Um Estudo da Extensão do seno, cosseno e tangente no … · Na demonstração deste fato vemos...
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Thuysa Schlichting de Souza
Um Estudo da Extensão do seno, cosseno e
tangente no Triângulo Retângulo para Funções
de Domínio Real
Florianópolis
2013
Thuysa Schlichting de Souza
Um Estudo da Extensão do seno, cosseno e
tangente no Triângulo Retângulo para Funções
de Domínio Real
Trabalho de conclusão de curso apresentadona Universidade Federal de Santa Catarinapara a obtenção título de licenciado em Ma-temática
Orientador:
Carmem Suzane Comitre Gimenez
Universidade Federal de Santa Catarina
Florianópolis
2013
Esta monogra�a foi julgada adequada como TRABALHO DE CONCLUSÃO DE
CURSO no Curso de Matemática - Habilitação Licenciatura, e aprovada em sua forma
�nal pela Banca Examinadora designada pela Portaria no 20CC 210.
Prof. Nereu Estanislau BurinProfessor da disciplina
Banca Examinadora:
Prof. Carmem Suzane Comitre GimenezOrientador
Prof. José Luiz Rosas Pinho
Prof. Neri Terezinha Both Carvalho
Sumário
Introdução p. 5
1 História da Trigonometria p. 7
1.1 A Trigonometria Grega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 7
1.2 Contribuições dos Indianos e Árabes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 12
1.3 A Trigonometria no Renascimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 14
1.4 A Trigonometria na Europa a partir do século XV I . . . . . . . . . . . p. 16
2 A Trigonometria no Triângulo Retângulo p. 18
2.1 Ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 18
2.1.1 Medida Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19
2.2 Ângulos e Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 20
2.2.1 Relações Métricas no Triângulo Retângulo . . . . . . . . . . . . p. 22
2.3 Funções Trigonométricas do Ângulo Agudo . . . . . . . . . . . . . . . . p. 25
2.3.1 Relações trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 27
2.3.2 Funções trigonométricas dos Ângulos Notáveis . . . . . . . . . . p. 28
3 As Funções Trigonométricas com Domínio Real p. 31
3.1 O círculo orientado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 31
3.2 A função de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 32
3.2.1 Simetrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 34
3.3 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36
3.3.1 Funções seno e cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 36
3.3.2 Função tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 38
3.3.3 Grá�cos das funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . p. 41
4 A Trigonometria no Livro Didático p. 46
4.1 Abordagem do livro: Capítulo 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 47
4.2 Quadro Teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 50
4.3 Resolução e análise das questões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 51
Conclusão p. 62
Referências p. 64
5
Introdução
Durante as aulas da disciplina de Projetos II, tomamos conhecimento que para ini-
ciar uma pesquisa era necessário uma problemática, uma pergunta inquietadora, que nos
�zesse buscar respostas e nos permitisse re�etir. Nesse momento, a professora Neri T.
Both expôs ao grupo uma questão que a incomodava quanto pesquisadora: o ensino da
Trigonometria na escola. Era de seu interesse entender como acontecia a transição da
Trigonometria no triângulo retângulo para a Trigonometria na circunferência e mesmo as
funções trigonométricas reais.
Nesse momento, comecei a re�etir sobre esse assunto, tentei lembrar como se deu
esse processo na minha época de escola e não consegui recordar como meus professores
introduziram as principais ideias da Trigonometria. Pesquisando em alguns livros, en-
contrei a função de Euler como ponto de partida para de�nir as funções trigonométricas
com domínio real. Como não conhecia essa abordagem, compreendi que muitas vezes os
professores saem da Universidade sem o devido preparo para ensinar alguns assuntos que
geram grandes di�culdades para os alunos.
Entendendo que, para o entendimento das funções trigonométricas, sutilezas do conhe-
cimento sobre o conjunto dos reais são resgatados e manipulados, e se eu não me lembro
como foi abordado este tema, e como também não tenho clareza de como fazer quando
no exercício da pro�ssão de professor, responsável por uma turma, considero importante
me aprofundar, entender, discutir a abordagem das funções seno, cosseno e tangente.
Dessa forma, objetivou-se nesse trabalho fazer um estudo do seno, cosseno e tangente
no triângulo retângulo e como funções trigonométricas com domínio real, bem como ana-
lisar a transição da Trigonometria no triângulo para as funções trigonométricas num livro
didático de ensino médio, enfocando principalmente os exercícios. Como a Trigonometria
é resultado de um processo histórico, sofrendo várias transformações ao longo dos séculos
até apresentar-se no formato atual, também buscou-se fazer seu estudo histórico.
A teoria que embasa o estudo dos exercícios no livro analisado é a Teoria Antropológica
do Didático de Yves Chevallard, mais precisamente quando esse autor trata da organização
matemática. No entanto, a teoria da transposição didática está intrínseca em todos os
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capítulos desse trabalho.
Considera-se a transposição didática como o instrumento através do qual o conheci-
mento cientí�co transforma-se em conhecimento escolar e, assim, possa ser ensinado pelos
professores e aprendido pelos alunos. É o trabalho de fabricar um objeto de ensino, ou
seja, fazer um objeto de saber produzido pelo �sábio� ser objeto do saber escolar.
É exatamente essa transformação que é apresentada nesse estudo. Através da com-
paração entre o saber sábio e o saber a ensinar da Trigonometria será possível perceber
como é realizada a transição da Trigonometria do triângulo retângulo para as funções
trigonométricas reais e se essa modi�cação (observada no livro didático) implica numa
grande perda de saber cientí�co.
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1 História da Trigonometria
A trigonometria é um ramo da Matemática que surgiu há milhares de anos e esteve
presente em várias civilizações antigas. Desse modo, não é possível determinar uma única
pessoa ou um povo responsável pela sua criação. Segundo Boyer (2010, p.108), teoremas
sobre as razões entre lados de triângulos semelhantes já eram conhecidos e usados pelos
antigos egípcios e babilônicos.
O problema 56 do Papiro de Rhind, um papiro egípcio de aproximadamente 1650a.C.,
apresenta algumas noções de trigonometria e estabelece um conceito equivalente ao de co-
tangente de um ângulo. Os antigos astrônomos babilônicos que viveram no século V a.C.
realizaram um desenvolvimento considerável em trigonometria prática e foram responsá-
veis pelas primeiras tentativas de medir a duração de um ano através das observações do
comprimento das sombras dos relógios solares, os gnômons.
Os estudos relacionados a trigonometria se concentravam principalmente na trigono-
metria esférica, que baseia-se em triângulos sobre a superfície de uma esfera. Os triângu-
los esféricos, por exemplo, já eram estudados pelos gregos desde os pitagóricos. Contudo,
ainda era imprescindível o desenvolvimento da trigonometria plana para subsidiar os tra-
balhos mais avançados.
1.1 A Trigonometria Grega
Aristarco de Samos, que viveu em 300a.C., propôs um sistema heliocêntrico cerca de
um milênio antes de Copérnico (1473 − 1543). No entanto, seus escritos se perderam e
as únicas evidências desse fato são citações realizadas por Arquimedes e Plutarco. Aris-
tarco dedicou-se ainda a pesquisar as distâncias entre a Terra e a Lua, registrando seus
resultados no livro Sobre os tamanhos e distâncias do Sol e da Lua.
As principais informações deduzidas por Aristarco em seu livro são:
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1. A distância da Terra ao Sol é maior do que 18 vezes e menor do que 20 vezes a
distância da Terra à Lua. Na demonstração deste fato vemos pela primeira vez a
aproximação do seno de um ângulo pequeno.
2. Os diâmetros do Sol e da Lua têm a mesma razão que suas distâncias da Terra.
3. A razão do diâmetro do sol pelo diâmetro da Terra é maior do que 193e menor do
que 436.
Aristarco cometeu alguns erros em suas medidas prejudicando, assim, suas conclusões.
Isso deveu-se principalmente aos instrumentos imprecisos e rudimentares utilizados por
ele, já que seus raciocínios estavam corretos.
Foi o célebre Eratóstenes de Cirene (276−194a.C.) quem chegou a uma avaliação mais
precisa do tamanho da Terra. Pesquisando em um dos milhares de livros da biblioteca de
Alexandria, soube que ao meio dia, no solstício de verão, a luz do sol re�etia no fundo de
um poço na cidade de Siena. Instigado com a história, Eratóstenes decidiu veri�car se o
mesmo acontecia em Alexandria.
Alguns fatos foram imprescindíveis para os cálculos utilizados por Eratóstenes. De
acordo com Ávila (2007, p.21), deveria haver um tráfego regular de caravanas entre as
duas cidades e, por causa disso, conhecia-se a distância entre elas. O autor a�rma também
que já se sabia que Alexandria e Siena estavam praticamente no mesmo meridiano. Pro-
vavelmente, tal veri�cação, decorreu de viagens realizadas de uma cidade a outra quando,
para ir de Alexandria a Siena, viajava-se diretamente na direção norte.
Sendo assim, constatou que ao meio dia do solstício de verão em Alexandria, uma
estaca �ncada no chão projetava uma sombra com um ângulo de 7, 2◦ em relação a es-
taca. Sabendo que a distância entre as duas cidades era igual a 5000 estádios e que 7, 2◦
corresponde a um cinquenta avos de uma circunferência, concluiu que o perímetro da
circunferência da Terra era igual a 250000 estádios.
Considerando o comprimento do estádio de 160 metros, a circunferência da Terra
mediria aproximadamente 40000 quilometros. Não sabemos se esse realmente foi o valor
adotado por Eratóstenes, pois existiam diversos estádios utilizados nessa região. Porém,
mesmo que o valor utilizado fosse o de um estádio olímpico, aproximadamente 185 metros,
ele obteria como comprimento 46250 quilometros que é muito próximo do valor mais
correto de 40000 quilometros.
Nesse momento, ainda não existia uma trigonometria sistemática. Os astrônomos
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baseavam suas obras principalmente em métodos geométricos e recursos numéricos. Nessas
condições, Hiparco de Nicéia (180−125a.C) compilou a primeira tabela trigonométria, ou
tabela de cordas, e assim recebeu o título de pai da trigonometria. O cálculo dessa tabela
contribuiu para suas descobertas na astronomia como, por exemplo, a determinação do
nascer e o poente de várias estrelas.
Segundo Ávila (2007, p.113), uma tabela de cordas é uma lista dos comprimentos
das cordas correspondentes a vários valores dos ângulos centrais de uma circunferência
de raio conhecido. Ou seja, considerando uma circunferência de centro O e raio R com
alguns ângulos centrais, como AOB e COD, podemos caracterizá-los pelas cordas que os
subtendem, nesse caso AB e CD respectivamente.
Figura 1: Cordas na circunferência
Além das realizações no desenvolvimento da trigonometria, Hiparco fez grandes con-
tribuições na astronomia, principalmente, a elaboração de um catálogo estelar contendo
aproximadamente 850 estrelas, a descoberta e uma estimativa da precessão dos equinócios
no ano e a organização dos dados empíricos babilônicos. Além disso, atribui-se a ele a di-
visão do círculo em 360 graus através da sua tabela de cordas, uma divisão possivelmente
inspirada na astronomia babilônica.
Para Eves (2004, p.202), como quase nenhum dos escritos de Hiparco chegou até nós,
tudo que se sabe sobre suas realizações cientí�cas provém de fontes indiretas. Referências
a suas obras foram encontradas em escritos de outros estudiosos, como Têon de Alexandria
(sec.IV ) que atribuiu a Hiparco um tratado de doze livros e Cláudio Ptolomeu (150d.C.)
que cita os trabalhos do astrônomo no livro O Almagesto. Existem, também, alguns
indícios que Hiparco já sabia dos processos que equivalem a várias fórmulas empregadas
hoje na resolução de triângulos esféricos retos.
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Outro matemático grego, depois de Hiparco, que apresentou uma Trigonometria
bem desenvolvida com resultados novos, foi Menelau de Alexandria (aproximadamente
100d.C). Acredita-se que ele tenha escrito um tratado de cordas num círculo em seis
livros que foram citados por vários comentadores gregos e árabes. Esse tratado e outras
diversas obras de Menalau se perderam, porém uma delas se preservou em versão árabe:
Sphaerica. Esse trabalho é formado por três livros e constitui � um foco de luz intensa so-
bre o desenvolvimento da Trigonometria � (EVES, 2004, p.203). Trata-se principalmente
de triângulos esféricos e suas aplicações à astronomia.
No Livro I, Menelau descreveu pela primeira vez a de�nição de um triângulo esférico e
estabeleceu, para esses triângulos, proposições análogas às que Euclides determinou para
os triâgulos planos. No entanto, mostrou-se contrário ao método de prova por redução
ao absurdo que Euclides costumava utilizar em suas demonstrações. Assim, evitou usar
esse procedimento e, como consequência, muitas das provas de Euclides que poderiam ser
facilmente adaptadas para o caso de triângulos esféricos foram substituidas por métodos
bastante diferentes.
O segundo livro apresenta aplicações da geometria esférica na astronomia trazendo
poucas contribuições signi�cativas para a Matemática. Já no terceiro livro, Menelau
propõe um teorema, posteriormente denominado teorema de Menelau, como parte do
que é essencialmente trigonometria esférica na forma grega típica, uma trigonometria de
cordas num círculo. Tal teorema é proposto em termos de intersecção de círculos sobre
uma esfera.
Provavelmente o teorema de Menelau para a Geometria plana já era conhecido por
Euclides. O teorema no plano a�rma que se o triângulo ∆ABC é cortado por uma secante
que intersecta os lados AB, BC e CA nos pontos L, M e N , respectivamente, então
MA.NB.LC = MC.NA.LB
Figura 2: Teorema de Menelau
De acordo com Boyer (2010, p.112), Menelau considerou esse teorema bem conhecido
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por seus contemporâneos, mas ele o estendeu a triângulos esféricos numa fórmula equi-
valente a sen(MA).sen(NB).sen(LC) = sen(MC).sen(NA).sen(LB). Lembrando que se
são considerados segmentos com orientação, os dois produtos são iguais em módulo mas
diferem de sinais.
Todos os matemáticos gregos aqui citados realizaram grandes contribuições para a
Trigonometria Esférica e para a Astronomia, entretanto o trabalho grego mais in�uente
nessas áreas foi desenvolvido por Cláudio Ptolomeu em torno de 150d.C. A sua obra,
constituida por treze livros, tinha por nome grego original Síntese Matemática, mas o
superlativo magiste (maior) passou a ser utilizado para designá-la e, assim, discriminá-la
de obras menores. Com os árabes o trabalho de Ptolomeu passou a se chamar Almagesto,
ou seja, O Maior.
As informações encontradas sobre a vida de Ptolomeu provêm principalmente do
Almagesto, pois nele há referências de observações de eventos astronômicos feitos por
Ptolomeu cujas datas de ocorrência são conhecidas por meio de outros documentos. Além
disso, no Almagesto também são mencionados alguns trabalhos de seus antecessores, como
Hiparco e Menelau.
Nessa obra temos uma teoria matemática consistente sobre o funcionamento do sis-
tema solar que esclarece o movimeto dos planetas, da Lua e do Sol através do geocentrismo.
O primeiro livro apresenta uma tábua de cordas que dispõe dos comprimentos das cordas
dos ângulos centrais de uma circunferência de 0, 5◦ a 180◦ e uma breve explicação de
como ela foi produzida. Dessa forma, é proposto um teorema conhecido como teorema de
Ptolomeu.
De acordo com Boyer (2010, p.112),Ptolomeu sustenta em seu teorema a seguinte
a�rmação: se ABCD é um quadrilátero (convexo) inscrito num círculo, então
AB.CD +BC.DA = AC.BD,
isto é, a soma dos produtos de lados opostos de um quadrilátero inscritível é igual ao
produto das diagonais. Através do caso especial em que um lado é diâmetro do círculo,
Ptolomeu deduziu o resultado sen(a±b) e, por um raciocínio semelhante, também chegou
à dedução da expressão cos(a± b).
Vale ressaltar que os matemáticos gregos não utilizavam as razões trigonométricas em
seus trabalhos, eles usavam as cordas num círculo. Por exemplo, o seno de um ângulo era
representado pela corda de arco duplo. Provavelmente por in�uência babilônica, os gregos
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atribuiam o comprimento 60 para o raio de uma circunferência e, devido a astronomia,
surgiu a divisão da circunferência em 360 graus.
Figura 3: Corda de arco duplo na circunferência
O seno de um ângulo α traduzido para a linguagem de cordas de Ptolomeu é da forma
senα =cd2α
120,
onde cd2α representa a corda AD (�gura 3). Podemos facilmente chegar nessa relação
observando, através da �gura 3, que
senα =AP
OA=
AD2
OA=
cd2α2
60=cd2α
120.
Ainda no Almagesto, Ptolomeu encontra uma aproximação de π com quatro casas
decimais através da tábua de cordas e apresenta um catálogo com mais de mil estrelas.
Assim, o Almagesto foi uma obra monumental que durou mais de mil anos sendo utilizada
pelos gregos, bizantinos e árabes, para depois chegar à Europa. Para Eves (2004, p.204),
o trabalho de Ptolomeu manteve-se como um modelo sobre astronomia até os tempos de
Copérnico (1473− 1543) e Kepler (1571− 1630).
1.2 Contribuições dos Indianos e Árabes
Depois dos gregos, os matemáticos indianos mostraram ao mundo uma Trigonometria
original e criativa. Eles trabalhavam com a Matemática proveniente das suas próprias
tradições que, provavelmente, não foram herdadas dos egípcios e babilônicos. Todavia,
assim como os gregos, os indianos desenvolveram a Trigonometria para utilizá-la como
uma ferramento para sua astronomia.
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Um conjunto de textos denominados Siddhantas, cujo signi�cado é sistemas (de As-
tronomia), marcou o renascimento da cultura indiana, privilégio da primeira das quatro
castas do país, e contribuiu para o avanço da Trigonometria. O Surya Siddhanta ou Sis-
tema do Sol de aproximadamente 400d.C. foi a única versão preservada por completo.
O autor desta obra é desconhecido, mas para os hindus trata-se de um texto passado
diretamente pelo deus do sol em 2163101a.C.
O Surya possibilitou um novo panorama para a Trigonometria da época, pois não re-
lacionava as cordas de um círculo com seus ângulos centrais correspondentes como propôs
Ptolomeu. A relação utilizada era entre metade de uma corda de um círculo e metade
do ângulo central correspondente. Desse modo, surgiu pela primeira vez na história da
Matemática uma forma equivalente da função seno.
Na primeira metade do século V I, o matemático hindu Aryabhata, no texto Aryabhatya,
também trabalhava com semi cordas nas suas tabelas de senos. Na época, não foi uti-
lizado o termo seno, a palavra adotada pelos indianos foi jiva. Brahmagupta, em 628,
também publicou um trabalho reproduzindo a mesma tabela de senos, mas foi Bhaskara
quem dispôs de um método detalhado para construções dessas tabelas.
Não faltam méritos para a Trigonometria indiana, eles já empregavam os equivalentes
de senos, cossenos e senos reversos (1−cosα). Entretanto, de acordo com Eves, escreviam
em versos e muitas vezes revestiam seus trabalhos de uma linguagem obscura e mística.
Além disso, raramente apresentam demonstrações ou deduções das suas descobertas, ofe-
recendo, muitas vezes, trabalhos parecidos com coleções de regras.
Assim como os indianos, os árabes deram grandes contribuições para a Trigonometria
motivados, também, por suas aplicações à astronomia. Os trabalhos de seus antecessores
serviram de grande in�uência para os árabes, tanto a geometria grega das cordas encon-
trada no Almagesto de Ptolomeu como as tabelas hindus de seno. Porém, a função seno
herdada da Índia foi o principal instrumento que serviu de base para a Trigonometria
árabe.
Várias obras gregas de Matemática e astronomia foram traduzidas para o árabe e,
dessa forma, se preservaram até que estudiosos europeus tiveram a oportunidade de
retraduzí-las para as demais línguas. Para isso, governadores de Bagdá, denominados
califas, subsidiaram intelectuais proporcionando-lhes acomodações junto às suas cortes.
Durante o reinado do califa al-Manun, que governou de 809 a 833, o Almagesto foi tras-
ladado para o árabe e a tradução dos Elementos de Euclides foi concluida.
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Apesar do papel importante como preservadores dos trabalhos de seus antecessores,
alguns estudiosos árabes realizaram consideráveis descobertas. Entre os de maior destaque
temos al-Battani (850−929), Abu'l-Wefa (940−998) e Nasir Eddin al-Tusi (cerca de 1250).
O primeiro desses foi o principal responsável por transmitir a Trigonometria do seno até
o continente europeu.
Al-Battani, ou Albategnius como conhecido na Europa, introduziu a circunferência
de raio unitário para demonstrar que a razão jiva é verdadeira para qualquer triângulo
retângulo e não tem relação com o valor da medida da hipotenusa. Através do seu livro
Sobre o Movimento das Estrelas, apresenta algumas fórmulas tais como
a =b.sen(90◦ −B)
senB
onde a e b são catetos de um triângulo retângulo e B é o ângulo oposto ao lado b.
O matemático Abu'l Wefa propôs uma Trigonometria mais sistemática nos moldes do
Almagesto, embora a corda grega tenha sido ofuscada pela função seno hindu. Atribui-se
a ele a introdução da função tangente na Trigonometria e a elaboração de uma tábua de
senos e tangentes com incrementos de 15 minutos. Para Boyer (2010, p.162), Wefa usou
todas as seis funções trigonométricas comuns, bem como relações entre elas, mas seu uso
das novas funções não parece ter tido muitos seguidores no período medieval.
Por algum tempo, os matemáticos árabes continuaram a aprimorar sua Trigonometria
exclusivamente para auxiliar seus estudos astronômicos. Mais tarde, Nasir Eddin al-Tusi
realizou o primeiro trabalho de Trigonometria plana e esférica considerado independente
da astronomia em seu Tratado Sobre o Quadrilátero.
Vale lembrar que a palavra seno não era utilizada na época, Aryabhata empregava,
em seu lugar, a palavra hindu jiva que signi�cava corda. Jiva foi traduzida para o árabe
como jiba, palavra de mesma fonética. Posteriormente, jiba tornou-se jaib nos escritos
árabes, tal equívoco ocorreu pois era costume escrever apenas as consoantes das palavras,
cabendo ao leitor a colocação das vogais. Sendo assim, mais tarde, ao se fazer a tradução
de jaib para o latim, empregou-se o equivalente sinus de onde vem a palavra atual seno.
1.3 A Trigonometria no Renascimento
Georg Peuerbach (1423−1469), um dos precursores do humanismo na Europa Central,
retomou a obra de Ptolomeu e computou uma nova tábua de senos que foi muito difundida
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entre os estudiosos europeus, principalmente, devido ao uso da numeração árabe que
proporcionou cálculos mais simples e e�cientes do que os obtidos com números romanos.
De acordo com Boyer (2010, p.187), os humanistas procuravam a elegância e a pureza em
suas línguas clássicas e, por isso, necessitavam de uma edição latina do Almagesto melhor
do que a versão medieval derivada do árabe.
Peuerbach foi o mestre de Regiomontanus (1436 − 1476), um dos matemáticos mais
in�uentes do século XV , cujo trabalho teve grande importância por estabelecer a Tri-
gonometria como área independente da Astronomia. Provavelmente Regiomontanus teve
conhecimento da obra de Nasir Eddin e isso pode tê-lo in�uenciado no desejo de organizar
a Trigonometria dessa forma.
Podemos destacar De triangulis omnimodis como sua obra mais importante, pois
trata-se da �exposição sistemática dos métodos para resolver triângulos que marcou o
renascimento da trigonometria� (BOYER, 2010, p.187). Outra grande obra de Regio-
montanus foi De triangulis composta por cinco livros dedicados à trigometria plana e à
trigonometria esférica.
Segundo Eves (2004, p. 297), em De triangulis o autor revela particular interesse na
determinação de um triângulo, satisfeitas três condições dadas, por exemplo, determinar
um triângulo sabendo a diferença entre dois lados, a altura relativa ao terceiro e a diferença
entre os segmentos em que a altura divide o terceiro lado. Além disso, as únicas funções
trigonométricas empregadas são o seno e o cosseno. Mais tarde, porém, Regiomontanus
calculou uma tábua de tangentes.
Copérnico (1473 − 1543) também contribuiu para a Trigonometria, embora tenha
�cado famoso pela sua teoria heliocêntrica do sistema solar. Completou, em 1520, alguns
trabalhos de Regiomontanus, que incluiu em um capítulo de seu De Lateribus et Angulis
Triangulorum, publicado separadamente por seu discípulo Rhaeticus (1514 − 1576) em
1542.
�Percebemos o completo conhecimento de trigonometria de Copérnico não só pelos
teoremas incluídos em De revolutionibus, mas também por uma proposição originalmente
incluída pelo autor numa versão manuscrita anterior do livro, não na obra impressa. A
proporsição eliminada é uma generalização do teorema de Nasir Eddin (que aparece no li-
vro) sobre o movimento retilínio resultante da composição de dois movimentos circulares.�
(BOYER, 2010, p.200)
O discípulo de Copérnico ainda recalculou as tábuas de Regiomontanus com maior
16
exatidão nos cálculos. Aumentou a precisão para onze casas decimais e os senos, os
cossenos, as tangentes e as secantes foram calculados de minuto em minuto para os arcos
do primeiro quadrante.
1.4 A Trigonometria na Europa a partir do séculoXV I
No séculoXV I, o mundo pode presenciar as importantes contribuições em Aritmética,
Trigonometria, Geometria e, principalmente, em Álgebra do maior matemático francês
dessa época. François Viète (1540− 1603) revolucionou a Álgebra ao trazer uma notação
consistente a ela que permitiu o desenvolvimento de um novo método de trabalhar com
formas gerais de equações.
Para Boyer (2010, p.211), a Trigonometria de Viète era caracterizada por uma ênfase
maior sobre generalidade e largueza de visão e por uma abordagem analítica. Ele conside-
rava a Trigonometria um ramo independente da Matemática e trabalhava sem referência
direta a meias cordas num círculo. Na sua obra �Canon mathematicus� preparou extensas
tabelas de todas as seis funções de ângulos aproximados até minutos e decompôs triân-
gulos oblíquos em triângulos retângulos como método para determinar todas as medidas
dos seus lados e ângulos. Além disso, em �Variorum de rebus mathematicis determinou
um equivalente à nossa lei das tangentes:
(a+b)2
(a−b)2
=tgA+B
2
tgA−B2
onde a é o lado oposto ao ângulo A e b é o lado oposto ao ângulo B num triângulo com
ângulo reto C.
Viète ainda inovou ao adotar letras para representar quantidades e ao mostrar como
mudar a forma das equações adicionando ou multiplicando cada lado pelo mesmo valor.
Outra grande contribuição sua foi usar fórmulas trigonométricas para a resolução de
equações cúbicas.
Depois de Viète, podemos destacar Bartholomeus Pitiscus (1561 − 1613) que, em
1595, publicou um tratado que trazia as tábuas de Rhaeticus corrigidas e aprimoradas,
contribuindo para a modernização do tratamento desse assunto. O nome Trigonometria
foi registrado pela primeira vez como título de uma exposição de Pitiscus.
Através das séries in�nitas, Isaac Newton (1642 − 1727) também contibuiu para a
Trigonometria. Ele expandiu o arco seno em séries e, por reversão, deduziu a série para
17
seno de x. Já Thomas-Fanten de Lagny (1660 − 1734) foi o primeiro matemático a
evidenciar a periodicidade das funções trigonométricas.
A Trigonometria passou a ser desenvolvida por muitos matemáticos a partir de Viète e,
com o cálculo in�nitesimal, tomou novo impulso. Podemos dizer que Euler (1707−1783),
quando determina a unidade como raio de um círculo e de�ne funções associando números
e não ângulos, foi um dos protagonistas principais para a con�guração da Trigonometria
nos dias atuais.
18
2 A Trigonometria no Triângulo
Retângulo
Este capítulo apresentará uma breve abordagem da Trigonometria no triângulo retân-
gulo, destacando algumas relações importantes e introduzindo alguns conceitos básicos.
Delinearemos ainda a história dos ângulos, suas de�nições e relações com o triângulo
retângulo.
O objetivo dessa pesquisa não é discutir as de�nições de ângulos que, embora pareça
um conceito elementar, gerou muitos debates no meio acadêmico. Entretanto, tornou-se
necessário delinear sua evolução na história e explicitar algumas de�nições, já que trata-se
de um assunto estritamente relacionado à Trigonometria.
2.1 Ângulos
A�rmações sobre a origem da Matemática, segundo Boyer (2010), são necessariamente
arriscadas, pois os primórdios do assunto são mais antigos que a arte de escrever. Em ge-
ral, os estudos da história da Geometria iniciam com a civilização egípcia, mas é evidente
que seus conhecimentos possuiam raízes mais antigas. O homem neolítico, por exem-
plo, manifestou um conhecimento simples em Geometria ao decorar objetos com padrões
repetidos e simetrias.
Dessa forma, como muitos conceitos em Geometria, não se sabe quem e quando teve
origem o conceito de ângulo. Acredita-se que a noção de ângulo surgiu das necessidades
encontradas no cotidiano dos povos antigos e se desenvolveu, primeiramente, de forma
intuitiva. Uma das primeiras de�nições de ângulo pode ter sido apresentada por Euclides
(por volta de 300 a.C.) no seu livro Os Elementos.
Segundo Shereves, Euclides a�rma que um ângulo plano é a inclinação recíproca de
duas retas que num plano têm um extremo comum e não estão em prolongamento. Pode-
19
se considerar essa de�nição uma variante da antiga ideia grega de que um ângulo era
uma de�exão ou uma quebra numa linha reta. Euclides precisou de�nir também que um
ângulo retilíneo apresenta os lados na mesma linha reta para incluir um ângulo raso. O
autor sugere ainda que Aristóteles, um grande erudito do período Helênico, propôs três
categorias para enquadrar os conceitos de ângulos: quantidade, qualidade e relação.
Mais recentemente, no ano de 1893, o alemão H. Schotten classi�cou as de�nições de
ângulos existentes em três categorias que, segundo Costa (1997), são:
1. A diferença de direções entre duas linhas retas.
2. A rotação necessária para trazer um de seus lados desde sua posição inicial, até o
outro lado, permanecendo no mesmo plano.
3. A porção do plano entre duas semi-retas com origem em um ponto.
Uma de�nição, não contemplada por Schotten, muito usual atualmente considera
o ângulo um conjunto de pontos. Entretanto, adotaremos nesse trabalho a de�nição
abordada por Euclides, já que estaremos constantemente utilizando os axiomas e teoremas
de Geometria Plana elaborados em seu livro Os Elementos.
2.1.1 Medida Angular
As unidades de medidas usuais para se medir um ângulo são o grau e o radiano. O
grau é obtido dividindo-se uma circunferência em 360 partes e o ângulo correspondente
a uma dessas partes é denominado ângulo de grau 1. Dessa forma, um arco AB que
subtende um ângulo de α graus tem medida angular α.
A utilização de 360o numa revolução completa se deve principalmente aos babilônicos.
A ideia de 360 partes em um círculo poderia ter resultado de uma estimativa ligeiramente
errônea de 360 dias num ano. Todavia, parece provável que o sistema sexagesimal babilô-
nico tenha precedido a divisão do círculo em 360 partes. Ainda esta razão existe como
uma parte da história, mas não como uma parte da lógica ou do pensamento.
Ao contrário do grau, o radiano é o resultado de estudos, principalmente, do mate-
mático Thomas Muir e do físico James T. Thomson que consideraram essencial a criação
de uma nova unidade de medida para ângulos. Provavelmente, sua criação está ligada a
simpli�cação de certas fórmulas matemáticas e físicas.
20
Vamos considerar um ângulo central α em uma circunferência de raio R que subtende
o arco AB de comprimento C. A medida em radianos do ângulo α é a razão entre o
comprimento C do arco AB e o raio R da circunferência. Da mesma forma, a medida do
arco AB em radianos é a medida em radianos do ângulo α.
Figura 4: Circunferência com arco AB
Algumas consequências dessa de�nição são:
1. Um arco de 1 radiano consiste no arco cujo comprimento é igual à medida do raio
da circunferência que o contém.
2. Considerando a circunferência como uma arco que subtende um ângulo de 360◦ com
comprimento C = 2πR, temos que
2πRR
rad corresponde a 360◦
2π rad corresponde a 360◦
3. Temos a relação
α =C
R
ou seja,
C = αR
Observe que, quando R = 1, a medida do ângulo em radiano coincide com a medida
do comprimento do arco.
2.2 Ângulos e Triângulos
Teorema 2.2.1 (Soma dos Ângulos internos de um triângulo). A soma dos ângulos
internos de um triângulo é 180◦.
21
Demonstração. Vamos mostrar primeiro para o caso de um triângulo retângulo, depois
iremos generalizar para um triângulo qualquer. Suponhamos, então, ∆ABC um triângulo
retângulo com ângulos internos α, β e δ (reto).
Tracemos uma reta r paralela ao lado AB passando pelo vértice C do triângulo e uma
reta t paralela ao lado AC. Observe que esta reta interceptará o vértice B e também a
reta r num ponto A′.
Figura 5: Triângulo retângulo ∆ABC e o novo triângulo ∆A′CB
Então, pela propriedade dos ângulos alternos internos, o ângulo A′CB mede α e o
ângulo CBA′ mede β. Segue disso que os triângulos ∆ABC e ∆A′CB são semelhantes
(caso ALA) e, consequentemente, BA′C = δ.
Como AC é perpendicular a AB, segue-se que AC e A′C são perpendiculares. Analo-
gamente, AB e A′B também são. Logo, α+β = δ e, daí, α+β+δ = 2δ⇔ α+β+δ = 180◦.
O caso geral reduz-se a este, baixando-se a altura sobre o maior lado. Isto decompõe
o triângulo arbitrário em dois triângulos retângulos. Usando o caso particular já provado,
e observando que β = β′ + β′′, temos
α + β + γ = α + (β′ + β′′) + γ = (α + β′) + (β′′ + γ) = 90◦ + 90◦ = 180◦.
Figura 6: Triângulo qualquer decomposto em dois triângulos retângulos
22
Para a demonstração utilizamos o fato de que a altura relativa ao maior lado do
triângulo sempre cairá no seu interior. Vejamos alguns exemplos:
Figura 7: Exemplos de triângulos quaisquer e as suas respectivas alturas
2.2.1 Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Considere o triângulo ∆ABC reto em A com o pé da altura relativa ao lado AB
denominado D. Denotaremos a a hipotenusa, b o cateto AC, c o cateto AB e h a altura
AD. A projeção BD será representada pela letra minúscula m e a projeção CD pela letra
n.
Figura 8: Triângulo retângulo
Os triângulos ∆ABC e ∆DAB são semelhantes pelo caso Ângulo-Ângulo (AA). De
fato CAB = BDA = 90◦ e CBA = DBA. Dessa forma, podemos determinar as seguintes
razõesa
c=b
h=
c
m
daí temos as relações
bc = ah, c2 = am, bm = ch
23
De modo análogo, ∆DAB é semelhante ao triângulo ∆DCA e, assim, temos as rela-
ções
b2 = an, cn = bh e h2 = mn.
Relações métricas também podem ser determinadas para um triângulo qualquer.
Nesse caso, algumas relações para triângulos acutângulos são distintas das relações dos
triângulos obtusângulos.
Uma relação métrica muito conhecida que relaciona os três lados de um triângulo
retângulo é o Teorema de Pitágoras. Este teorema é considerado uma das principais
descobertas matemáticas, pois possibilitou principalmente o desenvolvimento dos números
irracionais.
Neste trabalho, apresentaremos a demonstração de James Abrahan Gar�eld (1831−1881), vigésimo presidente dos Estados Unidos, que em 1876, enquanto estava na Câ-
mara de Representantes, rabiscou num papel uma interessante demonstração, publicada
posteriormente pelo O New England Journal of Education.
Teorema 2.2.2 (Pitágoras). Num triângulo retângulo ∆ABC cuja hipotenusa mede a e
os catetos medem b e c, vale a identidade a2 = b2 + c2.
Demonstração. Seja um triângulo ∆ABC retângulo de catetos b e c e hipotenusa a. Tra-
cemos um segmento partindo do vértice B de tamanho b, cuja extreminade será denotada
de A′. Também, tracemos por A′ um segmento de tamanho c perpendicular à BA′. Nesse
caso, teremos um novo segmento que será chamado de A′B′.
Figura 9: Triângulo ∆ACB e triângulo ∆A′BB′
Note que, se ligarmos os pontos B e B′, obtemos um triângulo ∆A′BB′ retângulo em
A′. De acordo com o critério lado-ângulo-lado (LAL) de congruência de triângulos, temos
24
que os triângulos ∆ACB e ∆A′BB′ são congruentes e, consequentemente, a hipotenusa
BB′ mede a.
Agora, tracemos um segmento de reta de B′ a C. Obtemos, então, um trapézio re-
tângulo constituído pelos dois triângulos retângulos iniciais (congruentes) e pelo triângulo
∆BCB′ que, como vamos mostrar a seguir, é também um triângulo retângulo.
Figura 10: Trapézio retângulo e seus ângulos internos
Mostraremos então que o ângulo δ tem medida de 90◦. Denotando os ângulos ACB,
CBA e BAC como α, β e γ respectivamente, temos:
γ + α + β = 180◦
Como γ = 90◦, segue:
90◦ + α + β = 180◦
α + β = 90◦
Consideremos agora o triângulo ∆A′BB′ que, como já visto, é congruente ao triângulo
∆ACB. Logo, o ângulo A′BB′ também é α.
Dessa forma, examinando os três ângulos formados em torno do ponto B (CBA, B′BC
e A′BB′), teremos que:
δ + α + β = 180◦
δ + 90◦ = 180
δ = 90◦
25
Portanto, o triângulo ∆BCB′ é também retângulo.
Observe que os três triângulos unidos geraram um trapézio retângulo, cujas bases são
b e c e a altura é b+ c.
Podemos calcular a área desse trapézio de duas formas, a primeira utilizando direta-
mente a fórmula da área do trapézio e a segunda somando as áreas dos três triângulos
retângulos.
Através da primeira temos
(b+ c).(b+ c)
2=b2 + 2bc+ c2
2
Agora, somando as áreas dos triângulos
2.b.c
2+a.a
2= bc+
a2
2
Igualando as duas expressões obtidas, teremos
bc+a2
2=b2 + 2bc+ c2
2
2bc+ a2 = b2 + 2bc+ c2
ou ainda,
a2 = b2 + c2
Vale ressaltar que a recíproca do Teorema de Pitágoras é verdadeira, ou seja, se a área
do quadrado sobre um dos lados do triângulo for igual à soma das áreas dos quadrados
sobre os outros dois lados, então esse triângulo é retângulo e o seu lado correspondente
ao quadrado maior é a sua hipotenusa.
2.3 Funções Trigonométricas do Ângulo Agudo
Consideremos três pontos não colineares A, B e O, o ângulo AOB = θ (0◦ < θ < 90◦)
e as semi-retas r e s de�nidas pelos segmentos OA e OB respectivamente.
26
Figura 11: Ângulo AOB intersectado por retas perpendiculares
Tracemos retas k1, k2, k3...kn perpendiculares a r. Observe que ki, 1 ≤ i ≤ n, inter-
secta as retas r e s em um único ponto que denotaremos, respectivamente, de Ai e Bi,
1 ≤ i ≤ n. Dessa forma, temos os triângulos retângulos ∆OA1B1, ∆OA2B2,..., ∆OAnBn
que são semelhantes (caso AAA). Podemos portanto escrever a relação:
A1B1
OB1
=AiBi
OBi
, 1 ≤ i ≤ n
Esta relação signi�ca que a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo θ e
a hipotenusa do triângulo é constante e depende apenas desse ângulo. Portanto podemos
de�nir esta função de θ assim construída como
sen(θ) =A1B1
OB1
Ao considerarmos as demais relações no triângulo, teremos as razões:
OA1
OB1
=OAiOBi
, 1 ≤ i ≤ n
A1B1
OA1
=AiBi
OAi, 1 ≤ i ≤ n
Analogamente, de�niremos as funções para 0◦ < θ < 90◦,
cos(θ) =OA1
OB1
tg(θ) =A1B1
OA1
27
Estas são as funções trigonométricas do ângulo agudo. Veremos que tais funções não
são independentes, algumas relações importantes decorrem naturalmente delas.
2.3.1 Relações trigonométricas
1. Identidade Fundamental da Trigonometria
Seja θ um ângulo agudo, então vale a relação
sen2(θ) + cos2(θ) = 1
De fato, consideremos um ângulo θ de vértice O e um triângulo ∆AOB, reto em B
como indica a �gura 12.
Figura 12: Triângulo retângulo ∆AOB
Fazendo OA = a, OB = b e AB = c e utilizando o teorema de Pitágoras, temos
b2 + c2 = a2 ⇔ b2
a2+c2
a2=a2
a2⇔(b
a
)2
+( ca
)2= 1⇔ sen2(θ) + cos2(θ) = 1
2. Relação Tangente
Podemos relacionar a tangente de um ângulo agudo com o seno e o cosseno desse
mesmo ângulo, da seguinte forma
tg(θ) =sen(θ)
cos(θ)
É fácil ver, pela �gura 12, que
tg(θ) =b
c=
baca
=sen(θ)
cos(θ)
3. Relação dos Ângulos Complementares
28
Se dois ângulos α e β são complementares, ou seja α + β = 90◦, então
sen(α) = cos(β), cos(α) = sen(β), tg(α) =1
tg(β)
A demonstração dessas relaçãoes segue da hipótese que α + β = 90◦. Seja ∆ABC
um triângulo retângulo conforme �gura 13.
Figura 13: Triângulo ∆ABC reto em A e com ângulos α e β
O seno e o cosseno de α são
sen(α) = ba, cos(α) = c
a
Da mesma forma, seno e cosseno de β são
sen(β) = ca, cos(β) = b
a
Portanto, sen(α) = cos(β) e cos(α) = sen(β).
Além disso,
tg(α) =b
c=
1cb
=1
tg(β).
Um fato importante decorrente da relação dos ângulos complementares é que cal-
culando as funções trigonométricas de ângulos no intervalo [0◦, 45◦], determinamos
automaticamente as funções trigonométricas dos ângulos no intervalo [45◦, 90◦].
2.3.2 Funções trigonométricas dos Ângulos Notáveis
Calcularemos os valores do cosseno e do seno para os ângulos notáveis, ou seja, 30◦, 45◦
e 60◦.
29
1. θ = 30◦
Consideremos um triângulo equilátero (�gura 14) ∆ABC de lado l e M o pé da
altura relativa ao lado BC. Lembremos que num triângulo equilátero a altura, a
mediana e a bissetriz coincidem. Assim, o triângulo ∆AMB é retângulo em M com
ABM = 60◦ e MAB = 30◦. Temos ainda que AB = l, BM = l2e, pelo teorema de
Pitágoras, AM = l√3
2. Dessa forma,
cos(30◦) =l√3
2
l=
√3
2
sen(30◦) =l2
l=
1
2
Figura 14: Triângulo equilátero
2. θ = 45◦
Seja ∆ABC um triângulo retângulo em B com CAB = BCA = 45◦ (�gura 15).
Figura 15: Triângulo retângulo isósceles
30
Note que, então, o triângulo ∆ABC é também isósceles e AB = BC = l. Pelo
teorema de Pitágoras, AC = l√
2. Sendo assim,
cos(45◦) =l
l√
2=
1√2
=
√2
2
sen(45◦) =l
l√
2=
1√2
=
√2
2
3. θ = 60◦
Observe que 60◦ + 30◦ = 90◦, assim esses dois ângulos são complementares. Então,
pela relação dos ângulos complementares,
cos(60◦) = sen(30◦)⇒ cos(60◦) =1
2
sen(60◦) = cos(30◦)⇒ sen(60◦) =
√3
2
31
3 As Funções Trigonométricas com
Domínio Real
No capítulo anterior, de�nimos os conceitos de seno, cosseno e tangente utilizando
triângulos retângulos, ou seja, as de�nições �caram restritas para ângulos entre 0◦ e 90◦.
Agora, ampliaremos esses conceitos para qualquer número real.
Podemos observar que a relação fundamental
sen2α + cos2 α = 1
é semelhante à equação da circunferência de raio 1 centrada na origem; isso nos sugere
que o seno e o cosseno de qualquer ângulo α representam os números das coordenadas
de um ponto da circunferência de raio 1 e centro (0, 0). Assim, de�niremos as funções
trigonométricas por meio da função de Euler, que associa um número real a um ponto
dessa circunferência.
3.1 O círculo orientado
De�nição 1. Denotaremos de circunferência unitária ou círculo unitário a circunferência
C de centro na origem de R2 e raio 1.
Figura 16: Círculo unitário
32
Observações:
1. O círculo unitário pode ser descrito da forma C = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 = 1}.
2. Para todo ponto (x, y) ∈ C, tem-se que:
−1 ≤ x ≤ 1 e −1 ≤ y ≤ 1
3. Convencionou-se o sentido anti-horário, ou seja, o sentido que nos leva de (1, 0) para
(0, 1) pelo caminho mais curto sobre C como o sentido positivo do círculo unitário.
Sendo assim, dizemos que o círculo unitário é orientado.
De�nição 2. De�nimos �origem dos arcos� o ponto A = (1, 0) do círculo unitário.
3.2 A função de Euler
Já vimos no primeiro capítulo que Euler deu grandes contribuições para a Trigono-
metria apresentar a sua forma atual. Uma grande ideia sua foi criar a função E, que
chamaremos função de Euler. Esta função associa a cada número um ponto da circu-
ferência unitária. O domínio dessa função é o conjunto R dos números reais e o seu
contra-domínio é a circunferência unitária C.
Para ilustrar o que a função faz, podemos pensar na reta real como um �o que será
enrolado sobre a circunferência C (pensado como um carretel) iniciando do ponto 0 da
reta real e do ponto (1, 0) da circunferência unitária.
De�nição 3. A função de Euler E : R → C faz corresponder a cada número t ∈ R o
ponto E(t) = (x, y) da circunferência unitária de modo que:
• E(0) = (1, 0).
• se t > 0, percorremos sobre a circunferência, a partir da origem dos arcos, um
caminho de comprimento t no sentido positivo. O ponto �nal do caminho será
demoninado E(t).
• se t < 0, E(t) será a extremidade �nal de um caminho sobre C, de comprimento |t|,que parte da origem dos arcos e percorre C no sentido negativo.
33
Figura 17: Ilustração da função de Euler
Observe que, como o comprimento da circunferência unitária C é igual a 2π, se t > 2π
ou t < −2π, o arco de comprimento |t| descrito a partir da origem dos arcos terá mais de
uma volta ao longo de C. Dessa forma, para qualquer t ∈ R, tem-se E(t + 2kπ) = E(t),
k ∈ Z, ou seja, dado um ponto P da circunferência C, ele é a imagem pela função de
Euler de uma in�nidade de números reais, todos da forma t + 2kπ. Em particular, se
t = 2kπ, k ∈ Z, então E(2kπ) = A.
Costuma-se exprimir este fato dizendo que t + 2kπ são as �várias determinações� do
ângulo AP e que t e t + 2kπ são côngruos. Por exemplo, quando t = π6temos um arco
chamado de primeira determinação positiva dos arcos na forma π6
+ 2kπ, k ∈ Z, pois,sendo o único representante desses arcos que se encontra na primeira volta, retrata o
menor valor positivo que π6
+ 2kπ assume.
Figura 18: As três primeiras determinações do arco π6
No capítulo 2, subseção 2.1.1, vimos que, na circunferência unitária, a medida do
comprimento do arco coincide com a medida do ângulo em radiano. Desse modo, para
34
cada t ∈ R e P = E(t), tem-se que o ângulo AOP mede t radianos.
Decorre disso que a medida do ângulo AOP é determinada apenas a menos de um
múltiplo inteiro de 2π, pois P = E(t) implica P = (t+2kπ), para todo k ∈ Z. Dessa forma,
por exemplo, o ângulo de 3 radianos é também o ângulo de 3−2π radianos. Generalizando
esse exemplo, se P = E(t) então P = E(t−2π), pois os arcos de comprimento |t| e |t−2π|vão da origem dos arcos até o ponto P da circunferência.
3.2.1 Simetrias
Na circunferência unitária, interessam-nos diretamente três tipos de simetria, a saber:
em relação ao eixo vertical, em relação ao eixo horizontal e em relação ao centro. Para o
estudo de cada uma delas, sem perda de generalidade, tomemos um ângulo de medida t
radianos, 0 < t < π2.
1. Simetria em relação ao eixo vertical
Seja P = E(t) a extremidade do arco de medida t. O simétrico de P em relação ao
eixo vertical é o ponto P ′ = E(π − t), visto que os ângulos centrais assinalados na
�gura 19 são congruentes.
Figura 19: Pontos P e P ′ simétricos em relação ao eixo vertical
Os arcos que apresentam extremidade P são representados por t+ 2kπ, como visto
anteriormente, e os arcos de extremidade P ′ por (π − t) + 2kπ, com k ∈ Z.
A �gura 19 deixa claro que se, pela função de Euler, E(t) = (x, y) então E(π− t) =
(−x, y).
2. Simetria em relação ao eixo horizontal
Levando em conta a congruência entre os ângulos centrais assinalados na �gura 20,
se P = E(t) então o seu simétrico em relação ao eixo horizontal será P ′ = E(−t).
35
Para designar o conjunto de arcos côngruos ao arco de medida t e −t, utilizamos a
notação ±t+ 2kπ, k ∈ Z.
Figura 20: Pontos P e P ′ simétricos em relação ao eixo horizontal
Podemos observar também pela �gura 20 que, nesse tipo de simetria, os pontos P e
P ′ apresentam a mesma abscissa, já as suas ordenadas são iguais a menos do sinal.
Dessa forma, se E(t) = (x, y) então E(−t) = (x,−y).
3. Simetria em relação ao centro da circunferência
As medidas dos arcos que se formam quando temos dois pontos opostos em relação
ao centro são t e t ± π, pois quando dois pontos são extremidades opostas de um
diâmetro, como na �gura 21, a diferença entre dois valores consecutivos cujas ima-
gens são os pontos citados vale π. De modo geral, para arcos formados por pontos
diametralmente opostos temos a expressão t+ kπ, k ∈ Z.
Figura 21: Pontos P e P ′ simétricos em relação ao centro da circunferência
Além disso, temos ainda a propriedade que se E(t) = (x, y) então E(t + π) =
(−x,−y).
36
As simetrias da função de Euler apresentadas anteriormente se traduzirão em propri-
edades das funções seno e cosseno que serão tratadas na próxima seção.
3.3 Funções Trigonométricas
3.3.1 Funções seno e cosseno
Com o auxílio da função E : R → C, podemos de�nir o seno e o cosseno de um
número t ∈ R.
De�nição 4. As funções sen : R→ R e cos : R→ R, denominadas função seno e função
cosseno respectivamente, são de�nidas para cada t ∈ R da forma:
E(t) = (cos t, sent).
Isto quer dizer que na circunferência unitária o cosseno é a abscissa do ponto P = E(t)
e o seno é a ordenada desse mesmo ponto.
A relação fundamental sent2 + cos t2 = 1 continua valendo para todo t ∈ R, já que
todo ponto P = E(t) = (sent, cos t) de C está a uma distância de 1 unidade da origem.
Também esta de�nição coincide com a apresentada no capítulo anterior quando 0 < t < π2.
Vejamos, na �gura 22, pela de�nição para ângulos agudos temos que
sent = PCOP
= PC1
= BO e cos t = OCOP
= OC1
= OC
Figura 22: Ângulo de t radianos,0 < t < π2, na circunferência unitária
Além disso, a de�nição 4 permite escrever cos 0 = 1 e sen0 = 0 quando P = E(0) =
(1, 0) e cos π2
= 0 e senπ2
= 1 quando P = E(π2) = (0, 1). Dessa forma, a nova de�nição
estende a primeira e mantém as relações básicas.
37
De�nição 5. Uma função f : R→ R chama-se periódica quando existe um número T 6= 0
tal que f(t+ T ) = f(t) para todo t ∈ R. Se isto ocorre, então f(t+ kT ) = f(t) para todo
t ∈ R e todo k ∈ Z. O menor número T > 0 tal que f(t + T ) = f(t) para todo t ∈ Rchama-se período da função f .
Já foi visto que E(t + 2kπ) = E(t) = P para todo k ∈ Z, portanto, para todo t real,
sen(t+ 2kπ) = sent e cos(t+ 2kπ) = cos t. Dessa forma, pela de�nção 5, as funções seno
e cosseno são periódicas com período 2π. Esse fato facilita o estudo dessas funções, pois
conhecendo seu comportamento no intervalo [0, 2π] passamos a conhecer imediatamente
seu comportamento em todos os intervalos de comprimento 2π. Em termos de grá�co, a
função y = senx no intervalo [0, 2π] é o mesmo em qualquer intervalo [2kπ, 2(k + 1)π].
De�nição 6. A função f : R→ R é denominada par quando, para todo t ∈ R, f(−t) =
f(t). Se f(−t) = −f(t), para todo t ∈ R, então a função f chama-se ímpar.
Para determinar a paridade das funções seno e cosseno, utiliza-se a simetria da
função de Euler em relação ao eixo horizontal. Decorre da de�nição 4 que E(−t) =
(cos(−t), sen(−t)) para todo t ∈ R. Temos ainda pela simetria da função de Euler que
E(−t) = (x,−y) quando E(t) = (x, y). Isto sigini�ca que
sen(−t) = −sent e cos(−t) = cos t.
Portanto, seno é uma função ímpar e cosseno é uma função par.
Os valores absolutos das funções trigonométricas estão determinados pelos valores
dessas funções no primeiro quadrante. Já os sinais dessas funções dependem do quadrante
em que se encontram.
Figura 23: Sinais das funções seno e cosseno em cada quadrante
38
Assim, é possível determinar os valores das funções seno e cosseno em qualquer qua-
drante sendo conhecidos seus valores no primeiro quadrante e as simetrias da função de
Euler estabelecidas no �nal da seção anterior. Esse processo é chamado de �redução ao
primeiro quadrante�.
Analisaremos separadamente os casos em que o ponto P ′ está no segundo, terceiro e
quarto quadrante.
1. Ponto P ′ no segundo quadrante, ou, π2< t < π:
Para todo t ∈ R, temos E(t) = (cos t, sent) e P ′ = E(π−t) = (cos(π−t), sen(π−t)).Mas, pela simetria da função de Euler em relação ao eixo vertical da circunferência,
E(π − t) = (−x, y) quando E(t) = (x, y). Isto implica que
sen(π − t) = sent e cos(π − t) = − cos t.
2. Ponto P ′ no terceiro quadrante, ou, π < t < 3π2:
De modo análogo, considerando a simetria em relação ao centro da circunferência,
temos P ′ = E(t+ π) e
E(t+ π) = (cos(t+ π), sen(t+ π)) = (− cos t,−sent)
ou seja
sen(t+ π) = −sent e cos(t+ π) = − cos t
3. Ponto P ′ no quarto quadrante, ou, 3π2< t < 2π:
Nesse caso considera-se a simetria em relação ao eixo horizontal da circunferência
unitária. Como já analisado anteriormente quando determinamos a paridade das
funções seno e cosseno, temos que P ′ = E(−t) e
sen(−t) = −sent e cos(−t) = cos t.
3.3.2 Função tangente
De�nição 7. Seja D = {x ∈ R|x 6= π2
+ kπ, k ∈ Z}. A função tg : D → R, chamada
função tangente, é de�nida para cada t ∈ R como:
tg t =sen t
cos t.
39
A função tangente foi de�nida como um quociente, por isso tem seu domínio restrito
aos números reais para os quais o denominador é diferente de zero. Como cos t = 0 se, e
somente se, t = π2
+ kπ (k inteiro), a tangente não é de�nida nesses pontos.
Embora não esteja de�nida para todo número real, a função tangente pode ser consi-
derada como uma função periódica de período π, pois, pela de�nição 5,
tg(t+ kπ) =sen(t+ kπ)
cos(t+ kπ)=−sent
− cos t=
sent
cos t= tg t.
Além disso, temos que a função tangente é ímpar. Pela de�nição 6, temos
tg(−t) =sen(−t)cos(−t)
=−sentcost
= − sent
cos t= −tg t.
A tangente também apresenta um signi�cado geométrico na circuferência trigonomé-
trica. Para a de�nição da tangente como um arco t, é necessário acoplar um terceiro eixo
à circunferência. Consideremos uma reta orientada tangente no ponto A de origem dos
arcos à C, conforme �gura 24, e um arco AB de medida t. Unindo-se o centro O ao ponto
B e prolongando-se esse raio, obtemos uma reta r que determina B′ em C e T no novo
eixo.
Figura 24: Signi�cado algébrico da tangente (1o e 3o quadrantes)
Para mostrar que a tangente é a medida algébrica do segmento AT , considera-se
primeiramente o ponto B no primeiro ou terceiro quadrante e, depois, o ponto B no
segundo ou quarto quadrante.
• Primeiro ou terceiro quadrante
40
Observe na �gura 24 que os triângulos ∆OMB e ∆OM ′B′ são congruos e seme-
lhantes ao triângulo ∆OAT pelo caso (AAA). Portanto,
tg t =sent
cos t=ON
OM=MB
OM=AT
OA= AT
e
tg(t+ π) =sen(t+ π)
cos(t+ π)=−ON ′
−OM ′ =M ′B′
OM ′ =AT
OA= AT
Podemos ver�car, além disso, que à medida que t aumenta do primeiro quadrante, o
ponto T afasta-se gradativamente do ponto A no sentido positivo do eixo. Assim, o
valor da tangente vai crescendo inde�nidamente e assumindo todos os valores reais
positivos, até que a tangente deixa de existir quando t = π2. O mesmo acontece no
terceiro quadrante, o ponto T está na parte positiva do eixo das tangentes assumindo
valores positivos até que deixa novamente de existir quando t = 3π2.
• Segundo ou quarto quadrante
As relações de semelhança entre os triângulos da �gura 25 são análogas. Obteremos,
então,
tg t = tg(t+ π) = −AT
Figura 25: Signi�cado algébrico da tangente (2o e 4o quadrantes)
Nesse caso, veri�ca-se que no segundo quadrante o ponto T se encontra na parte
negativa do eixo das tangentes e, à medida que t aumenta dentro do quadrante, o
ponto T se aproxima da origem dos arcos, embora ainda na parte negativa do eixo.
O ponto T volta a coincidir com A quando t assume o valor π: tg π = 0.
41
Como ocorre no segundo quadrante, no quarto quadrante o ponto T reaparece na
parte negativa do eixo das tangentes e, à medida que t aumenta, o valor da tangente
também aumenta até anular-se novamente ao �nal do quadrante (tg 2π = 0), quando
T volta a coincidir com A.
3.3.3 Grá�cos das funções trigonométricas
O comportamento de uma função trigonométrica é estudado principalmente através
de seu grá�co. O grá�co da função seno é o conjunto dos pontos no plano de coordenadas
(x, senx) e reúne todas as informações que obtivemos sobre a função seno. Da mesma
forma, o grá�co do cosseno é o conjunto dos pontos do plano de coordenadas (x, cosx).
Em geral, utiliza-se as ferramentas de cálculo para determinar os intervalos onde
uma função muda de sinal, bem como seu crescimento e sua concavidade. Contudo,
seria necessário o conhecimento de conceitos não contemplados no programa curricular
do ensino médio (limites e derivadas) para a utilização de tais ferramentas.
Dessa forma, podemos apenas realizar um esboço dos grá�cos das funções trigonomé-
tricas com os instrumentos disponíveis nesse nível. Note que o conjunto de pontos de que
já dispomos permite traçar uma �gura bastante aproximada dos grá�cos das funções seno
e cosseno, não sendo necessário conhecer todos os pontos (x, senx) e (x, cosx).
A tabela a seguir lista o seno e o cosseno de alguns ângulos já mostrados neste capítulo.
Ângulo Seno Cosseno
0 rad 0 1
π2rad 1 0
π rad 0 −1
3π2rad −1 0
2π rad 0 1
Como a de�nição das funções trigonométricas com domínio real é uma extensão da
primeira de�nição e mantém suas relações básicas, temos também o seno e o cosseno para
os ângulos notáveis, apresentados no capítulo 2. Assim, dispomos ainda das seguintes
informações para os esboço dos grá�cos:
sen(π6) = cos(π
3) = 1
2,
sen(π3) = cos(π
6) =
√32
e
42
sen(π4) = cos(π
4) =
√22.
Além disso, já sabemos que o seno e o cosseno variam entre −1 e 1, isto é, a imagem
de cada grá�co estará no intervalo [−1, 1]. Devido a propriedade de periodicidade, a
curvatura do grá�co de cada função será a mesma sempre que completar-se um período
2π.
Vale ressaltar ainda que o grá�co da função cosseno pode ser obtido utilizando o
grá�co da função seno, pois, para qualquer valor real t,
cos t = sen(t+ π2) (�gura 26)
Figura 26: Relação entre o seno e o cosseno
De fato, vamos considerar os triângulos ∆CPO e ∆SP ′O. Por construção, COP ′ vale
(t+ π2) radianos e COS vale π
2radianos. Mas
COP ′ = COS + P ′OS
P ′OS = COP ′ − COS
P ′OS = (t+ π2)− π
2
P ′OS = t
Temos ainda que OP = OP ′ = 1 e OSP ′ = OCP = π2. Portanto, pela teorema
2.2.1, os ângulos SP ′O e CPO são iguais. Assim, os triângulos ∆CPO e ∆SP ′O são
congruentes pelo caso ALA, já que
P ′OS = POC
43
OP = OP ′
SP ′O = CPO
Logo, OC = OS, ou seja, cos t = sen(t+ π2).
Sendo assim, podemos focar na análise do grá�co da função seno, pois o grá�co da
função cosseno é apenas o resultado de uma translação de π2para a esquerda no grá�co
do seno. A curvatura é a mesma em ambos os casos e chama-se senóide.
Para a construção do grá�co da função seno, é necessário entender como a função varia
em cada um dos quatro quadrantes. Através da circunferência, observa-se que a função é
crescente em [0, π2] e em [3π
2, 2π) e decrescente em [π
2, 3π
2]. Pode-se deduzir intuitivamente
que, no intervalo [0, π2], sen t decresce cada vez mais lentamente conforme se aproxima de
π2.
Figura 27: Variação do seno na circunferência unitária
Isso signi�ca que esse crescimento do seno em [0, π2] não é linear, ou seja, que a taxa de
variação não é constante. Dessa forma, quando se percorre arcos do mesmo comprimento,
a variação do seno não é a mesma (�gura 27).
Acima temos um argumento bastante convincente para se explicar com ferramentas
acessíveis o por quê do grá�co ser �curvo� e não linear em todo intervalo da função
seno. Outra explicação pode ser dada utilizando o fato de que quaisquer três pontos no
grá�co da função seno não são alinhados; basta usar três pontos distintos cujo seno é
conhecido, associados aos ângulos notáveis por exemplo, e veri�car que o determinante
correspondente a eles é diferente de zero.
As informações adquiridas até agora já nos permitem fazer um esboço do grá�co da
função seno e, consequentemente, da função cosseno. Vejamos:
44
Figura 28: Grá�co da função seno e da função cosseno
Para o grá�co da função tangente, a análise torna-se mais complexa. Sabemos que
essa função é periódica com período π e que, para valores múltiplos de π2, a tangente não
está bem de�nida.
Conforme �gura 29, tem-se que para valores próximos e menores que π2a tangente
torna-se maior que qualquer número positivo dado, e para valores próximos e maiores queπ2a tangente torna-se menor que qualquer número negativo dado. Além disso, a função é
crescente em todos os intervalos (−π2
+ kπ, π2
+ kπ) com k ∈ Z.
(a) Ponto P menor que π2
(b) Ponto P maior que π2
Figura 29: Comportamento da tangente para diferentes valores de P
Para mostrar como é o comportamento da curva do grá�co com as ferramentas dispo-
níveis, pode-se plotar pontos (x, tg x) no intervalo (−π2, π2), já que nos demais intervalos
a curva será da mesma forma.
45
Portanto, o grá�co da tangente é
Figura 30: Grá�co da função tangente
Observação
Ficou claro que a construção dos grá�cos das funções seno, cosseno e tangente é bas-
tante trabalhosa e necessita de alguns �artifícios� para mostrar determinadas propriedades.
Mesmo assim, alguns detalhes não foram possíveis de explicar rigorosamente utilizando
os saberes disponíveis.
Na tentativa de amenizar este quadro, sugere-se a utilização de softwares dinâmicos
de matemática. Vários programas livres na internet apresentam recursos com os quais os
alunos podem construir grá�cos de qualquer função apenas com sua sentença.
Além disso, permitem o desenvolvimento de atividades de livre exploração com bas-
tante rapidez, diferente da mídia usual �lápis e papel�. Pode-se destacar como sua maior
vantagem a possibilidade de movimentação dos objetos e, a partir desses movimentos, a
investigação de propriedades e levantamentos de hipóteses.
46
4 A Trigonometria no Livro
Didático
Neste capítulo, apresentaremos uma análise do livro Matemática - Contexto e Apli-
cações (Volume Único) de Luiz Roberto Dante, utilizando a Teoria Antropológica do
Didático, de Yves Chevallard. O objetivo central é enfocar apenas a extensão das funções
trigonométricas do triângulo retângulo para as funções trigonométricas com domínio real
através dos problemas propostos.
Sabemos que o livro didático é um instrumento fundamental de referência sobre o
saber a ser ensinado, pois orienta o conteúdo que será ministrado, sua sequência e as
atividades de aprendizagem. Portanto, o livro é um agente determinante na organização
dos conceitos de Trigonometria pelos docentes.
Dessa forma, considerou-se que o livro analisado deveria ser recomendado pelo Minis-
tério da Educação (MEC) e ser utilizado em muitas escolas no Brasil. A opção pelo volume
único permite uma análise mais completa do assunto, já que o conteúdo de Trigonometria
é apresentado em sequência.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio de 2002, o conteúdo
de Trigonometria no ensino médio deve ser distribuido de modo que o estudo da Trigono-
metria do triângulo retângulo seja feito no primeiro ano e a Trigonometria do triângulo
qualquer e da primeira volta no segundo. Entretanto, essa distribuição pode variar em
função do número de aulas ou do projeto da escola para aprofundamento de temas ou in-
clusão de outros e, assim, muitos professores optam pelo volume único que oferece �maior
�exibilidade na escolha da sequência e no aprofundamento ou não de determinados as-
suntos.� (DANTE, 2011, p.03)
O livro é dividido em oito unidades, sendo a terceira de nosso interesse. Essa unidade,
cujo título é Trigonometria, apresenta seis capítulos que abordam a Trigonometria desde
o triângulo retângulo até as funções trigonométricas.
47
A maioria desses capítulos inicia-se com uma pequena introdução, que expõe e jus-
ti�ca o que será estudado, e termina com questões de vestibular referentes ao assunto
do capítulo. A teoria é abordada de forma sucinta e, em geral, seguida de exemplos de
aplicação (exercícios resolvidos).
4.1 Abordagem do livro: Capítulo 16
Realizaremos uma síntese do capítulo 16 que introduz os conceitos básicos para o
estudo mais abrangente das funções trigonométricas. É aqui que a Trigonometria passa
a ser extendida para os números reais.
Vale ressaltar que nos dois capítulos anteriores, o autor apresentou a Trigonometria
no triângulo retângulo, estabelecendo as de�nições de seno, cosseno e tangente para os
ângulos agudos. Algumas relações entre essas razões foram apresentadas, como a identi-
dade fundamental, a relação tangente e a relação entre ângulos complementares. O autor
também falou do seno e do cosseno de ângulos obtusos, enfocando apenas como lidar com
eles na prática e deixando a parte teórica para o capítulo 16.
Este capítulo inicia-se com uma pequena introdução, onde o autor justi�ca o estudo
mais abrangente de seno, cosseno e tangente através das necessidades da Matemática mais
recente, como podemos observar no trecho:
�Nesse novo contexto, o triângulo retângulo é insu�ciente para as de�nições necessárias e
precisamos estabelecer um novo �ambiente� para a Trigonometria: a circunferência unitária
ou o círculo unitário (também chamado de circunferência trigonométrica).� (DANTE, 2011,
p.278)
Em seguida, relembra conceitos conhecidos da Geometria Plana, a saber: arco geo-
métrico, ângulo central, comprimento da circunferência de raio r, comprimento e medida
de arco e a relação entre o comprimento e a medida (em graus) do arco.
O autor apresenta o grau e o radiano como as unidades para medir os arcos de circun-
ferência (ou ângulos). O arco de um grau é de�nido como uma das partes da circunferência
quando dividida em 360 partes congruentes. O arco de um radiano é determinado como
o arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência.
Para concluir que o comprimeto do arco é igual à medida do arco em radianos multi-
plicada pelo raio, é usado indução da seguinte maneira:
48
�(...)se temos um ângulo central de medida 1 radiano, então ele subtende um arco de medida
1 radiano (lembre que a medida do arco é igual à medida do ângulo) e comprimento de 1 raio.
Se temos um ângulo central de medida 2 radianos, então ele subtende um arco de medida
2 radianos e comprimento de 2 raios. Se temos um ângulo central de medida x radianos,
então ele subtende um arco de medida x radianos e comprimento de x raios. Assim, l = xr
se a medida x do arco for dada em radianos.� (DANTE, 2011, p.279)
Com essa relação, é possível relacionar as unidades para medir arcos. Assim, o autor
a�rma que o arco correspondente à circunferência tem medida 2π rad, ou seja, que o arco
de 360◦ mede 2π rad. Uma observação interessante apresentada nesse momento é que po-
demos fazer a conversão das unidades usando uma regra de três simples, mas recomenda-se
fazer a conversão mentalmente, utilizando divisões e equivalências, por exemplo:
180◦ é 12de 360◦; logo, é 1
2de 2π rad.
Portanto, 180◦ corresponde a π rad e 90◦ corresponde a π2rad.
Depois, é de�nida a circunferência unitária. É associado um sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais à circunferência e o ponto A de coordenadas (1, 0) como origem dos
arcos. Em seguida, o autor de�ne arcos congruentes, ressaltando que eles diferem entre
si de um múltiplo de 2π. Alguns exemplos de arcos côngruos são apresentados. O autor
fala também da primeira determinação de um arco para, assim, mostrar como determinar
o quadrante que ele se encontra.
Até esse momento, os conceitos e de�nições foram expostos de forma resumida; per-
cebemos que o autor procurou ser bastante objetivo.
A ideia de seno, cosseno e tangente de um número real é exibida no sétimo tópico do
capítulo. Para as de�nições, considera-se um ponto P (x, y) da circunferência trigonomé-
trica, ponto �nal do arco de medida α rad, de�nido a partir do número real α. O autor
denomina seno de α a ordenada de P , cosseno de α a abscissa de P e tangente de α a
razão entre o seno e o cosseno de α, com cosseno diferente de zero.
Depois, observa que as relações fundamentais são mantidas quando estendemos os
conceitos do triângulo retângulo para os valores reais. Enfatiza ainda que, com a extensão,
se pode pensar em seno e cosseno de ângulos negativos.
Para o signi�cado geométrico da tangente, considera na circunferência trigonométrica
a reta t, tangente à circunferência no ponto A, com a mesma orientação do eixo y. Em
49
seguida, apresenta quatro �guras com o ponto P em cada um dos quadrantes. Assim, por
semelhança de triângulos, chega a conclusão que a tangente é a medida algébrica do seg-
mento AT , sendo T o ponto de interseção da reta que passa pelo centro da circunferência
e por P com a reta t. A semelhança de triângulos apenas é indicada e não demonstrada.
Em seguida, fez-se algumas considerações como os pontos em que a tangente não
existe e o sinal da tangente em função dos quadrantes em que o ponto se encontra.
Os valores notáveis do seno, do cosseno e da tangente são apenas expostos. Com o
auxílio de �guras com a circunferência trigonométrica, o autor expõe o seno para cada um
dos ângulos, depois faz o mesmo com o cosseno e a tangente. Também são feitas tabelas
com esses valores com aproximação de três casas decimais; não há explicação sobre os
valores obtidos.
Antes de falar em redução ao primeiro quadrante, são expressos os sinais do seno e
do cosseno em função do quadrante em que se encontram. O livro traz um diagrama que
mostra como são seus sinais em cada quadrante e também faz um resumo. Apesar de,
ao lado do diagrama, ser lembrado que o seno é a ordenada de um ponto e o cosseno
a sua abscissa, parece que é necessário memorizar os sinais de seno e cosseno em cada
quadrante.
A redução ao primeiro quadrante é abordada em seguida, dividindo-se em três casos:
quando o ângulo está no segundo quadrante, no terceiro quadrante e no quarto quadrante.
Em todos os casos são mostrados como se determina o seno, o cosseno e a tangente. A
explicação é feita apenas por meio de �guras que nos fornecem as seguintes relações:
• Segundo quadrante: senα = sen(π−α), cos α = − cos(π−α) e tg α = −tg(π−α).
• Terceiro quadrante: senα = −sen(α− π), cos α = − cos(α− π) e tg α = tg(α− π).
• Quarto quadrante: senα = −sen(2π−α), cos α = cos(2π−α) e tg α = −tg(2π−α).
No último tópico do livro �Trabalhando com arcos côngruos�, tem-se apenas um pa-
rágrafo de texto explicativo.
�Conhecidos os valores do senx e de cosx da 1a volta positiva e usando arcos côngruos,
podemos calcular senx e cosx para qualquer x.� (DANTE, 2011, p.292)
Em seguida, são feitos alguns exemplos de aplicação que mostram como calcular o
seno e o cosseno da forma expressa no trecho.
50
O estudo das funções trigonométricas é feito apenas no último capítulo. A função
seno, por exemplo, é de�nida como a função real que associa a cada número real x o
valor real senx. Destacamos que o autor relembra que o processo que permite associar
um número real x à medida x de um ângulo, para posterior obtenção do valor senx,
foi estudado no capítulo 16. A periodicidade, a paridade, a variação das funções e seus
grá�cos são todos trabalhados nesse capítulo.
Como foi possível perceber, o livro não utiliza explicitamente a função de Euler para
introduzir as funções trigonométricas com domínio real. A abordagem foi feita utilizando
a circunferência unitária para de�nir geometricamente seno, cosseno e tangente de arcos
determinados a partir de um número real e, assim, tornar esses conceitos mais abrangentes.
Dessa forma, quando se de�niu as funções, os conceitos já estavam expandidos.
4.2 Quadro Teórico
A análise dos exercícios do livro didático utilizará conceitos da Teoria Antropológica
do Didático de Chevallard.
Segundo Chevallard (1991, apud BERNAL, 2004, p.17; 18), um objeto matemático
pode ser visto como um ser que está relacionado à instituições (habitats) e desempenha
uma função (nicho). Ao considerar diferentes instituições, tem-se que o saber em questão
ocupa funções bem distintas; também será variável o tratamento deste saber pelos sujeitos
da instituição.
Salientamos que o signi�cado de instituições, nesse caso, é mais abrangente, não se
restringindo apenas às instituições de ensino. Alguns exemplos de instituições são um
ciclo de Ensino Fundamental, um livro didático, um artigo de revista ou mesmo uma
classe de uma escola. Neste capítulo, o objeto matemático é a ideia de seno, cosseno e
tangente de um número real e a instituição é o livro didático.
A organização matemática nos oferece subsídios para o estudo de nossas questões.
Uma organização matemática de um determinado objeto matemático pode ser descrito,
para Chevallard (2001,apud BERNAL), em termos de tarefas, técnicas, tecnologia e teoria.
A tarefa evoca uma ação, é a pergunta de um problema. Nos problemas, precisa-
mos por exemplo calcular, construir, determinar, mostrar, estas são atividades humanas,
tarefas que devem ser realizadas.
O que distingue a atividade matemática das outras atividades humanas é que, diante
51
de uma tarefa, é preciso saber como resolvê-la. O que é feito para resolver uma tarefa é
a técnica. São exemplos de técnicas a fatoração, a experimentação, o reconhecimento de
padrões.
De acordo com Chevallard, Bosch e Gascón (1997, apud SABO, 2007, p.13) a existên-
cia de uma técnica supõe também a existência subjacente de um discurso interpretativo
e justi�cativo da técnica e de âmbito de aplicabilidade e validade. Esse discurso sobre a
técnica é uma tecnologia.
Por sua vez, toda tecnologia necessita de uma justi�cativa que se denomina teoria.
Pode-se considerar então a teoria como a tecnologia de sua tecnologia. Alguns exemplos
de teoria são Álgebra, Geometria, Probabilidade.
4.3 Resolução e análise das questões
Faremos uma análise dos exercícios do capítulo 16 utilizando a teoria de Chevallard,
conforme os termos tarefa, técnica, tecnologia e teoria apresentados na seção anterior.
O autor propõe quarenta exercícios nesse capítulo. Contudo nossa análise será reali-
zada a partir do exercício 16, pois as questões anteriores são referentes à tópicos de revisão
e de�nição de conceitos necessários para introduzir a ideia de seno, cosseno e tangente na
circunferência, como mostrado na subseção 4.1.
Os exercícios serão classi�cados de acordo com as suas tarefas. Não serão apresentadas
as resoluções de todas as questões propostas no livro, visto que há muitos exercícios com
tarefas e técnicas iguais. Lembramos que cada item representa uma questão diferente, ou
seja, a quantidade de questões será superior à quarenta.
Todos os exercícios são referentes à mesma teoria: Álgebra.
Identi�camos nos exercícios as seguintes tarefas:
1. Determinar o quadrante em que se encontra o arco (ângulo).
(a) Sabendo simultaneamente os sinais de seno, cosseno e tangente.
Exemplo:
Exercício 16: (a) senα < 0 e cosα < 0
Sabemos que seno de um arco (ângulo) é a ordenada de um ponto, ou seja,
está representado no eixo y na circunferência trigonométrica. Dessa forma, é
negativo no terceiro e quarto quadrantes.
52
O cosseno de um arco (ângulo) é a abscissa de um ponto e está respresentado
no eixo x. Logo, é negativo no segundo e terceiro quadrantes.
Então, o seno e o cosseno são simultaneamente negativos (menores que zero)
no terceiro quadrante.
(b) Sabendo o valor de seno, cosseno e tangente.
Exemplo:
Exercício 17: (b) cosα = −√32
O cosseno é negativo no segundo e terceiro quadrante, logo α pode pertencer
à um desses quadrantes.
2. Calcular o valor de seno, cosseno e tangente.
(a) Com utilização de tabela.
Exemplos:
Exercício 19: (c) sen310◦
Temos que 310◦ está no 4◦ quadrante, assim
sen310◦ = −sen(360◦ − 310◦) = −sen(50◦).
De acordo com a tabela, sen(50◦) ' 0, 766. Logo, sen(310◦) ' −0, 766.
Exercício 26: (d) sen24π5
Temos que π2< 24π
5< π, ou seja, 24π
5pertence ao segundo quadrante. Assim,
sen4π5
= sen(π − 4π5
) = senπ5.
Transformando π5rad em graus:
π5corresponde 180◦
5.
Portanto, π5corresponde a 36◦
Pela tabela, sen36◦ ' 0, 588.
Portanto, sen24π5' 0, 588.
Exercício 32: tg(−7π18
)
Observe que −7π18
= 29π18− 36π
18(36π
18= 2π).
Então, tg(−7π18
) = tg(29π18
). Como 29π18
está no quarto quadrante (3π2< 29π
18< 2π),
53
tg
(29π
18
)= −tg
(2π − 29π
18
)= −tg
(7π
18
).
Transformando 7π18rad em graus:
7π18rad corresponde 7.(180◦)
18.
Portanto, 7π18
corresponde a 70◦.
Logo, tg(29π18
) = −tg(70◦). Pela tabela, tg(70◦) ' 2, 747 e, então, tg(29π18
) '−2, 747.
(b) Utilizando valores notáveis.
Exemplos:
Exercício 18: (b) sen4π3
Temos que π < 4π3< 3π
2, ou seja, 4π
3está no terceiro quadrante. Sendo assim,
sen4π
3= −sen
(4π
3− π
)= −sen
π
3.
Mas, sabemos que senπ3
=√32. Portanto,
sen4π
3= −√
3
2.
Exercício 31: (e) tg 17π3
Notemos que 17π3
= 12π3
+ 5π3. Isto é, 17π
3é côngruo à 5π
3. Temos também que
5π3pertence ao quarto quadrante, pois 3π
2< 5π
3< 2π. Dessa forma,
tg
(5π
3
)= −tg
(2π − 5π
3
)= −tg
(π3
).
Sabemos que, utilizando os valores notáveis,
tg(π
3
)=√
3.
Logo, tg(5π3
)= −√
3.
3. Determinar o valor de x (ou α).
(a) Dando condições para x e sabendo seno, cosseno ou tangente.
Exemplos:
54
Exercício 20: (b) 0 ≤ x ≤ 2π e senx = 12
O seno é positivo nos dois primeiros quadrantes.
Sabemos que senπ6
= 12. Também,
sen(π − π
6
)= sen
π
6
Portanto, sen5π6
= 12e x = π
6ou x = 5π
6.
Exercício 35: 0 ≤ α ≤ 2π e cosα = 2
Não existe α tal que cosα = 2, pois, por de�nição, o cosseno é a abscissa de
um ponto na circunferência de raio 1. Isto signi�ca que o maior valor que o
cosseno pode assumir é 1.
(b) Sem restrição de x.
Exemplo:
Exercício 27: (a) senx = −1
O seno tem valor −1 para todos os arcos côngruos de 3π2. Assim, x = 3π
2+2kπ,
para k ∈ Z.
4. Calcular o valor da expressão.
(a) Quando a expressão é uma soma.
Exemplo:
Exercício 24: A = cos 12◦ + cos 25◦ + ...+ cos 142◦ + cos 155◦ + cos 168◦
Observe que os ângulos formam uma P.A. de razão 13. Vamos determinar
quantos termos aparecem nessa progressão,
an = a1 + r(n− 1)
168 = 12 + 13(n− 1)
168 = 12 + 13n− 13
169 = 13n
n = 13
Observando os ângulos, temos que a soma de dois termos equidistantes dos
extremos é nula, pois os ângulos são suplementares e, cosα = − cos(180− α).
55
Assim ao somarmos, os termos vão se anular, sobrando apenas o termo do meio
(a7).
Mas, a7 = a1 + 6r. Logo, a7 = 12 + 6.13 e a7 = 90.
Portanto, A = cos 90◦, ou seja, A = 0.
(b) Por simpli�cação.
Exemplo
Exercício 37:
M =sen2460◦. cos 1110◦
tg2205◦
Temos que
2460◦ = 6.360◦ + 300◦
1110◦ = 3.360◦ + 30◦
2205◦ = 6.360◦ + 45◦
Portanto,
M =sen300◦. cos 30◦
tg45◦
Observe ainda que sen300◦ = −sen60◦. Logo,
M =−sen60◦. cos 30◦
tg45◦= −√
3
2.
√3
2= −3
4
5. Determinar a expressão equivalente.
Exemplo:
Exercício 38: cos(π2
+ x).sen(3π − x)
Temos a relação cos(π2
+ x) = −senx.
Além disso, 3π = 2π+π, isto é, 3π é côngruo à π. Assim, sen(3π−x) = sen(π−x).
Mas sen(π − x) = senx.
Dessa forma,
cos(π2
+ x).sen(3π − x) = −senx.senx = −sen2x.
6. Determinar senx e cosx através de condições dadas.
Exemplo:
Exercício 21: cosx sabendo que π2< x < π e senx = 3
5
Aplicando a relação fundamental:
56
sen2 + cos2 = 1→(35
)2+ cos2 = 1→ cos2 = 1− 9
25→ cos2 = 16
25
Assim,
cosx = ±√
16
25= ±4
5.
Como π2< x < π (segundo quadrante), então, cosx = −4
5.
7. Determinar o maior cosseno.
Exemplo:
Exercício 33: cos 2 ou cos 2◦
Temos que 1 rad tem aproximadamente 57, 3◦, pois
180
x=π
1→ x =
180
π' 180
3, 14' 57, 3◦
Então, cos 2 = cos(2 . 57, 3) ' cos 114, 6◦.
Note que 114, 6◦ está no segundo quadrante e 2◦ no primeiro. Como o cosseno é
positivo no primeiro quadrante e negativo no segundo, temos que cos 2◦ > cos 2.
8. Determinar o sinal do seno.
Exemplo:
Exercício 34: sen3
Como vimos no exercício 33, temos que 1 rad corresponde a aproximadamente 57, 3◦.
Dessa forma, sen3 = sen(3 . 57, 3) ' sen172◦.
Como 90◦ < 172◦ < 180◦, sen172◦ é positivo.
A tabela a seguir relaciona as tarefas apresentadas com as técnicas e tecnologias uti-
lizadas nas resoluções dos exercícios. Assim, será possível identi�car a reincidência de
conteúdos, bem como de técnicas usadas para obter as resoluções anteriormente registra-
das.
57
TAREFA
TÉCNICA
TECNOLOGIA
QUANTID
ADE
Determinar
oqu
adrante,sa-
bend
osimultaneam
ente
os
sinais
deseno,cosseno
e
tangente.
-Análisedo
seno
nacircun
ferência
trigono-
métrica;
-Análisedo
cossenona
circun
ferência
trigo-
nométrica;
-Com
paraçãodossinaisno
quadrante.
-De�niçãode
seno;
-De�niçãode
cosseno;
05
Determinar
oqu
adrante,sa-
bend
oovalorde
seno,cos-
seno
etangente.
-Observarosinaldo
ângulo;
-Análisedo
seno,cossenoetangente
nacir-
cunferência.
-De�niçãode
seno;
-De�niçãode
cosseno;
-De�niçãode
tangente.
06
Calcularo
valorde
seno,
cossenoetangente
com
uti-
lização
detabela.
-Determinar
oqu
adranteaqu
epertence
o
ângulo;
-Reduziroângulo
aoprim
eiro
quadrante;
-Conversão
deun
idades
(quand
ooângulo
estiverem
radiano);
-Pesqu
isar
ovalordo
seno/cosseno/
tan-
gentedo
ângulo
correspo
ndente
natabela.
-De�niçãode
arcoscôngruos;
-Simetrias
dosarcosem
relaçãoaoseixosda
circun
ferência
trigonom
étrica;
-De�niçãode
seno;
-De�niçãode
cosseno;
-De�niçãotangente;
Qua
ndohouver
conversão:
-De�niçãode
radiano;
-Regra
detrês
simples.
20
58
TAREFA
TÉCNICA
TECNOLOGIA
QUANTID
ADE
Calcularo
valorde
seno,
cosseno
etangente
utili-
zand
ovaloresnotáveis
-Determinar
oqu
adranteaqu
epertence
o
ângulo;
-Reduziroângulo
aoprim
eiro
quadrante;
-Utilizar
osvaloresnotáveisdo
seno,cosseno
outangente.
-De�niçãode
arcoscôngruos;
-Simetrias
dosarcosem
relaçãoaoseixosda
circun
ferência
trigonom
étrica;
-De�niçãode
seno;
-De�niçãode
cosseno;
-De�niçãotangente;
32
Determinar
ovalorde
x,
dand
ocond
içõesparaxesa-
bend
oseno,cossenoou
tan-
gete.
-Determinar
osqu
adrantes
correspo
ndentes
aosinald
oseno,cosseno
etangente
ecom
as
limitaçõesdadas;
-Utilizar
osvaloresnotáveisdo
seno,cosseno
outangente.
-De�niçãode
arcoscôngruos;
-Simetrias
dosarcosem
relaçãoaoseixosda
circun
ferência
trigonom
étrica;
-De�niçãode
seno;
-De�niçãode
cosseno;
-De�niçãotangente;
11
Determinar
ovalorde
x,
sem
restrições.
-Determinar
osqu
adrantes
correspo
ndentes
aosinaldo
seno,cossenoetangente.
-Utilizar
osvaloresnotáveisdo
seno,cosseno
outangente.
-De�niçãode
arcoscôngruos;
-Simetrias
dosarcosem
relaçãoaoseixosda
circun
ferência
trigonom
étrica;
-De�niçãode
seno;
-De�niçãode
cosseno;
-De�niçãotangente;
04
59
TAREFA
TÉCNICA
TECNOLOGIA
QUANTID
ADE
Calcularovalorda
expres-
são
quando
aexpressão
é
umasoma.
-Exp
erim
entação;
-Reconhecimento
deum
aPA;
-Determinar
onú
merode
term
osda
PA;
-Reconhecimento
depadrõesqu
ando
reali-
zada
asomaentreterm
os;
-Utilização
darelaçãodo
seno
oucossenode
ângulossuplem
entares;
-Uso
dafórm
uladosterm
osda
P.A.
-De�niçãode
ProgressãoAritm
ética;
-Propriedade
comutativada
soma;
-Simetrias
dosarcosem
relaçãoaoseixosda
circun
ferência
trigonom
étrica;
-De�niçãode
seno;
-De�niçãode
cosseno;
02
Calcularovalorda
expres-
sãopo
rsimpli�cação
-Redução
aoprim
eiro
quadrante;
-Utilizar
osvaloresnotáveisdo
seno,cosseno
outangente.
-De�niçãode
arcoscôngruos;
-De�niçãode
seno;
-De�niçãode
cosseno;
-Simetrias
dosarcosem
relaçãoaoseixosda
circun
ferência
trigonom
étrica;
03
Determinar
aexpressão
equivalente.
-Relação
entreoseno
eocossenode
ângulos
complem
entares;
-Congruência
deângulos;
-De�niçãode
seno;
-De�niçãode
cosseno;
-Simetrias
dosarcosem
relaçãoaoseixosda
circun
ferência
trigonom
étrica;
-De�niçãode
arcoscôngruos.
01
60
TAREFA
TÉCNICA
TECNOLOGIA
QUANTID
ADE
Determinar
senx
eco
sx
atravésde
cond
içõesdadas.
-Su
bstituição
dovalordo
cosseno(ouseno)
narelaçãofund
amental;
-Identi�car
osinaldo
seno
(oucosseno)
em
função
doqu
adrante;
-De�niçãode
tangente.
-De�niçãode
seno;
-De�niçãode
cosseno;
-De�niçãode
tangente.
-Simetrias
dosarcosem
relaçãoaoseixosda
circun
ferência
trigonom
étrica.
02
Determinar
omaior
cos-
seno.
-De�niçãode
radiano;
-Regra
detrês
simples;
-Análisedo
sinaldo
cossenoem
função
do
quadrante.
-De�niçãode
radiano;
-Propo
rção;
-De�niçãode
cosseno.
01
Determinar
osinaldo
seno.
-De�niçãode
radiano;
-Regra
detrês
simples;
-Análisedo
sinald
oseno
emfunção
doqu
a-
drante.
-De�niçãode
radiano;
-Propo
rção;
-De�niçãode
seno.
01
61
Observamos que o livro apresenta exercícios repetidos, por exemplo, 52 questões (das
88 totais) estão relacionadas à tarefa de calcular seno, cosseno e tangente. Isso representa
quase 60% do total de questões.
Além disso, há poucos tipos de tarefas que mobilizam técnicas mais elaboradas. Em
geral, redução ao primeiro quadrante, utilização de valores notáveis ou tabelas e as de�-
nições de seno, cosseno e tangente são su�cientes para a resolução das questões.
Destacamos aqui os exercícios cujas tarefas envolviam o cálculo de expressões, pois
exigem experimentação e descobertas através da sua manipulação. Outros conteúdos
também são envolvidos no exercício, mostrando assim que os conteúdos podem estar
associados e não aparecem apenas em seus �blocos�.
Os exercícios não apresentam contextualização, são bastante algébricos e teóricos.
Vale lembrar que o autor propõe no �nal desse capítulo uma lista de 29 problemas de
vestibular, questões mais elaboradas e contextualizadas.
62
Conclusão
Chegamos ao �m desse trabalho com os objetivos iniciais cumpridos. Elaboramos
uma abordagem das funções seno, cosseno e tangente desde o triângulo retângulo até
o conjunto dos números reais. Tentamos organizar um estudo detalhado e completo das
funções seno, cosseno e tangente sem o emprego de ferramentas mais complexas do cálculo.
Mostramos no primeiro capítulo a evolução da Trigonometria durante o tempo e as
contribuições de vários estudiosos para o desenvolvimento dessa área. Grandes civilizações
apropriaram-se dos conhecimentos de seus antepassados para desenvolver novos trabalhos
sobre Trigonometria e, dessa forma, tornou-se mais do que uma ferramenta para estudos
de astronomia. É claro que �zemos apenas uma pequena exposição histórica, pois há
tantos estudos nessa área que poderia ser realizado um TCC apenas sobre a história da
Trigonometria.
No capítulo 2 estudamos as funções seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo,
ou seja, restringimos o domínio dessas funções para os ângulos de zero à noventa graus.
Também �zemos um pequeno estudo sobre ângulos e suas relações com o triângulo. Nesse
capítulo, relações trigonométricas importantes foram desenvolvidas para serem extendidas
no capítulo seguinte, assim como o cálculo dos valores notáveis dessas funções.
O capítulo 3 exibiu uma abordagem minuciosa das funções seno, cosseno e tangente
com domínio real, destacando a função de Euler como ferramenta principal para extender
essas funções do triângulo retângulo para funções de domínio real. Através dessa abor-
dagem, foi possível identi�car que as propriedades das funções trigonométricas estudadas
decorrem das propriedades da função de Euler. Sendo assim, o tratamento da extensão
das funções trigonométricas tornou-se mais natural.
No último capítulo analisamos nosso objeto de estudo num livro didático. Expomos
como o autor traz o tratamento do assunto no capítulo averiguado e estudamos os exercí-
cios desse capítulo utilizando a teoria de Chevallard. Observamos que o autor não utiliza
explicitamente a função de Euler para realizar a �passagem� das funções trigonométricas
no triângulo para as funções reais, contudo desenvolveu uma abordagem parecida usando
a de�nição geométrica do seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica.
63
Constatamos ainda que os exercícios analisados são repetitivos e enfocam principal-
mente redução ao primeiro quadrante e o signi�cado do seno, cosseno e tangente na
circunferência trigonométrica. Dessa forma, tornam-se bastante teóricos e algébricos,
sendo poucos os exercícios que mobilizam técnicas elaboradas que exigem experimentação
e investigação por parte do aluno.
Vale destacar que focamos as funções seno, cosseno e tangente nesse trabalho e nos
limitamos ao estudo inicial dessas funções até seus grá�cos. As fórmulas de adição e as
leis do seno e do cosseno não foram contempladas em nosso estudo.
Esperamos que este trabalho auxilie os estudantes do curso de licenciatura em ma-
temática, futuros professores, a compreender melhor as funções trigonométricas como
funções reais e a entender que a transição das funções trigonométricas no triângulo retân-
gulo para as funções trigonométricas com domínio real é um processo bastante natural
quando se utiliza as ferramentas certas.
64
Referências
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2 BERNAL, Márcia Maria. Estudo do Objeto Proporção: Elementos de suaorganização matemática como objeto a ensinar e como objeto ensinado. 2004. 169f. Dissertação (Mestrado) - Programa de Pós-Graduação em Educação Cientí�ca eTecnológica, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2004.
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4 CARMO, Manfredo Perdigão do; MORGADO, Augusto César; WAGNER, Eduardo.Trigonometria Números Complexos. 3. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2005. Coleção doProfessor de Matemática.
5 COSTA, Nielce Meneguelo Lobo da. Funções Seno e Cosseno: Uma sequênciade ensino a partir dos contextos do "mundo experimental"e do computador. 1997. 173f. Dissertação (Mestrado) - Curso de Ensino da Matemática, Pontifícia UniversidadeCatólica de São Paulo, São Paulo, 1997.
6 DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. 3. ed. São Paulo:Ática, 2011. Volume Único.
7 EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp,2004. Tradução: Higyno H. Domingues.
8 LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio: Volume 1. 9. ed. Riode Janeiro: Imos, 2006. 237 p. Coleção do Professor de Matemática SBM.
9 ROONEY, Anne. A História da Matemática: Desde a criação das pirâmides atéa exploração do in�nito. São Paulo: M. Books do Brasil Editora Ltda., 2012. TraduçãoMario Fecchio.
10 SABO, Ricardo Dezso. Análise de Livros Didáticos do Ensino Médio: Umestudo dos conteúdos referentes à combinatória. 2007. 54 f. Monogra�a (Especialização)- Curso de Educação Matemática, Centro Universitário Fundação Santo André, SantoAndré, 2007.
11 SILVA, Sílvio Alves da. Trigonometria no triângulo retângulo: Construindouma aprendizagem signi�cativa. 2005. 178 f. Dissertação (Mestrado) PUC/SP, SãoPaulo, 2005.