetstone of Witte de Robert Record, porem

ainda não eram grafados de modo semelhantes aos atuais, pois eram bem mais

longos. Por esta época ainda, Georg Joachim Rheticus, discipulo de Copérnico e de

Regiomontanus (grande matemático prussiano), somou suas ideias ás dos mestres e,

com Opus Palatinum de Triangulis deu forma definitiva à trigonometria ptolomaica

utilizando todas as seis funções em suas tabelas.

Século muito rico em novas idéias, o Renascimento presenciou ainda com

François Viète, em sua obra Canon Mathematicus de 1579, um forte apelo ao uso das

formas de frações decimais, em detrimento as formas sexagesimais, ainda com

grandes defensores, como uma herança dos tempos mesopotâmicos. A carência de

uma forma de grafar valores fracionários era tal, que os grandes autores de formas

tabulares trigonométricas utilizavam raios (hipotenusas) para as funções da ordem de

10.000.000, de maneira a não ser necessário utilizar frações, contudo Viète ainda

utilizava uma barra vertical para separar parte inteira de fracionária, pois a vírgula só

veio a ser grafada com este objetivo com o De Planis Triangulis de 1592 de G. A.

Maginis, embora tambem se atribua tal primazia a Christoph Clavius em 1593, em

XXIX

uma tabela de senos. Contudo, este conceito só se tornaria popular com Napier vinte

anos depois e na forma do ponto decimal.

Se Viète introduziu ainda o conceito de utilização de vogais e consoantes para

representar quantidades em equações algébricas, Girard em 1629 no Invention

Nouvelle en l’Algebra introduziu o conceito de correspondência entre o número de

raizes de uma equação e o grau desta, e ainda mais, indicou uma coerência nos

números negativos, até então sempre encarados com perplexidade por todos os

pensadores matemáticos, e abordou até o conceito de raizes imaginárias.

Outro pensador contemporâneo, Thomas Harriot, matemático inglês,

introduziu os símbolos de menor que (<) e maior que ( > ) e difundiu o sinal de

igualdade apresentado por Recorde.

Por volta de 1614, John Napier provocou uma verdadeira convulsão com

Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio em que descrevia os principios gerais

dos logarítmos, palavra criada por ele para designar a sua criação. Henry Briggs,

admirador de Napier, com a concordância deste, extendeu suas ideias e criou os

logarítmos de base dez, muito mais praticos que os neperianos e logo publicou tabelas

abrangendo de 1 até 100.000, popularizando e disseminando o conceito. A Briggs são

atribuidas as expressões “mantissa” e “característica” relativas aos logarítmos.

Esta fase entre os século XVI e XVII foi caracterizado por grandes idéias e

inovações desenvolvidas por grandes pensadores da lógica matemática. Nomes como

Galileu, Kepler, Cavaliere e outros mais, abriram caminho em outras áreas e

principalmente em uma área até então inexplorada e muito desconcertante para

antigos pensadores, qual seria a matemática do infinitésimo. Por serem estudiosos da

astronomia, estes pensadores, observaram aplicabilidade imediata nestas ideias de

infinitésimo, tema complexo, que afastou muitos outros pensadores, por sua extrema

abstração e pouca aplicabilidade imediata na engenharia ou no comércio.

XXX

CAPÍTULO VII

Do Renascimento aos tempos modernos

Se o século XVII presenciou a perda de Cavaliere ( 1647) e de

Torriceli(1647), ambos profundamente interessados na teoria dos infinitesimais,

contudo assistiu tambem o surgimento de Fermat e de Descartes, os quais juntamente

com Roberval, Girard Desargues e Blaise Pascal, desenvolveram e acrescentaram

conceitos revolucionários à matemática até então conhecida.

Tanto Descartes quanto Fermat, por volta de 1620, caminhando por direções

distintas chegaram as mesmas conclusões e fundaram os pilares da Geometria

Analítica moderna, embora, tanto um quanto outro, ainda se utilizavam de uma de

grafia das expressões bastante diversa da atual, contudo, tanto BOYER quanto

HOWARD, apontam para a grafia de Descartes como a mais próxima dos dias atuais,

utilizando os sinais de germânicos para a adição e subtração (+ e -) apesar de

utilizar ainda o (∞) como símbolo para a igualdade.

Da mesma forma com que o fim do século XVI e princípio do XVII

presenciou o domínio da matemática germânica e italiana, e que o início do século

XVII presenciara o dominio da lógica francesa, agora o centro do desenvolvimento se

desloca para a Inglaterra e Paises Baixos, quando varios nomes se destacaram como

expoentes do pensamento lógico, principalmente levando mais em frente muito do

que foi desenvolvido agora por Descartes, Fermat e Pascal.

Em 1642 nascia Isac Newton e por volta de 1665 /1666 apresentou as bases

da teoria do cálculo infinitesimal, o qual veio novamente a revirar a lógica

matemática, principalmente porque já eram de uso corrente muitos conceitos e

notações simbólicas desenvolvidos progressivamente nos períodos anteriores.

Se Newton foi o expoente máximo do pensamento lógico matemático inglês,

Gottfried Wilhelm Leibnitz foi o seu equivalente germânico, e desenvolveu (1676)

um método para cálculo infinitesimal quase simultaneamente a Newton, introduziu a

grafia do termos dx e dy para representar um incremento de valor e mais tarde criou

a símbolo ∫ dx para representar uma soma infinitesimal. Seus conceitos de achar a

tangente a uma curva exigiam o uso do calculus differentialis e para se achar a

XXXI

quadratura se exigia o uso do calculus summatorius ou calculus integralis, dando

origem assim às expressões utilizadas até os dias de hoje.

Os princípios de limites utilizados por Leibnitz nestes estudos de

infinitésimos já tinham sido estudados por Fermat, Descartes e Pascal no inicio do

século. Outros símbolos tambem passaram a ser de uso corriqueiro depois de Leibnitz

como os de igual, consolidando o seu uso anterior, e também os sinais para

semelhante, congruente e os dois pontos para indicar uma divisão. A Leibnitz tambem

é dada um brilhante contribuição no uso de alguma forma parecida com a teoria dos

determinantes 50 anos antes de sua data considerada de desenvolvimento.

BOYER aponta também que, se Newton conservou, talvez involuntariamente,

os resultados de suas descobertas muito restritos ao ambiente britânico, Leibnitz, por

outro lado encontrou brilhantes discípulos, nos irmãos Bernoulle, na disseminação

de suas ideias. Estes irmàos, brilhantes matemáticos, desenvolveram de modo

independente conceitos e teorias próprias, sendo responsáveis por brilhantes

descobertas em consonância com Leibnitz.

O fim do século XVIII foi extremamente prolífico em grandes nomes, tanto

nas ilhas inglesas como no continente. Uma série de grandes matemáticos e grandes

descobertas praticamente delineou o contorno final da matemamtica que hoje

conhecemos e sua notação grafica. Abraham Moivre implementou a teoria das

probabilidades, trabalhou com imaginários e funções circulares.

Gabriel Cramer é responsável pelo processo de soluções de equações

simultaneas que tem o seu nome. Embora também descoberto por Colin Maclaurin

alguns anos antes, o processo foi melhor desenvolvido e apresentado por Cramer,

onde sua regra de Cramer deu origem a teoria dos determinantes.

Giramolo Sacheri, o mais brilhante matemático italiano do século XVIII,

apresentou um estudo que implicaria na geometria não euclidiana. Seu discipulo

Guido Grande estudou as Séries Divergentes e teve o grande merito de ser o

professor de Euler.

Leonhard Euler (1707/1783) definiu e introduziu a maioria dos conceitos de

notações de uso corrente nos dias de hoje. Autor de brilhante e profusa produção

acadêmica ( mais de 800 trabalhos em toda a sua vida), por suas contribuições

XXXII

introduziu o conceito de e como base dos logaritmos naturais, quando chamou em

1731 de e como “aquele número cujo logarítmo hiperbólico é igual a um ” (

BOYER. Edgard Blücher 1999,pg 305), tornou definitivo o uso da letra grega π

para representar a razão da circunferência para o diâmetro de um círculo, utilizou i =

1− , empregou e πi +1=0, utilizou de lx para representar log de x, utilizou f(x) para

representar a função de x e dentre outras mais, utilizou Σ para indicar um somatório.

Depois de Euler no século XVIII surgiram muitos outros matemáticos

brilhantes e que contribuiram muito para esta ciência com o estabelecimento de

muitos outros conceitos, contudo todos utilizavam as grafias de notações de Euler.

BOYER considera Euler é o responsável direto pela notação matemática tal

como a conhecem hoje os estudantes modernos, quando diz ele pg 305 “ Alem disso

em quase tudo, Euler escrevia na linguagem e notação que usamos hoje, pois

nenhum outro indivíduo foi tão grandemente responsável pela forma da matemática

de nível universitário… nossas notações são hoje assim mais por causa de Euler que

de qualquer outro matemático. “ completa.

XXXIII

CONCLUSÃO

KAPLAN nos permite uma avaliação muito clara da evolução da grafia de

alguns símbolos matemáticos, de suas associação com as operações aritméticas, e,

principalmente do desenvolvimento da noção intuitiva do ZERO com suas graves

implicações gerais, inclusive quanto ao grau místico, mágico e religioso de que

estaria carregado o seu conceito de vazio e ausência de tudo e portanto contendo um

aspecto maligno. Porém BOYER, HOWARD, BAUMGART e KENNEDY, por

outro lado, nos possibilitam uma visão geral da evolução e do desenvolvimento do

pensamento da lógica matemática intuitiva atravez dos tempos e civilizações.

Se aos sumérios e egípcios é dada uma primazia de desenvolvimento de um pensamento lógico inconteste, embora por razões que os autores citados não conseguem apontar claramente, exceto pelos mesmo motivos apresentados por Aristóteles a 2600 anos atrás “ porque lá os sacerdotes egpícios tinham o lazer necessário para desenvolver o conhecimento teórico”, a Platão tambem se poderia dar a mesma justificativa, quando BOYER aponta a pg 61 “ …alguns o consideram um pensador excepcionalmente profundo e incisivo, outros o representam como um flautista de Hamerlin da matemática, que seduzia os homens a abandonar os problemas do trabalho para se perderem em especulações vadias… “

Mas qual conclusão poderia ser tirada destes fatos apresentados? Não se pode de forma alguma ignorar que, se os pensadores Pitagóricos, levaram tão ao pé da letra o pensamento contemplativo para resolver seus problemas geométricos, que chegaram a fundar uma escola chamada Pitagórica, como uma sociedade secreta, quase como uma religião, que BOYER chama de culto órfico.

XXXIV

Estes fatos apontados, da mesma forma que levaram alguns seguidores de Pitágoras na Grécia clássica, a uma filosofia de culto aos números com um tal grau de exacerbação, a ponto de condenar à morte Hipasus de Metapontum, um de seus próprios seguidores, por este ter descoberto a irracionalidade de alguns números, ou como no dizer de BOYER, a existência das grandezas incomensuraveis, no entanto produziram ou provocaram a intuição de conceitos inacreditáveis para a época, como a secção áurea ou os paradoxos de Zeno, isto para só citar dois casos exemplares.

No entanto esta brilhante produção do pensamento geométrico intuitivo grego, de quase mil anos, permaneceu praticamente ignorada por quase outros mil anos na Europa ocidental, devido ao completo despreparo desta civilização para compreende-la e aceita-la.

Por outro lado porém, da mesma forma associavam à esta ciência, tão exata, conceitos ingênuos, típicos de uma cultura que engatinhava neste conhecimento. Assim, aos números, os gregos clássicos associavam uma classificação de sexo, como seres masculinos ou femininos. E Platão associou aos seus sólidos geométricos os chamados elementos naturais : ar, fogo, água, terra .

Contudo, todos estas considerações não diminuem o valor de descobertas, tão ou mais grandiosas que, muitas, se esquecidas por séculos, foram novamente redescobertas na Idade Média ou na Renascença e, com assombro, mais tarde reconhecidas como tendo uma primazia de autoria milenar nos gregos clássicos.

Estas descobertas foram, vimos no decorrer deste estudo, efetuadas com recursos matemáticos escassos, utilizando uma linguagem geométrica de tão dificil visualização para um não iniciado que Menaecmus disse a seu imperador, do qual era mestre, “ não haver estrada real para a geometria ” .

XXXV

Contudo muitos conceitos e teoremas emitidos por grandes pensadores como Diofante, Zeno, Apolônio, Euclides, Arquimedes etc só conseguiram ser apreciados e entendidos, séculos mais tarde e com uso de um ferramental matemático muito mais poderoso.

Pergunta-se como homens como estes, e mais tarde, chineses, hindus e arábes conseguiram obter tais resultados, somente com uma intuição e uma percepção introspectiva e especulativa?

Um fato curioso pode ser constatado nas obras dos autores citados. Já no fim do período da antiguidade clássica grega, a cidade de Alexandria representou o centro aglutinador do desenvolvimento do saber grego. Mais tarde, com o domínio árabe, este papel foi desempenhado por Bagdá. E estes polos do conhecimento foram responsáveis por projetar grandes pensadores e grandes trabalhos.

Posteriormente, na Idade Média e na Renascensa, com o desenvolvimento desta ciência dita exata, muito significativamente, seus maiores pensadores, responsáveis por brilhantes descobertas, quase sempre eram médicos reais ou eram professores, indicando não mais apenas aquele caracter introspectivo e especulativo da Grécia Alexandrina, mas um acentuado caracter de treinamento ou de transmissão do conhecimento em ambientes adequados, como as escolas reais, onde se concentravam aqueles que mais se destacavam nas ciências.

Contudo, se aos mais aptos era possibilitado neste centros de cultura um bom treinamento nesta área do conhecimento, cabia exclusivamente ao aspecto intuitivo de cada um, o desenvolvimento adicional nesta ciência. E a alguns expoentes luminares excepcionais era possível desenvolver e apresentar descobertas nestas áreas do conhecimento.

Se a lista de pensadores era grande, a relação de descobertas e o acréscimo de conceitos não eram menores. E

XXXVI

este acréscimo de conhecimento era feito lentamente, as vezes com retrocessos, mas logo em seguida novo avanço.

E os países e culturas de origem eram variadas. Se aos sumérios, egípcios, depois gregos, mais tarde ou talves, simultaneamente, estes autores não esclarecem, foi dada a primazia das primeiras idéias, logo chineses e hindus tambem não ficaram sem apresentar uma brilhante contribuição.

Os árabes, se tambem assimilaram esta cultura, já milenar para eles, puderam apresentar sua própria contribuição em novas idéias. Mais tarde coube aos paises da bota italiana dar prosseguimento, depois os povos germânicos, depois ingleses ( com Newtom) e novamente os germânicos com Leibnitz e depois Euler, apresentaram conceitos e símbolos de uso corrente até os dias atuais.

Mais que apenas um treinamento pode-se constatar uma forte parcela intuitiva no desenvolvimento destas ideias, quando vemos que muitos dos principais matemáticos dos séculos X IV, XV e XVI, responsáveis por grandes avanços posuiam uma formação completamente estranha a esta ciência, como médicos, tais como Nicolas Chuquet, ou advogados como Leibnitz. Raros eram matemáticos na formação como Newton, porem todos apresentaram trabalhos e contribuições espetaculares.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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XXXVIII

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